五年级春季第2讲数的整除
数的整除知识点总结
数的整除知识点总结数的整除是数论中的一个基本概念，也是初等数学中的重要内容。
它与因数、倍数和约数等概念密切相关，对于解题和推理都有着重要的作用。
下面将对数的整除进行详细总结。
一、定义：如果整数a能够被整数b整除，即a/b是整数，那么称a是b的倍数，b是a的因数。
可以用数学表达式a=b*k来表示，其中k是整数。
二、性质：1.任何一个整数都是它自身的倍数，也是它自身的因数，即a是a的倍数，a是a的因数。
2.任何一个正整数都是1的倍数，即对于任何整数a，都有a是1的倍数。
3.任何一个整数都是它自身的因数，即对于任何整数a，都有a是a的因数。
4.如果a是b的倍数，b是c的倍数，那么a也是c的倍数，即若a是b的倍数且b是c的倍数，则a是c的倍数。
5.如果a是b的倍数，b是a的倍数，那么a和b是互为倍数，即a是b的倍数且b是a的倍数，则a和b互为倍数。
6.如果a是b的因数，b是c的因数，那么a也是c的因数，即若a是b的因数且b是c的因数，则a是c的因数。
三、判断一个数能否整除另一个数的方法：1.因式分解法：将被除数和除数都分解成质因数的乘积形式，然后进行比较。
如果被除数的质因数包含除数的质因数，并且对应质因数的指数均大于等于相应的质因数的指数，则被除数能够整除除数。
2.试商法：用除数去除被除数，如果商是整数且余数为0，则被除数能够整除除数，否则不能整除。
四、整除的性质：1.整除关系具有传递性，即如果a能够整除b，b能够整除c，则a 能够整除c。
2.整除关系具有反对称性，即如果a能够整除b，b能够整除a，则a 和b相等或互为相反数。
3.整除关系具有自反性，即任何一个数都能整除它本身。
4.整除关系具有非传递性，即如果a能够整除b，b能够整除c，但a 不能整除c。
例如：2能整除4，4能整除8，但2不能整除8五、整数的混合运算与整除的关系：1.若a整除b，b整除c，则a整除c。
2. 若a整除b，b整除c，则a整除bc。
五年级数的整除
数的整除一、整除的概念：a÷b=c，整数a除以整数b(b≠0),除得的商正好是整数而没有余数（或者余数为零）就叫做a能被b整除，或者说b能整除a，a是b的倍数，b是a的因数二、整除的性质（1）如果数a是b的倍数，c是整数，那么积ac也是b的倍数例：24是8的倍数，5是整数，5×24的积也是8的倍数（2）如果数a和b都是c的倍数，那么（a+b）与（a-b）也是c的倍数例：24和30都是6的倍数，那么（24+30）与（30—24）也是6的倍数（3）如果a是b的倍数，b又是c的倍数，那么a也是c的倍数例：24是12的倍数，12又是6的倍数，那么24也是6的倍数（4）如果a同时是b、c的倍数，而且b和c是互质数，那么a一定是bc的倍数例：24是2、3的倍数，2、3互质，24也是2×3的倍数（5）如果数b是a的因数，或者a含有因数b,那么a就是b的倍数例：60含有因数15，那么60就是15的倍数三、整除的特征（1）4或25的倍数的特征：如果一个自然数的末两位的数字所组成的数能被4、25整除，那么这个数就是4或25的倍数例：58372的末两位是72, 72是4的倍数，那么58372就是4的倍数57325的末两位是25,25是25的倍数，那么58325就是25的倍数（2）8或125的倍数特征：如果一个自然数的末三位的数字所组成的数能被8、125整除，那么这个数就是8或125的倍数例：58272的末三位是272, 272是8的倍数，那么58272就是8的倍数57375的末三位是375,375是125的倍数，那么58375就是125的倍数（3）7,11,13的倍数的特征：如果一个自然数的末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差（大减小）能被7,11,13整除，那么这个数就是7,11,13的倍数例：1059282是否是7的倍数：把1059282分成1059和282两个数，因为1059-282=777，又777能整除7，所以1059282是7的倍数若一个数奇数位上的数字和与偶数位上的数字和的差（大减小）能被11整除，那么这个数就是11,的倍数例：123456789的奇数位上的数字之和是9+7+5+3+1=25，偶数位上的数字之和是8+6+4+2=20，因为25—20=5，因为5不能被11整除，所以123456789不能被11整除1.判断3546725能否被13整除？2.一个四位数9（）2（）既有因数2，又是3的倍数，同时又能被5整除，这四个数最大是多少？3.378287、ABCABC这两个数能否被7，11,13整除？4.一个六位数（）6879（）首尾不祥，只知道这个六位数能被72整除，这个六位数是多少？5.一个整数能被13整除，这个数的最后三位数是339，那么这样的整数中最小的是多少？6.同时被3、4、5整除的最大四位数是多少？7.从1到9这九个数字中任选六个数字组成36的倍数，这样的六位数中最大的数是多少？最小的数是多少？8.已知A是一个自然数，并且它的各数位上的数字只有0和8两数，已知这个数是6 的倍数，A最小是多少？9.在257后面补上三个数字组成一个各数位上的数字都不相同的六位数，使它能被60整除，这样的六位数中最小的是多少？10.3（）6（）5是一个五位数，且是75的倍数，若想使3（）6（）5无重复数字，这个五位数是多少？答案：1.能 2.9720 3. 78287不能能 4.468729 5.1339 6.9960 7.987652 123768 8.8088 9.257160 10.30625 38675 39675。
五年级上册数的整除
五年级上册数的整除在我们五年级上册的数学学习中，“数的整除”可是一个非常重要的知识板块。
它就像是一把神奇的钥匙，能帮助我们打开数学世界里一扇又一扇神秘的大门。
什么是数的整除呢？简单来说，就是一个整数除以另一个整数，如果商是整数且没有余数，我们就说第一个整数能被第二个整数整除。
比如说，12÷3 ＝ 4，商 4 是整数，没有余数，所以 12 能被 3 整除。
整除有很多有趣的性质和规律。
首先，能被 2 整除的数，个位上一定是 0、2、4、6、8。
比如 10、12、14 等等。
那能被 5 整除的数呢？个位上一定是 0 或 5，像 15、20 都能被 5 整除。
能被 3 整除的数就有点特别啦。
它不是看个位，而是要看这个数各个数位上的数字之和。
如果数字之和能被 3 整除，那么这个数就能被 3 整除。
比如 123，1 ＋ 2 ＋ 3 ＝ 6，6 能被 3 整除，所以 123 也能被 3 整除。
还有能被 9 整除的数，也是看各个数位上的数字之和。
如果数字之和能被 9 整除，这个数就能被 9 整除。
在数的整除中，还有一些重要的概念，比如因数和倍数。
如果 a×b ＝ c（a、b、c 都是非 0 的整数），那么 a 和 b 就是 c 的因数，c 就是 a 和 b 的倍数。
比如 2×3 ＝ 6，2 和 3 是 6 的因数，6 是 2 和 3 的倍数。
一个数的因数是有限的，其中最大的因数就是它本身；而一个数的倍数是无限的，其中最小的倍数也是它本身。
质数和合数也是数的整除中很关键的概念。
一个数，如果只有 1 和它本身两个因数，这样的数叫做质数。
像 2、3、5、7 都是质数。
一个数，如果除了 1 和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。
比如 4、6、8、9 都是合数。
1 既不是质数也不是合数，这是个很特殊的存在，一定要记住哦。
了解了这些知识，我们在解决数学问题时就会更加得心应手。
比如，要判断一个数能不能被另一个数整除，或者找出一个数的因数和倍数，再或者判断一个数是质数还是合数。
数的整除数学教案
数的整除数学教案
标题：小学五年级数学——数的整除
一、教学目标：
1. 理解并掌握数的整除的基本概念。
2. 掌握被除数、除数、商的概念，以及它们之间的关系。
3. 能够熟练进行整数的整除运算，并能解决相关的实际问题。
二、教学重点与难点：
重点：理解数的整除概念，掌握整除的性质。
难点：理解和应用整除的性质。
三、教学过程：
（一）导入新课
通过生活中的例子引入整除的概念，例如分苹果、分糖果等。
（二）新知讲解
1. 整除的概念：如果a除以b（b不等于0），得到的商是整数，而且没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a。
2. 被除数、除数、商的概念：在除法算式中，a÷b=c，a叫做被除数，b叫做除数，c叫做商。
（三）例题解析
通过具体的例题，让学生了解如何判断一个数能否被另一个数整除，以及如何进行整除运算。
（四）课堂练习
设计一些练习题，让学生自己动手做，以此来巩固所学知识。
（五）归纳总结
回顾本节课的主要内容，强调整除的概念和性质，引导学生总结学习经验。
（六）作业布置
布置一些与整除有关的习题，让学生在课后进行自我检测和巩固。
四、教学反思：
对于学生在课堂上的反应和理解情况进行反思，以便于调整教学方法和策略。
五年级奥数第二讲数的整除
第二讲 数的整除知识点：﹤1﹥整除概念： 表示：﹤2﹥整除的性质：﹤3﹥整除的特征：（1）解法：○1 ○2 我要上名校示例﹤1﹥有一个四位数b a 62，它能同时被2、3、5整除，这样的四位数有多少个？练一练：有一个四位数Ο2Ο2，它能同时被2、3、5整除，这样的四位数有多少个？示例﹤2﹥有一个六位数b a 4273,它能被72整除，则a 、b 分别为多少？练一练：若四位数b a 89能被15整除，则a 、b 分别为多少？示例﹤3﹥有一个十位数59911995xy 能被99整除，则χ、y 分别为多少？练一练：有一个六位数Ο2004Ο，能被99整除，则○中分别填多少？示例﹤4﹥六位数ΟΟ1992能被95整除，这个六位数是多少？练一练 能被4、5、6整除的最大的三位数是多少？示例﹤5﹥1~200中，有多少个数能被2或5整除？练一练：1~300中，有多少个数不能被3或5整除？示例﹤6﹥一个整数乘17，积的末三位是999，这个数最小是多少？练一练：一个整数乘19，积的末三位是321，这样的整数中最小是多少？示例﹤7﹥五年级有72名学生，乘车春游，共交车费Ο7.52Ο元（○为污损数字，看不清）平均每个学生交了多少元钱？练一练：一本老账本上记着：老王买了72只桶，共用去Ο9.67Ο元，其中○处是被虫蛀掉的数字，请把这笔账补上。
示例﹤8﹥ 一个两位数能被2整除，且两个数位上的数字之和是8，这样的两位数有多少个？练一练：能被11整除，并且各个数位上数字之和等于43的五位数一共有多少个？示例﹤9﹥在28的前面连续写上若干个1993，得到一个多位数 1993199319931993若干个28如果这个多位数能被11整除，那么它最少是多少位？练一练：如果 2005200520052005个n 01能被11整除，那么n 的最小值是多少？示例﹤10﹥ 商店里有六箱货物，分别重15、16、18、19、20、31千克，两个顾客买走其中的五箱，已知一个顾客买的货物是另一个顾客的2倍，那么商店剩下的一箱货物有多重？练一练：五年级同学分成四个小组集邮，第一组集了127张，第二组集了149张，第三组集了238张，第四小组只集了95张。
五年级数论：第2讲 整除特征(二)生
第二讲整除特征（2）【知识提要】1. 被3（或9）整除的数的特征：这个数的各位上数字之和是3（或9）的倍数。
2. 被7、11、13整除的数的特征：这个数的末三位与末三位以前的数字的差（以大减小）是7、11、13的倍数。
（割尾法）3. 能被11整除的数的特征还有：一个数的奇数位的数字之和与偶数位的数字之和的差（以大减小）是11的倍数。
4、整除的性质：（1）如果a能被b整除，b能被c整除，那么a也能被c整除。
（传递性）如：8|40，40|120，则。
（2）如果a和b（a>b）都能被c整除，那么a与b的和（a+b）及差（a-b）也能被c整除。
如：3|18,3|12，则，。
（3）如果数a能被数b整除，那么a和c的积（a×c）也能被b整除。
如：5|25,3为整数，则。
【基础训练】1、在□中填入适当的数字，使所组成的数既能被9整除，又有因数5。
23□5□ 57□3□ 7□832□2、判断102030405060708090能否被9整除。
3、判断。
（1）4932796与4392976分别除以11，它们能被11整除么？（2）把192992与192929分别除以11，它们能被11整除吗？4、判断。
（1）试判断20592，25092能否被99整除？（2）试判断2385，3825能否被45整除？（3）试判断12346578，12356784能否被44整除？【拓展提高】【例1】填空。
（1）有一个四位数13AA是9的倍数，A是。
（2）要使□3478□能被9整除，□是。
（3）已知自然数2*3*4*5*1能被11整除，问*是。
（4）一个六位数□8919□能被11整除，那么这个六位数是。
【例2】在□内填上合适的数字，使五位数□679□能同时被8和9整除。
【例3】在□内填入适当的数字，使□8□52能被72整除？【例4】要使六位数15□□□6能被36整除，这样的数中最小的是多少？【例5】在□内填上适当的数，使五位数29□7□能被12整除。
数论
6．请从 1，2，3，4，5，6，7 这 7 个数字中选出 5 个组成一个五位数，使它是 99 的倍数．这个五位 数最大是多少？
五年级上册第 2 讲 数论问题第 01 讲
7．小悦写了一个两位数 59，冬冬写了一个两位数 89，他们让阿奇写一个一位数放在 59 与 89 之间拼 成一个五位数 59□89 ，使得这个五位数能被 7 整除．请问：阿奇写的数是多少？
质数与合数
知识概述
掌握质数与合数的概念．熟悉常用的质数，并掌握质数的判定方法．熟练掌握短除法分解质因数；利 用分解质因数的方法解决相关的整数问题；学会计算乘积末尾 0 的个数．
理解质数与合数的概念．熟悉常用的质数，并掌握质数的判定方法．掌握分解质因数的方法，并学会 运用分解质因数的方法解决相关的整数问题；学会计算乘积末尾零的个数．
10. 把从 1 开始的若干个连续的自然数 1，2，3， ，乘到一起．已知这个乘积的末尾 13 位恰好都
是 0．请问：在相乘时最后出现的自然数最小应该是多少？
11. 168 乘以一个大于 0 的整数后正好是一个平方数．乘的这个整数至少是多少？所得乘积又是多少 的平方？
12. （1）60 乘以一个三位数后，正好得到一个平方数．这个三位数至少是多少？ （2）72 乘以一个三位数后，正好得到一个立方数．这样的三位数一共有多少个？
五年级中册第 4 讲 数论问题第 04 讲
9. 123123 123 除以 99 的余数是多少？
123个123
10. 把 63 个苹果，90 个桔子，130 个梨平均分给一些同学，最后一共剩下 25 个水果没有分出去．请 问：剩下个数最多的水果剩下多少个？
数学春季全国版教案 五年级-2 因数和倍数
第2讲数字王国——因数和倍数【教学内容】春季全国版，5年级第2讲“数字王国——因数和倍数”。
【教学目标】知识技能1．在理解的基础上，掌握一些常见数的倍数的特征，并能利用特征进行判断；2．在观察、猜测、讨论过程中，提高探究问题的能力。
数学思考1.通过观察、探究、交流等活动，让学生经历发现一些常见数的倍数特征的过程；2.会独立思考，体会倍数的特征的基本思想。
问题解决1. 进一步形成数感、探究几个常用数的倍数特征；2. 分析几个常用数的倍数特征，熟练应用；3. 根据数的倍数特征（不计算）判断是否能被整除。
情感态度通过探究一些常见数的倍数的特征的活动过程，感受数学的奥妙；在运用规律中,体验数学的价值。
【教学重难点】教学重点让学生经历探索知识的过程，并找出一些常见数的倍数的特征。
教学难点经历探索一些常见数的倍数特征的过程，归纳它们的倍数的特征。
【教学准备】动画多媒体语言课件第一课时教学过程：第二课时教学过程：本讲教材及练习册答案：教材：探究类型之一：有3个，分别是6120、6420、6720探究类型之二：（1）90 （2）12个，234探究类型之三：613020探究类型之四：能被8整除，不能被9整除。
大胆闯关：1．5280 5580 5880 5085 5385 5685 59852．5680203．能被8整除的有：147600 349200能被9整除的有：147600 3492004．2370练习册：1．14070 14370 14670 149702．770403．被8整除的数：316224、473400被9整除的数：316224、4734004．960995.提示：被7整除可用三位截断法：三位一段，奇数段之和减偶数段之和的差能被7整除，这个数就能被7整除。
例如420960995是一个九位数，三位一段为420、960、995。
奇数段之和减偶数段之和为（420+995）-960=455,455÷7=65，所以这个九位数能被7整除。
小学五年级数学学习整除与倍数的概念及其应用
小学五年级数学学习整除与倍数的概念及其应用数学是一门抽象而又实用的学科，它在我们日常生活中无处不在。
而在小学阶段，我们需要掌握一些基本的数学概念和运算规则。
其中，整除与倍数是数学学习的重要内容之一。
本文将介绍小学五年级数学学习整除与倍数的概念及其应用。
一、整除的概念整除是指一个数能够被另一个数整除，即没有余数。
在小学五年级的数学中，我们一般用“能够整除”来表示整除的概念。
例如，当一个数能够被另一个数整除时，我们可以称前一个数为后一个数的倍数。
二、倍数的概念倍数是指某个数的整倍数。
也就是说，一个数的倍数是指它可以被另一个数整除。
在小学五年级的数学中，我们通常会接触到最小公倍数和最大公约数这两个与倍数相关的概念。
1. 最小公倍数最小公倍数是指两个或多个数公有的倍数中最小的一个数。
我们可以通过列举倍数的方法来求解最小公倍数。
例如，求解30和45的最小公倍数，首先列出它们的倍数：30的倍数为30、60、90、120、150，45的倍数为45、90、135、180、225。
我们可以发现，30和45的最小公倍数是90。
最小公倍数的求解在实际中有广泛的应用，例如在求解分数的加减乘除时，需要用到最小公倍数。
2. 最大公约数最大公约数是指两个或多个数公有的约数中最大的一个数。
我们可以使用列举因数的方法来求解最大公约数。
例如，求解16和24的最大公约数，我们可以列出它们的因数：16的因数为1、2、4、8、16，24的因数为1、2、3、4、6、8、12、24。
我们可以发现，16和24的最大公约数是8。
最大公约数的求解在实际中也有着广泛的应用，例如在化简分数、约分等计算中常常需要用到最大公约数。
三、整除与倍数运用实例深入了解整除与倍数的概念后，我们可以看一些运用实例来更好地理解它们的应用。
1. 判断一个数能否被另一个数整除例如，我们要判断36能否被4整除。
只需判断36是否为4的倍数，即判断36能否被4整除。
我们知道，4 ×9 = 36，故36可以被4整除。
第2讲 整 除—完整版
第2讲整除内容概述掌握整除的概念和基本性质，掌握能被某些特殊数整除的数的特征。
通过分析整除特征解决数的补填问题，以及多位数的构成问题等。
兴趣篇1．下面有9个自然数：14，35，80，152，650，434，4375，9064，24125。
在这些自然数中，请问：(1)有哪些数能被2整除？哪些能被4整除？哪些能被8整除？(2)有哪些数能被5整除？哪些能被25整除？哪些能被125整除？答案：（1）能被2整除的有：14，80, 152, 650，434，9064；能被4整除的有：80，152，9064；能被8整除的有：80，152，9064(2)能被5整除的有：35，80，650，4375，24125；能被25整除的有：650，4375，24 125；能被125整除的有：4375, 24125解析：能被2、5整除的数的特征：个位数字能被2、5整除；能被4、25整除的数的特征：末两位能被4、25整除；能被8、125整除的数的特征：末三位能被8、125整除．运用这些性质可迅速得出答案．2．有如下9个三位数：452，387，228，975，525，882，715，775，837。
这些数中哪些能被3整除？哪些能被9整除？哪些能同时被2和3整除？答案：能被3整除的有：387，228，975，525，882，837;能被9整除的有：387，882，837；能同时被2和3整除的有：228和882解析：依次计算每个数的各位数字之和：4+5+2=11, 3+8+7=18, 2+2+8=12,9+7+5=21, 5+2+5=12,8+8+2=18, 7+1+5 =13, 7+7+5 =19, 8+3+7 =18.根据3和9的整除特征可知：387，228，975，525，882，837能被3整除；其中，387，882，837能被9整除。
能被3整除的数中偶数是228和882，所以能同时被2和3整除的数是228和882.3．有如下4个自然数：2695，1804，1963，23205。
小学奥林匹克数学 竞赛数学 五年级 第二讲：整除
第2讲整除整理书妈妈让萱萱整理桌子上的书本，萱萱发现桌子上有132本书，每本书高度一样，想整理一边高，那么可以分成几份？132末尾能被2整除，所以可以分成3份132各个数位相加为6，能被3整除，所以可分成3份132 奇偶位求差为0，能被11整除；所以可分成11份既能被3整除有能被2整除可以被6整除……【例1】导引拓展篇第1题1.判断下面11个数的整除性：6765,5880,,23487,356875388875,,,407.,86493625,1989546512,(1)这些数中，有哪些数能被4整除？哪些数能被8整除？(2)哪些数能被25整除？哪些数能被125除？(3)哪些数能被3整除？哪些数能被9整除？(4)哪些数能被11整除？能被3整除：23487、6765、 5880、198954、864；正被9整除：198954、864能被11整除的数，奇数位上的和与偶数位上和的差能被11整除能被11整除：6765、6512、407能被3、9整除的数，各个数位的和能被3、9整除能被4,25整除的数末两位能被4,25整除能被8,125整除的数末三位能被8,125整除能被4、8整除：3568、5880、6512、864；能被25、125整除：8875、93625判断整除：一、末尾判断方：2、5, 4、25, 8、125二、各位求和法：3、9三、奇偶位求差：11【例2】导引拓展篇第2题四位数．方框内先后填入3个数得到3个四位数，依次能被9、11、8整除，填入的3个数字之和是多少？ □173能被9整除：能被11整除：能被8整除:7＝ ；□ □+11＝ □+3+7+18＝ ；□4＋ ＝□3+1）7+ □）－（（6＝ □ ； □1＝720－ □73依次能被9、11、8整除的数为1737、1738、173678621=++【例3】导引拓展篇第3题计算： 多位数能被11整除，满足条件的n 最小是多少？323232321n 个奇位数字和：偶位数字和：31n +2n奇数位与偶数位的差：12)13(+=-+n n n 1+n 为11的倍数，所以n 最小为10.【例4】导引拓展篇第4题五位数能同时被11和25整除，这个五位数是多少？ □07 □3能被25整除，那么个位数字只能是5奇数位与偶数位的差为5037=1++--－ 111-=的整数倍，所以□只能为1.所以：这个五位数为 30175【例5】导引拓展篇第5题牛叔叔给45名工人发完工资后，但是记账的那张纸被香烟烧了两个洞，只剩下“ ”，每名工人的工资一样，则总工资有可能是多少元？ e□8 □67所以总数能被5和9整除，那么个位数字就只能是0或5当个位为5时 ，此时678526=+++1= 当个位为0时， ，所以678021=+++6= 总工资可能为67680元或者67185元【例6】导引拓展篇第5题六位数能同时被9和11整除．这个六位数是多少？ □8200 □设六位数为2008a b既能被11整除又能被9整除的数字一定能被99整除能被99整除的数两位截断相加的和能被99整除7,1;9982998002===+=++b a b a b a ；即所以这六位数为 120087被99整除的数：两位截断相加，和能被99整除【例7】导引拓展篇第7题请从1、2、3、4、5、6、7这7个数字中选出5个组成一个五位数，使它是99的倍数．这个五位数最大是多少？设五位数为abcde99++bcdea=a=6,c+e=3,b+d=9a=6,b=5,c=2,d=4,e=1这个五位数最大是65241【例8】导引拓展篇第8题卡莉娅写了一个两位数59，冬冬写了一个两位数89，他们让小高写一个一位数放在59与89之间拼成一个五位数，能被7整除，请问：小高写的数是多少？59□89要想能被7整除，那么三位截断，895930=也就是是7的倍数，那么6=30小高写得数字为6【例9】导引拓展篇第9题已知51位数 能被13整除，中间方格内的数字是多少？925525999 □555个个能被13整除，三位截断，奇位和与偶位和的差能被13整除45559455595555555999999955555599999959个4个个4个99=⎛⎫⎛⎫++++++-+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 也就是 为13的倍数，那么59 =5被7,11,13整除的数：三位截断求差，差能被7,11，13整除【例10】导引拓展篇第10题（1）一个数字互不相同的多位数能被数字11整除，并且含有0，这个多位数最小是多少？209（2）一个各位数字和为13，能被数字11整除多位数最小是多少？（1）三位数，0不能在百位要使数字尽量小，那么0应该在十位百位和个位数字和最小只能为11（2）数字和为13，奇数位与偶数位的差最小只能为11所以分为12+1,3+9=12，所以三位数字为319【例11】导引拓展篇第11题用数字6、7、8各两个，组成能同时被6、7、8整除的六位数．能被6整除：个位数字一定是偶数被7整除：可以被7整除。
小学奥数五年级上第2讲《整除问题进阶》教学课件
2011个1 2011个3
答案：3
下节课见！
心有花种，静候花开！
例题讲解
mathematics
例题2：已知九位数 1234 □□789 能被99整除，这个九位数是多少? 分析：这个九位数是99的倍数，说明两位截断以后，各段之和是99的倍数，这个99的倍
数可能是多少呢? 答案：123483789
例题讲解
mathematics
练习2：已知八位数 123□□678 能被99整除，这个八位数是多少? 答案：12327678
例题讲解
mathematics
例题3：阿呆写了一个两位数59，阿瓜写了一个两位数89，他们让小高写一个一位数放在59 与89之间拼成一个五位数 59□89 ，使得这个五位数能被7整除，请问：小高写的数是多少? 分析：根据能被7整除的数的特征：末三位组成的数与末三位之前的数组成的数之差能被7
整除，我们可以由此将问题简化. 答案：6
2010个1 20atics
例题5：用数字6、7、8各两个，要组成能同时被6、7、8整除的六位数，请写出一个满足要 求的六位数. 分析：能被6、7、8整除的数有什么特点呢？最难把握的在于这个六位数能被7整除，我
们应该怎样安排数字才能使得它的前三位与后三位的差能被7整除呢？题目只要求我们写 出一个满足要求的六位数，所以只需要找出一种特殊情况即可. 答案：768768
数的整除PPT课件.ppt
特殊情况
两个数是互质数,最小公倍数 就是它们的乘积.
பைடு நூலகம்
两个数具有约倍关系,最小公倍数 就是较大的数.
一个数，如果只有1和它本身两个约数，这样的 数叫做质数（或素数）．
只有两个约数
一个数，如果除了1和它本身还有别的约数，这 样的数叫做合数．
一个数，如果只有1和它本身两个约数，这样的 数叫做质数（或素数）．
如果数a能被数b（b≠ 0）整除， a就叫做b的 倍数， b就叫做a的约数（或a 的约数）
因为15 ÷ 5＝ 3，所以15是倍数，5是约数（×）
约数和倍数是相互依存的
因为4.6 ÷ 2＝ 2.3，所以4.6是2的倍数，2是4.6 的约数（×）
如果数a能被数b（b≠ 0）整除， a就叫做b的 倍数， b就叫做a的约数（或a 的约数）
几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数； 其中最小的一个叫做最小公倍数．
特殊情况
两个数是互质数,最小公倍数 就是它们的乘积.
几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数； 其中最小的一个叫做最小公倍数．
特殊情况
两个数是互质数,最小公倍数 就是它们的乘积.
几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数； 其中最小的一个叫做最小公倍数．
数的整除
整除
倍数 约数
公倍数 最小公倍数 公约数 最大公约数
质数 合数 互质数
质因数 分解质因数 能被2整除数的特征
能被5整除数的特征 能被3整除数的特征
奇数
整除
倍数 约数
公倍数 最小公倍数 公约数 最大公约数
质数 合数 互质数
质因数 分解质因数 能被2整除数的特征 能被5整除数的特征 能被3整除数的特征
一个数的各位上的数的和能被3整除,这个数就 能被3整除.
小学五年级奥数-数的整除特征课件
数的整除性质3
我们看下面的例子： 4能够整除36，6也能整除36，4与6的积能整除36吗？ 4能够整除80，5也能整除80，4与5的积能整除80吗？ 5能够整除80，8也能整除80，5与8的积能整除80吗？ 这说明这两个数需要满足一定的条件！
数的整除性质1
性质1： 如果a、b都能被c整除，那么他们的和或差也能被c整除。 即：如果c︱a ， c︱b 那么 c︱（a±b） 你能再举出一个例子吗？
数的整除性质2
我们再来看一组例子：
添加标题
01
3×7＝21，21能整除84，3和7都能整除84吗？
添加标题
03
上面的3个例子有什么共同点？
添加标题
∣
01
02
应用举例（二）根据规律填空
例2、⑴ 已知45︱ 求所有满足条件的六位数。
5
9
519930
李老师为学校一共买了28支价格相同的钢笔，共付人民币9□.2□元，已知□处数字相同，请问：每支钢笔多少元？
分析：由28支钢笔的价格相同可知，总钱数9□.2□是28 的倍数，同上面的解题思路类似，可以用数的整除性质和数的整除特征结合起来解答。
分别能被2 3、5、11整除，这个七位数最小值是多少？
6、在1992后面补上三个数字，组成一个七位数，使它们
02
能被11整除, 方格内应填_____。
5、“25□79这个数的□内填上一个数字,使这个数
01
∣
∣
33333333468375能不能被125整除 回忆：能被125整除的数的特征： 末三位数字能被125整除。 解： 因为这个数的末三位数字375能被125整除，所以33333333468375能被125整除。
第二讲数的整除（2）
第二讲数的整除（2）第二讲数的整除(2)【典型例题1】一个素数的3倍与另一个素数的2倍之和是100，求这两个素数。
解析：100是一个偶数，一个素数的2倍必定是偶数，则另一个素数的3倍也应为偶数，则这个素数应为2，另一个素数为1006472-=点评：此题对应的方法，分析易错点，考查知识点，注意点【知识点】1、素数和合数一个数，如果只有１和它本身两个因数，这样的数叫做素数，也叫质数．一个数，如果除了１和它本身以外还有别的因数，这样的数叫合数．分解素因数把一个合数用素因数相乘的形式表示出来，叫做分解素因数【基本习题限时训练】1填空：在正整数中，既不是素数也不是合数的数是________，既是素数又是偶数的数是____________。
【解】在正整数中，既不是素数也不是合数的数是1，既是素数又是偶数的数是22 在14＝2×7中，2和7都是14的（）。
（A）素数（B）互素数（C）素因数（D）公因数【解】C3 将下列各数分解素因数，并用连乘的形式表示结果。
（1）48；（2）120 【解】（1）4822223=；（2）12022235=。
4、39、47、57、83中为素数的有（）（A） 39，47 (B) 47，57 （C）57，97 （D）47，83 【解】D5、12的素因数是（）（A）1，2，3，4 （B）2，3 （C）2，2，3 （D）1，2，3，4，6，12 【解】C6、下列分解素因数正确的是（）（A）42＝2×21 （B）48＝1×2×2×2×2×3（C）24＝4×6 （D）62＝2×31【解】D7、下列说法中正确的是（）（A）自然数包括素数和合数两类 (B）不存在最小的素数（C）1既不是素数，也不是合数（D）2是最小的合数【解】C8、两个素数相乘的积一定是（）（A）奇数（B）偶数（C）素数（D）合数【解】D9、根据要求填空：在1，2，9，21，43，51，59，64这八个数中，（1）是奇数又是素数的数是（）；（2）是奇数不是素数的数是（）；（3）是素数而不是奇数的数是（）；（4）是合数而不是偶数的数是（）；（5）是合数而不是奇数的数是（）．【解】（1）43，59 （2）1，9，21，51 （3）2 （4）9，21，51（5）6410、把下列各数写成几个素因数乘积的形式．（1）18；（2）35；（3）45．【解】（1）18=2×3×3 （2）35=5×7 （3）45=3×3×511、把以下各数分解素因数（1）189；（2）72；（3）238；（4）338．【解】（1）189=3×3×3×7（2）72=2×2×2×3×3（3）238=2×7×17（4）338=2×13×1312、将20写成两个质数之和，这两个质数最大乘积是多少？【解】20=3+17=7+13 7×13=91 因此这两个质数的积最大是91．【拓展题】2、一个素数,是两个数字组成的两位数,两个数字之和是8,两个数字之差是2,那么这个素数是几?解析：解法一因为（8＋2）÷2=5 （8-2）÷2=3 所以这个两位数是35或53,又因为这个数是素数,所以35不符合题意．解法二设这个两位数中，其中一个数字为x，那么另一个数字为（8－x）．由题意得：x-（8－x）=2 解得 x=3 另一个数字 8－x=5 所以这个两位数是35或53,又因为这个数是素数,所以35不符合题意．点评：此题介绍了考查了素数的概念，并介绍了方程思想。
五年级春天第2讲数的整除
第二讲 数的整除知识导航能被2整除的特点：末尾是偶数（0、二、4、六、8）能被3整除的特点：各个数位上数字的和是3的倍数能被5整除的特点：末尾是0或5的数能被9整除的特点：各个数位上数字的和是9的倍数【例1】判定下面哪些数能被9整除，并说出理由。
1008234 367026229 5471 339282 1927【小试牛刀】① 在□里填上适合的数，使所组成的数能够被9整除。
735□6 317□ □65□ 913□ 555□② 74051至少减去多少后，才能被9整除？【例2】在□里填上适当的数字，使所组成的数符合给出的条件。
随堂笔记①62□□能被9整除，也能被5整除。
②5□7□能被110整除。
【小试牛刀】①判定下面的数能不能同时被2和9整除。
7272 11772 1766 19134②下面的数能被110整除吗？7150 3652 97020 81420【例3】能被7、1一、13整除的数的特点别离是什么？【小试牛刀】①判定哪些数能被7整除？哪些数能被11整除？哪些数能被13整除？143 625790 111605 96096 443527②在□里填数字，使□85□4和68□6□都能被7整除。
【例4】小明在售货亭买了6枝铅笔，2枝圆珠笔和5本练习本。
已知圆珠笔每枝元，练习本每本元。
售货员要小明付元，小明却说售货员算错了，什么缘故？【小试牛刀】①小青买了三枝铅笔，三本练习本和二块单价为3角钱的橡皮，售货员要他付3元5角钱，小青却说售货员算错帐了，请问什么缘故？②一班的同窗分成四个小组糊纸盒，每组糊的个数一样多，小马虎统计时说：全班一共糊纸盒342个。
小马统计错了吗？什么缘故？【例5】学校为了给教室里安装闭路电视，买回来18台彩色电视机。
不警惕发票被墨水弄脏了，单价只剩下2个数字2□□0元。
总价也是只剩下两个数字□4□8□元。
你能帮忙算出单价和总价吗？【小试牛刀】①学校买来36套桌椅，不料发票被弄丢了，采购员只记得单价可能是□3.□□元，总价是1□□元。
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第二讲数的整除
知识导航
能被2整除的特征：末尾是偶数（0、2、4、6、8）
能被3整除的特征：各个数位上数字的和是3的倍数
能被5整除的特征：末尾是0或5的数
能被9整除的特征：各个数位上数字的和是9的倍数
随堂笔记
【例1】判断下面哪些数能被9整除，并说出理由。
1008 234 36702 6229 5471 339282 1927
【小试牛刀】
①在□里填上合适的数，使所构成的数能够被9整除。
735□6 317□□65□ 913□ 555□
②74051至少减去多少后，才能被9整除？
【例2】在□里填上适当的数字，使所构成的数符合给出的条件。
① 62□□能被9整除，也能被5整除。
②5□7□能被110整除。
【小试牛刀】
①判断下面的数能不能同时被2和9整除。
7272 11772 1766 19134
②下面的数能被110整除吗？
7150 3652 97020 81420
【例3】能被7、11、13整除的数的特征分别是什么？
【小试牛刀】
①判断哪些数能被7整除？哪些数能被11整除？哪些数能被13整除？
143 625790 111605 96096 443527
②在□里填数字，使□85□4和68□6□都能被7整除。
【例4】小明在售货亭买了6枝铅笔，2枝圆珠笔和5本练习本。
已知圆珠笔每枝元，练习本每本元。
售货员要小明付元，小明却说售货员算错了，为什么？
【小试牛刀】
①小青买了三枝铅笔，三本练习本和二块单价为3角钱的橡皮，售货员要他付3元5
角钱，小青却说售货员算错帐了，请问为什么？
②一班的同学分成四个小组糊纸盒，每组糊的个数同样多，小马虎统计时说：全班
一共糊纸盒342个。
小马统计错了吗？为什么？
【例5】学校为了给教室里安装闭路电视，买回来18台彩色电视机。
不小心发票被墨水弄脏了，单价只剩下2个数字2□□0元。
总价也是只剩下两个数字□4□8□元。
你能帮忙算出单价和总价吗？
【小试牛刀】
①学校买来36套桌椅，不料发票被弄丢了，采购员只记得单价大概是□3.□□元，
总价是1□□元。
请你帮忙把单价和总价算出来。
②购买36台同样的电冰箱，总价是□711□元，每台电冰箱大概2000多元。
能算出
总价吗？
【开动脑筋】
①60593至少减去多少后，能够被9整除？
②在方框里填上合适的数字，使它符合下面的要求。
27□□能同时被5和9整除；
2□7□能被90整除。
③在方框里填上合适的数，使它符合下面的要求。
62□□能同时被3和5整除；
□53□9 能被13整除。
④小佳买了3枝铅笔，1枝圆珠笔，8个笔记本。
已知铅笔4角一枝，圆珠笔1元6
角一枝，笔记本的单价她记不清了。
售货员要小佳付10元1角，售货员算得对吗？
⑤总务主任买了72枝同样的钢笔，总价是□□元。
你能推算出总价和单价各是
多少吗？
【大显身手】
①□□□998能被13整除，这个六位数最大是多少？
②判断：5448 ×3294 能否被72整除？
③1000个连续自然数相加，得到的和是奇数还是偶数？。