第三节曲面及其方程
合集下载
第三节 曲面及其方程
第三节 曲面及其方程 ㈠本课的基本要求 理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，会求以坐标轴为旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程 ㈡本课的重点、难点常用二次曲面的方程及其图形为重点，求以坐标轴为旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程为难点 ㈢教学内容一．曲面方程的概念曲面是空间上按照一定规律运动的点的轨迹。
定义：如果曲面S 上每一点的坐标都满足方程0),,(=z y x F 。
而不在曲面S 上的点的坐标都不满足这个方程，则称0),,(=z y x F 为曲面S 的方程，而称曲面S 为此方程的图形。
例1 求两定点),,(),,,(22221111z y x M z y x M 等距离的点的轨迹方程。
解：设),,(z y x M =即：222222212121)()()()()()(z z y y x x z z y y x x -+-+-=-+-+-化简有：0)]([21)()()(222222212121121212=++-+++-+-+-z y x z y x z z z y y y x x x二．常见的二次曲面及其方程1．球面（空间中与某个定点等距离的点的轨迹）设定点的坐标为),,(000z y x ，则点),,(z y x M 在以0M 为球心，以R 为球半径的球面上的充R =即：2202020)()()(R z z y y x x =-+-+- 此即为以0M 为球心，R 为半径的球面方程。
当0M 是原点时，为特点：⑴是x 、y 、z 的二次方程，且222,,z y x 系数相等，符号相同； ⑵方程中不出现xy 、yz 、xz 等乘积项。
满足上述两个特点的三元二次方程0222=++++++D Cz By Ax z y x 一般为球面方程，变形：)4(41)2()2()2(222222D C B A C z B y A x -++=+++++可见，当04222>∆=-++D C B A 时，为球面，0=∆为点，0<∆为虚轨迹。
曲面及其方程(精)
如 x 2 + y 2 = R 2 在空间中的图形是一个母线平行于 z 轴 的圆柱面. 该圆柱面与 xOy 面的交线 C 为
x2 y 2 R2 , z 0.
同理, 在空间中方程 F ( x , z ) = 0 及 F ( y , z ) = 0
分别表示母线平行于 y 轴及母线平行于 x 轴的柱面.
如 z = x 2 表示一个母线平行于 y 轴的抛物柱面, 见
图.
三、旋转曲面
设有一条平面曲线 C 绕着同一平面内的一条定直 线 L 旋转一周, 由其旋转所形成的曲面称为旋转曲面, 称曲线 C 为旋转曲面的母线, 定直线 L 称为旋转曲面 的轴.
设在 yOz 面上有一条已 知直线 C , 它的方程是 F
两边平方后, 得
( x x0 ) ( y y0 ) ( z z0 ) R
2 2 2
2
(2)
显然, 球面上的点的坐标都满足该方程, 不在球面上
的点的坐标都不满足该方程, 所以, 式 (2) 就是球心
在点 M ( x 0 , y 0 , z 0 ) 半径为 R 的球面方程. 当球心在原点时, 球面方程为 x2 + y2 + z2 = R2 , 其图形见图.
解 绕 z 轴旋转时, 由式 (3) 得旋转曲面的方程为
( x 2 y 2 )2 z 2 2 1, 2 b c
x2 y 2 z 2 即 2 1. 2 b c 绕 y 轴旋转时, 由式 (4) 得旋转曲面的方程为 y 2 x2 z 2 1. 2 2 b c 上面的两个曲面, 均称为旋转椭球面.
F ( y, x 2 z 2 ) 0.
(4)
类似可以得到 xOy 面上的曲线绕 x , y 轴旋转, zOx 面上的曲线绕 z , x 轴旋转的旋转曲面方程.
x2 y 2 R2 , z 0.
同理, 在空间中方程 F ( x , z ) = 0 及 F ( y , z ) = 0
分别表示母线平行于 y 轴及母线平行于 x 轴的柱面.
如 z = x 2 表示一个母线平行于 y 轴的抛物柱面, 见
图.
三、旋转曲面
设有一条平面曲线 C 绕着同一平面内的一条定直 线 L 旋转一周, 由其旋转所形成的曲面称为旋转曲面, 称曲线 C 为旋转曲面的母线, 定直线 L 称为旋转曲面 的轴.
设在 yOz 面上有一条已 知直线 C , 它的方程是 F
两边平方后, 得
( x x0 ) ( y y0 ) ( z z0 ) R
2 2 2
2
(2)
显然, 球面上的点的坐标都满足该方程, 不在球面上
的点的坐标都不满足该方程, 所以, 式 (2) 就是球心
在点 M ( x 0 , y 0 , z 0 ) 半径为 R 的球面方程. 当球心在原点时, 球面方程为 x2 + y2 + z2 = R2 , 其图形见图.
解 绕 z 轴旋转时, 由式 (3) 得旋转曲面的方程为
( x 2 y 2 )2 z 2 2 1, 2 b c
x2 y 2 z 2 即 2 1. 2 b c 绕 y 轴旋转时, 由式 (4) 得旋转曲面的方程为 y 2 x2 z 2 1. 2 2 b c 上面的两个曲面, 均称为旋转椭球面.
F ( y, x 2 z 2 ) 0.
(4)
类似可以得到 xOy 面上的曲线绕 x , y 轴旋转, zOx 面上的曲线绕 z , x 轴旋转的旋转曲面方程.
第八章 第3节 曲面及其方程
以下给出几例常见的曲面. 例1
解 根据题意有
M M0
球心在原点时
---球面的标准方程
4
上半球面 ： 下半球面：
5
例2.研究方程 的曲面？ 解: 配方得
此方程表示: 球心为 半径为
的球面.
表示怎样
说明: 如下形式的三元二次方程 ( A≠ 0 )
---球面的一般方程
都可通过配方研究它的图形. 其图形可能是
20
旋转曲面
21
旋转曲面
22
旋转曲面
23
旋转曲面
重播
24
建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程: 母线:
将
代入
得旋转曲面方程
：
25
26
27
例5
解 所以圆锥面方程为
两边平方 ---圆锥面的标准方程
28
练习1 即
z
o
y
x
29
练习1
即 ---旋转双叶双曲面
---旋转单叶双曲面
o
y
x
o
y
x
67
小结
1. 空间曲面 球面
旋转曲面 如, 曲线
三元方程 绕 z 轴的旋转曲面:
柱面
如,曲面
表示母线平行 z 轴的柱面
又如,圆柱面、椭圆柱.面、双曲柱面、抛物柱面等 .
68
一个球面 , 或点 , 或虚轨迹.
6
例3 解
根据题意有
化简得所求方程
--平面方程
7
例4 方程 解 ？根据题意有
的图形是怎样的
图形上不封顶，下封底．
8
以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题： （1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程．
高等数学第七章：曲面及其方程
这条定直线叫旋 转曲面的轴．
4/21
旋转过程中的特征：
如图 设 M (x, y, z),
(1) z z1
（2）点M 到z 轴的距离
z
d M1(0, y1, z1)
M f ( y,z) 0
o
y
d x2 y2 | y1 | x
将 z z1 6; 7 ;
（1）双曲线
x2 a2
z2 c2
1分别绕 x轴和z轴；
绕x 轴旋转
x2 a2
y2 c2
z2
1
旋 转
双
绕z 轴旋转
x2 a2
y2
z2 c2
1
曲 面
x
y z
y2
（2）椭圆
a
2
z2 c2
1绕 y 轴和z轴；
x 0
绕 y 轴旋转
y2 a2
x2 c2
z2
1
0
2
叫圆锥面的
半顶角．试建立顶点在坐标原点，旋转轴为z 轴，
半顶角为 的圆锥面方程． z
解 yoz面上直线方程为 z y cot
圆锥面方程
z x2 y2 cot x
M1(0, y1, z1 )
o
y
M( x, y, z)
例6 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周， 求生成的旋转曲面的方程．
4/21
二、旋转曲面
定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴．
4/21
4/21
旋转过程中的特征：
如图 设 M (x, y, z),
(1) z z1
（2）点M 到z 轴的距离
z
d M1(0, y1, z1)
M f ( y,z) 0
o
y
d x2 y2 | y1 | x
将 z z1 6; 7 ;
（1）双曲线
x2 a2
z2 c2
1分别绕 x轴和z轴；
绕x 轴旋转
x2 a2
y2 c2
z2
1
旋 转
双
绕z 轴旋转
x2 a2
y2
z2 c2
1
曲 面
x
y z
y2
（2）椭圆
a
2
z2 c2
1绕 y 轴和z轴；
x 0
绕 y 轴旋转
y2 a2
x2 c2
z2
1
0
2
叫圆锥面的
半顶角．试建立顶点在坐标原点，旋转轴为z 轴，
半顶角为 的圆锥面方程． z
解 yoz面上直线方程为 z y cot
圆锥面方程
z x2 y2 cot x
M1(0, y1, z1 )
o
y
M( x, y, z)
例6 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周， 求生成的旋转曲面的方程．
4/21
二、旋转曲面
定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴．
4/21
7-3(马鞍面)
这条定曲线 C 叫柱面的准线 ，动直线 L 叫 柱面的母线.
观察柱面的形 成过程:
10/21
柱面举例
z
z
y2 2x
o
y
o
x
x
抛物柱面
平面
y
y x
11/21
二元方程F(x,y)=0 在空间表示的曲面S是什么？
M(x, y, z) S
z
M( x, y,0) xOy面上的 曲线C : F( x, y) 0
根据题意,有 M在球面上 | MM 0 | R，即
x x0 2 y y0 2 z z0 2 R,
所求方程为 x x0 2 y y0 2 z z0 2 R2 ,
特殊地：球心在原点时方程为 x 2 y 2 z 2 R2 .
3/21
二、旋转曲面
定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴．
这条定曲线 C 叫柱面的准线 ，动直线 L 叫 柱面的母线.
观察柱面的形 成过程:
10/21
三、柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线 C 叫柱面的准线 ，动直线 L 叫 柱面的母线.
观察柱面的形 成过程:
10/21
三、柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.
y 0
抛物线
双曲线 与平面 z z1 的交线
与 x x1
z
x12
y2
2 p 2q
的交线
x
x1
x2
2
pz1
y2 2qz1
1
z z1 （作图）
观察柱面的形 成过程:
10/21
柱面举例
z
z
y2 2x
o
y
o
x
x
抛物柱面
平面
y
y x
11/21
二元方程F(x,y)=0 在空间表示的曲面S是什么？
M(x, y, z) S
z
M( x, y,0) xOy面上的 曲线C : F( x, y) 0
根据题意,有 M在球面上 | MM 0 | R，即
x x0 2 y y0 2 z z0 2 R,
所求方程为 x x0 2 y y0 2 z z0 2 R2 ,
特殊地：球心在原点时方程为 x 2 y 2 z 2 R2 .
3/21
二、旋转曲面
定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴．
这条定曲线 C 叫柱面的准线 ，动直线 L 叫 柱面的母线.
观察柱面的形 成过程:
10/21
三、柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线 C 叫柱面的准线 ，动直线 L 叫 柱面的母线.
观察柱面的形 成过程:
10/21
三、柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.
y 0
抛物线
双曲线 与平面 z z1 的交线
与 x x1
z
x12
y2
2 p 2q
的交线
x
x1
x2
2
pz1
y2 2qz1
1
z z1 （作图）
03曲面及其方程、二次曲面-47页精品文档
面的方程。
例3 方程 x 2 y 2 z 2 2 x 2 y 4 z 1 0 0表示
什么图形？
一般地，三元二次方程（不含交叉项且平方项系数相同）
A x 2 A y 2 A z 2 B x C y D z E 0
表示空间的一张球面。
一些特殊曲面
用截痕法讨论几种特殊曲面（特别二次曲面）
17.09.2019
3
高等数学（下）主讲杨益民
例4 方程 z (x 1 )2 (y 2 )2 1 的图形是怎样的？
解 根据题意有 z1
用平面z c去截图形得圆：
z
( x 1 ) 2 ( y 2 ) 2 1 c( c 1 )
当平面z c上下移动时，得
C:
f ( y, z) 0
x
0
绕oz轴旋转得旋转曲面
17.09.2019
13
高等数学（下）主讲杨益民
f( x2y2,z)0
5.
xoy平面上的准线方程
C:
f (x,
z
0
y)
0
母线平行于
z
轴的
柱面方程为： f(x, y)0
四、二次曲面
三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面。
曲 面
直线L绕另一条与L相交的直线旋转一周，所得旋转曲面叫 圆锥面，两直线的交点叫圆锥面的顶点，两直线的夹角叫 圆锥面的半顶角。
17.09.2019
8
高等数学（下）主讲杨益民
例7 试建立顶点在坐标原点，旋转轴为z轴，半顶角为α
的圆锥面方程。
z
解: 圆锥面的母线方程为
z y cot
例3 方程 x 2 y 2 z 2 2 x 2 y 4 z 1 0 0表示
什么图形？
一般地，三元二次方程（不含交叉项且平方项系数相同）
A x 2 A y 2 A z 2 B x C y D z E 0
表示空间的一张球面。
一些特殊曲面
用截痕法讨论几种特殊曲面（特别二次曲面）
17.09.2019
3
高等数学（下）主讲杨益民
例4 方程 z (x 1 )2 (y 2 )2 1 的图形是怎样的？
解 根据题意有 z1
用平面z c去截图形得圆：
z
( x 1 ) 2 ( y 2 ) 2 1 c( c 1 )
当平面z c上下移动时，得
C:
f ( y, z) 0
x
0
绕oz轴旋转得旋转曲面
17.09.2019
13
高等数学（下）主讲杨益民
f( x2y2,z)0
5.
xoy平面上的准线方程
C:
f (x,
z
0
y)
0
母线平行于
z
轴的
柱面方程为： f(x, y)0
四、二次曲面
三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面。
曲 面
直线L绕另一条与L相交的直线旋转一周，所得旋转曲面叫 圆锥面，两直线的交点叫圆锥面的顶点，两直线的夹角叫 圆锥面的半顶角。
17.09.2019
8
高等数学（下）主讲杨益民
例7 试建立顶点在坐标原点，旋转轴为z轴，半顶角为α
的圆锥面方程。
z
解: 圆锥面的母线方程为
z y cot
第3节曲面及其方程
18
一般地 :
F ( x , y ) = 0, F ( y , z ) = 0, F ( x , z ) = 0
在空间都表示一个柱面 .
上面方程中缺少哪个变 量, 就 表示此柱面与哪个坐标 轴平行 .
19
四、二次曲面
曲面方程 :
F ( x, y, z ) = 0
如x + ( y − 1) + z = 1
y
d = x + y =| y1 |
将 z = z1 , y1 = ± x 2 + y 2 代入
F( y1, z1) = 0
9
将 z = z1 , y1 = ± x + y
2
2
得方程 F ±
所以
x + y , z = 0, F ( y , z ) = 0 绕 z 轴旋转曲面方程 旋转曲面方程.
2 2
( 2) a = b = c ,
x2 y2 z2 1 球面 2 + 2 + 2 = a a a
方程可写为 x 2 + y 2 + z 2 = a 2 .
24
（二）抛物面
x2 y2 + = z （ p 与 q 同号） 同号） 2 p 2q
椭圆抛物面 用截痕法讨论： 设 p > 0, q > 0 用截痕法讨论： （1）用坐标面 xoy ( z = 0) 与曲面相截 ） 截得一点， 截得一点，即坐标原点 O ( 0,0,0) 原点也叫椭圆抛物面的顶点 原点也叫椭圆抛物面的顶点. 顶点
2 2 2
二次曲面： 三元二次方程所表示的曲面称之． 二次曲面： 三元二次方程所表示的曲面称之．
相应地平面被称为一次曲面． 相应地平面被称为一次曲面． 一次曲面
一般地 :
F ( x , y ) = 0, F ( y , z ) = 0, F ( x , z ) = 0
在空间都表示一个柱面 .
上面方程中缺少哪个变 量, 就 表示此柱面与哪个坐标 轴平行 .
19
四、二次曲面
曲面方程 :
F ( x, y, z ) = 0
如x + ( y − 1) + z = 1
y
d = x + y =| y1 |
将 z = z1 , y1 = ± x 2 + y 2 代入
F( y1, z1) = 0
9
将 z = z1 , y1 = ± x + y
2
2
得方程 F ±
所以
x + y , z = 0, F ( y , z ) = 0 绕 z 轴旋转曲面方程 旋转曲面方程.
2 2
( 2) a = b = c ,
x2 y2 z2 1 球面 2 + 2 + 2 = a a a
方程可写为 x 2 + y 2 + z 2 = a 2 .
24
（二）抛物面
x2 y2 + = z （ p 与 q 同号） 同号） 2 p 2q
椭圆抛物面 用截痕法讨论： 设 p > 0, q > 0 用截痕法讨论： （1）用坐标面 xoy ( z = 0) 与曲面相截 ） 截得一点， 截得一点，即坐标原点 O ( 0,0,0) 原点也叫椭圆抛物面的顶点 原点也叫椭圆抛物面的顶点. 顶点
2 2 2
二次曲面： 三元二次方程所表示的曲面称之． 二次曲面： 三元二次方程所表示的曲面称之．
相应地平面被称为一次曲面． 相应地平面被称为一次曲面． 一次曲面
第3讲空间解析几何—曲面、曲线及其方程
第3讲 空间解析几何—曲面、曲线及其方程本节主要内容第三节 曲面及其方程1 曲面方程的概念2 旋转曲面3 柱 面 4二次曲面第四节 空间曲线及其方程1 空间曲线的一般方程2 空间曲线的参数方程3 空间曲线在坐标面上的投影讲解提纲：第七章 空间解析几何与向量代数第三节 曲面及其方程一、 曲面方程的概念空间曲面研究的两个基本问题是：1．已知曲面上的点所满足的几何条件，建立曲面的方程;2．已知曲面方程，研究曲面的几何形状.二、旋转曲面以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周形成的曲面叫做旋转曲面，旋转曲线和定直线分别叫做旋转曲面的母线和轴。
三、柱面平行于定直线并沿定曲线C 移动的直线L 形成的轨迹叫做柱面，定曲线C 叫做柱面的准线，动直线L 叫做柱面的母线。
四、二次曲面三元二次方程0),,(=z y x F 所表示的曲面称为二次曲面。
例题选讲：曲面方程的概念例1 建立球心在点),,(0000z y x M 、半径为R 的球面方程. 解：易得球面方程为2222000()()()x x y y z z R -+-+-=例2 求与原点O 及)4,3,2(0M 的距离之比为1:2的点的全体所组成的曲面方程. 解：易得曲面方程为22224116()(1)()339x y z +++++=。
例3 已知()1,2,3,A ()2,1,4,B - 求线段AB 的垂直平分面的方程.解：设点(,,)M x y z 为所求平面上的任一点，由 A M B M ==整理得26270x y z -+-=。
例4方程2222440x y z x y z ++-++=表示怎样的曲面？旋转曲面例5 将xOz 坐标面上的抛物线25z x =分别绕x 轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程.解：易得旋转曲面的方程225y z x +=例6 直线L 绕另一条与L 相交的定直线旋转一周, 所得旋转曲面称为叫圆锥面. 两直线的交点称为圆锥面的顶点, 两直线的夹角α)20(πα<<称为圆锥面的半顶角. 试建立顶点在坐标原点, 旋转轴为z 轴, 半顶角为α的圆锥面方程解：在yoz 坐标平面上，直线L 的方程为 c o tz y α= 可得圆锥面的方程为2222()z x y α=+柱面例7 分别求母线平行于x 轴和y 轴，且通过曲线222222216x y z x y z ⎧++=⎨-+=⎩的柱面方程.解：母线平行于x 轴的柱面方程：22316y z -= 母线平行于y 轴的柱面方程：223216x z += 二次曲面.椭球面：1222222=++cz b y a x )0,0,0(>>>c b a抛物面椭圆抛物面 qy p x z 2222+= （同号与q p ）双曲抛物面 z qy p x =+-2222 ( p 与q 同号)双曲面单叶双曲面 1222222=-+c z b y a x )0,0,0(>>>c b a双叶双曲面 1222222-=-+c z b y a x )0,0,0(>>>c b a二次锥面 0222222=-+cz b y a x例8 由曲面,0,0,0===z y x 1,122=+=+z y y x 围成的空间区域(在第一卦限部分), 作它的简图.课堂练习 1.求直线11:121x y z L --==绕z 轴旋转所得到的旋转曲面的方程. 2.指出方程221x y -=及22z x =-所表示的曲面. 3 方程()()22234z x y =-+--的图形是怎样的?第四节 空间曲线及其方程一、 空间曲线的一般方程 ⎩⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F二、空间曲线的参数方程 ⎪⎩⎪⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x三、 空间曲线在坐标面上的投影⇒⎩⎨⎧==.0),,(,0),,(z y x G z y x F ⇒=0),(y x H ⎩⎨⎧==00),(z y x H例题选讲：空间曲线的一般方程例1方程组 221493x y y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩表示怎样的曲线?空间曲线的参数方程例2 若空间一点M 在圆柱面222a y x =+上以角速度ω绕z 轴旋转, 同时又以线速度v 沿平行于z 轴的正方向上升 (其中ω、v 是常数), 则点M 构成的图形叫做螺旋线. 试建立其参数方程.解：取时间t 为参数，在t=0时，动点位于x 轴上的一点(,0,0)A a 处。
第三节 曲面及其方程学习资料
M (x,y,z)的坐标也满足方程 x2 y2 R2 ,
沿曲线C, 平行于z轴的一切直线所形成的曲面上的点
的坐标都满足此方程
19
此曲面称为圆柱面.
z
M•
在空间, x2y2R2就是圆柱面方程.
•
C
因此,该方程的图形是以xOy面上圆为准线, x
OM1
• •
• •
y
•
母线平行于z轴的柱面.
L
20
z
第三节 曲面及其方程
z
一、曲面方程的概念
F(x, y,z) 0
S
曲面方程的定义
O
y
如果曲面S与三元方程 F (x ,y ,z) x0 有下述关系:
(1) 曲面S上任一点的坐标都满足方程;
(2) 不在曲面S上的点的坐标都不满足方程;
那么, 方 F (x 程 ,y ,z ) 0就叫做曲面S的方程,
而曲面S就叫做方程的图形.
13
圆锥面方程 zx2y2cot
即 z 2 a 2 (x 2 y 2 )( a co ) t
a1时, cot1
4
即 圆锥面方程 z2x2y2
(用得较多)
14
yOz面上直线方程为 yzcot
绕y轴旋转所得曲面方程及图形.
y x2z2cot
即 y 2 c2 o (x 2 t z2 )
绕 y轴 旋 转 ay22x2c2z21
旋 转
椭
绕 z轴 旋 转 x2a2y2cz22 1
球 面
(3) yO坐 z 标面上的抛y2物 2线 pz绕z轴.
x2y22pz 旋转抛物面
17
三、柱面 (cylindrical surface )
8.3-8.4空间曲面、空间曲线及其方程
(4)
方程(5)表示一个母线平行于z 轴的柱面,
注意：曲线 C 一定在柱面上. 空间曲线 C 在 x O y 面上的 投影曲线必定包含于:
z
C
o o
H (x, y) = 0 z=0
y
x
注: 同理可得曲线在yOz面或xOz面
上的投影曲线方程.
已知两个球面的方程分别为:x2 + y2 + z2 = 1和 例6 x2 + (y 1)2 + (z1)2 = 1.求它们的交线C在xOy 面上的投影曲线的方程. 解 联立两个方程消去 z ,得 椭圆柱面
定义1 如果曲面 S 与方程 F( x, y, z ) = 0 有下述关系: (1) 曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程; (2) 不在曲面 S 上的点的坐标不满足此方程,
则 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面 S 的方程,
曲面 S 叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的图形.
故所求方程为
( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 ( z z0 ) 2 R 2 z
特别,当M0在原点时,球面方程为
x2 y2 z 2 R2
表示上(下)球面 .
M0
M
o x
y
例2
研究方程
表示怎样
的曲面. 解 配方得 故此方程表示: 球心为 M 0 (1, 2, 0 ) , 半径为 5 的球面. 说明: 如下形式的三元二次方程 ( A≠ 0 )
特别,当 p = q 时为绕 z 轴的旋转抛物 面. (2) 双曲抛物面（鞍形曲面）
x
y
z
x y z ( p , q 同号) 2p 2q
2
2
第三节 空间曲面及方程
即
( x x0 )2 ( y y0 )2 ( z z0 )2 R
x2+y2+z2=R2
故球面方程为: (x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=R2 特别,当M0在原点时,球面方程为: 球面方程的一般式为: x2+y2+z2+Ax+By+Cz+D=0 其特征为: (1) x2, y2, z2系数相同； (2)无 xy , xz, yz项。 例: x2+y2+z2 -2x+4z -4=0 配方得(x-1)2+y2+(z+2)2=32
缺谁,母线平行谁
a
o
b y
y a o
x
x
14
柱面
z
(3) 抛物柱面: y2 =2x
母线平行于z 轴,
o x y z
准线为xoy 面上的抛物线:
(4) 平面: y-2z=0 母线平行于x 轴,
y2 =2x
。
y-2z=0
•
准线为yoz 面上的直线: y-2z=0 。
x
y
o
x2 y2 ——— =1 (1) 椭圆柱面: ——— + a2 b2
M•
任取曲面S上点M(x, y, z), 其点必是由曲线L上点M0(x0, y0, z0) 绕 z 轴转旋转而来. 则有: z=z0; x2+ y2 =y0; 因为f (y0, z0)=0, x
• M0
S
L
y
所以f ( x2+ y2 , z)=0.
6
旋转曲面
2、设yoz面上曲线 L: f (y, z)=0 绕 z 轴旋转一周, 所成曲面的方程为:
8_3空间曲面.
P0 d
A(x0 x1) B( y0 y1) C(z0 z1) A2 B2 C2
P1
d A x0 B y0 C z0 D A2 B2 C2
(点到平面的距离公式)
机动 目录 上页 下页 返回 结束
6.平行平面间的距离 有两个平行平面:
Ax + By + Cz+D1 = 0, Ax + By +Cz+ D2 = 0,
故所求方程为
(x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 R2
z 特别,当M0在原点时,球面方程为
x2 y2 z2 R2
表示上(下)球面 . o x
M0
M
y
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例2. 研究方程 的曲面.
表示怎样
解: 配方得
此方程表示: 球心为 M0 (1, 2, 0), 半径为 5 的球面.
例6. 试建立顶点在原点, 旋转轴为z 轴, 半顶角为
的圆锥面方程. 解: 在yoz面上直线L 的方程为
z L
绕z 轴旋转时,圆锥面的方程为
M (0, y, z)Biblioteka y两边平方
x
z2 a2( x2 y2 )
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例7. 求坐标面 xoz 上的双曲线
分别绕 x
轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程.
第三节 空间曲面
一、空间曲面的方程
二、空间平面 三、几种常见的空间曲面
第八章
机动 目录 上页 下页 返回 结束
定义1. 如果曲面 S 与方程 F( x, y, z ) = 0 有下述关系:
7.3曲面及其方程
距离为 R 的轨迹
方程. 解: 设轨迹上动点为
依题意
即
( x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 R
故所求方程为
( x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 R2 z
特别,当M0在原点时,球面方程为
x2 y2 z2 R2
母线 平行于 y 轴; 准线 xoz 面上的曲线 l3.
z
x l1
y z l2
y x
z l3
x
y
三、旋转曲面
定义2. 一条平面曲线 绕其平面上一条定直线旋转 一周 所形成的曲面叫做旋转曲面. 该定直线称为旋转 轴.
例如 :
建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程:
定义3. 平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成 的轨迹叫做柱面. C 叫做准线, l 叫做母线.
定义3. 平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成 的轨迹叫做柱面. C 叫做准线, l 叫做母线.
定义3. 平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成 的轨迹叫做柱面. C 叫做准线, l 叫做母线.
x2 y2 R2 表示圆柱面
定义3. 平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成 的轨迹叫做柱面. C 叫做准线, l 叫做母线.
定义3. 平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成 的轨迹叫做柱面. C 叫做准线, l 叫做母线.
定义3. 平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成 的轨迹叫做柱面. C 叫做准线, l 叫做母线.
第三节 曲面及其方程
在平面上: F (x,y)=0 或 y = f(x) 1--1
平面曲线
y x2
第三节 曲面及其方程
( x x0 )2 ( y y0 )2 ( z z0 )2 R
所求方程为
( x x0 ) ( y y0 ) ( z z0 ) R
2 2 2
2
特殊 球心在原点的球面方程
x 2 y 2 z 2 R2
4
曲面及其方程
例 求与原点O及M0 (2,3,4)的距离之比为 1： 2的点 的全体所组成的曲面方程. 解 设M ( x , y , z )是曲面上任一点, | MO | 1 | MM 0 | 2 1 x2 y2 z2 2 2 2 x 2 y 3 z 4 2 所求方程
绕z轴旋转
2 z x y 2 1 2 c a
2
2
旋 转 双 曲 面
13
曲面及其方程
y z (2) yOz坐标面上的椭圆 2 2 1 绕y轴和z轴; a c
2
2
y2 x2 z2 绕 y 轴旋转 2 1 2 a c x2 y2 z2 绕 z 轴旋转 2 1 2 a c
2 4 116 2 x y 1 z 3 3 9
5
2
2
曲面及其方程
研究空间曲面有两个基本问题 (1)已知曲面, 求方程; (讨论旋转曲面) (2)已知方程, 研究图形. (讨论柱面, 二次曲面)
6
曲面及其方程
二、旋转曲面 (surface of revolution)
F ( x , y , z ) 0 有下述关系:
(1) 曲面S上任一点的坐标都满足方程;
x
O
S
y
(2) 不在曲面S上的点的坐标都不满足方程; 那么, 方程F ( x , y, z ) 0 就叫做曲面S的方程, 而曲面S就叫做方程的图形.
曲面曲线方程
xoy 面上的投影曲线所围之域 . 二者交线
z
在 xoy 面上的投影曲线 所围圆域: x y 1, z 0 .
2 2
C
x
o
1
y
思考与练习
1. 指出下列方程的图形:
方 程
x5
x y 9
y x 1
2 2
平面解析几何中
空间解析几何中
平行于 y 轴的直线 平行于 yoz 面的平面 圆心在(0,0) 半径为 3 的圆 斜率为1的直线 以 z 轴为中心轴的 圆柱面 平行于 z 轴的平面
2.画出图形
x 1 (1) y2
z 4 x y (2) yx0
z
2
2
z
2 y
1
o o
o x
2y
x
(3)
x z a
2
2
2
x2 y2 a2
z
a
o
a
y
x
y 5x 1 (4) y x3
z
y 5x 1 y x3
o
y
z
x2 y2 1 (5) 4 9 y3
及 x 1.
z
(1,1)
x
y2 x
o 1
(1,1)
y
x2 y2 z
x 1 z0
(1)范围：
2
2
2
x a,
y b,
z c
y2 z2 1 , b2 c2 x0 x2 z 2 1 a 2 c 2 y0
(2)与坐标面的交线：椭圆
x2 y2 1, 2 2 a b z0
x y z 2 2 1 ( a, b, c 为正数) 2 a b c
z
在 xoy 面上的投影曲线 所围圆域: x y 1, z 0 .
2 2
C
x
o
1
y
思考与练习
1. 指出下列方程的图形:
方 程
x5
x y 9
y x 1
2 2
平面解析几何中
空间解析几何中
平行于 y 轴的直线 平行于 yoz 面的平面 圆心在(0,0) 半径为 3 的圆 斜率为1的直线 以 z 轴为中心轴的 圆柱面 平行于 z 轴的平面
2.画出图形
x 1 (1) y2
z 4 x y (2) yx0
z
2
2
z
2 y
1
o o
o x
2y
x
(3)
x z a
2
2
2
x2 y2 a2
z
a
o
a
y
x
y 5x 1 (4) y x3
z
y 5x 1 y x3
o
y
z
x2 y2 1 (5) 4 9 y3
及 x 1.
z
(1,1)
x
y2 x
o 1
(1,1)
y
x2 y2 z
x 1 z0
(1)范围：
2
2
2
x a,
y b,
z c
y2 z2 1 , b2 c2 x0 x2 z 2 1 a 2 c 2 y0
(2)与坐标面的交线：椭圆
x2 y2 1, 2 2 a b z0
x y z 2 2 1 ( a, b, c 为正数) 2 a b c
第三节曲面方程与曲线方程
若 1 (M 2 N 2 S 2 ) Q 0, 4
则所给方程无图形,可称其为虚球.
二、曲线方程
空间两曲面相交,可以得到一条曲线.设
F1(x,y,z)=0 和 F2(x,y,z)=0 为空间两曲面的方程,若它们相交得到一条曲线L,则L上
任一点的坐标必定满足这两个曲面方程.反过来,同时满
x
0.
将L绕z轴旋转一周所形成的曲面称为旋转曲面,称z轴为
旋转轴.
当曲线L绕z轴旋转时,点M0也绕z轴旋转到点M,这时 z=z0保持不变,且点M到z轴距离恒等于|y0|.于是点M的坐 标满足
z z0, x2 y2 | y0 | . 由于M0(0,y0,z0)在L上,因此
f ( y0, z0 ) 0. 可得点M的坐标应满足的方程为
第三节 曲面方程与曲线方程
一、曲面方程 二、曲线方程 三、母线平行于坐标轴的柱面方程 四、一坐标轴为旋转轴的旋转曲面
一 、曲面方程
定义7.3 若曲面上每一点的坐标都满足某方程，而不在 此曲面上的点都不满足这个方程，则称这个方程是所给 曲面的方程.
三元方程 F(x,y,z)=0 总表示一个空间曲面.
两端平方得 (x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 R2 表示以点M0(x0,y0,z0)为中心,以R为半径的球面.
例2 研究方程 x2 y2 z2 Mx Ny Sz Q 0
所表示的曲面方程的几何特性.
解 原方程配方得
x2 Mx y2 Ny z2 Sz Q,
f ( x2 y2 , z) 0.
为曲线
f x
(y, z) 0.
0,绕z轴旋转一周所得的旋转曲面方程.
则所给方程无图形,可称其为虚球.
二、曲线方程
空间两曲面相交,可以得到一条曲线.设
F1(x,y,z)=0 和 F2(x,y,z)=0 为空间两曲面的方程,若它们相交得到一条曲线L,则L上
任一点的坐标必定满足这两个曲面方程.反过来,同时满
x
0.
将L绕z轴旋转一周所形成的曲面称为旋转曲面,称z轴为
旋转轴.
当曲线L绕z轴旋转时,点M0也绕z轴旋转到点M,这时 z=z0保持不变,且点M到z轴距离恒等于|y0|.于是点M的坐 标满足
z z0, x2 y2 | y0 | . 由于M0(0,y0,z0)在L上,因此
f ( y0, z0 ) 0. 可得点M的坐标应满足的方程为
第三节 曲面方程与曲线方程
一、曲面方程 二、曲线方程 三、母线平行于坐标轴的柱面方程 四、一坐标轴为旋转轴的旋转曲面
一 、曲面方程
定义7.3 若曲面上每一点的坐标都满足某方程，而不在 此曲面上的点都不满足这个方程，则称这个方程是所给 曲面的方程.
三元方程 F(x,y,z)=0 总表示一个空间曲面.
两端平方得 (x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 R2 表示以点M0(x0,y0,z0)为中心,以R为半径的球面.
例2 研究方程 x2 y2 z2 Mx Ny Sz Q 0
所表示的曲面方程的几何特性.
解 原方程配方得
x2 Mx y2 Ny z2 Sz Q,
f ( x2 y2 , z) 0.
为曲线
f x
(y, z) 0.
0,绕z轴旋转一周所得的旋转曲面方程.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
?
1
绕y轴一周的
曲面方程为
这两种曲面都叫做旋转双曲面.
系理数院学技科汉武
三 柱面
定义:动直线L始终平行于一固定直线B沿另一条曲线C移动 而生成的曲面叫做柱面. 动直线L称为母线.曲线C称为柱面 的准线. 当母线与准线相互垂直时,这个柱面称为直立柱面, 简称柱面. 下面我们研究柱面方程.考虑母线平行于坐标轴的柱面.
推广到空间中,所以球心的坐标为:
x ? 1 ? (? 3) ? ? 1, y ? ? 2 ? 4 ? 1, z ? 3 ? 1 ? 2
2
2
2
由两点的距离公式可得到,球半径为
Hale Waihona Puke 系理数院学技科汉武R ? [1? (?1)]2 ? (?2?1)2 ? (3? 2)2 ? 14
所以球面方程为: (x+1)2+(y-1)2+(z-2)2=14
系理数院学技科汉武
案教子电学数等高
同理,我们可以得到xoy,xoz平面上的曲线,它们绕轴旋转
得到旋转曲面的方程.例如在xoy平面上的曲线f(x,y)绕x轴 旋转得到的曲面方程是x不变,把y变成 ? y 2 ? z 2
x2
例3:把xoy坐标面上的椭圆 a 2
?
y2 b2
?1
绕x轴旋转一周,求所
成的旋转曲面的方程.
解: 绕x轴旋转一周,x不变,y用 ?
到所求的方程
x2 a2
?
y2 ? z2 b2
?1
y2 ? z2
代入,就得
这曲面叫做旋转椭球面.
系理数院学技科汉武
案教子电学数等高
例4 将xoy平面上的双曲线
x2 y2 a2 ? b2 ? 1
绕x,y轴旋转一周,求其方程
解:绕x轴一周的曲面方程为
x2 a2
?
y2 ? z2 b2
系理数院学技科汉武
案教子电学数等高
3. 空间解析几何研究的两个基本问题: (1). 已知一空间曲面,建立其方程. (2). 已知坐标x,y,z 的一个方程,研究该方程所代表的曲面
形状. 例2. 方程x2+y2+z2-2x+4y+2z=0.表示怎样的曲面的形状?
(x2 ? 2x ? 1)? ( y2 ? 4 y ? 4) ? (z2 ? 2z ? 1)? 6 ? 0.
案教子电学数等高
L
B C 例:方程表示怎样的曲面. 方程 x2 ? y2 ? R2 表示在xoy平面上圆心在坐标原点,半径为R的一个圆. 在空间表示一曲面. 该曲面的形状是:它不含有z坐标,因此不论空间点的z坐标, 只要其横坐标和纵坐标满足方程x2 ? y2 ? R2 该点必定在这空间曲面上.反之如果点不满足方程 x2 ? y2 ? R2 则它一定不在这空间曲面上.
系理数院学技科汉武
案教子电学数等高
因为M,M1到z轴的距离相等,有 y1 ? x2 ? y2 ? y1 ? ? x2 ? y2
代入方程(1),得到 f (? x2 ? y 2 , z) ? 0(2)
这就是旋转曲面方程. 特点: yoz平面曲线C:f(y,z)=0,绕z轴旋转.得到的旋转曲面
. 方程z不变.而y用 ? x 2 ? y 2 代入 如果yoz平面曲线C:f(y,z)=0,绕y轴旋转.得到的旋转曲面方 方程z不变.而y用? x2 ? z2 代入
案教子电学数等高
二 旋转曲面
定义:一条平面曲线C,绕该曲线C所在的平面内一直线L旋转 一周所成的曲面,叫做旋转曲面,这条直线L叫做旋转曲面的 轴.曲线C称为旋转曲面的母线. 垂直于旋转轴的平面,如果与旋转面相交,它们的交线是中心 在轴上的圆周. 在坐标系下建立旋转曲面的方程. 设yoz平面内有一已知曲线C,方程为f(y,z)=0.将其绕z轴
M0M ? R(*)
M(x,y,z) z
系理数院学技科汉武
y
x
M0(x0,y0,z0)
案教子电学数等高
3.把坐标代入,转化为方程.
( x ? x 0 ) 2 ? ( y ? y 0 ) 2 ? ( z ? z 0 ) 2 ? R (**)
因为球面上任一点都适合等式(*),其坐标满足(**).从而 满足方程 (2).反之,不在球面上的点必不满足(*),其坐标不满足 (**),从而不满足方程(2). 故(2)为以M0(x0,y0,z0)为球心,R为 半径的方程.如果球心为(0,0,0), 则以球心为坐标原点(0,0,0), 半径为R的球面方程为x2+y2+z2=R2
系理数院学技科汉武
案教子电学数等高
2 建立空间曲面方程的思想方法: 空间曲面看成流动点的轨迹. 而方程看成相应的流动坐标 所满足的等式.以此思想来建立曲面方程的方法如下: ①在所求的曲面上任找一动点M(x,y,z) ②以动点所满足的条件得到等式. ③把坐标代入,转化为方程. 下面,我们举例说明.
系理数院学技科汉武
旋转一周,得到一个以z轴为轴的旋转曲面.
系理数院学技科汉武
案教子电学数等高
z
C L
y o x
现在我们利用已知曲线方程f(y,z)=0建立 旋转曲面方程. 在曲面上找一点M.它是曲线C上对应 点(同一圆上的点) M1旋转得到的.M1(0, y1,z).因为M1在C上,它满足曲线C的 方程
f(y1,z)=0 (1)
曲面代表圆心为(1,-2,-1),半径为R ? 6 的球面. 一般二次方程Ax2+Ay2+Az2+Bx+cy+Dz+E=0表示球面. 特点是①平方项系数相等.②不含交叉项.
系理数院学技科汉武
案教子电学数等高
例3 球的一条直径的两端为(1,-2,3)和(-3,4,1),求此球面方程. 解:首先,平面几何中关于定比点及线段中点坐标的公式可
案教子电学数等高
第三节 曲面及其方程
一 曲面方程的概念
1 曲面方程是平面解析几何中曲线方程概念的推广: 定义:给定空间曲面S及三元方程F(x,y,z)=0 (1) 如果它们 有如下对应关系:①.曲面S上任一点的坐标都满足方程(1). ②.不在曲面S上的点的坐标都不满足方程(1). 那么,方程 (1) 就叫做曲面S的方程.而曲面S叫做方程(1)的图形.
案教子电学数等高
例1 建立球心在点M0(x0,y0,z0), 半径为R的球面方程. F(x,y,z)=0
z s
y
x ①在所求的曲面上任找一动点M(x,y,z) ②以动点所满足的条件得到等式. ③把坐标代入,转化为方程.
系理数院学技科汉武
案教子电学数等高
1.设M(x,y,z)是球面上的任一点. 2.那么M点到球心M0(x0,y0,z0)的距离为半径R(这就是以动 点所满足的条件得到等式)