我所认识的应力应变关系讲解

我所认识的应力应变关系

应力应变都是物体受到外界载荷产生的响应。物体由于受到外界载荷后，在物体内部各部分之间要产生互相之间的力的作用，由于受到力的作用就会产生相应的变形；或者由于变形引起相应的力的作用。则一定材料的物体其产生的应力和应变也必然存在一定的关系。

一 应力-应变关系

影响本构关系的因素有很多，例如材料、环境、加载类型（载荷、温度）、加载速度（动载荷、静载荷）等，当然，本构关系有很多类型，包括弹性、塑性、粘弹性、粘塑性、各向同性、各向异性本构关系，那么首先来叙述一下简单情况

本构关系，所谓简单情况就是六个应力分量x y xy yz zx σσστττ、

、z 、、、只有一个不为零，六个应变分量x y xy yz zx εεεγγγ、

、z 、、、只有一个自由变化，应力应变关系图1-1。

图1-1 应力应变关系图

图中OA 为线弹性阶段，AB 为非线弹性阶段，故OB 为初始弹性阶段，C 点位初始屈服点，()s σ+为初始屈服应力，CBA 为弹性阶段卸载，这一阶段中E σε=，

初始弹性阶段结束之后，应力继续增大，进入塑性阶段，CDE 为强化阶段，应变强化硬化，EF 为颈缩阶段，应变弱化软化。如果在进入塑性阶段卸载后再加载，

例如在D 点卸载至零，应力应变关系自D 点沿'DO 到达'O 点，且'DO ∥OA ，其中'O O 为塑性应变p ε，DG 为弹性应变e ε，总应变为它们之和。此后再继续加载，应力应变关系沿ODEF 变化，D 点为后继屈服点，OD 为后继弹性阶段，()'s σ+为后继屈服应力，值得一提的是初始屈服点只有一个，而后继屈服点有无数个（由加载历史决定）。若在卸除全部载荷后反向加载，弹性阶段'COC ，()()s s σσ+-=，而在强化阶段'DOD ，()()s s σσ+->，称为Bauschinger 效应。

从上述分析得出材料弹塑性行为有一定的特殊性，主要表现在：弹性应力应变关系是线性，且是单值对应关系，而塑性应力应变关系是非线性的非单值对应。

因为通常情况下物体不仅仅处于简单应力状态，那么复杂应力状态下应力应变关系又如何呢？如果我们将材料性质理想化即假设材料是连续的、均匀的、各向同性的，忽略T 、t 的影响，忽略净水压力对塑性变形的影响，可以将应力应变关系归结为不同的类型，包括理想线弹性模型、理想刚塑性模型、线性强化刚塑性模型、理想弹塑性模型、线性强化弹塑性模型、幂强化模型、等向强化模型、随动强化模型。各种材料的应力应变关系图如下图所示：

理想线弹性模型 理想刚塑性模型

线性强化刚塑性模型 理想弹塑性模型

线性强化弹塑性模型 幂强化模型

一． 线性弹性体

1. 线性弹性体本构方程的一般形式

在单向应力状态下，理想弹性材料的应力和应变之间的关系很简单，即x x E σε=，即胡克定律。如果在三维应力状态下，应力应变之间仍然满足类似的一一对应的关系，则称这类弹性体为线弹性体。对线弹性体，把单向应力状态下得胡克定律推广到三维应力状态下。其一般形式为：

111213141516x x y z xy yz zx C C C C C C σεεεγγγ=+++++

212223242526y x y z xy yz zx C C C C C C σεεεγγγ=+++++

313233343536z x y z xy yz zx C C C C C C σεεεγγγ=+++++

414243444546xy x y z xy yz zx C C C C C C τεεεγγγ=+++++

515253545556yz x y z xy yz zx C C C C C C τεεεγγγ=+++++

616263646566zx x y z xy yz zx C C C C C C τεεεγγγ=+++++ （2-1）

式（2-1）可简写为

ij ijkl kl C σε= （2-2）

由于应力张量和应变张量的对称性，弹性张量具有对称性：=ijkl ijlk C C 、=ijkl jikl C C ，从弹性应变能密度函数的概念出发，可以证明上述36个常数中，实际上独立的弹性常数只有21个，即=ijkl klij C C 。

满足广义胡克定律的线弹性体称为各向异性弹性体，各向异性弹性体是线弹性体的最一般情况。

2. 各向同性弹性体的本构方程

各向同性弹性体在弹性状态下，主应力方向与主应变方向重合容易证明。在主应变空间里，由于应变主轴与应力主轴重合，各向同性弹性体体内任意一点的应力和应变之间满足：

111213x x y z C C C σεεε=++

212223y x y z C C C σεεε=++

313233z x y z C C C σεεε=++ （2-3）

x ε对x σ的影响与y ε对y σ以及z ε对z σ的影响是相同的，即有112233==C C C ；

y ε和z ε对x σ的影响相同，即1213=C C ，同理有2123=C C 和3132=C C 等 ，则可统一写为：

112233==C C C a =

122113312332=====C C C C C C b = （2-4）

所以在主应变空间里，各向同性弹性体独立的弹性常数只有2个。在任意的坐标系中，同样可以证明弹性体独立的弹性参数只有2个。

3. 弹性应变能密度函数

弹性体受外力作用后，不可避免地要产生变形，同时外力的势能也要产生变化。根据热力学的观点，外力所做的功，一部分将转化为弹性体的动能，一部分将转化为内能；同时，在物体变形过程中，它的温度也将发生变化，或者从外界吸收热量，或者向外界发散热量。分析弹性体内任一有限部分∑的外力功和内能的变化关系，设弹性体内取出部分Σ的闭合表面为S ，它所包围的体积为V 。以