My2015=S=数论应用趣题

2015数学联赛二试专题训练 数论应用1

1、证明：对任何整系数多项式)(x P 和任何正整数k ，都存在正整数n ，使得)()2()1(n P P P +++ 能被k 整除.

2、是否存在一个2的幂，其每位上的数字均不为零，且可以按不同的次序重新排列各位数字得到另一个数也是2的幂？证明你的结论.

3、已知圆上有N 盏灯，开始时全是关着的.对于N 的每一个正因数d （包括1和N ），从第一盏灯开始，每d 盏灯就改变一次它的开关状态，且对于每个d 都进行N 次开或关.问对于怎样的N ，能够在最后使所有的N 盏灯都是开着的?

4、已知一个无穷等比数列的每一项都是正整数，且其中至少有两项不能被4整除.如果其中某一项等于2004，试确定数列的通项n a .

5、求所有正整数n ，满足n 为合数，且其所有的大于1的因数可以放在一个圆上，使得任意两个相邻的因数都不是互质的.

6、证明：方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++++=+++1479233157336157

147z y y y x x y y x x x 没有整数解z y x 、、.

7、 “章鱼保罗”要将由N 块木条围成的圆形栅栏刷成红色，他按以下原则顺时针上色：先给第一块木条上色，再给间隔一块木条后的那块上色，然后给间隔二块木条后的那块上色，每次上色的间隔数比上一次多一（某些木条可能被刷了几次），如此下去. 保罗相信迟早会将所有木条刷成红色，但“海宝”认为最终存在某些木条没被上色.证明:若N 是2的幂，则保罗是正确的，否则海宝是正确的.

8、非负整数数列}{n a 定义为：1x 是小于204的非负整数，且

0,1200412004321>+-⎪⎭

⎫ ⎝⎛+=+n n x n n x n n .证明：数列}{n a 一定包含无数个质数.

9、存在性问题：证明存在无穷多个正整数，这些数都是2005的倍数，而且这些数写成十进制数后，0，1，…9出现的个数相等（规定：首位前面的0不算）.

10、求不定方程273=-n

m 的所有正整数解.

11、已知数列}{n a ，,20,821==a a n n n n n n a a a a a a 111211212+++=++++. 求证：}{n a 中任何一项都不可能表示成三个整数的七次方之和.