第二章单自由度系统的有阻尼自由振动
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x0 nx0
2
6
衰减振动的特点：
(1) 振动周期变大，
频率减小。
Td
2 d
2 n2 n2
2 n 1 2
n c n 2 mk
Biblioteka Baidu有阻尼自由振动：
——阻尼比
Td
T
1 2
fd f 1 2
d n 1 2
当 n n 时， 1
可以认为
d n Td T
7
小（欠）阻尼情况（0 1）
1.0 0.5
u a 0.0
-0.5 -1.0
0
e-nt asinj
=0.1
- t
-e n
2
4
6
t
n
8 10
F1 F2 F3
8
(2) 振幅按几何级数衰减
相邻两次振幅之比
Ai Ai1
Ae nti Aen(ti Td
cos
wd t
x0
wn x0
wd
sin
wd t )
5
也可写成
x Ae nt sin(d t )
d n2 n2 —有阻尼自由振动的圆频率
设 t 0 时, x x0 , x x0 , 则
A
x02
(
x0 nx0 )2
n2 n2
;
tg 1
x0 n2 n
)
e nTd
对数减缩率
ln
Ai Ai 1
ln enTd
nTd
因为：
2
Td
n
1 2
2 2 1 2
9
2、临界阻尼情形 (n n , 1 )
临界阻尼系数 cc 2 mk
1，s wn 是二重根
通解为：
x(t) ewnt (c1 c2t)
2
wd
wn
2 1 2
Tn
1 2
21
22
1
§3 单自由度系统的有阻尼自由振动
粘性阻尼：在很多情况下，振体速度不大时， 由于介质粘性引起的阻尼认为阻力与速度的 一次方成正比，这种阻尼称为粘性阻尼。
R cv
式中：
R cx
R —— 粘性阻尼力 v —— 相对速度
c —— 粘性阻尼系数，简称阻尼系数。
2
二、有阻尼自由振动微分方程及其解： 质量—弹簧系统存在粘性阻尼：
Ai Ai1
Aewnti Aewnti td
ewntd
阻尼比越大，减幅系数越大，表明衰减的越快，如为 5%时，为1.37, 每一周期为1/1.37=0.73，每一周期内振 幅减小27%，可见对振幅影响很大。
15
例3 质量弹簧系统，W=150N，st=1cm , A1=0.8cm,
s1,s2为共轭复数，可写为
s1, s2 wn iwd
d
2 n
n2
—有阻尼的自由振动频率,阻尼固有频率
通解为 x(t) ewnt (c1 cos wdt c2 sin wdt)
设 t 0 时, x x0 , x x0 , 则
x(t)
e wnt
( x0
mx kx cx mx kx cx 0
令
n2
k m
,
n
c 2m
则 x 2nx n2x 0
此即为有阻尼自由振动微分方程的标准形式。
其中n为衰减系数，单位为1/s，wn为无阻尼的固有频率
3
进一步令：
n / wn 2
C mk
C 2mwn
称为相对阻尼系数
A21=0.16cm。 求阻尼系数c 。
解：
A1 A1 A2 A20 (enTd )20 A21 A2 A3 A21
0.8 (e nTd )20 0.16
ln520
nTd
20 n 2 n 1 2
由于 很小，ln540
c 2
mk
ln5
40
设 t 0 时, x x0 , x x0 , 则
xent [x0 ( x0 nx0 )t]
(t 0时 , x x0 , x x0 )
10
（2）临界尼情况（ 1）
1.0
0.5
u a 0.0
-0.5
e-nt -te-nt
=1.0
F1 F2 F3
-1.0 0
2
频率的影响：
记Tn为相应的无阻尼的振动同期，有阻尼时的振动周期为：
Td
2
wd
wn
2 1 2
Tn
1 2
可见阻尼使自由振动的周期增大，频率降低。当阻尼小时， 影响很小，如相对阻尼系数为5%时，为1.00125，为20%时， 影响为1.02，因此通常可忽略。
14
振幅的影响：
为价评阻尼对振幅衰减快慢的影响，引入减 幅系数η ，定义为相邻两个振幅的比值。
4
t
n
可见，物体的运动随时间的增长而无限地趋向平 衡位置，不再具备振动的特性。
11
3、过阻尼（大阻尼）情形 (n n , 1 ) (c cc ) 有两个不等的实根，s1与s2是两个不等的实根
s1, s2 wn wn 2 1
xent (C1e n2n2 t C2e ) n2n2 t
代入初始条件 (t 0时 , x x0 , x x0 )
C1
x0
(n 2
n
n2
2
2 n
2 n
)
x0
;
C2
( n
2
n
2
2 n
)
x0
n
2
2 n
x0
所示规律已不是周期性的了，随时间的增长，x 0，
不具备振动特性。
12
（1）过阻尼情况（ 1）
13
由上可见，阻尼的存在对自由振动的影响表现在两方面， 一是使振动频率发生变化，另一是使振幅衰减。
2
W g
Wst
ln5
40
2
1502 1980
0.122(Ns/cm)
16
例4 如图所示，静载荷P去除后质量块越过平衡位置的最大 位移为10%，求相对阻尼系数。
17
x(t)
e wnt
( x0
cos
wd t
x0
wn x0
wd
sin
wd t )
18
19
20
Td
x 2wnx wn2x 0
为了求解，令：
x est
s2 2wns wn2 0
它的两个根为：
s1, s2 wn wn 2 1
4
其通解分三种情况讨论：
1、小阻尼情形 1 (n n) c 2 mk
s1, s2 wn wn 2 1
§3 单自由度系统的有阻尼自由振动
一、阻尼的概念： 实际系统的机械能不可能守恒，因为总存在各种 阻力。 阻尼：振动过程中，系统所受的阻力。 摩擦阻尼，电磁阻尼，介质阻尼（如空气、水） 及结构阻尼((也称迟滞阻尼Hysteresis Damping):当 材料处于交变应力状态时，由于内部的能量耗散 （材料内阻）而呈现的阻尼特性，结构阻尼力大 小与位移成正比, 方向与速度相反)
2
6
衰减振动的特点：
(1) 振动周期变大，
频率减小。
Td
2 d
2 n2 n2
2 n 1 2
n c n 2 mk
Biblioteka Baidu有阻尼自由振动：
——阻尼比
Td
T
1 2
fd f 1 2
d n 1 2
当 n n 时， 1
可以认为
d n Td T
7
小（欠）阻尼情况（0 1）
1.0 0.5
u a 0.0
-0.5 -1.0
0
e-nt asinj
=0.1
- t
-e n
2
4
6
t
n
8 10
F1 F2 F3
8
(2) 振幅按几何级数衰减
相邻两次振幅之比
Ai Ai1
Ae nti Aen(ti Td
cos
wd t
x0
wn x0
wd
sin
wd t )
5
也可写成
x Ae nt sin(d t )
d n2 n2 —有阻尼自由振动的圆频率
设 t 0 时, x x0 , x x0 , 则
A
x02
(
x0 nx0 )2
n2 n2
;
tg 1
x0 n2 n
)
e nTd
对数减缩率
ln
Ai Ai 1
ln enTd
nTd
因为：
2
Td
n
1 2
2 2 1 2
9
2、临界阻尼情形 (n n , 1 )
临界阻尼系数 cc 2 mk
1，s wn 是二重根
通解为：
x(t) ewnt (c1 c2t)
2
wd
wn
2 1 2
Tn
1 2
21
22
1
§3 单自由度系统的有阻尼自由振动
粘性阻尼：在很多情况下，振体速度不大时， 由于介质粘性引起的阻尼认为阻力与速度的 一次方成正比，这种阻尼称为粘性阻尼。
R cv
式中：
R cx
R —— 粘性阻尼力 v —— 相对速度
c —— 粘性阻尼系数，简称阻尼系数。
2
二、有阻尼自由振动微分方程及其解： 质量—弹簧系统存在粘性阻尼：
Ai Ai1
Aewnti Aewnti td
ewntd
阻尼比越大，减幅系数越大，表明衰减的越快，如为 5%时，为1.37, 每一周期为1/1.37=0.73，每一周期内振 幅减小27%，可见对振幅影响很大。
15
例3 质量弹簧系统，W=150N，st=1cm , A1=0.8cm,
s1,s2为共轭复数，可写为
s1, s2 wn iwd
d
2 n
n2
—有阻尼的自由振动频率,阻尼固有频率
通解为 x(t) ewnt (c1 cos wdt c2 sin wdt)
设 t 0 时, x x0 , x x0 , 则
x(t)
e wnt
( x0
mx kx cx mx kx cx 0
令
n2
k m
,
n
c 2m
则 x 2nx n2x 0
此即为有阻尼自由振动微分方程的标准形式。
其中n为衰减系数，单位为1/s，wn为无阻尼的固有频率
3
进一步令：
n / wn 2
C mk
C 2mwn
称为相对阻尼系数
A21=0.16cm。 求阻尼系数c 。
解：
A1 A1 A2 A20 (enTd )20 A21 A2 A3 A21
0.8 (e nTd )20 0.16
ln520
nTd
20 n 2 n 1 2
由于 很小，ln540
c 2
mk
ln5
40
设 t 0 时, x x0 , x x0 , 则
xent [x0 ( x0 nx0 )t]
(t 0时 , x x0 , x x0 )
10
（2）临界尼情况（ 1）
1.0
0.5
u a 0.0
-0.5
e-nt -te-nt
=1.0
F1 F2 F3
-1.0 0
2
频率的影响：
记Tn为相应的无阻尼的振动同期，有阻尼时的振动周期为：
Td
2
wd
wn
2 1 2
Tn
1 2
可见阻尼使自由振动的周期增大，频率降低。当阻尼小时， 影响很小，如相对阻尼系数为5%时，为1.00125，为20%时， 影响为1.02，因此通常可忽略。
14
振幅的影响：
为价评阻尼对振幅衰减快慢的影响，引入减 幅系数η ，定义为相邻两个振幅的比值。
4
t
n
可见，物体的运动随时间的增长而无限地趋向平 衡位置，不再具备振动的特性。
11
3、过阻尼（大阻尼）情形 (n n , 1 ) (c cc ) 有两个不等的实根，s1与s2是两个不等的实根
s1, s2 wn wn 2 1
xent (C1e n2n2 t C2e ) n2n2 t
代入初始条件 (t 0时 , x x0 , x x0 )
C1
x0
(n 2
n
n2
2
2 n
2 n
)
x0
;
C2
( n
2
n
2
2 n
)
x0
n
2
2 n
x0
所示规律已不是周期性的了，随时间的增长，x 0，
不具备振动特性。
12
（1）过阻尼情况（ 1）
13
由上可见，阻尼的存在对自由振动的影响表现在两方面， 一是使振动频率发生变化，另一是使振幅衰减。
2
W g
Wst
ln5
40
2
1502 1980
0.122(Ns/cm)
16
例4 如图所示，静载荷P去除后质量块越过平衡位置的最大 位移为10%，求相对阻尼系数。
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x(t)
e wnt
( x0
cos
wd t
x0
wn x0
wd
sin
wd t )
18
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20
Td
x 2wnx wn2x 0
为了求解，令：
x est
s2 2wns wn2 0
它的两个根为：
s1, s2 wn wn 2 1
4
其通解分三种情况讨论：
1、小阻尼情形 1 (n n) c 2 mk
s1, s2 wn wn 2 1
§3 单自由度系统的有阻尼自由振动
一、阻尼的概念： 实际系统的机械能不可能守恒，因为总存在各种 阻力。 阻尼：振动过程中，系统所受的阻力。 摩擦阻尼，电磁阻尼，介质阻尼（如空气、水） 及结构阻尼((也称迟滞阻尼Hysteresis Damping):当 材料处于交变应力状态时，由于内部的能量耗散 （材料内阻）而呈现的阻尼特性，结构阻尼力大 小与位移成正比, 方向与速度相反)