齿轮接触分析
采用ABAQUS进行齿轮接触应力分析
采用ABAQUS进行齿轮接触应力分析采用ABAQUS进行齿轮接触应力分析 1 接触理论介绍及其在航空领域中的应用接触问题是土木、建筑、水利工程、石油化工、机械工程等领域中普遍存在的力学问题。
不管在接触边界之间是否有间隙存在，接触作用的出现对结构受载之后的接触状态和应力分布都有直接的影响，一方面通过接触可以提高整个结构的承载力和刚度或者可以起到减震作用;而另一方面也正是因为由于接触的存在，伴随着局部高应力，很容易使材料屈服或发生裂缝，如果再受到循环载荷的影响，还可能产生疲劳失效。
所以了解结构的接触状态和应力状态，对结构设计、施工及其补强措施，都有重要的意义。
两个物体在接触面上的相互作用是复杂的高度非线性力学现象，也是发生损伤失效和破坏的主要原因。
接触问题存在两个较大的难点:其一，在用户求解问题之前，不知道接触区域;其二，大多数的接触问题需要计算摩擦，可供挑选的几种摩擦定律和模型都是非线性的，使问题的收敛变得困难。
在飞机结构中，缝翼的运动是通过相互啮合的齿轮的旋转带动的，发动机带动齿轮的旋转是缝翼机构运动的动力来源。
齿轮是机械中广泛应用的传动零件之一，它具有功率范围大，传动效率高、传动比准确、使用寿命长等特点。
但从零件的失效情况来看，齿轮也是最容易出现故障的零件之一。
据统计，在各种机械故障中，齿轮失效就占总数的60%以上，其中齿面损坏又是齿轮失效的主要原因之一。
传动齿轮复杂的应力分布情况和变形机理又是造成齿轮设计困难的主要原因。
为此，人们对齿面接触及其应力分布进行了大量的研究。
有限元理论和各种有限元分析软件的出现，让普通设计人员无需对齿轮受力作大量的计算和研究就可以基本掌握齿轮的受力和变形情况，并可利用有限元软件进行结果分析，找出设计中的薄弱环节，进而达到对齿轮进行改进设计的目的。
2 采用ABAQUS进行齿轮接触分析的合理性齿轮结构对缝翼的运动起着决定性的作用，如果齿轮的接触不能满足强度要求，缝翼机构的运动将会受到严重影响。
齿轮动态接触分析对比
齿轮动态接触分析结果对比内容：对比分析APDL经典界面、命令流分析、理论计算的齿轮接触应力结果1.模型的几何尺寸两个齿轮的基本参数如表1，表2所示，其中齿厚为10mm，根据表中的数据可以计算出两个齿轮的中心距离为81mm。
表1.1大齿轮的基本参数表1.2小齿轮的基本参数2、单元的选择及材料常数用8节点SOLID185单元模拟齿轮，通过接触向导建立齿轮之间的接触对和齿轮的刚性约束，则接触单元和目标单元将自动分配，两个齿轮的材料均为45号钢。
3、边界条件主动齿轮，约束齿轮内缘的径向位移和轴向位移，大齿轮为被动齿轮约束径向位移和轴向位移。
模拟齿轮组工况为小齿轮均匀转速0.2rad/s，大齿轮承受1200N/m的阻力扭矩，计算时间为1s。
4、齿面接触应力图4.1直齿圆柱齿轮受力分析112/tan/costr tn tF T dF FF F==∂=∂载荷、齿面相对滑动方向、摩擦因数和润滑状态有关。
齿面接触应力中赫兹应力占主要部分，并以此应力为接触疲劳强度计算基础应力。
maxE=σ （ 式一）式中：Σρ--综合曲率半径，mm 。
121121sin cos sin ==212cos 1d d '''∂∂∂=••'±±∂±Σρρμμρρρμμ （式二）接触线长度与重合度有关，按式 计算：2=bL Z ε （式三）Z ε为接触疲劳强度计算的重合度系数，表达式为Z ε=（式四） 将综合半径和接触线长度代入（式一），同时引入载荷系数K H ,可得：[]H H E H E H Z Z Z Z Z εε=≤σσ 其中H Z --区域系数。
式中H σ、[]H σ的单位为MPa ，d 1的单位为mm 。
5、ansysAPDL 齿轮动态分析结果5.1时间历程后处理器通过时间历程后处理器我们可以将接触应力随着时间的变化值导出。
如图5.1时间历程后处理器所示图5.1时间历程后处理器5.2导出某一点的接触应力值选取某一单元节点，该点的的接触应力随时间的变化值如下所示：TIME ESOL CONTPRESCONTPRES_20.10000 0.000000.20000 0.000000.30000 0.000000.40000 0.000000.50000 0.000000.60000 0.000000.70000 0.000000.80000 0.000000.90000 0.000001.0000 0.000001.1000 0.000001.2000 0.000001.3000 0.000001.4000 0.000001.5000 0.000001.6000 0.000001.7000 0.000001.8000 0.000001.9000 0.000002.0000 0.000002.1000 0.000002.2000 0.000002.3000 0.000002.4000 0.000002.5000 0.142461E+0072.6000 0.884816E+0082.7000 0.176954E+0092.8000 0.263984E+0092.9000 0.349861E+0093.0000 0.434189E+0093.1000 0.522552E+0093.2000 0.608327E+0093.3000 0.653361E+0093.4000 0.701361E+0093.5000 0.748924E+0093.6000 0.794247E+0093.7000 0.842083E+0093.8000 0.888082E+0093.9000 0.935456E+0094.0000 0.983938E+0094.1000 0.102099E+0104.2000 0.104590E+0104.3000 0.107369E+0104.4000 0.110070E+0104.5000 0.113327E+0104.6000 0.115482E+0104.7000 0.117339E+0104.8000 0.119205E+0104.9000 0.120717E+0105.0000 0.121669E+0105.1000 0.122092E+0105.2000 0.122325E+0105.3000 0.122426E+0105.4000 0.122624E+0105.5000 0.122597E+0105.6000 0.122706E+0105.7000 0.122850E+0105.8000 0.123096E+0105.9000 0.123222E+0106.0000 0.123352E+010图5.2是某一单元节点的接触应力曲线图，从图中我们可以看出在6秒时，该点处的接触应力达到最大值为1233MPa。
齿轮传动啮合接触冲击分析
Internal Combustion Engine & Parts• 75 •齿轮传动啮合接触冲击分析杨建宏(长沙中传变速箱有限公司，长沙410200)摘要：在工业生产过程中对于齿轮传动有着极为广泛的应用，有关齿轮啮合的动态性研究也引起了有关各方的高度重视。
对齿 轮传动来说，为实现其性能的进一步提升，还需要加强对其传动系统噪音与振动情况的改善。
在齿轮传动过程中啮合冲击现象无法避 免，重点是怎样能够将其冲击效应尽可能地降低。
本文将基于对当前齿轮传动啮合接触冲击研究的现状介绍，进一步从冲击时间与冲 击速度以及冲击位置的关系，冲击转速对冲击合力的影响两方面展开相关的研究工作，并最终就齿轮传动啮合接触冲击研究的未来 趋势进行了探讨。
关键词：齿轮;传动；啮合;冲击0引言从齿轮传动的角度来说，不论是大型齿轮还是小型齿 轮，在传动啮合时出现接触冲击是难以避免的。
部分齿轮 在传动时还会通过新增添润滑剂的措施来降低冲击效应，然而这一措施却不能够从根本上降低对齿轮所造成的损 伤。
在齿轮啮合接触冲击当中，所牵涉到的因素多种多样，必须经过多方面分析与研究来查找造成冲击的真实原因，同时就冲击类型开展具体分析。
对此，本文将就齿轮传动 啮合接触冲击展开具体分析。
1齿轮传动啮合接触冲击研究现状在工业生产过程中，齿轮转动是一种十分广泛的动力 传导方式。
由客观层面来看，在齿轮传动啮合接触冲击过 程中需尽可能地降低其产生的噪音与振动问题，以促进齿 轮应用性能的显著提升。
在当前的众多研究中，绝大部分 研究人员均将关注的重点放在了两个方面，即：①在齿轮 加工生产时，误差导致的啮入与啮出冲击现象；②齿轮侧 间隙内会出现冲击现象。
然而除上述两方面的情况以外，齿轮传动啮合接触也会发生冲击情况，因此未来还需针对 齿轮传动啮合接触冲击展开深入的研究工作。
2齿轮传动啮合接触冲击分析在现代工业生产中，齿轮有着无可替代的作用价值。
伴随着相关动力学研究的日渐深入，齿轮间的配合程度 与动力水平也有了大幅度的提升。
ANSYS齿轮接触应力分析案例
ANSYS齿轮接触应力分析案例齿轮是机械传动系统中常用的零部件，用于传递动力和转速。
在齿轮的工作过程中，由于受力情况复杂，容易发生接触应力过大导致齿轮损坏的情况。
为了确保齿轮的工作性能和寿命，需要进行接触应力的分析和优化设计。
ANSYS作为常用的有限元分析软件，可以用于进行齿轮接触应力的模拟和分析。
本文将以一个齿轮接触应力分析案例为例，介绍如何使用ANSYS软件进行接触应力的分析。
本案例以一对齿轮为例，通过对齿轮的建模、加载和分析过程，展示如何通过ANSYS软件进行齿轮接触应力的分析。
1.齿轮建模首先，在ANSYS软件中建立齿轮的几何模型。
可以通过CAD软件绘制齿轮的几何形状，然后导入到ANSYS中进行网格划分。
在建模过程中，需要考虑齿轮的齿形、齿数、模数等参数，并根据实际情况设置合适的几何形状。
2.设置加载在建模完成后，需要设置加载条件。
在本案例中，以齿轮传递动力时的载荷为例，可以通过施加力或扭矩来模拟齿轮的工作情况。
根据实际情况设置载荷大小和方向，以便进行接触应力的仿真分析。
3.网格划分接着对齿轮的几何模型进行网格划分，生成有限元网格。
在ANSYS中，可以通过自动网格划分功能或手动划分网格，确保模型的几何形状与加载条件得到合理的分析精度。
4.设置材料属性在进行齿轮接触应力分析前，需要设置材料的力学性质。
根据齿轮的实际材料属性，设置材料的弹性模量、泊松比等参数，以便进行接触应力的仿真分析。
5.运行分析设置完加载和材料属性后，可以进行齿轮接触应力的仿真分析。
在ANSYS中选择适当的分析模型和求解器，进行接触应力的计算和分布分析。
通过分析结果可以得到齿轮接触区域的应力分布情况，确定是否存在应力集中的问题。
6.结果分析最后，分析计算结果并进行结果的分析和优化。
根据接触应力的分布情况，确定齿轮的工作性能是否满足要求，是否存在应力过大导致损坏的风险。
如果需要，可以对齿轮的设计参数进行调整和优化，以提高齿轮的工作性能和寿命。
ansys齿轮接触分析案例
加载与求解
01
施加约束
根据实际情况，对齿轮的轴孔、 端面等部位施加适当的约束，如 固定约束、旋转约束等。
02
03
施加接触力
求解设置
根据齿轮的工作状态，在齿面之 间施加接触力，模拟实际工作情 况。
设置合适的求解器、迭代次数、 收敛准则等，确保求解的准确性 和稳定性。
后处理
结果查看
查看齿轮接触分析的应力分布、应变分布、接触压力分布等 结果。
02
分析接触区域的大小、应力分布情况，评估齿轮的传动性能和
寿命。
根据分析结果，优化齿轮的设计和制造工艺，提高其传动性能
03
和寿命。
06
CATALOGUE
ansys齿轮接触分析案例四：蜗轮蜗杆
问题描述
蜗轮蜗杆传动是一种常见的减速传动 方式，具有传动比大、传动平稳、噪 音低等优点。但在实际应用中，蜗轮 蜗杆的接触问题常常成为影响其性能 和寿命的关键因素。
属性。
边界条件和载荷
01
约束蜗杆的轴向位移，固定蜗轮的底面。
02 在蜗杆的输入端施加扭矩，模拟实际工作状态。
03 考虑温度场的影响，在模型中设置初始温度和环 境温度，并考虑热传导和热对流。
求解和结果分析
进行静力分析和瞬态动力学分析，求解接触应力 分布、摩擦力变化以及温度场分布等。
对求解结果进行后处理，提取关键数据，进行可 视化展示。
通过齿轮接触分析，可以发现潜在的 应力集中区域和齿面磨损问题，提高 齿轮的可靠性和寿命。
齿轮接触分析的应用领域
汽车工业
用于研究汽车变速器、发动机和传动系统中的齿轮接触行为，优 化齿轮设计以提高燃油经济性和可靠性。
风电领域
用于研究风力发电机组中齿轮箱的齿轮接触行为，提高风力发电设 备的效率和可靠性。
准双曲面齿轮实际齿面接触分析与调整计算
2023年第47卷第4期Journal of Mechanical Transmission准双曲面齿轮实际齿面接触分析与调整计算韩昆朋1杨建军2（1 新乡职业技术学院数控技术学院，河南新乡453000）（2 河南科技大学机电工程学院，河南洛阳471039）摘要为了对准双曲面齿轮实际齿面的接触区进行调整修正，基于齿面测量结果，对大、小轮齿面进行了双三次样条曲面拟合。
采用齿面点二维黄金分割加密方法，编制了离散齿面接触分析算法，获得了实际齿面的啮合信息和接触印痕调整参数，为机床加工参数的反调修正提供了依据。
对某车桥准双曲面齿轮副进行了实际齿面滚检试验，仿真分析与实际滚检结果基本一致，验证了所提出算法的可行性和正确性。
关键词准双曲面齿轮接触印痕齿面加密干涉Tooth Contact Analysis and Adjustment Calculation of Real ToothSurfaces of Hypoid GearsHan Kunpeng1Yang Jianjun2（1 School of Numerical Control Technology, Xinxiang Vocational and Technical College, Xinxiang 453000, China）（2 School of Mechatronics Engineering, Henan University of Science and Technology, Luoyang 471039, China）Abstract For the purpose of adjusting the calculation of the contact pattern of real hypoid gears, the double third-power spline surface is used for fitting tooth surfaces of pinions and gears accurately according to the measurement results of the gear surface. Based on the two-dimension golden section method for increasing the density of gear grid mesh points, the contact analysis algorithm for discrete real gear surface is established to carry out the contact information of real gear surface and adjust parameters of contact patterns, which is applied for adjusting of machining-tool settings conveniently. In the end, a hypoid gear pair of automobile driving axles is used to verify the feasibility and correctness of the proposed algorithm by rolling tests, which shows that the contact pattern by discrete tooth contact analysis is consistent with the real rolling test.Key words Hypoid gear Contact pattern Tooth surface refinement Interference0 引言准双曲面齿轮具有重合度大、传动平稳等特点，广泛应用于车辆驱动桥传动中。
ANSYS齿轮接触分析案例
WorkPlane>Change Actives CS to>Global Cylindrical
c.建立关键点八 X=二四 Y=九. 八五七 完毕点击 Apply
d.建立关键点九 X=二四 Y= 一三 完毕点击 Apply
g.建立关键点一0 X=二0 Y=五 完毕点击 OK
建立完毕后的结果如右图所示：
齿轮的接触分析实例
一六 在柱面坐标系中创建圆弧线 a.从主菜单选择Preprocessor>Modeling>Create>Lines>
二.五 建立齿轮面模型
一 将当前坐标系设置为总体柱坐标系 从实用菜单中选择 WorkPlane>Change Actives CS to>Global Cylindrical
二 定义一个关键点 a.从主菜单选择
Preprocessor>Modeling>Create>Keypoints>In Active CS b.建立关键点一 如下图 完毕点击 OK
齿轮的接触分析实例
二0 将工作平面旋转一三° a.从实用菜单中选择WorkPlane>Offset WP by Increments b.在“XY YZ ZX Angles”文本框中输入一三 0 0 点击 OK 二一 将激活的坐标系设置为工作平面坐标系：
WorkPlane>Change Actives CS to>Working Plane 二二 将所有线沿着X-Z面进行镜像 在Y方向 a.从主菜单中选择Preprocessor>Modeling>Reflect>Lines b.在对话框中选 Pick All c.在弹出的对话框选择X-Z面 在增量中输入一000单击 OK
面齿轮传动的承载接触分析
Mf m =
因此, 媒介齿轮齿廓方程为 x m = ± r k sin y m = r k co s z m = uk 式中 : u k 为媒 介齿轮齿廓的 齿宽方向变量 ; x m 中 “ + ” 为左齿廓 , x m 中“ - ” 为右齿廓。所以, 媒介齿 轮齿廓的齐次矩阵为 Rm = [ x m y m z m 1] 。
g
; S m -X m Y mZ m 是
媒介齿 轮的静坐标系, S m′ -X m′ ′ ′ 是媒介齿轮的 Ym Zm 随动坐标系, 媒介齿轮绕轴 Om Z m 旋转, 角速度为
m
, 转角为
m
; S f -X f Y f Zf 是面齿轮的静坐标系, S f , 转角为 ; 圆柱齿轮静坐
′ -X f′ Y f′ Z f′ 是 面齿 轮 的 随动 坐 标 系, 面 齿 轮绕 轴 Of Z f 旋转, 角速度为
cos 0
g
0 1
0 0
( 6)
0 0 0 1 从坐标系 S g 到 S m 的齐次转换矩阵为 1 0 0 0 M mg = 0 0 1 0 0 a 1 0 ( 7)
0 0 0 1 从坐标系 S m 到 S m ′ 的齐次转换矩阵为 cos m sin m 0 0 Mm ′ m = - sin 0 0
[ 11]
; 近年来由 Boeing 等公司对面齿轮传动进
[ 9]
行了试验 。根据试验结果可知, 在直升机主减速 器中采用面齿轮传动作为分流装置具有结构简单、 重量轻、 噪声小、 传动重合度大、 动力分流效果好等 诸多优点
[ 10]
。因此 , 西欧等发达国家将面齿轮传动
基金项目 : 国家自然 科学基金 ( 50775108) 资 助项目 ; 江苏省自 然科学基 金 ( BK 2007194) 资助项目 ; 航空科 技创新基金 ( 08B 52004) 资助项目。 收稿日期 : 20090330; 修订日期 : 2009-1102 作者简 介 : 李政民 卿 , 男 , 博士 , 讲师 , 1977 年 11 月生 ; 朱 如鹏 ( 联系 人 ) , 男 , 教 授 , 博士生 导师 , Email: r pzhu@ nuaa. edu . cn 。
渐开线圆柱齿轮接触斑点的检测方法及记录结果分析
渐开线圆柱齿轮接触斑点的检测方法及记录结果分析2012年5月7日渐开线圆柱齿轮接触斑点的检测方法及记录结果分析第一部分：齿轮接触斑点检验的目的第二部分：接触斑点的检验方法第三部分：接触斑点检测的器具与材料第四部分：静态接触斑点检验方法第五部分：记录结果分析第一部分：齿轮接触斑点检验的目的•检测齿轮副在箱体内所产生的接触斑点，可以帮助我们对轮齿间载荷分布进行评估。
从载荷的分布，大致分析箱体加工精度、轴承精度及齿轮加工精度。
第二部分：接触斑点的检验方法接触斑点的检验方法分为静态方法和动态方法。
静态方法：通过小齿轮与大齿轮之间一层薄薄的涂层转移来完成，不加载荷，一般用手转动。
接触斑点检测，使一个齿轮的齿上的规定厚度的印痕涂料转移到相配齿轮的齿上，将接触斑点检测的结果与规定的斑点作比较。
这规定斑点是分析想要的无载荷接触状况得出的，或按类似齿轮副的经验得出的。
动态方法：需要可控制的递增适当的载荷并按照设计规定的运转速度来完成。
接触斑点是靠受载区域的啮合齿面涂层被磨掉来显示的，观察和记录随着载荷增加短期转动后的斑点。
典型载荷递增量为5%，25%，50%，75%，和100%。
用所得到的接触斑点进行比较，以保证在规定工作条件下，观察到轮齿逐渐发展的接触面积达到设计的接触面积大小。
第三部分：接触斑点检测的器具与材料清洗剂印痕的材料：红丹；专用涂料；基础颜料和油的混合物；普鲁氏蓝软膏；划线用蓝油。
记录手段照相；透明胶带和白纸；画草图。
标定用量具精密垫片或塞尺;千分尺。
第四部分：静态接触斑点检验方法1，箱体的校正。
必须保持齿轮箱尽可能高的精度放置水平，以避免因为箱体放置不平对接触斑点的影响。
2，测试程序：将准备测试的齿轮用清洗剂彻底清洗，清楚任何油污和残油。
然后将小齿轮的单个或更多轮齿上涂一层薄的印痕材料，使用硬毛刷操作，可以将普通的25mm宽度的油漆刷子的硬毛修剪成大约10mm长度，做成一把合适的刷子。
涂层要薄而均匀，没有必要除掉所有毛刷痕迹，因为测试时这些痕迹会被抹平，涂层厚度应该在5um~15um之间。
齿轮系统的接触模态分析
轴向位移，保留圆周方向的自由度；输入轮
是驱动轮，施加绕中心轴线旋转的角速度
-338.98rad/s；太阳轮安装孔的节点上同样约 束径向和轴向位移，同时在节点上施加切线
方向的节点力 Fy：
Fy=-
输入转矩
=
内圈节点数 ×中心孔半径
-531.2N
(5)
Fy 为负值，即太阳轮的负载转矩是顺
时针方向，加载后的效果如图 1 所示
行星齿轮传动被广泛应用于装甲车 先是在考虑接触特性的情况下做静态非线
辆，一般在高速重载、频繁启动工况下工作， 性分析，获得在静态载荷作用下的应力，然
在此工作环境下，有必要分析齿轮系统的固 后把得到的应力以附加刚度的形式叠加到
有振动频率。在设计齿轮系统时不但要考虑 系统的刚度矩阵上，在不考虑接触的条件下
[2] 吴志强，陈予恕.非线性模态的 分类和新的求解方法．力学学 报.1996.28
[3] 陈予恕，吴志强.非线性模态理 论的研究进展.力学进 展.1997.27
[4] 李欣业，陈予恕，吴志强.非线 性模态理论及其研究进展.河北 工业大学学报.2004.33
[5] 白润波,曹平周,曹茂森,陈建锋. 基于优化—反分析法的接触刚 度因子的确定. 建筑科 学.2008.1
discussed. Considering the non-linear contact，the static stress analysis is done the stress above
is imposed on the system rigid matrix as additional stiffness.Finally,the gear system modal
3 行星齿轮系统有限元模型建立
齿轮接触面观察法的接触检查操作流程
齿轮接触面观察法的接触检查操作流程下载温馨提示：该文档是我店铺精心编制而成，希望大家下载以后，能够帮助大家解决实际的问题。
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齿轮啮合动态接触过程仿真分析
Ｓ ｍ ｐ ｏ ｅ ｏｃ ｌｕａ ｅｔ ｅｃ ｎ ａ ｔｓ ｒ ｓ． ａ ｄ ｔ ｅ ｏ ｐ ｒ ｏｔ ａ ｏ ｅ ｏｎ ａｃ ｌｔｏ ． Ｉ ｓｆｕ ｄ Ｏ ｅ ｌｙ ｄ ｔ ａｃ ｌｔ ｈ ｏ ｔ ｃ ｔｅ ｓ ｎ ｈ ｎ ｃ ｍ ａ ｅｉ ｔ ｈ ｔｆｒ ｇ ｉｇ ｃ ｌｕａ ｉｎ ｔ ｔ ｗａ ｏ ｎ
Ｈｅｔ 理论进行对 比分析发现 ， ｒ ｚ 齿轮接触过程 最大接触 应力与 Ｈｅｔ ｒ ｚ理论 较为接 近 ， 明该 等效模 型 的正确 性． 说 在 单齿啮合 区， 其接触应力较双齿啮合处有所增加 ； 在双 齿啮合 区， 其最 大接 触 应力较 为平稳． 轮齿 两端处 的接触 应 力远大于齿面 中间处 的接触应力 ， 在轮齿 中间区域 ， 其接触应力分布 比较均匀．
ｏ ｈ ｐ ｒｔ ｎ ｐａｆｒ ｏ ｓ ｓＩ － ｙ ａ Ｔｈ ｗｏ ｓ ｕ ｅｒ ｎ ｍｅｈ ｗｅｅ ａｓ ｍｅ ｏ ｂ ｓｔ ｎｔｅｏ ｅａｉ ｌ ｏｍ ｆＡｎ ｙ ／ ｄ ｎ． ｏ ｔ ｓ ｅｔ ｐ ｒｇａ ｓｉ ｓ ｒ ｓｕ ｄ ｔ ｅａ ｗｏ
ｅ ｕｖ ｌｎ ｏ ｔｃ ｉｇｃ ｌ ｄ ｒ ｏｅ ａ ｕ ｔ ｈ ｏ ｔｃ ｔｅ ｓｏ ｈ ｅ ｒ ．Ｔｈ ｅｔ ｏ ｔｃ ｈ ｏ ｙｗａ ｌ ｑ ｉａｅ ｔｃ ｎ ａ ｔ ｙｉ ｅ ｓｔ ｖ ｌ ａ ｅｔ ｅｃ ｎ ａ ｔｓｒ ｓ ｆｔ ｅｇ ａ ｓ ｎ ｎ ｅＨ ｒｚｃ ｎ ａ ｔ ｅ ｒ ｓａ— ｔ
齿轮接触强度与弯曲强度
1. 齿轮接触强度计算1.1齿轮接触的计算应力βανεννπσK K K K uu bd F Z Z Z MPa E E R L FH A t E H red H1)(1111222121±⋅=-+-= 式中：A K —工况系数； νK —动载系数；αH K —接触强度的端面载荷分配系数；βK —齿向载荷分布系数；H Z —节点域系数；E Z —弹性系数； εZ 一重合度系数；1.1.1工况系数A K由于齿轮的载荷特性为工作稳定状况下，故取工况系数为A K =1.0. 1.1.2动载系数νK由于=15.96m/s齿轮重合度再根据《机械设计手册》图8-32与8.33得；)=1.48-0.44(1.48-1.22)=1.361.1.3端面载荷分配系数αH K查表8-120得21εαZ C K H H ∙=其中H C 查图8-34为0.865. 1.1.4齿向载荷分布系数βK查图8.35可得βK =1.13. 1.1.5节点域系数H Z式中：错误！未找到引用源。
为端面分度圆压力角；错误！未找到引用源。
为基圆螺旋角；错误！未找到引用源。
为端面啮合角；经计算最后得到H Z =2.254 1.1.6弹性系数E Z带入各值后，得E Z =189.87错误！未找到引用源。
1.1.7重合度系数εZ与1.13的分母约去，不需考虑。
最后得到理论接触应力为：MPaZ mm mm N Z MPa H 67.124413.11865.036.11208.2208.3776.1572.7627.5265287.189254.2=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=εεσ1.2 接触疲劳极限lim Hσ' W R V L N H HZ Z Z Z Z lim lim σσ=' 式中： 'H l i m σ表示计算齿轮的接触疲劳极限；H l i m σ表示试验齿轮的接触疲劳极限；N Z 表示接触强度的寿命系数；L Z 表示润滑剂系数；V Z 表示速度系数；R Z 表示光洁度系数；W Z 表示工作硬化系数。
齿轮轮齿承载接触分析(LTCA)的模型和方法
齿轮轮齿承载接触分析 (LTCA)的模型和方法摘要：提出了齿轮承载接触分析模型。
研究了在缺陷状态下，齿面的精确几何特性及其所产生的齿面和齿间自由度。
利用有限元柔度系数法对齿轮及其支承变形进行了计算，并对其进行了几何与力学分析。
关键词：齿轮轮齿；承载接触析；LTCA模型引言LTCA技术是目前国内外研究的热点之一。
齿轮学中，它是进行几何设计和力学分析的桥梁。
研究各种齿轮尤其是圆锥齿轮的结构、分析和制造技术具有重要意义。
但还没有解决几何分析与力学分析相结合的问题，有的研究主要集中在几何分析方面，力学模型过于简单，有的研究在几何分析方面不够充分，造成机械变形；有的研究过于繁琐，无法应用于技术领域，所以本文是一种将齿轮几何力学分析与计算方法相结合的 LTCA模型。
该方法计算简便，仿真度高。
1齿面展成与接触分析(TCA)已知主、被动齿轮的齿面加工方式为Ec1、Ec2，则每个齿面可分别用 ui、li表示，并用与刀具固定的坐标系 Sci表示（1）式中rci——齿面位置次向量nci——齿面法线矢量通过刀具和齿轮的运动包络线生成齿轮齿面，并将刀具齿面方程转换成 Si 坐标系， Si系与齿轮箱连接（2）式中——齿轮加工转角[M]i,ci,——刀具坐标系与齿轮坐标系Si的4 X 4转换矩阵[L]i,ci——其中3X3的转动子矩阵由工具齿套系列加工齿面，应符合下列啮合方程：（3）式中——刀具与齿轮的相对速度由式(3)解出并代入式(2)中,得（4）把所得到的齿面方程(4)转化为固定于齿轮机箱坐标系的 Sf（5）hi齿轮组在齿轮组啮合时的转角变换矩阵[M] f, i从坐标系 S到坐标系 S[L]fi——其中的转动部份若齿面通常有一对齿轮，则在接触点的两个齿面应分别有一个共同的位置矢量和一个共同的法向量。
（6）上面的每个矢量方程是一个单位矢量，所以有五个独立的非线性代数方程h1，它可以按从确定的初值中选择的步长递增赋值。
对每一个h1，相应的和h2可以从等式(6)中移除，而等式(4)中的 UI和可由当前接触点和齿面啮合路径决定。
基于ANSYS有限元软件的直齿轮接触应力分析
基于ANSYS有限元软件的直齿轮接触应力分析一、本文概述随着现代机械工业的飞速发展，齿轮作为机械设备中的关键传动元件，其性能的稳定性和可靠性对于设备的长期运行和维护至关重要。
直齿轮作为齿轮传动的一种基本形式，其接触应力的分布与大小直接影响着齿轮的工作性能和使用寿命。
因此，对直齿轮接触应力的深入研究与分析，对于提高齿轮的设计水平、优化制造工艺以及提升设备的整体性能具有重要意义。
本文旨在利用ANSYS有限元软件对直齿轮的接触应力进行分析。
简要介绍了直齿轮的基本结构和传动原理，阐述了接触应力分析的必要性和重要性。
详细阐述了ANSYS有限元软件在齿轮接触应力分析中的应用，包括建模、网格划分、材料属性设定、接触设置、求解及后处理等关键步骤。
通过实例分析，展示了ANSYS软件在直齿轮接触应力分析中的具体操作流程，并对分析结果进行了详细的解读。
总结了利用ANSYS进行直齿轮接触应力分析的优势和局限性，并对未来的研究方向进行了展望。
本文旨在为齿轮设计师和工程师提供一种有效的直齿轮接触应力分析方法，帮助他们更好地理解直齿轮的应力分布特性，优化齿轮设计，提高齿轮的工作性能和可靠性。
本文也为相关领域的学者和研究人员提供了一种有益的参考和借鉴。
二、直齿轮接触应力的理论基础在直齿轮传动过程中，接触应力是决定齿轮使用寿命和性能的关键因素之一。
因此，对其进行准确的接触应力分析至关重要。
接触应力的分析主要基于弹性力学、材料力学和摩擦学的基本理论。
弹性力学是研究弹性体在外力作用下变形和应力分布规律的学科。
在直齿轮接触问题中，通常假设齿轮材料为线性弹性材料，满足胡克定律。
齿轮在啮合过程中，由于接触力的作用，齿面会产生弹性变形，进而产生接触应力。
材料力学是研究材料在受力作用下的应力、应变和强度等性能表现的学科。
对于直齿轮，材料的选择对齿轮的接触应力分布和承载能力有重要影响。
通常，齿轮材料需要具备较高的弹性模量、屈服强度和疲劳强度等。
双圆弧齿轮接触有限元分析方法
Ｃｏ ａ ｔＦｊ ｔ ｅ ｅ ｎｔ ｃ ｎ． Ｅｌ ｍ ｎｔＡｎａ ｙ ｉ ａ ｅ ｈｏ ｕ ｅ Ｃｉｃ ｌ ｒ Ｔｏ ｈ Ｇｅ ｅ ｌ ｔｃ ｌＭ ｔ ｄ ｏｆＤｏ ｂｌ ｒ ｕ ａ ｏｔ ａｒ
０ 引 言
接触问题是工程分析 中设计人员经常需要解决 的问题 ． 于高度 属 非线性问题 。 较大 的计算机资源 ． 需要 为了进行切实有效 的分析计算 ， 理解问题的特性和建立合理 的模型是很 重要的 接触问题 的处理存 在两个难点 ： 第一 ． 求解问题之前并不知 道 在 接触 区域 ． 面之 间是接触 或分开是未知 的、 表 突然变化的 ， 由载荷 、 材 料、 边界条件 和其他 因素而定 ： 第二 ． 大多接 触问题需要计算摩擦 ， 摩 擦使问题的收敛性 变的困难
接触所需 的运动约束（ 向无相对运动 ． 法 切向可以滑动） 作为边界条件 直接施加在接触点。 这种方法计算精度高 ， 具有普遍适用性 ， 无需增加 特殊 的界面单元 该方法不增加系统 自由度 的数 目． 因接触关 系的 但 变化会增加系统矩阵的带宽 Ａ ＳＳ Ｎ Ｙ 分析软件 中． 针对具体问题 ． 通过指定不 同的实 常数来选 择不同的接触算法 ． 通常选取拉格 朗 日 算法 或罚函数法 ． 齿轮 接触 分 析一般采用罚 函数法。 １ 双 圆弧齿轮的接触有 限元分析方法日 ． ３
式 中ｆ ｑ——接触体可能接触点的柔度矩阵； ｌ 一 可能接触点载荷 向量 ； ＿ ｆｌ ——可能接触点位移向量 ； ｛ ｌ 一 可能接触点初 间隙向量 。 ＿ 柔度矩阵中的元素可 由有限元计算得 到． 接触 问题 的求解是根据 接触点对的接触状态对柔度矩阵进行循环迭代过程进行求解 由于双圆弧齿轮 的啮合状态较为复杂 ． 其接触是多接触体复杂 曲 面接触问题 ． 且载荷反复交变 ． 目 为止 ． 到 前 尚未得到透彻研究 。双 圆 弧齿轮 的接触研究 须进行大量的跑合实验 ． 实情况很难做 到大量 而现 的跑合实验 ， 而且缺乏完善 的双 圆弧齿轮接触 、 跑合理论 的计算基础 ． 所 以无法精确考察跑合后齿面的真实接触情况 。 １ 接触算法 ． ２ 双 圆弧齿轮理论上是点接触 。 实际承受载荷 和跑合后为 区域面接 接触是 高度非线性问题的复杂边界条件 ． 对它 的模拟必须准确跟 触 ． 其瞬时接触 区形状 、 接触区 内压力分布 以及齿间载荷分配都是 十 踪接触前 、 物体 间的相对运动（ 后 包括正确模拟接触 面间的摩擦行为 ） 分复杂 的． 现有的双圆弧齿轮强度计算方法都是建立 在假定接 触区形 及确定合理的接触体分离条件。 接触算法必须保证相互接触的两物体 状及载荷分布的基础上求解 的．这与实际承载情况 往往相差甚远 ． 更 相互间无穿 透现象 ． 称之为无穿透约束条件 目 前较 常用 的接触算法 无法考虑多接触区及跑合后接触 区形状及载荷的变化 因此 ． 双圆弧 主要有以下几种［ １ ］ ！ 齿轮 的接触问题是典型的边界非线性接触问题 ． 其中既有接 触区形 状 １ ． 罚函数法 ．１ ２ 变化 引起 的非线性 ． 又有接触压力分布变化引起的非线性 本文所 做 罚函数法是一种施加 接触约束 的数值方法 ， 其原理是 ： 一旦接触 的工作 是利用 Ｕ Ｇ和 Ａ Ｓ Ｓ Ｎ Ｙ 相结合探索对双 圆弧齿轮进行分 析的方 区域发生穿透 ． 函数将 大幅度提高系统 的势 能 ． 罚 从而使 系统处于不 法及步骤． 具体过程如下 ： 稳定状态。 只有当约束条件满足后 ， 才能求解 出符合势能原理的解 ， 即 首先． 利用 Ｕ Ｇ软件 的建模功能进行双圆弧齿轮的三维建模 。 获得具有实际物理意义的结果 。 函数法可以类 比成在物体间施加非 罚 其次 ． 将创建 的法面双圆弧齿轮导人到 Ａ Ｓ Ｓ Ｎ Ｙ 软件 中定义单元 弹性 弹簧 ． 该方法在显示动力分析 中应用广泛 类型 、 材料属性 ． 再对齿轮副模型进行网格划分 ． 由于双 圆弧齿轮是复 罚 函数法的优点是不增加未知量的数 目，数值上 比较容易实现 杂的多空间螺旋 曲面啮合齿轮 ． 因此对其齿轮副 的网格化分靠人工是 其缺点是 ： 因子选择不 当， 若罚 将对 系统的数值稳定性及求解 的精 度 不可能的 ． 必须利用 Ａ Ｓ Ｎ ＹＳ软件进行有 限元 网格 自动生成 ： 考虑到计 造成不 良影响 ． 另外还会增加 系统矩阵的带宽 算机 的计算速度问题 ， 一般只取一对齿为计算模型 。 １ － 拉格朗 日乘子法 ．２ ２ 第三 ． 然后定 义接触对使互相啮合 的两齿轮建立接触关 系。 拉格 朗 日 子法是利用拉格 朗 日乘子将无穿透 约束 条件引入系 乘 第四 ． 为所建立 的有 限元模型定 义分析类型和施加边界条件及载 统 中。这种方法从 数学 的角度来看是将约束加入系统的理想方法 ， 但 荷 ． 在从动轮齿 的两个侧 面和内圈节点组件施加全 约束 ． 主动轮齿 的 该方法增加 了系统的变量数 目， 并可能使系统矩阵的主对角线元素为 侧面和内圈施加径 向和轴 向约束使其保 留转动 自 动度 施加载荷时 ． 零。 这就要求求解算法能处理非正定系统 ． 数学上将增加难度 ． 需要增 在主动轮齿的内圈节点施加 圆周切向力 。 然后对建立的有 限元接触模 加额外的措施才能保证计算精度 。 另外 ， 因拉格朗 日 子与质量无关 ， 型求解 ， 乘 求解过程 中 Ａ Ｓ Ｓ Ｎ Ｙ 软件将会用 图形显示结果收敛 与否 。 所 以不能用来计算动力 冲击问题 第五 ． 查看结果 。求解完成以后 ， 就可以利用 Ａ Ｓ Ｓ Ｎ Ｙ 软件生成 的 １ ． 直 接 约束 法 ．３ ２ 结果文件进行后处理 ， 例如查看 ＂１Ｍ ｓ 等效应力�
齿轮接触疲劳试验
齿轮接触疲劳试验一、引言齿轮是机械传动中常用的元件之一，其工作时常会受到各种载荷的作用，而这些载荷会导致齿轮出现疲劳损伤。
为了保证齿轮的可靠性和寿命，有必要进行接触疲劳试验，以评估齿轮在实际工作中的耐久性能。
二、接触疲劳试验的目的接触疲劳试验旨在确定齿轮在设计工作寿命下的可靠性和耐久性。
通过在实验室条件下模拟实际工作时的载荷和工况，可以评估齿轮的接触强度、疲劳寿命以及齿轮材料的疲劳特性，为齿轮的设计和选材提供依据。
三、试验方法通常，齿轮接触疲劳试验可以采用以下方法进行：1. 单齿接触疲劳试验单齿接触疲劳试验是最基本的试验方法之一。
通过加载循环载荷，观察齿轮单齿接触区域的疲劳裂纹扩展情况，来评估齿轮的疲劳寿命和疲劳强度。
2. 齿轮对接触疲劳试验齿轮对接触疲劳试验是在较大载荷下进行的试验，以更真实地模拟实际工作条件。
通过加载循环载荷，观察齿轮对接触区域的疲劳裂纹扩展情况，来评估齿轮对的疲劳寿命和疲劳强度。
3. 单元齿轮接触疲劳试验单元齿轮接触疲劳试验是在实验室条件下，利用齿轮机构来模拟齿轮传动系统的工作情况，以评估传动系统的疲劳性能。
通过加载循环载荷，观察齿轮接触区域的疲劳裂纹扩展情况，来评估传动系统的疲劳寿命和疲劳强度。
4. 实际工况下的齿轮接触疲劳试验实际工况下的齿轮接触疲劳试验是在实际使用条件下进行的试验。
通过在现场实测齿轮传动系统的负载和工况，并采集相关数据，来评估齿轮的实际疲劳寿命和疲劳强度。
四、试验评估指标在齿轮接触疲劳试验中，通常会评估以下指标：1. 疲劳寿命疲劳寿命指的是齿轮传动系统在特定工作条件下，能够承受多少个循环载荷，而不发生疲劳裂纹和失效。
通过试验数据的统计和分析，可以获得齿轮的疲劳寿命。
2. 疲劳强度疲劳强度是指齿轮传动系统在疲劳载荷下能够承受的最大应力水平。
通过试验中观察到的齿轮裂纹扩展情况，可以评估齿轮的疲劳强度。
3. 裂纹扩展速率裂纹扩展速率是评估齿轮疲劳性能的重要指标之一。
采煤机传动齿轮接触分析及优化设计
裂 纹 等 问题． 轮 和销 轨 之 间 的撞 击 问题 十分 严 齿 重 ， 是 由于在 啮合接 触 瞬间应力 巨大 ， 直接 产 这 会 生 齿根 断裂 等不 良现 象 Ｊ ．
第３ ３卷 第 ３期 ２１ ０ ２年 ６月
大 连 交 通 大 学 学 报
Ｊ ＲＮＡＬ ＯＦ ＯＵ ＤＡＬ ＡＮ Ｉ Ｊ ＡＯ ＯＮＧ Ｉ Ｔ ＵＮ ＶＥＲ Ｉ Ｙ Ｉ ＳＴ
Ｖ０ ． ３ Ｎｏ ３ １３ ．
Ｊｎ２ ２ ｕ ． ０１
文 章 编 号 ：６ ３９ ９ （０ ２ ０ —０ １０ １７ —５０ ２ １ ）３０ ２ —４
Ｅ ｍａｌｓｈ ＠ ｄ ｕ ｅｕ ｃ ． － ｉ： ｙ ｊ ．ｄ ．ｎ ｃ ｔ
大 连 交 通 大 学 学 报
第３ ３卷
置可 以看 出 ， 这种 优化 方 式很 明显 的消 除 了优 化
前 齿 轮 的边 缘 效 应 的影 响 ． 案 Ⅳ 与方 案 Ｖ（ 方 弧 形 半径 为 ５ ０～８０ ｍ 时 ） ０ ０ ｍ 的最 大 Ｍｉ ｓ 力 比 ｓ 应 ｅ
பைடு நூலகம்
采 煤 机传 动 齿 轮 接 触 分 析及 优化 设 计
宋春 雨 ， 秀娟 ， 卫 东 张 何
（ 大连交通大 学 机械 Ｘ 程学院 ， 宁 大连 １６ ２ ） － 辽 １０ ８
摘
要： 通过有 限元方法分析齿轮产生裂纹 和断裂及 销轨磨损的原因 ， 并分别研究 了直弧形 和弧 形优化后
的齿轮齿型面的优化效果． 分析 了这两种优 化方 案在高速重 载情况下轮齿 的接触 情况及 不 同型 面的接触 区域在轮齿啮合过程 中的变化规律． 计算结 果显示 ， 各位 置 中轮齿上 的最 大应力均位 于轮齿 的边缘 处 ， 在 较大的接触应力作用下 ， 轮齿边缘会产 生裂纹并 不断扩大 ， 最终导致 轮齿 的断裂． 对齿轮 边缘进 行圆弧倒 角 ， 以改变最 大应力 的位置 ， 可 并且最大 Ｍｉ ｓ ｓ 应力可降低 ２ ％ 以上 ， 而解决齿 轮的轮齿 断裂 问题 ． ｅ ０ 从
接触分析和修形的综合应用kisssoft
相关背景知识整理
齿廓修形（Tooth Profile Modification )
linear tip and root relief with tranisition radius: 和直线修形的方式唯一的区别就 在于修形的起始点 dca位置产生r半径的圆角过渡，该方式比直线修形更贴近实际 （线性直角的尖角过渡只停留在理论分析中）制造。
相关背景知识整理
齿廓修形图
phi: Angle of rotation 展开角度（接触轨迹） Fa: Profile deviation 齿廓偏差值 dNa: Active tip diameter 工作齿形起点 dNf: Active root diameter 工作齿形终点 dSa: End of control diameter 齿顶修形的起点
E 齿顶圆 F 短修形起始点
（ED中间位置）
D HPSTC（长修形起始点） C 节圆
B LPSTC (长修形起始点)
H
短修形起始 点（AB中间 位置）
A 齿根圆
相关背景知识整理
K形图
所谓K形图，既是齿轮的齿形的波动必须在图纸要求所规定一个两包容线区域 范围内，由于包容线的形状像K，所以称其为K形图。Ｋ形图除通常的齿形检查外， 对于确定和控制根切（如果出现的话）和齿形修正（例如齿顶和齿根修缘）都是 非常有价值的。尽管很多公司都有自己的齿廓和齿向的判断图表，但是AGMA 2000-A88的K形图计量方法被认为是整个行业的标准，KISSsoft显示的K形图就是 依照AGMA的标准得到的。
1 传统理论分析齿轮间接触问题
1 传统理论分析齿轮间接触问题传统齿轮接触应力的计算公式是以2圆柱体接触的接触应力公式为基础，结合齿轮的参数导出的。
1881年赫兹导出了2弹性圆柱体接触表面最大接触应力的计算公式以上公式基于如下假设：(1)2圆柱体为无限长、均质的、各向同性的弹性体；(2)变形后的接触面积与圆柱体表面积相比较是极其微小的；(3)作用力为静载荷，与接触面垂直，且沿圆柱体的长度方向均匀分布。
由渐开线的性质可知，渐开线的曲率是变化的，因此，一对齿廓接触点的曲率半径是变化的，并且轮齿处在单齿和双齿啮合区所受载荷也不同，因而一对轮齿啮合时的接触应力随啮合点的位置变化而变化。
实际计算中是以节点啮合为计算位置的，因为该位置计算方便，且接触应力也与最大点差别不大。
从而得到齿轮的接触应力计算公式2 有限元理论分析对圆柱齿轮进行有限元分析时，首先要对齿轮进行力学模型并进行离散化处理，有限元模型的建立合理与否是影响接触边界迭代求解收敛的关键。
现有的计算方法都是建立在某种假定接触区形状的基础上，按赫兹的接触理论进行求解，这与实际接触隋况有所不同。
齿轮的瞬时接触区形状与压力分布是典型的接触非线性问题，有限元法可以很好地饵决。
将2个弹性接触体分离成2个独立物体，根据弹性有限元理论，写出它们各自的有限元基本方程用对称方程组的Cholesky分解法进行求解，每次迭代求解时根据接触状态剔除最大负接触内力的接触点对，形成新的柔度子矩阵，循环迭代求解，直到所有接触点都满足接触条件式以及所有接触内力大于或等于为止。
用柔度矩阵法求解三维弹性接触问题，只需调用一次有限元法得到各接触体可能接触点对上分别作用单位力时的柔度值，就可以完成接触问题的求解。
3 有限元模型对一些比较复杂的结构计算，较为有效的方法是运用有限元模型进行数值计算，来获得所需要的计算结果。
为了模拟齿轮之间的接触力的传递情况，在2个齿轮之间考虑了接触问题，采用的有限元计算软件是ANSYS。
3.1齿轮有限元建模(1)大齿轮主要参数模数： 2.5 nlln齿数： 30材料： 45钢泊松比：0.259(2)小齿论主要参数模数： 2.5 mm齿数： 30材料：40Cr泊松比：0.277由于ANSYS在齿轮造型比较复杂，所以，利用其比较完善的数据接口，在CAXA电子图板中利用其自带的齿轮库完成齿轮造型，以IGS文件格式导入到ANSYS中。
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接触区的有效尺寸远远小于相对曲率半径
第一个条件显然是必要的，用以保证以无限延伸的物体为基础所计算的应力场，不因其边界靠近高应力区而受重大影响。第二个条件也是必要的，首先，为了保证紧靠接触区外的表面大体上近似于半空间的平表面；其次，为了保证接触区的应变足够小，时期处于线弹性理论的范围内。当然，把该理论的结果应用于低弹性模量的材料时必须小心，比如橡皮，很容易产生超出小应变限制的变形。
我们假设表面是无摩擦的，因此在两表面之间只传递法向压力。虽然从物理上讲接触压力必须垂直于作用面，而作用面不一定是平的，但是线弹性理论并不计及由于它们产生的变形所造成的边界力的改变。因此，鉴于每个物体都理想化为具有一个平表面的半空间体，我们取作用面上法向力平行于z轴作用。
1.1.2非协调接触几何描述
当两个为协调固体接触的时候，它们最初是在一个点上或一条线上接触。我们在列出弹性力学问题的方程之前，对接触面做几何学上的分析是必要的。我们建立一个亿初始接触点为坐标原点的直角坐标系，建立接触的几何模型，如图1-1所示。
式中，相对曲率 。加载后，对于接触区内的点的条件变为
(1.6)
我们将每一个物体看成弹性半空间体，为了求局部接触应力需要通过微分来避免所遇到的困难，得到了表面梯度的关系。于是
（1.7）
作用在 长条上的压力p(x)所引起的表面梯度，每个表面上的压力是相同的，因此
（1.8）
从而得出
（1.Байду номын сангаас）
只有半接触宽度a与载荷P有关时，才能唯一地确定压力分布。首先，压力在整个接触区必须是正的。即p ，若果取大于号，则压力在 处上升至无穷大的值。这样变形后的外形显然不符合要求，因此必须取等号，即
(1.2b)
两个曲面的间隙，则由 给出。从而有
（1.3）
图1-1中，变形前两表面上的对应点 和 之间的间隙由式(1.3)给出。在压缩过程中，两物体内远处的点 和 分别向着O点平行于z轴移动位移 和 。每个物体的表面由于接触压力而平行于OZ发生位移，其大小相对于远处点 和 为 和 。如果变形后 和 在接触区面内重合，则
（1.4）
对于二维物体而言，接触区是半宽为a的无限长窄条。
图1-1接触几何模型
1.1.3圆柱体的二维接触
当两个圆柱体的轴部平行于坐标系中的y轴，由单位长度上的力P压紧面接触时，问题就变成二维问题。它们在平行于y轴、宽度为2a的长条上构成接触。
关于圆柱体加载前两表面对应点之间间隙的式（1.3）变成
（1.5）
(1.10)
于是
（1.11）
压力在接触区边缘降为零。
最大压力
（1.12）
其中相对曲率半径 ,等效弹性模量 。
1.2接触物体内部应力
1.2.1弹性半空间
非协调弹性接触物体必然在尺寸比未变形表面的曲率半径小的面积上接触。接触应力在接触区附近高度集中，其强度随离接触点的距离还迅速的减小。因而实际关系的区域位于接触交界面附近。于是，只要物体本身的尺寸与接触面尺寸相比很大，则在此区域中的应力就不大依赖于物体远离接触区的形状，也不依赖于支承物体的确切方式。通过将每一物体看作是以平表面为界的半无限弹性固体即弹性半空间，就能非常近似地计算应力。
1.1弹性固体的Hertz接触理论
1.1.1模型简化及其条件
为了计算局部的变形我们对接触模型引入一些简化:
每个物体均看作一个弹性的半空间体
载荷作用于平表面上
表面间无摩擦，只传递法向压力
按照这种简化，根据两物体中的一般应力分布由物体的形状及它们被支承的方式而引起。此外，已经充分发展了的解决弹性半空间体边值问题的方法，对解决接触问题是有效的。为使这种简化合理，必须满足如下两个条件：
所载荷的窄带与y轴平行，在x方向的宽度为（a+b）。它所可能承受的法向力即切向力，都仅是x的函数。也就是线载荷在半空间中产生平面应变状态( )。当然，为了保证平面应变的假设是正确的，固体的厚度与受载区的宽度相比应该是很大的，通常情况正是如此。
图2-1以横截面表示了弹性半空间。表面力p（x）及q(x)在由x=-b到x=a的区域上作用于表面，而表面的其余部分无力作用。需要求出整个固体中的应力分量 。
在宏观尺度上，表面外形函数以及它的一阶和二阶导数在接触区都是连续的。于是我们可以用如下形式的表达式来近似地表示原点附近的曲面
（1.1）
通过选择x和y轴的方位，使得xy项消失，式（4.1）可写成：
（1.2a）
式中的 和 是该曲面在原点的主曲率半径。是外形的一切可能的截面中曲率半径的最大和最小值。对于另一个曲面，可以写出类似的表达式