中学数学极化恒等式教案

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向量专题之极化恒等式课件-高三数学一轮复习

4、已知直角三角形 ABC 中， A 90 ，AB=2，AC=4，点 P 在以 A 为圆心且与边 BC 相切的圆上，则 PB PC 的最大值为（）
A． 16 16 5 5
B． 16 8 5 5
C． 16 5
D． 56 5
【解析】设 BC 中点为
D ，则
PB
PC
2
PD
1
2
BC
PD
2
1 20
向量专题之极化恒等式
【知识梳理】
一、极化恒等式及其推论：
1、极化恒等式：a·b＝14[(a＋b)2－(a－b)2]
（1）公式推导：
ab ab
2 2
2
a
2
a
2
2ab b
2
2ab b
ab
1 4
ab
2
ab
2
（2）几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的14．
【典例精讲】
平面向量数量积的值
【例 3】如图，在 △ABC 中，D 是 BC 的中点，E, F 是 AD 上两个三等分点，BA CA 4 ，BF CF 1 ，则 BE CE 的值是
．
A
E F
B
D
C
【解析】设
BD
x
，
DF
y
由极化恒等式得
BA CA
AB
AC
2
AD
2
BD
9y2
x2
4
，
BF
CF
PD
2
5，
4
4
又因为
PD max
AD
r
5 4 9 ， 55

极化恒等式课件-2025届高三数学一轮复习

极化恒等式
磨尖点一求向量数量积的定值
磨尖点二求向量数量积的最值（范围）
磨尖点三求参数及其他问题
磨尖课04 极化恒等式
1
4
1. 极化恒等式： ⋅ = [ +
2
2
− − 2 ].
（1）公式推导：
+
2
+ ሻ2 −
=
2
+ 2 ⋅ +
2 ,
−
2
=
2
− 2 ⋅
（3）记忆规律：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边边长的一半的平方差.
磨尖课04 极化恒等式
4
磨尖点一求向量数量积的定值
磨尖课04 极化恒等式
6
典例1 （2023 ·全国乙卷）正方形的边长是2，是的中点，则 ⋅ =
( B ) .
A. 5
B.3
C.2 5
解析设的中点为，由极化恒等式可得 ⋅ =
为△ 所在平面内的动点，且 = 1，则 ⋅ 的取值范围是( D ) .
A.[−5,3]
B.[−3,5]
C.[−6,4]
D.[−4,6]
磨尖课04 极化恒等式
11
解析（法一）依题意建立如图所示的平面直角坐标系，则 0,0 ， 3,0 ， 0,4 ，
磨尖课04 极化恒等式
4sin +
sin2
= 1 − 3cos − 4sin = 1 − 5sin + ，其中tan =
因为−1 ≤ sin + ≤ 1，所以−4 ≤ 1 − 5sin + ≤ 6，
3
，
4
磨尖课04 极化恒等式
13

中学数学极化恒等式教案

专题34 极化恒等式专题知识梳理 1.公式推导在AABC 中，D 是边BC 的中点，则屈.^4C = |AP |2-|D B |?.如图，由类比初中的“完全平方和”与“完全平方差公式S2.几何意义向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线"与“差对角线”平方差的 4 考点探究【例1】如图，在二辺C 中，D 是EC 的中点，E, F 是-Q 上的两个三等分点，RA CA=4,匾徒=一1则庭&的值是 .AB^AC= g （亦列2—岸何一码卜訪—（押卜阿仲『得证.-Z -- 7 =a + 2ab + b-2 -- -2 =a -2ab+ bD【例2】如图，在同一平面内，点/位于两平行直线… 的同侧,且』到皿〃的距离分别为1, 3,点从C分别在皿〃上，用+,迪=5,则•花的最大值是.1 •如图，在平而四边形.133中，0为的中点，且0A = 3. OC=5,若石・动=一7,则荒炭的值是2•在二拐C中，M是边BC的中点JM=3, 5C=10, H AC= _____________ 3 •在二购C中，点E F分别是线段AB. AC的中点,点P在直线EF上,若如C的面积为2,则筋处+必的最小值是・4•在二18C中，已知肋=1, /C=2, rj=60%若点P满足刀＞=篦+肓乙且丽3=1,则实数久的值为___________5•任半径为1的扇形JOB中，二402=60。

，C为弧上的动点,AB与OC交于点P,则於丽的最小值是6 •已知为圆O的直径，M为圆O的弦CD上一动点，AB = S, CD = 6,则加.M A的取值范围是▲7.如图，在四边形ABCD中，|AC| = 4, 8A.BC =\2^ E为AC的中点.1?（1）若cosZABC = —,求AABC 的而积1<2）若旋=2丽，求DA DC的值.8•如图，在AABC中，已知AB = 4,AC = 6,ZB4C = 60。

高中数学《极化恒等式》教学课件

形等。
边长关系
利用极化恒等式，可以推导出三角形边长之间的关系，从而解决一些与三角形边长相关的问题。
角度关系
通过极化恒等式，可以推导出三角形角度之间的关系，有助于解决与角度相关的问题。
在向量中的应用
向量模的平方
向量线性关系
利用极化恒等式，可以表示向量的模的平方，从而简化向量的运算。
利用极化恒等式，可以推导出向量线性关系，有助于解决向量线性相关的问题。
谢谢聆听
极化恒等式的定义
极化恒等式的定义
极化恒等式是高中数学中一个重要的恒等式，它表示的是向量内积的运算性质。具体定义为：对于任意两个向量$mathbf{a}$和 $mathbf{b}$，有$mathbf{a} cdot mathbf{b} = |mathbf{a}| |mathbf{b}| cos theta$，其中$theta$是向量$mathbf{a}$ 和$mathbf{b}$之间的夹角。
mathbf{b} cdot mathbf{b}$。将这两个等式代入点积的性质中，即可得到极化恒等式
。
极化恒等式的性质
01
极化恒等式的性质1
极化恒等式揭示了向量内积和向量模长之间的关系，它表明两个向量的内积等于它们模长的乘积乘以它们之间的夹角的余弦值。
02
极化恒等式的性质2
极化恒等式具有对称性，即交换两个明
极化恒等式的证明方法
01
02
03
代数证明法
通过代数运算和恒等变换，逐步推导极化恒等式的成立。
几何证明法
利用几何图形和空间向量的性质，通过直观的方式证明极化恒等式。
归纳法
通过对特殊情况的证明，逐步归纳出一般情况的证明方法。

极化恒等式学生版

极化恒等式(学生版) 极化恒等式是线性代数中的一个重要恒等式，它反映了矩阵和向量之间的内在关系。

这个恒等式可以表示为：A⋅(β+γ)=Aβ+Aγ，其中A是一个矩阵，β和γ是向量，A⋅表示矩阵A和向量的乘积。

在证明极化恒等式之前，我们需要先了解一下矩阵和向量的乘法。

矩阵和向量的乘法是通过将矩阵的每一行与向量相乘，然后将这些乘积相加得到的。

例如，如果A是一个3×2的矩阵，β是一个2×1的向量，那么A⋅β可以通过以下步骤计算：1.将第一行a11a12与向量β相乘得到第一个乘积a11β1+a12β2，将第二行a21a22与向量β相乘得到第二个乘积a21β1+a22β2，将第三行a31a32与向量β相乘得到第三个乘积a31β1+a32β2。

2.将上述三个乘积相加得到A⋅β=(a11β1+a12β2)+(a21β1+a22β2)+(a31β1+a32β2)=a11β1+a12β2 +a21β1+a22β2+a31β1+a32β2=∑i=13∑j=12Aijβj。

现在我们可以证明极化恒等式。

首先，我们需要将矩阵A拆分成两个部分，即A=A−+A+，其中A−=(A−1)ij=−∑k=1nAkij(i=1,m;j=1,n)是一个(m×n)矩阵，A+=εijk(i=1,m;j=1,n;k=−m−(+j)=i)也是一个(m×n)矩阵。

其中εijk是一个排列符号，当i、j、k三个指标循环排列时，其值为1或−1。

根据矩阵拆分的定义，我们可以将极化恒等式表示为：(A−+A+)⋅(β+γ)=A−⋅β+A−⋅γ+A+⋅β+A+⋅γ对于右侧第一项A−⋅β，根据矩阵和向量的乘法计算规则可得：A−⋅β=(−∑k=1nAkij)⋅β=(−Akij)⋅βk=(−∑k=1n(Aiuj)⋅Bvkaj)⋅ɛvka)=(−∑k= 1n(Aui)⋅Bk)(ɛik⋅ɛivk)=(−∑k=1n(Aui⋅Bk))⋅ɛik=(−Aui⋅B)⋅eivi=(−Aui⋅B)⋅βi= tika⋅Mk耿 ltiZMn耿 wnow瓣towZMn耿 +yla"owe看来及。

高中数学《极化恒等式》PPT教学课件

【小结】涉及数量积的范围或最值时，可以利用极化恒等式将多变量转变为单变量，再用数形结合等方法求出单变量的范围、最值即可。
已知RTABC的斜边AB的长为4，设P是以C为圆心， 1为半径的圆上任意一点，求PA PB的取值范围。
解：PA
PB＝(
PA

P B ) 2 －(
P A－P B ) 2＝P M
在正三角形 ABC中， D 是 BC上点， AB 3, BD 1，
则 AB AD
。
解：取
BD的中点
E
，
AB
AD

2
AE

1
2
BD

(3
3 )2 1 1 15
4
2
42
如图，在半径为1的扇形AOB 中，AOB ＝60 ，C为弧上的动点， AB与OC相交于点P，则OP BP的最小值是 1
巧用极化恒等式，妙解高考向量题
想一想
在处理向量的问题中，一个强有力的工具，特别在求向量数量积最值的时候，甚至是“秒杀”某些高考向量题，那就是向量的极化恒等式。
M
极化恒等式的几何意义：
4a b (a b)2 (a b)2 a b (a b)2 (a b)2 4
| BC |
| BC |
| BC |
从而原式 |
PD |2

3 4
|
BC |2
|
4 BC |2

3 4
|
BC |2
2
3
当且仅当PD BC，| BC |＝4 4时等号成立。 3
A. ABC 90o B. BAC 90o
C. AB AC
D. AC BC

极化恒等式-教师版

极化恒等式知识精讲：1.极化恒等式:a ⃗ ⋅b ⃗ =14[(a ⃗ +b ⃗ )2−(a ⃗ −b⃗ )2] 2.极化恒等式的几何意义是：设点M 是△ABC 边的中点，则AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2−14|BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=AM 2−BM 2，即：向量的数量积可转化为中线长与半底边长的平方差．1.已知A 为椭圆x 29+y 25=1上的动点，MN 为圆(x −1)2+y 2=1的一条直径，则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为________.备注：极化恒等式的典型应用BC2. （三星）（2017全国2理）已知ΔABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ )的最小值是（）A.−2B.−32 C. −43 D.−1 解：方法一：建系法连接OP ，OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√3)，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0)，OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0). PC ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2PO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴PO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−x,−y )⋅(−x,√3−y) ∴PO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2+y 2−√3y =x 2+(y −√32)2−34 ∴PO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ≥−34，∴ PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(PC ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=2PO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ≥−32 ∴最小值为−32方法二：均值法∵PC ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2PO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴ PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(PC ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=2PO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 由上图可知：OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −PO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ；两边平方可得3=(PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2+(PO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2−2PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∵ (PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2+(PO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2≥−2PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴ 2PO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ≥−32∴ PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(PC ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=2PO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ≥−32，∴最小值为−32 解法三：配凑法 ∵PC ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2PO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∴PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(PC ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=2PO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(PO⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2−(PO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )22=(PO⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2−(AO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )22≥−32∴最小值为−323．在∆ABC 中，BC 边上的中线AD 的长为2，点P 是∆ABC 所在平面上的任意一点，则PA PB PA PC ⋅+⋅的最小值为 A ．1B ．2C ．-2D ．-1【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，使得点D 在原点处，点A 在y 轴上，则A (0,2)．设点P 的坐标为x y (,)，则(,2),(,)PA x y PO x y =−−=−−，故()22(2)PA PB PA PC PA PB PC PA PO x y y ⋅+⋅=⋅+=⋅=+−22=+−−≥−x y 2[(1)]2222，当且仅当==x y 0,1时等号成立．所以PA PB PA PC ⋅+⋅的最小值为−2．选C ．4. （武汉二中高二）已知圆M:x 2+(y −1)2=1, 圆N:x 2+(y +1)2=1, 直线l 1、l 2分别过圆心M ,且l 1与圆M 相交于A 、B , l 2与圆N 相交于C 、D , P 是椭圆x 23+y 24=1上的任意一动点, 则PA → ⋅PB → +PC → ⋅PD →的最小值为______________.6 备注：用到极化恒等式5．在平面四边形ABCD 中，===AB BC CD 22，∠ABC =60∘,∠ADC =90∘，若BE →=EF →=FG →=GC →，则2AE →∙DC →+AE →∙AF →=_____；若P 为边BC 上一动点，当PA →∙PC →取最小值时，则cos ∠PDC 的值为_____．解：∵平面四边形ABCD 中，===AB BC CD 22，∠ABC =60∘,∠ADC =90∘，∴△ABC 是边长为2的等边三角，在Rt △ADC 中，AC =2,CD =1，所以∠ACD =60∘，又BE →=EF →=FG →=GC →， ∴E,F,G 是BC 边的四等分点．如图建立坐标系：则：A(0,√3),B (−1,0),C (1,0)， D (32,√32),E (−12,0),F (0,0),G (12,0)，所以2AE →DC →+AE →AF →=2(−12,−√3)(−12,−√32)+(−12,−√3)(0,−√3)=132，再设P (x,0)，则−1≤x ≤1，∴PA →PC →=(−x,√3)(1−x,0)=x 2−x =(x −12)2−14，显然x =12时，PA →PC →最小，此时P (12，0)，∴cos ∠PDC =cos ⟨DP →，DC →⟩=(−1，−√3)⋅(−1，−√3)(−1)+(−√32)(−12)+(−√32)=5√714．故答案为：132，5√714．6．在△OAB 中，OA =OB =2，AB =2√3，动点P 位于直线OA 上，当PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最小值时，向量PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角余弦值为（）A ．−3√77B ．7C ．−√217D ．√213【详解】∵|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2=OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2−2OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，即8−2OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12，∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2，设OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λOA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (0≤λ≤1)，PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−λ)OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −λOA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以，PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−λ)OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −λOA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=(1−λ)OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(λ−1)OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2 =−2(1−λ)+4λ(λ−1)=4λ2−2λ−2=(2λ−12)2−94，当λ=14时，PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最小值−94，此时|PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=34|OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=32， |PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −14OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=116OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2−12OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =116×22+22−12×(−2)=214，所以，|PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√212，则cos <PA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=PA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |PA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=−9432×√212=−√217. 故选：C.7. （三星）在锐角∆ABC 中已知B= 3，|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2,则AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是__________.解：法一：极化恒等式；法二：以B 为原点，BA 所在直线为x 轴建立坐标系，因为设A（x ，0）因为△ABC 是锐角三角形，所以A+C=120°，∴30°＜A ＜90°，即A 在如图的线段DE 上（不与D ，E 重合），所以1＜x ＜4，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2﹣x=（x ﹣12）2﹣14，所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的范围为（0，12）．方法2∵∠B=π3， △ABC 是锐角三角形，所以A+C=120°，∴30°＜A ＜90°=a=2由正弦定理可得()−==A B a b csin 120sinA sin 0∴=b ,=−Ac A sin 2sin 1200)( ∴120cos cos AB AC c b A A ===+=+⎝⎭−AA Asin tan 32202)(∵∈tanA0,3)( ∴(0,12AB AC ∈)8.在△ABC 中，AC ＝2BC ＝4，∠ACB 为钝角，M ，N 是边AB 上的两个动点，且MN ＝1，若CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为34，则cos ∠ACB ＝．【答案】1−3√58【解析】取MN 的中点P ，则由极化恒等式得CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =|CP ⃗⃗⃗⃗⃗ |2−14|MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|CP ⃗⃗⃗⃗⃗ |2−14∵CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为34∴|CP ⃗⃗⃗⃗⃗ |min 由平几知识知：当CP ⊥AB 时，CP 最小. 如图，作CH ⊥AB ，H 为垂足，则CH=1 又AC ＝2BC ＝4，所以∠B ＝30o ，sinA=14 所以cos ∠ACB ＝cos （150o －A ）=1−3√58.9.如图所示，矩形ABCD 的边AB=4，AD=2，以点C 为圆心，CB 为半径的圆与CD 交于点E ，若点P 是圆弧EB ̂ (含端点B 、E)上的一点，则PA → ·PB → 的取值范围是 .H【解析】取AB 的中点设为O ，则，当O 、P 、C 共线时， PO 取得最小值为PO =2√2−2；当P 与B （或E ）重合时，PO 取得最大值为PO=2，所以的取值范围是.10.如图，是边长为P 是以C 为圆心，1为半径的圆上的任意一点，则AP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∙BP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 最小值是_____.－111.（三星）如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E,F 是AD 上的两个三等分点，BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =4,BF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =−1,则BE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CE ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值是________.备注：极化恒等式的典型应用2221=4PA PB PO AB PO ⋅−=−4PA PB ⋅−[8∆ABC CA BP12.若平面向量a ，b 满足|2a －b|≤3，则a·b 的最小值为________.【解析】根据极化恒等式得：8a ⋅b =(2a +b)2−(2a −b)2=(2a +b)2−9≥−9，故a ⋅b ≥−98，所以a ⋅b 的最小值为−98．13.已知平面向量a ，b ，e 满足|e|＝1，a·e ＝1，b·e ＝－2，|a ＋b|＝2，那么a·b 的最大值为________．解：由a·e ＝1，b·e ＝－2得: a·e －b·e ＝3，即（a －b ）·e ＝3，|a －b|cos θ＝3a·b=14[|a ＋b|2－|a －b|2]≤－5414.在中，已知，，则面积的最大值是．解：取BC 的中点为D ，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD 2−BC24，所以AD =√2因为BC 边上的高线长不大于中线长，当中线就是高线时，面积最大，故．15.已知平面向量a ⃗ ,b ⃗ ,c ⃗ 满足|a ⃗ |=1，a ⃗ ⋅b ⃗ =12，a ⃗ ⋅c ⃗ =2，|2b ⃗ −c ⃗ |=2，那么b⃗ ⋅c ⃗ 的最小值为________．【解析】由a ⃗ ⋅b ⃗ =12，a ⃗ ⋅c ⃗ =2得2a ⃗ ⋅b ⃗ +a ⃗ ⋅c ⃗ =3，即a ⃗ ⋅(2b ⃗ +c ⃗ )=3 又a ⃗ ⋅(2b ⃗ +c ⃗ )=|a ⃗ ||2b ⃗ +c ⃗ |cos θ（其中θ为向量a ⃗ 与2b ⃗ +c ⃗ 的夹角）所以|2b⃗ +c ⃗ |=3cos θ所以b⃗ ⋅c ⃗ =18[(2b ⃗ +c ⃗ )2−(2b ⃗ −c ⃗ )2]=18(9cos 2θ−4)≥58.∆ABC =BC 21AB AC •=∆ABC ∆ABC16.已知锐角的外接圆的半径为1，，则的取值范围为__________．17.已知正三角形ABC 内接于半径为2的圆O ，点P 是圆O 上的一个动点，则PA → ⋅PB →的取值范围是_____.[－2,6]18.在ΔABC 中，AB =3,AC =4,∠BAC =60°，若P 是ΔABC 所在平面内的一点，且AP =2，则PB → ⋅PC →的最大值为_____.10+2√3719.已知点P 是边长为2√3的正三角形ABC 内切圆上的一点，则PA → ⋅PB →的取值范围为_____.[−3,6]20.已知正方形ABCD 的边长为1，中心为O ，直线l 经过中心O ，交AB 于点M ，交CD 于点N ，P 为平面上一点，若2OP → ＝λOB → ＋(1－λ)OC → ，则PM → ·PN →的最小值为__________.−71621.设点P 为正三角形△ABC 的边BC 上的一个动点，当PA → ·PC →取得最小值时，sin ∠PAC 的值为________．√392622.在平面直角坐标系xOy 中，点A ，B 分别在x 轴，y 轴正半轴上移动，AB ＝2，若点P 满足PA → ·PB →＝2，则OP 的取值范围为________．[√3−1,√3+1]23.在△ABC 中，E ，F 分别是线段AB ，AC 的中点，点P 在直线EF 上，若△ABC 的面积为2，则PB → ·PC →＋BC →2的最小值是__________．4√3∆ABC ∠=πB 6BA BC⋅⎝ ⎛23,3。

极化恒等式教师版

则 A(0, 3 3 ) , B( 3 , 0) , C( 3 , 0) ，
2
2
2
所以 AB ( 3 , 3 3 ) , AD ( 1 , 3 3 ) ，
22
22
所以 AB AD 15 2
法 3：极化恒等式
取 BD 的中点 O ，连接 AO , 则在 ABC 中，由余弦定理： AO2 AB2 AO2 2AB AO cos B = 31
因为

0,
2

，所以
sin
0,1
所以 FA FB 0,6
y (0，2) C F (2cosα，2sinα)
E
O
A
(- 3，-1)
x B ( 3，-1)
y C
6、如图,放置的边长为 1 的正方形 ABCD ，顶点 A, D 分别在 x 轴， y 轴
正半轴（含原点）滑动，则 OB OC 的最大值为
巧用极化恒等式秒杀高考向量题
一、极化恒等式的概念：
江苏张锡文
设
a, b
是两个平面向量，则有恒等式
a
b

1 4
(a

b)2

(a

b)2

（1）
有时也将（1）写成 4a b (a b)2 (a b)2 ，
极化恒等式的几何意义是：
向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的 1 ， 4
所以 AB AC BC 2 3
C
F E
21 2
2
FA FB FD BA FD 3 ,
4
A
D
B

极化恒等式教学设计

极化恒等式教学设计一．知识方法总结1. 一个向量关系式：a ⃗∙b ⃗⃗=14[(a ⃗+b ⃗⃗)2−(a ⃗−b ⃗⃗)2]2. 三角形模型：在△ABC 中，D 是BC 边的中点，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗∙AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2−14BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2=AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2−BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗2=AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2−CD⃗⃗⃗⃗⃗⃗2, 即三角形同顶点的两边所在向量的数量积可转化为第三边的中线长与其半底边长的平方差.3. 四边形模型：在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗∙AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=14(AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2−BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗2).总结：遇到共起点的两向量的数量积问题，常取第三边的中点，从而运用极化恒等式加以解决.二、例题及习题1.已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗∙(PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+PC⃗⃗⃗⃗⃗⃗)的最小值是（ B ）A. -2B.−32C.−43 D.-12.在三角形ABC 中，已知∠C=90°，AC=4,BC=3,D 是AB 的中点，E,F 分别是BC,AC 上的动点，且EF=1，则DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗∙DF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗的最小值为（ B ）A.√54 B.154 C.174 D.√1744. 设△ABC ，P 0是边AB 上的一个定点，满足P 0B =14AB ，且对于边AB 上任一点P ，恒有 PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗∙PC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗≥P 0B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗∙P 0C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗，则（ D ）A. ∠ABC=90°B.AB=ACC.∠BAC=90°D.AC =BC5. 直线ax +by +c =0与圆O:x 2+y 2=16相交于两点M,N ，若c 2=a 2+b 2，P 为圆O 上任意一点，则PM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗∙PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗的取值范围是_[-6,10]______.6.半径为2的圆O 上有三点A ，B ，C ，满足++0OA AB AC =，点P 是圆内一点，则++PA PO PB PC ⋅的取值范围是（ A ）A . [)4,14-B . (]4,14-C . [)4,4-D . (]4,4-7.在△ABC 中，AC ＝2BC ＝4，∠AC B 为钝角，M ，N 是边AB 上的两个动点，且MN ＝1，若CM CN ⋅的最小值为34，则cos ∠ACB ＝．8.已知直角三角形ABC 中，90A ∠=︒，AB =2，AC =4，点P 在以A 为圆心且与边BC 相切的圆上，则PB PC ⋅的最大值为（ D ） A．165+ B．165+ C ．165 D ．5659. 在平面直角坐标系xOy 中，点A ，B 分别在x 轴，y 轴正半轴上移动，AB ＝2，若点P 满足P A → ·PB → ＝2，则OP 的取值范围为________．10. 设点P 为正三角形△ABC 的边BC 上的一个动点，当P A → ·PC → 取得最小值时，sin ∠P AC的值为________．11. 已知平面向量,a b c ,满足1a =，12a b ⋅=，2a c ⋅=，22b c -=，那么b c ⋅的最小值为________．12.在中，已知，，则面积的最大值是． ABC ∆2BC =1AB AC •=ABC ∆。

极化恒等式(学生版)

课题：极化恒等式在向量问题中的应用学习目标目标1：通过自主学习掌握极化恒等式两种模式，理解其几何意义；目标2-1：通过对例1的自主学习掌握用极化恒等式求数量积的值；目标2-2：通过对例2的自主学习掌握用极化恒等式求数量积的最值、范围；目标2-3：通过小组合作学习掌握极化恒等式解决与数量积有关的综合问题。

重点掌握极化恒等式，利用它解决一类与数量积有关的向量问题难点根据具体的问题情境，灵活运用极化恒等式目标达成途径学习自我评价阅读以下材料： .两倍等于两条邻边平方和的平方和平行四边形的对角线的你能用向量方法证明：何模型。

示向量加法和减法的几引例：平行四边形是表,,b AD a AB ==证明：不妨设，，则b a DB b a A -=+=C ()222222C C b b a a b a A A +⋅+=+== （1）()222222b b a a b a DB DB +⋅-=-== （2）（1）（2）两式相加得：⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+22222222C AD AB b a DB A 结论：平行四边形对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍.思考1：如果将上面（1）（2）两式相减，能得到什么结论呢？b a ⋅＝()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+2241b a b a ————极化恒等式对于上述恒等式，用向量运算显然容易证明。

那么基于上面的引例，你觉得极化恒等式的几何意义是什么？几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的41. 即：[]2241DB AC b a -=⋅（平行四边形模式）目标1：阅读材料，了解极化恒等式的由来过程，掌握极化恒等式的两种模式，并理解其几何意义 M图1思考：在图1的三角形ABD 中（M 为BD 的中点），此恒等式如何表示呢？因为AM AC 2=，所以2241DB AMb a -=⋅（三角形模式）例1.(2012年浙江文15)在ABC ∆中，M 是BC 的中点，3,10AM BC ==，则AB AC ⋅=____ .解：因为M 是BC 的中点，由极化恒等式得： 2241BC AM AC AB -=⋅=9-10041⨯= -16 【小结】在运用极化恒等式的三角形模式时，关键在于取第三边的中点，找到三角形的中线，再写出极化恒等式。

极化恒等式的微教案

微教案高一学段向量知识极化恒等式一、教学目标⒈ 知识目标：掌握极化恒等式两种模式，理解其几何意义．掌握用极化恒等式求数量积的值、最值、范围；2．能力目标：培养学生的观察、分析问题的能力，逐步培养探索问题的精神，善于思考的习惯．3．情感目标：通过创造情境激发学生学习数学的兴趣和热情二、重点难点1．教学重点：掌握极化恒等式，利用它解决一类与数量积有关的向量问题 2．教学难点：根据具体的问题情境，灵活运用极化恒等式．三、教学方法与手段1．教学方法：启发式教学法． 2．教学手段：多媒体，动画制作．四、教学过程 1.情景引入微实验：(利用几何画板)平行四边形PMNQ ，O 是对角线交点，改变四边形形状，观察PM PN ⋅的变化实验结果：PQ 、NM变化时，PM PN ⋅ 也会变化1()点P 、MPM ∙PN =–2.75实验结果：PQ、NM 不变，PM PN ⋅ 也不变2.猜想证明：猜想：PM PN⋅ 只与PQ 、NM有关3.推理证明PQ PM PN =+(1)NM PM PN =-(2)()()2212-得()()()()2222PQ NMPM PN PM PN -=+--即：()()224PQ NM PM PN -=⋅()()22144PM PN PQ NM ⎡⎤∴⋅=-⎢⎥⎣⎦4.总结探索极化恒等式的平形四边形模式：()()2214PM PN PM PN PM PN ⎡⎤⋅=+--⎢⎥⎣⎦三角形模式：()()22124PM PN PO NM ⎡⎤⋅=-⎢⎥⎣⎦通过刚才的微实验可以明确极化恒等式的几何意义：（1）向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对2() 运动点P 、M PM ∙PN =6.11QP角线”平方差的14。

（2）△PMN 中，PM PN ⋅可由中线PO 长与边NM 长表示明确极化恒等式的两种形式。

5.范例分析例1：如图△,3,4ABC BC AB AC =⋅=，求BC 边上的中线AM 的长。

极化恒等式学案

课题：《极化恒等式》导学案向量是高中数学一个非常重要的内容，它集数、形于一身，既有代数的抽象性，又有几何的直观性，是形象思维与抽象思维的有机结合。

很多以向量为背景的考题通常以向量的线性运算以及数量积的运算为载体，综合考查学生的运算求解能力，推理论证能力。

[(a⃗+b⃗)2−(a⃗–b⃗)2]一：极化恒等式：a⃗∙b⃗=14注：极化恒等式就是解决有关向量数量积问题的一种简洁有效的方法。

1. 平形四边形模型：在平形四边ABCD中：2.三角形模型注：极化恒等式可以把向量的数量积运算转化为平面几何中长度关系运算二：课堂练习1. 已知点P 在圆221x y +=上，点A 的坐标为()2,0-，O 为原点，则AO AP ⋅u u u r u u u r的最大值为_____；2. 在平面四边形ABCD 中，O 为BD 的中点，且3,5OA OC ==,若7AB AD ⋅=-u u u r u u u r, 则BC DC ⋅u u u r u u u r的值是_______；3. 正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，P 是正方体内任意一点，MN 是它的内切球直径，则PM PN ⋅u u u u r u u u r的最大值为_________.附：参考答案1.【解】设PO 中点为M ，则22214AO AP AM MO AM ⋅=-=-u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u u r 251624⎛⎫≤-= ⎪⎝⎭2.【解】22297AB AD AO OB OB ⋅=-=-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以216OB =u u u r ，即2225169BC DC CO OB ⋅=-=-=u u u r u u u r u u u r u u u r 3.【解】2221312PM PN PO OM PO ⋅=-=-≤-=u u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r三：课后检测1. 如图，边长为1的正方形ABCD ,点,A D 分别在x 轴，y 轴正半轴上运动，OC OB ⋅u u u r u u u r的最大值为__________；2. 在锐角ABC ∆中，已知3B π∠=,2AB AC -=u u u r u u u r,则AB AC ⋅u u u r u u u r 的取值范围是_______；3. 已知正三角形ABC 内接于半径为2的圆O ，E 为线段BC 上一动点，延长AE 交圆O于点F ，则FA FB ⋅u u u r u u u r的取值范围是_______；4.（2013浙江）设ABC ∆,0P 是边AB 上一定点，满足014P B AB =,且对于边AB 上任一点P , 恒有00PB PC P B PC ⋅≥⋅u u u r u u u r u u u r u u u r,则A. 090ABC ∠=B. 090BAC ∠=C.AB AC =D.AC BC = 附：参考答案1.【解析】取,BC AD 的中点分别是,M N ，则22214OB OC OM MB OM ⋅=-=-u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r ，设()(),0,0,A a D d ，()22OM OA AB BM =++u u u u r u u u r u u u r u u u u r22222OA AB BM OA AB OA BM=+++⋅+⋅u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r()211121cos 2cos 422a a OAD a OAD ππ⎛⎫=+++⨯⨯-∠+⨯-∠ ⎪⎝⎭22225592444a ad a a d =++-≤++=，所以OB OC ⋅u u u r u u u r的最大值为2.2.【解析】法一（余弦定理）因为222224cos 22b c a b c AB AC bc A +-+-⋅===u u u r u u u r ，2221422242b c c c c =+-⨯⋅=-+，所以221124AB AC c c c ⎛⎫⋅=-=-- ⎪⎝⎭u u u r u u u r ，锐角三角形ABC 中，3B π∠=，点A 在线段MN 上，因为2BC =,所以1BM =，4BN =，14c <<，()0,12AB AC ⋅∈u u u r u u u r.法二（极化恒等式）取BC 中点为P ，则21AB AC AP ⋅=-u u u r u u u r u u u r ，因为MP AP NP <<，1MP =，(22211313NP NC =+=+=，()0,12AB AC ⋅∈u u u r u u u r3.【解析】法一（基底法）取AB 中点为M ，()()FA FB OA OF OB OF ⋅=-⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r2OA OB OA OF OF OB OF =⋅-⋅-⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 122242OF OM ⎛⎫=⨯⨯--⋅+ ⎪⎝⎭u u ur u u u u r2221cos 24cos MOF MOF =-⨯⨯∠=-∠，因为MOB MOF MOC ∠<∠<∠，即,3MOF ππ⎡⎤∠∈⎢⎥⎣⎦，所以1cos 1,2MOF ⎡⎤∠∈-⎢⎥⎣⎦，即[]0,6FA FB ⋅∈u u u r u u u r .法二（极化恒等式）取AB 中点为M ，由题意23AB =，则23FA FB FM ⋅=-u u u r u u u r u u u u r ，因为MB FM MC ≤≤，3MB =3MC =， []0,6FA FB ⋅∈u u u r u u u r.4. 【解析】法一（坐标法）设AB ＝4，以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的中垂线为y 轴，则()2,0A -，()2,0B ,则()01,0P ,设()(),,,0C a b P x ，所以()()2,0,,PB x PC a x b =-=-u u u r u u u r ，所以()()001,0,1,P B PC a b ==-u u u r u u u r. 则00PB PC P B PC ⋅≥⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ,即()()21x a x a --≥-恒成立， ∴Δ＝(2＋a )2－4(a ＋1)＝a 2≤0恒成立．∴a ＝0. 即点C 在线段AB 的中垂线上，∴AC ＝BC .选D. 法二（极化恒等式）BC D 取中点2220020PB P P D DBP D D C B BP P C ⎧--⋅=⎪⎨⎪⋅=⎩u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r r u u 所以0||||PD P D ≥u u u r u u u u r 所以恒成立0DPAB ⊥必有，所以AC ＝BC .选D.。

极化恒等式在数量积中的应用(学生版)

极化恒等式在数量积求值中的应用【教学目标】1．了解极化恒等式概念，理解极化恒等式的几何意义； 2．能利用极化恒等式解决数量积中的求值问题.【教学过程】1. 极化恒等式的概念：极化恒等式：设b a ,是平面内的两个向量，则有()()2214a b a b a b ⎡⎤⋅=+--⎢⎥⎣⎦极化恒等式的几何意义：在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，22AB AC AD BD ⋅=-.2.极化恒等式在数量积求值中的应用：例1. （2016年江苏数学高考第13题）如图，在ABC ∆中，D 是BC 的中点，,E F 是,A D 上的两个三等分点，4BA CA ⋅=，1BF CF ⋅=- ，则BE CE ⋅ 的值是 .例2（南通、泰州、扬州、连云港、淮安五市2013届高三三模第13题改编）在平面四边形ABCD 中，点E ，F 分别是边AD ，BC 的中点，且AB 1=，EF =，CD ．若15AD BC ⋅=，则AC BD ⋅的值为．3. 巩固练习：1. (2012浙江高考)在ABC∆中，M是边BC的中点3,AM =10,BC =AB AC = .2.（2017苏锡常镇一模）在△ABC 中，已知1AB =，2AC =，60A ∠=︒，若点P 满足=+AP AB AC λ，且1⋅=BP CP ，则实数λ的值为．3.（2017南通二模）如图，在平面四边形ABCD 中，O 为BD 的中点，且3OA =，5OC =．若AB →·AD →=-7，则BC →·DC →的值是．4.（自编）在梯形ABCD 中, 满足//AD BC , 1,3==AD BC ,2,=AB DC 则AC BD = 。

极化恒等式在数量积求最值中的应用【教学目标】1．能利用极化恒等式解决数量积中的求最值问题：2．思考使用极化恒等式解决数量积最值问题时，有何区别.【教学过程】例1 （2016届南通、扬州、泰州二模第12题）如图（2），在同一平面内，点A 位于两平行直线,m n 的同侧，且A 到,m n 的距离分别为1，3．点,B C 分别在,m n ，5AB AC +=，则AB AC ⋅的最大值是．例2（2016届南京三模第13题）在半径为1的扇形AOB 中，∠AOB ＝60o ，C 为弧上的动点，AB 与OC 交于点P ，则OP →·BP →的最小值是．例3.已知线段AB 的长为2，动点C 满足CA CB λ⋅=（λ为常数），且点C 总不在以点B 为圆心，12为半径的圆内，则负数λ的最大值是 .例 4.设O 是ABC ∆外接圆的圆心，,,a b c 分别为角,,A B C 对应的边，已知2220b b c -+=，则BC AO ⋅的范围是 .巩固练习：1. 正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，MN 是它内切球的一条弦（把球面上任意两点之间的线段称为球的弦），P 为正方体表面上的动点，当弦MN 最长时，PM PN 的最大值为 2.（2013北京市朝阳区二模）点P 是棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的底面1111A B C D 上一点，则PA PC 的取值范围是3. 设正方形ABCD 的边长为4，动点P 在以AB 为直径的圆弧APB 上（如图所示），则PD PC 的取值范围是4.如图放置的边长为1的正方形ABCD 顶点分别在x 轴，y 轴正半轴（含原点）滑动，则OB OC 的最大值为5.(自编）在平面直角坐标系xOy 中，,A B 分别在,x y 正半轴上移动， 2=AB ，若P 点满足2=PA PB ,则OP 的取值范围为 .极化恒等式在数量积问题的综合应用【教学目标】3．能利用极化恒等式解决数量积中较复杂的综合问题： 4．反思使用极化恒等式解决数量积最值问题的好处.【教学过程】例1．（2015年盐城市高三数学调研14题）正方形ABCD 边长为1，中心为O ,直线l 经过中心O ，交AB 于M ，交CD 于N ，P 为平面上一点，且2(1)OP OB OC λλ=+-，则PM PN ⋅的最小值为 .练习：（2012南京模拟）在ABC ∆中，点E ,F 分别是线段AB ,AC 的中点，点P 在直线EF 上，若ABC ∆的面积为2，则2PB PC BC +的最小值是 .例2（扬州市2015届高三上学期期末考试第14题）已知(0,1)A ，曲线:log a C y x =恒过点B ，若P 是曲线C 上的动点，且AB AP 的最小值为2，则a ＝ .例3．（2013年浙江高考第7题）在ABC ∆中，0P 是边AB 上一定点，满足014P B AB =，且对于边AB 上任意一点P ，恒有00PB PC P B PC ≥则下列选项中正确的是( )A .090ABC ∠=B .090BAC ∠= C .AB AC =D .AC BC =练习：（2013浙江竞赛）已知直线AB 与抛物线24y x =交于点,,A B M 为AB 的中点，C 为抛物线上一个动点，若0C 满足00min{}C A C B CA CB =，则下列各式一定成立的是（）A .0C M AB ⊥ B .0C M l ⊥其中l 为抛物线过0C 的切线 C .00C A C B ⊥D . 012C M AB =极化恒等式的反思：。

向量的极化恒等式与等和线的应用学生版

向量的极化恒等式与等和线的应用学生版向量的极化恒等式与等和线的应用学生版Pleasure Group Office【T985AB-B866SYT-B182C-BS682T-STT18】极化恒等式()222222C C b b a a b a A A +?+=+== （1） ()222222b b a a b a DBDB +?-=-== （2）（1）（2）两式相加得：??+=??? ??+=+22222222C AD AB b a DB A结论：平行四边形对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍. 思考1：如果将上面（1）（2）两式相减，能得到什么结论呢b a ?＝()()--+2241b a b a ————极化恒等式对于上述恒等式，用向量运算显然容易证明。

那么基于上面的引例，你觉得极化恒等式的几何意义是什么几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的41. 即：[]2241DB AC b a -=（平行四边形模式）思考：在图1的三角形ABD 中（M 为BD 的中点），此恒等式如何表示呢因为AM AC 2=，所以2 241DB AM b a -=?（三角形模式）例1.(2012年浙江文15)在ABC ?中，M 是BC 的中点，3,10AM BC ==，则AB AC ?=____ .目标检测目标检测例3.（2013浙江理7）在ABC ?中,0P 是边AB 上一定点，满足014P B AB =，且对于边AB 上任一点P ，恒有00PB PC P B PC ?≥?。

则( ) A . 90ABC ∠= B . 90BAC ∠= C . AB AC = D . AC BC =AB CM例4. (2017全国2理科12)已知ABC ?是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ?+的最小是（）A.2-B.32-C. 43- D.1-课后检测1.在ABC ?中，60BAC ∠=若2AB =，BC =，D 在线段AC 上运动，的最小值为2.已知AB 是圆O 的直径,AB 长为2,C 是圆O 上异于,A B 的一点,P 是圆O 所在平面上任意一点,则()PA PB PC +?的最小值为____________3．在ABC ?中，3AB =，4AC =，60BAC ∠=，若P 是ABC ?所在平面内一点，且2AP =，则PB PC ?的最大值为4．若点O 和点(2,0)F -分别是双曲线2221(0)x y a a-=>的中心和左焦点，点P为双曲线右支上任意一点则OP FP ?的取值范围是 .5．在Rt ABC ?，2AC BC ==，已知点P 是ABC ?内一点，则(PB +?的最小值是 .6.已知B A 、是单位圆上的两点，O 为圆心，且MN AOB o ,120=∠是圆O 的一条直径，点C 在圆内，且满足)10()1(<<-+=λλλOB OA OC ，则CN CM ?的取值范围是（）A ．??-1,21B ．[)1,1-C ．??-0,43D ．[)0,1-O7. 正ABC ?边长等于3，点P 在其外接圆上运动，则?的取值范围是（）A. -23,23B. -21,23C.-23,21 D.-21,21 8．在锐角ABC ?中，已知3B π=，2AB AC -=，则AB AC的取值范围是．9. 22.2.2.1.)(,0)()(2,)92008(D C B A c b c a c b a 满足，若向量个互相垂直的单位向量是平面内已知浙江理=-?-平面向量基本定理系数的等和线【适用题型】平面向量基本定理的表达式中，研究两系数的和差及线性表达式的范围与最值。

等和线、极化恒等式教师

A. 外心
B. 内心
C. 重心
D. 垂心
解：由已知得 AP (AB AC) ，设 BC 的中点为 D，则根据平行四边形法则知点 P 在 BC 的中线 AD 所在
的射线上，故 P 的轨迹过△ABC 的重心，选 C.
例 8 已知 O 是平面上的一定点，A、B、C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足
3
3
所以 x＋y＝cos α＋
3sin α＝2sin
α＋π 6
，[10 分]又α∈
0，2π 3
，所以当α＝π时，x＋y 取得最大值 2.[12
分]
3
例 3 (2020·杭州五校联盟一诊)在矩形 ABCD 中，AB＝ 5，BC＝ 3，P 为矩形内一点，且 AP＝ 5，若A→P＝ 2
λA→B＋μA→D(λ，μ∈R)，则 5λ＋ 3μ的最大值为______．
x 4 y 的取值范围是
．
【答案】1, 4
【解析】如图建立直角坐标系,设此扇形半径为 1, AOB 60 ,所以 A( 1 , 3 ), B(1, 0) ,由圆的参数方程可 22
知
xc
yc
cos sin ,
(为参数，
[0,
3
])
,因为
OC
x OA
y OB
,所以 (cos ,sin )
x(1 ,
3.极化恒等式：
a
b
1
a
b
2
a
b
2
.
4
AM
在 ABC 中，若 AM 是 ABC 的 BC 边中线，有以下两个重要的向量关系：
BM
1 2 1
AC AB , AC AB .
2
定理 1 平行四边形两条对角线的平分和等于两条邻边平分和的两倍.以此类推到三角形，若 AM 是 ABC 的

中学数学 极化恒等式 教案

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