数列基础知识归纳
数列基础 知识点总结大全

数列基础知识点总结大全一、数列的概念数列是按照一定的顺序排列的一组数的集合。
数列中的每一个数称为数列的项,用a1, a2,a3, …, an 表示。
数列通常用以下形式来表示:{a1,a2,a3,…,an}其中a1, a2, a3,…,an为数列的项,n表示数列的个数。
二、数列的分类1. 等差数列等差数列是一种常见的数列,其中每一项与前一项之差都相等。
公式为:an = a1 + (n-1)d,其中a1为首项,d为公差。
等差数列的通项公式为:an = a1 + (n-1)d2. 等比数列等比数列是一种每一项与前一项之比都相等的数列。
公式为:an = a1 * r^(n-1),其中a1为首项,r为公比。
等比数列的通项公式为:an = a1 * r^(n-1)3. 通项公式通项公式即能用一个公式来表示数列中任意一项的公式。
对于等差数列和等比数列,都有相应的通项公式。
4. Fibonacci数列Fibonacci数列是一个非常有趣的数列,它的每一项都是前两项之和。
其通项公式为:fn = fn-1 + fn-2,其中f1 = 1, f2 = 1。
5. 幂次数列幂次数列是一种每一项都是前一项的某个幂次方的数列。
其通项公式为:an = a1 * r^(n-1),其中a1为首项,r为公比。
6. 其他特殊数列除了上述的几种常见数列之外,还有各种各样的特殊数列,比如等差递增数列、等差递减数列、等比递增数列、等比递减数列等。
三、数列的性质1. 有界性如果数列的项数有限,则称该数列是有界的。
相反,如果数列的项数无限,则称该数列是无界的。
2. 单调性如果一个数列的每一项都大于或等于其前一项,则称该数列是单调递增的;如果一个数列的每一项都小于或等于其前一项,则称该数列是单调递减的。
3. 求和公式对于等差数列和等比数列,都有求和公式。
等差数列的求和公式为:Sn = n/2 * (a1 + an),等比数列的求和公式为:Sn = a1 * (1-r^n) / (1-r)。
数列基础知识点和方法归纳
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1. 等差数列的定义与性质定义:(为常数),,推论公式:等差中项:成等差数列,等差数列前项和: 性质:是等差数列(1)若,则(下标和定理) 注意:要求等式左右两边项数相等(2)数列{}{}{}12212,,+-n n n a a a 仍为等差数列,仍为等差数列,公差为d n 2; (3)若三个成等差数列,可设为; (4)若是等差数列,且前项和分别为,则;(5)为等差数列(为常数,是关于的常数项为0的二次函数)的最值可求二次函数的最值;或者求出中的正、负分界项, 即:当,解不等式组可得达到最大值时的值. 当,由可得达到最小值时的值. (6)项数为偶数n 2的等差数列,有),)(()()(11122212为中间两项++-+==+=+=n n n n n n n a a a a n a a n a a n S Λ nd S S =-奇偶,1+=n na a S S 偶奇. (7)项数为奇数12-n 的等差数列,有)()12(12为中间项n n n a a n S -=-,n a S S =-偶奇, .1-=n n S S 偶奇2. 等比数列的定义与性质定义:(为常数,),.推论公式:等比中项:成等比数列,或.等比数列中奇数项同号,偶数项同号等比数列前n 项和公式:性质:是等比数列(1)若,则(下标和定理) 注意:要求等式左右两边项数相等。
(2)仍为等比数列,公比为n q。
. (3)是正项等比数列,则注意:由求时应注意什么?时,;时,.3.求数列通项公式的常用方法(1)定义法求通项公式(已知数列为等差数列或等比数列)(2)已知的关系与n或的关系时与nnas,求。
⎩⎨⎧≥-==-)2()1(11nssnsannn例:?数列的前项和.求数列的通项公式;解:当时,当时数列的通项公式为.练习:设数列的前项和为,且.求数列的通项公式。
(3)求差(商)法 例:数列,,求 解: 时,,∴①时, ②① —②得:,∴,∴练习:在数列中,,, 求数列的通项公式。
高中数学知识系列之数列的基本公式、概念及应用
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高中数学知识系列之数列的基本公式、概念及应用1 平均增长率的问题(负增长时0p <):如果原来产值的基础数为N ,平均增长率为p ,则对于时间x 的总产值y ,有(1)x y N p =+.2 等差数列:通项公式: (1) 1(1)n a a n d =+- ,其中1a 为首项,d 为公差,n 为项数,n a 为末项。
(2)推广: ()n k a a n k d =+-(3)1(2)n n n a S S n -=-≥ (注:该公式对任意数列都适用)前n 项和: (1)1()2n n n a a S +=;其中1a 为首项,n 为项数,n a 为末项。
(2)1(1)2n n n S na d -=+(3)1(2)n n n S S a n -=+≥ (注:该公式对任意数列都适用) (4)12n n S a a a =+++ (注:该公式对任意数列都适用)常用性质:(1)、若m+n=p+q ,则有 m n p q a a a a +=+ ;注:若,m n p a a a 是的等差中项,则有2m n p a a a =+⇔n 、m 、p 成等差。
(2)、若{}n a 、{}n b 为等差数列,则{}n n a b ±为等差数列。
(3)、{}n a 为等差数列,n S 为其前n 项和,则232,,m m m m m S S S S S --也成等差数列。
(4)、,,0p q pq a qa p a +===则 ;(5) 1+2+3+…+n=2)1(+n n 等比数列:通项公式:(1) 1*11()n nn a a a qq n N q-==⋅∈ ,其中1a 为首项,n 为项数,q 为公比。
(2)推广:n k n k a a q -=⋅(3)1(2)n n n a S S n -=-≥ (注:该公式对任意数列都适用)前n 项和:(1)1(2)n n n S S a n -=+≥ (注:该公式对任意数列都适用)(2)12n n S a a a =+++ (注:该公式对任意数列都适用)(3)11(1)(1)(1)1n n na q S a q q q =⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩常用性质:(1)、若m+n=p+q ,则有 m n p q a a a a ⋅=⋅ ;注:若,m n p a a a 是的等比中项,则有 2m n p a a a =⋅⇔n 、m 、p 成等比。
基础知识一、按 叫数列,数列中的都叫这个数列的项;在函...
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解法3:设递推式an=3an-1+2, 可以化为:an+1-t=3(an-t). 即an+1=3an-2t. ∴2 =- 2t , ∴ t =- 1 ,于是得 an + 1 + 1 = 3(an + 1) ,
(这是手段之二)
数列 {an + 1} 是公比为 3 的等比数列,其首项为 a1 + 1 =2,∴an+1=2×3n-1,即an=2×3n-1-1.
(3)对于递推式为an+1=pan+qn(p,q为常数).
对于递推式an+1=pan+qn,可两边除以qn+1,得
= 再解. (4) 当然,本例各小题也可以采取“猜想归纳法”, 先写出前几项,再找出规律,猜测通项公式,最后用数学 引辅助数列{bn},bn= ,得bn+1
归纳法证明.
[解析] (1)由已知得an+1-an=
(3)这个数列的第________项最小;
(4)这个数列前________项的和最小. 答案:-18 11 2或3 6或7
3.已知数列{an}的前 4项为1,3,7,15,写出数列{an}的 一个通项公式an=________. 答案:2n-1 4.数列 {an}的前n项和Sn满足log2(Sn+1)=n+1,则
总结评述: 解这类题需要我们从多角度思考,全方
位观察,广泛联想,将原数列作出适当的转化变形后,作 为基本数列或特殊数列,方可迅速获解.
【例2】
(1)已知{an}中,a1=
,an+1=
,求an.
(2)数列{an}中,a1=1,对于n>1(n∈N*)有an=3an-1+
2,求an. (3)已知数列{an}中,a1=1,a2= 求an.
令 “ n” = 1,2 , „ , (n - 1) ,代入后 (n - 1) 个等式累加,
基础数列知识点归纳总结
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基础数列知识点归纳总结在学习数列的过程中,我们需要掌握数列的基本概念、常见的数列类型、数列的性质以及求解数列的方法等知识。
下面我们来归纳总结一下数列的基础知识点。
一、数列的基本概念数列是一组按照一定规律排列的数的集合。
数列中的每一个数称为数列的项,用an表示第n项。
数列的项数可能是有限个,也可能是无限个。
1. 有限数列:数列的项数是有限个的,可以用一个有限个项的列表表示出来。
例如:1, 3, 5, 7, 92. 无限数列:数列的项数是无限个的,无法用有限个项的列表表示出来。
例如:1, 2, 3, 4, ...二、常见的数列类型数列根据其递推规律的不同,可以分为等差数列、等比数列和其他特殊数列。
1. 等差数列如果一个数列中任意相邻两项的差值都相等,那么这个数列就是等差数列。
等差数列的递推公式为:an = a1 + (n-1)d,其中a1为首项,d为公差。
例如:1, 3, 5, 7, 9 是一个公差为2的等差数列。
2. 等比数列如果一个数列中任意相邻两项的比值都相等,那么这个数列就是等比数列。
等比数列的递推公式为:an = a1 * r^(n-1),其中a1为首项,r为公比。
例如:2, 6, 18, 54, 162 是一个公比为3的等比数列。
3. 其他特殊数列除了等差数列和等比数列之外,还有一些特殊的数列,例如:斐波那契数列、调和数列、几何级数等。
三、数列的性质1. 数列的有界性数列中的项是否有界,与数列的性质密切相关。
有界数列指的是数列中的项都在一定的范围内,可以是上界和下界。
2. 数列的求和公式对于等差数列和等比数列,我们可以通过求和公式来计算数列的前n项和。
等差数列的求和公式为:Sn = n/2 * (a1 + an),等比数列的求和公式为:Sn = a1*(1-r^n)/(1-r)。
3. 数列的极限性质对于无限数列,我们可以关注它的极限性质。
当n趋向于无穷大时,数列的极限值将是一个重要的性质,它可以帮助我们理解数列的最终发展趋势。
基础数列知识点归纳总结
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基础数列知识点归纳总结数列是数学中常见的一种数学对象,它由一系列按照特定规律排列的数字所组成。
数列是数学建模和问题求解中的基础工具,对理解数学和解决实际问题具有重要意义。
本文将对基础数列的知识点进行归纳总结,帮助读者深入理解和掌握数列的性质和应用。
一、等差数列等差数列是一种最常见的数列,它的特点是任意两个相邻元素之间的差值都相等。
等差数列的通项公式可表示为:an = a1 + (n-1)d其中,a1为首项,d为公差,n为项数,an为第n项。
等差数列的求和公式为:Sn = (a1 + an) * n / 2其中,Sn表示前n项和。
举例来说,2, 5, 8, 11, 14就是一个等差数列,其中首项a1为2,公差d为3。
二、等比数列等比数列是一种常见的数列,它的特点是任意两个相邻元素之间的比值都相等。
等比数列的通项公式可表示为:an = a1 * r^(n-1)其中,a1为首项,r为公比,n为项数,an为第n项。
等比数列的求和公式为:Sn = (a1 * (r^n - 1)) / (r - 1)其中,Sn表示前n项和。
举例来说,1, 2, 4, 8, 16就是一个等比数列,其中首项a1为1,公比r为2。
三、斐波那契数列斐波那契数列是一种特殊的数列,它的前两个元素为1,从第三项开始,每个元素都是前两个元素之和。
斐波那契数列的通项公式可表示为:an = an-1 + an-2其中,a1 = 1,a2 = 1,n为项数,an为第n项。
斐波那契数列在自然界和艺术领域中有广泛应用,如植物的生长规律、音乐的构成等。
四、等差数列与等比数列的应用等差数列和等比数列在数学建模和实际问题求解中经常被使用。
它们的应用涉及到各个领域,如经济学、物理学、计算机科学等。
1. 经济学中,等差数列和等比数列常用于描述人口增长、财富分配等问题。
2. 物理学中,等差数列和等比数列常用于描述运动速度、加速度、光的衰减等问题。
3. 计算机科学中,等差数列和等比数列常用于算法设计、程序优化等问题。
数列基础 知识点总结
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数列基础知识点总结一、概念及基本性质1. 什么是数列数列是按照一定的顺序排列的一组数,这些数依次排列在一条直线上,每个位置都有一个数与之对应。
一般用a1, a2, a3,...an表示数列的各个元素,其中ai称为数列的项,i称为项的序号。
2. 数列的概念数列中的每一个数称为数列的项,这些项的次序具有规律性,规律性可以通过公式、图形、语言等方式来表示。
3. 数列的基本性质数列中的数可以是有限个也可以是无限个。
数列中的数包括有序数列和无序数列。
有序数列又包括等差数列、等比数列、等比对数数列、斐波那契数列等。
二、等差数列1. 等差数列的定义如果一个数列中,从第二个数起,每个数与它的前一个数的差等于同一个常数,那么这个数列就是等差数列。
2. 等差数列的通项公式对于等差数列{an},如果an的通项公式为an=a1+(n-1)d,其中a1为首项,d为公差,n为项数。
3. 等差数列的前n项和公式对于等差数列{an},其前n项和为Sn=n(a1+an)/2。
4. 等差数列的性质(1)等差数列的前两项和后两项等于同一个数。
(2)等差数列的前后两项相等。
(3)等差数列的和的公式Sn=n(a1+an)/2。
5. 等差数列的应用等差数列在实际生活中有很多应用,比如金融领域的利息计算、交通领域的运输成本计算等。
三、等比数列1. 等比数列的定义如果一个数列中,从第二个数起,每个数与它的前一个数的比等于同一个常数,那么这个数列就是等比数列。
2. 等比数列的通项公式对于等比数列{an},如果an的通项公式为an=a1*q^(n-1),其中a1为首项,q为公比,n为项数。
3. 等比数列的前n项和公式对于等比数列{an},如果q≠1,则其前n项和为Sn=a1(1-q^n)/(1-q);如果q=1,则Sn=na1。
4. 等比数列的性质(1)等比数列的前后两项比相等。
(2)等比数列的和的公式Sn=a1(1-q^n)/(1-q)。
(3)等比数列的连乘公式Πn=a1q^(n-1)。
数列概述及基础知识
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①本质上是定义域特殊:{1,2,3,…}或{1,2,…,n}
②表象上是解析式特殊: an f n y f x
2.项与项数:
①数列中的每一个数叫做这个数列的项
②第n项的序号n又称为该项的项数
排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做首项) 排在第二位的数称为这个数列的第2项… 排在第n位的数称为这个数列的第n项. 注:数列中的项与项数;如同函数中的因变量与自变量
项
an f n
项数
因变量
y f x
自变量
3.分类:
①按单调性分: 递增数列,递减数列,常数列,摆动数列
②按项数分: 有穷数列,无穷数列
③按特殊性分: 等差数列,等比数列,周期数列,递归数列,…
④按界分:
有界数列和无界数列
练习1.数列的定义:
下列数列是否为同一个数列? ① 1,2,…,5,6 ② 1,2,3,4,5,6 ③ 1,2,3,4,5,6… ④ 6,5,4,3,2,1
简记法: {2n} 或 {an} …… 通项公式: an 2n 递推公式: a1 2, an1 an 2
列表法:
n1 2 3 4… k …
an 2
4
6 8 … 2k …
(1)课本P:30 引例 2,4,6,8,…,2n,… 列表法:
n1 2 3 4… k …
an 2
4
6 8 … 2k …
图象法: an 2n an( y)
y 2x
数列的图象: 是一系列孤立的点
n (x)
练习2.数列的表示:(3)(课本P:31 例例 3)3.已知a1 1, a
例3.已知a1 1, an 的前5项.
1
高中数列数学知识点
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高中数列数学知识点一、知识概述《高中数列数学知识点》①基本定义:数列呢,简单说就是按照一定次序排列的一列数。
就好比你们班同学按学号排好队,每个同学就像数列里的一个数。
②重要程度:数列在高中数学里那可相当重要。
它可是函数关系的离散体现,在高考中是必考内容,而且是很多数学思想方法的载体,像归纳推理啥的。
③前置知识:你得对函数有一定了解,因为数列可以看作是定义域为正整数集的函数。
还有数的运算需要很熟练,毕竟数列中涉及不少数与数之间的运算。
④应用价值:在实际生活中,像银行算利息这种按一定周期计算收益的就涉及数列知识。
再比如说,计算一些有规律的资源分配或者物体堆积层数等问题也能用得上。
二、知识体系①知识图谱:数列在高中数学知识体系里处于代数部分一个很关键的位置。
它和函数、方程等知识点都有所关联。
②关联知识:数列和函数密切相关,我们可以用函数的观点去研究数列的性质。
和不等式的联系也很紧密,经常会遇到求数列中的最值问题。
③重难点分析:- 重点是数列的通项公式和求和公式。
通项公式就像数列这个队伍里每个成员的编号规则,能根据规则找到对应的成员。
求和公式呢,就是把这个队伍里的数加起来的方法。
- 难点我觉得是根据数列的规律求出通项公式和一些特殊数列求和的方法。
④考点分析:数列在考试中那肯定是重点中的重点。
从小题到解答题都有可能出现。
考查方式有求数列通项公式、求和,或者是结合函数、不等式考察数列的性质等。
三、详细讲解【理论概念类】①概念辨析:- 数列分为有穷数列和无穷数列。
有穷数列就是这个队伍人数是有限的,无穷数列就是人数无限。
- 等差数列就是后一个数减去前一个数差都相等,这个相等的差叫公差。
打个比方,就像我们上楼梯,每个台阶高度一样,那这个高度就相当于公差。
调和数列和等比数列也类似。
等比数列是后一个数除以前一个数比值都相等,这个比值为这个等比数列的公比。
②特征分析:- 等差数列特点就是相邻两项差固定。
比如数列1,3,5,7,9,相邻两项差都是2。
高中数学知识点总结(第六章 数列 第一节 数列的概念与简单表示)
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第六章 数列第一节 数列的概念与简单表示一、基础知识 1.数列的概念(1)数列的定义:按照一定顺序排列的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做这个数列的项.(2)数列与函数的关系:从函数观点看,数列可以看成以正整数集N *(或它的有限子集{1,2,…,n })为定义域的函数a n =f (n )当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值.数列是一种特殊的函数,在研究数列问题时,既要注意函数方法的普遍性,又要考虑数列方法的特殊性.(3)数列有三种表示法,它们分别是列表法、图象法和解析法. 2.数列的分类(1)按照项数有限和无限分:⎩⎪⎨⎪⎧有限数列:项数有限个;无限数列:项数无限个;(2)按单调性来分:⎩⎪⎨⎪⎧递增数列:a n +1>a n ,递减数列:a n +1<a n,常数列:a n +1=a n=C常数,摆动数列.3.数列的两种常用的表示方法(1)通项公式:如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式.1并不是所有的数列都有通项公式;2同一个数列的通项公式在形式上未必唯一. (2)递推公式:如果已知数列{a n }的第1项(或前几项),且从第二项(或某一项)开始的任一项与它的前一项(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.通项公式和递推公式的异同点不同点相同点通项公式 可根据某项的序号n 的值,直接代入求出a n 都可确定一个数列,也都可求出数列的任意一项递推公式可根据第一项(或前几项)的值,通过一次(或多次)赋值,逐项求出数列的项,直至求出所需的二、常用结论(1)若数列{a n }的前n 项和为S n ,通项公式为a n ,则a n =⎩⎪⎨⎪⎧S 1,n =1,S n -S n -1,n ≥2,n ∈N *. (2)在数列{a n }中,若a n 最大,则⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥a n -1,a n ≥a n +1.若a n 最小,则⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n -1,a n ≤a n +1. 考点一 由a n 与S n 的关系求通项a n[典例] (1)(2018·广州二模)已知S n 为数列{a n }的前n 项和,且log 2(S n +1)=n +1,则数列{a n }的通项公式为____________.(2)(2018·全国卷Ⅰ改编)记S n 为数列{a n }的前n 项和.若S n =2a n +1,则a n =________. [解析] (1)由log 2(S n +1)=n +1,得S n +1=2n +1, 当n =1时,a 1=S 1=3;当n ≥2时,a n =S n -S n -1=2n ,所以数列{a n }的通项公式为a n =⎩⎪⎨⎪⎧3,n =1,2n ,n ≥2.(2)∵S n =2a n +1,当n ≥2时,S n -1=2a n -1+1, ∴a n =S n -S n -1=2a n -2a n -1,即a n =2a n -1. 当n =1时,a 1=S 1=2a 1+1,得a 1=-1.∴数列{a n }是首项a 1为-1,公比q 为2的等比数列, ∴a n =-1×2n -1=-2n -1.[答案] (1)a n =⎩⎪⎨⎪⎧3,n =1,2n ,n ≥2 (2)-2n -1[解题技法]1.已知S n 求a n 的3个步骤 (1)先利用a 1=S 1求出a 1;(2)用n -1替换S n 中的n 得到一个新的关系,利用a n =S n -S n -1(n ≥2)便可求出当n ≥2时a n 的表达式;(3)注意检验n =1时的表达式是否可以与n ≥2的表达式合并. 2.S n 与a n 关系问题的求解思路根据所求结果的不同要求,将问题向不同的两个方向转化. (1)利用a n =S n -S n -1(n ≥2)转化为只含S n ,S n -1的关系式,再求解. (2)利用S n -S n -1=a n (n ≥2)转化为只含a n ,a n -1的关系式,再求解.[题组训练]1.设数列{a n }的前n 项和为S n ,且S n =2(a n -1)(n ∈N *),则a n =( ) A .2n B .2n -1 C .2nD .2n -1解析:选C 当n =1时,a 1=S 1=2(a 1-1),可得a 1=2, 当n ≥2时,a n =S n -S n -1=2a n -2a n -1, ∴a n =2a n -1,∴数列{a n }为首项为2,公比为2的等比数列, ∴a n =2n .2.设数列{a n }满足a 1+3a 2+…+(2n -1)a n =2n ,则a n =____________. 解析:因为a 1+3a 2+…+(2n -1)a n =2n , 故当n ≥2时,a 1+3a 2+…+(2n -3)a n -1=2(n -1). 两式相减得(2n -1)a n =2, 所以a n =22n -1(n ≥2).又由题设可得a 1=2,满足上式, 从而{a n }的通项公式为a n =22n -1. 答案:22n -1考点二 由递推关系式求数列的通项公式[典例] (1)设数列{a n }满足a 1=1,且a n +1=a n +n +1(n ∈N *),则数列{a n }的通项公式为________________.(2)在数列{a n }中,a 1=1,a n =n -1n a n -1(n ≥2),则数列{a n }的通项公式为________________. (3)已知数列{a n }满足a 1=1,a n +1=3a n +2,则数列{a n }的通项公式为________________. [解析] (1)累加法由题意得a 2=a 1+2,a 3=a 2+3,…,a n =a n -1+n (n ≥2), 以上各式相加,得a n =a 1+2+3+…+n .又∵a 1=1,∴a n =1+2+3+…+n =n 2+n 2(n ≥2).∵当n =1时也满足上式,∴a n =n 2+n2(n ∈N *).(2)累乘法∵a n =n -1n a n -1(n ≥2),∴a n -1=n -2n -1a n -2,a n -2=n -3n -2a n -3,…,a 2=12a 1.以上(n -1)个式子相乘得 a n =a 1·12·23·…·n -1n =a 1n =1n .当n =1时,a 1=1,上式也成立. ∴a n =1n (n ∈N *).(3)构造法∵a n +1=3a n +2,∴a n +1+1=3(a n +1), ∴a n +1+1a n +1=3, ∴数列{a n +1}为等比数列,公比q =3,又a 1+1=2, ∴a n +1=2·3n -1, ∴a n =2·3n -1-1(n ∈N *).[答案] (1)a n =n 2+n 2(n ∈N *) (2)a n =1n (n ∈N *) (3)a n =2·3n -1-1(n ∈N *)[解题技法]1.正确选用方法求数列的通项公式(1)对于递推关系式可转化为a n +1=a n +f (n )的数列,通常采用累加法(逐差相加法)求其通项公式.(2)对于递推关系式可转化为a n +1a n=f (n )的数列,并且容易求数列{f (n )}前n 项的积时,采用累乘法求数列{a n }的通项公式.(3)对于递推关系式形如a n +1=pa n +q (p ≠0,1,q ≠0)的数列,采用构造法求数列的通项. 2.避免2种失误(1)利用累乘法,易出现两个方面的问题:一是在连乘的式子中只写到a 2a 1,漏掉a 1而导致错误;二是根据连乘求出a n 之后,不注意检验a 1是否成立.(2)利用构造法求解时应注意数列的首项的正确求解以及准确确定最后一个式子的形式.[题组训练] 1.累加法设数列{a n }满足a 1=3,a n +1=a n +1nn +1,则通项公式a n =________. 解析:原递推公式可化为a n +1=a n +1n -1n +1,则a 2=a 1+11-12,a 3=a 2+12-13,a 4=a 3+13-14,…,a n -1=a n -2+1n -2-1n -1,a n =a n-1+1n -1-1n ,以上(n -1)个式子的等号两端分别相加得,a n =a 1+1-1n ,故a n =4-1n .答案:4-1n2.累乘法设数列{a n }满足a 1=1,a n +1=2n a n ,则通项公式a n =________.解析:由a n +1=2n a n ,得a n a n -1=2n -1(n ≥2),所以a n =a n a n -1·a n -1a n -2·…·a 2a 1·a 1=2n -1·2n -2·…·2·1=21+2+3+…+(n -1)=2n n -12.又a 1=1适合上式,故a n =2n n -12.答案:2nn -123.构造法在数列{a n }中,a 1=3,且点P n (a n ,a n +1)(n ∈N *)在直线4x -y +1=0上,则数列{a n }的通项公式为________.解析:因为点P n (a n ,a n +1)(n ∈N *)在直线4x -y +1=0上,所以4a n -a n +1+1=0,即a n+1=4a n +1,得a n +1+13=4⎝⎛⎭⎫a n +13,所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n +13是首项为a 1+13=103,公比为4的等比数列,所以a n +13=103·4n -1,故a n =103·4n -1-13.答案:a n =103·4n -1-13考点三 数列的性质及应用考法(一) 数列的周期性[典例] 数列{a n }满足a n +1=⎩⎨⎧2a n,0≤a n≤12,2a n-1,12<a n<1,a a 1=35,则数列的第 2 019项为________.[解析] 因为a 1=35,故a 2=2a 1-1=15,a 3=2a 2=25,a 4=2a 3=45,a 5=2a 4-1=35,a 6=2a 5-1=15,a 7=2a 6=25,…,故数列{a n }是周期数列且周期为4,故a 2 019=a 504×4+3=a 3=25.[答案] 25考法(二) 数列的单调性(最值)[典例] (1)(2018·百校联盟联考)已知数列{a n }满足2S n =4a n -1,当n ∈N *时,{(log 2a n )2+λlog 2a n }是递增数列,则实数λ的取值范围是________.(2)已知数列{a n }的通项公式为a n =(n +2)·⎝⎛⎭⎫78n,则当a n 取得最大值时,n =________. [解析] (1)∵2S n =4a n -1,2S n -1=4a n -1-1(n ≥2), 两式相减可得2a n =4a n -4a n -1(n ≥2), ∴a n =2a n -1(n ≥2). 又2a 1=4a 1-1,∴a 1=12,∴数列{a n }是公比为2的等比数列,∴a n =2n -2, 设b n =(log 2a n )2+λlog 2a n =(n -2)2+λ(n -2), ∵{(log 2a n )2+λlog 2a n }是递增数列,∴b n +1-b n =2n -3+λ>0恒成立,∴λ>3-2n 恒成立, ∵(3-2n )max =1,∴λ>1, 故实数λ的取值范围是(1,+∞).(2)当a n 取得最大值时,有⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n -1,a n ≥a n +1,∴⎩⎨⎧n +2⎝⎛⎭⎫78n≥n +1⎝⎛⎭⎫78n -1,n +2⎝⎛⎭⎫78n≥n +3⎝⎛⎭⎫78n +1,解得⎩⎪⎨⎪⎧n ≤6,n ≥5,∴当a n 取得最大值时,n =5或6. [答案] (1)(1,+∞) (2)5或6[解题技法]1.解决数列的单调性问题的3种方法2.解决数列周期性问题的方法先根据已知条件求出数列的前几项,确定数列的周期,再根据周期性求值.[题组训练]1.设数列{a n },a n =nanb +c,其中a ,b ,c 均为正数,则此数列( ) A .递增 B .递减 C .先增后减D .先减后增解析:选A 因为a n =na bn +c=a b +c n ,而函数f (x )=ab +c x(a >0,b >0,c >0)在(0,+∞)上是增函数,故数列{a n }是递增数列.2.已知数列{a n }满足a n +1=11-a n,若a 1=12,则a 2 019=( )A .-1 B.12C .1D .2解析:选A 由a 1=12,a n +1=11-a n ,得a 2=11-a 1=2,a 3=11-a 2=-1,a 4=11-a 3=12,a 5=11-a 4=2,…,于是可知数列{a n }是以3为周期的周期数列,因此a 2 019=a 3×673=a 3=-1.[课时跟踪检测]A 级1.(2019·郑州模拟)已知数列1,3,5,7,…,2n -1,若35是这个数列的第n 项,则n =( )A .20B .21C .22D .23解析:选D 由2n -1=35=45,得2n -1=45,即2n =46,解得n =23,故选D. 2.(2019·福建四校联考)若数列的前4项分别是12,-13,14,-15,则此数列的一个通项公式为( )A.-1n +1n +1B.-1nn +1C.-1nnD.-1n -1n解析:选A 由于数列的前4项分别是12,-13,14,-15,可得奇数项为正数,偶数项为负数,第n 项的绝对值等于⎪⎪⎪⎪1n +1,故此数列的一个通项公式为-1n +1n +1.故选A. 3.(2019·莆田诊断)已知数列{a n }中,a 1=1,a 2=2,a n +1=a n +a n +2(n ∈N *),则a 5的值为( )A .-2B .-1C .1D .2解析:选A 由题意可得,a n +2=a n +1-a n ,则a 3=a 2-a 1=2-1=1,a 4=a 3-a 2=1-2=-1,a 5=a 4-a 3=-1-1=-2.故选A.4.数列{a n }的前n 项和S n =2n 2-3n (n ∈N *),若p -q =5,则a p -a q =( ) A .10 B .15 C .-5D .20解析:选D 当n ≥2时,a n =S n -S n -1=2n 2-3n -[2(n -1)2-3(n -1)]=4n -5,当n =1时,a 1=S 1=-1,符合上式,所以a n =4n -5,所以a p -a q =4(p -q )=20.5.设数列{a n }的通项公式为a n =n 2-bn ,若数列{a n }是单调递增数列,则实数b 的取值范围为( )A .(-∞,-1]B .(-∞,2]C .(-∞,3)D.⎝⎛⎦⎤-∞,92 解析:选C 因为数列{a n }是单调递增数列, 所以a n +1-a n =2n +1-b >0(n ∈N *), 所以b <2n +1(n ∈N *), 所以b <(2n +1)min =3,即b <3.6.若数列{a n }满足12≤a n +1a n≤2(n ∈N *),则称{a n }是“紧密数列”.若{a n }(n =1,2,3,4)是“紧密数列”,且a 1=1,a 2=32,a 3=x ,a 4=4,则x 的取值范围为( )A .[1,3)B .[1,3]C .[2,3]D .[2,3)解析:选C 依题意可得⎩⎪⎨⎪⎧12≤x32≤2,12≤4x≤2,解得2≤x ≤3,故x 的取值范围为[2,3].7.已知数列{a n }的前n 项和S n =n 2+2n +1(n ∈N *),则a n =________. 解析:当n ≥2时,a n =S n -S n -1=2n +1, 当n =1时,a 1=S 1=4≠2×1+1,因此a n =⎩⎪⎨⎪⎧4,n =1,2n +1,n ≥2.答案:⎩⎪⎨⎪⎧4,n =1,2n +1,n ≥28.已知数列32,54,76,9m -n ,m +n 10,…,根据前3项给出的规律,实数对(m ,n )为________.解析:由数列的前3项的规律可知⎩⎪⎨⎪⎧m -n =8,m +n =11,解得⎩⎨⎧m =192,n =32,故实数对(m ,n )为⎝⎛⎭⎫192,32.答案:⎝⎛⎭⎫192,329.数列{a n }的前n 项和为S n ,若S n +S n -1=2n -1(n ≥2,n ∈N *),且S 2=3,则a 1+a 3的值为________.解析:∵S n +S n -1=2n -1(n ≥2),令n =2, 得S 2+S 1=3,由S 2=3得a 1=S 1=0, 令n =3,得S 3+S 2=5,所以S 3=2, 则a 3=S 3-S 2=-1, 所以a 1+a 3=0+(-1)=-1. 答案:-110.已知数列{a n }满足a n =(n -λ)2n (n ∈N *),若{a n }是递增数列,则实数λ的取值范围为________.解析:因为a n =(n -λ)2n (n ∈N *)且数列{a n }是递增数列,所以a n +1-a n =2n (n +2-λ)>0,所以n +2-λ>0,则λ<n +2.又n ∈N *,所以λ<3,因此实数λ的取值范围为(-∞,3).答案:(-∞,3)11.(2019·衡阳四校联考)已知数列{a n }满足a 1=3,a n +1=4a n +3. (1)写出该数列的前4项,并归纳出数列{a n }的通项公式; (2)证明:a n +1+1a n +1=4.解:(1)a 1=3,a 2=15,a 3=63,a 4=255.因为a 1=41-1,a 2=42-1,a 3=43-1,a 4=44-1,…, 所以归纳得a n =4n -1.(2)证明:因为a n +1=4a n +3,所以a n +1+1a n +1=4a n +3+1a n +1=4a n +1a n +1=4.12.已知数列{a n }的通项公式是a n =n 2+kn +4.(1)若k =-5,则数列中有多少项是负数?n 为何值时,a n 有最小值?并求出最小值; (2)对于n ∈N *,都有a n +1>a n ,求实数k 的取值范围. 解:(1)由n 2-5n +4<0,解得1<n <4. 因为n ∈N *,所以n =2,3,所以数列中有两项是负数,即为a 2,a 3. 因为a n =n 2-5n +4=⎝⎛⎭⎫n -522-94, 由二次函数性质,得当n =2或n =3时,a n 有最小值,其最小值为a 2=a 3=-2. (2)由a n +1>a n ,知该数列是一个递增数列,又因为通项公式a n =n 2+kn +4,可以看作是关于n 的二次函数,考虑到n ∈N *,所以-k 2<32,解得k >-3.所以实数k 的取值范围为(-3,+∞).B 级1.已知数列{a n }的通项公式为a n =(-1)n ·2n +1,该数列的项排成一个数阵(如图),则该数阵中的第10行第3个数为________.a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 ……解析:由题意可得该数阵中的第10行第3个数为数列{a n }的第1+2+3+…+9+3=9×102+3=48项,而a 48=(-1)48×96+1=97,故该数阵中的第10行第3个数为97. 答案:972.在一个数列中,如果∀n ∈N *,都有a n a n +1a n +2=k (k 为常数),那么这个数列叫做等积数列,k 叫做这个数列的公积.已知数列{a n }是等积数列,且a 1=1,a 2=2,公积为8,则a 1+a 2+a 3+…+a 12=________.解析:依题意得数列{a n }是周期为3的数列,且a 1=1,a 2=2,a 3=4,因此a 1+a 2+a 3+…+a 12=4(a 1+a 2+a 3)=4×(1+2+4)=28.答案:283.在数列{a n }中,a n =(n +1)⎝⎛⎭⎫1011n(n ∈N *). (1)讨论数列{a n }的增减性; (2)求数列{a n }的最大项.解:(1)由题意,知a n >0,令a na n -1>1(n ≥2),即n +1⎝⎛⎭⎫1011nn ⎝⎛⎭⎫1011n -1>1(n ≥2),解得2≤n <10,即a 9>a 8>…>a 1.11令a n a n +1>1,即n +1⎝⎛⎭⎫1011n n +2⎝⎛⎭⎫1011n +1>1, 整理得n +1n +2>1011,解得n >9,即a 10>a 11>…. 又a 9a 10=1,所以数列{a n }从第1项到第9项单调递增,从第10项起单调递减. (2)由(1)知a 9=a 10=1010119为数列{}a n 的最大项.。
数列基础知识点和方法归纳
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数列基础知识点和方法归纳1. 等差数列的定义与性质定义:1n n a a d +-=(d 为常数),()11n a a n d =+- 等差中项:x A y ,,成等差数列2A x y ⇔=+ 前n 项和()()11122n n a a n n n S nad +-==+性质:{}n a 是等差数列(1)若m n p q +=+,则m n p q a a a a +=+;(2)数列{}{}{}12212,,+-n n n a a a 仍为等差数列,232n n n n n S S S S S --,,……仍为等差数列,公差为d n 2;(3)若三个成等差数列,可设为a d a a d -+,, (4)若n n a b ,是等差数列,且前n 项和分别为n n S T ,,则2121m m m m a S b T --= (5){}n a 为等差数列2n S an bn ⇔=+(a b ,为常数,是关于n 的常数项为0的二次函数)n S 的最值可求二次函数2n S an bn =+的最值;或者求出{}n a 中的正、负分界项,即:当100a d ><,,解不等式组100n n a a +≥⎧⎨≤⎩可得n S 达到最大值时的n 值.当100a d <>,,由100n n a a +≤⎧⎨≥⎩可得n S 达到最小值时的n 值.(6)项数为偶数n 2的等差数列{}n a ,有),)(()()(11122212为中间两项++-+==+=+=n n n n n n n a a a a n a a n a a n S Λnd S S =-奇偶,1+=n na a S S 偶奇. (7)项数为奇数12-n 的等差数列{}n a ,有)()12(12为中间项n n n a a n S -=-,n a S S =-偶奇,1-=n n S S 偶奇. 2. 等比数列的定义与性质定义:1n na q a +=(q 为常数,0q ≠),11n n a a q -=.等比中项:x G y 、、成等比数列2G xy ⇒=,或G =前n 项和:()11(1)1(1)1n n na q S a q q q =⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩(要注意!)性质:{}n a 是等比数列(1)若m n p q +=+,则mn p q a a a a =·· (2)232n n n n n S S S S S --,,……仍为等比数列,公比为n q . 注意:由n S 求n a 时应注意什么?1n =时,11a S =; 2n ≥时,1n n n a S S -=-. 3.求数列通项公式的常用方法 (1)求差(商)法如:数列{}n a ,12211125222n n a a a n +++=+……,求n a解 1n =时,112152a =⨯+,∴114a = ①2n ≥时,12121111215222n n a a a n --+++=-+…… ②①—②得:122n n a =,∴12n n a +=,∴114(1)2(2)n n n a n +=⎧=⎨≥⎩[练习]数列{}n a 满足111543n n n S S a a +++==,,求n a注意到11n n n a S S ++=-,代入得14n nS S +=;又14S =,∴{}n S 是等比数列,4n n S =2n ≥时,1134n n n n a S S --=-==……· (2)叠乘法如:数列{}n a 中,1131n n a na a n +==+,,求n a解3212112123n n a a a n a a a n --=·……·……,∴11n a a n=又13a =,∴3n a n =. (3)等差型递推公式由110()n n a a f n a a --==,,求n a ,用迭加法2n ≥时,21321(2)(3)()n n a a f a a f a a f n --=⎫⎪-=⎪⎬⎪⎪-=⎭…………两边相加得1(2)(3)()n a a f f f n -=+++……∴0(2)(3)()n a a f f f n =++++…… [练习]数列{}n a 中,()111132n n n a a a n --==+≥,,求n a (()1312nn a =-)(4)等比型递推公式1n n a ca d -=+(c d 、为常数,010c c d ≠≠≠,,)可转化为等比数列,设()()111n n n n a x c a x a ca c x --+=+⇒=+- 令(1)c x d -=,∴1d x c =-,∴1n d a c ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭是首项为11d a c c +-,为公比的等比数列 ∴1111n n d d a a c c c -⎛⎫+=+ ⎪--⎝⎭·,∴1111n n d d a a c c c -⎛⎫=+- ⎪--⎝⎭ (5)倒数法 如:11212nn n a a a a +==+,,求n a 由已知得:1211122n n n n a a a a ++==+,∴11112n n a a +-= ∴1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列,111a =,公差为12,∴()()11111122n n n a =+-=+·,∴21n a n =+( 附:公式法、利用{1(2)1(1)n n S S n S n n a --≥==、累加法、累乘法.构造等差或等比1n n a pa q +=+或1()n n a pa f n +=+、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法)4. 求数列前n 项和的常用方法(1) 裂项法把数列各项拆成两项或多项之和,使之出现成对互为相反数的项. 如:{}n a 是公差为d 的等差数列,求111nk k k a a =+∑解:由()()11111110k k k k k k d a a a a d d a a ++⎛⎫==-≠ ⎪+⎝⎭·∴11111223111111111111nnk k k k k k n n a a d a a d a a a a a a ==+++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+-++-⎢⎥ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑∑…… 11111n d a a +⎛⎫=- ⎪⎝⎭[练习]求和:111112123123n+++++++++++ (121)n n a S n ===-+…………, (2)错位相减法若{}n a 为等差数列,{}n b 为等比数列,求数列{}n n a b (差比数列)前n 项和,可由n n S qS -,求n S ,其中q 为{}n b 的公比.如:2311234n n S x x x nx -=+++++……①()23412341n n n x S x x x x n x nx -=+++++-+·……②①—②()2111n n n x S x x x nx --=++++-……1x ≠时,()()2111nnnx nx S xx -=---,1x =时,()11232n n n S n +=++++=…… (3)倒序相加法把数列的各项顺序倒写,再与原来顺序的数列相加.121121n n n n n n S a a a a S a a a a --=++++⎫⎬=++++⎭…………相加()()()12112n n n n S a a a a a a -=++++++……[练习]已知22()1x f x x =+,则 111(1)(2)(3)(4)234f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭由2222222111()111111x x x f x f x x x x x ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭+=+=+= ⎪+++⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭∴原式11111(1)(2)(3)(4)111323422f f f f f f f ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++=+++= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦(附:a.用倒序相加法求数列的前n 项和如果一个数列{a n },与首末项等距的两项之和等于首末两项之和,可采用把正着写与倒着写的两个和式相加,就得到一个常数列的和,这一求和方法称为倒序相加法。
综合基础知识数列知识点归纳总结
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综合基础知识数列知识点归纳总结一、数列的概念。
1. 定义。
- 按照一定次序排列的一列数称为数列。
数列中的每一个数都叫做这个数列的项,排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做首项),往后各项依次叫做这个数列的第2项、第3项……第n项。
- 例如:1,3,5,7,9是一个数列,1是首项,这个数列的第n项可以表示为a_n=2n - 1(n = 1,2,3,4,5)。
2. 数列的表示方法。
- 列举法。
- 就是将数列中的项一一列举出来。
如数列2,4,6,8,10,直接把各项写出来表示这个数列。
- 通项公式法。
- 如果数列{a_n}的第n项a_n与n之间的关系可以用一个公式来表示,这个公式就叫做这个数列的通项公式。
- 例如,数列1,(1)/(2),(1)/(3),(1)/(4),(1)/(5),·s,其通项公式为a_n=(1)/(n)(n∈N^*)。
- 递推公式法。
- 通过给出数列的第一项(或前几项),并给出数列的某一项与它的前一项(或前几项)的关系式来表示数列。
- 例如,斐波那契数列1,1,2,3,5,8,·s,它满足递推公式a_n=a_n - 1+a_n -2(n≥slant3),a_1=a_2=1。
二、等差数列。
1. 定义。
- 如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母d表示。
- 例如数列3,5,7,9,11是等差数列,公差d = 2,因为5 - 3=7 - 5 = 9 - 7=11 - 9 = 2。
2. 通项公式。
- a_n=a_1+(n - 1)d,其中a_1是首项,n是项数,d是公差。
- 例如,在等差数列{a_n}中,a_1=2,d = 3,则a_n=2+(n - 1)×3=3n - 1。
3. 前n项和公式。
- S_n=frac{n(a_1+a_n)}{2}=na_1+(n(n - 1))/(2)d- 例如,等差数列{a_n}中,a_1=1,d = 2,n = 5。
数列基础知识点和方法归纳
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数列基础知识点和方法归纳 1. 等差数列的定义与性质定义:1n n a a d +-=(d 为常数),()11n a a n d =+-,推论公式:等差中项:x A y ,,成等差数列2A x y ⇔=+,等差数列前n 项和:()()11122n na a n n n S nad +-==+性质:{}n a 是等差数列(1)若m n p q +=+,则m n p q a a a a +=+;(下标和定理) 注意:要求等式左右两边项数相等 (2)数列{}{}{}12212,,+-n n n a a a 仍为等差数列,232n n n n n S S S S S --,,……仍为等差数列,公差为d n 2; (3)若三个成等差数列,可设为a d a a d -+,,; (4)若n n a b ,是等差数列,且前n 项和分别为n n S T ,,则2121m m m m a S b T --=; (5){}n a 为等差数列2n S an bn ⇔=+(a b ,为常数,是关于n 的常数项为0的二次函数)n S 的最值可求二次函数2n S an bn =+的最值;或者求出{}n a 中的正、负分界项,即:当100a d ><,,解不等式组100n n a a +≥⎧⎨≤⎩可得n S 达到最大值时的n 值.当100a d <>,,由100n n a a +≤⎧⎨≥⎩可得n S 达到最小值时的n 值.(6)项数为偶数n 2的等差数列{}n a ,有),)(()()(11122212为中间两项++-+==+=+=n n n n n n n a a a a n a a n a a n S nd S S =-奇偶,1+=n na a S S 偶奇. (7)项数为奇数12-n 的等差数列{}n a ,有)()12(12为中间项n n n a a n S -=-,n a S S =-偶奇, .1-=n n S S 偶奇2. 等比数列的定义与性质定义:1n na q a +=(q 为常数,0q ≠),11n n a a q -=.推论公式:等比中项:x G y 、、成等比数列2G xy ⇒=,或G xy=±.等比数列中奇数项同号,偶数项同号等比数列前n 项和公式:性质:{}n a 是等比数列(1)若m n p q +=+,则mn p q a a a a =··(下标和定理) 注意:要求等式左右两边项数相等。
数列基础知识
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基础知识1.数列的概念定义1. 按照某一法则,给定了第1个数,第2个数,………,对于正整数有一个确定的数,于是得到一列有次序的数我们称它为数列,用符号表示。
数列中的每项称为数列的项,第项称为数列的一般项,又称为数列的通项。
定义2.当一个数列的项数为有限个时,称这个数列为有限数列;当一个数列的项数为无限时,则称这个数列为无限数列。
定义3.对于一个数列,如果从第2项起,每一项都不小于它的前一项,即,这样的数列称为递增数列;如果从第2项起,每一项都不大于它的前一项,即,这样的数列称为递减数列。
定义4.如果数列的每一项的绝对值都小于某一个正数,即,其中是某一个正数,则称这样的数列为有界数列,否则就称为是无界数列。
定义5.如果在数列中,项数与具有如下的函数关系:,则称这个关系为数列的通项公式。
2.等差数列定义6.一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它前一项的差等于同一个常数,这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做公差,常用字母表示。
等差数列具有以下几种性质:(1)等差数列的通项公式:或;(2)等差数列的前项和公式:或;(3)公差非零的等差数列的通项公式为的一次函数;(4)公差非零的等差数列的前项和公式是关于不含有常数项的二次函数;(5)设是等差数列,则(是常数)是公差为的等差数列;(6)设,是等差数列,则(是常数)也是等差数列;(7)设,是等差数列,且,则也是等差数列(即等差数列中等距离分离出的子数列仍为等差数列);(8)若,则;特别地,当时,;(9)设,,,则有;(10)对于项数为的等差数列,记分别表示前项中的奇数项的和与偶数项的和,则,;(11)对于项数为的等差数列,有,;(12)是等差数列的前项和,则;(13)其他衍生等差数列:若已知等差数列,公差为,前项和为,则①.为等差数列,公差为;②.(即)为等差数列,公差;③.(即)为等差数列,公差为.3.等比数列定义7.一般地,如果有一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于现中一个常数,那么这个数列就叫做等比数列,这个常数叫做公比;公比通常用字母表示(),即。
基本数列知识点总结
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基本数列知识点总结一、数列的概念数列是由一系列按照一定规律排列的数所组成的有序集合。
形式上,一个数列可以表示为{a1, a2, a3, ...}或者{an}。
其中,an表示数列中的第n个数,而n是整数。
数列中的每个数都有一个位置,这个位置由下标n来确定。
因此,数列是一个有序的集合。
数列中的每个数都有一个对应的位置,因此数列可以看做是从1开始的整数集合到实数集合的一个函数映射。
数列分为有限数列和无限数列两种。
有限数列是只包含有限个数的数列,无限数列是包含无限个数的数列。
二、数列的常见类型1.等差数列等差数列是指数列中的相邻两项之差恒为一个常数的数列。
这个常数称为公差,通常用d 表示。
等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d。
其中,a1表示数列的第一项,n表示数列中的第n个数。
2.等比数列等比数列是指数列中的相邻两项之比恒为一个常数的数列。
这个常数称为公比,通常用r 表示。
等比数列的通项公式为an = a1 * r^(n-1)。
其中,a1表示数列的第一项,n表示数列中的第n个数。
3.斐波那契数列斐波那契数列是一种非常特殊的数列,它的规律是前两项之和等于后一项。
即1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...。
斐波那契数列的通项公式为an = an-1 + an-2。
其中,a1和a2分别表示数列的前两个数。
4.调和数列调和数列是指数列中的相邻两项的倒数构成的数列。
调和数列的通项公式为an = 1/n。
调和数列是一个无限数列。
5.幂数列幂数列是指数列中的每一项是以同一正整数为底的乘方运算所构成的数列。
幂数列的通项公式为an = c^n。
其中,c为正整数。
三、数列的性质1.数列的有界性如果一个数列中的所有项都不超过一个常数M,则称该数列是有上界的。
如果一个数列中的所有项都不小于一个常数m,则称该数列是有下界的。
若一个数列同时有上界和下界,则称该数列是有界的。
而如果一个数列既没有上界也没有下界,则称该数列是无界的。
等差等比数列基础知识点

一、等差等比数列基础知识点(一)知识归纳: 1.概念与公式:①等差数列:1°.定义:若数列}{),(}{1n n n n a d a a a 则常数满足=-+称等差数列;2°.通项公式:;)()1(1d k n a d n a a k n -+=-+= 3°.前n 项和公式:公式:.2)1(2)(11d n n na a a n S n n -+=+=②等比数列:1°.定义若数列q a a a nn n =+1}{满足(常数),则}{n a 称等比数列;2°.通项公式:;11kn k n n qa q a a --==3°.前n 项和公式:),1(1)1(111≠--=--=q qq a q q a a S n n n 当q=1时.1na S n =2.简单性质:①首尾项性质:设数列,,,,,:}{321n n a a a a a1°.若}{n a 是等差数列,则;23121 =+=+=+--n n n a a a a a a 2°.若}{n a 是等比数列,则.23121 =⋅=⋅=⋅--n n n a a a a a a ②中项及性质:1°.设a ,A ,b 成等差数列,则A 称a 、b 的等差中项,且;2ba A +=2°.设a ,G ,b 成等比数列,则G 称a 、b 的等比中项,且.ab G ±= ③设p 、q 、r 、s 为正整数,且,s r q p +=+ 1°. 若}{n a 是等差数列,则;s r q p a a a a +=+ 2°. 若}{n a 是等比数列,则;s r q p a a a a ⋅=⋅ ④顺次n 项和性质:1°.若}{n a 是公差为d 的等差数列,∑∑∑=+=+=nk n n k nn k kkk aa a 121312,,则组成公差为n 2d 的等差数列;2°. 若}{n a 是公差为q 的等比数列,∑∑∑=+=+=nk nn k nn k kkk aa a 121312,,则组成公差为q n 的等比数列.(注意:当q =-1,n 为偶数时这个结论不成立)⑤若}{n a 是等比数列,则顺次n 项的乘积:n n n n n n n a a a a a a a a a 3221222121,, ++++组成公比这2n q 的等比数列.⑥若}{n a 是公差为d 的等差数列,1°.若n 为奇数,则,,:(21+==-=n n a a a a S S na S 中中中偶奇中即指中项注且而S 奇、S 偶指所有奇数项、所有偶数项的和);2°.若n 为偶数,则.2nd S S =-奇偶 (二)学习要点:1.学习等差、等比数列,首先要正确理解与运用基本公式,注意①公差d ≠0的等差数列的通项公式是项n 的一次函数a n =an +b ;②公差d ≠0的等差数列的前n 项和公式项数n 的没有常数项的二次函数S n =an 2+bn ;③公比q ≠1的等比数列的前n 项公式可以写成“S n =a (1-q n )的形式;诸如上述这些理解对学习是很有帮助的.2.解决等差、等比数列问题要灵活运用一些简单性质,但所用的性质必须简单、明确,绝对不能用课外的需要证明的性质解题.3.巧设“公差、公比”是解决问题的一种重要方法,例如:①三数成等差数列,可设三数为“a,a+m,a+2m (或a-m,a,a+m )”②三数成等比数列,可设三数为“a,aq,aq 2(或qa,a,aq )”③四数成等差数列,可设四数为“);3,,,3(3,2,,m a m a m a m a m a m a m a a ++--+++或”④四数成等比数列,可设四数为“),,,,(,,,3332aq aq q aqa aq aq aq a ±±或”等等;类似的经验还很多,应在学习中总结经验. [例1]解答下述问题:(Ⅰ)已知c b a 1,1,1成等差数列,求证:(1)c ba b a c a c b +++,,成等差数列; (2)2,2,2bc b b a ---成等比数列.[解析]该问题应该选择“中项”的知识解决,.2,2,2,)2(4)(2)2)(2)(2(;,,.)(2)()(2)()1(),(222112222222成等比数列成等差数列bc b b a bb c a b ac b c b a c b a b a c a c b bc a c a b c a ac c a c a b ac ab a c bc c b a a c b c a b ac bac c a b c a ---∴-=++-=--+++∴+=++=+++=+++=++++=⇒=+⇒=+(Ⅱ)设数列),1(2,1,}{2-==n n n n a n S a S n a 且满足项和为的前 (1)求证:}{n a 是等差数列; (2)若数列:}{满足n b62)12(531321+=-+++++n n n a b n b b b 求证:{n b }是等比数列.[解析](1)⎩⎨⎧-+=-=++)1)(1(2)1(211n n n n a n S a n S②-①得,1)1(1)1(211+=-⇒--+=++n n n n n na a n na a n a:,32,32,1,11321用数学归纳法证明猜想得令得令-===∴=-==n a a n a a n n1)当;,3221,3121,121结论正确时-⨯==-⨯=-==a a n 2),32,)2(-=≥=k a k k n k 即时结论正确假设)1)(12(1321)32(1)1(,121--=+-=+-=+=-+=∴+k k k k k k ka a k k n k k 时当 .,3)1(212,21结论正确-+=-=∴≥+k k a k k 由1)、2)知,,32,-=∈*n a N n n 时当① ②.2}{,2,2,,26)1(4),2(2,2)12()52(2)32(2)12(2,6)32(262)2(;2}{,2)32()12(1111111的等比数列是公比为即时当也适合而时当设的等差数列是公差为即n nn n n n n n n n n n n n n n n n n n b b b b N n b n b n n n T T b n n n a T a n n a a =∴=∈∴=+-⨯=≥=∴⨯-=---=-=-≥∴+-=+==---=-∴+*+-+++[评析]判断(或证明)一个数列成等差、等比数列主要方法有:根据“中项”性质、根据“定义”判断,或通过“归纳猜想”并证明.[例2]解答下述问题:(Ⅰ)等差数列的前n 项和为),(,,Q P QPS P Q S S Q P n ≠==若 求).,(表示用Q P S Q P +[解析]选择公式""2bn an S n +=做比较好,但也可以考虑用性质完成.[解法一]设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=∴+=bQ aQ QP bP aP PQbn an S n 222,①-②得:,],)()[(22Q P b Q P a Q P PQ P Q ≠++-=-.)(])()[(,)(,2PQQ P b Q P a Q P S PQQP b Q P a Q P QP +-=+++=∴+-=++∴≠+[解法二]不妨设P Q Q Q P a a a S S QPP Q Q P +++=-=-∴>++ 21, .)(,2))((2))((211PQQ P S S QP Q P a a Q P Q P Q P a a Q P Q P Q P Q P P Q +-=∴+-=++⋅+-=+-=++++(Ⅱ)等比数列的项数n 为奇数,且所有奇数项的乘积为1024,所有偶数项的乘积为2128,求项数n.①②[解析]设公比为2421281024,142531==-n n a a a a a a a q)1(24211=⋅⇒-n qa.7,23525,2)2()1(,2)(2)1(221281024235252352112353211235321==∴==⋅⇒=-+⋅⇒=⨯=-++n n q a n qa a a a a nn n n 得代入得将而(Ⅲ)等差数列{a n }中,公差d ≠0,在此数列中依次取出部分项组成的数列:,17,5,1,,,,32121===k k k a a a n k k k 其中恰为等比数列求数列.}{项和的前n k n[解析],,,,171251751a a a a a a ⋅=∴成等比数列.1313132}{,132)1(2)1(323,34}{,2,00)2()16()4(111111115111121--=---⨯=-⋅=-+=-+=⋅=⋅=∴=+==∴=∴≠=-⇒+⋅=+⇒---n n S n k k d k d d k a a d a a a da a a q a d a d d a d d a a d a n n n n n n n n k n n k k n n n 项和的前得由而的公比数列[评析]例2是一组等差、等比数列的基本问题,熟练运用概念、公式及性质是解决问题的基本功.[例3]解答下述问题:(Ⅰ)三数成等比数列,若将第三项减去32,则成等差数列;再将此等差数列的第二项减去4,又成等比数列,求原来的三数.[解析]设等差数列的三项,要比设等比数列的三项更简单, 设等差数列的三项分别为a -d , a , a +d ,则有.9338,926,9250,10,2,92610,388,06432316803232))(()4()32)((22222或原三数为或得或∴===∴=+-⇒⎪⎩⎪⎨⎧+==-+⇒⎪⎩⎪⎨⎧+-=-=++-a d d d d da a d d d a d a a a d a d a(Ⅱ)有四个正整数成等差数列,公差为10,这四个数的平方和等于一个偶数的平方,求此四数.①②①,②[解析]设此四数为)15(15,5,5,15>++--a a a a a ,⎩⎨⎧=+=-⇒⎩⎨⎧=+=-∴+<-+-⨯=⨯==+-⇒=+⇒∈=++++-+-∴*2521251,,,2551251125,125))((45004)()2()15()5()5()15(2222222a m a m a m a m a m a m a m a m a m a m m a N m m a a a a 且均为正整数与解得∴==),(1262不合或a a 所求四数为47,57,67,77[评析]巧设公差、公比是解决等差、等比数列问题的重要方法,特别是求若干个数成等差、等比数列的问题中是主要方法.二、等差等比数列复习题一、 选择题1、如果一个数列既是等差数列,又是等比数列,则此数列 ( )(A )为常数数列(B )为非零的常数数列(C )存在且唯一 (D )不存在 2.、在等差数列{}n a 中,41=a ,且1a ,5a ,13a 成等比数列,则{}n a 的通项公式为( ) (A )13+=n a n (B )3+=n a n (C )13+=n a n 或4=n a (D )3+=n a n 或4=n a 3、已知c b a ,,成等比数列,且y x ,分别为a 与b 、b 与c 的等差中项,则ycx a +的值为( ) (A )21(B )2- (C )2 (D ) 不确定4、互不相等的三个正数c b a ,,成等差数列,x 是a ,b 的等比中项,y 是b ,c 的等比中项,那么2x ,2b ,2y 三个数( )(A )成等差数列不成等比数列 (B )成等比数列不成等差数列(C )既成等差数列又成等比数列 (D )既不成等差数列,又不成等比数列5、已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,n n S n 24212+=+,则此数列的通项公式为 ( ) (A )22-=n a n (B )28-=n a n (C )12-=n n a (D )n n a n -=26、已知))((4)(2z y y x x z --=-,则( )(A )z y x ,,成等差数列 (B )z y x ,,成等比数列(C )z y x 1,1,1成等差数列 (D )zy x 1,1,1成等比数列7、数列{}n a 的前n 项和1-=n n a S ,则关于数列{}n a 的下列说法中,正确的个数有( )①一定是等比数列,但不可能是等差数列 ②一定是等差数列,但不可能是等比数列 ③可能是等比数列,也可能是等差数列 ④可能既不是等差数列,又不是等比数列 ⑤可能既是等差数列,又是等比数列(A )4 (B )3 (C )2 (D )1 8、数列1⋯,1617,815,413,21,前n 项和为( )(A )1212+-n n (B )212112+-+n n (C )1212+--n n n (D )212112+--+n n n9、若两个等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项和分别为n A 、n B ,且满足5524-+=n n B A n n ,则135135b b a a ++的值为( )(A )97 (B )78 (C )2019 (D )8710、已知数列{}n a 的前n 项和为252+-=n n S n ,则数列{}n a 的前10项和为( )(A )56 (B )58 (C )62 (D )6011、已知数列{}n a 的通项公式5+=n a n 为, 从{}n a 中依次取出第3,9,27,…3n , …项,按原来的顺序排成一个新的数列,则此数列的前n 项和为( )(A )2)133(+n n (B )53+n(C )23103-+n n (D )231031-++n n12、下列命题中是真命题的是( ) A .数列{}n a 是等差数列的充要条件是q pn a n +=(0≠p )B .已知一个数列{}n a 的前n 项和为a bn an S n ++=2,如果此数列是等差数列,那么此数列也是等比数列C .数列{}n a 是等比数列的充要条件1-=n n ab aD .如果一个数列{}n a 的前n 项和c ab S n n +=)1,0,0(≠≠≠b b a ,则此数列是等比数列的充要条件是0=+c a二、填空题13、各项都是正数的等比数列{}n a ,公比1≠q 875,,a a a ,成等差数列,则公比q = 14、已知等差数列{}n a ,公差0≠d ,1751,,a a a 成等比数列,则18621751a a a a a a ++++=15、已知数列{}n a 满足n n a S 411+=,则n a =16、在2和30之间插入两个正数,使前三个数成等比数列,后三个数成等差数列,则插入的这两个数的等比中项为 二、 解答题17、已知数列{}n a 是公差d 不为零的等差数列,数列{}n b a 是公比为q 的等比数列,46,10,1321===b b b ,求公比q 及n b 。
高中数学数列基础公式知识点总结大全
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等差数列1.通项公式:()11n a a n d=+-2.性质:若数列{}n a 是首项为1a ,公差为d 的等差数列,则(1)(),(,,)n mn m a a a a n m d d m n N m n n m+-=+-=∈≠-且(2)若m n p q +=+,则m n p q a a a a +=+;(,,,)m n p q N +∈.特别地,若2m n p +=,则2m n p a a a +=(,,)m n p N +∈3.等差数列的前n 项和公式:11()(1)=22n n n a a n n S na d +-=+4.前n 项和公式的性质:若数列{}n a 是首项为1a ,公差为d 的等差数列,其前n 项和为n S ,则有:(1),,,232n n n n n s s s s s --…,仍是等差数列.(2)⎭⎬⎫⎩⎨⎧n s n 也是等差数列.(3)若项数为2()n n N +∈(偶数),则=S S nd -奇偶,1=n n S a S a +奇偶若项数为21()n n N +-∈(奇数),则=a n S S -奇偶,=1S nS n -奇偶5.判断等差数列的方法:(1)定义法:1()n n a a d d n N ++-=∈为常数,(2)等差中项法:1+12(2,)n n n a a a n n N -+=+≥∈(3)通项公式法:(,,)n a an b a b n N +=+∈为常数(4)前n 项和法:2(,)n S An Bn A B n N +=+∈为常数,等比数列1.通项公式:111(0,0)n n m n m a a qa q a q --=⋅=⋅≠≠2.性质:若数列{}n a 是首项为1a ,公比为q 的等比数列,则:(1)(,)n mn m a a qm n N -+=∈(2)若m n p q +=+,则m n p q a a a a ⋅=⋅;(,,,)m n p q N +∈.特别地,若2m n p +=,则2m n p a a a ⋅=(,,)m n p N +∈(3)数列{}n a λ()λ是不为零的常数仍是公比为q 的等比数列.(4)每隔k 项取出一项,按原来顺序排成一列,所得数列仍为等比数列,公比为1k q +3.等比数列的前n 项和公式:111(1)=(1)11(1)n n n a a qa q q S q qna q ⎧--≠⎪=--⎨⎪=⎩4.前n 项和公式的性质:若数列{}n a 是首项为1a ,公比为q 的等比数列,其前n 项和为n S ,则有:(1)m nn n mm m n S q S S q S S +=+=+;(2)设偶S 与奇S 分别是数列}{n a 偶数项的和与奇数项的和。
初中数学中的数列知识点梳理

初中数学中的数列知识点梳理数列是初中数学中重要的基础知识之一,它在很多数学问题中起着重要的作用。
在初中数学教学中,数列的相关知识点也比较多。
本文将对初中数学中的数列知识点进行梳理和总结。
一、数列的概念和表示方法数列是按照一定规律排列的一组数。
数列中的每个数称为项,项的位置称为序号。
数列可以用数学符号表示,常用的表示方法有两种:通项公式和递推公式。
通项公式表示数列的第n项与n之间的关系,通常用字母an表示数列的第n项。
通项公式的常见形式有:等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d,等比数列的通项公式an=a1*q^(n-1)。
递推公式表示数列的第n项与前一项之间的关系,通常用字母an表示数列的第n项,用字母an-1表示数列的第n-1项。
递推公式的常见形式有:等差数列的递推公式an=an-1+d,等比数列的递推公式an=q*an-1。
二、等差数列的性质和应用1. 公差与公差的性质:等差数列中,两个相邻项之间的差叫做公差。
若等差数列的公差为d,则第n项与第m项之间的差等于(m-n)d。
等差数列的公差具有可加性,即an+bn=an+b。
2. 通项公式和前n项和公式:等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d,前n项和公式Sn=n/2(a1+an)。
通过这两个公式,可以方便地计算等差数列的特定项和前n项和。
3. 等差中项的求解:等差数列中,若an是第n项,ak是第k项,am是中项,即k+(m-k)/2=n,我们可以通过求解该方程来找到等差数列的中项。
4. 等差数列的应用:等差数列在日常生活中有很多应用,例如计算机编址问题、票务计算、交通工具的行驶时间等。
三、等比数列的性质和应用1. 公比与公比的性质:等比数列中,每一项与它的前一项的比叫做公比。
若等比数列的公比为q,则第n项与第m项的比等于q^(m-n)。
等比数列的公比具有可乘性,即an*bn=(ab)n。
2. 通项公式和前n项和公式:等比数列的通项公式an=a1*q^(n-1),前n项和公式Sn=a1*(q^n-1)/(q-1)。
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必修5 数列础知识归纳一、数列的有关概念:1.数列的定义:按一定次序排列的一列数叫做数列.(1) 数列中的每个数都叫这个数列的项.记作a n ,在数列第一个位置的项叫第1项(或首项),在第二个位置的叫第2项,…,序号为n 的项叫第n 项(也叫通项),记作a n . (2) 数列的一般形式:a 1,a 2,a 3,…,a n ,…,简记作{a n }.2.通项公式的定义:如果数列{a n }的第n 项与n 之间的关系可以用一个公式表示,那么这个公式就叫这个数列的通项公式.说明:(1) {a n }表示数列,a n 表示数列中的第n 项,a n = f (n )表示数列的通项公式;(2) 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一.例如,a n = ( 1)n =1,21()1,2n k k n k -=-⎧∈⎨=⎩Z ;(3) 不是每个数列都有通项公式.例如,1,1.4,1.41,1.414,….(4) 从函数观点看,数列实质上是定义域为正整数集N *(或它的有限子集)的函数f (n ),当自变量n 从1开始依次取值时对应的一系列函数值f (1),f (2),f (3),…,f (n ),….通常用a n 来代替f (n ),其图象是一群孤立的点.3.数列的分类:(1) 按数列项数是有限还是无限分:有穷数列和无穷数列;(2) 按数列项与项之间的大小关系分:单调数列(递增数列、递减数列)、常数列和摆动数列.4.递推公式的定义:如果已知数列{a n }的第1项(或前几项),且任一项a n 与它的前一项a n 1 (或前几项)间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式. 5.数列{a n }的前n 项和的定义:S n = a 1 + a 2 + a 3 + … +a n =1nk k a =∑称为数列{a n }的前n 项和数 列数列的概念数列的定义数列的分类 数列的性质等差数列与等比数列等差数列与等比数列的概念等差数列与等比数列的性质 等差数列与等比数列的基本运算数列的求和倒序相加 错位相减裂项相消 其他方法数列应用.要理解S n 与a n 之间的关系. 6.等差数列的定义:一般地,如果一个数列从第.2.项起..,每一项与它的前一项的差等于同一个常数..,那么这个数列就叫等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d 表示. 即:{a n }为等比数列 a n + 1 a n = d 2a n + 1 = a n + a n + 2 a n = kn + b S n = An 2 + Bn . 7.等比数列的定义:一般地,如果一个数列从第.2.项起..,每一项与它的前一项的比等于同一个常数..,那么这个数列就叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比.公比通常用字母q 表示(q 0),即:{a n }为等比数列 a n + 1 :a n = q (q 0) 212n n n a a a ++=.注意条件“从第2项起”、“常数”q .由定义可知:等比数列的公比和项都不为零. 二、等差、等比数列的性质:等差数列(AP ) 等比数列(GP ) 通项公式 a n = a 1 + (n 1)d a n = a 1q n 1 (a 1 0,q 0)前n 项和11()(1)22n n n a a n n S na d+-==+11,1,(1), 1.1n n na q S a q q q=⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩性质 ①a n = a m + (n m )d ①a n = a m q n m ②m + n = s + t ,则a m + a n = a s +a t②m + n = s + t ,则a m a n = a s a t③S m ,S 2m S m ,S 3m S 2m ,…成AP ③S m ,S 2m S m ,S 3m S 2m ,…成GP(q 1或m 不为偶数)④a k ,a k + m ,a k + 2m ,…成AP ,d= md④a k ,a k + m ,a k + 2m ,…成GP ,q = q ma n 2.三个数成等差的设法:a d ,a ,a + d ;四个数成等差的设法:a 3d ,a d ,a + d ,a + 3d ;3.三个数成等比的设法:a /q ,a ,aq ;四个数成等比的错误设法:a /q 3,a /q ,aq ,aq 3 (为什么?)4.{a n }为等差数列,则{}na c (c > 0)是等比数列.5.{b n } (b n > 0)是等比数列,则{log c b n } (c > 0且c ≠1) 是等差数列.6.公差为d 的等差数列{a n }中,若d > 0,则{a n }是递增数列;若d = 0,则{a n }是常数列;若d < 0,则{a n }是递减数列. 7.等比数列{a n }中,若公比为q ,则(1) 当a 1 > 0,q > 1或a 1 < 0,0 < q < 1时为递增数列; (2) 当a 1 < 0,q > 1或a 1 > 0,0 < q < 1时为递减数列;(3) 当q < 0时为摆动数列; (4) 当q = 1时为常数列. 8.等差数列前n 项和最值的求法:(1) a 1 > 0,d < 0时,S n 有最大值;a 1 < 0,d > 0时,S n 有最小值.(2) S n 最值的求法:① 若已知S n ,可用二次函数最值的求法(n N *);② 若已知a n ,则S n 取最值时n 的值(n N *)可如下确定:S n 最大值10n n a a +≥⎧⎨≤⎩(或S n 最小值10n n a a +≤⎧⎨≥⎩).三、常见数列通项的求法:1.定义法(利用AP ,GP 的定义). 2.累加法(a n + 1 a n = c n 型):a n = a 1 + (a 2 a 1) + (a 3 a 2) + … + (a n a n 1) = a 1 + c 1 + c 2+ … + c n 1(n 2).3.公式法:11(1)(2)n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩.4.累乘法(1n n na c a +=型):a n = a 132121nn a a a a a a -⋅⋅⋅= a 1 c 1 c 2…c n 1(n2).5.待定系数法:a n + 1 = qa n + b (q 0,q 1,b 0)型,转化为a n + 1 + x = q (a n + x ).可以将其改写变形成如下形式:a n + 1 +1bq -= q (a n +1b q -),于是可依据等比数列的定义求出其通项公式. 6.间接法(例如:a n + 1 a n = 4a n + 1a n1114n na a +-=-). 四、数列的求和方法:除化归为等差数列或等比数列求和外,还有以下一些常用方法:1.拆项求和法(a n = b n c n ):将一个数列拆成若干个简单数列(如等差数列、等比数列、常数数列等等),然后分别求和.如a n = 2n + 3n .2.并项求和法:将数列的相邻两项(或若干项)并成一项(或一组)先求和,然后再求S n . 如“22222222123456(21)(2)n S n n =-+-+-++--”的求和.3.裂项相消法:将数列的每一项拆(裂开)成两项之差,即a n = f (n + 1) f (n ),使得正负项能互相抵消,剩下首尾若干项.用裂项相消法求和,需要掌握一些常见的裂项,如:1111()()()n a An B An C C B An B An C ==-++-++、1(1)n n +=1n11n +、1()a b a ba b =--+等. 4.错位相减法:将一个数列的每一项都作相同的变换,然后将得到的新数列错动一个位置与原数列的各项相减,这是仿照推导等比数列前n 项和公式的方法.对一个由等差数列及等比数列对应项之积组成的数列的前n 项和,常用错位相减法.即错位相减法一般只要求解决下述数列的求和:若a n = b n c n ,其中{b n }是等差数列,{c n }是等比数列,则数列{a n }的求和运用错位相减法.记S n = b 1c 1 + b 2c 2 + b 3c 3 + … + b n c n ,则qS n = b 1c 2 + b 2c 3 + … + b n 1c n + b n c n + 1,… 如a n = (2n 1) 2n .5.倒序相加法:将一个数列的倒数第k 项(k = 1,2,3,…,n )变为顺数第k 项,然后将得到的新数列与原数列相加,这是仿照推导等差数列前n 项和公式的方法. 注意:(1) “数列求和”是数列中的重要内容,在中学高考范围内,学习数列求和不需要学习任何理论,上面所述求和方法只是将一些常用的数式变换技巧运用于数列求和之中.(2) “错位”与“倒序”求和的方法是比较特殊的方法.(3) 数列求通项及和的方法多种多样,要视具体情形选用合适的方法. (4) 重要公式:① 1 + 2 + … + n =12n (n + 1); ② 12 + 22 + … + n 2 =16n (n + 1)(2n + 1);③ 13 + 23 + … +n 3 = (1 + 2 + … + n )2 =14n 2(n + 1)2;*④ 等差数列中,S m + n = S m + S n + mnd ;*⑤ 等比数列中,S m + n = S n + q n S m = S m + q m S n .五、分期付款(按揭贷款):每次还款(1)(1)1nn ab b x b +=+-元(贷款a 元,n 次还清,每期利率为b ).如有侵权请联系告知删除,感谢你们的配合!。