2019年浙江高考数学卷最后一题解题思路

2019年浙江高考数学卷最后一题解题思路
试题：f(x)=alnx+√(x+1)（a≠0,x＞0）
1、当a=-3/4时，求函数单调区间；
2、对任意x∈[1/e2 ，∞），均有f(x)≤√x/2a，求a的取值范围。

第一问，需要强调的是用一级导数作为工具，应该使学生明白y*=△y/△x，y*＞0单调上升，是因为△x＞0；反之y*＜0则下降。

解题有个技巧，即y*=a/x+1/2√(x+1)，通分后其分子项为(x+1)+2a√(x+1)-1，这样因式分解容易得到
（√(x+1)－2）（√(x+1)+1/2），故x∈[3，∞）f(x)单调上升；x∈（0，3）则单调下降。

第二问，只要抓住关键字“对任意的x”，自然将x=1代入，因为lnx=0，从而√2≤1/2a→0＜a≤√2/4。

问题尚未结束，可能存在其它的x值，a的取值范围更窄（如0＜a≤√2/6），因此需要基于递增函数lnx在不同区间进行讨论：
令二元函数F(t,a)=√(t2+1)+2alnt－t/2a（t=√x>0，t∈[1/e，∞）1、t∈[1，∞），F(t,a)max=F(t,√2/4)=√(t2+1)+lnt/√2－√2·t
求一级导数F(t,√2/4)*=t/√(t2+1)+1/t√2－√2;
求二级导数F(t,√2/4)* *=1/(t2+1)√(t2+1)－1/t2√2＜0，即一级导数函数为单调递减函数F(t,√2/4)*＜F(1,√2/4)*=0。

故=F(t,√2/4)为单调递减函数F(t,a)max=F(1,√2/4)=0，即
命题不等式F(t,a)≤0成立。

2、t∈[1/e，1），lnt=－lnt-1＜0，用t替换t-1，使t∈（1，e]，并令F(u=1/2a)=F(t,a)/2at=－u2+√(t2+1)·u－t lnt-，
F(u)= －(u－√(t2+1)/2)2+(t2+1)/4－t lnt-，t固定时F(u)为
开口向下的抛物线，判别式函数△(t)= (t2+1)/4－t lnt：
(1)△(t) ≤0，F(u)≤0，命题不等式F(t,a)≤0成立；
(2)△(t)＞0，F(u)有两个零点u1(t )和u2(t )：
u1(t )=√(t2+1)/2－√△(t)，u2(t )=√(t2+1)/2+√△(t)。

根据抛物线图像特点F(u1＜u＜u2) ＞0，F(u≥u2)≤0，由于1/2a≥√2，如果u2≤√2，那么F(t,a)=F(u=1/2a≥√2)≤0成立。

用反证法证明u2≤√2，即，设√(t2+1)/2+√△(t)＞√2→
√2·√(t2+1) －t lnt＞2，令f(t)=√2·√(t2+1) －t lnt，f(t) ＞2：求一级导数f(t)* =√2·t/√(t2+1) －(1+ lnt )；
求二级导数f(t)* * =√2/(t2+1)√(t2+1)－1/t＜0， f(t)*为单调递减函数，故f(t)*＜f(1)*=0，f(t) 为单调递减函数；故f(t)＜
f(1)=2，与假设矛盾。

结论满足命题0＜a≤√2/4。

（钱自强提供）。