(完整版)北师大版高中数学选修-高数学推理与证明测试题及答案

6 7 2 5 北师大版高中数学选修 2-2 高二数学推理与证明测试题及答案
2n + 1
A.
2
n -1
2n - 1
B.
2
n -1
n (n + 1) C ．
2n
D ．1－ 1
2n -1
试卷满分 100 分，考试时间 150 分钟
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分. 1、 下列表述正确的是（ ）.
①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理. A ．①②③； B ．②③④； C ．②④⑤； D ．①③⑤. 2、下面使用类比推理正确的是 （ ）.
A.“若 a ⋅ 3 = b ⋅ 3 ,则 a = b ”类推出“若 a ⋅ 0 = b ⋅ 0 ,则 a = b ”
B. “若(a + b )c = ac + bc ”类推出“ (a ⋅ b )c = ac ⋅ b c ”
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
11、一同学在电脑中打出如下若干个圈:○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…若将此若干个圈依此规律继续下去,得到一系列的圈,那么在前 120 个圈中的●的个数是 。

12、 类比平面几何中的勾股定理：若直角三角形 ABC 中的两边 AB 、AC 互相垂直，则三角形三边长之间满足关系： AB 2 + AC 2 = BC 2 。

若三棱锥 A-BCD 的三个侧面 ABC 、ACD 、ADB 两两互相垂直，则三棱锥的侧面积与底面积之间满足的关系为 .
13、从 1=1，1-4=-(1+2),1-4+9=1+2+3,1-4+9-16=-(1+2+3+4),…,推广到第n 个等式为 .
14、设平面内有ｎ条直线(n ≥ 3) ，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用
a +
b a b C. “若(a + b )
c = ac + bc ” 类推出“ = + c c c
D. “（b a ）n = a n b n ” 类推出“（a b ）+ n = a n + b n ”
（c≠0）”
f (n ) 表示这ｎ条直线交点的个数，则 f (4) = ；当ｎ＞４时， f (n )
＝ （用含 n 的数学表达式表示）。

三、解答题：本大题共 6 题，共 80 分。

3、 有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线b ⊆/ 平面，直线 a ⊂ 平面
，直线b ∥平面，则直线b ∥直线a ”的结论显然是错误的，这是因为
（ ）
≠
A.大前提错误
B.小前提错误
C.推理形式错误
D.非以上错误
4、用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于 60 度”时，反设正确的是（ ）。

(A)假设三内角都不大于 60 度； (B) 假设三内角都大于 60 度； (C) 假设三内角至多有一个大于 60 度； (D) 假设三内角至多有两个大于 60 度。

5、在十进制中2004 = 4 ⨯100 + 0 ⨯101 + 0 ⨯102 + 2 ⨯103 ，那么在 5 进制中数码 2004 折合成十进制为 （ ） A.29 B. 254 C. 602 D. 2004 1 - a n +2
6、利用数学归纳法证明“1＋a ＋a 2＋…＋a n ＋1=
， (a ≠1，n ∈N)”时，在验证 n=1 成立时，左边
1 - a
15、（14 分）求证：(1) a 2 + b 2 + 3 ≥ ab + 3(a + b ) ;
(2) + >2 + 。

应该是 （ ） (A)1 (B)1＋a (C)1＋a ＋a 2 (D)1＋a ＋a 2＋a 3
7、某个命题与正整数 n 有关，如果当 n = k (k ∈ N + ) 时命题成立，那么可推得当 n = k + 1时命题也成立. 现已知当n = 7 时该命题不成立，那么可推得 （ ）
A ．当 n=6 时该命题不成立
B ．当 n=6 时该命题成立
C ．当 n=8 时该命题不成立
D ．当 n=8 时该命题成立
8、用数学归纳法证明“ (n + 1)(n + 2) (n + n ) = 2n ⋅1⋅ 2 ⋅ ⋅ (2n - 1) ”（ n ∈ N + ）时，从“
16、设 a ，b ，x ，y ∈R ，且
（14 分）
n = k 到n = k + 1”时，左边应增添的式子是
（ ）
A ． 2k + 1
B ． 2(2k + 1)
2k + 1
C ．
k + 1 2k + 2
D ．
k + 1
9、已知 n 为正偶数，用数学归纳法证明
1 - 1 + 1 - 1 + + 1 = 2( 1 + 1 + + 1 ) 时，若
2
3
4 n - 1 n + 2 n + 4 2n
已假设 n = k (k ≥ 2 为偶数）时命题为真，则还需要用归纳假设再证 （ ）
A ． n = k + 1时等式成立
B ． n = k + 2 时等式成立
C ． n = 2k + 2 时等式成立
D ． n = 2(k + 2) 时等式成立 10、数列{a n }中，a 1=1，S n 表示前 n 项和，且 S n ，S n+1，2S 1 成等差数列，通过计算 S 1，S 2， S 3，
猜想当 n ≥1 时，S n =
（ ）
17、若a,b,c 均为实数，且, , ,
求证：a，b，c 中至少有一个大于0。

（14 分）
18、用数学归纳法证明：
19、数学归纳法证明：能被整除,. （15 分）
12 （Ⅰ）+
1⋅ 3 22
3 ⋅5
+ +
n 2
=
(2n - 1)(2n + 1)
n(n + 1)
；（7 分）
2(2n + 1)
20、已知数列{a n}满足S n＋a n＝2n＋1, (1) 写出a1, a2, a3,并推测a n的表达式；(2) 用数学归纳法证明
所得的结论。

（16 分）
（Ⅱ）1 +1
2
+
1
+
3
1
++
4
≤n ；（7 分）
2n- 1
1
6 2 5 42 第四十一中学高二数学选修 2-2《推理与证明测试题》答案
∴2k ＋1－a k ＋2a k ＋1＝2(k ＋1)＋1＝2k ＋3,
一、 选择题：本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分. 1
∴2a k ＋1＝2＋2－ 2k 1
, a k ＋1＝2－ 2
k +1 , DCABB CABBB
二、 填空题：本大题共 4 小题，每小题 3 分，共 12 分. 11、14 12、 即当 n ＝k ＋1 时,命题成立. 根据①②得 n ∈N + , a n ＝2－
1
都成立
n
2
13、
14、 5 ；
三、解答题：本大题共 6 题，共 58 分。

15、证明：（1） ∵ a 2 + b 2 ≥ 2ab ,
a 2 + 3 ≥ 2 3a ,
b 2 + 3 ≥ 2 3b ; 将此三式相加得
2 (a 2 + b 2 + 3) ≥ 2ab + 2 3a + 2 3b ,
∴ a 2 + b 2 + 3 ≥ ab + （2）要证原不等式成立，
3(a + b ) .
只需证（ + 即证2 > 2 7 ）
2 >（2 + ） 2 ， 。

∵上式显然成立, ∴原不等式成立.
16、可以用综合法与分析法---略 17、可以用反证法---略
18、（1）可以用数学归纳法---略
（2）当 n = k + 1时，左边= (1 + 1
+ +
2
1 2k - 1
) + ( 1 2k
+ +
1 2k +1 - 1
) ≤ k + （ 1 + 1 2k 2k + + 1 2k ） = k + 2k ⋅ 1 2k
= k + 1 =右边，命题正确
2k 项
19、可以用数学归纳法---略 20、解：
3 7 15 (1) a 1＝ , a 2＝ , a 3＝ ,
2
4
8
1 猜测 a n ＝2－
2
n
(2) ①由（1）已得当 n ＝1 时，命题成立；
1
②假设 n ＝k 时,命题成立，即 a k ＝2－
2k
,
当 n ＝k ＋1 时, a 1＋a 2＋……＋a k ＋a k ＋1＋a k ＋1＝2(k ＋1)＋1, 且 a 1＋a 2＋……＋a k ＝2k ＋1－a k
40。