数学认知结构
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推）关系所形成的结构叫做等价命题网络。我们称一个等 价命题网络的图式为典型命题A的命题域。 命题域的含义：①命题域是个体头脑中的命题网络， 是个体数学认知结构的组成部分；②命题网络中的所有命 题在逻辑上等价；③命题域与命题网络的组织形式有关； ④典型命题往往构成命题域的核心，是个体在应用命题时 最容易提取的因素。
实验模式（如下图所示）：
研究过程
1、被 ． 2、 前
试
选取南京市某中学高一 5 个班的 316 名学生作为被试 测 自由回忆．给定一个目标，让被试回忆与该目 有关的知识． 辨认推理．给出一个图形以及图形满足的条
让被试完成下面 3 项作业． 作业 1 标 作业 2
件，让被试去推测与图形有关的若干结论。
经过学习者对外显知识的感知、理解、内化进而贮存于
个人长时记忆系统中、相互联系的陈述性知识、程序性 知识和过程性知识组成的结构。
3.2.1 概念域和概念系理论
1. 概念域
例1 ：关于等差数列的定义． 数列{an}是等差数列，当且仅当an+1–an = d，其中d 为常 数，n N ，n≥1． 数列{an}是等差数列，当且仅当an+1–an = an–an–1， n N ，n≥2． 数列{a }是等差数列，当且仅当a = a +(n–1) d，其中d n n 1 为常数，n N n≥2． 数列{a }是等差数列，当且仅当a = a +(n–m) d，其中d n n m 为常数，n，m N ，n≥1． ……
例：“四边形”的概念系是下面概念的网络的图式：
设 A ：四边形 ； B ：平行四边形； C ：矩形； D ：菱形； E ：正方形； F ：梯形； G ：等腰梯形； H ：直角梯形。这些 概念形成下图概念网络。
C E
B
A F
D
G
H
2.概念系
徐利治等提出了数学抽象度概念与抽象度分析法，认为
数学对象之间可用3 种抽象关系来刻画： （1）弱抽象．从数学结构A中选取某一特征（侧面）加以
认知结构与知识结构差别和联系:
内部的 — 外部的 隐含的 — 明确的 多种的 — 单一的 可变的 — 固定的
3.1.2 数学认知结构的特征
曹才翰认为：“数学认知结构就是学生头脑中的数 学知识按照自己理解的深度、广度，结合自己的感觉、知 觉、记忆、思维、联想等认知特点，组合成的一个具有内 部规律的整体结构。 他将数学认知结构的特点归纳为8点（见书48面）。 刘斌认为，数学认知结构是学习者头脑中的数学知识结 构，即数学知识结构通过内化在学习者头脑中所形成的观 念的内容和组织。数学认知结构包括横、纵两个方面。
过程性 知识表 征的两 个层面
↗
关系表征：个体对知识发展过程中 知识之间存在某些关系的体悟。
↘ 观念表征：对知识之间发生关系的 缘由的体悟，其成分更多是一种元
认知体验。
4. CPFS结构与数学学习迁移的关系 桑代克提出了迁移的相同要素说；贾德提出了迁移概括 说；安德森提出产生式迁移理论。（共同要素说） 奥苏伯尔针对传统迁移理论的不足，提出了认知结构迁 移理论。①迁移指先前的经验对当前学习的影响，这种先前 的经验是累积的获得、依据一定的层次组织，且在组织上是 同新的学习任务有机的联系着的原有知识体系；②过去经验 的特征，不是指前后两个学习课题在刺激和反应方面的相似 程度，而是指学生在一定知识领域内的认知结构的组织特 征；③在一般的课堂学习中，并不存在孤立的课题A和课题B 的学习。学习A是学习B的前提和准备，学习B不是鼓励的， 而是在同A的联系中学习。凡是认知结构影响新的认知功 能，就存在迁移。
可反映认知结构的优良程度的三个变量： ①可利用性； ②可辨别性；
③稳定性。
①内涵不同，知识结构是以外显的文本形式表 现的知识体系，具有客观性；而认知结构是经 过学习者主观改造的知识结构，既具有知识结 构的客观性，又具有个体对知识建构的主观性。 ②结构的构造方式不同，作为课程内容的知识 是一个相对严密的逻辑体系，结构相对完善 ③两者的完备性不同，教材中的知识结构在内容 上是相对系统的、完备的、无缺口的。
概念系：
简单地说，就是在个体头脑中形成的概念 网络，这个网络中的概念间存在一些特定的数学 关系。
概念域与概念系有什么关系？
3.2.2 命题域与命题系理论
1.命题域
与命题A等价的所有命题组成的命题集叫做命题A的等 价类，记为{A},并称A为典型命题。
典型命题A的等价命题类{A}连同这些命题之间的（互
一个概念 C 的所有等价定义的图式，叫做概念 C 的概念 域．具体地说，其含义是： ① 概念域是个体对数学概念的一种心理表征。
②概念域是指某个概念的一些等价定义在头脑中形成的 命题网络和表象。 ③命题网络中各节点的关系是等价关系。“等价”是指 两个概念的命题具有相同的真值，或两个概念可以互相推 出。
如果两个结构之间存在同构关系，则一个结构中的命题 在另一个结构中必有对应的等价形式，我们称具有同构关系 的命题网络的图式为广义命题域。 例：“两直线平行的充要条件”的命题域是下面一些等价命 题的图式：
同位角相等 两直线平行；
同旁内角互补 两直线平行。
内错角相等 两直线平行；
上面的命题与在平面直角坐标系结构中的命题一起构成“两直线平行的 充要条件”的广义命题域： 设两直线 l1 : A1x B1 y C1 0
抽象，从而获得比原结构更广的结构B，使原结构成为后者
的特例．就称A到B的抽象为弱抽象。 （2）强抽象．通过引入新的特征来强化原结构A，使获得的 新的概念或理论B，B是原型A的特例，则称A到B的抽象为强 抽象． （3）广义抽象．在定义概念B 时用到了概念A，或者在证明 命题 B 时用到了命题 A，则称 B是 A的广义抽象，即 B比 A抽象。
概念域、概念系、命题域、命题系形成的结构称为CPFS结构。
等值抽象关系、或强抽象关系、或弱抽象关系、或广义抽象关
系．②网络中各知识点之间的连结包含着数学方法，即“连线 集”为一个“方法系统”．
2. CPFS结构与数学认知结构的关系 (1) CPFS结构是数学学习特有的认知结构
① 从CPFS 结构来看，它精确地描绘了数学概念、命题及 其关系在头脑中的组织形式． ②CPFS 结构揭示了概念、命题之间的联系。因此,CPFS 结构是一种数学认知结构。
l1 // l2
l2 : A2 x B2 y C2 0 ，则
A1 B1 C1 A2 B.2 C2
பைடு நூலகம்
2.命题系
如果一组命题A1，A2⋯An 存在推出关系（广义抽
象）： A1 A2 An ， 则称为一条命题链，记为
={A1 ,A2,⋯，An}．如果m 条命题链中的每一条都至少与其
（3）对过程性知识的理解 过程性知识与程序性知识的共通之处是是两者都是动态 型知识，但两者的内涵不同。 1 、过程性知识是指个体对数学知识发生发展过程的体验性 知识； 2 、程序性知识通过一定量的练习后习得，过程性知识则难； 3 、程序性知识往往针对某个知识点而言，过程性知识则关 注知识点之间的关系。
③数学理解是一个动态过程，是认知结构的建构和知识意义
的建构过程。
作者将数学理解解释为对知识的正确、完整、合理的表征。
根据对知识的分类对数学理解作出解释如下：
（1）对陈述性知识的理解 陈述性知识以命题、表象和线性排序3种形式作为基本 表征单位，人的知识表征往往组合了这三种形式而形成对知 识的综合表征图式。CPFS结构准确地描述了这种综合表征图 式，对数学陈述性知识的理解是：知识的基本单元表征→形 成命题网络→获得图式。 （2）对程序性知识的理解 程序性数学知识的表征是产生式和产生式系统。个体的 CPFS结构中联系各命题之间的关系，包含程序性知识中的策 略性知识，其表征是一种双向产生式。 因此，学习者对程序性数学知识的理解，是指他建立了 双向产生式和产生式系统。
④在概念域的命题网络中存在一个典型命题。称一个概 念C的基本定义为C的典型定义。
广义概念域：具有同构关系的概念网络的图式
例：“直线”的广义概念域是下面不同结构中等价定义的 图式：
平面直角坐标系中一般方程： Ax By C 0 B不全为0. 其中A、
平面直角坐标系中参数方程： x x1 cos , y y1 sin 极坐标系： cos( ) p
余一条相交（交集非空），那么称这m 条链组成的系统为半
等价命题网络．一个半等价命题网络的图式称为命题系。在
同构的结构中，可以定义广义命题系。我们称具有潜在关系 的命题网络的图式内隐命题系。
3.2.3 CPFS结构理论与数学学习
1. CPFS结构的含义 CPFS结构的含义是：① 个体头脑中内化的数学知识网络之 中．各知识点（概念、命题）处于一定位置，知识点之间具有
作业 3
命题应用，给出某条定理，要求被试自编该定
理应用的题目。
根据我们的研究目标，上述3项作业都是围绕检测 被试的 CPFS 结构展开的。
3、分
组
求出 316 名被试在测试中得分（3 项作业的分数之和）的
平均成绩 X 及标准差σ ，从而将被试分为 3 组，第 1 组
（ 104 人）每人的得分均不小于 X +σ，第 2 组（ 113 人 ）每人的得分介于 X −σ与 X +σ之间，第 3 组（99 人） 每人的得分均小于 X −σ．然后，在第 1 组中随机选取 50 人，记为 A 组，在第 3 组中随机选取 50 人，记为 B 组
显
认知结构的可辨别性和稳定性 ; 第二，CPFS结构有助于知识贮存和提取 ;
第三，CPFS结构融知识与方法于一体。
3. CPFS结构与数学理解的关系
基于行为主义、现代认知心理学、派里和基兰的研究，数 学理解的本质认识可概括为：①对数学概念、规则或方法的 理解，指个体建立了关于这些观念的内部网络 ②数学理解 的水平具有层次性，个体的差异往往表现为理解水平的差异
层次网络模型及激活扩散模型给出了一般知识的结构解 释，并没有明确说明知识之间的联系方式。CPFS理论更准 确刻画了数学知识在个体头脑中的组织形式，从该意义上 看， CPFS结构是数学学习特有的认知结构。
（2）CPFS结构是优良的数学认知结构
管鹏认为，良好的认知结构应具备3个条件： ①“双向产生式”； ②层次化、条理化； ③与有效的思维策略相联系。 奥苏伯尔认为良好的认知结构取决于三个变量： ①可利用性； ②可辨别性 ； ③稳定性。 作者对CPFS结构做出解析： 第一，个体形成 CPFS 结构是知识理解的基础，且凸
李士锜指出，数学认知结构在形式上看做是由结点和 联线组成的复杂的网络。 结点是结构中的元素或对象，联线是元素间存在的稳 定关系。最基本的形式有 3种：线性结构，树型结构和网 络结构。
线性结构
树型结构
网络结构
知识结点间可分为纵向的层次关系和横向的平面关系两类。
结合现代信息加工心理学的观点，喻平对数学 认知结构作了更明确的界定。所谓数学认知结构，就是
如果一组概念C1，C2，⋯，Cn 存在关系：
C1 R1 C2 R2⋯Rn– 1Cn （*）
其中Ri（i=1，2，⋯，n-1）表示强抽象、弱抽象、广义抽象
这3 种数学关系中的任意一种，那么称（*）为一条概念链， 记为 w ={C1，C2，⋯，Cn }．如果2 条概念链的交集非空， 则称这2 条链相交．如果m 条概念链中至少有一条与其余的 链都相交，那么称这m 条链的图式为概念系．
总的来说，合理、完善和优良的 CPFS 结构， 一方面表明头脑中贮存了丰富的陈述性知识和程 序性知识；另一方面确定了这些知识在长时记忆 中的合理定位，更重要的是明晰了各知识点之间 的联系，保证有足够的信息提取源且通过命题网 络中各知识点之间的相互激活，为迁移的产生提 供了通道。
下面介绍一个研究案例
3.1.1 认知结构的内涵
皮亚杰：
1、用图式来描述认知结构，图式是指个体对 世界的知觉、理解和思考的方式，可以把图 式看做是心理活动的框架或组织结构； 2、图式是认知结构的核心。
信 息
→ ←
原 认 知 结 构
→ → →
同化
顺应 平衡
↘ → ↗
新 的 认 知 结 构
奥苏伯尔： 认知结构是“指某一个人的各种观念 的全部内容和组织；或者就教材学习方面 说，指学生在某一特定的知识领域内的各 种观念的内容和组织”。
实验模式（如下图所示）：
研究过程
1、被 ． 2、 前
试
选取南京市某中学高一 5 个班的 316 名学生作为被试 测 自由回忆．给定一个目标，让被试回忆与该目 有关的知识． 辨认推理．给出一个图形以及图形满足的条
让被试完成下面 3 项作业． 作业 1 标 作业 2
件，让被试去推测与图形有关的若干结论。
经过学习者对外显知识的感知、理解、内化进而贮存于
个人长时记忆系统中、相互联系的陈述性知识、程序性 知识和过程性知识组成的结构。
3.2.1 概念域和概念系理论
1. 概念域
例1 ：关于等差数列的定义． 数列{an}是等差数列，当且仅当an+1–an = d，其中d 为常 数，n N ，n≥1． 数列{an}是等差数列，当且仅当an+1–an = an–an–1， n N ，n≥2． 数列{a }是等差数列，当且仅当a = a +(n–1) d，其中d n n 1 为常数，n N n≥2． 数列{a }是等差数列，当且仅当a = a +(n–m) d，其中d n n m 为常数，n，m N ，n≥1． ……
例：“四边形”的概念系是下面概念的网络的图式：
设 A ：四边形 ； B ：平行四边形； C ：矩形； D ：菱形； E ：正方形； F ：梯形； G ：等腰梯形； H ：直角梯形。这些 概念形成下图概念网络。
C E
B
A F
D
G
H
2.概念系
徐利治等提出了数学抽象度概念与抽象度分析法，认为
数学对象之间可用3 种抽象关系来刻画： （1）弱抽象．从数学结构A中选取某一特征（侧面）加以
认知结构与知识结构差别和联系:
内部的 — 外部的 隐含的 — 明确的 多种的 — 单一的 可变的 — 固定的
3.1.2 数学认知结构的特征
曹才翰认为：“数学认知结构就是学生头脑中的数 学知识按照自己理解的深度、广度，结合自己的感觉、知 觉、记忆、思维、联想等认知特点，组合成的一个具有内 部规律的整体结构。 他将数学认知结构的特点归纳为8点（见书48面）。 刘斌认为，数学认知结构是学习者头脑中的数学知识结 构，即数学知识结构通过内化在学习者头脑中所形成的观 念的内容和组织。数学认知结构包括横、纵两个方面。
过程性 知识表 征的两 个层面
↗
关系表征：个体对知识发展过程中 知识之间存在某些关系的体悟。
↘ 观念表征：对知识之间发生关系的 缘由的体悟，其成分更多是一种元
认知体验。
4. CPFS结构与数学学习迁移的关系 桑代克提出了迁移的相同要素说；贾德提出了迁移概括 说；安德森提出产生式迁移理论。（共同要素说） 奥苏伯尔针对传统迁移理论的不足，提出了认知结构迁 移理论。①迁移指先前的经验对当前学习的影响，这种先前 的经验是累积的获得、依据一定的层次组织，且在组织上是 同新的学习任务有机的联系着的原有知识体系；②过去经验 的特征，不是指前后两个学习课题在刺激和反应方面的相似 程度，而是指学生在一定知识领域内的认知结构的组织特 征；③在一般的课堂学习中，并不存在孤立的课题A和课题B 的学习。学习A是学习B的前提和准备，学习B不是鼓励的， 而是在同A的联系中学习。凡是认知结构影响新的认知功 能，就存在迁移。
可反映认知结构的优良程度的三个变量： ①可利用性； ②可辨别性；
③稳定性。
①内涵不同，知识结构是以外显的文本形式表 现的知识体系，具有客观性；而认知结构是经 过学习者主观改造的知识结构，既具有知识结 构的客观性，又具有个体对知识建构的主观性。 ②结构的构造方式不同，作为课程内容的知识 是一个相对严密的逻辑体系，结构相对完善 ③两者的完备性不同，教材中的知识结构在内容 上是相对系统的、完备的、无缺口的。
概念系：
简单地说，就是在个体头脑中形成的概念 网络，这个网络中的概念间存在一些特定的数学 关系。
概念域与概念系有什么关系？
3.2.2 命题域与命题系理论
1.命题域
与命题A等价的所有命题组成的命题集叫做命题A的等 价类，记为{A},并称A为典型命题。
典型命题A的等价命题类{A}连同这些命题之间的（互
一个概念 C 的所有等价定义的图式，叫做概念 C 的概念 域．具体地说，其含义是： ① 概念域是个体对数学概念的一种心理表征。
②概念域是指某个概念的一些等价定义在头脑中形成的 命题网络和表象。 ③命题网络中各节点的关系是等价关系。“等价”是指 两个概念的命题具有相同的真值，或两个概念可以互相推 出。
如果两个结构之间存在同构关系，则一个结构中的命题 在另一个结构中必有对应的等价形式，我们称具有同构关系 的命题网络的图式为广义命题域。 例：“两直线平行的充要条件”的命题域是下面一些等价命 题的图式：
同位角相等 两直线平行；
同旁内角互补 两直线平行。
内错角相等 两直线平行；
上面的命题与在平面直角坐标系结构中的命题一起构成“两直线平行的 充要条件”的广义命题域： 设两直线 l1 : A1x B1 y C1 0
抽象，从而获得比原结构更广的结构B，使原结构成为后者
的特例．就称A到B的抽象为弱抽象。 （2）强抽象．通过引入新的特征来强化原结构A，使获得的 新的概念或理论B，B是原型A的特例，则称A到B的抽象为强 抽象． （3）广义抽象．在定义概念B 时用到了概念A，或者在证明 命题 B 时用到了命题 A，则称 B是 A的广义抽象，即 B比 A抽象。
概念域、概念系、命题域、命题系形成的结构称为CPFS结构。
等值抽象关系、或强抽象关系、或弱抽象关系、或广义抽象关
系．②网络中各知识点之间的连结包含着数学方法，即“连线 集”为一个“方法系统”．
2. CPFS结构与数学认知结构的关系 (1) CPFS结构是数学学习特有的认知结构
① 从CPFS 结构来看，它精确地描绘了数学概念、命题及 其关系在头脑中的组织形式． ②CPFS 结构揭示了概念、命题之间的联系。因此,CPFS 结构是一种数学认知结构。
l1 // l2
l2 : A2 x B2 y C2 0 ，则
A1 B1 C1 A2 B.2 C2
பைடு நூலகம்
2.命题系
如果一组命题A1，A2⋯An 存在推出关系（广义抽
象）： A1 A2 An ， 则称为一条命题链，记为
={A1 ,A2,⋯，An}．如果m 条命题链中的每一条都至少与其
（3）对过程性知识的理解 过程性知识与程序性知识的共通之处是是两者都是动态 型知识，但两者的内涵不同。 1 、过程性知识是指个体对数学知识发生发展过程的体验性 知识； 2 、程序性知识通过一定量的练习后习得，过程性知识则难； 3 、程序性知识往往针对某个知识点而言，过程性知识则关 注知识点之间的关系。
③数学理解是一个动态过程，是认知结构的建构和知识意义
的建构过程。
作者将数学理解解释为对知识的正确、完整、合理的表征。
根据对知识的分类对数学理解作出解释如下：
（1）对陈述性知识的理解 陈述性知识以命题、表象和线性排序3种形式作为基本 表征单位，人的知识表征往往组合了这三种形式而形成对知 识的综合表征图式。CPFS结构准确地描述了这种综合表征图 式，对数学陈述性知识的理解是：知识的基本单元表征→形 成命题网络→获得图式。 （2）对程序性知识的理解 程序性数学知识的表征是产生式和产生式系统。个体的 CPFS结构中联系各命题之间的关系，包含程序性知识中的策 略性知识，其表征是一种双向产生式。 因此，学习者对程序性数学知识的理解，是指他建立了 双向产生式和产生式系统。
④在概念域的命题网络中存在一个典型命题。称一个概 念C的基本定义为C的典型定义。
广义概念域：具有同构关系的概念网络的图式
例：“直线”的广义概念域是下面不同结构中等价定义的 图式：
平面直角坐标系中一般方程： Ax By C 0 B不全为0. 其中A、
平面直角坐标系中参数方程： x x1 cos , y y1 sin 极坐标系： cos( ) p
余一条相交（交集非空），那么称这m 条链组成的系统为半
等价命题网络．一个半等价命题网络的图式称为命题系。在
同构的结构中，可以定义广义命题系。我们称具有潜在关系 的命题网络的图式内隐命题系。
3.2.3 CPFS结构理论与数学学习
1. CPFS结构的含义 CPFS结构的含义是：① 个体头脑中内化的数学知识网络之 中．各知识点（概念、命题）处于一定位置，知识点之间具有
作业 3
命题应用，给出某条定理，要求被试自编该定
理应用的题目。
根据我们的研究目标，上述3项作业都是围绕检测 被试的 CPFS 结构展开的。
3、分
组
求出 316 名被试在测试中得分（3 项作业的分数之和）的
平均成绩 X 及标准差σ ，从而将被试分为 3 组，第 1 组
（ 104 人）每人的得分均不小于 X +σ，第 2 组（ 113 人 ）每人的得分介于 X −σ与 X +σ之间，第 3 组（99 人） 每人的得分均小于 X −σ．然后，在第 1 组中随机选取 50 人，记为 A 组，在第 3 组中随机选取 50 人，记为 B 组
显
认知结构的可辨别性和稳定性 ; 第二，CPFS结构有助于知识贮存和提取 ;
第三，CPFS结构融知识与方法于一体。
3. CPFS结构与数学理解的关系
基于行为主义、现代认知心理学、派里和基兰的研究，数 学理解的本质认识可概括为：①对数学概念、规则或方法的 理解，指个体建立了关于这些观念的内部网络 ②数学理解 的水平具有层次性，个体的差异往往表现为理解水平的差异
层次网络模型及激活扩散模型给出了一般知识的结构解 释，并没有明确说明知识之间的联系方式。CPFS理论更准 确刻画了数学知识在个体头脑中的组织形式，从该意义上 看， CPFS结构是数学学习特有的认知结构。
（2）CPFS结构是优良的数学认知结构
管鹏认为，良好的认知结构应具备3个条件： ①“双向产生式”； ②层次化、条理化； ③与有效的思维策略相联系。 奥苏伯尔认为良好的认知结构取决于三个变量： ①可利用性； ②可辨别性 ； ③稳定性。 作者对CPFS结构做出解析： 第一，个体形成 CPFS 结构是知识理解的基础，且凸
李士锜指出，数学认知结构在形式上看做是由结点和 联线组成的复杂的网络。 结点是结构中的元素或对象，联线是元素间存在的稳 定关系。最基本的形式有 3种：线性结构，树型结构和网 络结构。
线性结构
树型结构
网络结构
知识结点间可分为纵向的层次关系和横向的平面关系两类。
结合现代信息加工心理学的观点，喻平对数学 认知结构作了更明确的界定。所谓数学认知结构，就是
如果一组概念C1，C2，⋯，Cn 存在关系：
C1 R1 C2 R2⋯Rn– 1Cn （*）
其中Ri（i=1，2，⋯，n-1）表示强抽象、弱抽象、广义抽象
这3 种数学关系中的任意一种，那么称（*）为一条概念链， 记为 w ={C1，C2，⋯，Cn }．如果2 条概念链的交集非空， 则称这2 条链相交．如果m 条概念链中至少有一条与其余的 链都相交，那么称这m 条链的图式为概念系．
总的来说，合理、完善和优良的 CPFS 结构， 一方面表明头脑中贮存了丰富的陈述性知识和程 序性知识；另一方面确定了这些知识在长时记忆 中的合理定位，更重要的是明晰了各知识点之间 的联系，保证有足够的信息提取源且通过命题网 络中各知识点之间的相互激活，为迁移的产生提 供了通道。
下面介绍一个研究案例
3.1.1 认知结构的内涵
皮亚杰：
1、用图式来描述认知结构，图式是指个体对 世界的知觉、理解和思考的方式，可以把图 式看做是心理活动的框架或组织结构； 2、图式是认知结构的核心。
信 息
→ ←
原 认 知 结 构
→ → →
同化
顺应 平衡
↘ → ↗
新 的 认 知 结 构
奥苏伯尔： 认知结构是“指某一个人的各种观念 的全部内容和组织；或者就教材学习方面 说，指学生在某一特定的知识领域内的各 种观念的内容和组织”。