2019年北京市首师大附中高考数学一模试卷(理科)
2019北京一模数学试题汇编--复数算法集合简易逻辑推理与证明平面几何坐标系与参数方程11页word
平面几何1. （崇文·理·题3）已知PA 是O e 的切线，切点为A ，2PA =，AC 是O e 的直径，PC 交O e 于点B ，30PAB ∠=o ，则O e 的半径为 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．23 【解析】 C ；30,23,tan30PAPCA PAB CA ∠=∠===o o于是圆的半径为3．2. （东城·理·题3） 如图，已知AB 是⊙O 的一条弦，点P 为AB 上一点，PC OP ⊥，PC 交⊙O 于C ，若4AP =，2PB =，则PC 的长是（ ）A ．3B ．22C ．2D ．2 【解析】 B ；延长CP 交于圆上一点，得到一条圆的弦，易知P 点为该弦的中点，有28PC PA PB =⋅=． 3. （丰台·理·题9）在平行四边形ABCD 中，点E 是边AB 的中点，DE 与AC 交于点F ，若AEF ∆的面积是12cm ，则CDF ∆的面积是 2cm ． 【解析】 4；取CD 的中点G ，连结BG 交AC 于H ，则∵BE DG ∥且1122BE AB CD DG ===，∴四边形BEDG 为平行四边形 ∴AF FH HC == ∴44DFC AEF S S ==△△4. （海淀·理·题10） 如图，AB 为O e 的直径，且8AB =，P 为OA 的中点，过P 作O e 的弦CD ，且:3:4CP PD =，则弦CD 的长度为 ． 【解析】 7；由8AB =得2,6AP PB ==．由已知和相交弦定理得 :3:4CP PD AP PB CP PD ⋅=⋅⎧⎨=⎩，解得34CP PD =⎧⎨=⎩． 于是347CD CP PD =+=+=．5. （石景山·理·题10）已知曲线C 的参数方程为cos ,2sin ,x y θθ=⎧⎨=-+⎩()θ为参数，则曲线C 的普通方程是 ；点A 在曲线C 上，点(,)M x y 在平面区域22020210x y x y y -+⎧⎪+-⎨⎪-⎩≥≤≥上，则AM 的最小值是 ．【解析】22(2)1x y ++=，32； C 是圆22(2)1x y ++=；不等式组的可行域如图阴影所示，A 点为(0,1)-、M 为10,2⎛⎫⎪⎝⎭时，||AM 最短，长度是32．6. （西城·理·题12） 如图，PC 切O e 于点C ，割线PAB 经过圆心O ，弦CD AB ⊥于点E ．已知O e 的半径为3，2PA =，则PC = ．OE = ．【解析】 94,5；22(26)164PC PA PB PC =⋅=⨯+=⇒=；连结OC ，知OC PC ⊥，于是5PO =，2239235CO OE OP PE =⋅⇒==+．7. （宣武·理·题11）若,,A B C 是O ⊙上三点，PC 切O ⊙于点C ，110,40ABC BCP ∠=︒∠=︒，则AOB ∠的大小为 ．【解析】 60︒；如图，弦切角40PCB CAB ∠=∠=︒，于是18030ACB CAB ABC ∠=︒-∠-∠=︒，从而260AOB ACB ∠=∠=︒． 8. （朝阳·理·题12）如图，圆O 是ABC ∆的外接圆，过点C 的切线交AB 的延长线于点D ，27,3CD AB BC ===，则BD 的长为 ；AC 的长为 ． 【解析】 374,． ()24CD DB DA DB AB BD BD =⋅=⋅+⇒=．又由DCB CAB ∠=∠知BCD ACD ∆≅∆．于是BC BD CDAC CD AD==． 即33727BD AC AC CD ==⇒=． 9. （西城·理·题12） 如图，PC 切O e 于点C ，割线PAB 经过圆心O ，弦CD AB ⊥于点E ．已知O e 的半径为3，2PA =，则PC = ．OE = ．【解析】 94,5；22(26)164PC PA PB PC =⋅=⨯+=⇒=；连结OC ，知OC PC ⊥，于是5PO =，2239235CO OE OP PE =⋅⇒==+．坐标系与参数方程1. （海淀·理·题4）在平面直角坐标系xOy 中，点P 的直角坐标为()1,3．若以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P 的极坐标可以是（ ）A ．π1,3⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．4π2,3⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．π2,3⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．4π2,3⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】 C ；易知()22132ρ=+-=，()π2π3k k θ=-∈Z ． 2. （朝阳·理·题9）已知圆的极坐标方程为2cos ρθ=，则圆心的直角坐标是 ；半径长为 ． 【解析】 ()1,0,1；由22cos ρρθ=，有222x y x +=，即圆的直角坐标方程为()2211x y -+=．于是圆心坐标为()1,0，半径为1．3. （崇文·理·题11）将参数方程12cos ,2sin ,x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）化成普通方程为 ．【解析】 ()2214x y -+=；由12cos ,2sin x y θθ-==知()2214x y -+=．4. （石景山·理·题11）如图，已知PE 是圆O 的切线．直线PB 交圆O 于A 、B 两点，4PA =，12AB =，43AE =．则PE 的长为_____，ABE ∠的大小为________． 【解析】 8，30︒；24(412)64PE PA PB =⋅=⨯+=，则8PE =；由222PE PA AE =+，可知90PAE ∠=︒，即90BAE ∠=︒，由3tan AE ABE AB ∠=，得30ABE ∠=︒． 5. （西城·理·题11）将极坐标方程2cos ρθ=化成直角坐标方程为 ． 【解析】2220x y x +-=； 2222cos 2x y x ρρθ=⇒+=．6. （东城·理·题12）圆的极坐标方程为sin 2cos ρθθ=+，将其化成直角坐标方程为 ，圆心的直角坐标为 ．【解析】 2215(1)()24x y -+-=，11,2⎛⎫⎪⎝⎭；222sin 2cos 2x y y x ρρθρθ=+⇒+=+．7. （东城·理·题12）圆的极坐标方程为sin 2cos ρθθ=+，将其化成直角坐标方程为 ，圆心的直角坐标为 ．【解析】 2215(1)()24x y -+-=，11,2⎛⎫⎪⎝⎭；222sin 2cos 2x y y x ρρθρθ=+⇒+=+．8. （宣武·理·题12）若直线:30l x =与曲线2:2x a C y φφ⎧=⎪⎨=⎪⎩（φ为参数，0a >）有两个公共点,A B ，且||2AB =，则实数a 的值为 ；在此条件下，以直角坐标系的原点为极点，x 轴正方向为极轴建立坐标系，则曲线C 的极坐标方程为 ．【解析】22,4cos 20ρρθ-+=； 曲线C ：22()2x a y -+=，点C 到l 的距离为221(3)a=+，因此2||22222a AB a ⎛⎫=-=⇒= ⎪⎝⎭；222(2cos )(2sin )(2)ρθθ-+=，即24cos 20ρρθ-+=．9. （丰台·理·题12）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为11x y t =⎧⎨=+⎩（参数t ∈R ），圆C 的参数方程为cos 1sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（参数[)0,2πθ∈），则圆心到直线l 的距离是 ． 【解析】 2；直线方程为1y x =+，圆的方程为()2211x y -+=．于是圆心()1,0到直线10x y -+=的距离为2．复数1. （海淀·理·题1）在复平面内，复数1iiz =-（i 是虚数单位）对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【解析】 C ；()()1i 1i i 1i iz -==--=--，该复数对应的点位于第三象限．2. （丰台·理·题1）如果1i1ia z a -=+为纯虚数，则实数a 等于（ ）A ．0B ．1-C ．1D ．1-或1 【解析】 D ；设i z x =，0x ≠则1ii 1i a x a -=+()1i 0ax a x ⇔+-+=100ax a x +=⎧⇔⎨+=⎩11a x =⎧⇔⎨=-⎩或11a x =-⎧⎨=⎩．3. （石景山·理·题1）复数21i+等于（ ）A ．2i -B ．2iC ．1i -D ．1i +【解析】 C ；22(1i)2(1i)1i 1i (1i)(1i)2--===-++-． 4. （东城·理·题1）i 是虚数单位，若12ii(,)1ia b a b +=+∈+R ，则a b +的值是（ ）A ．12-B ．2-C ．2D ．12【解析】 C ；12i (12i)(1i)3i 1i (1i)(1i)2++-+==++-，于是31222a b +=+=． 5. （朝阳·理·题1）复数112i i ++等于 （ ）A ．12i +B ．12i -C ．12-D ．12【解析】 D ；计算容易有1i 11i 22+=+．6. （海淀·文·题1）在复平面内，复数()i 1i -（i 是虚数单位）对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【解析】 A ；()i 1i 1i -=+，对应的点为()1,1位于第一象限．7. （丰台·文·题1）复数1i1iz -=+化简的结果等于（ ）A ．i -B ．iC ．2i -D ．2i 【解析】 A ；1i1i z -=+()()()21i 2i i 1i 1i 2--===-+-． 8. （石景山·文·题1）复数21i+等于（ ）A ．2i -B ．2iC ．1i -D ．1i + 【解析】 C ；22(1i)2(1i)1i 1i (1i)(1i)2--===-++-． 9. （东城·文·题1）计算复数1i1i-+的结果为（ ）A ．i -B ．iC ．1-D ．1 【解析】 A ；21i (1i)i 1i 2--==-+． 10. （朝阳·文·题1）复数22(1)i i +等于 （ ）A ．2B ．-2C ．2i -D ．2i 【解析】 C ； ()221221i ii i +==--．11. （宣武·理·题3）若复数z 满足2i 1iz=+，则z 对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解析】 B ；2i(1i)22i z =+=-+． 12. （宣武·文·题4）设i 是虚数单位，则复数(1i)2i z =+⋅所对应的点落在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【解析】 B ；22i z =-+． 13. （西城·文·题9）i 是虚数单位，1i 1i +=+ ．【解析】 11i 22+；11i 1ii i 1i 22-++=+=+． 14. （西城·理·题9）若(2i)i i a b -=+，其中,a b ∈R ，i 为虚数单位，则a b += ． 【解析】 3；2i i a b +=+1,2a b ⇒==．15. （崇文·理·题9）如果复数()()2i 1i m m ++（其中i 是虚数单位）是实数，则实数m =___________． 【解析】 1-；()()()()223i 1i 1m m m m i m ++=-++．于是有3101m m +=⇒=-．16. （崇文·文·题10）如果复数()()2i 1i m m ++（其中i 是虚数单位）是实数，则实数m =___________． 【解析】 -1；()()()()223i 1i 1m m m m m i ++=-++．于是有3101m m +=⇒=-．算法1. （丰台·文·题3）在右面的程序框图中，若5x =，则输出i 的值是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 【解析】 C ；51337109325→→→→，对应的4i =． 2. （石景山·理·题4）一个几何体的三视图如图所示，那么此几何体的侧面积（单位：2cm ）为（ ） A ．80 B ．60 C ．40 D ．20【解析】 A ；几何体如图，是正四棱锥，底边长8，侧面底边上的高为5，因此侧面积为1854802⨯⨯⨯=． 3. （西城·理·题5）阅读右面的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（ ）A ．1321B ．2113C ．813D ．138【解析】 D ；1,1,220x y z ===<；1,2,320x y z ===<；L ，8,13,2120x y z ===>，故输出138．4. （东城·理·题5）如图是一个算法的程序框图，若该程序输出的结果为45，则判断框中应填入的条件是（ ）A ．4?T >B ．4?T <C ．3?T >D ．3?T < 【解析】 B ；循环一次得：12,1,2i T S ===；两次得：1123,2,263i T S ===+=；三次得：2134,3,3124i T S ===+=；四次得：3145,4,4205i T S ===+=，此时需要跳出循环，故填4?T <．5. （东城·文·题5）按如图所示的程序框图运算，若输入6x=，则输出k的值是（）A．3B．4C．5D．6【解析】B；6x=，0k=，13x=，1k=，27x=，2k=，55x=，3k=，111x=，4k=，111100x=>，跳出循环，输出4k=．6.（石景山·文·题6）已知程序框图如图所示，则该程序框图的功能是（）A．求数列1n⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和()n*∈NB．求数列12n⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和()n*∈NC．求数列1n⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前11项和()n*∈ND．求数列12n⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前11项和()n*∈N【解析】B注意n和k的步长分别是2和1．7.（西城·文·题6）阅读右面的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（）A．1321B．2113C．813D．138【解析】D；1,1,220x y z===<；1,2,320x y z===<；L，8,13,2120x y z===>，故输出138．8.（海淀·理科·题7）已知某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是（）A．1-B．1C．2D．1 2【解析】A；∵()20100mod3i==，∴对应的1a=-．9.（朝阳·文·题11）如图，下程序框图的程序执行后输出的结果是．【解析】55；i执行如图程序框图，输出S的值等于．【解析】20；运算顺序如下1,1,23,4,36,10,410,20,54A S i A S i A S i A S i===→===→===→===>，输出S ，故20S =．11. （崇文·理·题12）（崇文·文·题12）某程序框图如图所示，该程序运行后输出,M N 的值分别为 ． 【解析】 13，21；n n1 2 3 i2 3 4 M 2 5 13 N3 8 214次运行后43i =>，于是有13,21M N ==．12. （丰台·理·题13）在右边的程序框图中，若输出i 的值是4，则输入x 的取值范围是 ． 【解析】 (]2,4；∵328228x x ->⇔>，322810x x ->⇔>，32104x x ->⇔>，3242x x ->⇔>∴要使得刚好进行4次运算后输出的82x > ，则有24x <≤． 13. （朝阳·理·题13）右边程序框图的程序执行后输出的结果是 ． 【解析】 625； 将经过i 次运行后的,n S 值列表如下． i 1 2 3 4 5 ．．．m ．．． 25 n 3 5 7 9 11 21m + 51 S1 4 9 16 252m 625于是625S =．14. （海淀·文·题13）已知程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是_______________．【解析】 12；∵()202mod 3i ==，∴对应的12a =．集合简易逻辑推理与证明1. （崇文·文·题1） 已知全集U =R ，集合{}|12A x x =->，{}2|680B x x x =-+<，则集合()U A B =I ð （ ）A ．{}|14x x -≤≤B ．{}|23x x <≤C ． {}|23x x <≤D ．{}|14x x -<< 【解析】 D ；容易解得{3A x x x =>或者}0x <，{}26B x x =<<． 于是()U A B =I ð{}23x x <≤．2. （西城·理·题1）设集合{|1}P x x =>，2{|0}Q x x x =->，则下列结论正确的是（ ） A ．P Q = B ．P Q R =U C ．P Q Ü D ．Q P Ü 【解析】 C ；(1,)P =+∞，(,0)(1,)Q =-∞+∞U ．3. （宣武·理·题1）设集合20.3{|0},2P x x m =-=≤，则下列关系中正确的是（ ） A ．m P ⊂ B ．m P ∉ C ．{}m P ∈ D ．{}m P Þ 【解析】 D ；{|0P x x =≤≤，0.3022m <=<<，故m P ∈，因此{}m P Þ4. （崇文·理·题1）已知全集U =R ，集合{}|12A x x =->，{}2|680B x x x =-+<，则集合()U A B =I ð（ ） A ．{}|14x x -≤≤ B ．{}|14x x -<< C ．{}|23x x <≤ D ． {}|23x x <≤ 【解析】 D ；容易解得{3A x x x =>或者}0x <，{}26B x x =<<． 于是()U A B =I ð{}23x x <≤．5. （西城·文·题1）设集合{|1}P x x =>，{|(1)0}Q x x x =->，下列结论正确的是（ ） A ．P Q = B ．P Q R =U C ．P Q Ü D ．Q P Ü 【解析】 C ；(1,)P =+∞，(,0)(1,)Q =-∞+∞U ． 6. （宣武·文·题1）设集合{|4},sin 40A x x m ==︒≤，则下列关系中正确的是（ ） A ．m A ⊂ B ．m A ⊄ C ．{}m A ∈ D ．{}m A ∉【解析】 D ；正确的表示法，m A ∈，{}m A Þ，{}m A ∉．7. （东城·理·题2）设全集{33,}I x x x =-<<∈Z ，{1,2}A =，{2,1,2}B =--，则()I A B U ð等于（ ） A ．{1} B ．{1,2} C ．{2} D ．{0,1,2} 【解析】 D ；{2,1,0,1,2}I =--，{0,1}I B =ð，故(){0,1,2}I A B =U ð． 8. （石景山·文·题2）已知命题 :p x ∀∈R ，2x ≥，那么命题p ⌝为（ ） A ．,2x x ∀∈R ≤ B ．,2x x ∃∈<R C ．,2x x ∀∈-R ≤ D ．,2x x ∃∈<-R【解析】 B ；全称命题的否定是存在性命题，将∀改为∃，然后否定结论． 9. （东城·文·题2）设集合{1,2,4,6}A =，{2,3,5}B =，则韦恩图中阴影部分表示的集合（ ） A ．{2} B ．{3,5} C ．{1,4,6} D ．{3,5,7,8} 【解析】 B ；阴影部分表示{3,5}U A B =I ð． 10. （丰台·理·题2）设集合[)1{|(),0,}2x M y y x ==∈+∞，(]2{|log ,0,1}N y y x x ==∈，则集合M N U 是（ ）A ．[)(,0)1,-∞+∞UB ．[)0,+∞C ．(],1-∞D ．(,0)(0,1)-∞U【解析】 C ；(]0,1M =，(],0N =-∞，因此(],1M N =-∞U ．11. （石景山·理·题2）已知命题 :p x ∀∈R ，2x ≥，那么命题p ⌝为（ ） A ．,2x x ∀∈R ≤ B ．,2x x ∃∈<R C ．,2x x ∀∈-R ≤ D ．,2x x ∃∈<-R 【解析】 B ；全称命题的否定是存在性命题，将∀改为∃，然后否定结论． 12. （朝阳·文·题2）命题:0p x ∀>，都有sin 1x -≥，则 （ ） A ．:0p x ⌝∃>，使得sin 1x <- B ．:0p x ⌝∀> ，使得sin 1x <- C ．:0p x ⌝∃>，使得sin 1x >- D ．:0p x ⌝∀>，使得sin 1x -≥ 【解析】 A ； 由命题的否定容易做出判断． 13. （海淀·文·题7） 给出下列四个命题：①若集合A 、B 满足A B A =I ，则A B ⊆；②给定命题,p q ，若“p q ∨”为真，则“p q ∧”为真； ③设,,a b m ∈R ，若a b <，则22am bm <；④若直线1:10l ax y ++=与直线2:10l x y -+=垂直，则1a =． 其中正确命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【解析】 B ；命题①和④正确． 14. （丰台·文·题7）若集合{}0,1,2P =，10(,),,20x y Q x y x y P x y ⎧⎫-+>⎧⎪⎪=∈⎨⎨⎬--<⎩⎪⎪⎩⎭，则Q 中元素的个数是（ ）A ．3B ．5C ．7D ．9 【解析】 B ；(){},|12,,Q x y x y x y P =-<-<∈，由{}0,1,2P =得x y -的取值只可能是0和1．∴()()()()(){}0,0,1,1,2,2,1,0,2,1Q =，含有5个元素．15. （崇文·文·题8）如果对于任意实数x ，[]x 表示不超过x 的最大整数． 例如[]3.273=，[]0.60=． 那么“[][]x y =”是“1x y -<”的 ( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【解析】 A ；由[][][][]1,1x x x y y y <+<+≤≤．于是有[][]()[][]1111x y x y x y -=+<-<+-=-则1x y -<．不妨设33,24x y ==，于是3331424x y -=-=<．但是[][]1,0.x y ==16. （东城·文·题9）已知命题3:(1,),log 0p x x ∀∈+∞>，则p †为 ．第 11 页 【解析】 030(1,),log 0x x ∃∈+∞≤；全称命题的否定为存在命题．17. （宣武·文·题10）命题“任意常数列都是等比数列”的否定形式是 ．【解析】 存在一个常数列不是等比数列；全称命题的否定是存在性命题．18. （海淀·理·题11）给定下列四个命题：① “π6x =”是“1sin 2x =”的充分不必要条件； ② 若“p q ∨”为真，则“p q ∧”为真；③ 若a b <，则22am bm <；④ 若集合A B A =I ，则A B ⊆．其中为真命题的是 （填上所有正确命题的序号）．19. （海淀·理·题14）在平面直角坐标系中，点集(){}22,|1A x y x y =+≤， {(,)|4,0,340}B x y x y x y =-≤≥≥，则 ⑴点集(){}1111(,)3,1,,P x y x x y y x y A ==+=+∈所表示的区域的面积为_____； ⑵点集{}12121122(,),,(,),(,)Q x y x x x y y y x y A x y B ==+=+∈∈所表示的区域的面积为 ．【解析】 π；18π+．；⑴如左图所示，点集P 是以()3,1为圆心1为半径的圆，其表示区域的面积为π； ⑵如右图所示，点集Q 是由三段圆弧以及连结它们的三条切线段围成的区域，其面积为()1π433451π18π2OPQ OABP PCDQ OFEQ S S S S ++++=⨯⨯+++⨯+=+△． 20. （海淀·文·题14）在平面直角坐标系中，点集(){}22,|1A x y x y =+≤， (){},|11,11B x y x y =--≤≤≤≤，则 ⑴点集(){}1111(,)3,1,,P x y x x y y x y A ==+=+∈所表示的区域的面积为_____； ⑵点集{}12121122(,),,(,),(,)Q x y x x x y y y x y A x y B ==+=+∈∈所表示的区域的面积为 ．【解析】π，12π+； ⑴如左图所示，点集P 是以()3,1为圆心1为半径的圆，其表示区域的面积为π； ⑵ 如右图所示，点集Q 是由四段圆弧以及连结它们的四条切线段围成的区域，其面积为12π+．。
2019年最新北京市高考一模考试数学试题(理)有答案解析
北京市一模统一考试高三数学（理科）本试卷共6页，满分150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合2{|02},{|1}A x x B x x =≤≤=>，则AB = （ ）A.{|01}x x ≤≤B.{|0x x >或1}x <-C. {|12}x x <≤D.{|02}x x <≤2.复数21i i =+（ ） A.1i + B ．1i - C. 1i -+D ．1i --3.已知两条直线,a b 和平面α，若,a b b α⊥⊄，则“a α⊥”是“//b α”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的长为 （ ） AC.25.执行如图所示的程序框图,若输出的a 的值为15，则判断框应填写 （ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5（4题图）2013201420151季度 2季度 3季度 4季度 1季度 2季度 3季度 4季度 1季度2013年 2014年 2015年年份增长率/%6.已知等比数列{}n a 的公比1q ≠，则下面说法中不正确．．．的是 （ ） A.2{}n n a a ++是等比数列 B.对于k *∈N ，1k >，112k k k a a a -++≠C ．对于n *∈N ，都有20n n a a +>D ．若21a a >，则对于任意n *∈N ，都有1n n a a +> 7.如图是近三年某市生产总值增速（累计，%）的折线统计图，据该市统计局初步核算，2015年一季度全市生产总值为1552.38亿元，与去年同一时期相比增长12.9%（如图，折线图中其它数据类同）．根据统计图得出正确判断是 （ ） A ．近三年该市生产总值为负增长 B. 近三年该市生产总值为正增长 C ．该市生产总值2013年到2014年 为负增长，2014年到2015年为正增长 D.以上A 、B 、C 的判断都不正确8.已知偶函数()f x ，奇函数()g x 的图像分别如图（1）、图（2）所示，方程(())0f g x =，(())0g f x =的实根的个数分别为,a b ，则a b += （ ）A ．3B ．7C ．10D ．14）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 某校高一学雷锋志愿小组共有8人，其中一班、二班、三班、四班各2人，现在从中任选3人，要求每班至多选1人，不同的选取方法的种数为 .（图2）x10. 2022年冬奥会高山滑雪项目将在延庆小海坨山举行。
2019年北京高三一模理科数学汇编
2019北京高考一模理数汇编2019北京高考一模理数汇编：选择填空压轴 (2)2019北京高考一模理数汇编：立体几何与空间向量 (8)2019北京高考一模理数汇编：概率与统计 (19)2019北京高考一模理数汇编：解析几何 (28)2019北京高考一模理数汇编：导数 (33)2019北京高考一模理数汇编：选择填空压轴选择压轴1.已知数列{}n a 满足：1a a =，11()2n n na a n a *+=+∈N ，则下列关于{}n a 的判断正确的是【】A.0,2,a n ∀>∃≥使得n a <B.0,2,a n ∃>∃≥使得1n n a a +<C.0,,a m *∀>∃∈N 总有()m n a a m n <≠D.0,,a m *∃>∃∈N 总有m n na a +=2.如果把一个平面区域内两点间的距离的最大值称为此区域的直径，那么曲线422x y +=围成的平面区域的直径为【】B.3C. D.43.某校实行选科走班制度，张毅同学的选择是物理、生物、政治这三科，且物理在A 层班级，生物在B 层班级，该校周一上午课程安排如下表所示，张毅选择三个科目的课各上一节，另外一节上自习，则他不同的选课方法有【】第一节第二节第三节第四节地理B 层2班化学A 层3班地理A 层1班化学A 层4班生物A 层1班化学B 层2班生物B 层2班历史B 层1班物理A 层1班生物A 层3班物理A 层2班生物A 层4班物理B 层2班生物B 层1班物理B 层1班物理A 层4班政治1班物理A 层3班政治2班政治3班A.8种B.10种C.12种D.14种4.某单位周一、周二、周三开车上班的职工人数分别是14，10，8．若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数至多是【】A ．5B ．6C ．7D ．85.已知函数()sin f x a x x =-的一条对称轴为π6x =-，12()()0f x f x +=，且函数()f x 在12(,)x x 上具有单调性，则12||x x +的最小值为【】A.π6B.π3C.2π3D.4π36.在平面直角坐标系中,如果一个多边形的顶点全是格点（横纵坐标都是整数）,那么称该多边形为格点多边形．若ABC △是格点三角形,其中(0,0)A ,(4,0)B ,且面积为8,则该三角形边界上的格点个数不可能为【】A.6B.8C.10D.127.《九章算术》中有如下问题：今有浦生一日，长3尺，莞生一日，长1尺、蒲生日自半，莞生日自倍，问儿何日而长等?意思：是今有蒲第一天长高3尺，莞第一天长高l 尺,，以后蒲毎天长高前一天的一半，莞毎天长高前一天的2倍，若蒲、莞长度相等，则所需时间为【】(结果精确到0.1.参考数据:2 0.3010,3 04771lg lg ==)A.2.8天B.2.6天C.2.4天D.2.2天8.5名运动员参加一次乒乓球比赛，每2名运动员都赛1场并决出胜负．设第i 位运动员共胜i x 场，负i y 场（1,2,3,4,5i =），则错误的结论是【】A.1234512345x x x x x y y y y y ++++=++++B.22222222221234512345x x x x x y y y y y ++++=++++C.12345x x x x x ++++为定值，与各场比赛的结果无关D.2222212345x x x x x ++++为定值，与各场比赛结果无关9.某学习小组，调查鲜花市场价格得知，购买2只玫瑰与1只康乃馨所需费用之和大于8元，而购买4只玫瑰与5只康乃馨所需费用之和小于22元．设购买2只玫瑰花所需费用为A 元，购买3只康乃馨所需费用为B 元，则A B 、的大小关系是【】A.A B> B.A B<C.A B =D.A B 、的大小关系不确定10.放射性物质的半衰期T 定义为每经过时间T,该物质的质量会衰退原来的一半，铅制容器中有两种放射性物质A,B,开始记录时容器中物质A 的质量是物质B 的质量的2倍，而120小时后两种物质的质量相等,已知物质4的半衰期为7.5小时，则物质B 的半衰期为【】A.10小时B.8小时C.12小时D.15小时11.若函数()f x 图象上存在两个点A ，B 关于原点对称，则点对(),A B 称为函数()f x 的“友好点对”，且点对(),A B 与(),B A 可看作同一个“友好点对”.若函数()f x =2221,0,0x ex m x e x x x ⎧++-≤⎪⎨+>⎪⎩（其中e 为自然对数的底数， 2.718e ≈）恰好有两个“友好点对”，则实数m 的取值范围为【】A.2(1)m e ≤-B.2(1)m e >-C.2(1)m e <- D.2(1)m e ≥-填空压轴12.设A B ，是R 中两个子集，对于x R ∈，定义：01x A m x A ，，，，∉⎧=⎨∈⎩01.x B n x B ，，，∉⎧=⎨∈⎩①若A B ⊆.则对任意x ∈R ，(1)m n ⋅-=_____；②若对任意x ∈R ，1m n+=，则A B ，的关系为__________.13.如图所示，玩具计数算盘的三档上各有7个算珠，现将每档算珠分为左右两部分，左侧的每个算珠表示数2，右侧的每个算珠表示数1（允许一侧无珠），记上、中、下三档的数字和分别为a ，b ，c .例如，图中上档的数字和9a =.若a ，b ，c 成等差数列，则不同的分珠计数法有种.14.已知函数()f x x =，2()g x ax x =-，其中0a >.若12[1,2],[1,2]x x ∀∈∃∈，使得1()f x 2()f x 1()g x =2()g x 成立，则a =．15.在平面内，点A 是定点，动点C B ,满足||||1AB AC == ，0AB AC ⋅= ，则集合{=+,12}|P AP AB AC λλ≤≤所表示的区域的面积是．16.在直角坐标系xOy 中，点()11,A x y 和点()22,B x y ，设集合(){}22=,|1M x y x y +=，且,A B M ∈，=1AB ，则1212=x x y y +；点A ,B 到x 轴距离之和的最小值为．17.已知数列{}n a 对任意的*n ∈N ,都有*n a ∈N ,且131,,2n n n nn a a a a a ++⎧⎪=⎨⎪⎩，为奇数为偶数.①当18a =时,2019a =________;②若存在*m ∈N ,当n m >且n a 为奇数时,n a 恒为常数p ,则p =__________．18.已知曲线(,)0F x y =关于x 轴、y 轴和直线y x =均对称..设集合{(,)|(,)0,,}S x y F x y x Z y Z ==∈∈，下列命题：①若(1,2)S ∈，则(2,1)S --∈；②若(1,2)S ∈则S 中至少有4个元素;③S 中元素的个数一定为偶数;④若2{(,)|4,,}x y y x x Z y Z S =∈∈⊆则2{(,)|4,,}x y x y x Z y Z S =-∈∈⊆其中正确的命题的序号为________19.已知集合{}121M x N x =∈≤≤，集合123,,A A A 满足①每个集合都恰有7个元素;②123A A A M = ．集合i A 中元素的最大值与最小值之和称为集合i A 的特征数，记为i X （1,2,3i =），则123X X X ++的最大值与最小值的和为____________________.20.我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”，是程序化寻求精确分数来表示数值的算法．其理论依据是：设实数x 的不足近似值和过剩近似值分别为b a 和dc （,,,*∈a b cd N ），则++b da c是x 的更精确的不足近似值或过剩近似值．已知 3.14159π=⋅⋅⋅，令31491015π<<，则第一次用“调日法”后得165是π的更为精确的过剩近似值，即3116105π<<，若每次都取最简分数，那么第四次用“调日法”后可得π的近似分数为__________．21.如图，在菱形ABCD 中，,43B AB π∠==.（1）若P 为BC 的中点，则PA PB =_________.（2）点P 在线段BC 上运动，则||PA PB +=的最小值为____________.22.一半径为4m的水轮,水轮圆心O距离水面2m,已知水轮每分钟转动(按逆时针方向)3圈,当水轮上点PP开始计算时间.从水中浮现时开始计时,即从图中点0 Arrayt 秒时点P离水面的高度；（Ⅰ）当5（Ⅱ）将点P距离水面的高度h(单位:m)表示为时间t(单位:s)的函数，则此函数表达式为.2019北京高考一模理数汇编：立体几何与空间向量选择填空题1.正方体被一个平面截去一部分后，所得几何体的三视图如图所示，则该截面图形的形状为【】A .等腰三角形B .直角三角形C .平行四边形D .梯形2.3.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为【】A .32B .34C .38D .316正（主）视图 俯视图侧（左）视图4.某三棱锥的三视图如图所示（网格纸上小正方形的边长为1），则该三棱锥的体积为【】A ．4B ．2C ．83D ．435..某几何体的三视图如右图所示，该几何体的体积为【】A .2B .6C .10D .246.某三棱锥的三视图如图所示，正视图与侧视图是两个全等的等腰直角三角形，直角边长为1，俯视图为正方形，则该三棱锥的体积为【】A .12B .13C .16D.6主视图俯视图左视图7.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为【】A .32B .34C.38D .3168.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥四个面中最大面积是【】A .32BC.2D .19.．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长的棱长为【】A .B .C .D .10.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面中直角三角形的个数为【】A .1B .2C .3D .411.一个体积为的正三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的左视图的面积为【】A .36B .8C .38D .1212..已知一个正四面体的底面积为】A .B .C .D .13.已知两条直线,l m 与两个平面,αβ，下列命题正确的是【】A .若,l l m α⊥∥，则m α⊥B .若,l l αβ⊥∥，则αβ⊥C .若,l m αα∥∥，则l m∥D .若,m αβα∥∥，则m β∥14.已知α和β是两个不同平面,l αβ= ,12l l ,是与l 不同的两条直线,且1l α⊂,2l β⊂,12l l ∥,那么下列命题正确的是【】A .l 与12,l l 都不相交B .l 与12,l l 都相交C .l 恰与12,l l 中的一条相交D .l 至少与12,l l 中的一条相交15.如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB 与平面MNQ 不垂直的是【】A .B .C .D .16.若某四面体各棱的长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其表面积的值可能是（只需写出一个可能的值）1解答题17.如图，在棱长均为2的三棱柱111ABC A B C -中，点C 在平面11A ABB 内的射影O 为1AB 与1A B 的交点，,E F 分别为11,BC AC 的中点．（Ⅰ）求证：四边形11A ABB 为正方形；（Ⅱ）求直线EF 与平面11A ACC 所成角的正弦值；（Ⅲ）在线段1AB 上存在一点D ，使得直线EF 与平面1ACD 没有公共点，求1ADDB 的值.18.如图，在多面体ABCDEF 中，梯形ADEF 与平行四边形ABCD 所在平面互相垂直，//AF DE ，DE AD ⊥，AD BE⊥，112AF AD DE ===，AB =（Ⅰ）求证：//BF 平面CDE ；（Ⅱ）求二面角B EF D --的余弦值；（Ⅲ）判断线段BE 上是否存在点Q ，使得平面CDQ ⊥平面BEF ？若存在，求出BQBE的值，若不存在，说明理由．C19.在直三棱柱111ABC A B C -中，1,2AC BC AC BC CC ⊥===，点,,D E F 分别为棱11111,,AC B C BB 的中点．（Ⅰ）求证：1AC ∥平面DEF （Ⅱ）求证：平面1ACB ⊥平面DEF ;（Ⅲ）在线段1AA 上是否存在一点P ，使得直线DP 与平面1ACB 所成的角为300?如果存在，求出线段AP 的长；如果不存在，说明理由．20.如图，在多面体ABCDEF 中，平面ADEF ⊥平面ABCD ．四边形ADEF 为正方形，四边形ABCD 为梯形，且//AD BC ，90BAD ∠=︒，1AB AD ==，3BC =．（Ⅰ）求证：AF CD ⊥；（Ⅱ）求直线BF 与平面CDE 所成角的正弦值；（Ⅲ）线段BD 上是否存在点M ，使得直线//CE 平面AFM ?若存在，求BMBD的值；若不存在，请说明理由．HE1121.如图，在四棱锥E ABCD -中，平面ABCD ⊥平面AEB ，且四边形ABCD 为矩形，120BAE =∠︒，4AE =AB =，2AD =，F G ，分别为BE AE ，的中点，H 在线段BC 上(不包括端点)．(Ⅰ)求证：CD ∥平面FGH ；(Ⅱ)求证：平面DAF ⊥平面CEB ；(Ⅲ)是否存在点H ，使得二面角H GF B --的大小为π6若存在，求BHBC；若不存在，说明理由．22.如图,四棱柱1111ABCD A B C D -中,底面ABCD 为直角梯形,AB CD ∥,AB BC ⊥,平面ABCD ⊥平面11ABB A ,160BAA ∠=︒,1=2=22AB AA BC CD ==．（Ⅰ）求证:1BC AA ⊥;（Ⅱ）求二面角1D AA B --的余弦值;（Ⅲ）在线段1DB 上是否存在点M ,使得CM ∥平面1DAA ？若存在,求1DMDB 的值;若不存在,请说明理由．'E DCBA图1图2图 2图 1CAEDCBA23.如图1，菱形ABCD 中，60A ∠=︒，4AB =，DE AB ⊥于E ．将AED ∆沿DE 翻折到A ED '∆，使A E BE '⊥，如图2．（Ⅰ）求证：平面 ' ⊥平面 ；（Ⅱ）求直线 ' 与平面 ' 所成角的正弦值；（Ⅲ）设F 为线段 ' 上一点，若EF //平面 ' ，求DFFA'的值．24.如图1，在矩形ABCD 中，2AB AD =，E 为DC 的中点.以AE 为折痕把△ADE 折起，使点D 到达点P 的位置，且平面PAE ⊥平面ABCE (如图2)．（1）求证：EC ∥平面PAB ；（2）求证：BE PA ⊥；（3）对于线段PB 上任意一点M ,是否都有PA EM ⊥成立？请证明你的结论.D25.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，135BCD ∠= ，侧面PAB ⊥底面ABCD ，PA AB ⊥,2AB AC PA ===,,E F 分别为,BC AD 的中点，点M 在线段PD 上.（Ⅰ）求证：直线EF ⊥平面PAC ；（Ⅱ）若M 为PD 的中点，求平面M EF 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值；（Ⅲ）设=PM PD λ，当λ为何值时，直线M E 与平面PBC λ的值.26.已知三棱锥P －ABC 中，PA ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，PA =AC =12AB =2，N 为AB 上一点，AB =4AN ，M ，S 分别为PB ，BC 的中点．（Ⅰ）证明：CM ⊥SN ；（Ⅱ）求直线SN 与平面CMN 所成角的大小；（Ⅲ）求二面角--B NC M 大小的余弦值．27.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD上一点，PB∥平面ABC(1)求证：E为PD的中点(2)求证：CD⊥AE(3)设二面角D-AE-C为60°，AP=1，AD=，求AB的长2019北京高考一模理数汇编：概率与统计1.改革开放40年来，体育产业蓬勃发展反映了“健康中国”理念的普及．下图是我国2006年至2016年体育产业年增加值及年增速图．其中条形图为体育产业年增加值（单位：亿元），折线图为体育产业年增长率（％）．（Ⅰ）从2007年至2016年随机选择1年，求该年体育产业年增加值比前一年的体育产业年增加值多500亿元以上的概率；（Ⅱ）从2007年至2016年随机选择3年，设X是选出的三年中体育产业年增长率超过20%的年数，求X的分布列与数学期望；（Ⅲ）由图判断，从哪年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大？从哪年开始连续三年的体育产业年增加值方差最大？（结论不要求证明）2.为培养学生的阅读习惯，某校开展了为期一年的“弘扬传统文化，阅读经典名著”活动.活动后，为了解阅读情况，学校统计了甲、乙两组各10名学生的阅读量（单位：本），统计结果用茎叶图记录如下，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以a 表示.（Ⅰa 的所有可能取值；（Ⅱ）将甲、乙两组中阅读量超过．．15本的学生称为“阅读达人”.设3a ，现从所有“阅读达人”里任取3人，求其中乙组的人数X 的分布列和数学期望.（Ⅲ）记甲组阅读量的方差为20s .在甲组中增加一名学生A 得到新的甲组，若A 的阅读量为10，则记新甲组阅读量的方差为21s ；若A 的阅读量为20，则记新甲组阅读量的方差为22s ，试比较20s ，21s ，22s 的大小.（结论不要求证明）3.据《人民网》报道，“美国国家航空航天局(NASA)发文称，相比20年前世界变得更绿色了.卫星资料显示中国和印度的行动主导了地球变绿．”据统计，中国新增绿化面积的42%来自于植树造林，下表是中国十个地区在2017年植树造林的相关数据．（造林总面积为人工造林、飞播造林、新封山育林、退化林修复、人工更新的面积之和）单位：公顷造林方式地区造林总面积人工造林飞播造林新封山育林退化林修复人工更新内蒙61848431105274094136006903826950河北58336134562533333135107656533643河南14900297647134292241715376133重庆2263331006006240063333陕西297642，184108336026386516067甘肃325580260144574387998新疆2639031181056264126647107962091青海178414160511597342629宁夏91531589602293882981335北京1906410012400039991053（Ⅰ）请根据上述数据分别写出在这十个地区中人工造林面积与造林总面积的比值最大和最小的地区；（Ⅱ）在这十个地区中，任选一个地区，求该地区人工造林面积占造林总面积的比值超过50%的概率是多少？（Ⅲ）在这十个地区中，从新封山育林面积超过五万公顷的地区中，任选两个地区，记X为这两个地区中退化林修复面积超过六万公顷的地区的个数，求X的分布列及数学期望．时间（分钟）乙站甲站时间（分钟）4.某部门在同一上班高峰时段对甲、乙两地铁站各随机抽取了50名乘客，统计其乘车等待时间（指乘客从进站口到乘上车的时间，乘车等待时间不超过40分钟）．将统计数据按[5,10),[10,15),[15,20),,[35,40] 分组，制成频率分布直方图：假设乘客乘车等待时间相互独立．（Ⅰ）在上班高峰时段，从甲站的乘客中随机抽取1人，记为A ；从乙站的乘客中随机抽取1人，记为B .用频率估计概率，求“乘客A ,B 乘车等待时间都小于20分钟”的概率；（Ⅱ）从上班高峰时段,从乙站乘车的乘客中随机抽取3人，X 表示乘车等待时间小于20分钟的人数，用频率估计概率，求随机变量X 的分布列与数学期望.5.某不透明纸箱中共有4个小球，其中1个白球，3个红球，它们除颜色外均相同．(Ⅰ)一次从纸箱中摸出两个小球，求恰好摸出2个红球的概率；(Ⅱ)每次从纸箱中摸出一个小球，记录颜色后放回纸箱，这样摸取4次，记得到红球的次数为ξ，求ξ的分布列；(Ⅲ)每次从纸箱中摸出一个小球，记录颜色后放回纸箱，这样摸取100次，得到几次红球的概率最大？只需写出结论．6.随着经济全球化、信息化的发展,企业之间的竞争从资源的争夺转向人才的竞争．吸引、留住培养和用好人才成为人力资源管理的战略目标和紧迫任务．在此背景下,某信息网站在15个城市中对刚毕业的大学生的月平均收入薪资和月平均期望薪资做了调查,数据如下图所示．（Ⅰ）若某大学毕业生从这15座城市中随机选择一座城市就业,求该生选中月平均收入薪资高于8500元的城市的概率;（Ⅱ）现有2名大学毕业生在这15座城市中各随机选择一座城市就业,且2人的选择相互独立．记X为选中月平均收入薪资高于8500元的城市的人数,求X 的分布列和数学期望()E X ;（Ⅲ）记图中月平均收入薪资对应数据的方差为21s ,月平均期望薪资对应数据的方差为22s ,判断21s 与22s 的大小．（只需写出结论）7.苹果是人们日常生活中常见的营养型水果.某地水果批发市场销售来自5个不同产地的富士苹果，各产地的包装规格相同,它们的批发价格（元/箱）和市场份额如下：产地ABC DE批发价格150160140155170市场份额15%10%25%20%30%（市场份额亦称“市场占有率”，指某一产品的销售量在市场同类产品中所占比重.）（1）从该地批发市场销售的富士苹果中随机抽取一箱，求该箱苹果价格低于160元的概率；（2）按市场份额进行分层抽样，随机抽取20箱富士苹果进行检验，①从产地,A B 共抽取n 箱,求n 的值；②从这n 箱苹果中随机抽取两箱进行等级检验，求两箱产地不同的概率；（3）由于受种植规模和苹果品质的影响，预计明年产地A 的市场份额将增加5%，产地C 的市场份额将减少5%，其它产地的市场份额不变，苹果销售价格也不变（不考虑其它因素）.设今年苹果的平均批发价为每箱1M 元，明年苹果的平均批发价为每箱2M 元，比较12,M M 的大小.（只需写出结论）8.2020年我国全面建成小康社会，其中小康生活的住房标准是城镇人均住房建筑面积30平方米.下表为2007年—2016年中，我区城镇和农村人均住房建筑面积统计数据.单位：平方米.（Ⅰ）现从上述表格中随机抽取连续两年数据，求这两年中城镇人均住房建筑面积增长不少于2平方米的概率；（Ⅱ）在给出的10年数据中，随机抽取三年，记X 为同年中农村人均住房建筑面积超过城镇人均住房建筑面积4平方米的年数，求X 的分布列和数学期望()E X ；（Ⅲ）将城镇和农村的人均住房建筑面积经四舍五入取整后作为样本数据．记2012—2016年中城镇人均住房面积的方差为21s ，农村人均住房面积的方差为22s ，判断21s 与22s 的大小．（只需写出结论）2007年2008年2009年2010年2011年2012年2013年2014年2015年2016年城镇18.6620.2522.792527.128.331.632.934.636.6农村23.324.826.527.930.732.434.137.141.245.89.某大型企业为鼓励员工利用网络进行营销，准备为员工办理手机流量套餐．为了解员工手机流量的使用情况，通过抽样，得到100位员工每人手机月平均使用流量L(单位:M)的数据，其频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）从该企业的员工中随机抽取3人，求这3人中至多有1人手机月流量不超过900M的概率；（Ⅱ）据了解，某网络运营商推出两款流量套餐，详情如下：套餐名称月套餐费(单位:元)月套餐流量(单位:M)A20700B301000流量套餐的规则是：每月1日收取套餐费．如果手机实际使用流量超出套餐流量，则需要购买流量叠加包，每一个叠加包(包含200M的流量)需要10元，可以多次购买，如果当月流量有剩余，将会被清零．该企业准备订购其中一款流量套餐，每月为员工支付套餐费，以及购买流量叠加包所需月费用．若以所需费用的数学期望为决策依据，该企业订购哪一款套餐更经济？10.随着社会的进步，经济的发展，道路上的汽车越来越多，随之而来的交通事故也增多．据有关部门调查，发生车祸的驾驶员中尤其是21岁以下年轻人所占比例居高，因此交通管理有关部门，对2018年参加驾照考试的21岁以下学员随机抽取10名学员，对他们参加的科目三（道路驾驶）和科目四（安全文明驾驶相关知识）进行两轮现场测试，并把两轮测试成绩的平均分.作为该名学员的抽测成绩，记录的数据如下：学员编号1号2号3号4号5号6号7号8号9号10号科目三测试成绩92909291929089939291科目四测试成绩94888690908794898991（1）从2018年参加驾照考试的21岁以下学员中随机选取一名学员，试估计这名学员抽测成绩大于或等于90分的概率（2）根据规定，科目三和科目四測试成绩均达到90分以上（含90）才算測试合格①从抽测的1号至5号学员中任取两名学员，记X 为学员测试合格的人数，求X 的分布列和数学期望E （X ）②记抽取的10名学员科目三和科目四测试成绩的方差分别为12,S S ，试比较1S 与2S 的大小A B C D四所高中校按各校人数分层抽样调11.在某区“创文明城区”（简称“创城”）活动中，教委对本区,,,查，将调查情况进行整理后制成下表：学校A B C D抽查人数50151025“创城”活动中参与的人数4010915（注：参与率是指：一所学校“创城”活动中参与的人数与被抽查人数的比值）假设每名高中学生是否参与“创城”活动是相互独立的.（Ⅰ）若该区共2000名高中学生，估计A学校参与“创城”活动的人数；（Ⅱ）在随机抽查的100名高中学生中，从,A C两学校抽出的高中学生中各随机抽取1名学生，求恰有1人参与“创城”活动的概率；（Ⅲ）若将上表中的参与率视为概率，从A学校高中学生中随机抽取3人，求这3人参与“创城”活动人数的分布列及数学期望.O W2019北京高考一模理数汇编：解析几何选择题1..“01k <<”是“方程22112x y k k -=-+表示双曲线”的【】A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件2.如图，阴影表示的平面区域W 是由曲线0x y -=，222x y +=所围成的.若点(,)P x y 在W 内（含边界），则43z x y =+的最大值和最小值分别为【】A.，7-B.，-C.7，-D.7，7-3.已知直线l 过抛物线28y x =的焦点F ，与抛物线交于A ，B 两点，与其准线交于点C .若点F 是AC 的中点，则线段BC 的长为【】A.83 B.3C.163D.64.椭圆221:14x C y +=与双曲线22222:1x y C a b-=的离心率之积为1，则双曲线2C 的两条渐近线的倾斜角分别为【】A.6π，6π-B.3π，3π-C.6π，56π D.3π，23π5.已知12,F F 为椭圆22212x y M m +=：和双曲线2221x N y n-=：的公共焦点,P 为它们的一个公共点,且112PF F F ⊥,那么椭圆M 和双曲线N的离心率之积为【】A. B.1C.2D.126.如果把一个平面区域内两点间的距离的最大值称为此区域的直径，那么曲线422x y +=围成的平面区域的直径为【】B.3C. D.4填空题7.已知抛物线22=y px 的准线方程为1x =-，则=p __________．8.设1F ，2F 为双曲线2222 1(0,0)x y C a b a b-=>>：的两个焦点，若双曲线C 的两个顶点恰好将线段12F F 三等分，则双曲线C 的离心率为．9.双曲线2214x y -=的右焦点到其一条渐近线的距离是．10.双曲线22:21C x y -=的渐近线方程是.11.设双曲线C 经过43（，），且与22149x y -=具有相同渐近线，则C 的方程为______,离心率为_______.12.已知点(2002())A B -，，，，若点P 在圆22(3)(1)2x y -++=上运动，则ABP 面积的最小值为______.13.过双曲线22221x y a b-=的一个焦点F 作其渐近线的平行线l ，直线l 与y 轴交于点P ，若线段OP 的中点为双曲线的虚轴端点(O 为坐标原点)，则双曲线的离心率为____．14.在直角坐标系xOy 中，点()11,A x y 和点()22,B x y ，设集合(){}22=,|1M x y x y +=，且,A B M ∈，=1AB ，则1212=x x y y +；点A ,B 到x 轴距离之和的最小值为．解答题15.已知椭圆22:1(0)4x y C m m m+=>与x 轴交于两点12,A A ，与y 轴的一个交点为B ，△12BA A 的面积为2.（Ⅰ）求椭圆C 的方程及离心率；（Ⅱ）在y 轴右侧且平行于y 轴的直线l 与椭圆C 交于不同的两点12,P P ，直线11A P 与直线22A P 交于点P .以原点O 为圆心，以1A B 为半径的圆与x 轴交于,M N 两点（点M 在点N 的左侧），求PM PN -的值.16.已知椭圆W :2214x y m m+=的长轴长为4，左、右顶点分别为,A B ，经过点(,0)P n 的直线与椭圆W 相交于不同的两点,C D （不与点,A B 重合）.（Ⅰ）当0n =，且直线CD ⊥x 轴时，求四边形ACBD 的面积；（Ⅱ）设1n =，直线CB 与直线4x =相交于点M ，求证：,,A D M 三点共线.17.已知抛物线2:2G y px =，其中0p >．点(2,0)M 在G 的焦点F 的右侧，且M 到G 的准线的距离是M 与F 距离的3倍．经过点M 的直线与抛物线G 交于不同的A B ，两点，直线OA 与直线2x =-交于点P ，经过点B 且与直线OA 垂直的直线l 交x 轴于点Q .（Ⅰ）求抛物线的方程和F 的坐标；（Ⅱ）判断直线PQ 与直线AB 的位置关系，并说明理由．18.已知点00(,)M x y 为椭圆22:12x C y +=上任意一点，直线00:22l x x y y +=与圆22(1)6x y -+=交于,A B两点，点F 为椭圆C 的左焦点．（Ⅰ）求椭圆C 的离心率及左焦点F 的坐标；（Ⅱ）求证：直线l 与椭圆C 相切；（Ⅲ）判断AFB ∠是否为定值，并说明理由．19.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，右焦点为(,0)F c ，左顶点为A ，右顶点B 在直线l :2x =上．(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)设点P 是椭圆C 上异于A ，B 的点，直线AP 交直线l 于点D ，当点P 运动时，判断以BD 为直径的圆与直线PF 的位置关系，并加以证明．20.已知抛物线2:2C y px =过点(2,2)M ,,A B 是抛物线C 上不同两点,且AB OM ∥（其中O 是坐标原点）,直线AO 与BM 交于点P ,线段AB 的中点为Q .（Ⅰ）求抛物线C 的准线方程;（Ⅱ）求证:直线PQ 与x 轴平行.21.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，M 是椭圆C 的上顶点，12,F F 是椭圆C 的焦点，12MF F ∆的周长是6．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）过动点(1)P t ，作直线交椭圆C 于A B ，两点，且PA PB =，过P 作直线l ，使l 与直线AB 垂直，证明：直线l 恒过定点，并求此定点的坐标．22.已知椭圆G :22212x y a +=，左、右焦点分别为(,0)c -、(,0)c ，若点(,1)M c 在椭圆上.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若直线:l 20(0)y m m -+=≠与椭圆G 交于两个不同的点A ，B ，直线MA ，MB 与x 轴分别交于P ，Q 两点，求证：PM QM =．23.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为(1,0)F ，点(0,)B b 满足||2FB =．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）过点F 作直线l 交椭圆E 于M N 、两点，若BFM ∆与BFN ∆的面积之比为2，求直线l 的方程．24.如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>,12,F F 分别为其左、右焦点，过1F 的直线与此椭圆相交于,D E 两点，且2F DE △的周长为8,椭圆C 的离心率为2.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）在平面直角坐标系xOy 中，已知点(0,1)P 与点(0,2)Q ，过P 的动直线l （不与x 轴平行）与椭圆相交于,A B 两点，点1B 是点B 关于y 轴的对称点.求证：（i ）1,,Q A B 三点共线.（ii ）QA PA QB PB=.25.已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2，短轴长为2（1）求椭圆的标准方程.（2）设椭圆上顶点A，左、右顶点分别为B,C，直线//l AB 且交椭圆雨E、F 两点，点E 关于y 轴的对称点为点G，求证：//CF AG .2019北京高考一模理数汇编：导数1.已知函数3()4f x x x =-，若1212,[,],,x x a b x x ∀∈≠都有12122()(2)(2)f x x f x f x +>+成立，则满足条件的一个区间是________.2.设函数2()(2)ln f x ax a x x =+--的极小值点为0x .（Ⅰ）若01x =，求a 的值()f x 的单调区间；（Ⅱ）若001x <<，在曲线()y f x =上是否存在点P ，使得点P 位于x 轴的下方？若存在，求出一个P 点坐标，若不存在，说明理由.3.设函数2()e 3x f x m x =-+，其中∈m R ．（Ⅰ）当()f x 为偶函数时，求函数()()h x xf x =的极值；（Ⅱ）若函数()f x 在区间[2,4]-上有两个零点，求m 的取值范围．4.已知函数2()ln(1)f x x x ax =+-.（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（Ⅱ）当0a <时，求证：函数()f x 存在极小值；（Ⅲ）请直接写出函数()f x 的零点个数．5.已知函数ln()()ax f x x=(R a ∈且0)a ≠.（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）当1a =-时，求证：()1f x x ≥+；（Ⅲ）讨论函数()f x 的极值．6.设函数()1x f x e ax =-+，0a >．(Ⅰ)若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与x 轴平行，求a ；(Ⅱ)当1x <时，函数()f x 的图象恒在x 轴上方，求a 的最大值．。
【精品高考数学试卷】2019年北京市海淀区高考数学一模试卷(理科)+答案
2019年北京市海淀区高考数学一模试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合{|04}P x x =<<，且M P ⊆，则M 可以是( )A ．{1，2}B ．{2，4}C ．{1-，2}D ．{0，5}2．（5分）若角α的终边在第二象限，则下列三角函数值中大于零的是( )A ．sin()2πα+B ．()2cos πα+C ．sin()πα+D ．cos()πα+3．（5分）已知等差数列{}n a 满足3243a a =，则{}n a 中一定为零的项是( )A ．6aB ．8aC ．10aD ．12a4．（5分）已知x y >，则下列各式中一定成立的是( )A ．11x y< B ．12x y+>C ．11()()22x y>D ．222x y -+>5．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的m 值为( )A ．18B ．16C ．516D ．136．（5分）已知复数()z a i a R =+∈，则下面结论正确的是( )A ．z a i =-+B ．||1z …C ．z 一定不是纯虚数D ．在复平面上，z 对应的点可能在第三象限7．（5分）椭圆221:14x C y +=与双曲线22222:1x y C a b-=的离心率之积为1，则双曲线2C 的两条渐近线的倾斜角分别为( )A ．6π，6π- B ．3π，3π- C ．6π，56πD ．3π，23π8．（5分）某校实行选科走班制度，张毅同学的选择是物理、生物、政治这三科，且物理在A 层班级，生物在B 层班级，该校周一上午课程安排如表所示，张毅选择三个科目的课各上一节，另外一节上自习，则他不同的选课方法有()第一节第二节 第三节第四节A ．8种B ．10种C ．12种D ．14种二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）已知a ，4，c 成等比数列，且0a >，则22log log a c += ． 10．（5分）在ABC ∆中，14,5,cos 8a b C ===，则c = ，ABC S ∆= ．11．（5分）已知向量(1,2)a =-r ，同时满足条件①//a b r r ，②||||a b a +<r r r 的一个向量b r 的坐标为 ．12．（5分）在极坐标系中，若圆2cos a ρθ=关于直线cos sin 10ρθθ+=对称，则a = 13．（5分）设关于x ，y 的不等式组0,0,1x y y kx ⎧⎪⎨⎪+⎩………表示的平面区域为Ω．记区域Ω上的点与点(0,1)A -距离的最小值为()d k ，则 （Ⅰ）当1k =时，d （1）= ；（Ⅱ）若()d k k 的取值范围是 ．14．（5分）已知函数()f x x =，2()g x ax x =-，其中0a >．若1[1x ∀∈，2]，2[1x ∃∈，2]，使得1212()()()()f x f x g x g x =成立，则a = ．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明～演算步骤或证明过程． 15．（13分）已知函数()cos()cos 4f x x x a π=-+． （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的单调递增区间．16．（13分）据《人民网》报道，“美国国家航空航天局()NASA 发文称，相比20年前世界变得更绿色了．卫星资料显示中国和印度的行动主导了地球变绿．”据统计，中国新增绿化面积的42%来自于植树造林，下表是中国十个地区在2017年植树造林的相关数据．（造林总面积为人工造林、飞播造林、新封山育林、退化林修复、人工更新的面积之和） 单位：公顷（Ⅰ）请根据上述数据分别写出在这十个地区中人工造林面积与造林总面积的比值最大和最小的地区；（Ⅱ）在这十个地区中，任选一个地区，求该地区人工造林面积占造林总面积的比值超过50%的概率是多少？（Ⅲ）在这十个地区中，从新封山育林面积超过五万公顷的地区中，任选两个地区，记X 为这两个地区中退化林修复面积超过六万公顷的地区的个数，求X 的分布列及数学期望． 17．（14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ⊥，12AC BC CC ===，点D ，E ，F 分别为棱11A C ，11B C ，1BB 的中点．（Ⅰ）求证：1//AC 平面DEF （Ⅱ）求证：平面1ACB ⊥平面DEF ；（Ⅲ）在线段1AA 上是否存在一点P ，使得直线DP 与平面1ACB 所成的角为030？如果存在，求出线段AP 的长；如果不存在，说明理由．18．（14分）已知函数2()(1)f x xln x ax =+-．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0，(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）当0a <时，求证：函数()f x 存在极小值； （Ⅲ）请直接写出函数()f x 的零点个数．19．（13分）已知抛物线2:2G y px =，其中0p >．点(2,0)M 在G 的焦点F 的右侧，且M 到G 的准线的距离是M 与F 距离的3倍．经过点M 的直线与抛物线G 交于不同的A ，B 两点，直线OA 与直线2x =-交于点P ，经过点B 且与直线OA 垂直的直线l 交x 轴于点Q ． （Ⅰ）求抛物线的方程和F 的坐标；（Ⅱ）判断直线PQ 与直线AB 的位置关系，并说明理由． 20．（13分）首项为0的无穷数列{}n a 同时满足下面两个条件： ①1||n n a a n +-=；②12n n a -…． （Ⅰ）请直接写出4a 的所有可能值；（Ⅱ）记2n n b a =，若1n n b b +<对任意*n N ∈成立，求{}n b 的通项公式； （Ⅲ）对于给定的正整数k ，求12k a a a ++⋯+的最大值．2019年北京市海淀区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．【解答】解：集合{|04}P x x =<<，且M P ⊆，可知M 是P 的子集， 所以M 可以是{1，2}． 故选：A ．【解答】解：角α的终边在第二象限，则sin 0α>，cos 0α<，对于A ，sin()cos 02παα+=<，错误； 对于B ，cos()sin 02παα+=-<，错误；对于C ，sin()sin 0παα+=--<，错误； 对于D ，cos()cos 0παα+=->，正确； 故选：D ．【解答】解：设等差数列{}n a 的公差为d ，3243a a =Q ，114(2)3()a d a d ∴+=+，可得：150a d +=， 60a ∴=，则{}n a 中一定为零的项是6a ． 故选：A ．【解答】解：A ．取2x =，1y =-，不成立；B ．取1x y ==-不成立；C ．由指数函数1()()2xf x =在R 上单调递减，可得不成立；.22222x y x x D --+>+…，因此成立．故选：D ．【解答】解：122S =⨯=，224x =+=，422m ==，12m <否，428S =⨯=，426x =+=，6384m ==，12m <否， 6848S =⨯=，628x =+=，81486m ==，12m <是， 输出16m =，故选：B ．【解答】解：()z a i a R =+∈Q ，∴z a i =-，故A 错误；||1z =，故B 正确；当0a =时，z 为纯虚数，故C 错误；Q 虚部为1大于0，∴在复平面上，z 对应的点不可能在第三象限，故D 错误．故选：B ．【解答】解：椭圆221:14x C y +=的离心率为：2=椭圆221:14x C y +=与双曲线22222:1x y C a b -=的离心率之积为1，可得双曲线的离心率为：c a =，可得22243a b a +=，可得b a =则双曲线2C 的两条渐近线的斜率为：2C 的两条渐近线的倾斜角分别为：6π；56π．故选：C ．【解答】解：由于生物在B 层，只有第2，3节有，故分2两类，若生物安排第2节，其他任意排即可，故有336A =种，若生物安排第3节，则政治有2种方法，其他任意排，故有12224C A =根据分类计数原理可得6410+=种， 故选：B ．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 【解答】解：a Q ，4，c 成等比数列，且0a >，16ac ∴=，0c >，2222log log log log 164a c ac ∴+===．故答案为：4．【解答】解：Q 14,5,cos 8a b C ===，∴由余弦定理可得：2222212cos 45245368c a b ab C =+-=+-⨯⨯⨯=，解得：6c =，sin C ∴=，11sin 4522ABC S ab C ∆∴==⨯⨯．【解答】解：设(,)b x y =r ，由//a b r r 可得：2y x =-，(1,2)a b x y +=+-+r r ，由||||a b a +<r r r，可得，把2y x =-代入，可得22(1)(22)5x x ++--<，化简可得220x x +<，解得：20x -<<，取得1x =-，可得2y =，所以(1,2)b =-r．故答案为：(1,2)-．【解答】解：圆2cos a ρθ=的普通方程为：2220x y ax +-=，直线cos sin 10ρθθ++=，化为10x +=，圆关于直线对称，则直线经过圆的圆心(,0)a，所以010a +=，解得，1a =-． 故答案为：1-．【解答】解：（Ⅰ）x ，y 的不等式组0,0,1x y y x ⎧⎪⎨⎪+⎩………表示的平面区域为Ω．是如图的灰色的角形区域，区域Ω上的点与点(0,1)A -距离的最小值为()d k ，d （1）2=．（Ⅱ）若()d k Ω上的点与点(0,1)A -距离的最小值为()d k直线1y kx =+恒过(0,1)，由图形，可知直线经过(1,0)B 时，区域Ω上的点与点(0,1)A -距离此时直线的斜率为：1-，所以1k -…． 故答案为：（Ⅰ）：2；（Ⅱ）：[1-，)+∞．【解答】解：由题意．由1212()()()()f x f x g x g x =成立，可得1212()()()()f xg x g x f x =成立； 设11()()()f x h x g x =，22()()()g x u x f x =， 那么1()1h x ax =-， 1[1x ∈Q ，2]，当0a >时，1121a ax a ∴---剟 ①若1a >，可得()h x 的值域为1[21a -，1]1a - ②若01a <<，可得()h x 的值域为R ， 由()1u x ax =-2[1x Q ，2]，∴当0a >时，可得()u x 的值域为[1a -，21]a -；1[1x ∀∈Q ，2]，2[1x ∃∈，2]，()h x ∴的值域是()u x 值域的子集；显然01a <<，()h x 的值域为R ，不成立；1a ∴>，()h x 的值域为1[21a -，1]1a - 可得：1121a a --…，解得：302a <…； 1211a a --…，解得：0a <或32a …．综上可得：32a =同理，当0a <时， 可得：a 无解 故答案为：32． 三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明～演算步骤或证明过程． 【解答】解：（Ⅰ）因为2()cos()cos (2sin 2cos )cos 2sin cos 2cos 4f x x x a x x x a x x x a π=-+=++=++sin 2cos21)14x x a x a π=+++=+++所以函数()f x1a +．Q，所以10a +=，所以1a =-（Ⅱ）因为sin y x =的单调递增区间为(2,2)22k k ππππ-+，k Z ∈， 令222242k x k πππππ-<+<+， 所以3188k x k ππππ-<<+，函数()f x 的单调递增区间为31(,)88k k ππππ-+，k Z ∈． 【解答】解：（Ⅰ） 人工造林面积与总面积比最大的地区为甘肃省 人工造林面积与总面积比最小的地区为青海省（Ⅱ） 设在这十个地区中，任选一个地区，该地区人工造林面积占总面积的比值超过为事件A ．在十个地区中，有7个地区（内蒙、河北、河南、陕西、甘肃、宁夏、北京）人工造林 面积占总面积比超过50%，则7()10P A =（Ⅲ）新封山育林面积超过五万公顷有7个地区：内蒙、河北、河南、重庆、陕西、甘肃、 新疆、青海，其中退化林修复面积超过六万公顷有3个地区：内蒙、河北、重庆， 所以X 的取值为0，1，2所以242712(0)42C P X C ===，1123432277246(1)(2)4242C C C P X P X C C ====== 随机变量X 的分布列为012424242427EX =⨯+⨯+⨯==【解答】解：（Ⅰ）连结1BCD Q ，E 分别为11A C ，11B C 中点，11//DE A B ∴，又11//AB A B ，//DE AB ∴，E Q ，F 分别为11B C ，1B B 中点，1//EF BC ∴，又DE EF E =I ，DE ⊂平面DEF ，EF ⊂平面DEF ，AB ⊂平面1ABC ，1BC ⊂平面1ABC ， ∴平面1//ABC 平面DEF ，又1AC ⊂平面1ABC ，1//AC ∴平面DEF ．（Ⅱ）1CC ⊥Q 平面ABC ，AC ABC ⊂，1CC AC ∴⊥，又AC BC ⊥，且1CC BC C =I ，AC ∴⊥平面11BB C C ，又EF ⊂平面11BB C C ， AC EF ∴⊥，又1BC CC =，四边形11BB C C 为正方形，11BC B C ∴⊥，又1//BC EF ， 1B C EF ∴⊥又AC EF ⊥，1AC B C C =I ，EF ∴⊥平面1ACB ，又EF ⊂平面DEF ，∴平面1ACB ⊥平面DEF ．（Ⅲ）以C 为原点，以CA ，CB ，1CC 为坐标轴建立空间坐标系如图所示， 则(2A ，0，0)，(0B ，2，0)，(0C ，0，0)，(1D ，0，2)，1(0B ，2，2)，∴(2CA =u u u r ，0，0)，1(0CB =u u u r，2，2)，设平面1AB C 的法向量为(n x =r ，y ，)z ，则100n CA n CB ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u u rr g u u u r r g ，∴20220x y z =⎧⎨+=⎩，令1y =可得(0n =r，1，1)-，设(2P ，0，)(02)h h 剟，则(1DP =u u u r，0，2)h -， 2cos,||||245DP n DP n DP n h h ∴<>==⨯-+u u u r ru u u r g r u u u r r ， Q 直线DP 与平面1ACB 所成的角为30︒，∴212245h h =⨯-+， 解得1h =．即P 为1AA 的中点． 所以点P 存在，1AP =．【解答】解：（Ⅰ）2()(1)f x xln x ax =+-的定义域为{|1}x x >-，因为2(0)0(01)00f ln a =+-=g， 所以切点的坐标为(0,0)， 因为0()(1)2(0)(01)200101x f x ln x axf ln a x ''=++-=++-=++g ， 所以切线的斜率0k =， 所以切线的方程为0y =． 证明（Ⅱ）方法一： 令()()(1)21xg x f x ln x a x x '==++-+， 所以211()21(1)g x a x x '=+-++，因为1x >-且0a <， 所以101x >+，210(1)x >+，20a ->，从而得到()0g x '>在(1,)-+∞上恒成立， 所以()0f x '>在(1,)-+∞上单调递增且(0)0f '=， 所以x ，()f x '，()f x 在区间(1,)-+∞的变化情况如下表：所以0x =时，()f x 取得极小值，问题得证． 方法二：因为()(1)21xf x ln x a x x '=++-+， 当0a <时，当0x <时，(1)0,0,201xln x a x x +<<-<+，所以()0f x '<， 当0x >时，(10,0,201xln x a x x +>>->+，所以()0f x '>， 所以x ，()f x '，()f x 在区间(1,)-+∞的变化情况如下表：所以0x =时，函数()f x 取得极小值，问题得证． （Ⅲ）当0a …或1a =时，函数()f x 有一个零点， 当0a >且1a ≠时，函数()f x 有两个零点． 【解答】（共13分）解：（Ⅰ）抛物线22y px =的准线方程为2p x =-，焦点坐标为(,0)2pF ， 所以有23(2)22p p+=-，解得1p =， 所以抛物线方程为24y x =，焦点坐标为(1,0)F ， （Ⅱ）直线//PQ AB ，方法一：设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 设直线AB 的方程为2x my =+，联立方程22,4,x my y x =+⎧⎨=⎩消元得，2480y my --=，所以124y y m +=，2212121218416y y x x y y =-==， 由题意得12120x x y y ≠， 直线OA 的方程为11y y x x =令2x =-，则112y y x -=，则112(2,)y P x --，因为OA BQ ⊥，所以11BQ x k y =-， 直线BQ 的方程为1221()x y y x x y -=--， 令0y =，则12121221114y y y y x x x x x x x +=+==-，则14(,0)Q x -， ①当0m =时，直线AB 的斜率不存在，12x =，可知， 直线PQ 的斜率不存在，则//PQ AB ，②当0m ≠时，111111121422(2)2PQy x y y k x my m x ====--+-+++，1AB k m =， 则//PQ AB ，综上所述，//PQ AB ． 方法二： 直线//PQ AB ．（1）若直线AB的斜率不存在，根据对称性，不妨设(2,A -，(2,B ， 直线AO的方程为y =，则(2,P -，直线BQ的方程为2)y x -=-，即y x =， 令0y =，则(2,0)Q -，则直线PQ 的斜率不存在，因此//PQ AB ， （2）设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，当直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为(2)y k x =-，0k ≠，联立方程，24(2)y xy k x ⎧=⎨=-⎩，消元得，22224440k x k x k x -+-=，整理得，2222(44)40k x k x k -++=，由韦达定理，可得212244k x x k++=，2212121241664x x y y x x ===，因为120y y <，可得128y y =-． 显然12120x x y y ≠， 直线OA 的方程为11y y x x = 令2x =-，则112y y x -=，则112(2,)y P x --， 因为OA BQ ⊥，所以11BQ x k y =-， 直线BQ 的方程为1221()x y y x x y -=--， 令0y =，则12121221114y y y y x x x x x x x +=+==-， 则11111111222(2)4(,0)442242PQ y x y k x Q k k x x x x --====--+-+，则//PQ AB ， 综上所述，//PQ AB ．【解答】解：（Ⅰ）4a 的值可以取2-，0，6-（Ⅱ）因为2n n b a =，因为1n n b b +<对任意*n N ∈成立，所以{}n b 为单调递增数列， 即数列{}n a 的偶数项2a ，4a ，6a ，⋯，2n a ⋯是单调递增数列 根据条件21a =-，40a =所以当20n a …对2n …成立下面我们证明“数列{}n a 中相邻两项不可能同时为非负数” 假设数列{}n a 中存在i a ，1i a +同时为非负数 因为1||i i a a i +-=，若1i i a a i +-=，则有1(1)12i i i a a i i ++-=+>…，与条件矛盾 若1i i a a i +-=-，则有112i i i a a i i +-=+>…，与条件矛盾所以假设错误，即数列{}n a 中相邻两项不可能同时为非负数此时20n a …对2n …成立，所以当2n …时，210n a -…，210n a +…，即212n n a a -<，212n n a a +< 所以22121n n a a n --=-，2122(22)n n a a n ---=-- 所以2212122()()1n n n n a a a a ----+-= 即2221n n a a --=，其中2n … 即11n n b b --=，其中2n … 又121b a ==-，240b a ==所以{}n b 是以11b =-，公差为1的等差数列， 所以1(1)2n b n n =-+-=-（Ⅲ） 记1231k k k S a a a a a -=+++⋯++ 由（Ⅱ）的证明知，n a ，1n a +不能都为非负数当0n a …，则10n a +<， 根据1||n n a a n +-=，得到1n n a a n +=-，所以112212n n n n a a a n n +-+=---剟当10n a +…，则0n a < 根据1||n n a a n +-=，得到1n n a a n +=-，所以11112202n n n n a a a n n +++-+=--剟所以，总有10n n a a ++…成立当n 为奇数时，1||n n a a n +-=，故1n a -，n a 的奇偶性不同，则11n n a a ++-… 当n 为偶数时，10n n a a ++…当k 为奇数时，1231()()0k k k S a a a a a -=+++⋯++… 考虑数列：0，1-，1，2-，2，⋯，12k --，12k -⋯ 可以验证，所给的数列满足条件，且0k S = 所以k S 的最大值为0当k 为偶数时，121()()2k k k kS a a a a -=++⋯++-… 考虑数列：0，1-，1，2-，2，⋯，22k --，22k -，2k -⋯可以验证，所给的数列满足条件，且2k kS =-所以k S 的最大值为2k-．。
2019年北京市高考数学一模试卷(理科)(解析版)
2019年北京市高考数学一模试卷(理科)(解析版)2019年北京市高考数学一模试卷（理科）一、选择题共8个小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数z=i（1+i），则|z|等于（）A。
2B。
√2C。
1D。
2√22.在方程r=2cosθ+3sinθ（θ为参数）所表示的曲线上的点是（）A。
(2.-7)B。
(3.1)C。
(1.5)D。
(2.1)3.设公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4=2(a2+a3)，则Sn=（）A。
5anB。
6anC。
7anD。
14an4.将函数y=sin2x的图象向左平移π/4个单位后得到函数y=g(x)的图象。
则函数g(x)的一个增区间是（）A。
(π/4.3π/4)B。
(3π/4.5π/4)C。
(5π/4.7π/4)D。
(7π/4.9π/4)5.使“a>b”成立的一个充分不必要条件是（）A。
a>b+1B。
a>b-1C。
a^2>b^2D。
a^3>b^36.下列函数：①y=-|x|；②y=(x-1)^3；③y=log2(x-1)；④y=-6.在x中，在(1.+∞)上是增函数且不存在零点的函数的序号是（）A。
①④B。
②③C。
②④D。
①③④7.某三棱锥的正视图和侧视图如图所示，则该三棱锥的俯视图的面积为（）A。
6B。
8C。
10D。
128.远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示的是一位母亲记录的孩子自出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满七进一，根据图示可知，孩子已经出生的天数是（）A。
336B。
510C。
1326D。
3603二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
9.在(1-x)^5的展开式中，x^2的系数为______（用数字作答）。
答案：1010.已知向量a=(1.b)。
b=(-2.-1)，且向量a+b的模长为√10.则实数x=______。
2019年北京师大附中高考数学模拟试卷(理科)(三)(5月份)(解析版)
2019年北京师大附中高考数学模拟试卷（理科）（三）（5月份）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合，B＝{y|﹣2≤y≤2}，则A∩B＝（）A．[﹣2，﹣1]∪[1，2]B．∅C．{1}D．X2．（5分）已知复数z满足i•z＝3+2i（i是虚数单位），则＝（）A．2+3i B．2﹣3i C．﹣2+3i D．﹣2﹣3i3．（5分）已知等差数列{a n}的公差不为零，S n为其前n项和，S3＝9，且a2﹣1，a3﹣1，a5﹣1构成等比数列，则S5＝（）A．15B．﹣15C．30D．254．（5分）已知f（x）＝sin（2019x+）+cos（2019x﹣）的最大值为A，若存在实数x1、x2，使得对任意实数x总有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则A|x1﹣x2|的最小值为（）A．B．C．D．5．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．16π﹣16B．8π﹣8C．16π﹣8D．8π﹣166．（5分）已知随机变量X～N（1，1），其正态分布密度曲线如图1所示，若向正方形OABC 中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值为M，随即运行如图2中相应的程序，则输出的结果是（）附：若随机变量X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9544，P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.9974．A．1B．C．D．7．（5分）已知点P的坐标（x，y）满足，过点P的直线l与圆C：x2+y2＝16相交于A，B两点，则|AB|的最小值是（）A．2B．C．4D．28．（5分）已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，B1C与C1D所成角的余弦值为，B1C与底面ABCD所成角的正弦值为，则C1D与底面ABCD所成角的余弦值为（）A．B．C．D．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）已知||＝2，||＝1，（﹣2）•（2+）＝9，则|+|＝．10．（5分）设函数f（x）＝，若函数y＝f（x）﹣a有两个不同的零点，则实数a的取值范围是．11．（5分）我国古代数学著作《九章算术》中记载问题：“今有垣厚八尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日半尺，大鼠日增倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”，意思是“今有土墙厚8尺，两鼠从墙两侧同时打洞，大鼠第一天打洞一尺，小鼠第一天打洞半尺，大鼠之后每天打洞长度比前一天多一倍，小鼠之后每天打洞长度是前一天的一半，问两鼠几天打通相逢？”两鼠相逢需要的天数最小为12．（5分）已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的图象关于点M （）成中心对称，且与点M相邻的一个最低点为N （），则对于下列判断：①直线x ＝是函数f（x）图象的一条对称轴；②点（，0）是函数f（x）的一个对称中心；③函数y＝1与y＝f（x）（）的图象的所有交点的横坐标之和为7π．其中正确的判断是13．（5分）某工厂现将一棱长为的正四面体毛坯件切割成一个圆柱体零件，则该圆柱体体积的最大值为．14．（5分）已知定义在R上的函数f（x）＝e x+1﹣e x+x2+2m（x﹣1）（m＞0），当x1+x2＝1时，不等式f（x1）≥f（x2）恒成立，则实数x1的取值范围为．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，S为其面积，若4S＝a2+c2﹣b2．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）设∠BAC的平分线AD交BC于D ，．求cos C的值．16．（13分）下表是某公司2018年5～12月份研发费用（百万元）和产品销量（万台）的具体数据：（Ⅰ）根据数据可知y与x之间存在线性相关关系，求出y与x的线性回归方程（系数精确到0.01）；（Ⅱ）该公司制定了如下奖励制度：以Z（单位：万台）表示日销售，当Z∈[0，0.13）时，不设奖；当Z∈[0.13，0.15）时，每位员工每日奖励200元；当Z∈[0.15，0.16）时，每位员工每日奖励300元；当Z∈[0.16，+∞）时，每位员工每日奖励400元．现已知该公司某月份日销售Z（万台）服从正态分布N（μ，0.0001）（其中μ是2018年5﹣12月产品销售平均数的二十分之一），请你估计每位员工该月（按30天计算）获得奖励金额总数大约多少元．参考数据：参考公式：相关系数r＝，其回归直线＝x中的＝，若随机变量x服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜x≤μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜x≤μ+2σ）＝0.9544，17．（14分）已知函数f（x）＝，（x＞0，a∈R，e为自然对数的底数）．（1）当a＝0时，求曲线y＝f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（2）当f（x）有两个极值点时，①求实数a的取值范围；②若f（x）的极大值大于整数n，求n的最大值．18．（13分）如图，在底面是直角梯形的四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，P A ⊥平面ABCD，P A＝4．AD＝2，AB＝，BC＝6．（Ⅰ）求证：BD⊥平面P AC；（Ⅱ）求二面角A﹣PC﹣D的余弦值．19．（13分）若n行n列的数表（n≥2）满足：a ij∈{0，1}（i，j＝1，2，…，n），（i＝1，2，…，n，0＜m＜n），，记这样的一个数表为A n（m）．对于A n（m），记集合．|T（n，m）|表示集合T（n，m）中元素的个数．（Ⅰ）已知，写出的值；（Ⅱ）是否存在数表A4（2）满足|T（4，2）|＝1？若存在，求出A4（2），若不存在，说明理由；（Ⅲ）对于数表，求证：．20．（14分）已知椭圆的离心率，左、右焦点分别为F1，F2，且F2与抛物线y2＝4x的焦点重合．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若过F1的直线交椭圆于B，D两点，过F2的直线交椭圆于A，C两点，且AC⊥BD，求|AC|+|BD|的最小值．2019年北京师大附中高考数学模拟试卷（理科）（三）（5月份）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．【分析】分别求出集合A，B，由此能求出A∩B．【解答】解：∵集合＝{1}，B＝{y|﹣2≤y≤2}，∴A∩B＝{1}．故选：C．【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由i•z＝3+2i，得z＝，∴．故选：A．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3．【分析】设等差数列{a n}的公差为d（d≠0），由已知列关于首项与公差的方程组，求解得到首项与公差，再由等差数列的前n项和公式求解．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d（d≠0），由题意，，解得．∴．故选：D．【点评】本题考查等差数列的通项公式与前n项和，考查等比数列的性质，是基础题．4．【分析】先化简f（x）＝2sin（2019x+），得A＝2，根据题意即求半个周期的A倍．【解答】解：依题意f（x）＝sin2019x cos+cos2019x sin+cos2019x cos+sin2019x sin＝sin2019x+cos2019x＝2sin（2019x+），∴A＝2，T＝，∴|x1﹣x2|min＝＝，∴A|x1﹣x2|的最小值为，故选：C．【点评】本题考查了三角函数的最值，属中档题．5．【分析】由已知中的三视图可得该几何体为一个圆柱挖去一个四棱柱所得的组合体，代入柱体体积公式，可得答案．【解答】解：由已知中的三视图可得该几何体为一个圆柱挖去一个四棱柱所得的组合体，圆柱的底面半径为2，棱柱的底面棱长为2，两个柱体的高均为4，故组合体的体积V＝（π•22﹣2×2）×4＝16π﹣16，故选：A．【点评】本题考查的知识点是棱柱的体积和表面积，圆柱的体积和表面积，简单几何体的三视图，难度中档．6．【分析】由题意P（0＜X≤1）＝×0.6826．P（阴影）＝1﹣P（0＜X≤1），即可得出M 的值，模拟程序的运行，可求b的值．【解答】解：由题意P（0＜X≤1）＝×0.6826．P（阴影）＝1﹣P（0＜X≤1）＝1﹣×0.6826＝1﹣0.3413＝0.6587，则落入阴影部分点的个数的估计值为M＝10000×0.6587＝6587．模拟程序的运行，可得k＝1，a＝，b＝0满足条件1，执行循环体，b＝，k＝2，a＝，满足条件1，执行循环体，b＝，k＝3，a＝，满足条件1，执行循环体，b＝，k＝4，a＝，此时，不满足条件1，退出循环，输出b的值为．故选：B．【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量μ和σ的应用，考查曲线的对称性，考查程序框图的应用问题，属于中档题．7．【分析】作出不等式组对应的平面区域，画出以原点为圆心，半径是4的圆，利用数形结合即可得到在哪一个点的直线与圆相交的弦最短．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图由图象可知，当P点在直线x＝1与x+y＝4的交点时，与圆心距离最远，作出直线与圆相交的弦短．P的坐标为（1，3），圆心到P点距离为d＝，根据公式|AB|＝2，可得：|AB|＝2．故选：D．【点评】本题主要考查线性规划的应用，通过数形结合观察出通过哪一个点的弦最短是解决本题的关键．属于基础题．8．【分析】设AB＝a，BC＝b，AA1＝c，推导出∠AB1C是B1C与C1D所成角（或所成角的补角），∠BCB1是B1C与底面ABCD所成角，由B1C与C1D所成角的余弦值为，B1C 与底面ABCD所成角的正弦值为，列方程组求出a＝c＝，由此能求出C1D与底面ABCD所成角的余弦值．【解答】解：设AB＝a，BC＝b，AA1＝c，则AB1＝，AC＝，B1C＝，∵AB1∥C1D，BB1⊥平面ABCD，∴∠AB1C是B1C与C1D所成角（或所成角的补角），∠BCB1是B1C与底面ABCD所成角，∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，B1C与C1D所成角的余弦值为，B1C与底面ABCD所成角的正弦值为，∴，解得a＝c＝，∵CC1⊥平面ABCD，∴∠C1DC是C1D与底面ABCD所成角，∵D1C＝CC1，D1C⊥CC1，∴∠C1DC＝45°，∴C1D与底面ABCD所成角的余弦值为．故选：B．【点评】本题主要考查线面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．【分析】利用已知条件求出•的值，然后利用向量的模求解即可．【解答】解：||＝2，||＝1，（﹣2）•（2+）＝9，可得：8﹣2﹣3•＝9，可得•＝﹣1，则|+|＝＝＝．故答案为：．【点评】本题考查向量的数量积的应用，向量的模的求法，考查计算能力．10．【分析】根据函数零点与方程和图象之间的关系，转化为函数f（x）与y＝a有两个不同的交点，作出图象，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：若函数y＝f（x）﹣a有两个零点，得y＝f（x）﹣a＝0，即f（x）＝a有两个根，即函数f（x）与y＝a有两个不同的交点，作出函数f（x）的图象如图：当x≥0时，f（x）≥0，当x＜0时，f（x）＜2，则要使函数f（x）与y＝a有两个不同的交点，则0≤a＜2，即实数a的取值范围是[0，2），故答案为：[0，2）．【点评】本题主要考查函数零点的应用，根据函数与方程之间的关系转化为两个函数图象交点个数问题，利用数形结合是解决本题的关键．11．【分析】由等比数列的通项、前n项和公式及进行简单的合情推理得：设大鼠第n日打洞的长度为a n，则a n＝2a n﹣1，即a n＝2n﹣1，设小鼠第n日打洞的长度为b n，则b n＝b n，即b n＝（）n，﹣1则前n天两鼠共打洞的长度为+＝2n﹣2﹣n，又S n＝2n﹣2﹣n为增函数，S3＝8﹣＜8，S4＝16﹣＞8，即两鼠相逢需要的天数最小为4，得解．【解答】解：设大鼠第n日打洞的长度为a n，则a n＝2a n﹣1，即a n＝2n﹣1，设小鼠第n日打洞的长度为b n，则b n＝b n﹣1，即b n＝（）n，则前n天两鼠共打洞的长度为+＝2n﹣2﹣n，又S n＝2n﹣2﹣n为增函数，S3＝8﹣＜8，S4＝16﹣＞8，即两鼠相逢需要的天数最小为4，故答案为：4．【点评】本题考查了等比数列的通项、前n项和公式及进行简单的合情推理，属中档题．12．【分析】先求出函数f（x）＝A sin（ωx+φ）的解析式，然后对个命题利用性质进行判断即可得出正误．【解答】解：易知，∴T＝π，又，∴ϖ＝2，由图象关于点M（）成中心对称，且与点M相邻的一个最低点为N（），0＜φ＜π，∴，∴，故．①当x＝时，±1，∴直线x＝是函数f（x）图象的一条对称轴．②f（）＝3sin（+）＝0，∴点（，0）是函数f（x）的一个对称中心．③在第一个周期内函数y＝1与y＝f（x）图象的所有交点的横坐标之和＝×2＝．∴函数y＝1与y＝f（x）（）的图象的所有交点的横坐标之和＝+（+π）+（+2π）＝4π≠7π，因此不正确．综上可得：只有②正确．故答案为：②．【点评】本题考查了三角函数的图象变换及其性质、简易逻辑，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13．【分析】求出棱锥的高，根据三角形相似的得出圆柱的底面半径和高的关系，利用基本不等式得出体积的最大值．【解答】解：圆柱体体积最大时，圆柱的底面圆心为正四面体的底面中心O′，圆柱的上底面与棱锥侧面的交点N在侧面的中线AM上．∵正四面体棱长为，∴BM＝，O′M＝，BO′＝1，∴AO′＝，设圆柱的底面半径为r，高为h，则0＜r＜．由三角形相似得：，即h＝﹣2r，圆柱的体积V＝πr2h＝πr2（1﹣2r），∵r2（1﹣2r）≤（）3＝，当且仅当r＝1﹣2r即r＝时取等号．∴圆柱的最大体积为．故答案为：．【点评】本题考查棱锥的结构特征，圆柱的体积计算，属于中档题．14．【分析】由x1+x2＝1，把不等式f（x1）≥f（x2）恒成立转化为f（x1）﹣f（1﹣x1）＞0恒成立，设g（x）＝f（x）﹣f（1﹣x），利用导数判断g（x）在R上为增函数，且g（）＝0，从而可得实数x1的取值范围．【解答】解：不等式f（x1）≥f（x2）恒成立，∵x1+x2＝1，∴不等式f（x1）﹣f（1﹣x1）＞0恒成立，设g（x）＝f（x）﹣f（1﹣x），∵f（x）＝e x+1﹣e x+x2+2m（x﹣1）（m＞0），∴g（x）＝（e﹣1）（e x﹣e1﹣x）+（4m+2）x﹣2m﹣1．g′（x）＝（e﹣1）（e x+e1﹣x）+4m+2＞0，∴g（x）在R上为增函数，∵g（）＝0，∴要使g（x）≥0，则x．即实数x1的取值范围为[，+∞）．故答案为：[，+∞）．【点评】本题考查函数恒成立问题，考查利用导数研究函数的单调性，考查数学转化思想方法，是中档题．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．【分析】（Ⅰ）由已知等式结合三角形的面积公式可得sin B＝cos B，即tan B＝1，由此求角B的大小；（Ⅱ）在△ABD中，由余弦定理求AD，再由正弦定理求sin∠BAD，利用二倍角公式求得cos∠BAC，得到sin∠BAC，再由cos C＝﹣cos（A+B），展开两角和的余弦求解．【解答】解：（Ⅰ）∵4S＝a2+c2﹣b2．∴4×ac sin B＝2ac cos B，可得：sin B＝cos B，即tan B＝1，∵B∈（0，π），∴B＝；（Ⅱ）在△ABD中，由余弦定理可得：＝10，再由正弦定理得：，得sin．∴cos，则sin．∴cos C＝﹣cos（A+B）＝﹣（cos A cos B﹣sin A sin B）＝﹣（）＝﹣．【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、和差公式、同角三角函数基本关系式、角平分线的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．【分析】（Ⅰ）由题意计算、，求出回归系数和，写出回归直线方程；（Ⅱ）由题意计算平均数μ，得出z～N（μ，σ2），求出日销量z∈[0.13，0.15）、[0.15，0.16）和[0.16，+∞）的概率，计算奖金总数是多少．【解答】解：（Ⅰ）由题意，计算＝×（2+3+6+10+21+13+15+18）＝11，＝×（1+1+2+2.5+6+3.5+3.5+3.5+4.5）＝3；＝＝＝≈0.244，∴＝﹣＝3﹣0.244×11＝0.32，∴回归直线方程为＝0.244x+0.32；（Ⅱ）由题意μ＝＝＝0.15，∴z～N（0.15，0.0001），∴σ2＝0.0001，解得σ＝0.01，且日销量z∈[0.13，0.15）的概率为＝0.4772，日销量z∈[0.15，0.16）的概率为＝0.3413，日销量z∈[0.16，+∞）的概率为＝0.1587，所以奖金总数大约为：（0.4772×200+0.3413×300+0.1587×400）×30＝7839.3（元）．【点评】本题考查了线性回归方程与正态分布的应用问题，也考查了计算能力与应用问题，是中档题．17．【分析】（1）推导出，f'（1）＝﹣e，由此利用导数性质能求出y＝f（x）在（1，f（1））处的切线方程．（2）①，令h（x）＝（﹣x2+3x﹣3）e x﹣a，则h'（x）＝（﹣x2+x）e x，利用导数性质能求出实数a 的取值范围．②由x1∈（0，1），推导出，由，得，从而f（x）的极大值，由此能求出满足题意的整数n的最大值．【解答】解：（1）因为，所以，所以f'（1）＝﹣e，故y＝f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y﹣2e＝﹣e（x﹣1），即ex+y﹣3e＝0…（4分）（2）①，令h（x）＝（﹣x2+3x﹣3）e x﹣a，则h'（x）＝（﹣x2+x）e x，当0＜x＜1时，h'（x）＞0，h（x）为增函数；当x＞1时，h'（x）＜0，h（x）为减函数，由f（x）有两个极值点，得f'（x）＝0有两个不等实根，即h（x）＝0有两不等实根x1，x2（x1＜x2），因为当x趋近于+∞时，h（x）趋近于﹣∞，故，解得﹣3＜a＜﹣e…（8分）②由①可知x1∈（0，1），又h（1）＝﹣e﹣a＞0，，则，由，得，所以f（x）的极大值，因为时，恒成立，故f（x2）在上为减函数，所以，且f（x2）＜f（1）＝e＜3，所以满足题意的整数n的最大值为2…（12分）【点评】本题考查切线方程的求法，考查实数的取值范围、实数的最值的求法，考查导数性质、导数的几何意义、函数性质、最值等基础知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力，是中档题．18．【分析】解法一：（Ⅰ）根据P A⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，可得BD⊥P A．又可证BD⊥AC，利用线面垂直的判定定理，我们可证BD⊥平面P AC．（Ⅱ）过E作EF⊥PC，垂足为F，连接DF，则∠EFD为二面角A﹣PC﹣D的平面角．在Rt△EFD中，我们可求二面角A﹣PC﹣D的余弦值为．解法二：（Ⅰ）建立空间坐标系，利用向量的数量积，我们可以证明BD⊥AP，BD⊥AC，利用线面垂直的判定定理，我们可证BD⊥平面P AC．（Ⅱ）设平面PCD的法向量为，利用，可得，平面P AC的法向量取为，利用，我们可求二面角A﹣PC﹣D的余弦值．【解答】解法一：（Ⅰ）∵P A⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥P A．又，，∴∠ABD＝30，°∠BAC＝60°∴∠AEB＝90°，即BD⊥AC又P A∩AC＝A，∴BD⊥平面P AC．（Ⅱ）过E作EF⊥PC，垂足为F，连接DF，∵DE⊥平面P AC，EF是DF在平面P AC上的射影，由三垂线定理知PC⊥DF，∴∠EFD为二面角A﹣PC﹣D的平面角．又∠DAC＝90°﹣∠BAC＝30°∴DE＝AD sin∠DAC＝1，AE＝AB sin∠ABE＝，又AC＝，∴EC＝，PC＝8．由Rt△EFC∽Rt△P AC得在Rt△EFD中，，∴．∴二面角A﹣PC﹣D的余弦值为．解法二：（Ⅰ）如图，建立坐标系，则A（0，0，0），B（），，D（0，2，0），P（0，0，4）∴，∴，∴BD⊥AP，BD⊥AC，又P A∩AC＝A∴BD⊥平面P AC．（Ⅱ）设平面PCD的法向量为，则，又，∴，解得∴平面P AC的法向量取为∴＝∴二面角A﹣PC﹣D的余弦值为．【点评】本题以四棱锥为载体，考查线面垂直，考查面面角，采用两种解法，体现了一题多解，又体现了向量解法的优越性．19．【分析】（Ⅰ）根据题意计算σ12、σ13和σ23的值；（Ⅱ）不存在数表A4（2），使得|T（4，2）|＝1，说明理由即可；（Ⅲ）在数表A n（m）中，将σij换成1﹣σij，得出A n（n﹣m），根据题意计算σij，得出|T（n，m）|＝|T（n，n﹣m）|，从而得出|T（n，m）|≤．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，计算σ12＝σ13＝σ23＝1；…（3分）（Ⅱ）不存在数表A4（2），使得|T（4，2）|＝1．理由如下：假设存在A4（2），使得|T（4，2）|＝1．不妨设，σij的可能值为0，1．当σij＝0（1≤i＜j≤4）时，经验证这样的A4（2）不存在．当σij＝1（1≤i＜j≤4）时，有，这说明此方程组至少有两个方程的解相同，不妨设，所以有，这也说明此方程组至少有两个方程的解相同，这样的A4（2）只能为或，这两种情况都与|T（4，2）|＝1矛盾，即不存在数表A4（2），使得|T（4，2）|＝1．…（8分）（Ⅲ）在数表A n（m）中，将σij换成1﹣σij，这将形成A n（n﹣m），由于σij＝a i1a j1+a i2a j2+…+a in a jn，可得（1﹣a i1）（1﹣a j1）+（1﹣a i2）（1﹣a j2）+…+（1﹣a in）（1﹣a jn）＝n﹣m﹣m+σij，从而|T（n，m）|＝|T（n，n﹣m）|．当时，由于，所以任两行相同位置的1的个数．又由于σij≥0，而从1到的整数个数，从而；从而当0＜m＜n时，都有|T（n，m）|≤．…（13分）【点评】本题考查了不等式的性质与应用问题，也考查了矩阵乘法的性质应用问题，是难题．20．【分析】（Ⅰ）利用抛物线y2＝4x的焦点求出c＝1，通过椭圆的离心率求出a，然后求解b，即可得到椭圆方程．（Ⅱ）（i）当直线BD的斜率k存在且k≠0时，直线BD的方程为y＝k（x+1），代入椭圆方程，并化简，设B（x1，y1），D（x2，y2），利用韦达定理以及弦长公式，求出BD，推出AC，即可转化求解|AC|+|BD|的最小值．（ii）当直线BD的斜率不存在或等于零时，验证|AC|+|BD|的最小值即可．【解答】解：（Ⅰ）抛物线y2＝4x的焦点为（1，0），所以c＝1，又因为，所以，所以b2＝2，所以椭圆的标准方程为．（Ⅱ）（i）当直线BD的斜率k存在且k≠0时，直线BD的方程为y＝k（x+1），代入椭圆方程，并化简得（3k2+2）x2+6k2x+3k2﹣6＝0．设B（x1，y1），D（x2，y2），则，，＝．易知AC的斜率为，所以.＝＝．当k2＝1，即k＝±1时，上式取等号，故|AC|+|BD|的最小值为．（ii）当直线BD的斜率不存在或等于零时，易得．综上，|AC|+|BD|的最小值为．【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，椭圆方程的求法，考查转化思想，分类讨论思想的应用以及计算能力．。
【精品高考数学试卷】2019年北京市海淀区高考数学一模试卷(理科)+答案
2019 年北京市海淀区高考数学一模试卷（理科）、选择题共 8 小题，每小题 5分，共 40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项．5 分）已知集合 P {x|0 x 4}，且 M P ，则 M 可以是 （5 分）执行如图所示的程序框图，输出的 m 值为 （1．2． 3． 4． A ．{1， 2}5 分） B ．{2， 4}C ．{ 1， 2}若角的终边在第二象限，则下列三角函数值中大于零的是 A ． sin( 2)B ． cos( 2)C ． sin() D ． D ． 5 分） A ． a 65 分） {0，5}cos( )已知等差数列 {a n } 满足 4a 3 3a 2 ，则{ a n } 中一定为零的项是 （B ． a 8C ． a 10D ． a 12已知x y ，则下列各式中一定成立的是 （ A ．1xC ． (21)x (21) B ． xy12yD ． 2 xy25．A ． z a iB ． |z|⋯1C ． z 一定不是纯虚数D ．在复平面上， z 对应的点可能在第三象限条渐近线的倾斜角分别为 ( )8．( 5分)某校实行选科走班制度，张毅同学的选择是物理、生物、政治这三科，且物理在A 层班级，生物在B 层班级，该校周一上午课程安排如表所示，张毅选择三个科目的课各上一节，另外一节上自习，则他不同的选课方法有 第一节第二节 第三节第四节地理 B 层 2 班化学 A 层 3 班 地理 A 层 1 班化学 A 层 4 班A ．B ．C ．16D ．6．(5 分)已知复数z a i(a R) ，则下面结论正确的是2 x7．(5 分)椭圆 C 1: 4x2y 21与双曲线 C 2 : 2 ab 21的离心率之积为 1，则双曲线 C 2 的两A ．6 ，6B ．3，35C ． ，662 D ． ，331A．8种B．10种C．12 种D．14 种、填空题共6小题，每小题5分，共30 分．9．( 5分)已知a，4，c 成等比数列，且 a 0，则log2a log2c ．110．(5 分)在ABC 中，a 4,b 5,cosC ，则c ，S ABC ．8r r r r r r r 11．(5分)已知向量a (1, 2)，同时满足条件①a//b，②|a b| |a |的一个向量b 的坐标为．12．(5 分)在极坐标系中，若圆2acos 关于直线cos 3 sin 1 0 对称，则ax⋯0,13．( 5 分)设关于x ，y 的不等式组y⋯0, 表示的平面区域为．记区域上的点与y⋯kx 1点A(0, 1)距离的最小值为d(k) ，则(Ⅰ)当k 1时， d (1) ；(Ⅱ)若d(k)⋯ 2 ，则k 的取值范围是．14．(5 分)已知函数f(x) x，g(x) 2 ax x ，其中 a 0 ．若x1[1 ，2]，x2[1，2]，使得f(x1)f(x2) g( x1) g( x2 )成立，则a ．三、解答题共6小题，共80 分．解答应写出文字说明～演算步骤或证明过程．15．(13 分)已知函数f(x) 2 2cos( x)cosx a的最大值为2 ．(Ⅰ)求a 的值；(Ⅱ)求函数f(x) 的单调递增区间．16．( 13 分)据《人民网》报道，“美国国家航空航天局(NASA) 发文称，相比20 年前世界变得更绿色了．卫星资料显示中国和印度的行动主导了地球变绿．据统计，中国新增绿化面积的42% 来自于植树造林，下表是中国十个地区在2017 年植树造林的相关数据．（造林总面积为人工造林、飞播造林、新封山育林、退化林修复、人工更新的面积之和）单位：公顷（Ⅰ）请根据上述数据分别写出在这十个地区中人工造林面积与造林总面积的比值最大和最小的地区；（Ⅱ）在这十个地区中，任选一个地区，求该地区人工造林面积占造林总面积的比值超过50% 的概率是多少？（Ⅲ）在这十个地区中，从新封山育林面积超过五万公顷的地区中，任选两个地区，记X为这两个地区中退化林修复面积超过六万公顷的地区的个数，求X 的分布列及数学期望．17．（14 分）如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，AC BC ，AC BC CC1 2，点 D ，E ，F 分别为棱A1C1 ，B1C1 ，BB1 的中点．Ⅰ）求证： AC 1//平面 DEF Ⅱ）求证：平面 ACB 1 平面 DEF ；（Ⅲ）在线段 AA 1上是否存在一点 P ，使得直线 DP 与平面 ACB 1所成的角为 300？如果存在， 求出线段 AP 的长；如果不存在，说明理由．2 18．（14 分）已知函数 f （x ） xln （x 1） ax 2．（Ⅰ）求曲线 y f （x ）在点（0， f （0））处的切线方程； Ⅱ）当 a 0 时，求证：函数 f （x ）存在极小值； （Ⅲ）请直接写出函数 f （x ）的零点个数．219．（ 13分）已知抛物线 G:y 2 2px ，其中 p 0．点M （2,0）在G 的焦点 F 的右侧，且 M 到G 的准线的距离是 M 与F 距离的 3倍．经过点 M 的直线与抛物线 G 交于不同的 A ，B 两点，直线 OA 与直线 x 2交于点 P ，经过点 B 且与直线 OA 垂直的直线 l 交 x 轴于点 Q ． （Ⅰ）求抛物线的方程和 F 的坐标；（Ⅱ）判断直线 PQ 与直线 AB 的位置关系，并说明理由．20．（13分）首项为 0的无穷数列 {a n } 同时满足下面两个条件：Ⅰ）请直接写出 a 4 的所有可能值；Ⅱ）记 b n a 2n ，若 b n b n 1对任意 n N 成立，求 {b n } 的通项公式； Ⅲ）对于给定的正整数 k ，求 a 1 a 2a k 的最大值．2019 年北京市海淀区高考数学一模试卷(理科)参考答案与试题解析① |a n 1a n | n ；② a n , n 21一、选择题共8 小题，每小题5分，共40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．【解答】解：集合P {x|0 x 4}，且M P ，可知M是P 的子集，所以M可以是{1，2}．故选： A ．【解答】解：角的终边在第二象限，则sin 0 ，cos 0 ，cos0 ，错误；对于A，sin()2对于B，cos()sin0，错误；2对于C，sin()sin0，错误；对于D，cos()cos0，正确；故选： D ．【解答】解：设等差数列{ a n}的公差为 d ，Q4a3 3a2，4(a1 2d) 3(a1 d ) ，可得：a1 5d 0 ，a6 0 ，则{a n}中一定为零的项是a6 ．故选： A ．【解答】解：A．取x 2，y 1，不成立；B ．取x y 1 不成立；1xC ．由指数函数f(x) (2)x在R 上单调递减，可得不成立；D.2x2 y2x2 x⋯2 ，因此成立．故选：D ．41【解答】解：S 1 2 2 ，x 2 2 4 ，m 2 ，m 否，226 31S 4 2 8 ， x 4 2 6 ， m，m否，8 428 11 S 6 8 48， x 62 8， mm是48 621输出m 6，故选： B ．【解答】 解：Qz a i(a R)， z a i ，故 A 错误；| z| a 2 1⋯1，故 B 正确；当 a 0 时， z 为纯虚数，故 C 错误；Q 虚部为 1 大于 0， 在复平面上， z 对应的点不可能在第三象限，故 D 错误．故选： B ．；5．；．66 故选： C ．若生物安排第 3 节，则政治有 2种方法，其他任意排，故有 C 12 A 22 4 根据分类计数原理可得 6 4 10 种， 故选： B ．二、填空题共 6小题，每小题 5分，共 30 分． 【解答】 解：Qa ，4，c 成等比数列，且 a 0，ac 16 ， c 0 ，log 2a log 2c log 2 ac log 216 4 ．故答案为： 4．解答】 解： 2椭圆 C 1: x4y1 的离心率为：4 1 322x 2椭圆 C 1: x42x 1 与双曲线 C 2 :2 a2y2 1 的离心率之积为 b 21，可得双曲线的离心率为： c 2，a3a2 b24可得 2 ，可得a3则双曲线 C 2 的两条渐近线的斜率为：3，所以双曲线3C 2的两条渐近线的倾斜角分别为：解答】 解： 由于生物在 B 层，只有第 2，3 节有，故分 2 两类，若生物安排第 2 节，其他任意排即可，故有 A 33 6 种，1解答】 解：Q a 4,b 5,cosC 182x 2x 0，解得： 2 x 0 ， 取得 x 1，可得 y 2，所以 b r ( 1,2) ．故答案为： ( 1,2)．【解答】解：圆 2acos 的普通方程为： x 2 y 2 2ax 0 ，直线 cos 3 sin 1 0 ， 化为 x 3y 1 0 ， 圆关于直线对称，则直线经过圆的圆心 (a,0)，所以 a 3 0 1 0，解得， a 1 ． 故答案为： 1．x ⋯0,【解答】 解：(Ⅰ) x ， y 的不等式组 y ⋯0, 表示的平面区域为 ．是如图的灰色的角形 y ⋯x 1区域，区域 上的点与点 A(0, 1)距离的最小值为 d(k) ， d ( 1) 2 ．Ⅱ)若 d(k)⋯ 2 ，可知区域 上的点与点 A(0, 1)距离的最小值为 d(k)⋯ 2 ， 直线 y kx 1恒过 (0,1)，由图形，可知直线经过 B(1,0)时，区域 的最小值为 2 ，此时直线的斜率为： 1，所以 k ⋯ 1 ． 故答案为：(Ⅰ)： 2；(Ⅱ)： [ 1， )．由余弦定理可得：22cab 2 2abcosC42 52 2 4 5 sinC 1 cos 2C3 7 ，8113 7 15 7S ABC ab sin C45 ．2284故答案为： 15 7．4r 【解答】 解：设 b(x,y) ，由 a r //b r 可得：y2x ， a rb r(1136 ，解得： c 6 ，8x, 2 y) ，由 |a r b | |a r |，可 得 (1 x) 2 (y 2) 25 ， 把 y2x 代入，可得 (x 1)2( 2x 2)2 5 ，化简可 得上的点与点 A(0, 1)距离解答】解：由题意．由f(x1)f(x2) g( x1)g(x2)成立，可得 f (x1) g(x1)设h(x) f(x1)，u(x) g(x2)，g(x1) f (x2 )1那么h(x) ，ax 1Qx1 [1，2]，当 a 0 时， a 1剟ax 1 2a 111①若 a 1 ，可得h(x) 的值域为[ 1，1 ]2a 1 a 1②若0 a 1 ，可得h( x)的值域为R ，由u(x) ax 1Q x2[1，2]，当 a 0 时，可得u(x) 的值域为[a 1，2a 1]；Q x1 [1，2]，x2 [1，2]，h( x)的值域是u(x) 值域的子集；显然0 a 1，h(x)的值域为R ，不成立；g(x2)成立；f(x2 )1，h(x) 的值域为[2a12a可得：1⋯a 1，解得：0 a, 3；2a 1 21 a1 2a 1，解得：30 或a⋯综上可得： a 32同理，当 a 0 时， 可得： a 无解 3 故答案为： 3．2三、解答题共 6小题，共 80 分．解答应写出文字说明～演算步骤或证明过程．sin2x cos2x 1 a 2sin(2x ) 1 a4所以函数 f （x ） 的最大值为 2 1 a ．Q 最大值为 2， 所以 1 a 0 ，所以 a 1Ⅱ）因为 y sinx 的单调递增区间为 （2k 2,2k 2），k Z ，令 2k 2x 2k ，2 4 2 31所以 k x k ，8831函数 f (x)的单调递增区间为 (k ,k ) ， k Z88解答】 解：（Ⅰ） 人工造林面积与总面积比最大的地区为甘肃省 人工造林面积与总面积比最小的地区为青海省（Ⅱ） 设在这十个地区中，任选一个地区，该地区人工造林面积占总面积的比值超过为事 件 A ．在十个地区中，有 7 个地区（内蒙、河北、河南、陕西、甘肃、宁夏、北京）人工造林面积占总面积比超过50% ，则 P(A) 710（Ⅲ）新封山育林面积超过五万公顷有 7 个地区：内蒙、河北、河南、重庆、陕西、甘肃、 新疆、青海，其中退化林修复面积超过六万公顷有 3 个地区：内蒙、河北、重庆，所以 X 的取值为0，1，2所以 P(X 0) C C 42212 C 31C 14 24 C 32 61422， P(X 1) C C 3C 724 2442P(X 2) C C 732 462随机变量 X 的分布列为解答】解 Ⅰ）因为f(x)2 2cos( x)cosx a(2sin x 22cosx)cosx a 2sin x cosx 2cos x a解答】 解：（Ⅰ）连结 BC 1QD ， E 分别为 A 1C 1， B 1C 1中点，DE / /A 1B 1 ，又 AB//A 1B 1，DE / / AB ，AC 1 // 平面 DEF ．（Ⅱ）QCC 1 平面 ABC ， AC ABC ，CC 1 AC ，又 AC BC ，且 CC 1I BC C ，AC 平面 BB 1C 1C ，又 EF 平面 BB 1C 1C ， AC EF ，又 BC CC 1 ，四边形 BB 1C 1C 为正方形，BC 1 B 1C ，又 BC 1 //EF ， B 1C EF又 AC EF ， AC I B 1C C ，EF 平面 ACB 1，又 EF 平面 DEF ， 平面 ACB 1 平面 DEF ．（Ⅲ）以 C 为原点，以 CA ， CB ， CC 1为坐标轴建立空间坐标系如图所示，则 A （2， 0， 0）， B （0，2， 0）， C （0，0， 0）， D （1，0， 2）， B 1 （0 ， 2， 2），7EX 0 12 1 24 2 6 36 42 42 42 42 QE ， F 分别为 B 1C 1 ， B 1B 中点， EF //BC 1，又 DE I EF E ，DE 平面 DEFEF 平面 DEF ，AB 平面 ABC 1 ，BC 1 平面 ABC 1 ，平面 ABC 1 / / 平面 DEF ，又 AC 1 平面 ABC 1 ，C uu A ur (2，0，0)，C uu B ur 1 (0，2， 2)，rn r gC uu A ur 0设平面 AB 1C 的法向量为 n r(x ， y ， z)，则 n r gC uu A ur0 ngCB 1 0令 y 1可得 n r (0 ，1， 1)，Q 直线 DP 与平面 ACB 1 所成的角为 30 ，解答】 解：(Ⅰ) f (x) xln(x 1) ax 2的定义域为 {x|x 1} ， 因为 f (0) 0ln(0 1) ag02 0 ， 所以切点的坐标为 (0,0)，因为f (x) ln(x1) x2axf (0) ln(0 1) 0 2ag0 0x101所以切线的斜率 k0所以切线的方程为y0．证明(Ⅱ)方法一 ：令 g(x) f (x) ln(x 1)x 2ax ，x1所以 g (x) 312a ，2x1 (x1)22 h 2 4h 5 2 解得 h 1．即 P 为AA 1的中点． 所以点 P 存在， AP 1 ．2 h1 ，设P(2， 0， h)(0剟h 2)，则 DP(1，0， h 2) ，uuur r cosDP,n2x 0 2y 2z 0因为 x 1 且 a 0 ，11 所以 0， 12 0 ， 2a 0， x 1 (x 1)2从而得到 g(x) 0在 ( 1, )上恒成立， 所以 f (x) 0在( 1, )上单调递增且 f (0) 0，所以 x 0 时， f ( x)取得极小值，问题得证．方法 因为 f (x) ln(x 1)x 2ax ，x1当a 0 时，当x 0 时， ln(x 1)0,x0, 2ax 0，所以 f (x) 0，x 1当x 0 时，ln(x 10, x0, 2ax 0，所以 f (x) 0，x1所以 x ，f (x)， f(x ) 在区间 ( 1, )的 变化情况如下表：所以 x 0 时，函数 f (x)取得极小值，问题得证．Ⅲ)当 a, 0 或 a 1时，函数 f(x) 有一个零点， 当a 0且 a 1时，函数 f(x)有两个零点． 【解答】(共 13 分)解：(Ⅰ)抛物线 y 2 2px 的准线方程为 x p ，焦点坐标为 F(p ,0)， 所以有 2 2p 3(2 2p )，解得 p 1，所以抛物线方程为 y 2 4x ，焦点坐标为 F(1,0)， Ⅱ)直线 PQ/ / AB ，方法一：设 A(x 1， y 1) ， B(x 2 ， y 2)，设直线 AB 的方程为 x my 2， x my 2, 2联立方程 2 消元得， y 2 4my 8 0 ，y 4x,所以 y 1 y 2 4m ， y 1y 2 8x 1x 2 1 y 12 y 22 4 ，16由题意得 x 1x 2 y 1 y 2 0 ，则 PQ/ /AB ，综上所述， PQ/ / AB ． 方法直线 PQ/ / AB ．1)若直线 AB 的斜率不存在，根据对称性，不妨设 直线 AO 的方程为 y 2x ，则 P( 2,2 2) ，直线 OA 的方程为 y y 1 x 令 x 2 ，则y2y 1 ，则P(x 1x 1因为 OA BQ ，所以 kBQx1，y 1直线 BQ 的方程为 y y 2x 11(x x 2) ，y 1令 y 0 ，则 x y 1y2x 2 y 1 y 2 x 1x 24 ，则 Q( 4 x 1AB的 ，则 x 1x 1x 1①当 m 0 时，直线 斜率不存在， PQ/ / AB ，x 1 2， 可知，直线 PQ 的斜率不存2y 1,0) ，2y 1 2, 1) ， x 1②当x 1 m 0时，k PQ 4x1 2 2y1x1x1y12 (my 1 2)1m ，A(2, 2 2) ， B(2,2 2) ，直线 BQ 的方程为 y 2 2 2（x 2） ，即 y 2x 2 ，令 y 0，则 Q （ 2,0），则直线 PQ 的斜率不存在，因此 PQ/ /AB ， （2）设 A （x 1， y 1）， B （x 2， y 2）， 当直线 AB 的斜率存在，设直线 AB 的方程为 y k （x 2）， k 0， 2 y 2 4xy k(x 2)，22 kx 4k 2x 4k 2 4x 0， 22 kx (4k 2 4)x 4k 20， 4k 24联立方程， 消元得，整理得， x 1 x 2 k 2 ，x 1x 2 224y 12 y 2216x 1x 2 64，因为 y 1y 2 0 ，可得 y 1y 2 8．显然x 1x 2y 1y 2 0， y 1x x 1令 x 2 ，则 y 2y1，则 P( 2, 2y1) ，x 1x 1因为 OA BQ ， 所以 k BQx1，y 1直线 BQ的方程为 y y 2x 1(x x 2) ， y 1令 y 0 ，则 x y 1y 2 xx 2y 1 y 2 x 1x 2 4 ，x 1 x 1 x 12y 14 则 Q( 4,0)k PQ x 1 2y 1 2k(x 1 2) 42 4 2x 12x 1 4x 1 x 1综上所述， PQ/ / AB ．【解答】 解：（ Ⅰ） a 4 的值可以取 2 ， 0， 6（Ⅱ）因为 b n a 2n ，因为 b n b n 1 对任意 n N * 直线 OA 的方程为 yk ，则 PQ/ /AB ，即数列 {a n } 的偶数项 a 2，a 4，a 6， ，a 2n 成立，所以 {b n } 为单调递增数列，是单调递增数列根据条件 a 2 1， a 4 0 所以当 a 2n ⋯0 对 n ⋯ 2 成立面我们证明“数列 {a n } 中相邻两项不可能同时为非负数” 假设数列 {a n } 中存在 a i ， a i 1 同时为非负数 因为 |a i 1 a i | i ，(i 1) 1若 a i 1 a i i ，则有 a i 1 a i i ⋯i2 ，与条件矛盾 i1若a i 1 a ii ，则有 a i a i 1 i ⋯i，与条件矛盾2所以假设错误，即数列 {a n } 中相邻两项不可能同时为非负数 此时a 2n ⋯0 对 n ⋯ 2 成立，所以当n ⋯2时，a 2n1, 0 ， a 2n 1, 0，即 a 2n1 a 2n ，a 2n1 a 2n 所以 a 2n a 2n 1 2n 1， a 2n 1 a 2n 2 (2n2)所以(a 2n a 2n 1) (a 2n 1 a 2n 2) 1即a2n a2n 21，其中 n ⋯ 2即b n b n 11，其中 n ⋯2又 b 1 a 2 1， b 2 a 4 0所以{b n }是以 b 1 1，公差为 1的等差数列， 所以 b n 1 (n 1) n 2(Ⅲ) 记S k a 1 a 2 a 3 a k 1 a k由(Ⅱ)的证明知， a n ，a n 1不能都为非负数 当 a n ⋯0，则 a n 1 0 ，根据 |a n 1 a n | n ，得到 a n 1 a n n ， 所以 a n a n 12a nn1n 剟2 n 12当 a n 1⋯0 ，则a n根据 |a n 1 a n | n ，得到 a n a n 1n ，所以 a n a n 12a n 1n11n 剟2n 1 1n 0 2 所以，总有a n a n 1, 0 成立k所以 S k 的最大值为 2．当 n 为奇数时， |a n a n 1 | n ，故 a n 1，a n 的奇偶性不同，则 当 n 为偶数时， a n 1 a n , 0当 k 为奇数时， S k a 1 (a 2 a 3) (a k 1 a k ), 0 k 1 k 1考虑数列： 0， 1， 1， 2 ， 2，，2 ，2可以验证，所给的数列满足条件，且S k 0所以 S k 的最大值为 0当 k 为偶数时， S k (a 1 a 2) (a k 1 a k ), 2考虑数列： 0， 1， 1， 2 ， 2， ，k 2 k 2，k，222可以验证，所给的数列满足条件，且S kk2a n a n 1,。
2019年北京市首师大附中高考数学一模试卷(理科)(解析版)
2019年北京市首师大附中高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）若（1﹣2i）z＝5i（i是虚数单位），则|z|的值为（）A．3B．5C．D．2．（5分）在各项均为正数的等比数列{a n}中，a6＝3，则a4+a8＝（）A．有最小值6B．有最大值6C．有最大值9D．有最小值3 3．（5分）秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图是实现该算法的程序框图，执行该程序框图，若输入n，x的值分别为4，2，则输出v的值为（）A．5B．12C．25D．504．（5分）已知正六棱柱的底面边长和侧棱长相等，体积为．其三视图中的俯视图如图所示，则其左视图的面积是（）A．B．C．8cm2D．4cm25．（5分）已知平面区域，夹在两条斜率为的平行直线之间，且这两条平行直线间的最短距离为m．若点P（x，y）∈Ω，则z＝mx﹣y的最小值为（）A ．B．3C ．D．66．（5分）如图，平面四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，BC＝CD＝2，点E在对角线AC上，AC＝4，AE＝1，则的值为（）A．17B．13C．5D．17．（5分）某校校庆期间，大会秘书团计划从包括甲、乙两人在内的七名老师中随机选择4名参加志愿者服务工作，根据工作特点要求甲、乙两人中至少有1人参加，则甲、乙都被选中且列队服务时不相邻的概率为（）A ．B ．C ．D ．8．（5分）某公司有4家直营店a，b，c，d，现需将6箱货物运送至直营店进行销售，各直营店出售该货物以往所得利润统计如下表所示．根据此表，该公司获得最大总利润的运送方式有（）A．1种B．2种C．3种D．4种二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上．9．（5分）若展开式中的二项式系数和为64，则n等于，该展开式中的常数项为．10．（5分）椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆M上任一点，且|PF1|•|PF2|的最大值的取值范围是[2c2，3c2]，其中，则椭圆m的离心率e的取值范围是．11．（5分）在极坐标系中，过点且平行于极轴的直线的极坐标方程是．12．（5分）如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y（单位：亿元）的折线图．为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1，2，…，17）建立模型＝﹣30.4+13.5t；根据2010年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1，2，…，7）建立模型②＝99+17.5t．利用这两个模型，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值分别为，；并且可以判断利用模型得到的预测值更可靠．13．（5分）对于函数y＝f（x），若存在区间[a，b]，当x∈[a，b]时，f（x）的值域为[ka，kb]（k＞0），则称y＝f（x）为k倍值函数．若f（x）＝lnx+x是k倍值函数，则实数k的取值范围是．14．（5分）定义：对于数列{x n}，如果存在常数p，使对任意正整数n，总有（x n+1﹣p）（x n ﹣p）＜0成立，那么我们称数列{x n}为“p﹣摆动数列”①若a n＝2n﹣1，b n＝q n（﹣1＜q＜0），n∈N*，则数列{a n}“p﹣摆动数列”，{b n}“p﹣摆动数列”（回答是或不是）；②已知“p﹣摆动数列”{c n}满足c n+1＝，c1＝1．则常数p的值为；三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（13分）已知函数f（x）＝sin （﹣2x）﹣2sin（x ﹣）cos（x +）．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）已知x1，x2是函数y＝f（x ）﹣的两个零点，求|x1﹣x2|的最小值．16．（14分）空气质量按照空气质量指数大小分为七档（五级），相对应空气质量的七个类别，指数越大，说明污染的情况越严重，对人体危害越大．现统计邵阳市市区2016年10月至11月连续60天的空气质量指数，制成如图所示的频率分布直方图．（1）求这60天中属轻度污染的天数；（2）求这60天空气质量指数的平均值；（3）一般地，当空气质量为轻度污染或轻度污染以上时才会出现雾霾天气，且此时出现雾霾天气的概率为，请根据统计数据，求在未来2天里，邵阳市恰有1天出现雾霾天气的概率．17．（13分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA＝CB，侧面ABB1A1是边长为2的正方形，点E，F分别在线段AA1、A1B1上，且AE＝，A1F＝，CE⊥EF．（Ⅰ）证明：平面ABB1A1⊥平面ABC；（Ⅱ）若CA⊥CB，求直线AC1与平面CEF所成角的正弦值．18．（13分）圆x2+y2＝2与x轴交于F1、F2两点，P为圆上一点．椭圆＝1（a＞b ＞0）以F1、F2为焦点且过点P．（Ⅰ）当P点坐标为（x0，）（x0＞0）时，求x0的值及椭圆方程；（Ⅱ）若直线1与（Ⅰ）中所求的椭圆交于A、B不同的两点，且点C（0，﹣1），||＝||，求直线l在y轴上截距b的取值范围．19．（14分）已知函数f（x）＝e x[x3﹣2x2+（a+4）x﹣2a﹣4]，其中a∈R，e为自然对数的底数．（1）若函数f（x）的图象在x＝0处的切线与直线x+y＝0垂直，求a的值；（2）关于x的不等式f（x）＜﹣e x在（﹣∞，2）上恒成立，求a的取值范围；（3）讨论函数f（x）极值点的个数．20．（13分）已知集合A1，A2，…，A n为集合U的n个非空子集，这n个集合满足：①从中任取m个集合都有≠U成立；②从中任取m+1个集合都有＝U成立．（Ⅰ）若U＝{1，2，3}，n＝3，m＝1，写出满足题意的一组集合A1，A2，A3；（Ⅱ）若n＝4，m＝2，写出满足题意的一组集合A1，A2，A3，A4以及集合U；（Ⅲ）若n＝10，m＝3，求集合U中的元素个数的最小值．2019年北京市首师大附中高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【解答】解：（1﹣2i）z＝5i（i是虚数单位），可得|（1﹣2i）||z|＝|5i|，解得|z|＝．故选：D．2．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q（q＞0），∵a6＝3，∴，∴a4+a8＝．当且仅当q＝1时上式等号成立．故选：A．3．【解答】解：模拟程序的运行，可得x＝2，n＝4，v＝1，i＝3，满足进行循环的条件i＞0，v＝5，i＝2，满足进行循环的条件i＞0，v＝12，i＝1，满足进行循环的条件i＞0，v＝25，i＝0不满足进行循环的条件i＞0，退出循环，输出v的值为：25故选：C．4．【解答】解：设正六棱柱的底面边长和侧棱长均为a，则体积V＝Sh＝6×＝，解得a＝2，故左视图是长方形，长为，宽为2，面积为×2＝故选：A．5．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，∵平面区域Ω夹在两条斜率为﹣的平行直线之间，且两条平行直线间的最短距离为m，则m＝＝．令z＝mx﹣y＝x﹣y，则y＝x﹣z，由图可知，当直线y＝x﹣z过B（2，3）时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为：＝．故选：A．6．【解答】解：由题意可知CE＝3，∠BCE＝60°，∴EB＝，∴cos∠BEC＝，∴cos∠BED＝2cos2∠BEC﹣1＝．∴．故选：D．7．【解答】解：从包括甲、乙两人在内的七名老师中随机选择4名参加志愿者服务工作，根据工作特点要求甲、乙两人中至少有1人参加，且列队服务，基本事件总数n＝（+）＝720，甲、乙都被选中且列队服务时不相邻包含的基本事件个数m＝＝120，甲、乙都被选中且列队服务时不相邻的概率p＝＝．故选：C．8．【解答】解：6箱货物的分配方法有：6，0，0，0；5，1，0，0；4，2，0，0；3，3，0，0；4，1，1，0；2，2，2，0；3，2，1，0；1，1，2，2；1，1，1，3类型．而6，0，0，0；5，1，0，0；4，2，0，0；3，3，0，0；4，1，1，0；2，2，2，0；类型中获利的最大值不超过：16．a，b，c，d；总获利分配货物：1 2 2 1 4+4+5+4＝17．1 3 1 1 4+7+2+4＝17．2 3 0 1 6+7+0+4＝17．该公司获得最大总利润的运送方式有：3种．故选：C．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上．9．【解答】解：由展开式中的二项式系数和为64，可得2n＝64，∴n＝6．由于＝，展开式的通项公式为T r+1＝•x12﹣2r•x﹣r＝•x12﹣3r，令12﹣3r＝0，r＝4，故该展开式中的常数项为＝＝15，故答案为6，15．10．【解答】解：∵|PF1|•|PF2|＝（a+ex）（a﹣ex）＝a2﹣e2x2≤a2，∴|PF1|•|PF2|的最大值为a2，∴由题意知2c2≤a2≤3c2，∴，∴．故椭圆m的离心率e的取值范围．答案：11．【解答】解：如图所示在Rt△OPQ中，ρ＝＝，可化为ρsinθ＝﹣2．过点且平行于极轴的直线的极坐标方程是ρsinθ＝﹣2．故答案为：ρsinθ＝﹣2．12．【解答】解（1）①y＝﹣3.04+13.5×19＝226.1（亿元）．②y＝99+17.5×9＝256.5 （亿元）．（2）当年份为2016，对于模型①：t＝17，y＝﹣3.04+13.5×17＝199.1 （亿元），对于模型②：t＝7，y＝99+17.5×7＝221.5 （亿元），所以②的准确度较高，①偏差较大，所以选择②得到的预测值更可靠．故答案为：226.1（亿元）；256.5 （亿元）．13．【解答】解：∵f（x）＝lnx+x，定义域为{x|x＞0}，f（x）在定义域为单调增函数，因此有：f（a）＝ka，f（b）＝kb，即：lna+a＝ka，lnb+b＝kb，即a，b为方程lnx+x＝kx的两个不同根．∴k＝1+，令1+＝g（x），令g'（x）＝＝0，可得极大值点x＝e，故g （x）的极大值为：g（e）＝1+，当x趋于0时，g（x）趋于﹣∞，当x趋于∞时，g（x）趋于1，因此当1＜k＜1+时，直线y＝k与曲线y＝g（x）的图象有两个交点，方程k＝1+有两个解．故所求的k的取值范围为（1，1+），故答案为（1，1+）．14．【解答】（1）由a n＝2n﹣1知道{a n}是递增数列，故不存在满足定义的p，又因为b n＝q n（﹣1＜q＜0）可知b n正负数值交替出现，故p＝0时满足定义．（2）因为数列{c n}是“p﹣摆动数列”，故n＝1时有（x2﹣p）（x1﹣p）＜0，可求得，又因为使对任意正整数n，总有（c n+1﹣p）（c n﹣p）＜0成立，即有（c n+2﹣p）（c n+1﹣p）＜0成立，则（c n+2﹣p）（c n﹣p）＞0，所以c1＞p，c3＞p，…，c2n﹣1＞p，同理c2＜p，c4＜p，…，c2n＜p，所以c2n＜p＜c2n﹣1，即，解得，即，同理，解得，即，综上，．故答案为：不是；是；．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．【解答】解：（Ⅰ）f（x）＝sin（﹣2x）＝sin cos2x﹣cos sin2x﹣2sin（x﹣）cos（x+π﹣）＝cos2x+sin2x+2sin（x﹣）cos（x﹣）＝cos2x+sin2x+sin（2x﹣）＝cos2x+sin2x﹣cos2x＝sin2x﹣cos2x＝sin（2x﹣），则函数f（x）的最小正周期T＝＝π，由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，即函数的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．（Ⅱ）x1，x2是函数y＝f（x）﹣的两个零点，∴由y＝f（x）﹣＝0得f（x）＝，则由sin（2x﹣）＝得2x1﹣＝2k1π+①，2x2﹣＝2k2π+，②，则②﹣①得2（x2﹣x1）＝2（k2﹣k1）π+，即（x2﹣x1）＝（k2﹣k1）π+，则|x1﹣x2|＝|（k2﹣k1）π+|，k1，k2∈Z，则当k1＝k2时，|x1﹣x2|取得最小值，最小值为|x1﹣x2|＝．16．【解答】解：（1）依题意知，轻度污染即空气质量指数在151﹣200之间，共有0.003×50×60＝9天．（2）由直方图知60天空气质量指数的平均值为．（3）空气质量为轻度污染或轻度污染以上的概率P1＝0.15+0.05＝0.2，∴出现雾霾概率为，∴未来2天里，恰有1天为雾霾天气的概率．17．【解答】证明：（I）取AB的中点D，连结CD，DF，DE．∵AC＝BC，D是AB的中点，∴CD⊥AB．∵侧面ABB1A1是边长为2的正方形，AE＝，A1F＝．∴A1E＝，EF＝＝，DE＝＝，DF＝＝，∴EF2+DE2＝DF2，∴DE⊥EF，又CE⊥EF，CE∩DE＝E，CE⊂平面CDE，DE⊂平面CDE，∴EF⊥平面CDE，又CD⊂平面CDE，∴CD⊥EF，又CD⊥AB，AB⊂平面ABB1A1，EF⊂平面ABB1A1，AB，EF为相交直线，∴CD⊥平面ABB1A1，又CD⊂平面ABC，∴平面ABB1A1⊥平面ABC．（II）∵平面ABB1A1⊥平面ABC，∴三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，∴CC1⊥平面ABC．∵CA⊥CB，AB＝2，∴AC＝BC＝．以C为原点，以CA，CB，CC1为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示：则A（，0，0），C（0，0，0），C1（0，0，2），E（，0，），F（，，2）．∴＝（﹣，0，2），＝（，0，），＝（，，2）．设平面CEF的法向量为＝（x，y，z），则，∴，令z＝4，得＝（﹣，﹣9，4）．∴＝10，||＝6，||＝．∴sin＜＞＝＝．∴直线AC1与平面CEF所成角的正弦值为．18．【解答】解：（Ⅰ）由圆与x轴的交点为（，0）得椭圆的焦距2c＝2，∴a2﹣b2＝2，∴a2＝2+b2，∴椭圆方程化为+＝1，①将P（）代入圆，得，∴，∴P（，）代入①式，得+＝1，解得b2＝1，∴椭圆方程为．（Ⅱ）由||＝||，得点C应该在线段AB的中垂线上，当k＝0时，l与椭圆交于两点都满足题意，∴b∈（﹣1，1），当k≠0时，设A（x1，y1），B（x2，y2），中点M（x′，y′），由，消y得（）x2+2kbx+b2﹣1＝0，由，得3k2﹣b2+1＞0，②由，作差，得（x1+x2）（x1﹣x2）+（y1+y2）（y1﹣y2）＝0，由，及＝k，得x′+3ky′＝0，③∵MC⊥AB，∴x′+k（y′+1）＝0，④由③④得，代入y′＝kx′+b中，得k2＝，⑤将⑤式代入②式，得0＜b＜2，由⑤得2b﹣1＞0，∴b＞，∴b的取值范围是（）．综上，当k＝0时，直线l在y轴上的截距的取值范围是（﹣1，1），当k≠0时，直线l在y轴上的截距的取值范围是（）．19．【解答】解：（1）函数f（x）＝e x[x3﹣2x2+（a+4）x﹣2a﹣4]的导数为f′（x）＝e x•（x3﹣x2+ax﹣a），图象在x＝0处的切线斜率为﹣a，切线与直线x+y＝0垂直，可得﹣a＝1，解得a＝﹣1；（2）关于x的不等式f（x）＜﹣e x在（﹣∞，2）上恒成立，即为x3﹣2x2+（a+4）x﹣2a﹣＜0在x＜2恒成立．即有x3﹣2x2+4x﹣＜a（2﹣x），令x﹣2＝t（t＜0），可得﹣a＜，令g（t）＝，t＜0，g′（t）＝＝＜0，即g（t）在t＜0递减，可得g（t）＞0，可得﹣a≤0，即a的取值范围是[0，+∞）；（3）由f（x）的导数为f′（x）＝e x•（x3﹣x2+ax﹣a），令h（x）＝x3﹣x2+ax﹣a，由h（x）＝0，即为a（x﹣1）＝x2﹣x3，若x＝1时，方程不成立；若x≠1时，a＝，令m＝x﹣1，可得h（m）＝＝＝，h′（m）＝，当m＞0即x＞1时，h（m）递减，m＜﹣1时，h（m）递增，﹣1＜m＜0时，h（m）递减．则当a＝0时，f′（x）＝x2（x﹣1），显然x＞3，f（x）递增，x＜0或0＜x＜3时，f（x）递减，即有x＝3为极值点；当a＞0时，a＝h（m）有一个解，f（x）有一个极值点；当a＜0时，a＝h（m）有三个解，f（x）有三个极值点．综上可得，a＝0时，f（x）有一个极值点；a＞0时，f（x）有一个极值点；a＜0时，f（x）有三个极值点．20．【解答】解：（Ⅰ）∵集合A1，A2，…，A n为集合U的n个非空子集，这n个集合满足：①从中任取m个集合都有A i1∪A i2∪…∪A im≠U成立，②从中任取m+1个集合都有＝U成立．U＝{1，2，3}，n＝3，m＝1，∴满足题意的一组集合A1＝{2，3}，A2＝{2，3，6}，A3＝{1，3，5}．（Ⅱ）∵n＝4，m＝2，∴满足题意的一组集合A1＝{4，5，6}，A2＝{2，3，6}，A3＝{1，3，5}，A4＝{1，2，4}，集合U＝{1，2，3，4，5，6}．（Ⅲ）∵n＝10，m＝3，∴集合U中的元素个数的最小值为120个．下面先证明若{i 1，i2，i3}≠{j1，j2，j3}，则，，B j≠B i，反证法：假设B j＝B i，设i1∉{j1，j2，j3}，由假设B i＝B j≠∪，设D j＝∁U B j，设x∈D j，则x是，，中都没有的元素，x∉B j，∵，，，四个子集的并集为U，∴⊂B i＝B j与x∉B j矛盾，∴假设不正确，若{i1，i2，i3}≠{j1，j2，j3}，且，，B j≠B i成立，则A1，A2，…，A10的3个集合的并集共计有＝120个．把集合U中120个元素与A 1，A2，…，A10的3个集合的并集B i＝建立一一对应关系，∴集合U中元素个数大于等于120，下面我们构造一个有120个元素的集合U：把与B i＝（i＝1，2，…，120）对应的元素放在异于，的集合中，∴对于任意一个3个集合的并集，它们都不含与B i对应的元素，∴B i≠U，同时，对于任意的4个集合设为的并集，则由上面的原则与，，对应的元素在集合中，即对于任意的4个集合的并集为全集U．。
2019年高考数学(理科)模拟试卷(一)
2019年高考数学(理科)模拟试卷(一) 2019年高考数学(理科)模拟试卷(一)第Ⅰ卷(选择题满分60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={x|y=lg(3-2x)}，B={x|x²≤4}，则A∪B=（）A。
{x|-2≤x<2}B。
{x|x<2}C。
{x|-2<x<2}D。
{x|x≤2}2.若复数(1-i)(a+i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是（）A。
(-∞,1)B。
(-∞,-1)C。
(1,+∞)D。
(-1,+∞)3.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”根据已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，问第二尺与第四尺的重量之和为（）A。
6斤B。
9斤C。
9.5斤D。
12斤4.某三棱锥的三视图如图M1-1，则该三棱锥的体积为（）A。
60B。
30C。
20D。
105.设x∈R，[x]表示不超过x的最大整数。
若存在实数t，使得[t]=1，[t²]=2，…，[tn]=n同时成立，则正整数n的最大值是（）A。
3B。
4C。
5D。
66.执行两次如图M1-2所示的程序框图，若第一次输入的x值为7，第二次输入的x值为9，则第一次、第二次输出的a 值分别为（）A。
0,0B。
1,1C。
0,1D。
1,07.某市重点中学奥数培训班共有14人，分为两个小组，在一次阶段考试中两个小组成绩的茎叶图如图M1-3，其中甲组学生成绩的平均数是88，乙组学生成绩的中位数是89，则m+n的值是（）A。
10B。
11C。
12D。
138.若x，y满足约束条件x+y-3≥0，x-2y≤0，则x≥（）A。
[0,6]B。
[0,4]C。
[6,+∞)D。
[4,+∞)13.首先求出向量a和b的夹角，由向量点乘公式可得cosθ = (a·b)/(|a||b|) = 9/√20，其中θ为夹角。
(完整版)2019年北京市各区高三一模试题分类汇编：1三角函数(理科)(含答案解析)
2019年北京市各区高三一模试题分类汇编01三角函数(理科)1 (2019年东城一模理科)2 (2019年西城一模理科)下列函数中，对于任意x ∈R ，同时满足条件()()f x f x =-和(π)()f x f x -=的函数是（ D ）（A ）()sin =f x x （C ）()cos =f x x（B ）()sin cos =f x x x （D ）22()cos sin =-f x x x3 (2019年朝阳一模理科) 在ABC △中，π4A =，BC =AC =”是“π3B =”的（B ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条4 (2019年丰台一模理科)已知tan 2=α，则sin cos sin cos -+αααα的值为_______________.5 (2019年顺义一模理科)已知函数()cos(2)cos 23f x x xπ=+-，其中x R ∈，给出下列四个结论 ①.函数()f x 是最小正周期为π的奇函数； ②.函数()f x 图象的一条对称轴是23x π=；③.函数()f x 图象的一个对称中心为5(,0)12π；④.函数()f x 的递增区间为2,63k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈. 则正确结论的个数是(C)(A) 1 个 (B) 2 个 (C) 3 个 ( D) 4 个 6 (2019年延庆一模理科)同时具有性质“①最小正周期是π， ②图像关于3π=x 对称，③在]3,6[ππ-上是增函数”的一个函数是(C)A ．)62sin(π+=x y B ．)32cos(π+=x y C ．)62sin(π-=x y D ．)62cos(π-=x y7 (2019年东城一模理科)8 (2019年西城一模理科)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c. 已知222b c a bc +=+.（Ⅰ）求A 的大小；（Ⅱ）如果cos =B ，2b =，求△ABC 的面积. 9 (2019年海淀一模理科)已知函数ππ()2sincos 66f x x x =，过两点(,()),(1,(1))A t f t B t f t ++的直线的斜率记为()g t ．（Ⅰ）求(0)g 的值；（II ）写出函数()g t 的解析式，求()g t 在33[,]22-上的取值范围．10 (2019年朝阳一模理科)已知函数22()2sin()cos sin cos f x x x x x =π-⋅+-，x ∈R ．（Ⅰ）求()2f π的值及函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求函数()f x 在[]0,π上的单调减区间11 (2019年丰台一模理科)已知函数2()cos(2)2sin 13f x x x =--+π．（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求函数()f x 在区间[0,]2π上的最大值和最小值.12 (2019年石景山一模理科)在△ABC 中，角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，且a b c <<，2sin b A =．（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若2a =，b =，求c 边的长和△ABC 的面积 13 (2019年顺义一模理科)已知ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别 为a ，b ，c，且满足3sin sin )2A A A +=（Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）若a =，ABC S =V ，求b ，c 的值. 14 (2019年延庆一模理科)在三角形ABC 中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，且2=a ，4π=C ，53cos =B ．（Ⅰ）求A sin 的值；（Ⅱ）求ABC ∆的面积2019年北京市各区高三一模试题汇编--三角函数(理科) 答案：1．D ；2．D ；3．B ；4．13；5．C ；6．C ； 7．8.（Ⅰ）解：因为 222b c a bc +=+，所以 2221cos 22b c a A bc +-==，…………… 3分 又因为 (0,π)∈A ，所以 π3A =. ……………… 5分（Ⅱ）解：因为cos =B ，(0,π)∈B ，所以sin B ==.…………7分由正弦定理 sin sin =a bA B ， ……………9分 得 sin 3sin ==b Aa B. ………………10分因为 222b c a bc +=+， 所以 2250--=c c ， 解得1=c因为 0>c ，所以1=c . ………………11分 故△ABC的面积1sin 2S bc A ==……………13分 9.解：（Ⅰ）π()sin3f x x =———————————————2分 (1)(0)(0)1f fg -=——————3分πsin sin 03=-=．————5分（Ⅱ）(1)()π()sin()sin 1333f t f tg t t t t t ππ+-==+-+-——————————6分 πππsin cos cos sin sin 33333t t t ππ=+-—————————————————7分1ππsin 233t t =-+————————————————8分ππsin()33t =--————————————————10分因为33[,]22t ∈-，所以ππ5ππ[,]3366t -∈-，————————————————11分 所以π1sin()[1,]332t π-∈-，———————————————12分所以()g t 在33[,]22-上的取值范围是1[,1]2-————————————————13分10.解：()f x =sin2cos2x x-)4x π-．（Ⅰ）())1224f πππ=⋅-==．显然，函数()f x 的最小正周期为π……… 8分（Ⅱ）令ππ3π2π22π242k x k +-+≤≤得37ππππ88k x k ++≤≤，k ∈Z ．又因为[]0,πx ∈，所以3π7π,88x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．函数()f x 在[]0,π上的单调减区间为3π7π,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦…13分11.解：（Ⅰ）()cos 2cossin 2sincos 233f x x x x ππ=++1cos 22cos 22x x x =+32cos 22x x =+13(sin 22)2x x =+2coscos 2sin )33x x ππ=+)3x π=+----------------------------------------------5分所以()f x 的最小正周期为π.----------------------------------------------7分（Ⅱ）由（Ⅰ）知())3f x x π=+因为[0,]2x π∈，所以ππ4π2[,]333x +∈，当ππ232x +=，即π12x =时，函数()f x，当π4π233x +=，即π2x =时，函数()f x 取最小值32-. 所以，函数()f x 在区间[0,]2π32-.--------------13分 12.解：2sin b A =，2sin sin A B A =，……………2分 因为0A π<<，所以sin 0A ≠，所以sin B =， …………………… 4分 因为0B π<<，且a b c <<，所以60B =o ．…………………………6分 （Ⅱ）因为2a =，b =22212222c c =+-⨯⨯⨯，即2230c c --=，解得3c =或1c =-（舍），所以c 边的长为3．…………………………10分11333=sin 2322ABC S ac B ∆=⨯⨯⨯=．…………………………13分 13.14.解：（Ⅰ）Θ53cos =B ，∴54sin =B ……………………1分∴)sin(sin C B A +=……………………2分C B C B sin cos cos sin +=……………………4分102722532254=⨯+⨯=……………………6分 （Ⅱ）ΘAaB b sin sin =……………………8分 1027254=∴b ，728=∴b ……………………10分C ab S ABC sin 21=∴∆，……………………11分22728221⨯⨯⨯=78=………………………………13分。
2019年北京市各区高三一模试题分类汇编：1三角函数(理科)(含答案解析)
2019年北京市各区高三一模试题分类汇编01三角函数(理科)1 (2019年东城一模理科)2 (2019年西城一模理科)下列函数中，对于任意x ∈R ，同时满足条件()()f x f x =-和(π)()f x f x -=的函数是（ D ）（A ）()sin =f x x（C ）()cos =f x x （B ）()sin cos =f x x x（D ）22()cos sin =-f x x x3 (2019年朝阳一模理科) 在ABC △中，π4A =，BC =AC =π3B =”的（B ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条 4 (2019年丰台一模理科)已知tan 2=α，则sin cos sin cos -+αααα的值为_______________. 5 (2019年顺义一模理科)已知函数()cos(2)cos 23f x x xπ=+-，其中x R ∈，给出下列四个结论 ①.函数()f x 是最小正周期为π的奇函数； ②.函数()f x 图象的一条对称轴是23x π=；③.函数()f x 图象的一个对称中心为5(,0)12π；④.函数()f x 的递增区间为2,63k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈. 则正确结论的个数是(C)(A) 1 个 (B) 2 个 (C) 3 个 ( D) 4 个 6 (2019年延庆一模理科)同时具有性质“①最小正周期是π， ②图像关于3π=x 对称，③在]3,6[ππ-上是增函数”的一个函数是(C)A ．)62sin(π+=x y B ．)32cos(π+=x y C ．)62sin(π-=x y D ．)62cos(π-=x y7 (2019年东城一模理科)8 (2019年西城一模理科)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c. 已知222b c a bc +=+.（Ⅰ）求A 的大小；（Ⅱ）如果cos 3=B ，2b =，求△ABC 的面积. 9 (2019年海淀一模理科)已知函数ππ()2sincos 66f x x x =，过两点(,()),(1,(1))A t f t B t f t ++的直线的斜率记为()g t ．（Ⅰ）求(0)g 的值；（II ）写出函数()g t 的解析式，求()g t 在33[,]22-上的取值范围．10 (2019年朝阳一模理科)已知函数22()2sin()cos sin cos f x x x x x =π-⋅+-，x ∈R ．（Ⅰ）求()2f π的值及函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求函数()f x 在[]0,π上的单调减区间11 (2019年丰台一模理科)已知函数2()cos(2)2sin 13f x x x =--+π．（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求函数()f x 在区间[0,]2π上的最大值和最小值.12 (2019年石景山一模理科)在△ABC 中，角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，且a b c <<，2sin b A =．（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若2a =，b =c 边的长和△ABC 的面积 13 (2019年顺义一模理科)已知ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别 为a ，b ，c，且满足3sin sin )2A A A +=（Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）若a =，ABC S =，求b ，c 的值. 14 (2019年延庆一模理科)在三角形ABC 中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，且2=a ，4π=C ，53cos =B ．（Ⅰ）求A sin 的值；（Ⅱ）求ABC ∆的面积2019年北京市各区高三一模试题汇编--三角函数(理科) 答案：1．D ；2．D ；3．B ；4．13；5．C ；6．C ； 7．8.（Ⅰ）解：因为 222b c a bc +=+，所以 2221cos 22b c a A bc +-==，…………… 3分 又因为 (0,π)∈A ，所以 π3A =. ……………… 5分（Ⅱ）解：因为cos 3=B ，(0,π)∈B ，所以sin 3B ==.…………7分由正弦定理 sin sin =a b A B ， ……………9分 得 sin 3sin ==b Aa B. ………………10分 因为 222b c a bc +=+， 所以 2250--=c c ， 解得1=c 因为 0>c ，所以1=c . ………………11分 故△ABC的面积1sin 22S bc A ==……………13分 9.解：（Ⅰ）π()sin3f x x =———————————————2分 (1)(0)(0)1f fg -=——————3分πsin sin 03=-=．————5分（Ⅱ）(1)()π()sin()sin 1333f t f tg t t t t t ππ+-==+-+-——————————6分 πππsin cos cos sin sin 33333t t t ππ=+-—————————————————7分1ππsin 233t t =-————————————————8分ππsin()33t =--————————————————10分因为33[,]22t ∈-，所以ππ5ππ[,]3366t -∈-，————————————————11分 所以π1sin()[1,]332t π-∈-，———————————————12分所以()g t 在33[,]22-上的取值范围是1[,1]2-————————————————13分10.解：()f x =sin 2cos 2x x-)4x π-．（Ⅰ）())1224f πππ=⋅-==．显然，函数()f x 的最小正周期为π……… 8分 （Ⅱ）令ππ3π2π22π242k x k +-+≤≤得37ππππ88k x k ++≤≤，k ∈Z ．又因为[]0,πx ∈，所以3π7π,88x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．函数()f x 在[]0,π上的单调减区间为3π7π,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦…13分11.解：（Ⅰ）()cos 2cossin 2sincos 233f x x x x ππ=++1cos 22cos 222x x x =++32cos 222x x =+13(sin 22)22x x =+2coscos 2sin )33x x ππ=+)3x π=+----------------------------------------------5分所以()f x 的最小正周期为π.----------------------------------------------7分（Ⅱ）由（Ⅰ）知())3f x x π=+因为[0,]2x π∈，所以ππ4π2[,]333x +∈，当ππ232x +=，即π12x =时，函数()f x取最大值，当π4π233x +=，即π2x =时，函数()f x 取最小值32-. 所以，函数()f x 在区间[0,]2π32-.--------------13分 12.解：2sin b A =，2sin sin A B A =，……………2分 因为0A π<<，所以sin 0A ≠，所以sin 2B =， …………………… 4分 因为0B π<<，且a b c <<，所以60B =．…………………………6分 （Ⅱ）因为2a =，b =22212222c c =+-⨯⨯⨯，即2230c c --=，解得3c =或1c =-（舍），所以c 边的长为3．…………………………10分11=sin 232222ABC S ac B ∆=⨯⨯⨯=．…………………………13分 13.14.解：（Ⅰ） 53cos =B ，∴54sin =B ……………………1分∴)sin(sin C B A +=……………………2分C B C B sin cos cos sin +=……………………4分102722532254=⨯+⨯=……………………6分 （Ⅱ） AaB b sin sin =……………………8分 1027254=∴b ，728=∴b ……………………10分C ab S ABC sin 21=∴∆，……………………11分22728221⨯⨯⨯=78=………………………………13分。
2019届北京师大实验中学高三数学(理科)一模试题
2019届北京师大实验中学高三数学（理科）一模试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{0，1，2，3，4，5}，集合B＝{x|x2＜10}，则A∩B＝（）A．{0，2，4}B．{3}C．{0，1，2，3}D．{1，2，3}【解答】解：∵集合A＝{0，1，2，3，4，5}，集合B＝{x|x2＜10}＝{x|﹣}，∴A∩B＝{0，1，2，3}．故选：C．2．（5分）设实数x，y满足约束条件，则z＝x+y的最小值是（）A．B．1C．2D．7【解答】解：由题意作平面区域如下，，由解得，A（，），故z＝x+y的最小值是+＝，故选：A．3．（5分）若实数a满足，则a的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：∵＝log a a，∴0＜a＜1，，∴．①，又，∴a．②，由①②得：．∴a的取值范围是（，1）．故选：C．4．（5分）设x∈R，则“”是“（）x＞1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由得x＜0或x＞1，由（）x＞1得x＜0，则“”是“（）x＞1”的必要不充分条件，故选：B．5．（5分）已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0），其中，双曲线半焦距为c，若抛物线y2＝4cx的准线被双曲线C截得的弦长为（e为双曲线C的离心率），则双曲线C的渐近线方程为（）A．y＝B．y＝C．y＝D．y＝【解答】解：∵抛物线y2＝4cx的准线：x＝﹣c，它正好经过双曲线C：＝1（a ＞0，b＞0）的左焦点，∴准线被双曲线C截得的弦长为：，∴＝，∴3b2＝a2•＝c2＝a2+b2，∴2b2＝a2，∴＝，∴则双曲线C的渐近线方程为y＝±x，故选：B．6．（5分）已知奇函数f（x）在（﹣∞，+∞）上是增函数，若a＝﹣f（3），b＝f[log2（sin）]，c＝f（0.20.3），则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．b＜c＜a【解答】解：根据题意，f（x）为奇函数，则a＝﹣f（3）＝f（﹣3）＝f（log23），又由log2（sin）＜0＜0.20.3＜1＜log23，又由f（x）在（﹣∞，+∞）上是增函数，则有b＜c＜a；故选：D．7．（5分）用一块圆心角为240°、半径为R的扇形铁皮制成一个无底面的圆锥容器（接缝忽略不计），则该容器的体积为（）A．B．C．D．【解答】解：扇形的圆心角为240°＝，半径为R；设扇形围成的圆锥底面半径为r，高为h；则2πr＝R，解得r＝；h＝＝R，则该圆锥的体积为V＝πr2h＝••R＝．故选：A．8．（5分）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士、凡五人，共猎得五鹿，欲以爵次分之，问各得几何？”其意思：“共有五头鹿，5人以爵次进行分配（古代数学中“以爵次分之”这种表达，一般表示等差分配，在本题中表示等差分配）．”在这个问题中，若大夫得“一鹿、三分鹿之二”，则公士得（）A．三分鹿之一B．三分鹿之二C．一鹿D．一鹿、三分鹿之一【解答】解：五人分得的鹿肉斤数构成等差数列{a n}，d＜0．a1＝1+＝，S5＝5，∴+＝5，解得d＝﹣．∴a5＝﹣＝．故选：A．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分．9．（5分）在等比数列{a n}中，前n项和为S n，若S3＝6，S6＝54，则公比q的值是2．【解答】解：∵在等比数列{a n}中，前n项和为S n，S3＝6，S6＝54，∴，解得q＝2，∴公比q的值是2．故答案为：2．10．（5分）已知数列{a n}为等比数列，且a3a11+2a72＝4π，则tan（a1a13）的值为．【解答】解：由等比数列{a n}的性质可得，a3a11＝a72，由a3a11+2a72＝4π，则3a3a11＝4π，则a3a11＝．则tan（a1a13）＝tan＝tan＝．故答案为：．11．（5分）已知曲线f（x）＝lnx+nx在x＝x0处的切线方程为y＝2x﹣1，则f（1）+f'（1）＝3．【解答】解：由f（x）＝lnx+nx，得f′（x）＝，则f′（x0）＝＝2，∴．得f（）＝＝．∴，即n＝1．∴f（x）＝lnx+x，则f（1）＝1，f′（1）＝2．∴f（1）+f'（1）＝3．故答案为：3．12．（5分）已知实数x，y满足约束条件，则z＝x﹣2y的最大值为﹣1．【解答】解：实数x，y满足约束条件，如图区域为开放的阴影部分，由解得B（5，3），函数z＝x﹣2y过点（5，3）时，z max＝x﹣2y＝﹣1．故答案为：﹣1．13．（5分）设二次函数f（x）＝ax2+bx+c（a，b，c为实常数）的导函数为f'（x），若对任意x∈R不等式f（x）≤f'（x）恒成立，则的最大值为．【解答】解：∵f（x）＝ax2+bx+c，∴f′（x）＝2ax+b，∵对任意x∈R，不等式f（x）≤f′（x）恒成立，∴ax2+bx+c≤2ax+b恒成立，即ax2+（b﹣2a）x+（c﹣b）≤0恒成立，故△＝（b﹣2a）2﹣4a（c﹣b）＝b2+4a2﹣4ac≤0，且a＞0，即b2≤4ac﹣4a2，∴4ac﹣4a2≥0，∴c≥a＞0，∴≥1，可令t＝，即t≥1，t＝1时，a＝c，b＝0；故t＞1时，≤＝＝＝＝≤＝2﹣2，当且仅当t＝1+时，取得最大值2﹣2．故答案为：2﹣214．（5分）已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，E为y轴正半轴上的一点．且OE＝3OF（O 为坐标原点），若抛物线C上存在一点M（x0，y0），其中x0≠0，使过点M的切线l⊥ME，则切线l在y轴的截距为﹣1．【解答】解：由题意可得：F（0，1），E（0，3），由x2＝4y可得y＝，y′＝，∴直线l的斜率为y′|x＝x0＝，直线ME的斜率为．∵切线l⊥ME，∴．结合x02＝4y0．解得x0＝±2，不妨设M（2，1），则直线l的方程为y﹣1＝x﹣2，即y＝x﹣1．∴直线l在y轴的截距为﹣1．故答案为：﹣1．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知f（x）＝12sin（x+）cos x﹣3，x∈[0，]．（1）求f（x）的最大值、最小值；（2）CD为△ABC的内角平分线，已知AC＝f（x）max，BC＝f（x）min，CD＝2，求∠C．【解答】（1）f（x）＝12sin（x+）cos x﹣3＝12（sin x+cos x）cos x﹣3＝6sin x cos x+6cos2x﹣3＝3sin2x+3cos2x＝6sin（2x+），∵x∈[0，]，∴2x+∈[，]，∴sin（2x+）∈[，1]，∴f（x）max＝6，f（x）min＝3；（2）由角平分线性质定理得：＝＝＝2，∴AD2＝4BD2，△BCD中，BD2＝17﹣12cos，△ACD中，AD2＝44﹣24cos，∴44﹣24cos＝68﹣48cos∴cos＝，∴C＝．16．（13分）在多面体CABDE中，△ABC为等边三角形，四边形ABDE为菱形，平面ABC ⊥平面ABDE，AB＝2，∠DBA＝．（Ⅰ）求证：AB⊥CD；（Ⅱ）求点B到平面CDE距离．【解答】证明：（Ⅰ）取AB中点O，连结CO，DO，…..（1分）∵△ABC为等边三角形，∴CO⊥AB，…（2分）∵四边形ABDE为菱形，∠DBA＝60°，∴△DAB为等边三角形，∴DO⊥AB，…．（3分）又∵CO∩DO＝O，∴AB⊥面DOC，…..（5分）∵DC⊂面DOC，∴AB⊥CD．…..（6分）解：（Ⅱ）∵面ABDE⊥面ABC，CO⊥AB，面ABDE∩面ABC＝AB，CO⊂面ABC，∴CO⊥面ABDE，∵OD⊂面ABDE，∴CO⊥OD，…．…（8分）∵OD＝OC＝，在Rt△COD中，CD＝＝，由（1）得AB⊥CD，∵ED∥AB，ED⊥DC，∴＝＝，…（9分）S＝＝，…..…..（10分）△BDE设点B到面CDE的距离为h，∵，∴．…．（11分）即，∴h＝．…．…．（12分）17．（14分）近年电子商务蓬勃发展，2017年某网购平台“双11”一天的销售业绩高达1682亿元人民币，平台对每次成功交易都有针对商品和快递是否满意的评价系统．从该评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，网购者对商品的满意率为0.70，对快递的满意率为0.60，其中对商品和快递都满意的交易为80次．（1）根据已知条件完成下面的2×2列联表，并回答能否有99%的把握认为“网购者对商品满意与对快递满意之间有关系”？对快递满意对快递不满意合计对商品满意80对商品不满意合计200（2）为进一步提高购物者的满意度，平台按分层抽样方法从中抽取10次交易进行问卷调查，详细了解满意与否的具体原因，并在这10次交易中再随机抽取2次进行电话回访，听取购物者意见．求电话回访的2次交易至少有一次对商品和快递都满意的概率．附：K2＝（其中n＝a+b+c+d为样本容量）P（K2≥k）0.150.100.050.0250.010k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635【解答】解：（1）由题意，填写2×2列联表，如下：对快递满意对快递不满意合计对商品满意8060140对商品不满意402060合计12080200计算K2＝＝≈1.59，由于1.59＜6.635，所以没有99%的把握认为“网购者对商品满意与对快递满意之间有关系”；（2）根据题意，抽取的10次交易中，对商品和快递都满意的交易有4次，记为A、B、C、D，其余6次不是都满意的交易记为1、2、3、4、5、6，那么抽取2次交易一共有45种可能：AB、AC、AD、A1、A2、A3、A4、A5、A6、BC、BD、B1、B2、 (56)其中2次交易对商品和快递不是都满意的有15种：12、13、14、15、16、 (56)所以，在抽取的2次交易中，至少一次对商品和快递都满意的概率是P＝＝．18．（13分）已知{b n}为正项等比数列，b2＝2，b4＝8，且数列{a n}满足：a n b n﹣1＝log2b n．（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a n}的前n项和T n，并求使得（﹣1）nλ＜T n恒成立λ的取值范围．【解答】解：（I）设正项等比数列{b n}的公比为q，∵b2＝2，b4＝8，∴q＝＝2．∴b n＝＝2×2n﹣2＝2n﹣1．又数列{a n}满足：a n b n﹣1＝log2b n．∴2n﹣1•a n﹣1＝n﹣1，可得a n＝．（II）T n＝1++……+，＝++……++，∴T n＝+……+﹣＝﹣，化为：T n＝4﹣．T n﹣T n＝＞0，因此数列{T n}为单调递增数列．﹣1（﹣1）nλ＜T n恒成立．n为偶数时，λ＜（T n）min＝T2＝2．n为奇数时，﹣λ＜（T n）min＝T1＝1，解得λ＞﹣1．综上可得：λ的取值范围为（﹣1，2）．19．（14分）已知椭圆＝1（a＞b＞0）左顶点为M，上顶点为N，直线MN的斜率为．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）直线l：y＝x+m（m≠0）与椭圆交于A，C两点，与y轴交于点P，以线段AC 为对角线作正方形ABCD，若|BP|＝．（i）求椭圆方程；（ii）若点E在直线MN上，且满足∠EAC＝90°，求使得|EC|最长时，直线AC的方程．【解答】解：（Ⅰ）∵左顶点为M，上顶点为N，直线MN的斜率为．∴＝，∴e＝＝＝＝，（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知椭圆方程为x2+4y2＝4b2，设A（x1，y1），C（x2，y2），线段AC中点Q则，整理得：x2+2mx+2m2﹣2b2＝0，由△＝（2m）2﹣4×（2m2﹣b2）＝2b2﹣m2＞0，则x1+x2＝﹣2m，x1x2＝2m2﹣2b2，y1+y2＝（x1+x2）+2m＝m，则Q（﹣m，m），由l与y轴的交点P（0，m），丨PQ|═＝|m|，∴|BP|2＝|BQ|2+|PQ|2＝|AC|2+|PQ|2＝（2b2﹣m2）+m2＝b2＝，∴b2＝1，即b＝1，∴椭圆方程为+y2＝1；（ii）由（i）可知|AC|＝•，∵直线MN的方程为y＝x+1，∴直线MN与直线L的距离为，∵点E在直线MN上，且满足∠EAC＝90°，∴|AE|＝，∴|EC|2＝|AE|2+|AC|2＝（1﹣m）2+5（2﹣m2）＝﹣m2﹣m+，当m＝﹣时，此时|EC|最长，故直线直线AC的方程y＝x﹣20．（13分）已知函数f（x）＝2lnx﹣ax2（a∈R）．（1）当a＝1时，求函数f（x）的极值；（2）若函数f（x）的图象始终在函数g（x）＝2x3图象的下方，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a＝1时，f（x）＝2lnx﹣x2，定义域为（0，+∞），＝，令f'（x）＝0，则x＝1，∵x∈（0，1）时，f'（x）＞0；x∈（1，+∞）时，f'（x）＜0，＝f（1）＝﹣1；无极小值．∴x＝1时，f（x）极大值（2）令F（x）＝g（x）﹣f（x）＝2x3﹣2lnx+ax2，由题意，函数f（x）的图象始终在函数g（x）＝2x3图象的下方，等价于F（x）＞0在（0，+∞）恒成立，即2x3+ax2﹣2lnx＞0恒成立，得到（x∈（0，+∞））．令（x＞0），，显然h'（1）＝0，又函数y＝2﹣2x3﹣4lnx在（0，+∞）上单调递减；所以当x∈（0，1）时，h'（x）＞0；x∈（1，+∞）时，h'（x）＜0，则h（x）≤h（1）＝﹣2，因此a＞﹣2，所以a∈（﹣2，+∞）．。
2019届北京市首都师范大学附属中学高三一模数学(理) 试题(解析版)
2019届北京市首都师范大学附属中学高三一模数学（理）试题一、单选题1．若（是虚数单位），则的值为（）A．3 B．5 C．D．【答案】D【解析】直接利用复数的模的求法的运算法则求解即可.【详解】（是虚数单位）可得解得本题正确选项：【点睛】本题考查复数的模的运算法则的应用，复数的模的求法，考查计算能力.2．在各项均为正数的等比数列中，，则（）A．有最小值6 B．有最大值6 C．有最大值9 D．有最小值3【答案】A【解析】由题意设出等比数列的公比，把、用和公比表示，然后利用基本不等式求得答案.【详解】设等比数列的公比为，当且仅当即时上式等号成立本题正确选项：【点睛】本题考查等比数列的通项公式，考查了利用基本不等式求最值，是基础题.3．秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图是实现该算法的程序框图，执行该程序框图，若输入，的值分别为4，2，则输出的值为（）A．5 B．12 C．25 D．50【答案】C【解析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，模拟程序的运行过程，可得答案.【详解】模拟程序的运行，可得：，，，满足进行循环的条件，，满足进行循环的条件，，满足进行循环的条件，，不满足进行循环的条件，退出循环，输出的值为：本题正确选项：【点睛】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答，属于基础题.4．已知正六棱柱的底面边长和侧棱长相等，体积为，其三视图中的俯视图如图所示，则其侧（左）视图的面积是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】试题分析：设正六棱柱的底面边长是，那么底面面积是，那么体积，所以，解得，那么左视图是矩形，矩形的高就是俯视图的宽，所以左视图的面积是．【考点】1．三视图；2．几何体的体积． 名师点睛：1．柱体的体积是；2．画三视图的原则是长对正，高平齐，宽相等．5．已知平面区域34180:{2x y x y +-≤Ω≥≥夹在两条斜率为34-的平行直线之间，且这两条平行直线间的最短距离为m ，若点(),P x y ∈Ω,则z mx y =-的最小值为（ ） A ．95 B ．3 C ．245D ．6 【答案】A【解析】试题分析：作出平面区域,可知此区域表示的是一个直角三角形,其直角边为,故其斜边上的高为,数形结合可得.当直线经过点时,取得最小值.故选A.【考点】线性规划. 6．如图，平面四边形中，，，点在对角线上，，，则的值为（ ）A．17 B．13 C．5 D．1【答案】D【解析】由题意可知CE=3，∠BCE=60°，∴EB==，∴cos∠BEC==．∴cos∠BED=2cos2∠BEC﹣1=．∴==1．故选：D．7．某校校庆期间，大会秘书团计划从包括甲、乙两人在内的七名老师中随机选择4名参加志愿者服务工作，根据工作特点要求甲、乙两人中至少有1人参加，则甲、乙都被选中且列队服务时不相邻的概率为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】先求出基本事件总数，再求出甲、乙都被选中且列队服务时不相邻包含的基本事件个数，由此能求出甲、乙都被选中且列队服务时不相邻的概率.【详解】从包括甲、乙两人在内的七名老师中随机选择名参加志愿者服务工作根据工作特点要求甲、乙两人中至少有人参加，且列队服务基本事件总数甲、乙都被选中且列队服务时不相邻包含的基本事件个数，甲、乙都被选中且列队服务时不相邻的概率本题正确选项：【点睛】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用.8．某公司有4家直营店，，，，现需将6箱货物运送至直营店进行销售，各直营店出售该货物以往所得利润统计如下表所示:根据此表，该公司获得最大总利润的运送方式有（）A．1种B．2种C．3种D．4种【答案】D【解析】6箱货物的分配方法有：6,0,0,0；5,1,0,0；4,2,0,0；3,3,0,0；4,1,1,0；2,2,2,0；3,2,1,0；1,1,2,2；1,1,1,3；共9中方法，而6,0,0,0；5,1,0,0；4,2,0,0；3,3,0,0；4,1,1,0；2,2,2,0方法中获利的最大值不超过16；若分配方法为时，获利为，若分配方法为时，获利为，若分配方法为时，获利为，若分配方法为时，获利为；即该公司获得最大利润的运送方式有4种；故选D.【点睛】本题考查逻辑推理能力和分类讨论思想，解决本题的基本方法为列举法，先将6分解成四个自然数的和，再按所给表格中的数据一一求出相应最大值，比较其最大值即可求解.二、填空题9．若展开式中的二项式系数和为64，则等于_____，该展开式中的常数项为_____.【答案】615【解析】由题意可得，求得.在展开式的通项公式中，令的幂指数等于零，求得的值，即可求得展开式中的常数项.【详解】由展开式中的二项式系数和为，可得由于展开式的通项公式为令，解得，故该展开式中的常数项为本题正确结果为：，【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题.10．椭圆：的左、右焦点分别为，，为椭圆上任一点，且的最大值的取值范围是，其中，则椭圆的离心率的取值范围是_____. 【答案】【解析】根据题意，的最大值为，则由题意知，由此能够导出椭圆的离心率的取值范围. 【详解】的最大值为由题意知故椭圆的离心率的取值范围本题正确结果：【点睛】本题考查椭圆离心率取值范围的求解，能够通过焦半径公式得到的最大值为是正确解题的关键.11．在极坐标系中，过点(2)2M π，，且平行于极轴的直线的极坐标方程是 。
2019届北京市首都师范大学附属中学高三一模数学(理) 试题(解析版)
2019届北京市首都师范大学附属中学高三一模数学（理）试题一、单选题1．若（是虚数单位），则的值为（）A．3B．5C．D．2．在各项均为正数的等比数列中，，则（）A．有最小值6B．有最大值6C．有最大值9D．有最小值33．秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图是实现该算法的程序框图，执行该程序框图，若输入，的值分别为4，2，则输出的值为（）A．5B．12C．25D．504．已知正六棱柱的底面边长和侧棱长相等，体积为，其三视图中的俯视图如图所示，则其侧（左）视图的面积是（）A．B．C．D．5．已知平面区域夹在两条斜率为的平行直线之间，且这两条平行直线间的最短距离为，若点,则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】【解析】6．如图，平面四边形中，，，点在对角线上，，，则的值为（）A．17B．13C．5D．17．某校校庆期间，大会秘书团计划从包括甲、乙两人在内的七名老师中随机选择4名参加志愿者服务工作，根据工作特点要求甲、乙两人中至少有1人参加，则甲、乙都被选中且列队服务时不相邻的概率为（）A．B．C．D．8．某公司有4家直营店，，，，现需将6箱货物运送至直营店进行销售，各直营店出售该货物以往所得利润统计如下表所示:根据此表，该公司获得最大总利润的运送方式有（）A．1种B．2种C．3种D．4种二、填空题9．若展开式中的二项式系数和为64，则等于_____，该展开式中的常数项为_____.10．椭圆：的左、右焦点分别为，，为椭圆上任一点，且的最大值的取值范围是，其中，则椭圆的离心率的取值范围是_____.11．在极坐标系中，过点，且平行于极轴的直线的极坐标方程是。
12．如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额（单位：亿元）的折线图.为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了与时间变量的两个线性回归模型.根据2000年至2016年的数据（时间变量的值依次为1，2，…，17）建立模型①；根据2010年至2016年的数据（时间变量的值依次为1，2，…，7）建立模型②.利用这两个模型，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值分别为_____，_____；并且可以判断利用模型_____得到的预测值更可靠.13．对于函数，若存在区间，当时的值域为，则称为倍值函数.若是倍值函数，则实数的取值范围是________.14．定义：对于数列，如果存在常数，使对任意正整数，总有成立，那么我们称数列为“﹣摆动数列”.①若，，，则数列_____“﹣摆动数列”，_____“﹣摆动数列”（回答是或不是）；②已知“﹣摆动数列”满足，.则常数的值为_____.三、解答题15．已知函数.（Ⅰ）求函数的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）已知，是函数的两个零点，求的最小值.16．空气质量按照空气质量指数大小分为七档（五级），相对应空气质量的七个类别，指数越大，说明污染的情况越严重，对人体危害越大．指数级别类别户外活动建议Ⅰ优可正常活动Ⅱ良Ⅲ轻微污染易感人群症状有轻度加剧，健康人群出现刺激症状，心脏病和呼吸系统疾病患者应减少体积消耗和户外活动．轻度污染Ⅳ中度污染心脏病和肺病患者症状显著加剧，运动耐受力降低，健康人群中普遍出现症状，老年人和心脏病、肺病患者应减少体力活动．中度重污染Ⅴ重污染健康人运动耐受力降低，由明显强烈症状，提前出现某些疾病，老年人和病人应当留在室内，避免体力消耗，一般人群应尽量减少户外活动．现统计邵阳市市区2016年10月至11月连续60天的空气质量指数，制成如图所示的频率分布直方图．（1）求这60天中属轻度污染的天数；（2）求这60天空气质量指数的平均值；（3）一般地，当空气质量为轻度污染或轻度污染以上时才会出现雾霾天气，且此时出现雾霾天气的概率为，请根据统计数据，求在未来2天里，邵阳市恰有1天出现雾霾天气的概率．17．在三棱柱中，，侧面是边长为2的正方形，点，分别在线段、上，且，，.（Ⅰ）证明：平面平面；（Ⅱ）若，求直线与平面所成角的正弦值.18．圆与轴交于、两点，为圆上一点.椭圆以、为焦点且过点.（Ⅰ）当点坐标为时，求的值及椭圆方程；（Ⅱ）若直线与（Ⅰ）中所求的椭圆交于、不同的两点，且点，，求直线在轴上截距的取值范围.19．已知函数，其中，为自然对数的底数.（1）若函数的图象在处的切线与直线垂直，求的值；（2）关于的不等式在上恒成立，求的取值范围；（3）讨论函数极值点的个数.20．已知集合为集合U的n个非空子集，这n个集合满足：①从中任取m个集合都有成立；②从中任取个集合都有成立．（Ⅰ）若，，，写出满足题意的一组集合；（Ⅱ）若，，写出满足题意的一组集合以及集合；（Ⅲ)若，，求集合中的元素个数的最小值．。
2019北京高三一模数学---函数理科
2019北京高三一模数学---函数理科1.2019东城一模理（13）已知函数3()4f x x x =-，若1212,[,],,x x a b x x ∀∈≠都有12122()(2)(2)f x x f x f x +>+成立，则满足条件的一个区间是________. 2.2019西城一模理11．函数()sin2cos2f x x x =+的最小正周期T =____；如果对于任意的x ∈R 都有()f x a ≤，那么实数a 的取值范围是____．13. 能说明“若sin cos αβ=，则36090k αβ+=⋅+，其中k ∈Z ”为假命题的一组α，β的值是___． 3.2019海淀一模理(2)若角α的终边在第二象限，则下列三角函数值中大于零的是(A) sin(+)2πα (B) s(+)2co πα (C) sin()πα+ (D) s()co πα+ 4.2019朝阳一模理4．若函数22,1,()log ,1x x f x x x ⎧<=⎨-≥⎩,则函数()f x 的值域是A ．(,2)-∞B ．(,2]-∞C ．[0,)+∞D ．(,0)(0,2)-∞5．如图，函数()f x 的图象是由正弦曲线或余弦曲线经过变换得到的，则()f x 的解析式可以是A ．()sin(2)3f x x π=+B ．()sin(4)6f x x π=+C ．()cos(2)3f x x π=+D ．()cos(4)6f x x π=+12．能说明“函数()f x 的图象在区间[]0,2上是一条连续不断的曲线．若(0)(2)0f f ⋅>，则()f x 在(0,2)内无零点”为假命题的一个函数是 ． 5.2019丰台一模理5．下列函数中，同时满足：①图象关于y 轴对称；②1212,(0,)()x x x x ∀∈+∞≠，2121()()0f x f x x x ->-的是（A ）1()f x x -=（B ）2()log ||f x x =（C ）()cos f x x =（D ）1()2x f x +=13．已知函数()cos(2)(0)2f x x ϕϕπ=+-<<． ①函数()f x 的最小正周期为____；②若函数()f x 在区间4[,]33ππ上有且只有三个零点，则ϕ的值是____．6.2019石景山一模理7. 若1x y a b >>>>，则下列各式中一定正确的是A. x ya b >B. ln ln x y <C. sin sin x y >D.a b x y< 8.已知函数()sin f x a x x =-的一条对称轴为π6x =-，12()()0f x f x +=，且函数()f x 在12(,)x x 上具有单调性，则12||x x +的最小值为A. π6B.π3C.2π3D.4π37.2019怀柔一模理6．若函数()22-=-x x f x ，则()f xA ．是奇函数，且在R 上是增函数B ．是偶函数，且在R 上是增函数C ．是奇函数，且在R 上是减函数D ．是偶函数，且在R 上是减函数11．函数的最小正周期是________，的取值范围是__________．8.2019延庆一模理3. 已知(0,1)x ∈，令log 3x a =，sin b x =，2x c =，那么,,a b c 之间的大小关系为 （A ）a b c << （B ）b a c << （C ）b c a << （D ）c a b << 4．函数()=sin 22f x x x -在区间[,]22ππ-上的零点之和是 （A ）3π-（B ）6π- （C ）6π（D ）3π(f x ）12. 设()f x 是定义在R 上的单调递减函数，能说明“一定存在0x R 使得0()1f x <”为假命题的一个函数是()f x =_____．9.2019平谷一模理2. 下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是（ ） A. y=B. y=lnxC. y=sinxD. y=8. 放射性物质的半衰期T 定义为每经过时间T ，该物质的质量会衰退原来的一半，铅制容器中有两种放射性物质A ，B ，开始记录时容器中物质A 的质量是物质B 的质量的2倍，而120小时后两种物质的质量相等，已知物质A 的半衰期为7.5小时，则物质B 的半衰期为（ ） A. 10小时B. 8小时C. 12小时D. 15小时13. 已知函数f(x)=sin(2x+ )（其中 为实数），若f （x ）≤对x ∈R 恒成立，则满足条件的 值为 （写出满足条件的一个 值即可）。
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被选中且列队服务时不相邻的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（5 分）某公司有 4 家直营店 a，b，c，d，现需将 6 箱货物运送至直营店进行销售，各直 营店出售该货物以往所得利润统计如下表所示．
a
b
c
d
0
0
0
0
0
1
4
2
2
4
2
6
4
5
5
3
7
7
6
6
4
8
8
8
8
5
9
9
8
8
6
10
10
8
8
第2页（共27页）
根据此表，该公司获得最大总利润的运送方式有（ ）
（Ⅰ）求函数 f（x）的最小正周期和单调递增区间； （Ⅱ）已知 x1，x2 是函数 y＝f（x）﹣ 的两个零点，求|x1﹣x2|的最小值．
16．（14 分）空气质量按照空气质量指数大小分为七档（五级），相对应空气质量的七个类 别，指数越大，说明污染的情况越严重，对人体危害越大．
指数 级别 类别
户外活动建议
4．（5 分）已知正六棱柱的底面边长和侧棱长相等，体积为
视图如图所示，则其左视图的面积是（ ）
D．50 ．其三视图中的俯
A．
B．
C．8cm2
D．4cm2
第1页（共27页）
5．（5 分）已知平面区域
，夹在两条斜率为 的平行直线之间，且这
两条平行直线间的最短距离为 m．若点 P（x，y）∈Ω，则 z＝mx﹣y 的最小值为（ ）
【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离． 【分析】由已知可求出正六棱柱的底面边长和侧棱长均为 2cm，故左视图是长方形，长 为 ，宽为 2，由此能求出左视图的面积． 【解答】解：设正六棱柱的底面边长和侧棱长均为 a，
则体积 V＝Sh＝6×
＝
，解得 a＝2，
故左视图是长方形，长为 面积为 ×2＝
，宽为 2，
故选：A． 【点评】本题考查三视图与直观图的关系，正确判断几何体的形状是解题的关键．
5．（5 分）已知平面区域
，夹在两条斜率为 的平行直线之间，且这
两条平行直线间的最短距离为 m．若点 P（x，y）∈Ω，则 z＝mx﹣y 的最小值为（ ）
A．
B．3
C．
D．6
【考点】7C：简单线性规划． 菁优网版权所有
＝．
第9页（共27页）
令 z＝mx﹣y＝ x﹣y，则 y＝ x﹣z， 由图可知，当直线 y＝ x﹣z 过 B（2，3）时，直线在 y 轴上的截距最大，z 有最小值为：
＝． 故选：A．
【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方 法，是中档题． 6．（5 分）如图，平面四边形 ABCD 中，∠ABC＝∠ADC＝90°，BC＝CD＝2，点 E 在对角
（3）讨论函数 f（x）极值点的个数．
20．（13 分）已知集合 A1，A2，…，An 为集合 U 的 n 个非空子集，这 n 个集合满足：①从
中任取 m 个集合都有
≠U 成立；②从中任取 m+1 个集合都有
＝U 成立．
（Ⅰ）若 U＝{1，2，3}，n＝3，m＝1，写出满足题意的一组集合 A1，A2，A3； （Ⅱ）若 n＝4，m＝2，写出满足题意的一组集合 A1，A2，A3，A4 以及集合 U； （Ⅲ）若 n＝10，m＝3，求集合 U 中的元素个数的最小值．
301～500 Ⅴ
重污染
健康人运动耐受力降低，由明显强烈症状，提前出现某 些疾病，老年人和病人应当留在室内，避免体力消耗，
一般人群应尽量减少户外活动．
现统计邵阳市市区 2016 年 10 月至 11 月连续 60 天的空气质量指数，制成如图所示的频 率分布直方图．
（1）求这 60 天中属轻度污染的天数；
【考点】A8：复数的模． 菁优网版权所有
【专题】11：计算题；49：综合法；5N：数系的扩充和复数．
【分析】直接利用复数的模的求法的运算法则求解即可．
【解答】解：（1﹣2i）z＝5i（i 是虚数单位），
可得|（1﹣2i）||z|＝|5i|，
解得|z|＝ ．
故选：D．
【点评】本题考查复数的模的运算法则的应用，复数的模的求法，考查计算能力．
第6页（参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1．（5 分）若（1﹣2i）z＝5i（i 是虚数单位），则|z|的值为（ ）
A．3
B．5
C．
D．
2019 年北京市首师大附中高考数学一模试卷（理科）
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的．
1．（5 分）若（1﹣2i）z＝5i（i 是虚数单位），则|z|的值为（ ）
A．3
B．5
C．
D．
2．（5 分）在各项均为正数的等比数列{an}中，a6＝3，则 a4+a8＝（ ）
A．有最小值 6
B．有最大值 6
C．有最大值 9
D．有最小值 3
3．（5 分）秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在《数书九章》中提出的多项式求值的秦九
韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图是实现该算法的程序框图，执行该程序框图，
若输入 n，x 的值分别为 4，2，则输出 v 的值为（ ）
A．5
B．12
C．25
0～50 Ⅰ
优
可正常活动
51～100 Ⅱ
良
101～150 Ⅲ 151～200
轻微污染 易感人群症状有轻度加剧，健康人群出现刺激症状，心 轻度污染 脏病和呼吸系统疾病患者应减少体积消耗和户外活动．
201～250 251～300
Ⅳ 中度污染 心脏病和肺病患者症状显著加剧，运动耐受力降低，健 中度重污染 康人群中普遍出现症状，老年人和心脏病、肺病患者应 减少体力活动．
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13．（5 分）对于函数 y＝f（x），若存在区间[a，b]，当 x∈[a，b]时，f（x）的值域为[ka，kb]
（k＞0），则称 y＝f（x）为 k 倍值函数．若 f（x）＝lnx+x 是 k 倍值函数，则实数 k 的取
值范围是
．
14．（5 分）定义：对于数列{xn}，如果存在常数 p，使对任意正整数 n，总有（xn+1﹣p）（xn
韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图是实现该算法的程序框图，执行该程序框图， 若输入 n，x 的值分别为 4，2，则输出 v 的值为（ ）
A．5
B．12
C．25
D．50
【考点】EF：程序框图． 菁优网版权所有
【专题】11：计算题；27：图表型；4B：试验法；5K：算法和程序框图．
【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 v 的
【分析】由题意设出等比数列的公比，把 a4、a8 用 a6 和公比表示，然后利用基本不等式 求得答案．
【解答】解：设等比数列{an}的公比为 q（q＞0），
∵a6＝3，∴
，
∴a4+a8＝
．
当且仅当 q＝1 时上式等号成立． 故选：A．
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【点评】本题考查等比数列的通项公式，考查了利用不等式求最值，是基础题． 3．（5 分）秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在《数书九章》中提出的多项式求值的秦九
，则椭圆 m 的离
心率 e 的取值范围是
．
11．（5 分）在极坐标系中，过点
且平行于极轴的直线的极坐标方程是
．
12．（5 分）如图是某地区 2000 年至 2016 年环境基础设施投资额 y（单位：亿元）的折线图．
为了预测该地区 2018 年的环境基础设施投资额，建立了 y 与时间变量 t 的两个线性回归 模型．根据 2000 年至 2016 年的数据（时间变量 t 的值依次为 1，2，…，17）建立模型
值，模拟程序的运行过程，可得答案．
【解答】解：模拟程序的运行，可得
x＝2，n＝4，v＝1，i＝3，
满足进行循环的条件 i＞0，v＝5，i＝2，
满足进行循环的条件 i＞0，v＝12，i＝1，
满足进行循环的条件 i＞0，v＝25，i＝0
不满足进行循环的条件 i＞0，退出循环，输出 v 的值为：25
故选：C．
A．1 种
B．2 种
C．3 种
D．4 种
二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分，把答案填在题中横线上．
9．（5 分）若
展开式中的二项式系数和为 64，则 n 等于
，该展开式中的
常数项为
．
10．（5 分）椭圆
的左、右焦点分别为 F1，F2，P 为椭圆 M 上任
一点，且|PF1|•|PF2|的最大值的取值范围是[2c2，3c2]，其中
A．
B．3
C．
D．6
6．（5 分）如图，平面四边形 ABCD 中，∠ABC＝∠ADC＝90°，BC＝CD＝2，点 E 在对角
线 AC 上，AC＝4，AE＝1，则
的值为（ ）
A．17
B．13
C．5
D．1
7．（5 分）某校校庆期间，大会秘书团计划从包括甲、乙两人在内的七名老师中随机选择 4
名参加志愿者服务工作，根据工作特点要求甲、乙两人中至少有 1 人参加，则甲、乙都
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19．（14 分）已知函数 f（x）＝ex[ x3﹣2x2+（a+4）x﹣2a﹣4]，其中 a∈R，e 为自然对数
的底数． （1）若函数 f（x）的图象在 x＝0 处的切线与直线 x+y＝0 垂直，求 a 的值； （2）关于 x 的不等式 f（x）＜﹣ ex 在（﹣∞，2）上恒成立，求 a 的取值范围；