二阶行列式定义
1[1].2_行列式的概念
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2008年10月9日星期四
定义4 列标排列呈标准排列的n阶行列式定义为
a11 a 21 a n1
a12 a 22 an 2
a1n a2 n a nn
=
q1q 2
∑ ( 1)
qn
τ ( q1q 2
qn )
a q11a q 2 2
aqn n
其中，排列 q1 q 2 q n遍取所有的n元排列。 重要说明：行列式的定义与各个性质均只与各元素的位 置有关，而与元素有无下标、下标与位置是 否一致均无关
定义3 行标排列呈标准排列的n阶行列式定义为
a11 a 21 a n1
a12 a 22 an 2
a1n a2n a nn
=
p1 p 2
∑( 1)
pn
τ ( p1 p 2
pn )
a1 p1 a 2 p 2
a np n
其中排列 p1 p 2
p n遍取所有的n元排列。
行列式是“数”，它是“不同行不同列元素乘积的代数和”
=1
符号为负 符号为正
τ (14325) + τ (52314) = 9
当i = 5, j = 3, k = 1时，
τ (54321) + τ (52314) = 16
数学科学学院
徐
鑫
2008年10月9日星期四
思考题
①如果一个n阶行列式零元素个数如果比n2-n多，则该行 列式必为零； ② 0 0 0 1 0 2 0 0 = (1)τ ( 4231) 24 = 24 0 0 3 0 4 0 0 0 ③如果行列式主对角线上有一个元素为0，且在此元素的 下方、右方的所有元素都是0，则该行列式值为零。例如， 。
2-1-3行列式定义-性质
第一节
二阶、三阶行列式
一、二阶行列式的引入 二、三阶行列式 三、小节、思考题
一、二阶行列式的引入 定义 由四个数排成二行二列（横排称行、竖排 称列）的矩阵：
a11 a12 a21 a22 ( 4)
称表达式 a11a22 − a12 a21为矩阵（4）所确定的二阶 行列式，并记作
即
a11 a21
第三节
行列式的性质
一、行列式的性质
二、应用举例
一、行列式的性质
性质1 说明
AT = A 行列式与它的转置行列式相等即，
行列式中行与列具有同等的地位,因此行列 式的性质凡是对行成立的对列也同样成立. 交换两行（列），行列式变号
性质2
推论
两行（列）相同，此行列式为零
性质3
a11 a12 L a1n LLLLLLL kai 1 kai 2 L kain = k LLLLLLL a n1 an 2 L ann
A23 = (− 1)
2+ 3
M 23 = − M 23 , 叫做元素 a23的代数余子式 .
注意：一个元素的代数余子式 只与该元素所处位置 相关；而与该元素等于 多少无关！
比如上例中，即便把 a 23的值换成 a 33，它的 代数余子式仍然不变！ 亦即仍有
A23 = − M 23
a11 a21 D= a31 a41
k =1 k =1 n
n
(i = 1,2,L, n )
3. 在按行、按列展开时， 建议挑选含零最多
的行、列！
思考题
设n阶行列式
1 2 3 L n 1 2 0 L 0 Dn = 1 0 3 L 0 M M M O M 1 0 0 L n
二阶和三阶行列式
二阶和三阶行列式
（1-5） 为二阶矩阵A的行列式，简称二阶行列式．其中aij（i，j=1， 2）的第一个下标i表示元素所在行，称为行标，第二个下标j表示 元素所在列，称为列标，则aij就是位于构成行列式的数表第i行与 第j列交叉位置的数，称为行列式的元素．
二阶和三阶行列式
从式（1-5）可以看出，二阶行列 式实际上是一个算式，即从左上角到右 下角的对角线（主对角线）上两个元素 相乘以后减去从右上角到左下角的对角 线（副对角线）上两个元素的乘积，这 就是计算二阶行列式的对角线法则．
谢谢聆听
二阶和三阶行列式
【例1-2】
求下列各二阶行列式的值.
二阶和三阶行列式
二阶和三阶行列式
二阶和，简称三阶行列 式．三阶行列式的展开式 也可以用对角线法则得到， 三阶行列式的对角线法则 如图1-3所示．
图1-3 三阶行列式的对角线法则
二阶和三阶行列式
其中每条实线上三个元素的乘积带 正号，每条虚线上三个元素的乘积带负 号，所得六项的代数和就是三阶行列式 的展开式．
二阶和三阶行列式
二阶和三阶行列式
在中学时已通过求解二元、三元一次线性方程组 的问题引出了二阶、三阶行列式的定义.在此，再进行 简单的复习．
设有二元一次线性方程组
该方程组用矩阵形式可表示为AX=b，其中
二阶和三阶行列式
当a11a22－a12a21≠0时，方程组有唯一解：
上述结论可作为公式使用，但这种公式解的表达式比较 复杂，应用起来也不方便，为方便记忆，我们引进新的记号 来表示这个结果，就是行列式的概念．
二阶行列式
a2 a3
a15
a16
18
2.解不等式
x
0
x 0, 1
x2 3.求函数的最值 y 2
x 1
y min 1,无最大值
探索研究：
一、1)计算行列式 9 的值； 2）你能否从1）中的结果得出一个一般的结论？ 并证明你的结论。
3
5 11 12 ， 10 22
4
7 28 ， 2 8
基本步骤：
1）把方程变为标准形式，即
a1x b1y c1 , a2x b2y c2 .
形式；
2）正确写出行列式
Dx x D 3）当 D 0 时，写出二元一次方程组的解为 y D y D
D、D x、D y ；
巩固练习：
1.展开并化简下列行列式：
D
Dx
5 11 4 15
8
5 15 4 11 31 0,
11
6 15
186 ,
Dy
5
8
4 6
62,
Dx 186 x 6, D 31
Dy y D
62 2. 31
所以，原方程组的解为
x 6 y 2
行列式应用于解二元一次方程组
德国数学家莱布尼兹是与牛顿齐 名的微积分的创始人，同时他又是 数学史上最伟大的符号学者之一， 堪称符号大师，他曾说：“要发明， 就要挑选恰当的符号，要做到这一 点，就要用含义简明的少量符号来 表达和比较忠实地描绘事物内在本 质，从而最大限度地减少人的思维 劳动”．他创造的数学符号有商 “ a”、比“a:b”、相似“∽”、 b ”、交“ ” 全等“≌”、并“ 等，最有名的 要算积分和微分符号了．
二阶与三阶行列式
(2)对角线法则 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32.
注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三 元素的乘积冠以负号． 说明1 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．
2
3 (4) 7 0,
21
12 D1 1
2 14,
1
3 D2 2
12 1
21,
x1
D1 D
14 7
2,
x2
D2 D
21 3. 7
二、三阶行列式
定义 设有9个数排成3行3列的数表
a11 a12 a13
a21 a22 a23
(5)
记
a31 a32 a33
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 (6) a31 a32 a33 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31,
（6）式称为数表（5）所确定的三阶行列式.
a11 a12 a13 D a21 a22 a23 .列标
a31 a32 a33 行标 三阶行列式的计算
a11 a12 a13 a11 a12 (1)沙路法 D a21 a22 a23 a21 a22
a31 a32 a33 a31 a32 D a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31.
称列）的数表
a11 a12
a21 a22
(4)
表达式 a11a22 a12a21称为数表（4）所确定的二阶
第一章 第一节 n阶行列式的定义和性质
第一章 行列式行列式的概念是在研究线性方程组的解的过程中产生的. 它在数学的许多分支中都有着非常广泛的应用，是常用的一种计算工具。
特别是在本门课程中，它是研究后面线性方程组、矩阵及向量组的线性相关性的一种重要工具。
§1.1 n 阶行列式定义和性质1.二阶行列式定义1 二阶行列式 由22个数排成2行2列所组成下面的式子（或符号）2112221122211211a a a a a a a a -=称为二阶行列式，行列式中每一个数称为行列式的元素，数ij a 称为行列式的元素,它的第一个下标i 称为行标,表明该元素位于第i 行,第二个下标j 称为列标, 表明该元素位于第j 列.位于第i 行第j 列的元素称为行列式的),(j i 元。
2阶行列式由22个数组成，两行两列；展开式是一个数或多项式；若是多项式则必有2!2=项，且正负项的各数相同。
应用：解线性方程例1：二阶线性方程组⎩⎨⎧=+=+22221211212111b x a x a b x a x a且021122211≠-a a a a . 解：2112221122211211a a a a a a a a D -==，2122212221211b a a b a b a b D -==，2112112211112a b b a b a b a D -==得 .,2211DD x DD x ==例2：解方程组.328322121⎩⎨⎧-=-=+x x x x 解 D 2132-=13)2(2⨯--⨯=,7-=1D 2338--=)3(3)2(8-⨯--⨯=,7-=2D 3182-=18)3(2⨯--⨯=.14-=因,07≠-=D 故所给方程组有唯一解1x D D 1=77--=,1=2x DD 2=714--=.2=2.三阶行列式定义2由23个数排成3行3列所组成下面的式子（符号） 333231232221131211a a a a a a a a a =.332112322311312213322113312312332211a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++ 称为三阶行列式。
行列式定义性质与计算
行列式与逆序数的计算
总结词
行列式的逆序数与计算顺序有关。
详细描述
对于任何给定的方阵A，其逆序数与计算行列式的顺序有关。换句话说，如果你 改变计算行列式的顺序，那么逆序数也会相应地改变。这是因为行列式的定义涉 及对行和列的操作，而行和列的顺序会影响到这些操作的顺序和结果。
03
行列式的计算方法
二阶行列式的计算方法
矩阵逆运算中行列式的应用
总结词
行列式在矩阵逆运算中扮演关键角色。
详细描述
在求解矩阵的逆时，行列式是一个关键因素 。只有方阵才可能有逆矩阵，而判断一个方 阵是否可逆的方法之一就是查看其行列式值 。如果行列式值等于零，那么这个方阵就是 不可逆的；反之，如果行列式值不等于零， 那么这个方阵就是可逆的。因此，行列式在
用代数余子式展开，然后进行简单的 代数运算。
03
例子
对于三阶行列式
三阶行列式的计算方法
```
|abc| |def|
三阶行列式的计算方法
01
|ghi|
```
02
03
其值为 a*e*i + b*f*g + c*d*h c*e*g - b*d*i - a*f*h。
n阶行列式的计算方法-展开法
定义
n阶行列式是所有位于对角线上 的元素和它们不相邻的元素的总 和，共有n!项，每个项都是不同 行不同列的n个元素的乘积。
行列式定义性质与计算
2023-11-06
目录
• 行列式的定义 • 行列式的性质 • 行列式的计算方法 • 行列式在解线性方程组中的应用 • 行列式在矩阵运算中的应用
01
行列式的定义
二阶行列式定义
01
二阶行列式是由2行2列组成的矩阵，其值由其元素的代数余子 式决定。
线性代数1行列式
线性代数1⾏列式⼆阶⾏列式所谓⼆阶⾏列式，是由四个数，如a11，a12，a21，a22排列成含有两⾏两列形如a11a12a21a22的式⼦，它表⽰⼀个数值，其展开式为a11a12a21a22=a11a22−a12a21三阶⾏列式所谓三阶⾏列式，是由九个数，如a11，a12，a13，a21，a22，a23，a31，a32，a33排列成含有三⾏三列形如a11a12a13a21a22a23a31a32a33的式⼦，它表⽰⼀个数值，其展开式为a11a12a13a21a22a23 a31a32a33=a11a22a23a32a33−a12a21a23a31a33+a13a21a22a31a32n阶⾏列式我们观察⼆、三阶⾏列式的定义，顺便定义⼀下⼀阶⾏列式：（⼏乎全是复制）所谓⼀阶⾏列式，是由⼀个数，如a11排列成含有⼀⾏⼀列形如a11的式⼦，它表⽰⼀个数值，其展开式为a11=a11有了⼀阶⾏列式的定义，我们考虑像三阶⾏列式⼀样递归的定义⼆阶⾏列式：a11a12a21a22=a11a22−a12a21⾄此，n阶⾏列式的定义⼏乎呼之欲出了：所谓n阶⾏列式，是由n2个数，如a11，a12，⋯，a nn排列成含有n⾏n列形如a11⋯a1n⋯⋱⋯a n1⋯a nn的式⼦，它表⽰⼀个数值，其展开式为a11⋯a1n⋯⋱⋯a n1⋯a nn =n∑i=1(−1)i+1a1ia21⋯a2 i−1a2 i+1⋯a2n⋯⋱⋱⋱⋱⋯⋯⋱⋱⋱⋱⋯⋯⋱⋱⋱⋱⋯⋯⋱⋱⋱⋱⋯a n1⋯a n i−1a n i+1⋯a nn（其实就是对于第⼀⾏的每个元素，⽤它乘除了它同⾏同列的剩下来数构成的⼦⾏列式。
）上式中令M1i=a21⋯a2 i−1a2 i+1⋯a2n⋯⋱⋱⋱⋱⋯⋯⋱⋱⋱⋱⋯⋯⋱⋱⋱⋱⋯⋯⋱⋱⋱⋱⋯a n1⋯a n i−1a n i+1⋯a nn$$，称为元素$a1i$的∗∗余⼦式∗∗。
令A_{1i}=(-1)^{i+1}M_{1i}$$，称为元素a1j的代数余⼦式。
1-1 二阶与三阶行列式
ai j
行标
即元素 aij 位于第 i 行第 j 列.
列标
二阶行列式的计算 —— 对角线法则
主对角线 副对角线
a11 a12 a11a22 a12a21 a21 a22
例1 计算行列式 D
5 10
29 8
.
解 D 5 8 29 ( 10) 330 例2 当 a 为何值时，行列式 解 因为
三阶行列式的计算 —— 对角线法则
a11 D a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
实线上的三个元素的乘积冠正号, 虚线上的三个元素的乘积冠负号.
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32
a2 3 a 1 a
2
a 1
3
的值不为 0？
a 3a a(a 3),
2
要使行列式的值不为 0，必有 a 0 且 a 3.
二、三阶行列式
定义2 设有 9 个数排成 3 行 3 列的数表 a11 a12 a13 a21 a22 a23 , a31 a32 a33 记 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a31 a32 a33 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32 , 称为该数表所确定的三阶行列式.
注意 对角线法则仅适用于二阶与三阶行列式的计算，但 对于三阶以上的行列式则不适用.
1
2 4
例3 计算行列式 D 2 2 1 . 3 4 2
1-3 n阶行列式的定义
其中 p1 p2 pn 为自然数 1， 2， ，n 的一个排列， t 为这个排列的逆序数．
a11 a12 a1n D a21 a22 a2 n an1 an 2 ann
p1 p2 pn t p p p 1 a1 p a2 p anp
二、n阶行列式的定义
定义
由 n 2 个数组成的 n 阶行列式等于所有 取自不同行不同列的 n 个元素的乘积 的代数和
t ( 1 ) a1 p1 a2 p2 anpn .
a11 记作 D a21 a n1
a12
a1n
a22 a2 n an 2 ann
简记作det(aij ). 数 aij 称为行列式det(aij ) 的元素．
a11 0 0 0 a 21 a 22 0 0 a11a22 ann . 下三角形行列式 a n1 a n 2 a n 3 a nn
例1
计算对角行列式
0 0 0 4 0 0 3 0 0 2 0 0 1 0 0 0
0 0 0 4
0 0 3 0
0 2 0 0
1 0 0 0
1 、行列式是一种特定的算式，它是根据求解 方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需 要而定义的. 2、 n 阶行列式共有 n! 项，每项都是位于不同 行、不同列 的 n个元素的乘积,
1 2
12 n ;
n
1
n n1 2
2
1
12 n .
n
记忆如下行列式——三角行列式
a11 a12 a1n 0 a22 a2 n a11a22 ann . 0 0 ann
上三角形行列式
一、概念的引入
第二章 行列式
2 0 例如：矩阵A = 1 4 −2 3 4 0 a11的余子式 = = 4, 3 1
4 0 1
4 0 a11的余子矩阵A11 = 3 1
1+1
a11的代数余子式 A11 = (−1)
4 0 =4 3 1
1 0 a12的余子矩阵A12 = −2 1 1 0 0 1+ 2 1 a12的余子式 = = 1, a12的代数余子式 A12 = (−1) = −1 −2 1 −2 1 ⋯⋯
1+ n
⋮ ⋱ 0 + (−1)1+ n b ⋮
= a×a
n −1
+ (−1)
b×b
n −1
= a + (−1)
n
1+ n
b
n
定 2.3 理
(1) 用 个 乘 列 的 一 （ ） 一 数 行 式 任 列 行 ，
等 用 个 乘 行 式 即 于 这 数 此 列 ， det(A ,⋯, kAj ,⋯, A ) = k ⋅ det(A ,⋯, Aj ,⋯, A ) 1 n 1 n 这 ， 1,⋯, Aj ,⋯, A 都 n ×1列 量 里 A 是 向 。 n 上 就 式 是 a11 ⋯ ka1 j ⋯ a1n a11 ⋯ a1 j ⋯ a1n ⋮ ⋯ ⋮ ⋯ ⋮ =k ⋮ ⋯ ⋮ ⋯ ⋮ an1 ⋯ kanj ⋯ ann an1 ⋯ anj ⋯ ann
2 × 0 − 3 ×1 3 = = −13 13
a11 a12 一般地，矩阵A = , a21 a22 a11 a12 其对应的行列式 是一个数， a21 a22 其值为a11 a22 − a21 a12
6
2.1.2 n阶行列式的定义
《线性代数》第一章： 行列式
k 乘此行列式,
a11 D1 kai1 a n1 a12
,
a1n a nn
a11 a n1
a12 ai 2
a1n a in kD
kai 2 kain k a i1 an2
a n 2 a nn
推论1 行列式的某一行(列)中所有元素的公因子， 则公因子可以提到行列式符号的外面. 推论2 行列式中若有两行(列)元素成比例，则此行 列式为零. 推论3 行列式中有一行（列）元素都为零，则此行 列式为零. 性质4 若行列式的某一行(列)的元素都是两数之和, （例如第行元素都是两数之和）：
a11 b1 a2 b2 x2 ———— 1 a11 a1 a2 2 1 D a2
例1 解
求解二元线性方程组 3x1 2x2 12 2x x 1 1 2 由于 2 3 ( D 33 2 3 (4) 7 0 D 0 22 1 1
第一章行列式
【学习要求及目标】通过本章的学习使学生： （1）了解n阶行列式的概念，掌握行列式的 性质，理解代数余子式的概念. （2）会应用行列式的性质和行列式按行按 （列）展开定理化简，降阶计算行列式. （3）理解且掌握应用克莱姆（Cramer）法则 求解线性方程组.
§1.1
行列式
内容要点: ● 二阶行列式 ● 二元线性方程组 ● 三阶行列式 ● 三元线性方程组
（-1）
N 1j2 ·jn） （j · ·
a1 j1 a2 j2 · anjn · ·
称为n阶行列式。
简记为det(aij) 其中 j1 j2 ·jn 为数1 2 n的 · · 一个排列 ∑表示对所有排列.j1 j2 ·jn 取和 · · 在n阶行列式D中 数aij为行列式D的(i j)元 特别规定一阶行列式|a|的值就是a
§1 二阶与三阶行列式
说明: 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式． 说明 (1) 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式． (2) 三阶行列式包括 项,每一项都是位于不同行 三阶行列式包括3!项 每一项都是位于不同行 每一项都是位于不同行, 不同列的三个元素的乘积,其中三项为正 三项为负 不同列的三个元素的乘积 其中三项为正,三项为负 其中三项为正 三项为负.
3. 利用三阶行列式求解三元线性方程组
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = b1 , 三元线性方程组 a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = b2 , a x + a x + a x = b ; 31 1 32 2 33 3 3 a11 a12 a13 a23 a33
2. 二阶行列式的计算 二阶行列式的计算——对角线法则 对角线法则 主对角线 副对角线
a11 a21
a12 a22
= a 1 1a 2 2 − a 1 2 a 2 1 .
a11 x1 + a12 x2 = b1 , 对于二元线性方程组 a21 x1 + a22 x2 = b2 . a11 a12 D= , 称为其系数行列式 称为其系数行列式 a21 a22
称为其系数行列式 称为其系数行列式
D = a21 a22 a31 a32
例1 解
x1 − 2 x2 + x3 = −2, 解线性方程组 2 x1 + x2 − 3 x3 = 1, − x + x − x = 0. 1 2 3
1
−2 1 D= 2 1 − 3 = −1 − 6 + 2 − ( −1) − 4 − ( −3) = −5 ≠ 0 , −1 1 −1
行列式算面积原理
行列式算面积原理首先，我们来了解一下行列式的定义。
对于一个二阶行列式，假设有一个矩阵A,形式如下：A=[[a11,a12],[a21,a22]]则二阶行列式的计算公式为：A，=a11*a22-a12*a21这个二阶行列式表示一个平行四边形的面积，其中a11和a22代表平行四边形的两条邻边，a12和a21代表两条对角线。
对于一个三阶行列式，假设有一个矩阵B,形式如下：B=[[b11,b12,b13],[b21,b22,b23],[b31,b32,b33]]则三阶行列式的计算公式为：B，=b11*b22*b33+b12*b23*b31+b13*b21*b32-b13*b22*b31-b12*b21*b33-b11*b23*b32这个三阶行列式表示一个平行六面体的体积，其中b11、b22和b33代表平行六面体的三条邻边，b12、b23和b31代表对角线。
我们可以通过行列式的基本性质来证明行列式可以计算平面图形的面积。
首先，对于一个二维平面上的两个向量a和b，可以将它们表示为一个2x2的矩阵A，形式如下：A=[[a1,a2],[b1,b2]]其中a1和a2代表向量a的分量，b1和b2代表向量b的分量。
这个二阶行列式的绝对值，A，=，b1*a2-a1*b2，表示的就是向量a 和向量b所张成的平行四边形的面积。
同样的道理，对于一个三维平面上的三个向量a、b和c，可以将它们表示为一个3x3的矩阵B，形式如下：B=[[a1,a2,a3],[b1,b2,b3],[c1,c2,c3]]其中a1、a2和a3代表向量a的分量，b1、b2和b3代表向量b的分量，c1、c2和c3代表向量c的分量。
这个三阶行列式的绝对值，B，=，a1*b2*c3+a2*b3*c1+a3*b1*c2-a3*b2*c1-a2*b1*c3-a1*b3*c2，表示的是向量a、b和c所张成的平行六面体的体积。
综上所述，通过行列式的计算，我们可以得到平面的面积和体积。
高等数学附录1二阶三阶行列式简介
当主对角线元素相等且副对角线元素 也相等时，二阶行列式的值为零。
对于二阶行列式，主对角线元素之积 减去副对角线元素之积等于行列式的 值。
典型例题分析与解答
例题1
计算二阶行列式 |3 1|，|2 4| 的值。
解答
根据二阶行列式的定义，该行列式的值为 3*4 - 1*2 = 10 。
例题2
已知二阶行列式 |a 4|，|2 b| 的值为 -6，求a和b的值。
工程领域
在工程中，线性方程组常用于描述物理系统的状态或行为，如电路中的电流电压关系、力学中的力平衡等。 通过求解线性方程组，可以得到系统的稳定状态或行为规律。
计算机科学领域
在计算机科学中，线性方程组常用于图像处理、机器学习等领域。通过求解线性方程组，可以实现图像的变 换、数据的拟合等任务。
05 矩阵与行列式关系探讨
矩阵概念引入及基本运算回顾
矩阵定义与表示方法
由数字组成的矩形阵列，常用大写字母表示，如A、B等。
矩阵基本运算
包括加法、减法、数乘和乘法等，需满足相应运算规则。
矩阵转置
将矩阵的行和列互换得到的新矩阵，记为$A^T$。
矩阵秩、逆矩阵与行列式关系
矩阵秩
矩阵中非零子式的最高阶数，反映了矩阵的行或列向量组的线性 无关性。
关键知识点总结回顾
二阶行列式的定义
由2x2矩阵通过特定运算得到的数值，表示两个向量在二 维空间中的相对位置关系。
二阶、三阶行列式的计算方法
通过展开式或对角线法则进行计算。
ABCD
三阶行列式的定义
由3x3矩阵通过特定运算得到的数值，表示三个向量在三 维空间中的相对位置关系。
行列式的性质
包括行列式与矩阵转置的关系、行列式的乘法性质、行 列式的加法性质等。
二阶行列式
Dx 0,or Dy 0
•
系数行列式 判别式。
D a1
b1
也为二元一次方程组解的
a2 b2
巩固练习 数学课本第91页，练习9.3 （1）
• 课堂小结 • ①二阶行列式的展开法则； • ②用二阶行列式来解二元一次方程组.
精品课件！
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作业布置
数学练习部分第51页，习题9.3A 组，第1、2、3题．
• ③举例说明，当二元一次方程组的系数行 列式的值为零时，方程组的解会有怎样的 可能？
• 答：（1）当D≠0时，方程组(*) 的唯一解可以表示
成
x
DX D
y
Dy D
• （2）当D=0时, Dx Dy 0 方程组(*)有无穷组解；
• (3) 当D=0时,
方程组(*) 无解。
什么叫二阶行列式？
定义：
二阶行列式的展开满足：对角线法则
实线表示的对角线叫主对角 线，虚线表示的对角线叫副对角线。 二阶行列式是这样两项的代数和： 一个是从左上角到右下角的对角线 (又叫行列式的主对角线)上两个元素 的乘积，取正号；另一个是从右上 角到左下角的对角线(又叫次对角线) 上两个元素的乘积，取负号．
由于行列式D是由方程组（*）中未知数X、Y的系数组 成的，通常被叫做方程组（*）的系数行列式；行列式 DX和DY分别是用方程组（*）的常数项C1C2替换行列 式D中X的系数a1a2或Y的系数b1b2后得到的
例2用行列式解下列二元一次方程组：
1、54xx
11y 15 y
8 6
所以X = DX = 6, Y = DY = 2
例1．展开并化简下列行列式：
二阶行列式的几何意义
二阶行列式的几何意义二阶行列式的几何意义 1行列式是由一些数据排列成的方阵经过规定的计算方法而得到的一个数。
当然，如果行列式中含有未知数，那么行列式就是一个多项式。
它本质上代表一个数值，这点请与矩阵区别开来。
矩阵只是一个数表，行列式还要对这个数表按照规则进一步计算,最终得到一个实数、复数或者多项式。
一阶行列式（注意不是绝对值）二阶行列式三阶行列式N阶行列式行列式的几何意义是什么呢？概括说来有两个解释：一个解释是行列式就是行列式中的行或列向量所构成的超平行多面体的有向面积或有向体积；另一个解释是矩阵A的行列式detA就是线性变换A下的图形面积或体积的伸缩因子。
这两个几何解释一个是静态的体积概念，一个是动态的变换比例概念。
但具有相同的几何本质，因为矩阵A表示的（矩阵向量所构成的）几何图形相对于单位矩阵E的所表示的单位面积或体积（即正方形或正方体或超立方体的容积等于1）的几何图形而言，伸缩因子本身就是矩阵矩阵A表示的几何图形的面积或体积，也就是矩阵A的行列式。
二阶行列式的几何意义 2二阶行列式的几何意义是xoy平面上以行向量为邻边的平行四边形的有向面积。
二阶行列式的几何意义是行列式的向量所构成的平行四边形的面积。
另外，两个向量的叉积也是公式。
二阶行列式的另一个意义就是是两个行向量或列向量的叉积的数值，这个数值是z轴上（在二维平面上，z轴的正向想象为指向读者的方向）的叉积分量。
如果数值是正值，则与z坐标同向；负值就与z坐标反向。
如果我们不强调叉积是第三维的向量，也就是忽略单位向量，那么二阶行列式就与两个向量的叉积完全等价了。
二阶行列式性质的几何解释：两向量在同一条直线上，显然围成的四边形的面积为零，因此行列式为零这个性质由行列式的叉积特性得到，交换行列式的两行，就是改变了向量a和向量b的叉积顺序，根据，因此行列式换号。
把行列式的一行的k倍加到另一行，则行列式值不变，即矩阵的行列式等于其转置矩阵的行列式（根据行列式的定义可证）总结：（1）用一个数k乘以向量a,b中之一的a，则平行四边形的面积就相应地增大了k倍；（2）把向量a,b中的一个乘以数k之后加到另一个上，则平行四边形的面积不变；(3)单位向量(1，0)和(0，1)构成的平行四边形(即单位正方形)的面积为1。
二阶行列式 (选修)
( A) a1 x + b1 y = c1 , a2 x + b2 y = c2 . (1) (2)
用加减消元法
得
(a1b2 − a2b1 ) x = c1b2 − c2b1; (a1b2 − a2b1 ) y = a1c2 − a式理论做 出连贯的逻辑的阐述，即把行列式理论与线性方程 组（多元一次方程组）求解相分离的人，是法国数 学家范德蒙(A-T.Vandermonde,1735-1796)。范德 蒙自幼在父亲的知道下学习音乐，但对数学有浓厚 的兴趣，后来终于成为法兰西科学院院士。就对行 列式本身这一点来说，他是这门理论的奠基人。 1772 年，拉普拉斯在一篇论文中证明了范德蒙提 出的一些规则，推广了他的展开行列式的方法。
1750 年，瑞士数学家克莱姆 (G.Cramer,17041752) 在其著作《线性代数分析导引》中，对行 列式的定义和展开法则给出了比较完整、明确的 阐述，并给出了现在我们所称的解线性方程组 （多元一次方程组）的克莱姆法则。总之，在很 长一段时间内，行列式只是作为解线性方程组的 一种工具使用，并没有人意识到它可以独立于线 性方程组（多元一次方程组）之外，单独形成一 门理论加以研究。
（三）例和练习： 例1、判断以下几项中哪些是二阶行列式？是的， 求出值。 （1）
a1 a2
1 3 2 3 2 4 4 6
b1 b2
c1 c2
−1 3 −2 2 3 2 4 1 2 3
（2）
sin α cos α
cos α sin α
（3）
.
例2：将下列各式用行列式表示：——解唯一吗？
2 − 4ac （2） 2 − 4x + 2 （1） b x
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a2n
(1) a a ( j1 j2 jn ) 1 j1 2 j2
anjn
j1 j2 jn
ann
注：
a11 a12 a21 a22
an1 an2
代数和
不同行不同列的 n个元素的乘积
a1n
a2n
(1) a a ( j1 j2 jn ) 1 j1 2 j2
anjn
j1 j2 jn
ann
取遍了所有可能
n阶行列式即为取遍所有可能的不同行不同列元素乘积的代数和。
下面我们引入一些概念，对排列进行简单的分类。
标准次序：由小到大的排列次序。
定义2：在n个 元素的任一个排列中，若某两个元素排列的次序 与标准次序不同，就称这两个数构成一个逆序，一个排 列中所有逆序的总数称为这个排列的逆序数。 逆序数为奇数的排列叫奇排列，逆序数为偶数的排列叫 偶排列。
例4：求排列 32514 的逆序数。
得到三阶行列式的定义
a11 a12 a13
a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
a31 a32 a33
a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32
对角线法则（划线法定义）：
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
教学要求
1、仔细听讲，适当做好笔记； 2、课后认真复习，按时提交作业； 3、对不懂的问题，及时提出，可以成立讨论小组交流讨论。
成绩评定
1、本课程为考查课； 2、最终成绩按五级制（最终成绩由平时和期末卷面成绩构成） 3、平时成绩包括：出勤、作业、课堂笔记等。
第一章 行列式
§1 二阶与三阶行列式
一、二元线性方程组与二阶行列式
a11a a 22 33 a12a23a31 a13a21a32 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31
例2： 2 0 1 1 4 1
1 8 3
2(4) 3 0(1)(1) 11 8 1(4)(1) 01 3 2(1) 8
2 3 (4) 7 0
21
12 2
3 12
D1 1
14 1
D2 2
21 1
x1
D1 D
14 7
2,
x2
D2 D
21 7
3
二、 三阶行列式
类似地，讨论三元线性方程组
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 a31 x1 a32 x2 a33 x3 b3
j1 j2
三阶行列式
a11 a12 a13
a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
a31 a32 a33
a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32
n阶行列式 有没有类似
形式？
(1) a a a ( j1 j2 j3 ) 1 j1 2 j2 3 j3
24 8 4 16 4
§2 全排列和对换
一、排列及其逆序数 定义1：把 n 个不同的元素排成的一列, 称为这 n个元素的一个全排
列, 简称排列。
例3：1, 2, 3 作成的全排列如下： 123，231，312，132，213，321 共有3×2×1 =3！= 6 种。 一般地， n个元素作成的排列共有 n!种。
a12b2 a12a21
,
x2
a11b2 a11a22
b1a21 a12a21
如何“长久”记住上面的公式？
记
a11 a21
a12 a22
a11a22 a12a21
则有：
b1 a12
a11 b1
x1
b2 a11
a22 a12
,
x2
a21 a11
b2 a12
a21 a22
解： 3
2
5
1
4
故该排列的逆序数是5。
可记作 (32514) 5
或 N(32514) 5
二、对换 定义3 对调排列中两个元素的位置，其余元素不动，称为对换。
（对换分为相邻对换和不相邻对换。）
定理1 （经过一次）对换改变排列的奇偶性。
推论 奇排列对换成标准排列（1 2 3 ···n）的对换次数为奇数，偶排列 对换成标准排列的对换次数为偶数。
j1 j2 j3
13
定义1： n! 项 (1)t a a 1 p1 2 p2 anpn 的和 (1)t a1 p1 a2 p2 anpn
称为 n 阶行列式 (n≥1)，记作
a11 a12
a1n
a21 a22
a2n
另记：
a11 a12 a21 a22
an1 an2
an1 an2
ann
a1n
a21 a22
分母不能为零！
二阶行列式定义： a11 a21
a12 a22
a11a22 a12a21
对角线法则（划线法定义）:
主对角线
a11 a12 a21 a22
副对角线
a11a22 a12a21
例1. 解方程组
3 x1 2 2x
1
x2 x
2
12 1
解： D 3
课程简介
线性代数是理工科学生学习的三大数学课程之一，学好这门课 程，会对学习《线性规划》，《运筹学》等课程有所帮助，也能 为从事经济计量分析提供有力的工具。目前，线性代数还是研究 生入学考试中《高等数学》所考的重要内容之一。我们在本课程 中将主要介绍线性方程组及其相关理论。
教材说明
本教材由浅入深地讲解了五章内容（第一章至第五章），在线 性代数的教材中属于较为精练的。
aa1211xx11
a12 x2 a22 x2
b1 b2
(1) (2)
(1) a22 (2) a12 得 (a11a22 a12a21)x1 b1a22 a12b2
当 a11a22 a12a21 0 时，方程组有(唯一)解
x1
b1a22 a11a22
§3 n 阶行列式的定义
仔细观察前面提到的二、三阶行列式，可以将它们的形式作等价变形：
二阶行列式
a11 a21
a12
a22
a11a22 a12a21 (1) (12) a11a22 (1) (21) a12a21 (1) ( j1 j2 ) a1 j1 a2 j2