二项式定理 说课稿 教案 教学设计

二项式定理 第一课时

一、复习引入： ⑴2

2202122

222()2a b a ab b C a C ab C b +=++=++；

⑵3

322303122233333()33a b a a b ab b C a C a b C ab C b

+=+++=+++

⑶4

()

()()()()a b a b a b a b a b +=++++的各项都是4次式，

即展开式应有下面形式的各项：4

a ，3

a

b ，22a b ，3ab ，4b ，

展开式各项的系数：上面4个括号中，每个都不取b 的情况有1种，即0

4C 种，4a 的系数是0

4C ；恰有1个取b 的情况有1

4C 种，3

a

b 的系数是14C ，恰有2个取b 的情况有24C 种，22

a b 的系数是24C ，恰有3个

取b 的情况有34C 种，3ab 的系数是34C ，有4都取b 的情况有44C 种，4b 的系数是4

4C ， ∴4

0413*******

44444()

a b C a C a b C a b C a b C b +=++++．

二、讲解新课： 二项式定理：01()

()n

n n

r n r r

n n

n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=++

++

+∈

⑴()n

a b +的展开式的各项都是n 次式，即展开式应有下面形式的各项：

n a ，n a b ，…，n r r a b -，…，n b ，

⑵展开式各项的系数：

每个都不取b 的情况有1种，即0

n C 种，n a 的系数是0

n C ； 恰有1个取b 的情况有1

n C 种，n

a

b 的系数是1

n C ，……，

恰有r 个取b 的情况有r n C 种，n r

r a

b -的系数是r n C ，……，

有n 都取b 的情况有n

n C 种，n

b 的系数是n

n C ， ∴01()

()n

n n

r n r r

n n

n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=++

++

+∈，

这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫()n

a b +的二项展开式，⑶它有1n +项，各项的系数(0,1,)r

n C r n =叫二项式系数，

⑷r

n r r n C a

b -叫二项展开式的通项，用1r T +表示，即通项1r n r r

r n T C a b -+=．

⑸二项式定理中，设1,a b x ==，则1

(1)1n r r

n

n n x C x C x x +=++++

+

三、讲解范例：

例1．展开4

1(1)x

+． 解一： 411233

444411111(1)1()()()()C C C x x x x x

+

=++++234

46411x x x x =++++．

解二：4444413123

444111(1)()(1)()1x x C x C x C x x x x

⎡⎤+=+=++++⎣⎦

23446411x x x x

=++++．

例2．展开6

．

解：66

31

(21)x x =-

6152433221

6666631[(2)(2)(2)(2)(2)(2)1]x C x C x C x C x C x x

=

-+-+-+ 322360121

64192240160x x x x x x =-+-+-+．

第二课时

例3．求12

()x a +的展开式中的倒数第4项

解：12

()x a +的展开式中共13项，它的倒数第4项是第10项，

91299339

39911212220T C x a C x a x a -+===．

例4．求（1）6(23)a b +，（2）6

(32)b a +的展开式中的第3项． 解：（1）24242216(2)(3)2160T C a b a b +==，

（2）2424221

6(3)(2)4860T C b a b a +==．

点评：6

(23)a b +，6

(32)b a +的展开后结果相同，但展开式中的第r 项不相同

例5．（1）求9

(

3x 的展开式常数项； （2）求9(

3x 的展开式的中间两项 解：∵3

9929

2

19

9()33r r r r r r r x T C C x ---+==⋅，

∴（1）当3

90,62

r r -

==时展开式是常数项，即常数项为637932268T C =⋅=； （2）9(

3x +的展开式共10项，它的中间两项分别是第5项、第6项，

489

912

59

342

3

T C x

x

--=⋅=，15

951092693T C x --=⋅=

第三课时

例6．（1）求7

(12)x +的展开式的第4项的系数； （2）求9

1()x x

-

的展开式中3x 的系数及二项式系数解：7

(12)x +的展开式的第四项是33331

7(2)280T C x x +==，

∴7

(12)x +的展开式的第四项的系数是280． （2）∵91()x x -

的展开式的通项是9921991

()(1)r r r r r r r T C x C x x

--+=-=-， ∴923r -=，3r =，

∴3

x 的系数3

39(1)

84C -=-，3x 的二项式系数3984C =．

例7．求42

)43(-+x x

的展开式中x 的系数

分析：要把上式展开，必须先把三项中的某两项结合起来，看成一项，才可以用二项式定理展开，然后再用一次二项式定理，，也可以先把三项式分解成两个二项式的积，再用二项式定理展开

解：（法一）42

)43(-+x x

42]4)3[(-+=x x

02412344(3)(3)4C x x C x x =+-+⋅22224(3)4C x x ++⋅3234

444(3)44C x x C -+⋅+⋅，

显然，上式中只有第四项中含x 的项， ∴展开式中含x 的项的系数是7684333

4-=⋅⋅-C

（法二）：42

)43(-+x x

4)]4)(1[(+-=x x 44)4()1(+-=x x

)(4434224314404C x C x C x C x C +-+-=0413222334444444(4444)C x C x C x C x C +⋅+⋅+⋅+⋅

∴展开式中含x 的项的系数是3

4C -3

34444C +768-=．

例8．已知

()()

n

m

x x x f 4121)(+++= *

(,)m n N ∈的展开式中含x 项的系数为36，求展开

式中含2

x 项的系数最小值

分析：展开式中含2x 项的系数是关于n m ,的关系式，由展开式中含x 项的系数为36，可得