上海市西南位育中学2020-2021学年高一上学期期末数学试题

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2020-2021上海市西初级中学高一数学上期末试题(及答案)

2020-2021上海市西初级中学高一数学上期末试题(及答案)一、选择题1．已知函数()()2,211,22xa x x f x x ⎧-≥⎪=⎨⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎩, 满足对任意的实数x 1≠x 2都有()()1212f x f x x x --＜0成立，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，2)B ．13,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．(－∞，2]D ．13,28⎡⎫⎪⎢⎣⎭2．在实数的原有运算法则中，补充定义新运算“⊕”如下：当a b ≥时，a b a ⊕=；当a b <时，2a b b ⊕=，已知函数()()()[]()1222,2f x x x x x =⊕-⊕∈-，则满足()()13f m f m +≤的实数的取值范围是（）A ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．21,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦3．酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL 血液中酒精含量低于20mg 的驾驶员可以驾驶汽车，酒精含量达到20～79mg 的驾驶员即为酒后驾车，80mg 及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了1mg /mL ．如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶汽车？（）（参考数据：lg 0.2≈﹣0.7，1g 0.3≈﹣0.5，1g 0.7≈﹣0.15，1g 0.8≈﹣0.1） A ．1B ．3C ．5D ．74．对于函数()f x ，在使()f x m ≤恒成立的式子中，常数m 的最小值称为函数()f x 的“上界值”，则函数33()33x x f x -=+的“上界值”为（）A ．2B ．－2C ．1D ．－15．已知全集为R ，函数()()ln 62y x x =--的定义域为集合{},|44A B x a x a =-≤≤+，且R A B ⊆ð，则a 的取值范围是（）A ．210a -≤≤B ．210a -<<C ．2a ≤-或10a ≥D ．2a <-或10a > 6．已知函数()y f x =是偶函数，(2)y f x =-在[0,2]是单调减函数，则（）A ．(1)(2)(0)f f f -<恰好有3个不同的实数根，则a 的取值范围是（） A ．()1,2B ．()2,+∞C．(D．)28．已知01a <<，则方程log xa a x =根的个数为（） A ．1个B ．2个C ．3个D ．1个或2个或3根9．已知函数f (x )＝12log ,1,24,1,x x x x >⎧⎪⎨⎪+≤⎩则1(())2f f )等于( )A ．4B ．－2C ．2D ．110．已知[]x 表示不超过实数x 的最大整数，()[]g x x =为取整函数，0x 是函数()2ln f x x x=-的零点，则()0g x 等于（）A ．1B ．2C ．3D ．411．已知定义在R 上的函数()f x 在(),2-∞-上是减函数，若()()2g x f x =-是奇函数，且()20g =，则不等式()0xf x ≤的解集是（）A ．][(),22,-∞-⋃+∞B ．][)4,20,⎡--⋃+∞⎣C ．][(),42,-∞-⋃-+∞D ．][(),40,-∞-⋃+∞12．若不等式210x ax ++≥对于一切10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立，则a 的取值范围为( ) A ．0a ≥B ．2a ≥-C ．52a ≥-D ．3a ≥-二、填空题13．若155325a b c ===，则111a b c+-=__________． 14．求值：2312100log lg += ________ 15．函数()()4log 5f x x =-+________.16．函数()f x 与()g x 的图象拼成如图所示的“Z ”字形折线段ABOCD ，不含(0,1)A ､(1,1)B ､(0,0)O ､(1,1)C --､(0,1)D -五个点，若()f x 的图象关于原点对称的图形即为()g x 的图象，则其中一个函数的解析式可以为__________.17．0.11.1a =，122log 2b =，ln 2c =，则a ，b ，c 从小到大的关系是________. 18．已知35m n k ==，且112m n+=，则k =__________ 19．已知函数222y x x -=+，[]1,x m ∈-.若该函数的值域为[]1,10，则m =________. 20．已知a ＞b ＞1.若log a b+log b a=52，a b =b a ，则a= ，b= . 三、解答题21．已知集合{}{}{}|2318,|215,|1A x x B x x C x x a x a =≤-≤=-<=≤≥+或．（1）求,A B A B I U ；（2）若()R C C A ⊆，求实数a 的取值范围． 22．设()()12log 10f x ax =-，a 为常数.若()32f =-.（1）求a 的值；（2）若对于区间[]3,4上的每一个x 的值，不等式()12xf x m ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭恒成立，求实数m 的取值范围 .23．已知函数()()sin ωφf x A x B =++(0A >，0>ω，2πϕ<)，在同一个周期内，当6x π=时，()f x 取得最大值322，当23x π=时，()f x 取得最小值22-. (1)求函数()f x 的解析式，并求()f x 在[0，π]上的单调递增区间. (2)将函数()f x 的图象向左平移12π个单位长度，再向下平移22个单位长度，得到函数()g x 的图象，方程()g x a =在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦有2个不同的实数解，求实数a 的取值范围.24．已知函数()()()log 1log 1a a f x x x =+--(0a >，1a ≠)，且()31f =. (1)求a 的值，并判定()f x 在定义域内的单调性，请说明理由；(2)对于[]2,6x ∈，()()()log 17amf x x x >--恒成立，求实数m 的取值范围.25．已知全集U=R ，集合{}12A x x x =-或，{}213U B x x p x p 或=-+ð．（1）若12p =，求A B ⋂；（2）若A B B ⋂=，求实数p 的取值范围．26．某支上市股票在30天内每股的交易价格P （单位：元）与时间t （单位：天）组成有序数对(),t P ，点．(),t P 落在．．如图所示的两条线段上.该股票在30天内（包括30天）的日交易量Q （单位：万股）与时间t （单位：天）的部分数据如下表所示：第t 天4 10 16 22 Q （万股）36302418（Ⅰ）根据所提供的图象，写出该种股票每股的交易价格P 与时间t 所满足的函数解析式；（Ⅱ）根据表中数据确定日交易量Q 与时间t 的一次函数解析式；（Ⅲ）若用y （万元）表示该股票日交易额，请写出y 关于时间t 的函数解析式，并求出在这30天中，第几天的日交易额最大，最大值是多少？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】【分析】【详解】试题分析：由题意有,函数()f x 在R 上为减函数,所以有220{1(2)2()12a a -<-⨯≤-,解出138a ≤,选B. 考点：分段函数的单调性. 【易错点晴】本题主要考查分段函数的单调性,属于易错题. 从题目中对任意的实数12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-成立，得出函数()f x 在R 上为减函数,减函数图象特征:从左向右看,图象逐渐下降,故在分界点2x =处,有21(2)2()12a -⨯≤-,解出138a ≤. 本题容易出错的地方是容易漏掉分界点2x =处的情况.2．C解析：C 【解析】当21x -≤≤时，()1224f x x x =⋅-⨯=-；当12x <≤时，()23224f x x x x =⋅-⨯=-；所以()34,214,12x x f x x x --≤≤⎧=⎨-<≤⎩，易知，()4f x x =-在[]2,1-单调递增，()34f x x =-在(]1,2单调递增，且21x -≤≤时，()max 3f x =-，12x <≤时，()min 3f x =-，则()f x 在[]22-,上单调递增，所以()()13f m f m +≤得：21223213m m m m-≤+≤⎧⎪-≤≤⎨⎪+≤⎩，解得1223m ≤≤，故选C ．点睛：新定义的题关键是读懂题意，根据条件，得到()34,214,12x x f x x x --≤≤⎧=⎨-<≤⎩，通过单调性分析，得到()f x 在[]22-,上单调递增，解不等式()()13f m f m +≤，要符合定义域和单调性的双重要求，则21223213m m m m -≤+≤⎧⎪-≤≤⎨⎪+≤⎩，解得答案．3．C解析：C 【解析】【分析】根据题意先探究出酒精含量的递减规律，再根据能驾车的要求，列出模型0.70.2x ≤ 求解. 【详解】因为1小时后血液中酒精含量为（1-30%）mg /mL , x 小时后血液中酒精含量为（1-30%）x mg /mL 的，由题意知100mL 血液中酒精含量低于20mg 的驾驶员可以驾驶汽车，所以()3002%1.x-<，0.70.2x <，两边取对数得，lg 0.7lg 0.2x < ，lg 0.214lg 0.73x >= ，所以至少经过5个小时才能驾驶汽车. 故选：C 【点睛】本题主要考查了指数不等式与对数不等式的解法，还考查了转化化归的思想及运算求解的能力，属于基础题.4．C解析：C 【解析】【分析】利用换元法求解复合函数的值域即可求得函数的“上界值”. 【详解】令3,0xt t => 则361133t y t t -==-<++ 故函数()f x 的“上界值”是1；故选C 【点睛】本题背景比较新颖，但其实质是考查复合函数的值域求解问题，属于基础题，解题的关键是利用复合函数的单调性法则判断其单调性再求值域或通过换元法求解函数的值域.5．C解析：C 【解析】【分析】由()()620x x -->可得{}|26=<<A x x ，{}44R C B x a x a 或=-+，再通过A 为R C B 的子集可得结果.【详解】由()()ln 62y x x =--可知，()()62026x x x -->⇒<<，所以{}|26=<<A x x ，{}44R C B x a x a 或=-+，因为R A C B ⊆，所以6424a a 或≤-≥+，即102a a ≥≤-或，故选C. 【点睛】本题考查不等式的解集和对数函数的定义域，以及集合之间的交集和补集的运算；若集合的元素已知，求解集合的交集、并集、补集时，可根据交集、并集、补集的定义求解.6．C解析：C 【解析】【分析】先根据()2y f x =-在[]0,2是单调减函数，转化出()y f x =的一个单调区间，再结合偶函数关于y 轴对称得[]02，上的单调性，结合函数图像即可求得答案【详解】()2y f x =-Q 在[]0,2是单调减函数，令2t x =-，则[]20t ，∈-，即()f t 在[]20-，上是减函数 ()y f x ∴=在[]20-，上是减函数Q 函数()y f x =是偶函数，()y f x ∴=在[]02，上是增函数 ()()11f f -=Q ,则()()()012f f f <-< 故选C 【点睛】本题是函数奇偶性和单调性的综合应用，先求出函数的单调区间，然后结合奇偶性进行判定大小，较为基础．7．D解析：D 【解析】∵对于任意的x ∈R ,都有f (x −2)=f (2+x ),∴函数f (x )是一个周期函数，且T =4.又∵当x ∈[−2,0]时,f (x )=1 2x⎛⎫ ⎪⎝⎭−1,且函数f (x )是定义在R 上的偶函数，若在区间(−2,6]内关于x 的方程()()log 20a f x x -+=恰有3个不同的实数解，则函数y =f (x )与y =()log 2a x +在区间(−2,6]上有三个不同的交点，如下图所示：又f (−2)=f (2)=3，则对于函数y =()log 2a x +，由题意可得，当x =2时的函数值小于3，当x =6时的函数值大于3，即4a log <3,且8a log >3,由此解得：34<a <2，故答案为(34,2).点睛：方程根的问题转化为函数的交点，利用周期性，奇偶性画出所研究区间的图像限制关键点处的大小很容易得解8．B解析：B 【解析】【分析】在同一平面直角坐标系中作出()xf x a =与()log a g x x =的图象，图象的交点数目即为方程log xa a x =根的个数. 【详解】作出()xf x a =，()log a g x x =图象如下图：由图象可知：()(),f x g x 有两个交点，所以方程log xa a x =根的个数为2.故选：B . 【点睛】本题考查函数与方程的应用，着重考查了数形结合的思想，难度一般.(1)函数()()()h x f x g x =-的零点数⇔方程()()f x g x =根的个数⇔()f x 与()g x 图象的交点数；(2)利用数形结合可解决零点个数、方程根个数、函数性质研究、求不等式解集或参数范围等问题.9．B解析：B 【解析】121242242f ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭，则()1214log 422f f f ⎛⎫⎛⎫===- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选B. 10．B解析：B 【解析】【分析】根据零点存在定理判断023x <<，从而可得结果. 【详解】因为()2ln f x x x=-在定义域内递增，且()2ln 210f =-<，()23ln 303f =->，由零点存在性定理可得023x <<，根据[]x 表示不超过实数x 的最大整数可知()02g x =，故选：B. 【点睛】本题主要考查零点存在定理的应用，属于简单题.应用零点存在定理解题时，要注意两点：（1）函数是否为单调函数；（2）函数是否连续.11．C解析：C 【解析】【分析】由()()2g x f x =-是奇函数，可得()f x 的图像关于()2,0-中心对称，再由已知可得函数()f x 的三个零点为-4，-2，0，画出()f x 的大致形状，数形结合得出答案. 【详解】由()()2g x f x =-是把函数()f x 向右平移2个单位得到的，且()()200g g ==，()()()4220f g g -=-=-=，()()200f g -==，画出()f x 的大致形状结合函数的图像可知，当4x ≤-或2x ≥-时，()0xf x ≤，故选C. 【点睛】本题主要考查了函数性质的应用，作出函数简图，考查了学生数形结合的能力，属于中档题.12．C解析：C 【解析】【分析】【详解】210x ax ++≥对于一切10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭成立，则等价为a ⩾21x x--对于一切x ∈(0,1 2)成立，即a ⩾−x −1x 对于一切x ∈(0,12)成立，设y =−x −1x ,则函数在区间(0,12〕上是增函数 ∴−x −1x <−12−2=52-， ∴a ⩾52-. 故选C.点睛：函数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若()0f x >就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为min ()0f x >，若()0f x <恒成立，转化为max ()0f x <;（3）若()()f x g x >恒成立，可转化为min max ()()f x g x >.二、填空题13．1【解析】故答案为解析：1 【解析】155325a b c ===因为，1553log 25,log 25,log 25a b c ∴===，252525111log 15log 5log 3a b c∴+-=+-25log 251==，故答案为1. 14．【解析】由题意结合对数指数的运算法则有：解析：32-【解析】由题意结合对数、指数的运算法则有：()2log 31532lg 3210022=-+-=-. 15．【解析】【分析】根据题意列出不等式组解出即可【详解】要使函数有意义需满足解得即函数的定义域为故答案为【点睛】本题主要考查了具体函数的定义域问题属于基础题；常见的形式有：1分式函数分母不能为0；2偶次解析：[)0,5【解析】【分析】根据题意，列出不等式组50210x x ->⎧⎨-≥⎩，解出即可.【详解】要使函数()()4log 5f x x =-+有意义，需满足50210x x ->⎧⎨-≥⎩，解得05x <≤，即函数的定义域为[)0,5，故答案为[)0,5. 【点睛】本题主要考查了具体函数的定义域问题，属于基础题；常见的形式有：1、分式函数分母不能为0；2、偶次根式下大于等于0；3、对数函数的真数部分大于0；4、0的0次方无意义；5、对于正切函数tan y x =，需满足,2x k k Z ππ≠+∈等等，当同时出现时，取其交集.16．【解析】【分析】先根据图象可以得出f(x)的图象可以在OC 或CD 中选取一个再在AB 或OB 中选取一个即可得出函数f(x)的解析式【详解】由图可知线段OC 与线段OB 是关于原点对称的线段CD 与线段BA 也是解析：()1x f x ⎧=⎨⎩1001x x -<<<< 【解析】【分析】先根据图象可以得出f (x )的图象可以在OC 或CD 中选取一个，再在AB 或OB 中选取一个，即可得出函数f (x ) 的解析式. 【详解】由图可知，线段OC 与线段OB 是关于原点对称的，线段CD 与线段BA 也是关于原点对称的，根据题意，f (x) 与g (x) 的图象关于原点对称，所以f (x)的图象可以在OC 或CD 中选取一个，再在AB 或OB 中选取一个，比如其组合形式为: OC 和AB ， CD 和OB , 不妨取f (x )的图象为OC 和AB ，OC 的方程为: (10)y x x =-<<，AB 的方程为: 1(01)y x =<<，所以,10()1,01x x f x x -<<⎧=⎨<<⎩，故答案为：,10()1,01x x f x x -<<⎧=⎨<<⎩【点睛】本题主要考查了函数解析式的求法，涉及分段函数的表示和函数图象对称性的应用，属于中档题.17．【解析】【分析】根据指数函数和对数函数的图象与性质分别求得实数的取值范围即可求解得到答案【详解】由题意根据指数函数的性质可得由对数函数的运算公式及性质可得且所以abc 从小到大的关系是故答案为：【点睛解析：b c a <<【解析】【分析】根据指数函数和对数函数的图象与性质，分别求得实数,,a b c 的取值范围，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，根据指数函数的性质，可得0.101.111.1a >==，由对数函数的运算公式及性质，可得12112211log log ()222b ===，1ln 2ln 2c =>=，且ln 2ln 1c e =<=，所以a ，b ，c 从小到大的关系是b c a <<. 故答案为：b c a <<. 【点睛】本题主要考查了指数函数与对数函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记指数函数与对数函数的图象与性质，求得实数,,a b c 的取值范围是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.18．【解析】因为所以所以故填【解析】因为35m n k ==，所以3log m k =，5log n k =，11lg5lg3lg152lg lg lg m n k k k+=+==，所以1lg lg152k ==k =19．4【解析】【分析】根据二次函数的单调性结合值域分析最值即可求解【详解】二次函数的图像的对称轴为函数在递减在递增且当时函数取得最小值1又因为当时所以当时且解得或（舍）故故答案为：4【点睛】此题考查二次解析：4 【解析】【分析】根据二次函数的单调性结合值域，分析最值即可求解. 【详解】二次函数222y x x -=+的图像的对称轴为1x =，函数在(),1x ∈-∞递减，在[)1,x ∈+∞递增，且当1x =时，函数()f x 取得最小值1，又因为当1x =-时，5y =，所以当x m =时，10y =，且1m >-，解得4m =或2-（舍），故4m =. 故答案为：4 【点睛】此题考查二次函数值域问题，根据二次函数的值域求参数的取值.20．【解析】试题分析：设因为因此【考点】指数运算对数运算【易错点睛】在解方程时要注意若没注意到方程的根有两个由于增根导致错误解析：42【解析】试题分析：设log ,1b a t t =>则，因为21522t t a b t +=⇒=⇒=，因此22222, 4.b a b b a b b b b b b a =⇒=⇒=⇒== 【考点】指数运算，对数运算．【易错点睛】在解方程5log log 2a b b a +=时，要注意log 1b a >，若没注意到log 1b a >，方程5log log 2a b b a +=的根有两个，由于增根导致错误三、解答题21．（1）{}{}|13,|3A B x x A B x x ⋂=≤<⋃=≤；（2）[]1,2a ∈ 【解析】【分析】（1）首先求得[]()1,3,,3A B ==-∞，由此求得,A B A B ⋂⋃的值.（2）(),1R C C a a =+，由于()[],11,3a a +⊆，故113a a ≥⎧⎨+≤⎩，解得[]1,2a ∈.【详解】解：{}{}|13,|3A x x B x x =≤≤=<，（1）{}{}|13,|3A B x x A B x x ⋂=≤<⋃=≤；（2）∵{}|1C x x a x a =≤≥+或，∴{}|1R C C x a x a =<<+，∵()R C C A ⊆，∴113a a ≥⎧⎨+≤⎩，∴[]1,2a ∈．22．（1）2a =（2）17,8⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【解析】【分析】(1)依题意代数求值即可;(2)设()()121log 1022xg x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,题设条件可转化为()g x m >在[]3,4x ∈上恒成立,因此,求出()g x 的最小值即可得出结论. 【详解】 (1)()32f =-Q ,()12log 1032a ∴-=-,即211032a -⎛⎫-= ⎪⎝⎭,解得2a =;(2)设()()121log 1022xg x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,题设不等式可转化为()g x m >在[]3,4x ∈上恒成立,()g x Q 在[]3,4上为增函数,()31min2117(3)log (106)28g x g ⎛⎫∴==--=- ⎪⎝⎭,178m ∴<-, m ∴的取值范围为17,8⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查函数性质的综合应用,属于中档题.在解决不等式恒成立问题时,常分离参数,将其转化为最值问题解决.23．(1)()262f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，单调增区间为06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，2π,π3轾犏犏臌；(2)2a ∈⎣【解析】【分析】（1）由最大值和最小值求得,A B ，由最大值点和最小值点的横坐标求得周期，得ω，再由函数值（最大或最小值均可）求得ϕ，得解析式；（2）由图象变换得()g x 的解析式，确定()g x 在[0,]2π上的单调性，而()g x a =有两个解，即()g x 的图象与直线y a =有两个不同交点，由此可得．【详解】(1)由题意知,22A B A B ⎧+=⎪⎪⎨⎪-+=-⎪⎩解得A =，B =. 又22362T πππ=-=，可得2ω=.由6322f ππϕ⎛⎫⎛⎫=++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得6π=ϕ. 所以()262f x x π⎛⎫=++⎪⎝⎭，由222262k x k πππππ-≤+≤+，解得36k x k ππππ-≤≤+，k ∈Z .又[]0,x π∈，所以()f x 的单调增区间为06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，2π,π3轾犏犏臌.(2)函数()f x 的图象向左平移12π个单位长度，得到函数()g x 的图象，得到函数()g x 的表达式为()23x g x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以42,333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， ()g x 在[0,]12π是递增，在[,]122ππ上递减，要使得()g x a =在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有2个不同的实数解，即()y g x =的图像与y a =有两个不同的交点，所以2a ∈⎣. 【点睛】本题考查求三角函数解析式，考查图象变换，考查三角函数的性质．“五点法”是解题关键，正弦函数的性质是解题基础．24．(1)2a =，单调递减，理由见解析；(2) 07m << 【解析】【分析】（1）代入(3)1f =解得a ，可由复合函数单调性得出函数的单调性，也可用定义证明；（2）由对数函数的单调性化简不等式，再由分母为正可直接去分母变为整式不等式，从而转化为求函数的最值．【详解】(1)由()3log 4log 2log 21a a a f =-==，所以2a =. 函数()f x 的定义域为()1,+∞，()()()222212log 1log 1log log 111x f x x x x x +⎛⎫=+--==+ ⎪--⎝⎭. 因为211y x =+-在()1,+∞上是单调递减， (注:未用定义法证明不扣分)所以函数()f x 在定义域()1,+∞上为单调递减函数.(2)由(1)可知()()()221log log 117x mf x x x x +=>---，[]2,6x ∈，所以()()10117x mx x x +>>---. 所以()()()2201767316m x x x x x <<+-=-++=--+在[]2,6x ∈恒成立.当[]2,6x ∈时，函数()2316y x =--+的最小值min 7y =.所以07m <<. 【点睛】本题考查对数函数的性质，考查不等式恒成立，解题关键是问题的转化．由对数不等式转化为整式不等式，再转化为求函数最值． 25．（1）722⎛⎤ ⎥⎝⎦，；（2）342p p -或．【解析】【分析】由题意可得{}213B x p x p =-≤≤+,（1）当12p =时，结合交集的定义计算交集即可；（2）由题意可知B A ⊆.分类讨论B =∅和B ≠∅两种情况即可求得实数p 的取值范围.【详解】因为{}213U B x x p x p =-+，或ð，所以(){}213UUB B x p x p ==-≤≤+痧,（1）当12p =时，702B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，，所以7=22A B ⎛⎤⋂ ⎥⎝⎦，, （2）当A B B ⋂=时，可得B A ⊆.当B =∅时，2p -1＞p +3，解得p ＞4，满足题意；当B ≠∅时，应满足21331p p p -≤+⎧⎨+<-⎩或213212p p p -≤+⎧⎨->⎩解得44p p ≤⎧⎨<-⎩或432p p ≤⎧⎪⎨>⎪⎩；即4p <-或342p <≤.综上，实数p 的取值范围342p p -或．【点睛】本题主要考查交集的定义，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.26．（Ⅰ）12,020518,203010t t P t t ⎧+<≤⎪⎪=⎨⎪-+<≤⎪⎩；（Ⅱ）40Q t =-+；（Ⅲ）第15天交易额最大，最大值为125万元．【解析】【分析】（Ⅰ）由一次函数解析式可得P 与时间t 所满足的函数解析式；（Ⅱ）设Q kt b =+，代入已知数据可得；（Ⅲ）由y QP =可得，再根据分段函数性质分段求得最大值，然后比较即得．【详解】（Ⅰ）当020t <≤时，设11P k t b =+，则1112206b k b =⎧⎨+=⎩，解得11215b k =⎧⎪⎨=⎪⎩，当2030t ≤≤时，设22P k t b =+，则2222206305k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得228110b k =⎧⎪⎨=-⎪⎩所以12,020518,203010t t P t t ⎧+<≤⎪⎪=⎨⎪-+<≤⎪⎩．（Ⅱ）设Q kt b =+，由题意4361030k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得140k b =-⎧⎨=⎩，所以40Q t =-+．（Ⅲ）由（Ⅰ）（Ⅱ）得1(2)(40),02051(8)(40),203010t t t y t t t ⎧+-+<≤⎪⎪=⎨⎪-+-+<≤⎪⎩即221680,0205112320,203010t t t y t t t ⎧-++≤≤⎪⎪=⎨⎪-+<≤⎪⎩，当020t <≤时，2211680(15)12555y t t t =-++=--+，15t =时，max 125y =，当20t 30<≤时，221112320(60)401010y t t t =-+=--，它在(20,30]上是减函数，所以21(2060)4012010y <⨯--=．综上，第15天交易额最大，最大值为125万元．【点睛】本题考查函数模型应用，解题时只要根据所给函数模型求出函数解析式，然后由解析式求得最大值．只是要注意分段函数必须分段计算最大值，然后比较可得．。

2020-2021上海位育初级中学高一数学上期末一模试卷带答案

2020-2021上海位育初级中学高一数学上期末一模试卷带答案一、选择题1．已知2log e =a ，ln 2b =，121log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系为 A ．a b c >> B ．b a c >>C ．c b a >>D ．c a b >>2．已知集合21,01,2A =--｛，，｝，{}|(1)(2)0B x x x =-+<,则A B =I （）A ．{}1,0-B ．{}0,1C ．{}1,0,1-D ．{}0,1,23．已知4213332,3,25a b c ===，则 A ．b a c << B ．a b c << C ．b c a <<D ．c a b <<4．已知函数()()2,211,22x a x x f x x ⎧-≥⎪=⎨⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎩, 满足对任意的实数x 1≠x 2都有()()1212f x f x x x --＜0成立，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，2)B ．13,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．(－∞，2]D ．13,28⎡⎫⎪⎢⎣⎭5．定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的1x ，212[0,)()x x x ∈+∞≠，有2121()()0f x f x x x -<-，则（）．A ．(3)(2)(1)f f f <-<B ．(1)(2)(3)f f f <-<C ．(2)(1)(3)f f f -<<D ．(3)(1)(2)f f f <<-6．函数()f x 的反函数图像向右平移1个单位，得到函数图像C ，函数()g x 的图像与函数图像C 关于y x =成轴对称，那么()g x =（） A ．(1)f x +B ．(1)f x -C ．()1f x +D ．()1f x -7．某工厂产生的废气必须经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过原污染物总量的0.5%.已知在过滤过程中的污染物的残留数量P （单位：毫克/升）与过滤时间t（单位：小时）之间的函数关系为0ktP P e -=⋅（k 为常数，0P 为原污染物总量）.若前4个小时废气中的污染物被过滤掉了80%，那么要能够按规定排放废气，还需要过滤n 小时，则正整数n 的最小值为（）（参考数据：取5log 20.43=） A ．8B ．9C ．10D ．148．用二分法求方程的近似解，求得3()29f x x x =+-的部分函数值数据如下表所示：则当精确度为0.1时，方程3290x x +-=的近似解可取为 A ．1.6B ．1.7C ．1.8D ．1.99．已知()y f x =是以π为周期的偶函数，且0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()1sin f x x =-，则当5,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x =（） A ．1sin x +B ．1sin x -C ．1sin x --D ．1sin x -+10．已知01a <<，则方程log xa a x =根的个数为（） A ．1个B ．2个C ．3个D ．1个或2个或3根11．下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x 的定义域和值域相同的是( ) A ．y ＝x B ．y ＝lg xC ．y ＝2xD ．y ＝x12．对数函数且与二次函数在同一坐标系内的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．二、填空题13．定义在R 上的奇函数f （x ）在（0，+∞）上单调递增，且f （4）=0，则不等式f （x ）≥0的解集是___．14．已知幂函数(2)my m x =-在(0,)+∞上是减函数，则m =__________． 15．已知函数2()log f x x =，定义()(1)()f x f x f x ∆=+-，则函数()()(1)F x f x f x =∆++的值域为___________.16．设,,x y z R +∈，满足236x y z ==，则112x z y+-的最小值为__________. 17．已知2()y f x x =+是奇函数，且f （1）1=，若()()2g x f x =+，则(1)g -=___．18．若存在实数(),m n m n <，使得[],x m n ∈时，函数()()2log xa f x at =+的值域也为[],m n ，其中0a >且1a ≠，则实数t 的取值范围是______.19．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且()f x 在区间[0,)+∞上是减函数，则()()2f x f ≤的解集是________．20．已知函数()f x 为R 上的增函数，且对任意x ∈R 都有()34x f f x ⎡⎤-=⎣⎦，则()4f =______.三、解答题21．已知函数2()3f x x mx n =-+（0m >）的两个零点分别为1和2. （1）求m ，n 的值；（2）令()()f x g x x=，若函数()()22x xF x g r =-⋅在[]1,1x ∈-上有零点，求实数r 的取值范围.22．已知二次函数满足2()(0)f x ax bx c a =++≠，(1)()2,f x f x x +-= 且(0) 1.f =（1）求函数()f x 的解析式（2）求函数()f x 在区间[1,1]-上的值域；23．已知集合{}{}{}|2318,|215,|1A x x B x x C x x a x a =≤-≤=-<=≤≥+或．（1）求,A B A B I U ；（2）若()R C C A ⊆，求实数a 的取值范围．24．为弘扬中华传统文化，学校课外阅读兴趣小组进行每日一小时的“经典名著”和“古诗词”的阅读活动. 根据调查，小明同学阅读两类读物的阅读量统计如下：小明阅读“经典名著”的阅读量()f t （单位：字）与时间t （单位：分钟）满足二次函数关系，部分数据如下表所示； t0 10 20 30 ()f t 0270052007500阅读“古诗词”的阅读量()g t （单位：字）与时间t （单位：分钟）满足如图1所示的关系.（1）请分别写出函数()f t 和()g t 的解析式；（2）在每天的一小时课外阅读活动中，小明如何分配“经典名著”和“古诗词”的阅读时间，使每天的阅读量最大，最大值是多少？25．泉州是全国休闲食品重要的生产基地,食品产业是其特色产业之一,其糖果产量占全国的20%.现拥有中国驰名商标17件及“全国食品工业强县”2个(晋江､惠安)等荣誉称号,涌现出达利､盼盼､友臣､金冠､雅客､安记､回头客等一大批龙头企业.已知泉州某食品厂需要定期购买食品配料,该厂每天需要食品配料200千克,配料的价格为1元/千克,每次购买配料需支付运费90元.设该厂每隔()*x x ∈N天购买一次配料.公司每次购买配料均需支付保管费用,其标准如下:6天以内(含6天),均按10元/天支付;超出6天,除支付前6天保管费用外,还需支付剩余配料保管费用,剩余配料按3(5)200x -元/千克一次性支付. (1)当8x =时,求该厂用于配料的保管费用P 元;(2)求该厂配料的总费用y (元)关于x 的函数关系式,根据平均每天支付的费用,请你给出合理建议,每隔多少天购买一次配料较好. 附:80()f x x x=+在单调递减,在)+∞单调递增. 26．设全集U =R ，集合{}13A x x =-≤<，{}242B x x x =-≤-．（1）求()U A C B ⋂；（2）若函数()lg(2)f x x a =+的定义域为集合C ，满足A C ⊆，求实数a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】分析：由题意结合对数函数的性质整理计算即可求得最终结果. 详解：由题意结合对数函数的性质可知：2log 1a e =>，()21ln 20,1log b e ==∈，12221log log 3log 3c e ==>，据此可得：c a b >>. 本题选择D 选项.点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．2．A解析：A 【解析】【分析】【详解】由已知得{}|21B x x =-<<，因为21,01,2A =--｛，，｝，所以{}1,0A B ⋂=-，故选A ．3．A解析：A 【解析】【分析】【详解】因为422233332=4,3,5a b c ===，且幂函数23y x =在(0,)+∞ 上单调递增，所以b <a <c . 故选A.点睛：本题主要考查幂函数的单调性及比较大小问题，解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间()()(),0,0,1,1,-∞+∞ ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用；三是借助于中间变量比较大小.4．B解析：B 【解析】【分析】【详解】试题分析：由题意有,函数()f x 在R 上为减函数,所以有220{1(2)2()12a a -<-⨯≤-,解出138a ≤,选B. 考点：分段函数的单调性. 【易错点晴】本题主要考查分段函数的单调性,属于易错题. 从题目中对任意的实数12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-成立，得出函数()f x 在R 上为减函数,减函数图象特征:从左向右看,图象逐渐下降,故在分界点2x =处,有21(2)2()12a -⨯≤-,解出138a ≤. 本题容易出错的地方是容易漏掉分界点2x =处的情况.5．A解析：A 【解析】由对任意x 1，x 2 ∈ [0，＋∞)(x 1≠x 2)，有()()1212f x f x x x -- <0，得f (x )在[0，＋∞)上单独递减，所以(3)(2)(2)(1)f f f f <=-<，选A.点睛：利用函数性质比较两个函数值或两个自变量的大小，首先根据函数的性质构造某个函数，然后根据函数的奇偶性转化为单调区间上函数值，最后根据单调性比较大小，要注意转化在定义域内进行6．D解析：D 【解析】【分析】首先设出()y g x =图象上任意一点的坐标为(,)x y ，求得其关于直线y x =的对称点为(,)y x ，根据图象变换，得到函数()f x 的图象上的点为(,1)x y +，之后应用点在函数图象上的条件，求得对应的函数解析式，得到结果. 【详解】设()y g x =图象上任意一点的坐标为(,)x y ，则其关于直线y x =的对称点为(,)y x ，再将点(,)y x 向左平移一个单位，得到(1,)y x +，其关于直线y x =的对称点为(,1)x y +，该点在函数()f x 的图象上，所以有1()y f x +=，所以有()1y f x =-，即()()1g x f x =-，故选：D. 【点睛】该题考查的是有关函数解析式的求解问题，涉及到的知识点有点关于直线的对称点的求法，两个会反函数的函数图象关于直线y x =对称，属于简单题目.7．C解析：C 【解析】【分析】根据已知条件得出415ke-=，可得出ln 54k =，然后解不等式1200kt e -≤，解出t 的取值范围，即可得出正整数n 的最小值. 【详解】由题意，前4个小时消除了80%的污染物，因为0ktP P e -=⋅，所以()400180%kP Pe --=，所以40.2k e -=，即4ln0.2ln5k -==-，所以ln 54k =，则由000.5%ktP P e -=，得ln 5ln 0.0054t =-，所以()23554ln 2004log 2004log 52ln 5t ===⨯5812log 213.16=+=，故正整数n 的最小值为14410-=.故选：C. 【点睛】本题考查指数函数模型的应用，涉及指数不等式的求解，考查运算求解能力，属于中等题.8．C解析：C 【解析】【分析】利用零点存在定理和精确度可判断出方程的近似解. 【详解】根据表中数据可知()1.750.140f =-<，()1.81250.57930f =>，由精确度为0.1可知1.75 1.8≈，1.8125 1.8≈，故方程的一个近似解为1.8，选C. 【点睛】不可解方程的近似解应该通过零点存在定理来寻找，零点的寻找依据二分法（即每次取区间的中点，把零点位置精确到原来区间的一半内），最后依据精确度四舍五入，如果最终零点所在区间的端点的近似值相同，则近似值即为所求的近似解.9．B解析：B 【解析】【分析】【详解】因为()y f x =是以π为周期，所以当5,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()3πf x f x =-，此时13,02x -π∈-π⎡⎤⎢⎥⎣⎦,又因为偶函数，所以有()()3π3πf x f x -=-, 3π0,2x π⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦,所以()()3π1sin 3π1sin f x x x -=--=-,故()1sin f x x =-，故选B.10．B解析：B 【解析】【分析】在同一平面直角坐标系中作出()xf x a =与()log a g x x =的图象，图象的交点数目即为方程log xa a x =根的个数. 【详解】作出()xf x a =，()log a g x x =图象如下图：由图象可知：()(),f x g x 有两个交点，所以方程log xa a x =根的个数为2.故选：B . 【点睛】本题考查函数与方程的应用，着重考查了数形结合的思想，难度一般.(1)函数()()()h x f x g x =-的零点数⇔方程()()f x g x =根的个数⇔()f x 与()g x 图象的交点数；(2)利用数形结合可解决零点个数、方程根个数、函数性质研究、求不等式解集或参数范围等问题.11．D解析：D 【解析】试题分析:因函数lg 10xy =的定义域和值域分别为,故应选D ．考点：对数函数幂函数的定义域和值域等知识的综合运用．12．A解析：A 【解析】【分析】根据对数函数的单调性，分类讨论，结合二次函数的图象与性质，利用排除法，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，若，则在上单调递减，又由函数开口向下，其图象的对称轴在轴左侧，排除C ，D.若，则在上是增函数，函数图象开口向上，且对称轴在轴右侧，因此B 项不正确，只有选项A 满足.本题主要考查了对数函数与二次参数的图象与性质，其中解答中熟记二次函数和对数的函数的图象与性质，合理进行排除判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.二、填空题13．-40∪4+∞）【解析】【分析】由奇函数的性质可得f （0）=0由函数单调性可得在（04）上f （x ）＜0在（4+∞）上f （x ）＞0结合函数的奇偶性可得在（-40）上的函数值的情况从而可得答案【详解】根解析： [-4，0]∪[4，+∞）【解析】【分析】由奇函数的性质可得f （0）=0，由函数单调性可得在（0，4）上，f （x ）＜0，在（4，+∞）上，f （x ）＞0，结合函数的奇偶性可得在（-4，0）上的函数值的情况，从而可得答案. 【详解】根据题意，函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，则f （0）=0，又由f （x ）在区间（0，+∞）上单调递增，且f （4）=0，则在（0，4）上，f （x ）＜0，在（4，+∞）上，f （x ）＞0，又由函数f （x ）为奇函数，则在（-4，0）上，f （x ）＞0，在（-∞，-4）上，f （x ）＜0，若f （x ）≥0，则有-4≤x≤0或x≥4，则不等式f （x ）≥0的解集是[-4，0]∪[4，+∞）；故答案为：[-4，0]∪[4，+∞）．【点睛】本题考查函数的单调性和奇偶性的综合应用，属于基础题．14．-3【解析】【分析】根据函数是幂函数可求出m 再根据函数是减函数知故可求出m 【详解】因为函数是幂函数所以解得或当时在上是增函数；当时在上是减函数所以【点睛】本题主要考查了幂函数的概念幂函数的增减性属于解析：-3 【解析】【分析】根据函数是幂函数可求出m,再根据函数是减函数知0m <，故可求出m. 【详解】因为函数是幂函数所以||21m -=，解得3m =-或3m =. 当3m =时，3y x =在(0,)+∞上是增函数；当3m =-时，y x =在(0,)+∞上是减函数，所以3m =-.本题主要考查了幂函数的概念，幂函数的增减性，属于中档题.15．【解析】【分析】根据题意以及对数的运算性质得出进而可由基本不等式可得出从而可得出函数的值域【详解】由题意即由题意知由基本不等式得（当且仅当时取等号）所以（当且仅当时取等号）即所以的值域为故答案为：【解析：[)2,+∞【解析】【分析】根据题意以及对数的运算性质得出()21log 2F x x x ⎛⎫=++⎪⎝⎭，进而可由基本不等式可得出124x x ++≥，从而可得出函数()F x 的值域. 【详解】由题意，()()()()22212log 1log F x f x f x x x =+-=+-，即()222211log log 2x x F x x x x ++⎛⎫==++ ⎪⎝⎭，由题意知，0x >，由基本不等式得12x x +≥=（当且仅当1x =时取等号），所以124x x ++≥（当且仅当1x =时取等号），即221log 2log 42x x ⎛⎫++≥= ⎪⎝⎭，所以()F x 的值域为[)2,+∞. 故答案为：[)2,+∞. 【点睛】本题考查了函数值域的定义及求法，对数的运算性质，基本不等式的运用，考查了计算能力，属于基础题.16．【解析】【分析】令将用表示转化为求关于函数的最值【详解】令则当且仅当时等号成立故答案为:【点睛】本题考查指对数间的关系以及对数换底公式注意基本不等式的应用属于中档题解析：【解析】【分析】令236x y z t ===，将,,x y z 用t 表示，转化为求关于t 函数的最值. 【详解】,,x y z R +∈，令1236x y z t ==>=，则236log ,log ,log ,x t y t z t ===11log 3,log 6t t y z==， 21122log log 222t x t z y+-=+≥，当且仅当22x =时等号成立. 故答案为:22. 【点睛】本题考查指对数间的关系，以及对数换底公式，注意基本不等式的应用，属于中档题.17．-1【解析】试题解析：因为是奇函数且所以则所以考点：函数的奇偶性解析：-1 【解析】试题解析：因为2()y f x x =+是奇函数且(1)1f =，所以，则，所以．考点：函数的奇偶性．18．【解析】【分析】由已知可构造有两不同实数根利用二次方程解出的范围即可【详解】为增函数且时函数的值域也为相当于方程有两不同实数根有两不同实根即有两解整理得：令有两个不同的正数根只需即可解得故答案为：【解析：10,4⎛⎫⎪⎝⎭【解析】【分析】由已知可构造()2log xa a t x +=有两不同实数根，利用二次方程解出t 的范围即可.【详解】()2()log x a f x a t =+Q 为增函数，且[],x m n ∈时，函数()()2log xa f x at =+的值域也为[],m n ，(),()f m m f n n ∴==，∴相当于方程()f x x =有两不同实数根,()2log x a a t x ∴+=有两不同实根，即2x x a a t =+有两解，整理得：20x x a a t -+=，令,0xm a m => ，20m m t ∴-+=有两个不同的正数根，∴只需1400t t ∆=->⎧⎨>⎩即可，解得104t <<，故答案为：10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查了对数函数的单调性，对数方程，一元二次方程有两正根，属于中档题.19．【解析】【分析】由题意先确定函数在上是增函数再将不等式转化为即可求得的取值范围【详解】函数是定义在上的偶函数且在区间上是减函数函数在区间上是增函数或解集为故答案为：【点睛】本题考查偶函数与单调性结合解析：(][)22-∞-⋃+∞，，【解析】【分析】由题意先确定函数()f x 在(),0-∞上是增函数，再将不等式转化为()()112f f ⨯≤即可求得x 的取值范围. 【详解】Q 函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且()f x 在区间[0,)+∞上是减函数，∴函数()f x 在区间(),0-∞上是增函数()()2f x f ≤Q()()2f x f ∴≤2x ∴≥ 2x ∴≥或2x -≤∴解集为(][),22,-∞-+∞U故答案为：(][),22,-∞-+∞U 【点睛】本题考查偶函数与单调性结合解抽象函数不等式问题，直观想象能力，属于中等题型.20．【解析】【分析】采用换元法结合函数的单调性计算出的解析式从而即可求解出的值【详解】令所以又因为所以又因为是上的增函数且所以所以所以故答案为：【点睛】本题考查用换元法求解函数的解析式并求值难度一般已知解析：82【解析】【分析】采用换元法结合函数的单调性计算出()f x 的解析式，从而即可求解出()4f 的值.令()3xf x t -=，所以()3xf x t =+，又因为()4f t =，所以34t t +=，又因为34ty t =+-是R 上的增函数且1314+=，所以1t =，所以()31xf x =+，所以()443182f =+=.故答案为：82. 【点睛】本题考查用换元法求解函数的解析式并求值，难度一般.已知()()f g x 的解析式，可考虑用换元的方法（令()g x t =）求解出()f x 的解析式.三、解答题21．（1）1m =，2n =；（2）1,38⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）利用二次函数的零点，代入方程，化简求解即可；（2）求出()g x 得表示，由函数()()22xxF x g r =-⋅在[]1,1x ∈-上有零点，可得21112()322x xr =+⋅-⋅，设12x t =，代入可得r 的取值范围. 【详解】解：（1）由函数2()3f x x mx n =-+（0m >）的两个零点分别为1和2，可得130460m n m n -+=⎧⎨-+=⎩，可得1m =，2n =；（2）由题意得：()2()3f x g x x x x==+-，函数()()22x x F x g r =-⋅在[]1,1x ∈-上有零点，即()022xxg r -⋅=在[]1,1x ∈-有解，即21112()322x x r =+⋅-⋅在[]1,1x ∈-有解，设12x t =，有[]1,1x ∈-，可得1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，2231r t t =⋅-⋅+，即2231r t t =⋅-⋅+在1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦有解，可得：223112312(),(2)482r t t t t =⋅-⋅+=--≤≤，可得138r -≤≤，故r 的取值范围为1,38⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.本题考查了二次函数的性质，考查了函数的单调性、最值问题，考查换元思想，属于中档题.22．（1）2()1f x x x =-+；（2）3[,3]4【解析】【分析】（1）由()01f =得到c 的值，然后根据(1)()2f x f x x +-=得到关于,a b 的方程组求解出,a b 的值，即可求出()f x 的解析式；（2）判断()f x 在[1,1]-上的单调性，计算出()()max min ,f x f x ，即可求解出值域. 【详解】（1）因为()01f =，所以1c =，所以()()210f x ax bx a =++≠；又因为()()12f x f x x +-=，所以()()()2211112a x b x ax bx x ⎡⎤++++-++=⎣⎦，所以22ax a b x ++=，所以220a a b =⎧⎨+=⎩，所以11a b =⎧⎨=-⎩，即()21f x x x =-+；（2）因为()21f x x x =-+，所以()f x 对称轴为12x =且开口向上，所以()f x 在11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭递减，在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦递增，所以()min 111312424f x f ⎛⎫==-+= ⎪⎝⎭，又()()211113f -=-++=，()211111f =-+=，所以()max 3f x =，所以()f x 在[]1,1-上的值域为：3,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】（1）利用待定系数法求解二次函数的解析式关键是：能根据已知函数类型，将条件中等量关系转化为系数方程组，求解出系数值；（2）求解二次函数在某个区间上的值域，可先由对称轴和开口方向分析单调性，然后求解出函数最值，即可确定出函数值域.23．（1）{}{}|13,|3A B x x A B x x ⋂=≤<⋃=≤；（2）[]1,2a ∈ 【解析】【分析】（1）首先求得[]()1,3,,3A B ==-∞，由此求得,A B A B ⋂⋃的值.（2）(),1R C C a a =+，由于()[],11,3a a +⊆，故113a a ≥⎧⎨+≤⎩，解得[]1,2a ∈.【详解】解：{}{}|13,|3A x x B x x =≤≤=<，（1）{}{}|13,|3A B x x A B x x ⋂=≤<⋃=≤；（2）∵{}|1C x x a x a =≤≥+或，∴{}|1R C C x a x a =<<+，∵()R C C A ⊆，∴113a a ≥⎧⎨+≤⎩，∴[]1,2a ∈．24．（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）设f （t ）=2a ?t bt +，代入（10，2700）与（30，7500），解得a 与b. 令()g t ＝kt ，(040)t ≤<,代入（40，8000），解得k,再令()g t ＝mt +b ，()4060t ≤≤,代入（40，8000），（60，11000），解得m ，b 的值．即可得到()f t 和()g t 的解析式；（2）由题意知每天的阅读量为()()()h t f t g t =+=28012000t t -++，分020t ≤≤和2060t <≤两种情况，分别求得最大值，比较可得结论. 【详解】（1）因为f （0）=0，所以可设f （t ）=2a ?t bt +，代入（10，2700）与（30，7500），解得a=-1,b=280.所以()2280f t t t =-+ ,又令()g t ＝kt ，(040)t ≤<,代入（40，8000），解得k=200,令()g t ＝mt +b ，()4060t ≤≤,代入（40，8000），（60，11000），解得m=150,b=2000，所以 ()()200(040)150********t t g t t t ≤<⎧=⎨+≤≤⎩. （2）设小明对“经典名著”的阅读时间为()060t t ≤≤，则对“古诗词”的阅读时间为60t -，① 当06040t ≤-<，即2060t <≤时，()()()()228020060h t f t g t t t t =+=-++-=28012000t t -++ =()24013600t --+，所以当40t =时，()h t 有最大值13600．当406060t ≤-≤，即020t ≤≤时，h ()()()()2280150602000t f t g t t t t =+=-++-+=213011000t t -++，因为()h t 的对称轴方程为65t =，所以当020t ≤≤时，()h t 是增函数，所以当20t =时，()h t 有最大值为13200. 因为 13600>13200，所以阅读总字数()h t 的最大值为13600，此时对“经典名著”的阅读时间为40分钟，对“古诗词”的阅读时间为20分钟．【点睛】本题考查了分段函数解析式的求法及应用，二次函数的图象和性质，难度中档． 25．(1)78;(2)221090,063167240,6x x y x x x +≤≤⎧=⎨++>⎩,N x ∈,9天. 【解析】【分析】（1）由题意得第6天后剩余配料为(86)200400-⨯=(千克),从而求得P ；（2）由题意得221090,063167240,6x x y x x x +≤≤⎧=⎨++>⎩其中N x ∈. 求出分段函数取得最小值时，对应的x 值，即可得答案. 【详解】(1)第6天后剩余配料为(86)200400-⨯=(千克),所以3(85)6040078200P ⨯-=+⨯=; (2)当6x ≤时,200109021090y x x x =++=+,当6x >时,23(5)2009060200(6)3167240200x y x x x x -=+++⋅⋅-=++, 所以221090,063167240,6x x y x x x +≤≤⎧=⎨++>⎩其中N x ∈. 设平均每天支付的费用为()f x 元, 当06x ≤≤时,2109090()210x f x x x+==+, ()f x 在[0,6]单调递减,所以min ()(6)225f x f ==;当6x >时,2316724080()3167x x f x x x x ++⎛⎫==++ ⎪⎝⎭,可知()f x 在单调递减,在)+∞单调递增,又89<<,(8)221f =,2(9)2203f =,所以min 2()(9)2203f x f == 综上所述,该厂9天购买一次配料才能使平均每天支付的费用最少. 【点睛】本题考查构建函数模型解决实际问题、函数的单调性和最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意对勾函数图象的应用.26．（1）{}23x x <<（2）()2,+∞ 【解析】【分析】（1）先化简集合B ，再根据集合的交并补运算求解即可；（2）函数()lg(2)f x x a =+定义域对应集合可化简为2a C x x ⎧⎫=>-⎨⎬⎩⎭，又A C ⊆，故由包含关系建立不等式即可求解；【详解】（1）由题知，{}2B x x =≤，{}2U C B x x ∴=>{}13A x x =-≤<Q(){}23UA CB x x ∴⋂=<<（2）函数()lg(2)f x x a =+的定义域为集合2a C x x ⎧⎫=>-⎨⎬⎩⎭，A C ⊆Q ，12a∴-<-， 2a ∴>.故实数a 的取值范围为()2,+∞. 【点睛】本题考查集合的交并补的混合运算，由集合的包含关系求参数范围，属于基础题。

2020-2021学年上海市徐汇区西南位育中学高一(下)期中数学试卷

2020-2021学年上海市徐汇区西南位育中学高一（下）期中数学试卷试题数：27，总分：1501.（填空题，5分）扇形的半径为2，弧长为4，则该扇形的面积为___ ．2.（填空题，5分）已知θ=216°，它用弧度制表示应为___ 弧度．3.（填空题，5分）函数f（x）=lg（2x-3）的定义域为___ ．4.（填空题，5分）已知角α的终边经过点P（x，-6），且tanα=- 35，则x的值___ ．5.（填空题，5分）幂函数f（x）的图像经过点A（16，4），则幂函数f（x）的解析式为___ ．6.（填空题，5分）已知sinx= 23，x∈（π2，π），则角x=___ （用反三角函数符号表示）．7.（填空题，5分）函数f（x）=3cos2x+1（x∈R）的对称轴方程为___ ．8.（填空题，5分）若tanα= 12，则cos（2 α+π2）=___ ．9.（填空题，5分）如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD=75°，∠BDC=60°，CD=40（米），并在点C测得塔顶A的仰角为30°．则塔高AB=___ （米）（保留根式）．10.（填空题，5分）已知cos(θ−π3)=35，θ∈(π2，π)，则cosθ=___ ．11.（填空题，5分）已知函数g（x）的图象与函数f(x)=log2(3x−1)的图象关于直线y=x对称，则g（3）=___ ．12.（填空题，5分）已知函数f(x)=1x+cosx，给出下列结论：① f（x）在（0，π]上无最大值；② 设F（x）=f（x）-f（-x），则F（x）为偶函数；③ f（x）在区间（0，2π）上有两个零点．其中正确结论的序号为 ___ .（写出所有正确结论的序号）13.（单选题，5分）在平面直角坐标系中，若角α的顶点在原点，始边在x轴的正半轴，终边在第二象限，则下列三角函数值中大于零的是（）A. sin(α+π2)B. cos(α+π2)C.sin（π+α）D.cos（π+α）14.（单选题，5分）“tanx=- √33”是“x= 5π6”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件15.（单选题，5分）设a为非零实数，则关于函数f（x）=x2+a|x|+1，x∈R的以下性质中，错误的是（）A.函数f（x）一定是个偶函数B.函数f（x）一定没有最大值C.区间[0，+∞）一定是f（x）的单调递增区间D.函数f（x）不可能有三个零点16.（单选题，5分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（其中ω＞0，|φ|＜π2），−π4为函数f（x）的一个零点，x=π4是函数f（x）图像的一条对称轴，且函数f（x）在区间(π18，5π36)上单调，则ω的最大值为（）A.8B.9C.10D.1117.（问答题，10分）已知tanα=13，tanβ=12，且α，β∈(0，π4)．（1）求tan2α的值；（2）求2α-β值．18.（问答题，12分）已知函数f(x)=√2sin(x+π4)−13sinx．（Ⅰ）求函数f（x）的定义域；（Ⅱ）若f（x）=2，求sin2x的值．19.（问答题，12分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且a=6，b=14，．B=2π3（1）求sinA的值和△ABC外接圆半径；（2）求△ABC的面积．20.（问答题，12分）已知函数f（x）=（sin2x+cos2x）2-2sin22x（x∈R）．（1）求函数f（x）的最小正周期；个单位长度，再向上平移（2）若函数y=g（x）的图像是由函数y=f（x）的图像向右平移π81个单位长度得到的，求函数y=g（x）的单调递增区间．21.（问答题，12分）已知函数f(x)=2−4．3x+1（1）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；恒成立，求实数u的最大值．（2）对任意的x∈[1，5]，不等式f(x)≥u3x22.（问答题，12分）已知函数f（x）=|sinx|+|cosx（x∈R），函数g（x）=4sinxcosx+k（x∈R），设F（x）=f（x）-g（x）．是函数f（x）的一个周期：（1）求证：π2，π]上的最大值；（2）当k=0时，求F（x）在区间[π2（3）若函数F（x）在区间（0，π）内恰好有奇数个零点，求实数k的值．）上的函数y=3√3sinx的图象与y=3cos2x+2的23.（填空题，0分）设定义在区间（0，π2图象交于点P，则点P到x轴的距离为 ___ ．24.（填空题，0分）函数f（x）=x+ √1−x2（-1≤x≤1）的值域为 ___ ．25.（填空题，0分）在钝角三角形ABC中，1tanA +1tanB+2tanC=0，则tanC的最大值是___ ．26.（填空题，0分）设a1、a2∈R，且12+sina1+12+sin(2a2)=2，则|10π-a1-a2|的最小值等于 ___ ．27.（填空题，0分）不等式sin2πx•|sin2πx|＞cos2πx•|cos2πx|的解集为 ___ ．2020-2021学年上海市徐汇区西南位育中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：27，总分：1501.（填空题，5分）扇形的半径为2，弧长为4，则该扇形的面积为___ ．【正确答案】：[1]4【解析】：利用扇形的面积计算公式即可得出．【解答】：解：因为扇形的半径r=2，弧长l=4，根据扇形的面积公式得，S= 12 lr= 12× 4×2=4．故答案为：4．【点评】：本题考查了扇形的面积计算公式，属于基础题．2.（填空题，5分）已知θ=216°，它用弧度制表示应为___ 弧度．【正确答案】：[1] 65π【解析】：根据角度与弧度的换算公式，即可得解．【解答】：解：216°= 216°180°π rad= 65πrad．故答案为：65π．【点评】：本题考查弧度制，熟练掌握角度和弧度的换算公式是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题．3.（填空题，5分）函数f（x）=lg（2x-3）的定义域为___ ．【正确答案】：[1]（32，+∞）【解析】：根据对数函数的真数大于0，求出x的取值范围，即是定义域．【解答】：解：由对数的真数大于0，可得2x-3＞0，解得x＞32，故函数的定义域为（32，+∞），故答案为：（32，+∞）【点评】：本题考查了求函数的定义域的问题，解题时应根据对数函数的真数大于0，求出定义域，是基础题．4.（填空题，5分）已知角α的终边经过点P（x，-6），且tanα=- 35，则x的值___ ．【正确答案】：[1]10【解析】：由于tanα=yx，可以得到关于x的方程，求解即可．【解答】：解：由三角函数的定义可知，tanα=yx = −6x= −35，所以x=10．故答案为：10．【点评】：本题考查任意角的三角函数的定义，是基础题．5.（填空题，5分）幂函数f（x）的图像经过点A（16，4），则幂函数f（x）的解析式为___ ．【正确答案】：[1] f(x)=x 12（x≥0）【解析】：由题意利用幂函数的定义和性质，用待定系数法求出幂函数的解析式．【解答】：解：∵幂函数f（x）=xα的图像经过点A（16，4），∴16α=4，∴α= 12，故f(x)=x 12（x≥0），故答案为：f(x)=x 12（x≥0）．【点评】：本题主要考查幂函数的定义和性质，属于基础题．6.（填空题，5分）已知sinx= 23，x∈（π2，π），则角x=___ （用反三角函数符号表示）．【正确答案】：[1] π−arcsin23【解析】：本题是一个知道三角函数值及角的取值范围，求角的问题，由于本题中所涉及的角不是一个特殊角，故需要用反三角函数表示出答案【解答】：解：∵sinx= 23，x∈（π2，π），∴x=π-arcsin 23．故答案为：π−arcsin23．【点评】：本题考查反三角函数的运用，解题的关键理解反三角函数的定义，用正确的形式表示出符号条件的角，本题重点是理解反三角函数定义，难点表示出符合条件的角，反三角函数在新教材省份已经不是高中数学学习内容7.（填空题，5分）函数f（x）=3cos2x+1（x∈R）的对称轴方程为___ ．【正确答案】：[1]x= kπ2（k∈Z）【解析】：利用余弦函数的对称轴方程列式求解即可．【解答】：解：函数f（x）=3cos2x+1，令2x=kπ，k∈Z，解得x= kπ2（k∈Z），所以函数f（x）的对称轴方程为x= kπ2（k∈Z）．故答案为：x= kπ2（k∈Z）．【点评】：本题考查了余弦函数图象与性质的应用，余弦函数对称轴方程的应用，考查了逻辑推理能力与转化化归能力，属于基础题．8.（填空题，5分）若tanα= 12，则cos（2 α+π2）=___ ．【正确答案】：[1]- 45【解析】：利用同角三角函数的基本关系，诱导公式，二倍角公式化简 cos（2 α+π2）为−2tanα1+tan2α，把tanα= 12代入运算求得结果．【解答】：解：∵tanα= 12，∴cos（2 α+π2）=-sin2α=-2sinαcosα= −2sinαcosα cos2α+ sin2α= −2tanα1+tan2α=- 45，故答案为- 45．【点评】：本题主要考查同角三角函数的基本关系，诱导公式，二倍角公式的应用，属于中档题．9.（填空题，5分）如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD=75°，∠BDC=60°，CD=40（米），并在点C测得塔顶A的仰角为30°．则塔高AB=___ （米）（保留根式）．【正确答案】：[1] 20√2【解析】：由已知得∠CBD=45°，CDsin∠CBD =BCsin∠BDC，从而BC=20√6，再由tan30°=ABBC=√33，能求出塔高AB．【解答】：解：因为∠BCD=75°，∠BDC=60°，所以∠CBD=45°，在△BCD中，根据正弦定理可知CDsin∠CBD =BCsin∠BDC，即40sin45°=BCsin60°，解得BC=20√6，在直角△ABC中，tan30°=ABBC =√33，所以AB=√33×20√6=20√2（米）．故答案为：20√2．【点评】：本题考查塔高的求法，是中档题，解题时要注意正弦定理的合理运用．10.（填空题，5分）已知cos(θ−π3)=35，θ∈(π2，π)，则cosθ=___ ．【正确答案】：[1] 3−4√310【解析】：先确定θ−π3的取值范围，再求得sin（θ−π3）的值，然后根据θ=（θ−π3）+ π3，结合两角和的余弦公式，即可得解．【解答】：解：因为θ∈(π2，π)，所以θ−π3∈（π6，2π3），所以sin（θ−π3）= √1−cos2(θ−π3) = 45，所以cosθ=cos[（θ−π3）+ π3]=cos（θ−π3）cos π3-sin（θ−π3）sin π3= 35× 12- 45× √32=3−4√310．故答案为：3−4√310．【点评】：本题考查三角函数的求值，熟练掌握两角和的余弦公式，同角三角函数的平方关系是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题．11.（填空题，5分）已知函数g（x）的图象与函数f(x)=log2(3x−1)的图象关于直线y=x 对称，则g（3）=___ ．【正确答案】：[1]2【解析】：利用反函数的定义f（x）=3得x=2，所以f（2）=3，即g（3）=2．【解答】：解：∵函数g（x）的图象与函数f(x)=log2(3x−1)的图象关于直线y=x对称，∴对于函数f(x)=log2(3x−1)，令f（x）=3得：log2（3x-1）=3，∴3x-1=23=8，∴x=2，∴f（2）=3，即g（3）=2，故答案为：2．【点评】：本题主要考查了反函数的定义及其性质，是基础题．12.（填空题，5分）已知函数f(x)=1x+cosx，给出下列结论：① f（x）在（0，π]上无最大值；② 设F（x）=f（x）-f（-x），则F（x）为偶函数；③ f（x）在区间（0，2π）上有两个零点．其中正确结论的序号为 ___ .（写出所有正确结论的序号）【正确答案】：[1] ① ③【解析】：直接利用函数的图象和性质，函数的单调性和函数的最值，函数的图象的交点和函数的零点的关系判断① ② ③ 的结论．【解答】：解：由于函数f(x)=1x+cosx，对于① ，函数y= 1x在（0，π]上单调递减，函数y=cosx在（0，π]上单调递减，故函数f（x）在区间（0，π]上只有最小值，无最大值，故① 正确；② 设F（x）=f（x）-f（-x）= 1x +cosx−(−1x)−cos(−x) = 12x，则F（x）为奇函数，故②错误；③ 对于f(x)=1x+cosx，令f（x）=0，即在同一坐标系中画出函数y=cosx和函数y= −1x在区间（0，2π）上的图象，如图所示：故这两个函数在同一坐标系内有两个交点，即函数有两个零点，故③ 正确．故答案为：① ③ ．【点评】：本题考查的知识要点：函数的图象和性质，函数的单调性和函数的最值，函数的图象的交点和函数的零点的关系，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．13.（单选题，5分）在平面直角坐标系中，若角α的顶点在原点，始边在x轴的正半轴，终边在第二象限，则下列三角函数值中大于零的是（）A. sin(α+π2)B. cos(α+π2)C.sin（π+α）D.cos（π+α）【正确答案】：D【解析】：由已知可得sinα＞0，co sα＜0，利用诱导公式化简各个选项即可得解．【解答】：解：因为角α的顶点在原点，始边在x轴的正半轴，终边在第二象限，所以sinα＞0，cosα＜0，所以sin（α+ π2）=cosα＜0，cos（α+ π2）=-sinα＜0，sin（π+α）=-sinα＜0，cos（π+α）=-cosα＞0．故选：D．【点评】：本题考查了诱导公式，任意角的三角函数的定义的应用，属于基础题．14.（单选题，5分）“tanx=- √33”是“x= 5π6”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件【正确答案】：B【解析】：本题为充要条件的判断，看两边谁能推出谁．【解答】：解：由x= 5π6，可推得tanx=- √33而由tanx=- √33，可推得x=kπ+ 5π6，k∈z有多个解，即不能推出x= 5π6故tanx=- √33是x= 5π6的必要不充分条件，故选：B．【点评】：本题为充要条件的判断，及三角函数的求值问题，属基础题．15.（单选题，5分）设a为非零实数，则关于函数f（x）=x2+a|x|+1，x∈R的以下性质中，错误的是（）A.函数f（x）一定是个偶函数B.函数f（x）一定没有最大值C.区间[0，+∞）一定是f（x）的单调递增区间D.函数f（x）不可能有三个零点【正确答案】：C【解析】：根据偶函数的定义，判断f（-x）=f（x）则函数为偶函数；根据函数图象开口向上，函数没有最大值；取特殊值法，然后结合函数图象，判定单调递增区间；把函数转化成方程解的问题解答即可．【解答】：解：（1）∵-x∈R∴f（-x）=（-x）2+a|-x|+1=x2+a|x|+1=f（x）∴函数f（x）一定是个偶函数．（2）∵二次函数f（x）=x2+a|x|+1，开口向上，所以函数f（x）一定没有最大值．（3）令a=-2，则f（x）=x2-2|x|+1画出如上图所示的函数图象，可知在区间[0，+∞）不是f（x）的单调递增区间，所以C项错误．（4）方程x 2+ax+1=0，Δ=a 2-4≥-4，此方称可能无解、一个解或者两个解，所以函数f （x ）=x 2+a|x|+1可能无零点、两个零点、或者四个零点．故选：C ．【点评】：本题考查了二次函数的奇偶性，通过图象观察最值以及单调性，数形结合有助于我们的解题，形象直观．16.（单选题，5分）已知函数f （x ）=sin （ωx+φ）（其中ω＞0， |φ|＜π2 ）， −π4 为函数f （x ）的一个零点， x =π4 是函数f （x ）图像的一条对称轴，且函数f （x ）在区间 (π18，5π36) 上单调，则ω的最大值为（） A.8 B.9 C.10 D.11【正确答案】：B【解析】：利用零点以及对称轴，求出ω为正奇数，即可排除选项A ，C ，然后分别验证ω=11和ω=9，即可得到答案．【解答】：解：由题意可得， {−π4ω+φ=k 1ππ4ω+φ=π2+k 2π，k 1，k 2∈Z ，则ω=2k+1，k∈Z ，故选项A ，C 错误；因为函数f （x ）在区间 (π18，5π36) 上单调，所以 5π36−π18=π12≤T2 ，解得ω≤12，若ω=11，φ= −π4 ，此时 f (x )=sin (11x −π4) ，f （x ）在 (π18，3π44) 上单调递增，在 (3π44，5π36) 上单调递减，不符合题意，故选项D错误；若ω=9时，−9π4+φ=kπ，k∈Z，因为|φ|＜π2，所以φ= π4，此时f（x）在区间(π18，5π36)上单调，符合题意，故选项B正确．故选：B．【点评】：本题考查了三角函数性质的综合应用，函数零点的应用，正弦函数的单调性以及对称性的运用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．17.（问答题，10分）已知tanα=13，tanβ=12，且α，β∈(0，π4)．（1）求tan2α的值；（2）求2α-β值．【正确答案】：【解析】：（1）由正切的二倍角公式，得解；（2）根据两角差的正切公式计算tan（2α-β）的值，再判断2α-β的取值范围，然后用反三角函数表示结果即可．【解答】：解：（1）tan2α= 2tanα1−tan2α = 2×131−(13)2= 34；（2）∵ α，β∈(0，π4)，∴2α-β∈（- π4，π2），∵tan（2α-β）= tan2α−tanβ1+tan2αtanβ =34−121+34×12= 211＞0，∴2α-β∈（0，π2），∴2α-β= arctan211．【点评】：本题考查三角函数求值，熟练掌握二倍角公式，两角差的正切公式，反三角函数是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题．18.（问答题，12分）已知函数f(x)=√2sin(x+π4)−13sinx．（Ⅰ）求函数f（x）的定义域；（Ⅱ）若f（x）=2，求sin2x的值．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）由题意，sinx≠0，所以，x≠kπ（k∈Z），从而得到结果．（Ⅱ）由f（x）=2，利用两角和的正弦公式化简可得cosx−sinx=13，平方化简可得sin2x 的值．【解答】：解：（Ⅰ）由题意，sinx≠0，…（2分）所以，x≠kπ（k∈Z）．…（3分）函数f（x）的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}．…（4分）（Ⅱ）因为f（x）=2，所以√2sin(x+π4)−13=2sinx，…（5分）√2(√22sinx+√22cosx)−13 =2sinx，…（7分）cosx−sinx=13，…（9分）将上式平方，得1−sin2x=19，…（12分）所以sin2x=89．…（13分）【点评】：本题考查两角和的正弦公式，二倍角公式，正弦函数的定义域和值域，求得cosx−sinx=13，是解题的关键．19.（问答题，12分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且a=6，b=14，B=2π3．（1）求sinA的值和△ABC外接圆半径；（2）求△ABC的面积．【正确答案】：【解析】：（1）直接由正弦定理可得a sinA=bsinB=2R ，代入数据即可求得答案；（2）根据三角函数变换可求得sinC ，进而利用三角形面积公式即可求得答案．【解答】：解：（1）由正弦定理可得 asinA=bsinB=2R ，则sinA= asinB b = 6×√3214 = 3√314 ，R= 2×√32=14√33；（2）由题可得cosB=- 12 ，cosA= √1−(3√314)2= 1314 ，所以sinC=sin （A+B ）=sinAcosB+cosAsinB= 3√314 ×（- 12 ）+ 1314 × √32 = 5√314 ，则S △ABC = 12 absinC= 12 ×6×14× 5√314 =15 √3 ．【点评】：本题考查正弦定理的应用，考查三角形面积公式的求解，属于中档题． 20.（问答题，12分）已知函数f （x ）=（sin2x+cos2x ）2-2sin 22x （x∈R ）．（1）求函数f （x ）的最小正周期；（2）若函数y=g （x ）的图像是由函数y=f （x ）的图像向右平移 π8个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的，求函数y=g （x ）的单调递增区间．【正确答案】：【解析】：（1）先利用同角三角函数关系式、二倍角公式以及辅助角公式将函数的解析式化简，然后由三角函数的周期计算公式求解即可；（2）利用三角函数的图象变换求出函数g （x ）的解析式，然后由正弦函数的单调递增区间，列式求解即可．【解答】：解：（1）函数f （x ）=（sin2x+cos2x ）2-2sin 22x=sin4x+cos4x= √2sin (4x +π4) ，所以f （x ）的最小正周期为 2π4 = π2 ；（2）函数y=f （x ）= √2sin (4x +π4) 的图像向右平移 π8 个单位长度，可得函数 y =√2sin [4(x −π8)+π4]=√2sin (4x −π4) ，再向上平移1个单位长度，可得函数g （x ）= √2sin (4x −π4)+1 ，令 −π2+2kπ≤4x −π4≤π2+2kπ，k ∈Z ，解得 −π16+kπ2≤x ≤3π16+kπ2，k ∈Z ，故函数y=g （x ）的单调递增区间为 [−π16+kπ2，3π16+kπ2] ，k∈Z ．【点评】：本题考查了同角三角函数关系式、二倍角公式以及辅助角公式的应用，三角函数的周期计算公式的应用，三角函数图象变换的应用，正弦函数单调性的应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．21.（问答题，12分）已知函数 f (x )=2−43x +1 ．（1）判断函数f （x ）的奇偶性，并说明理由；（2）对任意的x∈[1，5]，不等式 f (x )≥u3x 恒成立，求实数u 的最大值．【正确答案】：【解析】：（1）由奇函数的定义，结合指数的运算性质，可得结论；（2）由参数分离和换元法、结合指数函数的单调性、对勾函数的单调性，以及不等式恒成立思想可得所求最大值．【解答】：解：（1）f （x ）为奇函数．理由：函数 f (x )=2−43x +1 = 2(3x −1)3x +1，而f （x ）的定义域为R ，且f （-x ）= 2(3−x −1)3−x +1 = 2(1−3x )1+3x =-f （x ），所以f （x ）为奇函数；（2）不等式 f (x )≥u3x 即为u≤2•3x -4•3x 3x +1 =2（3x +1）+ 43x +1-6，设t=3x +1，由x∈[1，5]，可得t∈[4，244]，则g （t ）=2t+ 4t -6在t∈[4，244]递增，可得g （t ）的最小值为g （4）=8+1-6=3，所以u≤3，即u 的最大值为3．【点评】：本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和运用，以及不等式恒成立问题解法，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．22.（问答题，12分）已知函数f（x）=|sinx|+|cosx（x∈R），函数g（x）=4sinxcosx+k（x∈R），设F（x）=f（x）-g（x）．（1）求证：π2是函数f（x）的一个周期：（2）当k=0时，求F（x）在区间[π2，π]上的最大值；（3）若函数F（x）在区间（0，π）内恰好有奇数个零点，求实数k的值．【正确答案】：【解析】：（1）由f（x+ π2）=f（x）即可得证；（2）令t=sinx-cosx= √2 sin（x- π4），t∈[1，√2 ]，可得sinxcosx= 1−t22，从而将函数F（x）转化为h（t）=2t²+t-2，t∈[1，√2 ]，利用二次函数的性质即可求解最大值；（3）讨论0＜x≤ π2时与π2＜x＜π时函数解析式，令k=sinx+cosx-4sinxcosx，换元，根据二次函数的单调性即可得出答案．【解答】：（1）证明：因为f（x+ π2）=|sin（x+ π2）|+|cos（x+ π2）|=|cosx|+|-sinx|=|cosx|+|sinx|=f（x），所以π2是函数f（x）的一个周期．（2）当k=0时，F（x）在区间[π2，π]上的解析式为F（x）=sinx-cosx-4sinxcosx，令t=sinx-cosx= √2 sin（x- π4），t∈[1，√2 ]，则sinxcosx= 1−t22，则F（x）=sinx-cosx-4sinxcosx可转化为h（t）=t-2（1-t²）=2t²+t-2，t∈[1，√2 ]，由二次函数的性质可得函数h（t）的最大值为h（√2）=2+ √2，所以当k=0时，F（x）在区间[π2，π]上的最大值为2+ √2．（3）当0＜x≤ π2时，设k=sinx+cosx-4sinxcosx，令t=sinx+cosx= √2 sin（x+ π4），则t∈1，√2 ]，k=t-2（t²-1）=-2t²+t+2，在t∈[1，√2 ]上为单调递减函数，可知当t=1时，即k=1时，此时x只有一个解；当t= √2 时，即k= √2 -2时，此时x 只有一个解；当1＜t ＜ √2 时，即 √2 -2＜k ＜1时，此时x 有两个解．当 π2 ＜x ＜π时，设k=sinx-cosx-4sinxcosx ，令t=sinx-cosx= √2 sin （x- π4 ），则t∈（1， √2 ]， k=t+2（t²-1）=2t²+t-2，在t∈（1， √2 ]上单调递增，则可知当1＜t ＜ √2 时，即1＜k ＜ √2 +2时，此时x 有两个解；当t= √2 时，即k= √2 +2时，此时x 只有一个解．综上可得，若函数F （x ）在区间（0，π）内恰好有奇数个零点，则k=1或 k =√2−2 或 k =√2+2 ．【点评】：本题主要考查三角函数的周期，三角函数的最值以及三角恒等变换，考查分类讨论思想与转化思想的应用，考查运算求解能力，属于中档题．23.（填空题，0分）设定义在区间（0， π2 ）上的函数 y =3√3sinx 的图象与y=3cos2x+2的图象交于点P ，则点P 到x 轴的距离为 ___ ．【正确答案】：[1]3【解析】：联立方程组求出sinx 的值，然后代入求出y 的值，即可求出点P 到x 轴的距离．【解答】：解：由 y =3√3sinx =3cos2x+2得： 3-6sin 2x-3 √3 sinx+2=0，即6sin 2x+3 √3 sinx-5=0，得sinx= −3√3+√27+12012 = −3√3+√14712 = −3√3+7√312 = 4√312 = √33， sinx=−3√3−√27+12012 = −3√3−√14712 = −3√3−7√312 =- 10√312 =- 5√36， ∵x∈（0， π2 ）， ∴sinx ＞0，∴sinx= √33 ，即点P 到x 轴的距离为y=3 √3 × √33 =3，故答案为：3．【点评】：本题主要考查三角函数的应用，联立方程组求出sinx 的值是解决本题的关键． 24.（填空题，0分）函数f （x ）=x+ √1−x 2 （-1≤x≤1）的值域为 ___ ．【正确答案】：[1] [−1，√2]【解析】：令x=cosθ，0≤θ≤π，则原函数化为y=cosθ+sinθ（0≤θ≤π），然后利用三角函数求值域．【解答】：解：由题意可设x=cosθ，0≤θ≤π，则y=cosθ+ √1−cos2θ=cosθ+|sinθ|=cosθ+sinθ= √2sin(θ+π4)，又π4≤θ+π4≤5π4，所以−√22≤sin(θ+π4)≤1，即−1≤y≤√2，所以函数值域为[−1，√2]．故答案为：[−1，√2]．【点评】：本题考查利用换元法及三角函数求值域，是中档题．25.（填空题，0分）在钝角三角形ABC中，1tanA +1tanB+2tanC=0，则tanC的最大值是___ ．【正确答案】：[1]- √3【解析】：由题意可得tanA+tanB=-2tanAtanBtanC，再利用诱导公式、两角和差的正切公式求得tanAtanB= 13，再根据tanC=- 32（ tanA+tanB），利用基本不等式求得它的最大值．【解答】：解：在钝角三角形ABC中，1tanA +1tanB+2tanC=0，可得tanA+tanBtanAtanB=-2tanC，即tanA+tanB=-2tanAtanBtanC，则tan（A+B）（1-tanAtanB）=-2tanAtanBtanC，即-tanC（1-tanAtanB）=-2tanAtanBtanC，所以tanAtanB= 13，则tanC=-tan（A+B）=- tanA+tanB1−tanAtanB =- 32（ tanA+tanB）≤- 32×2 √tanAtanB =- √3．当且仅当tanA=tanB时，取等号，故tanC的最大值是- √3．故答案为：- √3．【点评】：本题主要考查诱导公式、两角和差的正切公式，基本不等式的应用，考查运算能力，属于中档题．26.（填空题，0分）设a1、a2∈R，且12+sina1+12+sin(2a2)=2，则|10π-a1-a2|的最小值等于 ___ ．【正确答案】：[1] π4【解析】：由题意，要使 12+sinα1+ 12+sin2α2=2，可得sinα1=-1，sin2α2=-1．求出α1和α2，即可求出|10π-α1-α2|的最小值【解答】：解：根据三角函数的性质，可知sinα1，sin2α2的范围在[-1，1]，要使12+sinα1 + 12+sin2α2=2， ∴sinα1=-1，sin2α2=-1．则： α1=−π2+2k 1π ，k 1∈Z ．2α2=−π2+2k 2π ，即 α2=−π4+k 2π ，k 2∈Z ．那么：α1+α2=（2k 1+k 2）π −3π4，k 1、k 2∈Z ． ∴|10π-α1-α2|=|10π +3π4 -（2k 1+k 2）π|的最小值为 π4．故答案为： π4 ．【点评】：本题主要考查三角函数性质，有界限的范围的灵活应用，属于基本知识的考查． 27.（填空题，0分）不等式sin2πx•|sin2πx|＞cos2πx•|cos2πx|的解集为 ___ ．【正确答案】：[1] {x|k +18＜x ＜k +58，k ∈Z}【解析】：构造函数f （x ）=sinx|sinx|，先研究一个周期内的解集，将不等式转化为f （2πx ）＞f （2πx+ π2 ），得到关于x 的不等式，从而得到在整个定义域上的不等关系，求解即可．【解答】：解：令f （x ）=sinx|sinx| 先求不等式在一个周期内的解集，取这一个周期的区间为[0，2π]，因为sin2πx•|sin2πx|＞cos2πx•|cos2πx|等价于f （2πx ）＞f （2πx+ π2 ），所以 {2πx ＞π42πx +π2＜7π4 ，则在整个定义域上有 {2πx ＞π4+2kπ2πx +π2＜7π4+2kπ，k ∈Z ，解得 k +18＜x ＜k +58，k ∈Z ，所以不等式的解集为 {x|k +18＜x ＜k +58，k ∈Z} ．故答案为： {x|k +18＜x ＜k +58，k ∈Z} ．【点评】：本题考查了三角函数性质的应用，三角函数诱导公式的应用，三角函数单调性的应用，考查了逻辑推理能力与转化化归能力，属于中档题．。

2022-2023学年上海市西南位育中学数学高一上期末质量跟踪监视试题含解析

【详解】由，
，所以，则
故a的取值范围为 .
第（2）空:由，知关于点成中心对称图形，
所以 .
故答案为：； .
15、
【解析】直接令，即可求出
【详解】解：对直线令，得
可得直线在轴上截距是，
故答案：
【点睛】本题主要考查截距的定义，需要熟练掌握，属于基础题
三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
（1）求角；
（2）求的取值范围.
20．已知函数 ( )是偶函数.
(1)求的值;
(2)设 ,判断并证明函数在上的单调性;
(3)令若对恒成立,求实数的取值范围.
21．已知全集，，集合
（1）求；
（2）求
参考答案
一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.）
（1）求的解析式；
（2）将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，若在上有两个不同的根，求m的取值范围
19．在① ；② .请在上述两个条件中任选一个，补充在下面题目中，然后解答补充完整的问题.
在中，角所对的边分别为，__________.
必要性：若，，则向量，共线，但不存在实数，使得，即必要性不成立.
故选：A.
5、B
【解析】分别求出在的值域，以及在的值域，令在的最大值不小于在的最大值，得到的关系式，解出即可.
【详解】对于函数，当时，，
由，可得，
当时，，
由，可得，
对任意，，
对于函数，

2020-2021学年上海市徐汇区位育中学高一(上)期末数学试卷

2020-2021学年上海市徐汇区位育中学高一（上）期末数学试卷试题数：21，总分：01.（填空题，0分）设全集U={-1，0，1，2，3}，若集合A={-1，0，2}，则A =___ ．2.（填空题，0分）不等式2−xx+3＞0的解集为___ ．3.（填空题，0分）函数f（x）= √x+2x−1的定义域是___ ．4.（填空题，0分）设a＞0且a≠1，b＞0，若log a b•log5a=3，则b=___ ．5.（填空题，0分）函数y=x2-1，x∈（-∞，0）的反函数为y=___ ．6.（填空题，0分）不等式log2x+2x＜2的解集为 ___ ．7.（填空题，0分）函数y= 12x−1的值域是 ___ ．8.（填空题，0分）若函数f（x）= {2x，x≤0−x2+m，x＞0的值域为（-∞，1]，则实数m的取值范围是___ ．9.（填空题，0分）函数y=f（x）的图像向右平移1个单位长度，所得图像与函数y=e x的图像关于y轴对称，则f（x）=___ ．10.（填空题，0分）设函数f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2x+2x+b（b 为常数），则f（-1）的值为___ ．11.（填空题，0分）已知定义在R上的偶函数y=f（x）在[0，+∞）是严格增函数，如果f （ax+1）≤f（2）对于任意x∈[1，2]恒成立，则实数a的取值范围是 ___ ．12.（填空题，0分）设f（x）=x-1，g（x）=- 4x ，若存在x1，x2，…，x n∈[ 14，4]，使得f（x1）+f（x2）+…+f（x n-1）+g（x n）=g（x1）+g（x2）+…+g（x n-1）+f（x n）成立，则正整数n 的最大值为 ___ ．13.（单选题，0分）若函数y=f（x）的反函数为y=f-1（x），则方程f-1（x）=0（）A.有且只有一个实数解B.至少一个实数解C.至多有一个实数解D.可能有两个实数解14.（单选题，0分）设a，b是非零实数，若a＜b，则下列不等式成立的是（）A.a2＜b2B.ab2＜a2bC. 1ab2＜1a2bD. ba ＜ab15.（单选题，0分）若函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是（）A.若f（a）f（b）＞0，不存在实数c∈（a，b）使得f（c）=0B.若f（a）f（b）＞0，有可能存在实数c∈（a，b）使得f（c）=0C.若f（a）f（b）＜0，存在且只存在一个实数c∈（a，b）使得f（c）=0D.若f（a）f（b）＜0，有可能不存在实数c∈（a，b）使得f（c）=016.（单选题，0分）已知函数y=f（x）的定义域为R，有下面三个命题，命题p：存在a∈R且a≠0，对任意的x∈R，均有f（x+a）＜f（x）+f（a）恒成立，命题q1：y=f（x）在R上是严格减函数，且f（x）＞0恒成立；命题q2：y=f（x）在R上是严格增函数，且存在x0＜0使得f（x）=0．则下列说法正确的是（）A.q1、q2都是p的充分条件B.只有q1是p的充分条件C.只有q2是p的充分条件D.q1、q2都不是p的充分条件17.（问答题，0分）设m为实数，f（x）=（m2-m-1）x-2m，已知幂函数y=f（x）在区间（0，+∞）上是严格增函数，试求满足f（x）＞x13的x的取值范围．18.（问答题，0分）设f（x）=2x+a•2-x，其中a∈R．（1）若函数y=f（x）的图像关于原点成中心对称图形，求a的值；（2）若函数y=f（x）在（-∞，2]上是严格减函数，求a的取值范围．19.（问答题，0分）设f（x）=lg（2a-x），其中a为实数．（1）设集合A={x|y=f（x）}，集合B={y|y=-2x，x≤0}，若B⊆A，求实数a的取值范围；（2）若集合C={x|lg（x-1）+lg（3-x）=f（x）}中的元素有且仅有2个，求实数a的取值范围．20.（问答题，0分）食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社会每年投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P、种黄瓜的年收入Q与投入aa+120，设甲大棚的投入为x（单位：万元），每（单位：万元）满足P=80+4 √2a，Q= 14年两个大棚的总收益为f（x）（单位：万元）．（1）求f（50）的值；（2）试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益f（x）最大？21.（问答题，0分）对于函数y=f（x），若定义域中存在实数a、b满足b＞a＞0且f(a)=)≠0，则称函数y=f（x）为“P函数”．f(b)=2f(a+b2（1）判断y1=(x−1)2，x∈R是否为“P函数”，并说明理由；−k|，x∈(0，n)为“P函数”，且n的最小值为5，求（2）设n∈N且n＞0，若函数y2=|2x实数k的取值范围．2020-2021学年上海市徐汇区位育中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析试题数：21，总分：01.（填空题，0分）设全集U={-1，0，1，2，3}，若集合A={-1，0，2}，则A =___ ．【正确答案】：[1]{1，3}【解析】：利用补集定义直接求解．【解答】：解：∵全集U={-1，0，1，2，3}，集合A={-1，0，2}，∴ A ={1，3}．故答案为：{1，3}．【点评】：本题考查了补集及其运算，考查运算求解能力，是基础题．2.（填空题，0分）不等式2−xx+3＞0的解集为___ ．【正确答案】：[1]（-3，2）【解析】：把不等式2−xx+3＞0化为等价的不等式组{2−x＞0x+3＞0，或{2−x＜0x+3＜0，求出解集即可．【解答】：解：不等式2−xx+3＞0可化为{2−x＞0x+3＞0，或{2−x＜0x+3＜0，解得-3＜x＜2，或∅；∴不等式的解集为（-3，2）．故答案为：（-3，2）．【点评】：本题考查了不等式的解法与应用问题，解题时应把不等式2−xx+3＞0化为等价的不等式（组），求出解集即可，是基础题．3.（填空题，0分）函数f（x）= √x+2x−1的定义域是___ ．【正确答案】：[1]{x|x≥-2且x≠1}【解析】：由题意即分母不为零、偶次根号下大于等于零，列出不等式组求解，最后要用集合或区间的形式表示．【解答】：解：由题意，要使函数有意义，则 {x −1≠0x +2≥0，解得，x≠1且x≥-2；故函数的定义域为：{x|x≥-2且x≠1}，故答案为：{x|x≥-2且x≠1}．【点评】：本题考查了求函数的定义域，最后要用集合或区间的形式表示，这是容易出错的地方．4.（填空题，0分）设a ＞0且a≠1，b ＞0，若log a b•log 5a=3，则b=___ ．【正确答案】：[1]125【解析】：利用对数的性质和运算法则及换底公式求解．【解答】：解：∵log a b•log 5a=3，∴ lgb lga • lga lg5 =3，∴ lgb lg5 =3，∴lgb=3lg5=lg125，∴b=125，故答案为：125．【点评】：本题考查对数的性质、运算法则及换底公式的应用，属于基础题．5.（填空题，0分）函数y=x 2-1，x∈（-∞，0）的反函数为y=___ ．【正确答案】：[1]- √x +1 ，x∈（-1，+∞）【解析】：由y=x 2-1，x∈（-∞，0）知y ＞-1，且可得x=- √y +1 ，x ，y 互换，得其反函数．【解答】：解：由y=x²-1，x∈（-∞，0），可得y ＞-1，且可得x=- √y +1 ，x ，y 互换，可得其反函数为y=- √x +1 ，x∈（-1，+∞）．故答案为：y=- √x +1 ，x∈（-1，+∞）．【点评】：本题考查反函数的定义，属于基础题．6.（填空题，0分）不等式log 2x+2x ＜2的解集为 ___ ．【正确答案】：[1]（0，1）【解析】：可设f（x）=log2x+2x-2，x∈（0，+∞），判断f（x）的单调性，求出f（x）的零点，从而求出不等式的解集．【解答】：解：由题意，设f（x）=log2x+2x-2，x∈（0，+∞）；则f（x）在定义域（0，+∞）上是单调增函数，且f（1）=log21+2-2=0，所以f（x）在定义域（0，+∞）有唯一的零点是1，所以f（x）＜0的解集为（0，1），即不等式log2x+2x＜2的解集为（0，1）．故答案为：（0，1）．【点评】：本题考查了利用函数的单调性求不等式解集的应用问题，是基础题．7.（填空题，0分）函数y= 12x−1的值域是 ___ ．【正确答案】：[1]（-∞，-1）∪（0，+∞）【解析】：直接利用指数函数的性质的应用求出结果、【解答】：解：由于2x∈（0，+∞），故2x-1∈（-1，0）∪（0，+∞）；12x−1∈(−∞，−1)∪(0，+∞)．故答案为：（-∞，-1）∪（0，+∞）．【点评】：本题考查的知识要点：指数函数的性质，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．8.（填空题，0分）若函数f（x）= {2x，x≤0−x2+m，x＞0的值域为（-∞，1]，则实数m的取值范围是___ ．【正确答案】：[1]（0，1]【解析】：根据指数函数的最值以及二次函数的性质求出f（x）的值域（-∞，1]，从而判断出a的范围即可．【解答】：解：x≤0时：f（x）=2x∈（0，1]．x＞0时，f（x）=-x2+m，函数的对称轴x=0，f（x）在（-∞，0）递增，∴f（x）=-x2+m＜m，函数f（x）= {2x，x≤0−x2+m，x＞0的值域为（-∞，1]，故0＜m≤1，故答案为：（0，1]．【点评】：本题考查了分段函数问题，考查二次函数以及对数函数的性质，是一道中档题．9.（填空题，0分）函数y=f（x）的图像向右平移1个单位长度，所得图像与函数y=e x的图像关于y轴对称，则f（x）=___ ．【正确答案】：[1]e-x-1【解析】：根据题意，由已知可得将函数y=e x的图象关于y轴对称后，再向左平移1个单位长度，可得函数f（x）的解析式．【解答】：解：根据题意，函数y=2x的图象关于y轴对称的图象对应的解析式为：y=e-x，将其向左平移1个单位长度后的图象对应的解析式为：y=e-（x+1）=e-x-1，即f（x）=e-x-1，故答案为：e-x-1．【点评】：本题考查函数解析式的计算，涉及函数图象的平移变换规律，属于基础题．10.（填空题，0分）设函数f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2x+2x+b（b为常数），则f（-1）的值为___ ．【正确答案】：[1]-3【解析】：由奇函数的性质得f（0）=0，代入解析式求出b的值，利用函数的奇偶性将f（-1）转化为f（-1）=-f（1），然后直接代入解析式即可．【解答】：解：∵函数f（x）为定义在R上的奇函数，∴f（0）=1+b=0，解得b=-1，则当x≥0时，f（x）=2x+2x-1，∴f（-1）=-f（1）=-（2+2-1）=-3，故答案为：-3．【点评】：本题考查了奇函数的结论：f（0）=0的灵活应用，以及函数奇偶性的应用，利用函数的奇偶性将f（-1）转化到已知条件上求解．11.（填空题，0分）已知定义在R上的偶函数y=f（x）在[0，+∞）是严格增函数，如果f（ax+1）≤f（2）对于任意x∈[1，2]恒成立，则实数a的取值范围是 ___ ．【正确答案】：[1][- 32，12]【解析】：由题意可得|ax+1|≤2在x∈[1，2]恒成立，即x-3≤ax+1≤3-x ，即- 3x ≤a≤ 1x 在x∈[1，2]恒成立，运用函数的单调性求得最值，即可得到a 的取值范围．【解答】：解：f （x ）是定义在R 上的偶函数，且f （x ）在[0，+∞）上是增函数，由f （ax+1）≤f （2）对于任意x∈[1，2]恒成立，可得|ax+1|≤2在x∈[1，2]恒成立，即-2≤ax+1≤2在x∈[1，2]恒成立，即- 3x ≤a≤ 1x 在x∈[1，2]恒成立，由y=- 3x 在x∈[1，2]上单调递增，可得y 的最大值为- 32 ；y= 1x 在x∈[1，2]上单调递减，可得y 的最小值为 12 ，则- 32 ≤a≤ 12 ，即实数a 的取值范围是[- 32 ， 12 ]．故答案为：[- 32 ， 12 ]．【点评】：本题考查函数的奇偶性和单调性的运用：解不等式，考查不等式恒成立问题解法，注意运用参数分离和函数的单调性求最值，考查运算能力，属于中档题．12.（填空题，0分）设f （x ）=x-1，g （x ）=- 4x ，若存在x 1，x 2，…，x n ∈[ 14 ，4]，使得f （x 1）+f （x 2）+…+f （x n-1）+g （x n ）=g （x 1）+g （x 2）+…+g （x n-1）+f （x n ）成立，则正整数n 的最大值为 ___ ．【正确答案】：[1]6【解析】：把已知等式变形，可得f （x 1）-g （x 1）+f （x 2）-g （x 2）+…+f （x n-1）-g （x n-1）=f （x n ）-g （x n ）成立，利用基本不等式求得f （x n ）-g （x n ）≥3，可得f （x n ）-g （x n ）≥3（n-1），由x n 的范围求得f （x n ）-g （x n ）∈[3， 654 ]，问题转化为3（n-1）≤ 654 ，由此即可求得正整数n 的最大值．【解答】：解：由题意知，存在x 1，x 2，…，x n ∈[ 14 ，4]，使得f （x 1）+f （x 2）+…+f （x n-1）+g （x n ）=g （x 1）+g （x 2）+…+g （x n-1）+f （x n ）成立，即f （x 1）-g （x 1）+f （x 2）-g （x 2）+…+f （x n-1）-g （x n-1）=f （x n ）-g （x n ）成立．而f （x n ）-g （x n ）= x n −1+4x n ≥2√x n •4x n −1=3 ，当且仅当x n =2∈[ 14 ，4]时等号成立，又f（x1）-g（x1）+f（x2）-g（x2）+…+f（x n-1）-g（x n-1）=f（x n）-g（x n），∴f（x n）-g（x n）≥3（n-1），而x n∈[ 14，4]，即f（x n）-g（x n）∈[3，654]．∴仅需3（n-1）≤ 654成立即可，有n ≤7712，故正整数n的最大值为6．故答案为：6．【点评】：本题考查函数的最值及其几何意义，考查化归与转化思想，考查逻辑思维能力与推理论证能力，是中档题．13.（单选题，0分）若函数y=f（x）的反函数为y=f-1（x），则方程f-1（x）=0（）A.有且只有一个实数解B.至少一个实数解C.至多有一个实数解D.可能有两个实数解【正确答案】：C【解析】：利用函数定义可知每一个自变量都有唯一确定的一个数与之对应，再结合反函数的性质即可得到结论．【解答】：解：因为函数y=f（x）有反函数为y=f-1（x），所以y=f（x）是一个单射函数，设其定义域为I，故若0∈I，设f（0）=a∈R，由函数定义知a有唯一值，故f-1（a）=0只有一实数a，若0∉I，f（0）无意义，故不存在x，使得f-1（x）=0，故方程f-1（x）=0无解，综上：f-1（x）=0至多有一个实数解，故选：C．【点评】：本题考查反函数的定义，考查分类讨论思想，属于基础题．14.（单选题，0分）设a，b是非零实数，若a＜b，则下列不等式成立的是（）A.a2＜b2B.ab2＜a2bC. 1ab2＜1a2bD. ba ＜ab【正确答案】：C【解析】：由不等式的相关性质，对四个选项逐一判断，由于a，b为非零实数，故可利用特例进行讨论得出正确选项【解答】：解：A选项不正确，因为a=-2，b=1时，不等式就不成立；B选项不正确，因为a=1，b=2时，不等式就不成立；C选项正确，因为1ab2＜1a2b⇔a＜b，故当a＜b时一定有1ab2＜1a2b；D选项不正确，因为a=1，b=2时，不等式就不成立；故选：C．【点评】：本题考查不等关系与不等式，解题的关键是熟练掌握不等式的有关性质，且能根据这些性质灵活选用方法进行判断，如本题采用特值法排除三个选项，用单调性判断正确选项．15.（单选题，0分）若函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是（）A.若f（a）f（b）＞0，不存在实数c∈（a，b）使得f（c）=0B.若f（a）f（b）＞0，有可能存在实数c∈（a，b）使得f（c）=0C.若f（a）f（b）＜0，存在且只存在一个实数c∈（a，b）使得f（c）=0D.若f（a）f（b）＜0，有可能不存在实数c∈（a，b）使得f（c）=0【正确答案】：B【解析】：画满足条件的函数图象排除不正确的选项【解答】：解：首先，设函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象如下图：上图满足f（a）f（b）＞0，有可能存在实数c∈（a，b）使得f（c）=0，故A错误，B正确；其次，设函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象如下图：上图满足f（a）f（b）＜0，但C都错误，D、根据零点存在定理，一定存在实数c∈（a，b）使得f（c）=0，所以D错误，故选：B．【点评】：本题主要考查函数零点存在定理，画函数的图象研究函数的性质是常见的方法，突出说明数形结合思想的重要性．16.（单选题，0分）已知函数y=f（x）的定义域为R，有下面三个命题，命题p：存在a∈R且a≠0，对任意的x∈R，均有f（x+a）＜f（x）+f（a）恒成立，命题q1：y=f（x）在R上是严格减函数，且f（x）＞0恒成立；命题q2：y=f（x）在R上是严格增函数，且存在x0＜0使得f（x）=0．则下列说法正确的是（）A.q1、q2都是p的充分条件B.只有q1是p的充分条件C.只有q2是p的充分条件D.q1、q2都不是p的充分条件【正确答案】：A【解析】：先由命题q1成立时，利用单调性和函数值为正，结合不等式性质即推出命题p成立，再由命题q2成立时，利用单调性和函数零点，推出命题p成立，即得结果．【解答】：解：命题q1成立，即y=f（x）在R上是严格减函数，且f（x）＞0恒成立，故取a＞0时，对任意的x∈R，x+a＞x，则f（x+a）＜f（x），f（a）＞0 即0＜f（a），故f（x+a）＜f（x）+f（a），即命题q1可推出命题p，即q1是p的充分条件；命题q2成立，y=f（x）在R上是严格增函数，且存在x0＜0使得f（x0）=0，故取a=x0＜0时，对任意的x∈R，x+a＜x，则f（x+a）＜f（x），f（a）=f（x0）=0，f （x+a）＜f（x）+f（a），即命题q2可推出命题p，即q2是p的充分条件；故q1、q2都是p的充分条件．故选：A ．【点评】：本题考查充分条件与必要条件，考查学生的逻辑思维能力，属中档题．17.（问答题，0分）设m 为实数，f （x ）=（m 2-m-1）x -2m ，已知幂函数y=f （x ）在区间（0，+∞）上是严格增函数，试求满足f （x ）＞ x 13 的x 的取值范围．【正确答案】：【解析】：利用幂函数的定义和性质列方程组，求出m=-1．从而f （x ）=x 2，由此能求出满足f （x ）＞ x 13 的x 的取值范围．【解答】：解：设m 为实数，f （x ）=（m 2-m-1）x -2m ，∵幂函数y=f （x ）在区间（0，+∞）上是严格增函数，∴ {m 2−m −1=1，−2m ＞0，解得m=-1． ∴f （x ）=x 2，∵f （x ）＞ x 13 ，∴ x 2＞x 13，∴当x ＞0时，x ＞1；当x ＜0时，成立，∴满足f （x ）＞ x 13 的x 的取值范围是（-∞，0）∪（1，+∞）．【点评】：本题考查幂函数的运算，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18.（问答题，0分）设f （x ）=2x +a•2-x ，其中a∈R ．（1）若函数y=f （x ）的图像关于原点成中心对称图形，求a 的值；（2）若函数y=f （x ）在（-∞，2]上是严格减函数，求a 的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）由题意可知f（x）为奇函数，则f（-x）=-f（x），从而可求得a的值；（2）由题意可得对任意的x1＜x2≤2，都有f（x1）-f（x2）＞0，从而可得2x1• 2x2＜a恒成立，求出2x1• 2x2的最大值，即可求解a的取值范围．【解答】：解：（1）因为函数y=f（x）的图像关于原点成中心对称图形，所以f（x）为奇函数，所以f（-x）=-f（x），即2-x+a•2x=-2x-a•2-x，即（a+1）（2x+2-x）=0，因为2x+2-x＞0，解得a=-1．（2）函数y=f（x）在（-∞，2]上是严格减函数，所以对任意的x1＜x2≤2，都有f（x1）-f（x2）＞0，）＞0恒成立，即f（x1）-f（x2）=（2x1 - 2x2）（1- a2x12x2＜0恒成立，即2x1• 2x2＜a恒成立，由2x1 - 2x2＜0，知1- a2x12x2由于当x1＜x2≤2时，（2x1• 2x2）max＜16，所以a≥16，即a的取值范围是[16，+∞）．【点评】：本题主要考查函数奇偶性与单调性的应用，考查运算求解能力，属于中档题．19.（问答题，0分）设f（x）=lg（2a-x），其中a为实数．（1）设集合A={x|y=f（x）}，集合B={y|y=-2x，x≤0}，若B⊆A，求实数a的取值范围；（2）若集合C={x|lg（x-1）+lg（3-x）=f（x）}中的元素有且仅有2个，求实数a的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）根据对数函数，指数函数的图象与性质求出A，B，再由子集的定义即可求解；（2）先得到2a=-x2+5x-3，且1＜x＜3，再求出g（x）=-x2+5x-3在1＜x＜3上的值域即可，【解答】：解：（1）A={x|y=f（x）}={x|y=lg（2a-x）}={x|x＜2a}，B={y|y=-2x，x≤0}={y|-1≤y＜0}，又B⊆A，∴2a≥0，∴a≥0，∴a的取值范围为[0，+∞）．（2）由C={x|lg（x-1）+lg（3-x）=f（x）}，得2a=-x2+5x-3，且1＜x＜3，设g（x）=-x2+5x-3，对称轴x= 52，则g（x）在（1，52）上单调递增，在（52，3）上单调递减，且g（52）= 134，g（1）=1，g（3）=3，若直线y=2a与函数g（x）=-x2+5x-3在（1，3）上恰有两个交点时，则3＜2a＜134，∴ 32＜a＜138．∴a的取值范围为（32，138）．【点评】：本题考查了根据函数的解析式求定义域的应用问题，也考查了集合的运算问题，二次函数求值域问题，属于中档题．20.（问答题，0分）食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社会每年投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P、种黄瓜的年收入Q与投入a （单位：万元）满足P=80+4 √2a，Q= 14a+120，设甲大棚的投入为x（单位：万元），每年两个大棚的总收益为f（x）（单位：万元）．（1）求f（50）的值；（2）试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益f（x）最大？【正确答案】：【解析】：（1）由甲大棚投入50万元，则乙大投棚入150万元，把a的值代入即可得出．（2）f(x)=80+4√2x+14(200−x)+120=−14x+4√2x+250，依题意得{x≥20200−x≥20⇒20≤x≤180，通过换元利用二次函数的单调性即可得出．【解答】：解：（1）∵甲大棚投入50万元，则乙大投棚入150万元，∴ f(50)=80+4√2×50+14×150+120=277.5万元．（2）f(x)=80+4√2x+14(200−x)+120=−14x+4√2x+250，依题意得{x≥20200−x≥20⇒20≤x≤180，故f(x)=−14x+4√2x+250(20≤x≤180)．令t=√x∈[2√5，6√5]，则f(x)=−14t2+4√2t+250=−14(t−8√2)2+282，当t=8√2，即x=128时，f（x）max=282万元．所以投入甲大棚128万元，乙大棚72万元时，总收益最大，且最大收益为282万元．【点评】：本题考查了函数的应用、二次函数的单调性，考查了换元方法、推理能力与计算能力，属于中档题．21.（问答题，0分）对于函数y=f（x），若定义域中存在实数a、b满足b＞a＞0且f(a)= f(b)=2f(a+b2)≠0，则称函数y=f（x）为“P函数”．（1）判断y1=(x−1)2，x∈R是否为“P函数”，并说明理由；（2）设n∈N且n＞0，若函数y2=|2x−k|，x∈(0，n)为“P函数”，且n的最小值为5，求实数k的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）利用反证法思想，假设y1=(x−1)2，x∈R是“P函数”，由已知条件得关于a，b的方程组，求解a，b的值，得到f（a）或f（b）=0，与已知矛盾；（2）对k分类讨论函数y2=|2x−k|，x∈(0，n)的单调性，可得只有当k＞0时符合题意，再由f(a)=f(b)=2f(a+b2)≠0运算得到a，b，k三者间的关系，结合题意得到关于a的不等式，进一步求得k的取值范围．【解答】：解：（1）若y1=(x−1)2，x∈R是“P函数”，则满足(a−1)2=(b−1)2=2(a+b2−1)2，∴ {a2−b2−2a+2b=0a2−b2−2ab+4b−2=0，两式相减得-2a+2ab+2b-4b+2=0，即ab-a-b+1=0．∴（b-1）（a-1）=0，则b=1或a=1，与f（a）=f（b）≠0矛盾，故y1=(x−1)2，x∈R不是“P函数”；（2）y2=|2x−k|，x∈(0，n)是“P函数”．① 若k≤0，则2x −k＞0，则y2=|2x−k|=2x−k在x∈（0，n）上单调递减，故不满足存在实数a、b满足b＞a＞1且f（a）=f（b），不合题意；② 若k＞0，∵g（x）= 2x −k，x∈（0，n）单调递减，且g（2k）=0，故x∈（0，2k ）时，f（x）=| 2x−k |单调递减，x∈（2k，+∞）时，f（x）=| 2x−k |单调递增，故a∈（0，2k ），b∈（2k，+∞），∴f（a）= 2a −k =f（b）=k- 2b=2f（a+b2），则k= 1a+1b，∴f（a）= 2a −1a−1b=1a−1b，则2f（a+b2）=2| 4a+b−k |=2| 4a+b−(1a+1b) |．若2[ 4a+b −(1a+1b) ]= 1a−1b，则8a+b=3a+1b=3b+aab，整理可得a2+3b2-4ab=0，得a=3b，不合题意；若2[ 4a+b −(1a+1b) ]= 1b−1a，则8a+b=3b+1a=3a+bab，整理可得3a2+b2-4ab=0，得b=3a，故k= 1a +1b=43a，2k=3a2，a= 43k．由（0，n）中存在实数a、b满足b＞a＞1且f(a)=f(b)=2f(a+b2)≠0，n的最小值为5，故在（0，5）中存在a满足f（a）=f（3a）=2f（2a），且4≤3a＜5，故4≤ k4＜5，得45＜k≤1．综上所述，实数k的取值范围是（45，1]．【点评】：本题考查函数的最值及其几何意义，考查函数的单调性及其应用，考查逻辑思维能力及推理论证能力，考查运算求解能力，属难题．。

上海市2020-2021学年高一上学期期末数学试题人教新课标A版

上海市2020-2021学年高一上学期期末数学试题一、填空题1. 已知函数的图象如图所示，则该函数的值域为________.2. 已知集合，，则________.（结果用区间表示）3. 已知函数，则它的反函数________________.4. 已知函数，满足，且当时，，则________.5. 已知是奇函数，满足，且在区间内是严格增函数，则不等式的解集是________.（结果用区间表示）6. 已知，函数是定义在上的偶函数，则的值是________.7. 函数，的最小值是________.8. 设方程的解为，的解为，则________.二、解答题若方程的三个根可以作为一个三角形的三条边的长，则实数的取值范围是________.三、填空题对于实数、，定义，设，且关于的方程为恰有三个互不相等的实数根、、，则的取值范围为________.四、单选题下列四组函数中，同组的两个函数是相同函数的是()A.与B.与C.与D.与函数f(x)=的零点所在的一个区间是A.(−2, −1)B.(−1, 0)C.(0, 1)D.(1, 2)已知，则“”是“”的()A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件设函数若，，则关于的方程的解的个数为()A.1B.2C.3D.4五、解答题已知实数，判断函数的奇偶性，并说明理由.已知命题：幂函数的图象过原点；命题：函数在区间上不是单调函数. 若命题和命题只有一个为真命题，求实数的取值范围.已知函数.（1）判断函数的单调性，并证明；（2）用函数观点解不等式：. 经过多年的运作，“双十一”抢购活动已经演变成为整个电商行业的大型集体促销盛宴．为迎接2018年“双十一”网购狂欢节，某厂家拟投入适当的广告费，对网上所售产品进行促销．经调查测算，该促销产品在“双十一”的销售量p万件与促销费用x万元满足（其中，a为正常数）．已知生产该产品还需投入成本万元（不含促销费用），每一件产品的销售价格定为元，假定厂家的生产能力完全能满足市场的销售需求．（1）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；（2）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？并求出最大利润的值．定义：如果函数在定义域内给定区间上存在实数，满足，那么称函数是区间上的“平均值函数”，是它的一个均值点.（1）判断函数是否是区间上的“平均值函数”，并说明理由；（2）若函数是区间上的“平均值函数”，求实数的取值范围；（3）若函数是区间上的“平均值函数”，且是函数的一个均值点，求所有满足条件的有序数对.参考答案与试题解析上海市2020-2021学年高一上学期期末数学试题一、填空题1.【答案】[加加){1,3,4)【考点】函数的值域及其求法函数的定义域及其求法【解析】由图象可得函数值，得值域．【解答】由图象可知函数值有1，3,4，即值域为{1,3,4}故答案为：{1,3,4}2.【答案】I≤加)(1,4)【考点】分式不等式的解法【解析】先求出集合A,B，再根据交集的定义即可求出．【解答】∵A={x||x−1|<3}={x|−2<x<4}B={x|x−1x−5<0}={x|1<x<5}A∩B={x|1<x≤4}=(1,4)故答案为:(1,4)3.【答案】[加加]√x+13【考点】反函数函数的值域及其求法函数奇偶性的性质【解析】由y=x3−1求得后交换xy的位置可得反函数，同时注意求原函数的值域，即反函数的定义域．【解答】由y=x3−1知y∈Rx3=y+1，所以x=√y+13所以f−1(x)=√x+13x∈R故答案为：√x+134.【答案】2【考点】函数的概念及其构成要素伪代码判断两个函数是否为同一函数【解析】根据函数的周期性直接求解．【解答】由函数y=f(x)，满足f(x)=f(x+2)即f(x)=f(x−2)得f(92)=f(52)=f(12)=4×12=2故答案为：2.5.【答案】[加加](−1,0)∪(0,1)【考点】奇偶性与单调性的综合函数单调性的性质函数奇偶性的性质【解析】由奇函数性质得f(−1)=0，在(−∞,0)上函数也是递增的，从而可求得不等式的解．【解答】由题意f(−1)=0，且f(x)在(−∞,0)上函数是递增的，f(x)x<0⇒{f(x)<0x>0或{f(x)>0x<0，所以0<x<1或−1<x<0故答案为：(−1,0)∪(0,1)6.【答案】−5【考点】函数的对称性【解析】根据偶函数及绝对值函数性质直接求解即可．【解答】由已知y=|x−n|+2是定义在[4m,m2−5)上的偶函数，故4m+m2−5=0，即m=1，或m=−5，且函数图象关于！轴对称，又4m<m2−5，故m=−5因为y=|x−n|+2关于直线x=n对称，故n=0m+n=−5故答案为：−57.【答案】2【考点】与二次函数相关的复合函数问题【解析】令t=log3x，可得y=t(1+t)=(t+12)2−14，即可求出最小值．【解答】∵y=log3x⋅log33x=log3x⋅(1+log3x)令t=log3x．x∈[3,9]，t∈[1,2]则y=t(1+t)=(t+12)2−14当t=1时，y加加=2故答案为：2.8.【答案】【答2.【考点】进位制三角函数值的符号集合的确定性、互异性、无序性【解析】由反函数对称性质即可求解．【解答】由x+log2x=2的解为x1，得log2x1=−x1+2同理x+24=2的解为x2，得2x=−x2+2又函数y=log2x与函数y=2x互为反函数，图象关于直线y=x对称，且y=−x+2与y=x互相垂直，且交点为(1,1)则函数y=log2x与函数y=−x+2的交点A(x1,y1)，函数y=2x与函数y=−x+2的交点B(x2,y2)，关于直线y=x对称，即A(x1,y1)与B(x2,y2)关于点(1,1)对称，即x1+x2=2故答案为：2．二、解答题【答案】(3,4]【考点】根的存在性及根的个数判断区间与无穷的概念函数的零点与方程根的关系【解析】方程(x−2)(x2−4x+m)=0的三根是一个三角形三边的长，则方程有一根是2，即三角形的一边是2，另两边是方程x2−4x+m=0的两个根，根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．则方程x2−4x+m=0的两个根设是x x和x3，一定是两个正数，且一定有|x1−x3|<2<x2+x3，结合根与系数的关系，以及根的判别式即可确定”的范围．【解答】解：：方程(x−2)(x2−4x+m)=0有三根，x1=2x2−4x+m=0有根，方程x2−4x+m=0的Δ=16−4m>0，得m≤4又：原方程有三根，且为三角形的三边和长．有x2+x3>x1=2|x2−x3|<x1=2，而x2+x3=4>2已成立；当|x2−x3|<2时，两边平方得：(x2+x3)2−4x2x3<4即：16−4m<4．解得m>33≤m≤4故答案为：(3,4]三、填空题【答案】【3加加(5−√34,1)【考点】根的存在性及根的个数判断函数的零点与方程根的关系一元二次方程的根的分布与系数的关系【解析】化简得出函数y =f (x )的解析式，不妨设x 1<x 2<x 3，作出函数y =f (x )的图象，可知当0<m <14时，直线y =m 与函数y =f (x )的图象有三个交点，由对称性可求得x 2+x 3的值，由f (x 1)=(0,14)可解得x 1的取值范围，进而可求得 x 1+x 2+x 3的取值范围．【解答】当2x −1≤x −1时，即当x ≤0时，f (x )=(2x −1)2−(2x −1)(x −1)=2x 2−x 当2x −1>x −1时，即当x >0时，f (x )=(x −1)2−(2x −1)(x −1)=x −x 2 f (x )={2x 2−x,x ≤0x −x 2,,,,,，作出函数y =f (x )的图象如下图所示：设x 1<x 2<x 3，可知点(x 2,m )与点(x 3,m )关于直线x =12对称，则x 1+x 3=1当x >0时，f (x )=x −x 2=−(x −12)2+14≤14由图象可知，当0∴m <14时，直线y =m 与函数y =f (x )的图象有三个交点，由f (x 1)=2x 12−x 1∈(0,14)，可得0<2x 12−x 1∴14∵x 1<0，解得1−√34<x 1<0，所以，5−√34<x 1+x 2+x 3<1因此，x 1+x 2+x 3的取值范围为(5−√34,1)故答案为：(5−√34,1)四、单选题【答案】 D【考点】对数函数的图象与性质判断两个函数是否为同一函数【解析】判断函数的定义域与对应法则，两者均相同的为同一函数．【解答】A ．两函数定义域都是R ，但对应法则不相同，一个是y =x ，一个是y =|x|，不是同一函数；B ．前一函数定义域是[1,+∞), 后一函数定义域是(−∞,−1]∪[1,+∞)，不是同一函数；C ．前一函数定义域是R ，后一函数定义域是(0,+∞)，不是同一函数；D ．两函数定义域相同，后一函数，计算x =1时，y =1x =2时，y =1，对应法则相同，值域也相同，是同一函数．故选：D ．【答案】 B【考点】函数零点的判定定理【解析】试题分析：因为函数f (x )=223x 在其定义域内是递增的，那么根据f (−1)=12−3=−52<0,f (0)=1+0=1>0,那么函数的零点存在性定理可知，函数的零点的区间为(−1,0)，选B ．【解答】此题暂无解答【答案】 D【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断充分条件、必要条件、充要条件运用诱导公式化简求值【解析】分别对充分性和必要性进行判断，对于不能推出的情况举一个反例就可以．【解答】4a >43⇔a >b充分性：取a =0,b =−1，但是04≤(−1)4，即不能推出a 4>b 4，所以充分性不满足；必要性：取a =−1,b =0，符合a 4>b 4，但是4−1<4∘，即不能推出4a >4”，必要性不满足．综上：“4a >4y ”是a 4>b 4”的既非充分又非必要条件故选：D 【答案】 C【考点】函数的求值求函数的值运用诱导公式化简求值【解析】由题意求得b 、c 的值，可得函数f (x )的解析式．再分类讨论解方程，从而得到关于》的方程f (x )=x 的解的个数．【解答】解：由f (−4)=f (0)得16−4b +c =c ，① 由f (−2)=−2得4−2b +c =−2，③ 由①②得b =4c =2所以f (x )={x 2+4x +2(x ≤0),2(x >0),当x ≤0时，由f (x )=x 得方程x 2+4x +2=x ，解得x 1=−1x 2=−2 当x >0时，由f (x )=x 得x =2 故方程共有3个解．故选：C 五、解答题【答案】【答a =1时，f (x )为奇函数；a ≠1时，f (x )为非奇非偶函数．【考点】函数奇偶性的性质函数奇偶性的判断函数单调性的判断与证明【解析】根据定义域讨论a =1和a ≠1时利用定义判断．【解答】由题可得24−a ≠0当a =1时，x ≠0，即f (x )的定义域为{x|x ≠0}，关于原点对称， f (−x )=2−x +12−x −1=1+2x1−2x =−f (x )f (x )为奇函数，当a ≠1时，f (x )的定义域不关于原点对称，则f (x )为非奇非偶函数．【答案】加加加)0,1]][4,+∞)【考点】命题的真假判断与应用奇偶性与单调性的综合复合命题及其真假判断【解析】通过两个命题求出α的范围，然后通过当？真4假时，当Р假♀真时即可求解【解答】若？为真命题，则a −1>0，解得a >1 若♀为真命题，则{a >0√a <2，解得0<a <4因为命题？和命题4只有一个为真命题，所以a ∈(0,1]∪[4,+∞) 【答案】（1）增函数，证明见解析；（2）(2,+∞)）．【考点】函数单调性的判断与证明奇偶性与单调性的综合函数单调性的性质【解析】（1）任取对、x 2∈(0,+x )且x 1>x 2，通过作差、因式分解、判断差值符号，可证得函数f (x )在(0,+x )上的单调性；（2）由已知条件可得出f (x )>f (2)，结合（1）中的结论可解原不等式．【解答】（1）任取x 1,x 2∈(0,+∞)且x 1>x 2，即x 1>x 2>0f (x 1)−f (x 2)=(x 12−2x 1−3)−(x 22−2x 1−3)=(x 12−x 22)+(2x 2−2x 1) =(x 1−x 2)(x 1+x 2)+2(x 1−x 2)x 1x 2=(x 1−x 2)(x 1+x 2+2x 1x 2)因为x 1>x 2>0，则x 1−x 2>0,x 1+x 2+2x 1x 2>0f (x 1)−f (x 2)>0所以函数f (x )=x 2−2x −3在区间(0,+∞)上是严格增函数；（2）由（1）可知函数f (x )=x 2−2x −3在区间(0,+∞)上是严格增函数，且f (2)=0因此由f (x )>0=f (2)可得x >2因此，不等式f (x )>0的解集为(2,+∞) 【答案】（1）y =16−4x+1−x (0≤x ≥a )；（2）当a ≥1时，促销费用投入1万元，厂家的利润最大，为16−41+1−1=13万元；当a <1时，促销费用投入ａ万元，厂家的利润最大，为16−4a+1−a 万元．【考点】函数模型的选择与应用根据实际问题选择函数类型概率的应用【解析】（1）根据产品的利润三销售额一产品的成本建立函数关系；（2）利用导数可求出该函数的最值．【解答】（1）由题意知，y =(4+20p)p −x −(10+2p )将p =3−2x+1代入化简得：y =16−4x+1−x (0≤x ≥a ) （2）y ′=−1−−4(x+1)2=−(x+1)2+4(x+1)2=−x 2+2x−3(x+1)2=−(x+3)(x−1)(x+1)2(i)当a ≥1时，①当x ∈(0,1)时，y >0，所以函数y =16−4x+1−x 在(0,1)上单调递增，②当x ∈(1,a )时，y <0，所以函数y =16−4x+1−x 在(1,a )上单调递减，从而促销费用投入1万元时，厂家的利润最大；(ii)当a <1时，因为函数y =16−4x+1−x 在(0,1)上单调递增，所以在[0,a ]上单调递增，故当x =a 时，函数有最大值，即促销费用投入ａ万元时，厂家的利润最大综上，当a ≥1时，促销费用投入1万元，厂家的利润最大，为16−41+1−1=13万元；当a <1时，促销费用投入ａ万元，厂家的利润最大，为16−4a+1−a 万元．【答案】（1）是，理由见解析；（2）(1,+∞)；（3）(4,2)【考点】奇偶性与单调性的综合函数解析式的求解及常用方法函数恒成立问题【解析】（1）根据平均值函数的定义，由函数解析式，得到f (x 0)=0，求出x 0，即可判断出结果；（2）由题意，根据平均值函数的定义，得到存在0<x 0<1，使m ⋅(2x −1)=4x 3，利用换元法，结合指数函数的性质，即可求出结果；（3）先由题意，得到f (1)=k (t −2)+1，推出t =3−4k ，结合题中条件，即可得出结果．【解答】（1）由“平均值函数”的定义，存在0∈(−1,1)，满足f (0)=0=f (1)−f (−1)1−(−1)因此f (x )=x 4是区间[−1,1]上的“平均值函数”．（2）若函数g (x )=m ⋅2x −1是区间[0,1]上的“平均值函数”，则存在x ∈(0,1)，满足m ⋅2x −1=g (1)−g (0)1−0=m即关于》的方程m ⋅24−1=m 在区间(0,1)内有解．参变分离，将方程转化为m =12x −1,x ∈(0,1)函数y =12x −1,x ∈(0,1)的值域为(1,+∞) 因此m ∈(1,+∞)（3）若函数ℎ(x )=kx 2+x −4(k ≥1,k ∈N )是区间[−2,1],t ∈Nt ∈N)上的“平均值函数”，且1是函数ℎ(x )的一个均值点，则ℎ(1)=ℎ(t )−ℎ(−2)t−(−2) 即k −3=k+t 2+t−4−(4k−6)t+2=k (t −2)+1得到k =43−t ，其中k ≥1,k ∈N,t,t ∈N 满足条件的解为{k =4t =2即所有满足条件的有序数对(k,t )为(4,2)。

上海市位育高级中学2021-2022学年高一数学文上学期期末试题含解析

上海市位育高级中学2021-2022学年高一数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若奇函数在上为增函数，且有最小值0，则它在上（）A.是减函数，有最小值0B.是增函数，有最小值0C.是减函数，有最大值0D.是增函数，有最大值0参考答案：D2. 函数的定义域是 ( )A． B． C． D．参考答案：D略3. 函数．若存在，使得，则的取值范围是（）．A．(2,+∞)B．(1,+∞)C．D．参考答案：D当时，，因此，可化为，即存在，使成立，由于的对称轴为，所以，连单调递增，因此只要，即，解得，又因，所以，当时，恒成立，综上，．选．4. 已知平面向量a、b共线，则下列结论中不正确的个数为( )①a、b方向相同②a、b两向量中至少有一个为0③存在λ∈R，使b＝λa④存在λ1，λ2∈R，且λ＋λ≠0，λ1a＋λ2b＝0(A)1 (B)2 (C)3 (D)4参考答案：C略5. 已知幂函数y=f（x）的图象经过点（2，），则f（4）的值为( )A．16 B．2 C．D．参考答案：C【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【专题】函数的性质及应用．【分析】求出幂函数的解析式，然后求解函数值即可．【解答】解：设幂函数为y=xα，∵幂函数y=f（x）的图象经过点（2，），∴=2α，解得α=．y=x．f（4）==．故选：C．【点评】本题考查幂函数的解析式的求法，基本知识的考查．6. 已知直线ax+2y+2=0与3x﹣y﹣2=0平行，则系数a=（）A．3 B．﹣6 C．﹣D．参考答案：B【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】由直线的平行关系可得，解之可得．【解答】解：∵直线ax+2y+2=0与直线3x﹣y﹣2=0平行，∴，解得a=﹣6．故选：B．【点评】本题考查直线的一般式方程和平行关系，属基础题．7. 已知Rt△ABC的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，则直线ax+by+c=0与圆x2+y2=1的位置关系是（）A、相交B、相切C、相离D、相切或相交参考答案：B8. 已知等差数列{a n}满足，，则（）A. 176 B. 88 C. 44 D. 22参考答案：B【分析】利用等差数列的性质和求和公式即可求出．【详解】因为数列是等差数列，由，得，又，则，故选：B．【点睛】等差数列或等比数列的处理有两类基本方法：（1）利用基本量即把数学问题转化为关于基本量的方程或方程组，再运用基本量解决与数列相关的问题；（2）利用数列的性质求解即通过观察下标的特征和数列和式的特征选择合适的数列性质处理数学问题．9. 已知△ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列,则△ABC的面积为（）A．15 B． C. D．参考答案：C由△ABC三边长构成公差为4的等差数列，设三边长分别为a，a+4，a+8（a＞0），∴a+8所对的角为120°，∴cos120°=整理得a2﹣2a﹣24=0，即（a﹣6）（a+4）=0，解得a=6或a=﹣4（舍去），∴三角形三边长分别为6，10，12，则S△ABC=×6×10×sin120°=15．故选C．10. 函数的定义域为（）A．(0,+∞)B．(0,1)∪(1,+∞)C．(1,+∞)D．(0,10)∪(10,+∞)参考答案：D由函数的解析式可得，Lgx-1≠0, x ＞0，即 0＜x ＜10或10＜x ，故函数定义域为,故选D ．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设集合，则=_____________参考答案：略12. 关于函数有下列命题：①函数的图象关于y 轴对称；②在区间(－∞,0)上，函数是减函数；③函数f (x )的最小值为lg2；④在区间(1,+∞)上，函数f (x )是增函数．其中正确命题序号为_______________．参考答案：①③④13. 函数的单调增区间为__________________．参考答案：略14. 函数f (x )=的单调递增区间是.参考答案：15. 若函数在R 上是增函数，则实数a 的取值范围是 .参考答案：16. 若，，则下列性质对函数成立的是（把满足条件的序号全部写在横线上）①； ②③； ④．参考答案：④略 17. 已知，则的值等于___ ______．参考答案： 18略三、解答题：本大题共5小题，共72分。

2021-2022学年上海市上海中学高一上学期期末考数学试卷(含详解)

2021-2022年上海中学高一上期末一、填空题1.若函数()f x 满足()112x f x -+=，则()4f =______．2.函数()()2ln 4f x x=-的单调增区间是______．3.已知θ是第四象限角，5cos 13θ=，则2021cos 2πθ⎛⎫-=⎪⎝⎭______．4.函数()()()42log 4log 2f x x x =⋅的最小值为______．5.已知函数()()12f x xx α=≤≤的最大值与最小值之差为12，则α=______．6.已知()f x 是偶函数，且方程()30f x -=有五个解，则这五个解之和为______．7.不等式()()2021202142x x --->-的解为______．8.设()f x 是定义在区间[]22-,上的严格增函数．若()()2212f a f a ->+，则a 的取值范围是______．9.若π0,4θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，记22cos sin P θθ=-，33cos sin Q θθ=-，44cos sin R θθ=-，则P 、Q 、R 的大小关系为______．10.在函数()125236x x xf x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭的图像上，有______个横、纵坐标均为整数的点．11.设()111f x x x x=++-，若存在a ∈R 使得关于x 的方程()()()20f x af x b ++=恰有六个解，则b 的取值范围是______．12.若定义域为(]0,I m =的函数()e xf x =满足：对任意能构成三角形三边长的实数,,a b c I ∈，均有()f a ，()f b ，()f c 也能构成三角形三边长，则m 的最大值为______．（e 2.718281828≈是自然对数的底）二、选择题13.2021- 的始边是x 轴正半轴，则其终边位于第（）象限．A.一B.二C.三D.四14.设函数()f x 的定义域为R ．则“()f x 在R 上严格递增”是“()()g x f x x =+在R 上严格递增”的（）条件A.充分不必要B.必要不充分C .充分必要D.既不充分也不必要15.将函数()()lg 2f x x =的图像向左、向下各平移1个单位长度，得到()g x 的函数图像，则()g x =（）A.()lg 211x +- B.1lg 5x +⎛⎫⎪⎝⎭C.()lg 211x -- D.1lg 5x -⎛⎫⎪⎝⎭16.设函数()2xf x x =+，点()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y 在()f x 的图像上，且32210x x x x -=-≠．对于ABC ，下列说法正确的是（）①一定是钝角三角形②可能是直角三角形③不可能是等腰三角形③可能是等腰三角形A.①③B.①④C.②③D.②④三、解答题17.求函数()f x =18.已知0a >，b R ∈，且函数()12xf x b a=+-有奇偶性，求a ，b 的值．19.某厂商计划投资生产甲、乙两种商品，经市场调研发现，如图所示，甲、乙商品的投资x 与利润y （单位：万元）分别满足函数关系11ay k x =与22ay k x =．（1）求1k ，1a 与2k ，2a 的值；（2）该厂商现筹集到资金20万元，如何分配生产甲、乙商品的投资，可使总利润最大？并求出总利润的最大值．21.设函数()1122f x x ax x x ⎛⎫=+-≤≤ ⎪⎝⎭，其中a R ∈．（1）若当1,22x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时()f x 取到最小值，求a 的取值范围．（2）设()f x 的最大值为()M a ，最小值为()L a ，求()()()g a M a L a =-的函数解析式，并求()g a 的最小值．23.对于函数()f x ，若实数0x 满足()00f x x =，则称0x 是()f x 的不动点．现设()2f x x a =+．（1）当2a =-时，分别求()f x 与()()f f x 的所有不动点；（2）若()f x 与()()ff x 均恰有两个不动点，求a 的取值范围；（3）若()f x 有两个不动点，()()ff x 有四个不动点，证明：不存在函数()g x 满足()()()f x g g x =．2021-2022年上海中学高一上期末一、填空题1.若函数()f x 满足()112x f x -+=，则()4f =______．【1题答案】【答案】4【解析】【分析】根据题意，令3x =，结合指数幂的运算，即可求解.【详解】由题意，函数()f x 满足()112x f x -+=，令3x =，可得()()3131424f f -+===.故答案为：4.2.函数()()2ln 4f x x =-的单调增区间是______．【2题答案】【答案】(2,0]-【解析】【分析】先求出函数的定义域，再换元，利用复合函数单调性的求法求解【详解】由240x ->，得22x -<<，所以函数的定义域为(2,2)-，令24t x =-，则ln y t =，因为24t x =-在(2,0]-上递增，在[0,2)上递减，而ln y t =在(0,)+∞上为增函数，所以()f x 在(2,0]-上递增，在[0,2)上递减，故答案为：(2,0]-3.已知θ是第四象限角，5cos 13θ=，则2021cos 2πθ⎛⎫-=⎪⎝⎭______．【3题答案】【答案】1213-【解析】【分析】利用同角三角函数的基本关系求出sin θ的值，在利用诱导公式可求得结果.【详解】因为θ是第四象限角，5cos 13θ=，则12sin 13θ==-，所以，202112cos cos sin 2213ππθθθ⎛⎫⎛⎫-=-==-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：1213-.4.函数()()()42log 4log 2f x x x =⋅的最小值为______．【4题答案】【答案】18-##-0.125【解析】【分析】化简函数为()2442(log )3log 1f x x x =++，4log t x R =∈，得到()2231f t t t =++，结合二次函数的性质，即可求解.【详解】由题意，函数()()()4242log 4log 2(log 1)(log 1)f x x x x x =⋅=++24444(log 1)(2log 1)2(log )3log 1x x x x =++=++，令4log t x R =∈，可得()22312312()48f t t t t =++=+-，当34t =-时，()min 31()48f t f =-=-，即函数()f x 的最小值为18-.故答案为：18-.5.已知函数()()12f x x x α=≤≤的最大值与最小值之差为12，则α=______．【5题答案】【答案】23log 2或1-.【解析】【分析】根据幂函数的性质，结合题意，分类讨论，利用单调性列出方程，即可求解.【详解】由题意，函数()()12f x xx α=≤≤，当0α>时，函数()f x 在[]1,2上为单调递增函数，可得1212α-=，解得23log 2α=；当0α=时，显然不成立；当0α<时，函数()f x 在[]1,2上为单调递减函数，可得1122α-=，解得1α=-，综上可得，23log 2α=或1α=-.故答案为：23log 2或1-.6.已知()f x 是偶函数，且方程()30f x -=有五个解，则这五个解之和为______．【6题答案】【答案】15【解析】【分析】根据函数的奇偶性和图象变换，得到函数()3=-y f x 的图象关于3x =对称，进而得出方程其中其中一个解为3x =，另外四个解满足14236x x x x +=+=，即可求解.【详解】由题意，函数()f x 是偶函数，可函数()f x 的图象关于0x =对称，根据函数图象的变换，可得函数()3=-y f x 的图象关于3x =对称，又由方程()30f x -=有五个解，则其中一个解为3x =，不妨设另外四个解分别为1234,,,x x x x 且1234x x x x <<<，则满足2314322x x x x ++==，即14236x x x x +=+=，所以这五个解之和为66315++=.故答案为：15.7.不等式()()2021202142x x --->-的解为______．【7题答案】【答案】()(),23,4∞-⋃【解析】【分析】根据幂函数的性质，分类讨论即可【详解】将不等式()()2021202142x x --->-转化成2021202111(()42x x >--（Ⅰ）1041021142x x x x ⎧>⎪-⎪⎪>⎨-⎪⎪>⎪--⎩，解得34x <<；（Ⅱ）104102xx ⎧>⎪⎪-⎨⎪<⎪-⎩，解得2x <；（Ⅲ）1041021142x x x x ⎧<⎪-⎪⎪<⎨-⎪⎪>⎪--⎩，此时无解；综上，不等式的解集为：(,2)(3,4)-∞故答案为：(,2)(3,4)-∞ 8.设()f x 是定义在区间[]22-,上的严格增函数．若()()2212f a f a ->+，则a 的取值范围是______．【8题答案】【答案】6[,1)2--.【解析】【分析】根据题意，列出不等式组222122212222a a a a ⎧->+⎪-≤-≤⎨⎪-≤+≤⎩，即可求解.【详解】由题意，函数()f x 是定义在区间[]22-,上的严格增函数，因为()()2212f a f a ->+，可得222122212222a a a a ⎧->+⎪-≤-≤⎨⎪-≤+≤⎩，解得12a -≤<-，所以实数a 的取值范围是6[,1)2--.故答案为：[,1)2--.9.若π0,4θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，记22cos sin P θθ=-，33cos sin Q θθ=-，44cos sin R θθ=-，则P 、Q 、R 的大小关系为______．【9题答案】【答案】P R Q =<【解析】【分析】利用平方差公式和同角三角函数的平方关系可得P 、R 的关系，然后作差，因式分解，结合已知可判断P 、Q 的大小关系.【详解】44222222cos sin (cos sin )(cos sin )cos sin R P θθθθθθθθ=-=+-=-=又2233cos sin (cos sin )P Q θθθθ-=---(cos sin )(cos sin )(cos sin )(1cos sin )θθθθθθθθ=-+--+(cos sin )(cos sin 1cos sin )θθθθθθ=-+--(cos sin )(cos 1)(1sin )θθθθ=---因为π0,4θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos sin 0,cos 10,1sin 0θθθθ->-<->所以0P Q -<，即P Q<所以P 、Q 、R 的大小关系为P R Q =<.故答案为：P R Q=<10.在函数()125236x x xf x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭的图像上，有______个横、纵坐标均为整数的点．【10题答案】【答案】3【解析】【分析】由题可得函数为减函数，利用赋值法结合条件及函数的性质即得.【详解】因为()125236x x xf x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以函数在R 上单调递减，又()0001250=3236f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()11112512236f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()222125252=23618f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()3331253=1236f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，且当3x >时，()()0,1f x ∈，当0x <时，令,N *x n n =-∈，则()12536151222Z 236251010n n nn n n nn n f n ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=++=++=++∉ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，综上，函数()125236xxxf x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的图像上，有3个横、纵坐标均为整数的点．故答案为：3.11.设()111f x x x x=++-，若存在a ∈R 使得关于x 的方程()()()20f x af x b ++=恰有六个解，则b 的取值范围是______．【11题答案】【答案】2,)++∞【解析】【分析】作出f (x )的图像，当0x <时，min ()1f x =+，当0x >时，min ()2f x =.令()t f x =，则20t at b ++=，则该关于t的方程有两个解1t、2t，设1t＜2t，则11)t∈+，21,)t∈+∞.令2()g t t at b=++，则(2)01)0gg>⎧⎪⎨+<⎪⎩，据此求出a的范围，从而求出b的范围．【详解】当1≥x时，11()11f x x xx x=++-=+，当01x<<时，112()11f x x xx x x=++-=+-，当0x<时，112()11f x x xx x x=--+-=--+，则f(x)图像如图所示：当0x<时，2()11f x xx=--+≥+，当0x>时，min()2f x=．令()t f x=，则20t at b++=，∵关于x的方程()()()20f x af x b++=恰有六个解，∴关于t的方程20t at b++=有两个解1t、2t，设1t＜2t，则11)t∈+，21,)t∈+∞，令2()g t t at b=++，则(2)4201)91)0g a bg a b=++>⎧⎪⎨+=++++<⎪⎩，∴42ba-->且a<，要存在a满足条件，则42b--<，解得2b>+．故答案为：2,)++∞．12.若定义域为(]0,I m =的函数()e xf x =满足：对任意能构成三角形三边长的实数,,a b c I ∈，均有()f a ，()f b ，()f c 也能构成三角形三边长，则m 的最大值为______．（e 2.718281828≈是自然对数的底）【12题答案】【答案】ln 4##2ln 2【解析】【分析】不妨设三边的大小关系为：0a b c <≤≤，利用函数的单调性，得出()f a ，()f b ，()f c 的大小关系，作为三角形三边则有任意两边之和大于第三边，再利用基本不等式求出边的范围得出m 的最大值即可.【详解】()e xf x =在(]0,I m =上严格增，所以(()1,e m f x ⎤∈⎦，不妨设0a b c <≤≤，因为对任意能构成三角形三边长的实数,,a b c I ∈，均有()f a ，()f b ，()f c 也能构成三角形三边长，所以e e e ,a b c a b c +>+>，因为e e e a b c +≥=>，所以24e e a b c +>，因为对任意,,a b c I ∈都成立，所以24e e c c ≥，所以e 4c ≤，所以ln 4c ≤，所以ln 4m ≤，所以m 的最大值为ln 4．故答案为：ln 4.二、选择题13.2021- 的始边是x 轴正半轴，则其终边位于第（）象限．A.一 B.二C.三D.四【13题答案】【答案】B 【解析】【分析】将2021- 转化为()0,360内的角，即可判断.【详解】20213606139-=-⨯+ ，所以2021- 的终边和139 的终边相同，即落在第二象限.故选：B14.设函数()f x 的定义域为R ．则“()f x 在R 上严格递增”是“()()g x f x x =+在R 上严格递增”的（）条件A.充分不必要B.必要不充分C.充分必要D.既不充分也不必要【解析】【分析】利用特例法、函数单调性的定义结合充分条件、必要条件的定义判断可得出合适的选项.【详解】若函数()f x 在R 上严格递增，对任意的1x 、2R x ∈且12x x <，()()12f x f x <，由不等式的性质可得()()1122f x x f x x +<+，即()()12g x g x <，所以，()()g x f x x =+在R 上严格递增，所以，“()f x 在R 上严格递增”⇒“()()g x f x x =+在R 上严格递增”；若()()g x f x x =+在R 上严格递增，不妨取()12f x x =-，则函数()()12g x f x x x =+=在R 上严格递增，但函数()12f x x =-在R 上严格递减，所以，“()f x 在R 上严格递增”⇐/“()()g x f x x =+在R 上严格递增”.因此，“()f x 在R 上严格递增”是“()()g x f x x =+在R 上严格递增”的充分不必要条件.故选：A.15.将函数()()lg 2f x x =的图像向左、向下各平移1个单位长度，得到()g x 的函数图像，则()g x =（）A.()lg 211x +-B.1lg 5x +⎛⎫⎪⎝⎭C.()lg 211x -- D.1lg 5x -⎛⎫⎪⎝⎭【15题答案】【答案】B 【解析】【分析】根据函数的图象变换的原则，结合对数的运算性质，准确运算，即可求解.【详解】由题意，将函数()()lg 2f x x =的图像向左、向下各平移1个单位长度，可得()221lg[2(1)]1lg(22)1lg lg 105x x g x x x ++=+-=+-==.故选：B.16.设函数()2xf x x =+，点()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y 在()f x 的图像上，且32210x x x x -=-≠．对于ABC ，下列说法正确的是（）①一定是钝角三角形②可能是直角三角形③不可能是等腰三角形③可能是等腰三角形A.①③B.①④C.②③D.②④【解析】【分析】结合0BA BC ⋅<uu r uu u r，得到90ABC ∠> ，所以ABC 一定为钝角三角形，可判定①正确，②错误；根据两点间的距离公式和函数的变化率的不同，得到AB BC <，可判定③正确，④不正确.【详解】由题意，函数()2xf x x =+为单调递增函数，因为点()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y 在()f x 的图像上，且32210x x x x -=-≠，不妨设123x x x <<，可得12123232(,),(,)BA x x y y BC x x y y =--=--，则12321232()()()()BA BC x x x x y y y y ⋅=--+--，因为123x x x <<，可得1232()()0x x x x --<，31221222313222(()()[())][2()]()2x x x x x x x x y y y y -+----+-=又由因为12220x x -<，120x x -<，32220x x ->，320x x ->，所以31221232[())][())22(22(]0xxxxx x x x -+-+-<-，所以12321232()()()()0BA BC x x x x y y y y ⋅=--+--<所以90ABC ∠> ，所以ABC 一定为钝角三角形，所以①正确，②错误；由两点间的距离公式，可得AB BC ==根据指数函数和一次函数的变化率，可得点A 到B 的变化率小于点B 到C 点的变化率不相同，所以AB BC <，所以ABC 不可能为等腰三角形，所以③正确，④不正确.故选：A.三、解答题17.求函数()f x =【17题答案】【答案】定义域为(1,)+∞，值域为[1,)+∞，递减区间为(1,2]，递增区间为[2,)+∞.【解析】【分析】由函数的解析式有意义列出不等式，可求得其定义域，由2331(1)111x x x x x -+=-+---，结合基本不等式，可求得函数的值域，令()1(1)11g x x x =-+--，根据对勾函数的性质和复合函数的单调性的判定方法，可求得函数的单调区间.【详解】由题意，函数()f x =23301x x x -+≥-且10x -≠，因为方程223333(024x x x -+=-+>，所以10x ->，解得1x >，所以函数()f x 的定义域为(1,)+∞又由2233(1)(1)11(1)1111x x x x x x x x -+---+==-+----，因为10x ->，所以1(1)1111x x -+-≥=-，当且仅当111x x -=-时，即2x =时，等号成立，所以23311x x x -+≥-，所以函数()f x 的值域为[1,)+∞，令()1(1)11g x x x =-+--，根据对勾函数的性质，可得函数()g x 在区间(1,2]上单调递减，在[2,)+∞上单调递增，结合复合函数的单调性的判定方法，可得()f x 在(1,2]上单调递减，在[2,)+∞上单调递增.18.已知0a >，b R ∈，且函数()12x f x b a=+-有奇偶性，求a ，b 的值．【18题答案】【答案】()f x 为奇函数，11,2a b ==，【解析】【分析】由函数奇偶性的定义列方程求解即可【详解】若()f x 为奇函数，则()()0(R)f x f x x -+=∈，所以11022x x b b a a-+++=--恒成立，即212122x x x b a a+=--⋅-，所以22222212[2(1)2]x x x x a b a a a -⋅+=--⋅++⋅-恒成立，所以21222(1)ab a b a =⎧⎨-=-+⎩，解得112a b =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以当()f x 为奇函数时，11,2a b ==，若()f x 为偶函数，则()()(R)f x f x x -=∈，所以1122x x b b a a-+=+--恒成立，得22x x -=，得0x =，不合题意，所以()f x 不可能是偶函数，综上，()f x 为奇函数，11,2a b ==，19.某厂商计划投资生产甲、乙两种商品，经市场调研发现，如图所示，甲、乙商品的投资x 与利润y （单位：万元）分别满足函数关系11ay k x =与22ay k x =．（1）求1k ，1a 与2k ，2a 的值；（2）该厂商现筹集到资金20万元，如何分配生产甲、乙商品的投资，可使总利润最大？并求出总利润的最大值．【19题答案】【答案】（1）1 1.5k =，11a =，23k =，212a =（2）分配生产乙商品的投资为1万元，甲商品的投资为19万元，此时总利润的最大值为31.5万元.【解析】【分析】（1）代入点的坐标，求出1k ，1a 与2k ，2a 的值；（2）在第一问的基础上，表达出总利润的关系式，利用配方求出最大值.【小问1详解】将()()1,1.5,3,4.5代入11ay k x =中，111 1.53 4.5a k k =⎧⎨⋅=⎩，解得：111.51k a =⎧⎨=⎩，将()()4,6,9,9代入22ay k x =中，22224699a a k k ⎧⋅=⎨⋅=⎩，解得：22312k a =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以1 1.5k =，11a =，23k =，212a =.【小问2详解】设分配生产乙商品的投资为m （0≤m ≤20）万元、甲商品的投资为()20m -万元，此时的总利润为w ，则())12231.5203131.52w m m =-+⋅=-+，因为0≤m ≤20，1=，即1m =时，w 取得最大值，即分配生产乙商品的投资为1万元，甲商品的投资为19万元，此时总利润的最大值为31.5万元.21.设函数()1122f x x ax x x ⎛⎫=+-≤≤ ⎪⎝⎭，其中a R ∈．（1）若当1,22x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时()f x 取到最小值，求a 的取值范围．（2）设()f x 的最大值为()M a ，最小值为()L a ，求()()()g a M a L a =-的函数解析式，并求()g a 的最小值．【21题答案】【答案】（1）3(3,)4-（2）()()()33,[,)2452(3,0]2513(3,)2243,(,3]2a a g a a x g a g a a x a a ∞∞⎧∈+⎪⎪⎪=--∈-⎪=⎨⎪=--∈-⎪⎪⎪-∈--⎩，最小值为12.【解析】【分析】（1）求得函数的导数()22(1)1a x f x x--'=，令()2(1)1h x a x =--，要使得函数()f x 在1(,2)2x ∈取到最小值，则函数()f x 必须先减后增，列出方程组，即可求解；（2）由（1）知()2(1)1h x a x =--，若10a -≤时，得到函数()f x 在1[,2]2上单调递减，得到()32g a a =；若10a ->时，令()0h x =，求得x =12≤2≥，122<<三种情况讨论，求得函数的解析式，利用一次函数、换元法和二次函数的性质，即可求解.【小问1详解】解：由函数()11(1)f x x ax a x x x =+-=-+，可得()2221(1)1(1)a x f x a x x--'=--=，令()2(1)1h x a x =--，要使得函数()f x 在1(,2)2x ∈取到最小值，则函数()f x 必须先减后增，则满足()()11()11024(2)4110h a h a ⎧=--<⎪⎨⎪=-->⎩，解得334a -<<，即实数a 的取值范围为3(3,)4-.【小问2详解】解：由（1）知()22(1)1a x f x x--'=，设()2(1)1h x a x =--，若10a -≤时，即1a ≥时，()0h x <，即()0f x '<，函数()f x 在1[,2]2上单调递减，所以1515()(),(2)2222()2M a f a f a L a ==-==-，可得()()()32g a M a L a a =-=；若10a ->时，即1a <时，令()0h x =，即2(1)10a x --=，解得x =x =12≤时，即3a ≤-时，()0h x >在1[,2]2x ∈恒成立，即()0f x '>，可得函数()f x 在1[,2]2上单调递增，所以5151(2)2,()()22(2)2f a L a f a M a ==-==-，可得()()()32g a M a L a a =-=-；2≥时，即314a ≤<时，()0h x <在1[,2]2x ∈恒成立，即()0f x '<，可得函数()f x 在1[,2]2上单调递减，所以1515()(,(2)2222()2M a f a f a L a ==-==-，可得()()()32g a M a L a a =-=；③当122<<时，即334a -<<时，当1[2x ∈时，()0h x <，即()0f x '<，()f x 单调递减；当2]x ∈时，()0h x >，即()0f x '>，()f x 单调递增，所以当x =()f x取得最小值，即()L a =，又由1515(),(2)22222f a f a =-=-，可得13((2)22f f a -=，（i ）当30a -<≤时，1()(2)02f f -<，即1((2)2f f <，所以5()(2)22M a f a ==-，此时()()()522g a M a L a a --==-；（ii ）当304a <<时，1()(2)02f f ->，即1((2)2f f >，所以151()()222M a f a ==-，此时()()()5122g a M a a L a --==-，综上可得，函数()g a 的解析式为()()()33,[,)2452(3,0]2513(3,)2243,(,3]2a a g a a x g a g a a x a a ∞∞⎧∈+⎪⎪⎪=--∈-⎪=⎨⎪=--∈-⎪⎪⎪-∈--⎩，当3a ≤-时，()9(3)2g a g ≥-=；当34a ≥时，()39(48g a g ≥=；当30a -<≤时，令[1,2)t =，则21a t =-，可得()21222t t t ϕ-+=，根据二次函数的性质，可得当1t =时，函数()t ϕ取得最小值，最小值为()112ϕ=；当304a <<时，令1(,1)2t =，则21a t =-，可得()21222t t t ϕ-+=，则()()112t ϕϕ>=，综上可得，函数()g a 的最小值为12.23.对于函数()f x ，若实数0x 满足()00f x x =，则称0x 是()f x 的不动点．现设()2f x x a =+．（1）当2a =-时，分别求()f x 与()()f f x 的所有不动点；（2）若()f x 与()()ff x 均恰有两个不动点，求a 的取值范围；（3）若()f x 有两个不动点，()()f f x 有四个不动点，证明：不存在函数()g x 满足()()()f x g g x =．【23题答案】【答案】（1）123415152,1,22x x x x --+==-==（2）31,44⎡⎫-⎪⎢⎣⎭（3）见详解.【解析】【小问1详解】因为2a =-，所以()f x x =即220x x --=，所以122,1x x ==-，所以()f x 的不动点为122,1x x ==-；解(())f f x x =，22242(())(2)(2)242f f x f x x x x x =-=--=-+=，所以42420x x x --+=，因为()f x x =是(())f f x x =的解，所以上述四次方程必有因式22x x --，利用长除法或者双十字相乘法因式分解得22(2)(1)0x x x x --+-=，所以123,4152,1,2x x x -±==-=，所以(())f f x 的不动点为123,4152,1,2x x x -±==-=；【小问2详解】由2()f x x a x =+=得20x x a -+=，由222422(())()()2f f x f x a x a a x ax a a x =+=++=+++=、得42220x ax x a a +-++=，因为()f x x =是(())f f x x =的解，所以上述四次方程必有因式2x x a -+，利用长除法或者双十字相乘法因式分解得22()(1)0x x a x x a -++++=，因为()f x 与(())f f x 均恰有两个不动点，所以①12140,144340a a a ∆=->∆=--=--<或②1140a ∆=->且20x x a -+=和210x x a +++=有同根，由①得3144a -<<，②中两方程相减得210x +=，所以12x =-，故34a =-，综上，a 的取值范围是31,44⎡⎫-⎪⎢⎣⎭；【小问3详解】（3）设()f x 的不动点为,a b ，(())f f x 的不动点为a b c d ,,,，所以(),(),(),()f a a f b b f c c f d d ==≠≠，设()(())h x f f x =，则()(())h c f f c c ==，所以(())((())()h f c f f f c f c ==，所以()f c 是()(())h x f f x =的不动点，同理，()f d 也是()(())h x f f x =的不动点，只能(),()f c d f d c ==，假设存在()(())f x g g x =，则()()g a a g b b =⎧⎨=⎩或()()g a bg b a =⎧⎨=⎩，因为()y f x =过点(,),(,)c d d c ，所以(),()g c c g d d ≠≠，否则()(())()f c g g c g c c ===矛盾，且(),()g c d g d c ≠≠，否则()(())()f c g g c g d d ===，所以一定存在(),(),(),()g c t g t d g d s g s c ====，,S t 与cd 均不同，所以((())g g g t t =，所以(())f f t t =，所以(())f f x 有另外不动点，矛盾，故不存在函数()g x 满足()(())f x g g x =．。

2020-2021上海市高一数学上期末试卷(及答案)

2020-2021上海市高一数学上期末试卷(及答案)一、选择题1．设a b c ，，均为正数，且122log aa =，121log 2b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，21log 2cc ⎛⎫= ⎪⎝⎭．则（） A ．a b c <⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围是（） A ．()1,+∞B ．（1,8）C ．（4,8）D ．[4,8)4．下列函数中，值域是()0,+∞的是（） A ．2y x = B ．211y x =+ C ．2x y =-D ．()lg 1(0)y x x =+>5．已知函数()2x xe ef x --=，x ∈R ，若对任意0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，都有()()sin 10f f m θ+->成立，则实数m 的取值范围是（）A ．()0,1B ．()0,2C ．(),1-∞D ．(]1-∞，6．若函数ya >0，a ≠1)的定义域和值域都是[0，1]，则log a 56＋log a 485＝( ) A ．1B ．2C ．3D ．47．下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0,)+∞上单调递减的函数为（） A ．1ln||y x = B ．3y x = C ．||2x y =D ．cos y x =8．将甲桶中的a 升水缓慢注入空桶乙中，min t 后甲桶剩余的水量符合指数衰减曲线nt y ae =，假设过5min 后甲桶和乙桶的水量相等，若再过min m 甲桶中的水只有4a升，则m 的值为（） A ．10B ．9C ．8D ．59．若0.33a =，log 3b π=，0.3log c e =，则（）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a >>10．若函数()[)[]1,1,0{44,0,1xx x f x x ⎛⎫∈- ⎪=⎝⎭∈，则f (log 43)＝( ) A ．13B ．14C ．3D ．411．下列函数中，在区间(1,1)-上为减函数的是A ．11y x=- B ．cos y x =C ．ln(1)y x =+D ．2x y -=12．已知函数()()f x g x x =+，对任意的x ∈R 总有()()f x f x -=-，且(1)1g -=，则(1)g =（）A ．1-B ．3-C ．3D ．1二、填空题13．已知函数()22f x mx x m =-+的值域为[0,)+∞，则实数m 的值为__________ 14．()f x 是R 上的奇函数且满足(3)(3)f x f x -=+，若(0,3)x ∈时，()lg f x x x =+，则()f x 在(6,3)--上的解析式是______________．15．已知函数2()log f x x =，定义()(1)()f x f x f x ∆=+-，则函数()()(1)F x f x f x =∆++的值域为___________.16．已知函数()()1123121x a x a x f x x -⎧-+<=⎨≥⎩的值域为R ，则实数a 的取值范围是_____.17．已知11,,1,2,32a ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，若幂函数()af x x =为奇函数，且在()0,∞+上递减，则a的取值集合为______. 18．若函数()242xx f x aa =+-（0a >，1a ≠)在区间[]1,1-的最大值为10，则a =______.19．已知函数1,0()ln 1,0x x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩，若方程()()f x m m R =∈恰有三个不同的实数解()a b c a b c <<、、，则()a b c +的取值范围为______；20．已知函数()5,222,2x x x f x a a x -+≤⎧=++>⎨⎩，其中0a >且1a ≠，若()f x 的值域为[)3,+∞，则实数a 的取值范围是______．三、解答题21．已知函数()log (12)a f x x =+，()log (2)a g x x =-，其中0a >且1a ≠，设()()()h x f x g x =-.(1)求函数()h x 的定义域;(2)若312f ⎛⎫=-⎪⎝⎭，求使()0h x <成立的x 的集合. 22．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当()0,x ∈+∞时，()232f x x ax a =++-. （1）求()f x 的解析式；（2）若()f x 是R 上的单调函数，求实数a 的取值范围. 23．已知函数sin ωφf x A x B (0A >，0>ω，2πϕ<)，在同一个周期内，当6x π=时，()f x 取得最大值2，当23x π=时，()f x 取得最小值2-. (1)求函数()f x 的解析式，并求()f x 在[0，π]上的单调递增区间.(2)将函数()f x 的图象向左平移12π个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到函数()g x 的图象，方程()g x a =在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦有2个不同的实数解，求实数a 的取值范围.24．随着我国经济的飞速发展，人们的生活水平也同步上升，许许多多的家庭对于资金的管理都有不同的方式.最新调查表明，人们对于投资理财的兴趣逐步提高.某投资理财公司做了大量的数据调查，调查显示两种产品投资收益如下： ①投资A 产品的收益与投资额的算术平方根成正比； ②投资B 产品的收益与投资额成正比.公司提供了投资1万元时两种产品的收益，分别是0.2万元和0.4万元.（1）分别求出A 产品的收益()f x 、B 产品的收益()g x 与投资额x 的函数关系式；（2）假如现在你有10万元的资金全部用于投资理财，你该如何分配资金，才能让你的收益最大？最大收益是多少？ 25．计算或化简：（1）112320412730.1log 321664π-⎛⎫⎛⎫++-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）6log 332log log 2log 36⋅-- 26．已知函数()xf x a =(0a >,且1a ≠),且(5)8(2)f f =. (1)若(23)(2)f m f m -<+,求实数m 的取值范围; (2)若方程|()1|f x t -=有两个解,求实数t 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】试题分析：在同一坐标系中分别画出2,xy =12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2log y x =，12log y x =的图象，2xy =与12log y x =的交点的横坐标为a ，12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与12log y x =的图象的交点的横坐标为b ，12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与2log y x =的图象的交点的横坐标为c ，从图象可以看出．考点：指数函数、对数函数图象和性质的应用．【方法点睛】一般一个方程中含有两个以上的函数类型，就要考虑用数形结合求解，在同一坐标系中画出两函数图象的交点，函数图象的交点的横坐标即为方程的解．2．A解析：A 【解析】【分析】【详解】由已知得{}|21B x x =-<<，因为21,01,2A =--｛，，｝，所以{}1,0A B ⋂=-，故选A ．解析：D 【解析】【分析】根据分段函数单调性列不等式，解得结果. 【详解】因为函数,1()42,12x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩是R 上的单调递增函数，所以140482422a a a aa ⎧⎪>⎪⎪->∴≤<⎨⎪⎪-+≤⎪⎩故选：D 【点睛】本题考查根据分段函数单调性求参数，考查基本分析判断能力，属中档题.4．D解析：D 【解析】【分析】利用不等式性质及函数单调性对选项依次求值域即可．【详解】对于A ：2y x =的值域为[)0,+∞；对于B ：20x ≥，211x ∴+≥，21011x ∴<≤+， 211y x ∴=+的值域为(]0,1；对于C ：2xy =-的值域为(),0-∞；对于D ：0x >，11x ∴+>，()lg 10x ∴+>，()lg 1y x ∴=+的值域为()0,+∞；故选：D ．【点睛】此题主要考查函数值域的求法，考查不等式性质及函数单调性，是一道基础题．5．D解析：D试题分析：求函数f （x ）定义域，及f （﹣x ）便得到f （x ）为奇函数，并能够通过求f′（x ）判断f （x ）在R 上单调递增，从而得到sinθ＞m ﹣1，也就是对任意的0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦都有sinθ＞m ﹣1成立，根据0＜sinθ≤1，即可得出m 的取值范围．详解：f （x ）的定义域为R ，f （﹣x ）=﹣f （x ）； f′（x ）=e x +e ﹣x ＞0； ∴f （x ）在R 上单调递增；由f （sinθ）+f （1﹣m ）＞0得，f （sinθ）＞f （m ﹣1）； ∴sin θ＞m ﹣1；即对任意θ∈0,2π⎛⎤⎥⎝⎦都有m ﹣1＜sinθ成立；∵0＜sinθ≤1； ∴m ﹣1≤0；∴实数m 的取值范围是（﹣∞，1]．故选：D ．点睛：本题考查函数的单调性与奇偶性的综合应用，注意奇函数的在对称区间上的单调性的性质；对于解抽象函数的不等式问题或者有解析式，但是直接解不等式非常麻烦的问题，可以考虑研究函数的单调性和奇偶性等，以及函数零点等，直接根据这些性质得到不等式的解集.6．C解析：C 【解析】【分析】先分析得到a ＞1，再求出a =2,再利用对数的运算求值得解. 【详解】由题意可得a －a x ≥0，a x ≤a ，定义域为[0，1]，所以a >1，y [0，1]上单调递减，值域是[0，1]，所以f (0)1，f (1)＝0，所以a ＝2，所log a56＋log a 485＝log 256＋log 2485＝log 28＝3. 故选C 【点睛】本题主要考查指数和对数的运算，考查函数的单调性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.解析：A 【解析】本题考察函数的单调性与奇偶性由函数的奇偶性定义易得1ln||y x =，||2x y =，cos y x =是偶函数，3y x =是奇函数 cos y x =是周期为2π的周期函数，单调区间为[2,(21)]()k k k z ππ+∈0x >时，||2x y =变形为2x y =，由于2>1,所以在区间(0,)+∞上单调递增 0x >时，1ln||y x =变形为1ln y x =，可看成1ln ,y t t x==的复合，易知ln (0)y t t =>为增函数，1(0)t x x=>为减函数，所以1ln ||y x =在区间(0,)+∞上单调递减的函数故选择A8．D解析：D 【解析】由题设可得方程组()552{4n m n ae aa ae +==，由55122n nae a e =⇒=，代入(5)1142m n mn ae a e +=⇒=，联立两个等式可得512{12mn n e e ==，由此解得5m =，应选答案D 。

2020-2021上海位育初级中学高三数学上期末一模试卷带答案

2020-2021上海位育初级中学高三数学上期末一模试卷带答案一、选择题1．已知数列121,,,4a a 成等差数列，1231,,,,4b b b 成等比数列，则212a ab -的值是 ( ) A ．12B ．12-C ．12或12- D ．142．记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和.若2342S S S =+，12a =，则2a =（） A ．2B ．-4C ．2或-4D ．43．已知点(),M a b 与点()0,1N -在直线3450x y -+=的两侧，给出以下结论：①3450a b -+>；②当0a >时，+a b 有最小值，无最大值；③221a b +>；④当0a >且1a ≠时，11b a +-的取值范围是93,,44⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，正确的个数是（） A ．1B ．2C ．3D ．44．设,x y 满足约束条件 202300x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≤⎩，则46y x ++的取值范围是A ．3[3,]7- B ．[3,1]- C ．[4,1]-D ．(,3][1,)-∞-⋃+∞5．设,x y 满足约束条件330280440x y x y x y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩，则3z x y =+的最大值是（）A ．9B ．8C ．3D ．46．若n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，其首项10a >，991000a a +>，991000a a ⋅< ，则使0n S >成立的最大自然数n 是（） A ．198B ．199C ．200D ．2017．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,3)n n S +*()n N ∈在函数32xy =⨯的图象上，等比数列{}n b 满足1n n n b b a ++=*()n N ∈，其前n 项和为n T ，则下列结论正确的是（）A ．2n n S T =B ．21n n T b =+C ．n n T a >D ．1n n T b +<8．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，前n 项和为n S ，若26442,S 6a S a =-=，则5a = A ．4B ．10C ．16D ．329．已知数列{}n a 满足112,0,2121,1,2n n n n n a a a a a +⎧≤<⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩若135a =，则数列的第2018项为（）A ．15B ．25C ．35D ．4510．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n n =-，数列{}n b 满足1sin2n n n b a π+=，记数列{}n b 的前n 项和为nT，则2017T =（） A ．2016B ．2017C ．2018D ．201911．已知x ，y 均为正实数，且111226x y +=++，则x y +的最小值为（） A ．20B ．24C ．28D ．3212．在等差数列 {}n a 中， n S 表示 {}n a 的前 n 项和，若 363a a += ，则 8S 的值为（）A ．3B ．8C ．12D ．24二、填空题13．已知实数，且，则的最小值为____14．已知lg lg 2x y +=，则11x y+的最小值是______. 15．要使关于x 的方程()22120x a x a +-+-=的一根比1大且另一根比1小，则a 的取值范围是__________．16．数列{}21n-的前n 项1,3,7..21n-组成集合{}()*1,3,7,21nn A n N=-∈，从集合nA中任取()1,2,3?··n k k =个数，其所有可能的k 个数的乘积的和为（若只取一个数，规定乘积为此数本身），记12n n S T T T =++⋅⋅⋅+，例如当1n =时，{}1111,1,1===A T S ；当2n =时，{}21221,2,13,13,13137A T T S ==+=⨯=++⨯=，试写出n S =___17．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对应的边长分别为a ，b ，c ，且2cos 3C =，cos cos 2b A a B +=，则ABC ∆的外接圆面积为__________．18．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋2n ＋1(n ∈N *)，则a n ＝________． 19．已知0a >，0b >，且31a b +=，则43a b+的最小值是_______. 20．设(32()lg 1f x x x x =++，则对任意实数,a b ，“0a b +≥”是“()()0f a f b +≥”的_________条件．（填“充分不必要”.“必要不充分”.“充要”.“既不充分又不必要”之一）三、解答题21．在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 所对的边，且2sin 3tan c B a A =.（1）求222b ca+的值；（2）若2a =，求ABC ∆面积的最大值.22．在()f x 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，满足(2)cos cos b c A a C -=． (1)求角A 的大小(2)若3a =，求ABC △的周长最大值． 23．已知函数221()cos sin ,(0,)2f x x x x p =-+?．（1）求()f x 的单调递增区间；（2）设ABC V 为锐角三角形，角A 所对边19a =，角B 所对边5b =，若()0f A =，求ABC V 的面积．24．设递增等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2＝3，S 3＝13，数列{b n }满足b 1＝a 1，点P （b n ，b n +1）在直线x ﹣y +2＝0上，n ∈N *. （1）求数列{a n }，{b n }的通项公式；（2）设c n nnb a =，求数列{c n }的前n 项和T n . 25．已知函数()2sin(2)(||)2f x x πϕϕ=+<部分图象如图所示.（1）求ϕ值及图中0x 的值；（2）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知7,()2,c f C ==-sin B =2sin A ，求a 的值．26．在四边形ABCD 中，120BAD ︒∠=，60BCD ︒∠=，1cos 7D =-，2AD DC ==.(1) 求cos DAC ∠及AC 的长； (2) 求BC 的长.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】由题意可知：数列1,a 1,a 2，4成等差数列，设公差为d ，则4=1+3d ，解得d =1， ∴a 1=1+2=2，a 2=1+2d =3.∵数列1,b 1,b 2,b 3，4成等比数列，设公比为q ，则4=q 4,解得q 2=2， ∴b 2=q 2=2. 则21221122a ab --==. 本题选择A 选项.2．B解析：B 【解析】【分析】利用等比数列的前n 项和公式求出公比，由此能求出结果．【详解】∵n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，2342S S S =+，12a =，∴()()()34212122211q q q qq--+=+--，解得2q =-，∴214a a q ==-，故选B ．【点睛】本题主要考查等比数列的性质以及其的前n 项和等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3．B解析：B 【解析】【分析】【详解】∵点M (a ,b )与点N (0,−1)在直线3x −4y +5=0的两侧,∴()()34530450a b -+⨯++<，即3450a b -+<，故①错误；当0a >时,54a b +>，a +b 即无最小值，也无最大值，故②错误；设原点到直线3x −4y +5=0的距离为d ,则22513(4)==+-d ,则22a b +>1，故③正确；当0a >且a ≠1时,11b a +-表示点M (a ,b )与P (1,−1)连线的斜率． ∵当0a =,b =54时,51194114b a ++==---,又直线3x −4y +5=0的斜率为34，故11b a +-的取值范围为93,,44⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故④正确.∴正确命题的个数是2个. 故选B.点睛：本题是常规的线性规划问题，线性规划问题常出现的形式有：①直线型，转化成斜截式比较截距，要注意z 前面的系数为负时，截距越大，z 值越小；②分式型，其几何意义是已知点与未知点的斜率；③平方型，其几何意义是距离，尤其要注意的是最终结果应该是距离的平方；④绝对值型，转化后其几何意义是点到直线的距离.4．B解析：B 【解析】【详解】先作可行域，而46yx++表示两点P（x,y）与A（-6,-4）连线的斜率，所以46yx++的取值范围是[,][3,1]AD ACk k=-，选B.点睛：线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.5．A解析：A【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知目标还是在点()3,2C处取得最大值，其最大值为max 33329z x y=+=+⨯=.本题选择A选项.6．A解析：A【解析】先根据10a >，991000a a +>，991000a a ⋅<判断出991000,0a a ><；然后再根据等差数列前n 项和公式和等差中项的性质，即可求出结果．【详解】∵991000a a ⋅<， ∴99a 和100a 异号； ∵1991000,0a a a >+>，991000,0a a ∴><，有等差数列的性质可知，等差数列{}n a 的公差0d <，当99,*n n N ≤∈时，0n a >；当100,*n n N ≥∈时，0n a <；又()()119899100198198198022a a a a S +⨯+⨯==> ，()119919910019919902a a S a+⨯==<，由等差数列的前n 项和的性质可知，使前n 项和0n S >成立的最大自然数n 是198. 故选：A ．【点睛】本题主要考查了等差数列的性质．考查了学生的推理能力和运算能力．7．D解析：D 【解析】【分析】【详解】由题意可得：332,323n nn n S S +=⨯=⨯- ，由等比数列前n 项和的特点可得数列{}n a 是首项为3，公比为2的等比数列，数列的通项公式：132n n a -=⨯ ，设11n nb b q -= ，则：111132n n n b q b q --+=⨯ ，解得：11,2b q == ，数列{}n b 的通项公式12n nb -= ，由等比数列求和公式有：21nn T =- ，考查所给的选项：13,21,,n n n n n n n n S T T b T a T b +==-<< .本题选择D 选项.8．C解析：C 【解析】由64S S -=6546a a a +=得，()22460,60q q a q q +-=+-=，解得2q =，从而3522=28=16a a =⋅⨯，故选C.9．A解析：A 【解析】【分析】利用数列递推式求出前几项，可得数列{}n a 是以4为周期的周期数列，即可得出答案. 【详解】1112,0321521,12n n n n n a a a a a a +⎧≤<⎪⎪==⎨⎪-≤<⎪⎩Q ， 211215a a =-=，32225a a ==，43425a a ==，5413215a a a =-== ∴数列{}n a 是以4为周期的周期数列，则201845042215a a a ⨯+===. 故选A . 【点睛】本题考查数列的递推公式和周期数列的应用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题.10．A解析：A 【解析】【分析】由2n S n n =-得到22n a n =-，即n b =2(1)cos2n n π-，利用分组求和法即可得到结果. 【详解】由数列{}n a 的前n 项和为2n S n n =-，当1n =时，11110a S ==-=；当2n …时，1n n n a S S -=-22(1)(1)22n n n n n ⎡⎤=-----=-⎣⎦，上式对1n =时也成立， ∴22n a n =-， ∴cos2n n n b a π==2(1)cos 2n n π-， ∵函数cos 2n y π=的周期242T ππ==，∴()2017152013T b b b =++++L (26b b +)2014b ++L ()()3720154820162017b b b b b b b +++++++++L L02(152013)0=-+++++L 2(3+72015)045042016+++=⨯=L ，故选：A. 【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，利用分组法求数列的和，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于中档题．11．A解析：A 【解析】分析：由已知条件构造基本不等式模型()()224x y x y +=+++-即可得出. 详解：,x y Q 均为正实数，且111226x y +=++，则116122x y ⎛⎫+= ⎪++⎝⎭(2)(2)4x y x y ∴+=+++-116()[(2)(2)]422x y x y =++++-++226(2)46(242022y x x y ++=++-≥+-=++ 当且仅当10x y ==时取等号.x y ∴+的最小值为20. 故选A.点睛：本题考查了基本不等式的性质，“一正、二定、三相等”.12．C解析：C 【解析】【分析】由题意可知，利用等差数列的性质，得18363a a a a +=+=，在利用等差数列的前n 项和公式，即可求解，得到答案。

2020-2021学年上海市某校高一(上)期末数学试卷

2020-2021学年上海市某校高一（上）期末数学试卷一、填空题（每小题3分，共36分）1. 已知f(x −2)＝2x −5，且f(a)＝5，则a 的值为________．2. 若m ，n ∈R ，则“m +n ≥0”是“m ≥0且n ≥0”的________条件．3. 设集合，则A ∩B ＝________．4. 设lg 2＝a ，lg 7＝b ，则log 714＝________（用含a ，b 的式子表示）．5. 已知集合A ＝{x ∈N|y ＝lg (4−x)}，则A 的子集个数为________．6. 已知全集为R ，A ＝{x|x 2+px −6＝0}，B ＝{x|x 2+qx +2＝0}，且，则p +q ＝________．7. 幂函数f(x)的图象过点(2,√2)，则函数g(x)=af(x −3)+1(a ∈R, a ≠0)的图象经过定点________．8. 已知函数f(x)＝2log 2(x +1)，，则y ＝f(x)的反函数为y ＝________．9. 方程在x ∈(0, +∞)上有解，则实数a 的取值范围是________．10. 已知函数f(x)={log 2(−x +5),x ≤12x −m,x >1 在R 上存在最小值，则m 的取值范围是________．11. 已知x 1是函数f(x)＝x log 2x −3的一个零点，x 2是函数f(x)＝x ⋅2x −3的一个零点，则x 1⋅x 2＝________．12. 设二次函数f(x)＝ax 2+bx +c （a ，b ，c 为常数）．若不等式f(x)≥2ax +b 的解集为R ，则的最大值为________．二、选择题（本大题共4题，满分20分，每题5分）如果x +y <0，且y >0，那么下列不等式成立的是（） A.y 2>x 2>xy B.x 2>y 2>−xy C.x 2<−xy <y 2 D.x 2>−xy >y 2已知函数g(x)=3x +t 的图象不经过第二象限，则t 的取值范围为（）A.t ≤−1B.t <−1C.t ≤−3D.t ≥−3对于函数①，②f(x)＝(x −2)2，③f(x)＝2|x−2|，判断下列三个命题的真假：命题甲：f(x +2)是偶函数；命题乙：f(x)在(−∞, 2)上是严格减函数，在(2, +∞)上是严格增函数；命题丙：f(x +2)−f(x)在(−∞, +∞)上是严格增函数．能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号是（）A.①②B.②③C.②D.①③已知函数f(x)满足f(x +1)＝1+√2f(x)−f 2(x)(x ∈R)，则f(1)+f(2020)的最大值是（） A.2−√2B.2C.2+√2D.4三、解答题（本大题共5题，满分76分）已知函数f(x)＝x 2−(a +b)x +a ．（1）若关于x 的不等式f(x)<0的解集为(1, 2)，求a ，b 的值；（2）当b ＝1时，解关于x 的不等式f(x)>0．已知函数f(x)＝log 21+ax x−1（a 为常数）是奇函数．(Ⅰ)求a 的值与函数 f(x)的定义域；(Ⅱ)若当x ∈(1, +∞) 时，f(x)+log 2(x −1)>m 恒成立．求实数m 的取值范围．某心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其注意力指数p 与听课时间t 之间的关系满足如图所示的曲线．当t ∈(0, 14]时，曲线是二次函数图象的一部分，当t ∈[14, 40]时，曲线是函数y ＝log a (t −5)+83(a >0，且a ≠1)图象的一部分．根据专家研究，当注意力指数p 大于等于80时听课效果最佳．（1）试求p ＝f(t)的函数关系式；（2）一道数学难题，讲解需要22分钟，问老师能否经过合理安排在学生听课效果最佳时讲完？请说明理由．设f(x)是定义在[−1, 1]上的奇函数，且对任意的a ，b ∈[−1, 1]，当a +b ≠0时，都有f(a)+f(b)a+b>0．（1）若a >b ，试比较f(a)与f(b)的大小；（2）解不等式f(x −12)<f(x −14)；（3）如果g(x)=f(x −c)和ℎ(x)=f(x −c 2)这两个函数的定义域的交集是空集，求c 的取值范围．已知x ∈R ，定义：f(x)表示不小于x 的最小整数，例如：f （）＝2，f(−0.6)＝0（1）若f(x)＝2018，求实数x 的取值范围；（2）若x >0，且f （3x +f(x)）＝f(6+），求实数x 的取值范围；（3）设g(x)＝x +a •−2，ℎ(x)＝，若对于任意的x 1、x 2、x 3∈(2, 4]，都有g(x 1)>|ℎ(x 2)−ℎ(x 3)|，求实数a 的取值范围．参考答案与试题解析2020-2021学年上海市某校高一（上）期末数学试卷一、填空题（每小题3分，共36分）1.【答案】3【考点】函数解析式的求解及常用方法【解析】根据题意，令t＝x−2，利用换元法可得f(x)的解析式，则有f(a)＝2a−1＝5，求出a的值，即可得答案．【解答】根据题意，令t＝x−2，则x＝t+2，则有f(t)＝2t−1，则f(a)＝2a−1＝5，解可得a＝3，2.【答案】必要不充分【考点】充分条件、必要条件、充要条件【解析】结合不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】当m＝−1，n＝2时，满足m+n≥0但“m≥0且n≥0”不成立，当“m≥0且n≥0”时，m+n≥0一定成立，即m+n≥0是m≥0且n≥0成立的必要不充分条件，3.【答案】＝{x|−1<x<2}【考点】交集及其运算【解析】先分别求出集合A，B，由此能求出A∩B．【解答】∵集合，∴A＝{x|x>−1}，B＝{x|−1≤x<2}，∴A∩B＝{x|−1<x<2}．4.【答案】【考点】对数的运算性质【解析】进行对数的运算，得出，代入lg2＝a，lg7＝b即可．【解答】∵lg2＝a，lg7＝b，∴．5.【答案】16【考点】子集与真子集【解析】可以求出集合A，根据集合A的元素个数即可得出A的子集个数．【解答】∵A＝{x∈N|x<4}＝{0, 1, 2, 3}，∴A的子集个数为24＝16．6.【答案】【考点】交集及其运算【解析】由，知2∈A，求出p＝1，从而集合A＝{x|x2+x−6＝0}＝{2, −3}，进而得−3∈B，求出q＝，由此能求出结果．【解答】由，知2∈A，代入得：4+2p−6＝0，解得p＝1，所以集合A＝{x|x2+x−6＝0}＝{2, −3}，从而得−3∈B，代入得，所以．7.【答案】(3, 1)【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域【解析】由题意求出幂函数f(x)的解析式，再化简函数g(x)，求出g(x)的图象经过的定点．【解答】设幂函数y=f(x)=xα，图象过点(2,√2)，则2α=√2，α=12；∴f(x)=x12，x≥0；∴函数g(x)=af(x−3)+1=a(x−3)12+1=a√x−3+1，其中a∈R，且a≠0；令x−3=0，得x=3，此时y=1；∴函数g(x)的图象经过定点(3, 1)．8.【答案】【考点】反函数【解析】由y＝f(x)反解出x，然后求出原函数的值域，得到反函数的定义域，从而得到y＝f(x)的反函数．【解答】因为y＝2log2(x+1)，所以，即，又因f(x)在上单调递增，所以f(x)∈[−2, 2]，所以y＝f(x)的反函数为y＝−1，x∈[−2, 2]．9.【答案】[4, +∞)【考点】函数与方程的综合运用函数的零点【解析】设f(x)＝4x+x，原问题等价于当x>0时，函数f(x)＝4x+x与直线y＝a有交点，求出f(x)的值域，即可得答案．【解答】根据题意，设f(x)＝4x+x，方程即a＝4x+x∈(0, +∞)上有解，则当x>0时，函数f(x)＝4x+x与直线y＝a有交点，当x>0时，f(x)＝4x+≥2＝4，当且仅当x＝时等号成立，即f(x)的值域为[4, +∞)，则必有a≥4，即a的取值范围为[4, +∞)，10.【答案】(−∞, 0]．【考点】函数的最值及其几何意义【解析】利用函数的单调性，分别求出两段的值域即可．【解答】函数y＝log2(−x+5)在(−∞, 1]单调递减，即可得x≤1时，f(x)≥f(1)＝2．当x>1时，f(x)>2−n．要使函数f(x)={log2(−x+5),x≤12x−m,x>1在R上存在最小值，只需2−m≥2，即m≤0．11.【答案】3【考点】函数的零点与方程根的关系【解析】利用函数的对称性，设出A、B坐标，转化求解即可．【解答】由题意得，又y＝log2x和y＝2x图象关于y＝x对称，且图象也关于y＝x对称，不妨设，所以A，B也关于y＝x对称，所以log2x1＝x2，又log2x1＝，所以x1x2＝3．12.【答案】【考点】二次函数的性质二次函数的图象【解析】由已知结合二次函数的性质b2≤4ac−4a2，然后对已知不等式进行赋值可得c≥a>0，然后进行换元，结合基本不等式即可求解．【解答】由f(x)≥2ax+b的解集为R，可得ax2+(b−2a)x+c−b≥0恒成立，∴a>0且△＝(b−2a)2−4a(c−b)≤0，即b2≤4ac−4a2，令x＝1可得a+b−2a+c−b≥0，即c≥a>0，∴＝，令t＝−1，则t≥0，∴＝＝＝＝，当且仅当t＝即t＝2时取等号，二、选择题（本大题共4题，满分20分，每题5分）【答案】D【考点】不等式的基本性质【解析】由x+y<0，且y>0，可得x<−y<0．再利用不等式的基本性质即可得出x2>−xy，xy<−y2．【解答】解：∵x+y<0，且y>0，∴x<−y<0．∴x2>−xy，xy<−y2，因此x2>−xy>y2．故选：D．【答案】A【考点】指数函数的图象与性质【解析】根据指数函数的性质，求出恒过坐标，即可得出t的取值范围．【解答】由指数函数的性质，可得函数g(x)=3x+t恒过点坐标为(0, 1+t)，函数g(x)是增函数，图象不经过第二象限，∴1+t≤0，解得：t≤−1．【答案】B【考点】命题的真假判断与应用【解析】求复合函数判断命题甲，用复合函数法判断命题乙丙．【解答】对命题甲，分别求出f(x+2)，①，②f(x+2)＝(x)2，③f(x+2)＝2|x|，则命题甲均真；对命题乙，由复合函数单调性知，①f(x)在(−∞, 2)上是严格增函数，在(2, +∞)上是严格减函数，②f(x)在(−∞, 2)上是严格减函数，在(2, +∞)上是严格增函数，③f(x)在(−∞, 2)上是严格减函数，在(2, +∞)上是严格增函数，所以①命题乙为假，②和③命题乙为真；此时排除AD，由于B②③，C②，所以只需判断③命题丙是否为真；对命题丙，③f(x+2)＝2|x|−2|x−2|＝＝，用复合函数单调性判断法知，f(x+2)在每个区间断都严格增加，且在端点处不间断，所以在R上严格增加，则命题丙为真；【答案】C【考点】函数的最值及其几何意义【解析】将条件进行平方，利用作差法构造函数g(x)=2f(x)−f 2(x)，然后利用基本不等式的性质，转化为关于f(1)+f(2020)的一元二次不等式，进行求解即可．【解答】由f(x +1)＝1+√2f(x)−f 2(x)(x ∈R)，得2f(x)−f 2(x)≥0，得0≤f(x)≤2，平方得f 2(x +1)=1+2√2f(x)−f 2(x)+2f(x)−f 2(x)，① ∴ 2f(x +1)=2+2√2f(x)−f 2(x) ②②-①得2f(x +1)−f 2(x +1)=2+2√2f(x)−f 2(x)−[1+2√2f(x)−f 2(x)+2f(x)−f 2(x)] =1−[2f(x)−f 2(x)]，即2f(x +1)−f 2(x +1)+2f(x)−f 2(x)=1，③ 设g(x)=2f(x)−f 2(x)，则③等价为g(x +1)+g(x)=1，即g(x +2)+g(x +1)=g(x +1)+g(x)=1， ∴ g(x +2)=g(x)，则g(0)=g(2)=g(4)=...=g(2020)，g(1)=g(3)=g(5)=...=g(2021)，则g(1)+g(2020)=g(1)+g(0)=1，∴ 2f(1)−f 2(1)+2f(2020)−f 2(2020)=1，即2[f(1)+f(2020)]−[f 2(1)+f 2(2020)]=1即2[f(1)+f(2020)]−{[f(1)+f(2020)]2−2f(1)f(2020)]}=1 2f(1)f(2020)=1+[f(1)+f(2020)]2−2[f(1)+f(2020)]≤2×[f(1)+f(2020)2]2=12[f(1)+f(2020)]2，设t =f(1)+f(2020)，则不等式等价为1+t 2−2t ≤12t 2，整理得t 2−4t +2≤0，得2−√2≤t ≤2+√2，即2−√2≤f(1)+f(2020)≤2+√2，则f(1)+f(2020)的最大值为2+√2，故选：C ．三、解答题（本大题共5题，满分76分）【答案】由函数f(x)＝x 2−(a +b)x +a ，不等式f(x)<0化为x 2−(a +b)x +a <0，由不等式的解集为(1, 2)，所以方程x 2−(a +b)x +a ＝0的两根为1和2，由根与系数的关系知：，解得a ＝2，b ＝1；b ＝1时不等式f(x)>0可化为x 2−(a +1)x +a >0，即(x −a)(x −1)>0；当a >1时，解不等式得x <1或x >a ；当a ＝1时，解不等式得x ≠1；当a <1时，解不等式得x <a 或x >1．所以a >1时，不等式的解集为{x|x <1或x >a}； a ＝1时，不等式的解集为{x|x ≠1}；a <1时，不等式的解集为{x|x <a 或x >1}．【考点】一元二次不等式的应用【解析】（1）由不等式f(x)<0的解集得出对应方程的实数根，利用根与系数的关系求出a 、b 的值；（2）b ＝1时不等式可化为(x −a)(x −1)>0，讨论a 与1的大小，从而求出不等式的解集．【解答】由函数f(x)＝x 2−(a +b)x +a ，不等式f(x)<0化为x 2−(a +b)x +a <0，由不等式的解集为(1, 2)，所以方程x 2−(a +b)x +a ＝0的两根为1和2，由根与系数的关系知：，解得a ＝2，b ＝1；b ＝1时不等式f(x)>0可化为x 2−(a +1)x +a >0，即(x −a)(x −1)>0；当a >1时，解不等式得x <1或x >a ；当a ＝1时，解不等式得x ≠1；当a <1时，解不等式得x <a 或x >1．所以a >1时，不等式的解集为{x|x <1或x >a}； a ＝1时，不等式的解集为{x|x ≠1}； a <1时，不等式的解集为{x|x <a 或x >1}．【答案】（1）∵ 知函数f(x)＝log 21+ax x−1是奇函数，∴ f(−x)＝−f(x)， ∴ log 21−ax−x−1=−log 21+ax x−1，即log 2ax−1x+1=log 2x−11+ax ，∴ a ＝1．令1+xx−1>0，解得：x <−1或x >1．∴ 函数的定义域为：{x|x <−1或x >1}；（2）f(x)+log 2(x −1)＝log 2(1+x)，当x >1时，x +1>2， ∴ log 2(1+x)>log 22＝1，∵ x ∈(1, +∞)，f(x)+log 2(x −1)>m 恒成立， ∴ m ≤1，m 的取值范围是(−∞, 1]．【考点】函数的定义域及其求法函数恒成立问题【解析】(Ⅰ)直接由奇函数的定义列式求解a 的值，然后由对数式的真数大于0求解x 的取值集合得答案； (Ⅱ)化简f(x)+log (x −1)为log 2(1+x)，由x 的范围求其值域得答案．【解答】（1）∵知函数f(x)＝log21+axx−1是奇函数，∴f(−x)＝−f(x)，∴log21−ax−x−1=−log21+axx−1，即log2ax−1x+1=log2x−11+ax，∴a＝1．令1+xx−1>0，解得：x<−1或x>1．∴函数的定义域为：{x|x<−1或x>1}；（2）f(x)+log2(x−1)＝log2(1+x)，当x>1时，x+1>2，∴log2(1+x)>log22＝1，∵x∈(1, +∞)，f(x)+log2(x−1)>m恒成立，∴m≤1，m的取值范围是(−∞, 1]．【答案】当t∈(0, 14]时，设p＝f(t)＝c(t−12)2+82(c<0)，将点(14, 81)代入得c=−14，∴当t∈(0, 14]时，p＝f(t)=−14(t−12)2+82；当t∈(14, 40]时，将点(14, 81)代入y＝loga (t−5)+83，得a=13，所以p＝f(t)={−14(t−12)2+82,t∈(0,14] log13(t−5)+83,t∈(14,40]；当t∈(0, 14]时，−14(t−12)2+82≥80，解得12−2√2≤t≤12+2√2，所以t∈[12−2√2, 14]，当t∈(14, 40]时，log_13(t−5)+83≥80，解得5<t≤32，所以t∈(14, 32]，综上t∈[12−2√2, 32]时学生听课效果最佳，此时△t=32−(12−2√2)=20+2√2>22，所以，教师能够合理安排时间讲完题目．【考点】根据实际问题选择函数类型【解析】（1）利用待定系数法求函数第一段的解析式，代入特殊点求函数第二段的解析式即可；（2）分段求出效果最佳的t的范围，验证即可．【解答】当t∈(0, 14]时，设p＝f(t)＝c(t−12)2+82(c<0)，将点(14, 81)代入得c=−14，∴当t∈(0, 14]时，p＝f(t)=−14(t−12)2+82；当t∈(14, 40]时，将点(14, 81)代入y＝loga(t−5)+83，得a=13，所以p＝f(t)={−14(t−12)2+82,t∈(0,14]log13(t−5)+83,t∈(14,40]；当t∈(0, 14]时，−14(t−12)2+82≥80，解得12−2√2≤t≤12+2√2，所以t∈[12−2√2, 14]，当t∈(14, 40]时，log_13(t−5)+83≥80，解得5<t≤32，所以t∈(14, 32]，综上t∈[12−2√2, 32]时学生听课效果最佳，此时△t=32−(12−2√2)=20+2√2>22，所以，教师能够合理安排时间讲完题目．【答案】解：（1）设−1≤x1<x2≤1，由奇函数的定义和题设条件，得f(x2)−f(x1)=f(x2)+f(−x1)=f(x2)+f(−x1)x2+(−x1)(x2−x1)>0，∴f(x)在[−1, 1]上是增函数．∵a，b∈[−1, 1]，且a>b，∴f(a)>f(b)．（2）∵f(x)是[−1, 1]上的增函数，∴不等式f(x−12)<f(x−14)等价于{−1≤x−12≤1−1≤x−14≤1x−12<x−14⇔{−12≤x≤32−34≤x≤54解得−12≤x≤54∴原不等式的解集是{x|−12≤x≤54}．（3）设函数g(x)，ℎ(x)的定义域分别是P和Q，则P={x|−1≤x−c≤1}=x|c−1≤x≤c+1}，Q={x|−1≤x−c2≤1}={x|c2−1≤x≤c2+1}．由P∩Q=⌀可得c+1<c2−1或c2+1<c−1．解得c的取值范围是(−∞, −1)∪(2, +∞)．【考点】奇偶性与单调性的综合集合关系中的参数取值问题【解析】（1）由题意，可先证明函数的单调性，由奇定义和题设条件易得函数是增函数，由单调性比较两个函数值的大小即可；（2）（1）由（1）函数f(x)是[−1, 1]上的增函数上的增函数，可将不等式f(x −12)<f(x −14)转化为{−1≤x −12≤1−1≤x −14≤1x −12<x −14，解出它的解集即可得到不等式的解集；（3）由题意，要先解出两个函数的定义域，得P ={x|−1≤x −c ≤1}=x|c −1≤x ≤c +1}，Q ={x|−1≤x −c 2≤1}={x|c 2−1≤x ≤c 2+1}．由于此两个集合的解集是空集，比较两个集合的端点，得到关于参数c 的不等式，解出c 的取值范围．【解答】解：（1）设−1≤x 1<x 2≤1，由奇函数的定义和题设条件，得 f(x 2)−f(x 1)=f(x 2)+f(−x 1)=f(x 2)+f(−x 1)x 2+(−x 1)(x 2−x 1)>0，∴ f(x)在[−1, 1]上是增函数． ∵ a ，b ∈[−1, 1]，且a >b ， ∴ f(a)>f(b)．（2）∵ f(x)是[−1, 1]上的增函数， ∴ 不等式f(x −12)<f(x −14)等价于{−1≤x −12≤1−1≤x −14≤1x −12<x −14⇔{−12≤x ≤32−34≤x ≤54解得−12≤x ≤54 ∴ 原不等式的解集是{x|−12≤x ≤54}．（3）设函数g(x)，ℎ(x)的定义域分别是P 和Q ，则P ={x|−1≤x −c ≤1}=x|c −1≤x ≤c +1}， Q ={x|−1≤x −c 2≤1}={x|c 2−1≤x ≤c 2+1}．由P ∩Q =⌀可得c +1<c 2−1或c 2+1<c −1．解得c 的取值范围是(−∞, −1)∪(2, +∞)．【答案】f(x)表示不小于x 的最小整数，可得f(x)＝2018的x 的范围是(2017, 2018]；若x >0，可得0<<，又f （3x +f(x)）＝f(6+），则f(6+）＝7，即有6<3x +f(x)≤7，即6−3x <f(x)≤7−3x ，x ＝1时，f(x)＝4；x ＝2时，f(x)＝8，显然不成立；由1<x <2，可得f(x)＝2，则6−3x <2≤7−3x ，解得<x ≤；ℎ(x)＝＝＝−4+在(2, 2.5)递增，在[2.5, 4]递减，可得ℎ(x)的最小值为ℎ(4)＝−4+2＝−2；最大值为ℎ(2.5)＝4，则|ℎ(x 2)−ℎ(x 3)|≤4+2＝6，由题意可得g(x 1)>6在(2, 4]恒成立，即有a ⋅f(x)>x(8−x)在(2, 4]恒成立，当x ∈(2, 3]时，3a >−(x −4)2+16恒成立，可得x(8−x)的最大值为3×5＝15，即有a >5；当x ∈(3, 4]时，4a >−(x −4)2+16恒成立，可得x(8−x)的最大值为4×4＝16，即有a >4，综上可得，a 的范围是(5, +∞)．【考点】函数与方程的综合运用【解析】（1）由f(x)表示不小于x 的最小整数，可得x 的范围是(2017, 2018]；（2）由指数函数的单调性，可得0<<，则f(6+）＝7，即有6<3x +f(x)≤7，考虑1<x <2，解不等式即可得到所求范围；（3）化简ℎ(x)＝−4+在(2, 2.5)递增，在[2.5, 4]递减，求得ℎ(x)的最值，可得g(x 1)>6在(2, 4]恒成立，讨论当x ∈(2, 3]时，当x ∈(3, 4]时，由新定义和二次函数的最值求法，即可得到所求a 的范围．【解答】f(x)表示不小于x 的最小整数，可得f(x)＝2018的x 的范围是(2017, 2018]；若x >0，可得0<<，又f（3x+f(x)）＝f(6+），则f(6+）＝7，即有6<3x+f(x)≤7，即6−3x<f(x)≤7−3x，x＝1时，f(x)＝4；x＝2时，f(x)＝8，显然不成立；由1<x<2，可得f(x)＝2，则6−3x<2≤7−3x，解得<x≤；ℎ(x)＝＝＝−4+在(2, 2.5)递增，在[2.5, 4]递减，可得ℎ(x)的最小值为ℎ(4)＝−4+2＝−2；最大值为ℎ(2.5)＝4，则|ℎ(x2)−ℎ(x3)|≤4+2＝6，由题意可得g(x1)>6在(2, 4]恒成立，即有a⋅f(x)>x(8−x)在(2, 4]恒成立，当x∈(2, 3]时，3a>−(x−4)2+16恒成立，可得x(8−x)的最大值为3×5＝15，即有a>5；当x∈(3, 4]时，4a>−(x−4)2+16恒成立，可得x(8−x)的最大值为4×4＝16，即有a>4，综上可得，a的范围是(5, +∞)．。

上海市上海中学2020-2021学年高一上学期期末数学试题答案和解析

由方程得，记，易知函数是上的减函数，且值域为，∴ 有且只有1解．
故选：B.
【点睛】
本题考查方程的解的个数问题，解题关键是把方程变形后利用函数的单调性确定解的个数．
5．A
【分析】
利用奇偶性确定函数的单调性，然后问题转化为方程的解的问题．
【详解】
易知函数是奇函数，
时，单调递增，因此在上也是单调递增，从而在上单调递增．
①当时，函数在上为单调减函数，
函数在上的最大值与最小值分别为；
又函数在上的最大值与最小值和为3 ,
,解得 (舍去)；
上海市上海中学【最新】高一上学期期末数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知函数是定义在R上的函数，，则“ 均为偶函数”是“ 为偶函数”的（）
A．充要条件B．充分而不必要的条件
C．必要而不充分的条件D．既不充分也不必要的条件
而函数都不是偶函数，
所以，均为偶函数是为偶函数的充分而不必要的条件．
故选B．
【点睛】
本题主要考查了充分条件、必要条件的判定，以及函数的奇偶性的判定及应用，其中解答中熟记函数的奇偶性的定义和判定方法，以及合理利用举例说明是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．
2．A
【分析】
由为偶函数，得到图象关于直线对称，从而可得在是的单调性，并比较函数值大小．
【详解】
由为偶函数，即它的图象关于轴对称，把它图象向右平移8个单位得的图象，∴ 图象关于直线对称，
∵ 在上单调递增，∴ 在上单调递减．

2020-2021高一数学上期末试卷及答案(6)

2020-2021高一数学上期末试卷及答案(6)一、选择题1．函数()12cos 12x x f x x ⎛⎫-= ⎪+⎝⎭的图象大致为()n n A ．B ．C ．D ．2．已知奇函数()y f x =的图像关于点(,0)2π对称，当[0,)2x π∈时，()1cos f x x =-，则当5(,3]2x ππ∈时，()f x 的解析式为（） A ．()1sin f x x =-- B ．()1sin f x x =- C ．()1cos f x x =-- D ．()1cos f x x =- 3．德国数学家狄利克在1837年时提出：“如果对于x 的每一个值，y 总有一个完全确定的值与之对应，则y 是x 的函数，”这个定义较清楚地说明了函数的内涵．只要有一个法则，使得取值范围中的每一个值，有一个确定的y 和它对应就行了，不管这个对应的法则是公式、图象，表格述是其它形式已知函数f （x ）由右表给出，则1102f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值为（）A ．0B ．1C ．2D ．34．已知函数ln ()xf x x=，若(2)a f =，(3)b f =，(5)c f =，则a ，b ，c 的大小关系是（） A ．b c a <<B ．b a c <<C ．a c b <<D ．c a b <<5．已知定义域R 的奇函数()f x 的图像关于直线1x =对称，且当01x ≤≤时，3()f x x =，则212f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A ．278-B ．18-C ．18D ．2786．函数()()212log 2f x x x =-的单调递增区间为（） A ．(),1-∞ B ．()2,+∞ C ．(),0-∞D ．()1,+∞7．[]x 表示不超过实数x 的最大整数，0x 是方程ln 3100x x +-=的根，则0[]x =（）A ．1B ．2C ．3D ．48．若二次函数()24f x ax x =-+对任意的()12,1,x x ∈-+∞，且12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-，则实数a 的取值范围为（）A ．1,02⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C ．1,02⎛⎫-⎪⎝⎭D ．1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭9．已知函数()0.5log f x x =，则函数()22f x x -的单调减区间为( )A ．(],1-∞B ．[)1,+∞C ．(]0,1D ．[)1,210．已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合P={1，3，5}，Q={1，2，4}，则()U P Q ⋃ð= A ．{1} B ．{3，5}C ．{1，2，4，6}D ．{1，2，3，4，5} 11．对数函数且与二次函数在同一坐标系内的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．12．若不等式210x ax ++≥对于一切10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立，则a 的取值范围为( ) A ．0a ≥B ．2a ≥-C ．52a ≥-D ．3a ≥-二、填空题13．若函数()1f x mx x =--有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是______.14．已知()f x 是定义域为R 的单调函数，且对任意实数x 都有21()213xf f x ⎡⎤+=⎢⎥+⎣⎦，则52(log )f =__________.15．已知函数12()log f x x a =+，2()2g x x x =-，对任意的11[,2]4x ∈，总存在2[1,2]x ∈-，使得12()()f x g x =，则实数a 的取值范围是______________．16．己知函数()221f x x ax a =-++-在区间[]01，上的最大值是2,则实数a =______.17．已知常数a R ∈，函数()21x af x x +=+.若()f x 的最大值与最小值之差为2，则a =__________.18．若当0ln2x ≤≤时，不等式()()2220x xxx a e e ee ---+++≥恒成立，则实数a 的取值范围是_____.19．0.11.1a =，12log 2b =，ln 2c =，则a ，b ，c 从小到大的关系是________. 20．已知函数()()212log 22f x mx m x m ⎡⎤=+-+-⎣⎦，若()f x 有最大值或最小值，则m的取值范围为______．三、解答题21．已知函数()10()mf x x x x=+-≠. （1）若对任意(1)x ∈+∞，，不等式()2log 0f x >恒成立，求m 的取值范围. （2）讨论()f x 零点的个数.22．节约资源和保护环境是中国的基本国策.某化工企业,积极响应国家要求,探索改良工艺,使排放的废气中含有的污染物数量逐渐减少.已知改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为32mg/m ,首次改良后所排放的废气中含有的污染物数量为31.94mg/m .设改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为0r ,首次改良工艺后所排放的废气中含有的污染物数量为1r ,则第n 次改良后所排放的废气中的污染物数量n r ,可由函数模型()0.5001)*(5n p n r r r r p R n N +-∈⋅=-∈，给出,其中n 是指改良工艺的次数.（1）试求改良后所排放的废气中含有的污染物数量的函数模型;（2）依据国家环保要求,企业所排放的废气中含有的污染物数量不能超过30.08mg/m ,试问至少进行多少次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标. （参考数据:取lg 20.3=）23．已知函数2()()21xx a f x a R -=∈+是奇函数.（1）求实数a 的值；（2）用定义法证明函数()f x 在R 上是减函数；（3）若对于任意实数t ，不等式()2(1)0f t kt f t -+-≤恒成立，求实数k 的取值范围. 24．已知()1log 1axf x x-=+（0a >，且1a ≠）. （1）当(],x t t ∈-（其中()1,1t ∈-，且t 为常数）时，()f x 是否存在最小值，如果存在，求出最小值；如果不存在，请说明理由；（2）当1a >时，求满足不等式()()2430f x f x -+-≥的实数x 的取值范围. 25．已知函数()()sin ωφf x A x B =++(0A >，0>ω，2πϕ<)，在同一个周期内，当6x π=时，()f x取得最大值2，当23x π=时，()f x取得最小值2-. (1)求函数()f x 的解析式，并求()f x 在[0，π]上的单调递增区间.(2)将函数()f x 的图象向左平移12π个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到函数()g x 的图象，方程()g x a =在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦有2个不同的实数解，求实数a 的取值范围.26．某上市公司股票在30天内每股的交易价格P （元）关于时间t （天）的函数关系为12,020,518,2030,10t t t P t t t ⎧+≤≤∈⎪⎪=⎨⎪-+<≤∈⎪⎩N N ，该股票在30天内的日交易量Q （万股）关于时间t（天）的函数为一次函数，其图象过点(4,36)和点(10,30). （1）求出日交易量Q （万股）与时间t （天）的一次函数关系式；（2）用y （万元）表示该股票日交易额，写出y 关于t 的函数关系式，并求在这30天内第几天日交易额最大，最大值为多少？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】函数f （x ）=（1212xx-+）cosx ，当x=2π时，是函数的一个零点，属于排除A ，B ，当x ∈（0，1）时，cosx ＞0，1212x x -+＜0，函数f （x ）=（1212xx-+）cosx ＜0，函数的图象在x 轴下方．排除D ．故答案为C 。

2020-2021高一数学上期末试卷带答案

2020-2021高一数学上期末试卷带答案一、选择题1．设a b c ，，均为正数，且122log aa =，121log 2b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，21log 2cc ⎛⎫= ⎪⎝⎭．则（） A ．a b c <0，a≠1)满足f(1)＝19，则f(x)的单调递减区间是( ) A ．(－∞，2] B ．[2，＋∞) C ．[－2，＋∞) D ．(－∞，－2]4．已知131log 4a =，154b=，136c =，则（） A ．a b c >> B ．a c b >>C ．c a b >>D ．b c a >>5．已知函数ln ()xf x x=，若(2)a f =，(3)b f =，(5)c f =，则a ，b ，c 的大小关系是（） A ．b c a <⎧⎪=⎨-<⎪⎩若()()f a f a >-,则实数的a 取值范围是( )A ．()()1,00,1-⋃B ．()(),11,-∞-⋃+∞C ．()()1,01,-⋃+∞D ．()(),10,1-∞-⋃8．函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象关于直线x ＝－对称．据此可推测，对任意的非零实数a ，b ，c ，m ，n ，p ，关于x 的方程m [f (x )]2＋nf (x )＋p ＝0的解集都不可能是( )A ．{1,2}B ．{1,4}C ．{1,2,3,4}D ．{1,4,16,64}9．已知函数()0.5log f x x =，则函数()22f x x -的单调减区间为( )A ．(],1-∞B ．[)1,+∞C ．(]0,1D ．[)1,210．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间(),0-∞上单调递增。

3-2-2 奇偶性(精练)(原卷版)

3.2.2 奇偶性（精练）【题组一奇偶性的判断】1．（2021年湖南）（多选）下列函数既是偶函数，在(0,)+∞上又是增函数的是（） A ．21y x =+B ．2y x =C ．||y x =D ．1y x x=- 2．（2021湖北）（多选）下列函数中是偶函数，且在(1,)+∞为增函数的是（） A ．()||f x x =B ．2()23f x x x =--C ．2()2||1f x x x =--D ．1,0()1,0x x f x x x -+<⎧=⎨+>⎩ 3．（2021·江苏高一开学考试）（多选）下列函数中，在定义域上既是奇函数，又是减函数的是（）A ．()3f x x x =--B ．()221,00,01,0x x f x x x x ⎧+<⎪==⎨⎪-->⎩C ．()1f x x =-D ．()3f x x=-4．（2021·广东高一期末）（多选）下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（） A ．y x x =B ．3y x =-C ．22x x y -=-D ．1y x=5．（2021年福建）（多选）下列关于函数244()|2|2x x f x x -=--性质的描述，正确的是（）A ．()f x 的定义域为[2,0)(0,2]-B ．()f x 的值域(2,2)-C ．()f x 在定义域上是增函数D ．()f x 的图象关于原点对称【题组二利用奇偶性求参数】1．（2021·湖北高一开学考试）已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x <时，2()2f x x mx =++，且(1)2f =-，则(2)f 的值为（） A ．4-B ．0C ．4D ．22．（2021·广西高一期末）已知()f x 是R 上的奇函数，()g x 是R 上的偶函数，且32()()231f x g x x x x +=+++，则(1)(2)f g +=（） A ．5B ．6C ．8D ．103．（2021·龙里县九八五高级中学有限责任公司）已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≤时，()231f x x x a =++-，则()2f =（）A ．－1B ．－2C ．1D ．24．（2021·上海市杨浦高级中学高一期末）已知,m n R ∈，函数||2y x n =-+是定义在2[4,5]m m -上的偶函数，则m n +的值是______________.5.（2021年上海）定义；函数()f x 在闭区间[,]a b 上的最大值与最小值之差称为函数()f x 的极差．若定义在区间[2,31]b b --上的函数32()(2)f x ax x b =--+是偶函数，则a b +=_________，函数()f x 的极差为________．6．（2021·海南省农垦加来高级中学高一期末）若2()3f x ax bx a b =+++是偶函数，且定义域为[]1,2a a -，则a ＝_____ ， b ＝_____ 【题组三利用奇偶性求解析式】1．（2021·上海高一期中）已知函数()y f x =，x ∈R ，()y f x =是奇函数，且当0x ≥时，()3 21x f x x =+-，则0x <时，()f x =______．2．（2021·湖北襄阳五中高三二模）已知函数(),()f x g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，()()23x f x g x +=⋅，则函数()f x =_____．3．（专题02 二次函数-2020-2021学年新教材高一数学寒假辅导讲义（沪教版2020））函数()()()2x a bx a f x -=+（常数a ，b ∈R ）是偶函数，且它的值域为[)10,-+∞，则该函数的解析式()f x =__________4．（2021·湖南师大附中高一开学考试）已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x >时，()22f x x x =-.则0x <时，()f x =______.5．（2021·福建省永泰县第二中学高一期末）函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，22()f x x x =+，则()f x 在R 上的解析式为________.6．（2021·南昌市新建区第一中学高一开学考试）若()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()122xf x x m ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭(m 为常数)，则当0x <时，()f x =_________.7．（2021·上海位育中学高一期末）设()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x 时，()22(x f x x b b =++为常数），则(1)f -=________．【题组四奇偶性与单调性的综合运用】 1．（2021·福建）函数()3f x x x =+是（） A ．奇函数，且在R 上单调递减 B ．奇函数，且在R 上单调递增 C ．偶函数，且在R 上单调递减D ．偶函数，且在R 上单调递增2．（2021·北京高一期末）下列函数中，是奇函数且在区间(0,)+∞上单调递减的是（） A ．2y x =-B ．12y x =C ．1y x -=D ．3y x =3．（2021·通化县综合高级中学高一期末）下列函数中，是偶函数的函数是（） A ．1y x x=+B ．||1y x =-C ．12y x =D ．13xy =4．（2021·西藏拉萨中学高一期末）下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（） A ．1y x =+B ．3y x =-C ．1y x=D ．||y x x =5．（2021·北京大峪中学高一期中）下列函数中既是奇函数，又在区间()0,∞+上单调递减的函数为 A ．1y x=B ．2y x =-C ．y x =D ．1x y x =+ 6．（2021·贵州高一期末）已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且()f x 在[)0,+∞上是增函数，则下列各式一定成立的是（） A ．()()25f f >- B ．()()50f f -< C ．()()20f f -<D ．()()52f f ->7．（2021·江西景德镇市·景德镇一中高一期末（文））已知定义域为R 的函数()f x 在[2)+∞，上单调递减，且(2)f x +是奇函数，则(1)f 、52f ⎛⎫⎪⎝⎭、(3)f 的大小关系是（）A ．5(1)(3)2f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭B ．5(1)(3)2f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭C ．5(3)(1)2f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭D ．5(3)(1)2f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭8．（2021·湖北高一期末）已知定义域为R 的函数()f x 是奇函数，且()()2f x f x +=-，若()f x 在区间[]0,1是减函数，则53f ⎛⎫⎪⎝⎭，()1f ，112f ⎛⎫⎪⎝⎭的大小关系是（）A ．()115123f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．()115123f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()511132f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()511132f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭9．（2021·银川三沙源上游学校高一期末）设偶函数()f x 的定义域为R ，当[)0x ∈+∞，时，()f x 是增函数，则()1f -，()f π，()3f -的大小关系是（） A ．()()()13f f f π>->- B ．()()()31f f f π>->- C ．()()()31f f f π<-<-D ．()()()13f f f π<-<-10．（2021·北京101中学高一期末）已知偶函数()f x 在(),0-∞上单调递减，若()1a f =，()2b f =，12c f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．c a b >>11．（2021·白银市第十中学高一期末）已知(1)f x +是偶函数，任意12(,1],(,1]x x ∈-∞∈-∞，且12x x ≠，满足()()12120f x f x x x -<-，(0)0f =，则(2)0f x ->的解集是（）A ．(,0)(2,)-∞+∞B ．(0,2)C ．(,0)-∞D ．(2,)+∞12．（2021·呼图壁县第一中学高一开学考试）已知函数()f x 的定义域为R ，()2f x +是偶函数，()42f =，()f x 在(),2-∞上单调递增，则不等式()412f x ->的解集为（） A ．15,44⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．15,,44⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()(),117,-∞-⋃+∞D ．()1,17-13．（2020·河北高一期中）设定义在R 上的奇函数()f x 满足，对任意12,(0,)x x ∈+∞，且12x x ≠都有2121()()0f x f x x x -<-，且(2)0f =，则不等式3()2()0f x f x x--≥的解集为A ．(,2](0,2]-∞-⋃B ．[2,0][2,)-⋃+∞C ．(,2][2,)-∞-+∞D ．[2,0)(0,2]-14．（2021·湖北高一开学考试）函数2()9ax b f x x-=-是定义在()3,3-上的奇函数，且1(1)8f =．（1）确定()f x 的解析式；（2）判断()f x 在()3,3-上的单调性，并用定义证明；（3）解不等式(1)(2)0f t f t -+<．．15．（2021·山东）若()f x 为R 上的奇函数，且0x ≤时，2()2f x x x =-．（1）求()f x 在R 上的解析式；（2）判断函数()f x 在(,0]-∞上的单调性，并用定义证明；（3）解关于x 的不等式()(2)0f ax a f x -+-->．16．（2021·新疆维吾尔自治区喀什第二中学高一期末）已知()24ax bf x x -=-是定义在()2,2-上的奇函数，且()113f =（1）求()f x 的解析式；（2）判断并证明函数()f x 的单调性；（3）求使不等式()()10f t f t -+<成立的实数t 的取值范围.【题组五抽象函数的性质】1．（2021·上海市西南位育中学高一期末）若函数()y f x =对任意实数x ､y 都有()()()f xy f x f y =，则称其为“保积函数”.（1）请写出两个“保积函数”的函数解析式；（2）若“保积函数”()y f x =满足()11f -=，判断其奇偶性并证明；（3）对于（2）中的“保积函数”，若[)0,1x ∈时，()[)0,1f x ∈，且()8127f =，试求不等式()33f x ≤的解集.2．（2021·安徽高一期末）已知定义在R 上的函数()f x ，()g x 满足：①()01f =；②()g x 为奇函数；③()0,x ∀∈+∞，()0>g x ；④任意的x ，R y ∈，()()()()()f x y f x f y g x g y -=-.（1）判断并证明函数()f x 的奇偶性；（2）判断并证明函数()f x 在0,上的单调性.3．（2021·安徽高一期末）已知定义在R 上的函数()f x ，()g x 满足： ①()01f =；②任意的x ，R y ∈，()()()()()f x y f x f y g x g y -=-.（1）求()()22f xg x -的值；（2）判断并证明函数()f x 的奇偶性.4．（2021·吉林高一期末）已知函数()f x 是定义在R 上的减函数，对于任意的12,x x R ∈都有1212()()()f x x f x f x +=+，（1）求(0)f ，并证明()f x 为R 上的奇函数；（2）若(1)2f -=，解关于x 的不等式()(3)4f x f x --<.5．（2021·云南省云天化中学）定义在()1,1-上的函数()f x 满足：对任意的x ，()1,1y ∈-，都有：()()1x y f x f y f xy ⎛⎫++= ⎪+⎝⎭.（1）求证：函数()f x 是奇函数；（2）若当()1,0x ∈-时，有()0f x >，求证：()f x 在()1,1-上是减函数；（3）若112f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()221f x t at ≤--对所有11,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，()1,1a ∈-恒成立，求实数t 的取值范围.6．（2020·黄冈市黄州区第一中学高一期中）已知函数()f x 对任意,x y R ∈，总有()()()f x f y f x y +=+，且当0x >时，()0f x <，2(1)3f =-.（1）先求(0)f 的值，然后判断函数()f x 的奇偶性，并加以证明；（2）判断函数()f x 在其定义域上的单调性，并加以证明；（3）求函数()f x 在[3,3]-上的最小值．。

2020-2021上海西南模范中学高中必修一数学上期末试卷附答案

2020-2021上海西南模范中学高中必修一数学上期末试卷附答案一、选择题1．设a b c ，，均为正数，且122log aa =，121log 2b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，21log 2cc ⎛⎫= ⎪⎝⎭．则（） A ．a b c <1)的图像是( ) A ．B ．C ．D ．4．已知131log 4a =，154b=，136c =，则（） A ．a b c >> B ．a c b >>C ．c a b >>D ．b c a >>5．已知函数ln ()xf x x=，若(2)a f =，(3)b f =，(5)c f =，则a ，b ，c 的大小关系是（） A ．b c a <<B ．b a c <<C ．a c b <<D ．c a b <<6．若()()234,1,1a x a x f x x x ⎧--<=⎨≥⎩是(),-∞+∞的增函数,则a 的取值范围是( ) A ．2,35⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．2,35⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．(),3-∞D ．2,5⎛⎫+∞⎪⎝⎭7．下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0,)+∞上单调递减的函数为（） A ．1ln||y x = B ．3y x = C ．||2x y =D ．cos y x =8．已知[]x 表示不超过实数x 的最大整数，()[]g x x =为取整函数，0x 是函数()2ln f x x x=-的零点，则()0g x 等于（）A ．1B ．2C ．3D ．49．曲线241(22)y x x =--≤≤与直线24y kx k =-+有两个不同的交点时实数k 的范围是（） A ．53(,]124B ．5(,)12+∞ C ．13(,)34D ．53(,)(,)124-∞⋃+∞10．已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合P={1，3，5}，Q={1，2，4}，则()U P Q ⋃ð= A ．{1}B ．{3，5}C ．{1，2，4，6}D ．{1，2，3，4，5}11．已知()f x =22x x -+,若()3f a =,则()2f a 等于 A ．5B ．7C ．9D ．1112．已知函数()()f x g x x =+，对任意的x ∈R 总有()()f x f x -=-，且(1)1g -=，则(1)g =（）A ．1-B ．3-C ．3D ．1二、填空题13．已知log log log 22a a ax yx y +-=，则x y的值为_________________． 14．已知常数a R ∈，函数()21x af x x +=+.若()f x 的最大值与最小值之差为2，则a =__________.15．若集合{||1|2}A x x =-<，2|04x B x x -⎧⎫=<⎨⎬+⎩⎭，则A B =I ______. 16．对数式lg 25﹣lg 22+2lg 6﹣2lg 3＝_____． 17．已知函数()f x 满足：()()1f x f x +=-，当11x -<≤时，()x f x e =，则92f ⎛⎫= ⎪⎝⎭________. 18．若函数在区间单调递增，则实数的取值范围为__________．19．已知函数222y x x -=+，[]1,x m ∈-.若该函数的值域为[]1,10，则m =________.20．定义在R 上的奇函数()f x ，满足0x >时，()()1f x x x =-，则当0x ≤时，()f x =______．三、解答题21．已知函数()21log 1x f x x +=-. （1）判断()f x 的奇偶性并证明；（2）若对于[]2,4x ∈，恒有()2log (1)(7)mf x x x >-⋅-成立，求实数m 的取值范围.22．已知全集U =R ，函数()3lg(10)f x x x =--的定义域为集合A ，集合{}|57B x x =≤<（1）求集合A ；（2）求()U C B A ⋂.23．已知函数()f x x =.（1）判断函数()f x 在区间[0,)+∞上的单调性，并用定义证明；（2）函数2()()log 2g x f x x =+-在区间(1,2)内是否有零点？若有零点，用“二分法”求零点的近似值（精确到0.3）；若没有零点，说明理由.（参考数据： 1.25 1.118≈， 1.5 1.225≈， 1.75 1.323≈，2log 1.250.322≈，2log 1.50.585≈，2log 1.750.807≈）24．已知函数2()(,)1ax bf x a b x +=∈+R 为在R 上的奇函数,且(1)1f =. (1)用定义证明()f x 在(1,)+∞的单调性;(2)解不等式()()2341xxf f +≤+.25．义域为R 的函数()f x 满足：对任意实数x,y 均有()()()2f x y f x f y +=++，且()22f =，又当1x >时，()0f x >.（1）求()()0.1f f -的值，并证明：当1x <时，()0f x <；（2）若不等式()()()222221240f aa x a x ----++<对任意[] 1,3x ∈恒成立，求实数a 的取值范围.26．某支上市股票在30天内每股的交易价格P （单位：元）与时间t （单位：天）组成有序数对(),t P ，点．(),t P 落在．．如图所示的两条线段上.该股票在30天内（包括30天）的日交易量Q （单位：万股）与时间t （单位：天）的部分数据如下表所示：第t 天4 10 16 22 Q （万股）36302418（Ⅰ）根据所提供的图象，写出该种股票每股的交易价格P 与时间t 所满足的函数解析式；（Ⅱ）根据表中数据确定日交易量Q 与时间t 的一次函数解析式；（Ⅲ）若用y （万元）表示该股票日交易额，请写出y 关于时间t 的函数解析式，并求出在这30天中，第几天的日交易额最大，最大值是多少？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】试题分析：在同一坐标系中分别画出2,xy =12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2log y x =，12log y x =的图象，2xy =与12log y x =的交点的横坐标为a ，12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与12log y x =的图象的交点的横坐标为b ，12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与2log y x =的图象的交点的横坐标为c ，从图象可以看出．考点：指数函数、对数函数图象和性质的应用．【方法点睛】一般一个方程中含有两个以上的函数类型，就要考虑用数形结合求解，在同一坐标系中画出两函数图象的交点，函数图象的交点的横坐标即为方程的解．2．C解析：C 【解析】由题意知，(2)ln(2)ln ()f x x x f x -=-+=，所以()f x 的图象关于直线1x =对称，故C 正确，D 错误；又()ln[(2)]f x x x =-（02x <<），由复合函数的单调性可知()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减，所以A ，B 错误，故选C ．【名师点睛】如果函数()f x ，x D ∀∈，满足x D ∀∈，恒有()()f a x f b x +=-，那么函数的图象有对称轴2a bx +=；如果函数()f x ，x D ∀∈，满足x D ∀∈，恒有()()f a x f b x -=-+，那么函数()f x 的图象有对称中心(,0)2a b+． 3．B解析：B 【解析】因为||0x ≥，所以1x a ≥，且在(0,)+∞上曲线向下弯曲的单调递增函数，应选答案B ．4．C解析：C 【解析】【分析】首先将b 表示为对数的形式，判断出0b <，然后利用中间值以及对数、指数函数的单调性比较32与,a c 的大小，即可得到,,a b c 的大小关系. 【详解】因为154b=，所以551log log 104b =<=，又因为(133331log log 4log 3,log 4a ==∈，所以31,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，又因为131133336,82c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪=∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭，所以3,22c ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以c a b >>. 故选：C. 【点睛】本题考查利用指、对数函数的单调性比较大小，难度一般.利用指、对数函数的单调性比较大小时，注意数值的正负，对于同为正或者负的情况可利用中间值进行比较.5．D解析：D 【解析】【分析】可以得出11ln 32,ln 251010a c ==，从而得出c ＜a ，同样的方法得出a ＜b ，从而得出a ，b ，c 的大小关系．【详解】()ln 2ln 322210a f ===, ()1ln 255ln 5510c f ===,根据对数函数的单调性得到a>c, ()ln 333b f ==,又因为()ln 2ln8226a f ===，()ln 3ln 9336b f ===，再由对数函数的单调性得到a<b,∴c ＜a ，且a ＜b ；∴c ＜a ＜b ．故选D ．【点睛】考查对数的运算性质，对数函数的单调性．比较两数的大小常见方法有：做差和0比较，做商和1比较，或者构造函数利用函数的单调性得到结果.6．A解析：A 【解析】【分析】利用函数()y f x =是(),-∞+∞上的增函数，保证每支都是增函数，还要使得两支函数在分界点1x =处的函数值大小，即()23141a a -⨯-≤，然后列不等式可解出实数a 的取值范围．【详解】由于函数()()234,1,1a x a x f x x x ⎧--<=⎨≥⎩是(),-∞+∞的增函数，则函数()34y a x a =--在(),1-∞上是增函数，所以，30a ->，即3a <；且有()23141a a -⨯-≤，即351a -≤，得25a ≥，因此，实数a 的取值范围是2,35⎡⎫⎪⎢⎣⎭，故选A. 【点睛】本题考查分段函数的单调性与参数，在求解分段函数的单调性时，要注意以下两点：（1）确保每支函数的单调性和原函数的单调性一致；（2）结合图象确保各支函数在分界点处函数值的大小关系．7．A解析：A 【解析】本题考察函数的单调性与奇偶性由函数的奇偶性定义易得1ln||y x =，||2x y =，cos y x =是偶函数，3y x =是奇函数 cos y x =是周期为2π的周期函数，单调区间为[2,(21)]()k k k z ππ+∈0x >时，||2x y =变形为2x y =，由于2>1,所以在区间(0,)+∞上单调递增0x >时，1ln||y x =变形为1ln y x =，可看成1ln ,y t t x==的复合，易知ln (0)y t t =>为增函数，1(0)t x x=>为减函数，所以1ln ||y x =在区间(0,)+∞上单调递减的函数故选择A8．B解析：B 【解析】【分析】根据零点存在定理判断023x <<，从而可得结果. 【详解】因为()2ln f x x x=-在定义域内递增，且()2ln 210f =-<，()23ln 303f =->，由零点存在性定理可得023x <<，根据[]x 表示不超过实数x 的最大整数可知()02g x =，故选：B. 【点睛】本题主要考查零点存在定理的应用，属于简单题.应用零点存在定理解题时，要注意两点：（1）函数是否为单调函数；（2）函数是否连续.9．A解析：A 【解析】试题分析：1(22)y x =-≤≤对应的图形为以()0,1为圆心2为半径的圆的上半部分，直线24y kx k =-+过定点()2,4，直线与半圆相切时斜率512k =，过点()2,1-时斜率34k =，结合图形可知实数k 的范围是53(,]124考点：1．直线与圆的位置关系；2．数形结合法10．C解析：C 【解析】试题分析：根据补集的运算得{}{}{}{}2,4,6,()2,4,61,2,41,2,4,6UP UP Q =∴⋃=⋃=痧．故选C.【考点】补集的运算.【易错点睛】解本题时要看清楚是求“⋂”还是求“⋃”，否则很容易出现错误；一定要注意集合中元素的互异性，防止出现错误．11．B解析：B 【解析】因为()f x =22x x -+,所以()f a =223a a -+=,则()2f a =2222a a -+=2(22)2a a -+-=7.选B.12．B解析：B 【解析】由题意，f （﹣x ）+f （x ）=0可知f （x ）是奇函数， ∵()()f x g x x =+，g （﹣1）=1，即f （﹣1）=1+1=2 那么f （1）=﹣2．故得f （1）=g （1）+1=﹣2， ∴g （1）=﹣3，故选：B二、填空题13．【解析】【分析】首先根据对数的运算性质化简可知：即解方程即可【详解】因为且所以即整理得：所以或因为所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查对数的运算性质同时考查了学生的计算能力属于中档题解析：3+【解析】【分析】首先根据对数的运算性质化简可知：2()2x y xy -=，即2()6()10x x y y -+=，解方程即可.【详解】因为log log log 22a a ax yx y +-=，且x y >，所以2log log ()2aa x y xy -=，即2()2x y xy -=. 整理得：2260x y xy +-=，2()6()10x xy y-+=.26432∆=-=，所以3x y =-3x y =+因为0x y >>，所以1xy>.所以3x y=+故答案为：3+【点睛】本题主要考查对数的运算性质，同时考查了学生的计算能力，属于中档题.14．【解析】【分析】将化简为关于的函数式利用基本不等式求出的最值即可求解【详解】当时当时时当且仅当时等号成立同理时即的最小值和最大值分别为依题意得解得故答案为:【点睛】本题考查函数的最值考查基本不等式的解析：【解析】【分析】将()f x 化简为关于x a +的函数式，利用基本不等式，求出的最值，即可求解. 【详解】当x a =-时，()0f x =，当x a ?时，()222111[()]1()2x a x af x a x x a a x a ax a++===+++-+++-+， x a >-时，21()22a x a a a x a+++-≥+当且仅当x a =时，等号成立，0()2af x ∴<≤=同理x a <-时，()0f x ≤<，()f x ≤≤，即()f x，2=，解得a =. 故答案为: 【点睛】本题考查函数的最值，考查基本不等式的应用，属于中档题.15．【解析】【分析】先分别求解出绝对值不等式分式不等式的解集作为集合然后根据交集概念求解的结果【详解】因为所以所以；又因为所以所以所以；则故答案为：【点睛】解分式不等式的方法：首先将分式不等式转化为整式解析：()1,2-【解析】【分析】先分别求解出绝对值不等式、分式不等式的解集作为集合,A B ，然后根据交集概念求解A B I 的结果.【详解】因为12x -<，所以13x -<<，所以()1,3A =-；又因为204x x -<+，所以()()4204x x x ⎧+-<⎨≠-⎩，所以42x -<<，所以()4,2B =-；则()1,2A B =-I . 故答案为：()1,2-. 【点睛】解分式不等式的方法：首先将分式不等式转化为整式不等式，若对应的整式不等式为高次可因式分解的不等式，可采用数轴穿根法求解集.16．1【解析】【分析】直接利用对数计算公式计算得到答案【详解】故答案为：【点睛】本题考查了对数式的计算意在考查学生的计算能力解析：1 【解析】【分析】直接利用对数计算公式计算得到答案. 【详解】()()22522lg62lg3lg5lg2lg5lg2lg36lg9lg5lg2lg41lg -+=+-+-=-+=lg ﹣故答案为：1 【点睛】本题考查了对数式的计算，意在考查学生的计算能力.17．【解析】【分析】由已知条件得出是以2为周期的函数根据函数周期性化简再代入求值即可【详解】因为所以所以是以2为周期的函数因为当时所以故答案为:【点睛】本题主要考查函数的周期性和递推关系这类题目往往是奇【解析】【分析】由已知条件，得出()f x 是以2为周期的函数，根据函数周期性，化简92f ⎛⎫⎪⎝⎭，再代入求值即可. 【详解】因为()()1f x f x +=-，所以()()()21f x f x f x +=-+=，所以()f x 是以2为周期的函数，因为当11x -<≤时，()xf x e = ，所以129114222f f f e e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故答案为: e . 【点睛】本题主要考查函数的周期性和递推关系，这类题目往往是奇偶性和周期性相结合一起运用.18．(-∞1∪4+∞)【解析】由题意得a+1≤2或a≥4解得实数a 的取值范围为(-∞1∪4+∞)点睛：已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：(1)若函数在区间ab 上单调则该函数在此区间的任意解析：【解析】由题意得或，解得实数的取值范围为点睛：已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：(1)若函数在区间上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；(2)分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值；（3）复合函数的单调性，不仅要注意内外函数单调性对应关系，而且要注意内外函数对应自变量的取值范围.19．4【解析】【分析】根据二次函数的单调性结合值域分析最值即可求解【详解】二次函数的图像的对称轴为函数在递减在递增且当时函数取得最小值1又因为当时所以当时且解得或（舍）故故答案为：4【点睛】此题考查二次解析：4 【解析】【分析】根据二次函数的单调性结合值域，分析最值即可求解. 【详解】二次函数222y x x -=+的图像的对称轴为1x =，函数在(),1x ∈-∞递减，在[)1,x ∈+∞递增，且当1x =时，函数()f x 取得最小值1，又因为当1x =-时，5y =，所以当x m =时，10y =，且1m >-，解得4m =或2-（舍），故4m =. 故答案为：4 【点睛】此题考查二次函数值域问题，根据二次函数的值域求参数的取值.20．【解析】【分析】由奇函数的性质得设则由函数的奇偶性和解析式可得综合2种情况即可得答案【详解】解：根据题意为定义在R 上的奇函数则设则则又由函数为奇函数则综合可得：当时；故答案为【点睛】本题考查函数的奇解析：()1x x +【解析】【分析】由奇函数的性质得()00f =，设0x <，则0x ->，由函数的奇偶性和解析式可得()()()1f x f x x x =--=+，综合2种情况即可得答案．【详解】解：根据题意，()f x 为定义在R 上的奇函数，则()00f =，设0x <，则0x ->，则()()()1f x x x -=-+，又由函数为奇函数，则()()()1f x f x x x =--=+，综合可得：当0x ≤时，()()1f x x x =+；故答案为()1x x + 【点睛】本题考查函数的奇偶性以及应用，注意()00f =，属于基础题．三、解答题21．（1）奇函数，证明见解析；（2）015m << 【解析】【分析】（1）先求出函数定义域，再利用函数奇偶性的定义判断即可；（2）由题意，101(1)(7)x m x x x +>>---对[]2,4x ∀∈恒成立，转化为0(1)(7)m m x x >⎧⎨<+-⎩恒成立，求出函数()()()17g x x x =+-的最小值进而得解. 【详解】（1）因为101x x +>-，解得1x <-或1x >，所以函数()f x 为奇函数，证明如下：由（1）知函数()f x 的定义域关于原点对称，又因为1222111()log log log ()111x x x f x f x x x x --+-+⎛⎫-====- ⎪--+-⎝⎭，所以函数()f x 为奇函数；（2）若对于[]2,4x ∈，2()log (1)(7)mf x x x >--恒成立，即221log log 1(1)(7)x mx x x +>---对[]2,4x ∈恒成立，即101(1)(7)x mx x x +>>---对[]2,4x ∈恒成立，因为[]2,4x ∈，所以107mx x+>>-恒成立，即0(1)(7)m m x x >⎧⎨<+-⎩恒成立，设函数()()()17g x x x =+-，求得()g x 在[]2,4上的最小值是15，所以015m <<. 【点睛】本题考查函数奇偶性的判断及不等式的恒成立问题，考查分离变量法的运用，考查分析问题及解决问题的能力，难度不大.22．(1) {}|310A x x =≤< (2) {}()|35710U C B A x x x ⋂=≤<≤<或【解析】试题分析：（1）根据真数大于零以及偶次根式被开方数非负列不等式，解得集合A （2）先根据数轴求U C B ，再根据数轴求交集试题解析：（1）由题意可得：30100x x -≥⎧⎨->⎩，则{|310}A x x =≤<（2）{|57}U C B x x x =<≥或(){|35710}U C B A x x x ⋂=≤<≤<或23．（1）见解析；（2）有，1.5 【解析】【分析】（1）由条件利用函数的单调性的定义即可证得函数f （x ）在区间[)0,+∞上的单调性．（2）结合函数单调性，由零点存在性定理得出连续函数()g x 在区间()1,2上有且仅有一个零点，由二分法即可得出零点的近似值（精确到0.3）. 【详解】（1）函数()f x 在区间[)0,+∞上是增函数，设[)12,0,x x ∈+∞，且12x x <，则()()120f x f x -===<，所以()()12f x f x <，故函数()f x 在区间[)0,+∞上是增函数. （2）()2log 2g x x =-是增函数，又因为()21log 1210g =-=-<，()22log 2210g =-=>，所以连续函数()g x 在区间()1,2上有且仅有一个零点0x因为()21.5log 1.52 1.2250.58520.190g -≈+-=-<，所以()0 1.5,2x ∈又因为()21.75log 1.752 1.3230.80720.130g =-≈+-=->，所以()0 1.5,1.75x ∈又1.75 1.50.250.3-=<，所以()g x 零点的近似值为1.5. 【点睛】本题考查了用定义证明函数单调性，零点存在性定理的应用，二分法求零点的近似值，属于中档题.24．(1)证明见解析;(2){|1}x x ≤. 【解析】【分析】（1）根据函数为定义在R 上的奇函数得(0)0f =，结合(1)1f =求得()f x 的解析式，再利用单调性的定义进行证明；（2）因为231x +>,411x +>,由(1)可得2341x x +≥+，解指数不等式即可得答案. 【详解】 (1)因为函数2()(,)1ax bf x a b x +=∈+R 为在R 上的奇函数,所以(0)0f = 则有0001111ba b +⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩解得20a b =⎧⎨=⎩,即22()1x f x x =+12,(1,)x x ∀∈+∞,且12x x <()()()()()()2212211212222212122121221111x x x x x x f x f x x x x x +-+-=-=++++ ()()()()122122122111x x x x xx --=++因为12,(1,)x x ∀∈+∞,且12x x <,所以()()2212110x x ++>,1210x x ->,210x x ->所以()()120f x f x ->即()()12f x f x > ,所以()f x 在(1,)+∞上单调递减 .(2)因为231x +>,411x +>,由(1)可得2341x x +≥+ 不等式可化为22220x x x ⋅--≤,即(()()21220xx+-≤ 解得22x ≤,即1x ≤ 所以不等式的解集为{|1}x x ≤ 【点睛】本题考查奇函数的应用、单调性的定义证明、利用单调性解不等式，考查函数与方程思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意不等式的解集要写成集合的形式. 25．(1)答案见解析；(2)0a <或1a >. 【解析】试题分析：(1)利用赋值法计算可得()()02,14f f =--=-，设1x <，则21x ->，利用()22f =拆项：()()22f f x x =-+即可证得：当1x <时，()0f x <； (2)结合(1)的结论可证得()f x 是增函数，据此脱去f 符号，原问题转化为()()2222122a a x a x ----+<-在[]1,3上恒成立，分离参数有：222234x x a a x x+-->-恒成立，结合基本不等式的结论可得实数a 的取值范围是0a <或1a >. 试题解析： (1)令，得，令，得，令，得，设，则，因为,所以;(2)设，,因为所以，所以为增函数,所以,即,上式等价于对任意恒成立，因为，所以上式等价于对任意恒成立，设，（时取等），所以，解得或.26．（Ⅰ）12,020518,203010t t P t t ⎧+<≤⎪⎪=⎨⎪-+<≤⎪⎩；（Ⅱ）40Q t =-+；（Ⅲ）第15天交易额最大，最大值为125万元．【解析】【分析】（Ⅰ）由一次函数解析式可得P 与时间t 所满足的函数解析式；（Ⅱ）设Q kt b =+，代入已知数据可得；（Ⅲ）由y QP =可得，再根据分段函数性质分段求得最大值，然后比较即得．【详解】（Ⅰ）当020t <≤时，设11P k t b =+，则1112206b k b =⎧⎨+=⎩，解得11215b k =⎧⎪⎨=⎪⎩，当2030t ≤≤时，设22P k t b =+，则2222206305k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得228110b k =⎧⎪⎨=-⎪⎩所以12,020518,203010t t P t t ⎧+<≤⎪⎪=⎨⎪-+<≤⎪⎩．（Ⅱ）设Q kt b =+，由题意4361030k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得140k b =-⎧⎨=⎩，所以40Q t =-+．（Ⅲ）由（Ⅰ）（Ⅱ）得1(2)(40),02051(8)(40),203010t t t y t t t ⎧+-+<≤⎪⎪=⎨⎪-+-+<≤⎪⎩即221680,0205112320,203010t t t y t t t ⎧-++≤≤⎪⎪=⎨⎪-+<≤⎪⎩，当020t <≤时，2211680(15)12555y t t t =-++=--+，15t =时，max 125y =，当20t 30<≤时，221112320(60)401010y t t t =-+=--，它在(20,30]上是减函数，所以21(2060)4012010y <⨯--=．综上，第15天交易额最大，最大值为125万元．【点睛】本题考查函数模型应用，解题时只要根据所给函数模型求出函数解析式，然后由解析式求得最大值．只是要注意分段函数必须分段计算最大值，然后比较可得．。

上海市西南位育中学2021年高一数学文上学期期末试卷含解析

上海市西南位育中学2021年高一数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知函数，则的值为( )A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：D由函数，可得，所以，故选D.2. 不等式的解集为（）A、B、C、D、参考答案：D3. y＝(2a－1)x＋5是减函数，求a的取值范围．参考答案：略4. 已知f(x)，g(x)对应值如表．则f(g(1))的值为( )A．－1 B．0 C．1 D．不存在参考答案：C略5. 已知，则的值为（）A．B． C. D．参考答案：C6. 已知函数，则的解集为（）A． B．C． D．参考答案：B7. 下列各函数中，最小值为的是( )A． B．，C． D．参考答案：D略8. 设a=log32，b=ln2，c=，则（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．c＜b＜a参考答案：C【考点】对数值大小的比较；换底公式的应用．【分析】根据a的真数与b的真数相等可取倒数，使底数相同，找中间量1与之比较大小，便值a、b、c的大小关系．【解答】解：a=log32=，b=ln2=，而log23＞log2e＞1，所以a＜b，c==，而，所以c＜a，综上c＜a＜b，故选C．9. 将了数的图象向左平移个单位，再将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），则所得图象的函数解析式为（）A． B．C． D．参考答案：B10. 在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，则（）A. B. C. D. 参考答案：C【分析】根据题目条件结合三角形的正弦定理以及三角形内角和定理可得sin A，进而利用二倍角余弦公式得到结果.详解】∵．∴sin A cos B＝4sin C cos A﹣sin B cos A即sin A cos B+sin B cos A＝4cos A sin C∴sin C＝4cos A sin C∵0＜C＜π，sin C≠0．∴1＝4cos A，即cos A，那么．故选C【点睛】本题考查了正弦定理及二倍角余弦公式的灵活运用，考查计算能力，属于基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若点P在角的终边上，且P的坐标为，则y=__________参考答案：【分析】本题可根据正切函数的性质列出等式，然后通过计算即可得出结果。

上海市西南位育中学2020-2021学年高一上学期期末数学试题

西南位育中学高一期末数学试卷一、填空题1．设集合{}|2x A y y ==，{}2|B y y x ==，则A B ⋂=__________．2．函数()0.5log 4y x =-的定义域是__________．3．函数256y x x =-+的零点是__________．4．设{|}31,A n n k k N ==-∈，{|}61,B n n k k N ==-∈，则A __________B ．（填“⊂”、“⊃”、“=”或“≠”）5．不等式2711x x -<-的解集是__________． 6．设x ，y R ∈，用反证法证明命题“如果224x y +<，那么2x <且2y <”时，应先假设“__________” ．7．若3x >-，则23x x ++的最小值为__________．8(0)p a a =>，则p =__________．9．方程310x x ++=在()1,0x ∈-上的近似解为__________（精确到0.01）10．已知x b a =，y c a =，bc a =，其中a ，b ，,()1c ∈+∞，则11x y +=__________． 11．若集合()21320{}x a x x -+-=有且仅有两个子集，则实数a 的值为__________．12．函数23x y x -=-，3x >的反函数为__________． 13．已知函数()y f x =，对任意x R ∈，都有()()1f x f x a ⋅+=（a 为非零常数），且当[)0,1x ∈时，()2x f x =，则()2021f =__________．14．已知[]x 表示不超过x 的最大整数，且关于x 的方程[]0xx a -=（0a >且1a ≠）在[]0,5x ∈上有解，则实数a 的取值范围是__________．二、选择题15．若0a b <<，则下列不等式恒成立的是（）A ．11a b >B ．a b ->C ．22a b >D ．33a b <16．下列选项中，y 可表示为x 的函数的是（）A ．230y x +=B ．23x y = C ．y x = D ．32log y x =17．若奇函数()y f x =的图像沿x 轴的正方向平移2个单位所得的图像为C ，又设图像D 与C 关于原点对称，则D 对应的函数是（）A ．()2y f x =+B ．()2y f x =-C ．()2y f x =+D ．()2y f x =-18．设函数()y f x =和()(y f f x =的定义域都是R ﹐对于下列四个命题：（1）若函数()y f x =是奇函数，则函数()()y ff x =是奇函数：（2）若函数()y f x =是偶函数，则函数()()y f f x =是偶函数；（3）若函数()y f x =是严格减函数，则函数()(y f f x =是严格增函数；（4）若函数()y f x =存在反函数()1y fx -=，且函数()()1y f x f x -=-有零点，则函数()y f x x =- 也有零点；其中正确的命题有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个三、解答题19．已知集合{}2|4A x x =-<<，{}10|B x x a =+-<．（1）若A B A ⋂=，求实数a 的取值范围；（2）若{}|2A B x x ⋃=>-，求实数a 的取值范围；20．解下列方程或不等式．（1）12311()()24x x --=（2）()()24log 1log 23x x ->-21．求解下列问题．（1）运用三角不等式证明：|112x x -++≥，x R ∈，并指出等号取到的充要条件；（2）已知关于x 的不等式1121x m x --≤-+有实数解，求实数m 的取值范围．22．已知31().31x x f x -=+ （1）求证函数()y f x =是奇函数：（2）判断函数()y f x =的单调性并证明．23．经市场调查，某商品在过去的100天内销售量（单位：件）和价格（单位：元）均为时间t （单位：天）的函数，且销售量满足60160()1150611002t t f t t t +≤≤⎧⎪=⎨-≤≤⎪⎩()t N ∈，价格满足()(2001100)g t t t =-≤≤，t N ∈）．（1）求该种商品的日销售额()h t 与时间t 的函数关系；（2）若销售额超过16000元，商家认为该商品的收益达到理想程度，请判断该商品在哪几天的收益达到理想程度？24．若函数()y f x =对任意实数x 、y 都有()()()f xy f x f y =，则称其为“保积函数”．（1）请写出两个“保积函数”的函数解析式；（2）若“保积函数”()y f x =满足()11f -=，判断其奇偶性并证明；（3）对于（2）中的“保积函数”，若[)0,1x ∈时，()[)0,1f x ∈，且()8127f =，试求不等式()f x ≤的解集．四、附加题25．已知定义域为N 的函数()y f x =满足210()((5)10 x xx f x f f x x -≥⎧=⎨+<⎩，则()5f =__________．26．已知定义域为R 的奇函数()f x 在区间(0,)+∞上为严格减函数，且()20f =，则不等式(1)01f x x +≥- 的解集为__________．27．设m ，a R ∈，()()211f x x a x =+-+，2()24m g x mx ax =++，若“对于一切实数x ，()0f x >”是“对于一切实数x ，()0g x >”的充分条件，则实数m 的取值范围是__________．28．设集合120{0|0,}A x x x N =≤≤∈，19932021,{|}B x x x N =≤≤∈，则满足S A ⊆，且S B ⋂≠∅ 的集合S 的个数是__________．29．函数()1x x P f x x M x-∈⎧⎪=⎨∈⎪⎩，其中P 、M 是实数集R 的两个非空子集，又规定()(),{|}A P y y f x x P ==∈，()(),{|}A M y y f x x M ==∈，则下列说法：（1）一定有()()A P A M ⋂=∅；（2）若P M R ⋃≠，则()()A P A M R ⋃≠﹔（3）一定有P M ⋂≠∅；（4）若P M R ⋃=，则()()A P A M R ⋃=．其中正确的个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个参考答案一、填空题1．(0,)+∞2．(),4-∞ 3．2x =和3x = 4．⊃ 5．()1,6 6．2x ≥或2y ≥7．38．524 9．0.75x ≈- 10．1 11．1或18-12．132()(1)1x f x x x --=>- 13．a 14．二、选择题15．D 16．D 17．A 18．C 三、解答题19．（1）3a ≤-；（2）33a -≤<．20．（1）53x =；（2）3(,2)(2,)2⋃+∞ 21．（1）[]1,1x ∈-时等号成立；（2）12m ≥． 22．（1）证明略；（2）为R 上的增函数．23．（1）2214012000160,()12503000061100,2t t t t N h t t t t t N ⎧-++≤≤∈⎪=⎨-+≤≤∈⎪⎩；（2）4164t ≤≤，t N ∈． 24．（1）y x =，1y x =﹔（2）偶函数；（3）[]9,9-．四、附加题25．9 26．[]{}3,11--⋃ 27．[6,)+∞ 28．2000199222- 29．B。

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