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−∞
2πσ −∞
F(µ)=0.5。
(6) 标准正态分布——当µ=0, σ=1 时称服从标准正态分布, 其概率密度
和分布函数一般分别用φ(z)和Φ(z)表示, 即有
φ(z) =
1
− z2
e2
wk.baidu.com2π
(1-5)
∫ Φ(z) =
1
z
−t2
e 2 dt
2π −∞
(1-6)
人们已经编制了Φ(z)的函数值表, 可供查用(参见附表 1: 标准正态分布函数值
王霄锋 编著
清华大学汽车工程系
SPC- 1
QS 系列培训课程： 统计过程控制——学习与理解
Study and Understanding of Statistical Process Control（SPC）
统计过程控制——学习与理解
1. 统计过程控制的基本概念及其理论基础
1.1 过程 首先看一个简单过程的例子：用一台普通机床制造一种轴的外圆，如图 1-1
σ
(1-9)
则式(1-7)可变换为:
∫ F (x) =
1
x−µ −u2
σ e 2 du =
2π −∞
∫ 1
Z
−u2
e2
du
=
Φ(Z )
=
Φ(
x
−
µ
)
2π −∞
σ
(1-10)
SPC- 6
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f(x)的图形如图 1-4 所示, 它具有以下的性质: (1) 曲线关于 x = µ 对称, 即对任意 h > 0 , 有
f (µ − h) = f (µ + h)
(1-2)
(2) 当 x = µ 时, f(x)取最大值:
f(µ) = 1 2 πσ
而 x 离 µ 越远, f(x)越小。
(1-3)
SPC- 3
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图 1-3 . 125 个活塞环内径测量值和针对这些内径测量值制作的 直方图[2] SPC- 4
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Study and Understanding of Statistical Process
Control (SPC)
统计过程控制
——学习与理解
=
∫ 1
x −(t−µ)2
e 2σ2 dt
2πσ −∞
(1-4)
F(x)也是图 1-7 中所示阴影面积。当 x→+∞时, F(x)→1, 即 f(x)曲线下的总面积
∫ ∫ +∞
等于 1, f (x)dx =
1
。 +∞ − ( x−µ)2
e 2σ2 dx = 1
F(x)的图形如图 1-8 所示。当 x = µ 时
(5) 正态分布变量 X 的分布函数 F(x)为变量 X 取值小于等于 x 的概率 SPC- 5
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P(X≤x)
x
F(x) = P(X≤x) = ∫ f (t)dt −∞
表)。
一般, 若 X~N( µ,σ2 ), 即 X 具有分布函数
F(x) =
∫ 1
x − (t −µ) 2
e 2σ2 dt
2πσ −∞
(1-7)
则通过如下变量变换, 可把 F(x)转化成式(1-6)的标准形式, 然后查表(附表
1), 就能求得 F(x)的函数值: 令 Z= x−µ
σ
(1-8)
则 Z ~ N(0,1) 令 u= t−µ
1.3 正态分布[1]
某发动机的活塞环是由锻造过程制造的。假设该过程在稳定条件下持续生
产了大量活塞环，图 1-3 示出 125 个活塞环内径测量值和针对这些测量值制作 的直方图[2]——图的横坐标是内径，把其等分为若干尺寸区间，纵坐标是落在
各个尺寸区间内的活塞环的频次。随着活塞环产量的增大，上述统计直方图一
般越来越接近正态分布，可以近似用正态分布来表示。
正态分布随机变量 X 的概率密度为
f (x) =
1
− ( x−µ )2
e , 2σ 2
2π σ
− ∞ < x < +∞
(1-1)
其中, µ—正态分布的均值, σ2 —正态分布的方差, σ —正态分布的标准差
。通常把 X 服从以µ和σ为参数的正态分布表为 X~N( µ,σ2 )。
资
源
产品
或服务 融
和
顾客
图 1-2 一般过程的示意图 SPC- 2
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1.2 过程变差 首先分析图 1-1 所示过程。由于在过程中存在大量的随机因素影响，使得
过程的输出——轴外圆的质量特性（尺寸、表面粗糙度等）也是随机变量。 过程变差是指过程特性（如刀具、进给率、对中准确度等）和产品特性（过
程输出，如轴外圆尺寸等）的随机差别。 尽管在过程中存在大量随机因素，但每个因素的影响都不大，它们综合作
用的结果往往使得过程特性、过程输出近似表现出正态分布特性。所以，在统 计过程控制中，正态分布占有重要地位，是计量型变量控制图的理论基础。
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(3) 如果固定σ, 改变µ的值, 则 f(x)的图形沿 ox 轴平行移动, 而不改变其 形状, 见图 1-5。由此可见，正态分布概率密度 f(x)的位置完全由µ所确定。
(4) 如果固定µ, 改变σ, 正态分布概率密度 f(x)的变化情况如图 1-6 所示。 σ越小, 图形变得越尖; 反之, 越低平。
所示。图 1-1 所示共同构成这个过程。
机床（主轴承间隙、刀具…） 操作工（进给率、对中准确度…） 原材料（棒料尺寸、硬度…） 操作规程 环境（供电压、温度、湿度、振动…）
资
源
轴外圆 顾客
融
尺寸
和
表面粗糙度
图 1-1 过程示例——用普通机床生产一种轴的外圆 图 1-2 示出一般过程的示意图。
人员 设备 材料 方法 环境