平面向量等和线及其应用
平面向量等和线法 ,结合高考实例应用,快速秒杀
解析：
过点A作AF DE，设AF与BC的延长线交于点 H， 1 易知AF FH，即DF为BC的中位线，因此 1 2 2
思考：若所求的式子是系数的线性关系式而不是系数和呢？
考虑到向量可以通过数乘继而将向量进行拉伸压缩反向等操 作，那么理论上来说，所有的系数之间的线性关系，我们都 可以通过调节基底，使得要求的表达式是两个新基底的系数 和
3
，
解析：
课后巩固：
2009安徽 (文)14在平行四边形 ABCD中， E和F分别是边 CD和 1、
BC的中点，若 AC AE AF , 其中 , R.则 ______ . 2、 (苏州大学 2013 高考考前指导卷 (1)13)已知点 O是ABC的外心， 2 AB 2a, AC , BAC 120 , 若 AO AB AC, 则 最小值为 ____. a 3、 (2014 宁波一模 )已知点 O是ABC的外心，且 AB 3, AC 4, 若 存在非零实数 x, y，使得 AO x AB y AC, 且x 2 y 1, 则cosBAC _____.
本专题存在的意义：
1、等和线法巧妙的将代数问题转化为了图形的关系，将具体的代数 式运算转化为了距离的长短比例关系问题，这是数形结合思想的非常 直接的体现。 2、等和线法将复杂的不等式问题，范围问题，数量积问题转化为了 简单，直接，操作方便的点到直线距离问题，很多时候用相似即可迅 速解决，提高了做题效率与正确率，提升了学生的学习热情与兴趣。
思考：若是基底向量中有一个变化的向量，该如何处理，是否可以用等和线 呢？
思考这个问题，下节课一起探讨：
2011 苏州一模 13如图，在正方形 ABCD中， E为AB的中点，
平面向量基本定理以及“等和线”的应用
突 破 点 一 突 破 点 二 突 破 点 三 课时达标检测
问题的提出
平面向量与代数、几何融合的题目综合性强， 难度大，考试要求高。近年，以“等和线”为背景 的试题层出不穷。考生在解决此类问题时，往往因 思路不清、运算繁琐而失分。
本专题将在平面向量基本定理的基础上推导得 出“等和线”解题的原理，并利用“等和线”原理 解决与向量系数有关的最值和范围有关的问题。
所以, 3 y, 3x 3x 3 y 3
当点P与A点重合时,显然有 : 0,所以,选C.
突 破 点 一 突 破 点 二 突 破 点 三 课时达标检测
练习：如图,四边形OABC是边长为1的正方形,点D在OA 的延长线上,且OD 2,点P为BCD内(含边界)的动点,
uuur uuur uuur
（二）起点不同，平移改造基底型
F
突 破 点 一 突 破 点 二 突 破 点 三 课时达标检测
练习： 突 破 点 一 突 破 点 二 突 破 点 三 课时达标检测
突 破 点 一 突 破 点 二 突 破 点 三 课时达标检测
练习： 突 破 点 一 突 破 点 二 突 破 点 三 课时达标检测
（三）合理调节、变换基底型 例题：
1 2
uuur uuur PA, PB1
1 3
uuur PB
.
由
2x 2x 3y
3y 2x 3y
1
得点
A1 ,
B1,
D
共线,即点
D
在直线
A1 B1
上.
uuur uuur 再由 PC 5PD 知点 C 的轨迹就是直线 A2B2 ,其中 PA2 5PA1, PB2 5PB1 .如下图:
第6讲 平面向量等和线定理求系数和问题(原卷版)
第6讲 平面向量等和线定理求系数和问题【考点分析】考点一：平面向量等和线问题①平面向量共线定理已知OA OB OC λμ=+，若1λμ+=，则,,A B C 三点共线；反之亦然。
①平面向量等和线问题平面内一组基底,OA OB 及任一向量OP ，(,)OP OA OB R λμλμ=+∈，若点P 在直线AB 上或者在平行于AB的直线上，则k λμ+=（定值），反之也成立，我们把直线AB 以及与直线AB 平行的直线称为等和线。
注意：1.当等和线恰为直线AB 时，1k =；2.当等和线在O 点和直线AB 之间时，(0,1)k ∈；3.当直线AB 在点O 和等和线之间时，(1,)k ∈+∞；4.当等和线过O 点时，0k =；5.若两等和线关于O 点对称，则定值k 互为相反数；【典型例题】题型一： 平面向量等和线求系数和问题【例1】如图，在矩形ABCD 中，1AB =，2AD =，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上，若满足AP mAB nAD =+，则n m +的最大值为（ ）A ．3B ．22C ．5D ．2O【例2】如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆O ，P 为圆O 上任一点，若AP xAB y AC =+，则22x y +的最大值为（ ）A ．83B ．2C ．43D ．1【例3】在ABC 中，M 为BC 边上任意一点，N 为线段AM 上任意一点，若AN AB AC λμ=+（λ，μ∈R ），则λμ+的取值范围是（ ）A ．10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[0,1]D ．[1,2]【例4】如图，已知点P 在由射线OD 、线段OA ，线段BA 的延长线所围成的平面区域内（包括边界），且OD 与BA 平行，若OP xOB yOA =+，当12x =-时，y 的取值范围是（ ）A ．[]0,1B ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【例5】在扇形OAB 中，60AOB ∠=，C 为弧AB 上的一动点，若OC xOA yOB =+，则3x y +的取值范围是_________．【题型专练】1.在直角ABC 中，AB AC ⊥，2AB AC ==，以BC 为直径的半圆上有一点M （包括端点），若AM AB AC λμ=+，则λμ+的最大值为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．22.在矩形ABCD 中，AB=1，AD=2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP =λ AB +μAD ，则λ+μ的最大值为 A ．3B ．22C ．5D ．23.如图，在边长为2的正六边形ABCDEF 中，动圆Q 的半径为1，圆心Q 在线段CD （含端点）上运动，P 是圆Q 上及其内部的动点，设向量AP mAB nAF =+（m ，n 为实数），则m ＋n 的最大值为______．4.已知ABC 的外接圆圆心为O ，120A ∠=，若AO x AB y AC =+(x ，yR )，则x y +的最小值为（ ） A ．12 B ．23 C ．32 D ．25.给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ，它们的夹角为23π，如图所示点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上运动，若OC xOA yOB =+，其中x ，y R ∈，则x y +的取值范围为（ ）A ．(1，2]B ．[1，2]C ．[1，2)D ．[2-，2]6.已知O 是ABC ∆内一点，且0OA OB OC ++=，点M 在OBC ∆内（不含边界），若AM AB AC λμ=+，则2λμ+的取值范围是A ．51,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()1,2C ．2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭7.在直角ABC 中，A ∠为直角，1,2AB AC ==，M 是ABC 内一点，且12AM =，若AM AB AC λμ=+，则23λμ+的最大值为_________．8.扇形的半径为1，且0OA OB ⋅=，点C 在弧AB 上运动，若OC xOA yOB =+，则2x y +的最大值是__________。
2024年高考数学复习培优讲义专题31--- 平面向量共线定理与等和线(含解析)
专题5-2 平面向量共线定理与等和线一、平面向量共线定理：已知PC PA PB λμ=+，1λμ+=是A B C 、、三点共线的充要条件 证明若点A,B,C 互不重合，P 是A,B,C 三点所在平面上的任意一点，且PC xPA yPB =+，证明：A ，B ，C 三点共线是1x y +=的充要条件.证明:(1)由1x y +=⇒A ，B ，C 三点共线.由1x y +=得(1)()PC xPA yPB xPA x PB PC PB x PA PB BC xBA =+=+−⇒−=−⇒=.即BC ，BA 共线，故A ，B ，C 三点共线. (2)由A ，B ，C 三点共线1x y ⇒+=.由A ，B ，C 三点共线得BC ，BA 共线，即存在实数x 使得BC BA λ=.故()(1)BP PC BP PA PC PA PB λλλ+=+⇒=+−.令,1x y λλ==−，则有1x y +=.AC二、等和线相关性质平面内一组基底OB OA ,及任一向量OP ，OB OA OP μλ+=，若点p 在直线AB 上或在平行于AB 的直线上，则k =+μλ（定值），反之也成立，我们把直线AB 以及与直线AB 平行的直线称为等和线。
1.当等和线恰为直线AB 时，k 等于1. 2.定值k 的变化与等和线到O 点的距离成正比.平面内一组基底OB OA ,及任一向量OP ，OB OA OP μλ+=，若点p 在直线AB 上或在平行于AB 的直线上，则k =+μλ（定值），反之也成立，我们把直线AB 以及与直线AB 平行的直线称为等和线。
1.当等和线恰为直线AB 时，k 等于1. 2.定值k 的变化与等和线到O 点的距离成正比.2017全国3卷（理）T12 1．在矩形ABCD 中，AB=1，AD=2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP =λ AB +μAD ，则λ+μ的最大值为 A ．3 B ．22 C ．5D ．22020年江苏省高考2．在中，，，，在边上（不与端点重合）．延长到，使得．当为中点时，的长度为 ；若为常数且，则的长度是 ．ABC ∆3BC =4AC =90ACB ∠=︒D AB CD P 9CP =D AB PD 3()(2PC mPA m PB m =+−0m ≠3)2m ≠BD题型一 向量共线定理：构造方程组求系数2023·深圳二模1．已知OAB 中，OC CA =，2OD DB =，AD 与BC 相交于点M ，OM xOA yOB =+，则有序数对(,)x y =（ ）A ．11,23⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,24⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭江苏省苏锡常镇四市2023届高三下学期3月教学情况调研(一)2．在ABC 中，已知2BD DC =，CE EA =，BE 与AD 交于点O .若CO xCB yCA =+(),R x y ∈，则x y += .3．在ABC 中，3BC BD =，2CF FA =，E 是AB 的中点，EF 与AD 交于点P ，若AP mAB nAC =+，则m n +=（ ） A ．37 B ．47 C ．67D ．1题型二 向量共线定理：结合不等式求最值2024届·湖南师大附中月考（二）4．ABC 中，D 为AC 上一点且满足13AD DC =，若P 为BD 上一点，且满足,,AP AB AC λμλμ=+为正实数，则下列结论正确的是（ ）A ．λμ的最小值为116B ．λμ的最大值为1C ．114λμ+的最小值为4D ．114λμ+的最大值为165．如图，在ABC 中，D 是线段BC 上的一点，且4BC BD =，过点D 的直线分别交直线AB ，AC 于点M ，N .若AM AB λ=，(0,0)AN AC μλμ=>>，则1λμ−的最小值是 .重点题型·归类精讲2024届·重庆市西南大学附中、重庆育才中学十月联考6．（多选）在三角形ABC 中，点D 足AB 边上的四等分点且3AD DB =，AC 边上存在点E 满足()0EA CE λλ=>，直线CD 和直线BE 交于点F ，若()0FC DF μμ=>，则（ ）A ．1344CD CA CB =+B ．4λμ=C ．2164λμ+的最小值为17D ．49CF EA CD CA ⋅≤⋅的延长线交于点F,若BC CE λ=，ED DA μ=，3(,0)AB BF λμ=>，则（ ）A. 3144EB EF EA =+ B. 14λμ=C. 11λμ+的最大值为1 D. 49EC AD EB EA⋅≥−⋅题型三 等和线：求系数和最值，范围8．如图正六边形ABCDEF 中，P 点三角形CDE 内（包括边界）的动点，设AF AB AP y x +=，则y x +的取值范围是________．FEDCB AFED9．如图，在直角梯形ABCD 中，AD AB ⊥，//AB DC ，1AD DC ==，2AB =，动点P 在以点C 为圆心，且与直线BD 相切的圆上或圆内移动，设(,R)AP AD AB λμλμ=+∈，则λμ+取值范围是 ．10．给定两个长度为3的平面向量OA 和OB ，它们的夹角为120°，如图所示,点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上运动，若=OC xOA yOB +，其中,x y R ∈，则x y +的最大值是_____；2x y +的最大值是______.11．如图，在正方形ABCD 中，E 为BC 的中点，P 是以AB 为直径的半圆弧上任意一点，设(,)AE xAD y AP x y R =+∈，则2x+y 的最小值为( )A ．－1B ．1C ．2D ．312．在直角ABC 中，AB AC ⊥，2AB AC ==，以BC 为直径的半圆上有一点M （包括端点），若AM AB AC λμ=+，则λμ+的最大值为（ ）OACE BDCPA ．4B ．3C ．2D ．213．直角梯形中ABCD ,ABD BC AD CD CB ∆⊥，，//是边长为2的正三角形，P 是平面上的动点，1||=CP ，),(R AB AD AP ∈+=μλμλ设，则μλ+的值可以为（ ） A. 0 B.1 C.2 D.3专题5-2 平面向量共线定理与等和线一、平面向量共线定理：已知PC PA PB λμ=+，1λμ+=是A B C 、、三点共线的充要条件 证明若点A,B,C 互不重合，P 是A,B,C 三点所在平面上的任意一点，且PC xPA yPB =+，证明：A ，B ，C 三点共线是1x y +=的充要条件.证明:(1)由1x y +=⇒A ，B ，C 三点共线.由1x y +=得(1)()PC xPA yPB xPA x PB PC PB x PA PB BC xBA =+=+−⇒−=−⇒=.即BC ，BA 共线，故A ，B ，C 三点共线. (2)由A ，B ，C 三点共线1x y ⇒+=.由A ，B ，C 三点共线得BC ，BA 共线，即存在实数x 使得BC BA λ=.故()(1)BP PC BP PA PC PA PB λλλ+=+⇒=+−.令,1x y λλ==−，则有1x y +=.AC二、等和线相关性质平面内一组基底OB OA ,及任一向量OP ，OB OA OP μλ+=，若点p 在直线AB 上或在平行于AB 的直线上，则k =+μλ（定值），反之也成立，我们把直线AB 以及与直线AB 平行的直线称为等和线。
平面向量基本定理系数的等和线
平面向量基本定理系数的等和线
【适用题型】平面向量基本定理的表达式中，研究两系数的和差及线性表达式的范围与最值。
【基本定理】
（一）平面向量共线定理
已知OA OB OC λμ=+ ，若1λμ+=，则,,A B C 三点共线；反之亦然
（二）等和线
平面内一组基底,OA OB 及任一向量OP ，(,)OP OA OB R λμλμ=+∈ ，若点P 在直线
AB 上或者在平行于AB 的直线上，则k λμ+=（定值）
，反之也成立，我们把直线AB 以及与直线AB 平行的直线称为等和线。
（1）当等和线恰为直线AB 时，1k =；
（2）当等和线在O 点和直线AB 之间时，(0,1)k ∈；
（3）当直线AB 在点O 和等和线之间时，(1,)k ∈+∞；
（4）当等和线过O 点时，0k =；
（5）若两等和线关于O 点对称，则定值k 互为相反数；
【解题步骤及说明】
1、确定等值线为1的线；
2、平移（旋转或伸缩）该线，结合动点的可行域，分析何处取得最大值和最小值；
3、从长度比或者点的位置两个角度，计算最大值和最小值；
说明：平面向量共线定理的表达式中的三个向量的起点务必一致，若不一致，本着少数服从多数的原则，优先平移固定的向量；若需要研究的两系数的线性关系，则需要通过变换基底向量，使得需要研究的代数式为基底的系数和。
【典型例题】
例1、给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ，它们的夹角为0120，如图所示，点C 在以
O 为圆心的圆弧 AB 上变动。
若OC xOA yOB =+ ，其中,x y R ∈，则x y +的最大值
是__________。
重难点专题04 妙用等和线解决平面向量系数和差商方问题(五大题型)(课件)-高一数学新教材讲义
O
P
A
l
A1
03
典型例题
典型例题
题型一： + 问题（系数为1）
【例1】（2024·山东滨州·统考一模）在△ 中，M为BC边上任意一点，N为线段AM上任意一点，
若 = + （ ， ∈ ），则 + 的取值范围是（
1
A． 0, 3
B．
1 1
,
3 2
C．[0,1]
所以 = + ，即 =
因为 、 、 三点共线，所以 +
+
，
= 1，即 + = ∈ 0,1 ．
综上， + 的取值范围是 [0,1]．故选：C．
典型例题
题型一： + 问题（系数为1）
【变式1-1】（2024·重庆铜梁·高一统考期末）在 △ 中，点 是线段 上任意一点，点 满足 =
）
D．[1,2]
【答案】C
【解析】由题意，设 = ， 0 ≤ ≤ 1 ，
当 = 0时， = 0 ，所以 + = 0 ，
所以 = = 0，从而有 + = 0；
当0 < ≤ 1时，因为 = + （ ， ∈ ），
由向量加法的 平 行 四 边 形 法则 ， 为 平 行 四 边 形的 对
角线，
该四边形应是 以 与 的 反 向 延长 线 为 两 邻 边 ，
1
∴当 = − 2 时，要使 点 落 在 指 定 区 域内 ， 即 点 应 落
在 上，
1
2
, =
平面向量的线性运算与应用
平面向量的线性运算与应用平面向量是数学中一个重要的概念，具有广泛的应用。
在本文中，我们将探讨平面向量的线性运算及其应用。
通过学习和理解这些概念，我们可以更好地应用平面向量解决实际问题。
一、平面向量的定义和表示方式平面向量可以用有序数对表示，其中第一个数表示向量在x轴上的分量，第二个数表示向量在y轴上的分量。
例如，向量a可以表示为a = （a1，a2）。
平面向量也可以使用箭头表示，箭头的指向表示向量的方向，箭头的长度表示向量的大小。
二、平面向量的线性运算平面向量可以进行加法、减法和数乘等线性运算。
1. 向量加法：向量的加法是指将两个向量相加的运算。
由于向量有方向，所以向量相加要根据有向线段法则进行运算。
2. 向量减法：向量的减法是指将一个向量减去另一个向量得到的运算。
向量减法也要遵循有向线段法则。
3. 数乘：数乘是指将向量的每个分量都乘以一个实数得到的运算。
数乘可以改变向量的大小和方向。
三、平面向量的应用平面向量在许多领域中都有广泛的应用，包括几何、物理、工程等。
1. 几何应用：平面向量可以用于求解几何问题，如点的坐标、线段的长度、角的夹角等。
通过将几何问题转化为向量问题，可以简化计算过程。
2. 物理应用：平面向量在物理学中有着重要的应用。
例如，力可以表示为一个平面向量，通过对力的合成和分解，可以求解物体的运动、受力分析等问题。
3. 工程应用：平面向量的应用在工程领域中也非常广泛。
例如，力的分解、矢量图形的绘制、力矩的计算等都需要运用平面向量的知识。
四、平面向量的线性运算与应用实例为了更好地理解平面向量的线性运算及其应用，我们来看一个实例：假设有一辆汽车沿着某条道路行驶，速度为v1，风的速度为v2，向量v1表示汽车的速度，向量v2表示风的速度。
1. 向量加法的应用：汽车的实际速度可以表示为v = v1 + v2。
如果风向相反于汽车行驶的方向，那么汽车的实际速度会减小；如果风向与汽车行驶的方向一致，那么汽车的实际速度会增加。
平面向量共线定理和等和线课件
平面向量和等和线的方向是相同的，即如果一个向量和一个等和线对应，那么它们的方向也是一致的。
平面向量与等和线在解析几何中的应用
解析几何的基本问题
在解析几何中，平面向量和等和线是解 决基本问题的工具。例如，两点间的距 离问题、直线的斜率问题等，都可以通 过平面向量和等和线来表示和解决。
定义
在平面上，如果一条直线上的任意点 与给定点（非该直线上任意点）所确 定的向量与该直线方向相反，则称该 直线为等和线。
性质
等和线上的任意点与定点的连线和该 直线方向相反。
等和线的判定与性质的应用
判定
若一直线上任意点与定点所确定的向量与该直线方向相反，则该直线为等和线。
应用
利用等和线性质可以证明共线定理，也可以解决一些解析几何问题。
等和线在解析几何中的应用
解析几何中常常涉及到直线、曲线等几何对象，而等和线是研究这些对象的重要工 具之一。
利用等和线可以研究直线与定点之间的位置关系，也可以研究曲线上的点的性质。
在一些较复杂的解析几何问题中，等和线还可以与其他数学工具结合使用，从而解 决更为复杂的问题。
平面向量与等和
03
的系
平面向量与等和线的相互转换
2. 已知点 P(2,3) ，圆 C ： x^2+y^2=100 ，求点 P 关于圆C的等和线方程。
等和线的习题与解析
解析
1. 根据等和线的定义，点A(1,2)关于点B(3,-1)的等和线方程就是向量AB与x轴正向夹角 的正切值的相反数的绝对值乘以x轴正向夹角的正切值。根据已知条件，可以计算出向 量AB与x轴正向夹角的正切值为-1/4，因此点A关于点B的等和线方程为y=-1/4x+5。
第8章平面向量的等和线定理及其应用
第8章平面向量的等和线定理及其应用平面向量的等和线定理是研究平面向量的一个重要定理，它描述了平面向量的和为常向量的所有点构成一条直线，这条直线称为等和线。
等和线定理在几何学和物理学中有着广泛的应用。
等和线定理的表述可以简单描述如下：对于平面上的任意两个平面向量a和b，如果它们的和为常向量c，并且a和b不平行，则a和b的和为常向量的所有点构成一条直线，这条直线称为等和线。
等和线定理的证明是基于向量的几何运算和向量的线性组合性质。
首先，我们可以将等和线上的一点表示为向量p。
由于等和线上的点满足向量相加等于常向量，所以有p = a + b = c，其中a、b、c均为平面向量。
然后，我们可以用点向法向量的形式表示等和线，即以p为起点，以c-a为方向向量的直线。
通过向量的线性组合性质，我们可以得到等和线上的任意一点都可以表示为p + tb，其中t为标量。
由此可见，等和线是平面上的一条直线。
等和线定理在几何学中有着广泛的应用。
首先，等和线可以帮助我们决定两个向量是否平行。
只需要将两个向量相加，如果它们的和为零向量，则说明它们平行。
其次，等和线可以帮助我们找到两个向量的和为常向量的点的集合。
这对于求解向量方程和向量方程组等问题有着重要的意义。
等和线定理在物理学中也有着重要的应用。
在力学中，平面向量可以代表力的大小和方向。
当多个力作用于一个物体时，根据等和线定理，这些力的和可以表示为一个常向量，并且构成一条等和线。
这可以帮助我们解决力的合成问题。
在电磁学中，平面向量可以代表电场和磁场的大小和方向。
当多个电场或磁场同时作用于一个点时，根据等和线定理，这些场的和可以表示为一个常向量，并且构成一条等和线。
这可以帮助我们解决电场和磁场的叠加问题。
总之，平面向量的等和线定理是研究平面向量的一个重要定理，它描述了平面向量的和为常向量的所有点构成一条直线。
等和线定理在几何学和物理学中有着广泛的应用，可以帮助我们解决平面向量的合成、力的合成以及场的叠加等问题。
高三数学复习微专题之《平面向量基本定理系数“等和线”的应用》
衡阳市数学学会高三数学复习微专题之《平面向量基本定理系数“等和线”的应用》衡东一中朱亚旸一、问题的提出平面向量与代数、几何融合考查的题目综合性强，难度大，考试要求高．近年，高考、模考中有关“等和线定理”（以下简称等和线）背景的试题层出不穷．学生在解决此类问题时，往往要通过建系或利用角度与数量积处理，结果因思路不清、解题繁琐，导致得分率不高．在平时教学中，我们能不能给出一个简单、有效的方法解决此类问题呢？带着这个问题，笔者设计本微型专题．二、等和线定理平面内一组基地 OA, OB 及任一向量 OC ，OC = λOA + μOB(λ，μ ∈ R)，若点C 在直线 AB 上或在平行于 AB 的直线上，则λ + μ = k （定值），反之也成立，我们把直线 AB 以及直线 AB 平行的直线称为“等和线”．（1）当等和线恰为直线 AB 时， k =1；（2）当等和线在 O 点和直线 AB 之间时， k ∈(0,1)；（3）当直线 AB 在 O 点和等和线之间时， k ∈(1,+∞)；（4）当等和线过 O 点时， k =0；（5）若两等和线关于 O 点对称，则定值 k 互为相反数；（6）定值 k 的变化与等和线到 O 点的距离成正比；⎛ x y ⎫简证，如图1若 OC = λOD ，那么 OC = xOA + yOB = λ OA + OB⎪ = λOD ，λ λ⎝ ⎭从而有x+y= 1 ，即x+y= λ．另一方面，过C点作直线l // AB，在l上任作一λ λ点 C'，连接 OC'⋂ AB = D'，同理可得，以 OA, OB 为基底时，OC'对应的系数和依然为λ .三、定理运用（一）基底起点相同例1：（2017年全国Ⅲ卷理科第12题）在矩形 ABCD中， AB =1， AD =2，动点 P 在以 C 为圆心且与 BD 相切的圆上，若 AP = λ AB + μ AD ，则λ + μ的最大值（）A .3B .22C . 5D .2【分析】如图2，由平面向量基底等和线定理可知，当等和线 l与圆相切时，λ + μ最大，此时λ + μ =AF=AB+BE+EF=3AB=3,故选 A .AB AB AB练习 1：(2006年湖南卷15题)如图3所示，OM // AB ，点 P 在由射线 OM 、射线段 OB 及 AB的延长线围成的阴影区域内（不含边界）运动，且 OP = xOA + yOB（1）则 x 的取值范围是；（2）当 x = - 1 时， y 的取值范围是.2【分析】(1),根据题意，很显然 x <0；（2）由平面向量基底等和线定理可知，0< x + y <1，结合 x = -12，可得12< y <32.练习2：(衡水中学 2018届高三二次模拟)如图4，边长为 2 的正六边形ABCDEF 中，动圆 Q 的半径为1，圆心在线段 CD （含短点）上运动， P 是圆 Q 上及其内部的动点，设向量 AP = m AB + n AF(m, n ∈ R)，则 m + n 的取值范围是（）A .(1,2] B .[5,6] C .[2,5] D .[3,5]【分析】如图5，设 AP = m AB + n AF ，由等和线结论，m + n = AG = 2 AB = 2 .此为m+n1 AB AB的最小值；同理，设 AP = m AB + n AF ，由等和线结论，m + n = AH = 5 .此为m+n2 AB的最大值.综上可知 m + n ∈[2,5].（二）基底起点不同例 2：（2013 年江苏高考第 10 题）设 D , E 分别是 ∆ABC 的边 AB , BC 上的点，且有 AD =12 AB , BE = 23 BC , 若 DE = λ1 AB + λ2 AC (λ1 , λ2 ∈ R )，则 λ1+ λ2 的值为【分析】过点 A 作 AF = DE ,设 AF , BC 的延长线交于点 H ，易知 AF = FH ，即 AF = FH ，即 DF 为 BC 的中位线，因此 λ1 + λ2 =12 .练习 3：如图 7，在平行四边形 ABCD 中，M , N 为 CD 的三等分点，S 为 AM 与 BN 的交点，P 为边 AB 上一动点，Q 为 ∆SMN 内一点（含边界），若 PQ = x AM + y BN ，则 x + y 的取值范围是 .【分析】如图 8 所示，作 PS = AM ，PT = BN ，过 I 作直线 MN 的平行线，由等和线定理⎡3 ⎤可知， x + y ∈ ⎢ ,1⎥ .4 ⎣ ⎦（三）基底一方可变例 3：在正方形 ABCD 中，如图 9， E 为 AB 中点， P 以 A 为圆心， AB 为半径的圆弧上的任意一点，设 AC = x DE + y AP ，则 x + y 的最小值为 .【分析】由题意，作 AK = DE ，设 AD = λ AC ，直线 AC 与直线 PK 相交与点 D ，则有AD = λx AK + λy AP ，由等和线定理，λx + λy =1，从而 x + y =λ1，当点 P与点 B 重合时，如图10，λmax= 2 ，此时，(x+y)min=1 2．练习4：在平面直角坐标系 xoy 中，已知点 P 在曲线Γ：y = 1 -x42(x≥ 0)上，曲线Γ与 x 轴相交于点 B ，与 y 轴相交于点 C ，点 D(2,1)和 E(1,0)满足OD = λCE + μOP(λ,μ ∈ R)则λ + μ的最小值为___.【分析】作CE = OA ，令 OD1= xOD ,有 OD1= xλOA + xμOP ，由等和线定理， xλ + xμ =1，所以λ + μ =1x，如图11，再由等和线定理，得(λ + μ)min=12 .（四）基底合理调节例题4：（2013 年高考安徽理科卷）在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两定点A, B 满足 OA = OB = OA⋅OB =2，则点集{P OP = λOA + μOB,λ + μ ≤1,λ,μ ∈ R}所表示的区域面积是（）A .22B .23C .42D .4 3【分析】由 OA = OB = OA⋅OB =2可知，OA, OB = π3 .如图 12 所示，当 λ ≥ 0，μ ≥ 0 时，若λ + μ = 1 ，则点P位于线段AB上；当λ ≥ 0，μ ≤ 0 时，若λ - μ = 1，则点P位于线段 AB'上；当λ ≤0，μ ≥0时，若- λ + μ =1，则点 P 位于线段 A' B 上；当λ≤ 0，μ ≤ 0 时，若- λ - μ = 1 ，则点P位于线段A'B'上；又因为λ + μ ≤ 1 ，由等和线定理可知，点 P 位于矩形 ABA' B'内（含边界）.其面积 S =4S∆AOB=4 3 .衡阳市数学学会练习5：如图13所示， A, B, C 是圆 O 上的三点， CO 的延长线与线段 BA 的延长线交于圆 O 外的点 D ,若 OC = mOA + nOB ，则 m + n 的取值范围是.【分析】作 OA, OB 的相反向量 OA1, OB1，如图14所示，则 AB // A1 B1，过 O 作直线 l // AB ，则直线 l ， A1 B1为以 OA, OB 为基底的平面向量基本定理系数等和线，且定值分别为0，-1 ，由题意CO的延长线与线段BA的延长线交于圆O外的点D，所以点C在直线 l 与直线 A1 B1之间，所以 m + n ∈(-1,0).练习6：如图15，在扇形 OAB 中，∠AOB =π3， C 为弧 AB 上的一个动点，若OC = xOA + yOB ，则 x +3 y 的取值范围是．【分析】，令 OB'=OB，依题意， OC = xOA +3 y OB⎪⎛ ⎫⎪3⎝ 3 ⎭重新调整基底 OA, OB'.显然，当 C 在 A 点时，经过 k =1的等和线， C 在 B 点时经过 k =3的等和线，这两个分别是最近跟最远的等和线，所以系数和x+ 3 y∈[1,3].（五）“基底+”高度融合例 5 ：已知三角形∆ABC 中， BC =6 ， AC =2 AB ，点 D 满足AD = 2x AB + y AC ，设f(x,y)= AD ， f (x, y)≥ f (x , y )恒成立，2(x+y)x + y 0 0则 f (x0, y0)的最大值为.【分析】衡阳市数学学会本题为“基底+阿氏圆”交汇命题.思路1：如图16所示，以 BC 为 x 轴，中垂线为 y 轴建立直角坐标系，易知点 B 的轨迹方程是(x -5)2+ y 2 = 16 ．取AC中点F，延长AB 到 E ，且 AB = BE .于是，AD =2xAB +yAC ，∴ AD =x (2 AB)+ y ⎛ 1 AC ⎫⎪ ，即有x + y 2(x+y) x + y (x + y)⎝2 ⎭AD =xAE +yAF ，从而 D ∈ EF ，进一步得到x + y x + yf (x, y)≥ f (x0, y0)= AK ,且有 AK =2 BG ，因为EF恒过∆ACE重心H，所以AK =2 BG ≤2 BH =4，即 f (x0, y0)max=4.思路2：如图17所示，同上分析， D ∈ EF .当 AD ⊥ EF 时，f(x,y)=AD取得最小值，此时 f (x0, y0)= AD .易知∆ABC ≅ ∆AEF ，则AD=AH≤r=4.四、解题总结1、确定等值线为 1 的直线；2、平移（旋转或伸缩）该线，结合动点的可行域，分析何处取得最大值和最小值；3、从长度比或者点的位置两个角度，计算最大值或最小值.五、后记等和线定理巧妙的将代数问题转化为图形关系，将具体的代数式运算转化为距离的长短比例关系问题，这是数形结合思想的非常直接的体现。
高考数学等和线定理及其应用 [完美打印版]
![高考数学等和线定理及其应用 [完美打印版]](https://img.taocdn.com/s3/m/9d22a8224531b90d6c85ec3a87c24028915f853a.png)
高考数学等和线定理及其应用 [完美打印版]平面向量基本定理系数“等和线”的应用一、问题的提出本文讨论平面向量的基本定理系数“等和线”的应用。
二、等和线定理平面向量共线定理：已知OA、OB为平面内一组基，若存在实数λ，μ使得OC=λOA+μOB(λ，μ∈R)，则A。
B。
C三点共线；反之亦然。
等和线定理：平面内一组基底OA、OB以及直线AB以及直线AB平行的直线称为“等和线”。
若点C在直线AB上或在平行于AB的直线上，则λ+μ=1，反之也成立。
当等和线恰为直线AB时，k=1；当等和线在O点和直线AB之间时，k∈(0,1)；当直线AB在O点和等和线之间时，k∈(1,+∞)；当等和线过O点时，k=0；若两等和线关于O点对称，则定值k 互为相反数；定值k的变化与等和线到O点的距离成正比。
三、定理运用一）基底起点相同例1：在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C 为圆心且与BD相切的圆上。
若AP=λAB+μAD，则λ+μ的最大值为( )。
二）基底起点不同例2：设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD=AB，BE=BC，若DE=λ1AB+λ2AC(λ1，λ2为实数），则λ1+λ2的值为。
练1：在△ABC中，AB=6，BC=8，AB⊥BC，M是△ABC外接圆上一动点，若AM=λAB+μAC，则λ+μ的最大值是（）。
练2：在边长为2的正六边形ABCDEF中，动圆Q的半径为1，圆心在线段CD（含端点）上运动，则m+n的取值范围是()。
P是圆Q上及内部的动点，设向量AP=mAB+nAF(m，n为实数）。
练3：在平行四边形ABCD中，M,N为CD的三等分点，S为AM与BN的交点，P为边AD上的一点，连接CP、DP，交线段AB于点E、F，若PE=2PF，则.PQ=xAM+yBN，其中AB上的动点为Q，Q为三角形SMN内的一个点（包括边界）。
当基底中的x+y取值范围是（三）时，P为可变点。
例3.在边长为2的正方形ABCD中，E是边AB的中点，P为以A为圆心、AB为半径的圆弧上的任意一点，向量AP=xDE+yAC。
微专题 妙用等和线解决平面向量系数和、差、商、平方问题(六大题型)(学生版)
妙用等和线解决平面向量系数和、差、商、平方问题【题型归纳目录】题型一：x +y 问题(系数为1)题型二：mx +ny 问题(系数不为1)题型三：mx -ny 问题题型四：m x +ny 问题题型五：yx 问题题型六：x 2+y 2问题【方法技巧与总结】(1)平面向量共线定理已知OA =λOB +μOC ，若λ+μ=1，则A ,B ,C 三点共线；反之亦然。
(2)等和线平面内一组基底OA ,OB 及任一向量OP ，OP =λOA +μOB (λ,μ∈R )，若点P 在直线AB 上或者在平行于AB 的直线上，则λ+μ=k (定值)，反之也成立，我们把直线AB 以及与直线AB 平行的直线称为等和线。
①当等和线恰为直线AB 时，k =1；②当等和线在O 点和直线AB 之间时，k ∈(0,1)；③当直线AB 在点O 和等和线之间时，k ∈(1,+∞)；④当等和线过O 点时，k =0；⑤若两等和线关于O 点对称，则定值k 互为相反数；【典型例题】题型一：x +y 问题(系数为1)1(2024·山东滨州·统考一模)在△ABC 中，M 为BC 边上任意一点，N 为线段AM 上任意一点，若AN=λAB +μAC (λ，μ∈R )，则λ+μ的取值范围是() A.0,13B.13,12C.[0,1]D.[1,2]2(2024·陕西西安·高一西北工业大学附属中学校考阶段练习)在ΔABC 中，M 为边BC 上的任意一点，点N 在线段AM 上，且满足AN =13NM ，若AN =λAB +μAC(λ,μ∈R )，则λ+μ的值为()A.14B.13C.1D.43(2024·重庆铜梁·高一统考期末)在△ABC 中，点D 是线段BC 上任意一点，点P 满足AD =3AP，若存在实数m 和n ，使得BP =mAB +nAC，则m +n =()A.23B.13C.-13D.-23题型二：mx +ny 问题(系数不为1)1(2024·山东潍坊·高一统考期末)已知O 是ΔABC 内一点，且OA +OB +OC =0 ，点M 在ΔOBC 内(不含边界)，若AM =λAB +μAC，则λ+2μ的取值范围是()A.1,52B.1,2C.23,1D.12,12(2024·江苏南京·高一南京师大附中校考期末)在扇形OAB 中，∠AOB =60o ，OA=1，C 为弧AB 上的一个动点，且OC =xOA +yOB．则x +4y 的取值范围为()A.[1,4)B.[1,4]C.[2,3)D.[2,3]3(2024·辽宁沈阳·高三统考期末)如图，在扇形OAB 中，∠AOB =30°，C 为弧AB 上且与A ,B 不重合的一个动点，且OC =xOA +yOB，若μ=x +λy (λ>0)存在最大值，则λ的取值范围是()A.34,33B.33,32C.34,32D.32,233题型三：mx -ny 问题1(2024·上海徐汇·高二位育中学校考阶段练习)如图，OM ⎳AB ，点P 在由射线OM 、线段OB 及AB 的延长线组成的区域内(不含边界)运动，且OP =xOA +yOB ，当x =-12时，y 的取值范围是2(2024·河南平顶山·高一统考期末)如图所示，点P 在由线段AB ，AC 的延长线及线段BC 围成的阴影区域内(不含边界)，则下列说法中正确的是．(填写所有正确说法的序号)①存在点P ，使得AP =12AB +2AC；②存在点P ，使得AP =-12AB+2AC ；③存在点P ，使得AP =12AB -2AC；④存在点P ，使得AP =12AB +32AC．3(2024·高一课时练习)已知△ABC 中，CD =-35BC,EC =12AC ,AF =13AB ，若点P 为四边形AEDF 内一点(不含边界)且DP =-13DC+xDE ，则实数x 的取值范围为.题型四：m x +ny问题1(2024·江苏·高三专题练习)在△ABC 中，点O 是BC 的三等分点，OC =2OB，过点O 的直线分别交直线AB ,AC 于点E ,F ，且AB =mAE ，AC =nAF (m >0,n >0)，若1m +t n 的最小值为83，则正数t的值为2(2024·江苏盐城·高一统考期末)在△ABC 中，点O 是BC 的三等分点，OC =2OB，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于点E ，F ，且AB =mAE ，AC =nAF (m >0，n >0)，若1m +t 2nt >0 的最小值为3，则正数t 的值为.3(2024·山东菏泽·高一统考期末)在△ABC 中，点O 是线段BC 上的点，且满足OC =3OB，过点O 的直线分别交直线AB ,AC 于点E ,F ，且AB =mAE ，AC =nAF ，其中m >0且n >0，若1m +2n的最小值为.题型五：y x问题1(2024·山西·高一统考期末)已知在△ABC 中，点D 满足BD =34BC，点E 在线段AD (不含端点A ，D )上移动，若AE =λAB +μAC ，则μλ=.2(2024·山东潍坊·高三开学考试)在△ABC 中，点D 满足BD =34BC，当点E 在射线AD (不含点A )上移动时，若AE =λAB +μAC ，则λ+1μ的最小值为．3(2024·黑龙江哈尔滨·高三哈师大附中校考期末)在ΔABC 中，点D 满足BD =34BC，当E 点在线段AD (不包含端点)上移动时，若AE =λAB +μAC ，则λ+3μ的取值范围是A.233,+∞B.[2,+∞)C.174,+∞D.(2,+∞)题型六：x 2+y 2问题1(2024·江苏泰州·高一泰州中学阶段练习)在ΔABC 中，点D 满足BD =34BC ，当点E 在射线AD (不含点A )上移动时，若AE =λAB +μAC，则(λ+1)2+μ2的取值范围为．2(2024·天津·高三校联考阶段练习)如图，在△ABC 中，BD =13BC，点E 在线段AD 上移动(不含端点)，若AE =λAB +μAC ，则λμ=，λ2-μ的最小值为.3(2024·全国·高三专题练习)在△ABC 中，点D 满足BD =DC ，当E 点在线段AD 上移动时，若AE=λAB +μAC ，则t =(λ-1)2+μ2的最小值为.4(2024·山东德州·高三统考期末)在△ABC 中，M 为边BC 上任意一点，N 为AM 的中点，且满足AN=λAB +μAC ，则λ2+μ2的最小值为.【过关测试】一、单选题1(2024·高三课时练习)在△ABC 中，M 为边BC 上任意一点，N 为AM 中点，AN =λAB +μAC，则λ+μ的值为()A.12B.13C.14D.12(2024·安徽六安·高一六安一中校考期末)如图所示，在△ABC 中，点D 是边BC 上任意一点，M 是线段AD 的中点，若存在实数λ和μ，使得BM =λAB +μAC，则λ+μ=()A.-1B.-12C.-2D.-323(2024·重庆·高三重庆南开中学校考阶段练习)已知点O 为ΔABC 所在平面内一点，满足OA +OB +OC =0 ，M 为AB 中点，点P 在ΔAOC 内(不含边界)，若BP =xBM +yBC ，则x +y 的取值范围是()A.1,2B.23,2C.12,1D.13,324(2024·广东惠州·高一校联考阶段练习)在△ABC 中，点O 是线段BC 上的点，且满足|OC |=3|OB|，过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于点E 、F ，且AB =mAE ，AC =nAF ，其中m >0且n >0，若1m+tn的最小值为3，则正数t 的值为()A.2B.3C.83D.1135(2024·江西南昌·高三阶段练习)在△ABC 中，点O 是BC 的三等分点(靠近点B )，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同两点M ，N ，若AB =mAM ,AC =nAN ，m ,n 均为正数，则1m +1n的最小值为()A.2 B.1+23C.1+223D.1+233二、多选题6(2024·江苏南京·高一南京市宁海中学校联考期末)在△ABC 中，点D 是线段BC 上任意一点，点M 是线段AD 的中点，若存在λ,μ∈R 使BM =λAB +μAC，则λ,μ的取值可能是()A.λ=-35,μ=110B.λ=1,μ=-32C.λ=-910,μ=25D.λ=-710,μ=357(2024·浙江宁波·高一宁波市北仑中学校考期末)已知O 是△ABC 内一点，且OA +OB +OC =0 ，点M 在△OBC 内(不含边界)，若AM =λAB +μAC，则λ+2μ的值可能为()A.97B.117C.137D.1578(2024·重庆·高一校联考阶段练习)在ΔABC 中，点D 满足BD =DC，当点E 在线段AD 上(不含A 点)移动时，记AE =λAB +μAC，则() A.λ=2μB.λ=μC.14λ+μ的最小值为1D.4λ+μ的最小值为49(2024·湖北武汉·高三校联考期末)在△ABC 中，点D 满足BD =DC，当点E 在线段AD 上移动时，记AE =λAB +μAC ，则()A.λ=2μB.λ=μC.λ-2 2+μ2的最小值为2D.λ-2 2+μ2的最小值为52三、填空题10(2024·全国·高三专题练习)如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆O ，P 为圆O 上任一点，若AP =xAB +yAC ，则2x +2y 的最大值为11(2024·福建三明·高二三明一中校考开学考试)如图，在扇形OAB 中，∠AOB =π3，C 为弧AB 上的一个动点，若OC =xOA +yOB，则x +4y 的取值范围是.12(2024·四川绵阳·高一统考期末)在扇形OAB 中，∠AOB =60°，C 为弧AB 上的一动点，若OC=xOA +yOB ，则3x +y 的取值范围是．13(2024·全国·高三专题练习)在扇形OAB 中，OA =1，∠AOB =π3，C 为弧AB 上的一个动点，若OC =xOA +yOB ，则x +3y 的取值范围是.14(2024·全国·高三专题练习)扇形OAB 中，∠AOB =120°，C 为AB 上的一个动点，且OC =xOA+yOB ，其中x ,y ∈R .(1)x +y 的取值范围为；(2)2x +y 的取值范围为.15(2024·吉林·高一阶段练习)如图，在ΔABC 中，D ,E ,F 分别为BC ,CA ,AB 上的点，且CD =35BC ，EC =12AC ，AF =13AB .设P 为四边形AEDF 内一点(P 点不在边界上)，若DP =-13DC +λDE ，则实数λ的取值范围为16(2024·重庆万州·高一万州外国语学校天子湖校区校考期末)如图，在△ABC 中，BD =13BC，点E 在线段AD 上移动(不含端点)，若AE =λAB +μAC ，则λ2+1μ的取值范围是．四、解答题17(2024·高一课时练习)在学习向量三点共线定理时，我们知道当P 、A 、B 三点共线，O 为直线外一点，且OP =xOA +yOB 时，x +y =1(如图1)，小明同学提出了如下两个问题，请同学们帮助小明解答．(1)当x +y >1或x +y <1时，O 、P 两点的位置与AB 所在直线之间存在什么关系？写出你的结论，并说明理由；(2)如图2，射线OM ⎳AB ，点P 在由射线OM 、线段OA 及BA 的延长线围成的区域内(不含边界)运动，且OP =xOA +yOB ，求实数x 的取值范围，并求当x =12时，实数y 的取值范围．18(2024·高一课时练习)如图，OM ⎳AB ，点P 在由射线OM ，线段OB 及AB 的延长线围成的区域内(不含边界)运动，且OP =xOA +yOB．(1)求x 的取值范围；(2)当x =-12时，求y 的取值范围．19(2024·上海浦东新·高二华师大二附中校考阶段练习)小郭是一位热爱临睡前探究数学问题的同学，在学习向量三点共线定理时，我们知道当P 、A 、B 三点共线，O 为直线外一点，且OP =xOA +yOB时，x +y =1(如图1)第二天，小郭提出了如下三个问题，请同学帮助小郭解答.(1)当x +y >1或x +y <1时，O 、P 两点的位置与AB 所在直线之间存在什么关系？写出你的结论，并说明理由(2)如图2，射线OM ∥AB ，点P 在由射线OM 、线段OA 及BA 的延长线围成的区域内(不含边界)运动，且OP =xOA +yOB ，求实数x 的取值范围，并求当x =12时，实数y 的取值范围.(3)过O 作AB 的平行线，延长AO 、BO ，将平面分成如图3所示的六个区域，且OP =xOA +yOB，请分别写出点P 在每个区域内运动(不含边界)时，实数x ，y 应满足的条件.(不必证明)。
平面向量等和线的应用举例
教学实践J I A O X U E S H I J I A N平面向量等和线的应用举例山东省寿光现代中学 刘 苓等和线定义:平面内一组基底ңO A ,ңO B及任一向量ңO P ,ңO P =λ1ңO A +λ2ңO B (λ1,λ2ɪR ),若点P 在直线A B 上或在平行于A B 的直线上,则λ1+λ2=k (定值),反之也成立㊂我们把直线A B 以及与A B 平行的直线叫平面向量基本定理系数的等和线,如图1㊂根据证明过程可知:图1(1)当等和线即为直线A B 时,k =1;(2)当等和线在点O 与直线A B 之间时,k ɪ(0,1);(3)当直线A B 在点O 与等和线之间时,k ɪ(1,+ɕ)㊂题型1 求参数和的范围例1 如图2,四边形O A B C 是边长为1的正方形,点D 在O A 的延长线上,且O D =2,点P 为әB C D 内(含边界)的动点,设ңO P =αңO C +βңOD (α,βɪR ),则α+β的最大值等于㊂图2解析 分别以边O A ,O C 所在直线为x ,y 轴建立平面直角坐标系,如图3所示,则ңO C =(0,1),ңO D =(2,0)㊂设P (x ,y ),ңO P =(x ,y ),故(x ,y )=α(0,1)+β(2,0)=(2β,α),x =2β,y =α{,α+β=12x +y ㊂设z =12x +y ,则y =-12x +z ,所以z 是直线y=图3-12x +z 在y 轴上的截距㊂由图3可以看出,当该直线经过点B (1,1)时,它在y 轴的截距z 最大,最大值为32,所以α+β的最大值是32㊂因为四边形O A B C 是边长为1的正方形,所以可考虑建立平面直角坐标系,然后再利用向量的坐标表示求解㊂选择以O 为原点,O A ,O C 所在直线分别为x轴㊁y 轴建立平面直角坐标系,这时可求出ңO C =(0,1),ңO D =(2,0),设P (x ,y ),根据已知条件可得(x ,y )=(2β,α),所以可用x ,y 表示α,β,并得到α+β=12x +y ,这样求12x +y 的最大值即可㊂而x ,y 的取值范围便是әB C D 上及其内部,所以可想着用线性规划的知识求解㊂所以设z =12x +y ,则y =-12x +z ,所以z 表示直线y =-12x +z 在y 轴上的截距,要求α+β的最大值,只需求截距z 的最大值即可,而通过图3可看出当该直线过B 点时截距最大,所以将B 点坐标代入直线方程,即可得到z 的最大值,即α+β的最大值㊂题型2 求最值例2 在әA B C 中,D 为B C 边的中点,H 为A D的中点,过点H 作一直线MN 分别交A B ,A C 于点M ,N ,如图4所示,若ңAM =ңxA B ,ңA N =y ңA C ,则x +4y 的最小值是( )㊂㊃13㊃新课程教学2019年第4期图4A.94B .2C .3 D.1解析 利用条件中的向量关系得ңAH =12ңA D且ңA D =12(ңA B +ңA C ),所以ңAH =14(ңA B +ңA C ),因为ңAM =ңxA B ,ңA N =y ңA C ,所以ңAH =ңm xA B +n y ңA C ,由平面向量基本定理可得m x =14,n y =14ìîíïïïï,⇒m =14x ,n =14yìîíïïïï,由m +n =1⇒14x +14y=1,所以x +4y =(x +4y )14x +14æèçöø÷y =141+4+4y x +x æèçöø÷y ,而4y x +x y ȡ24y x ㊃x y =4,所以x +4y ȡ94,故选A ㊂若要求出x +4y 的最值,则需从已知条件中得到x ,y 的关系㊂由M ,H ,N 共线可想到等和线定理,所以ңAH =ңmAM +ңnA N ,其中m +n =1,主要考虑将m ,n 的关系转化为x ,y 的关系,借助均值定理求得最值㊂题型3 模的求解问题例3 已知在әA B C 中,O 为әA B C 的外心,|A B |=16,|A C |=102,ңA O =ңxA B +y ңA C ,且32x +25y =25,则|ңA O |=㊂解析 通过观察条件发现很难利用几何知识直接求|ңA O |,从而考虑利用计算数量积ңA O 2,那么如何利用32x +25y =25这个条件呢?对于已知ңA O =ңxA B +y ңAC 可以考虑等式两边对同一向量作数量积,从而得到关于x ,y 的实数方程㊂由于O 是外心,进而O 在A B ,A C 上的投影为各边的中点,所以可用数量积的投影定义计算ңA B ㊃ңA O ,ңA C ㊃ңA O ㊂由ңA O =ңxA B +y ңA C ,可得ңA O ㊃ңA O =ңxA B ㊃ңA O +y ңA C ㊃ңA O ,(1)因为ңA O 在ңA B 上的投影向量为ңAM (M 为A B 中点),故ңA B ㊃ңA O =|ңAM ||ңA B |=12|ңA B |2=128㊂同理ңA O 在ңA C 上的投影向量为ңA N (N 为A C 中点),则ңA C ㊃ңA O =|ңA N ||ңA B |=12|ңA C |2=100㊂所以式(1)变形为ңA O 2=128x +100y =4(32x +25y )=100,所以|ңA O |=10㊂对于形如ңA O =ңxA B +y ңA C ,若想得到关于x ,y 的方程,可以考虑对同一向量作数量积即可㊂题型4 变量求值例4 已知O 是әA B C 外接圆的圆心,A ㊁B ㊁C 为әA B C 的内角,若c o s B s i n C ңA B +c o s C s i n BңA C =2m ㊃ңA O ,则m 的值为( )㊂A.1 B .s i n A C .c o s A D.t a n A 解析 由c o s B s i n C ңA B +c o s C s i n B ңA C =2m ㊃ңA O 可得c o s B s i n C ңA B ㊃ңA O +c o s C s i n B ңA C ㊃ңA O =2m ㊃ңA O 2(2)因为O 是外心,所以ңA B ㊃ңA O =12|A B |2,ңA O ㊃ңA C =12|A C |2㊂所以式(2)变形为12|ңA B |2c o s B s i n C +12|ңA C |2c o s Cs i n B=2m ㊃ңA O 2㊂在әA B C 中,设外接圆半径为R ,即R =|ңA O |,且|A B |=2R ㊃s i n C ,|A C |=2R ㊃s i n B ㊂ 所以式(2)变形为12(2R s i n C )2c o s B s i n C +12(2R s i n B )2c o s C s i n B=2m ㊃R 2,解得s i n C c o s B +s i n B c o s C =m ㊂所以m =s i n (B +C )=s i n (π-A )=s i n A ,故选B ㊂本题所求与等式中的系数m 相关,O 是外心,所以O 在A B ,A C 上的投影为两边中点,考虑等式两边同时乘ңA O ,再结合正弦定理变形等式即可㊂㊃23㊃。
微专题之等和线知识讲解
O微专题之平面向量基本定理系数的等和线【适用题型】在平面向量基本定理的表达式中，研究两系数的和差及线性表达式的范围与最值。
【基本定理】（一） 平面向量共线定理已知OA OB OC λμ=+，若1λμ+=，则,,A B C 三点共线；反之亦然（二） 等和线平面内一组基底,OA OB 及任一向量OP ，(,)OP OA OB R λμλμ=+∈，若点P 在直线AB 上或者在平行于AB 的直线上，则k λμ+=（定值），反之也成立，我们把直线AB 以及与直线AB 平行的直线称为等和线。
（1） 当等和线恰为直线AB 时，1k =；（2） 当等和线在O 点和直线AB 之间时，(0,1)k ∈；（3） 当直线AB 在点O 和等和线之间时，(1,)k ∈+∞；（4） 当等和线过O 点时，0k =；（5） 若两等和线关于O 点对称，则定值k 互为相反数；【解题步骤及说明】1、 确定等值线为1的线；22、 平移（旋转或伸缩）该线，结合动点的可行域，分析何处取得最大值和最小值；3、 从长度比或者点的位置两个角度，计算最大值和最小值；说明：平面向量共线定理的表达式中的三个向量的起点务必一致，若不一致，本着少数服从多数的原则，优先平移固定的向量；若需要研究的两系数的线性关系，则需要通过变换基底向量，使得需要研究的代数式为基底的系数和。
【典型例题】例1、 给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ，它们的夹角为0120，如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动。
若OC xOA yOB =+，其中,x y R ∈，则x y +的最大值是__________。
跟踪练习：已知O 为ABC ∆的外心，若1cos 3ABC ∠=，AO AB AC λμ=+，则λμ+的最大值为_______A 例2、在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，两定点,AB 满足||||2OA OB OA OB ==⋅=，则点集{|,||||1,,}P OP OA OB R λμλμλμ=++≤∈所表示的区域面积为__________________.例3、如图，在扇形OAB 中，060AOB ∠=，C 为弧AB 上不与,A B 重合的一个动点， OC xOA yOB =+，若u x y λ=+ (0)λ>存在最大值，则λ的取值范围为__________.跟踪练习：在正方形ABCD 中，E 为BC 中点，P 为以AB 为直径的半圆弧上任意一点，设AE xAD y AP =+，则2x y +的最小值为_____________.【强化训练】1、在正六边形ABCDEF 中，P 是三角形CDE 内（包括边界）的动点，设AP xAB y AF =+，则x y + 的取值范围__________.2、如图，在平行四边形ABCD 中，,M N 为CD 边的三等份点，S 为,AM BN 的交点，P 为边AB 上的一动点，Q 为SMN ∆内一点（含边界），若PQ xAM yBN =+，则x y +的取值范围__________.3、设,D E 分别是ABC ∆的边AB ，BC 上的点，12AD AB =，23BE BC =，若12DE AB AC λλ=+A C（12,λλ为实数），则12λλ+的值为_____________.4、梯形ABCD 中，AD AB ⊥，1AD DC ==，3AB =，P 为三角形BCD 内一点（包括边界），AP xAB y AD =+，则x y +的取值范围__________.5、已知||1,||3OA OB ==，0OA OB ⋅=，点C 在AOB ∠内，且030AOC ∠=，设OC mOA nOB =+，则m n的值为____________. 6、在正方形ABCD 中，E 为AB 中点，P 为以A 为圆心，AB 为半径的圆弧上的任意一点，设AC xDE y AP =+，则x y +的最小值为_____________.7、已知||||1OM ON ==，(,OP xOM yON x y =+为实数）。
平面向量的等和线、等差线、等积线、等商线等
平面向量基本定理系数的等值线法一、适用题型在平而向量搖本崖理的表达式中.若需研究两系数的和差积商、线性表达式及平方和时.可以用等值线法・二基本理论（一）平面向*共线定理已知鬲=久西+“況.若久十“ = I, UIUB.C三点共线：反之亦然（二）等和线平面内一俎慕底oNoS及任一向量亦.亦二人花+ 〃亦（人若 0 P在直线朋上或在平行于肋的直线上，则2+“ =尿定值）仮Z也成孙我们把直线*〃以及与宜线.4B 平行的直线成为等和线。
（1）当等和线恰为直线时.A=l：⑵ 当等和线在O点和直线朋之间时.仁（0,1）；（3）当住线M在O点和等和线之间时"＜仏+00）；（4＞当等和线过O点时.^ = 0；（5）若两等和线关于O点对称.则左值《互为相反数：（6）泄值人-的变化与等和线到O点的師离成正比：（三）等差仪平面内一组慕底OA,OB及任一向量帀・帀“鬲+ “亦亿C为线段的中点.若点P在直线0C上或在平行于CC的買线上.则八戸=灿上值八反Z也成匕我们把fL线"以及线OC半行的直线称为等差线.（1）当等荃线恰为直线OC时，A=0：（2）斗等差线过X点时.A=l：（4）当等差线与阳延长线相交时.2（1卄8）；⑶ 当等差线在直线0C与点/之何时.JtG（0,l）:（5＞若两等差线关于直线OC对称.则两足为相反数:（四）等积线平面内一组基底OA.OBJ^任一向&OP ・ 丽=几刃+ “亦（入“wR ）・若 点P 在以苴线OA.OB 为渐近线的女曲线上.则“为足值I 反Z 也成必 我们 把以直线OA.OB 为渐近线的双曲线称为%积线（1） 当双曲线有一支金厶103内时，k>0t（2） 当双曲线的两支都不在乙4OB 内时.X <0：（3） 特别的.若tU=（a 上讥加= （“,"），点P 住双曲线（五）等商线点P 在过O 点（不与0/1重合〉的直线上，则虫=川定值），反之也成立。
向量压轴专题之等和线的应用(mathtype WORD精编版)
向量压轴专题之等和线的应用一. 等和线知识介绍如图所示，,OA OB 不共线，由平面向量基本定理，OP OA OB λμ=+，当点P 在直线AB 上时，1λμ+=；当点P 不在直线AB 上时，可以过点P 作直线AB 的平行线，且与OA ，OB 所在的直线分别交于M ，N 两点，则由三点P ，M ，N 共线，不难得出：OP xOM yON =+，且x ＋y ＝1，又由平行线分线段成比例定理，得：,OM kOA ON kOB ==，其中OMk OA=则OP xOM yON kxOA kyOB =+=+，即λ＝kx ，μ＝ky ，故λ＋μ＝k (x ＋y )＝k . 把过点P 作直线AB 的平行线MN 称为等和线．等和线的相关结论(1)当等和线恰为直线AB 时，k ＝1；(2)当等和线在点O 和直线AB 之间时，k ∈(0,1)； (3)当直线AB 在点O 和等和线之间时，k ∈(1，＋∞)； (4)当等和线过点O 时，k ＝0；(5)如图所示的情况下，当MN 向右上角平移的过程中，k 值在逐渐变大二. 标准的等和线问题对于标准的等和线问题，题目中一般涉及到这样的条件和问题，OP OA OB λμ=+(三个向量共起点)，求λμ+(后面两个向量的系数和)的值或者范围.解题流程如下：(1)连接AB (后面两个共起点向量的终点)与OP 交于点Q ；(2)判断动点在什么位置时取最大或者最小值(利用等和线相关结论的第5个)(3)求出OPOQ的值(通常根据平行线构造“A ”字型或“8”字型相似求解)首先我们来看看标准的等和线求值问题：(2020 成都期末统考 15)在矩形ABCD 中，已知,E F 分别是,BC CD 上的点，且满足BE EC =，2CF FD =. 若(),AC AE AF R λμλμ=+∈，则λμ+的值为________.【答案】75【解析】法一：向量转化(非边长转边长)12AE AB BE AB AD =+=+，13AF AD DF AB AD =+=+ 故132AC AE AF AB AD μλμλλμ⎛⎫⎛⎫=+=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又AC AB AD =+故13112μλλμ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，解得4535λμ⎧=⎪⎨⎪=⎩故75λμ+=法二：等和线如图所示，根据等和线解题流程首先连接EF 交AC 于点H ，则ACAHλμ+=接下来重点思考如何求出该比例，从利用平行线构造相似入手，我们发现利用//CF AB 可以构造一个“8”字型相似，故延长FE 交AB 于点GHFE DCBA利用CE EB =易得CF BG =，故25CF AG = 故75AC AH =，故75λμ+= 【点评】方法一利用传统的向量转化思想，一般是将非边长向量转成边长向量，然后建立方程求解；方法二是利用等和线进行求解，难点在于利用平行线构造相似求解比例接下来我们看看标准等和线的求范围问题：(2017 全国3卷 12)在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP AB AD λμ=+，则λμ+的最大值为( )A ．3B ．22C ．5D ．2 【答案】A【解析】 如图，由等和线定理可知， 当等和线l 与圆相切时，λ＋μ最大，此时λ＋μ＝AF AB ＝AB ＋BE ＋EF AB ＝3AB AB＝3，故选A ．【点评】本题是2017年全国卷3的第12题，如果用常规方法可以考虑建系，求出圆的方程，然后利用圆的参数方程设出P 的坐标，然后通过向量的坐标运算反解出λ和μ，最后将λμ+用三角函数表示出来，利用辅助角求出其最值，有一定的分析难度和计算量；如果用等和线可以快速判断出取得最值的位置，然后通过平行线截线段成比例求出最值，显得尤为简单如图，在边长为2的正六边形ABCDEF 中，动圆Q 的半径为1，圆心在线段CD (含端点)上运动，P 是圆Q 上及其内部的动点，设向量AP mAB nAF =+(m ，n 为实数)，则m ＋nGHAB CDEF的取值范围是( )A ．(1,2]B ．[5,6]C ．[2,5]D ．[3,5]【答案】C【解析】随着动点圆心Q 在线段CD (含端点)上运动，点P 的运动区域为阴影部分所示，如图所示．作直线BF 的平行线l ，使得l 与阴影区域有公共点，离BF 最近的直线l 记为P 1G (P 1为l 与圆C 的切点，G 为l 与直线AB 的交点)，离BF 最远的直线l 记为P 2H (P 2为l 与圆D 的切点，H 为l 与直线AB 的交点)．设AP 1→＝mAB →＋nAF →，由等和线结论，m ＋n ＝AG AB ＝2AB AB ＝2.此为m ＋n 的最小值．设AP 2→＝mAB →＋nAF →，由等和线结论，m ＋n ＝AH AB ＝5.此为m ＋n 的最大值． 综上可知，m ＋n ∈[2,5]．【点评】利用等和线性质5找到最大值和最小值的位置，然后利用平行线截线段成比例求出最值(2021 绵阳三诊 12)已知点F 为抛物线2:4E x y =的焦点，()0,2C -，过点F 且斜率为1的直线交抛物线于,A B 两点，点P 为抛物线上任意一点，若CP mCA nCB =+，则m n +的最小值为( ) A.13B. 12C. 23D. 34【答案】A【解析】根据等和线的几何意义， 连接CP 与AB 交于点Q ，则CP m n CQ +=，需要判断CPCQ何时最小 可以过点P 作直线AB 的平行线， 过C 点作AB 的平行线， 根据平行线截线段成比例，当过P 点的平行线越往右下角移动时，比例越小，极端位置为相切 求导易得此时的切线方程为1y x =- 根据平行线截线段成比例易求出最小值为13三. 等和线的常见变形问题(三向量不共起点)如果所给的平面向量基本定理的三个向量不共起点，则需要将其中不共起点的向量平移至共起点，然后再用等和线去解答，我们来看一个例题：如图，在正方形ABCD 中，M ，N 分别是BC ，CD 的中点，若AC AM BN λμ=+，则______.λμ+=【答案】85【解析】将向量BN 平移至AE ，则AC AM AE λμ=+ 根据等和线解题步骤，连接EM 与AC 交于点F ，则ACAFλμ+=考虑利用平行线截线段成比例，故延长EM 交AB 于点G ，则3BG EC ==GFEDC MBA故35CF EC FA AG ==，则85AC AF λμ+== (2018 成都高二期末零诊理 16)在平面直角坐标系xOy 中，已知点P在曲线):0y x Γ=≥上，曲线Γ与x 轴的相交于点B ，与y 轴相交于点C ，点()2,1D 和点()1,0E 满足(),OD CE OP R λμλμ=+∈，则λμ+的最小值为________.【答案】12【解析】将CE 平移到起点为O ，利用等和线直接判断当P 点与B 点重合时，λμ+最小，计算可得最小值为12在正方形ABCD 中，E 为AB 中点，P 以A 为圆心，AB 为半径的圆弧上的任意一点，设AC xDE y AP =+，则x y +的范围是_______.【答案】1,52⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】如图所示AC xDE y AP xAF y AP =+=+ 由等和线的几何意义可知， 当P 与D 重合时，x y +最大，为51AC AG =(根据相似计算) 当P 与B 重合时，x y +最小，为21AE AB= (2019 成都期末统考 10)如图，在正方形ABCD 中，F 是边CD 上靠近D 点的三等分点，连接BF 交AC 于点E ，若BE mAB nAC =+，则m n +的值是( )A. 15- B. 15 C. 25- D. 25【答案】C【解析】在下侧补一个正方形，则BE mAB nAC mBG nBH =+=+EFD CBAFDA连接GH 与BE 交于点I ，则BE m n BI+=-根据相似可得35BG FH =，32BE EF =，给322535BE BI ⨯==，故25m n +=-四. 等和线的常见变形问题(系数不匹配)如果所给的平面向量基本定理的向量的系数与所求系数和不匹配，则需要将所给向量的系数按照所求系数进行转化，使之相等，然后再按照等和线进行求解，我们来看一个例题：如图，在扇形OAB 中，3AOB π∠=，C 为弧AB 上的动点，若OC xOA yOB =+，则3x y+的取值范围是 ．【答案】[]1,3【解析】33'3OBOC xOA y xOA y OB =+⋅=+⋅， 其中'B 点为OB 的三等分点，如图所示 显然，当C 在A 点时，3x y +有最小值为1； 当C 在B 点时，，3x y +有最大值为3 故取值范围为[]1,3在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别为边BC ，CD 的中点，若AB x AE y AF =+，则_____.x y -=【答案】2【解析】AB xAE y AF xAE y AH =+=-连接EH 交AB 于点G ，则ABx y AG-=延长HI 交EB 的延长线与J ，则13BG BE HJ EJ ==故12BG IJ =，故G 为AB 中点，故2AB x y AG -==五.小结从以上例题可以看出，等和线用于求值时，和常规方法难度差不了太多，熟悉等和线之后关键在于利用平行线截线段成比例去求值，如果初中平面几何学的不错的同学，用此方法还是要更快一些，但是等和线用于求范围问题，通常会显得很简单，而此类题目又往往出现在压轴位置，因此掌握好等和线还是非常有必要的。
平面向量的线性运算与应用
平面向量的线性运算与应用平面向量的线性运算是指对向量进行加法和数乘的操作，而其应用则包括向量的投影、求模、夹角等。
本文将从简单的概念出发，逐步介绍平面向量的线性运算和其应用。
一、平面向量的加法平面向量的加法是指将两个向量相加得到一个新的向量的操作。
设有平面向量a(a_1, a_1)和a(a_2, a_2)，则它们的和向量为a+a=(a_1+a_2, a_1+a_2)。
二、平面向量的数乘平面向量的数乘是指将一个向量乘以一个实数得到一个新的向量的操作。
设有平面向量a(a, a)和实数a，则它们的数乘为aa=(aa, aa)。
三、平面向量的投影平面向量的投影是指将一个向量投影到另一个向量上的操作，得到一个新的向量。
设有平面向量a和向量a，它们的投影记作aaaa_aa。
投影的计算公式为aaaa_aa=(a·a/a·a)a，其中a·a表示向量a和a的数量积，a·a表示向量a的模的平方。
四、平面向量的模平面向量的模是指向量的长度，也可以看作是向量的大小。
设有平面向量a(a, a)，它的模记作|a|，计算公式为|a|=√(a^2+a^2)。
五、平面向量的夹角平面向量的夹角是指两个向量之间的角度。
设有平面向量a和a，它们的夹角记作a，计算公式为cos a=(a·a)/(a的模×a的模)。
六、平面向量的应用平面向量的线性运算和应用在数学和物理中有着广泛的应用。
例如，在几何中，我们可以利用向量的线性运算来求解平面的交点、线段的长度等问题；在物理中，我们可以利用向量的运算来描述力的合成、速度的方向等问题。
总结：平面向量的线性运算包括加法和数乘，加法是将两个向量相加得到一个新的向量，数乘是将一个向量乘以一个实数得到一个新的向量。
此外，平面向量还可以进行投影、求模和夹角等操作。
平面向量的应用广泛，包括几何和物理等领域。
通过学习和理解平面向量的线性运算和应用，我们可以更加准确地描述和解决各种数学和物理问题。
微专题之等和线
O微专题之平面向量基本定理系数的等和线【适用题型】在平面向量基本定理的表达式中，研究两系数的和差及线性表达式的范围与最值。
【基本定理】（一） 平面向量共线定理已知OA OB OC λμ=+，若1λμ+=，则,,A B C 三点共线；反之亦然 （二） 等和线平面内一组基底,OA OB 及任一向量OP ，(,)OP OA OB R λμλμ=+∈，若点P 在直线AB 上或者在平行于AB 的直线上，则k λμ+=（定值），反之也成立，我们把直线AB 以及与直线AB 平行的直线称为等和线。
（1） 当等和线恰为直线AB 时，1k =；（2） 当等和线在O 点和直线AB 之间时，(0,1)k ∈； （3） 当直线AB 在点O 和等和线之间时，(1,)k ∈+∞； （4） 当等和线过O 点时，0k =；（5） 若两等和线关于O 点对称，则定值k 互为相反数；【解题步骤及说明】1、 确定等值线为1的线；22、 平移（旋转或伸缩）该线，结合动点的可行域，分析何处取得最大值和最小值；3、 从长度比或者点的位置两个角度，计算最大值和最小值；说明：平面向量共线定理的表达式中的三个向量的起点务必一致，若不一致，本着少数服从多数的原则，优先平移固定的向量；若需要研究的两系数的线性关系，则需要通过变换基底向量，使得需要研究的代数式为基底的系数和。
【典型例题】例1、 给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ，它们的夹角为0120，如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动。
若OC xOA yOB =+，其中,x y R ∈，则x y +的最大值 是__________。
跟踪练习：已知O 为ABC ∆的外心，若1cos 3ABC ∠=，AO AB AC λμ=+，则λμ+的最大值为_______A例2、在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，两定点,A B 满足||||2OA OB OA OB ==⋅=，则点集{|,||||1,,}P OP OA OB R λμλμλμ=++≤∈所表示的区域面积为__________________.例3、如图，在扇形OAB 中，060AOB ∠=，C 为弧AB 上不与,A B 重合的一个动点，OC xOA yOB =+，若u x y λ=+ (0)λ>存在最大值，则λ的取值范围为__________.跟踪练习：在正方形ABCD 中，E 为BC 中点，P 为以AB 为直径的半圆弧上任意一点，设AE xAD yAP =+，则2x y +的最小值为_____________.【强化训练】1、在正六边形ABCDEF 中，P 是三角形CDE 内（包括边界）的动点，设AP xAB yAF =+，则x y + 的取值范围__________.2、如图，在平行四边形ABCD 中，,M N 为CD 边的三等份点，S 为,AM BN 的交点，P 为边AB 上的一动点，Q 为SMN ∆内一点（含边界），若PQ xAM yBN =+，则x y +的取值范围__________.3、设,D E 分别是ABC ∆的边AB ，BC 上的点，12AD AB =，23BE BC =，若12DE AB AC λλ=+AC4、梯形ABCD 中，AD AB ⊥，1AD DC ==，3AB =，P 为三角形BCD 内一点（包括边界），AP xAB yAD =+，则x y +的取值范围__________.5、已知||1,||3OA OB ==，0OA OB ⋅=，点C 在AOB ∠内，且030AOC ∠=，设O C m O A n O B=+，则mn的值为____________. 6、在正方形ABCD 中，E 为AB 中点，P 为以A 为圆心，AB 为半径的圆弧上的任意一点，设AC xDE yAP =+，则x y +的最小值为_____________.7、已知||||1OM ON ==，(,OP xOM yON x y =+为实数）。