(2010-2019)十年高考数学真题分类汇编：立体几何(含解析)

(2010-2019)十年高考数学真题分类汇编：

立体几何

（含解析）

1.(2019·浙江·T4)祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V 柱体=Sh ，其中S 是柱体的底面积，h 是

柱体的高.若某柱体的三视图如图所示(单位:cm)，则该柱体的体积(单位:cm 3)是( )

A.158

B.162

C.182

D.324

【答案】B

【解析】由三视图得该棱柱的高为6，底面五边形可以看作是由两个直角梯形组合而成，其中一个上底为4，下底为6，高为3，另一个的上底为2，下底为6，高为3，则该棱柱的体积为2+62×3+4+6

2×3×6=162.

2.(2019·全国1·理T12)已知三棱锥P-ABC 的四个顶点在球O 的球面上，PA=PB=PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是PA ，AB 的中点，∠CEF=90°，则球O 的体积为( )

A.8√6π

B.4√6π

C.2√6π

D.√6π

【答案】D

【解析】设PA=PB=PC=2x.

∵E ，F 分别为PA ，AB 的中点，

∴EF ∥PB ，且EF=12PB=x.

∵△ABC 为边长为2的等边三角形，

∴CF=√3.

又∠CEF=90°，∴CE=√3-x 2，AE=12PA=x.

在△AEC 中，由余弦定理可知

cos ∠EAC=x 2+4-(3-x 2)

2×2·x .

作PD ⊥AC 于点D ，∵PA=PC ，

∴D 为AC 的中点，cos ∠EAC=AD PA =12x .

∴x 2+4-3+x 24x =12x .

∴2x 2+1=2.∴x 2=12，即x=√22.

∴PA=PB=PC=√2.

又AB=BC=AC=2，

∴PA ⊥PB ⊥PC.

∴2R=√2+2+2=√6.

∴R=√62.

∴V=43πR 3=43π×

6√68=√6π.

故选D.

3.(2019·全国2·理T7文T7)设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是( )

A.α内有无数条直线与β平行

B.α内有两条相交直线与β平行

C.α，β平行于同一条直线

D.α，β垂直于同一平面

【答案】B

【解析】由面面平行的判定定理知，“α内有两条相交直线与β平行”是“α∥β”的充分

条件.由面面平行的性质知，“α内有两条相交直线与β平行”是“α∥β”的必要条件，故选B.

4.(2019·全国3·理T8文T8)如图，点N 为正方形ABCD 的中心，△ECD 为正三角形，平面ECD ⊥平面ABCD ，M 是线段ED 的中点，则( )

A.BM=EN ，且直线BM ，EN 是相交直线

B.BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是相交直线

C.BM=EN ，且直线BM ，EN 是异面直线

D.BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是异面直线

【答案】B

【解析】如图，连接BD ，BE.

在△BDE 中，N 为BD 的中点，M 为DE 的中点，

∴BM ，EN 是相交直线，排除选项C 、D.

作EO ⊥CD 于点O ，连接ON.

作MF ⊥OD 于点F ，连接BF.

∵平面CDE ⊥平面ABCD ，平面CDE ∩平面ABCD=CD ，EO ⊥

CD ，EO ⊂平面CDE ，∴EO ⊥平面ABCD.

同理，MF ⊥平面ABCD.

∴△MFB 与△EON 均为直角三角形.

设正方形ABCD 的边长为2，易知

EO=√3，ON=1，MF=√32，BF=√22+94=52，

则EN=√3+1=2，BM=√34+

254=√7， ∴BM ≠EN.故选B.

5.(2019·浙江·T 8)设三棱锥V-ABC 的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱VA 上的点(不含端点).记直线PB 与直线AC 所成的角为α，直线PB 与平面ABC 所成的角为β，二面角P-AC-B 的平面角为γ，则( )

A.β<γ，α<γ

B.β<α，β<γ

C.β<α，γ<α

D.α<β，γ<β

【答案】B

【解析】如图G 为AC 中点，点V 在底面ABC 上的投影为点O ，则点P 在底面ABC 上的投影点D

在线段AO 上，过点D 作DE 垂直AE ，易得PE ∥VG ，过点P 作PF ∥AC 交VG 于点F ，过点D 作DH ∥AC ，交BG 于点H ，则α=∠BPF ，β=∠PBD ，γ=∠PED ，所以cos α=PF PB =EG PB =

DH PB β，因为tan γ=PD ED >PD BD =tan β，所以γ>β.故选B.

6.(2018·全国3·理T10文T12)设A ，B ，C ，D 是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC 为等边三角形且其面积为9√3，则三棱锥D-ABC 体积的最大值为( )

A.12√3

B.18√3

C.24√3

D.54√3 【答案】B

【解析】由△ABC 为等边三角形且面积为9√3，设△ABC 边长为a ，则S=12a ·√32a=9√3.∴a=6，则△ABC 的外接圆半径r=√32×23a=2√3<4.

设球的半径为R ，如图，OO 1=√R 2-r 2=√42-(23)2=2.当D 在O 的正上方时，V D-ABC =13S △ABC ·(R+|OO 1|)=13×9√3×6=18√3，最大.故选B.

7.(2018·全国1·理T7文T9)某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图.圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为( )

A.2√17

B.2√5

C.3

D.2