高等数学(下)知识点

z
若 z f (u, v),u u(x, y), v v(x, y) ，则
z x

z u

u x

z v

v x
，
z y

z u

u y

z v

v y
3） 隐函数求导：两边求偏导，然后解方程（组）
ux vy
10、 应用 1） 无条件极值：求函数 z f (x, y) 的极值
z x2 y2
（3）球面（篮球） 例如 x2 y2 z 2 a2
（4）柱面（水管） 例如 x2 y2 9
（5）椭球面（鸡蛋）
x2 a2

y2 b2

z2 c2
1
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高等数学（下）知识点
第九章 多元函数微分法及其应用
本章考试点(按历年考试出现次数从高到低排列): 复合函数求导（☆☆☆☆☆） 条件极值---拉格朗日乘数法（☆☆☆☆） 无条件极值（☆☆☆☆） 曲面切平面、曲线切线（☆☆☆☆） 隐函数（组）求导（☆☆☆） 一阶偏导数、全微分计算（☆☆☆） 方向导数、梯度计算（☆☆） 常见的二元函数极限计算、多元函数定义域求法（☆）
做题技巧：
1、在计算偏导数时，要学会“偏心”，就是对某一自变量（如 x ）求偏导时，一定要把其它自变量（如 y 等）当作常数看待，然后一切按上册求导数的规则进行。
2、掌握偏导数计算链式法则： （1）项数=中间变量的个数；
（2）每一项=函数对中间变量的偏导数 中间变量对某指定自变量的偏导数。
1、 多元函数： z f (x, y) ，图形

z x
dx

z y
dy
8、 函数可微，函数可偏导，函数连续之间的关系：
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函数可微
函数可偏导
函数连续
9、 求偏导数的计算
1）
z
f [u(t), v(t)] dz z du z dv dt u dt v dt
2） 复合函数求导：链式法则
AB (x2 x1)2 ( y2 y1)2 (z2 z1)2
2. 向量的方向角与方向余弦：
向量与三个坐标轴的夹角，，称为 方向角；
cos , cos , 称cos为 方向余弦。
uuur 计算公式：设则AB： {x, y, z}
cos
x
, cos
y
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高等数学（下）知识点
7.平面的方程： (1)点法式：A，(x其中x0为) 平B面( y的 一y0 )点，C(为z 平z0面) 的0法向量 M 0 (x0 , y0 , z0 ) (2)一般方程：Ax By Cz D 0 (3)截距式方程：x y z 1
f x 0
解方程组
f y 0
求出所有驻点，对于每一个驻点 (x0 , y0 ) ，令
A f xx (x0 , y0 ) ， B f xy (x0 , y0 ) ， C f yy (x0 , y0 ) ， ① 若 AC B2 0 ， A 0 ，函数有极小值，
cos
x2 y2 z2
x2 y2 z2
uuur
{cos ,cos ,co } 为与同AB向的单位向量， cos2 cos2 cos2 1
z x2 y2 z2
r 3.向量的模：设，r 则{x, y, z}
rr x2 y2 z2
r 4.向量的加减法和数乘运算：设 a
f l
f cos f cos
x
y
（其中 ,
为 l 方向的方向角）
r
r
6、 梯度： z f (x, y) ，则 gradf (x0 , y0 ) f x (x0 , y0 )i f y (x0 , y0 ) j 。
7、
全微分：设 z

f
(
x,
y)
，则
dz
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高等数学下册知识点
（归纳不完全，仅供信本 11 级期末复习参考）
第八章 空间解析几何与向量代数
本章考试点(按历年考试出现次数从高到低排列): 向量的数量积 a·b 和向量积 ab 运算（☆☆☆☆☆）
空间两点间的距离、两向量夹角、平面方程和空间直线方程（☆☆） 其它（☆）
1.A（x, 1 x,2 ）x3 和（B, x1, x2）x两3 点间的距离公式：
abc
8.平面外任意一点到该平面的距离：d Ax0 By0 Cz0 D A2 B2 C 2
9.空间直线方程：
(1)点向式：x其 x中0 P m
y y0 n

z为p直z0 线, 的一0点(x，0 , y为0 ,直z0 )线的方向向量
（2）参数方程：
x y

2、
极限：
(
x
,
y
lim
)( x0
,
y0
)
f
(x,
y)

A
3、
连续：
(
x
,
y
lim
)( x0
,
y0
)
f (x, y)
f (x0 , y0 )
4、
偏导数：
百度文库
z x
，
z y
，
fx (x, y) ，
f
y
(
x,
y)
，
2z x2
2z
，
y 2
2z 2z
，
，
yx xy
5、 方向导数：

(
ax
,ay
,az )
r ，b

(bx
, by
,bz )
，
则
r a

r b

(ax

bx
,
ay

by
, az

bz
)
,

r a

(
ax
,

ay
,

az
)
5.向量的数量积 a·b 和向量积 ab 运算：
r 设a

r ( ax ,ay ,az ) ， b

(bx ,by ,bz )

则
av
v b

av

v b
cos

axbx

ayby

azbz ,是一个数量,

ab
r a
r b
sin
i ax
bx
j ay by
k
az bz
=
ay by
az bz
i–
ax bx
az bz
j+
ax bx
ay by
k
.
6． 两向量之间的夹角：cos
axbx ayby azbz
ax2 ay2 az2 bx2 by2 bz2
x0 y0
mt nt
z z0 pt
sv {m, n, p}
10.二次曲面（常见的）
nv {A, B,C} ;
（1）旋转曲面(酒杯) 例如 旋转抛物面 z x2 y2 ， z 2 x2 y2 等
（2）锥面（蛋筒） 例如 圆锥面 z2 x2 y2 ，上圆锥面 z x2 y2 ，下圆锥面