线性代数(含全部课后题详细答案)4-3

由
b11 b1n
(c1 , ,cn ) (a1 , ,as )
bs1 bsn
知矩阵C的列向量组能由A的列向量组线性表示，
因此R(C ) R( A).
因CT BT AT ,由上段证明知R(CT ) R(BT ), 即R(C ) R(B).
思考
定理2与推论2有什么异同？
推论3 设向量组B是向量组A的部分组，若向量 组B线性无关，且向量组A能由向量组B线性表示， 则向量组B是向量组A的一个最大无关组.
证明向量组(a1 ,a2 )与(b1 ,b2 )等价.
向量组等价=矩阵等价？
证明 要证存在2阶方阵X ,Y ,使 (b1, b2 ) (a1, a2 )X ,(a1, a2 ) (b1, b2 )Y .
先求X . 类似于线性方程组求解的方法, 对增广矩 阵(a1, a2 , b1, b2 )施行初等行变换变为行最简形矩阵：
2 3 5 4
(a1
,
a2
,
b1
, b2
)
0 1
2 1
6 5
4 3
3 1 9 5
2 3 5 4
(a1
,
a2
,
b1
, b2
)
0 1
2 1
6 5
4 3
3 1 9 5
r1 ~ r3
1 1 5 3 0 2 6 4 2 3 5 4 3 1 9 5
1 1 5 3
( A, B)组线性表示. 所以( A, B)组与A组等价,因此 ( A, B)组的秩也为r.
又因B组的秩为r , 故B组的最大无关组B0含r 个向量,因此B0组也是( A, B)组的最大无关组, 从 而( A, B)组与B0组等价.
由A组与( A, B)组等价，( A, B)与B0等价,推知A组 与B组等价.
即得
X 2 1 3 2
因 X 1 0,知X可逆,取Y X 1,即为所求.因 此向量组a1, a2与b1, b2等价.
四、小结
１．最大线性无关向量组的概念： 最大性、线性无关性．
２． 矩阵的秩与向量组的秩的关系： 矩阵的秩＝矩阵列向量组的秩 ＝矩阵行向量组的秩
３． 关于向量组秩的一些结论： 一个定理、三个推论．
1 0
1 1
0 3
，
0 0 0 0 0
故列向量组的最大无关 组含3个向量. 而三个非零行的非零首元在1、2、4三列，
故 a1, a2 , a4 ,为列向量组的一个最大无关组.
事实上
2 1 1
（a1 ,a2 ,a4 ) 1 1 1
4 6 2
3 6 7
1 1 1
~ 初等行变换 0 1 1
注意
本例把证明两向量组A与B等价, 转换为证明它 们的最大无关组A0与B0等价.证法一证明B0用A0线 性表示的系数矩阵可逆;证法二实质上是证明A0与 B0都是向量组( A, B)的最大无关组.
例4 已知
2
( a1
,a2
)
0 1
3
3
5
2 1
, (b1
,
b2
)
6 5
1
9
4
4 3
,
5
1 1 5 3
r2
(2)
~
0 0 0
1 3 2 5 15 10 2 6 4
1 1 5 3
r2
(2)
~
0 0 0
1 3 2 5 15 10 2 6 4
r3 5r2
~
r4 2r2
1 1 5 3 0 1 3 2 0 0 0 0 0 0 0 0
r3 5r2
k11 k1r
(b1 , ,br ) (a1 , ,as )
ks1 ksr
如果r
s，则方程组
K sr
x1
0
(简记为Kx
0)
xr
有非零解（因 R(K ) s r），从而方程组
(a1 , ,as )Kx 0 有非零解，即(b, ,br )x 0有非零解，这与B0组 线性无关矛盾，因此 r s不能成立，所以 r s.
但R(K r ) r，因此R(K r ) r. 于是矩阵K r 可逆，并有
(a1 , ,ar ) (b1 , ,br )K r 1 , 即A0组能由B0组线性表示. 从而A组能由B组线性表示 .
证二 设向量组A和B的秩都为 r. 因B组能由A组线性表示,故A组和B组合并而
成的向量组( A, B)能由A组线性表示. 而A组是( A, B)组的部分组,故A组总能由
４． 求向量组的秩以及最大无关组的方法： 将向量组中的向量作为列向量构成一个矩 阵，然后进行初等行变换．
作业
• A 9（2）， 10（2），13，14 • B 3，5
证 设向量组B含r个向量，则它的秩为r, 因A组能由B组线性表示，故A组的秩 r， 从而A组中任意r 1个向量线性相关，
所以向量组B满足定义1所规定的最大无关组的 条件.
定理4.7
例3 设向量组B能由向量组A线性表示,且它们的 秩相等，证明向量组A与向量组B等价. 证一 只要证明向量组A能由向量组B线性表示.
r 1个向量的话）都线性相关，那末称向量组A0是 向量组A的一个 最大线性无关向量组 （简称最大 无关组）; 最大无关组所含向量个数r称为向量组
的秩.只含零向量的向量组没有最大无关组，规定
它的秩为0.
例1 全体n维向量构成的向量组记作Rn，求Rn的 一 个 最 大 无 关 组 及R n的 秩.
解 因为n维单位坐标向量构成的向量组 E : e1 , e2 , , en
0 0 1 0 0 0
知R(a1 ,a2 ,a4 ) 3，故a1 ,a2 ,a4线性无关
要把a3 , a5用a1, a2 , a4线性表示，必须将A再变 成行最简形矩阵.
1 0 1 0 4
~ A
来自百度文库初等行变换
0 0
0
1 0 0
1 0 0
0 1 0
3 3 0
即得
a5
a3 a1 a2 , 4a1 3a2 3a4
是线性无关的， Rn中的任意n 1个向量都线性相关，因此向量组E 是Rn的一个最大无关组，且Rn的秩等于n.
说明 （1）最大无关组不唯一; （2）向量组与它的最大无关组是等价的.
二、矩阵与向量组秩的关系
定理１ 矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于 它的行向量组的秩. 证 设A (a1, a2 , , am )，R( A) r,并设r阶子式 Dr 0. 因此所在的r列线性无关；
三、向量组秩的重要结论
定理２ 设向量组B能由向量组A线性表示，则向 量组B的秩不大于向量组A的秩. 证 设向量组B的一个最大无关组为B0 : b1, , br， 向量组A的一个最大无关组为 A0 : a1, , as ,要证 r s.
因B组能由A组线性表示，A组能由A0组线性表示.
故B0组能由A0组线性表示. 即存在系数矩阵K sr (kij ),使得
r1 ~ r3
0 2
2 6 4 3 5 4
3 1 9 5
r3 2r1
r4 ~3r1
1 0 0 0
1 2 5 2
5 6 15 6
3 4 10 4
r1 r3
r3 ~2r1
r4 3r1
1 1 5 3 0 2 6 4 0 5 15 10 0 2 6 4
~
r4 2r2
1 1 5 3 0 1 3 2 0 0 0 0 0 0 0 0
r1r1~r21
1 0 2 1
0 1 3 0 0 0
2 0
.
0 0 0 0
1 0 2 1
~ 初等行变换 0 1 3 2
(a1 ,a2 ,b1 ,b2 )
0 0 0 0
0 0 0 0
例2 设矩阵
2 1 1 1 2
A
1 4
1 6
2 2
1 2
4 4
3 6 9 7 9
求矩阵A的列向量组的秩和一个最大无关组，并把不 属最大无关组的列向量用最大无关组线性表示.
解 对A施行初等行变换变为 行阶梯形矩阵
~ A 初等行变换
知R( A) 3，
1 1 2 1 4
0 0
1 0
设两个向量组的秩都为r，并设A组和B组 的最大无关组依次为A0 : a1 , ,ar和B0 : b1 , br ,
因B组能由A组线性表示，故B0组能由A0组线性 表示，即有r阶方阵K r使
(b1 , ,br ) (a1 , ,ar )K r
因B0组线性无关，故R(b1 , ,br ) r.
根据定理2推论2，有 R(K r ) R(b1 , ,br ) r
又由A中所有r 1阶子式均为零，知A中任意 r 1个列向量都线性相关. 因此Dr所在的r列是A 的列向量的一个最大无关组，所以列向量组的秩 等于r.类似可证A的行向量组的秩也等于R( A).
向量组a1 ,a2 ,
,
a
的秩也记作
m
R(a1
,
a2
,
,am
)
结论
若Dr是矩阵A的一个最高阶非零子式，则Dr 所在的r列即是列向量组的一个最大无关组，Dr 所在的r行即是行向量组的一个最大无关组.
Rn ：全体n维向量构成的向量组 秩=n,E为最大无关组。
注意：
（1）最大无关组不唯一; （2）向量组与它的最大无关组是等价的.
一、最大线性无关向量组
定义１ 设有向量组A，如果在A中能选出r个向量
1,2 , ,r，满足 （1）向量组A0 :1, 2 , , r线性无关；
（2）向量组A中任意r 1个向量（如果A中有
推论1 等价的向量组的秩相等. 证 设向量组A与向量组B的秩依次为 s和 r. 因两个向量组等价，即两个向量组能相互线性表 示，故s r与r s同时成立, 所以s r.
推论2
设
Cmn
Am
s
Bs
，则
n
R(C ) R( A), R(C ) R(B).
证 设矩阵C和A用其列向量表示为 C (c1 , ,cn ), A (a1 , ,as ). 而B (bij )，