高数第五章广义积分、定积分应用课堂练习题及参考答案

；当
p 1时，发散
3.
11 1 x2
dx 1 x
1 1
2
( “对”，“错” )
11 1 x2 dx
解：错，无界函数的积分，瑕积分，瑕点为 0，
1
1 dx
01 dx
11 dx
1 x2
1 x2
0 x2
0
1
1 0 dx
lim (1 1) ，（或者
1 x2
x 1
x x 0
t
e pe t pt t
pt
三. 计算下列平面图形的面积 1. 曲线 y x2 , 4 y x2 及直线 y 1所围成的图形.
AB
解：直线 y 1与两条抛物线在第一象限的交点为 A(1,1) 、 B(2,1) (1)
如图， S
2
1
(2
0
y
y )dy
2
2 3
3
y2
|10
4 3
2. 求心形线 r a(1 cos )(a 0) 所围平面图形的面积
解：所求面积
A
2A1 ，面积微元
dA1
1 2
a2 (1
cos )2
d
A 2
dA
a2
01
(1 2cos cos2 )d
0
a2
3 2
2 sin
1 4
sin
2
0
3a2 2
a(1 cos )
y
a O
a x
O
x
3. 求双纽线 2 a2 cos 2 所围平面图形的面积。
解：所求面积
A
4A1 ，面积微元
dA1
1 2
cos
2 d
所求面积 A 4
4 dA
4
4
1
cos 2 d
a2
0
1
02
4.
求椭圆 x2 a2
y2
b2
1的面积.
解：椭圆面积 A 4A1 ，面积微元 dA1 ydx
A 4
a
ydx 4
0
0
bsuntd(a cos t) 4ab
2 sin2 tdt
cos
1 x
cos
2
1
2.
计算广义积分
2
1
dx x ln
x
解： x 1 瑕点，
2 dx
1 x ln x
2 dx
1 x ln x
2 1
d (ln x) ln x
[ln(ln
x)]12
lim[ln(ln 2) ln(ln x)] x 1
故题设广义积分发散
3. 计算广义积分 3 dx 0 (x 1)2 / 3
2
3
3
x2
x3 3
1
0
1 3
y
y x2
1
2
y x
-1 1
O
1
x
(7)
2 (8)
1 (9)
二. 计算下列积分
1.
1 1 sin dx.
2/ x2
x
解：
1 1 2/ x2 sin x dx.
2
sin
1 x
d
1 x
2
sin
1 x
d
1 x
cos
1 x 2
lim
x
0
ab.
2
y
b
O
ax
1
4
(2)
四．求下列平面图形分别绕 x 轴、y 轴旋转产生的立体的体积.
1. 由椭圆 x2 y2 1围成的平面图形 a2 b2
解：如图，该旋转体可视为由上半椭圆 y b a2 x2 及 x 轴所围成的图形，绕 x 轴旋转而成 a
的立体，故
Vx
a
dV
a
a
a
b2 a2
解： Vx
2 (x3 )2 dx
0
7
x7
|02
128 7
Vy
2
8 0
x
x3dx
2
1 ( 5
x5 )
|80
64 5
（或者 Vy
8 (22 3
0
y2
)dy
(4 y
3 5
5
y3
)
|80
64 5
Βιβλιοθήκη Baidu
(3)
4. 曲线 y x3 与直线 x 0, y 1所围成的图形
解： Vy
1
(3
0
y )2 dy
解：
te pt dt ( 1 te pt 1 e pt )
0
p
p2
0
1 lim te pt 0 p t
1 p2
(0 1)
1 p2
te pt dt 1 tde pt 1 te pt 1 e pt dt 1 te pt 1 e pt
p
p
p
p
p2
注: 其中不定式 lim te pt lim t lim 1 0
解：
e2xdx 1
0
2
e2xd 2x
0
1 e2x 2
|0
1 2
lim (1 e2x )
x
1 2
a
6.
dx
(a 0)
0 a2 x2
解： x a 瑕点， a
dx
a
0 a2 x2
0
2
dx a2 x2
arcsin
x a
a
0
x
0
lim (arcsin arcsin )
xa
11
11
dx
0 x2
x 0
lim (1 1) ）
x0
x
故 1 1 dx 不存在
1 x2
4. 因为 f (x) x 是奇函数，所以 xdx 0 ，从而收敛。
(填“对”，“错”)
解：错，
xdx
0
xdx
xdx ，
0
0
xdx
1 2
x
2
0
发散，从而
xdx 发散
5. e2xdx 0
a
a2
7. 曲线 y x2 与 y 2 x2 所围成的图形的面积为
解：所求面积 A
1
[(2
1
x2
)
x2
]dx
(2x
2 3
x3
)
|11
8 3
8. 曲线 y 1 与直线 y x, x 2 所围成的图形的面积为 x
解： S
2
(x
1
1 )dx x
(1 2
x2
ln
x)
|12
3 2
ln 2
(a2
x2 )dx
2
b2 a2
a (a2
0
x2 )dx
2
b2 a2
a
2
x
x3 3
a 0
4 ab2 3
同理，Vy
b
dV
b
a
a
a2 b2
(b2
y2 )dy
2
a2 b2
a (b2
0
y2 )dy
2
a2 b2
b2
y
y3 3
a 0
4 a2b 3
2. 曲线 y x 与 x 1, x 4, y 0 所围成的图形
3 5
5
y3
|10
3 5
Vx 2
1
y3
0
ydy
2
(3 7
7
x3
)
|10
6 7
（或者 Vx
1 (12
0
x6
)dx
(x
1 7
x7
)
|10
6 7
1 (4)
解： x 1 瑕点，
3 dx 0 (x 1)2/ 3
1 dx 0 (x 1)2/ 3
3 dx 1 (x 1)2/ 3
3(1
3
2).
1
dx
1
1
(x 1)1/3 3 ， 3
dx
1
3
(x 1)1/3 3 3 2
0 (x 1)2/3 1 2 / 3
0
1 (x 1)2/3 1 2 / 3
1
4. 计算广义积分 te pt dt ( p 是常数, 且 p 0 时收敛) 0
一. 填空题
第五章广义积分、定积分的应用 课堂练习题
1. 若 x pdx 收敛，则 p 1
p 1
解：
x p dx
1
1
1 x p
dx
，当
p
1 时，收敛。
2. 若 1 1 dx 收敛，则 p 满足
0 xp
0 p 1
解：瑕积分，瑕点为
0， b dx
a (x a)p
，当 0
p 1时收敛于 1 1 p
解： Vx
4
(
1
x)2 dx 15 2
4
Vy 2 1 x
xdx
2
2 ( 5
5
x2
)
|14
124 5
（或者Vy
[
2 42 dy
0
112 dy
0
2 ( y2 )2 dy]
1
(16 y |02
y |10
1 5
y5
|12
)
124 5
）
3．曲线 y x3 与直线 x 2, y 0 所围成的图形
9. 曲线 y x3 与直线 x 0, y 1所围成的图形的面积为
解： S
1
(1
0
x3
)dx
(x
1 4
x4
)
|10
3 4
10. 求由 x y2 和 y x2 所围成的图形的面积.
解：由方程组
x y
y2 x2
解得它们的交点为
(0, 0),
(1,1)
所求面积 A
1
(
0
x
x2 )dx