【强烈推荐】非平稳信号分析
非平稳信号的一种ARMA模型分析方法
嚣ｊ｛誊第？艄电子与信息学报、ｃ，ｉｊｊ、“ｉ川～）二年ｉ月Ｉ（）Ｌ７ｎ、ＡｌｏＦＥＬＥ（：ＴＲｏＮＩｃＳＡＮＬ）１ＮＦｏＨＭＡＴＩ（）ＮＴＥｃＨ、（）Ｌ（）（；、１１小二（１（）ｊ非平稳信号的一种ＡＲＭＡ模型分析方法张海勇…马孝江’盖强…’（大连理工大学振动工程研究所凡连ｌｌ６（）２４一ｆ大莲舰艇学院通信教研室大连｜】ｆｊ０１８）摘要濠文提ｆ｛｛了一神新的非、Ｆ稳信号的时变参数ＡＲＭＡ模型分析方法．Ｊ｝ｊ它分析数据需阿个摹本步骤首先．用一种信号分解方法把信号分解成一螳基本填式分卫．接着，对分解得到的基本楼＿Ｉ｛＝分量建立时岱粤敦？＼Ｉｔ、１Ａ模型，从而得出时频甲面上的时变参数ＡＪｔＭＡ模型谱．谖方法可用于复杂的非线性、非甲稳信号的处理．关键词基ｒ经验的模式分解，时变参数ＡＩ｛ＭＡ模型．非平稳信号中团号ｌ、＼…１７Ａ。
Ｊ前言叫变参数模型是近几年来应用于非平稳随机信号分析与处理的一种新方法，越来越受到人¨的关注．这种方法通常用具有时变参数的自回归（ＡＲ）模型的自回归滑动平均ｆ．、ｌ｛、１Ａ）模型来是征非甲稳随机信号，与假设在一段时间问隔上信号是平稳的参数估计方法相比．时娈参数摸型法可以进一步提高参数估计的精确度【１·“．对ｆＡｌ｛ＭＡ模型，目前存在的主要问题就是模型参数的估计非常麻烦，ＦＬ方法较少．在、Ｉ’稳情况下对于定常参数的估计一般采用非线性最小二乘法或自回归白噪化估计法进行参数估计、但是在非平稳情况下应用这些方法对于时变参数进行估计则会带来不便．例如，非线性撮小二乘汝计算繁琐，要求精确计算初始参数，否刚迭代』＝垂算可能不收敛，自回归内噪化估计法进行参数估计拟合的ＡＲＭＡ模型，需要ＡＲ模型的阶数足够高日ｔ参数彳哨Ｂ很好地逼近真值，但是实际上．、Ｉ｛模型的阶数选择是受限的，文献【２］采用了一种经过特殊处理的时变参数＿、ｌ洲、馍型对非甲稳随机信号进行分析，将模型左边的时变参数假设为一组基时间函数的线性组合，右边叫变参数简化为常数，并用反馈线性估计法Ｈ进行参数估计．该方法能避免应用非线性最小二乘法或自回归白噪化估计法等方法时出现的不便，并且计算简单，计算量小，占用存储空间少ＦＪ．但是．其应用仍受到了很大的限制，仅仅可用于常用的非甲稳信号的分析【１…．本文提ｌＩ｛ｉｒ一种新的非下稳信号的ＡＲＭＡ模型分析方法，用它分析数据需两个基本步骤：首先．月Ｊ一种信弓分解方法把信号分解成一些基本模式分量．接着，对分解得到的基本模式分量建立ｎ，ｊ７％参数、１｛、１Ａ模型，从而得出时频平面上的时变ＡＲＭＡ模型谱．浚方法可用于复杂的非线性、非、ｒ稳信号的处理．２非平稳随机信号时变ＡＲＭＡ模型设叫变ＡＲＭＡ∽ｖ）模型为式中～是甲－稳白噪声过程，零均值，方差为口２，ｐ，ｑ分别是ＡＲ和ＭＡ部分的阶数，｛，，｝，｛６．（，ｚ）、，＝ｌ，，ｑｌ是其ＡＲ和ＭＡ部分的时变参数．为ｒ方便起见，这里采用右边时变参数为常数的一种信号模型；假设叫‘变参数｛‰（ｔ。
非平稳信号时频分析技术进展(很好的资料!)
逆变换可以重建原函数。 应用: 信号处理等（快速傅立叶变换FFT算法出现）。
二、短时傅立叶变换
=
n=0
+
合 成 （ 逆 变 换 ）
n=1
n=2
分 解 （ 正 变 换 ）
+ +
n=3
+
n=4
1、Fourier变换的基函数
欧拉公式：
e cos j sin
j 2 n / N
对函数f(x)进行傅立叶变换得到F(u)
F u
f x e
j 2 xu
dx
其逆变换，即将F(u)变换到f(t)为：
f x F u e
j 2 xu
du
2.一维连续Fourier变换
f(x)的傅立叶变换F(u) 往往是虚数，可用复数 形式表示为：
Fourier Analysis – Examples (cont’d)
f 4 (t ) cos(2 5 t ) cos(2 25 t ) cos(2 50 t )
Provides excellent localization in the frequency domain but poor localization in the time domain.
Examples (cont’d)
F1(u)
F2(u)
F3(u)
Fourier Analysis – Examples (cont’d)
f 4 (t ) cos(2 5 t ) cos(2 25 t ) cos(2 50 t )
F4(u)
信号处理中二次型的谱分解
信号处理中二次型的谱分解
在信号处理中，二次型谱分解是一种常用的信号分析方法，主要用于非平稳信号的分析。
非平稳信号是指在时间上发生变化的信号，也就是说，它的特征会随着时间而改变。
二次型谱分解的基本思想是将一个非平稳信号分解为两个或更多个平稳信号的线性组合。
这些平稳信号被称为二次型谱。
具体步骤如下：
1. 首先，将非平稳信号通过一个线性变换，变为一个新的信号，这个新的信号通常是平稳的。
2. 然后，对这个新的平稳信号进行傅里叶变换，得到它的频谱。
3. 最后，通过一个二次变换（通常是卷积），将这个频谱变为一个二次型谱。
二次型谱分解的优点是可以将一个复杂的非平稳信号分解为多个简单的平稳信号，从而使得信号的分析和处理变得更加简单。
此外，二次型谱分解还可以用于信号的预测和预测误差的分析。
时间序列分析中的非平稳信号分析方法研究
时间序列分析中的非平稳信号分析方法研究时间序列分析是统计学中的领域，用来研究一组与时间有关的数据。
时间序列分析非常重要，因为它可以帮助研究者预测机器人，股市和其他急于观察的数据。
但是，有时候我们会遇到一些非平稳的信号，导致预测分析非常困难。
在这种情况下，对非平稳信号的分析方法成为了非常重要的研究领域。
I. 什么是非平稳信号？平稳信号是指时间序列中平均值和方差都不随时间而变化的信号。
在这种情况下，我们可以使用平稳信号的统计模型进行分析和预测。
但是，在现实生活中，出现非平稳信号的情况是普遍存在的。
例如，物价、股票价格等往往都呈现出随时间变化的趋势性和季节性。
II. 非平稳信号的特点非平稳信号是指时间序列中均值，方差或者两者都在变化的信号。
与平稳信号不同，非平稳信号的各种统计量都会随时间的推移而变化，因此在真实的数据应用过程中非常常见。
1. 缺乏稳定性：不同时间点的数据存在着不同的特征，可以说非平稳序列在统计特征上表现出的一种不稳定性。
2. 时间相关性：非平稳时间序列中的不同时间点可能不是独立的，也就是说以前的一个时间点可能会对后续的时间点产生影响，这种影响通常以趋势的形式呈现。
3. 不存在平稳的统计模型：由于非平稳信号缺乏稳定性，所以不存在平稳的统计模型，要研究非平稳信号需要寻找其他方法。
III. 非平稳信号分析方法在研究非平稳信号的过程中，最常用的方法包括：时间序列分解、差分方法、ARIMA和ARCH模型等。
1. 时间序列分解时间序列分解是将非平稳信号分解为一些成分，例如趋势、周期和随机元素。
这种方法可以使我们更好地理解信号的变化过程和对不同成分的影响。
时间序列分解同时也对信号的去除趋势和季节成分非常有用。
2. 差分方法差分方法是通过对时间序列之间差异的计算，将其转化为平稳时间序列，从而避免非平稳信号带来的影响，使得时间序列分析得以进行。
这种方法适用于不太具有周期性的时序数据。
3. ARIMA模型ARIMA模型是最常用的时间序列分析方法之一。
非平稳信号的时频分析与处理方法研究
非平稳信号的时频分析与处理方法研究非平稳信号的时频分析与处理方法研究摘要：随着科学技术的不断发展，各种实际应用中所涉及的信号越来越复杂。
而这些复杂信号往往都属于非平稳信号，传统的频域和时域分析方法已经无法满足对这些信号的需求。
因此，本文将探讨非平稳信号的时频分析与处理方法，并介绍一些常用的方法。
一、引言非平稳信号是指在一定时间范围内，信号的统计特性随时间变化的信号。
非平稳信号的时频分析与处理是研究领域中的一个重要课题。
本文将从频域分析和时域分析两个方面，介绍一些常见的非平稳信号的时频分析与处理方法。
二、频域分析频域分析是通过将信号从时域变换到频域，可以观察信号在不同频率上的特性。
常用的频域分析方法有傅里叶分析和小波分析。
1. 傅里叶分析傅里叶分析是最常用的频域分析方法之一，它可以将信号分解为不同频率的正弦函数的叠加。
在非平稳信号的分析中，可以使用短时傅里叶变换（STFT）来对信号进行时频分析。
STFT 将信号分成多个时间段，在每个时间段内进行傅里叶变换，从而得到不同时间段上的频谱。
2. 小波分析小波分析是近年来发展起来的一种频域分析方法，它可以同时给出信号的时间和频率信息，并且在时频域上的分辨率更高。
小波分析的基本思想是使用一组母小波作为基函数来对信号进行分解，从而得到不同尺度和不同频率上的信号分量。
常用的小波分析方法包括连续小波变换（CWT）和离散小波变换（DWT）。
三、时域分析时域分析是研究信号在时间上的特性，可以观察信号的波形、振幅和相位等特性。
常用的时域分析方法有移动平均、高斯滤波和自回归模型等。
1. 移动平均移动平均是一种简单的时域分析方法，它通过计算信号一段时间内的平均值来平滑信号。
移动平均可以降低信号的高频成分，使得信号更加平稳。
2. 高斯滤波高斯滤波是一种基于高斯函数的平滑滤波器，可以在时域上对信号进行平滑处理。
高斯滤波通过卷积操作实现，可以去除信号中的噪声和干扰。
3. 自回归模型自回归模型是一种常用的线性预测模型，它利用信号的过去值来预测当前值，从而对信号进行分析和预测。
现代信号处理第5章 非平稳信号处理方法
经典的傅里叶分析能够完美地描绘平稳的正弦信号及其组合，
但不能恰当地反映非平稳信号的特征。 许多随机过程从本质上来讲是非平稳的，例如语音信号、冲 击响应信号 、机组启、停机信号等。 必须寻找既能够反映时域特征又能够反映频域特征的新方法。
本章介绍短时傅里叶变换、小波变换和小波包分析等非平稳
x(t ), h(t )e j 2ft
(5.1.2)
h(t ) 是中心位于 0，高度为 1、宽度有限的时窗函数，通过 h(t ) 所观察到的信 号 x(t ) 的部分是 x(t )h(t )。 h(t )e j 2ft 是 STFT的基函数。
x(t)h(t)
h(t) 1
h(t-τ)
x(t)
0
2018年10月17日
τ
t
5
机械工程学院机自所动态室
5.1 短时傅里叶变换
窗函数 h(的选取是关键。最优窗函数是高斯函数。 t)
hG (t ) 1 2 e
t2 4
0
(5.1.3)
高斯窗函数的形状是：
1 ，1/4 ， 1/16
2018年10月17日 机械工程学院机自所动态室 17
5.2 小波变换
5.2.1 多分辨分析及其工程意义
j Z; 3) 伸缩规则性： x(t ) V j x(2t ) V j 1 , (5.2.9)
性质3)表明所有的子空间可以由一个基本空间通过尺度的伸缩变化得到， 在不同的分辨率时，逼近运算相同。
“小波”就是小的波形。所谓“小”是指局部非零，波形 具有衰减性；“波”则是指它具有波动性，包含有频率的 特性。 小波分析的思想来源于伸缩和平移方法。
非平稳地震信号匹配追踪时频分析
非平稳地震信号匹配追踪时频分析张繁昌;李传辉【摘要】根据三步法匹配追踪原理实现了基于雷克子波的地震信号自适应分解,在此基础上,讨论了利用匹配子波进行地震信号时频表征的方法.由于常规匹配追踪时频是以Wigner-Ville分布为基础,得到的时频信息有限,因此给出了一种基于可调窗口的短时傅氏变换时频表示方法,进而又利用各匹配子波的复谱,引入一种新的时频表示方法,不仅与Wigner-Ville方法具有同等的分辨率和能量聚集特性,而且保留了原信号的最基本时频特征,不存在交叉项和窗口截断效应.通过与短时傅氏变换和S 变换时频特征的对比发现,匹配追踪时频表征和瞬时谱参数具有更高的分辨率.实际数据的应用也表明,匹配追踪分解非常适用于非平稳特征的地震信号的时频分析.%In this paper, the authors made Ricker wavelet-based adaptive matching pursuit decomposition of seismic signals and discussed the method of time-frequency representation by matching wavelets. Since the time-frequency information of matching wavelet's Wigner-Ville distribution is limited, this paper proposes a time-frequency representation based on adjustable window Short Time Fourier Transform. Furthermore, by using the complex spectrum of matching wavelets, this paper introduces a new time-frequency representation , which not only has the same resolution and energy concentration properties as Wigner-Ville method, but also retains the most basic time-frequency characteristics of the original signal without cross term and window truncation effects. Compared with time-frequency characteristics of Short Time Fourier transform and S-transform, the matching pursuit time-frequencyrepresentation and instantaneous spectral parameters have higher resolution. Real data application also shows that the matching pursuittime-frequency analysis is very suitable for seismic signal with non-stationary characteristics.【期刊名称】《物探与化探》【年(卷),期】2011(035)004【总页数】7页(P546-552)【关键词】匹配追踪;时频分析;匹配子波;非平稳信号【作者】张繁昌;李传辉【作者单位】中国石油大学地球科学与技术学院,山东青岛 266555;中国石油大学地球科学与技术学院,山东青岛 266555【正文语种】中文【中图分类】P631.4匹配追踪(MP)时频分析方法作为新一代谱分解技术，在地震解释、储层识别及烃类检测等方面具有很大的应用潜力［1］。
非平稳信号的时频分析及应用研究
非平稳信号的时频分析及应用研究随着科技的不断发展，越来越多的信号被应用到了各种领域中。
然而，信号并不总是像我们所期望的那样稳定，尤其是在复杂的环境中。
因此，对于非平稳信号的时频分析和应用研究显得尤为重要。
一、非平稳信号的定义和特点所谓非平稳信号，简单来说，就是其信号的统计特性会随着时间的变化而变化。
相较于平稳信号，非平稳信号的特点会更加多样化和复杂化。
举例来说，生物医学领域中的脑电信号，常常会受到人的呼吸、心跳等因素的影响而产生不同的变化，从而形成非平稳信号。
二、时频分析的定义和实现时频分析的含义就是分析信号在时间和频率两个维度上的变化规律。
最常用的时频分析方法是短时傅里叶变换（STFT）。
其实现原理在于，将分析时刻附近一段时间的信号片段进行傅里叶变换，然后再通过一定的滤波器和窗函数将傅里叶变换结果进行处理和分离，以得到频谱随时间变化的变化规律。
此外，还有一种比较新的时频分析方法——小波变换。
与STFT相比，小波变换能够更具体地描绘信号在时频域上的局部性质。
三、非平稳信号时频分析方法的相关应用相较于平稳信号，非平稳信号的信号特征更加丰富，这也就为其在各个领域中的应用提供了更多的可能性。
以下是一些常见的领域及其相关应用介绍：1、生物医学领域在生物医学领域中，非平稳信号的时频分析应用主要涉及到的就是脑电、心电、肌电等方面。
在脑电信号的分析中，短时傅里叶变换的作用是不可替代的，而在心电信号中，小波变换可以更好地刻画信号的时间与频率特性。
2、语音信号分析领域在语音信号的分析中，短时傅里叶变换被广泛应用于音频修复、语音识别等方面。
而随着深度学习等技术在语音领域的普及，小波变换被搭配使用的情况也逐渐增多。
3、金融经济领域在金融和经济的领域中，非平稳信号的时频分析技术被广泛用于预测、建模等方面的研究。
例如，对于股票、商品价格等非平稳信号的分析可以通过时频分析来识别其特征变化规律，并进行适当的预测和控制。
四、时频分析的不足与展望虽然时频分析已经被广泛应用于各种领域，但其在实际应用中还存在一些问题和不足。
基于小波变换的非平稳信号瞬时频率分析方法
M r 峥 波翻城圈 ol e
不同尺度下Mol 彼幅绷特性 r峥 e
用 1 rt 真及结论
窗口 傅立叶原子的尺度是固定的, 不能反映快
速变化的瞬时频率; 相反, 解析小波可调节时频原子 的尺度, 它可以精确地度量高频快速改变时的频 由 率成分.以平行线性鸣叫声和双曲鸣叫声为例.平
4 0 6 0 4 0
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玉 0t 0,
t c 7平行线形鸣叫声傅立叶立换
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图2 不同簇率特性信号 的短时傅立叶变换与小波变换 -
文章编号:N 2 4320)5 10 3 C 3- 1(070- 1- 1 0 0
A a s Me o o Is naeu Feuny U s ay nl nl i t d nt tnos qec o nt d s a y s h f a r f e i g
Ba e o W a ee T a so m sd n v lt n f r r
王正林
( 解放军 944 10 部队, 秦皇岛 060) 601
摘要 : 利用小波变换的优越时频分辨特性, 对非平稳信号的瞬时频率进行了分析, 给出了模拟仿真结果, 并与短时傅 立叶变换作比较, 得出了两者对信号瞬时频率分析的适用范围及各自的优缺点.
关键词: 波变换; 4 h 快速傅立叶变换; 瞬时频率 中图分类号:N 7. T 911 文献标识码 : A
2f ; ( )但对平稳信号, ) 小波变换在高颜处会出现混 频, 如图 2e研示. ()
参考文献 〔 李水很. 习 昊纪株 分形导小波c ]北京, m 科学忠版
平稳和非平稳振动信号的处理方法综述
平稳和非平稳振动信号的处理方法周景成（东华大学机械工程学院，上海 201620）摘要：本文主要综述了当前对于平稳和非平稳振动信号的处理方法及其优缺点，同时列举了目前振动信号处理的研究热点和方向。
关键词：稳态非稳态振动信号处理；方法；优缺点。
1．稳态与非稳态振动信号的界定稳态振动信号是指频率、幅值和相位不变的动态信号，频率、幅值和相位做周期性变化的信号称为准稳态信号，而对于频率、幅值和相位做随机变化的信号则称为非稳态信号。
2. 稳态或准稳态振动信号的主要处理方法及其优势与局限对于稳态振动信号，主要的分析方法有离散频谱分析和校正理论、细化选带频谱分析和高阶谱分析。
对于准稳态信号主要采用的是解调分析。
对于非稳态振动信号主要采用加Hanning窗转速跟踪分析、短时傅里叶变换、Wigner-Ville 分布和小波变换等。
对于任一种信号处理方法都有其优势和劣势，没有完美的，具体在工程实际中采用哪一种分析方法得看具体的工程情况而定，不能一概而论。
2. 1 离散频谱分析与校正离散频谱分析是处理稳态振动信号的常用方法，离散频谱分析实现了信号从时域到频域分析的转变。
FFT成为数字信号分析的基础，广泛应用于工程技术领域。
通过离散傅里叶变换将振动信号从时域变换到频域上将会获得信号更多的信息。
对于这一方法，提高信号处理的速度和精度是当下两个主要的研究方向。
由于计算机只能对有限多个样本进行运算，FFT 和谱分析也只能在有限区间内进行，这就不可避免地存在由于时域截断产生的能量泄漏，离散频谱的幅值、相位和频率都可能产生较大的误差，所以提高精度成为近一段时间主要的研究方向。
上世纪70年代中期，有关学者开始致力于离散频谱校正方法的研究。
目前国内外有四种对幅值谱或功率谱进行校正的方法：(1)比值校正法(内插法)；(2)能量重心校正法；(3)FFT+FT谱连续细化分析傅立叶变换法；(4)相位差法。
四种校正方法的原理和特点见表1[1].从理论上分析，在不含噪声的情况下，比值法和相位差法是精确的校正法，而能量重心法和FFT+FT谱连续细化分析傅立叶变换法是精度很高的近似方法。
基于小波变换的非平稳信号瞬时频率分析方法
ｔ ｅｔ ｅｈ ｄ ｏ ａ ａｙ ｅｔ ｅ ｉｓａ ｔｎ ｏ ｓｆｅ ｕ ｎ ｙｏ ｉ ｎ ｌ＆ ｔ ｅｒｍｅ ｉｓａ ｄ ｄ ｍｅ ｉｓ ｈ ｗｏ ｍ ｔ ｏ ｓｔ ｎ ｌ ｚ ｈ ｎ ｔ ｎ ａ ｅ ｕ ｒ ｑ ｅ ｃ ｆｓｇ ａ ｈｉ ｒｔ ｎ ｅ ｒｔ．
Ｋｅ ｒ ｓ ｙ ｗｏ ｄ ：ｗａ ｅｅ ｒ ｎ ｆ ｒ ；ａ ｔ Ｆ ｕ ｉ ｒｔ ａ ｓ ｏ ｍ ；ｎ ｔ ｎ ａ ｅ ｕ ｒ ｑ ｅ ｃ ｖ ｌ ｔｔ ａ ｓｏ ｍ ｆ ｓ ｏ ｒｅ ｒ ｎ ｆ ｒ ｉ ｓ ａ ｔ ｎ ｏ ｓ ｆｅ ｕ ｎ ｙ
关键 词 ： 小波变换 ； 傅立 叶变换 ； 快速 瞬时频率
中 图分 类 号 ： Ｎ ７． Ｔ ９１１
文 献标识 码 ： Ａ
文章编 号 ：Ｎ ２１１（０７０—１０ ３ Ｃ ３—４３２０）５ １— ０ ０
Ａｎａ ｙ ｉ ｅ ｈ ｄ ｏ ｎｓ ａ ａ ｏ ｓＦｒ ｑｕ ｎｃ ｆ Ｕｎ ｔ ａ ｉ ｎ ｌ ｌ ｓ ｓＭ ｔ ｏ ｆ Ｉ ｔ ｎｔ ｎｅ ｕ ｅ ｅ ｙ ｏ ｓ ｅ ｄｙ ｓｇ ａ
Ｂａ ｅ ｎ Ｗ ａ ｅ ｅ ａ ｓ ｏ ｍ ｓｄ ｏ ｖ ｌ ｔＴｒ ｎ ｆ ｒ
Ｗ Ａ Ｎ Ｇ Ｚｈｅ ｇ—ｉ ｎ ｌｎ
（ ｉ ９ ４ ４ ｏ ＬＡ ， ｎ ｕ ｎ ｄ ｏ ０ ６ ０ ， ｉ ａ Ｕｎ ｔ １ ０ ｆＰ Ｑｉ ｈ ａ ｇ ａ ６ ０ １ Ｃｈ ｎ ）
换 可 以度量 瞬变 频 率 的 时 间 变化 ， 到 信 号 的时 间 得
（ 空间 ） 频率信 息 ， 一 有利 于检 测信 号 的瞬 时频率 。 短 时傅 氏变 换相 当于 用 固定 的窗 函数与原 信 号 做卷 积 ， 其分 辨率 是 固定 的 ， 只适 用 于对 平稳信 号分 析， 而现 实 中大部 分信 号 为非平 稳信 号 ， 择适 当的 选
非平稳信号分析
教学内容：
信号的时－频表示方法 短时傅立叶变换 分数傅立叶变换 Wigner分布与广义双线性时频分布 小波分析和应用
对学习者的要求
三个基本要求：
掌握时频分析的基本思想 熟悉处理非平稳信号的基本方法 能将非平稳信号分析方法应用在实际工作
中。
非平稳信号分析介绍：
信号是什么？ 信号分析的任务是什么？ 什么是非平稳信号？ 用什么方法来分析和处理非平稳信号？
几乎处处收敛：
fn (x) f0 (x),
a.e
即：A {x fn(x)不收敛与f0(x)}是一个零测集。
控制收敛定理
假定fn (x) f (x)几乎处处,如果 fn (x) g(x) 对于所有的n成立，那么f (x)可积，并且
f (x)dx lim n
fn (x)dx
Fubili定理
随机过程x(t),t T表征的随机信号
称为（严格）平稳随机信号。
平稳信号与非平稳信号：
广义平稳随机信号
若随机信号x(t),t T满足： （1） Ex(t) m 常数
（2） E | x(t) |2
（3） Rx[t1, t2 ] Rx (t1 t2 ) 称为广义（二阶）平稳随机信号。
缺点：hn (x)不是连续函数。
基础知识：
群 一个集合X,在这个集合上有一个被称作
乘法的内部运算。且满足：
(1)结合律 (xy)z x( yz) x, y, z, X
(2)存在恒等元e X，使 xe ex x x X
(3)对任意的x X , 存在x的逆元x1，使 x1x xx1 e
Fourier级数在给定点发散。
对Fourier变换理论的修正：
修正对函数的要求，并找出适合于Fourier级 数理论的活动类。
K4.01-平稳信号与非平稳信号
4
平稳信号与非平稳信号
图9.1-1 脑电图示意图
在每个状态之内，信号的波形变化也是很剧烈的，频率和周 期变化明显，如果以更长的时间范围比如把从深睡到醒来的过程 全部记录下来，那么非平稳性将更加明显。
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工程信号与系统
小波分析理论简介
K4.01 平稳信号与非平稳信号 K4.02 短时傅里叶变换 K4.03 连续小波变换 K4.04 离散小波变换 K4.05 小波变换工程应用
小波分析理论简介
思考问题：
傅里叶变换频谱形状与信号出现的时间有关么？ 傅里叶变换有什么局限？
解析：f1(t)是一个平稳信号，频率为5Hz，10Hz，20Hz 和50Hz的分量出现在整个时域内；f2(t)包含同样四个频 率分量的信号，但它们分别在不同时刻出现，因此这 是一个非平稳信号。
6
平稳信号与非平稳信号
图9.1-2 f1(t)的时域波形和幅频特性
相似
图9.1-3 f2(t)的时域波形和幅频特性
7
平稳信号与非平稳信号
两个信号的幅频特性：四个主要的尖峰。 50Hz和100Hz分量的幅度比25Hz和10Hz分量大，这 是因为高频信号比低频信号持续时间更长一些(分别为 300ms和200ms)。 若忽略掉因频率突变引起的毛刺（有时候他们与噪 声很难区分）和两幅图中各频率分量的幅值（这些幅 值可以做归一化处理），两个信号的频谱图几乎是一 致的，但实际上两个时域信号的差别极大。
结论： （1）傅里叶变换的全局积分导致变换结果无法提供 频率分量的时间信息；（2）对于非平稳信号来说，傅里叶变换 一般是不合适的；（3）只有仅仅关心信号中是否包含某个频率 分量而不关心它出现的时间的时候，傅里叶变换才可以用于处 理非平稳信号。
水轮机非平稳振动信号的小波分析
水轮机非平稳振动信号的小波分析刘洋;尹崇清【摘要】基于水电站机组振动的现场试验研究,利用小波分析方法在时域和频域上同时具有良好局部化性质的特点,对开停机这一典型非平稳过程信号进行小波分析.通过将信号分解到不同频带内,并对分解信号作振源分析和统计分析,以获取优势频率等有用信息.试验结果表明,水流脉动压力和尾水涡带摆动是引起开机过程中机组强烈振动的主要原因,同时也证明了小波是处理非平稳信号的最有力的工具.【期刊名称】《人民长江》【年(卷),期】2012(043)002【总页数】4页(P101-104)【关键词】非平稳信号;小波分析;振源分析;水轮机【作者】刘洋;尹崇清【作者单位】重庆交通大学西南水运工程科学研究所,重庆400016;重庆交通大学西南水运工程科学研究所,重庆400016【正文语种】中文【中图分类】TV734.7传统意义上的频谱分析方法是基于系统信号的傅立叶变换(FFT)，它反映的是某一频率信号在整个时间轴上的平均信息，但并不能看出这一频率信号在时间域上的变化特征。
因此，对平稳随机信号分析十分有效的FFT信号分析方法，是对于整个过程而言的，缺乏对信号局部特性的分析，在处理非平稳信号时就显得有些力不从心。
而小波分析法正是针对传统频谱分析方法FFT的这一缺陷，利用其在时域和频域上同时具有的良好局部化性质，对工程信号，尤其是对非平稳信号进行分解和重构，在检测信号奇异性、特征提取、信噪分离、状态检测和故障诊断等多方面具有不可比拟的优势［1］。
本文运用小波分析方法对水电站的开停机非平稳过程信号进行分析，旨在说明该方法在处理非平稳过程信号中的巨大优越性，可为今后水电站机组及厂房结构的振动信号处理等工作提供新的研究方法。
1 小波分析基本原理小波分析法是一种新的变换分析方法，在应用领域，特别是信号处理、图像处理、语音分析、模式识别、量子物理、湍流及众多非线性科学等领域，它被认为是近年来在工具及方法上的重大突破。
故障诊断信号的非平稳性
故障诊断信号的非平稳性葛淼;玄兆燕【摘要】利用时间-指数法检测故障诊断中的非平稳性信号,以便对非平稳阶段进行故障处理.利用小波变换对非平稳信号的分解与重构,有针对性地选取有关频带的信息,对重构信号进行频谱分析来提取故障的典型特征.结果表明,时间-指数法很适用于信号的非平稳性判定,利用小波变换对其进行故障诊断是行之有效的.【期刊名称】《河北联合大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2012(034)001【总页数】5页(P27-31)【关键词】故障诊断;小波分析;非平稳性信号;时间-指数法【作者】葛淼;玄兆燕【作者单位】河北联合大学机械工程学院,河北唐山 063009;河北联合大学机械工程学院,河北唐山 063009【正文语种】中文【中图分类】TP1820 引言随着设备状态监测和故障诊断研究的发展，所面临的关键问题之一是如何对监测诊断中得到的机械动态信号的非平稳性进行有效的分析。
在机械设备监测诊断中，需要将非平稳信号进行平稳化处理，主要采用基于平稳过程的经典信号处理方法，分别从时域或频域给出统计平均结果，无法同时兼顾信号在时域和频域中的全貌和局部化，因此无法对信号的非平稳性进行有效的分析和处理。
显然，研究处理非平稳性的实用方法是促使机械监测诊断不断发展的客观需要。
短时博里叶变换(STFT)缺乏细化能力，反映强烈瞬变信号的非平稳性功能不足;主分量自回归谱有一定的时频局部化功能，但对于非平稳信号分析能力不强;Wigner 时频分布具有对准平稳或非平稳信号分析的功能，但是具有交叉干涉项［1］。
小波变换具有良好的时频局部性，根据需要调整时间与频率分辨率，具有多分辨率分析的特点。
其时频分析的结果同经典的分析方法有所不同，在高频范围内时间分辨率高，在低频范围内频率分辨率高，在全频带内正交分解的结果，信息量既无冗余也不疏漏，尤其适合分析时变非平稳信号［2，3］。
本文利用时间-指数法来对故障信号进行非平稳性判定，找出非平稳阶段，进而运用小波变换对非平稳信号进行分解和重构，有针对性地选取有关频带的信息，通过对重构信号的频谱分析，提取出故障的典型特征。
第五章 非平稳序列的确定性分析
简单中心移动平滑对二阶趋势的提取
对于一元二次函数 x a bt ct , ~ N (0, ) ，简单 中心移动平均也可以充分提取二阶趋势信息
2 2 t t t
k 1 M xt = xt i 2k 1 i k k 1 2 a b t i c ( t i ) t i 2k 1 i k k k (k 1 ） 1 a bt ct +c t i 3 2k 1 i k 2
误差序列是一个均值为-6.38821的无趋势特征序 列
简单中心移动平均能实现拟合方差最小
移动平均估计值的方差为
k k 2 2 Var M xt =Var i t i i i k i k
i =1 ，所以 0 i 1 因为 i 0，且i k 推导出拟合序列方差小于原序列方差
但此时M xt 不再是一元二次函数的无偏估计了
ck (k 1) E errort E xt M xt 3
案例5.1
我国1949-2008年化肥产量序列呈现出二次函数 特征，使用五期简单中心移动平均对序列进行拟 合，拟合效果图如下图所示
案例5.1
移动平均方法
移动平均方法是一种常用的修匀方法。它最早于1870年由 法国数学家De Forest提出，19世纪晚期已经广泛应用于 商业和保险精算行业。商人使用移动平均方法，消除随机 波动和季节性影响，得到商品的价格变动趋势。精算师采 用移动平均方法来修匀死亡率，得到消除随机波动的生命 表。现在股市中普遍采用的5日均线，10日均线，30日均 线，60日均线等指标，实际上都是移动平均估计值。 M xt 称为序列 xt 的 k f 1 期移动平均函数
非平稳信号分析课件
29
n Lebesgue积分学定理 Riemann积分与Lebesgue积分
f(x)
f(x)
x Riemann积 分
Lebesgue积 分
x 30
几乎处处收敛：
31
n 控制收敛定理
32
n Fubili定理
33
函数空间：
C[a,b] :{f(x)|f(x)是[a,b]上的连续函
数}
L2
:{f(x)|f(x)是平方可积函数}
非平稳信号分析
1
教学内容：
n 信号的时－频表示方法 n 短时傅立叶变换 n 分数傅立叶变换 n Wigner分布与广义双线性时频分布 n 小波分析和应用
2
对学习者的要求
n 三个基本要求：
n 掌握时频分析的基本思想 n 熟悉处理非平稳信号的基本方法 n 能将非平稳信号分析方法应用在实际工作
中。
3
非平稳信号分析介绍：
2) 齐次性： 3) 三角不等式：
则称X是赋范线性空间。
36
内积空间与赋范线性空间的关系：
n 内积空间可以下面的方法定义范数，成为一个 赋范线性空间。
37
赋范线性空间中的收敛概念：
完备性：
完备的赋范线性空间称为Banach空间。
38
Banach空间的另一种表述：
柯西序列：
若任一柯西序列都有极限，则称X为Banach空 间。
7
平稳信号与非平稳信号：
n 广义平稳随机信号
8
平稳信号与非平稳信号：
n 广义(n阶)平稳随机信号 n阶统计量不随时间变化的随机信号
9
平稳信号与非平稳信号。
n 某阶统计量随时间变化的信号。 (时变信号)
平稳性和非平稳时间序列分析
β1 + β 3 Xt 如果我们作下列变换 ecmt = Yt − 1− β2 α = β2 − 1 ，那么模型变为：
，
∆Yt = β 0 + β1∆X t + αecmt −1 + ε t
误差修正模型的自动调整机制类似于适应性预 期模型。如果误差修正项的系数 α 在统计上 是显著的，它将告诉我们 Y 在一个时期里的失 衡，有多大一个比例部分可在下一期得到纠正。 或者更应该说“失衡”对下一期 水平变化的 Y 影响的大小）。
6
1、基本的DF检验方法 （1）检验时间序列{ Yt }是否属于最基本的 单位根过程，也就是随机游走过程 Yt = Yt −1 + ε t ，其中 ε t 为白噪声过程。 （2）检验思路 首先 Yt 服从如下的自回归模型 Yt = δYt −1 + ε t
7
如果其中 δ = 1 ，或者变换成如下的回归 模型 ∆Yt = λYt −1 + ε t 中的 λ = 0 ，那么时间序列{ Yt }就是最基 本的单位根过程 Yt = Yt −1 + ε t ，肯定是非平 稳的。 对上述差分模型中的显著性检验，就是 检验时间序列是否存在上述单位根问题。
25
ˆ 3、把 ut −1 作为误差修正项，代入前述ECM 模型。因为 Yt 和 X t 有协整关系，ECM模 型各项都平稳，因此可直接用OLS法估计 参数。最后再进行相关检验和进行应用 分析等。
26
15
四、时间序列的协积性 （一）定义 如果一组时间序列都 X 1 ,L, X n 是同阶单积 的（ I (d ) ），并且存在向量 ( β1 ,L, β n ) 使加权组合 β1 X 1 + L + β n X n 为平稳序列 （I (0)），则称这组时间序列为“协积的 协积的” 协积的 （Cointegrated），其中 ( β1 ,L, β n ) 称为 “协积向量”。
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Abel群（可交换群）
xy yx
x, y X
环
一个集合X,在这个集合上有两个分别被称 作乘法与加法的内部运算。且满足：
(1) X在加法下是一个可交换 群。 (2)乘法是可结合的，且对 加法可交换律。即 x, y, z , X ( xy) z x( yz) x( y z ) xy xz ( y z ) x yx zx
代数
一个在具有恒等元的环R上的模A， 再加上一个内部可结合运算（乘法）。
(1) A是一个环。 （2） ( xy) (x) y x(y)
Lebesgue积分学定理 Riemann积分与Lebesgue积分
f(x) f(x)
Riemann积分
x
Lebesgue积分
x
几乎处处收敛：
非平稳随机信号 不是广义平稳的信号为非平稳信号。 某阶统计量随时间变化的信号。 （时变信号）
非平稳信号分析的主要研究领域：
短时傅立叶变换 时频分析 分数阶傅立叶变换 小波变换 其他新的信号分析和处理工具
Fourier的贡献：
用数学方式提出任何一个周期函数都能表 示为一组正弦函数和余弦函数之和。 他解释了这一数学论断的实际物理意义。
部分和S n ( x)用部分和的平均（ Ces a ro和）代替。
n ( S0＋S1＋＋S n1 ) n
第三个方向： 产生了最原始的小波：Har数族{hn(x)}， 对任意[0,1]上的连续函数，有
f , h
n 0
n
hn ( x)
修正对函数的要求，并找出适合于Fourier级 数理论的活动类。 修正Fourier级数收敛的定义。 找出另外的正交函数族，使其对三角函数族的 发散现象不在产生。
三个研究方向的结果：
第一个方向： 由Lebegue解决。平方可积函数。即：
L 0,2
2
第二个方向： 产生了调和分析这一研究 领域。
在[0,1]上一致收敛于 f ( x).
1909年，Haar找到了一个现在被称为 Haar函数（小波）的函数，满足上面的 要求。
1/2
1
1 h ( x ) 1 0
j 2
1 x [0, ) 2 1 x [ ,1) 2 其他 其中：n 2 j k
x(t1 ),..., x(tn )的联合分布函数
随机过程 x(t ), t T 表征的随机信号 称为（严格）平稳随机信号。 对所有的t1 ,..., tn , T 都相同，则由
平稳信号与非平稳信号：
广义平稳随机信号
若随机信号 x(t ), t T 满足：
hn ( x) 2 h(2 j x k ) h0 ( x) [0,1]
缺点：hn ( x)不是连续函数。
基础知识：
群
一个集合X,在这个集合上有一个被称作 乘法的内部运算。且满足：
(1)结合律 ( xy) z x( yz) x, y, z, X
(2)存在恒等元e X，使 xe ex x x X (3)对任意的x X , 存在x的逆元x 1，使 x 1 x xx1 e
信号是什么？ 信号分析的任务是什么？ 什么是非平稳信号？ 用什么方法来分析和处理非平稳信号？
信号：
信号是随时间或空间变化的物理量。 信号的数学表示方式： 多变量函数。
信号分析：
对信号基本性质的研究和表征。
多变量函数的不同表示。
平稳信号与非平稳信号：
平稳随机信号
若 x(t1 ),..., x(tn )的联合分布函数与
f n ( x) f0 ( x) ,
a.e
即：A {x fn ( x)不收敛与 f0 ( x)}是一个零测集。
控制收敛定理
假定f n ( x) f ( x)几乎处处, 如果 f n ( x) g ( x) 对于所有的n成立，那么f ( x)可积，并且
f ( x)dx lim f
n
n
( x)dx
Fubili定理
如果 f ( x, y ) dxdy . 则
f ( x, y)dxdy f ( x, y)dxdy f ( x, y )dydx
函数空间：
C[a,b] :{f(x)|f(x)是[a,b]上的连续函 数} L2 :{f(x)|f(x)是平方可积函数}
非平稳信号分析
教学内容：
信号的时－频表示方法 短时傅立叶变换 分数傅立叶变换 Wigner分布与广义双线性时频分布 小波分析和应用
对学习者的要求
三个基本要求：
掌握时频分析的基本思想 熟悉处理非平稳信号的基本方法 能将非平稳信号分析方法应用在实际工作 中。
非平稳信号分析介绍：
（1） E x(t ) m 常数 （2） E | x(t ) |2 （3） Rx [t1 , t2 ] Rx (t1 t2 ) 称为广义（二阶）平稳随机信号。
平稳信号与非平稳信号：
广义(n阶）平稳随机信号 n阶统计量不随时间变化的随机信号
平稳信号与非平稳信号：
环的恒等元
e X , 对x X，有 ex xe x
Abel环 在乘法运算下，还是一个Abel群的环。
域 一个具有恒等元的环，且满 足除零（加法的恒等元）以外的 所有元素都有逆元。
模 在一个Abel群上再加上一个被称为 数乘的外部运算。
( x y ) x y ( ) x x x ( ) x ( x) , R, x, y X
Fourier变换的意义：波的合成
红色光
输入：自然光
橙色光
紫色光
频率1 输入：f(x) 频率2 . .
Fourier变换的一种解释
一个反例：
1873年，Bois-Reymond构造了一个反例： 一个连续的周期函数，但它的 Fourier级数在给定点发散。
对Fourier变换理论的修正：