平面向量基础知识复习+练习

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平面向量专题练习(带答案详解)

平面向量专题练习(带答案详解) 平面向量专题练（附答案详解）一、单选题1.已知向量 $a=(-1,2)$，$b=(1,1)$，则 $a\cdot b$ 等于（）A。

3 B。

2 C。

1 D。

02.已知向量 $a=(1,-2)$，$b=(2,x)$，若 $a//b$，则 $x$ 的值是（）A。

-4 B。

-1 C。

1 D。

43.已知向量 $a=(1,1,0)$，$b=(-1,0,2)$，且 $ka+b$ 与 $2a-b$ 互相垂直，则 $k$ 的值是（）A。

1 B。

5/3 C。

3/5 D。

7/54.等腰直角三角形 $ABC$ 中，$\angle ACB=\frac{\pi}{2}$，$AC=BC=2$，点 $P$ 是斜边 $AB$ 上一点，且 $BP=2PA$，那么 $CP\cdot CA+CP\cdot CB$ 等于（）A。

-4 B。

-2 C。

2 D。

45.设 $a,b$ 是非零向量，则 $a=2b$ 是成立的（）A。

充分必要条件 B。

必要不充分条件 C。

充分不必要条件 D。

既不充分也不必要条件6.在 $\triangle ABC$ 中 $A=\frac{\pi}{3}$，$b+c=4$，$E,F$ 为边 $BC$ 的三等分点，则 $AE\cdot AF$ 的最小值为（）A。

$\frac{8}{3}$ B。

$\frac{26}{9}$ C。

$\frac{2}{3}$ D。

$3$7.若 $a=2$，$b=2$，且 $a-b\perp a$，则 $a$ 与 $b$ 的夹角是（）A。

$\frac{\pi}{6}$ B。

$\frac{\pi}{4}$ C。

$\frac{\pi}{3}$ D。

$\frac{\pi}{2}$8.已知非零向量 $a,b$ 满足 $|a|=6|b|$，$a,b$ 的夹角的余弦值为 $\frac{1}{3}$，且 $a\perp (a-kb)$，则实数 $k$ 的值为（）A。

18 B。

平面向量知识点与基础练习.doc

如图，已知向量a,方，「在平面内任取一点A, 作AB BC = b,则向量AC 叫做々与方的和，记作a+b,即 a+b= AB + BC = ACo AB+BC+CD+DE=AE 特殊情况:平面向量一、向量的相关概念1、向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。

向量常用有向线段来表示，注意不能说向■就是有向线段（向量可以平移）。

如己知A （1,2）, B （4,2）,贝把向量■万按向量U= （-1,3）平移后得到的向量是 _______（3,0）2、向■的表示方法：用有向线段来表示向量.起点在前，终点在后。

有向线段的长度表示向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向.用字母。

，饥…或用布， BC , …表示（1）模：向量的长度叫向量的模，记作圳或\AB\.（2）零向量:长度为。

的向量叫零向量，记作：0,注意零向■的方向是任意的；（3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量（与福共线的单位向量是 +日 \AB\（4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性。

（5）平行向黄（也叫共线向置）：方向相同或相反的非零向量；、片叫做平行向量，记作： a//b.规定零向置和任何向量平行。

提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线，但两条直线也不竺两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有6）；④三点A 、B 、C 共线=福、北共线；（6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。

；的相反向量是一；。

零向量的相反向量时零向量。

二、向量的线性运算1. 向量的加法：（1）定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.对于零向量与任一向量a,有a+0 = 0+ ci = ci （2）法则：—三角形法则, 平行四边形法则（3）运算律： a+b=t^ch , （&+/?） +c=a+（Me ） .a -b = a + (-b)当a 、b 不共线时，w’n " b2. 向量的减法：（1）定义：求两个向量差的运算，叫做向量的减法.已知向量々、力，求作向量（ct-b ） + 方=a + （一力）+b=a+O=a减法的三角形法则作法：在平面内取一点。

高中数学第六章平面向量及其应用基础知识手册(带答案)

高中数学第六章平面向量及其应用基础知识手册单选题1、设λ为实数，已知向量m →=(-1，2)，n →=(1，λ).若m ⃗⃗ ⊥n ⃗ ，则向量m →+2n →与m →之间的夹角为（） A ．π4B ．π3C ．2π3D ．3π4答案：A解析：根据向量垂直的坐标运算解得λ=12，再运用向量夹角的坐标运算公式可得选项.因为向量m →=(−1,2),n →=(1,λ)，若m ⃗⃗ ⊥n ⃗ ，则m →⋅n →=−1×1+2λ=0，解得λ=12，所以m →+2n →=(1,3)，所以(m →+2n →)⋅m →=1×(−1)+3×2=5，|m →+2n →|=√12+32=√10，|m →|=√(−1)2+22=√5，设向量m ⃗⃗ +2n →与m ⃗⃗ 之间的夹角θ ，则0≤θ≤π， ∴cosθ=(m →+2n →)⋅m →|m →+2n →|×|m →|=√10×√5=√22，所以向量m ⃗⃗ +2n →与m ⃗⃗ 之间的夹角为π4. 故选：A.2、已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,3)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3，t )，|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ = A ．-3B ．-2 C ．2D ．3 答案：C分析：根据向量三角形法则求出t ，再求出向量的数量积.由BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,t −3)，|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√12+(t −3)2=1，得t =3，则BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,3)(1,0)=2×1+3×0=2．故选C ．小提示：本题考点为平面向量的数量积，侧重基础知识和基本技能，难度不大． 3、在△ABC 中，已知b 2＝ac 且c ＝2a ，则cos B 等于（） A ．14B ．C ．√24D ．√23答案：B34分析：利用余弦定理求得cosB . b 2=ac,c =2a ，则b 2=2a 2，由余弦定理得cosB =a 2+c 2−b 22ac=a 2+4a 2−2a 22a⋅2a=34.故选：B4、设在△ABC 中，角A ，B,C 所对的边分别为a ，b,c ，若bcosC +ccosB =asinA ，则△ABC 的形状为（） A ．直角三角形B ．等边三角形 C ．等腰三角形D ．钝角三角形答案：A分析：根据两角和的正弦公式和正弦定理求得，得到sinA =1，求得A =π2，即可求解.因为，由正弦定理可得，即sin (B +C )=sin 2A ，即，所以sinA =1，又因为A ∈(0,π)，所以A =π2，所以是直角三角形.故选：A.5、已知在△ABC 中，a =x ，b =2，B =30°，若三角形有两解，则x 的取值范围是（） A ．x >2B ．0<x <2C ．2<x <3D ．2<x <4 答案：D分析：根据三角形有两个解，转化为以C 为圆心，以2为半径的圆与BA 有两个交点，再结合正弦定理求解. 如图所示：因为AC =b =2，若三角形有两个解，2sin sin A A =cos cos sin b C c B a A +=2sin cos sin cos sin B C C B A +=2sin sin A A=则以C为圆心，以2为半径的圆与BA有两个交点，当∠A=90∘时，圆与BA相切，不合题意；当∠A=30∘时，圆与BA交于B点，不合题意；所以30∘<∠A<150∘，且∠A≠90∘，所以12<sinA<1由正弦定理得：sinA=asinBb =14x，则12<14x<1，解得2<x<4，故选：D6、已知向量a与b⃗的夹角为π6，且|a |=2|b⃗|=2，则a⋅b⃗=（）A．√3B．1C．2√3D．2答案：A解析：利用向量数量积的定义即可求解.由|a |=2|b⃗|=2，则|a|=2，|b⃗|=1，又向量a与b⃗的夹角为π6，所以a⋅b⃗=|a||b⃗|cos〈a ,b⃗〉=2×1×√32=√3.故选：A小提示：本题考查了向量数量积的定义，考查了基本运算求解能力，属于基础题.7、已知向量a=(−1,m)，b⃗=(2,4)，若a与b⃗共线，则m=（）A．−1B．1C．−2D．2答案：C分析：根据平面向量共线坐标表示可得答案.由题意得2m=−4，即m=−2.故选：C8、在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c，若A=45°,B=60°,b=2√3，则c等于（）A ．√6−√24B ．√6+√24C ．√6−√2D ．√6+√2答案：D分析：先求出C ，再由正弦定理求解即可. 解：在△ABC 中，C =180°−45°−60°=75°．由正弦定理可知csinC=b sinB，所以c sin75°=2√3sin60°，故c =2√3sin75°sin60°=4sin75°=4sin(30°+45°)=4×√6+√24=√6+√2．故选：D. 多选题9、下列说法中错误．．的为（）． A ．已知a →=(1,2)，b →=(1,1)且a →与a →+λb →的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是(−53,+∞) B ．向量e →1=(2,−3)，e →2=(12,−34)不能作为平面内所有向量的一组基底 C ．非零向量a →，b →，满足|a →|>|b →|且a →与b →同向，则a →>b →D ．非零向量a →和b →，满足|a →|=|b →|=|a →−b →|，则a →与a →+b →的夹角为30° 答案：AC分析：由向量的数量积，向量的夹角，判断A ；向量的基本定理判断B ；向量的定义判断C ；平面向量的基本定理与向量的夹角等基本知识判断D ．解：对于A ，∵a →=(1,2),b →=(1,1),a →与a →+λb →的夹角为锐角， ∴a →(a →+λb →)=(1,2)(1+λ,2+λ)=1+λ+4+2λ=3λ+5>0，且λ≠0(λ=0时a →与a →+λb →的夹角为0)，所以λ>−53且λ≠0，故A 错误；对于B ，向量e →1=4e →2，即共线，故不能作为平面内所有向量的一组基底，B 正确；向量是有方向的量，不能比较大小，故C 错误；对于D ．因为|a →|=|a →−b →|，两边平方得，|b →|2=2a →·b →，则a →(a →+b →)=|a →|2+a →b →=32|a →|2，|a →+b →|=√(a →+b →)2=√|a →|2+2a →b →+|b →|2=√3|a →|，故cos <a →,a →+b →>=a →(a →+b →)|a →||a →+b →|=32|a →|2|a →|√3|a →|=√32，而向量的夹角范围为[0°，180°]，得a →与a →+b →的夹角为30°，故D 项正确．故错误的选项为AC ．故选：AC ．10、已知O 是△ABC 内一点，且OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，点M 在△OBC 内（不含边界），若AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ+2μ的值可能为（） A ．97B ．117C ．137D ．157 答案：ABC分析：根据OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ 可知O 为△ABC 的重心；根据点M 在△OBC 内，判断出当M 与O 重合时，λ+2μ最小；当M 与C 重合时，λ+2μ的值最大，因不含边界，所以取开区间即可．因为O 是△ABC 内一点，且OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ 所以O 为△ABC 的重心M 在△OBC 内（不含边界），且当M 与O 重合时，λ+2μ最小，此时 AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC ⃗⃗⃗⃗⃗ =23×[12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )]=13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 所以λ=13,μ=13，即λ+2μ=1当M 与C 重合时，λ+2μ最大，此时 AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 所以λ=0,μ=1，即λ+2μ=2 因为M 在△OBC 内且不含边界所以取开区间，即λ+2μ∈(1,2)，结合选项可知ABC 符合，D 不符合故选：ABC11、在△ABC 中，内角A,B,C 所对的边分别为a 、b 、c ，则下列说法正确的是（） A ．b sinB=a+b+c sinA+sinB+sinCB ．若A >B ，则sin2A >sin2BC ．a =bcosC +ccosBD ．若(AB ⃗⃗⃗⃗⃗|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |+AC⃗⃗⃗⃗⃗|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |)⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，且AB ⃗⃗⃗⃗⃗|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=12，则△ABC 为等边三角形答案：ACD分析：A 由正弦定理及等比的性质可说明；B 令A =π3,B =π6可得反例；C 由和角正弦公式及三角形内角和的性质有sinBcosC +sinCcosB =sinA ，由正弦定理即可证；D 若AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |,AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AG ⃗⃗⃗⃗⃗ ，根据单位向量的定义，向量加法的几何意义及垂直表示、数量积的定义易知△ABC 的形状. A ：由asinA =bsinB =csinC ，根据等比的性质有bsinB =a+b+csinA+sinB+sinC ，正确； B ：当A =π3,B =π6时，有sin2A =sin2B ，错误；C ：sinBcosC +sinCcosB =sin(B +C)，而B +C =π−A ，即sinBcosC +sinCcosB =sinA ，由正弦定理易得a =bcosC +ccosB ，正确；D ：如下图，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |,AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |是单位向量，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |+AC⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AG ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即AG ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0、AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12，则AG ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 且AG 平分∠BAC ，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AF ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为π3，易知△ABC 为等边三角形，正确.故选：ACD小提示：关键点点睛：D 选项，注意应用向量在几何图形中所代表的线段，结合向量加法、数量积的几何意义判断夹角、线段间的位置关系，说明三角形的形状.12、已知向量a ，b ⃗ ，c 满足a +b ⃗ =(1,−1)，a −3b ⃗ =(−7,−1)，c =(1,1)，设a ，b⃗ 的夹角为θ，则（）A．|a|=|b⃗|B．a //c C．θ=135°D．b⃗⊥c答案：BC分析：由已知求解方程组可得a与b⃗，求模判断A；由a=−c判断B；由数量积求夹角判断C；由数量积不为0判断D．解：∵a+b⃗=(1,−1)，a−3b⃗=(−7,−1)，∴a=(−1,−1)，b⃗=(2,0)，得|a|=√(−1)2+(−1)2=√2，|b⃗|=2，故A错误；又c=(1,1)，则a=−c，则a //c，故B正确；cosθ=a⃗ ⋅b⃗|a⃗ |⋅|b⃗|=2√2=−√22，又θ∈[0°,180°]，∴θ=135°，故C正确；∵b⃗⋅c=2×1+0×1=2≠0，∴b⃗与c不垂直，故D错误.故选：BC．13、已知实数m、n和向量a、b⃗，下列结论中正确的是（）A．m(a−b⃗)=ma−mb⃗B．(m−n)a=ma−naC．若ma=mb⃗，则a=b⃗D．若ma=na (a≠0⃗ )，则m=n答案：ABD分析：利用平面向量的线性运算可判断ABCD选项.对于A选项，m(a−b⃗)=ma−mb⃗，A对；对于B选项，(m−n)a=ma−na，B对；对于C选项，若ma=mb⃗，则m(a−b⃗)=0⃗ ，所以，m=0或a=b⃗，C错；对于D选项，若ma=na (a≠0⃗ )，则(m−n)a=0⃗ ，所以，m−n=0，即m=n，D对.故选：ABD.填空题14、如图所示，在平面四边形ABCD中，AB⊥BD,AB=BD,BC=CD,AD=2，在△ABC中，角A，B，C的对应边分别为a，b，c，若c2=2abcosC，则△ACD的面积为__________．答案：√22分析：依题意可得AC ⊥CD ，作CF ⊥BD 分别交BD,AD 于点F ，E ，则S △ACD =2S △ECD ，再利用面积公式计算可得；解：∵AB =BD,AB ⊥BD ，∴在等腰直角△ABD 中AD =√2AB =√2c ，在△ABC 中，由余弦定理得a 2+b 2−2abcosC =c 2，又已知c 2=2abcosC ，∴a 2+b 2=2c 2，又∵a =BC =CD,b =AC,AD =√2c ，∴AC 2+CD 2=AD 2，∴AC ⊥CD ，作CF ⊥BD 分别交BD,AD 于点F ，E ，∵BC =CD ，E ，F 分别为线段AD,BD 的中点，∴∠CED =45°,CE =ED =1， ∴S △ACD =2S △ECD =2×12×EC ×ED ×sin45°=√22．所以答案是：√2215、已知A (2,3)，B (4,−3)，若AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则点P 的坐标为___________. 答案：(103,−1)分析：设P(x,y)，根据向量的坐标表示求出AP⃗⃗⃗⃗⃗ ,BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，再由向量的数量关系列方程组求出P 的坐标即可. 设P(x,y)，则AP⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −2,y −3)，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −4,y +3)，又AP⃗⃗⃗⃗⃗ =−2BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，有{，可得{，所以P 的坐标为(103,−1).所以答案是：(103,−1)16、已知|OA⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，若存在m,n ∈R ，使得mAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与nAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 夹角为60∘，且|(mAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )−(nAB⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ )|=12，则|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值为___________. 答案：√132分析：设a =OAʹ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =mAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，b ⃗ =OBʹ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =nAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 可得A,Aʹ,B,Bʹ共线，又|a −b⃗ |=|BʹAʹ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=12，当|BʹAʹ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=12为最小时|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |最小，而此时Aʹ、Bʹ关于y 轴对称，结合已知即可求|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值. 由题意，AB⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴令a =OAʹ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =mAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−m)OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +mOB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，b ⃗ =OBʹ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =nAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1+n)OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −nOA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，故有A,Aʹ,B,Bʹ共线，∵|a →−b →|=|BʹAʹ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=12，故当且仅当|BʹAʹ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=12为最小时，|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |最小， ∴有Aʹ、Bʹ关于y 轴对称时，|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |最小，此时O 到AB 的距离为√3⋅|BʹAʹ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|2=√34， ∴|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=√1−316=√134，即|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |=√132.所以答案是：√132. 小提示：关键点点睛：应用向量的线性关系及共线性质，可知a =OAʹ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =mAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，b ⃗ =OBʹ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =nAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 、OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 、OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的终点共线，且|a −b⃗ |=|BʹAʹ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=12可分析得Aʹ、Bʹ关于y 轴对称时，|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |最小，进而求最小值即可. 解答题17、在△ABC 中，A ＝60°，sin B ＝12，a ＝3，求三角形中其他边与角的大小. 答案：B =30°，C =90∘，b =√3，分析：由三角函数值、三角形内角和性质确定B 、C 的大小，应用正弦定理求b,c 即可. 由且A =60°，即0<B <120°，可知：B =30°.∴C =90°，由正弦定理b sinB=c sinC=a sinA，∴b =asinB sinA =3sin30°sin60°=√3，c =asinC sinA =3sin90°sin60°=2√3.18、已知a →与b →､c →的夹角都是π3，b →⊥c →，|a →|=1，|b →|=2，|c →|=3，计算： (1)(2a →+b →)⋅(2c →−b →)； (2)|a →+b →+c →|. 答案：(1)0； (2)√19.c =1sin 2B =分析：（1）利用向量的数量积运算即可求出答案；（2）利用向量的模长等于所对应向量平方再开方，即可得到答案.（1）(2a →+b →)⋅(2c →−b →)=4a →⋅c →−2a →⋅b →+2b →⋅c →−b →2=4|a →|⋅|c →|cos π3−2|a →|⋅|b →|cos π3+0−|b →|2=4×1×3×12−2×1×2×12−4 =6−2−4=0.（2）|a →+b →+c →|2=(a →+b →+c →)2=|a →|2+|b →|2+|c →|2+2a →⋅b →+2b →⋅c →+2a →⋅c →=1+4+9+2+3=19∴|a →+b →+c →|=√19.。

平面向量知识点+例题+练习+答案

五、平面向量1．向量的概念①向量既有大小又有方向的量。

向量的大小即向量的模（长度），记作|AB |即向量的大小，记作｜a |。

向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。

向量表示方法：（1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB ，注意起点在前，终点在后；（2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a ，b ，c 等；（3）坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 为基底，则平面内的任一向量a 可表示为(),a xi y j x y =+=，称(),x y 为向量a 的坐标，a ＝(),x y 叫做向量a 的坐标表示。

如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。

向量和数量的区别：向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。

如已知A （1,2），B （4,2），则把向量AB 按向量a ＝（－1,3）平移后得到的向量是_____（答：（3,0））②零向量长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行零向量a ＝0 ⇔｜a ｜＝0。

由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件。

（注意与0的区别）③单位向量模为1个单位长度的向量，向量0a 为单位向量⇔｜0a ｜＝1。

(与AB 共线的单位向量是||AB AB ±)；④平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量。

任意一组平行向量都可以移到同一直线上，方向相同或相反的向量，称为平行向量，记作a ∥b ，规定零向量和任何向量平行。

由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量。

提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有0)；④三点A B C 、、共线⇔ AB AC 、共线；数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的。

平面向量练习题及答案

平面向量练习题及答案1. 向量初步概念和运算(1) 已知向量a=3i+4j，求向量a的模长。

答案：|a| = √(3^2 + 4^2) = 5(2) 已知向量b=-2i+5j，求向量b的模长。

答案：|b| = √((-2)^2 + 5^2) = √29(3) 已知向量c=2i+3j，求向量c的模长和方向角（与x轴正方向的夹角）。

答案：|c| = √(2^2 + 3^2) = √13方向角θ = arctan(3/2)2. 向量的线性运算(1) 已知向量a=3i+4j，向量b=-2i+5j，求向量a+b。

答案：a+b = (3-2)i + (4+5)j = i + 9j(2) 已知向量a=3i+4j，向量b=2i-7j，求向量a-b。

答案：a-b = (3-2)i + (4-(-7))j = i + 11j(3) 已知向量a=3i+4j，求向量-2a的模长。

答案：|-2a| = |-2(3i+4j)| = |-6i-8j| = √((-6)^2 + (-8)^2) = 103. 向量的数量积与投影(1) 已知向量a=3i+4j，向量b=-2i+5j，求向量a·b的值。

答案：a·b = (3*-2) + (4*5) = -6 + 20 = 14(2) 已知向量a=3i+4j，向量b=-2i+5j，求向量a在b方向上的投影。

答案：a在b方向上的投影= (a·b)/|b| = 14/√294. 向量的夹角和垂直判定(1) 判断向量a=3i+4j和向量b=-2i+5j是否相互垂直。

答案：两个向量相互垂直的条件是a·b = 0。

计算得到a·b = 14，因此向量a和向量b不相互垂直。

(2) 已知向量a=3i+4j，向量b=-8i+6j，求向量a和向量b的夹角。

答案：向量a和向量b的夹角θ = arccos((a·b)/(∣a∣*∣b∣)) = arccos((-66)/(√25*√100))5. 向量共线和平面向量的应用(1) 已知向量a=3i+4j，向量b=-6i-8j，判断向量a和向量b是否共线。

高考数学平面向量基础练习

高考数学平面向量基础练习----8ce19a46-7166-11ec-bddc-7cb59b590d7d高考数学平面向量小题基础练习1.如图E1所示，E2是两个相互垂直的单位向量，那么|a+B |=（））2．在△abc中，已知|ab|=4,|ac|=1.s∆abc=（a）-2（b）2（c）±4（d）±23．在∆abc中，已知=3，则ad=（），然后是ab的值⋅ AC是（）ab-ac（a）+（b）3333ab+ac（d）ab-ac33334．已知向量a=(-3,4)，b=(1,m)，若a⋅(a-b)=0，则m=（）a．b、 -c.7d-75．已知a=(3,1),b=(x,-1)，且a//b，则x等于（）b、 -c.3d-3336．如图，∆aob为等腰直角三角形，oa=1，oc为斜边ab的高，p为线段oc的中点，然后AP⋅ OP=（）a．-1b．-111c.-d-7．已知向量a,b满足a=b=2,a+B=a和B之间夹角的余弦为(8．已知a=(sinα,cosα),b=，若a⊥b，则tanα的值为（）（-2,1）a．-2b．2c． 9.给定向量a=（1，-2），B=（m，-1）和a//B，实数m的值为（）a．－2b．2c．2d．210.在等边∆边长为1的ABC，BD=DC，2ae=ECD，e分别位于BC侧和AC侧，然后是ad 侧⋅成为-b．-c．-d．-234611.设a=（1,2），B=（2,K）。

如果（2a+b）⊥ a、实数k的值是（）a.-2b.-4C.-6D.-812=1=2，且a,b夹角，那么2+=3a．2b．4c．12d. 13. 如图所示，在正六边形ABCDEF中，++等于（）a．0b．bec．add．cf如果| a |=B |=4和a⊥ （2a-b），a和b的夹角为（）ππ2π5πb．c．d．363615.如果向量=（3，-4），=（6，-3），=（2m，M+1），如果//，那么实数M=b．-3c．d．-16.已知向量a=（COS）α，1），b=（2，-sinα），如果a⊥ B、然后Tan（2）α-）=a．-b．-3c．d．717.如图所示，在复数平面中，复数Z1和Z2对应的向量分别为OA和ob，复数Z1和Z2对应的点位于（）a.第一象限b.第二象限c.第三象限d.第四象限18．已知向量a=(1,1)，b=(2,0)，则a+b等于（）a．2b．4c19.已知向量=（1,2），=（1,0），=（4，-3），如果λ是实数+λ⊥ 那么λ=a。

(完整版)平面向量知识点及练习题有答案,推荐文档

(3)向量的长度：即向量的大小，记作｜a｜.
(4)特殊的向量：零向量 a＝O ｜a｜＝O.单位向量 aO 为单位向量｜aO｜＝1.
(5)相等的向量：大小相等，方向相同：(ｘ1，ｙ1)＝（ｘ2，ｙ2）
x1
y1
x2 y2
(6) 相反向量：a=-b b=-a a+b=0
(7)平行(共线)向量：方向相同或相反的向量，称为平行向量.记作 a∥b.
∴航向为北偏西 30 ． 8.过点 O 作向量 OA 、 OB 、 OC ，使之分别与力 F1 ， F2 ， F3 相等，由于 F1 ， F2 ，
F3 的合力为 0 ，则以 OC 、 OB 为邻边的平行四边形的对角线 OD 与 OA 的长度相等，又
由于力 F1 ， F2 ， F3 的大小相等，∴ OA OB OC ，则三角形 OCD 和三角形
6
6
（7）北偏西 300
（8） 1200
（9）略
m 6 m 3
（10） n 3
或
n
3 2
略解或提示：
1.由单位向量的定义即得 a b 1 ，故选（D）．
2.由于 AC AB AD ，∴ AC AB AD ，即 BC AD ，∴线段 BC 与线段 AD 平行且
相等，∴ ABCD 为平行四边形，选（A）．
④S△=1/2sinC·ab=1/2ac·sinB=1/2cb·sinA ⑤S△= PP aP bP c [海伦公式]
⑥S△=1/2（b+c-a）ra[如下图]=1/2（b+a-c）rc=1/2（a+c-b）rb
[注]：到三角形三边的距离相等的点有 4 个，一个是内心，其余 3 个是旁心. 如图：
向量 MN 用 a 、 b 表示为

平面向量基本定理巩固练习

平面向量的线性运算与平面向量基本定理巩固练习1．若a +b =c ，a -b =d 且向量c 与d 垂直，则一定有（）A 、a =bB 、|a |=|b |C 、a ⊥bD 、|a |=|b |且a ⊥b 2．点O 在△ABC 内部且0 C O B O A O ，则△ABC 面积与四边形ABOC 面积之比是（）A.0B. 23C. 45D. 34 3．在平行四边形ABCD 中，O 是对角线AC ，BD 的交点，N 是线段OD 的中点，AN 的延长线与CD 交于点E ，则下列说法错误的是( )A ．AC u u u r ＝AB u u u r ＋AD u u u r B ．BD u u u r ＝AD u u u r －AB u u u rC ．AO u u u r ＝12AB u u u r ＋12AD u u u r D ．AE u u u r ＝53AB u u u r ＋AD u u u r 4．若α，β是一组基底，向量γ＝x α＋y β(x ，y ∈R )，则称(x ，y )为向量γ在基底α，β下的坐标，现已知向量a 在基底p ＝(1，－1)，q ＝(2,1)下的坐标为(－2,2)，则a 在另一组基底m ＝(－1,1)，n ＝(1,2)下的坐标为( )A ．(2,0)B ．(0，－2)C ．(－2,0)D ．(0,2)5．设O 在△ABC 的内部，且有OA u u u r ＋2OB uuu r ＋3OC u u u r ＝0，则△ABC 面积和△AOC 的面积之比为( )A ．3 B.53 C ．2 D.326．在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且BC uuu r ＝3CD uuu r ，点O 在线段CD 上(与点C 、D 不重合)，若AOu u u r ＝x AB u u u r ＋(1－x )AC u u u r ，则x 的取值范围是( )A. 1(0,)2B. 1(0,)3C. 1(,0)2D.1(,0)37．A ，B ，O 是平面内不共线的三个定点，且OA u u u r ＝a ，OB uuu r ＝b ，点P 关于点A 的对称点为Q ，点Q 关于点B的对称点为R ，则PR u u u r 等于( )A ．a －bB ．2(b －a )C ．2(a －b )D ．b －a 8．已知向量OA u u u r ＝(1，－3)， OB uuu r ＝(2，－1)，OC u u u r ＝(k ＋1，k －2)，若A ，B ，C 三点能构成三角形，则实数k 应满足的条件是________．9．如图，在△ABC 中，设AB u u u r ＝a ，AC u u u r ＝b ，AP 的中点为Q ，BQ 的中点为R ，CR 的中点恰为P ，则AP u u u r 等于________．。

平面向量练习题(附答案)(最新最全)

平面向量练习题1、加法向量加法的三角形法则，已知向量AB 、BC ，再作向量AC ，则向量AC 叫做AB 、BC 的和，记作AB+BC ，即有：AB+BC=AC 。

2、减法AB-AC=CB ，这种计算法则叫做向量减法的三角形法则，简记为：共起点、连中点、指被减。

-(-a)=a 、a+(-a)=(-a)+a=0、a-b=a+(-b)。

3、数乘实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa 。

当λ>0时，λa 的方向和a 的方向相同，当λ<0时，λa 的方向和a 的方向相反，当λ = 0时，λa=0。

用坐标表示的情况下有：λAB=λ(x2-x1,y2-y1)=(λx2-λx1,λy2-λy1)。

4、数量积已知两个非零向量a 、b ，那么a ·b=|a||b|cos θ（θ是a 与b 的夹角）叫做a 与b 的数量积或内积，记作a ·b 。

零向量与任意向量的数量积为0。

数量积a ·b 的几何意义是：a 的长度|a|与b 在a 的方向上的投影|b|cos θ的乘积。

5、向量积向量a 与向量b 的夹角：已知两个非零向量，过O 点做向量OA=a ，向量OB=b ，向量积示意图则∠AOB=θ 叫做向量a 与b 的夹角，记作<a,b>。

已知两个非零向量a 、b ，那么a ×b 叫做a 与b 的向量积或外积。

向量积几何意义是以a 和b 为边的平行四边形面积，即S=|a ×b|。

6、混合积给定空间三向量a 、b 、c ，向量a 、b 的向量积a ×b ，再和向量c 作数量积(a ×b)·c ，所得的数叫做三向量a 、b 、c 的混合积，记作(a,b,c)或(abc)，即(abc)=(a,b,c)=(a ×b)·c 。

一．填空题。

1． BA CD DB AC +++等于________．2．若向量a ＝（3，2），b ＝（0，－1），则向量2b －a 的坐标是________．3．平面上有三个点A （1，3），B （2，2），C （7，x ），若∠ABC ＝90°，则x 的值为________．4.向量a 、b 满足|a |=1,|b |=2,(a +b )⊥(2a -b ),则向量a 与b 的夹角为________．5．已知向量a ＝（1，2），b ＝（3，1），那么向量2a －21b 的坐标是_________． 6．已知A （－1，2），B （2，4），C （4，－3），D （x ，1），若AB 与CD 共线，则|BD |的值等于________．7．将点A （2，4）按向量a ＝（－5，－2）平移后，所得到的对应点A ′的坐标是______．8. 已知a=(1,－2),b=(1,x),若a ⊥b,则x 等于______9. 已知向量a,b 的夹角为120，且|a|=2,|b|=5,则（2a-b ）·a=______10. 设a=(2,－3),b=(x,2x),且3a ·b=4,则x 等于_____11. 已知BC CD y x BC AB 且),3,2(),,(),1,6(--===∥DA ，则x+2y 的值为_____12. 已知向量a+3b,a-4b 分别与7a-5b,7a-2b 垂直，且|a|≠0,|b|≠0，则a 与b 的夹角为____二．解答题。

平面向量练习题

1、AB BC AD +-=（）A.ADB.CDC.DBD.DC2、已知P ，A ，B ，C 是平面内四点，且P A →＋P B →＋P C →＝A C →，那么一定有( )A ．PB →＝2CP → B ．C P →＝2PB → C ．A P →＝2PB →D ．P B →＝2AP →3、在△ABC 中，A D →＝2DC →，B A →＝a ，B D →＝b ，B C →＝c ，则下列等式成立的是( ) A ．c ＝2b －a B ．c ＝2a －b C ．c ＝3a 2－b 2 D ．c ＝3b 2－a 24、已知向量A B →＝a ＋3b ，B C →＝5a ＋3b ，C D →＝－3a ＋3b ，则( )A ．A ，B ，C 三点共线 B ．A ，B ，D 三点共线C ．A ，C ，D 三点共线 D ．B ，C ，D 三点共线5、已知平面向量(11)(11)==-，，，a b ，则向量1322-=a b （）Ａ．(21)--，Ｂ．(21)-，Ｃ．(10)-，Ｄ．(12)-，6、已知向量(5,6)a =-，(6,5)b =，则a 与b （）A ．垂直B ．不垂直也不平行C ．平行且同向D ．平行且反向7、已知向量a ＝(－1,2)，b ＝(3，m )，m ∈R ，则“m ＝－6”是“a ∥(a ＋b )”的() A ．充要条件 B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件8、已知，向量与垂直，则实数的值为 ( )A. B. C. D.9、在四边形ABCD 中，AC →＝(1,2)，BD →＝(－4,2)，则该四边形的面积为( )A. 5 B ．2 5 C ．5 D ．1010、已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC ＝60°，则BD →·CD →＝( )A ．－32a 2B ．－34a 2 C.34a 2 D.32a 211、已知(1,2),(3,)OA OB m =-=，若OA OB ⊥，则m =12、设(,12),(4,5),(10,)PA k PB PC k ===，则k ＝_____时，A,B,C 共线13、△ABC 中，3||=−→−AB ，4||=−→−AC ，5||=−→−BC ，则=⋅BC AB _________()()3,2,1,0a b =-=-a b λ+2a b -λ17-1716-1614、已知11(1,),(0,),,22a b c a kb d a b==-=+=-，c与d的夹角为4π，则k等于____15、已知2,5,3a b a b===-，则a b+等于____。

平面向量的基本题目

平面向量的基本题目练习一1．下列说法正确的个数为( )①温度、速度、位移、功这些物理量都是向量； ②零向量没有方向；③向量的模一定是正数； ④非零向量的单位向量是唯一的．A ．0B ．1C ．2D ．32．下列命题中正确的是( )A ．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合B ．模相等的两个平行向量是相等向量C ．若a 和b 都是单位向量，则a ＝bD ．两个相等向量的模相等3.下列说法中，不正确的是( ) A ．向量AB 的长度与向量BA 的长度相等 B ．任何一个非零向量都可以平行移动C ．长度不相等而方向相反的两个向量一定是共线向量D ．两个有共同起点且共线的向量其终点必相同4．已知非零向量a 、b 满足a ∥b ，则下列说法错误的是( )A ．a ＝bB ．它们方向相同或相反C ．所在直线平行或重合D ．都与零向量共线 5．在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，|AB |≠|CD |，则四边形ABCD 是( )A ．梯形B ．平行四边形C ．矩形D ．正方形6．已知a ∥b ，b ∥c ，则有( )A ．a ∥c B ．a ＝c C ．a 与c 不共线 D ．以上都有可能7．(2011～2012²临沂高一检测)以下说法错误的是( )A ．零向量与任一非零向量平行B ．零向量与单位向量的模不相等C ．平行向量方向相同D ．平行向量一定是共线向量8．下列说法正确的是( )A ．若|a |＝|b |，则a ，b 的长度相等且方向相同或相反B ．若向量AB ，CD 满足|AB |>|CD |，且AB 与CD 同向，则AB >CDC ．若a ≠b ，则a 与b 可能是共线向量D ．若非零向量AB 与CD 平行，则A ，B ，C ，D 四点共线9．设是a 的相反向量，则下列说法错误的是（） A. a 与的长度必相等 B ．a ∥ C ．a 与一定不相等 D. a 是的相反向量 10．如图所示，B ，C 是线段AD 的三等分点，分别以图中各点为起点或终点，与AC 相等的向量是________．11．给出下列各命题：(1)零向量没有方向；(2)若|a |＝|b |，则a ＝b ；(3)单位向量都相等；(4)向量就是有向线段； (5)若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；(6)若四边形ABCD 是平行四边形，则AB ＝CD ，BC ＝DA .其中正确命题的序号是________．12．如图所示，点O 为正方形ABCD 对角线的交点，四边形OAED ，OCFB 都是正方形．在图中所示的向量中： (1)分别写出与AO ，BO 相等的向量；(2)写出与AO 共线的向量；(3)写出与AO 的模相等的向量； (4)向量AO 与CO 是否相等？[答案] 1、A 2、D 3、D 4、A 5、A 6、D 7、C 8、C练习二1．向量（+）+（+）+化简后等于（）A. B ． C ． D ． 2．、b 为非零向量，且｜a +b ｜=｜a ｜+｜b ｜则（）A ． ∥且、方向相同B ． =C ． =-D ．以上都不对3．化简（AB -）+（-）的结果是（）A ． B ． C ．AC D ．AE4．在四边形ABCD 中，=+AD ，则（）A ．ABCD 是矩形B ．ABCD 是菱形C ．ABCD 是正方形 D ．ABCD 是平行四边形5．下列四式不能化简为的是（）A ．（AB +）+ ) B ．（+）+（+CM ）C ． +-BMD ． -+6.设平面向量a ＝(－1,0)，b ＝(0,2)，则2a －3b ＝( )A ．(6,3)B ．(－2，－6)C ．(2,1)D ．(7,2)7．设（+CD ）+（BC +DA ）=,≠0,则在下列结论中，正确的有（） ①∥; ②+=; ③+=; ④｜+｜＜｜｜+｜｜A ．①②B ．③④C ．②④D ．①③8．已知=,=, =,DE =,=,则+++= ．9．若向量、满足｜+｜=｜｜+｜｜，则与必须满足的条件为．10．已知向量、的模分别为3，4，则｜-｜的取值范围为． 11. =“向东走4km ”,=“向南走3km ”,则｜+｜= ．12.已知矩形ABCD ，｜｜=43,设=,=,BD =，求｜++｜．13．已知正方形ABCD 的边长为1， =,=, =,则｜++｜为（）A ．0B ．3C ． 2D ．22练习三1．下列向量给中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是（）A ．e 1=(0,0), e 2 =(1,－2) ;B ．e 1=(-1,2),e 2 =(5,7);C ．e 1=(3,5),e 2 =(6,10);D ．e 1=(2,-3) ,e 2 =)43,21(- 2．已知向量a 、b ，且AB =a +2b ,BC = -5a +6b ,CD =7a -2b ,则一定共线的三点是（）A ．A 、B 、D B ．A 、B 、C C ．B 、C 、D D ．A 、C 、D3．如果e 1、 e 2是平面α内两个不共线的向量，那么在下列各说法中错误的有（）①λe 1＋μe 2(λ, μ∈R)可以表示平面α内的所有向量；②对于平面α中的任一向量a ,使a =λe 1＋μe 2的λ, μ有无数多对；③若向量λ1e 1+μ1e 2与λ2e 1+μ2e 2共线,则有且只有一个实数k ,使λ2e 1+μ2e 2=k (λ1e 1+μ1e 2)；④若实数λ, μ使λe 1＋μe 2=0，则λ=μ=0.A ．①②B ．②③C ．③④D ．仅②4．若A (2,3)，B (x , 4),C (3,y ),且AB =2AC ,则x = ，y = ;5．已知12,e e 是不共线的向量，12a e e λ=+ ，122b e e =- ，则,a b共线的条件是λ=（）A.0 B.-1 C.-2D.12- 6．已知等差数列{}n a 满足59OC a OA a OB =⋅+⋅，若,,A B C 三点共线，则（）A.312a =B.512a =C.712a =D.912a =7．在四边形ABCD 中，b a CD b a BC b a AB 35,4,2--=--=+=,其中,不共线，则四边形ABCD 为（）A.平行四边形B.矩形C.梯形D.菱形 8．(2012·嘉兴模拟)已知a ，b 是不共线的向量，AB ＝λa ＋b ，AC ＝a ＋μb ，λ，μ∈R ，那么A 、B 、C 三点共线的充要条件为( )A ．λ＋μ＝2 B ．λ－μ＝1 C ．λμ＝－1 D ．λμ＝19．(2012·黔西南州模拟)已知向量a ＝(1,1)，b ＝(2，x )，若a ＋b 与4b －2a 平行，则实数x 的值是( )A ．－2B ．0C ．1D ．210．若向量a =(1,1),b =（1,-1) ,c =(-2,4) ,则c = ( )A ．-a +3b B ．3a -b C ．a -3b D ．-3a +b11．(2012·宁德模拟)已知a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－1,2)，则c 等于( )A ．－12a ＋32b B.12a －32b C ．－32a －12b D ．－32a ＋12b 12．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F .若AC ＝a ，BD ＝b ，则AF ＝( )A.14a ＋12bB.23a ＋13bC.12a ＋14bD.13a ＋23b 13．(2011·湖南高考)设向量a ，b 满足|a |＝25，b ＝(2,1)，且a 与b 的方向相反，则a 的坐标为________．14．设e 1、e 2是平面内一组基向量，且a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，则向量e 1＋e 2可以表示为另一组基向量a 、b 的线性组合，即e 1＋e 2＝________a ＋________b .15.设两非零向量和不共线， (1)如果求证三点共线.(2)试确定实数，使和共线.16.设和是两个不共线的非零向量，若向量，试证明：A 、C 、D 三点共线.17．已知A (1,1)、B (3，－1)、C (a ，b )．(1)若A 、B 、C 三点共线，求a 、b 的关系式； (2)若AC ＝2AB ，求点C 的坐标．18.P 是ABC ∆所在平面上一点，角,,A B C 所对的边的长度分别为5,8,9，若58PA PB + 90PC +=，则点P 是ABC ∆的（）A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心19.P 是ABC ∆所在平面上一点，若PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅ ，则点P 是ABC ∆的（）A.外心B.内心C.重心D.垂心 20.P 是ABC ∆所在平面上一点，若0PA PB PC ++= ，则点P 是ABC ∆的（）A.外心B.内心C.重心D.垂心21.P 是ABC ∆所在平面上一点，若||||||PA PB PC == ，则点P 是ABC ∆的（）A.外心B.内心C.重心D.垂心22.O 是ABC ∆所在平面上一定点，动点P 满足()||||AB AC OP OA AB AC λ=++ ，这里0λ≥，则动点P 的轨迹一定通过ABC∆的（）A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心练习四 1、已知a 、b 为两个单位向量，下列命题正确的是（）（A ）a =b （B ）a ²b =0 （C ）|a ²b |<1 （D ）a 2=b 22、若|a |=2，|b |=21，a 与b 的夹角为600,则a ²b=（）（A ）41 （B ）21 （C ）1 （D ）23、已知∆ABC 中，=a ，=b ,当a ²b<0时 ∆ABC 是（）（A ）钝角三角形（B ）直角三角形（C ）锐角三角形（D ）等腰直角三角形 4、设|a |=12，|b |=9,a ²b =254-，则a 与b 的夹角大小为（）（A ）045（B ）0135（C ）060（D ）01205.已知a+b =2i -8j ，a-b =-8i +16j ，其中i 、j 是直角坐标系中x 轴、y 轴正方向上的单位向量，那么a ·b = .6、若a //b ，则a ²b =（）（A ）0 （B ）–1 （C ）|a ||b | （D ）±|a ||b |7、下列叙述不正确的是（）（A ）向量的数量积满足交换律（B ）向量的数量积满足分配律（C ）向量的数量积满足结合律（C ）a ²b 是一个实数 8、已知|a |=6，|b |=4，则（a +2b ）²（a –3b ）=–72，a 与b 的夹角为（）（A ）030 （B ）060 （C ）090 （D ）01209、已知|a |=2，|b |=4，a 与b 的夹角为3π，那么向量a –4b 的模是（）（A ）2 （B ）6 （C ）32 （D ）1210、|a |=2，|b |=4，向量a +43b 与a –43b 的位置关系是（）（A ）平行（B ）垂直（C ）夹角为3π （D ）不平行也不垂直11、已知|a |=6, b 为单位向量，它们之间的夹角为060，则a 在b 方向上的投影为_____。

平面向量基础练习(含答案)

平面向量基础练习（含答案）一、单选题（本大题共21小题，共105.0分） 1. 下列命题正确的是()A. 若a 、b 都是单位向量，则a b =B. 若AB DC =，则A ，B ，C ，D 四点构成平行四边形C. 若两向量a 、b 相等，则它们是始点、终点都相同的向量D. AB 与BA 是平行向量2. 下列说法正确的是()A. 数量可以比较大小，向量也可以比较大小．B. 方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小．C. 向量的大小与方向有关．D. 向量的模可以比较大小．3. 已知O 是ABC 内一点，若|OA ||OB ||OC |==，则O 一定是ABC 的()A. 重心B. 内心C. 外心D. 垂心4. 在边长为1的正三角形ABC 中，|AB BC |-的值为()A. 1B. 2C.D.5. 已知正方形ABCD ，则AB 2AC AD (++= )A. 2B. 6C. 4D. 6. 在四边形ABCD 中，||||AB AD =且BA CD =，则四边形ABCD 的形状一定是()A. 正方形B. 长方形C. 菱形D. 等腰梯形7. 设a ，b 都是非零向量，下列四个条件中，使||||a ba b =成立的充分条件是() A. ||||a b =且//a b B. a b =- C. //a bD. 2a b =8. 在ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则()EB =A.3144AB AC - B. 1344AB AC - C. 3144AB AC + D. 1344AB AC + 9. 已知向量(1,2)a =，(1,1)b =，且a 与a b λ+的夹角为锐角，则λ满足()A. 53λ<-B. 53λ>-C. 53λ>-且0λ≠D. 53λ<-且5λ≠-10. 已知 D ， E ， F 分别是ABC 的边 AB ， BC ， CA 的中点，则下列等式中不正确的是()A. FD DA FA +=B. 0FD DE EF ++=C. DE DA EC +=D. DA DE FD +=11. 已知向量,a b 是两个不共线的向量，且向量3ma b -与(2)a m b +-共线，则实数m 的值为()A. 1-或3B. 3C. 1-或4D. 3或412. 已知平面内O ，A ，B ，C 四点，其中A ，B ，C 三点共线，且OC xOA yOB =+，则()x y +=A.12B. 1C. 1-D. 013. 已知向量||4a =，e 为单位向量，当他们之间的夹角为3π时，a 在e 上投影向量的模与e 在a 上投影向量的模分别为()A. 23，32B. 2，12C.32，23 D. 2，214. 在ABC 中，90C =︒，点D 在AB 上，3AD DB =，||4CB =，则()CB CD ⋅=A. 8B. 10C. 12D. 1615. 已知向量a ，b 不共线，且向量a b λ+与(21)a b λ+-的方向相反，则实数λ的值为()A. 1B. 12-C. 1或12-D. 1-或12-16. 已知23PA PB tPC =+，若A 、B 、C 三点共线，则||||AB AC 为()A.23B.25C.12D. 217. 如图，在ABC 中，点D 是边BC 的中点，2AG GD =，则用向量,AB AC表示BG 为()A. 2133BG AB AC =-+ B. 1233BG AB AC =-+ C. 2133BG AB AC =-D. 2133BG AB AC =+18. 已知向量a ，b 满足(1,2)a=，(1,1)a b m +=+，若//a b ，则()m =A. 2B. 2-C.12 D. 12- 19. 在矩形ABCD 中，1AB =，2AD =，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP AB AD λμ=+，则λμ+的最大值为()A. 3B.C.D. 220. 若O 是ABC 垂心，6A π∠=且sin cos sin cos 2sin sin B C AB C B AC m B C AO ⋅+⋅=⋅，则()m =A.12B.C.D.21. 在ABC 中，向量AB 与AC 满足()0||||AB ACBC AB AC +⋅=，且22||BA BC BA BC ⋅=，则ABC 为() A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 等腰非等边三角形D. 等腰直角三角形二、多选题（本大题共5小题，共25.0分）22. 给出下列四个条件中能使//a b 成立的条件是()A. a b =B. ||||a b =C. a 与b 方向相反D. ||0a =或||0b =23. 下列叙述中错误的是()A. 若a b =，则32a b >B. 已知非零向量a 与b 且//a b ，则a 与b 的方向相同或相反C. 若//a b ，//b c ，则//a cD. 对任一非零向量a ，||aa 是一个单位向量 24. 若点D ，E ，F 分别为ABC 的边BC ，CA ，AB 的中点，且BC a =，CAb =，则下列结论正确的是()A. 12AD a b =--B. 12BE a b =+C. 1122CF a b =-+D. 12EF a =25. 下列命题中，正确的是()A. 对于任意向量,a b ，有||||||a b a b ++B. 若0a b ⋅=，则0a =或0b =C. 对于任意向量,a b ，有||||||a b a b ⋅D. 若,a b 共线，则||||a b a b ⋅=±26. 已知在平面直角坐标系中，点()10,1P ，()24,4.P 当P 是线段12PP 的一个三等分点时，点P 的坐标为()A. 4,23⎛⎫⎪⎝⎭B. 4,33⎛⎫ ⎪⎝⎭C. ()2,3D. 8,33⎛⎫ ⎪⎝⎭三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）27. 在四边形ABCD 中，若//AB CD 且||||AB CD ≠，则四边形ABCD 的形状是__________. 28. 已知||4a =，||3b =，(23)(2)61a b a b -⋅+=，则a 与b 的夹角θ为__________. 29. 如图，在ABC 中，已知10AB =，5AC =，3BAC π∠=，点M是边AB 的中点，点N 在直线AC 上，且3AC AN =，直线CM 与BN 相交于点P ，则线段AP 的长为__________.30. 已知ABC 和点M 满足0MA MB MC ++=，若存在实数m 使得AB AC mAM +=成立，则m =__________.四、解答题（本大题共6小题，共72.0分）31. 已知向量a 和b ，||||1a b ==，且||3||.a kb a kb +=-(1)若a 与b 的夹角为60︒，求k 的值；(2)记211()(33)4f k a b k k k=⋅+--+，是否存在实数x ，使得()1f k tx -对任意的[1,1]t ∈-恒成立？若存在，求出实数x 的取值范围；若不存在，试说明理由.32. 设两个向量,a b ，满足||2,|| 1.a b ==(1)若(2)()1a b a b +⋅-=，求,a b 的夹角；(2)若,a b 夹角为60︒，向量27ta b +与a tb +的夹角为钝角，求实数t 的取值范围.33. 已知向量(1,)a m =，(3,2).b =-(1)若()a b b +⊥，求m 的值；(2)若1a b ⋅=-，求向量b 在向量a 上的投影向量．34. 设向量(2,sin ),(1,cos ),a b θθθ==为锐角．(1)若//a b ，求tan θ的值；(2)若136a b ⋅=，求sin cos θθ+的值.35. 如图，在ABC 中，D 为BC 的四等分点，且靠近点B ，E ，F 分别为AC ，AD 的三等分点，且分别靠近A ，D 两点，设AB a =，.AC b =(1)试用a ，b 表示,,BC AD BE ；(2)证明：B ，E ，F 三点共线．36. 如图，在平行四边形ABCD 中，AP BD ⊥，垂足为.P()1若=18AP AC ⋅，求AP 的长；()2设||6AB =，||8AC =，=3BAC π∠，=x +y AP AB AC ，求xy的值．答案和解析1.【答案】D解：A 、单位向量长度相等，但方向不一定相同，故A 不对； B 、A 、B 、C 、D 四点可能共线，故B 不对；C 、只要方向相同且长度相等，则这两个向量就相等，与始点、终点无关，故C 不对；D 、因AB 和BA 方向相反，是平行向量，故D 对．2.【答案】D解：数量可以比较大小，向量不可以比较大小，故A ，B ，C 错误；D .向量的模是实数，可以比较大小，正确．3.【答案】C解：由条件知点O 在ABC 内，且到ABC 的三个顶点的距离相等，所以O 一定是ABC 的外心.4.【答案】D解：因为()222||||2AB BC BA BC BA BCBA BC BA BC -=--=+=++⋅又正三角形ABC 边长为1，所以221,1,2211cos 601BA BC BA BC ==⋅=⨯⨯⨯︒=，所以|| 3.AB BC -=5.【答案】B解：如图，由向量加法的平行四边形法则可知：AB AD AC +=，|2|3||AB AC AD AC ∴++=，又正方形ABCD ，||2AC ∴=，3||6AC ∴=，6.【答案】C解：因为BA CD =，所以//BA CD 且BA CD =，所以四边形ABCD 是平行四边形，又因为||||AB AD =，所以AB AD =，所以四边形ABCD 是菱形，7.【答案】D解：由||||a ba b =得向量,a b 方向相同，且均为非零向量，对照各个选项，可得：A 项中向量a 、b 的方向不一定相同，可能相反；B 项中向量a 、b 的方向相反；C 项中向量a 、b 的方向相同或相反；只有D 项能确定向量a 、b 方向相同．8.【答案】A解：如图，由E 为AD 的中点，得12AE AD =， 1.2EB AB AE AB AD ∴=-=-又D 为BC 的中点，11.22AD AB AC ∴=+ 1131.4444EB AB AB AC AB AC ∴=--=-故选.A9.【答案】C解：由题意，a 与ab λ+的夹角为锐角，()0a a b λ∴⋅+>且a 与a b λ+不同向，即()00a ab λλ⎧⋅+>⎪⎨≠⎪⎩，故25300a ab λλλ⎧+⋅=+>⎪⎨≠⎪⎩，解得53λ>-且0.λ≠ 10.【答案】D 11.【答案】A解：向量3ma b -与(2)a m b +-共线，∴存在实数k 使得：3[(2)]ma b k a m b -=+-，化为：()[3(2)]0m k a k m b -+---=，向量a ，b 是两个不共线的向量，3(2)0m k k m -=⎧∴⎨---=⎩，解得3m =或 1.- 12.【答案】B解：A ，B ，C 三点共线，∴存在R λ∈，使.AC AB λ=()OC OA OB OA λ∴-=-，(1)OC OA OB λλ∴=-+，1x λ∴=-，y λ=， 1.x y ∴+=13.【答案】B解：向量||4a =，e 为单位向量，且夹角为3π；则a 在e 上投影向量的模是1||cos4232a π=⨯= e 在a 上投影向量的模是11||cos 1.322e π=⨯=14.【答案】C解：因为ABC 中，90C =︒，点D 在AB 上，3AD DB =，||4CB =，故3313()4444CD CA AD CA AB CA AC CB CA CB =+=+=++=+，所以21313()124444CB CD CB CA CB CA CB CB ⋅=⋅+=⋅+=，15.【答案】B解：设c a b λ=+，(21)d a b λ=+-， c 与d 共线反向，(0)c md m ∴=->，(21)c md a b ma m b λλ∴+=+++- ()(12)0m a m m b λλ=+++-=，0m λ∴+=，且120m m λ+-=，0m >，解得12m =，1.2λ=-16.【答案】C解：因为23PA PB tPC =+，且A 、B 、C 三点共线，则213t +=，解得13t =，即2133PA PB PC =+，即21()()33PA PB PC PA -=-，即2BA AC =，即||12||AB AC =，17.【答案】A 解：由题意可得，221()332BG BA AG BA AD BA AB AC =+=+=+⨯+ 1112.3333BA AB AC AC AB =++=- 18.【答案】D解：()(1,1)(1,2)(,1).b a b a m m =+-=+-=-因为//a b ，所以210m +=，解得1.2m =- 19.【答案】A解：如图：以A 为原点，以AB ，AD 所在的直线为x ，y 轴，建立如图所示的坐标系，则(0,0)A ，(1,0)B ，(0,2)D ，(1,2)C ，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上，设圆的半径为r ，2BC =，1CD =，22215BD ∴=+1122BC CD BD r ∴⋅=⋅， 5r ∴= ∴圆的方程为224(1)(2)5x y -+-=，设点P 的坐标为2525(1,2)55θθ++， AP AB AD λμ=+，2525(cos 1,sin 2)(1,0)(0,2)(,2)55θθλμλμ∴++=+=， 25cos 15θλ∴+=，25sin 225θμ+=， 255cos sin 2sin()255λμθθθϕ∴+=++=++，其中tan 2ϕ=， 1sin()1θϕ-+，13λμ∴+，故λμ+的最大值为3，20.【答案】D解：在ABC 中，sin sin 0B C ≠，由sin cos sin cos 2sin sin B C AB C B AC m B C AO ⋅+⋅=⋅，得cos cos 2sin sin C B AB AC mAO C B+=，连接CO 并延长交AB 于D ，O 是ABC 垂心，CD AB ∴⊥，又AO AD DO =+，cos cos 2()sin sin C B AB AC m AD DO C B∴+=+，两端同乘以AB 得：2cos cos cos 2cos sin sin C B c bc A m bc A C B⋅+⋅⋅=⋅⋅， 6A π∠=，2cos cos cos 3sin sin C B c bc A mbc C B∴⋅+⋅=，由正弦定理化为2cos cos sin sin sin cos 3sin sin sin sin C B C B C A m B C C B⋅+⋅=， 3cos sin sin 3sin sin C C B C m B C ∴+=⋅，又sin 0C ≠，得3cos 3sin C B m B +=⋅①，56C A B B ππ=--=-，51cos cos()sin 62C B B B π∴=-=+，代入①式，得： 1sin sin 2B B =⋅，又sin 0B ≠，约去sin B ，得m = 21.【答案】D 解：因为()0ABACBC AB AC +⋅=，所以BAC ∠的平分线与BC 垂直，所以三角形ABC 是等腰三角形，且.AB AC = 又因为22BA BC BA BC⋅= 所以45ABC ∠=︒，所以三角形ABC 是等腰直角三角形．22.【答案】ACD解：因为a 与b 为相等向量，所以//a b ，即A 能够使//a b 成立；由于||||a b =并没有确定a 与b 的方向，即B 不能够使//a b 成立；因为a 与b 方向相反时，//a b ，即C 能够使//a b 成立；因为零向量与任意向量共线，所以||0a =或||0b =时，//a b 能够成立; 故使//a b 成立的条件是.ACD23.【答案】AC解：A ，向量无法比较大小，故A 错误；B ，共线向量的方向相同或相反，故B 正确；C ，若b 是零向量，则不成立，故C 错误；D ，对任一非零向量a ，||a a 是一个与a 方向相同且模长为1的单位向量，故D 正确. 24.【答案】ABC解：如图，在ABC 中，1122AD AC CD CA CB b a =+=-+=--，故A 正确； 12BE BC CE a b =+=+，故B 正确； AB AC CB b a =+=--，1111()2222CF CA AB b b a a b =+=+⨯--=-+，故C 正确； 1122EF CB a ==-，故D 不正确． 25.【答案】ACD 解：对于A ，对任意向量a ，b ，有a b a b ++，当且仅当a 与b 共线时取等号，故A 正确；对于B ，若0a b ⋅=，则0a =或0b =或a b ⊥，故B 错误；对于C ，对任意向量a ，b ，因为cos ,a b a b a b a b ⋅=<>，当且仅当a 、b 同向共线时取等号，故C 正确；对于D ，若向量a ，b 共线，则a 与b 的夹角为0︒或180︒，有a b a b ⋅=±⋅，故D 正确.26.【答案】AD解：由题意，设(),P x y ，P 是线段12P P 的一个三等分点，122PP PP ∴=或121.2PP PP = 即()(),124,4x y x y -=--或()()1,14,42x y x y -=--，即82182x x y y =-⎧⎨-=-⎩或22122x x y y ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，解得833x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩或432x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩， 27.【答案】梯形解：由于//AB CD ，//.AB CD ∴又||||AB CD ≠，.AB CD ∴≠∴四边形ABCD 为梯形．28.【答案】23π 解：||4a =，||3b =，(23)(2)61a b a b -⋅+=，2244361a a b b ∴-⋅-=，164443cos 3961θ∴⨯-⨯⨯-⨯=，1cos 2θ∴=-， 0θπ，23πθ∴=， 29.解：因为B ，P ，N 三点共线，所以存在实数x 满足1(1)3x AP xAB x AN xAB AC -=+-=+，因为C ，P ，M 三点共线，所以存在实数y 满足(1)(1)2y AP y AM y AC AB y AC =+-=+-，又AB ，AC 不共线，则25214135y x x x y y ⎧⎧==⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨-⎪⎪=-=⎪⎪⎩⎩，所以2155AP AB AC =+，所以2221(44)25AP AB AB AC AC =+⋅+ 2211(41041055)21252=⨯⨯+⨯⨯⨯+=，所以21AP =，30.【答案】3解：由已知条件得MB MC MA +=-，如图，延长AM 交BC 于D 点，则D 为BC 的中点．延长BM 交AC 于E 点，延长CM 交AB 于F 点，同理可证E ，F 分别为AC ，AB 的中点，即M 为ABC 的重心， 21()33AM AD AB AC ∴==+，即3AB AC AM +=，31.【答案】解：(1)||||1a b ==，a 与b 的夹角为60︒，则11||||cos601122a b a b ⋅=⋅︒=⨯⨯=，由||3||a kb a kb +=-，两边平方可得，22()3()a kb a kb +=-，22222223(2)a ka b k b a ka b k b +⋅+=-⋅+，即有2213(1)k k k k ++=-+，解得1k =；(2)由(1)得，22222223(2)a ka b k b a ka b k b +⋅+=-⋅+ 即()2212312k ka b k ka b ++⋅=+-⋅ 即可得11()4a b k k⋅=+， 21111()()(33)44f k k k k k k∴=++--+ 2211(23)[(1)2]44k k k =-+=-+， min 1()2f k ∴=，因为()1f k tx -对于任意[1,1]t ∈-恒成立， min ()1f k tx ∴-，所以112tx -，即12tx 对于任意[1,1]t ∈-恒成立，构造函数1()2g t tx =-，从而1(1)02.(1)012x g g x ⎧-⎪-⎧⎪⇒⎨⎨⎩⎪⎪⎩ 由此可知不存在实数x 使之成立.32.【答案】解：(1)设,a b 的夹角为θ，由(2)()1a b a b +⋅-=得，2221a a b b +⋅-=，又24a =，21b =， 1a b ∴⋅=-，1cos 2||||a b a b θ⋅∴==-⋅ a ∴、b 的夹角为120.︒(2)由已知得21cos60 1.a b ⋅=⨯⨯︒=2222(27)()2(27)72157ta b a tb ta t a b tb t t ∴+⋅+=++⋅+=++，向量27ta b +与a tb +的夹角为钝角，221570t t ∴++<，且向量27ta b +与a tb +不共线，解得17.2t -<<-当向量27ta b +与a tb +共线时，设27()ta b a tb λ+=+，(0).λ< 27t t λλ=⎧∴⎨=⎩，解得227.t =∴当t =时，λ=即2t =-时，向量27ta b +与a tb +的夹角为180.︒∴向量27ta b +与a tb +的夹角为钝角时，t 的范围是141(7,(,).222---- 33.【答案】解：(1)(4,2)a b m +=-；()a b b +⊥；342(2)0m ∴⨯--=；8m ∴=；(2)321a b m ⋅=-=-；2m ∴=； (1,2)a ∴=；b ∴在向量a 上的投影向量为||cos ,||||||a a b a b a b a a a ⋅<>⋅=⋅ 1.||5a a a ==- 34.【答案】解：(1)(2,sin )a θ=，(1,cos )b θ=，且//a b ， 2cos sin 0θθ∴-=，可得tan 2.θ=13(2)6a b ⋅=， 132sin cos 6θθ∴+=，化简得1sin cos .6θθ= 因此24(sin cos )12sin cos .3θθθθ+=+= 又θ为锐角，可得sin cos θθ+是正数，sin cos 3θθ∴+=舍负). 35.【答案】解：(1)ABC 中，AB a =，AC b =， BC AC AB b a ∴=-=-，AD AB BD =+ 14AB BC =+ 1()4a b a =+- 3144a b =+， BE BA AE =+13AB AC =-+ 13a b =-+； (2)证明：13BE a b =-+， BF BA AF =+ 23AB AD =-+231()344a a b =-++ 1111()2623a b a b =-+=-+， 12BF BE ∴=， BF ∴与BE 共线，且直线BF 与直线BE 有公共点B ， B ∴，E ，F 三点共线．36.【答案】解：2||(1)||||cos ||||=2||=18||AP AP AC AP AC PAC AP AC AP AO ⋅=⋅∠=⋅，解得||=3.AP (2)=+=+2AP x AB y AC x AB y AO ，且,,B P O 三点共线， 21x y ∴+=①，又||=6AB ，||=8AC ，=3BAC π∠，1=cos 64cos =1223AB AO AB AC BAC π∴⋅⋅∠=⨯⨯，由AP BD ⊥可知=(+2)(-)=0AP BO x AB y AO AO AB ⋅⋅，展开化简得到=3y x ②，联立①②解得1=7x ，3=7y ，故1=.3x y。

平面向量小题基础练-高考数学重点专题冲刺演练(原卷版)

平面向量小题基础练-新高考数学复习分层训练（新高考通用）一、单选题1．（2023·江苏泰州·统考一模）已知向量,a b 满足2π1,2,,3a b a b ==<>= ，则()a ab ⋅+= （）A ．－2B ．－1C ．0D ．22．（2023·湖北·荆州中学校联考二模）已知向量()3,4m =- ，()12,5n =- ，则m n n ⋅+=（）A ．56-B ．69C ．43-D ．433．（2023·江苏·二模）在ABC 所在平面内，D 是BC 延长线上一点且4BD CD =，E 是AB 的中点，设AB a =，AC b = ，则ED = （）A ．1455a b + B ．3144a b + C ．5463a b -+ D ．5564a b -+ 4．（2023·江苏泰州·泰州中学校考一模）已知平面单位向量a ，b ，c 满足2π,,,3a b b c c a 〈〉=〈〉=〈〉=r r r r r r ，则32a b c ++=r r r （）A ．0B ．1CD 5．（2023·江苏南通·统考模拟预测）若向量,a b 满足||||||a b a b +=+ ，则向量,a b 一定满足的关系为（）A ．0a =B ．存在实数λ，使得a bλ= C ．存在实数,m n ，使得ma nb= D ．||||||a b a b -=- 6．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）平面向量()()2,,2,4a k b =-= ，若a b ⊥ ，则a b -=r r （）A ．6B ．5C ．D ．7．（2023·湖南邵阳·统考二模）已知向量()1,3a = ，()1,1b =- ，()4,5c = ．若a 与b cλ+ 垂直，则实数λ的值为（）A ．219B ．411C ．2D ．47-8．（2023·湖南·模拟预测）如图，在平行四边形ABCD 中，AB a =，AD b = ，若23AE AC = ，则DE = （）A ．1233a b -B ．2133a b -C ．1233a b +D ．2133a b + 9．（2023·湖南常德·统考一模）已知向量a 为单位向量，向量()1,1b = ，()()21a b a b +⋅-= ，则向量a 与向量b 的夹角为（）A ．π6B ．π4C ．π3D ．π210．（2023·广东佛山·统考一模）已知单位向量a ，b 满足0a b ⋅= ，若向量c a = ，则cos ,a c = （）A B ．12C D ．1411．（2023·广东深圳·统考一模）已知a ，b 为单位向量，且357a b -= ，则a 与a b - 的夹角为（）A ．π3B ．2π3C ．π6D ．5π612．（2023·广东茂名·统考一模）在ABC 中，AB c = ，AC b = ，若点M 满足2MC BM =uuu r uuu r ，则AM = （）A ．1233b c + B ．2133b c - C ．5233c b - D ．2133b c + 13．（2023·广东湛江·统考一模）在平行四边形ABCD 中，E 为边BC 的中点，记AC a = ，DB b = ，则AE = （）A ．1124a b - B ．2133a b + C ．12a b + D ．3144a b + 14．（2023·浙江金华·浙江金华第一中学校考模拟预测）若向量(),2a x = ，()1,2b =- ，且a b ⊥ ，则a = （）A ．B ．4C ．D ．15．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知向量,a b 满足||1a = ，||3b = ，(3,1)a b -= ，则|3|a b -= （）A ．B C ．D ．16．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）等边ABC 的边长为3，若2AD DC = ，BF FD = ，则AF = （）A ．2B ．2C ．2D ．217．（2023·江苏南通·二模）在平行四边形ABCD 中，12BE BC = ，13AF AE = ．若AB mDF nAE =+ ，则m n +=（）A ．12B ．34C ．56D ．43二、填空题18．（2023·湖北·校联考模拟预测）已知向量(2,4),(,1)m n x =-=- ，若m n ∥，则x =__________．19．（2023·湖北·统考模拟预测）已知()4,2a = ，()1,1b = ，则a 在b 方向上的投影向量的坐标为__________．20．（2023·湖南湘潭·统考二模）已知向量(,2),(1,3)a m b =-= ，若()a b b -⊥ ，则m =__________．21．（2023·广东惠州·统考模拟预测）已知平面向量(2,4)a =- ，(,1)b λ= ，若a 与b 垂直，则实数λ=__________．22．（2023·广东广州·统考一模）已知向量()()1,2,3,,a b x a == 与a b + 共线，则a b -=r r __________.23．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知向量(4,),(3,1)a m m b =+= ，且//a b r r ，则m =______.24．（2023·浙江温州·统考二模）已知向量()()1,2,2,a b λ== ，若()()a b a b +- ∥，则λ=__________．25．（2023·江苏·统考一模）在ABC 中，已知2BD DC = ，CE EA = ，BE 与AD 交于点O .若CO xCB yCA =+(),R x y ∈，则x y +=________.26．（2023·江苏·统考一模）已知向量a ，b 满足2a = ，3b = ，0a b ⋅= .设2c b a =- ，则cos ,a c = ___________.27．（2023·山东·烟台二中校联考模拟预测）已知1e ，2e是夹角为120°的单位向量，若1223m e e =+ ，124n e e =- ，则m ，n 的夹角为__________．28．（2023·山东济宁·统考一模）已知平面向量()1,2a =- ，(),3b m =- ，若2a b + 与a 共线，则m =______.29．（2023·湖南张家界·统考二模）已知a 是单位向量，()1,1b =- ，若向量a 与向量b 夹角π0,4α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，写出一个满足上述条件的向量a ______.30．（2023·广东·统考一模）已知向量,a b 满足()2,4,0a b b a a ==-⋅= ，则a 与b 的夹角为___________.。

平面向量知识点总结及基础练习知识分享

知识点梳理：一.向量的基本概念与基本运算 1向量的概念：①向量：既有大小又有方向的量向量一般用c b a,,……来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：AB u u u r 几何表示法 AB u u u r ，a；坐标表示法),(y x yj xi a向量的大小即向量的模（长度），记作|AB u u u r |即向量的大小，记作｜a向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0与任意向量平行零向量a ＝0 ｜a｜＝由于0r 的方向是任意的，且规定0r 平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．（注意与0的区别）③单位向量：模为1个单位长度的向量向量0a 为单位向量｜0a｜＝④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直线上方向相同或相反的向量，称为平行向量a ∥b量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的．⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为b a大小相等，方向相同),(),(2211y x y x 2121y y x x2向量加法求两个向量和的运算叫做向量的加法设,AB a BC b u u u r u u u r r r ，则a +b r =AB BC u u ur u u u r =AC u u u r（1）a a a00；（2）向量加法满足交换律与结合律；向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”：（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量（2）三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则．向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加： AB BC CD PQ QR AR u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rL ，但这时必须“首尾相连”．3向量的减法① 相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量记作a,零向量的相反向量仍是零向量关于相反向量有：（i ）)(a =a； (ii) a +(a )=(a )+a =0 ；(iii)若a 、b是互为相反向量，则a =b ,b =a ,a +b =0②向量减法：向量a 加上b 的相反向量叫做a 与b的差，记作：)(b a b a求两个向量差的运算，叫做向量的减法③作图法：b a 可以表示为从b 的终点指向a 的终点的向量（a 、b有共同起点）4实数与向量的积：①实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa，它的长度与方向规定如下：（Ⅰ）a a；（Ⅱ）当0 时，λa 的方向与a 的方向相同；当0 时，λa的方向与a的方向相反；当0 时，0 a ，方向是任意的②数乘向量满足交换律、结合律与分配律5两个向量共线定理：向量b 与非零向量a共线有且只有一个实数，使得b =a6平面向量的基本定理：如果21,e e是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数21, 使：2211e e a ，其中不共线的向量21,e e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底7 特别注意:（1）向量的加法与减法是互逆运算（2）相等向量与平行向量有区别，向量平行是向量相等的必要条件（3）向量平行与直线平行有区别，直线平行不包括共线（即重合），而向量平行则包括共线（重合）的情况（4）向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关例1 给出下列命题：① 若|a r |＝|b r |，则a r =b r；② 若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB DC u u u r u u u r是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；③ 若a r =b r ，b r =c r ，则a r =c r ，④a r =b r 的充要条件是|a r |=|b r |且a r //b r；⑤ 若a r //b r ，b r //c r ，则a r //c r ，例2 设A 、B 、C 、D 、O 是平面上的任意五点，试化简：① AB BC CD u u u r u u u r u u u r ，②DB AC BD u u u r u u u r u u u r ③OA OC OB CO u u u r u u u r u u u r u u u r② 例3设非零向量a r 、b r 不共线，c r =k a r +b r ，d r =a r +k b r (k R)，若c r∥d r ，试求k二.平面向量的坐标表示1平面向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量,i j r r 作为基底由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量a r可表示成a xi yj r r r，由于a r 与数对(x,y)是一一对应的，因此把(x,y)叫做向量a r 的坐标，记作a r =(x,y)，其中x 叫作a r在x 轴上的坐标，y 叫做在y 轴上的坐标(1)相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量(2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关2平面向量的坐标运算：(1)若 1122,,,a x y b x y r r ，则 1212,a b x x y y rr(2)若 2211,,,y x B y x A ，则 2121,AB x x y y u u u r(3)若a r =(x,y)，则 a r=( x, y)(4)若 1122,,,a x y b x y r r ，则1221//0a b x y x y rr(5)若 1122,,,a x y b x y r r，则1212a b x x y y r r若a b rr ，则02121 y y x x例1 已知向量(1,2),(,1),2a b x u a b r r r r r，2v a b r r r ，且//u v r r ，求实数x 的值例2已知点)6,2(),4,4(),0,4(C B A ,试用向量方法求直线AC 和OB （O 为坐标原点）交点P 的坐标三．平面向量的数量积1两个向量的数量积：已知两个非零向量a r 与b r ，它们的夹角为，则a r ·b r =︱a r︱·︱b r ︱cos叫做a r 与b r的数量积（或内积）规定00a r r2向量的投影：︱b r ︱cos =||a ba r r r ∈R ，称为向量b r 在a r 方向上的投影投影的绝对值称为射影3数量积的几何意义： a r ·b r 等于a r 的长度与b r 在a r方向上的投影的乘积4向量的模与平方的关系：22||a a a a r r r r5乘法公式成立：2222a b a b a b a b r r r r r r r r ；2222a b a a b b r r r r r r 222a a b b r r r r6平面向量数量积的运算律：①交换律成立：a b b a r r r r②对实数的结合律成立： a b a b a b R r r r r r r③分配律成立：a b c a c b c r r r r r r rc a b rr r特别注意：（1）结合律不成立：a b c a b c r r r r r r；（2）消去律不成立a b a c r r r r不能得到b c r r（3）a b r r =0不能得到a r =0r或b r =0r7两个向量的数量积的坐标运算：已知两个向量1122(,),(,)a x y b x y r r，则a r ·b r =1212x x y y8向量的夹角：已知两个非零向量a r 与b r，作OA u u u r =a r , OB uuu r =b r ,则∠AOB=（001800 ）叫做向量a r 与b r 的夹角cos =cos ,a ba ba b • •r r r r r r 当且仅当两个非零向量a r 与b r 同方向时，θ=00，当且仅当a r 与b r 反方向时θ=1800，同时0r 与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题9垂直：如果a r 与b r 的夹角为900则称a r 与b r 垂直，记作a r ⊥b r10两个非零向量垂直的充要条件： a ⊥b a ·b＝O 02121 y y x x例1 判断下列各命题正确与否：（1）00a r；（2）00a r r ；（3）若0,a a b a c r r r r r，则b c r r ；⑷若a b a c r r r r ，则b c r r 当且仅当0a rr 时成立；（5）()()a b c a b c r r r r r r 对任意,,a b c r r r向量都成立；（6）对任意向量a r ，有22a a r r例2已知两单位向量a r 与b r 的夹角为0120，若2,3c a b d b a r r r r r r ，试求c r 与d r 的夹角例3 已知 4,3a r ， 1,2b r ，,m a b r r r2n a b r r r ，按下列条件求实数的值（1）m n r r ；（2）//m n r r ；(3)m n r r课堂练习：一、选择题1．下列命题中正确的是（）A ．OA OB AB u u u r u u u r u u u r B ．0AB BA u u u r u u u rC ．00AB r u u u r rD ．AB BC CD AD u u u r u u u r u u u r u u u r2．设点(2,0)A ，(4,2)B ,若点P 在直线AB 上，且AB u u u r 2AP u u u r，则点P 的坐标为（） A ．(3,1) B ．(1,1) C ．(3,1)或(1,1) D ．无数多个3．若平面向量b 与向量)2,1( a 的夹角是o 180，且53|| b ，则 b ( ) A ．)6,3( B ．)6,3( C ．)3,6( D ．)3,6(4．向量(2,3)a r ，(1,2)b r，若ma b r r 与2a b r r 平行，则m 等于A ．2B ．2C ．21D ．125．若,a b r r 是非零向量且满足(2)a b a r r r，(2)b a b r r r ，则a r 与b r 的夹角是（）A ．B ．C ．D ． 6．设3(,sin )2a r，1(cos ,)3b r ，且//a r b ，则锐角为（）A ．030B ．060C ．075D ．045二、填空题1．若||1,||2,a b c a b r r r r r，且c a r r ，则向量a r 与b r 的夹角为． 2．已知向量(1,2)a，(2,3)b，(4,1)c，若用 a 和 b 表示 c ，则c =____。

(完整版)平面向量专项训练(含答案)

平面向量专题训练知识点回顾1．向量的三种线性运算及运算的三种形式。

向量的加减法，实数与向量的乘积，两个向量的数量积都称为向量的线性运算，前两者的结果是向量，两个向量数量积的结果是数量。

每一种运算都可以有三种表现形式：图形、符号、坐标语言。

主要内容列表如下：运算图形语言符号语言坐标语言加法与减法→--OA +→--OB =→--OC→--OB -→--OA =→--AB记→--OA =(x 1,y 1)，→--OB =(x 1,y 2) 则→--OA +→--OB =(x 1+x 2,y 1+y 2)AB OB --→=u u u r -→--OA =（x 2-x 1,y 2-y 1）→--OA +→--AB =→--OB实数与向量的乘积→--AB =λ→aλ∈R记→a =(x,y) 则λ→a =(λx,λy)两个向量的数量积→a ·→b =|→a ||→b | cos<→a ,→b >记→a =(x 1,y 1), →b =(x 2,y 2) 则→a ·→b =x 1x 2+y 1y 2（3）两个向量平行：设a =（x 1,y 1），b =(x 2,y 2)，则a ∥b ⇔a b λ=r r⇔x 1y 2-x 2y 1=0（4）两个向量垂直：设→a =(x 1,y 1), →b =(x 2,y 2)，则→a ⊥→b⇔a 0b •=r r ⇔x 1x 2+y 1y 2=0 课堂精练一、选择题1. 已知平面向量a =,1x （），b =2,x x （－），则向量+a b ( )A 平行于x 轴 B.平行于第一、三象限的角平分线C.平行于y 轴D.平行于第二、四象限的角平分线2. 已知向量(1,2)=a ，(2,3)=-b ．若向量c 满足()//+c a b ，()⊥+c a b ，则c =（） A ．77(,)93 B ．77(,)39-- C ．77(,)39 D ．77(,)93--ECBA 3.已知向量(1,0),(0,1),(),a b c ka b k R d a b ===+∈=-，如果//c d 那么 ( ) A ．1k =且c 与d 同向B ．1k =且c 与d 反向C ．1k =-且c 与d 同向D ．1k =-且c 与d 反向 4已知平面向量(11)(11)==-，，，a b ，则向量1322-=a b （）Ａ．(21)--，Ｂ．(21)-，Ｃ．(10)-，Ｄ．(12)，5.设P 是△ABC 所在平面内的一点，2BC BA BP +=u u u r u u u r u u u r，则（）A.0PA PB +=u u u r u u u r rB.0PC PA +=u u u r u u u r rC.0PB PC +=u u u r u u u r rD.0PA PB PC ++=u u u r u u u r u u u r r6.已知向量a = (2,1)，a ·b = 10，︱a + b ︱=b ︱=（） 7.设a 、b 、c 是单位向量，且a ·b ＝0，则()()a c bc -•-的最小值为( )A.2-2C.1-D.18已知向量(1)(1)n n ==-，，，a b ，若2-a b 与b 垂直，则=a（）A ．1BC ．2D ．49平面向量a 与b 的夹角为060，(2,0)a =，1b= 则2ab +=( )B.10.若向量a=（1，1），b=（-1,1），c=（4，2），则c=( )A.3a+bB. 3a-bC.-a+3bD. a+3b11.如图1， D ，E ，F 分别是∆ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则 ( )A ．0AD BE CF ++=u u u r u u u r u u u r rB ．0BD CF DF -+=u u u r u u u r u u u r rC ．0AD CE CF +-=u u u r u u u r u u u r rD ．0BD BE FC --=u u u r u u u r u u u r r12.已知O 是ABC △所在平面内一点,D 为BC 边中点,且2OA OB OC ++=0u u u r u u u r u u u r，那么（）Ａ．AO OD =u u u r u u u rＢ．2AO OD =u u u r u u u rＣ．3AO OD =u u u r u u u rＤ．2AO OD =u u u r u u u r13.设非零向量a 、b 、c 满足c b a c b a =+==|,|||||，则>=<b a ,( )A ．150° B.120° C.60° D.30°14.已知()()3,2,1,0a b =-=-，向量a b λ+与2a b -垂直，则实数λ的值为( )A.17-B.17C.16-D.1615.已知1,6,()2==-=g a b a b a ，则向量a 与向量b 的夹角是（）A ．6πB ．4π C ．3π D ．2π16.已知向量(1,1),(2,),x ==a b 若a +b 与-4b 2a 平行，则实数x 的值是（） A ．-2B ．0C ．1D ．217.在ABC △中，AB =u u u r c ，AC =u u u r b ．若点D 满足2BD DC =u u u r u u u r ，则AD =u u u r （）A ．2133+b cB ．5233-c bC ．2133-b c D ．1233+b c 18.在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若(2,4)AB =u u u r ，(1,3)AC =u u u r ,则BD =u u u r （）A ．（－2，－4）B ．（－3，－5）C ．（3，5）D ．（2，4）19.设)2,1(-=,)4,3(-=,)2,3(=则=⋅+)2( （）A.(15,12)-B.0C.3-D.11- 二、填空题1.若向量a r ，b r 满足12a b ==r r ，且a r 与b r 的夹角为3π，则a b +=r r ．2.设向量(12)(23)==，，，a b ，若向量λ+a b 与向量(47)=--，c 共线，则=λ3.已知向量a 与b 的夹角为120o，且4==a b ，那么(2)+gb a b 的值为4.已知平面向量(2,4)a =r ，(1,2)b =-r ．若()c a a b b =-⋅r r r r r ，则||c =r____________．5.a r ，b r 的夹角为120︒，1a =r，3b =r 则5a b -=r r ．6.已知向量2411()()，，，a =b =．若向量()λ⊥b a +b ，则实数λ的值是7.若向量a 、b 满足b a b a 与,1==的夹角为120°，则b a b a ··+＝8.已知向量(3,1)a =r ，(1,3)b =r ， (,2)c k =r ，若()a c b -⊥r r r则k = ．9.已知向量(3,1)a =r ，(1,3)b =r ，(,7)c k =r ，若()a c -r r∥b r ，则k = ．10.在平面直角坐标系xoy 中，四边形ABCD 的边AB ∥DC,AD ∥BC,已知点A(－2，0)，B （6，8），C(8,6),则D 点的坐标为__________.平面向量专题训练答案：一选择题1 C2 D3 D 4Ｄ 5 B 6 C 7 D 8 Ｃ 9 B 10 B11 A 12 Ａ 13 B 14 A 15 C 16 D 17 A 18 B 19 C 二填空题2 23 0 _4 285 76 -37 -18 09 5 10_（0，－2）。

高一平面向量基本定理及坐标表示知识点+例题+练习含答案

1．平面向量基本定理如果e 1、e 2是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1、λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.其中，不共线的向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 2．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 21＋y 21. (2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. 3．平面向量共线的坐标表示设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2) (a ≠0)，如果a ∥b ，那么x 1y 2－x 2y 1＝0；反过来，如果x 1y 2－x 2y 1＝0，那么a ∥b . 【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．( × )(2)若a ，b 不共线，且λ1a ＋μ1b ＝λ2a ＋μ2b ，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.( √ )(3)平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可被这组基底唯一表示．( √ )(4)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件可表示成x 1x 2＝y 1y 2.( × )(5)当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标．( √ )1．设e 1，e 2是平面内一组基底，那么下列说法正确的是________(填序号)． ①若实数λ1，λ2使λ1e 1＋λ2e 2＝0，则λ1＝λ2＝0；②空间内任一向量a 可以表示为a ＝λ1e 1＋λ2e 2(λ1，λ2为实数)； ③对实数λ1，λ2，λ1e 1＋λ2e 2不一定在该平面内；④对平面内任一向量a ，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2的实数λ1，λ2有无数对．答案 ①2．在△ABC 中，点D 在BC 边上，且CD →＝2DB →，CD →＝rAB →＋sAC →，则r ＋s ＝________. 答案 0解析因为CD →＝2DB →，所以CD →＝23CB →＝23(AB →－AC →)＝23AB →－23AC →，则r ＋s ＝23＋⎝⎛⎭⎫－23＝0. 3．在▱ABCD 中，AC 为一条对角线，AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则向量BD →的坐标为__________．答案 (－3，－5)解析 ∵AB →＋BC →＝AC →，∴BC →＝AC →－AB →＝(－1，－1)， ∴BD →＝AD →－AB →＝BC →－AB →＝(－3，－5)．4．设0＜θ＜π2，向量a ＝(sin 2θ，cos θ)，b ＝(cos θ，1)，若a ∥b ，则tan θ＝________.答案 12解析 ∵a ∥b ，∴sin 2θ×1－cos 2 θ＝0， ∴2sin θcos θ－cos 2 θ＝0，∵0＜θ＜π2，∴cos θ＞0，∴2sin θ＝cos θ，∴tan θ＝12.5．(教材改编)已知▱ABCD 的顶点A (－1，－2)，B (3，－1)，C (5,6)，则顶点D 的坐标为________．答案 (1,5)解析设D (x ，y )，则由AB →＝DC →，得(4,1)＝(5－x,6－y )，即⎩⎪⎨⎪⎧ 4＝5－x ，1＝6－y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝5.题型一平面向量基本定理的应用例1 (1)在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，M ，N 分别为CD ，BC 的中点，若AB →＝λAM →＋μAN →，则λ＋μ＝________.(2)如图，在△ABC 中，AN →＝13NC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋211AC →，则实数m 的值为________．答案 (1)45 (2)311解析 (1)因为AB →＝AN →＋NB →＝AN →＋CN →＝AN →＋(CA →＋AN →)＝2AN →＋CM →＋MA →＝2AN →－14AB →－AM →，所以AB →＝85AN →－45AM →，所以λ＋μ＝45.(2)设BP →＝kBN →，k ∈R . 因为AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋kBN → ＝AB →＋k (AN →－AB →)＝AB →＋k (14AC →－AB →)＝(1－k )AB →＋k 4AC →，且AP →＝mAB →＋211AC →，所以1－k ＝m ，k 4＝211，解得k ＝811，m ＝311.思维升华 (1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．(1)在平行四边形ABCD 中，AB →＝e 1，AC →＝e 2，NC →＝14AC →，BM →＝12MC →，则MN →＝________.(用e 1，e 2表示)(2)如图，已知点G 是△ABC 的重心，过G 作直线与AB ，AC 两边分别交于M ，N 两点，且AM →＝xAB →，AN →＝yAC →，则xy x ＋y的值为________．答案 (1)－23e 1＋512e 2 (2)13解析 (1)如图，MN →＝CN →－CM →＝CN →＋2BM →＝CN →＋23BC →＝－14AC →＋23(AC →－AB →)＝－14e 2＋23(e 2－e 1)＝－23e 1＋512e 2.(2)易知AG →＝13AB →＋13AC →，MN →＝－xAB →＋yAC →，故MG →＝⎝⎛⎭⎫13－x AB →＋13AC →.由于MG →与MN →共线，所以⎝⎛⎭⎫13－x y ＝－13x ，即xy ＝13(x ＋y )，因此xy x ＋y ＝13.题型二平面向量的坐标运算例2 (1)已知a ＝(5，－2)，b ＝(－4，－3)，若a －2b ＋3c ＝0，则c ＝________. (2)已知点A (1,3)，B (4，－1)，则与向量A B →同方向的单位向量为__________．答案 (1)⎝⎛⎭⎫－133，－43 (2)⎝⎛⎭⎫35，－45 解析 (1)由已知3c ＝－a ＋2b ＝(－5,2)＋(－8，－6)＝(－13，－4)．所以c ＝⎝⎛⎭⎫－133，－43. (2)A B →＝O B →－O A →＝(4，－1)－(1,3)＝(3，－4)， ∴与A B →同方向的单位向量为A B→|A B →|＝⎝⎛⎭⎫35，－45. 思维升华向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行计算．若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则．(1)已知点A (－1,5)和向量a ＝(2,3)，若AB →＝3a ，则点B 的坐标为__________．(2)在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP →＝2PC →，点Q 是AC 的中点，若P A →＝(4,3)，PQ →＝(1,5)，则BC →＝________.答案 (1)(5,14) (2)(－6,21)解析 (1)设点B 的坐标为(x ，y )，则AB →＝(x ＋1，y －5)．由AB →＝3a ，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＝6，y －5＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝14.(2)BC →＝3PC →＝3(2PQ →－P A →)＝6PQ →－3P A →＝(6,30)－(12,9)＝(－6,21)．题型三向量共线的坐标表示命题点1 利用向量共线求向量或点的坐标例3 (1)已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2a ＋3b ＝________.(2)已知梯形ABCD ，其中AB ∥CD ，且DC ＝2AB ，三个顶点A (1,2)，B (2,1)，C (4,2)，则点D 的坐标为________．答案 (1)(－4，－8) (2)(2,4)解析 (1)由a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，得1×m ＝2×(－2)，即m ＝－4. 从而b ＝(－2，－4)，那么2a ＋3b ＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)． (2)∵在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，DC ＝2AB ， ∴DC →＝2AB →.设点D 的坐标为(x ，y )，则DC →＝(4,2)－(x ，y )＝(4－x,2－y )， AB →＝(2,1)－(1,2)＝(1，－1)，∴(4－x,2－y )＝2(1，－1)，即(4－x,2－y )＝(2，－2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4－x ＝2，2－y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，故点D 的坐标为(2,4)．命题点2 利用向量共线求参数例4 若三点A (1，－5)，B (a ，－2)，C (－2，－1)共线，则实数a 的值为________．答案－54解析 AB →＝(a －1,3)，AC →＝(－3,4)，根据题意AB →∥AC →，∴4(a －1)＝3×(－3)，即4a ＝－5， ∴a ＝－54.命题点3 求交点坐标例5 已知点A (4,0)，B (4,4)，C (2,6)，则AC 与OB 的交点P 的坐标为________．答案 (3,3)解析方法一由O ，P ，B 三点共线，可设OP →＝λOB →＝(4λ，4λ)，则AP →＝OP →－OA →＝(4λ－4,4λ)．又AC →＝OC →－OA →＝(－2,6)，由AP →与AC →共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ＝34，所以OP→＝34OB →＝(3,3)，所以点P 的坐标为(3,3)．方法二设点P (x ，y )，则OP →＝(x ，y )，因为OB →＝(4,4)，且OP →与OB →共线，所以x 4＝y 4，即x ＝y .又AP →＝(x －4，y )，AC →＝(－2,6)，且AP →与AC →共线，所以(x －4)×6－y ×(－2)＝0，解得x ＝y ＝3，所以点P 的坐标为(3,3)．思维升华平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略(1)利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件是x 1y 2＝x 2y 1”解题比较方便．(2)利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地，在求与一个已知向量a 共线的向量时，可设所求向量为λa (λ∈R )，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa 即可得到所求的向量．(3)三点共线问题．A ，B ，C 三点共线等价于AB →与AC →共线．设OA →＝(－2,4)，OB →＝(－a,2)，OC →＝(b,0)，a >0，b >0，O 为坐标原点，若A ，B ，C 三点共线，则1a ＋1b 的最小值为________．答案3＋222解析由题意得AB →＝(－a ＋2，－2)，AC →＝(b ＋2，－4)，又AB →∥AC →，所以(－a ＋2，－2)＝λ(b ＋2，－4)，即⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋2＝λ(b ＋2)，－2＝－4λ，整理得2a ＋b ＝2，所以1a ＋1b ＝12(2a ＋b )(1a ＋1b )＝12(3＋2a b ＋b a )≥12(3＋22a b ·b a )＝3＋222(当且仅当b ＝2a 时，等号成立)．11．解析法(坐标法)在向量中的应用典例 (14分)给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为2π3.如图所示，点C 在以O 为圆心的AB 上运动．若OC →＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，求x ＋y 的最大值．思维点拨可以建立平面直角坐标系，将向量坐标化，求出点A ，B 的坐标，用三角函数表示出点C 的坐标，最后转化为三角函数求最值．规范解答解以O 为坐标原点，OA →所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A (1,0)，B (－12，32)．[4分]设∠AOC ＝α(α∈[0，2π3])，则C (cos α，sin α)，由OC →＝xOA →＋yOB →，得⎩⎨⎧cos α＝x －12y ，sin α＝32y ，所以x ＝cos α＋33sin α，y ＝233sin α，[8分] 所以x ＋y ＝cos α＋3sin α＝2sin(α＋π6)，[11分]又α∈[0，2π3]，所以当α＝π3时，x ＋y 取得最大值2.[14分]温馨提醒本题首先通过建立平面直角坐标系，引入向量的坐标运算，然后用三角函数的知识求出x ＋y 的最大值．引入向量的坐标运算使得本题比较容易解决，体现了解析法(坐标法)解决问题的优势，凸显出了向量的代数特征，为用代数的方法研究向量问题奠定了基础．[方法与技巧]1．平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则，将向量进行分解．向量的坐标表示的本质是向量的代数表示，其中坐标运算法则是运算的关键． 2．根据向量共线可以证明点共线；利用两向量共线也可以求点的坐标或参数值． [失误与防范]1．要区分点的坐标和向量的坐标，向量坐标中包含向量大小和方向两种信息；两个向量共线有方向相同、相反两种情况．2．若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件不能表示成x 1x 2＝y 1y 2，因为x 2，y 2有可能等于0，所以应表示为x 1y 2－x 2y 1＝0.A 组专项基础训练 (时间：40分钟)1.如图，设O 是平行四边形ABCD 两对角线的交点，给出下列向量组： ①AD →与AB →；②DA →与BC →；③CA →与DC →；④OD →与OB →.其中可作为该平面内其他向量的基底的是________．答案 ①③解析 ①中AD →，AB →不共线；③中CA →，DC →不共线．2．已知平面向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，则向量12a －32b ＝________.答案 (－1,2)解析 12a ＝(12，12)，32b ＝(32，－32)，故12a －32b ＝(－1,2)． 3．已知a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－1,2)，则c ＝________. 答案 12a －32b解析设c ＝λa ＋μb ，∴(－1,2)＝λ(1,1)＋μ(1，－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＝λ＋μ，2＝λ－μ，∴⎩⎨⎧λ＝12，μ＝－32，∴c ＝12a －32b .4．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)．若λ为实数，(a ＋λb )∥c ，则λ＝________. 答案 12解析 ∵a ＋λb ＝(1＋λ，2)，c ＝(3,4)，且(a ＋λb )∥c ，∴1＋λ3＝24，∴λ＝12.5．已知|OA →|＝1，|OB →|＝3，OA →·OB →＝0，点C 在∠AOB 内，且OC →与OA →的夹角为30°，设OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，则m n 的值为________．答案 3解析 ∵OA →·OB →＝0，∴OA →⊥OB →，以OA 为x 轴，OB 为y 轴建立直角坐标系，OA →＝(1,0)，OB →＝(0，3)，OC →＝mOA →＋nOB →＝(m ，3n )．∵tan 30°＝3n m ＝33，∴m ＝3n ，即mn＝3. 6．已知A (7,1)，B (1,4)，直线y ＝12ax 与线段AB 交于点C ，且AC →＝2CB →，则实数a ＝________.答案 2解析设C (x ，y )，则AC →＝(x －7，y －1)，CB →＝(1－x,4－y )，∵AC →＝2CB →，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －7＝2(1－x )，y －1＝2(4－y )，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3.∴C (3,3)．又∵C 在直线y ＝12ax 上，∴3＝12a ·3，∴a ＝2.7．已知点A (－1,2)，B (2,8)，AC →＝13AB →，DA →＝－13BA →，则CD →的坐标为________．答案 (－2，－4)解析设点C ，D 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)．由题意得AC →＝(x 1＋1，y 1－2)，AB →＝(3,6)， DA →＝(－1－x 2,2－y 2)，BA →＝(－3，－6)．因为AC →＝13AB →，DA →＝－13BA →，所以有⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋1＝1，y 1－2＝2和⎩⎪⎨⎪⎧－1－x 2＝1，2－y 2＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝0，y 1＝4和⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－2，y 2＝0.所以点C ，D 的坐标分别为(0,4)，(－2,0)，从而CD →＝(－2，－4)．8．已知向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(0，－3)，OC →＝(5－m ，－3－m )，若点A ，B ，C 能构成三角形，则实数m 满足的条件是________．答案 m ≠54解析由题意得AB →＝(－3,1)，AC →＝(2－m,1－m )，若A ，B ，C 能构成三角形，则AB →，AC →不共线，则－3×(1－m )≠1×(2－m )，解得m ≠54. 9．已知A (1,1)，B (3，－1)，C (a ，b )．(1)若A ，B ，C 三点共线，求a ，b 的关系式；(2)若AC →＝2AB →，求点C 的坐标．解 (1)由已知得AB →＝(2，－2)，AC →＝(a －1，b －1)，∵A ，B ，C 三点共线，∴AB →∥AC →.∴2(b －1)＋2(a －1)＝0，即a ＋b ＝2.(2)∵AC →＝2AB →，∴(a －1，b －1)＝2(2，－2)．∴⎩⎪⎨⎪⎧ a －1＝4，b －1＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－3.∴点C 的坐标为(5，－3)．10．已知点O 为坐标原点，A (0,2)，B (4,6)，OM →＝t 1OA →＋t 2AB →.(1)求点M 在第二或第三象限的充要条件；(2)求证：当t 1＝1时，不论t 2为何实数，A ，B ，M 三点共线．(1)解 OM →＝t 1OA →＋t 2AB →＝t 1(0,2)＋t 2(4,4)＝(4t 2,2t 1＋4t 2)．当点M 在第二或第三象限时，有⎩⎪⎨⎪⎧4t 2＜0，2t 1＋4t 2≠0，故所求的充要条件为t 2＜0且t 1＋2t 2≠0.(2)证明当t 1＝1时，由(1)知OM →＝(4t 2,4t 2＋2)．∵AB →＝OB →－OA →＝(4,4)，AM →＝OM →－OA →＝(4t 2,4t 2)＝t 2(4,4)＝t 2AB →，∴AM →与AB →共线，又有公共点A ，∴A ，B ，M 三点共线．B 组专项能力提升(时间：15分钟)11．在△ABC 中，点P 是AB 上的一点，且CP →＝23CA →＋13CB →，Q 是BC 的中点，AQ 与CP 的交点为M ，又CM →＝tCP →，则t 的值为________．答案 34解析 ∵CP →＝23CA →＋13CB →， ∴3CP →＝2CA →＋CB →，即2CP →－2CA →＝CB →－CP →.∴2AP →＝PB →，因此P 为AB 的一个三等分点．∵A ，M ，Q 三点共线，∴CM →＝xCQ →＋(1－x )CA →＝x 2CB →＋(x －1)AC → (0<x <1)． ∵CB →＝AB →－AC →，∴CM →＝x 2AB →＋⎝⎛⎭⎫x 2－1AC →. ∵CP →＝CA →－P A →＝－AC →＋13AB →，且CM →＝tCP →(0<t <1)，∴x 2AB →＋⎝⎛⎭⎫x 2－1AC →＝t ⎝⎛⎭⎫－AC →＋13AB →. ∴x 2＝t 3且x 2－1＝－t ，解得t ＝34. 12．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(0,1)，设u ＝a ＋k b ，v ＝2a －b ，若u ∥v ，则实数k 的值为________．答案－12解析 ∵u ＝(1,2)＋k (0,1)＝(1,2＋k )，v ＝(2,4)－(0,1)＝(2,3)，又u ∥v ，∴1×3＝2(2＋k )，得k ＝－12. 13．已知向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(2cos α，2sin α)(α∈R )，实数m ，n 满足m a ＋n b ＝c ，则(m －3)2＋n 2的最大值为________．答案 16解析由m a ＋n b ＝c ，可得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝2cos α，m －n ＝2sin α，故(m ＋n )2＋(m －n )2＝2，即m 2＋n 2＝1，故点M (m ，n )在单位圆上，则点P (3,0)到点M 的距离的最大值为OP ＋1＝3＋1＝4，故(m －3)2＋n 2的最大值为42＝16.14．已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m ，使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m ＝________.答案 3解析 ∵MA →＋MB →＋MC →＝0，∴M 为△ABC 的重心．如图所示，连结AM 并延长交BC 于D ，则D 为BC 的中点．∴AM →＝23AD →. 又AD →＝12(AB →＋AC →)， ∴AM →＝13(AB →＋AC →)，即AB →＋AC →＝3AM →，∴m ＝3.15．如图所示，A ，B ，C 是圆O 上的三点，线段CO 的延长线与BA 的延长线交于圆O 外的一点D ，若OC →＝mOA →＋nOB →，则m ＋n 的取值范围是________．答案 (－1,0)解析由题意得，OC →＝kOD →(k ＜0)，又|k |＝|OC →||OD →|＜1，∴－1＜k ＜0. 又∵B ，A ，D 三点共线，∴OD →＝λOA →＋(1－λ)OB →，∴mOA →＋nOB →＝kλOA →＋k (1－λ)OB →，∴m ＝kλ，n ＝k (1－λ)，∴m ＋n ＝k ，从而m ＋n ∈(－1,0)．。

平面向量练习题大全及答案

平面向量练习题大全及答案平面向量练习题大全及答案平面向量是数学中的重要概念，广泛应用于几何、物理等领域。

通过练习平面向量的题目，可以帮助我们巩固和深化对平面向量的理解。

本文将为大家提供一些平面向量的练习题，并给出详细的答案解析。

一、基础练习题1. 已知向量a = (2, 3)和向量b = (-1, 4)，求向量a与向量b的和。

解析：向量的和等于对应分量相加，所以a + b = (2 + (-1), 3 + 4) = (1, 7)。

2. 已知向量a = (3, -2)和向量b = (5, 1)，求向量a与向量b的差。

解析：向量的差等于对应分量相减，所以a - b = (3 - 5, -2 - 1) = (-2, -3)。

3. 已知向量a = (4, 5)，求向量a的模长。

解析：向量的模长等于各分量平方和的平方根，所以|a| = √(4^2 + 5^2) =√(16 + 25) = √41。

4. 已知向量a = (3, -2)，求向量a的单位向量。

解析：向量的单位向量等于将向量除以其模长，所以a的单位向量为a/|a| = (3/√41, -2/√41)。

二、综合练习题1. 已知向量a = (2, 3)和向量b = (-1, 4)，求向量a与向量b的数量积。

解析：向量的数量积等于对应分量相乘再相加，所以a·b = 2*(-1) + 3*4 = -2 + 12 = 10。

2. 已知向量a = (3, -2)和向量b = (5, 1)，求向量a与向量b的向量积。

解析：向量的向量积等于两个向量的模长乘以它们夹角的正弦值，所以a×b =|a|*|b|*sinθ，其中θ为a和b的夹角。

首先计算|a|和|b|：|a| = √(3^2 + (-2)^2) = √(9 + 4) = √13，|b| = √(5^2 +1^2) = √(25 + 1) = √26。

然后计算夹角θ的正弦值：sinθ = |a×b|/(|a|*|b|)，其中|a×b|为向量a×b的模长。