立体几何(向量法)—建系讲义

立体几何（向量法）—建系

引入空间向量坐标运算，使解立体几何问题避免了传统方法进行繁琐的空间分析，只需建立空间直角坐标系进行向量运算，而如何建立恰当的坐标系，成为用向量解题的关键步骤之一．所谓“建立适当的坐标系”，一般应使尽量多的点在数轴上或便于计算。 一、利用共顶点的互相垂直的三条线构建直角坐标系

例1（2012高考真题重庆理19）（本小题满分12分 如图，在直三棱柱111C B A ABC - 中，AB=4，AC=BC=3，D 为AB 的中点

（Ⅰ）求点C 到平面11ABB A 的距离;

（Ⅱ）若11AB A C ⊥求二面角 的平面角的余弦值.

【答案】解：(1)由AC ＝BC ，D 为AB 的中点，得CD ⊥AB .又CD ⊥AA 1，故

CD ⊥面A 1ABB 1，所以点C 到平面A 1ABB 1的距离为

CD ＝BC 2－BD 2＝ 5.

(2)解法一：如图，取D 1为A 1B 1的中点，连结DD 1，则DD 1∥AA 1∥CC 1.又由(1)知CD ⊥面A 1ABB 1，故CD ⊥A 1D ，CD ⊥DD 1，所以∠A 1DD 1为所求的二面角A 1－CD －C 1的平面角．

因A 1D 为A 1C 在面A 1ABB 1上的射影，又已知AB 1⊥A 1C ，由三垂线定理的逆定理得AB 1⊥A 1D ，从而∠A 1AB 1、∠A 1DA 都与∠B 1AB 互余，因此∠A 1AB 1＝∠A 1DA ，所以Rt △A 1AD ∽Rt △B 1A 1A .因此AA 1AD ＝A 1B 1

AA 1

，即AA 21＝AD ·

A 1

B 1＝8，得AA 1＝2 2.

从而A 1D ＝AA 21＋AD 2

＝2 3.

所以，在Rt △A 1DD 1中， cos ∠A 1DD 1＝DD 1A 1D ＝AA 1A 1

D ＝63.

解法二：如图，过D 作DD 1∥AA 1交A 1B 1于点D 1，在直三棱柱中，易知DB ，DC ，DD 1两两垂直．以D 为原点，射线DB ，DC ，DD 1分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴建立空间直角坐标系D －xyz .

设直三棱柱的高为h ，则A (－2,0,0)，A 1(－2,0，h )，B 1(2,0，h )，C (0，5，0)，C 1(0，5，h )，从而AB 1→＝(4,0，h )，A 1C →

＝(2，5，－h )．

由AB 1→⊥A 1C →，有8－h 2

＝0，h ＝2 2. 故DA 1→＝(－2,0,22)，CC 1→＝(0,0,22)，DC →＝ (0，5，0)．

设平面A 1CD 的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，则m ⊥DC →，m ⊥DA 1→，即 ⎩⎨⎧

5y 1＝0，－2x 1＋22z 1＝0，

取z 1＝1，得m ＝(2，0,1)，

设平面C 1CD 的法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)，则n ⊥DC →，n ⊥CC 1→，即

⎩⎨⎧

5y 2＝0，22z 2

＝0， 取x 2＝1，得n ＝(1,0,0)，所以 cos 〈m ，n 〉＝m·n |m ||n |＝

22＋1·1

＝6

3. 所以二面角A 1－CD －C 1的平面角的余弦值为

6

3

.

二、利用线面垂直关系构建直角坐标系

例 2.如图所示，AF 、DE 分别是圆O 、圆1O 的直径，AD 与两圆所在的平面均垂直，

8AD =.BC 是圆O 的直径，6AB AC ==,//OE AD .

(I)求二面角B AD F --的大小； (II)求直线BD 与EF 所成的角的余弦值. 19.解：(Ⅰ)∵AD 与两圆所在的平面均垂直,

∴AD⊥AB, AD⊥AF,故∠BAD 是二面角B —AD —F 的平面角， 依题意可知，ABCD 是正方形，所以∠BAD＝450

. 即二面角B —AD —F 的大小为450

；

(Ⅱ)以O 为原点，BC 、AF 、OE 所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系（如图所示），则O （0，0，0），A （0，23-，0），B （23，0，0）,D （0，23-，8），E （0，0，8），F （0，23，0）

所以，)8,23,0(),8,23,23(-=--=FE BD

10

82

82

10064180|

|||,cos =

⨯++=

>=

82

|,cos |cos =

><=EF BD α直线BD 与EF 所成的角为余弦值为

8210

．

三、利用图形中的对称关系建立坐标系

例3 （2013年重庆数学（理））如图,四棱锥P ABCD -中,PA ABCD ⊥底面,

2,4,3

BC CD AC ACB ACD π

===∠=∠=

,F 为PC 的中点,AF PB ⊥.

(1)求PA 的长; (2)求二面角B AF D --的正弦值.

【答案】

解：(1)如图，联结BD 交AC 于O ，因为BC ＝CD ，即△BCD 为等腰三角形，又AC 平分∠BCD ，故AC ⊥BD .以O 为坐标原点，OB →，OC →，AP →

的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系O －xyz ，则OC ＝CD cos π3＝1，而AC ＝4，得AO ＝AC －OC ＝3.又OD ＝CD sin

π

3＝3，故A (0，－3，0)，B (3，0，0)，C (0，1，0)，D (－3，0，0)．

因P A ⊥底面ABCD ，可设P (0，－3，z )，由F 为PC 边中点，得F ⎝⎛⎭⎫0，－1，z 2，又AF →

＝⎝⎛⎭⎫0，2，z 2，PB →＝(3，3，－z )，因AF ⊥PB ，故AF →·PB →＝0，即6－z 2

2

＝0，z ＝2 3(舍去－2 3)，所以|P A →

|＝2 3.

(2)由(1)知AD →＝(－3，3，0)，AB →＝(3，3，0)，AF →

＝(0，2，3)．设平面F AD 的法向量为1＝(x 1，y 1，z 1)，平面F AB 的法向量为2＝(x 2，y 2，z 2)．

由1·AD →＝0，1·AF →＝0，得

⎩⎨

⎧－3x 1＋3y 1＝0，

2y 1＋3z 1＝0，

因此可取1＝(3，3，－2)． 由2·AB →＝0，2·AF →＝0，得

⎩⎨

⎧3x 2＋3y 2＝0，

2y 2＋3z 2＝0，

故可取2＝(3，－3，2)． 从而向量1，2的夹角的余弦值为 cos 〈1，2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝1

8

.