调制盘传递函数的数值计算

1 b 所示 ) , 则有 : r3 = r2 - P ( 1) 其中 P = P 1 i + P 2 j , r 2 = x 2 i + y 2 j, r 3= x 3 i + y 3 j 。当调 制盘移到不同的位 置 P 时 , 透过 率函 数随 之而变 为 A( r2P ) , 透过的辐 射通量 也随 之而 变 , 也 是 P 的函 数。因此 , 借 助于 调制盘相对于像面的运动 , 透过调 制盘的总辐 射通量可 以写成 : g ( P ) = Q I ( r 2) A( r 2- P ) d r 2, 由于 调制盘的运 动 , P 不断随时间 变化 , 因此 通过 调 制盘 的辐 射 通量 为时 间 的函 数 , 即 g( t) = g 1 P ( t) 2= Q I ( r2) A 1 r 2- P ( t)2 d r 2 , 辐 射通量 函 数 g( t) 是像函数 I 和透过率函数 A 的卷积 , 对上式两边作 付立 叶变换 , 根据付立叶变换的卷积定理 , 有 : G( F) = I ( F )T ( F) ( 2) 其中 F 是 空间 频率矢 量 , G ( F )、 I ( F)、 T( F ) 分别 为 g ( P) 、 I ( r 2) 、 A( r 3) 的频谱 , 而 A( r 3 ) 只与调 制盘有 关 , 是调制 盘的特征参数 , 记为 t( r) , 而 T( F ) 为 t( r ) 的 频谱 , 二者有如 下关 系 : T( F) = 即: T ( f x ,f y ) = t ( r ) eQ i2P F # r d r
- i2 P (f # x+ f # y)
x y
1
理论
T ( f x , f y ) 称为调制盘 的传递 函数 , 它描述 了调制 盘的空 间滤波特性 , 是描述调制盘的重要参 数 , 在计 算输出信 号谱 , 背景 噪声功率谱 , 最佳空间滤波器等问题中有重要作用。
t (x . , y) e Q Q
dxdy
( 3)
1. 1 调制盘的传递函数 在红外或激光探测 系统 中 , 当辐射 被光 学系统 接收 后 , 聚焦在场镜的像面上 , 放置在此处的调 制盘对辐 射进行调制 和编码后 , 辐射被场 镜收集 并均 匀地 落在探 测器 上 , 探测器 产生电信号驱动伺服系统跟踪目标。 为了描述这个过程 , 首 先引 入 ) 组坐 标 , 称为 空间 滤波 坐标 , 如图 1 a 所示。图中 ( x 1, y 1 ) 为 物面坐 标 , ( x 2 , y 2) 为像 面坐标 , ( x 3, y3 ) 为调制 盘坐标。此 时像面 坐标 ( x 2 , y 2) 和调 制盘坐标 ( x 3 , y 3) 都叠在像面上 , 可以相 对运动 , 这样 调制盘 的转动和移动可以理解为 ( x3 , y3 ) 相对于 ( x 2, y 2) 的 转动和平 移了。 利用空 间滤波坐标 , 目 标和 背景可 用物 函数 O ( x 1, y1 ) 来描述 , 通过光学系统 后所成 的像 , 可用像 函数 I ( x 2, y 2) 描 写 , 通过调制盘的辐 射随调 制盘 的运 动而变 化的 情况 , 可用 透过率函数 A( x 3, y 3) 来描 写。该函 数某一点 的值标 志该点 辐射透过率的大小。 设调制盘 中心 O3 相 对像 面中 心 O2 的 位矢 为 P ( 如图
通过传递函数评价 系统性 能的 优劣是 系统 性能 评价的 一个重要的手段 , 无 论是光 学系 统、 电子学 系统 还是 光电混 合系统 , 通过各个分 系统 的传递 函数 可以评 价整 机的 性能 , 利用传递 函 数 评 价光 学 系 统 的性 能 已 经 有了 很 成 熟 的理 论11, 32, 利用传递函数进行系 统评价 也已经 应用 到电 子学系 统及光电混合系统142。调制盘是红外探测 系统、 激光雷达系 统和其它光学系统的重要组成器件 , 从 不同角度 探讨调制盘 15, 62 的传递函数对系统性能影响 的研究表明调制盘的传递函 数的研究直接影响系统的性能评价。 调制盘在红外激光搜索系统中起着重 要的作用 , 它既能 提供目标的位置信息 , 又能 滤去 强烈 的背景 辐射 , 使 系统的 信噪比大大提高 , 还具有使直流辐射信 号变为交 流信号的作 用。传递函数可以 用来 描述调 制盘 的光学 传递 特性 及空间 滤波特性 , 在计算输出信号谱 , 背景噪声功 率谱 , 最佳空间滤 波器等问题中具有重要的作用。设调制盘的透过率函数为 t ( x , y ) , 则 T ( f x , f y ) = Q Q t ( x , y ) e - i 2 P( f x #x + f y# y dxdy 称为调 制盘的传递函数。 基于 Matlab 进行系统信号频 谱分析 17, 82表 明利用 Matlab 计算传递函数的可行性 , 本文主要讨论 调制盘传 递函数的数 值计算。利用快速付立叶变换计算调制盘 的传递函数 , 利用 Matlab 结合 C+ + 编制了计 算传 递函 数的程 序 , 并将 传递函 数以图形表示。
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5 激光杂志6 2006 年第 27 卷第 6 期
LASER JOURNAL ( Vol. 27. No. 6. 2006)
调制盘传递函数的数值计算
张 宇, 赵 远, 黄圣涛, 陈锺贤 , 孙秀冬
( 哈尔滨工业大学物理系 , 哈尔滨 150001)
提要 : 本文利用离散付立叶变换和快速付立叶变换, 并结合 Matlab 和应用 C+ + 编制的程序 , 给出了任意形状调制盘的传递函 数的数值计 算方法。利用本文给出的程序 , 可以方便地对给定调制盘的传递函数进行数值计算 , 并将传递函数以图像形式显示出来。 关键词 : 调制盘 ; 传递函数 ; 数值计算 ; 图像显示 中图分类号 : TN248. 1 文献标识码 : A 文章编号 : 0253- 2743( 2006) 06- 0068- 02
收稿日期 : 2006- 04- 05 作者简介 : 张 宇 ( 1965- ) , 男 , 哈 尔滨工业 大学物 理系副 教授 , 主 要从事光电信号检测的理论研究 , 激光探测的实验与计算机仿真研 究。
典型的调制盘传递函数如面积为 a @ b 矩形孔的传递函 数为 : sin( P af x ) sin( Pb fy) T ( fx , fy ) = = sin( af x , b fy) ( 4) P fx P fy 1. 2 离散付立叶变换应用于传递函数的计算 从 T ( f x , f y ) 的定 义可以看出 , 只要对 t ( x , y ) 进行付立叶 变换即可得到传 递函 数。形式 较为 简单的 调制 盘的传 递函 数可 得到解析表达式 , 但形式较为复杂 的调制盘的 传递函数 的解析表达式 的推导就 非常 复杂 , 甚至 无法 得到 , 因而 对于 较为 复杂的调制盘的传递函数一般进行数值 计算 , 在数值计 算中为了适应 计算 机的 计算 , 必须 对连续 函数 t( x , y ) 和它 的付 立叶变换 T ( f x , f y ) 进行 取样 , 而且 为了 使 取样 后的 tc ( x , y ) 与 Tc( f x , f y ) 以相当 大的精 度接近于 t( x , y ) 和 T ( f x , f y ) , 其取样间 隔应 满足 香农 取样 定理 的要 求。为 了说 明从 连续 付立叶变换到离散付立叶变换的过程 , 这里以 一维函数
x = 0y = 0 M - 1N- 1
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I, 黑色代表透过率为 o, 其它颜色代表透过率为 0. 5 。打开图 像文件对话 框 , 选 择绘 制好 的 调制 盘图 像 文件 后按 打 开按 钮。出现输入 调制盘实际大小的对话框 , 输入调制 盘的宽度 和高度。弹出图 2a 和图 2b 所示 的图像窗 口 , 分别为 调制盘 的透 过率函数图像 , 调制盘传递函数的图像。
图 2a 调制盘的透过率函数图像
图 2b 调制盘传递函数的图像
对于复杂的 调制 盘 ( 如图 3 所 示 ) , 重 复上 述步 骤 , 可以 得到 图 4a 和图 4b 所示的传递函数图像。
ห้องสมุดไป่ตู้
延拓
变为离散傅立叶级数
截取
( 7)
这里 , f x = 0 , 1, 2 ,M - 1, f y = 0, 1, 2 , N - 1 , x = 0, 1, 2 , M - 1 , y = 0 , 1, 2 ,N - 1。 由于离散付立叶变换的巨大计算量影 响了它的实 用性 , 而快速付立叶变换的出现使其得到了实际应用。
图 1a
空间滤波坐标
图 1b
像面坐标与调制盘坐标
5 激光杂志6 2006 年第 27 卷第 6 期 x ( t) 为例 , 然后将 时域 对应到 空域 , 再 推广到 二维 函数。应 用离散付立叶变换时 , 一个域的周期性 对应于另 一个域的离 散性 , 一个域的非周期性对应于另一个域的连 续性。 离散付立叶级数 ( DFS) 用来 分析 周期序 列 , 而离 散付立 叶变换 ( DFT ) 是针对 有限序列 的 , 为了讨论 周期 序列 和有限 长序列的关 系 , 用下标 p 表示周 期性 序列 , 于是 离散 付立叶 级数表示为 : 2P 1 N- 1 j nk x p ( nT s) = N r Xp ( kf 1) e N ( 5) k= 0 设有限长序列 x ( n) 的长度 为 N ( 0 F n F N - 1) , 其离散 付立叶变换仍是一个长度为 N ( 0 F n F N - 1) 的频 域有限长 序列 , 则有限长序列的离散付立叶变换为 : 2P 1 N- 1 x ( nT s) = r X( kf 1 ) ej N nk ( 6) N k= 0 DFS 和 DFT 具有 相同 的形式 , 但 一个 是周 期序 列 , 一个 是有限长序列。实际上 DFT 是一种借用形式 , 它 需要经历如 下过程 x ( n) x p ( n) Xp ( k ) X ( k ) 。从而 将时域函数 对 应到 空域 函 数 , 并由 一 维函 数扩 展 到二 维函 数 , 于是得到 : t ( x , y ) = r r T ( f x , f y ) ei 2 P( f x #x / M+ f y # y/ N )