二阶行列式定义
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24 8 4 16 4
§2 全排列和对换
一、排列及其逆序数 定义1：把 n 个不同的元素排成的一列, 称为这 n个元素的一个全排
列, 简称排列。
例3：1, 2, 3 作成的全排列如下： 123，231，312，132，213，321 共有3×2×1 =3！= 6 种。 一般地， n个元素作成的排列共有 n!种。
解： 3
2
5
1
4
故该排列的逆序数是5。
可记作 (32514) 5
或 N(32514) 5
二、对换 定义3 对调排列中两个元素的位置，其余元素不动，称为对换。
（对换分为相邻对换和不相邻对换。）
定理1 （经过一次）对换改变排列的奇偶性。
推论 奇排列对换成标准排列（1 2 3 ···n）的对换次数为奇数，偶排列 对换成标准排列的对换次数为偶数。
课程简介
线性代数是理工科学生学习的三大数学课程之一，学好这门课 程，会对学习《线性规划》，《运筹学》等课程有所帮助，也能 为从事经济计量分析提供有力的工具。目前，线性代数还是研究 生入学考试中《高等数学》所考的重要内容之一。我们在本课程 中将主要介绍线性方程组及其相关理论。
教材说明
本教材由浅入深地讲解了五章内容（第一章至第五章），在线 性代数的教材中属于较为精练的。
得到三阶行列式的定义
a11 a12 a13
a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
a31 a32 a33
a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32
对角线法则（划线法定义）：
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
ann
取遍了所有可能
n阶行列式即为取遍所有可能的不同行不同列元素乘积的代数和。
a2n
(1) a a ( j1 j2 jn ) 1 j1 2 j2
anjn
j1 j2 jn
ann
注：
a11 a12 a21 a22
an1 an2
代数和
不同行不同列的 n个元素的乘积
a1n
a2n
(1) a a ( j1 j2 jn ) 1 j1 2 j2
anjn
j1 j2 jn
a21 a22
分母不能为零！
二阶行列式定义： a11 a21
a12 a22
a11a22 a12a21
对角线法则（划线法定义）:
主对角线
a11 a12 a21 a22
副对角线
a11a22 a12a21
例1. 解方程组
3 x1 2 2x
1
x2 x
2
12 1
解： D 3
a11a a 22 33 a12a23a31 a13a21a32 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31
例2： 2 0 1 1 4 1
1 8 3
2(4) 3 0(1)(1) 11 8 1(4)(1) 01 3 2(1) 8
j1 j2
三阶行列式
a11 a12 a13
a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
a31 a32 a33
a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32
n阶行列式 有没有类似
形式？
(1) a a a ( j1 j2 j3 ) 1 j1 2 j2 3 j3
下面我们引入一些概念，对排列进行简单的分类。
标准次序：由小到大的排列次序。
定义2：在n个 元素的任一个排列中，若某两个元素排列的次序 与标准次序不同，就称这两个数构成一个逆序，一个排 列中所有逆序的总数称为这个排列的逆序数。 逆序数为奇数的排列叫奇排列，逆序数为偶数的排列叫 偶排列。
例4：求排列 32514 的逆序数。
j1 j2 j3
13
定义1： n! 项 (1)t a a 1 p1 2 p2 anpn 的和 (1)t a1 p1 a2 p2 anpn
称为 n 阶行列式 (n≥1)，记作
a11 a12
a1n
a21 a22
a2n
另记：
a11 a12 a21 a22
an1 an2
an1 an2
ann
a1n
教学要求
1、仔细听讲，适当做好笔记； 2、课后认真复习，按时提交作业； 3、对不懂的问题，及时提出，可以成立讨论小组交流讨论。
成绩评定
1、本课程为考查课； 2、最终成绩按五级制（最终成绩由平时和期末卷面成绩构成） 3、平时成绩包括：出勤、作业、课堂笔记等。
第一章 行列式
§1 二阶与三阶行列式
一、二元线性方程组与二阶行列式
§3 n 阶行列式的定义
仔细观察前面提到的二、三阶行列式，可以将它们的形式作等价变形：
二阶行列式
a11 a21
a12
a22
a11a22 a12a21 (1) (12) a11a22 (1) (21) a12a21 (1) ( j1 j2 ) a1 j1 a2 j2
源自文库
a12b2 a12a21
,
x2
a11b2 a11a22
b1a21 a12a21
如何“长久”记住上面的公式？
记
a11 a21
a12 a22
a11a22 a12a21
则有：
b1 a12
a11 b1
x1
b2 a11
a22 a12
,
x2
a21 a11
b2 a12
a21 a22
aa1211xx11
a12 x2 a22 x2
b1 b2
(1) (2)
(1) a22 (2) a12 得 (a11a22 a12a21)x1 b1a22 a12b2
当 a11a22 a12a21 0 时，方程组有(唯一)解
x1
b1a22 a11a22
2 3 (4) 7 0
21
12 2
3 12
D1 1
14 1
D2 2
21 1
x1
D1 D
14 7
2,
x2
D2 D
21 7
3
二、 三阶行列式
类似地，讨论三元线性方程组
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 a31 x1 a32 x2 a33 x3 b3
§2 全排列和对换
一、排列及其逆序数 定义1：把 n 个不同的元素排成的一列, 称为这 n个元素的一个全排
列, 简称排列。
例3：1, 2, 3 作成的全排列如下： 123，231，312，132，213，321 共有3×2×1 =3！= 6 种。 一般地， n个元素作成的排列共有 n!种。
解： 3
2
5
1
4
故该排列的逆序数是5。
可记作 (32514) 5
或 N(32514) 5
二、对换 定义3 对调排列中两个元素的位置，其余元素不动，称为对换。
（对换分为相邻对换和不相邻对换。）
定理1 （经过一次）对换改变排列的奇偶性。
推论 奇排列对换成标准排列（1 2 3 ···n）的对换次数为奇数，偶排列 对换成标准排列的对换次数为偶数。
课程简介
线性代数是理工科学生学习的三大数学课程之一，学好这门课 程，会对学习《线性规划》，《运筹学》等课程有所帮助，也能 为从事经济计量分析提供有力的工具。目前，线性代数还是研究 生入学考试中《高等数学》所考的重要内容之一。我们在本课程 中将主要介绍线性方程组及其相关理论。
教材说明
本教材由浅入深地讲解了五章内容（第一章至第五章），在线 性代数的教材中属于较为精练的。
得到三阶行列式的定义
a11 a12 a13
a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
a31 a32 a33
a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32
对角线法则（划线法定义）：
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
ann
取遍了所有可能
n阶行列式即为取遍所有可能的不同行不同列元素乘积的代数和。
a2n
(1) a a ( j1 j2 jn ) 1 j1 2 j2
anjn
j1 j2 jn
ann
注：
a11 a12 a21 a22
an1 an2
代数和
不同行不同列的 n个元素的乘积
a1n
a2n
(1) a a ( j1 j2 jn ) 1 j1 2 j2
anjn
j1 j2 jn
a21 a22
分母不能为零！
二阶行列式定义： a11 a21
a12 a22
a11a22 a12a21
对角线法则（划线法定义）:
主对角线
a11 a12 a21 a22
副对角线
a11a22 a12a21
例1. 解方程组
3 x1 2 2x
1
x2 x
2
12 1
解： D 3
a11a a 22 33 a12a23a31 a13a21a32 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31
例2： 2 0 1 1 4 1
1 8 3
2(4) 3 0(1)(1) 11 8 1(4)(1) 01 3 2(1) 8
j1 j2
三阶行列式
a11 a12 a13
a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
a31 a32 a33
a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32
n阶行列式 有没有类似
形式？
(1) a a a ( j1 j2 j3 ) 1 j1 2 j2 3 j3
下面我们引入一些概念，对排列进行简单的分类。
标准次序：由小到大的排列次序。
定义2：在n个 元素的任一个排列中，若某两个元素排列的次序 与标准次序不同，就称这两个数构成一个逆序，一个排 列中所有逆序的总数称为这个排列的逆序数。 逆序数为奇数的排列叫奇排列，逆序数为偶数的排列叫 偶排列。
例4：求排列 32514 的逆序数。
j1 j2 j3
13
定义1： n! 项 (1)t a a 1 p1 2 p2 anpn 的和 (1)t a1 p1 a2 p2 anpn
称为 n 阶行列式 (n≥1)，记作
a11 a12
a1n
a21 a22
a2n
另记：
a11 a12 a21 a22
an1 an2
an1 an2
ann
a1n
教学要求
1、仔细听讲，适当做好笔记； 2、课后认真复习，按时提交作业； 3、对不懂的问题，及时提出，可以成立讨论小组交流讨论。
成绩评定
1、本课程为考查课； 2、最终成绩按五级制（最终成绩由平时和期末卷面成绩构成） 3、平时成绩包括：出勤、作业、课堂笔记等。
第一章 行列式
§1 二阶与三阶行列式
一、二元线性方程组与二阶行列式
§3 n 阶行列式的定义
仔细观察前面提到的二、三阶行列式，可以将它们的形式作等价变形：
二阶行列式
a11 a21
a12
a22
a11a22 a12a21 (1) (12) a11a22 (1) (21) a12a21 (1) ( j1 j2 ) a1 j1 a2 j2
源自文库
a12b2 a12a21
,
x2
a11b2 a11a22
b1a21 a12a21
如何“长久”记住上面的公式？
记
a11 a21
a12 a22
a11a22 a12a21
则有：
b1 a12
a11 b1
x1
b2 a11
a22 a12
,
x2
a21 a11
b2 a12
a21 a22
aa1211xx11
a12 x2 a22 x2
b1 b2
(1) (2)
(1) a22 (2) a12 得 (a11a22 a12a21)x1 b1a22 a12b2
当 a11a22 a12a21 0 时，方程组有(唯一)解
x1
b1a22 a11a22
2 3 (4) 7 0
21
12 2
3 12
D1 1
14 1
D2 2
21 1
x1
D1 D
14 7
2,
x2
D2 D
21 7
3
二、 三阶行列式
类似地，讨论三元线性方程组
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 a31 x1 a32 x2 a33 x3 b3