第4章_插值与拟合-牛顿法

最后一个节点－倒 为 f ( x) 关于节点 x 0 , x1 ,, x k 1 , x k 的 k 阶差商
数第二个节点
可见：一个高阶差商可由两个低一阶的差商得到
由此定义,显然: a0 f 0
f1 f 0 a1 f [ x0 , x1 ] x1 x0
f2 f0 f1 f0 x2 x0 x1 x0 f [ x0 , x2 ] f [ x0 , x1 ] f [ x0 , x1 , x2 ] a2 x2 x1 x2 x1
因此可得:
f ( x) f ( x0 ) f [ x, x0 ](x x0 )
f ( x0 ) ( f [ x0 , x1 ] f [ x, x0 , x1 ](x x1 ))(x x0 ) f ( x0 ) f [ x0 , x1 ](x x0 ) f [ x, x0 , x1 ](x x0 )(x x1 )
k 1
n
n
k 1 j 0
f ( x0 ) f [ x0 , x1 , , xk ]k ( x)
k 1
------ (1)
为 f (x) 关于节点 xi (i 0,1,..., n) 的 n 次Newton插值多项式.
由插值多项式的唯一性, Newton 插值公式的余项为:
j 0
------ (3)
Nn ( x) Rn ( x)
4.3.4 差分及其等距节点牛顿插值多项式
等距节点插值是比较常见的情况,为简化计算,引进差分的概念.
定义4.4 设 f (x) 在等距节点 xk x0 kh, k 0,1,, n 处的 函数值为 f k , 称
f k f k 1 f k 为 f (x)在 xk 处的 一阶向前差分
Pn ( x0 ) a0来自百度文库 f 0
Pn ( x1 ) a0 a1 ( x1 x0 ) f1
Pn ( x2 ) a0 a1 ( x2 x0 ) a2 ( x2 x0 )(x2 x1 ) f2
Pn ( x3 ) a0 a1 ( x3 x0 ) a2 ( x3 x0 )(x3 x1 ) a3 ( x3 x0 )(x3 x1 )(x3 x2 ) f3
Newton插值多项式
k 1 j 0 n

n k 1
f ( x0 ) f [ x0 , x1 , , xk ] ( x x j ) f [ x , x0 , x1 , , xn ] ( x x j )
差商型余项
n
j 0
N n ( x) f [ x , x0 , x1 ,, xn ]( x x j )
第4章 插值与拟合
4.3 差商与牛顿插值公式
Lagrange 插值多项式的基函数：
l j ( x)
( x x0 )(x x1 )( x x j 1 )(x x j 1 )( x xn ) ( x j x0 )(x j x1 )( x j x j 1 )(x j x j 1 )( x j xn )
4.3.2
牛顿插值公式
1.定义: 称
N n ( x) a0 a1 ( x x0 ) a2 ( x x0 )(x x1 ) an ( x x0 )(x x1 )( x xn1 )
f ( x0 ) f [ x0 , x1 , , xk ] ( x x j )
j 0 j 1 k 0
n
n
j 1
式中, a0 , a1 ,...,an为待定参数,它们可利用插值条件 Pn ( xi ) f i 来求,即令：
Pn ( xi ) a0 a j ( xi xk ) f i
j 1 k 0
n
j 1
(i 0,1,...,n)
可以求得：
x2 f ( x2 )
f [ x2 , x3 ]
f [ x1, x2 , x3 ]
f [ x1, x2 , x3 , x4 ]
f [ x0 , x1,, x4 ]
x3 f ( x3 )
f [ x3 , x4 ]
f [ x2 , x3 , x4 ]
x4 f ( x 4 )
规定函数值为零阶差商
性质3:差商与函数导数之间的关系 当 f(k)(x) 在包含节点 x0, x1, …, xk 的区间存在时,在 x0, x1, …, xk 之间必存在一点ξ,使得
4.3 差商与牛顿插值公式

差商及其性质 牛顿插值公式 牛顿插值余项 差分以及等距节点牛顿插值多项式


Newton (1624～1727)
Newton插值基函数
由线性代数知识可知, 任何一个 n 次多项式都可表示成: 这n+1 个多项式的线性组合.
问：是否可以将这 n+1个多项式作为插值基函数？ 已知函数 f(x) 的插值节点 xi 及相应函数值 fi (i 0,1,...,n) , 将上述线性无关的多项式取作Newton插值法的基函数,即令：
f ( k ) ( ) f [ x0 , x1 ,..., xk ] k!
内容归纳
Newton插值基函数:
0 ( x) 1 j 1 j ( x) ( x x0 )(x x1 ) ( x x j 1 ) ( x xk ) k 0
用归纳法可证：
ak f [ x0 , x1 ,...,xk ]
n j 1
将上述结果代入： Pn ( xi ) a0 a j ( xi xk ) f i
j 1 k 0
(i 0,1,...,n)
Pn ( x) f 0 f [ x0 , x1 ,..., x j ] ( x xk ) N n ( x)
依此类推,可求得 a j ( j 0,1,...,n) .为标记、推导、记忆方便, 给出差商定义,可得参数 a j 的一般表达式。
4.3.1
差商及其性质
1.差商的定义:设给定函数 f ( x)在 n 1 个互异的节点
x0 , x1,...,xn 处的函数值为 f 0 , f1,..., f n ,称
n
( x xi ) i 0 ( x j xi )
i j
j 0,1,2,, n
优点：形式对称，有很强的规律性，便于记忆。 缺点：(1) 重复计算多, 导致计算量大；
(2) 插值基函数 lj(x) 依赖于所有节点，当增加插值 节点时，原来已算出的所有 lj(x) 都需要重新计算， 使计算量加大。
f [ xi , x j ]
f j fi x j xi
( j i)
缺最后一个节点
缺倒数第二个节点 为 f ( x) 关于节点 xi , xk 的一阶均差 (差商)
称
f [ xi , x j , xk ]
f [ xi , xk ] f [ xi , x j ] xk x j
2 f k f k 1 f k 为 f (x)在 xk 处的 二阶向前差分
f [ x0 , x1 ] f [ x, x0 ] f [ x, x0 , x1 ] x1 x
f [ x, x0 ,..., xn 2 ] f [ x0 , x1 ,..., xn 1 ] f [ x, x0 ,..., xn 1 ]( x xn 1 ) f [ x, x0 ,..., xn 1 ] f [ x0 , x1 ,..., xn ] f [ x, x0 ,..., xn ]( x xn )
最后一个节点－第 一个节点 注：上式是计算中常用的差商公式，可建立差商表 .
3. 差商的计算方法：差商表
xk f ( xk ) 一阶差商 x0 f ( x0 )
f [ x0 , x1 ]
二阶差商
三阶差商
四阶差商
x1 f ( x1 )
f [ x1 , x2 ]
f [ x0 , x1, x2 ] f [ x0 , x1, x2 , x3 ]
0 ( x) 1 j 1 j ( x) ( x x0 )( x x1 )( x x j 1 ) ( x xk ) k 0
( j 1,2,n)
则相应的插值多项式为:
Pn ( x) a j j ( x) a0 a j ( x xk )
4.3.3 牛顿插值余项
若将 x xi , (i 0,1,, n) 视为一个节点,则由一阶均差定义 有
f ( x) f ( x0 ) f [ x, x0 ](x x0 )
同理,由二阶均差定义 有
f ( x0 ) f ( x) f [ x, x0 ] f [ x, x0 ] f [ x0 , x1 ] f [ x, x0x ,0x1 ]( xx x1 )
f ( n1) ( ) Rn ( x) f ( x) Nn ( x) f ( x) Ln ( x) n1 ( x) (n 1)!
------ (2)
实用的余项估计式：
Lagrange插值 多项式 导数型余项
M n 1 Rn ( x) n 1 ( x) (n 1)!
( j 1,2,n)
并形式上给出Newton插值多项式:
Pn ( x) a j j ( x) a0 a j ( x xk )
j 0 j 1 k 0
n
n
j 1
式中, a0 , a1 ,...,an 待定. 通过引进均差/差商的概念,可以将系数表示为：
ak f [ x0 , x1 ,...,xk ]
a0 f 0
a1
f1 f0 x1 x0
f2 f0 f1 f0 x2 x0 x1 x0 a2 x2 x1
f 3 f 0 f1 f 0 f 2 f 0 f1 f 0 x3 x0 x1 x0 x2 x0 x1 x0 x3 x1 x2 x1 这也太复杂 a3 x3 x2 了吧！
(i j k )
为 f ( x) 关于节点 xi , x j , xk 的二阶差商
最后一个节点－倒 数第二个节点
称
缺倒数第二个节点
缺最后一个节点
f [ x0 , x1,, xk 1, xk ]
f [ x0 , x1 ,, xk 2 , xk ] f [ x0 , x1 ,, xk 1 ] xk xk 1
f [ x0 , x1,...,xk 1, xk ] f [ xk 1, x1,...,xk 2 , x0 , xk ]
缺第一个节点 缺最后一个节点
f [ xk 1 , x1 ,, xk 2 , xk ] f [ xk 1 , x1 ,, xk 2 , x0 ] xk x0 f [ x1 ,, xk 2 , xk 1 , xk ] f [ x0 , x1 ,, xk 2 , xk 1 ] xk x0
i j
k
k
例如:
f1 f 0 f0 f1 f [ x0 , x1 ] x1 x0 x1 x0 x0 x1

j 0 1
1 f ( x j ) i 0 x j xi
i j
1
可以用数学归纳法证明
性质2：对称性 差商对于定义它的节点而言是对称的,也就是说任意 调换节点的次序,差商的值不变 利用对称性,可对 f(x) 关于 x0 , x1 ,..., xk 的 k 阶差商变形
j 1 k 0
n
j 1
2.差商的性质
性质1：差商与函数值的关系 f(x) 关于 x0 , x1 ,, xk 1 , xk 的 k 阶差商是 f(x) 在这些点上 函数值的线性组合,即
1 f [ x0 , x1 ,, xk 1 , xk ] f ( x j ) j 0 i 0 x j xi