第十七章波动率微笑ppt课件
期权的波动率微笑策略
期权的波动率微笑策略期权有一个重要的指标叫隐含波动率（IV），是根据将期权的市场价格代入标准BS期权定价模型计算出来的。
由于BS模型假定标的资产价格服从对数正态分布，收益率服从正态分布，所以期权的波动率是一个常数。
然而，用实际市场数据计算隐含波动率时，具有相同到期日和标的资产的期权，各个行权价的隐含波动率会呈现高低差异。
在大部分情况下，行权价格距离标的资产现货价格越远的期权，其隐含波动率越大，使得期权的波动率曲线产生偏移，呈现两端翘起、中间凹陷的“微笑”形态，这种现象被称为波动率微笑。
波动率微笑产生的原因，在研究上有多种解释，其中一种解释是从模型假设角度给出的。
由于BS模型假定标的资产价格和收益率都服从对数正态分布，但大量实证检验发现，在现实市场中，金融资产的收益率分布更加显示出“尖峰肥尾”的特征。
在这种分布下，收益率出现极端值的概率高于正态分布。
因此，期权价值在到期时变为深度实值与深度虚值的概率要比模型假设的概率更大，相应的深度实值和深度虚值期权的价格和波动率也会更高。
回归假设虽然大部分情况下，隐含波动率曲线都呈现两端翘起、中间凹陷的“微笑”（Smile）形态，但有时候也会出现其他形态，例如，两端塌陷、中间凸起的“皱眉”形态（Frown），一边高一边低的“假笑”形态（Smirk），以及其他的不规则形态。
由于隐含波动率曲线呈现“微笑”形态是最普遍的，所以本文假设当出现波动率“皱眉”或其他形态时，曲线都会往“微笑”形态回归。
图为波动率曲线的“微笑”形态图为波动率曲线的“皱眉”形态由于Delta绝对值为0.25的期权虚值程度比Delta绝对值为0.3的期权更深，根据假设，波动率曲线呈现“微笑”形态时，越虚值的期权隐含波动率越大，此时IV0.25>IV0.3>IV平值，其中IV0.25表示Delta绝对值为0.25期权的隐含波动率，IV0.3表示Delta绝对值为0.3期权隐含波动率，IV平值表示平值期权的隐含波动率。
第十七章波动率微笑ppt课件
正态分布（%） 31.73 4.55 0.27 0.01 0.00 0.00
表格提供了（汇率收益）肥尾性态存在以及交易员确实 采用波动率微笑的证据
➢ 外汇期权波动率微笑存在的原因
资产价格服从对数正态分布的条件： • 标的资产的波动率为常数； • 标的资产价格变化平稳并且没有跳跃。 汇率的波动率的特点： • 非常数波动率； • 跳跃波动率。
看跌期权价格 0.00 0.93 1.86 2.78 3.71 4.64 5.57 6.50 7.42
隐含波动率 0.0 58.8 66.6 69.5 69.2 66.1 60.0 49.0 0.0
与表17-3 所对应的波动率微笑
• 隐含波动率微笑实际为波动率“皱眉”，这种隐含波动 率微笑形式中。当期权变得更加实值或虚值时，波动率有 所减小。
➢ 两图的一致性
隐含波动率
执行价格
➢ 实证结果
表17-1 价格比例变化大于1,2，···，6个标准方差的天数占整体观察日的比例
＞ 1 S.D. ＞ 2 S.D. ＞ 3 S.D. ＞ 4 S.D. ＞ 5 S.D. ＞ 6 S.D.
历史数据（%） 25.04 5.27 1.34 0.29 0.08 0.03
➢ 两图的一致性
隐含波动率
执行价格
➢ 股票期权波动率微笑存在的原因
• 股票期权波动率微笑来源是杠杆效应 • 股票期权微笑来源于交易员对股票市场暴
跌的恐惧
➢17.3 波动率期限结构与波动率曲面
• 从长期来看，波动率大多表现出均值回归，即到 期日接近时，隐含波动率的变化较剧烈，随着到期 时间的延长，隐含波动率将逐渐向历史波动率的平 均值靠近。
跳跃与非常数波动率对期权价格的影响与期权的期限有 关，当期权期限增大时，波动率微笑变得越来越弱。
BS期权定价的波动率估计与波动率微笑
BS 期权定价的波动率估计与“波动率微笑”一、波动率估计在影响期权定价模型的5个因素中，标的股票的现有价格，期权执行价格，期权的到期时间，无风险利率都是可见的，唯有波动率是不可预测的。
通常，有两种方法可以对波动率进行估计，即历史波动率(historical volatility)与隐含波动(impliedvolatility)。
其中，历史波动率估计法的逻辑基础在于假定股票波动率水平在过去和未来保持不变，主要包括简单移动平均法和GARCH 模型方法。
1、方差估计法计算方式如下：先计算出标的资产价格S 第i 天的报酬u t ，即u i =ln(S i /S i-1)，利用此前一段时间（可选择3个月、半年）资产报酬数据，估计日报酬的标准差。
即：2211()1mn i i u u m σ-==--∑σ=（1） 这里，11m n i i u u m -==∑为i u的算术平均。
可以再根据ˆσ=将日波动率转换为年化波动率，τ为一年中的交易日天数。
需要注意的是，简单移动平均法假设，最近n 天内不同时期收益率数据的权重是完全相等的。
2、GARCH 模型估计由于采用方差估计波动率时，并未考虑报酬率会随着时间而改变，因而无法充分反映市场波动率的情形。
Engle(1982)提出的ARCH 模型，条件方差是过去方差的函数，条件方差可随着时间而改变。
因此，根据ARCH 模型的这一性质，可以用ARCH 模型来研究和解释金融市场的波动率问题。
尤其是Bollerslev (1986)提出的GARCH 模型，充分显示了估计金融市场波动性的参数精简原则。
因而在许多文献中，我们可以发现利用GARCH (1,1)模型来估计波动性具有相当良好的效果。
于是在实际应用中，许多学者建议不断利用GARCH (1,1)模型，不但符合参数精简原则，又比较能掌握市场上真实的波动性。
3、隐含波动率隐含波动率是估计股票波动率的另一类方法。
它假定B-S 模型是正确的，并利用期权价格和其他参数反推波动率的数值。
波动率讲解 PPT
例
估计一个变量服从均值为0得正态分布得方差
Maximize: or:
This gives:
n i1
1 2v
exp
ui2 2v
n
i 1
ln(v)
ui2 v
v
1 n
n i 1
ui2
GARCH(1,1)得应用
选择参数,最大化下式
n
i 1
ln(vi
)
ui2 vi
日元汇率数据得计算
/ 2)T
d1
T
VIX指数 VIX指数就是S&P500指数得波动率指数
VIX指数
VIX 就是芝加哥期权期货交易所 使用得市场波动性指数。通过该指数,可以了解 到市场对未来30天市场波动性得预期。
VIX由CBOT(芝加哥期权期货交易所)编制,以S&P500指数期权得隐含波动率计算 得来(1993年从8只成分股为基础计算,现在覆盖了标普500所有成分股)。若隐含 波动率高,则VIX指数也越高。该指数反映出投资者愿意付出多少成本去对冲投资 风险(用股票期权对冲风险得成本)。因此,VIX广泛用于反映投资者对后市得恐慌 程度,又称“恐慌指数”。指数愈高,意味着投资者对股市状况感到不安;指数愈低, 表示股票指数变动将趋缓。
日波动率得最新估计为每天1、53%
GARCH(p,q)
p
q
2 n
w
aiun2i
j
2 n
j
i 1
j 1
其它模型
许多其它得GARCH模型已被提出 比如,我们可以设计一个GARCH模型,使其赋予 ui2 得权重依赖
于 ui 得正负值
方差目标
一种估计GARCH(1,1)参数得很好方法就是所谓得方差目标 将长期平均方差设定为由数据计算出得抽样方差 模型只需要估计两个参数
070416波动率微笑、相对偏差和交易策略
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经 济 学 ! 季 刊"
第!卷
股灾 后 MmQ > $ $指数的密度函数呈双峰分布 ! 9 * , L K 3 1 2 ’* ) SH 0 Z ( ) ? 2 3 ( )# " $ 这引 发 了 修 正 T : J J ; RU 模 型 的 一 系 列 努 力 $ 其 中 最 著 名 的 是 & f* ) S "引 入 的 方 差 常 弹 性 模 型 ! H ? ?! : J ! ; & + 6#& ) ? 2 * ) 2+ 4 * ? 2 ( , ( 2 * 1 ( * ) , 3 56 " $ 但这些模型不 能 摆 脱 T U S 3 4 RU 模 型 本 身 的 缺 陷 # 从 而 提 供 一 个 简 单 的 机制来描写观察到的股 价 运 动 的 复 杂 行 为 $ 我 们 感 到 有 必 要 寻 找 更 一 般 的 股 价运动机制 $ 股价运动是经济 波 动 的 典 型 现 象 $ 经 济 周 期 的 本 质 是 外 来 噪 声 驱 动 # 还 是内生涨落是尚未解决 的 基 础 问 题 $ 支 持 内 生 涨 落 机 制 的 一 个 重 要 观 察 是 相 对偏差是稳定的 ! $相对偏差是标准差与平 & ’ 3 )# # $ $ ### $ $ >% 陈平 ## $ $ "" 均值的比值 $ 在随机变 量 具 有 自 然 原 点 的 正 值 时 # 它 可 以 反 映 随 机 过 程 的 群 体特征 # 比分别考察均 值 与 方 差 有 不 同 的 信 息 # 因 此 在 物 理 和 生 物 学 上 有 重 # # " $ 在常用的三类随 要的应用 ! C 3 ) S * 4 4 * ) SM 2 0 1 * 1 2 : J ; O%M , ’ 1 l S ( ) 3 1 : J " % D 机模型中 # 代表者模型 ! 包括 T RU 和随机游走模型 " 的相对偏差在时间 上是 " $ 生灭过程的经济学意义是内生涨落 $ 从数学 & ’ 3 )# # $ $ ## # $ $ >%陈平 # # $ $ " 上的方便考虑 # 生灭过程已引 入 股 价 运 动 的 描 述 ! # & f* ) SH ? ? : J ! ;%C 0
波动率分类,特征与交易浅析
波动率分类,特征与交易浅析波动率，是期权衍生品中最为重要的概念；波动率交易，也是期权特有交易方式之一，是指基于对波动率的分析和预测而进行的交易。
它削弱了标的资产价格变动对策略的影响，主要依赖波动率本身或波动率背后所蕴含的标的资产波动形式来获取利润，有其独特吸引力。
本文在简要介绍波动率分类及特征的基础上，还将对波动率交易原理做简单讨论。
波动率的分类首先需要明确，波动率是一个统计概念，是指资产在某一时间段内收益率的年化标准差。
波动率刻画了资产价格的波动程度，是对资产收益率不确定性的衡量，用于反映资产的风险水平。
波动率越高，资产价格的波动越剧烈，资产收益率的不确定性就越强；波动率越低，资产价格的波动越平缓，资产收益率的确定性就越强。
为讨论方便，人们通常将波动率分为以下四种类型，每一种波动率对应了不同的计算方法与作用。
历史波动率是指资产在过去一段时间内所表现出的波动率，它是通过统计方法，利用资产历史价格数据计算而得，也可以称其为已实现波动率，是确定性的。
历史波动率非常重要，它的大小不仅体现了金融资产在统计期内的波动状况，更是分析和预测其他几类波动率的基础。
其计算方法可总结如下：1.从市场上获得资产在固定时间间隔（如每天、每周或每月等）上的价格。
2.对于每个时间段，求出该时间段期末与期初的资产价格之比的自然对数。
3.求出这些对数值的标准差，再乘以一年中包含的时段数量的平方根，例如，若选取时间间隔为每天，则扣除闭市每年中有250个交易日，应乘以√250即得到历史波动率。
隐含波动率是从期权价格中引申出来的概念。
由期权定价理论可知，有五个因素影响期权价格：标的资产价格、到期时间、波动率、无风险利率和执行价格。
其中波动率是唯一一个不可观测的量，而期权价格也是可观测的，那么将期权实际价格带入期权定价公式中，便可以反推出一个波动率数值，这就是隐含波动率。
它是由期权市场价格决定的，是市场价格的真实映射，而有效市场价格是供求关系平衡下的产物，是买卖双方博弈后的结果。
波动率微笑成因
期权波动率“微笑曲线”成因解析“波动率微笑”即具有相同到期日和标的资产而执行价格不同的期权，其执行价格偏离标的资产现货价格越远，隐含波动率越大。
波动率通常是用来描述股票、期货等资产价格变化有多快的一个指标，而涉及到期权这一衍生工具的波动率，有两类比较重要：一是历史波动率，它是基于对标的资产在过去历史行情中价格变化的统计分析得出的，也就是对其标准差的计算；二是隐含波动率，它是期权市场对标的资产在期权存续期内波动率的预测，由于在期权交易中受市场买卖力量的影响，隐含波动率与历史波动率必然会有所差异。
比如，某一月份期权只有一个历史波动率，但其隐含波动率却很多，而不同执行价格的看涨期权、看跌期权的隐含波动率也不尽相同。
期权定价模型中唯一的真正变量就是波动率，其他所有参量，包括标的资产的价格、期权的执行价格、期权到期剩余天数、现有的利率水平，在计算某一只期权合约的理论价值时都是固定的。
从这个角度讲，抛开定价模型本身的优劣程度，计算出的理论价格准确性取决于所有输入参量的精确程度。
甚至可以说，做期权就是做预期的波动率。
虽然历史波动率和隐含波动率都可以用来帮助交易者预测未来的波动率，但在实际交易中，隐含波动率更受交易者重视。
在实证研究中，通过传统BS期权定价模型计算出来的隐含波动率呈现出一种被称为“波动率微笑”的现象，即具有相同到期日和标的资产而执行价格不同的期权，这些期权的执行价格偏离标的资产现货价格越远，其隐含波动率越大。
Rubinstein（1985年）在综合了BS期权定价模型的各种异常情况下，提出了波动率“微笑”具有期限结构，即波动率“微笑效应”以某种系统的方式依赖于期权的到期期限，且这种“微笑效应”在短期期权中比长期期权更加明显。
对于这种隐含波动率的“微笑“曲线特质，研究上给出了很多种解释，大体可以分为两类：一类是从传统BS期权定价公式基本前提假设条件中的设定与现实相比的不合理之处进行的解释；另一类则是从市场交易机制层面进行的解释。
3.3.5 波动率与波动率微笑
在以后的数年中，D.B.Madan与ne又进一步将该期权定价模型扩展到更为一般的市场条件下的期权定价模型。
为了防止元素分布数量的扩大，2000年谢赤[109]用一个具有离散水平(状态)的有限马尔可夫链来代替Ritchey二项式树，这样混合体总是有k 个元素分布。
2004年Peter Carra，b与Liuren Wuc[110]为改进传统Black-Sholes模型产生的误差，提出了收益率服从时变Levy过程的期权定价模型。
由于金融市场随时间波动较大，Black-Scholes期权定价模型中的一些参数不能总得到准确的值。
因此，Hsien-Chung Wu（2004）[111]提出用模糊收益率，模糊方程和模糊股票价格对期权定价。
在这些条件下，欧式期权的价格一定为一个模糊数，对欧式期权价格的金融分析可以从置信区间中得到。
3.3.5波动率与波动率微笑3.3.5.1波动率的概念运用期权定价模型计算期权理论价格需要五个参数，其他四个参数都可以方便得到，只有波动率是未知的。
从这个角度讲，做期权就是做预期的波动率。
而历史波动率和隐含波动率可以用来帮助交易者来预测未来的波动率。
一、历史波动率(History Volatility，HV)历史波动率是以标的期货的历史价格数据为基础计算的收益率年度化的标准差，是对历史价格波动情况的反映。
期货价格波动率越大，期货价格突破执行价格进入实值状态的可能性就越大。
因此，权利金也就越高。
相反，期货价格波动率越小，期货价格使执行期权具有收益的可能性就越小。
因此，权利金也就越低。
二、隐含波动率(Implied Volatility，IV)隐含波动率是指市场中权利金蕴含的波动率，是将某一期权合约的成交价及其他几个参数输入期权定价模型，通过试错法计算而来。
反映的是市场对波动率的看法。
当隐含波动率上升，代表投资者预期期货价格波动将扩大，因此权利金也会上涨；反之权利金则会下跌。
隐含波动率受市场买卖力量的影响，与历史波动率未必相同。
波动率PPT课件
不同的标准下，波动率可以进行不同的分类，这里按照 波动率的计算方法与应用不同，将波动率分为：隐含波动 率、历史波动率和已实现波动率(高频波动率/日内波动率) 等几类。
隐含波动率 历史波动率 1预2 测波动率 已实现波动率 其他高频波动率
2020/1/10
隐含波动率
S
T
r
其中： 2
—期权价格；
—期权执行价格N(d；),N(— d ) 标的资产即
1
2
期率价；格—；年—度期化权方有差效，期隐；含— 波率连；续21 复X利eX2计2d— x无标风准险正利态
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21
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历史波动率的估计
也是一种静态波动率的估计，假定一定时期内波动 率保持不变。
目前，最常用的条件异方差模型是GARCH(1,1)模型， 基本能反映金融时间序列方差(或波动率)的特征。
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ARCH模型法：
在模型中，我们也可以给长期方差率指定权重，VL为长期
平均方差
2 n
VL
u m
2
i1 i ni
三个8 层次
波动率估计（方法研究）
波动率特征（自相关、长记忆、杠杆效应）
波动率预测（参数估计、模型评价）
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波动率研究发展的三个阶段
从纵向看，波动率模型经历了三个发展阶段： 第一个阶段：经典的金融分析模型中的波动率，如Black-Scholes的期权定价模型，这些模型假定市场收益率呈正 态分布，波动率是恒定的，遵从随机游走过程。 第二个阶段：Engle(1982)提出了ARCH模型，Bollerslev(1986)把这个模型一般化，得到GARCH，由此产生出 一个新的条件波动率研究领域，条件波动率模型层出不穷，它们大多是对GARCH的拓展，以更好的模拟某种特定 的市场效应。与此同时，Taylor(1986)、Hull和White(1987)以及Chesney和Scott(1989)提出了随机波动率模 型。随机波动率模型更易于写成连续形式，往往用于对衍生工具的理论分析（例如期权定价）。 第三阶段：近十年来，用高频分时数据估计波动率的方法开始流行，Andersen、Bollerslev、Diebold、Labys等 （1998、1999、2000、2001）对此方法进行了一系列的研究。以往的波动率都是无法观测到的，它们隐含在价 格曲线或收益率曲线中，人们只能通过收益曲线的时间序列来估计随机波动率模型的参数，继而预测波动率以及评 价各种波动率模型。高频估计能得到准确的波动率估计值，因而可以把波动率的高频估计当做一个观测到的时间序 列，以此为基础，波动率的实证检验和预测研究将能大大拓展。
Ch波动率PPT课件
可编辑
9.15
实际波动率（Realized Volatility）
Andersen等（1998,2001）提出了一种度量波动率的新方法，称之 为实际波动率（Realized Volatility），是通过加总某一频率下的日 内分时数据的收益平方来得到真实波动率的一个估计。
理论证明：在日内频率选取适当的情形下，该估计量是真实波动率的 无偏一致且有效的估计量。因此，近期国外大量的文献致力于利用高 频样本数据来研究非参数的实际波动率。而对于最优样本频率的选取， 则成为计算实际波动率过程中最为关键的问题。若样本频率过小，则 不会得到真实波动率的一个一致的估计量；若样本频率过大，由于收 益受到市场微观结构噪声的影响，度量结果会有较大的误差。因此， 最优的样本频率一定存在且是某个中间值，它可以对这两方面的制约 进行平衡。
的自相关系数来检验
GARCH模型的正确性。
在最大似然估计方法中，我们选择合适 的参数以使得观测值发生的概率最大。
可编辑
9.34
例1
观察一个实验，在进行的十次实验中假设 某个事件为随机事件，那么这个事件发生 一次的概率是多少呢？ 计算的结果是： p(1 p)9
使得表达式取得最大值的极大似然估计值:
p=0.1
可编辑
9.35
例2
估计一组服从正态分布的，均值为零的观 测值得方差
金融风险管理
第九章 波动率
可编辑
9.1
本章主要内容
波动率定义 波动率估计
历史波动率 隐含波动率 已实现波动率估计 指数加权移动平均模型 条件方差模型（ARCH，GARCH）
可编辑
9.2
波动率研究的发展
三个阶段
✓ 金融分析模型中的波动率。假设市场收益正态分布， 波动率常数。
随机波动率微笑模型及套利-20180504财通证券
随机波动率微笑模型及套利-20180504财通证券投资要点：金融市场的波动率金融市场波动率具有尖峰肥尾、波动率群集、具有杠杆效应等特点。
本文将简单地分析金融市场波动率重要的几个特性，并介绍50ETF相关波动率的度量方法。
波动率微笑与BS模型假设不同，隐含波动率ω (t，t + h) 在很大程度上取决于日历时间t 、到期期限h 和期权的货币性，隐含波动率曲面呈现明显的微笑或倾斜的特征。
本文将简单地介绍隐含波动率微笑的基本特性。
利用随机波动率模型进行套利Vanna-Volga模型，SVI模型，SABR模型都可以用来拟合隐含波动率微笑。
通过模型刻画的隐含波动率与通过BS公式反算的隐含波动率进行对比，找到每日最被低估和高估的期权合约，分别买入和卖出。
通过合约的持仓数量，形成delta 中性，从而赚取波动率估值回归的收益。
结果显示，在看涨期权季月合约上进行波动率套利有不错效果，三种模型年化收益率都超过20%。
风险提示：未来市场变幻莫测，模型有失效的可能。
正文1、波动率的分类在期权世界中，波动率可以简单的分为历史波动率、隐含波动率、已实现波动率三大类，分别对应着过去的波动率、隐含在期权价格中的波动率(也被称之为预期波动率)以及实际的波动率。
对于这三种波动率的理解对于期权交易来说是至关重要的，这不仅可以用于期权的定价，还可以用于直接的波动率交易，包含波动率的方向性交易及波动率的套利交易。
1.1、历史波动率 (HV)历史波动率是基于过去的统计分析得出的，假定未来是过去的延伸，利用历史方法估计波动率类似于估计标的资产收益系列的标准差。
1.1.1、标准差标准差是衡量风险的常用标准，是与时间期限相关的概念，例如日标准差、周标准差、月标准差、年标准差等等。
在风险评价中，常用的是年标准差。
计算方法(以标的证券过去30个交易日的历史波动率为例)；1。
根据计算周期(交易周期；周、月、季度、年均指日历周期) 在所选时间段内拆分出N个区间(头尾包含的不完整日历周期舍去)。
随机波动率ppt课件
另一种解释是Stock（1988）提出的时间 扭曲观，这种观点认为是因为经济事件 的发生时间与日历时间不一致。
.
波动性的特征
（3）波动非对称性：不同种类的信息对股价 波动的影响不对称，下跌引起的波动比上升引 起的波动大
一种解释是杠杆效应：指股价运动与波动呈现 出负相关的关系。即下降的股价将提高资产负 债比（财务杠杆），因此提高了公司的风险， 从而导致未来波动的上升。
dxadb t dz
其中，a和b均为常数，dz遵循标准布朗运动。
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Markov过程
Markov过程是一种重要的随机过程，它 有如下性质：
当随机过程在时刻ti所处的状态已知时， 过程在时刻t(t>ti)所处的状态仅与过程在 ti时刻的状态有关，而与过程在ti时刻以 前所处的状态无关。此特性称为随机过 程的无后效性或马尔可夫性。
考察变量z在一段较长时间T中的变化情
形，我们可得：
N
z(T)z(0)i
t
i1
当 t0时，我们就可以得到极限的标准
布朗运动：
dz dt
.
普通布朗运动
我们先引入两个概念：漂移率和方差率。 标准布朗运动的漂移率为0，方差率为1。
我们令漂移率的期望值为a,方差率的期望值 为b2，就可得到变量x的普通布朗运动
另一种解释是如果投资者在趋势十分明 显前忽略了信息，然后以累积的方式对 所有以前被忽略的信息作出反应，就会 得到厚尾。
因此，许多文献提出把资产收益作为厚 尾分布抽取的独立同分布序列建模。假 定误差项服从t分布或广义误差分布等非 正态的厚尾分布，以较好刻画尖峰厚尾 的特征。
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波动性的特征
波动率微笑
货币期权的波动率微笑
Implied Volatility
Strike Price
8
货币期权的隐含分布
货币期权
平价期权的波动率相对较低，随着期权向实值或虚值状态 变化，波动率会越来越大。 相比对数正态分布而言，隐含分布更具有肥尾特征。 从货币期权上套利。 购买深度虚值的看涨和看跌期权，然后进行等待。 相比较而言这些期权比较便宜，而且与对数正态模型所预 测的相比，它们有更多在最终到期时处于实值状态。 平均而言你的收益的现值要大于期权的成本。
二项分布的波动率微笑
真实分布与对数正态分布对比
二项分布的波动率微笑
真实分布为二项分布时的隐含波动率
二项分布的波动率微笑
二项分布所对应的波动率微笑
Thank you
Company
LOGO
波动率微笑
Company
LOGO
1
波动率
股票的波动率σ是对股票收益率不确定性的衡量。通常， 股票的波动率在15%到50%之间。 股票价格的波动率可以被定义为按连续复利计的1年的股 票收益率的标准差。 当t比较小的时候，近似等于时刻t股票价格变动百分比的 标准差。假设σ=0.3，一周后股票价格变动百分比的标准 差近似等于：
什么是波动率微笑
波动率微笑（ Volatility Smile ） 表现了期权的隐含波动率与其执行价格之间的关系。 欧式看涨期权的波动率微笑应该与欧式看跌期权的波动率 微笑是一致的。 对于美式期权来说，上述波动率微笑也是基本一致的。
6
波动率微笑
欧式看涨看跌期权的平价公式 p +S0e-qT = c +Ke–r T 对于市场价格上式成立(看跌看涨期权价格记为pmkt 和 cmkt) 对于Black-Scholes定价公式上式也成立 (看跌看涨期权价 格记为pbs 和 cbs) 于是 pmkt−pbs=cmkt−cbs 当 pbs=pmkt时，必有 cbs=cmkt 故对于相同到期日和执行价格的看涨看跌期权，其波动 率微笑是一致的。
[考研专业课课件] 赫尔《期货、期权及其他衍生产品》 课件 第19章 波动率微笑
![[考研专业课课件] 赫尔《期货、期权及其他衍生产品》 课件 第19章 波动率微笑](https://img.taocdn.com/s3/m/7b721531a5e9856a56126066.png)
隐含概率分布（implied distribution）：
由在某一时间到期的期权波动率微笑确定的在一 定时间资产价格的风险中性概率分布。 图19-1所示的波动率微笑对应于图19-2中由 实线表达的概率分布。图19-2中的虚线代表一个 与隐含分布有同样的期望值及标准差的对数正态 分布,隐含分布比对数正态分布更具有肥尾特征。
权。
【例19-1】澳元的价格为0.60美元。美国的无
风险利率为每年5％，澳大利亚的无风险利率为每年 10％。一个澳元1年期限、执行价格为0.59美元的期
权价格为0.0236。DerivaGem所示的隐含波动率为
14.5％。为了保证无套利，式（19-1）所示的看跌看涨平价关系式必须成立，其中q为外国（澳洲）无
表19-3所对应的波动率微笑
表19-3 隐含波动率 （单位：美元）
注：这里的真实分布为二项分布。
本章小结
1．布莱克-斯科尔斯-默顿模型及其推广均假
定资产价格在将来时刻的概率分布服从对数正态
分布。这一假设与交易员的假设是不一样的。他 们一般假定股票价格的分布相对于对数正态分布 来讲有较肥的左端尾部与较度的右端尾部，还假 定兑换率的概率分布相对于对数正态分布来讲有 较肥的左端尾部与较肥的右端尾部。
－默顿模型对具有相同期限与执行价格的看跌及 看涨期权定价时,公式所产生的误差应完全相同。 假定，欧式看跌期权的隐含波动率为22％。 这意味当布莱克-斯科尔斯-默顿模型中的波动率 为22％时，pBS=pmkt。由式（19-2）得出，当采用 同一波动率时，cBS=cmkt，因此看涨期权的隐含波 动率也是22％。
图19-1与图l9-2具有一致性
考虑一个执行价格为K2的深度虚值（deepout-of-money）看涨期权。这一期权只有在兑换 率高于K2时才会产生收益，图19-2说明这一期权 在隐含概率分布下产生收益的概率比在对数正态 分布下要大。因此期望对于这一期权，隐含概率 分布所产生的价格会偏高。较高的价格对应于较 高的波动率，这刚好是在图19-1中所观察到的。
数量金融波动率估计PPT课件
h 0
2h
计算V(St+h, t)与V(St−h, t)时使用相同数据。
➢
t (r2)St
St 122St2
2 0,
St2
(ST,T).
47
10.4 障碍期权的简介和静态对冲
障碍期权（Barrier Option）
Out option（触碰失效期权） 当基本资产价格触碰某确定边界时，期权失效， payoff为0（或者payoff为R, 称为Rebate）。
Vik112(2i2ri)tVik1(1(2i2r)t)Vik
12(2i2ri)tVik1.
37
10.2 偏微分方程的有限差分解法
38
10.2 偏微分方程的有限差分解法
边界条件与终值条件
➢ Call option （K
➢ Put option
为执行价格）
V
k 0
0,
VIkISKerkt.
V i0m ax(iSK ,0).
V t rSt S Vt 1 22St2 S 2V t2rV.
29
10.1 期权定价回顾
Black-Scholes-Merton定价方程的解可以表示为
V (S t,t)E * e r(T t)p a y o ff ,
其中E*[.]表示在风险中性世界中求期望。（可以使用 二叉树或者三叉树模型近似计算）
K 2
K 2
14
9.3 隐含波动率与隐含风险中性分布 数值计算
假定T时刻到期的执行价格K−δ，K， K+δ的欧式看涨 期权的价格分别为c1，c2，c3，则
g(K)erTc1c322c2.
15
9.4 波动微笑和波动偏斜
以隐含波动率和执行价格为坐标轴，描述期权的隐含 波动率对于期权执行价格的变化规律的曲线。 波动微笑（Volatility smile）常见于外汇期权
第12讲：波动率的微笑曲线
13
Implied Distribution for Foreign Currency Options
Implied distribution and lognormal distribution for foreign currency options
The volatility is lowest for ATM options, and becomes progressively higher as an option moves either in the money or out of money.
波动率在两平期权时最小，并随实值或者虚值的程度 增大而增大。 The volatility used to price a low strike option (deep OTM put or ITM call) or a high strike option (deep OTM call or ITM put) is higher than that used to price an ATM option. This pattern is observed in all currency options, on average.
12: Volatility Smiles
8
Implied Volatilities: An Example（隐含波动率的 一个例子） On 21 March 2001, the AU$ is at 0.60. r and rf = 5% and 10% in the US and Australia respectively. A European call on AU$ with maturity of 1 year and strike of $0.59 is 0.0236. What is the price and implied volatility of a European put on AU$ with the same strike and maturity. The implied volatility from the call is 14.5% per annum. Based on put-call parity, we have p + 0.60e0.10*1 = 0.0236 + 0.59e-0.05*1, and p = 0.0419. If p = 0.0419, what is the implied volatility for the put?
波动率微笑与曲面
波动率微笑与曲面波动率微笑基本特征 货币期权波动率微笑存在的原因1）标的资产波动率非常数2）标的资产跳跃波动率微笑基本特征 股票期权波动率微笑存在的原因1）杠杆效应2）暴跌恐惧无套利Peter Carr & Dilip B. Madan, 2005The absence of call spread, butterfly spread and calendar spread arbitrage is sufficient to exclude all static arbitrage from a set of option price quotes across strikes and maturities on a single underly.⎣⎦SVI（Gatheral，2004）SVI的可取之处1）固定剩余期限，当行权价格趋于无穷时，BSM隐含总方差与k的关系趋于线性，这与Roger Lee的结论一致；2）由第1条，可使用SVI进行外部插值；3）当剩余期限特别大的时候，Heston模型产生的波动率微笑与SVI 一致.SABR （Hagan et al.，2004）模型BS 隐含波动率渐进解析式()()1212ˆˆˆˆ,0,01ˆˆˆ,0dF F dW Ff d dW dW dW dt βαβαυαααρ⎧==≤≤⎪⎪==⎨⎪=⎪⎩()1,B f f f βασ-=SABR （Hagan et al.，2004）参数校准：αmainly controls the overall height of the curve ρcontrols the curve’s skewνcontrols how much smile the curve exhibits βaffects the volatility smile in similar ways as ρWith βgiven, fitting the SABR model is a straightforward procedure βcan be determined from historical observations of the “backbone” orselected from “aesthetic considerations.”,,,αβρνSABR （Hagan et al.，2004）βdetermined from historical observations of the backboneβselected from aesthetic or a prior consideration1,log 0,0.5,stochastic normal stochastic normalstochastic CIR β⎧⎪=⎨⎪⎩波动率曲面动态——Rules of thumb Sticky Strike RuleSticky Delta Rule局部波动率曲面模型Enrich the BSM model to compute a theoretical “smile” and “termstructure”Replace the regular binomial tree by an implied tree()()()()(),tdS t rS t dt t S t S t dW σ=+Conditional expectation of instantaneous ariance局部波动率曲面模型局部波动率、隐含波动率、瞬时波动率Implied treeDerman, E., and I. Kani. 1994. “Riding on a Smile.” Risk, vol. 7, no. 2(February):32–39.以右图来说，考虑最简单的BS 隐含波动率，t2时点到期，提取它使用的是单个期权，得到的是0到T2一段时间的波动率。
隐含波动率与波动率微笑数值实验
附件4 实验项目编写范例隐含波动率与波动率微笑数值实验实验项目开发背景：随着全球经济一体化和金融市场的不断深化，金融学科的实验教学发展面临巨大的挑战，一方面要求真实金融市场数据全面进课堂，另一方面要求在传统专业课基础上紧跟市场发展趋势开设前沿性的实验课，致力于培养能与业界无缝对接的金融投资人才。
其中，《期货与期权》实验课成为金融工程专业、投资专业、数理金融等专业的核心课程。
在《期货与期权》实验课中，期权定价是重点实验内容，要求学生通过实验全面掌握期权定价离散模型及连续时间模型及其相关数值方法核心内容和算法实现。
全部实验均要求学生使用万得数据终端和彭博数据终端获取公司和金融市场的真实数据，同时，考虑到学生的背景和未来的职业选择差异，设计了三种编程的算法实现手段，即轻量级的解决方案——Excel 及其VBA，中量级的解决方案——Matlab及其图形用户界面，重量级的解决方案——C++及其Excel加载宏。
既训练了不同知识背景和技能的学生的定价模型编程实现技巧，又考虑到面向用户展示和使用时的友好性和直观性。
“隐含波动率与波动率微笑数值实验”是《期货与期权》实验课中一个代表性实验项目。
一、实验目的要求学生使用EXCEL和MATLAB计算隐含波动率并利用苹果公司股票期权真实交易数据绘制波动率微笑。
通过该实验实现以下目的：1．使学生掌握隐含波动率计算方法的原理，并在具有隐含波动率和期权执行价格数据的条件下，通过绘制波动率微笑，使学生更为感性地认知波动率微笑现象的真实存在。
2．促使学生发现B-S-M定价模型的历史局限性，从而为定价模型的扩展提供思路和线索，启发学生探索更为先进的定价模型。
3．由于这两种方法均采用相同的真实数据，学生可以比较数值计算结果，从而验证实验结果的正确性。
二、实验准备（简单列示开展该实验项目需要的知识点以及需掌握的软件或数据终端）1．回顾波动率微笑的概念、内涵以及产生的原因。
2．掌握隐含波动率的理论计算方法。
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8
•图中由实线表示的概率分布对 应于上图中的波动率微笑。虚 线代表一个与隐含概率分布有 同样期望值及标准差的对数正 态分布。可见，隐含概率分布 比对数正态分布有更肥的左端 尾部及更瘦的右端尾部。
第十七章波动率微笑
9
➢ 两图的一致性
隐含波动率
执行价格
第十七章波动率微笑
10
➢ 股票期权波动率微笑存在的原因
第17章 波动率微笑
➢ BS模型所计算出的期权价格与市场价格的接 近程度 ➢ 交易员在股票与货币市场所采用的波动率微笑 ➢ 验证BS公式的可信度
第十七章波动率微笑
1
波动率微笑与波动率期限结构
• 波动率微笑(Volatility Smile):描述期权隐含波 动率与行使价格函数关系的图形。
• 波动率期限结构(Volatility Term Structure)： 指隐含波动率会随期权到期时间的不同而有所变化。
动率微笑，称为隐含概
率分布。图中的虚线代
表一个与隐含概率分布
有同样期望值及标准差
的对数正态分布。
第十七章波动率微笑
4
➢ 两图的一致性
隐含波动率
执行价格
第十七章波动率微笑
5
➢ 实证结果
表17-1 价格比例变化大于1,2，···，6个标准方差的天数占整体观察日的比例
＞ 1 S.D. ＞ 2 S.D. ＞ 3 S.D. ＞ 4 S.D. ＞ 5 S.D. ＞ 6 S.D.
• 波动曲面是将波动率期限结构与波动率微笑结合在 一起产生的表格，可用于对不同行使价格以及不同 期限的期权进行定价。
第十七章波动率微笑
12
一个月 三个月 六个月 一年 两年 五年
执 行价 格
0.90
1.00
1.05
1.10
14.2
13.0
12.0
13.1
14.5
14.0
13.0
12.0
13.1
隐含波动率 0.0 58.8 66.6 69.5 69.2 66.1 60.0 49.0 0.0
第十七章波动率微笑
16
与表17-3 所对应的波动率微笑
• 隐含波动率微笑实际为波动率“皱眉”，这种隐含波动 率微笑形式中。当期权变得更加实值或虚值时，波动率有 所减小。
第十七章波动率微笑
17
14.2
14.1
13.3
12.5
13.4
14.3
14.7
14.0
13.5
14.0
14.8
15.0
14.4
14.0
14.5
15.1
14.8
14.6
14.4
14.7
15.0
• 波动率微笑定义为隐含波动率与变量之间的函数：
1
K
ln
T
F0
T 代表期限，F 0 代表资产的远期价格。
第十七章波动率微笑
13
➢ 17.4 当预期会有单一的大跳跃时
第十七章波动率微笑
2
➢17.1 货币期权
隐含波动率
• 对于货币期权而言，隐 含波动率常常呈现近似
U形。平价期权的波动
率最低，而实值和虚值
执行价格
期权的波动率会随着实 值或虚值程度的增大而
17-1 外汇期权的波动率微笑
增大，两边比较对称。
第十七章波动率微笑
3
➢17.1 货币期权
•图中由实线表示的概率 分布对应于上图中的波
•如图为股票价格的分布，
由两个对数正态分布叠加
而成。一个对数正态分布
对应于好消息，另一个对
应于坏消息。图中的实线
为叠加后而形成的股票价
股价 格，虚线代表一个与其有 同样期望和标准差的对数
正态分布。
第十七章波动率微笑
14
例：假设股票当前价格为50美元，在一个月后，股票价格 会变成42美元或58美元。假定无风险利率为每年12%。 由二叉树定价模型：u=1.16 d=0.84 a=1.0101
跳跃与非常数波动率对期权价格的影响与期权的期限有关， 当期权期限增大时，波动率微笑变得越来越弱。
第十七章波动率微笑
7
➢ 17.2 股票期权
隐含波动率
执行价格
• 如图形式的波动率称为 波动率倾斜，波动率是行 使价格的递减函数。低行 使价格期权对应的隐含波 动率要远高于高行使价格 期权。
第十七章波动率微笑
p=0.5314
58
50 42
第十七章波动率微笑
15
表17-3 隐含波动率
行使价格 42 44 46 48 50 52 54 46 58
看涨期权价格 8.42 7.37 6.31 5.26 4.21 3.16 2.10 1.05 0.00
看跌期权价格 0.00 0.93 1.86 2.78 3.71 4.64 5.57 6.50 7.42
• 股票期权波动率微笑来源是杠杆效应 • 股票期权微笑来源于交易员对股票市场暴跌的恐
惧
第十七章波动率微笑
11
➢17.3 波动率期限结构与波动率曲面
• 从长期来看，波动率大多表现出均值回归，即到 期日接近时，隐含波动率的变化较剧烈，随着到期 时间的延长，隐含波动率将逐渐向历史波动率的平 均值靠近。
• 波动率微笑的形状也受到期权到期时间的影响。 大多时候，期权到期日越近，波动率“微笑”就越显 著，到期日越长，不同价格的隐含波动率差异越小， 接近于常数。
历史数据（%） 25.04 5.27 1.34 0.29 0.08 0.03
正态分布（%） 31.73 4.55 0.27 0.01 0.00 0.00
表格提供了（汇率收益）肥尾性态存在以及交易员确实 采用波动率微笑的证据
第十七章波动率微笑
6
➢ 外汇期权波动率微笑存在的原因
资产价格服从对数正态分布的条件： • 标的资产的波动率为常数； • 标的资产价格变化平稳并且没有跳跃。 汇率的波动率的特点： • 非常数波动率； • 跳跃波动率。