高中数学基本不等式教案
人教A版高中数学必修5《基本不等式》精品教案
人教A版高中数学必修5《基本不等式》精品教案课题： 基本不等式：2ba ab +≤（第一课时）教材：人教版高中课程标准实验教科书《数学·必修5》第三章第四节 1 教材分析本节书介绍了两个不等式定理：（1）、如果R b R a ∈∈,，那么ab b a 222≥+①；（2）、如果0,0>>b a ，那么2ba ab +≤②。
这两个定理是解决一些数学问题和实际应用问题的重要的数学方法。
本节书教学共需3课时，这是第一课时，主要是了解探索基本不等式的证明过程，熟悉基本不等式的结构，为下节基本不等式的应用做准备（以下用①②代替两个定理）。
2 学生分析有了前面“不等式性质”的学习，学生要理解这两个定理难度并不大。
针对学生求知欲旺盛的特点，在教学中，以思考、探索、讨论为主要方法，适当加以讲解，使学生自己收获结论、总结方法，动手解决实际问题，并且增强学习数学的的信心。
3 教学策略（1）、以“孔融选蛋糕”为例引入，课件辅助，引导学生探究①的证明，并总结证明方法；利用正方形和弦图让学生了解①的几何意义，同时介绍“国际数学家大会”，培养学生的民族自豪感和使命感。
（2）、利用①式，通过“换元法”练习引入定理②，引导学生从不同角度探究②的证明过程，利用“半径和半弦的关系”让学生了解②的几何意义，并强调①②的联系与区别。
（3）、巩固练习。
设置三道习题由浅到深让学生对基本不等式逐渐熟悉，应用它们去比较大小、解决生活常见问题，最后让学生通过替换定理中的字母发现更多②式有趣的变形式，为下一节课铺垫。
4 教学目标（1）、知识目标了解不等式①②的证明过程和方法；了解不等式①②的几何意义；初步应用基本不等式比较大小，熟悉其变形式。
（2）、能力目标通过探究结果的汇报以及讨论活动，提高学生语言表达能力；在对不等式①②的证明过程中培养学生发现、比较、论证、转化等分析问题和解决问题的能力；通过掌握不等式①②的结构特点和运用不等式①②的适当变形，培养学生的思维能力和创新精神。
基本不等式教案范文
基本不等式教案范文一、教学目标1.知识与技能目标a.掌握基本不等式的定义和基本性质；b.掌握不等式的加减乘除性质；c.能够解决基本不等式的证明和计算问题。
2.过程与方法目标a.通过例题引导学生发现不等式的性质；b.引导学生进行探究性学习，提高独立解决问题的能力；c.培养学生的逻辑思维和推理能力。
3.情感态度目标a.培养学生的数学思维和抽象思维能力；b.培养学生的合作意识和团队精神；c.培养学生的实际问题解决能力。
二、教学重点1.不等式的加减和乘除性质；2.不等式的证明和计算方法。
三、教学难点1.不等式的证明方法；2.复杂不等式的解决方法。
四、教学方法1.探究教学法：通过解决例题引导学生发现不等式的性质；2.讲授教学法：通过讲解和示范的方式，介绍不等式的性质和解决方法；3.案例分析法：通过分析实际问题的案例，引导学生解决不等式问题。
五、教学过程1.引入a.导入问题：小明计划购买一款手机，他想知道自己有多少钱可以花在手机上。
请问该怎样计算？b.引导学生讨论，并给予提示，引出不等式的概念。
2.探究不等式的性质a.通过解决一些简单的例题，让学生发现不等式的性质。
b.给出以下几个例题：（1）若a>b，b>0，则a+b>b；（2）若a > b，b > 0，则ab > b；（3）若a>b，b>0，则a/b>1c.让学生在小组内讨论，并找出规律。
d.分组展示结果，学生进行交流与讨论。
e.教师总结不等式的加减和乘除性质。
3.不等式证明a.讲解不等式证明的一般方法，包括逆否命题法、反证法等。
b.通过案例讲解不等式证明的具体步骤和技巧。
c.给出以下例题：（1）证明：若a>b，b>0，则a+b>0。
（2）证明：对于任意实数x，都有x>-1c.引导学生运用之前学到的证明方法进行解答，然后进行讨论。
4.解决不等式问题a.讲解不等式的解决方法，包括绝对值法、区间法等。
3.2基本不等式-北师大版高中数学必修第一册(2019版)教案
3.2 基本不等式-北师大版高中数学必修第一册（2019版）教案一、教学目标1.了解不等式的概念，并掌握基本不等式的证明方法。
2.能够运用基本不等式求解基础数学题目。
二、教学重点1.基本不等式的概念。
2.基本不等式的证明方法。
3.基本不等式的应用。
三、教学难点1.基本不等式的证明方法。
2.基本不等式的应用。
四、教学内容和方法1. 教学内容1.不等式的概念。
2.基本不等式的证明方法。
3.基本不等式的应用。
4.案例演练。
2. 教学方法1.讲授法。
2.案例演练法。
3. 具体步骤(1) 不等式的概念1.引入不等式的概念，并让学生了解不等式的基本性质。
2.提供一些例题，让学生掌握不等式的基础知识。
(2) 基本不等式的证明方法1.讲解基本不等式的证明方法，并让学生理解证明思路。
2.给出一些例题，让学生通过案例演练掌握证明方法。
(3) 基本不等式的应用1.讲解基本不等式的应用，并通过案例演练让学生掌握应用方法。
2.提供一些综合应用的例题，让学生能够运用所学知识解题。
五、教学评估1.进行课堂测试，测试学生对基本不等式的理解和掌握程度。
2.打分并评估学生的学习成果和教学效果。
六、教学进度安排本次课时为2学时，具体安排如下：1.第一学时：讲解不等式的概念和基本性质，并提供例题进行练习，时间1学时。
2.第二学时：讲解基本不等式的证明方法和应用，提供案例练习和综合例题进行讲解，时间1学时。
七、教学资源准备1.基本不等式的教材教辅。
2.讲解PPT。
3.相关练习题和测试题。
高中数学基本不等式教案设计.doc
高中数学《基本不等式》教学设计方案一、 【教学目标】1、 知识与技能目标(1) 掌握基本不等式陌S 凹，认识其运算结构；2(2) 了解基木不等式的几何意义及代数意义；(3) 能够利用基本不等式求简单的最值。
2、 过程与方法目标(1) 经历由几何图形抽象岀基本不等式的过程；(2) 体验数形结合思想。
3、 情感、态度和价值观目标(1) 感悟数学的发展过程，学会用数学的眼光观察、分析事物；(2) 体会多角度探索、解决问题。
二、 【能力培养】培养学生严谨、规范的学习能力，辩证地分析问题的能力，学以致用的能力, 分析问题、解决问题的能力。
三、 【教学重点】应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式V^<— 的2 证明过程。
四、 【教学难点】基本不等式陌5凹等号成立条件。
2五、 【教学方法】教师启发引导与学生自主探索相结合六、 【教学工具】课件辅助教学、实物演示实验七、 【教学流程】八、【教学过程设计】 创设情景，引入新课如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标, 据赵爽弦图而设计的。
用课前折好的赵爽弦图示范，比较实物演示引入课题 观察、发］现问题引例练习这是根4个直角三角形的面积和与大止方形的面积，你会得到怎样的相等关系？等和不赵爽弦图1.探究图形中的不等关系将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD中右个全等的直角三角形。
设直角三角形的两条直角边长为a,b那么正方形的边长为V7市。
这样，4个直角三角形的而积的和是2ab,正方形的而积为/+方2。
由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：a2 +b2 > lab。
当直角三角形变为等腰直角三角形，即护b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有a2+b2=2ab.2.得到结论：一般的，如果a,be R,那么a1 ^b~ > 2ab(^且仅当a = b时取”=”号)3.思考证明：你能给岀它的证明吗？证明：因为a2 +/?2 - 2ab = (a-b)2当aH 附,(a-b)2〉0,当d =册,(°一/?)2 =0,所以，(a-b)2 >0, BP (a2+b2)>2ab.4.基木不等式1)特别的，如果a>0, b>0,我们用分别代替a、b ,可得亦,通常我们把上式写作：V^<-^(a>0,b>0)22)从不等式的性质推导基木不等式凹显然，（4）是成立的。
高中数学《基本不等式》公开课优秀教案
高中数学《基本不等式》公开课教案教学三维目标：1.知识与能力目标：掌握基本不等式及会应用基本不等式求最值 2.过程与方法目标：体会基本不等式应用的条件：一正，二定，三相等；体会应用基本不等式求最值问题解题策略的构建过程。
3.情感态度与价值观目标：通过解题后的反思逐步培养学生养成解题反思的习惯教学重难点：重点：基本不等式在解决最值问题中的应用难点：基本不等式在解决最值问题中的变形应用及等号成立的条件一、新课讲解1．基本不等式：①0,0>>b a ，ab ba ≥+2（当且仅当b a =时，取等号） 变形：ab b a 2≥+，ab b a ≥+2)2(，2≥+abb a②重要不等式：如果R b a ∈,，则ab b a 222≥+（当且仅当b a =时，取“=”号） 2．最值问题： 已知y x ,是正数，①如果积xy 是定值P ，则当y x =时，和y x +有最小值P 2；②如果和y x +是定值S ，则当y x =时，积xy 有最大值241S .利用基本不等式求最值时，要注意变量是否为正，和或积是否为定值，等号是否成立，以及添项、拆项的技巧，以满足均基本不等式的条件。
3．称2y x +为y x ,的算术平均数，称xy 为y x ,的几何平均数。
二、例题讲解：例1．已知0<x ，则xx 432++的最大值是________. 例2．已知0,0>>y x ，且082=-+xy y x ，求（1）xy 的最小值；（2）y x +的最小值。
例3．求下列函数的最小值（1）)1(11072->+++=x x x x y （2）已知0,0>>y x ，且,1243=+y x 求y x lg lg +的最大值及相应的x ，y 的值。
例4. 围建一个面积为360m 2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m 的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m,设利用的旧墙的长度为x (单位：元)。
高中数学5个不等式教案
高中数学5个不等式教案
课题：高中数学不等式
目标：学生能够理解和解决各种不等式问题，掌握不等式的基本性质和解法方法。
一、引入：
通过一个简单的问题引入不等式的概念，让学生明白不等式的意义和作用。
二、基本性质：
1. 不等式的基本性质：大小关系、加减乘除，等不等式的性质。
2. 不等式的转化：加减法转化、乘除法转化等。
3. 不等式的表示：解集表示法、图示法等。
三、解不等式：
1. 一元一次不等式：解一元不等式常用的方法和技巧。
2. 一元二次不等式：解一元二次不等式的方法和步骤。
3. 复合不等式：解复合不等式的方法和技巧。
四、不等式的应用：
1. 不等式在几何中的应用：三角形不等式等。
2. 不等式在实际问题中的应用：最大最小值问题、优化问题等。
五、综合练习：
安排一些综合性的练习题，让学生运用所学知识解决问题。
六、总结：
对本节课所学的内容进行总结，强化学生对不等式知识的理解和掌握。
七、作业：
布置适量的作业，巩固所学内容。
以上是一份高中数学不等式教案范本，教师可根据实际情况和教学需要进行具体调整和安排。
人教A版高中数学必修五《基本不等式》精品教案
《基本不等式：》教案《普通高中课程标准实验教科书·数学》必修5（人教A 版）第三章3.4节 一．教学目标①知识与技能目标：学会推导并掌握基本不等式，理解基本不等式的几何意义，并掌握式子中取等号的条件，会用基本不等式解决简单的数学问题。
②过程方法与能力目标：通过类比、直觉、发散等探索性思维的培养，激发学生学习数学的兴趣，进一步培养学生的解题能力，创新能力，勇于探索的精神。
③情感、态度与价值观目标：通过本节的学习，体会数学来源于生活并用于生活，增强学生应用数学的意识，激发学生学习数学的兴趣。
让学生享受学习数学带来的情感体验和成功喜悦。
二．教学重点、难点教学重点：创设代数与几何背景理解基本不等式，并从不同角度探索基本2a b+≤。
教学难点：理解“当且仅当a b =时取“=”号”的数学内涵，基本不等式的简单应用。
三、教学方法与手段本节课采用启发引导，讲练结合，自主探究的互动式教学方法。
以学生为主体，以基本不等式为主线，从实际问题出发，让学生探究思索。
以多媒体作为教学辅助手段，加深学生对基本不等式的理解。
四、教学过程设计设置情景，导入新课1．图中的面积有哪些相等和不等的关系？2．正方形ABCD的面积肯定大于4个直角三角形的面积和吗？有没有相等的情况呢？1．让学生观察常见的图形，目的是调动学生的学习兴趣，让学生感受到数学来源于生活，从而激发他们的学习动机。
2．借助《几何画板》动态演示和数据验算让学生更容易理解“当且仅当a b时取“=”号”的数学内涵，突破一个难点。
教师利用多媒体展示问题情景：1．（投影出）在北京召开的第24届国际数学家大会的会标——风车。
2．让学生直观观察（多媒体动画演示,“当正方形EFGH缩为一个点时，它们的面积相等”。
）自主探究，从而归纳出：“正方形ABCD的面积不小于4个直角三角形的面积和”。
五、板书设计板书设计方面主要板书两个不等式和应用不等式求最值的问题，例题及练习则利用多媒体课件展现，这样有利增加课堂容量，提高课堂效率。
《基本不等式》教案
《基本不等式》教学设计教材：人教版高中数学必修5第三章一、教学目标1．通过两个探究实例，引导学生从几何图形中获得两个基本不等式，了解基本不等式的几何背景，体会数形结合的思想；2．进一步提炼、完善基本不等式，并从代数角度给出不等式的证明，组织学生分析证明方法，加深对基本不等式的认识，提高逻辑推理论证能力；3．结合课本的探究图形，引导学生进一步探究基本不等式的几何解释，强化数形结合的思想；4．借助例1尝试用基本不等式解决简单的最值问题，通过例2及其变式引导学生领会运用基本不等式的三个限制条件（一正二定三相等）在解决最值中的作用，提升解决问题的能力，体会方法与策略．以上教学目标结合了教学实际，将知识与能力、过程与方法、情感态度价值观的三维目标融入各个教学环节．二、教学重点和难点重点：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索不等式的证明过程；难点：在几何背景下抽象出基本不等式，并理解基本不等式．三、教学过程：1．动手操作，几何引入如图是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标，会标是根据我国古代数学家赵爽的“弦图”设计的，该图给出了迄今为止对勾股定理最早、最简洁的证明，体现了以形证数、形数统一、代数和几何是紧密结合、互不可分的．探究一：在这张“弦图”中能找出一些相等关系和不等关系吗？在正方形中有4个全等的直角三角形．设直角三角形两条直角边长为，那么正方形的边长为．于是，4个直角三角形的面积之和，正方形的面积．由图可知，即．探究二：先将两张正方形纸片沿它们的对角线折成两个等腰直角三角形，再用这两个三角形拼接构造出一个矩形（两边分别等于两个直角三角形的直角边，多余部分折叠）．假设两个正方形的面积分别为和（），考察两个直角三角形的面积与矩形的面积，你能发现一个不等式吗？通过学生动手操作，探索发现：2．代数证明，得出结论根据上述两个几何背景，初步形成不等式结论：若，则．若，则．学生探讨等号取到情况，教师演示几何画板，通过展示图形动画，使学生直观感受不等关系中的相等条件，从而进一步完善不等式结论：（1）若，则；（2）若，则请同学们用代数方法给出这两个不等式的证明．证法一（作差法）：，当时取等号．（在该过程中，可发现的取值可以是全体实数）证法二（分析法）：由于，于是要证明，只要证明，即证，即，该式显然成立，所以，当时取等号．得出结论，展示课题内容基本不等式:若，则（当且仅当时，等号成立）若，则（当且仅当时，等号成立）深化认识：称为的几何平均数；称为的算术平均数基本不等式又可叙述为：两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数3．几何证明，相见益彰探究三：如图，是圆的直径，点是上一点，，．过点作垂直于的弦，连接．根据射影定理可得：由于Rt中直角边斜边，于是有当且仅当点与圆心重合时，即时等号成立．故而再次证明：当时，（当且仅当时，等号成立）（进一步加强数形结合的意识，提升思维的灵活性）4．应用举例，巩固提高例1.（1）用篱笆围一个面积为100平方米的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？（2）一段长为36米的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？（通过例1的讲解，总结归纳利用基本不等式求最值问题的特征,实现积与和的转化）对于，（1）若（定值），则当且仅当时，有最小值；（2）若（定值），则当且仅当时，有最大值．（鼓励学生自己探索推导，不但可使他们加深基本不等式的理解，还锻炼了他们的思维，培养了勇于探索的精神．）例2.求的值域．变式1.若，求的最小值．在运用基本不等式解题的基础上，利用几何画板展示的函数图象，使学生再次感受数形结合的数学思想．并通过例2及其变式引导学生领会运用基本不等式的三个限制条件（一正二定三相等）在解决最值问题中的作用，提升解决问题的能力，体会方法与策略．练一练（自主练习）：1.已知，且，求的最小值．2.设，且，求的最小值．5．归纳小结，反思提高基本不等式：若，则（当且仅当时，等号成立）若，则（当且仅当时，等号成立）（1）基本不等式的几何解释（数形结合思想）；（2）运用基本不等式解决简单最值问题的基本方法．媒体展示，渗透思想：若将算术平均数记为，几何平均数记为利用电脑3D技术，在空间坐标系中向学生展示基本不等式的几何背景：平面在曲面的上方6．布置作业，课后延拓（1）基本作业：课本P100习题组1、2题（2）拓展作业：请同学们课外到阅览室或网上查找基本不等式的其他几何解释，整理并相互交流．（3）探究作业：现有一台天平，两臂长不相等，其余均精确，有人说要用它称物体的重量，只需将物体放在左右托盘各称一次，则两次所称重量的和的一半就是物体的真实重量．这种说法对吗？并说明你的结论．《基本不等式》教学设计说明一、内容和内容解析本节课是人教版高中数学必修5中第三章第4节的内容。
高中数学教案 第5讲 基本不等式
第5讲基本不等式1.了解基本不等式的证明过程.2.能用基本不等式解决简单的最值问题.3.掌握基本不等式在生活实际中的应用．1．基本不等式ab ≤a ＋b2(a >0，b >0)，等号成立的条件：当且仅当□1a ＝b 时取等号．2．两个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥□22ab (a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号．(2)ab ≤(a ＋b 2)2(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号．3．利用基本不等式求最值(1)已知x ，y 都是正数，如果积xy 等于定值P ，那么当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值□32P ．(2)已知x ，y 都是正数，如果x ＋y 的和等于定值S ，那么当x ＝y 时，积xy 有最大值□414S 2．利用基本不等式求最值要注意：(1)满足“一正，二定，三相等”，忽略某个条件，就会出错．(2)一定要尽量避免多次使用基本不等式．若必须多次使用，则一定要保证它们等号成立的条件一致(等号同时成立)．常用结论1.b a ＋ab≥2(a ，b 同号)，当且仅当a ＝b 时取等号．2．ab ≤(a ＋b 2)2≤a 2＋b 22(a ，b ∈R )．3.21a ＋1b ≤ab ≤a ＋b 2≤a 2＋b 22(a >0，b >0)．1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 成立的条件是相同的．()(2)函数y ＝x ＋1x 的最小值是2.()(3)函数f (x )＝cos x ＋4cos x ，x ∈(0，π2)的最小值等于4.()(4)“x >0且y >0”是“x y ＋yx ≥2”的充要条件．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)×2．回源教材(1)已知x >－1，则x ＋1x ＋1的最小值为________．解析：x ＋1x ＋1＝(x ＋1)＋1x ＋1－1≥2（x ＋1）×1x ＋1－1＝2－1＝1，当且仅当x ＋1＝1x ＋1，即x ＝0时等号成立．答案：1(2)若a >0，b >0，且ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的最小值为________．解析：由ab ＝a ＋b ＋3≥2ab ＋3，得ab －2ab －3≥0，解得ab ≥3(ab ≤－1舍去)，即ab ≥9，当且仅当a ＝b ＝3时取等号．答案：9(3)若把总长为20m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m 2，此时矩形场地的长、宽分别是________m.解析：设矩形的一边为x m ，则另一边为12×(20－2x )＝(10－x )m ，其中0＜x＜10，所以面积y ＝x (10－x )≤(x ＋10－x 2)2＝25，当且仅当x ＝10－x ，即x ＝5时，等号成立，所以y max ＝25.此时矩形的长与宽均为5m.答案：255，5利用基本不等式求最值配凑法例1(1)已知x ＞2，则4x －2＋x 的最小值是________．解析：由x >2知x －2>0，则4x －2＋x ＝4x －2＋(x －2)＋2≥24x －2·（x －2）＋2＝6，当且仅当4x －2＝x －2，即x ＝4时取“＝”，所以4x －2＋x 的最小值是6.答案：6(2)设0<x <32，则函数y ＝4x (3－2x )的最大值为________．解析：∵0<x <32，∴3－2x >0，y ＝4x (3－2x )＝2[2x (3－2x )]≤22x ＋（3－2x ）22＝92，当且仅当2x ＝3－2x ，即x ＝34时，等号成立．∵34∈(0，32)，∴函数y ＝4x (3－2x )(0<x <32)的最大值为92.答案：92常数代换法例2(2024·济宁高三月考)若a >0，b >0，3a ＋2b ＝6，则2a ＋3b的最小值为()A ．6B ．5C ．4D ．3解析：C因为a >0，b >0，3a ＋2b ＝6，所以2a ＋3b ＝16(2a ＋3b )(3a ＋2b )＝16(12＋4b a ＋9a b )≥16(12＋24b a ·9a b )＝4，当且仅当3a ＝2b ＝3时，取等号，即2a ＋3b的最小值为4.消元法例3(2024·菏泽期中)若正数x ，y 满足x 2＋xy －3＝0，则4x ＋y 的最小值是()A ．3B ．6C ．23D ．42解析：B因为正数x ，y 满足x 2＋xy －3＝0，所以y ＝3x －x ，由y >0，得3x－x >0，因为x >0，所以3－x 2>0，即0<x <3.所以4x ＋y ＝3x ＋3x ≥23x ·3x＝6，当且仅当3x ＝3x，即x ＝1时等号成立．故选B ．反思感悟利用基本不等式求最值的方法(1)知和求积的最值：“和为定值，积有最大值”．但应注意以下两点：①具备条件——正数；②验证等号成立．(2)知积求和的最值：“积为定值，和有最小值”，直接应用基本不等式求解，但要注意利用基本不等式求最值的条件．(3)构造不等式求最值：在求解含有两个变量的代数式的最值问题时，通常采用“变量替换”或“常数1”的替换，构造不等式求解．训练1(1)已知x >0，y >0，且4x ＋2y －xy ＝0，则2x ＋y 的最小值为()A ．16B ．8＋42C ．12D ．6＋42解析：A 由题意可知2x ＋4y ＝1，∴2x ＋y ＝(2x ＋y )(2x ＋4y )＝8x y ＋2yx＋8≥28x y ·2yx＋8＝16，当且仅当8x y ＝2yx，即x ＝4，y ＝8时，等号成立，则2x ＋y 的最小值为16.(2)(2024·深圳六校质检)已知x>0，y>0，若x＋y＋xy＝3，则xy的最大值为()A．1B．2C．2D．22解析：A法一：由x>0，y>0，得x＋y≥2xy，所以x＋y＋xy＝3≥2xy＋xy，当且仅当x＝y时等号成立．令xy＝t(t>0)，则t2＋2t－3≤0，解得0<t≤1，即0<xy≤1，故0<xy≤1，当且仅当x＝y＝1时等号成立，xy的最大值为1，故选A．法二：由x＋y＋xy＝3，且x>0，得y＝3－xx＋1，则xy＝x（3－x）x＋1＝－x2＋3xx＋1，因为x>0，y>0，则3－xx＋1>0且x>0，解得0<x<3.设t＝x＋1∈(1，4)，则x＝t－1，xy＝－x2＋3xx＋1＝－（t－1）2＋3（t－1）t＝－t2＋5t－4t＝－t－4t＋5＝－(t＋4t)＋5≤－2t·4t＋5＝1，当且仅当t＝4t，即t＝2，也即x＝y＝1时等号成立，所以xy的最大值为1，故选A．(3)已知x>1，则y＝x－1x2＋3的最大值为________．解析：令t＝x－1，∴x＝t＋1，∵x>1，∴t>0，∴y＝t（t＋1）2＋3＝tt2＋2t＋4＝1t＋4t＋2≤124＋2＝16，当且仅当t＝4t，t＝2，即x＝3时，等号成立，∴当x＝3时，y max＝1 6 .答案：1 6利用基本不等式求参数值或取值范围例4(1)当x>a时，2x＋8x－a的最小值为10，则a＝()A．1B．2 C．22D．4解析：A2x＋8x－a＝2(x－a)＋8x－a＋2a≥22（x－a）×8x－a＋2a＝8＋2a，即8＋2a＝10，故a＝1.(2)已知不等式(x＋y)(1x＋ay)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为________．解析：已知不等式(x＋y)(1x＋ay)≥9对任意正实数x，y恒成立，只需求(x＋y)(1x＋ay)的最小值大于或等于9，∵(x＋y)(1x＋ay)＝1＋a＋yx＋axy≥a＋2a＋1＝(a＋1)2，当且仅当y＝ax时，等号成立，∴(a＋1)2≥9，∴a≥4，即正实数a的最小值为4.答案：4反思感悟利用基本不等式求最值及最值成立的条件，可确定某些参数的范围．训练2若正实数x，y满足x＋y＝1，且不等式4x＋1＋1y<m2＋32m有解，则实数m的取值范围是________．解析：因为正实数x，y满足x＋y＝1，则(x＋1)＋y＝2，所以4x＋1＋1y＝12[(x＋1)＋y]·(4x＋1＋1y)＝12(5＋4yx＋1＋x＋1y)≥1 2(5＋24yx＋1·x＋1y)＝92，＋1＝2y，＋y＝1，＝13，＝23时，等号成立，所以4x＋1＋1y的最小值为92.因为不等式4x＋1＋1y<m2＋32m有解，则m2＋32m>92，即2m2＋3m－9>0，即(2m－3)(m＋3)>0，解得m<－3或m>32.答案：(－∞，－3)∪(32，＋∞)基本不等式的实际应用例5长征二号F遥十四运载火箭在设计生产中采用了很多新技术新材料．甲工厂承担了某种材料的生产，并以x千克/时(为保证质量要求1≤x≤10)的速度匀速生产，每小时可消耗A材料(kx2＋9)千克，已知每小时生产1千克该产品时，消耗A材料10千克．(1)设生产m千克该产品，消耗A材料y千克，试把y表示为x的函数；(2)要使生产1000千克该产品消耗的A材料最少，工厂应选取何种生产速度？并求消耗的A材料最少为多少．解：(1)由题意得k＋9＝10，解得k＝1，因为生产m千克该产品需要的时间是mx，所以y＝mx(kx2＋9)＝m(x＋9x)，1≤x≤10.(2)由(1)知，生产1000千克该产品消耗的A材料为y＝1000(x＋9x)≥1000×29＝6000(千克)．当且仅当x＝9x，即x＝3时，等号成立，故工厂应选取3千克/时的生产速度，此时消耗的A材料最少，最少为6000千克．反思感悟1．根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值．2．解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围．3．在应用基本不等式求函数的最值时，若等号取不到，则可利用函数的单调性求解．训练3某校为该校生物兴趣小组分配了一块面积为32m 2的矩形空地，该生物兴趣小组计划在该空地上设置三块全等的矩形试验区，如图，要求矩形试验区的四周各空0.5m ，各试验区之间也空0.5m ．则每块试验区的面积的最大值为________m 2.解析：设矩形空地的长为x m ，则宽为32xm ，依题意可得，试验区的总面积S ＝(x －0.5×4)0.5×34－x －64x≤34－2x ×64x＝18，当且仅当x ＝64x，即x ＝8时等号成立，易知x ＝8符合题意，所以每块试验区的面积的最大值为18÷3＝6(m 2)．答案：6限时规范训练(五)A 级基础落实练1．下列函数中，最小值为2的是()A ．y ＝x ＋2xB ．y ＝x 2＋3x 2＋2C ．y ＝e x ＋e －xD ．y ＝sin x ＋1sin x (0<x <π2)解析：C 当x <0时，y ＝x ＋2x <0，故A 错误；y ＝x 2＋3x 2＋2＝x 2＋2＋1x 2＋2≥2，当且仅当x2＋2＝1x2＋2，即x2＝－1时取等号，又x2≠－1，故B错误；y＝e x＋e－x≥2e x·e－x＝2，当且仅当e x＝e－x，即x＝0时取等号，故C正确；当x∈(0，π2)时，sin x∈(0，1)，y＝sin x＋1sin x≥2，当且仅当sin x＝1sin x，即sin x＝1时取等号，因为sin x∈(0，1)，故D错误．2．已知a>0，b>0，若2a＋b＝4，则ab的最大值为()A．14B．4C．12D．2解析：D由题意得4＝2a＋b≥22ab，即2≥2ab，两边平方得4≥2ab，∴ab≤2，当且仅当a＝1，b＝2时，等号成立，∴ab的最大值为2.3．(2024·六安金寨县青山中学期末)已知x>2，y＝4x＋1x－2，则y的最小值为()A．8B．10C．12D．14解析：C∵x>2，∴y＝4x＋1x－2＝4(x－2)＋1x－2＋8≥24（x－2）·1x－2＋8＝12，当且仅当4(x－2)＝1x－2，即x＝52时取等号，故选C．4．(2024·长沙雅礼中学第三次月考)已知x>0，y>0，且x＋y＝7，则(1＋x)(2＋y)的最大值为()A ．36B ．25C ．16D ．9解析：B法一：由x ＋y ＝7，得(x ＋1)＋(y ＋2)＝10，则(1＋x )(2＋y )≤（1＋x ）＋（2＋y ）22＝25，当且仅当1＋x ＝2＋y ，即x ＝4，y ＝3时等号成立，所以(1＋x )·(2＋y )的最大值为25.故选B ．法二：因为x ＋y ＝7，所以y ＝7－x ，因为x >0，y >0，所以0<x <7，则(1＋x )(2＋y )＝(1＋x )(9－x )＝－x 2＋8x ＋9＝－(x －4)2＋25≤25，所以当x ＝4，y ＝3时，(1＋x )(2＋y )取得最大值25.故选B ．5．(2023·忻州联考(二))已知0<a <2，则1a ＋92－a 的最小值是()A ．4B ．6C ．8D ．16解析：C 因为0<a <2，所以1a >0，92－a >0，则1a ＋92－a ＝12[a ＋(2－a )](1a ＋92－a )＝12(1＋9a 2－a ＋2－a a ＋9)＝5＋12(9a2－a ＋2－a a)≥5＋9a 2－a ·2－aa＝8，当且仅当9a 2－a ＝2－a a ，即a ＝12时等号成立，所以1a ＋92－a 的最小值为8.6．(多选)(2024·安徽名校联考)已知实数a ，b 满足a >b >0且a ＋b ＝2，则下列结论中正确的有()A ．a 2＋b 2>2B ．8a ＋2b ≥9C ．ln a ＋ln b >0D ．a ＋1a >b ＋1b解析：AB对于A ，因为a >b >0且a ＋b ＝2，由基本不等式a 2＋b 2>2ab ，得a 2＋b 2＝12[a 2＋b 2＋(a 2＋b 2)]>12(a 2＋b 2＋2ab )＝12(a ＋b )2＝2(或由不等式a 2＋b 22>(a ＋b 2)2直接得到)，故A 正确；对于B ，8a ＋2b ＝12(8a ＋2b )(a ＋b )＝12(10＋8b a ＋2a b )≥12(10＋28b a ·2ab)＝9，当且仅当8b a ＝2a b ，即a ＝43，b ＝23时等号成立，故B 正确；对于C ，ln a ＋ln b ＝ln(ab )<ln(a ＋b 2)2＝ln 1＝0，故C 错误；对于D ，因为ab <(a ＋b 2)2＝1，所以0<ab <1，所以(a ＋1a )－(b ＋1b )＝(a －b )＋b －a ab ＝(a －b )(1－1ab )＝（a －b ）（ab －1）ab<0，故D 错误．故选AB ．7．函数y ＝x 2x ＋1(x >－1)的最小值为________．解析：因为y ＝x 2－1＋1x ＋1＝x －1＋1x ＋1＝x ＋1＋1x ＋1－2(x >－1)，所以y ≥2（x ＋1）·1（x ＋1）－2＝0，当且仅当x ＝0时，等号成立．所以y ＝x 2x ＋1(x >－1)的最小值为0.答案：08．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y (单位：万元)与机器运转时间x (单位：年)的关系式为y ＝－x 2＋18x －25(x ∈N *)，则每台机器为该公司创造的最大年平均利润是________万元．解析：每台机器运转x 年的年平均利润为y x＝18－（x ＋25x ）万元，由于x >0，故y x≤18－225＝8，当且仅当x ＝5时等号成立，此时每台机器为该公司创造的年平均利润最大，最大为8万元．答案：89．(2024·张家口部分学校期中)已知a >0，b >0，且有a 2＋4ab ＝16b 2，则a ＋2b 的最小值为________．解析：(a ＋2b )2＝a 2＋4ab ＋4b 2＝16b 2＋4b 2≥216b 2×4b 2＝16，当且仅当16b 2＝4b 2，即b ＝2，a ＝4－22时取等号，由于a >0，b >0，所以a ＋2b ≥4，所以a ＋2b 的最小值为4.答案：410．(1)当x <32时，求函数y ＝x ＋82x －3的最大值；(2)已知0<x <2，求函数y ＝x 4－x 2的最大值．解：(1)y ＝12(2x －3)＋82x －3＋32＝－(3－2x 2＋83－2x )＋32.当x <32时，有3－2x >0，所以3－2x 2＋83－2x≥23－2x 2·83－2x ＝4，当且仅当3－2x 2＝83－2x ，即x ＝－12时，取等号．于是y ≤－4＋32＝－52，故函数的最大值为－52.(2)因为0<x <2，所以4－x 2>0，则y ＝x 4－x 2＝x 2·（4－x 2）≤x 2＋（4－x 2）2＝2，当且仅当x 2＝4－x 2，即x ＝2时，取等号，所以y ＝x 4－x 2的最大值为2.11．已知x >0，y >0，且2x ＋8y ＝xy ，求：(1)xy 的最小值；(2)x ＋y 的最小值．解：(1)∵xy ＝2x ＋8y ≥22x ·8y ，即xy ≥8xy ，即xy ≥64，当且仅当2x ＝8y ，即x ＝16，y ＝4时，等号成立，∴xy 的最小值为64.(2)由2x ＋8y ＝xy ，得8x ＋2y＝1，则x ＋y ＝(8x ＋2y)(x ＋y )＝10＋2x y ＋8y x ≥10＋22x y ·8y x＝18.当且仅当2x y ＝8y x，即x ＝12，y ＝6时等号成立，所以x ＋y 的最小值为18.B 级能力提升练12．(多选)(2022·新高考Ⅱ卷)若x ，y 满足x 2＋y 2－xy ＝1，则()A ．x ＋y ≤1B ．x ＋y ≥－2C ．x 2＋y 2≤2D ．x 2＋y 2≥1解析：BC 对于A ，B ，由x 2＋y 2－xy ＝1，得(x ＋y )2－1＝3xy ≤3(x ＋y 2)2，当且仅当x ＝y 时取等号，解得－2≤x ＋y ≤2，所以A 不正确，B 正确；对于C ，D ，由x 2＋y 2－xy ＝1，得x 2＋y 2－1＝xy ≤x 2＋y 22，当且仅当x ＝y 时取等号，所以x 2＋y 2≤2，所以C 正确，D 不正确．故选BC ．13．(多选)(2023·安徽三模)已知正实数a ，b ，c 满足a 2－ab ＋4b 2－c ＝0，当c ab取最小值时，下列说法正确的是()A ．a ＝2bB ．c ＝4b 2C ．2a ＋1b －6c 的最大值为1D ．2a ＋1b －6c 的最小值为12解析：AC ∵正实数a ，b ，c 满足a 2－ab ＋4b 2－c ＝0，∴c ab a 2－ab ＋4b 2ab ＝a b ＋4b a －1≥2a b ·4b a －1＝3，当且仅当a b ＝4b a ，即a ＝2b 时等号成立，A 正确；a ＝2b 时，c ＝(2b )2－2b 2＋4b 2＝6b 2，B 错误；2a ＋1b－6c ＝1b ＋1b －66b 2＝－1b 2＋2b ＝－(1b －1)2＋1，当1b ＝1，即b ＝1时，2a ＋1b －6c的最大值1，C 正确，D 错误．故选AC ．14．中华人民共和国第十四届运动会在陕西省举办，某公益团队联系全运会组委会举办一场纪念品展销会，并将所获利润全部用于社区体育设施建设．据市场调查，当每套纪念品(一个会徽和一个吉祥物)售价定为x 元时，销售量可达到(15－0.1x )万套．为配合这个活动，生产纪念品的厂家将每套纪念品的供货价格分为固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为50元，浮动价格(单位：元)与销售量(单位：万套)成反比，比例系数为10.约定不计其他成本，即销售每套纪念品的利润＝售价－供货价格．(1)每套会徽及吉祥物售价为100元时，能获得的总利润是多少万元？(2)每套会徽及吉祥物售价为多少元时，单套的利润最大？最大值是多少元？解：(1)每套会徽及吉祥物售价为100元时，销售量为15－0.1×100＝5(万套)，供货单价为50＋105＝52(元)，总利润为5×(100－52)＝240(万元)．(2)设售价为x 元，则销售量为(15－0.1x )万套，供货单价为(50＋1015－0.1x )元，单套利润为x －50－1015－0.1x ＝(x －50－100150－x )元，因为15－0.1x >0，所以0<x <150.所以单套利润为y ＝x －50－100150－x ＝－（150－x ）＋100150－x ＋100≤100－2（150－x ）·100150－x ＝80，当且仅当150－x ＝10，即x ＝140时取等号，所以每套会徽及吉祥物售价为140元时，单套的利润最大，最大值是80元．。
高中数学人教A版选修4-5112基本不等式教案
课题名称1.1.2 基本不等式三维目标学习目标1. 理解重要不等式与基本不等式，知道不等式等号成立的条件;2. 初步掌握不等式证明的方法重点目标理解重要不等式与基本不等式，知道不等式等号成立的条件导入示标难点目标初步掌握不等式证明的方法目标三导学做思一：自学探究问题1.如果,a b R∈, 那么222a b ab+≥.（当且仅当a b=时, 等号成立）.你能从几何的角度解释这个结论吗？学做思二问题2.如果,a b R+∈, 那么2a bab+≥（当且仅当a b=时, 等号成立）.你能从几何的角度解释这个结论吗？★问题3.重要不等式和基本不等式在应用时要注意哪些方面？学做思三技能提炼★ 1.已知正数a, b满足a+b=1（1）求ab的取值范围;（2）求1abab+的最小值.2.设,a R ∈b ，求证：(1) 22222a b a b ++⎛⎫≤⎪⎝⎭;(2) 222a b c ab bc ac ++≥++．3. (1) 设.11120,0的最小值，求且yx y x y x +=+>> ;(2) 设x 、y 是正实数，且x+y=5,则lgx+lgy 的最大值是____________________ ;(3) 若正数b a ,满足3++=b a ab ，则ab 的取值范围是 ． 达标检测变式反馈1.一变压器的铁芯截面为正十字型,为保证所需的磁通量,要求十字应具有254cm 的面 积，问应如何设计十字型宽x 及长y ，才能使其外接圆的周长最短，这样可使绕在铁芯上的铜线最节省．2.（1）已知,a b 是正常数,a b ≠,,(0,)x y ∈+∞，求证：222()a b a b x y x y++≥+,指出等号成立的条件；。
高中数学基本不等式教案设计(优秀3篇)
基本不等式是主要应用于求某些函数的最值及证明的不等式。
其表述为：两个正实数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数。
这次白话文为您整理了高中数学基本不等式教案设计（优秀3篇），如果能帮助到您，小编的一切努力都是值得的。
高中数学教学设计篇一教学目标1、明确等差数列的定义。
2、掌握等差数列的通项公式，会解决知道中的三个，求另外一个的问题3、培养学生观察、归纳能力。
教学重点1、等差数列的概念；2、等差数列的通项公式教学难点等差数列“等差”特点的理解、把握和应用教具准备投影片1张教学过程（I）复习回顾师：上两节课我们共同学习了数列的定义及给出数列的两种方法通项公式和递推公式。
这两个公式从不同的角度反映数列的特点，下面看一些例子。
（放投影片）（Ⅱ）讲授新课师：看这些数列有什么共同的特点？1，2，3，4，5，6；①10，8，6，4，2，…；②生：积极思考，找上述数列共同特点。
对于数列①（1≤n≤6）；（2≤n≤6）对于数列②—2n（n≥1）（n≥2）对于数列③（n≥1）（n≥2）共同特点：从第2项起，第一项与它的前一项的差都等于同一个常数。
师：也就是说，这些数列均具有相邻两项之差“相等”的特点。
具有这种特点的数列，我们把它叫做等差数。
一、定义：等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与空的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示。
如：上述3个数列都是等差数列，它们的公差依次是1，—2……二、等差数列的通项公式师：等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得。
若一等差数列的首项是，公差是d，则据其定义可得：若将这n—1个等式相加，则可得：即：即：即：……由此可得：师：看来，若已知一数列为等差数列，则只要知其首项和公差d，便可求得其通项。
如数列①（1≤n≤6）数列②：（n≥1）数列③：（n≥1）由上述关系还可得：即：则：=如：三、例题讲解例1：（1）求等差数列8，5，2…的第20项（2）—401是不是等差数列—5，—9，—13…的项？如果是，是第几项？解：（1）由n=20，得（2）由得数列通项公式为：由题意可知，本题是要回答是否存在正整数n，使得—401=—5—4（n—1）成立解之得n=100，即—401是这个数列的第100项。
数学不等式的性质高中教案
数学不等式的性质高中教案
一、不等式的基本性质
1. 相等性原理：如果两个实数a、b相等，则a=b；如果不等式两边加（减）同一个数c，所得不等式仍成立。
2. 传递性原理：如果 a>b, b>c，则a>c。
3. 不等式的加减法性质：不等式两边同时加（减）同一个数，不等式的方向不变。
4. 不等式的乘除法性质：如果a>b，且c>0，则ac>bc；如果a>b，且c<0，则ac<bc；如果a>b，且c≠0，则a/c>b/c。
二、不等式的绝对值性质
1. 绝对值不等式的性质：|x| < c 等价于 -c < x < c，|x| > c 等价于 x > c 或 x < -c。
2. 绝对值的四则运算性质：|a+b| ≤ |a| + |b|；|a-b| ≥ ||a| - |b||。
三、二次不等式的性质
1. 一元二次不等式的解法：
（1）将一元二次不等式化为标准形式；
（2）求出一元二次不等式的零点；
（3）根据零点的位置确定解集。
2. 一元二次不等式的求解技巧：利用二次函数的凹凸性质或配方法求解。
四、不等式的应用
1. 利用不等式解决实际问题：如最大值、最小值、容差等问题。
2. 不等式的综合运用：结合不等式的各种性质和解法，解决复杂的不等式问题。
通过以上教案，学生将能够掌握不等式的性质，灵活运用不等式解决各种数学问题，提高数学问题综合解决能力。
高中高一数学上册《不等式的基本性质》优秀教学案例
3.能够根据具体问题构建不等式模型，并运用所学知识求解，培养将实际问题转化为数学问题的能力。
4.熟练掌握不等式的求解方法，如移项、合并同类项、分解因式等，提高解题技巧。
（二）过程与方法
1.通过小组讨论、合作探究等形式，培养学生主动参与、积极思考的学习习惯，提高团队合作能力。
高中高一数学上册《不等式的基本性质》优秀教学案例
一、案例背景
在我国高中数学教育中，不等式作为一项基础而重要的内容，对于培养学生的逻辑思维和解决问题的能力具有重要意义。本教学案例以高中高一数学上册《不等式的基本性质》为载体，针对当前学生的认知水平，结合教材内容，旨在让学生在理解不等式基本性质的基础上，掌握不等式的求解与应用方法，提高学生的数学素养。
4.注重反思与评价，提高学生自我认知
本案例注重引导学生进行反思与评价，帮助学生总结经验、发现不足，从而提高自我认知。通过组织学生自评、互评和教师评价，全面了解学生的学习情况，及时给予指导和鼓励。这种评价方式关注学生的全面发展，有助于提高他们的自信心和自我调控能力。
5.知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观的整合
（五）作业小结
为成教材上的练习题，巩固不等式的性质和求解方法。
2.结合生活中的实际例子，编写一道应用不等式解决的问题，并给出解题过程。
3.写一篇学习心得，总结自己在学习不等式过程中的收获和困惑。
五、案例亮点
1.生活情境的融入
本教学案例的一大亮点是将不等式的概念和性质与学生的生活实际紧密结合。通过设计丰富多样的生活情境，如购物优惠、比赛评分等，让学生在实际问题中感知不等式的存在和应用，提高数学知识的实用性和趣味性。这种贴近生活的教学方式有助于激发学生的学习兴趣，培养他们学以致用的意识。
高中数学必修五《基本不等式》优秀教学设计
高中数学必修五《基本不等式》优秀教学设计教学设计一：引入1.创设情境：通过一道问题引入基本不等式的概念和应用。
举例：小明身上有一百元，他想买一双运动鞋，价格在70-90元之间，小明想要尽可能地省钱买到心仪的鞋子。
你认为小明至少要花多少钱才能买到合适的鞋子呢？2.学生思考：让学生自由思考并讨论这个问题。
引导学生思考900的平方根是多少，以及小明至少要花多少钱。
3.引出不等式：根据学生的思考和讨论，引出基本不等式的概念，即a²≥b²。
4.学习目标：通过本节课学习，学生将了解基本不等式的定义、性质和应用。
教学设计二：知识讲授1.基本概念：通过讲解和举例，引导学生了解基本不等式的定义、性质以及运用。
2.性质讲解：依次讲解基本不等式的反身性、传递性和加法性质，并通过实际例子进行说明。
3.运用设计：设计一道问题给学生解答，让他们应用基本不等式的性质来解决问题。
问题：若a>b，b>c，c>d，d>e，e>f，求证：a²>f²。
4.板书总结：总结基本不等式的定义、性质和应用，让学生掌握基本概念和方法。
教学设计三：巩固练习1.分组讨论：将学生分成小组，让他们自行解决以下问题。
问题1：若a>b，b>c，c>0，求证：a+c>b。
问题2：若a>b，b>0，求证：a>0。
问题3：若a>0，b>0，c>0，求证：bc>0。
2.小组展示：每个小组选择一道题目进行展示，并说明解题过程和思路。
3.教师点评：对学生的解题过程和答案进行点评和评价，纠正错误理解和方法。
教学设计四：拓展应用1.实际应用：举例一些实际生活中与不等式相关的问题，并引导学生将其转化为数学问题进行求解。
例1：小明今年的身高是x cm，比去年增加了10%，求去年的身高最多是多少。
例2：商品经过n次打折后的价格为x元，每次打折都是打折前的80%，求运算中所有x的最小值。
高中高一数学上册《不等式的基本性质》教案、教学设计
1.回顾本节课所学的不等式性质，让学生用自己的语言总结这些性质的特点和作用。
2.强调不等式性质在实际问题中的应用，鼓励学生在日常生活中多观察、多思考，将所学知识运用到实际中。
3.提醒学生课后复习，为下一节课的学习做好准备。
五、作业布置
为了巩固本节课所学知识，检验学生对不等式基本性质的理解和应用能力，特布置以下作业：
4.小组合作题：以小组为单位，共同完成教材第chapter页的习题6，此题需要学生互相讨论、共同分析，培养学生的团队合作精神和交流表达能力。
5.思考题：请同学们思考以下问题：“如何运用不等式的性质分析函数的单调性和最值问题？”并将思考结果以书面形式提交。
作业要求：
1.请同学们认真完成作业，确保作业质量，字迹清晰，表述准确。
在此基础上，大部分学生对数学学科具有一定的兴趣和热情，但学习积极性、主动探究能力等方面存在差异。因此，在教学过程中，教师应注重激发学生的学习兴趣，引导他们积极参与课堂讨论和实践活动，培养其自主学习能力。
此外，学生在团队合作、交流表达方面有待提高。教师在教学过程中应创造更多的小组合作、讨论交流的机会，帮助学生克服心理障碍，提升他们的沟通能力和团队协作精神。
（三）学生小组讨论
讲授新知识后，我将组织学生进行小组讨论，以加深对知识的理解和应用。
1.分组讨论：将学生分成若干小组，每组选取一个实际问题，运用不等式的性质进行分析和求解。
2.各小组分享讨论成果，展示解题过程，其他小组进行评价和补充。
3.针对学生在讨论过程中遇到的问题和困惑，进行解答和指导，帮助学生突破难点。
（二）过程与方法
1.通过启发式教学，引导学生自主探究不等式的基本性质，培养学生的逻辑思维能力和抽象思维能力；
高中数学教案《基本不等式》
教学计划：《基本不等式》一、教学目标1.知识与技能：学生能够理解并掌握算术平均数与几何平均数之间的关系，理解并掌握基本不等式（如均值不等式、平方和不等式等）的概念、性质及证明方法，能够熟练运用基本不等式解决简单问题。
2.过程与方法：通过观察、比较、归纳等数学活动，引导学生发现基本不等式的规律，培养学生的探究能力和逻辑推理能力；通过例题讲解和练习，提高学生应用基本不等式解决实际问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的数学审美意识和严谨的科学态度，让学生认识到数学在解决实际问题中的重要作用。
二、教学重点和难点●教学重点：基本不等式的概念、性质及证明方法；算术平均数与几何平均数之间的关系。
●教学难点：理解基本不等式的本质，掌握其证明过程，并能灵活运用基本不等式解决实际问题。
三、教学过程1. 引入新课（约5分钟）●生活实例引入：通过生活中常见的分配问题（如分苹果、分蛋糕等），引导学生思考如何公平分配，从而引出算术平均数与几何平均数的概念，为学习基本不等式做好铺垫。
●提出问题：设问“算术平均数总是大于或等于几何平均数吗？”引发学生思考，激发学生探索的兴趣。
●明确目标：介绍本节课的学习目标，即掌握基本不等式的概念、性质及证明方法，并能运用其解决实际问题。
2. 讲授新知（约15分钟）●概念讲解：详细讲解算术平均数与几何平均数的定义，通过具体例子说明两者的区别与联系。
●不等式呈现：给出基本不等式的数学表达式，结合实例解释其含义，让学生初步感受不等式的性质。
●证明过程：通过代数方法或几何直观证明基本不等式，注重证明过程的逻辑性和条理性，让学生理解不等式的来源和依据。
3. 深入探究（约10分钟）●性质探讨：引导学生探讨基本不等式的性质，如对称性、传递性等，加深对不等式的理解。
●案例分析：选取典型例题，分析如何运用基本不等式解决问题，强调解题思路和步骤。
●学生讨论：组织学生进行小组讨论，分享自己对基本不等式的理解和应用心得，促进思维的碰撞和融合。
高中数学教案不等式
高中数学教案不等式教学目标：
1. 掌握不等式的概念和性质；
2. 能够熟练解不等式；
3. 能够应用不等式解决实际问题。
教学重点和难点：
1. 不等式的定义和性质；
2. 解不等式，注意不等式两端的运算符号的改变。
教学准备：
1. 课件、教材、黑板、粉笔；
2. 题目练习册、答案。
教学过程：
一、复习导入（5分钟）
1. 复习前几节课所学习的代数式和方程的知识；
2. 引导学生回顾不等式的概念。
二、新知传授（10分钟）
1. 讲解不等式的定义和性质；
2. 讲解解不等式的基本方法和技巧。
三、示范演练（15分钟）
1. 做几道简单的例题让学生跟着老师一起做；
2. 提醒学生注意符号的变化、运算的规则。
四、学生练习（15分钟）
1. 学生自行完成教师给出的练习题；
2. 教师巡视指导学生，帮助解决问题。
五、讲解拓展（10分钟）
1. 讲解一些不等式的应用题，并辅以实例说明；
2. 激发学生的思考，引导学生灵活运用不等式解决问题。
六、小结提问（5分钟）
1. 教师对本节课所学内容进行小结，并强调重点；
2. 鼓励学生积极参与，提问解疑。
七、作业布置（5分钟）
1. 布置课后作业，加深学生对不等式知识的理解；
2. 鼓励学生勤加练习，巩固所学知识。
教学反思：
本节课教学设计主要是通过简单明了的不等式范本教案，引导学生掌握不等式的基本概念和解法，培养学生解决实际问题的能力。
要重视培养学生的逻辑思维能力和学习兴趣，激发他们对数学学习的热情。
高中数学第六章不等式教案
高中数学第六章不等式教案教学目标：学习并掌握不等式的基本概念，学会解决一元一次不等式和一元二次不等式；通过练习和应用，提高学生解题的能力和思维逻辑。
教学内容：1. 不等式的基本概念2. 一元一次不等式的解法3. 一元二次不等式的解法4. 不等式的综合运用教学重点和难点：一元一次不等式和一元二次不等式的解法，以及不等式的综合运用。
教学方法：讲授相结合，引导学生主动思考和解题练习。
教学过程：一、导入（5分钟）教师引导学生回顾上节课所学的不等式相关知识，激发学生对不等式的兴趣和好奇心。
二、讲解不等式的基本概念（10分钟）1. 引导学生理解不等式的定义和符号表示。
2. 介绍不等式的性质和基本性质。
三、讲解一元一次不等式的解法（15分钟）1. 讲解一元一次不等式的基本求解方法。
2. 通过例题解析，让学生掌握解题技巧和步骤。
四、讲解一元二次不等式的解法（15分钟）1. 引导学生理解一元二次不等式的定义和性质。
2. 通过例题讲解，让学生掌握一元二次不等式的解法方法。
五、综合训练（15分钟）1. 给学生提供一些练习题，让他们通过练习加深对不等式的理解。
2. 引导学生探讨不等式在生活和实际问题中的应用。
六、作业布置（5分钟）布置相应的作业，加强学生对不等式知识的巩固和提高。
七、课堂小结（5分钟）教师对今天的教学内容进行总结，并鼓励学生多多练习，提高解题的能力和思维逻辑。
教学反思：通过本节课的教学，学生应该能够掌握不等式的基本概念和解法方法，培养其解题思维和逻辑推理能力，进一步提高数学学习的兴趣和能力。
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《基本不等式》教学设计方案
人教版（A 版） 普通高中课程标准试验教科书必修第五册
【教学目标】
1、知识与技能目标
（12
a b +≤,认识其运算结构； （2）了解基本不等式的几何意义及代数意义；
（3）能够利用基本不等式求简单的最值。
2、过程与方法目标
（1）经历由几何图形抽象出基本不等式的过程；
（2）体验数形结合思想。
3、情感、态度和价值观目标
（1）感悟数学的发展过程,学会用数学的眼光观察、分析事物；
（2）体会多角度探索、解决问题。
【能力培养】
培养学生严谨、规范的学习能力，辩证地分析问题的能力，学以致用的能力，分析问题、解决问题的能力。
【教学重点】
2
a b +≤的证明过程。
【教学难点】
2
a b +≤等号成立条件。
【教学方法】
教师启发引导与学生自主探索相结合
【教学工具】
课件辅助教学、实物演示实验
【教学过程设计】
一、 创设情景，引入新课
如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标， 这是根据赵爽弦图而设计的。
用课前折好的赵爽弦图示范，比较 4个直角三角形的面积和与大正方形的面积,你会得到怎样的相 等和不等关系？
赵爽弦图
1．探究图形中的不等关系
将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD中右个全等的直角三角形。
设直角三角形的两条直角边长为a,b那么正方形
的边长为。
这样，4个直角三角形的面积的和是2ab，
正方形的面积为。
由于4个直角三角形的面积小于正
方形的面积，我们就得到了一个不等式：。
当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正
方形EFGH缩为一个点，这时有。
2．得到结论：一般的，如果
3．思考证明：你能给出它的证明吗？
证明：因为
当
所以，，即
4．基本不等式
1）特别的，如果a>0,b>0,我们用分别代替a、b ，可得，通常我们把上式写作：2）从不等式的性质推导基本不等式
用分析法证明：
要证 (1)
只要证≥
+b
a ab
2 (2)要证（2），只要证 a+b-ab
20 （3）要证（3），只要证（a-b）0
≥（4）显然，（4）是成立的。
当且仅当a=b时，（4）中的等号成立。
3）理解基本不等式的几何意义
如图所示：AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC=a,BC=b。
过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD。
你能利用这个图形得出基本不等式的几何解释吗？
引导学生发现：表示圆的半经，表示半弦长CD,得到不等关系：≤()
易证Ｒt△AＣD∽Ｒt△DＣB，那么ＣD2＝ＣA·ＣB
即ＣD＝.
这个圆的半径为，显然，它大于或等于CD，即，其中当且仅当点C与圆心重合，即a＝b时，等号成立.
几何意义：半弦长不大于半径长。
我们称ab为正数b
a,的几何平均数，称
2b
a+
为正数b
a,的算术平均数。
代数意义：几何平均数小于等于算术平均数
5.随堂练习
已知a、b、c都是正数，求证：（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥８abc
分析：对于此类题目，选择定理：（a ＞0，b ＞0）灵活变形，可求得结果。
解：∵a ，b ，c 都是正数
∴a ＋b ≥2＞0
b ＋
c ≥2＞0
c ＋a ≥2＞0
∴（a ＋b ）（b ＋c ）（c ＋a ）≥2·2·2＝８abc
即（a ＋b ）（b ＋c ）（c ＋a ）≥８abc .
【课时小结】
本节课，我们学习了重要不等式；两正数a 、b 的算术平均数（），几何平均数（ab ）及它们的关系（）.它们成立的条件不同，前者只要求a 、b 都是实数，而后者要求a 、b 都是正数.它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具。
我们还可以用它们下面的等价变形来解决问题：
222b a ab +≤,2)2
(b a ab +≤. 思想方法技巧：
（1）数形结合思想、“整体与局部”
（2）换元法、分析法
（3）配凑等技巧。