数论练习题
初等数论练习题及答案
初等数论练习题一一、填空题1、τ（2420）=27；ϕ（2420)=_880_2、设a ，n 是大于1的整数，若a n —1是质数,则a=_2.3、模9的绝对最小完全剩余系是_{-4,-3，—2,-1，0,1，2,3,4}。
4、同余方程9x+12≡0（mod 37）的解是x ≡11(mod 37）。
5、不定方程18x —23y=100的通解是x=900+23t ，y=700+18t t ∈Z 。
.6、分母是正整数m 的既约真分数的个数为_ϕ(m )_.78、⎪⎭⎫ ⎝⎛10365 =—1。
9、若p 是素数,则同余方程xp - 1≡1(mod p ）的解数为二、计算题1、解同余方程：3x 2+11x -20≡0 （mod 105）。
解:因105 = 3⋅5⋅7，同余方程3x 2+11x -20≡0 （mod 3）的解为x ≡1 (mod 3），同余方程3x 2+11x -38 ≡0 （mod 5）的解为x ≡0，3 (mod 5),同余方程3x 2+11x -20≡0 （mod 7）的解为x ≡2，6 (mod 7），故原同余方程有4解。
作同余方程组：x ≡b 1 （mod 3),x ≡b 2 (mod 5)，x ≡b 3 (mod 7)，其中b 1 = 1,b 2 = 0，3,b 3 = 2,6，由孙子定理得原同余方程的解为x ≡13,55，58，100 (mod 105）。
2、判断同余方程x 2≡42（mod 107）是否有解？11074217271071107713231071107311072107710731072107732107422110721721107213)(=∴-=-=-==-=-=-==⨯⨯≡-•--•-）（）（）（）（），（）（）（）（），（）（））（）（（）（解： 故同余方程x 2≡42(mod 107）有解。
3、求(127156+34）28除以111的最小非负余数.解：易知1271≡50（mod 111)。
五年级数论 - 综合练习
五年级数论 - 综合练习数论综合练习题整除1．判断331331能否被7整除。
331个3312．求各位数字都是7，并且能被63整除的最小自然数是多少？3．四位数A752是24的倍数，请问A最大是多少？4五位数3A07B是275的倍数，求这个数。
5．已知51位数5525个559925个99能被13整除，请问中间方格内的数字是多少？6．六位数2021能同时被9和11整除。
请问，这个六位数是多少？7．牛叔叔给45名工人发完工资后，将总钱数记在一张纸上。
但是记账的那张纸被香烟烧了两个洞，上面只剩下“678”其中方框表示被烧出的洞。
牛叔叔记得每名工人的工资都一样，并且都是整数元。
请问：这45名工人的总工资可能是多少元呢？质数与合数1．一个奇数同它相邻的两个奇数相乘，得到的两个积相差84，这个奇数是（） 2．两个自然数的和是89，积是88，这两个自然数是（）和（）。
3．请问：37×38×?×230×231的结果的末尾有多少个连续的0？4．三个连续自然数的积是39270，这三个连续自然数的和是多少？5．两个连续奇数的乘积是111555，这两个连续奇数之和是多少？6．46305乘以一个自然数A，乘积是一个整数的平方。
求最小的A以及此时的这个整数是多少？7．甲数比乙数大5，乙数比丙数也大5.，三个数的乘积是6384。
求这三个数。
8．求下列各式所得结果的个位数字。
2?32233?4 34467?876?431约数与倍数1．一个两位数除169后余数是4，所有这样的两位数分别是多少？2．求只有8个约数但不大于30的所有自然数。
3．在1---100中，所有的只有3个约数的所有自然数的和是多少？4．A、B两个数的最大公约数是12，已知A有8个约数，B有9个约数，求A和B。
5．有三根钢管，分别长200、240、和360厘米。
现在要把这三根钢管截成尽可能长而且又相等的小段，一共能截成多少段？6．将22块橡皮和33只铅笔平均分给参加打扫教室卫生的同学，结果橡皮多一块，铅笔少两只。
数论练习题及解答
数论练习题及解答数论是数学的一个重要分支，研究整数之间的性质和关系。
以下是几道数论练习题及其解答，旨在帮助读者加深对数论知识的理解。
题目一：证明：如果一个整数的平方是奇数，那么该整数必定是奇数。
解答：假设存在一个整数n，满足n²是奇数，但是n本身是偶数。
那么n可以表示成n=2k（k为整数）。
根据已知条件，n²是奇数，代入n=2k得到(2k)²=4k²是奇数。
但是显然，4k²为4的倍数，而奇数不可能是4的倍数，因此得出矛盾。
所以假设错误，原命题得证。
题目二：证明：任意一个素数至少可以表示成4k+1和4k-1两种形式的乘积。
解答：假设存在一个素数p，既不属于4k+1的形式，也不属于4k-1的形式。
那么p可以表示成p=4k、4k+2或4k+3（k为整数）。
1. 若p=4k，显然p为4的倍数，不可能为素数，与题目假设矛盾；2. 若p=4k+2，可以将p分解为p=2(2k+1)，其中2k+1也为整数，即p为2的倍数，不可能为素数，与题目假设矛盾；3. 若p=4k+3，可以将p分解为p=3(4k+1)，其中4k+1也为整数，即p为3的倍数，不可能为素数，与题目假设矛盾。
综上所述，当p既不属于4k+1的形式，也不属于4k-1的形式时，假设错误，原命题得证。
题目三：找出下列数中的最大公约数：4620和770。
解答：利用辗转相除法求解最大公约数。
首先，用较大的数除以较小的数，计算它们的余数：4620 ÷ 770 = 6 (300)接下来，用余数除以第一步的余数，再计算新的余数：770 ÷ 300 = 2 (170)再次用余数除以第二步的余数，继续计算新的余数：300 ÷ 170 = 1 (130)继续进行相同的除法运算：170 ÷ 130 = 1 (40)130 ÷ 40 = 3 (10)40 ÷ 10 = 4最后，除数为10，余数为0，所以10即为4620和770的最大公约数。
初等数论习题
初等数论练习题1、()=320011 ()10，()=107137 ()2。
2、()=531404 ()10，()=1021580()8 3、比较()21011011与()41203的大小。
4、求证：对于任意整数n m ,，必有1616+≠-n m 。
5、如果n 是一个自然数，则()1+n n 是 （填“奇数”或“偶数”）6、若b a ,两数的和与积均为偶数，则b a ,的奇偶性是 。
7、若a 除以b 商c 余r ，则am 除以bm 商 余 。
8、设4>n ，且()()2434+-n n ，求n 。
9、设()223b a +，证明a 3且b 310证明：若()()pq mn p m +-，则()()np mq p m +-。
11、若23++n m 是偶数，试判定()()200311+--n m 是奇数还是偶数。
12、求证：若b a ，a b ，则b a ±=。
11、设b a ,是正整数，且b a ≤，若5776=ab ，()31,=b a ，求b a ,。
13、设b a ,是正整数，且b a ≤，若50=+b a ，()5,=b a ，求b a ,。
14、如果p 是素数，a 是整数，则有()1,=p a 或者____ ___ 15、()=204,360 ，[]=204,360 。
16、若()()24,4,==b a ，则()=+4,b a 。
17、写出1500的标准分解式是，60480的标准分解式为 18、541是 。
（填“质数”或“合数”）19、设()1,=n m ，求证：()()()n d m d mn d =，()()()n S m S mn S =。
20、计算()430d ，()430S 。
21、求！100末尾0的个数。
22、求13除486的余数。
23、写出模9的一个完全剩余系，使其中每个数都是奇数。
24、写出模9的一个完全剩余系，使其中每个数都是偶数。
25、若()1,=m a ，求证：若x 通过模m 的简化剩余系，则ax 通过模m 的简化剩余系。
初等数论期末练习
初等数论期末练习一、单项选择题2、如果（a,b） = l9则（ab,a + b）=（）・A aB bC 1D a + b3、小于30的素数的个数（）•A 10B 9C 8D 74、如果a = /?（mod 〃?），c是任意整数，则A ac =B a = bC ac T bc（modm）D a * b5、不定方程525x+231y = 210 （）.A有解B无解C有正数解D有负数解6、整数5874192能被（）整除.A 3 B3 与9 C 9 D3 或98、公因数是最大公因数的（）.A因数E倍数C相等D不确定9、大于20且小于40的素数有（）•A4个E5个C2个D3个11、因为（）,所以不定方程12v+15>- = 7没有解.A [12, 15]不整除7B （12, 15）不整除7C 7不整除（12, 15 ）D 7不整除[12, 15]二、填空题1、有理数纟，0YdYb,（m）= l,能写成循环小数的条件是（）・b2、同余式1力+15三0（mod45）有解，而且解的个数为（）.3、不大于545而为13的倍数的正整数的个数为（）.4、设“是一正整数，Euler函数久“）表示所有（）“，而且与“（）的正整数的个数.5、设a,b 整数，则（a,b）（）= ab.6、一个整数能被3整除的充分必要条件是它的（）数码的和能被3整除.7、x = [x] +（）.8、同余式llLv = 75（mod321）有解，而且解的个数（）.9、在176与545之间有（）是17的倍数.10、如果肋A0,则[d,b]（d,b）=（）.11、a,b的最小公倍数是它们公倍数的（）.12、如果（a,b） = l,那么（ab,a+b）=（）.三、计算题1、求24871与3468的最小公倍数?2、求解不定方程107A-+37J =25. （8分）$429、3、求—L其中563是素数•（8分）4、解同余式lllx三75(mod321)・(8分)5、求[525,231]=?6、求解不定方程6.v-lly = 18.7、判断同余式A2 =365(modl847)是否有解？8、求11的平方剩余与平方非剩余.四、证明题1、任意一个〃位数①“一…你①与其按逆字码排列得到的数勺①…的差必是9的倍数.(11分)2、证明当〃是奇数时，有3怦+1)・(10分)3、一个能表成两个平方数和的数与一个平方数的乘枳，仍然是两个平方数的和;两个能表成两个平方数和的数的乘积，也是一个两个平方数和的数.(11分)4、如果整数“的个位数是5,则该数是5的倍数.5、如果("是两个整数上A0,则存在唯一的整数对如•，使得a = bq+r^中0"Yd《初等数论》期末练习答案一、单项选择题2、C3、A4、A5、A6、E 8、A 9、A 11、B二、填空题1、有理数纟，0YdYb,(m)= l,能写成循环小数的条件是((M0) = l )・b2、同余式1S+15三0(mod45)有解，而且解的个数为(3 ).3、不大于545而为13的倍数的正整数的个数为(41 ).4、设〃是一正整数，Euler函数处“)表示所有(不大于"，而且与“(互素)的正整数的个数.5、设整数,则(a,b) ( [a,b] ) = ab.6、一个整数能被3整除的充分必要条件是它的(十进位)数码的和能被3整除.7、X =[A]+({x} ).8、同余式llLz75(mod321)有解,而且解的个数(3 ).9、在176与545之间有(12 )是17的倍数.10、如果ab >■ 0,则[«,/?](«, b) =( ab ).11、a,b的最小公倍数是它们公倍数的(因数).12、如果(a,b) = l,那么(",a + b)=( 1 ).三、计算题1、求24871与3468的最小公倍数?解：因为(24871,3468) =17所以[24871,3468]= 24871x3468 17=5073684 所以24871与3468的最小公倍数是5073684。
数论练习题解析
数论练习题解析数论是一门研究整数性质和整数运算规律的数学分支，具有广泛的应用领域。
在数学竞赛中，数论常常是一道重要的题型。
本文将为大家解析几道常见的数论练习题，以帮助读者更好地理解和掌握数论知识。
1. 题目一已知整数a、b满足等式a^2+b^2=2019，求a和b的值。
解析：由于a和b都是整数，所以a^2与b^2的取值范围在[0, 2019]之间。
穷举其中的所有可能情况，可以得到以下解：a=27，b=42a=42，b=27a=-27，b=-42a=-42，b=-272. 题目二已知p是一个质数，若p≡1(mod 4)，证明方程x^2≡-1(mod p)有解。
解析：根据题意，p≡1(mod 4)，说明p可以写成p=4k+1的形式，其中k为一个整数。
我们可以进行如下推导：假设p=4k+1，且x^2≡-1(mod p)没有解，即x^2+1≡0(mod p)没有解。
根据费马小定理，如果x^p ≡ x(mod p)，则对于任意的整数x，有x^(p-1) ≡ 1(mod p)。
将x^2+1拆开，可以得到(x^2+1)(x^2+1)≡0(mod p)。
进一步化简得到(x^2+1)^2 ≡ 0(mod p)。
根据费马小定理，有(x^2+1)^(p-1) ≡ 1(mod p)。
由于p-1可被4整除，因此(p-1)/2为一个偶数，那么(x^2+1)^(p-1) ≡ ((x^2+1)^2)^(k'//2) ≡ 0(mod p)，其中k'=(p-1)/2。
这与(x^2+1)^(p-1) ≡ 1(mod p)相矛盾。
所以方程x^2≡-1(mod p)一定有解。
通过以上证明，我们可以得出结论：若p≡1(mod 4)，则方程x^2≡-1(mod p)必有解。
3. 题目三有一堆石头，堆成三角形。
现在小明和小红进行以下游戏：每次他们可以从堆中任意拿走不超过m个石头，谁拿到最后一颗石头，谁就赢。
假设小明先手，求在满足一定条件下，小明能否必胜。
小学数论练习题
小学数论练习题
在小学数学学科中，数论是一个重要的分支，它研究的是整数及其性质。
通过数论的学习，学生可以培养逻辑思维能力、数学推理能力等。
下面是一些小学数论练习题，通过解答这些题目可以加深对数论知识的理解。
1. 判断下列数中哪些是偶数，哪些是奇数：
a) 24
b) 37
c) 46
d) 51
2. 找出下列数中的素数：
a) 12
b) 17
c) 21
d) 29
3. 20个奇数相加，其和是多少？
4. 用两个不同的质数相乘得到的结果是多少？
5. 十以内所有的偶数是否都能被2整除？
6. 15和30的最大公约数是多少？
7. 小明有12个瓶子，他把这些瓶子按照每行放3个的方式排列。
请问他排列的方式有多少种？
8. 有一个班级有30名男生和25名女生，他们需要站成一队，男生
和女生不能站在一起。
请问共有多少种排队方式？
9. 一堆苹果，小明每次可以拿2个或3个，最后一次只能拿1个。
请问，如果这堆苹果的数量是7个，那么小明一共有多少种取苹果的
方式？
10. 小明有一篮子装满了鸡蛋，他数了一下，发现一共有88个鸡蛋。
他把这些鸡蛋按照每层放12个的方式分成若干层，最后一层只能放3个。
请问他分了几层？
以上是一些小学数论练习题，希望能帮助学生们巩固数论知识，提
升数学能力。
在解答这些题目的过程中，学生们可以思考数的奇偶性、素数的性质、最大公约数、排列组合等概念。
通过不断练习和思考，
学生们可以在数论领域中取得更好的成绩。
数论练习题
数论练习题一、判断题1、任意两个不同质数必互质。
( )2、若n 是大于1的正整数，且所有不大于n 的质数都不能整除n,则n 是质数。
( )3、若是是奇数，则22b a abc +奇数。
（ ）4、若),(mod m bc ac ≡，则)(mod m b a ≡。
( )5、使得)8(mod 15≡x 成立的所有自然数为4的倍数。
（ ）6、三个成等差数列的基本勾股数只有3、4、5。
( )7、一个大于1的整数不是质数就是合数。
（ ）8、两个数的公因数一定是它们的最大公因数的因数 。
( )9、-27除以6的带余除法算式是-27=-4×6-3。
（ ）10、。
则，都是整数，且，若bc ac b a c b a , ( ) 11、)(m od )(m od 22m b a m b a ≡≡，则若。
（ ）12、不定方程264=+y x 的全部整数解为{)(6241Z t tx t y ∈-=+=。
( )13、一个质数P 与一个整数a ，它们要么互质，要么P|a 。
（ ）14、质数必为奇数，偶数必为合数。
（ ）15、设b a ，则a 是倍数，b 是约数。
（ ）16、若b a ，b c 则b ac 。
（ ）17、二元一次不定方程异号时有当b a c by ax ,,=+无穷多个自然数解。
二、填空题1、（108，42，24）=______,[108,42,24]=_________。
2、1000！末尾有____________个0。
3、[]{}_______3.1______,2=-=4、同余方程)10(mod 68≡x 的解是____________________。
5、模7的剩余类有且只有___________________________,7的非负最小完全剩余系是__________________________。
6、对于给定的模m ，两整数a,b 属于同一剩余类的充要条件是___________。
小学生奥数数论练习题五篇
小学生奥数数论练习题五篇1.小学生奥数数论练习题1.小华买了一本共有96张练习纸的练习本, 并依次将它的各面编号（即由第1面一直编到第192面）。
小丽从该练习本中撕下其中25张纸, 并将写在它们上面的50个编号相加。
试问, 小丽所加得的和数能否为2000？【分析】不可能。
因为25个奇数相加的和是奇数, 25个偶数相加是偶数, 奇数加偶数=奇数2.有98个孩子, 每人胸前有一个号码, 号码从1到98各不相同。
试问: 能否将这些孩子排成若干排, 使每排中都有一个孩子的号码数等于同排中其余孩子号码数的和？并说明理由。
【分析】不可以。
一名为98个数中有49个奇数, 奇数加偶数等于奇数, 奇数不是二的倍数。
3.有20个1升的容器, 分别盛有1, 2, 3, …, 20立方厘米水。
允许由容器A向容器B倒进与B容器内相同的水（在A中的水不少于B中水的条件下）。
问: 在若干次倒水以后能否使其中11个容器中各有11立方厘米的水？2.小学生奥数数论练习题1.有甲、乙、丙三人, 每人或者是老实人, 或者是骗子。
甲说: “乙是骗子。
”乙说: “甲和丙是同一种人。
”丙是________。
2.狼在星期一、二、三讲假话, 其余各天都讲真话；狐狸在星期四、五、六讲假话, 其余各天都讲真话。
有一天, 有人遇见狼, 它说了两句话:（1）昨天是我说假话的日子；（2）后天和大后天仍是我说假话的日子。
这天是星期________。
3.小明、小强、小兵三个人进行赛跑, 跑完后, 有人问他们比赛的结果。
小明说: “我是第一。
”小强说: “我是第二。
”小兵说: “我不是第一。
”实际上, 他们中有一个人说了假话。
______是第一, _______是第二, ______是第三。
3.小学生奥数数论练习题3 3 3 3 3 3=1003 3 3 3 3 3 3=1003 3 3 3 3 3 3 3=1003 3 3 3 3 3 3 3 3=1003 3 3 3 3 3 3 3 3 3=100答案与解析(1)(333-33)÷3=100(2)33÷3×3×3+3+3=100(3)33+33+33+3÷3=100(4)(33-3)×3+3+3+3+3÷3=100(5)3×3×3×3+3×3+(33-3)÷3=1004.小学生奥数数论练习题1.有红、蓝、黑三种铅笔共20支, 其中黑铅笔的支数比红铅笔的一半多1支, 蓝铅笔的支数比黑铅笔的一半多1支。
2024年数学八年级上册数论基础练习题(含答案)
2024年数学八年级上册数论基础练习题（含答案）试题部分一、选择题：1. 下列哪个数是偶数？（）A. 17B. 18C. 19D. 202. 如果a是一个奇数，那么a²是（）A. 奇数B. 偶数C. 无法确定D. 既不是奇数也不是偶数3. 两个质数相乘，其积是（）A. 质数B. 合数C. 可能是质数，也可能是合数D. 既不是质数也不是合数4. 下列哪个数既是3的倍数，又是4的倍数？（）A. 12B. 18D. 305. 如果a和b互质，那么下列哪个选项是错误的？（）A. a和b的最大公因数是1B. a和b的乘积是它们的公倍数C. a和b一定都是质数D. a和b一定都是合数6. 下列哪个数是平方数？（）A. 15B. 16C. 17D. 187. 一个数是6的倍数，那么它一定是（）的倍数。
A. 2B. 3C. 4D. 128. 下列哪个数是10的因数？（）A. 11B. 12C. 13D. 149. 如果一个数的因数有1、2、3、4、6，那么这个数是（）A. 8C. 16D. 2410. 下列哪个数是既是2的倍数，又是5的倍数？（）A. 30B. 45C. 60D. 75二、判断题：1. 质数只有1和它本身两个因数。
（）2. 两个偶数相乘，其积一定是偶数。
（）3. 两个奇数相乘，其积一定是奇数。
（）4. 一个数如果是3的倍数，那么它一定是9的倍数。
（）5. 两个合数相乘，其积一定是合数。
（）6. 任何两个自然数都有公因数1。
（）7. 两个互质的数一定都是质数。
（）8. 一个数既是4的倍数，又是6的倍数，那么它一定是12的倍数。
（）9. 一个数的因数个数是无限的。
（）10. 一个数的倍数个数是有限的。
（）三、计算题：1. 计算：2^3 × 3^2 ÷ 2^22. 计算：5^4 ÷ 5^23. 计算：12 ÷ (2^2 × 3)4. 计算：21 ÷ 3 + 7 × 25. 计算：(4^3) ÷ (2^2)6. 计算：3^5 ÷ 3^37. 计算：64 ÷ (2^6)8. 计算：18 ÷ (2^2 × 3)9. 计算：2^5 × 3^210. 计算：100 ÷ (2^2 × 5^2)11. 计算：8^2 ÷ (2^3 × 2)12. 计算：6^3 ÷ (2 × 3^2)13. 计算：(2^4) × (3^3)14. 计算：9^2 ÷ 3^315. 计算：24 ÷ (2^3 × 3)16. 计算：4^3 ÷ (2^2 × 2)17. 计算：125 ÷ (5^3)18. 计算：81 ÷ (3^4)19. 计算：2^7 ÷ 2^520. 计算：18 × 2^3 ÷ 6四、应用题：1. 一个数是20的倍数，且是30的因数，这个数最小是多少？2. 甲、乙两数之和为60，甲数是乙数的3倍，求甲、乙两数。
数论 小学数学 练习题
一、选择题1. 下列四个数中，不是质数的是（）。
A．15 B．17 C．23 D．292. 19加上（）就是3的倍数，再加上（）就是2的倍数．A．2 B．3 C．43. 三位数28□是3的倍数，□中可以填( )．A．3，6，9 B．1，4，7 C．2，5，8 D．以上都不对4. 下面的数中，既是30的因数又是6的倍数的是( )．A．4 B．5 C．6 D．245. 下面（）的结果一定是奇数．A．偶数个奇数连乘B．偶数个奇数连加C．奇数个偶数连加二、填空题6. 幼儿园的老师给班里的小朋友送来40只桔子，200块饼干，120块奶糖。
平均分发完毕，还剩4只桔子，20块饼干，12粒奶糖。
这班里共有_______位小朋友。
7. 一个合数的质因数是10以内所有的质数，这个合数是( )．8. 炎黄骄子菲尔兹奖被誉为“数学界的诺贝尔奖”，只奖励40岁以下的数学家。
华人数学家丘成桐、陶哲轩分别于1982年、2006年荣获此奖。
我们知道正整数中有无穷多个质数（素数），陶哲轩等证明了这样一个关于质数分布的奇妙定理：对任何正整数k，存在无穷多组含有k个等间隔质数（素数）的数组。
例如，时，3，5，7是间隔为2的3个质数；5，11，17是间隔为6的3个质数：而，，是间隔为12的3个质数（由小到大排列，只写一组3个质数即可）。
9. 两个质数的积是65，这两个质数分别是( )和( )．10. 一个三位数被37除余17,被36除余3.那么,这个三位数是________.三、解答题11. a=2×3×5×7，b=2×5×5×7，a和b的最大公因数是几，最小公倍数是几？12. 自然数的平方按大小排成1，4，9，16，25，36，49，…，问：第612个位置的数字是几？13. 焰火晚会上每6秒出现一次星星图案的礼花，每10秒出现一次花朵图案的礼花．在同时看到这两种礼花后，至少还要多少秒才能再同时看到这两种礼花？14. 在共有100匹马跟100块石头，马分3种，大型马；中型马跟小型马．其中一匹大马一次可以驮3块石头，中型马可以驮2块，而小型马2头可以驮一块石头．问需要多少匹大马，中型马跟小型马？（问题的关键是刚好必须是用完100匹马）。
初等数论试题库
初等数论练习一、单项选择题1. 如果n是一个自然数，那么n(n+1)是（）。
A. 奇数B. 偶数C. 奇数或偶数D. 由n奇偶性而定2. 19983除以9后的余数是（）。
A. 1B. 2C. 3D. 03. 模10的绝对值最小的完全剩余系是（）。
A. 0，1，2，3，…8，9B. 1，2，3，…9，10C. -5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4D. 11，12，13，…19，204. 1500的标准分解式是（）。
A. 2×2×5×5×5×3B. 3×53×22C. 22×3×53D. 2×2×3×5×5×55. 有一批同样砖块，宽30cm，长45cm，至少需要这样的砖多少块，才能铺成一个正方形地面？（）A. 4B. 6C. 9D. 246. 边长为自然数，面积为30的长方形有多少个？（）A. 2B. 3C. 4D. 无数7. 一堆排球，3个3个数余2个，4个4个数余3个，问这堆排球至少有多少个?（）A. 23B. 35C. 24D. 118. 下列不定方程中是三元二次不定方程的有（）。
A. xyz=9B. 5x+6y+7z=5C. xy+5z=8D. 2x+3y=69. 若ac≡bc(mod m)，则下列正确的是( )A. a≡b(mod m)B. m|(a-b)cC. m|cD. m|(a+b)c10. 若a、b两数的和与积均为偶数，则a，b的奇偶性为( )A. a奇b偶B. a偶b奇C. 均为偶数D. 均为奇数11. 已知五位数123A5能被11整除，则A是( )A. 0B. 7C. 9D. 1812. 下列算式肯定错误的是( )A. 4569×91=415779B. 4569×92=420348C. 2376×156=370646D. 4569×29=13250113. 下列数中能表示成20和12的倍数之和的是( )A. 2B. 6C. 10D. 3614. 已知甲数除以11的余数是4，乙数除以11的余数是7，则甲、乙两数之和除以11的余数是( )A. 4B. 7C. 0D. 615. 下列答案中正确的是( )A. 〔x〕+〔y〕≤〔x+y〕B. 〔x+y〕=〔x〕+〔y〕C. 〔x〕+〔y〕＜〔x+y〕D. 〔x〕+〔y〕＞〔x+y〕16.m，n为整数，下列式子一定不可能成立的是( )A.m－n=3B.m+2n=5C.2m+n=12D.m+n=017.若a,b,c均为整数，且a+b被c整除，则下列一定成立的是( )A.c|aB.c|bC.c|a－bD.c|a2－b218.相邻两个整数之和与相邻两个整数之积分别是( )A.奇数奇数B.奇数偶数C.偶数奇数D.偶数偶数19.m为奇数时，模m的绝对最小完全剩余系是( )A.1,2,3,…,m－1,mB.－m,－(m－1),…,－2,－1C.--m12,…,－1,0,1,…m-12D.-m2,…,－1,0,1,…m21-20.下列不属于二元二次不定方程的是( )A.xy=5B.x2+y2=16C.2x2+y=8D.13442 xy+=21.11与-10以下列( )数为模时同余?A.2B.7C.10D.522.已知(a,b,c)=1,则一定有( )A.(a,b)=1B.(b,c)=1C.(a,c)=1D.((a,b),c)=123.所有不超过152的自然数中，5的倍数有( )个。
数论练习题及解析
数论练习题及解析数论是数学中研究整数性质和整数运算规律的一个分支。
它在不同的数学领域中扮演着重要的角色，如密码学、计算机科学、代数等。
本文将提供一些数论的练习题，并给出相应的解析，旨在帮助读者更好地理解数论的基本概念和方法。
一、整除与因子1. 若整数a可以被整数b整除，记作b | a，求证另一个整数d，使得a = db。
解析：根据整数的定义，a可以表示为b的倍数。
假设倍数为k，则a = kb。
令d = k，则a = db，证毕。
2. 求证两个奇数的和是偶数。
解析：我们可以用数学归纳法来证明这个问题。
首先，当n为1时，一个奇数可以表示为2k+1的形式，其中k为整数。
两个奇数的和为4k+2，即2的倍数，属于偶数。
其次，假设当n=k时，两个奇数的和为2的倍数。
则当n=k+1时，一个奇数可以表示为2(k+1)+1=2k+3的形式。
两个奇数的和为(2k+2) + (2k+3) = 4k+5，即奇数。
所以，根据数学归纳法，我们可以得出结论：两个奇数的和是偶数。
二、最大公约数与最小公倍数3. 求证两个整数的最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个整数的积。
解析：假设两个整数为a和b，它们的最大公约数为d，最小公倍数为m。
根据最大公约数和最小公倍数的定义，我们有以下等式：a = dx，b = dy，其中x和y为整数，且x、y互素。
因为x、y互素，所以它们的乘积xy也与它们互素。
则a和b的积ab可以表示为d²xy，即ab = d²xy。
另一方面，a和b的积同时也可以表示为mxy，即ab = mxy。
由此，我们可以得出等式d²xy = mxy，即dm = xy。
因为xy互素，根据整除的性质，只能得出d = m。
所以，两个整数的最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个整数的积。
4. 求证若a、b、c为三个正整数，且a | b，b | c，则a | c。
解析：根据题目条件，我们可以得出正整数b和正整数a的倍数之间存在整除关系，记作b = ka，其中k为整数。
数论练习题推荐
数论练习题推荐数论是数学的一个重要分支，研究整数及其性质、结构和关系。
数论在计算机科学、密码学、密码学等领域有着广泛的应用。
为了培养学生对数论的兴趣和理解能力，本文将推荐一些适合初学者的数论练习题。
1. 除法定理题目：证明任何一个整数除以4的余数只可能是0、1、2或3。
解析：可以使用反证法证明。
假设存在一个整数除以4的余数为a，但a不是0、1、2或3。
那么a可以表示为a = 4k + r，其中k为整数，r是除以4的余数。
然而，这与假设矛盾，因为余数r不可能大于3。
因此，结论成立。
2. 最大公约数题目：计算下列数的最大公约数：48和60。
解析：可以使用欧几里得算法求解最大公约数。
首先，用60除以48得到商1和余数12。
然后，用48除以12得到商4和余数0。
因此，最大公约数为12。
3. 整数的奇偶性题目：证明任何一个整数的平方都是偶数。
解析：可以使用分情况讨论证明。
对于任何一个整数N，可以表示为N = 2k或N = 2k + 1，其中k是整数。
将N的平方进行展开，若N =2k，则N^2 = (2k)^2 = 2(2k^2)，即为偶数；若N = 2k + 1，则N^2 = (2k + 1)^2 = 2(2k^2 + 2k) + 1，即为奇数。
因此，任何一个整数的平方都是偶数。
4. 质数判断题目：判断下列数是否为质数：29和49。
解析：质数是指只能被1和自身整除的自然数。
对于29来说，可以从2开始逐个试除，发现没有除数能整除29，因此29是质数。
对于49来说，可以发现除了1和49外，还有其他的除数，如7和49，因此49不是质数。
5. 同余定理题目：证明如果两个整数对于某个正整数m满足同余关系，则它们的差也是m的倍数。
解析：设整数a和b对于正整数m满足同余关系，即a ≡ b (mod m)。
根据同余的定义，可以得到a = km + b，其中k是一个整数。
将其改写为a - b = km，由此可知a - b是m的倍数。
数论期末练习题
数论期末练习题一、单项选择题1、以下同余方程或同余方程组中，无解的是（ ） A. 3x ≡9(mod15) B. 12x ≡8(mod28)C. 3(mod14)5(mod 21)x x ≡⎧⎨≡⎩D. 3(mod14)5(mod16)x x ≡⎧⎨≡⎩2、下述结论正确的是 ( )A ．若21x ≡70 (mod112)，则同余式必有14个解；B ． 200247的十进位表示的末位数字是2；C ．同余式5x ≡13(mod43)有唯一解x ≡37(mod43)；D ．同余式5x ≡13(mod43)有唯一解x =37。
3、若6k +5对模4与7同余，则数k 满足关系式 ( ) .A ． k=1B ．k ≡1 (mod 4)C ．k=1+7t (t ∈Z)D ．k=5 4、 假设今天是星期三, 3053天后是( ). A ． 星期一 B ．星期三 C ．星期四 D ． 星期日 5、372005 被6除所得的余数是 ( ) A. 3B. 2C. 1D. 06、1, 3, 5, 9,11, 13是模14的一个简化剩余系. 下面也是14的简化剩余系的是 ( )(A) 1, 5, 11,17, 22, 41 (B) 3, 7, 11, 19, 23, 27 (C) 5, 15, 25, 45, 55, 85 (D)1, 5, 25, 45, 55, 65 7．下列表述中与)7(m od 5≡n 不等价的是（ ） A ．k n 75+=，k 是整数B ．n 被7整除余5C ．n-5被7整除D ．n-7被5整除 8、模5的最小非负完全剩余系是( ).A -2,-1,0,1,2B -5,-4,-3,-2,-1C 1,2,3,4,5D 0,1,2,3,4 9、可能是一个平方数的末位数字的是（ ）(A) 3． (B) 4． (C) 7． (D) 8． 10．如果( ),则不定方程c by ax =+有解.A c b a ),(B ),(b a cC b aD []a b ,a 11．)(m od ),(m od q d c q b a ≡≡, 则有（ ） A ．)(m od q bd c a ≡+ B ．)(m od q d b ac +≡ C ．)(m od q d b c a +≡+ D ．)(m od q cd ab ≡系别-------------------------------------- 班级---------------------------------- 姓名------------------------------------- 学号------------------------------二、填空题：1、一个正整数十一数余三，十二数余二, 十三数余一，这个数最小是__________；2、运用教材中的定理2.5，求a=5, b=4时相应的勾股数x, y 与z 是__________；3、不定方程77y 3xy 4x 422=--的正整数解为________；4、同余式)45(mod 01512≡+x 有解，而且解的个数为__________； 5.不超过18且与18互质的正整数的个数是__________； 6．131000的十进位表示中的个位数字是____________；7．三个连续自然数的乘积为120，则这三个数的和是___________。
数论题练习
数论题练习（一）1. 求满足22282p p m m ++=-的所有素数p 和正整数m .2. 对于i =2，3，…，k ，正整数n 除以i 所得的余数为i －1．若n 的最小值0n 满足020003000n <<，则正整数k 的最小值为 ．3．满足方程222()x y x y xy +=++的所有正整数解有（ ）．(A)一组 (B)二组 (C)三组 (D)四组4．正整数n 分别除以2,3,4,5,6,7,8,9,10得到的余数依次为1,2,3,4,5,6,7,8,9，则n 的最小值为 ．5．n 是一个三位数,b 是一个一位数,且22,1a ab b ab ++都是整数,求a b +的最大值与最小值.6．已知12345a a a a a ，，，，是满足条件123459a a a a a ++++=的五个不同的整数，若b 是关于x 的方程()()()()()123452009x a x a x a x a x a -----=的整数根，则b 的值为 ．7．试求出所有这样的正整数a 使得关于x 的二次方程22(21)4(3)0ax a x a +-+-=至少有一个整数根.8．是否存在质数p ，q ，使得关于x 的一元二次方程20px qx p -+=有有理数根？9．已知m、n均为正整数,且m>n,2006m2+m=2 007n2+n.问m-n是否为完全平方数?并证明你的结论.10．已知k为常数，关于x的一元二次方程(k2-2k)x2+(4-6k)x+8=0的解都是整数.求k的值. 11．已知n为自然数，9n2-10n+2 009能表示为两个连续自然数之积.则n的最大值为 .12．设a是3的正整数次幂，b是2的正整数次幂，试确定所有这样的,a b，使得二次方程20-+=的根是整数.x ax b13．是否存在这样的正整数n ,使得2371n n +-能整除321n n n +++?请说明理由。
2024年数学七年级上册数论基础练习题(含答案)
2024年数学七年级上册数论基础练习题（含答案）试题部分一、选择题：1. 下列哪个数是质数？（）A. 21B. 39C. 41D. 672. 两个互质的数，它们的最大公因数是（）A. 1B. 0C. 它们本身D. 无法确定3. 下列哪个数既是偶数又是质数？（）A. 2B. 3C. 5D. 74. 如果a和b是整数，且a÷b=3，那么a和b的公因数中最大的一个是（）A. aB. bC. 3D. 无法确定5. 下列哪个算式是正确的？（）A. 7 + 5 = 12B. 8 6 = 2C. 9 × 3 = 27D. 10 ÷ 2 = 56. 一个数是12的倍数，也是18的倍数，那么这个数至少是（）A. 12B. 18C. 24D. 367. 下列哪个数是合数？（）A. 11B. 13C. 23D. 298. 两个数的最大公因数是4，它们的最小公倍数是24，这两个数可能是（）A. 4和6B. 8和12C. 4和24D. 12和169. 下列哪个数能被3整除？（）A. 101B. 102C. 103D. 10410. 下列哪个数既是奇数又是合数？（）A. 9B. 11C. 13D. 15二、判断题：1. 两个质数的最大公因数一定是1。
（）2. 一个数既是质数又是合数。
（）3. 两个偶数的最大公因数一定是2。
（）4. 两个互质数的最大公因数是1。
（）5. 一个数既是3的倍数，又是4的倍数，那么这个数一定是12的倍数。
（）6. 两个数的最大公因数和最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。
（）7. 任意两个奇数的和都是偶数。
（）8. 一个数是9的倍数，那么这个数的各位数字之和也是9的倍数。
（）9. 两个合数的最大公因数一定是合数。
（）10. 一个数既是5的倍数，又是2的倍数，那么这个数一定是10的倍数。
（）三、计算题：1. 计算：123 + 4562. 计算：789 3213. 计算：56 × 784. 计算：144 ÷ 125. 计算：99 × 1016. 计算：800 ÷ 1007. 计算：503 2988. 计算：45 + 55 + 659. 计算：1000 ÷ 2510. 计算：75 × 4 × 2511. 计算：54 ÷ 912. 计算： 56713. 计算：999 × 11114. 计算：10000 ÷ 12515. 计算：36 × 63 36 × 3316. 计算：18 × (24 + 36)17. 计算：7 × 7 × 718. 计算：64 ÷ 8 ÷ 219. 计算：45 × 45 5 × 520. 计算：32 × 25 ÷ 4四、应用题：1. 小明有3个苹果，小华比小明多2个苹果，小华有多少个苹果？2. 一本书有120页，小明每天看15页，他需要几天看完？3. 一个长方形的长是8厘米，宽是5厘米，求这个长方形的面积。
小学数学数论练习题
小学数学数论练习题1. 问题描述：小明有4个篮球和6个足球，他想将这些球分成几组，每组只能有篮球或者足球，且每组中篮球和足球的总数都一样。
请问小明最多能分成几组？解析：设每组中的篮球和足球的数量为x。
根据题目条件，可以得到以下等式：4x = 6x将等式化简后得到：2x = 6解方程得到x = 3。
因此，小明最多能分成3组，每组有3个篮球和3个足球。
2. 问题描述：有一组连续的自然数，从1开始，如果这组自然数中有一个数的平方等于某个大于1的质数的n次方（n>1），则称该质数为“关键质数”。
请问，从1到100之间共有几个关键质数？解析：首先，我们需要确定在1到100之间存在哪些质数。
通过筛除法可以得到：2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97。
然后，我们遍历这些质数，并计算其n次方（n>1）是否存在于1到100的连续自然数中。
如果存在，就将对应的质数计数加一。
经过计算，从1到100之间共有4个关键质数，分别是：2, 3, 5, 7。
3. 问题描述：小明有1元、2元、5元三种面额的硬币各若干枚。
他寻思着用这些硬币凑出不同的金额，最多能凑出多少种不同的金额？解析：设1元、2元、5元硬币的数量分别为x、y、z。
根据题目条件，可以列出以下不等式：x + 2y + 5z ≤ 100其中，100为金额的上限。
通过遍历x、y、z的范围（分别为0到100），并满足上述不等式的情况下计数，可以得出最多能凑出的不同金额种数。
经过计算，小明最多能凑出49种不同的金额。
4. 问题描述：小华用纸币买了一只笔和一只橡皮擦，一共花了29元。
已知一只笔的价格是5元，橡皮擦的价格是2元，问小华使用了多少张纸币？解析：设小华用来买笔的纸币数量为x，用来买橡皮擦的纸币数量为y。
根据题目条件，可以得到以下方程组：5x + 2y = 29其中，x和y为整数，且都大于等于0。
2024年数学九年级上册数论基础练习题(含答案)
2024年数学九年级上册数论基础练习题（含答案）试题部分一、选择题：1. 下列哪个数是质数？（）A. 21B. 39C. 41D. 672. 如果a和b是互质的正整数，那么下列哪个选项是正确的？（）A. a和b的最大公约数是1B. a和b的最小公倍数是abC. a和b都是质数D. a和b都是合数3. 一个数是12的倍数，同时也是18的倍数，那么这个数至少是（）。
A. 12B. 18C. 24D. 364. 下列哪个数既能被3整除，又能被4整除？（）A. 36B. 39C. 42D. 455. 如果a|b，b|c，那么下列哪个选项是正确的？（）A. a|cB. a|b+cC. b|aD. c|a6. 两个正整数的最小公倍数是它们乘积的（）。
A. 最大公约数B. 最小公约数C. 平均数D. 最大数7. 下列哪个数是平方数？（）A. 35B. 49C. 55D. 678. 如果一个正整数的平方根是整数，那么这个数一定是（）。
A. 质数B. 合数C. 平方数D. 立方数9. 下列哪个选项是正确的？（）A. 2^3 = 6B. 3^2 = 9C. 4^2 = 8D. 5^3 = 1510. 一个数是10的倍数，同时也是5的倍数，那么这个数至少是（）。
A. 10B. 15C. 20D. 25二、判断题：1. 一个自然数的因数一定小于它本身。
（）2. 两个质数的最大公约数一定是1。
（）3. 两个合数的最小公倍数一定是它们的乘积。
（）4. 一个数如果是4的倍数，那么它一定是2的倍数。
（）5. 质数只能被1和它本身整除。
（）6. 两个互质数的最大公约数一定是1。
（）7. 一个正整数的平方根一定是整数。
（）8. 任意两个正整数的最小公倍数都存在。
（）9. 一个数既是3的倍数，又是4的倍数，那么它一定是12的倍数。
（）10. 任意两个质数的最小公倍数是它们的乘积。
（）三、计算题：1. 计算100以内所有质数的和。
2. 找出50以内所有能被3整除的合数。
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数论练习题
一、判断题
1、任意两个不同质数必互质。
( )
2、若n 是大于1的正整数，且所有不大于n 的质数都不能整除n,则n 是质数。
( )
3、若是是奇数，则22b a abc +奇数。
（ ） 4、若),(mod m bc ac ≡，则)(mod m b a ≡。
( )
5、使得)8(mod 15≡x 成立的所有自然数为4的倍数。
（ ）
6、三个成等差数列的基本勾股数只有3、4、5。
( )
7、一个大于1的整数不是质数就是合数。
（ ）
8、两个数的公因数一定是它们的最大公因数的因数 。
( )
9、-27除以6的带余除法算式是-27=-4×6-3。
（ ）
10、。
则，都是整数，且，若bc ac b a c b a , ( ) 11、)(mod )(mod 22m b a m b a ≡≡，则若。
（ ）
12、不定方程264=+y x 的全部整数解为{)(6241Z t t
x t y ∈-=+=。
( )
13、一个质数P 与一个整数a ，它们要么互质，要么P|a 。
（ ）
14、质数必为奇数，偶数必为合数。
（ ）
15、设b a ，则a 是倍数，b 是约数。
（ ）
16、若b a ，b c 则b ac 。
（ ）
17、二元一次不定方程异号时有当b a c by ax ,,=+无穷多个自然数解。
二、填空题
1、（108，42，24）=______,[108,42,24]=_________。
2、1000！末尾有____________个0。
3、[]{}_______3.1______,2=-=
4、同余方程)10(mod 68≡x 的解是____________________。
5、模7的剩余类有且只有___________________________,7的非负最小完全剩余系是__________________________。
6、对于给定的模m ，两整数a,b 属于同一剩余类的充要条件是___________。
7、在30！中2的幂指数是___________。
8、从300到500的整数中13的倍数是___________。
9、
97
14能化成_______________小数。
10、-200除以3的带余除法算式为_______________________。
11、今天是星期四，2003天后是星期____________。
12、同余方程组⎩
⎨⎧≡≡)15(mod 2)10(mod 7x x 的解为_________________________。
三、计算题
1、两个自然数的最大公约数是7，最小公倍数是210，求这两个数。
2、用1到6这6个数字组成一个无重复数字的六位数abcdef ，且d e f c d e b c d a b c 11,3,5,4，求这个六位数？
3、已知一七位数ab 62742能被24整除，求这个七位数。
4、一个自然数A 有12个正约数，另一个自然数B 有10个正约数，且这两个数的标准分解式中只含有质因数3和5，它们的最大公约数是75，求这两自然数？
5、求解同余式组⎪⎩
⎪⎨⎧≡-≡≡)7(mod 2)5(mod 1)3(mod 1x x x
6、五、韩信点兵：有兵一队，若列成五行纵队则末行一人，成六行纵队则末行五人，成七行纵队则末行四人，成十一行纵队则末行十人，求兵数。
四、证明题
1、若b a ,为正整数，,1),(=b a 证明：存在正整数m ，n 使得)(mod 1ab b a n m ≡+
2、设p 是质数，)mod ),p b a b a b a p p p （：（是任意两个整数，求证+=+
3、)12)(1(3++n n n n 为任意整数，求证：设
4、已知（a,b ）=1，求证：（a-b,a+b ）=1或2。