第12讲 二次函数
考点12 二次函数(精讲)(解析版)
考点12.二次函数（精讲）【命题趋势】二次函数作为初中三大函数考点最多，出题最多，难度最大的函数，一直都是各地中考数学中最重要的考点，年年都会考查，总分值为15-20分。
而对于二次函数图象和性质的考查，也主要集中在二次函数的图象、图象与系数的关系、与方程及不等式的关系、图象上点的坐标特征等几大方面。
题型变化较多，考生复习时需要熟练掌握相关知识，熟悉相关题型，认真对待该考点的复习。
【知识清单】1：二次函数的相关概念（☆☆）1）二次函数的概念：一般地，形如y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）的函数，叫做二次函数．2）二次函数解析式的三种形式（1）一般式：y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 为常数，a ≠0）．（2）顶点式：y =a （x –h ）2+k （a ，h ，k 为常数，a ≠0），顶点坐标是（h ，k ）．（3）交点式：y =a （x –x 1）（x –x 2），其中x 1，x 2是二次函数与x 轴的交点的横坐标，a ≠0．2：二次函数的图象与性质（☆☆☆）解析式二次函数y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）对称轴x =–2b a顶点（–2b a ，244ac b a-）a 的符号a >0a <0图象开口方向开口向上开口向下最值当x =–2b a 时，y 最小值=244ac b a-。
当x =–2b a 时，y 最大值=244ac b a-。
最点抛物线有最低点抛物线有最高点增减性当x <–2ba时，y 随x 的增大而减小；当x >–2ba时，y 随x 的增大而增大当x <–2ba时，y 随x 的增大而增大；当x >–2ba时，y 随x 的增大而减小（1）二次函数图象的翻折与旋转抛物线y=a (x -h )²+k ，绕顶点旋转180°变为：y =-a (x -h )²+k ；绕原点旋转180°变为：y =-a (x+h )²-k ；沿x 轴翻折变为：y =-a (x-h )²-k ；沿y 轴翻折变为：y =a (x+h )²+k ；（2）二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则；二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的平移求出变化后的解析式．3：二次函数与各项系数之间的关系（☆☆☆）1）抛物线开口的方向可确定a 的符号：抛物线开口向上，a ＞0；抛物线开口向下，a ＜02）对称轴可确定b 的符号（需结合a 的符号）：对称轴在x 轴负半轴，则2b x a =-＜0，即ab ＞0；对称轴在x 轴正半轴，则2bx a=-＞0，即ab ＜03）与y 轴交点可确定c 的符号：与y 轴交点坐标为（0，c ），交于y 轴负半轴，则c ＜0；交于y 轴正半轴，则c ＞04）特殊函数值符号（以x =1的函数值为例）：若当x =1时，若对应的函数值y 在x 轴的上方，则a+b+c ＞0；若对应的函数值y 在x 轴上方，则a+b+c =0；若对应的函数值y 在x 轴的下方，则a+b+c ＜0；5）其他辅助判定条件：1）顶点坐标24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭；2）若与x 轴交点()1,0A x ，()2,0B x ，则可确定对称轴为：x =122x x +；3）韦达定理：1212b x x a c x x a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩具体要考虑哪些量，需要视图形告知的条件而定。
最新中考数学总复习第一部分数与代数 第12讲 二次函数
10, 题25
数的
题22,
题25 题25 题25 题25
图象和性质
题25
题25
二次函数的 题12,4 题7,
平移
分
3分
返回
数学
二次函数的
解析式
(待定系数)
二次函数图
象的
顶点坐标、
对称轴
题
25(1),
2分
题7,3分
题
题
25(1),
25(3),
1分
1分
题
23(3),
2
2
∴k＝ 3 或 k＝2,即 k 的值为 2 或 3.
返回
数学
(3)∵函数的对称轴为直线 x＝2,当 m＜2 时,当 x＝m 时,y 有最大
4m
1
值, 3 ＝－ 3 (m－2)+3,解得 m＝± 5,∴m＝－ 5;
4m
当 m≥2 时,当 x＝2 时,y 有最大值,∴
3
9
＝3,∴m＝ .
4
9
综上所述,m 的值为－ 5或 4.
题
题23(1) 3分
23(2),
(2),6分 题
3分
25(3),
2分
题10,
3分
题
23(3),
1分
返回
数学
二次函数与一元
二次方程、不等
题
题25(1), 题10,3
题23(3),
25(1),
式
5分
分
4分
(与x轴的交点坐
2分
标)
题10,3分
题25(3), 题25(3), 题25(3), 题25(3),
A,B(－1,0)两点,则下列说法正确的是( D )
中考备考数学总复习第12讲二次函数(含解析)
第12讲 二次函数[锁定目标考试]考标要求考查角度1.理解二次函数的有关概念． 2．会用描点法画二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质． 3．会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴，并会求解二次函数的最值问题． 4．熟练掌握二次函数解析式的求法，并能用它解决有关的实际问题． 5．会用二次函数的图象求一元二次方程的近似解. 二次函数是中考考查的重点内容，题型主要有选择题、填空题及解答题，而且常与方程、不等式、几何知识等结合在一起综合考查，且一般为压轴题．命题不仅考查二次函数的概念、图象和性质等基础知识，而且注重多个知识点的综合考查以及对学生应用二次函数解决实际问题能力的考查.[导学必备知识]知识梳理一、二次函数的概念一般地，形如y ＝______________(a ，b ，c 是常数，a ≠0)的函数，叫做二次函数． 二次函数的两种形式：(1)一般形式：____________________________；(2)顶点式：y ＝a (x －h )2＋k (a ≠0)，其中二次函数的顶点坐标是________．二、二次函数的图象及性质二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0) 图象(a ＞0)(a ＜0) 开口方向 开口向上 开口向下对称轴 直线x ＝－b 2a 直线x ＝－b 2a顶点坐标 ⎝⎛⎭⎫－b 2a ，4ac －b 24a ⎝⎛⎭⎫－b 2a ，4ac －b 24a增减性 当x ＜－b 2a 时，y 随x 的增大而减小；当x ＞－b 2a 时，y 随x 的增大而增大 当x ＜－b 2a时，y 随x 的增大而增大；当x ＞－b 2a时，y 随x 的增大而减小最值 当x ＝－b 2a 时，y 有最______值4ac －b 24a 当x ＝－b 2a 时，y 有最______值4ac －b 24a三、二次函数图象的特征与a ，b ，c 及b 2－4ac 的符号之间的关系四、二次函数图象的平移抛物线y＝ax2与y＝a(x－h)2，y＝ax2＋k，y＝a(x－h)2＋k中|a|相同，则图象的________和大小都相同，只是位置不同．它们之间的平移关系如下：五、二次函数关系式的确定1．设一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．若已知条件是图象上三个点的坐标，则设一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，将已知条件代入，求出a，b，c的值．2．设交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标，则设交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，将第三点的坐标或其他已知条件代入，求出待定系数a，最后将关系式化为一般式．3．设顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)．若已知二次函数的顶点坐标或对称轴方程与最大值或最小值，则设顶点式：y＝a(x－h )2＋k (a ≠0)，将已知条件代入，求出待定系数化为一般式．六、二次函数与一元二次方程的关系1．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，当y ＝0时，就变成了ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)．2．ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的解是抛物线与x 轴交点的________．3．当Δ＝b 2－4ac ＞0时，抛物线与x 轴有两个不同的交点；当Δ＝b 2－4ac ＝0时，抛物线与x 轴有一个交点；当Δ＝b 2－4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点．4．设抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴两交点坐标分别为A (x 1,0)，B (x 2,0)，则x 1＋x 2＝________，x 1·x 2＝________.自主测试1．下列二次函数中，图象以直线x ＝2为对称轴，且经过点(0,1)的是( )A ．y ＝(x －2)2＋1B ．y ＝(x ＋2)2＋1C ．y ＝(x －2)2－3D ．y ＝(x ＋2)2－32. 如图所示的二次函数y=ax 2+bx+c 的图象中，刘星同学观察得出了下面四个结论：(1)b 2-4ac ＞0；(2)c ＞1；(3)2a-b ＜0；(4)a+b+c ＜0.你认为其中错误的有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．1个3．当m ＝__________时，函数y ＝(m －3)xm 2－7＋4是二次函数．4．(上海)将抛物线y ＝x 2＋x 向下平移2个单位，所得新抛物线的表达式是________．5．(广东珠海)如图，二次函数y ＝(x －2)2＋m 的图象与y 轴交于点C ，点B 是点C 关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数y ＝kx ＋b 的图象经过该二次函数图象上点A (1,0)及点B ．(1)求二次函数与一次函数的解析式；(2)根据图象，写出满足kx ＋b ≥(x －2)2＋m 的x 的取值范围．[探究重难方法]考点一、二次函数的图象及性质【例1】 (1)二次函数y ＝－3x 2－6x ＋5的图象的顶点坐标是( )A ．(－1,8)B ．(1,8)C ．(－1,2)D ．(1，－4)(2)已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)的对称轴为直线x ＝1，且经过点(－1，y 1)，(2，y 2)，试比较y 1和y 2的大小：y 1________y 2.(填“＞”“＜”或“＝”)解析：(1)抛物线的顶点坐标可以利用顶点坐标公式或配方法来求．∵－b 2a＝－－62×(－3)＝－1， 4ac －b 24a ＝4×(－3)×5－(－6)24×(－3)＝8， ∴二次函数y ＝－3x 2－6x ＋5的图象的顶点坐标是(－1,8)．故选A ．(2)点(－1，y1)，(2，y2)不在对称轴的同一侧，不能直接利用二次函数的增减性来判断y1，y2的大小，可先根据抛物线关于对称轴的对称性，然后再用二次函数的增减性即可．设抛物线经过点(0，y3)，∵抛物线对称轴为直线x＝1，∴点(0，y3)与点(2，y2)关于直线x＝1对称．∴y3＝y2.∵a＞0，∴当x＜1时，y随x的增大而减小．∴y1＞y3.∴y1＞y2.答案：(1)A(2)＞方法总结1.将抛物线解析式写成y＝a(x－h)2＋k的形式，则顶点坐标为(h，k)，对称轴为直线x＝h，也可应用对称轴公式x＝－b2a ，顶点坐标⎝⎛⎭⎪⎫－b2a，4ac－b24a来求对称轴及顶点坐标．2．比较两个二次函数值大小的方法：(1)直接代入自变量求值法；(2)当自变量在对称轴两侧时，看两个数到对称轴的距离及函数值的增减性判断；(3)当自变量在对称轴同侧时，根据函数值的增减性判断．触类旁通1已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图，则下列结论中正确的是()A．a＞0 B．当x＞1时，y随x的增大而增大C．c＜0 D．3是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根考点二、利用二次函数图象判断a，b，c的符号【例2】如图，是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的一部分，给出下列命题：①a ＋b＋c＝0；②b＞2a；③ax2＋bx＋c＝0的两根分别为－3和1；④a－2b＋c＞0.其中正确的命题是__________．(只要求填写正确命题的序号)解析：由图象可知过(1,0)，代入得到a＋b＋c＝0；根据－b2a＝－1，推出b＝2a；根据图象关于对称轴对称，得出与x轴的交点是(－3,0)，(1,0)；由a－2b＋c＝a－2b－a－b＝－3b＜0，根据结论判断即可．答案：①③方法总结根据二次函数的图象确定有关代数式的符号，是二次函数中的一类典型的数形结合问题，具有较强的推理性．解题时应注意a决定抛物线的开口方向，c决定抛物线与y轴的交点，抛物线的对称轴由a，b共同决定，b2－4ac决定抛物线与x轴的交点情况．当x＝1时，决定a＋b＋c的符号，当x＝－1时，决定a－b＋c的符号．在此基础上，还可推出其他代数式的符号．运用数形结合的思想更直观、更简捷．触类旁通2小明从如图的二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象中，观察得出了下面五个结论：①c＜0；②abc＞0；③a－b＋c＞0；④2a－3b＝0；⑤c－4b＞0，你认为其中正确的结论有()A．2个 B．3个C．4个 D．5个考点三、二次函数图象的平移【例3】二次函数y＝－2x2＋4x＋1的图象怎样平移得到y＝－2x2的图象()A．向左平移1个单位，再向上平移3个单位B．向右平移1个单位，再向上平移3个单位C．向左平移1个单位，再向下平移3个单位D．向右平移1个单位，再向下平移3个单位解析：首先将二次函数的解析式配方化为顶点式，然后确定如何平移，即y＝－2x2＋4x＋1＝－2(x－1)2＋3，将该函数图象向左平移1个单位，再向下平移3个单位就得到y＝－2x2的图象．答案：C方法总结二次函数图象的平移实际上就是顶点位置的变换，因此先将二次函数解析式转化为顶点式确定其顶点坐标，然后按照“左加右减、上加下减”的规律进行操作．触类旁通3将二次函数y＝x2的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数解析式是()A．y＝(x－1)2＋2 B．y＝(x＋1)2＋2 C．y＝(x－1)2－2 D．y＝(x＋1)2－2考点四、确定二次函数的解析式【例4】如图，四边形ABCD是菱形，点D的坐标是(0，3)，以点C为顶点的抛物线y=ax2+bx+c恰好经过x轴上A，B两点．(1)求A，B，C三点的坐标；(2)求经过A，B，C三点的抛物线的解析式．解：(1)由抛物线的对称性可知AE＝BE.∴△AOD≌△BEC．∴OA＝EB＝EA．设菱形的边长为2m，在Rt△AOD中，m2＋(3)2＝(2m)2，解得m＝1.∴DC＝2，OA＝1，OB＝3.∴A ，B ，C 三点的坐标分别为(1,0)，(3,0)，(2，3)． (2)解法一：设抛物线的解析式为y ＝a (x －2)2＋3，代入A 的坐标(1,0)，得a ＝－ 3. ∴抛物线的解析式为y ＝－3(x －2)2＋ 3.解法二：设这个抛物线的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，由已知抛物线经过A (1,0)，B (3,0)，C (2，3)三点，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＋c ＝0，9a ＋3b ＋c ＝0，4a ＋2b ＋c ＝3，解这个方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3，b ＝43，c ＝－3 3.∴抛物线的解析式为y ＝－3x 2＋43x －3 3.方法总结 用待定系数法求二次函数解析式，需根据已知条件，灵活选择解析式：若已知图象上三个点的坐标，可设一般式；若已知二次函数图象与x 轴两个交点的横坐标，可设交点式；若已知抛物线顶点坐标或对称轴与最大(或小)值，可设顶点式．触类旁通4 已知抛物线y ＝－12x 2＋(6－m 2)x ＋m －3与x 轴有A ，B 两个交点，且A ，B 两点关于y 轴对称．(1)求m 的值；(2)写出抛物线的关系式及顶点坐标．考点五、二次函数的实际应用【例5】 我市某镇的一种特产由于运输原因，长期只能在当地销售．当地政府对该特产的销售收益为：每投入x 万元，可获得利润P ＝－1100(x －60)2＋41(万元)．当地政府拟在“十二·五”规划中加快开发该特产的销售，其规划方案为：在规划前后对该项目每年最多可投入100万元的销售，在实施规划5年的前两年中，每年都从100万元中拨出50万元用于修建一条公路，两年修成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的3年中，该特产既在本地销售，也在外地销售．在外地销售的收益为：每投入x 万元，可获利润Q ＝－99100(100－x )2＋2945(100－x )＋160(万元)． (1)若不进行开发，求5年所获利润的最大值是多少；(2)若按规划实施，求5年所获利润(扣除修路后)的最大值是多少；(3)根据(1)、(2)，该方案是否具有实施价值？解：(1)当x ＝60时，P 最大且为41万元，故五年获利最大值是41×5＝205(万元)．(2)前两年：0≤x ≤50，此时因为P 随x 的增大而增大，所以x ＝50时，P 值最大且为40万元，所以这两年获利最大为40×2＝80(万元)．后三年：设每年获利为y 万元，当地额为x 万元，则外地额为(100－x )万元，所以y ＝P ＋Q ＝⎣⎡⎦⎤－1100(x －60)2＋41＋⎝⎛⎭⎫－99100x 2＋2945x ＋160＝－x 2＋60x ＋165＝－(x －30)2＋1 065，表明x ＝30时，y 最大且为1 065，那么三年获利最大为1 065×3＝3 195(万元)，故五年获利最大值为80＋3 195－50×2＝3 175(万元)．(3)有极大的实施价值．方法总结 运用二次函数的性质解决生活和实际生产中的最大值和最小值问题是最常见的题目类型，解决这类问题的方法是：1．列出二次函数的关系式，列关系式时，要根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围．2．在自变量取值范围内，运用公式法或配方法求出二次函数的最大值和最小值． 触类旁通5一玩具厂去年生产某种玩具，成本为10元/件，出厂价为12元/件，年销售量为2万件．今年计划通过适当增加成本来提高产品档次，以拓展市场．若今年这种玩具每件的成本比去年成本增加0.7x 倍，今年这种玩具每件的出厂价比去年出厂价相应提高0.5x 倍，则预计今年年销售量将比去年年销售量增加x 倍(本题中0＜x ≤11)．(1)用含x 的代数式表示，今年生产的这种玩具每件的成本为__________元，今年生产的这种玩具每件的出厂价为__________元；(2)求今年这种玩具的每件利润y (元)与x 之间的函数关系式；(3)设今年这种玩具的年销售利润为w 万元，求当x 为何值时，今年的年销售利润最大？最大年销售利润是多少万元？注：年销售利润＝(每件玩具的出厂价－每件玩具的成本)×年销售量．[品鉴经典考题]1．(湖南株洲)如图，已知抛物线与x 轴的一个交点为A (1,0)，对称轴是x ＝－1，则抛物线与x 轴的另一个交点坐标是( )A ．(－3,0)B ．(－2,0)C ．x ＝－3D ．x ＝－2 2．(湖南郴州)抛物线y ＝(x －1)2＋2的顶点坐标是( )A ．(－1,2)B ．(－1，－2)C ．(1，－2)D ．(1,2)3. (湖南娄底)已知二次函数y ＝x 2－(m 2－2)x －2m 的图象与x 轴交于点A (x 1,0)和点B (x 2,0)，x 1＜x 2，与y 轴交于点C ，且满足1x 1＋1x 2＝12.(1)求这个二次函数的解析式；(2)探究：在直线y ＝x ＋3上是否存在一点P ，使四边形P ACB 为平行四边形？如果有，求出点P 的坐标；如果没有，请说明理由．4．(湖南长沙)在长株潭建设两型社会的过程中，为推进节能减排，发展低碳经济，我市某公司以25万元购得某项节能产品的生产技术后，再投入100万元购买生产设备，进行该产品的生产加工．已知生产这种产品的成本价为每件20元．经过市场调研发现，该产品的销售单价定在25元到30元之间较为合理，并且该产品的年销售量y (万件)与销售单价x (元)之间的函数关系式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧40－x ，25≤x ≤30，25－0.5x ，30<x ≤35(年获利＝年销售收入－生产成本－成本)．(1)当销售单价定为28元时，该产品的年销售量为多少万件？(2)求该公司第一年的年获利W (万元)与销售单价x (元)之间的函数关系式，并说明的第一年，该公司是盈利还是亏损？若盈利，最大利润是多少？若亏损，最小亏损是多少？(3)第二年，该公司决定给希望工程捐款Z 万元，该项捐款由两部分组成：一部分为10万元的固定捐款；另一部分则为每销售一件产品，就抽出一元钱作为捐款．若除去第一年的最大获利(或最小亏损)以及第二年的捐款后，到第二年年底，两年的总盈利不低于67.5万元，请你确定此时销售单价的范围．5. (湖南湘潭)如图，抛物线y ＝ax 2－32x －2(a ≠0)的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，已知B 点坐标为(4,0)．(1)求抛物线的解析式；(2)试探究△ABC 的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；(3)若点M 是线段BC 下方的抛物线上一点，求△MBC 的面积的最大值，并求出此时M 点的坐标．[研习预测试题]1．抛物线y ＝x 2－6x ＋5的顶点坐标为( )A ．(3，－4)B ．(3,4)C ．(－3，－4)D ．(－3,4)2．由二次函数y ＝2(x －3)2＋1，可知( )A ．其图象的开口向下B ．其图象的对称轴为直线x ＝－3C ．其最小值为1D ．当x ＜3时，y 随x 的增大而增大3．已知函数y ＝(k －3)x 2＋2x ＋1的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是( )A ．k ＜4B ．k ≤4C ．k ＜4且k ≠3D ．k ≤4且k ≠34．如图，平面直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，则下列关系正确的是( )(第4题图) A ．m ＝n ，k ＞h B ．m ＝n ，k ＜h C ．m ＞n ，k ＝hD ．m ＜n ，k ＝h5．如图，已知二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象经过点A (－1,0)，B (1，－2)，该图象与x 轴的另一交点为C ，则AC 长为__________．(第5题图)6．抛物线y＝ax2＋bx＋c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：x …－2－1012…y …04664…从上表可知，下列说法中正确的是__________．(填写序号)①抛物线与x轴的一个交点为(3,0)；②函数y＝ax2＋bx＋c的最大值为6；③抛物线的对称轴是直线x＝1 2；④在对称轴左侧，y随x增大而增大．7．抛物线y＝－x2＋bx＋c的图象如图所示，若将其向左平移2个单位，再向下平移3个单位，则平移后的解析式为__________．8．长江中下游地区发生了特大旱情，为抗旱保丰收，某地政府制定了农户购买抗旱设备的补贴办法，其中购买Ⅰ型、Ⅱ型抗旱设备所的金额与政府补贴的额度存在下表所示的函数对应关系.(1)分别求y1和y2的函数解析式；(2)有一农户同时对Ⅰ型、Ⅱ型两种设备共10万元购买，请你设计一个能获得最大补贴金额的方案，并求出按此方案能获得的最大补贴金额．9．如图，已知二次函数L1：y＝x2－4x＋3与x轴交于A，B两点(点A在点B的左边)，与y轴交于点C．(1)写出二次函数L 1的开口方向、对称轴和顶点坐标；(2)研究二次函数L 2：y ＝kx 2－4kx ＋3k (k ≠0)．①写出二次函数L 2与二次函数L 1有关图象的两条相同的性质；②若直线y ＝8k 与抛物线L 2交于E ，F 两点，问线段EF 的长度是否发生变化？如果不会，请求出EF 的长度；如果会，请说明理由． 参考答案【知识梳理】一、ax 2＋bx ＋c (1)y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 是常数，a ≠0) (2)(h ，k )二、小 大三、y 轴 左 右四、形状六、2.横坐标 4.－b a c a导学必备知识自主测试1．C2．D ∵抛物线与x 轴有两个交点，∴b 2－4ac ＞0；与y 轴交点在(0,0)与(0,1)之间，∴0＜c ＜1，∴(2)错；∵－b 2a ＞－1，∴b 2a＜1，∵a ＜0，∴2a ＜b ，∴2a －b ＜0； 当x ＝1时，y ＝a ＋b ＋c ＜0，故选D.3．－3 由题意，得m 2－7＝2且m －3≠0，解得m ＝－3.4．y ＝x 2＋x －2 因为抛物线向下平移2个单位，则y 值在原来的基础上减2，所以新抛物线的表达式是y ＝x 2＋x －2.5．解：(1)由题意，得(1－2)2＋m ＝0，解得m ＝－1，∴y ＝(x －2)2－1.当x ＝0时，y ＝(0－2)2－1＝3，∴C (0,3)．∵点B 与C 关于直线x ＝2对称，∴B (4,3)．于是有⎩⎪⎨⎪⎧ 0＝k ＋b ，3＝4k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝1，b ＝－1.∴y ＝x －1.(2)x 的取值范围是1≤x ≤4.探究考点方法触类旁通1.D触类旁通2.C ∵抛物线开口向上，∴a ＞0；∵抛物线与y 轴交于负半轴，∴c ＜0；对称轴在y 轴右侧，a ，b 异号，故b ＜0，∴abc ＞0.由题图知当x ＝－1时，y ＞0，即a －b ＋c ＞0.对称轴是直线x ＝13， ∴－b 2a ＝13，即2a ＋3b ＝0； 由⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c >0，2a ＋3b ＝0，得c －52b ＞0. 又∵b ＜0，∴c －4b ＞0.∴正确的结论有4个．触类旁通3.A 因为将二次函数y ＝x 2向右平移1个单位，得y ＝(x －1)2，再向上平移2个单位后，得y ＝(x －1)2＋2，故选A.触类旁通4.解：(1)∵抛物线与x 轴的两个交点关于y 轴对称，∴抛物线的对称轴即为y 轴．∴－6－m 22×⎝⎛⎭⎫－12＝0. ∴m ＝±6.又∵抛物线开口向下，∴m －3＞0，即m ＞3. ∴m ＝6.(2)∵m ＝6，∴抛物线的关系式为y ＝－12x 2＋3，顶点坐标为(0,3)． 触类旁通5.解：(1)(10＋7x ) (12＋6x )(2)y ＝(12＋6x )－(10＋7x )＝2－x .(3)∵w ＝2(1＋x )(2－x )＝－2x 2＋2x ＋4，∴w ＝－2(x －0.5)2＋4.5.∵－2＜0,0＜x ≤11，∴当x ＝0.5时，w 最大＝4.5(万元)．答：当x 为0.5时，今年的年销售利润最大，最大年销售利润是4.5万元． 品鉴经典考题1．A 点A 到对称轴的距离为2，由抛物线的对称性知，另一个交点的横坐标为－3，所以另一个交点坐标为(－3,0)．2．D3．解：(1)由已知得x 1＋x 2＝m 2－2，x 1x 2＝－2m .∵1x 1＋1x 2＝12，即x 1＋x 2x 1x 2＝12， ∴m 2－2－2m ＝12， 解得m ＝1或m ＝－2.当m ＝1时，y ＝x 2＋x －2，得A (－2,0)，B (1,0)；当m ＝－2时，y ＝x 2－2x ＋4，与x 轴无交点，舍去．∴这个二次函数的解析式为y ＝x 2＋x －2.(2)由(1)得A (－2,0)，B (1,0)，C (0，－2)．假设存在一点P ，使四边形P ACB 是平行四边形，则PB ∥AC 且PB ＝AC ，根据平移知识可得P (－1,2)，经验证P (－1,2)在直线y ＝x ＋3上，故在直线y ＝x ＋3上存在一点P (－1,2)，使四边形P ACB 为平行四边形．4．解：(1)当x ＝28时，y ＝40－28＝12.所以，产品的年销售量为12万件．(2)①当25≤x ≤30时，W ＝(40－x )(x －20)－25－100＝－x 2＋60x －925＝－(x －30)2－25，故当x ＝30时，W 最大为－25，即公司最少亏损25万元；②当30＜x ≤35时，W ＝(25－0.5x )(x －20)－25－100＝－12x 2＋35x －625＝－12(x －35)2－12.5，故当x ＝35时，W 最大为－12.5，及公司最少亏损12.5万元，综上所述，的第一年，公司亏损，最少亏损是12.5万元；(3)①当25≤x ≤30时，W ＝(40－x )(x －20－1)－12.5－10＝－x 2＋61x －862.5， 令W ＝67.5，则－x 2＋61x －862.5＝67.5，化简得x 2－61x ＋930＝0，x 1＝30，x 2＝31，此时，当两年的总盈利不低于6.75万元时，x ＝30.②当30＜x ≤35时，W ＝(25－0.5x )(x －20－1)－12.5－10＝－12x 2＋35.5x －547.5， 令W ＝67.5，则－12x 2＋35.5x －547.5＝67.5， 化简得x 2－71x ＋1 230＝0，x 1＝30，x 2＝41，此时，当两年的总盈利不低于67.5万元时，30＜x ≤35.所以，到第二年年底，两年的总盈利不低于67.5万元，此时销售单价的范围是30≤x ≤35.5．解：(1)将点B (4,0)代入y ＝ax 2－32x －2(a ≠0)中，得a ＝12.∴抛物线的解析式为y ＝12x 2－32x －2. (2)∵当12x 2－32x －2＝0时，解得x 1＝4，x 2＝－1， ∴A 点坐标为(－1,0)，则OA ＝1.∵当x ＝0时，y ＝12x 2－32x －2＝－2，∴C 点坐标为(0，－2)，则OC ＝2.在Rt △AOC 与Rt △COB 中，OA OC ＝OC OB ＝12， ∴Rt △AOC ∽Rt △COB .∴∠ACO ＝∠CBO .∴∠ACB ＝∠ACO ＋∠OCB ＝∠CBO ＋∠OCB ＝90°.∴△ABC 为直角三角形．∴△ABC 的外接圆的圆心为AB 中点，其坐标为⎝⎛⎭⎫32，0.(3)连接OM .设M 点坐标为⎝⎛⎭⎫x ，12x 2－32x －2，则S △MBC ＝S △OBM ＋S △OCM －S △OBC ＝12×4×⎝⎛⎭⎫－12x 2＋32x ＋2＋12×2×x －12×2×4 ＝－(x －2)2＋4.∴当x ＝2时，△MBC 的面积有最大值为4，点M 的坐标为(2，－3)．研习预测试题1．A 2.C3．D 由题意，得22－4(k －3)≥0，且k －3≠0，解得k ≤4且k ≠3，故选D.4．A5．3 ∵把A (－1,0)，B (1，－2)代入y ＝x 2＋bx ＋c 得⎩⎪⎨⎪⎧1－b ＋c ＝0，1＋b ＋c ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－1，c ＝－2，∴y ＝x 2－x －2，解x 2－x －2＝0得x 1＝－1，x 2＝2， ∴C 点坐标为(2,0)，∴AC ＝3.6．①③④ 由图表可知当x ＝0时，y ＝6；当x ＝1时，y ＝6，∴抛物线的对称轴是直线x ＝12，③正确；∵抛物线与x 轴的一个交点为(－2,0)，对称轴是直线x ＝12，∴抛物线与x 轴的另一个交点为(3,0)，①正确；由图表可知，在对称轴左侧，y 随x 增大而增大，④正确；当x ＝12时，y 取得最大值，②错误． 7．y ＝－x 2－2x 由题中图象可知，对称轴为直线x ＝1，所以－b －2＝1，即b ＝2.把点(3,0)代入y ＝－x 2＋2x ＋c ，得c ＝3.故原图象的解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3，即y ＝－(x －1)2＋4，然后向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得y ＝－(x －1＋2)2＋4－3，即y ＝－x 2－2x .8．解：(1)由题意，得5k ＝2，∴k ＝25，∴y 1＝25x ；⎩⎪⎨⎪⎧ 4a ＋2b ＝2.4，16a ＋4b ＝3.2，∴⎩⎨⎧ a ＝－15，b ＝85，∴y 2＝－15x 2＋85x . (2)设该农户t 万元购Ⅱ型设备，(10－t )万元购Ⅰ型设备，共获补贴Q 万元．∴y 1＝25(10－t )＝4－25t ，y 2＝－15t 2＋85t . ∴Q ＝y 1＋y 2＝4－25t －15t 2＋85t ＝－15t 2＋65t ＋4＝－15(t －3)2＋295.∴当t ＝3时，Q 最大＝295. ∴10－t ＝7.即7万元购Ⅰ型设备，3万元购Ⅱ型设备，能获得最大补贴金额，最大补贴金额为5.8万元．9．解：(1)二次函数L 1的开口向上，对称轴是直线x ＝2，顶点坐标(2，－1)．(2)①二次函数L 2与L 1有关图象的两条相同的性质：对称轴为直线x ＝2或顶点的横坐标为2；都经过A (1,0)，B (3,0)两点．②线段EF 的长度不会发生变化．∵直线y ＝8k 与抛物线L 2交于E ，F 两点，∴kx 2－4kx ＋3k ＝8k ，∵k ≠0，∴x 2－4x ＋3＝8，解得x 1＝－1，x 2＝5.∴EF ＝x 2－x 1＝6，∴线段EF 的长度不会发生变化．。
二次函数的图象与性质(共46张PPT)
┃考点自主梳理与热身反馈 ┃ 考点1 求二次函数的解析式
第12讲┃ 二次函数的图象与性质
第12讲┃ 二次函数的图象与性质
第12讲┃ 二次函数的图象与性质
【归纳总结】
第12讲┃ 二次函数的图象与性质
第12讲┃ 二次函数的图象与性质
考点2
二次函数的图象与性质 C
第12讲┃ 二次函数的图象与性质
A
第12讲┃ 二次函数的图象与性质
A
第12讲┃ 二次函数的图象与性质
【归纳总结】 抛物线
第12讲┃ 二次函数的图象与性质
减小
增大
第12讲┃ 二次函数的图象与性质
考点3 抛物线的平移 A
第12讲┃ 二次函数的图象与性质
D
第12讲┃ 二次函数的图象与性质
【归纳总结】
第12讲┃ 二次函数的图象与性质
考点4 二次函数的图象与a，b，c的关系
D
第12讲┃ 二次函数的图象与性质
第12讲┃ 二次函数的图象与性质
D
第12讲┃ 二次函数的图象与性质
【归纳总结】
原点
第12讲┃ 二次函数的图象与性质
【知识树】
第12讲┃ 二次函数的图象与性质
第12讲┃ 二次函数的图象与性质
第12讲┃ 二次函数的图象与性质
第12讲┃ 二次函数的图象与性质
D
第Байду номын сангаас2讲┃ 二次函数的图象与性质
第12讲┃ 二次函数的图象与性质
第12讲┃ 二次函数的图象与性质
第12讲┃ 二次函数的图象与性质
┃考向互动探究与方法归纳┃ 探究一 求二次函数的最值
第12讲┃ 二次函数的图象与性质
[中考点金]
第3章 第12讲 二次函数及其应用
第12讲二次函数及其应用建议用时：60分钟总分：65分得分分基础篇一、选择题(本大题共9个小题，每小题3分，共27分)1．(2020·成都)关于二次函数y＝x2＋2x－8，下列说法正确的是(D) A．图象的对称轴在y轴的右侧B．图象与y轴的交点坐标为(0，8)C．图象与x轴的交点坐标为(－2，0)和(4，0)D．y的最小值为－92．若A(－4，y1)，B(－3，y2)，C(1，y3)为二次函数y＝x2－4x＋m的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是(B)A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y3＜y1＜y2D．y1＜y3＜y23．(2020·遵义)抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是直线x＝－2.抛物线与x 轴的一个交点在点(－4，0)和点(－3，0)之间，其部分图象如图所示，下列结论中正确的个数有(C)①4a－b＝0；②c≤3a；③关于x的方程ax2＋bx＋c＝2有两个不相等的实数根；④b2＋2b＞4ac.A．1个B．2个C．3个D．4个4．(2020·泰安)在同一平面直角坐标系内，二次函数y＝ax2＋bx＋b(a≠0)与一次函数y＝ax＋b的图象可能是(C)5．(2020·眉山)已知二次函数y＝x2－2ax＋a2－2a－4(a为常数)的图象与x 轴有交点，且当x＞3时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是(D) A．a≥－2 B．a＜3C．－2≤a＜3 D．－2≤a≤36．(2020·娄底)二次函数y＝(x－a)(x－b)－2(a＜b)与x轴的两个交点的横坐标分别为m和n，且m＜n，下列结论正确的是(C)A．m＜a＜n＜b B．a＜m＜b＜nC．m＜a＜b＜n D．a＜m＜n＜b7．(2020·河北)如图，现要在抛物线y＝x(4－x)上找点P(a，b)，针对b的不同取值，所找点P的个数，三人的说法如下．甲：若b＝5，则点P的个数为0；乙：若b＝4，则点P的个数为1；丙：若b＝3，则点P的个数为1.下列判断正确的是(C)A．乙错，丙对B．甲和乙都错C．乙对，丙错D．甲错，丙对8．若抛物线y＝x2＋ax＋b与x轴的两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线．已知某定弦抛物线的对称轴为直线x＝1，将此抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线过点(B) A．(－3，－6) B．(－3，0)C．(－3，－5) D．(－3，－1)9．(2020·南充)如图，正方形四个顶点的坐标依次为(1，1)，(3，1)，(3，3)，(1，3)．若抛物线y＝ax2的图象与正方形有公共点，则实数a的取值范围是(A)A．19≤a≤3 B．19≤a≤1C．13≤a≤3 D．13≤a≤1二、填空题(本大题共3个小题，每小题3分，共9分)10．二次函数y＝x2－4x＋a在－2≤x≤3的范围内有最小值－3，则a＝1．11．(2020·益阳)某公司新产品上市30天全部售完，图1表示产品的市场日销售量与上市时间之间的关系，图2表示单件产品的销售利润与上市时间之间的关系，则最大日销售利润是1800元．12．(2020·泰安)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的y 与x的部分对应值如下表：x－5－4－202y60－6－46下列结论：①a＞0；②当x＝－2时，函数最小值为－6；③若点(－8，y1)，点(8，y2)在二次函数图象上，则y1＜y2；④方程ax 2＋bx ＋c ＝－5有两个不相等的实数根．其中，正确结论的序号是 ①③④ ．(把所有正确结论的序号都填上) 三、解答题(本大题共1个小题，共9分)13．(2020·江西)(9分)已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 是常数，a ≠0)的自变量x 与函数值y 的部分对应值如下表：x … －2 －1 0 1 2 … y…m－3n－3…(1)根据以上信息，可知抛物线开口向 ，对称轴为 ． (2)求抛物线的表达式及m ，n 的值．(3)请在图1中画出所求的抛物线．设点P 为抛物线上的动点，OP 的中点为P ′，描出相应的点P ′，再把相应的点P ′用平滑的曲线连接起来，猜想该曲线是哪种曲线？(4)设直线y ＝m (m ＞－2)与抛物线及(3)中的点P ′所在曲线都有两个交点，交点从左到右依次为A 1，A 2，A 3，A 4，请根据图象直接写出线段A 1A 2，A 3A 4之间的数量关系 ．解：(1)上，直线x ＝1.(2分)(2)把点(－1，0)，(0，－3)，(2，－3)代入y ＝ax 2＋bx ＋c 中，得⎩⎨⎧a －b ＋c ＝0，c ＝－3，4a ＋2b ＋c ＝－3，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝－2，c ＝－3.∴抛物线的表达式为y ＝x 2－2x －3. 当x ＝－2时，m ＝5；当x ＝1时，n ＝－4.(5分)(3)画出的抛物线图象如解图所示．描出点P ′的轨迹，是一条抛物线，如解图所示．(7分)(4)A3A4－A1A2＝1. (9分)【提示】设点A1，A2，A3，A4的横坐标分别为x1，x2，x3，x4.A3A4－A1A2＝(x4－x3)－(x2－x1)＝(x4＋x1)－(x3＋x2)．由题意，可知点A1，A4和点A2，A3所在抛物线的对称轴分别为直线x＝1，直线x＝12，则A3A4－A1A2＝2×1－2×12＝1.拔高篇一、选择题(本大题共1个小题，每小题3分，共3分)1．二次函数y＝ax2－2ax＋b中，当－1≤x≤4时，－2≤y≤3，则b－a的值为(D)A．－6 B．－6或7C．3 D．3或－2二、填空题(本大题共2个小题，每小题3分，共6分)2．对于任意实数m，抛物线y＝x2＋4mx＋m＋n与x轴都有交点，则n的取值范围是n≤－116．3．(2020·武汉)抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a＜0)经过A(2，0)，B(－4，0)两点，下列四个结论：①一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根为x1＝2，x2＝－4；②若点C(－5，y1)，D(π，y2)在该抛物线上，则y1＜y2；③对于任意实数t，总有at2＋bt≤a－b；④对于a的每一个确定值，若一元二次方程ax2＋bx＋c＝p(p为常数，p＞0)的根为整数，则p的值只有两个．其中正确的结论是 ①③ (填写序号)． 三、解答题(本大题共1个小题，共11分)4．(2020·十堰)(11分)某企业接到生产一批设备的订单，要求不超过12天完成．这种设备的出厂价为1 200元/台，该企业第一天生产22台设备，第二天开始，每天比前一天多生产2台．若干天后，每台设备的生产成本将会增加，设第x 天(x 为整数)的生产成本为m (元/台)，m 与x 的关系如图所示．(1)若第x 天可以生产这种设备y 台，则y 与x 的函数关系式为 ，x 的取值范围为 ．(2)第几天时，该企业当天的销售利润最大？最大利润为多少？ (3)求当天销售利润低于10 800元的天数． 解：(1)y ＝2x ＋20；1≤x ≤12. (2分)(2)设当天的销售利润为w 元．当1≤x ≤6时，w ＝(1 200－800)(2x ＋20)＝800x ＋8 000. ∵800＞0，∴w 随x 的增大而增大．(4分) ∴当x ＝6时，w 有最大值，w 最大＝800×6＋8 000＝12 800. 当6＜x ≤12时，设m 与x 的函数关系式为m ＝kx ＋b . 将点(6，800)和(10，1 000)代入m ＝kx ＋b 中， 得⎩⎨⎧6k ＋b ＝800，10k ＋b ＝1 000，解得⎩⎨⎧k ＝50，b ＝500.∴m 与x 之间的函数表达式为m ＝50x ＋500.(7分) ∴w ＝[1 200－(50x ＋500)]×(2x ＋20)＝－100x 2＋400x ＋14 000＝－100(x －2)2＋14 400.∵－100＜0，在对称轴右侧，w 随x 的增大而减小，且x 为整数， ∴当x ＝7时，w 有最大值，w 最大＝11 900. ∵12 800＞11 900，∴当x＝6时，w最大，且w＝12800.最大答：该厂第6天获得的销售利润最大，最大利润是12800元．(9分)(3)由(2)，可得1≤x≤6时，800x＋8000＜10800，解得x＜3.5.则第1～3天当天销售利润低于10800元；当6＜x≤12时，－100(x－2)2＋14400＜10800，解得x＜－4(舍去)或x＞8.∴第9～12天当天销售利润低于10800元．∴当天销售利润低于10800元的天数有7天．(11分)。
中考一轮复习--第12讲 二次函数的图象及性质
B.2个
C.3个
D.4个
答案:A
解析:由函数图象可知a<0,对称轴-1<x<0,图象与y轴的交点c>0,
函数与x轴有两个不同的交点,∴b-2a>0,b<0;Δ=b2-4ac>0;abc>0;当
x=1时,y<0,即a+b+c<0;当x=-1时,y>0,即a-b+c>0;∴(a+b+c)(ab+c)<0,即(a+c)2<b2;∴只有④是正确的.故选A.
考法1
考法2
考法3
二次函数的图象
例1(2018·山东青岛)已知一次函数y= x+c的图象如图,则二次函
数y=ax2+bx+c在平面直角坐标系中的图象可能是(
)
答案:A
考法1
考法2
考法3
解析:观察函数图象可知: <0,c>0,∴二次函数 y=ax2+bx+c 的图象
2
对称轴 x=- >0,与 y 轴的交点在 y 轴正半轴.故选 A.
第12讲 二次函数的图象及性质
考点梳理
自主测试
考点一 二次函数概念及表达式
定义:一般地,形如y=ax2+bx+c (a,b,c为常数,a≠0)的函数叫做二
次函数.
(1)一般形式:y = ax 2 + bx + c
;
(2)顶点式:y = a(x-h)2 + k(a ≠ 0),其中
二次函数的顶点坐标是(h,k)
顶点
坐标
对称轴
b 4ac-b2
2021年中考数学第十二讲 二次函数的图像和性质(33PPT)
【解析】(1)∵抛物线y=ax2-2ax-3+2a2=a(x-1)2+2a2-a-3.
∴抛物线的对称轴为直线x=1.
(2)∵抛物线的顶点在x轴上,
∴2a2-a-3=0,解得a=3 或a=-1,
2
∴抛物线为y= 3x2-3x+3或y=-x2+2x-1.
2
2
(3)∵抛物线的对称轴为x=1,则Q(3,y2)关于x=1对称点的坐标为(-1,y2),
(x-5)2+2上有两个点(x1,y1)和(x2,y2),若x1>x2>5,则
y1____>__y2.
高频考点·疑难突破
考点一 二次函数的图象和性质 【示范题1】(2020·常德中考)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,下 列结论: ①b2-4ac>0;②abc<0; ③4a+b=0;④4a-2b+c>0. 其中正确结论的个数是 ( B ) A.4 B.3 C.2 D.1
二、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质
1.当a>0时
(1)开口方向:向上. (2)顶点坐标: (__2_ba_，4ac b2 ).
4a
(3)对称轴:直线_x_____2b_a_.
(4)增减性:当x<- b 时,y随x的增大而___减__小____;
2a
当x>- b 时,y随x的增大而___增__大____.
考点三 二次函数与方程、不等式
【示范题3】(2020·贵阳中考)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过(-3,0)与
(1,0)两点,关于x的方程ax2+bx+c+m=0(m>0)有两个根,其中一个根是3.则关于x
2020 最新中考数学复习 第12讲第1课时 二次函数的图象与性质
第12讲 二次函数第1课时 二次函数的图象与性质知识点1 二次函数的概念1．关于x 的函数y ＝(m ＋1)x 2＋(m －1)x ＋m ，当m ＝0时，它是二次函数；当m ＝－1时，它是一次函数．知识点2 二次函数的图象与性质2．已知h 与t 的函数关系式为h ＝12gt 2(g 为常数，t 为时间)，则函数图象为(A )3．抛物线y ＝12x 2，y ＝x 2，y ＝－x 2的共同性质是：①都是开口向上；②都以(0，0)为顶点；③都以y 轴为对称轴；④都关于x 轴对称．其中正确的个数有(B )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．如图，抛物线顶点坐标是P(1，3)，则函数y 随自变量x 的增大而减小的x 的取值范围是(C )A ．x ＞3B ．x ＜3C ．x ＞1D ．x ＜15．二次函数y ＝x 2－2x －3的最小值是－4．知识点3 二次函数图象的平移6．抛物线y ＝(x ＋2)2－3由抛物线y ＝x 2先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到．7．将抛物线y ＝2(x －1)2＋2向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，那么得到的抛物线的表达式为y ＝2(x ＋2)2－2．知识点4 确定二次函数的解析式8．已知二次函数的图象如图，则其解析式为(B)A．y＝x2－2x＋3B．y＝x2－2x－3C．y＝x2＋2x－3D．y＝x2＋2x＋39．若抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点是A(2，1)，且经过点B(1，0)，则抛物线的函数关系式为y＝－x2＋4x－3．知识点5二次函数与方程、不等式10．抛物线y＝x2＋2x＋m－1与x轴有两个不同的交点，则m的取值范围是(A)A．m＜2 B．m＞2C．0＜m≤2 D．m＜－211．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，当y＜0时，x的取值范围是(A)A．－1＜x＜3B．x＞3C．x＜－1D．x＞3或x＜－1重难点1二次函数的图象和性质(2017·枣庄)已知函数y＝ax2－2ax－1(a是常数，a≠0)，下列结论正确的是(D)A．当a＝1时，函数图象经过点(－1，1)B．当a＝－2时，函数图象与x轴没有交点C．若a＜0，函数图象的顶点始终在x轴的下方D．若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而增大【思路点拨】(1)将a＝1代入原函数解析式，令x＝－1求出y值，由此得出A选项不符合题意；(2)将a＝2代入原函数解析式，令y＝0，根据根的判别式Δ＝8＞0，可得出当a＝－2时，函数图象与x轴有两个不同的交点，即B选项不符合题意；(3)利用配方法找出二次函数图象的顶点坐标，令其纵坐标小于零，可得出a的取值范围，由此可得出C选项不符合题意；(4)利用配方法找出二次函数图象的对称轴，结合二次函数的性质，即可得出D选项符合题意．【变式训练1】(2016·兰州)点P1(－1，y1)，P2(3，y2)，P3(5，y3)均在二次函数y＝－x2＋2x＋c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是(D)A．y3>y2>y1B．y3>y1＝y2C．y1>y2>y3D．y1＝y2>y3【变式训练2】(2017·泰安)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的y与x的部分对应值如下表：x －1 0 1 3y －3 1 3 1下列结论：①抛物线的开口向下；②其图象的对称轴为x ＝1；③当x<1时，函数值y 随x 的增大而增大；④方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根大于4.其中正确的结论有(B )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个,方法指导解决二次函数图象和性质相关题，首先需明确二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标等与解析式中相关字母的关系，若确定解析式，也可通过将解析式配方，得出函数的对称轴，顶点坐标，函数图象与坐标轴的交点等，从而画出函数大致图象，再利用数形结合思想解题．方法指导比较抛物线上点的纵坐标大小的基本方法有以下三种：(1)利用抛物线上对称点的纵坐标相等，把各点转化到对称轴的同侧，再利用二次函数的增减性进行比较； (2)当已知抛物线的解析式及相应点的横坐标时，可先求出相应点的纵坐标，然后比较大小；(3)利用“开口向上，抛物线上的点距离对称轴越近，点的纵坐标越小，开口向下，抛物线上的点距离对称轴越近，点的纵坐标越大”比较大小．重难点2 同一坐标系中的函数图象共存问题(2016·毕节)一次函数y ＝ax ＋c(a ≠0)与二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)在同一个坐标系中的图象可能是(D )【变式训练3】 函数y ＝kx与y ＝－kx 2＋k(k ≠0)在同一直角坐标系中的图象可能是(B )方法指导解决函数图象共存问题主要有以下三种方法：(1)排除法：根据已知条件中得出的结论直接排除某选项，如：本例由已知条件可知两个函数的常数项都是c ，说明两个函数图象与y 轴交于同一个点，所以排除A 选项；(2)同一法：一般可以先假定其中一种函数的图象(如：一次函数，反比例函数)，再根据函数图象得到该函数解析式中字母的范围，去判断另一个函数图象是否正确．如：本例B 选项，若一次函数图象正确，则a<0，c<0，这与抛物线开口向上相矛盾．故B 选项错误．重难点3 二次函数图象与字母系数的关系(2016·随州)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的部分图象如图所示，图象过点(－1，0)，对称轴为直线x＝2，下列结论：(1)4a ＋b ＝0；(2)9a ＋c>3b ；(3)8a ＋7b ＋2c>0；(4)若点A(－3，y 1)，点B(－12，y 2)、点C(72，y 3)在该函数图象上，则y 1<y 3<y 2；(5)若方程a(x ＋1)(x －5)＝－3的两根为x 1和x 2，且x 1<x 2，则x 1<－1<5<x 2.其中正确的结论有(B )A．2个B．3个C．4个D．5个【思路点拨】(1)利用对称轴公式判别；(2)观察形式发现当x＝－3时，y＝9a－3b＋c＜0，可得9a＋c＜3b；(3)根据对称轴为x＝2，得b＝－4a，则8a＋7b＋2c＝－20a＋2c，由a＜0，c>0，可得－20a＋2c>0；(4)抛物线的开口向下，距离对称轴越远，纵坐标越小；(5)方程a(x＋1)(x－5)＝－3的两根x1和x2为直线y＝－3与抛物线y＝a(x ＋1)(x－5)的两个交点的横坐标，这两个交点在抛物线y＝a(x＋1)(x－5)与x轴两交点的两侧，因此x1<－1<5<x2.【变式训练4】(2017·荆门)在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的大致图象如图所示，则下列结论正确的是(D)A．a<0，b<0，c>0B．－b2a＝1C．a＋b＋c<0D．关于x的方程ax2＋bx＋c＝－1有两个不相等的实数根变式训练4图变式训练5图【变式训练5】(2017·广安)如图所示，抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点为B(－1，3)，与x轴的交点A在点(－3，0)和(－2，0)之间，以下结论：①b2－4ac＝0；②a＋b＋c>0；③2a－b＝0；④c－a＝3，其中正确的有(B)A．1个B．2个C．3个D．4个方法指导解答二次函数的图象信息问题，通常先抓住抛物线的对称轴和顶点坐标，再依据图象与字母系数之间的关系求解．常考的一些式子的判断方法如下：(1)判断2a＋b与0的关系，需比较对称轴与1的大小；判断2a－b与0的关系，需比较对称轴与－1的大小；(2)判断a＋b＋c与0的关系，需看x＝1时的纵坐标，即比较x＝1时函数值与0的大小；判断a－b＋c与0的关系，需看x＝－1时的纵坐标，即比较x＝－1时函数值与0的大小；(3)判断4a＋2b＋c与0的关系，需看x＝2时的纵坐标，即比较x＝2时函数值与0的大小；判断4a－2b＋c与0的关系，需看x＝－2时的纵坐标，即比较x＝－2时函数值与0的大小．1．(人教九上教材P37练习的变式题)(2017·长沙)抛物线y＝2(x－3)2＋4的顶点坐标是(A)A．(3，4) B．(－3，4)C．(3，－4) D．(2，4)。
第3章 第12讲 二次函数的图象与性质
第12讲二次函数的图象与性质(建议用时∶60分钟)一、选择题1．(2019·衢州)二次函数y＝(x－1)2＋3图象的顶点坐标是(A)A．(1，3)B．(1，－3)C．(－1，3) D．(－1，－3)2．(2019·重庆)抛物线y＝－3x2＋6x＋2的对称轴是(C)A．直线x＝2 B．直线x＝－2C．直线x＝1 D．直线x＝－13．(2019·荆门)抛物线y＝－x2＋4x－4与坐标轴的交点个数为(C)A．0B．1C．2D．34．(2019·兰州)已知点A(1，y1)，B(2，y2)在抛物线y＝－(x＋1)2＋2上，则下列结论正确的是(A)A．2＞y1＞y2B．2＞y2＞y1C．y1＞y2＞2 D．y2＞y1＞25．(2019·河南)已知抛物线y＝－x2＋bx＋4经过(－2，n)和(4，n)两点，则n 的值为(B)A．－2 B．－4C．2 D．46．(2019·巴中)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，下列结论：①b2>4ac；②abc<0；③2a＋b－c>0；④a＋b＋c<0.其中正确的是(A)A．①④B．②④C．②③D．①②③④二、填空题7．(2019·陇南)将二次函数y＝x2－4x＋5化成y＝a(x－h)2＋k的形式为y ＝(x－2)2＋1 ．8．(2019·荆州)二次函数y＝－2x2－4x＋5的最大值是7 ．9．(2019·宜宾)将抛物线y＝2x2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得图象的解析式为y＝2(x＋1)2－2 ．10．(2019·贺州)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴是直线x＝1，其部分图象如图所示，下列说法中：①abc<0；②a－b＋c<0；③3a＋c＝0；④当－1<x<3时，y>0，正确的是①③④(填写序号)．三、解答题11．(2019·泰州)如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数图象的顶点坐标为(4，－3)，该图象与x轴相交于点A，B，与y轴相交于点C，其中点A的横坐标为1.(1)求该二次函数的表达式；(2)求tan∠ABC．解：(1)由题意可设该二次函数的表达式为y＝a(x－4)2－3(a≠0)．把A(1，0)代入，得0＝a(1－4)2－3，解得a＝1 3.故该二次函数的表达式为y＝13(x－4)2－3.(2)令x＝0，则y＝13(0－4)2－3＝73.∴OC＝7 3.∵二次函数图象的顶点坐标为(4，－3)，A(1，0)，则点B与点A关于直线x＝4对称，∴B(7，0)．∴OB＝7.∴在Rt△OBC中，tan∠OBC＝OCOB＝737＝13，即tan∠ABC＝13.12. (2019·宁波)如图，已知二次函数y＝x2＋ax＋3的图象经过点P(－2，3)．(1)求a的值和二次函数图象的顶点坐标．(2)若点Q(m，n)在该二次函数图象上：①当m＝2时，求n的值；②若点Q到y轴的距离小于2，请根据函数图象直接写出n的取值范围．解：(1)把P(－2，3)代入y＝x2＋ax＋3，得3＝(－2)2－2a＋3，解得a＝2.∴y＝x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2.∴二次函数图象的顶点坐标为(－1，2)． (2)①当m ＝2时，n ＝11. ②∵点Q 到y 轴的距离小于2， ∴|m |＜2. ∴－2＜m ＜2. ∴2≤n ＜11.13．(2019·威海)在画二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象时，甲写错了一次项的系数，列表如下：(1)求原二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的表达式；(2)对于二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，当x 时，y 的值随x 值的增大而增大；(3)若关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝k (a ≠0)有两个不相等的实数根，求k 的取值范围．解：(1)∵根据甲同学的错误可知c ＝3，根据乙同学提供的数据，选择x ＝－1，y ＝－2；x ＝1，y ＝2代入， 得⎩⎨⎧a －b ＋3＝－2，a ＋b ＋3＝2，解得⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝2.∴原二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的表达式为y ＝－3x 2＋2x ＋3. (2)＜13.(3)∵关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝k (a ≠0)有两个不相等的实数根， 即－3x 2＋2x ＋3－k ＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝4＋12(3－k )＞0.解得k ＜103.14．(2019·永州)如图，已知抛物线经过A (－3，0)，B (0，3)两点，且其对称轴为直线x ＝－1.(1)求此抛物线的解析式；(2)若点P 是抛物线上位于点A 与点B 之间的动点(不包括点A ，点B )，求△PAB 面积的最大值，并求出此时点P 的坐标．解：(1)设此抛物线的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c .根据题意，得 ⎩⎪⎨⎪⎧9a －3b ＋c ＝0，c ＝3，－b2a ＝－1，解得⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝－2，c ＝3. ∴此抛物线的解析式为y ＝－x 2－2x ＋3. (2)易知直线AB 的解析式为y ＝x ＋3.设P (m ，－m 2－2m ＋3)，过点P 作PC ∥y 轴交AB 于点C ，如解图， 则C (m ，m ＋3)，PC ＝(－m 2－2m ＋3)－(m ＋3)＝－m 2－3m . ∴S △PAB ＝12×(－m 2－3m )×3＝－32(m 2＋3m )＝－32⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋32 2＋278.∵－32＜0，－3＜m ＜0，∴当m ＝－32时，S △PAB 有最大值278，此时点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，154.一、选择题1．(2019·益阳)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列结论：①ac＜0；②b－2a＜0；③b2－4ac＜0；④a－b＋c＜0.其中正确的是(A)A．①②B．①④C．②③D．②④2．(2019·鄂州)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，对称轴是直线x ＝1.下列结论：①abc＜0；②3a＋c＞0；③(a＋c)2－b2＜0；④a＋b≤m(am＋b)(m 为实数)．其中正确的个数为(C)A．1B．2C．3D．43．(2019·达州)如图，边长都为4的正方形ABCD和正△EFG如图放置，AB 与EF在一条直线上，点A与点F重合．现将△EFG沿AB方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，当点F与点B重合时停止运动．在这个运动过程中，正方形ABCD和△EFG重叠部分的面积S与运动时间t的函数图象大致是(C)A B C D二、填空题4．(2019·济宁)如图，抛物线y ＝ax 2＋c 与直线y ＝mx ＋n 交于A (－1，p )，B (3，q )两点，则不等式ax 2＋mx ＋c ＞n 的解集是 x ＜－3或x ＞1 ．第4题图第5题图5．(2019·雅安)已知函数y ＝⎩⎨⎧－x 2＋2x （x >0），－x （x ≤0）的图象如图所示，若直线y ＝x ＋m 与该图象恰有三个不同的交点，则m 的取值范围为 0<m <14. 三、解答题6．(2019·温州)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝－12x 2＋2x ＋6的图象交x 轴于点A ，B (点A 在点B 的左侧)．(1)求点A，B的坐标，并根据该函数图象写出y≥0时x的取值范围；(2)把点B向上平移m个单位长度得点B1.若点B1向左平移n个单位长度，将与该二次函数图象上的点B2重合；若点B1向左平移(n＋6)个单位长度，将与该二次函数图象上的点B3重合．已知m＞0，n＞0，求m，n的值．解：(1) 令－12x2＋2x＋6＝0，解得x1＝－2，x2＝6.又∵点A在点B的左侧，∴A(－2，0)，B(6，0)．由函数图象得，当y≥0时，x的取值范围为－2≤x≤6.(2) 由题意得B1(6，m)，B2(6－n，m)，B3(－n，m)，易得函数图象的对称轴为直线x＝－2＋62＝2.∵点B2，点B3在二次函数图象上且纵坐标相同，∴6－n＋（－n）2＝2，解得n＝1.∴m＝－12×(－1)2＋2×(－1)＋6＝72.∴m，n的值分别为7 2，1.7．(2019·内江)两条抛物线C1：y1＝3x2－6x－1与C2：y2＝x2－mx＋n的顶点相同，C2的图象如图所示．(1)求抛物线C2的解析式．(2)点A是抛物线C2在第四象限内图象上的一动点，过点A作AP⊥x轴，P 为垂足，求AP＋OP的最大值．(3)设抛物线C2的顶点为点C，点B的坐标为(－1，－4)，问在C2的对称轴上是否存在点Q，使线段QB绕点Q顺时针旋转90°得到线段QB′，且点B′恰好落在抛物线C2上？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)∵y1＝3x2－6x－1的顶点为(1，－4)，抛物线C1：y1＝3x2－6x－1与C2：y2＝x2－mx＋n的顶点相同，∴m＝2，n＝－3.∴抛物线C2的解析式为y2＝x2－2x－3.(2)过点A作AP⊥x轴，如解图1.设A(a，a2－2a－3)．∵点A 在第四象限，∴0＜a ＜3.∴AP ＝－a 2＋2a ＋3，PO ＝a .∴AP ＋OP ＝－a 2＋3a ＋3＝－⎝⎛⎭⎪⎫a －322＋214. ∵－1＜0，0＜a ＜3，∴当a ＝32时，AP ＋OP 的最大值为214. (3)假设在C 2的对称轴上存在符合条件的点Q .如解图2，过点B ′作B ′D ⊥l 于点D ，则∠B ′DQ ＝90°.①当点Q 在顶点C 的下方时，∵B (－1，－4)，C (1，－4)，抛物线C 2的对称轴为直线x ＝1， ∴BC ⊥l ，BC ＝2，∠BCQ ＝90°.∴△BCQ ≌△QDB ′.∴B ′D ＝QC ，QD ＝BC ．设Q (1，b )，则B ′D ＝CQ ＝－4－b ，QD ＝BC ＝2. 可知B ′(－3－b ，2＋b )．∴(－3－b )2－2(－3－b )－3＝2＋ B ．解得b ＝－2或b ＝－5.∵b ＜－4，∴b ＝－5，则Q (1，－5)．②当点Q在顶点C的上方时，同理可得Q(1，－2)．综上所述，符合条件的点Q的坐标为(1，－5)或(1，－2)．。
中考数学第12讲 二次函数的图象与性质
3. (2019·梧州)已知m＞0，关于x的一元二次方程(x＋1)(x－2)－m＝0的解 为x1，x2(x1＜x2)，则下列结论正确的是(A ) A. x1＜－1＜2＜x2 B. －1＜x1＜2＜x2 C. －1＜x1＜x2＜2 D. x1＜－1＜x2＜2 4. (2020·菏泽)一次函数y＝acx＋b与二次函数y＝ax2＋bx＋c 在同一平面直角坐标系中的图象可能是( B )
其部分图象如图所示．以下结论错误的是(C)
A. abc＞0
B. 4ac－b2＜0
C. 3a＋c＞0
D. 关于x的方程ax2＋bx＋c＝n＋1无实数根
6. (2019·荆门)抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数)的顶点为P，且抛物 线经过点A(－1，0)，B(m，0)，C(－2，n)(1＜m＜3，n＜0)，下列结论：
9. (2020·河南)如图，抛物线y＝－x2＋2x＋c与x轴正半轴，y轴正半轴分别交 于点A，B，且OA＝OB，点G为抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式及点G的坐标； (2)点M，N为抛物线上两点(点M在点N的左侧)，且到对称轴的距离分别为3 个单位长度和5个单位长度，点Q为抛物线上点M，N之间(含点M，N)的一个 动点，求点Q的纵坐标yQ的取值范围．
＋ra2
＝0，即
1 a(r
)2＋b·1r
＋1＝0，
∴1r 是方程 ax2＋bx＋1＝0 的一个实数根，
即函数 y2 的图象经过点(1r ，0).
(3)解：由题意 a＞0，∴m＝4a－4 b2 ，n＝4a4－a b2 ，
∵m＋n＝0，∴4a－4 b2
＋4a－b2 4a
＝0，
∴(4a－b2)(a＋1)＝0， ∵a＋1＞0，∴4a－b2＝0，∴m＝n＝0.
第12讲 二次函数焦点与准线(学生版)
第12讲 二次函数焦点与准线知识导航抛物线的定义：我们把平面内与一个定点F 和一条直线l (l 不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
点F 叫做抛物线的焦点。
直线l 叫做抛物线的准线(高中选修2-1,P65)【例1】(1)如图，抛物线221x y =的焦点F(0,21)，准线l 的解析式为21-=y ,求证：抛物线221x y =上任意一点P 到点F 的距离等于它到直线l 的距离，即PF=PH.(2)已知点M(2,3)，F(0,21)，点P(m ，n)为抛物线221x y =上一动点，则用含m 的式子表示PF= ；PF+PM 的最小值是 .练：如图，在平面直角坐标系中，A(0,2)，点P 是抛物线1412+=x y 上一动点。
(1)过点P 作PB⊥x 轴于点B ，求证：PA=PB ；(2)若点C(2,5)，连PA ，PC ，PA+PC 是否存在最小值?如果存在，求点P 的坐标；若不存在， 说明理由.【例2】如图。
抛物线21212-=x y 与x 轴交于A 、B 两点(A 在B 的左侧)，点P 是抛物线上一动点(不包括A 、B)，PM⊥x 轴于点M.点P 的横坐标为t.(1)若,11<<-t 求证：OP+PM 为定值，并求出该值. (2)若1-<t 或,1>t 求证：OP-PM 为定值，并求出该值.练：如图，点P 为抛物线21212-=x y 上一动点，PH⊥x 轴于点H ，连OP. (1)当点P 在第一象限的抛物线上时，求PO=PH 的值; (2)当点P 在第四象限的抛物线上时，求PO+PH 的值.【例3】将抛物线C 1：34412+-=）（x y 先向左平移4个单位,再向下平移2个单位，得到抛物线C 2。
(1)直接写出抛物线C 2的解析式；(2)如图1，y 轴上是否存在定点F ，使得抛物线C 2上任意一点P 到x 轴的距离与PF 的长总相等？若存在，求出点F 的坐标；(3)如图2，D 为抛物线C 1的顶点，P 为抛物线C 2上任意一点，过点P 作PH⊥x 轴于点H ，连接DP ，求PH+PD 的最小值及此时点P 的坐标.图1 图2练：如图1，P(m ，n)是抛物线1412-=x y 上任意一点，是过点(0，-2)且与x 轴平行的直线，过点P 作直线PH⊥l 于点H.(1)填空：当m=0时，OP= ； PH= ；当m=4时，OP= ；PH= .(2)对任意点P,猜想OP 与PH 的大小关系,并证明你的猜想;(3)如图2,若A 、B 是抛物线1412-=x y 上的两个动点且AB=6,求A 、B 两点到直线l 的距离之和的最小值.图1 图2【例4】如图1，在以O 为原点的平面直角坐标系中，抛物线c bx x y ++=241与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C(0,-1).连接AC.AO=2CO,直线l .过点G(0,t)且平行于x 轴,t<-1. (1)求抛物线方程； (2)①若D(4,-m)为抛物线c bx x y ++=241上一定点，点D 到直线l 的距离记为d,当d=DO 时, 求t 的值;○2若D 为抛物线上c bx x y ++=241一动点，点D 到①中的直线l 的距离与OD 的长是否恒相等, 说明理由；(3)如图2，若E 、F 为上述抛物线上的两个动点，且EF=8，线段EF 的中点为M ，求点M 纵坐标的最小值.图1 图2练：如图,过点F(0,1)的直线b kx y +=与抛物线241x y =交于M(11,y x )和N(22,y x )两点 (其中0,021><x x ). (1)求21x x ⋅的值.(2)分别过M ，N 作直线l ：1-=y 的垂线，垂足分别是M 1,N 1，连接FM 1，FN 1，判断△M 1FN 1的形 状，并证明你的结论.练：如图,在平面直角坐标系中,A(0,2),点P 为抛物线1412+=x y 上的一点.直线）（0>=k kx y 交抛物线于点D ，P ，连接AP ，AD ，若AP=2AD ，求k 的值.。
第12讲 二次函数中的交点个数问题专题训练(原卷版)
第12讲二次函数中交点个数问题专题训练1．对于二次函数y＝ax2+bx+c，规定函数y＝是它的相关函数．已知点M，N的坐标分别为（﹣，1），（，1），连接MN，若线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象有两个公共点，则n的取值范围为（）A．﹣3＜n≤﹣1或1＜n≤B．﹣3＜n＜﹣1或1≤n≤C．n≤﹣1或1＜n≤D．﹣3＜n＜﹣1或n≥12．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣4经过点A（﹣4，0），对称轴为直线x＝﹣1．（1）求抛物线的解析式；（2）当﹣2＜x＜3时，求y的取值范围；（3）抛物线与y轴交于点B，直线AB上有一动点P，将点P向下平移1.5个单位长度，得到点Q，若抛物线与线段PQ只有一个公共点，请直接写出点P的横坐标x p的取值范围．3．定义：函数l与l'的图象关于y轴对称，点P（t，0）是x轴上一点，将函数l'的图象位于直线x＝t左侧的部分，以x轴为对称轴翻折，得到新的函数w的图象，我们称函数w是函数l的对称折函数，函数w 的图象记作F1，函数l的图象位于直线x＝t上以及右侧的部分记作F2，图象F1和F2合起来记作图象F．例如：如图，函数l的解析式为y＝x+1，当t＝1时，它的对称折函数w的解析式为y＝x﹣1（x＜1）．（1）函数l的解析式为y＝2x﹣1，当t＝﹣2时，它的对称折函数w的解析式为；（2）函数l的解析式为y＝x2﹣x﹣1，当﹣4≤x≤2且t＝0时，求图象F上点的纵坐标的最大值和最小值；（3）函数l的解析式为y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）．①若a＝1，直线y＝t﹣1与图象F有两个公共点，求t的取值范围；②当﹣5≤x≤3，且t＝2时，图象F上有4个点到x轴的距离等于2，直接写出a的取值范围．4．定义：平面直角坐标系xOy中，点P（a，b），点Q（c，d），若c＝ka，d＝﹣kb，其中k为常数，且k ≠0，则称点Q是点P的“k级变换点”．例如，点（﹣4，6）是点（2，3）的“﹣2级变换点”．（1）函数y＝﹣的图象上是否存在点（1，2）的“k级变换点”？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由；（2）点A（t，t﹣2）与其“k级变换点”B分别在直线l1，l2上，在l1，l2上分别取点（m2，y1），（m2，y2）．若k≤﹣2，求证：y1﹣y2≥2；（3）关于x的二次函数y＝nx2﹣4nx﹣5n（x≥0）的图象上恰有两个点，这两个点的“1级变换点”都在直线y＝﹣x+5上，求n的取值范围．5．已知二次函数y＝x2+bx+k的图象的对称轴为直线x＝2，将二次函数y＝x2+bx+k的图象中y轴左侧部分（x＜0）沿x轴翻折，将这部分图象与原抛物线剩余部分的图象组成的图象记为G．（1）求b的值．（2）当k＝﹣1时：①直接写出图象G对应的函数解析式；②过点（0，﹣2）作直线l平行于x轴，求出直线l与图象G的交点的横坐标．（3）已知两点A（﹣1，﹣1），B（5，﹣1），当线段AB与图象G恰有两个公共点时，直接写出k的取值范围．6．【定义】在平面直角坐标系中，有一条直线x＝m，对于任意一个函数图象，把该图象在直线x＝m上的点以及直线x＝m右边的部分向上平移n个单位长度（n＞0），再把直线x＝m左边的部分向下平移n个单位长度，得到一个新的函数图象，则这个新函数叫做原函数关于直线x＝m的“n分移函数”，例如：函数y＝x关于直线x＝0的“1分移函数”为y＝．【概念理解】（1）①已知点P1（3，3）、P2（3，4）、P3（0，﹣4），其中在函数y＝x﹣2关于直线x＝2的“2分移函数”图象上的点有；②已知点M（3，4）在函数y＝（k≠0）关于直线x＝2的“1分移函数”图象上，求k的值；【拓展探究】（2）若二次函数y＝﹣x2+2x+6关于直线x＝3的“n分移函数”与x轴有三个公共点，是否存在n，使得这三个公共点的横坐标之和为3+2，若存在请求出n的值，若不存在，请说明理由；【深度思考】（3）已知A（，0），B（0，2），C（4，0），D（0，﹣2），若函数y＝x2﹣bx（b＞0）关于直线x＝0的“3分移函数”图象与四边形ABCD的边恰好有4个公共点，请直接写出b的取值范围．7．如图1，已知抛物线y＝ax2+bx+6与轴交于点A（2，0）和点B，与y轴交于点C，∠ABC＝45°．（1）求抛物线的解析式．（2）如图2，点E为第二象限抛物线上一动点，EF⊥x轴与BC交于F，求EF的最大值，并说明此时△BCE的面积是否最大．（3）已知点D（﹣3，10），E（2，10），连接DE．若抛物线y＝ax2+bx+6向上平移k（k＞0）个单位长度时，与线段DE只有一个公共点，请求出k的取值范围．8．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的图象与x轴交于点A，B两点，点A坐标为（3，0），点B坐标为（﹣1，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的函数解析式；（2）若将直线AC绕点A顺时针旋转，交抛物线于一点P，交y轴于点D，使∠BAP＝∠BAC，求直线AP函数解析式；（3）在（2）条件下若将线段AC平移（点A，C的对应点M，N），若点M落在抛物线上且点N落在直线AP上，求点M的坐标．9．在平面直角坐标系中，坐标原点为点O，抛物线y＝x2+bx+c（b，c为常数）的对称轴为直线x＝1，且经过点A（﹣2，5），点P在该抛物线上，其横坐标为m．（1）求此抛物线对应的函数表达式；（2）当点P与点A关于抛物线的对称轴对称时，求△AOP的面积；（3）已知点M（x1，y1），点N（x2，y2）是抛物线上的点，若对于2m＜x1＜2m+1，2m+2＜x2＜2m+3，都有y1≠y2，直接写出m的取值范围；（4）设抛物线上点P与点A之间的部分（含端点）为图象G，当直线y＝1﹣4m与图象G只有一个公共点时，直接写出m的取值范围．10．【阅读理解】：关于x的函数y＝mx﹣2m﹣3（m为常数，且m≠0），经过某个定点，请求出定点的坐标．方法一：先将等式化为（x﹣2）m＝y+3的形式，再根据0m＝0时有m无数多个解，求得定点的坐标为（2，﹣3）；方法二：当m＝1时，y＝x﹣5；当m＝2时，y＝2x﹣7；解方程组解得，∴求得定点的坐标为（2，﹣3）【模仿练习】关于x的二次函数y＝mx2+（2m+1）x+1（为常数，且m≠0），是否经过定点，如果是，请选择一种方法求出定点的坐标；如果不是，请说明理由．【尝试应用】某“数学兴趣小组”根据学习函数的经验，对函数y＝﹣（x﹣1）（|x|﹣3）的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整：（1）计算x与y的几组对应值，其中m＝；列表如下：x…﹣4﹣3﹣2﹣101234…y…50﹣3m﹣3010﹣3…（2）如图，在直角坐标系中用描点法画出了函数y＝﹣（x﹣1）（|x|﹣3）这个图象；（3）若直线y＝tx﹣2t+2与函数y＝﹣（x﹣1）（|x|﹣3）（2＜x≤4）的图象只有一个交点，请结合函数图象，求出t的取值范围．11．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+mx+3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，且OB＝OC．抛物线的对称轴交抛物线于点D，交直线BC于点E．（1）求抛物线的解析式及点A的坐标；（2）P（n，0）是x轴上一动点，过点P作PQ∥y轴交直线BC于点F，交抛物线于点G．①是否存在点P，使以D、E、F、G为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求n的值，若不存在，请说明理由；②如图2，点M在直线PQ上（点M在x轴上方），且PM＝3.5个单位长度，若线段PM与直线BC和抛物线都有交点，请直接写出n的取值范围．12．如图，已知抛物线C1：y＝x2+bx+c的顶点为P，与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，﹣3），∠BAC＝45°．（1）求抛物线C1的解析式；（2）判断△ACP是否为直角三角形，并说明理由；（3）将抛物线C1经过适当平移后得到抛物线C2：y＝x2﹣2tx+p，点（1，m），（3，n），（x0，m）（x0≠1）都在抛物线C2上．若m＜n＜p，求t的取值范围及x0的取值范围；（4）在（3）的条件下，作直线AC的平行线l1和l2．直线l1经过原点，与抛物线C2交于点E，F，直线l2与抛物线C2有唯一公共点G．若S△GEF＝2，求l2的解析式．。
【2014中考复习方案】(江西专版)中考数学复习权威课件：12二次函数的图象和性质
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第12讲┃二次函数的图象和性质
赣 考 探 究
探究一 二次函数的图象特征与a，b，c之间的关系
例1 [2013· 滨州] 如图12－2，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象 与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且对称轴为x＝1，点B坐标为 (－1，0)．则下面的四个结论：①2a＋b＝0；②4a－2b＋c＜0；③ac ＞0；④当y＜0时，x＜－1或x＞2.其中正确的个数是( )
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第12讲┃二次函数的图象和性质
1 3．对于抛物线y＝－ (x＋1)2＋3，下列结论： 2 ①抛物线的开口向下； ②对称轴为直线x＝1； ③顶点坐标为(－1，3)； ④x>1时，y随x的增大而减小． 其中正确结论的个数为( C ) A．1 B． 2 C．3 D． 4
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第12讲┃二次函数的图象和性质 【归纳总结】
函数 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常 数，a≠0) a>0 a<0
图象
开口方向 对称轴 顶点坐标
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抛物线开口向上， 并向上无限延伸
抛物线开口向下， 并向下无限延伸 b 直线x＝－ 2a 2 4 ac － b b －2a， 4a
图12－2
A．1
B．2
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C．3
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D．4
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第12讲┃二次函数的图象和性质
由对称轴的位置确定①的对错；由图象上x＝－2的点的纵坐 标确定②的对错；由开口方向和图象与y轴的交点确定a，c的符号，确 定③的对错；由图象在x轴下方对应的x的值确定④的对错． b ∵－ ＝1，∴b＝－2a，即2a＋b＝0，∴①正确；∵图象上横坐标 2a x＝－2的点在x轴下方，则y＜0，即4a－2b＋c＜0，∴②正确；∵图象 开口向下，∴a＜0.∵图象与y轴交于正半轴，∴c＞0，∴ac＜0，∴③错 误；∵抛物线是轴对称图形，∴A点的坐标为(3，0)．∵图象在x轴下方 的部分对应的x的值分别是x＜－1或x＞3，∴④错误．综上所述，选B.
中考复习第12讲：二次函数
1.已知抛物线 y
1 2
x (5
2
Hale Waihona Puke m ) x m 3( m 0 )
2
与x轴有两个交点A、B，点A在x轴的正半轴，点B在x 轴的负半轴上，且OA=OB，点C为抛物线与y轴的交点。 （1）求m的值； （2）在抛物线上是否存在一点M，使S△MAC=S△OAC？ 若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。
，直线FE交AB的延长线于点
G，过线段FG上的一动点H作HM⊥AG，HN⊥AD，垂 足为M、N，设HM=x，矩形AMHN的面积为y。 （1）求x与y之间的函数关系； （2）当x为何值时，矩形AMHN的面积最大，最大面积
是多少？
D
F
C
E
N
H
A
B
M
G
考点4:利用二次函数解决实际问题
1.杂技团进行杂技表演,演员从翘翘板右端A处弹跳到人梯
中 考 复 习 第十二讲：二次函数(二)
考点1：抛物线的对称性
抛物线y=x2+bx+c的图象上有两点(3,-8)和(-5,-8),
则此抛物线的对称轴是( D )
A、x=4
B、x=3
C、x=-5
D、x=-1
考点2：抛物线型的实际问题
1. 某飞机着陆后滑行的路程 s 米与时间 t 秒的关系式为： s 60 t 1 . 5 t ，
顶端椅子B处,其身体的路线是抛物线
的一部分,如图.
y
3 5
x 3x 1
2
(1)求演员弹跳离地面的最大高度;
(2)已知人梯高BC=3.4米,在一次表演中,人梯到起跳点A的 水平距离是4米,问这次表演是否成功?请说明理由.
备战高考数学复习考点知识与题型讲解12---二次函数、幂函数
备战高考数学复习考点知识与题型讲解第12讲二次函数、幂函数考向预测核心素养二次函数一般与其他知识综合考查，幂函数的考查以图象、性质为主，题型一般为选择题、填空题，中档难度.直观想象、逻辑推理、数学抽象一、知识梳理1．常见的五种幂函数的图象2．幂函数y＝xα的性质(1)幂函数在(0，＋∞)上都有定义；(2)当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；(3)当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减．3．二次函数解析式的三种形式一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)；两根式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)． 4．二次函数的图象和性质解析式f (x )＝ax 2＋bx＋c (a >0)f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a <0)图象定义域 RR值域⎣⎢⎡⎭⎪⎫4ac －b 24a ，＋∞⎝⎛⎦⎥⎤－∞，4ac －b 24a单调性在⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上单调递减；在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞上单调递增 在⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上单调递增；在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞上单调递减 对称性 函数的图象关于直线x ＝－b2a对称 常用结论1．二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关．2．(1)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限； (2)幂函数的图象过定点(1，1)，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．(3)若幂函数y ＝x α在(0，＋∞)上单调递增，则α>0；若在(0，＋∞)上单调递减，则α<0.二、教材衍化1．(人A 必修第一册P 58T 6改编)已知函数f (x )＝ax 2＋x ＋5的图象在x 轴上方，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫0，120B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－120C.⎝ ⎛⎭⎪⎫120，＋∞ D.⎝⎛⎭⎪⎫－120，0 解析：选C.由题意知⎩⎨⎧a >0，Δ<0，即⎩⎨⎧a >0，1－20a <0，解得a >120. 2．(人A 必修第一册P 91练习T 1改编)已知幂函数f (x )＝kx α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则k ＋α＝________．解析：因为函数f (x )＝kx α是幂函数，所以k ＝1，又函数f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12α＝22，解得α＝12，则k ＋α＝32.答案：32一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)y ＝2x 12是幂函数．( )(2)根据二次函数的两个零点就可以确定函数的解析式．( )(3)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (x ∈[a ，b ])的最值是4ac －b24a.( )答案：(1)× (2)× (3)× 二、易错纠偏1．(二次函数性质不明致误)已知函数f (x )＝x 2＋4ax 在区间(－∞，6)内单调递减，则a 的取值范围是( )A ．[3，＋∞) B.(－∞，3] C ．(－∞，－3)D.(－∞，－3]解析：选D.函数f (x )＝x 2＋4ax 的图象是开口向上的抛物线，其对称轴是x ＝－2a ，由函数在区间(－∞，6)内单调递减可知，区间(－∞，6)应在直线x ＝－2a 的左侧，所以－2a ≥6，解得a ≤－3，故选D.2．(二次函数图象特征不清致误)设二次函数f (x )＝x 2－x ＋a (a >0)，若f (m )<0，则f (m －1)________0.(填“>”“<”或“＝”)解析：f (x )＝x 2－x ＋a 图象的对称轴为直线x ＝12，且f (1)>0，f (0)>0，而f (m )<0，所以m ∈(0，1)，所以m －1<0，所以f (m －1)>0.答案：>3．(幂函数概念不清致误)已知幂函数y ＝f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，22，则此函数的解析式为________；在区间________上单调递减．解析：设y ＝f (x )＝x α，因为图象过点⎝⎛⎭⎪⎫2，22，代入解析式得α＝－12，则y ＝x －12，由性质可知函数y ＝x －12在(0，＋∞)上单调递减．答案：y＝x－12(0，＋∞)考点一幂函数的图象及性质(自主练透)复习指导：通过实例，了解幂函数的概念；结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x，y＝x 12的图象，了解它们的变化情况．1．已知点⎝⎛⎭⎪⎫33，3在幂函数f(x)的图象上，则f(x)是( )A．奇函数 B.偶函数C．定义域内的减函数 D.定义域内的增函数解析：选A.设f(x)＝xα，由已知得⎝⎛⎭⎪⎫33α＝3，解得α＝－1，因此f(x)＝x－1，易知该函数为奇函数．2．(链接常用结论2)已知函数f(x)＝(m2－m－1)·x m2－2m－3是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递减，则实数m＝( )A．2 B.－1C.4D.2或－1解析：选A.由题意知m2－m－1＝1，解得m＝－1或m＝2，当m＝－1时，m2－2m－3＝0，则f(x)在(0，＋∞)上为常数，不合题意．当m＝2时，m2－2m－3＝－3，则f(x)＝x－3在(0，＋∞)上单调递减，符合题意．所以m＝2.3.若四个幂函数y＝x a，y＝x b，y＝x c，y＝x d在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则a ，b ，c ，d 的大小关系是( )A ．d >c >b >a B.a >b >c >d C ．d >c >a >bD.a >b >d >c解析：选B.由幂函数的图象可知，在(0，1)上幂函数的指数越大，函数图象越接近x 轴，由题图知a >b >c >d ，故选B.4．已知幂函数f (x )＝x (m 2＋m )－1(m ∈N *)的图象经过点(2，2)，则m ＝________，满足条件f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围为________．解析：因为f (x )的图象过点(2，2)，所以2＝2(m 2＋m )－1，所以m 2＋m ＝2，又m ∈N *，所以m ＝1.即f (x )＝x 12，其定义域为{x |x ≥0}，且在定义域上函数为增函数， 所以由f (2－a )>f (a －1)得0≤a －1<2－a ，解得1≤a <32.答案：1 1≤a <32幂函数的性质与图象特征的关系(1)幂函数的形式是y ＝x α(α∈R )，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．(2)判断幂函数y ＝x α(α∈R )的奇偶性时，当α是分数时，一般将其先化为根式，再判断．考点二 二次函数的解析式(综合研析)复习指导：理解二次函数的定义，能够根据已知条件求二次函数的解析式．已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，求二次函数f (x )的解析式．【解】 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b24a ＝8，解得⎩⎨⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.故所求二次函数为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.求二次函数解析式的策略|跟踪训练|已知二次函数f (x )的图象经过点(4，3)，在x 轴上截得的线段长为2，并且对任意x ∈R ，都有f (2－x )＝f (2＋x )，求f (x )的解析式．解：因为f (2－x )＝f (2＋x )对x ∈R 恒成立， 所以y ＝f (x )的图象关于x ＝2对称．又y＝f(x)的图象在x轴上截得的线段长为2，所以f(x)＝0的两根为2－22＝1，2＋22＝3.所以二次函数f(x)与x轴的两交点坐标为(1，0)和(3，0)．因此设f(x)＝a(x－1)(x－3)．又点(4，3)在y＝f(x)的图象上，所以3a＝3，则a＝1.故f(x)＝(x－1)(x－3)＝x2－4x＋3.考点三二次函数的图象和性质(多维探究)复习指导：理解二次函数的定义，能够根据二次函数的图象讨论性质，从数形结合的观点研究和二次函数有关的问题．角度1 二次函数的图象(1)(多选)(2022·济南月考)如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的一部分，图象过点A(－3，0)，对称轴为x＝－1，则( )A．b2＞4ac B.2a－b＝1C．a－b＋c＝0 D.5a＜b(2)设函数f(x)＝x2＋x＋a(a>0)，若f(m)<0，则( )A．f(m＋1)≥0 B.f(m＋1)≤0C．f(m＋1)>0 D.f(m＋1)<0【解析】(1)因为图象与x轴交于两点，所以b2－4ac＞0，即b2＞4ac，A正确；对称轴为x＝－1，即－b2a＝－1，2a－b＝0，B错误；结合图象，当x＝－1时，y＞0，即a－b＋c＞0，C错误；由对称轴为x＝－1知，b＝2a.根据抛物线开口向下，知a＜0，所以5a＜2a，即5a＜b，D正确．(2)因为f(x)的对称轴为x＝－12，f(0)＝a>0，所以f(x)的大致图象如图所示．由f(m)<0，得－1<m<0，所以m＋1>0，所以f(m＋1)>f(0)>0.【答案】(1)AD (2)C识别二次函数图象应学会“三看”角度2 二次函数的单调性与最值(1)若函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在区间[－1，＋∞)上单调递减，则实数a 的取值范围是( )A．[－3，0) B.(－∞，－3]C．[－2，0] D.[－3，0](2)若函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1在区间[1，2]上有最大值4，则a 的值为________． 【解析】 (1)当a ＝0时，f (x )＝－3x ＋1在[－1，＋∞)上单调递减，满足题意； 当a ≠0时，f (x )的对称轴为x ＝3－a2a， 由f (x )在[－1，＋∞)上单调递减，知⎩⎨⎧a <0，3－a 2a ≤－1，解得－3≤a <0.综上，a 的取值范围为[－3，0]． (2)f (x )＝a (x ＋1)2＋1－a .①当a ＝0时，函数f (x )在区间[1，2]上的值为常数1，不符合题意，舍去； ②当a >0时，函数f (x )在区间[1，2]上单调递增，最大值为f (2)＝8a ＋1＝4，解得a ＝38；③当a <0时，函数f (x )在区间[1，2]上单调递减，最大值为f (1)＝3a ＋1＝4，解得a ＝1，不符合题意，舍去．综上可知，a 的值为38.【答案】 (1)D (2)38若本例(1)中函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1的单调递减区间是[－1，＋∞)，则a ＝________．解析：由题意知f (x )必为二次函数且a <0， 又3－a 2a ＝－1，所以a ＝－3. 答案：－3(1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动．不论哪种类型，解题的关键都是对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论．(2)二次函数的单调性问题主要依据二次函数图象的对称轴进行分类讨论求解．|跟踪训练|1．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，若a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，则函数f (x )的图象可能是( )解析：选D.由a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，得a >0，c <0，所以函数图象开口向上，排除A ，C ；又f (0)＝c <0，排除B ，故选D.2．若函数y ＝x 2－3x ＋4的定义域为[0，m ]，值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤74，4，则m 的取值范围为( )A ．(0，4] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，4 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ 解析：选C.y ＝x 2－3x ＋4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋74的定义域为[0，m ]，显然，在x ＝0时，y ＝4，又值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤74，4，根据二次函数图象的对称性知32≤m ≤3.3．(多选)(2022·邯郸九校联盟期中)若函数f (x )＝x |x －a |在[0，2]上的最大值为2，则a 的取值可以为( )A ．1 B.3 C.2 2D.42－4解析：选AC.若a ≤0时，f (x )在[0，2]上单调递增，f (x )max ＝f (2)＝2|2－a |＝2，解得a ＝1(舍去)或a ＝3(舍去)． 若a >0时，f (x )＝⎩⎨⎧－x （x －a ），x ≤a ，x （x －a ），x >a ，当a2>2即a >4时，f (x )max ＝f (2)＝－2(2－a )＝2，解得a ＝3(舍去)． 当x >a 时，令f (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，解得x ＝（2＋1）a 2(负值舍去)．当a2≤2≤（2＋1）a 2即4(2－1)≤a ≤4时，f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝a24＝2，解得a ＝2 2. 当2>（2＋1）a2即a <4(2－1)时，f (x )max ＝f (2)＝2(2－a )＝2.解得a ＝1.[A 基础达标]1．若幂函数的图象经过点⎝⎛⎭⎪⎫2，14，则它的单调递增区间是( ) A ．(0，＋∞) B.[0，＋∞) C ．(－∞，＋∞)D.(－∞，0)解析：选D.设f (x )＝x α，则2α＝14，α＝－2，即f (x )＝x －2，它是偶函数，单调递增区间是(－∞，0)．2．若幂函数f (x )＝(m 2－4m ＋4)·xm 2－6m ＋8在(0，＋∞)上为增函数，则m 的值为( )A．1或3 B.1C.3D.2解析：选B.由题意得m2－4m＋4＝1，m2－6m＋8>0，解得m＝1.3．(2022·潍坊模拟)已知a，b，c∈R，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若f(0)＝f(4)>f(1)，则( )A．a>0，4a＋b＝0 B.a<0，4a＋b＝0C．a>0，2a＋b＝0 D.a<0，2a＋b＝0解析：选A.由f(0)＝f(4)，得f(x)＝ax2＋bx＋c图象的对称轴为x＝－b2a＝2，所以4a＋b＝0，又f(0)>f(1)，f(4)>f(1)，所以f(x)先减后增，于是a>0.4．(多选)(2022·淄博模拟)设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，对任意实数t都有f(4＋t)＝f(－t)成立，则函数值f(－1)，f(1)，f(2)，f(5)中，最小的可能是( ) A．f(－1) B.f(1)C.f(2)D.f(5)解析：选ACD.因为对任意实数t都有f(4＋t)＝f(－t)成立，所以函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴是x＝2，当a＞0时，函数值f(－1)，f(1)，f(2)，f(5)中，最小的是f(2)；当a＜0时，函数值f(－1)，f(1)，f(2)，f(5)中，最小的是f(－1)和f(5)．5．已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)x n2－3n(n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n的值为( )A．－3 B.1C.2D.1或2解析：选B.由于f (x )为幂函数，所以n 2＋2n －2＝1，解得n ＝1或n ＝－3，经检验只有n ＝1符合题意．6．(多选)由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：“已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象过点(1，0)，…，求证：这个二次函数的图象关于直线x ＝2对称．”根据现有信息，题中的二次函数可能具有的性质是( )A ．在x 轴上截得的线段的长度是2B ．与y 轴交于点(0，3)C ．顶点是(－2，－2)D ．过点(3，0)解析：选ABD.由已知得⎩⎨⎧a ＋b ＋c ＝0，－b 2a ＝2，解得b ＝－4a ，c ＝3a ，所以二次函数为y ＝a (x 2－4x ＋3)，其顶点的横坐标为2，所以顶点一定不是(－2，－2)，故选ABD.7．(2022·山东烟台模拟)若二次函数y ＝8x 2－(m －1)x ＋m －7的值域为[0，＋∞)，则m ＝________．解析：y ＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫x －m －1162＋m －7－8⎝ ⎛⎭⎪⎫m －1162， 因为值域为[0，＋∞)，所以m －7－8⎝⎛⎭⎪⎫m －1162＝0， 解得m ＝9或m ＝25. 答案：9或258．若(3－2m )12>(m ＋1)12，则实数m 的取值范围为________． 解析：因为y ＝x 12在定义域[0，＋∞)上是增函数，所以⎩⎨⎧3－2m ≥0，m ＋1≥0，3－2m >m ＋1，解得－1≤m <23.故实数m 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，23. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，239．(2022·潍坊质检)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋x ，－2≤x ≤c ，1x ，c <x ≤3.若c ＝0，则f (x )的值域是________；若f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，2，则实数c 的取值范围是________．解析：当c ＝0时，即x ∈[－2，0]时，f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，2，当x ∈(0，3]时，f (x )∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞，所以f (x )的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，＋∞.作出y ＝x 2＋x 和y ＝1x 的图象如图所示，当f (x )＝－14时，x ＝－12；当x 2＋x ＝2时，x ＝1或x ＝－2；当1x ＝2时，x ＝12，由图象可知当f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，2时，需满足12≤c ≤1.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，＋∞⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，110．已知值域为[－1，＋∞)的二次函数f (x )满足f (－1＋x )＝f (－1－x )，且方程f (x )＝0的两个实根x 1，x 2满足|x 1－x 2|＝2.(1)求f (x )的表达式；(2)函数g (x )＝f (x )－kx 在区间[－1，2]上的最大值为f (2)，最小值为f (－1)，求实数k 的取值范围．解：(1)由f (－1＋x )＝f (－1－x )可得f (x )的图象关于直线x ＝－1对称，设f (x )＝a (x ＋1)2＋h ＝ax 2＋2ax ＋a ＋h (a ≠0)，由函数f (x )的值域为[－1，＋∞)，可得h ＝－1， 根据根与系数的关系可得x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝1＋h a，所以|x 1－x 2|＝（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝－4ha＝2，解得a ＝1，所以f (x )＝x 2＋2x .(2)由题意得函数g (x )在区间[－1，2]上单调递增， 又g (x )＝f (x )－kx ＝x 2－(k －2)x . 所以g (x )的对称轴方程为x ＝k －22，则k －22≤－1，即k ≤0，故k 的取值范围为(－∞，0]．[B 综合应用]11．(多选)(2022·潍坊模拟)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x －x 2，则下列说法正确的是( )A ．f (x )的最大值为14B ．f (x )在(－1，0)上是增函数C ．f (x )＞0的解集为(－1，1)D ．f (x )＋2x ≥0的解集为[0，3]解析：选AD.由题意，得当x ≥0时，f (x )＝x －x 2＝－⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋14；当x <0时，f (x )＝－x 2－x ＝－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋122＋14，f (x )的最大值为14，A 正确；f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫－12，0上是减函数，B 错误； f (x )＞0的解集为(－1，0)∪(0，1)，C 错误； 当x ≥0时，f (x )＋2x ＝3x －x 2≥0的解集为[0，3]， 当x ＜0时，f (x )＋2x ＝x －x 2≥0无解，故D 正确．12．(2022·合肥质检)已知函数f (x )＝－2x 2＋bx ＋c ，不等式f (x )＞0的解集为(－1，3)．若对任意的x ∈[－1，0]，f (x )＋m ≥4恒成立，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，2] B.[4，＋∞) C ．[2，＋∞)D.(－∞，4]解析：选B.因为f (x )＞0的解集为(－1，3)，故－2x 2＋bx ＋c ＝0的两个根分别为－1，3，所以⎩⎪⎨⎪⎧－c 2＝－1×3，b 2＝－1＋3，即⎩⎨⎧b ＝4，c ＝6，令g (x )＝f (x )＋m ，则g (x )＝－2x 2＋4x ＋6＋m ＝－2(x －1)2＋8＋m ，由x ∈[－1，0]可得g (x )min ＝m ，又g (x )≥4在[－1，0]上恒成立，故m ≥4.13．(多选)(2022·菏泽模拟)已知函数f (x )＝|x 2－2ax ＋b |(x ∈R )，给出下列命题，其中是真命题的是( )A ．若a 2－b ≤0，则f (x )在区间[a ，＋∞)上单调递增 B ．存在a ∈R ，使得f (x )为偶函数C ．若f (0)＝f (2)，则f (x )的图象关于x ＝1对称D ．若a 2－b －2＞0，则函数h (x )＝f (x )－2有2个零点解析：选AB.对于选项A ，若a 2－b ≤0，则f (x )＝|(x －a )2＋b －a 2|＝(x －a )2＋b －a 2在区间[a ，＋∞)上单调递增，正确；对于选项B ，当a ＝0时，f (x )＝|x 2＋b |显然是偶函数，正确；对于选项C ，取a ＝0，b ＝－2，函数f (x )＝|x 2－2ax ＋b |化为f (x )＝|x 2－2|，满足f (0)＝f (2)，但f (x )的图象不关于x ＝1对称，错误；对于选项D ，如图，a 2－b －2＞0，即a 2－b ＞2，则h (x )＝|(x －a )2＋b －a 2|－2有4个零点，错误．14．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝x 2.若对任意的x ∈[a ，a ＋2]，不等式f (x ＋a )≥2f (x )恒成立，求实数a 的取值范围．解：由题意知f (x )＝⎩⎨⎧x 2，x ≥0，－x 2，x <0，则2f (x )＝f (2x )，因此原不等式等价于f (x ＋a )≥f (2x )．易知f (x )在R 上是增函数，所以x ＋a ≥2x ，即a ≥(2－1)x .又x ∈[a ，a ＋2]，所以当x ＝a ＋2时，(2－1)x 取得最大值(2－1)(a ＋2)，因此a ≥(2－1)(a ＋2)，解得a ≥ 2.故a 的取值范围是[2，＋∞)．[C 素养提升]15．(2022·兰州模拟)已知幂函数f (x )的部分对应值如表：x 112则不等式f (|x |)≤2的解集是________．解析：设幂函数为f (x )＝x α，则⎝ ⎛⎭⎪⎫12α＝22，所以α＝12，所以f (x )＝x 12.不等式f (|x |)≤2等价于|x |12≤2，所以|x |≤4， 所以－4≤x ≤4.所以不等式f (|x |)≤2的解集是[－4，4]． 答案：[－4，4]16．定义：如果在函数y ＝f (x )定义域内的给定区间[a ，b ]上存在x 0(a <x 0<b )，满足f (x 0)＝f （b ）－f （a ）b －a ，则称函数y ＝f (x )是[a ，b ]上的“平均值函数”，x 0是它的一个均值点，如y ＝x 4是[－1，1]上的“平均值函数”，0就是它的均值点．现有函数f (x )＝－x 2＋mx ＋1是[－1，1]上的“平均值函数”，求实数m 的取值范围．解：设x 0为均值点，所以f （1）－f （－1）1－（－1）＝m ＝f (x 0)，即关于x 0的方程－x 20＋mx 0＋1＝m 在(－1，1)内有实数根，解方程得x 0＝1(舍去)或x 0＝m －1.所以必有－1<m －1<1，即0<m <2，所以实数m 的取值范围是(0，2)．。
专题12 二次函数-阿氏圆求最小值(教师版)
第十二讲二次函数--阿氏圆求最值必备知识点点P 在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题；点P 在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题，“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，已知平面上两点A、B，则所有满足PA=k·PB（k≠1）的点P 的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”。
如图1所示，⊙O 的半径为r，点A、B 都在⊙O 外，P 为⊙O 上一动点，已知r=k·OB，连接PA、PB，则当“PA+k·PB”的值最小时，P点的位置如何确定？如图2，在线段OB 上截取OC 使OC=k·r，则可说明△BPO 与△PCO 相似，即k·PB=PC。
故本题求“PA+k·PB”的最小值可以转化为“PA+PC”的最小值，其中与A 与C 为定点,P 为动点，故当A、P、C 三点共线时，“PA+PC”值最小。
如图3所示：知识导航【破解策略详细步骤解析】例题演练1．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线AB交于A（﹣4，﹣4），B（0，4）两点，直线AC：y＝﹣x ﹣6交y轴于点C．点E是直线AB上的动点，过点E作EF⊥x轴交AC于点F，交抛物线于点G．（1）求抛物线y＝﹣x2+bx+c的表达式；（2）连接GB，EO，当四边形GEOB是平行四边形时，求点G的坐标；（3）①在y轴上存在一点H，连接EH，HF，当点E运动到什么位置时，以A，E，F，H为顶点的四边形是矩形？求出此时点E，H的坐标；②在①的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M为⊙E上一动点，求AM+CM它的最小值．【解答】解：（1）∵点A（﹣4，﹣4），B（0，4）在抛物线y＝﹣x2+bx+c上，∴，∴，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+4；（2）设直线AB的解析式为y＝kx+n过点A，B，∴，∴，∴直线AB的解析式为y＝2x+4，设E（m，2m+4），∴G（m，﹣m2﹣2m+4），∵四边形GEOB是平行四边形，∴EG＝OB＝4，∴﹣m2﹣2m+4﹣2m﹣4＝4，∴m＝﹣2∴G（﹣2，4）．（3）①如图1，由（2）知，直线AB的解析式为y＝2x+4，∴设E（a，2a+4），∵直线AC：y＝﹣x﹣6，∴F（a，﹣a﹣6），设H（0，p），∵以点A，E，F，H为顶点的四边形是矩形，∵直线AB的解析式为y＝2x+4，直线AC：y＝﹣x﹣6，∴AB⊥AC，∴EF为对角线，∴EF与AH互相平分，∴（﹣4+0）＝（a+a），（﹣4+p）＝（2a+4﹣a﹣6），∴a＝﹣2，P＝﹣1，∴E（﹣2，0）．H（0，﹣1）；②如图2，由①知，E（﹣2，0），H（0，﹣1），A（﹣4，﹣4），∴EH＝，AE＝2，设AE交⊙E于G，取EG的中点P，∴PE＝，连接PC交⊙E于M，连接EM，∴EM＝EH＝，∴＝，∵＝，∴＝，∵∠PEM＝∠MEA，∴△PEM∽△MEA，∴，∴PM＝AM，∴AM+CM的最小值＝PC，设点P（p，2p+4），∵E（﹣2，0），∴PE2＝（p+2）2+（2p+4）2＝5（p+2）2，∵PE＝，∴5（p+2）2＝，∴p＝﹣或p＝﹣（由于E（﹣2，0），所以舍去），∴P（﹣，﹣1），∵C（0，﹣6），∴PC＝＝，即：AM+CM的最小值为．2．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣4，﹣4），B（0，4），直线AC的解析式为y＝﹣x﹣6，且与y轴相交于点C，若点E是直线AB上的一个动点，过点E作EF⊥x轴交AC于点F．（1）求抛物线y＝﹣x2+bx+c的解析式；（2）点H是y轴上一动点，连接EH，HF，当点E运动到什么位置时，四边形EAFH是矩形？求出此时点E，H的坐标；（3）在（2）的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M为⊙E上以动点，求AM+CM 的最小值．【解答】解：（1）将点A（﹣4，﹣4），B（0，4）代入y＝﹣x2+bx+c得：，解得：，∴抛物线解析式为：y＝﹣x2﹣2x+4；（2）如图，当点E运动到（﹣2，0）时，四边形EAFH是矩形，设直线AB的解析式为y＝kx+b，将点A（﹣4，﹣4），B（0，4）代入得：，解得：，∴线AB的解析式为y＝2x+4，∵直线AC的解析式为y＝﹣x﹣6，∴AB⊥AC，∴当四边形EAFH是平行四边形时，四边形EAFH是矩形，此时，EF与AH互相平分，设E（m，2m+4），H（0，t）则F（m，﹣m﹣6），∵A（﹣4，﹣4），∴，解得：∴E（﹣2，0），H（0，﹣1）；（3）如图，由（2）可知E（﹣2，0），H（0，﹣1），A（﹣4，﹣4），∴EH＝，AE＝2，设AE交⊙E于点G，取GE的中点P，则PE＝，设P（k，2k+4），∵E（﹣2，0），∴PE2＝（k+2）2+（2k+4）2＝（）2，∴k＝﹣或k＝﹣（舍去），∴P（，﹣1），∵C（0，﹣6），∴PC＝＝，连接PC交⊙E于点M，连接EM，则EM＝EH＝，∴＝＝，∵＝＝，∴＝，∵∠PEM＝∠MEA，∴△PEM∽△MEA，∴＝＝，∴PM＝AM，∴AM+CM＝PM+CM，∴当P、M、C三点共线时，AM+CM取得最小值即PC的长，∴AM+CM最小值为．3．如图1，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴正半轴交于点A，点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．若线段AB绕点A逆时针旋转120°，点B刚好与点C重合，点B的坐标为（3，0）．（1）求抛物线的表达式；（2）抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△ACP为直角三角形？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；（3）如图2，以点B为圆心，以1为半径画圆，若点Q为⊙B上的一个动点，连接AQ，CQ，求AQ+CQ的最小值．【解答】解：（1）线段AB绕点A逆时针旋转120°，点B刚好与点C重合，∴∠CAB＝120°，AB＝AC，∴∠OAC＝60°，∴OA＝AC•cos60°＝AC，OC＝AC•sin60°＝AC，∵点B的坐标为（3，0），∴OB＝3即OA+AC＝3，∴OA＝1，AC＝2，OC＝，∴A（1，0），C（0，），又B（3，0），将A、B、C坐标代入y＝ax2+bx+c得：，解得，∴抛物线的表达式为y＝x2﹣x+；（2）抛物线y＝x2﹣x+的对称轴是直线x＝2，抛物线的对称轴上存在一点P，使△ACP为直角三角形，设P（2，m），分三种情况：①若∠PCA＝90°，如答图1：过P作PD⊥y轴于D，∵A（1，0），C（0，），P（2，m），∴OA＝1，OC＝，CD＝m﹣，PD＝2，∵∠DPC＝90°﹣∠DCP＝∠AOC，∠PDC＝∠AOC＝90°，∴△PDC∽△COA，∴即，解得m＝，∴P坐标为（2，），②若∠CAP＝90°，对称轴与x轴交于E，如答图2：∵A（1，0），C（0，），P（2，m），∴OA＝1，OC＝，PE＝m，AE＝1，同理可知△AOC∽△PEA，∴即，解得m＝，∴P（2，），③若∠APC＝90°，∵以AC为直径的圆与对称轴无交点，∴点P不存在，综上所述，△ACP为直角三角形，P坐标为（2，）或（2，）；（3）在AB上取BM，使BM＝BQ，连接CM，如答图3：∵A（1，0），B（3，0），∴AB＝2，以点B为圆心，以1为半径画圆，∴BQ＝1，∴＝，且∠QBM＝∠ABQ，∴△ABQ∽△QBM，∴，即QM＝AQ，∴AQ+CQ的最小即是QM+CQ最小，∴当C、Q、M共线时，AQ+CQ的最小为CM的长度，此时OM＝，而OC＝，∴CM＝＝，∴AQ+CQ的最小值为．4．如图，已知抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于点A，B（点A在点B的右侧），与y轴交于点C．（1）如图①，若点D为抛物线的顶点，以点B为圆心，3为半径作⊙B．点E为⊙B上的动点，连接A，DE，求DE+AE的最小值．（2）如图②，若点H是直线AC与抛物线对称轴的交点，以点H为圆心，1为半径作⊙H，点Q 是⊙H上一动点，连接OQ，AQ，求OQ+AQ的最小值；（3）如图③，点D是抛物线上横坐标为2的点，过点D作DE⊥x轴于点E，点P是以O为圆心，1为半径的⊙O上的动点，连接CD，DP，PE，求PD﹣PE的最大值．【解答】解：（1）如图1，连接BE，在BA上截取BI＝，连接IE，DI，∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴D（1，4），抛物线的对称轴为直线：x＝1，2+2x+3＝0得，x1＝﹣1，x2＝3，∴OB＝1，OA＝3，∴AB＝OA+OB＝4，∵＝，∠EBI＝∠ABE，∴△BIE∽△BEA，∴，∴IE＝AE，∴DE+AE＝DE+IE≥DI，∴当点D、E、I共线时，DE+IE最小，最小值是DI的长，∵D（1，4），I（，0），∴DI＝＝，∴DE+AE的最小值为：；（2）如图2，连接OH，QH，QI，在OH上截取HI＝，∵A（3，0），C（0，3），∴直线AC的解析式是：y＝﹣x+3，当x＝1时，y＝﹣1+3＝2，∴H（1，2），∴OH＝，∴，∵∠QHI＝∠OHQ，∴△HIQ∽△HQO，∴，∴IQ＝，∴+AQ＝IQ+AQ≥AI，∴当A、Q（图中Q′）共线时，IQ+AQ＝AI，作IE⊥OA于E，HF⊥OA于F，∴IE∥HF，∴△OEI∽△OHF，∴，∴＝，∴IE＝，OE＝，∴AE＝OA﹣OE＝3﹣＝，∴AI＝＝＝，∴的最小值为：，∵OQ+AQ＝（+AQ），∴OQ+AQ的最小值为：×＝；（3）如图3，连接OP，在OE上截取OI＝，当x＝2时，y＝﹣22+2×2+3＝3，∴D（2，3），，∠POI＝∠EOP，∴△POI∽△EOP，∴，∴PI＝，∵PD﹣PI≤DI，∴当D，P（图中P′）、I共线时，PD﹣PI最小，∵DI＝＝，∴PD﹣PE的最大值为：．5．如图，直线y＝x+2与抛物线y＝x2﹣2mx+m2+m交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，抛物线的对称轴与直线AB交于点M．（1）当四边形CODM是菱形时，求点D的坐标；（2）若点P为直线OD上一动点，求△APB的面积；′（3）作点B关于直线MD的对称点B'，以点M为圆心，MD为半径作⊙M，点Q是⊙M上一动点，求QB'+QB的最小值．【解答】解：（1）∵D（m，m），OD＝m，四边形CODM为菱形，∴OD＝OC＝2＝m，∴m＝，∴D（）；（2）∵y＝x+2与抛物线y＝x2﹣2mx+m2+m交于A、B两点，∴联立，解得，，∵点A在点B的左侧，∴A（m﹣1，m+1），B（m+2，m+4），∴AB＝＝3，∵直线OD的解析式为y＝x，直线AB的解析式为y＝x+2，∴AB∥OD，两直线AB、OD之间距离h＝2×＝，＝AB•h＝×3×＝3；∴S△APB（3）∵A（m﹣1，m+1），B（m+2，m+4），∴AM＝1×＝，BM＝2×＝2，由M点坐标（m，m+2），D点坐标（m，m）可知以MC为半径的圆的半径为（m+2）﹣m＝2，取MB的中点N，连接QB、QN、QB′，∴MN＝BM＝，∵，∠QMN＝∠BMQ，∴△MNQ∽△MQB，∴，∴，由三角形三边关系，当Q、N、B′三点共线时QB′+QB最小，∵直线AB的解析式为y＝x+2，∴直线AB与对称轴夹角为45°，∵点B、B′关于对称轴对称，∴∠BMB′＝90°，由勾股定理得，QB′+QB最小值为B'N＝＝＝．即QB'+QB的最小值是．6．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2mx+m2+m的顶点为C，（1）求点C的坐标（用含m的代数式表示）；（2）如图，当m＝0时，直线y＝x+2与抛物线交于A、B两点，点A，点B分别在抛物线的对称轴左右两侧；①抛物线的对称轴与直线AB交于点M，点G（1，3），在直线AB上，作B点关于直线MC的对称点B′，以M为圆心，MC为半径作圆，动点Q在圆周上运动时，的比值是否发生变化？若不变，求出比值；若变化，说明变化规律；②直接写出B′Q+QB的最小值．【解答】解：（1）∵y＝x2﹣2mx+m2+m＝（x﹣m）2+m，∴顶点坐标为C（m，m）；（2）①的比值不变，理由如下：∵y＝x+2与抛物线y＝x2﹣2mx+m2+m交于A、B两点，且m＝0，∴令y＝x+2＝x2，解得：x＝﹣1或2，∵点A在点B的左侧，∴A（﹣1，1），B（2，4），∴AB＝＝3，∵直线AB的解析式为y＝x+2，∴M（0，2），∴AM＝＝，∴BM＝AB﹣AM＝2，∵M（0，2），C（0，0）∴⊙M的半径为2，连接QM，∴QM＝2，∵G（1，3），∴G为BM的中点，且MG＝BM＝＝，∴＝，＝＝，∴△MGQ∽△MQB，∴＝＝，∴QG＝QB，∴；②由三角形三边关系，当Q、N、B′三点共线时QB′+QB最小，∵直线AB的解析式为y＝x+2，∴直线AB与对称轴夹角为45°，∵点B、B′关于对称轴对称，∴∠BMB′＝90°，由勾股定理得，QB′+QB最小值＝＝＝．7．如图，已知点A（﹣4，0），点B（﹣2，﹣1），直线y＝2x+b过点B，交y轴于点C，抛物线y＝ax2+x+c经过点A，C．（1）求抛物线的解析式；（2）D为直线AC上方的抛物线上一点，且tan∠ACD＝，求点D的坐标；（3）平面内任意一点P，与点O距离始终为2，连接PA，PC．直接写出PA+PC的最小值．【解答】解：（1）由题意得，﹣1＝2×（﹣2）+b，∴b＝3，∴直线AC的解析式是：y＝2x+3，∴C（0，3），∴，∴，∴抛物线的解析式是：y＝+；（2）如图1，作AF⊥CD于F，作EF⊥y轴于F，作AG⊥EF于G，∵tan∠ACO＝，tan∠ACD＝，∴∠ACD＝∠ACO，∴CE＝OC＝3，AE＝OB＝3，可得：△EFC∽△AGE，∴＝＝，设CF＝x，则AG＝OF＝3+x，∴EF＝＝（x+3），在Rt△EFC中，由勾股定理得，x2+[]2＝32，∴x1＝，x2＝﹣3（舍去），∴EF＝，OF＝，∴E（﹣，），∴直线CD的解析式是：y＝﹣x+3，由＝﹣得，x3＝0（舍去），x4＝﹣，当x＝﹣时，y＝﹣×（﹣）+3＝，∴D（﹣，）；（3）如2，∵点O距离始终为2，∴点P在以O为圆心，2为半径的圆O上运动，在OA上取OI＝1，∵∠POI＝∠AOP，＝，∴△POI∽△AOP，∴PI＝AP，∴PA+PC＝PI+PC，∴当C、P、I共线时，PI+PC最小，此时P在线段AI与⊙O的交点P′处，PI+PC＝CI，在Rt△COI中，CI＝＝＝，∴PA+PC的最小值是．8．如图，直线y＝﹣x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+x+c经过A、B两点．（1）求二次函数解析式；（2）如图1，点E在线段AB上方的抛物线上运动（不与A、B重合），过点E作ED⊥AB，交AB于点D，作EF⊥AC，交AC于点F，交AB于点M，求△DEM的周长的最大值；（3）在（2）的结论下，连接CM，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P、Q、C、M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．（4）如图2，点N的坐标是（1，0），将线段ON绕点O逆时针旋转得到ON′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接N′A、N′B，求N′A+N′B的最小值．【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，∴A（4，0），B（0，3）．∵抛物线y＝ax2+x+c经过A、B两点，解得．∴二次函数的解析式为：y＝﹣x2+x+3．（2）∵A（4，0），B（0，3）．∴OA＝4，OB＝3，∴AB＝5．∵ED⊥AB，∴∠EDM＝∠AOB＝90°，∵∠DEM+∠EMD＝∠FMA+∠BAO＝90°，∠FMA＝∠EMD，∴∠DEM＝∠BAO，∴△AOB∽△EDM，∴AO：OB：AB＝ED：DM：EM＝4：3：5，设E的横坐标为t，则E（t，﹣t2+t+3），∴M（t，﹣t+3），∴EM＝﹣t2+t+3﹣（﹣t+3）＝﹣t2+t．∴△DEM的周长为：ED+DM+EM＝EM＝﹣（t﹣2）2+，∴当t＝2时，△DEM的周长的最大值为．（3）存在以P、Q、C、M为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：由y＝﹣x2+x+3可知，C（﹣2，0），点Q的横坐标为1，由（2）知，M（2，）．①当CM为边，且点P在点Q的左侧时，有x P﹣x Q＝x C﹣x M，∴x P﹣1＝﹣2﹣2，即x P＝﹣3，∴P（﹣3，﹣）．当点P在点Q右侧时，x Q﹣x P＝x C﹣x M，∴﹣1﹣x P＝﹣2﹣2，即x P＝5，∴P（5，﹣）；②当AM为对角线时，x P+x Q＝x C+x M，∴x P+1＝﹣2+2，即x P＝﹣1，∴P（﹣1，）．综上，当以P、Q、C、M为顶点的四边形是平行四边形时，点P的坐标为（﹣3，﹣）或（5，﹣）或（﹣1，）．（4）如图，在y轴的正半轴取OG，使得OG＝，连接GN′，∵OG•OB＝1，ON2＝1，∴OG•OB＝ON2，∵∠GON′＝∠N′OB，∴△OBN′∽△ON′G，∴BN′：N′G＝OB：ON′＝3，∴N′G＝N′B，∴N′A+N′B＝N′C+N′G，∴当A，N′，G三点共线时，N'A+N'B的值最小．此时AG＝＝．∴N'A+N'B的最小值为．9．如图1，抛物线y＝ax2+bx﹣4与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为（﹣1，0），抛物线的对称轴是直线x＝．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P是直线BC下方的抛物线上一个动点，是否存在点P使四边形ABPC的面积为16，若存在，求出点P的坐标若不存在，请说明理由；（3）如图2，过点B作BF⊥BC交抛物线的对称轴于点F，以点C为圆心，2为半径作⊙C，点Q为⊙C上的一个动点，求BQ+FQ的最小值．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣4与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为（﹣1，0），抛物线的对称轴是直线x＝，∴，解得．∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣3x﹣4．（2）由（1）知抛物线的解析式为：y＝x2﹣3x﹣4．令y＝0，解得x＝﹣1或x＝4，∴A（﹣1，0），B（4，0），设直线BC的解析式为：y＝kx+n，∴，解得．∴直线BC的解析式为：y＝x﹣4．设点P的横坐标为m，则P（m，m2﹣3m﹣4），过点P作PM∥y轴交BC于点M，∴M（m，m﹣4），∴PM＝（m﹣4）﹣（m2﹣3m﹣4）＝﹣m2+4m．＝S△ABC+S△BCP∴S四边形ABPC＝×（4+1）×4+（m2﹣4m）×4＝﹣2m2+8m+10．∵四边形ABPC的面积为16，∴﹣2m2+8m+10＝16，解得m＝1或m＝3，∴P（1，﹣6）或（3，﹣4）．（3）如图，过点B作BF⊥BC交抛物线的对称轴于点F，以点C为圆心，2为半径作⊙C，∵B（4，0），C（0，﹣4），∴OB＝OC＝4，∴BC＝4，∠OBC＝45°，∵BF⊥BC，∴∠FBO＝45°，∵抛物线的对称轴是直线x＝，∴点F的纵坐标为：4﹣＝，∴F（，）．在CB上取CE＝，过点E作EG⊥OC，交y轴于点G，交抛物线对称轴于点H，∴CG＝EG＝，EH＝﹣＝1．∴FH＝6，∵CQ＝2，CE＝，BC＝4，∴＝，＝，∠QCE＝∠BCQ，∴△CQE∽△CBQ，∴＝＝，∴QE＝BQ，∴BQ+FQ＝QE+FQ≥FE，∴当F，Q，E三点共线时，取得最小值，最小值为FE的长，∵EH⊥FH，∴EF＝．则BQ+FQ的最小值为：．10．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点C（2，﹣3），且与x轴交于原点及点B（8，0），点A为抛物线的顶点．（1）求二次函数的表达式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点M，使△ABM是等腰三角形？如果存在，请求出点M的坐标．如果不存在，请说明理由；（3）若点P为⊙O上的动点，且⊙O的半径为，求的最小值．【解答】解：（1）由题意，解得：，∴二次函数的表达式为y＝x2﹣2x；（2）过点A作直线AF⊥x轴于点F，由（1）得y＝（x﹣4）2﹣4，∴抛物线的顶点A（4，﹣4），①AM＝BM，∵B（8，0），∴BF＝4，∵∠AFB＝90°，AF＝BF＝4，∴△ABF是等腰直角三角形，∴M在点F处，△ABM是等腰直角三角形，此时M为（4，0），②AB＝AM，由①得△ABF是等腰直角三角形，BF＝4，∴AB＝＝＝4，∴M为（4，﹣4﹣4）或（4，﹣4+4），③AB＝BM，∵AB＝BM，BF⊥AM，∴MF＝AF，∴M为（4，4），综上所述，M为（4，0），（4，﹣4﹣4）或（4，﹣4+4）或（4，4）；（3）如图2，以O为圆心，为半径作圆，则点P在圆周上，在OA上取点D，使OD＝，连接PD，则在△APO和△PDO中，满足：＝＝2，∠AOP＝∠POD，∴△APO∽△PDO，∴＝＝＝2，从而得：PD＝AP，∴AP+PB＝PD+PB，∴当B、P、D三点共线时，PD+PB取得最小值，过点D作DG⊥OB于点G，由于OD＝，且△ABO为等腰直角三角形，则有DG＝1，∠DOG＝45°，∴AP+PB的最小值为：AP+PB＝DB＝＝＝5．。
二次函数的动态问题
一、二次函数的地位和作用
“二次函数”是初中阶段所学有关函数知识的 重难点内容，是学习其它初等函数的基础，对 培养和提高学生用函数模型（函数思想）来解 决实际问题，有着及其重要的作用。在近五年 新疆中考题中，二次函数都是作为中考试题比 例8:1:1中“1”的压轴题出现，考察学生对函 数综合题的理解和灵活应用。 点动、线动、面动构成的问题称为动态 题．近几年来新疆中考23题几乎都是二次函数 与几何图形相结合的代几综合题。
（一）常见考点: （1）确定二次函数解析式 （2）与动点有关的存在性问题（直角、 等角、等腰三角形、直角三角形、等腰三 角形全等三角形、相似三角形、特殊四边 形等） （3）函数类最值问题 （4）运动问题中特殊位置的数量和位置 关系（大胆猜想）
• （二）解题策略： • 动点（线、面）→画出符合条件的静态图 形→设出关键点坐标→由点坐标表示线段 长→建立模型（方程）→解方程求解符合 条件的点坐标→验证符合题意
（3）根据（2）的结论找出点P、Q的坐标， 假设存在，设点M的坐标为（m， m2﹣m﹣4），则点F的坐标为（m， m﹣4），进而可得出MF的长度，利用三角 形的面积结合△BMC的面积是△PBQ面积 的1.6倍，可得出关于m的一元二次方程， 解之即可得出结论．
（2）点P从A点出发，在线段AB上以每秒2个 单位长度的速度向B点运动，同时，点Q从B点 出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度 向C点运动，当其中一个点到达终点时，另一 个点也停止运动．设运动时间为t秒，求运动时 间t为多少秒时，△PBQ的面积S最大，并求出 其最大面积；
（3）在（2）的条件下使 △BMC的面积是△PBQ面积的1.6倍？若存在， 求点M的坐标；若不存在，请说明理由．
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一、选择题
1．把抛物线 y＝－21x2 向右平移 2 个单位长度，则平移后所得
抛物线的解析式为( D )
A．y＝－12x2＋2
B．y＝－12(x＋2ห้องสมุดไป่ตู้2
C．y＝－12x2－2
D．y＝－21(x－2)2
2
2．下列对二次函数 y＝x2－x 的图象的描述，正确的是( C ) A．开口向下 B．对称轴是 y 轴 C．经过原点 D．在对称轴右侧部分是下降的
17
3
3．抛物线 y＝x2－2x＋2 的顶点坐标为( A )
A．(1，1)
B．(－1，1)
C．(1，3)
D．(－1，3)
4
4．已知二次函数 y＝x2－x＋14m－1 的图象与 x 轴有交点，则
m 的取值范围是( A )
A．m≤5
B．m≥2
C．m＜5
D．m＞2
5
5．已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象如图所示，则下列说 法正确的是( B )
15
在 Rt△ ABH 中，AB＝4，BH＝k，AH＝ 2k－k， 根据勾股定理，AH2＋BH2＝AB2， 即( 2k－k)2＋k2＝16，解得 k2＝8＋4 2. ∴PB2＝2k2＝16＋8 2. ∴yP＝ PB2－22＝2＋2 2.
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②当点 P 在 x 轴下方时，同理，yP＝－(2＋2 2)＝－2－2 2. ∴点 P 的坐标为(1，2＋2 2)或(1，－2－2 2)．
A．ac＜0 B．b＜0 C．b2－4ac＜0 D．a＋b＋c＜0
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6．(改编)二次函数 y＝－ax2 与一次函数 y＝ax＋a 在同一坐标 系中的大致图象可能是( C )
A
B
C
D
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二、填空题 7．已知抛物线 y＝x2＋bx＋4 的顶点在 x 轴上，则 b＝ ±4 ． 8．已知一个二次函数的图象开口向上，顶点坐标为(0，－1)， 那么这个二次函数的解析式可以是 y＝2x2－1(答案不唯一) ． 9．(改编)二次函数 y＝(x－6)2＋8 有最 小 值是 8 ．
解：①当点 P 在 x 轴上方时，如答图 2. 令二次函数 y＝－x2＋2x＋3 中 y＝0，则 x＝－1 或 3， 故点 A 的坐标为(－1，0)，AB＝4.
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在 Rt△ BOC 中，OB＝OC＝3， ∴∠OCB＝45°. ∴∠APB＝45°. 过点 B 作 BH⊥AP 于点 H. 在等腰直角三角形 PBH 中，设 PH＝BH＝k， 则 PB＝ 2k. ∵点 P 在对称轴 x＝1 上，点 A，B 关于对称轴对称， ∴PA＝PB＝ 2k.
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(2)在 x 轴上找一点 E，使 EC＋ED 的值最小，求 EC＋ED 的 最小值；
解：如答图 1，作点 C 关于 x 轴的对称点 C′，连接 C′D 交 x 轴于点 E，则此时 EC＋ED 的值最小．
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函数顶点 D 的坐标为(1，4)，点 C′的坐标为(0，－3)． 设直线 C′D 的解析式为 y＝mx＋n.将 C′，D 的坐标分别代 入，得 nm＝＋－n＝3，4，解得mn＝＝－7，3. ∴直线 C′D 的解析式为 y＝7x－3.
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三、解答题 10．如图，直线 y＝－x＋3 与 x 轴、y 轴分别交于点 B，C，
抛物线 y＝－x2＋bx＋c 经过点 B，C 与 x 轴另一交点为 A，顶点 为 D.
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(1)求抛物线的解析式； 解：∵直线 y＝－x＋3 与 x 轴、y 轴分别交于点 B，C， ∴点 B，C 的坐标分别为(3，0)，(0，3)． 将点 B，C 的坐标代入 y＝－x2＋bx＋c，得 － c＝93＋，3b＋c＝0，解得bc＝＝32.， 故抛物线的解析式为 y＝－x2＋2x＋3.
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当 y＝0 时，x＝37，故点 E 的坐标为37，0. 过点 D 作 DF⊥y 轴于点 F. 在 Rt△ C′DF 中，DF＝1，C′F＝4－(－3)＝7， 根据勾股定理，C′D＝ 12＋72＝5 2. ∴ED＋EC 的最小值为 5 2.
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(3)在 抛物 线的对 称轴 上是否 存在一 点 P，使 得 ∠APB＝ ∠OCB？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．