复数专题复习(经典、全面)
复数 练习(绝对经典)
复数练习(绝对经典)复数练(绝对经典)简介复数是英语语法中一个重要的概念，用于表示多个数量或者多个事物。
英语中的复数形式有规律的变化规则，掌握这些规则可以帮助我们正确使用复数形式。
变化规则1. 大多数名词在单数形式末尾加上-s来表示复数形式。
例如：- cat（猫）→ cats（猫们）- book（书）→ books（书们）2. 如果名词的单数形式以s、x、z、ch或sh结尾，则在末尾加上-es来表示复数形式。
例如：- box（盒子）→ boxes（盒子们）- brush（刷子）→ brushes（刷子们）3. 如果名词的单数形式以辅音字母+y结尾，则将y改为i，再加上-es来表示复数形式。
例如：- baby（宝宝）→ babies（宝宝们）- city（城市）→ cities（城市们）4. 名词的单数形式以-f或-fe结尾，则将f或fe改为v，再加上-es来表示复数形式。
例如：- knife（刀）→ knives（刀们）- leaf（叶子）→ leaves（叶子们）5. 一些名词的复数形式没有规律可循，需要通过背诵来掌握。
例如：- child（孩子）→ children（孩子们）- tooth（牙齿）→ teeth（牙齿们）练题1. 使用名词的适当复数形式填空：- I have two ________________ (book) on my desk.- She has three ________________ (child).- The ________________ (leaf) on the tree are turning yellow.2. 将下列名词的单数形式转化为复数形式：- mouse- dress- strawberry3. 将下列名词的复数形式转化为单数形式：- dogs- women- brushes答案1. 使用名词的适当复数形式填空：- I have two books on my desk.books on my desk.- She has three children.children.- The leaves on the tree are turning yellow.leaves on the tree are turning yellow.2. 将下列名词的单数形式转化为复数形式：- mouse → mice mice- dress → dresses dresses- strawberry → strawberries strawberries3. 将下列名词的复数形式转化为单数形式：- dogs → dog dog- women → woman woman- brushes → brush。
2023届高考数学复习：历年经典好题专项(复数)练习(附答案)
,
1 i
√2
=
.
参考答案
10
3-i
10(3 i)
=3+i,故选
(3-i)(3 i)
1.D z=
D.
2.D ∵z=2+i,∴ =2-i.
∴z =(2+i)(2-i)=5. 故选 D.
3.D 复数 z 满足|z+1|=|z-i|,∴
1)
(
(-1) ,化简得 x+y=0,故选 D.
A.x=0
B.y=0
C.x-y=0
D.x+y=0
4.(多选)对任意 z1,z2,z∈C,下列结论成立的是(
*
m n
)
)
m+n
A.当 m,n∈N 时,有 z z =z
=0,则 z1=0 且 z2=0
B.当 z1,z2∈C 时,若
C.互为共轭复数的两个复数的模相等,且||2=|z|2=zꞏ
D.z1=z2 的充要条件是|z1|=|z2|
R)的一个根为 1+i(i 为虚数单位),则
A.1-i
B.-1+i
C.2i
D.2+i
=(
1 i
)
π
2
π
2
16.(多选)(历年山东济南高三考前模拟)已知复数 z=1+cos 2θ+isin 2θ - <θ<
,则下列说法正确的是
(
)
A.复数 z 在复平面上对应的点可能落在第二象限
B.z 可能为实数
C.|z|=2cos θ
故选 D.
1 7i
2 i
zi-7i=1-2z,即 z=
复数的几何意义及复习-高中数学专题复习
复数的几何意义及复习一 复数的几何意义1.复数集内的三角形不等式：212121z z z z z z +≤±≤-，其中左边在复数z 1、z 2对应的向量共线且反向（同向）时取等号，右边在复数z 1、z 2对应的向量共线且同向（反向）时取等号.2.复平面内复数z 对应的点的几个基本轨迹： (1)↔=-是正的常数）r r z z (0轨迹是一个圆.(2)↔-=-)(2121是复常数、z z z z z z 轨迹是一条直线.(3)↔=-+-是正的常数）是复常数，、a z z a z z z z 2121(2轨迹有三种可能情形： a)当212z z a ->时，轨迹为椭圆； b)当212z z a -=时，轨迹为一条线段； c)当212z z a -<时，轨迹不存在.(4)↔=---)(221是正的常数a a z z z z 轨迹有三种可能情形： a)当212z z a -<时，轨迹为双曲线； b)当212z z a -=时，轨迹为两条射线； c)当212z z a ->时，轨迹不存在.2 、已知关于x 的方程有实数根b 。
（1）求实数的值；（2）若复数满足，当z 为何值时有最小值，并求出的最小值。
解：（1）∵ 是方程的实根∴∴∴（2）设 ∵∴即整理，得∴复数对应点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆。
如图所示连结圆心和原点O，并延长交圆于点P，当复数z为点P对应的复数时,最小可求得∴,3 、若复数z满足，求的最大、最小值。
解法一：数形结合法设，则化简，得表示点到原点O（0，0）的距离，而点（x，y）在圆C上由平面几何知识，可知|z|的最大值为，最小值为解法二：利用复数的模的性质即，去绝对值，得解这个关于的不等式，得当时，上式取等号由，把代入得，解得或当时，取最大值；当时，取最小值4 已知向量AB 对应的复数为i +1，若A 点的坐标为（1，3），则B 点的坐标为 .例4 .已知{}622=-++=z z z M ，{}11=+=z z N ，则N M ,的关系是（ ） A.N M ⊂ B.N M ⊃ C.M N M =⋃ D.∅=⋂N M5 、已知复数，（1）求；（2）若，求的最大值。
高中复数经典练习题(含答案)
高中复数经典练习题(含答案)一、单选题1．复数z 满足(1i)23i z -=-，则复数z 的共轭复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知复数z 满足()2i 32i +=+z 则||z =（ ）AB C D 3．设集合A 实数 ，{}B =纯虚数，{}C =复数，若全集SC ，则下列结论正确的是（ ） A ．AB C =B ．A B =C ．()S A B ⋂=∅D ．SSABC4．已知a R ∈，“实系数一元二次方程2904x ax ++=的两根都是虚数”是“存在复数z 同时满足2z =且1z a +=”的（ ）条件. A ．充分非必要 B ．必要非充分 C ．充分必要 D ．既非充分又非必要 5．复数(sin 10°＋icos 10°)(sin 10°＋icos 10°)的三角形式是（ ）A ．sin 30°＋icos 30°B ．cos 160°＋isin 160°C ．cos 30°＋isin 30°D ．sin 160°＋icos 160° 6．在复平面内，复数z 满足()1i 3i z -=-+，则复数z 对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7．复数z 满足()12i z =，i 为虚数单位，则复数z 的虚部为（ ）A ．BC ．D 8．下列命题：①若i 0a b +=，则0a b ；②i 22i 2x y x y +=+⇔==；③若y R ∈，且()()211i 0y y ---=，则1y =.其中正确命题的个数为（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个9．已知复数13i z a =-，22i z =+（i 为虚数单位），若12z z 是纯虚数，则实数=a （ ）A ．32-B ．32C ．6-D ．610．已知i 是虚数单位，复数12iiz -=，则z 的共轭复数z =（ ） A ．2i --B ．2i -+C ．2i -D ．2i +11．设O 为原点，向量OA ，OB 对应的复数分别为2＋3i ，－3－2i ，那么向量BA 对应的复数为（ ）A ．－1＋iB ．1－iC ．－5－5iD ．5＋5i 12．已知复数z 满足(12i)43i z -=-（i 为虚数单位），则z =（ ）AB ．5CD ．213．设z 的共轭复数是z ，若4i z z -=，8z z ⋅=，则z =（ ）A ．22i --B ．22i +C ．22i -+D ．22i +或22i -+ 14．若复数z 在复平面内对应的点为(1,1)，则其共轭复数z 的虚部是（ ） A ．i B ．i - C ．1 D ．1- 15．若复数2(1i)-的实部为a ，虚部为b ，则a b +=（ ）A ．3-B ．2-C ．2D ．316．已知复数z 满足()21i 24i z -=-，其中i 为虚数单位，则复数z 的虚部为（ ） A ．2 B ．1C ．2-D ．i17．若5i2iz =+，则||z =（ ）A．2 B C ．D ．318．“1x =”是“22(1)(32)i x x x -+++是纯虚数”的（ ）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 19．已知复数z 满足z ＋2i －5＝7－i ，则|z |＝（ ）A ．12B ．3C ．D ．920．已知复数z 满足i 232i z z +=-（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限二、填空题21．已知复数z 满足294i z z +=+，则z =___________. 22．已知复数z 满足24(1i)(12i)z --=-，则||z =________.23．设复数1z ，2z 是共轭复数，且12229i,-=-+z z ，则1z =___________. 24．设i 为虚数单位，若复数(1i)(i)a -+的实部与虚部相等，其中a 是实数，则|1i |-+=a ________.25．18世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如，z OZ =，也即复数z 的模的几何意义为z 对应的点Z 到原点的距离，在复数平面内，复数02i1ia z +=+ (i 是虚数单位，)a R ∈是纯虚数，其对应的点为0Z ，Z 为曲线1z =上的动点，则0Z 与Z 之间的最小距离为________________. 26．复数2ii 1+-的共轭复数是_______． 27．已知复数3i (2i)z =⋅-，则z 的虚部为__________．28．若复数()2(2)9i()z m m m R =++-∈是正实数，则实数m 的值为________．29．在复平面内，复数1z 和2z 对应的点分别是(21)A ，和(01)B ，，则12zz=_______. 30．设复数1z ，2z 满足11z =，22z =，121z z -=，则12z z +=________．31．设i 为虚数单位，则复数2(1i)1i+-=____．32．设z C ∈，且1i 0z z +--=，则i z +的最小值为________. 33．已知复数z =(,a b ∈R 且0,0a b ≠≠)的模等于1，则12b a b++的最小值为______.34．已知复数z 满足()1i 42i -=+z ，则z =_________.35．设复数()21(1)i m m -++为纯虚数，则实数m 的值为________．36．已知m R ∈，复平面内表示复数()3i m m --的点位于第三象限内，则m 的取值范围是____________ 37．i 是虚数单位，则1i1i+-的值为__________. 38．若z 1＝2－i ，z 2＝－12＋2i ，则z 1，z 2在复平面上所对应的点为Z 1，Z 2，这两点之间的距离为________. 39．已知i 是虚数单位，复数12iiz -=，则z 的共轭复数z =___________. 40．若复数2iiz -=-，则z =_______． 三、解答题41．定义运算ab ad bc c d=-，如果()()32i 3i 1x y x y x y++++=-，求实数x ，y 的值．42．已知复数()2i z a =+，i 43w =-其中a 是实数，(1)若在复平面内表示复数z 的点位于第一象限，求a 的范围； (2)若zw是纯虚数，a 是正实数， ①求a ，②求232023z z z z w w w w ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭43．已知向量OZ 与实轴正向的夹角为45，向量OZ 对应的复数z 的模为1，求z .44．已知复数()()2224i z m m m =--+-（其中，m R ∈，i 为虚数单位）在①0z >；②z 为纯虚数；③z 的实部与虚部相等．这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答问题． (1)若______，求实数m 的值；(2)若复数2(1i)1z m -++的模为5，求实数m 的值．45．设222215(6)i 4a a z a a a +-=--+-（R a ∈），试判断复数z 能否为纯虚数？并说明理由.【参考答案】一、单选题 1．A 2．A 3．D 4．D 5．B 6．C 7．D 8．B 9．A 10．B 11．D12．A13．D14．D15．B16．B17．B18．A19．C20．A二、填空题21．522．2232425．126．13i-+22 27．-228．329．12i-##2i+1-3031．1i-+32. 33．734．13i+35．10,3 36．() 37．13839．2i-+ 40．12i-三、解答题41．1x =-，2y = 【解析】 【分析】根据题意得到()()()3i 32i x y x x y y +++=++，列出方程组求解即可. 【详解】 由定义运算ab ad bc c d=-，得32i 32i 1x y x y y y+=++-，所以()()()3i 32i x y x x y y +++=++ 因为x ，y 为实数，所以有323x y x yx y+=+⎧⎨+=⎩，解得1x =-，2y =.42．(1)1a > (2)①2； ②1-. 【解析】 【分析】（1）化简复数212i z a a =-+，根据复数z 在第一象限，列出不等式组，即可求解；（2）化简复数()()22464383i25a a a a zω--++-=，由zw是纯虚数，求得2a =，化简得到i zω=，结合虚数单位的性质，即可求解.(1)解：由题意，复数()22i 12i z a a a =+=-+，因为复数z 在第一象限，可得21020a a ⎧->⎨>⎩，解得1a >．(2)解：由题意，复数()()()()()()()()2222222i i 43i i i 43i 43i43i 43i 43i a a a a zω++++++===--+- ()()()2222223464383i 48i 4i 3i 6i 3i 16925a a a a a a a a --++-+++++==--，因为zw 是纯虚数，则2246403830a a a a ⎧--=⎨+-≠⎩，解得2a =或12a =-，又因为a 是正实数，则2a =，当2a =时，复数224648i 3i 3i 16i 12i 3ii 2525za a a a ω--++-+-===， 因为41i i n +=，42i 1n +=-，43i i n +=-，4i 1n =，n N ∈，所2320232334202i i i i i zz z z ωωωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+=++++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()4678202122352023022i i i i i i i i i i i =++++++++⋅⋅⋅+++()00i i 11=+++--=-．43．z =或z = 【解析】 【分析】由题，OZ 与实轴正向的夹角为45，故OZ 可能在第一象限或第四象限，设出Z 的坐标，结合OZ 对应的复数z 的模为1列式，即可求解. 【详解】由题，向量OZ 与实轴正向的夹角为45，故OZ 在第一象限或第四象限，设点Z 的坐标为(,)a b ，则0a >，b a =，又1z =，故可解得a b ==b =，所以z =+或z =. 44．(1)选①, 2m =-; 选②, 1m =-; 选③, 2m =; (2)2m =或4m =-. 【解析】 【分析】（1）选①根据题意知复数为正实数，由实部大于0，虚部等于0列出式子求解，选②根据纯虚数知实部为0，虚部不为0求解，选③由实部虚部相等列方程求解；（2）化简复数，根据复数的模列出方程求解. (1)若选①，因为0z >，则222040m m m ⎧-->⎨-=⎩，解得2m =-；若选②，因为z 为纯虚数，则222040m m m ⎧--=⎨-≠⎩，解得1m =-；若选③，因为z 的实部与虚部相等，则2224m m m --=-，解得2m =. (2)因为()()22222(1i)124i i+1=(1)4i z m m m m m m m -++=--+------，5=， 解得2m =或4m =-.45．不存在a 使复数z 为纯虚数，理由见解析 【解析】 【分析】先假设复数z能为纯虚数，则可得260a a--=且222154a aa+-≠-，然后求解，若a存在，则复数z能为纯虚数，否则不能【详解】假设复数z能为纯虚数，则222260215440a aa aaa⎧--=⎪+-⎪≠⎨-⎪-≠⎪⎩，所以325,3,2,2a aa a a a==-⎧⎨≠-≠≠≠-⎩或且且且，解得a∈∅，所以不存在a使复数z为纯虚数.。
精选高中数学复数多选题专项训练专题复习含答案(5)
一、复数多选题1．已知i 为虚数单位，复数322i z i +=-，则以下真命题的是（ ） A ．z 的共轭复数为4755i - B ．z 的虚部为75i C ．3z = D ．z 在复平面内对应的点在第一象限 答案：AD【分析】先利用复数的除法、乘法计算出，再逐项判断后可得正确的选项.【详解】，故，故A 正确.的虚部为，故B 错，，故C 错，在复平面内对应的点为，故D 正确.故选：AD.【点睛】本题考解析：AD【分析】先利用复数的除法、乘法计算出z ，再逐项判断后可得正确的选项.【详解】()()32232474725555i i i i i z i ++++====+-，故4755i z =-，故A 正确.z 的虚部为75，故B 错，3z ==≠，故C 错， z 在复平面内对应的点为47,55⎛⎫ ⎪⎝⎭，故D 正确. 故选：AD.【点睛】本题考查复数的概念、复数的运算以及复数的几何意义，注意复数(),z a bi a b R =+∈的虚部为b ，不是bi ，另外复数的除法运算是分子分母同乘以分母的共轭复数.2．复数21i z i+=-，i 是虚数单位，则下列结论正确的是（ ）A ．|z |=B ．z 的共轭复数为3122i +C ．z 的实部与虚部之和为2D ．z 在复平面内的对应点位于第一象限答案：CD【分析】根据复数的四则运算，整理复数，再逐一分析选项，即得.【详解】由题得，复数，可得，则A 不正确；的共轭复数为，则B 不正确；的实部与虚部之和为，则C 正确；在复平面内的对应点为，位于第一解析：CD【分析】根据复数的四则运算，整理复数z ，再逐一分析选项，即得.【详解】 由题得，复数22(2)(1)13131(1)(1)122i i i i z i i i i i ++++====+--+-，可得||2z ==，则A 不正确；z 的共轭复数为1322i -，则B 不正确；z 的实部与虚部之和为13222+=，则C 正确；z 在复平面内的对应点为13(,)22，位于第一象限，则D 正确.综上，正确结论是CD.故选：CD【点睛】本题考查复数的定义，共轭复数以及复数的模，考查知识点全面.3．以下命题正确的是（ ）A ．0a =是z a bi =+为纯虚数的必要不充分条件B ．满足210x +=的x 有且仅有iC ．“在区间(),a b 内()0f x '>”是“()f x 在区间(),a b 内单调递增”的充分不必要条件D ．已知()f x =()1878f x x '= 答案：AC【分析】利用纯虚数的概念以及必要不充分条件的定义可判断A 选项的正误；解方程可判断B 选项的正误；利用导数与函数单调性的关系结合充分不必要条件的定义可判断C 选项的正误；利用基本初等函数的导数公式解析：AC【分析】利用纯虚数的概念以及必要不充分条件的定义可判断A 选项的正误；解方程210x +=可判断B 选项的正误；利用导数与函数单调性的关系结合充分不必要条件的定义可判断C 选项的正误；利用基本初等函数的导数公式可判断D 选项的正误.综合可得出结论.【详解】对于A 选项，若复数z a bi =+为纯虚数，则0a =且0b ≠，所以，0a =是z a bi =+为纯虚数的必要不充分条件，A 选项正确；对于B 选项，解方程210x +=得x i =±，B 选项错误；对于C 选项，当(),x a b ∈时，若()0f x '>，则函数()f x 在区间(),a b 内单调递增， 即“在区间(),a b 内()0f x '>”⇒“()f x 在区间(),a b 内单调递增”.反之，取()3f x x =，()23f x x '=，当()1,1x ∈-时，()0f x '≥， 此时，函数()y f x =在区间()1,1-上单调递增，即“在区间(),a b 内()0f x '>”⇐/“()f x 在区间(),a b 内单调递增”.所以，“在区间(),a b 内()0f x '>”是“()f x 在区间(),a b 内单调递增”的充分不必要条件.C 选项正确；对于D 选项，()11172488f x x x ++===，()1878f x x -'∴=，D 选项错误. 故选：AC.【点睛】本题考查命题真假的判断，涉及充分条件与必要条件的判断、实系数方程的根以及导数的计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.4．已知复数z a =+在复平面内对应的点位于第二象限，且2z = 则下列结论正确的是（ ）．A ．38z =B ．zC ．z 的共轭复数为1D ．24z = 答案：AB【分析】利用复数的模长运算及在复平面内对应的点位于第二象限求出 ，再验算每个选项得解.【详解】解：，且，复数在复平面内对应的点位于第二象限选项A:选项B: 的虚部是选项C:解析：AB【分析】利用复数2z =的模长运算及z a =+在复平面内对应的点位于第二象限求出a ，再验算每个选项得解.【详解】解：z a =+，且2z =224a +∴=，=1a ±复数z a =+在复平面内对应的点位于第二象限1a ∴=-选项A : 3323(1)(1)+3(1)+3())8-+=---+=选项B : 1z =-选项C : 1z =-的共轭复数为1z =--选项D : 222(1)(1)+2()2-+=--=--故选：AB ．【点睛】本题考查复数的四则运算及共轭复数，考查运算求解能力.求解与复数概念相关问题的技巧:复数的分类、复数的相等、复数的模及共轭复数的概念都与复数的实部、虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即()a bi a b R ∈+，的形式，再根据题意求解．5．已知复数z 满足(2i)i z -=(i 为虚数单位)，复数z 的共轭复数为z ，则（ ）A ．3||5z = B ．12i 5z +=- C ．复数z 的实部为1- D ．复数z 对应复平面上的点在第二象限 答案：BD【分析】因为复数满足，利用复数的除法运算化简为，再逐项验证判断.【详解】因为复数满足，所以所以，故A 错误；，故B 正确；复数的实部为 ，故C 错误；复数对应复平面上的点在第二象限解析：BD【分析】因为复数z 满足(2i)i z -=，利用复数的除法运算化简为1255z i =-+，再逐项验证判断. 【详解】因为复数z 满足(2i)i z -=，所以()(2)1222(2)55i i i z i i i i +===-+--+所以z ==，故A 错误； 1255z i =--，故B 正确； 复数z 的实部为15- ，故C 错误； 复数z 对应复平面上的点12,55⎛⎫- ⎪⎝⎭在第二象限，故D 正确. 故选：BD【点睛】本题主要考查复数的概念，代数运算以及几何意义，还考查分析运算求解的能力，属于基础题.6．已知复数z 的共轭复数为z ，且1zi i =+，则下列结论正确的是（ ）A ．1z +=B ．z 虚部为i -C ．202010102z =-D ．2z z z += 答案：ACD【分析】先利用题目条件可求得，再根据复数的模的计算公式，以及复数的有关概念和复数的四则运算法则即可判断各选项的真假．【详解】由可得，，所以，虚部为；因为，所以，．故选：ACD ．【解析：ACD【分析】先利用题目条件可求得z ，再根据复数的模的计算公式，以及复数的有关概念和复数的四则运算法则即可判断各选项的真假．【详解】由1zi i =+可得，11i z i i+==-，所以12z i +=-==，z 虚部为1-；因为2422,2z i z =-=-，所以()5052020410102z z ==-，2211z z i i i z +=-++=-=．故选：ACD ．【点睛】本题主要考查复数的有关概念的理解和运用，复数的模的计算公式的应用，复数的四则运算法则的应用，考查学生的数学运算能力，属于基础题．7．已知复数z 满足（1﹣i ）z ＝2i ，则下列关于复数z 的结论正确的是（ ）A ．||z =B ．复数z 的共轭复数为z ＝﹣1﹣iC ．复平面内表示复数z 的点位于第二象限D ．复数z 是方程x 2+2x +2＝0的一个根答案：ABCD【分析】利用复数的除法运算求出，再根据复数的模长公式求出，可知正确；根据共轭复数的概念求出，可知正确；根据复数的几何意义可知正确；将代入方程成立，可知正确.【详解】因为（1﹣i ）z ＝解析：ABCD【分析】利用复数的除法运算求出1z i =-+，再根据复数的模长公式求出||z ，可知A 正确；根据共轭复数的概念求出z ，可知B 正确；根据复数的几何意义可知C 正确；将z 代入方程成立，可知D 正确.【详解】因为（1﹣i ）z ＝2i ，所以21i z i=-2(1)221(1)(1)2i i i i i i +-+===-+-+，所以||z ==A 正确； 所以1i z =--，故B 正确；由1z i =-+知，复数z 对应的点为(1,1)-，它在第二象限，故C 正确；因为2(1)2(1)2i i -++-++22220i i =--++=，所以D 正确.故选：ABCD.【点睛】本题考查了复数的除法运算，考查了复数的模长公式，考查了复数的几何意义，属于基础题.8．已知复数1z =-(i 为虚数单位)，z 为z 的共轭复数，若复数z w z =，则下列结论正确的有（ ）A ．w 在复平面内对应的点位于第二象限B ．1w =C ．w 的实部为12-D ．w答案：ABC【分析】对选项求出，再判断得解；对选项，求出再判断得解；对选项复数的实部为，判断得解；对选项,的虚部为,判断得解.【详解】对选项由题得.所以复数对应的点为，在第二象限，所以选项正确解析：ABC【分析】对选项,A 求出1=2w -+，再判断得解；对选项B ，求出1w =再判断得解；对选项,C 复数w 的实部为12-，判断得解；对选项D ,w 判断得解. 【详解】对选项,A 由题得1,z =-221=422w -+∴===-+.所以复数w 对应的点为1(2-，在第二象限，所以选项A 正确；对选项B ，因为1w ==，所以选项B 正确； 对选项,C 复数w 的实部为12-，所以选项C 正确；对选项D ,w 的虚部为2,所以选项D 错误. 故选：ABC【点睛】 本题主要考查复数的运算和共轭复数，考查复数的模的计算，考查复数的几何意义，考查复数的实部和虚部的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.9．i 是虚数单位，下列说法中正确的有（ ）A ．若复数z 满足0z z ⋅=，则0z =B ．若复数1z ，2z 满足1212z z z z +=-，则120z z =C ．若复数()z a ai a R =+∈，则z 可能是纯虚数D ．若复数z 满足234z i =+，则z 对应的点在第一象限或第三象限答案：ADA 选项，设出复数，根据共轭复数的相关计算，即可求出结果；B 选项，举出反例，根据复数模的计算公式，即可判断出结果；C 选项，根据纯虚数的定义，可判断出结果；D 选项，设出复数，根据题解析：AD【分析】A 选项，设出复数，根据共轭复数的相关计算，即可求出结果；B 选项，举出反例，根据复数模的计算公式，即可判断出结果；C 选项，根据纯虚数的定义，可判断出结果；D 选项，设出复数，根据题中条件，求出复数，由几何意义，即可判断出结果.【详解】A 选项，设(),z a bi a b R =+∈，则其共轭复数为(),z a bi a b R =-∈， 则220z z a b ⋅=+=，所以0a b ，即0z =；A 正确；B 选项，若11z =，2z i =，满足1212z z z z +=-，但12z z i =不为0；B 错；C 选项，若复数()z a ai a R =+∈表示纯虚数，需要实部为0，即0a =，但此时复数0z =表示实数，故C 错；D 选项，设(),z a bi a b R =+∈，则()2222234z a bi a abi b i =+=+-=+， 所以22324a b ab ⎧-=⎨=⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩或21a b =-⎧⎨=-⎩，则2z i =+或2z i =--， 所以其对应的点分别为()2,1或()2,1--，所以对应点的在第一象限或第三象限；D 正确. 故选：AD.10．下列说法正确的是（ ）A ．若2z =，则4z z ⋅=B ．若复数1z ，2z 满足1212z z z z +=-，则120z z =C ．若复数z 的平方是纯虚数，则复数z 的实部和虛部相等D ．“1a ≠”是“复数()()()211z a a i a R =-+-∈是虚数”的必要不充分条件 答案：AD【分析】由求得判断A ；设出，，证明在满足时，不一定有判断B ；举例说明C 错误；由充分必要条件的判定说明D 正确.【详解】若，则，故A 正确；设，则，而不一定为0，故B 错误；当时解析：AD【分析】 由z 求得z z ⋅判断A ；设出1z ，2z ，证明在满足1212z z z z +=-时，不一定有120z z =判断B ；举例说明C 错误；由充分必要条件的判定说明D 正确.【详解】 若2z =，则24z z z ⋅==，故A 正确；设()11111,z a bi a b R =+∈，()22222,z a b i a b R =+∈ 由1212z z z z +=-，可得()()()()222222121212121212z z a a b b z z a a b b +=+++=-=-+-则12120a a b b +=，而()()121122121212121212122z z a bi a b i a a bb a b i b a i a a a b i b a i =++=-++=++不一定为0，故B 错误；当1z i =-时22z i =-为纯虚数，其实部和虚部不相等，故C 错误；若复数()()()211z a a i a R =-+-∈是虚数，则210a -≠，即1a ≠± 所以“1a ≠”是“复数()()()211z a a i a R =-+-∈是虚数”的必要不充分条件，故D 正确； 故选：AD【点睛】本题考查的是复数的相关知识，考查了学生对基础知识的掌握情况，属于中档题.11．已知复数12z =-+（其中i 为虚数单位，，则以下结论正确的是（ ）．A ．20zB ．2z z =C ．31z =D ．1z = 答案：BCD【分析】计算出，即可进行判断.【详解】，，故B 正确，由于复数不能比较大小，故A 错误；，故C 正确；，故D 正确.故选：BCD.本题考查复数的相关计算，属于基础题.解析：BCD【分析】 计算出23,,,z z z z ，即可进行判断.【详解】12z =-+， 221313i i=2222z z ，故B 正确，由于复数不能比较大小，故A 错误； 33131313i i i 1222222z ，故C 正确； 2213122z，故D 正确.故选：BCD.【点睛】 本题考查复数的相关计算，属于基础题.12．下面关于复数的四个命题中，结论正确的是（ ）A ．若复数z R ∈，则z R ∈B ．若复数z 满足2z ∈R ，则z R ∈C ．若复数z 满足1R z ∈，则z R ∈D ．若复数1z ，2z 满足12z z R ∈，则12z z = 答案：AC【分析】根据复数的运算法则，以及复数的类型，逐项判断，即可得出结果.【详解】A 选项，设复数，则，因为，所以，因此，即A 正确；B 选项，设复数，则，因为，所，若，则；故B 错；C 选项，设解析：AC【分析】根据复数的运算法则，以及复数的类型，逐项判断，即可得出结果.【详解】A 选项，设复数(,)z a bi a b R =+∈，则(i ,)z a b a b =-∈R ，因为z R ∈，所以0b =，因此z a R =∈，即A 正确；B 选项，设复数(,)z a bi a b R =+∈，则()22222z a bi a b abi =+=-+，因为2z ∈R ，所0ab =，若0,0a b =≠，则z R ∉；故B 错；C 选项，设复数(,)z a bi a b R =+∈，则22222211a bi a b i z a bi a b a b a b -===-++++， 因为1R z∈，所以220b a b =+，即0b =，所以z a R =∈；故C 正确； D 选项，设复数1(,)z a bi a b R =+∈，2(,)z c di c d R =+∈，则()()()()12z z a bi c di ac bd ad bc i =++=-++，因为12z z R ∈，所以0ad bc +=，若11a b =⎧⎨=⎩，22c d =⎧⎨=-⎩能满足0ad bc +=，但12z z ≠，故D 错误.故选：AC.【点睛】本题主要考查复数相关命题的判断，熟记复数的运算法则即可，属于常考题型.13．已知复数z 满足220z z +=，则z 可能为（ ）A ．0B ．2-C ．2iD ．2i - 答案：ACD【分析】令代入已知等式，列方程组求解即可知的可能值.【详解】令代入，得：，∴，解得或或∴或或．故选：ACD【点睛】本题考查了已知等量关系求复数，属于简单题.解析：ACD【分析】令z a bi =+代入已知等式，列方程组求解即可知z 的可能值.【详解】令z a bi =+代入22||0z z +=，得：2220a b abi -+=，∴22020a b ab ⎧⎪-+=⎨=⎪⎩，解得0,0a b =⎧⎨=⎩或0,2a b =⎧⎨=⎩或0,2,a b =⎧⎨=-⎩ ∴0z =或2z i =或2z i =-．故选：ACD【点睛】本题考查了已知等量关系求复数，属于简单题.14．已知复数z 满足220z z +=，则z 可能为（ ）.A ．0B ．2-C ．2iD ．2i+1- 答案：AC【分析】令，代入原式，解出的值，结合选项得出答案．【详解】令，代入，得，解得，或，或，所以，或，或.故选：AC【点睛】本题考查复数的运算，考查学生计算能力，属于基础题．解析：AC【分析】令()i ,z a b a b R =+∈，代入原式，解出,a b 的值，结合选项得出答案．【详解】令()i ,z a b a b R =+∈，代入220z z +=，得222i 0a b ab -+=，解得00a b =⎧⎨=⎩，或02a b =⎧⎨=⎩，或02a b =⎧⎨=-⎩， 所以0z =，或2i z =，或2i z =-.故选：AC【点睛】本题考查复数的运算，考查学生计算能力，属于基础题．15．已知复数cos sin 22z i ππθθθ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭（其中i 为虚数单位）下列说法正确的是（ ）A ．复数z 在复平面上对应的点可能落在第二象限B ．z 可能为实数C ．1z =D ．1z的虚部为sin θ 答案：BC【分析】分、、三种情况讨论，可判断AB 选项的正误；利用复数的模长公式可判断C 选项的正误；化简复数，利用复数的概念可判断D 选项的正误.【详解】对于AB 选项，当时，，，此时复数在复平面内的点解析：BC【分析】 分02θπ-<<、0θ=、02πθ<<三种情况讨论，可判断AB 选项的正误；利用复数的模长公式可判断C 选项的正误；化简复数1z ，利用复数的概念可判断D 选项的正误. 【详解】对于AB 选项，当02θπ-<<时，cos 0θ>，sin 0θ<，此时复数z 在复平面内的点在第四象限；当0θ=时，1z R =-∈； 当02πθ<<时，cos 0θ>，sin 0θ>，此时复数z 在复平面内的点在第一象限.A 选项错误，B 选项正确；对于C 选项，1z ==，C 选项正确；对于D 选项，()()11cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin i i z i i i θθθθθθθθθθ-===-++⋅-， 所以，复数1z 的虚部为sin θ-，D 选项错误. 故选：BC.16．已知复数Z 在复平面上对应的向量(1,2),OZ =-则（ ）A ．z =-1+2iB ．|z |=5C ．12z i =+D ．5z z ⋅= 答案：AD【分析】因为复数Z 在复平面上对应的向量，得到复数，再逐项判断.【详解】因为复数Z 在复平面上对应的向量，所以，，|z|=，，故选：AD解析：AD【分析】因为复数Z 在复平面上对应的向量(1,2)OZ =-，得到复数12z i =-+，再逐项判断.【详解】因为复数Z 在复平面上对应的向量(1,2)OZ =-，所以12z i =-+，12z i =--，|z 5z z ⋅=，故选：AD17．下列关于复数的说法，其中正确的是（ ）A ．复数(),z a bi a b R =+∈是实数的充要条件是0b =B ．复数(),z a bi a b R =+∈是纯虚数的充要条件是0b ≠C ．若1z ，2z 互为共轭复数，则12z z 是实数D ．若1z ，2z 互为共轭复数，则在复平面内它们所对应的点关于y 轴对称答案：AC【分析】根据复数的有关概念和充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】解：对于：复数是实数的充要条件是，显然成立，故正确；对于：若复数是纯虚数则且，故错误；对于：若，互为共轭复数解析：AC【分析】根据复数的有关概念和充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】解：对于A ：复数(),z a bi a b R =+∈是实数的充要条件是0b =，显然成立，故A 正确；对于B ：若复数(),z a bi a b R =+∈是纯虚数则0a =且0b ≠，故B 错误；对于C ：若1z ，2z 互为共轭复数，设()1,z a bi a b R =+∈，则()2,z a bi a b R =-∈，所以()()2122222z a bi a bi a b b z i a =+-=-=+是实数，故C 正确； 对于D ：若1z ，2z 互为共轭复数，设()1,z a bi a b R =+∈，则()2,z a bi a b R =-∈，所对应的坐标分别为(),a b ，(),a b -，这两点关于x 轴对称，故D 错误；故选：AC【点睛】本题主要考查复数的有关概念的判断，利用充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键，属于基础题．18．已知复数122z =-，则下列结论正确的有（ ）A ．1z z ⋅=B ．2z z =C ．31z =-D ．202012z =-+答案：ACD【分析】分别计算各选项的值，然后判断是否正确，计算D 选项的时候注意利用复数乘方的性质.【详解】因为，所以A 正确；因为，，所以，所以B 错误；因为，所以C 正确；因为，所以，所以D 正确解析：ACD【分析】分别计算各选项的值，然后判断是否正确，计算D 选项的时候注意利用复数乘方的性质.【详解】因为11131222244z z i ⎛⎫⎛⎫-+=+= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭=⎝⋅，所以A 正确；因为221122z ⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭=，122z =+，所以2z z ≠，所以B 错误；因为321112222z z z i ⎛⎫⎛⎫=⋅=---=- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以C 正确；因为6331z z z =⋅=，所以()2020633644311122zz z z z ⨯+⎛⎫===⋅=-⋅=-+ ⎪ ⎪⎝⎭，所以D 正确，故选：ACD.【点睛】 本题考查复数乘法与乘方的计算，其中还涉及到了共轭复数的计算，难度较易.19．（多选题）已知集合{},n M m m i n N ==∈，其中i 为虚数单位，则下列元素属于集合M 的是（ ）A ．()()11i i -+B ．11i i -+C ．11i i +-D ．()21i - 答案：BC【分析】根据集合求出集合内部的元素，再对四个选项依次化简即可得出选项.【详解】根据题意，中，时，；时，；时，；时，，.选项A 中，；选项B 中，；选项C 中，；选项D 中，.解析：BC【分析】根据集合求出集合内部的元素，再对四个选项依次化简即可得出选项.【详解】 根据题意，{},n M m m i n N ==∈中， ()4n k k N =∈时，1n i =；()41n k k N =+∈时，n i i =；()42n k k N =+∈时，1n i =-；()43n k k N =+∈时，n i i =-，{}1,1,,M i i ∴=--.选项A 中，()()112i i M -+=∉；选项B 中，()()()211111i i i i i i M --==-+-∈+； 选项C 中，()()()211111i i i i i i M ++==-+∈-； 选项D 中，()212i i M -=-∉.故选：BC.【点睛】此题考查复数的基本运算，涉及复数的乘方和乘法除法运算，准确计算才能得解.20．已知i 为虚数单位，则下列选项中正确的是（ ）A ．复数34z i =+的模5z =B ．若复数34z i =+，则z （即复数z 的共轭复数）在复平面内对应的点在第四象限C ．若复数()()2234224m m m m +-+--i 是纯虚数，则1m =或4m =-D ．对任意的复数z ，都有20z答案：AB求解复数的模判断；由共轭复数的概念判断；由实部为0且虚部不为0求得值判断；举例说明错误．【详解】解：对于，复数的模，故正确；对于，若复数，则，在复平面内对应的点的坐标为，在第四解析：AB【分析】求解复数的模判断A ；由共轭复数的概念判断B ；由实部为0且虚部不为0求得m 值判断C ；举例说明D 错误．【详解】解：对于A ，复数34z i =+的模||5z ==，故A 正确；对于B ，若复数34z i =+，则34z i =-，在复平面内对应的点的坐标为(3,4)-，在第四象限，故B 正确；对于C ，若复数22(34)(224)m m m m i +-+--是纯虚数，则223402240m m m m ⎧+-=⎨--≠⎩，解得1m =，故C 错误； 对于D ，当z i 时，210z =-<，故D 错误．故选：AB ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，属于基础题．21．下列命题中，正确的是（ ）A ．复数的模总是非负数B ．复数集与复平面内以原点为起点的所有向量组成的集合一一对应C ．如果复数z 对应的点在第一象限，则与该复数对应的向量的终点也一定在第一象限D ．相等的向量对应着相等的复数 答案：ABD【分析】根据复数的几何意义逐项判断后可得正确的选项．【详解】设复数，对于A ，，故A 正确．对于B ，复数对应的向量为，且对于平面内以原点为起点的任一向量，其对应的复数为，故复数集与【分析】根据复数的几何意义逐项判断后可得正确的选项．【详解】设复数(),z a bi a b R =+∈，对于A ，0z =≥，故A 正确．对于B ，复数z 对应的向量为(),OZ a b =，且对于平面内以原点为起点的任一向量(),m n α=，其对应的复数为m ni +， 故复数集与复平面内以原点为起点的所有向量组成的集合一一对应，故B 正确． 对于B ，复数z 对应的向量为(),OZ a b =，且对于平面内的任一向量(),m n α=，其对应的复数为m ni +，故复数集中的元素与复平面内以原点为起点的所有向量组成的集合中的元素是一一对应，故B 正确．对于C ，如果复数z 对应的点在第一象限，则与该复数对应的向量的终点不一定在第一象限，故C 错．对于D ，相等的向量的坐标一定是相同的，故它们对应的复数也相等，故D 正确． 故选：ABD ．【点睛】本题考查复数的几何意义，注意复数(),z a bi a b R =+∈对应的向量的坐标为(),a b ，它与终点与起点的坐标的差有关，本题属于基础题．22．设()()2225322z t t t t i =+-+++，t ∈R ，i 为虚数单位，则以下结论正确的是（ ）A ．z 对应的点在第一象限B ．z 一定不为纯虚数C ．z 一定不为实数D ．z 对应的点在实轴的下方 答案：CD【分析】利用配方法得出复数的实部和虚部的取值范围，结合复数的概念和几何意义可判断出各选项的正误，由此可得出结论.【详解】，，所以，复数对应的点可能在第一象限，也可能在第二象限，故A 错误 解析：CD【分析】利用配方法得出复数z 的实部和虚部的取值范围，结合复数的概念和几何意义可判断出各选项的正误，由此可得出结论.【详解】22549492532488t t t ⎛+⎫= ⎪⎝⎭+-->-，()2222110t t t ++=++>， 所以，复数z 对应的点可能在第一象限，也可能在第二象限，故A 错误；当222530220t t t t ⎧+-=⎨++≠⎩，即3t =-或12t =时，z 为纯虚数，故B 错误； 因为2220t t ++>恒成立，所以z 一定不为实数，故C 正确；由选项A 的分析知，z 对应的点在实轴的上方，所以z 对应的点在实轴的下方，故D 正确. 故选：CD.【点睛】本题考查复数的几何意义与复数的概念相关命题真假的判断，解题的关键就是求出复数虚部和实部的取值范围，考查计算能力与推理能力，属于中等题.。
高中数学《复数》基础知识及经典练习题(含答案解析)
高中数学《复数》基础知识及经典练习题（含答案解析）一、基础知识：复数题目通常在高考中有所涉及，题目不难，通常是复数的四则运算1、复数z 的代数形式为(),z a bi a b R =+∈，其中a 称为z 的实部，b 称为z 的虚部（而不是bi )，2、几类特殊的复数：（1）纯虚数：0,0a b =≠ 例如：5i ，i 等（2）实数： 0b =3、复数的运算：设()12,,,,z a bi z c di a b c d R =+=+∈（1）21i =−（2）()()12z z a c b d i ±=+++（3）()()()()212z z a bi c di ac adi bci bdi ac bd ad bc i ⋅=+⋅+=+++=−++ 注：乘法运算可以把i 理解为字母，进行分配率的运算。
只是结果一方面要化成标准形式，另一方面要计算21i =−（4）()()()()()()1222a bi c di ac bd bc ad i z a bi z c di c di c di c d +−++−+===++−+ 注：除法不要死记公式而要理解方法：由于复数的标准形式是(),z a bi a b R =+∈，所以不允许分母带有i ，那么利用平方差公式及21i =的特点分子分母同时乘以2z 的共轭复数即可。
4、共轭复数：z a bi =−， 对于z 而言，实部相同，虚部相反5、复数的模：z = 2z z z =⋅ (22z z ≠) 6、两个复数相等：实部虚部对应相等7、复平面：我们知道实数与数轴上的点一一对应，推广到复数，每一个复数(),a bi a b R +∈都与平面直角坐标系上的点(),a b 一一对应，将这个平面称为复平面。
横坐标代表复数的实部，横轴称为实轴，纵轴称为虚轴。
8、处理复数要注意的几点：（1）在处理复数问题时，一定要先把复数化简为标准形式，即(),z a bi a b R =+∈（2）在实数集的一些多项式公式及展开在复数中也同样适用。
复数专题复习(经典、全面)
复数专题复习(经典、全面)复数专题复一、复数的概念及运算：1、复数的概念：复数由实部和虚部组成，其中虚部用虚数单位i表示。
2、复数的分类：根据实部和虚部的取值情况，复数可以分为实数、虚数、纯虚数和非纯虚数。
3、复数的运算法则：加减法具有交换律和结合律，乘法具有交换律、结合律和分配律，除法可以通过复数的共轭和模来计算。
4、复数的共轭和模：复数的共轭是实部不变、虚部取相反数的复数，复数的模表示复数对应点与原点的距离。
5、复数共轭和模的运算性质：复数的共轭和模具有一些特殊的运算性质，例如复数的和的共轭等于各自的共轭之和，复数的积的模等于各自的模之积。
二、典型问题分析：考点1：复数的基本运算1.复数(1+3i)/(3-i)的值等于-1+i。
2.已知复数z满足(3+3i)z=3i，则z=-1+i。
3.复数(1-i)^2/(3+3i)的值等于-1/2+i/2.4.复数(1+i)^2/(1-i)的值等于1-i。
考点2：复数的模长运算1.已知复数z=(3+i)/(2-6i)，则|z|=11/10.2.已知|z-1+i|=2，复数z的实部为a，虚部为1，则1<a<3.考点3：复数的实部与虚部1.复数1-i的虚部为-1.考点4：复数与复平面内的点关系1.在复平面内，复数1+i对应的点位于第一象限。
1.正确的结论个数是1.2.设 $f(z)=1-z$，$z_1=2+3i$，$z_2=5-i$，则 $f(z_1-z_2)=f(-3+4i)=-4-4i$，答案为 A。
3.设 $z=x+yi$，则 $(x+2)^2+(y-2)^2=1$，即$x^2+y^2+4x-4y+3=0$，这是一个圆心为 $(-2,2)$，半径为$\sqrt{2}$ 的圆。
$|z-2-2i|=\sqrt{(x-2)^2+(y-2)^2}$，是以$(2,2)$ 为圆心，半径为 $1$ 的圆，最小值为 $2$，答案为 A。
4.$p=z+z^*=2a$，$q=z\cdot z^*=a^2+1$，因为 $a^2+1\geq 2a$，所以 $q\geq p$，答案为 D。
高二数学人教新版(2019)专题复习《复数》
复数一．选择题（共8小题）1．（2022春•鼓楼区校级期中）若复数z＝，则|z﹣i|＝（）A．2B．C．4D．52．（2022•鼓楼区校级模拟）在复平面内，复数z对应的点在第二象限，且|z|＝|z﹣i|＝1，则z＝（）A．+i B．﹣﹣i C．﹣﹣i D．﹣+i3．（2022•福州模拟）设复数z满足（1﹣i）z＝3+i，则复平面内与z对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．（2022春•福州期中）已知a，b∈R，“b≠0”是“复数a+bi为虚数”的（）A．必要非充分条件B．充分非必要条件C．充要条件D．既非充分条件也非必要条件5．（2022•福州模拟）若复数z满足z（1﹣i）＝4i，则z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限6．（2021秋•福州期末）已知z＝3﹣4i，则|z|+zi＝（）A．1+3i B．8﹣4i C．9+3i D．20+3i7．（2022春•仓山区校级期中）已知复数z满足z（1+2i）＝|4+3i|，（其中i为虚数单位），则复数z的虚部为（）A．1B．i C．﹣2D．﹣2i8．（2020秋•福州月考）已知复数z＝1+i，为z的共轭复数，则＝（）A．B．C．D．二．多选题（共4小题）（多选）9．（2022•鼓楼区校级三模）设复数z＝（a∈R），当a变化时，下列结论正确的是（）A．|z|＝||恒成立B．z可能是纯虚数C．可能是实数D．|z|的最大值为（多选）10．（2022春•鼓楼区校级期中）设z1，z2，z3为复数，z1≠0，下列命题中正确的是（）A．若|z1|＝|z2|，则|z1z3|＝|z2z3|B．若z1z2＝z1z3，则z2＝z3C．若z1＝，则＝z2D．若z12+z22＞0，则z12＞﹣z22（多选）11．（2022春•仓山区校级期中）设z1，z2是复数，则下列说法中正确的是（）A．若|z1|＝|z2|，则z12＝z22B．若|z1|＝|z2|，则z1＝±z2C．若z1z2＝0，则z1＝0或z2＝0D．若|z1﹣z2|＝0，则z1＝z2（多选）12．（2022春•花都区校级期中）设复数z满足z＝﹣1﹣2i，i为虚数单位，则下列命题正确的是（）A．B．复数z在复平面内对应的点在第四象限C．z的共轭复数为﹣1+2iD．复数z在复平面内对应的点在直线y＝﹣2x上三．填空题（共4小题）13．（2022春•福州期中）已知a，b∈R，i是虚数单位，若a+i＝1﹣bi，则（a+bi）2＝．14．（2021春•鼓楼区校级期中）z∈C，若，则z＝．15．（2021秋•福州期中）已知i为虚数单位，复数，在复平面中将z 1绕着原点逆时针旋转165°得到z2，则z2＝．16．（2022春•仓山区校级期中）在复数范围内，﹣4的所有平方根为，并由此写出﹣4的一个四次方根．四．解答题（共4小题）17．（2022春•鼓楼区校级期中）已知复数z＝a+bi（a，b∈R），若存在实数t，使＝﹣3ati成立．（1）求2a+b的值；（2）求|z﹣2|的最小值．18．（2022春•仓山区校级期中）已知复数z＝m﹣i（m∈R），且•（1+3i）为纯虚数（是z的共轭复数）．（1）求复数z的模；（2）复数z1＝在复平面对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．19．（2022春•项城市校级月考）当实数a取何值时，在复平面内与复数z＝（m2﹣4m）+（m2﹣m﹣6）i对应点满足下列条件？（1）在第三象限；（2）在虚轴上；（3）在直线x﹣y+3＝0上．20．（2021春•鼓楼区校级期中）已知复数z＝3+bi（b＝R），且（1+3i）•z为纯虚数．（1）求复数z；（2）若，求复数ω以及模|ω|．高二数学人教新版（2019）专题复习《复数》参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．（2022春•鼓楼区校级期中）若复数z＝，则|z﹣i|＝（）A．2B．C．4D．5【考点】复数的模．【专题】转化思想；综合法；数系的扩充和复数；数学运算．【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出结论．【解答】解：复数z＝＝＝＝1﹣i，则|z﹣i|＝|1﹣2i|＝＝，故选：B．【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．（2022•鼓楼区校级模拟）在复平面内，复数z对应的点在第二象限，且|z|＝|z﹣i|＝1，则z＝（）A．+i B．﹣﹣i C．﹣﹣i D．﹣+i【考点】复数的模；复数的运算．【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；数学运算．【分析】根据已知条件，结合复数模公式，即可求解．【解答】解：设z＝x+yi（x＜0，y＞0），∵|z|＝|z﹣i|＝1，∴，解得x＝，y＝，∴z＝．故选：A．【点评】本题主要考查复数模公式，属于基础题．3．（2022•福州模拟）设复数z满足（1﹣i）z＝3+i，则复平面内与z对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；数学运算．【分析】根据已知条件，先对z化简，再结合复数的几何意义，即可求解．【解答】解：∵（1﹣i）z＝3+i，∴，∴复平面内与z对应的点（1，2）位于第一象限．故选：A．【点评】本题主要考查复数的运算法则，以及复数的几何意义，属于基础题．4．（2022春•福州期中）已知a，b∈R，“b≠0”是“复数a+bi为虚数”的（）A．必要非充分条件B．充分非必要条件C．充要条件D．既非充分条件也非必要条件【考点】虚数单位i、复数；充分条件、必要条件、充要条件．【专题】对应思想；转化法；简易逻辑；数学运算．【分析】根据充分必要条件的定义以及虚数的定义判断即可．【解答】解：a，b∈R，若b≠0，则复数a+bi是虚数，是充分条件，反之，若复数a+bi为虚数，则b≠0，是必要条件，∴“b≠0”是“复数a+bi是虚数”的充分必要条件，故选：C．【点评】本题考查了充分必要条件和虚数的定义，是基础题．5．（2022•福州模拟）若复数z满足z（1﹣i）＝4i，则z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【专题】方程思想；转化法；数系的扩充和复数；数学运算．【分析】根据已知条件，结合复数的乘除法原则和复数的几何意义，即可求解．【解答】解：∵z（1﹣i）＝4i，∴，∴z在复平面内对应的点（﹣2，2）位于第二象限．故选：B．【点评】本题考查了复数的几何意义，以及复数代数形式的乘除法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．6．（2021秋•福州期末）已知z＝3﹣4i，则|z|+zi＝（）A．1+3i B．8﹣4i C．9+3i D．20+3i【考点】复数的模．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；数系的扩充和复数；数学运算．【分析】根据题意，求出|z|和zi的值，计算可得答案．【解答】解：根据题意，z＝3﹣4i，则|z|＝＝5，zi＝（3﹣4i）i＝4+3i，则|z|+zi＝9+3i，故选：C．【点评】本题考查复数的计算，注意复数的模，属于基础题．7．（2022春•仓山区校级期中）已知复数z满足z（1+2i）＝|4+3i|，（其中i为虚数单位），则复数z的虚部为（）A．1B．i C．﹣2D．﹣2i【考点】复数的运算．【专题】方程思想；定义法；数系的扩充和复数；数学运算．【分析】推导出z＝1﹣2i，由此能求出复数z的虚部．【解答】解：∵复数z满足z（1+2i）＝|4+3i|，∴z＝＝＝＝＝1﹣2i，∴复数z的虚部为﹣2．故选：C．【点评】本题考查复数的虚部求法，考查复数的运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8．（2020秋•福州月考）已知复数z＝1+i，为z的共轭复数，则＝（）A．B．C．D．【考点】复数的运算．【专题】对应思想；定义法；数系的扩充和复数；数学运算．【分析】根据z，求出z的共轭复数，代入化简计算即可．【解答】解：∵z＝1+i，∴＝1﹣i，∴＝＝＝，故选：D．【点评】本题考查了复数的运算，考查转化思想，是一道基础题．二．多选题（共4小题）（多选）9．（2022•鼓楼区校级三模）设复数z＝（a∈R），当a变化时，下列结论正确的是（）A．|z|＝||恒成立B．z可能是纯虚数C．可能是实数D．|z|的最大值为【考点】复数的模；虚数单位i、复数．【专题】转化思想；综合法；数系的扩充和复数；数学运算．【分析】首先根据得到z＝，再结合复数的定义和运算性质依次判断选项即可．【解答】解：z＝＝＝﹣，对于A，＝，|z|＝||＝，故A正确；对于B，z＝﹣，当a＝0时，z＝﹣是纯虚数，故B正确；对于C，z+＝＝（）+（2﹣）i，令2﹣＝0，即a2+3＝0无解，故C错误；对于D，|z|2＝+＝，当且仅当a＝0时，取等号，∴|z|的最大值为，故D正确．故选：ABD．【点评】本题考查复数的运算，考查复数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．（多选）10．（2022春•鼓楼区校级期中）设z1，z2，z3为复数，z1≠0，下列命题中正确的是（）A．若|z1|＝|z2|，则|z1z3|＝|z2z3|B．若z1z2＝z1z3，则z2＝z3C．若z1＝，则＝z2D．若z12+z22＞0，则z12＞﹣z22【考点】复数的模．【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；数学运算．【分析】根据已知条件，结合复数模的性质，共轭复数的定义，即可求解．【解答】解：对于A，由复数模的性质可得，|z1z3|＝|z1||z3|，|z2z3|＝|z2||z3|，∵|z1|＝|z2|，∴|z1z3|＝|z2z3|，故A正确，对于B，∵z1z2＝z1z3，∴z1（z2﹣z3）＝0，∵z1≠0，∴z2＝z3，故B正确，对于C，∵z 1＝，∴，故C正确，对于D，令，，满足z12+z22＞0，但z12＞﹣z22不成立，故D错误．故选：ABC．【点评】本题主要考查复数模的性质，共轭复数的定义，属于基础题．（多选）11．（2022春•仓山区校级期中）设z1，z2是复数，则下列说法中正确的是（）A．若|z1|＝|z2|，则z12＝z22B．若|z1|＝|z2|，则z1＝±z2C．若z1z2＝0，则z1＝0或z2＝0D．若|z1﹣z2|＝0，则z1＝z2【考点】复数的模．【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；数学运算．【分析】根据已知条件，结合复数的乘积运算法则，以及特殊值法，即可求解．【解答】解：对于A，令z1＝1，z2＝i，满足|z1|＝|z2|，但，故A错误，对于B，令z1＝1，z2＝i，满足|z1|＝|z2|，但z1≠±z2，故B错误，对于C，∵z1，z2是复数，z1z2＝0，∴由复数的乘积运算法则可知，z1＝0或z2＝0，故C正确，对于D，∵|z1﹣z2|＝0，∴z1﹣z2＝0，即z1＝z2，故D正确．故选：CD．【点评】本题主要考查复数的乘积运算法则，以及特殊值法，属于基础题．（多选）12．（2022春•花都区校级期中）设复数z满足z＝﹣1﹣2i，i为虚数单位，则下列命题正确的是（）A．B．复数z在复平面内对应的点在第四象限C．z的共轭复数为﹣1+2iD．复数z在复平面内对应的点在直线y＝﹣2x上【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【专题】对应思想；定义法；数系的扩充和复数；数学抽象；数学运算．【分析】根据复数的模、复数的几何意义、共轭复数等知识，逐一判断各选项即可．【解答】解：由z＝﹣1﹣2i，得，故A正确：复数z在复平面内对应的点的坐标为（﹣1，﹣2），在第三象限，故B不正确：z的共轭复数为﹣1+2i，故C正确：复数z在复平面内对应的点（﹣1，﹣2）不在直线y＝﹣2x上，故D不正确．故选：AC．【点评】本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，复数的模和共轭复数，属基础题．三．填空题（共4小题）13．（2022春•福州期中）已知a，b∈R，i是虚数单位，若a+i＝1﹣bi，则（a+bi）2＝﹣2i．【考点】复数的运算．【专题】方程思想；转化思想；数系的扩充和复数；数学运算．【分析】利用复数相等的条件求得a与b的值，再由复数代数形式的乘除运算化简求解（a+bi）2．【解答】解：由a+i＝1﹣bi，得a＝1，b＝﹣1，∴（a+bi）2＝（1﹣i）2＝1﹣2i+i2＝﹣2i．故答案为：﹣2i．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，是基础题．14．（2021春•鼓楼区校级期中）z∈C，若，则z＝．【考点】复数的运算．【专题】方程思想；定义法；数系的扩充和复数；数学运算．【分析】设z＝a+bi（a，b∈R），代入，整理后利用复数相等的条件求解a与b的值，则z可求．【解答】解：设z＝a+bi（a，b∈R），由，得，即，∴，解得，∴z＝，故答案为：．【点评】本题考查复数模的求法，考查复数相等的条件，是基础题．15．（2021秋•福州期中）已知i为虚数单位，复数，在复平面中将z 1绕着原点逆时针旋转165°得到z2，则z2＝﹣﹣i．【考点】复数的运算．【专题】对应思想；综合法；数系的扩充和复数；数学运算．【分析】结合复数的几何意义，特殊角的三角函数值，即可得解．【解答】解：在复平面内对应的点为（1，），将其逆时针旋转165°后落在第三象限，且与x轴负半轴的夹角为45°，所以对应的点为（﹣，﹣），所以z2＝﹣﹣i．故答案为：﹣﹣i．【点评】本题考查复数的几何意义，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．16．（2022春•仓山区校级期中）在复数范围内，﹣4的所有平方根为±2i，并由此写出﹣4的一个四次方根1+i．【考点】虚数单位i、复数．【专题】转化思想；综合法；数系的扩充和复数；数学运算．【分析】由题意利用虚数单位i的运算性质，复数的开方运算，得出结论．【解答】解：在复数范围内，∵（±2i）2＝﹣4，故﹣4的所有平方根为±2i．∵﹣4＝4（cosπ+i sinπ），故它的四次方根为（cos+i sin），故它的一个四次方根（+i）＝1+i，故答案为：±2i；1+i．【点评】本题主要考查复数的开方运算，虚数单位i的运算性质，属于基础题．四．解答题（共4小题）17．（2022春•鼓楼区校级期中）已知复数z＝a+bi（a，b∈R），若存在实数t，使＝﹣3ati成立．（1）求2a+b的值；（2）求|z﹣2|的最小值．【考点】复数的运算；复数的模．【专题】方程思想；定义法；数系的扩充和复数；逻辑推理；数学运算．【分析】（1）由复数的运算化简，再由复数相等得到2a+b的值；（2）由模长公式结合二次函数的性质得出最值．【解答】解：（1）＝＝＝2+4i，＝，∴，∴，∴2a﹣6＝﹣b，解得2a+b＝6．（2）|z﹣2|＝|（a﹣2）+（6﹣2a）i|＝＝＝≥，∴|z﹣2|的最小值为．【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．18．（2022春•仓山区校级期中）已知复数z＝m﹣i（m∈R），且•（1+3i）为纯虚数（是z的共轭复数）．（1）求复数z的模；（2）复数z1＝在复平面对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数的运算．【专题】整体思想；综合法；数系的扩充和复数；数学运算．【分析】（1）结合复数的四则运算进行化解，然后结合纯虚数概念可求m，进而可求；（2）先结合复数的四则运算进行化简，然后结合复数的几何意义可求．【解答】解：（1）•（1+3i）＝（m+i）（1+3i）＝m﹣3+（3m+1）i为纯虚数，则m＝3，z＝3﹣i，所以|z|＝；（2）z1＝＝＝＝在复平面对应的点在第一象限，所以3a+1＞0且a﹣3＞0，所以a＞3，故a的取值范围为（3，+∞）．【点评】本题主要考查了复数的四则运算及复数的几何意义的应用，属于基础题．19．（2022春•项城市校级月考）当实数a取何值时，在复平面内与复数z＝（m2﹣4m）+（m2﹣m﹣6）i对应点满足下列条件？（1）在第三象限；（2）在虚轴上；（3）在直线x﹣y+3＝0上．【考点】虚数单位i、复数．【专题】方程思想；转化思想；不等式的解法及应用；数系的扩充和复数．【分析】复数z＝（m2﹣4m）+（m2﹣m﹣6）i，对应点的坐标为Z（m2﹣4m，m2﹣m﹣6）．（1）点Z在第三象限，则，解得即可．（2）点Z在虚轴上，则，或m2﹣4m＝m2﹣m﹣6＝0，解得m即可．（3）点Z在直线x﹣y+3＝0上，则（m2﹣4m）﹣（m2﹣m﹣6）+3＝0，解出即可．【解答】解：复数z＝（m2﹣4m）+（m2﹣m﹣6）i，对应点的坐标为Z（m2﹣4m，m2﹣m﹣6）．（1）点Z在第三象限，则，解得，∴0＜m＜3．（2）点Z在虚轴上，则；或m2﹣4m＝m2﹣m﹣6＝0解得m＝0，或m＝4；无解；因此m＝0，或m＝4．（3）点Z在直线x﹣y+3＝0上，则（m2﹣4m）﹣（m2﹣m﹣6）+3＝0，即﹣3m+9＝0，∴m＝3．【点评】本题考查了复数的有关概念、复数相等、几何意义、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．（2021春•鼓楼区校级期中）已知复数z＝3+bi（b＝R），且（1+3i）•z为纯虚数．（1）求复数z；（2）若，求复数ω以及模|ω|．【考点】复数的模．【专题】计算题；转化思想；综合法；数系的扩充和复数；数学运算．【分析】（1）根据复数分类可解决此问题；（2）根据复数除法运算法则先求得复数ω，然后可求得|ω|．【解答】解：（1）∵z＝3+bi（b＝R），∴（1+3i）•z＝3﹣3b+（9+b）i，又∵（1+3i）•z为纯虚数，∴9+b≠0且3﹣3b＝0，解得b＝1，∴z＝3+i；（2）＝＝﹣i，∴|ω|＝＝．【点评】本题考查复数分类、复数运算，考查数学运算能力，属于基础题．考点卡片1．充分条件、必要条件、充要条件【知识点的认识】1、判断：当命题“若p则q”为真时，可表示为p⇒q，称p为q的充分条件，q是p的必要条件．事实上，与“p⇒q”等价的逆否命题是“￢q⇒￢p”．它的意义是：若q不成立，则p一定不成立．这就是说，q对于p是必不可少的，所以说q是p的必要条件．例如：p：x＞2；q：x＞0．显然x∈p，则x∈q．等价于x∉q，则x∉p一定成立．2、充要条件：如果既有“p⇒q”，又有“q⇒p”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立的充要条件，记作“p⇔q”．p与q互为充要条件．【解题方法点拨】充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可．判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．【命题方向】充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广．2．虚数单位i、复数【虚数单位i的概念】i是数学中的虚数单位，i2＝﹣1，所以i是﹣1的平方根．我们把a+bi的数叫做复数，把a＝0且b≠0的数叫做纯虚数，a≠0，且b＝0叫做实数．复数的模为．【复数的运算】①复数的加法，若M＝a+bi，N＝c+di，那么M+N＝（a+c）+（b+d）i，即实部与实部相加，虚部与虚部相加．②复数的乘法，若M＝a+bi，N＝c+di，那么M•N＝（ac﹣bd）+（ad+bc）i，与多项式乘法类似，只不过要加上i．【例题解析】例：定义运算，则符合条件的复数z为．解：根据定义，可知1×zi﹣（﹣1）×z＝4+2i，即z（1+i）＝4+2i，∴z＝＝＝3﹣i．这个题很好地反应了复数的一般考法，也就是考查复数的运算能力，其中常常用到复数与复数相除．这个题的第一步先把复数当做一个整体进行运算，第二部相除，思路就是把分母变成实数，方法就是乘以它的共轭复数（虚数前面的符号变为相反既是）．处理这种方法外，有的时候还需要设出复数的形式为a+bi，然后在求出a和b，这种类型的题一般用待定系数法．【复数的概念】形如a+bi（a，b∈R）的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a+bi为实数；若b≠0，则a+bi为虚数；若a＝0，b≠0，则a+bi为纯虚数．2、复数相等：a+bi＝c+di⇔a＝c，b＝d（a，b，c，d∈R）．3、共轭复数：a+bi与c+di共轭⇔a＝c，b+d＝0（a，b，c，d∈R）．4、复数的模：的长度叫做复数z＝a+bi的模，记作|z|或|a+bi|，即|z|＝|a+bi|＝．3．复数的代数表示法及其几何意义【知识点的知识】1、复数的代数表示法建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，x轴的单位是1，y轴的单位是i，实轴与虚轴的交点叫做原点，且原点（0，0），对应复数0．即复数z＝a+bi→复平面内的点z（a，b）→平面向量．2、除了复数与复平面内的点和向量的一一对应关系外，还要注意：（1）|z|＝|z﹣0|＝a（a＞0）表示复数z对应的点到原点的距离为a；（2）|z﹣z0|表示复数z对应的点与复数z0对应的点之间的距离．3、复数中的解题策略：（1）证明复数是实数的策略：①z＝a+bi∈R⇔b＝0（a，b∈R）；②z∈R⇔＝z．（2）证明复数是纯虚数的策略：①z＝a+bi为纯虚数⇔a＝0，b≠0（a，b∈R）；②b≠0时，z﹣＝2bi为纯虚数；③z是纯虚数⇔z+＝0且z≠0．4．复数的运算复数的加、减、乘、除运算法则5．复数的模【知识点的知识】1．复数的概念：形如a+bi（a，b∈R）的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a+bi为实数；若b≠0，则a+bi为虚数；若a＝0，b≠0，则a+bi为纯虚数．2、复数相等：a+bi＝c+di⇔a＝c，b＝d（a，b，c，d∈R）．3、共轭复数：a+bi与c+di共轭⇔a＝c，b+d＝0（a，b，c，d∈R）．4、复数的模：的长度叫做复数z＝a+bi的模，记作|z|或|a+bi|，即|z|＝|a+bi|＝．。
(完整版)高三复数总复习知识点、经典例题、习题
复数.基本知识【1】复数的基本概念(1) 形如a + bi 的数叫做复数(其中a ，b R )；复数的单位为i ，它的平 方等于一1，即i 21.其中a 叫做复数的实部，b 叫做虚部纯虚数：当a = 0且b(2) 两个复数相等的定义：0时的复数a+ b i 为纯虚数a bi c di a c 且b d (其中，a ， b ，c ,d , R )特别地 a bi 0 a b 0(3) 共轭复数：z a bi 的共轭记作z a bi ; (4)复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫复平面；z a bi ，对应点坐标为p a,b ;(象限的复习)实数：当b = 0时复数 a + bi 为实数 虚数：当b 0时的复数a + bi 为虚数;设z 1 a 1bj ，Z 2a 2b 2i(1) 加法： Z 1 Z 2 a 1 a 2 b 1b 2 i ;(2) 减法： Z 1 Z 2 a 1 a 2th b 2 i ;(3) 乘法： Z 1 : Z 2 a ia2t 1b 2a2^ a 1b 2i特别 z z a 2 b 2。
(4) 幕运算:・1i i i 231 i4i i1 i.5 6i i1【3】 复数的化简c zadi( abi ,b 是均不为 0的实数) ;的化简就是通过分母实数化的方法将分母 化为实数：zc di c di a biac bdad bc i a bi a bi a bi2 ab 2对于:c di z a bi-a b 0， 当cab 时z :为实数; 当z 为纯虚数是z 可设为复数的基本运算【2】(5)复数的模：对于复数z bi ，\ a 2 b 2 叫做复数z 的模;二. 例题分析【例11已知z a 1 b 4 i ，求(1) 当a,b 为何值时z 为实数 (2) 当a,b 为何值时z 为纯虚数 (3) 当a,b 为何值时z 为虚数(4)当a,b 满足什么条件时z 对应的点在复平面内的第二象限A. 1 B . 0 C 1 D2 2【变式21求实数m 的值，使复数(m 2m 3) (m 3m 4)i 分别是：(1)实数。
高中《复数》经典练习题1(含答案)
高中《复数》经典练习题1(含答案) 高中《复数》经典练题【编著】黄勇权一、填空题1、复数2-i的共轭复数是1+i。
2．设复数z=1+i（i是虚数单位），则|1+z|=2.3、若复数Z满足Z（1-i）=2+4i（i为虚数单位），则Z=2+i。
4、若复数Z满足Z+2i =2+i（i为虚数单位），则Z=1-i。
5、z=(m²-4)+(2-m)i为纯虚数，则实数m的值为2或6.6、已知m∈R，i是虚数单位，若z=a-2i，z•z=6，则m=-1.7、已知z =(x+1)+(x-3)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是-1<x<3.8、若复数Z满足2-3i=3+2Zi（i为虚数单位），则Z=-1/2-i。
9、复数Z=i+i²在复平面对应的点在第二象限。
10、复数Z满足（Z-1）i=2+i，则Z的模为√5.11、若复数Z满足Z（1-i）= 2+2i（i为虚数单位），则Z=2+i。
12、复数Z=1+i，则Z•(z-1)=-1-2i。
13、若复数的实部与虚部相等，则实数a=0.14、复数的虚部。
15、2．若复数（α∈R）是纯虚数，则复数2a+2i在复平面内对应的点在第二象限。
16、设复数z满足（z+i）（2+i）=5（i为虚数单位），则z=1-2i。
17、如果复数z=3i（i为虚数单位）的实部与虚部互为相反数，那么|z|=3.18、复数z=-2i+3-i，则复数z的共轭复数在复平面内对应的点在第三象限。
19、设复数z满足i(z-4)=3+2i（i为虚数单位），则z=4+2i。
20、设复数i(z-4)=3+2i（i为虚数单位），则z1的模为√2，z2的模为√10.二、选择题1、设a，b∈R，i为虚数单位，若（a+bi）•i=2-5i，则ab的值为（B）5.2、若复数z为纯虚数，且满足(2-i)z=a+i（i为虚数单位），则实数a的值为（A）2.3、已知复数z满足(1-i)z=2i，其中i为虚数单位，则z的模为（B）3.4、i是虚数单位，复数(1+i)(1-ai)的实部为（A）1-a，虚部为（B）1+a。
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复数一．基本知识【1】复数的基本概念（1）形如a + b i 的数叫做复数（其中R b a ∈，）；复数的单位为i ，它的平方等于－1，即1i 2-=.其中a 叫做复数的实部，b 叫做虚部实数：当b = 0时复数a + b i 为实数虚数：当0≠b 时的复数a + b i 为虚数；纯虚数：当a = 0且0≠b 时的复数a + b i 为纯虚数（2）两个复数相等的定义：00==⇔=+∈==⇔+=+b a bi a R d c b a d b c a di c bi a ）特别地，，，，（其中，且（3）共轭复数：z a bi =+的共轭记作z a bi =-；（4）复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫复平面；z a bi =+，对应点坐标为(),p a b ；（象限的复习）（5）复数的模：对于复数z a bi =+，把z =叫做复数z 的模；【2】复数的基本运算设111z a b i =+，222z a b i =+（1） 加法：()()121212z z a a b b i +=+++；（2） 减法：()()121212z z a a b b i -=-+-；（3） 乘法：()()1212122112z z a a b b a b a b i ⋅=-++ 特别22z z a b ⋅=+。
（4）幂运算：1i i =21i =-3i i =-41i =5i i =61i =-⋅⋅⋅⋅⋅⋅【3】复数的化简c di z a bi+=+（,a b 是均不为0的实数）；的化简就是通过分母实数化的方法将分母化为实数：()()22ac bd ad bc i c di c di a bi z a bi a bi a bi a b ++-++-==⋅=++-+ 对于()0c di z a b a bi +=⋅≠+，当c d a b=时z 为实数；当z 为纯虚数是z 可设为c di z xi a bi+==+进一步建立方程求解二． 例题分析【例1】已知()14z a b i =++-，求（1） 当,a b 为何值时z 为实数（2） 当,a b 为何值时z 为纯虚数（3） 当,a b 为何值时z 为虚数（4） 当,a b 满足什么条件时z 对应的点在复平面内的第二象限。
(完整版)复数经典例题
经典例题透析类型一：复数的有关概念a 2-7a +62+(a -5a -6)i (a ∈R )，试求实数a 分别取什么值时，例1．已知复数z =a 2-1z 分别为：（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数.思路点拨：根据复数z 为实数、虚数及纯虚数的概念，判断实部与虚部取值情况.利用它们的充要条件可分别求出相应的a 值.解析：（1）当z 为实数时，2⎧⎧a =-1或a =6⎪a -5a -6=0有⎨2⇒⎨⇒a =6，⎪⎩a ≠±1⎩a -1≠0∴当a =6时，z 为实数.（2）当z 为虚数时，2⎧⎪a -5a -6≠0⎧a ≠-1且a ≠6有⎨2⇒⎨⇒a ≠±1且a ≠6，⎪⎩a ≠±1⎩a -1≠0∴当a∈（－∞，－1）∪（－1，1）∪（1，6）∪（6，+∞）时，z 为虚数.（3）当z 为纯虚数时，⎧a 2-5a -6≠0⎧a ≠-1且a ≠6⎪有⎨a 2-7a +6⇒⎨⇒a ∈∅=0⎩a =6⎪2⎩a -1∴不存在实数a 使z 为纯虚数.a 2-7a +62a -5a -6.总结升华：由于a∈R，所以复数z 的实部与虚部分为与2a -1①求解第（1）小题时，仅注重虚部等于零是不够的，还需考虑它的实部是否有意义，否则本小题将出现增解；②求解第（2）小题时，同样要注意实部有意义的问题；③求解第（3）小题时，既要考虑实数为0（当然也要考虑分母不为0），还需虚部不为0，两者缺一不可.举一反三：【变式1】设复数z=a+bi（a、b∈R），则z 为纯虚数的必要不充分条件是（）A．a=0 B．a=0且b≠0 C．a≠0且b=0 D．a≠0且b≠0【答案】A；由纯虚数概念可知：a=0且b≠0是复数z=a+bi（a、b∈R）为纯虚数的充要条件.而题中要选择的是必要不充分条件，对照各选择支的情况，应选择A.【变式2】若复数(a -3a +2)+(a -1)i 是纯虚数，则实数a 的值为（）A.1B.2C.1或2D.-12【答案】B；∵(a -3a +2)+(a -1)i 是纯虚数，∴a -3a +2=0且a -1≠0，即a =2.222【变式3】如果复数(m +i )(1+mi )是实数，则实数m=（）A．1 B．－1 C．2 D．-2【答案】B；【变式4】求当实数m 取何值时，复数z =(m -m -2)+(m -3m +2)i 分别是：（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数.【答案】（1）当m -3m +2=0即m =1或m =2时，复数z 为实数；（2）当m -3m +2≠0即m ≠1且m ≠2时，复数z 为虚数；2⎧⎪m -m -2=0（3）当⎨即m =-1时，复数z 为纯虚数.2⎪⎩m -3m +2≠02222类型二：复数的代数形式的四则运算例2.计算：（1）i n (n ∈N +)； (2)(1+i )8(1-4i )(1+i )+2+4i (3)(1+2i )÷(1-2i ); (4)3+4i解析：(1)∵i =-1，∴i =i ⋅i =-i ，i =i ⋅i =1，同理可得：当n =4k +1(k ∈N +)时，i 4k +1232422=i 4k ⋅i =(i 4)k ⋅i =i 当n =4k +2(k ∈N +)时，i 4k +2=i 4k ⋅i 2=-1，当n =4k +3(k ∈N +)时，i 当n =4k +4(k ∈N +)时，i 4k +3=i 4k ⋅i 3=-i 4k =i 4k ⋅i 4=(i 4)k =1，（n =4k +1，k ∈N ）⎧i ⎪-1（n =4k +2，k ∈N ）⎪n (n ∈N +)∴i =⎨-i （n =4k +3，k ∈N ）⎪⎪（n =4k +4，k ∈N ）⎩1(2)(1+i )=[(1+i )]=(2i )=2i =16824444341+2i (1+2i )(1+2i )12+(2i )2+4i -3+4i ====-+i (3)(1+2i )÷(1-2i )=22(1-2i )(1+2i )1-(2i )5551-2i (4)7+i (7+i )(3-4i )(1-4i )(1+i )+2+4i 1+4-3i +2+4i ===3+4i 3+4i 3+4i 32+4221+4+3i -28i 25-25i ===1-i .25251）i 的“周期性”（n ∈N +）2）(1±i )=±2i3）(a +bi )(a -bi )=a +b 222总结升华：熟练运用常见结论：n 举一反三：【变式1】计算：（1）(5―6i)+(―2―i)―(3+4i)（2）(1+2i )(3-4i )(2-i )（3）i ⋅i ⋅i ⋅L ⋅i 23100(1+i )3-(1-i )3（4）；22(1+i )-(1-i )【答案】（1）(5―6i)+(―2―i)―(3+4i)=[(5―2)+(―6―1)i]―(3+4i)=(3―7i)―(3+4i)=(3―3)+(―7―4)i=―11i.（2）(1+2i )(3-4i )(2-i )=(11+2i )(2-i )=24-7i（3）i ⋅i ⋅i ⋅L ⋅i 23100=i 1+2+L +100=i 5050=(i 4)1262⋅i 2=i 2=-1(1+i )3-(1-i )3(1+i )2⋅(1+i )-(1-i )2(1-i )2i (1+i )+2i (1-i )2i ⋅2==（4）==122(1+i )-(1-i )2i -(-2i )4i 4i【变式2】复数2i (1+i )=( )A.-4B.4C.-4iD.4i【答案】A；2i (1+i )=2i (1+2i -1)=2i ⨯2i =4i 2=-4【变式3】复数221+3i3-i =3等于( )A. iB. -iC.3+iD.3-i【答案】A；1+3i 3-i 1i1+3i-i (1+3i )=1=i ，故选A -i【变式4】复数(i -)等于( )A.8 B.－8 C.8i D.－8i 【答案】D；(i -)=(i +1i 3-13)=(2i )3=8i 3=-8i .i类型三：复数相等的充要条件例3、已知x 是实数，y 是纯虚数，且满足(2x―1)+(3―y)i=y―i，求x、y.思路点拨：因x∈R，y 是纯虚数，所以可设y=bi（b∈R 且b≠0），代入原式，由复数相等的充要条件可得方程组，解之即得所求结果.解析：∵y 是纯虚数，可设y=bi（b∈R，且b≠0），则(2x―1)+(3―y)i＝(2x―1)+(3―bi )i＝（2x－1+b）+3i，y―i =bi－i=（b－1）i由(2x―1)+(3―y)i=y―i 得（2x―1+b）+3i=（b―1）i，⎧b =4⎧2x -1+b =0⎪⇒⎨由复数相等的充要条件得⎨3，b -1=3x =-⎩⎪⎩2∴x =-3，y =4i .2总结升华：1.复数定义：“形如z =a +bi （a ,b ∈R ）的数叫复数”就意味凡是复数都能写成这一形式，求一个复数，使用一个复数都可通过这一形式将问题化虚为实，把复数问题转化为实数问题来研究.这是解决复数问题的常用方法.2．复数相等是复数问题实数化的有效途径之一，由两复数a+bi 与c+di（a，b，c，d ∈R）相等的充要条件是a=c 且b=d，可得到两个实数等式.3.注意左式中的3―y 并非是(2x―1)+(3―y)i 的虚部，同样，在右边的y―i 中y 也并非是实部.举一反三：xy5+=，则x +y =______1-i 1-2i 1-3i xy5x y 5【答案】由得(1+i )+(1+2i )=+=(1+3i )1-i 1-2i 1-3i 2510【变式1】设x、y 为实数，且即5x(1+i)+2y(1+2i)=5(1+3i)，即(5x+2y-5)+(5x+4y-15)i=0，⎧5x +2y -5=0⎧x =-1故⎨,解得⎨5x +4y -15=0y =5⎩⎩∴x +y =4【变式2】若z∈C 且(3+z)i=1(i 为虚数单位)，则z=____.【答案】设z=a+bi(a,b∈R)，则(3+z)i=-b+(3+a)i=1由复数相等的充要条件得b=-1且a=-3，即z=-3-i.1+2i=i ，则z =（）z A．-2+i B．-2-i C．2-i D．2+i1+2i i (1+2i)i -2【答案】z ====2-i ，故选C.i -1-1【变式3】设复数z 满足类型四：共轭复数例4：求证：复数z 为实数的充要条件是z =z思路点拨：需要明确两个复数相等的条件以及共轭复数的概念解析：设z =a +bi （a，b∈R），则z =a -bi充分性：Q z =z ⇒a +bi =a -bi ⇒b =-b ⇒b =0⇒z ∈R ;必要性：Q z ∈R ,b =0⇒a +bi =a -bi ⇒z =z综上，复数z 为实数的充要条件为z =z举一反三：【变式1】x ,y ∈R ，复数(3x +2y )+5xi 与复数(y -2)i +18的共轭复数相等，求x，y.【答案】(y -2)i +18=18+(2-y )i⎧3x +2y =18⎧x =-2∴18-(y -2)i =(3x +2y )+5xi ⇒⎨⇒⎨⎩2-y =5x ⎩y =12【变式2】若复数z 同时满足z -z =2i ，z =iz （i 为虚数单位），则z=________.【答案】―1+i2【变式3】已知复数z=1+i，求实数a、b 使az +2bz =(a +2z ).【答案】∵z=1+i，∴az +2bz =(a +2b )+(a -2b )i ，(a +2z )2=(a +2)2-4+4(a +2)i=(a 2+4a )+4(a +2)i2∵a、b 都是实数，∴由az +2bz =(a +2z )得⎧a +2b =a 2+4a ,⎨⎩a -2b =4(a +2).两式相加，整理得a +6a+8=0解得a 1=―2，a 2=―4，对应得b 1=－1，b 2=2.∴所求实数为a=―2，b=―1或a=－4，b=2.类型五：复数的模的概念例5、已知数z 满足z+|z|=2+8i，求复数z.法一：设z=a+bi（a，b∈R），则|z |=代入方程得a +bi +a 2+b 2=2+8i .2a 2+b 2，⎧⎧a =-15⎪a +a 2+b 2=2∴⎨，解得⎨⎪⎩b =8⎩b =8∴z=－15+8i法二：原式可化为：z=2－|z|+8i，∵|z|∈R，∴2－|z|是z 的实部.于是|z |=(2-|z |)+8，即|z|=68－4|z|+|z|，2222∴|z|=17，代入z=2-|z|+8i得z=－15+8i.举一反三：【变式】已知z=1+i，a，b 为实数.（1）若ω=z +3z -4，求|ω|；2z 2+az +b =1-i ，求a，b 的值.（2）若2z -z +1【答案】（1）ω=(1+i )+3(1-i )-4=2i +3-i -4=i -1∴|ω|=22z 2+az +b (1+i )2+(1+i )a +b (2+a )i +b +a =（2）∵2==(a +2)-(b +a )i 2z -z +1(1+i )-(1+i )+1i∴(a +2)-(a +b )i =1-i∴⎨⎧a +2=1⎧a =-1⇒⎨⎩a +b =1⎩b =2类型六：复数的几何意义例6、已知复数z =(m -2m -3)+(m -4m +3)i （m∈R）在复平面上对应的点为Z，求实数m 取什么值时，点Z（1）在实轴上；（2）在虚轴上；（3）在第一象限.思路点拨：根据点Z 的位置确定复数z 实部与虚部取值情况.解析：（1）点Z 在实轴上，即复数z 为实数，由m -4m +3=0⇒m =3或m =1∴当m =3或m =1时，点Z 在实轴上.（2）点Z 在虚轴上，即复数z 为纯虚数或0，故m -2m -3=0⇒m =-1或m =3∴当m =-1或m =3时，点Z 在虚轴上.3）点Z 在第一象限，即复数z 的实部虚部均大于02⎧⎪m -2m -3>0由⎨2，解得m＜―1或m＞3⎪⎩m -4m +3>02222∴当m＜―1或m＞3时，点Z 在第一象限.终结升华：复平面上的点与复数是一一对应的，点的坐标的特点即为复数实部、虚部的特征.举一反三：【变式1】在复平面内，复数z =sin 2+i cos2对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】∵π2<2<π，∴sin 2>0，cos2<0，故相应的点在第四象限，选D.【变式2】已知复数z =(3m -5m +2)+(m -1)i (m ∈R )，若z 所对应的点在第四象限，求m 的取值范围.2【答案】∵z =(3m -5m +2)-(m -1)i2⎧3m 2-5m +2>0∴⎨，解得m >1.⎩-(m -1)<0∴m 的取值范围为m ∈(1,+∞).【变式3】已知z 是复数，z +2i 和限，求实数a 的取值范围.【答案】设z =x +yi (x ,y ∈R )，∴z +2i =z =x +(2+y )i ，由题意得y =-2，z 2均为实数，且复数(z +ai )对应的点在第一象z -iz x -2i 111==(x -2i )(2-i )=(2x +2)+(x -4)i ，2-i 2-i 555由题意得x =4，∴z =4-2i∵(z +ai )=(12+4a -a )+8(a -2)i ，22⎧12+4a -a 2>0根据已知条件有⎨，解得2<a <6，8(a -2)>0⎩∴实数a 的取值范围是a ∈(2,6).【变式4】已知复数z 对应的点在第一象限的角平分线上，求复数ω=z +1在复平面上z对应的点的轨迹方程.【答案】设z=a+ai（a＞0）则ω=z+1111 =(a+ai)+=a++(a-)i z a+ai2a2a1⎧x=a+⎪⎪2a22令⎨，消a得x－y=2（x≥2）.⎪y=a-1⎪2a⎩。
3.1.2 复数的几何意义(经典系统全面知识点梳理)
课题：3.1.2复数的几何意义
学科：数学年级：高二班级：
1、教学重点：复数的几何意义及复数的模．
2、教学难点：复数的几何意义及模的综合应用．
3、学生必须掌握的内容：
1．复数的几何意义有两种：复数和复平面内的点一一对应，复数和复平面内以原点为起点的向量一一对应．
2．研究复数的问题可利用复数问题实数化思想转化为复数的实虚部的问题，也可以结合图形利用几何关系考虑．
4、容易出现的问题：
这节课知识点比较简单，所以学生基本上没问题.
5、解决方法：
根据发现的能力,让最后一个发现的学生最先讲,中途发现的学生中间讲,最先一个发现的学生最后讲,也就是由近及远地请学生一个一个地回答.所以从本节课的教学效果来看还是不错的．。
复数经典试题(含答案)doc
，，所以，复数的虚部为，，共轭复数为，复数在复平面对应的点在第四象限.
故选：BD.
【点睛】
本题考
解析：BC
【分析】
利用复数的除法求出复数 ，利用复数的概念与几何意义可判断各选项的正误.
【详解】
， ，所以，复数 的虚部为 ， ，共轭复数为 ，复数 在复平面对应的点在第四象限.
故选：BD.
【点睛】
A． B． C．3D．5
7．设 是虚数， 是实数，且 ，则 的实部取值范围是（）
A． B． C． D．
8．设复数 ，则复数 的共轭复数 在复平面内对应的点位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
9．若 ，则在复平面内，复数 所对应的点位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
B选项，设复数 ，则 ，
因为 ，所 ，若 ，则 ；故B错；
C选项，设复数 ，则 ，
因为 ，所以 ，即 ，所以 ；故C正确；
D选项，设复数 ， ，
则 ，
因为 ，所以 ，若 ， 能满足 ，但 ，故D错误.
故选：AC.
【点睛】
本题主要考查复数相关命题的判断，熟记复数的运算法则即可，属于常考题型.
19．AB
【详解】
因为，所以，所以，所以，所以A选
解析：BC
【分析】
由 可得 ，得 ，可判断A选项，当虚部 ， 时，可判断B选项，由复数的模计算和余弦的二倍角公式可判断C选项，由复数的运算得 ， 的实部是 ，可判断D选项.
【详解】
因为 ，所以 ，所以 ，所以 ，所以A选项错误；
当 ， 时，复数 是实数，故B选项正确；
【详解】
设复数 ，
则 ，
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复数专题复习
一、复数的概念及运算： 1、复数的概念：（1）虚数单位i ； （2）实部：z Re ，虚部：z Im ；
（3）复数的分类(bi a z +=)()⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧∈⎩⎨
⎧≠=≠⎩⎨⎧=R b a a a b b ,)0()0()0()0(非纯虚数纯虚数虚数无理数有理数
实数；
（4）相等的复数：
2、复数的几何意义：
3、复数的加、减、乘、除法则： （1）加减法具有交换律和结合律；
（2）乘法具有交换律、结合律、分配律； （3）除法：
)0(2
222≠++-+++=++di c i d c ad
bc d c bd ac di c bi a 。
4、复数的共轭与模：
（1）z z R z =⇔∈；z 是纯虚数z z -=⇒，反之不成立；
（2）复数bi a z +=与点()b a Z ,是一一对应关系，另：z 与z 关于x 轴对称，z 表示z 对应点与原点的距离。
5、复数共轭运算性质：2
1
2121212121,,z z z z z z z z z z z z =⎪⎪⎭⎫
⎝⎛⋅=⋅+=+； 6、复数模的运算性质：n n z z z z z z z z z z z z =≠==),0(,22
121121。
7、复数的模与共轭的练习：z z z ⋅=2。
二、典型问题分析：
考点1：复数的基本运算
1.
（ ）
A ．i
B ．i - C
i D
i
2. 已知复数z 满足
＋3i ）z ＝3i ，则z ＝ （ ） A
．3
2
B. 34
C. 32
D.34 3. 3(1－i)2
＝
（ ）
A. 32i
B. 3
2
i - C.i D.－i 4.
复
数
(1+i)2
1－i
等
于
（ ）
A.1－i
B.1+i
C.－1+ i
D.－1－i 5. 复
数
4
)11(i
+的值
是
（ ） A ．4i B ．－4i C ．4
D ．－4
考点2：复数的模长运算
1.已知复数
z =，则z 等于 （ ） A. 14 B. 12
C. 1
D. 2
2. 已知02a <<，复数z 的实部为a ，虚部为1，则z 的取值范围是 （ ）
A ．(15)，
B ．(13)，
C ．
D ．
考点3：复数的实部与虚部
1. 复数3
(1)i -的虚
部为
（ ）
A.3
B.－3
C.2
D.－2
考点4：复数与复平面内的点关系
1. 在复平面内，复数1i
i
+对应的点位于 （ ）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限 2. 在复平面内，复数sin 2cos2z i =+对应的点位
于
（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 3. 在复平面内，复数
i
i
+-12对应的点位于 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
4. 若()()
i x x x x z 653222+-+--=对应的点在虚轴上，则实数=x （ ） A ．1- B. 3 C. 1- 或 3 D. 2 或 3
考点5：共轭复数
1.复数5
12i +的共轭复数是 （ ）
A ．51033i --
B ．51033
i -+ C ．12i - D ．12i +
2. 若2a bi -+与3a i -互为共轭复数，则实数a 、b 的值分别为
3. 把复数z 的共轭复数记作z ，已知i z i 34)21(+=+,则z 等于
考点6：复数的周期 1.已知()n
n
f n i i
-=-()n N ∈，则集合{}()f n 的元素个数是 （
）
A ．2 B. 3 C. 4 D. 无数个
考点7：复数相等
1. 已知21(1)()x y i x y x y i -++=-+--，求实数x 、y 的值。
2. 已知,x y R ∈，且5
11213x y i i i
+=
+++，求x 、y 的值。
3. 设2(1)3(1)
2i i z i
++-=+，若21z az b i ++=+，求实数a 、b 。
4.
已
知
=+-=+ni m i n m ni i
m
是虚数单位，则是实数，，，其中11 （ ）
A.1+2i
B. 1-2i
C.2+i
D.2- i
考点8：复数比较大小
1.使得不等式2
22(3)(43)10m
m m i m m i --<-++成立的实数的值为_______
考点9：复数的各种特殊形式
1. 已知i 是虚数单位，复数2
(1)(23)4(2)z m i m i i =+-+-+，当m 取什么实数时，z 是
（1）实数； （2）虚数； （3）纯虚数； （4）零。
2. 如果复数2
()(1)m i mi ++是实数，则实数m = （ ）
A ．1
B ．1-
C
D ．
3. 若复数(a 2-3a +2)+(a-1)i 是纯虚数，则实数a 的值为 （ ） A.1 B.2 C.1或2 D.-1
考点10：复数的综合问题 1. 若342
z i ++≤，则
z
的最大值是
（ ）
A. 3
B. 7
C. 9
D. 5 2. 下列各式不正确的是
（ ） A ．12=i
i
B.i
i 1
=- C. 2
--=⋅i i i D i i -<--1
3. 对于两个复数i 2321+-=α，i 2
3
21--=β，有下列四个结论：①1=αβ；②1=βα；
③
1=β
α；
④23
3=+βα，其中正确的结论的个数为 （ ） A ． 1 B ．2 C ． 3 D ．4 4. 设
12()1,23,5,
=-=+=-f z z z i z i 则
12()-=f z z
（ ）
i
44D i 44C i 44B i 44A +--+-- 5．若C z ∈且|22|,1|22|i z i z --=-+则的最小值是 （ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
6. 设复数-
-
⋅=+=+=∈z z q z z p i a z R a ,,,,，则q p 、的关系是 （ ）
A ．不能比较大小
B ．q p =
C ．q p ≥
D ． q p ≤
7.在复平面内，若复数z 满足|1|||z z i +=-，则z 所对应的点的集合构成的图形是 8.已知ABC ∆中，AC ,AB 对应的复数分别为,i 32,i 21--+-则BC 对应的复数为 9.在复平面内，复数i i 32,56+-+对应的点分别为B A ,,若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是（ ）
A.i 84+
B.i 28+
C.i 42+
D.i +4
10. 复数221(23)()()2
z a a a a i a R =-+--+∈在复平面内对应点位于 象限
11. 已知复数Z 满足1z =，求1z +的最值。
跟踪练习：
1.计算下列各题：
⑴()3
1i - ⑵3
123i
i
++ ⑶
)125)(1()32)(32(i i i i ---+ ⑷i
i
i i 2332)11(6-++
-+
拓展练习：
1.若x C ∈，则方程||13x i x =+-的解是_____________
2.（2014杨浦区一模）已知复数i -=2ω（i 为虚数单位）以z 为根的实系数一元二次方程是_____________
3.已知关于x 的实系数方程0222=+-x x 和0122=++mx x 的四个不同的根在复平面上对应的点共圆，则m 的取值范围是___________。