傅里叶级数地三角形式和傅里叶级数地指数形式
第八章傅氏变换
并称F(ω)为f (t)的象函数
或傅里叶变换，记为
F[f(t)]；称f (t)为F(ω)的象 原函数或傅里叶逆变换，
记为F-1[F(ω)]
傅氏变换对的物理意义
• 1. f (t) 与 F（）构成一个傅氏变换对，它们是由
许多频率的正、余弦分量合成，且非周期函数包
含 0 - - 分量；
• 2. f (t) 是 F（）中各频率分量的分布密度，
即
lim
T
fT (t)
f
(t)
f (t) 1
2
f
( )e-j d e jtd
这个公式称为函数f (t)的傅里叶积分公式
• 余弦傅氏积分公式
f (t) 2
0 0
f
( ) cos
d
cost
d
• 正弦傅氏积分公式
f (t) 2
0
f
(
)
sin
d
sin
t
d
f
(t)
a0 2
n1
(an
cos nwt
bn
sin
nwt)
an cosnwt bn sin nwt an2 bn2 sin(nwt n )
An an2 bn2
n 1,2,;
f (t) Cne jwnt n
Cn
an
jbn 2
,
Cn
an
jbn 2
Cn Cn
an2 bn2 2
称为频谱密度函数 F（） 为振幅谱
arg F()为相位谱
正弦、余弦傅氏变换
余弦傅氏变换
f (t) 2
0 0
f
(
) cos
d
cost
信号处理 第3章连续时间信号的正交分解(文正)
)
F (j )
/2
/ 2
e
j t
dt
e
j
e j
2
j
2
2 sin(
2
1
gτ (t)
)
Sa(
2
)
2
0
2
t
频谱图
F j
2π
O 2π
F j
4π
幅度频谱
2π
O
频宽：
2π 4π
第3 章 连续信号的正交分解
目录
周期信号的傅里叶级数 周期信号的频谱 非周期信号的傅里叶变换 典型信号的傅里叶变换
傅里叶变换的性质
频域分析
从本章开始由时域转入变换域分析，首先讨论傅里 叶变换。傅里叶变换是在傅里叶级数正交函数展开的基 础上发展而产生的，这方面的问题也称为傅里叶分析 （频域分析）。将信号进行正交分解，即分解为三角函 数或复指数函数的组合。 频域分析将时间变量变换成频率变量，揭示了信号 内在的频率特性以及信号时间特性与其频率特性之间的 密切关系，从而导出了信号的频谱、带宽以及滤波、调 制等重要概念。
f(t) ←→F(jω)
或
F(jω) = F [f(t)]
f(t) = F –1[F(jω)]
F(jω)一般是复函数，写为 F(jω) = | F(jω)|e j (ω) = R(ω) + jX(ω)
2、常用函数的傅里叶变换
Sa( 例：矩形脉冲 (门函数） G (t )
F
2
三角形式的傅里叶级数，含义比较明确，但运算常感不便， 因而经常采用指数形式的傅里叶级数。
傅里叶级数的三角形式和傅里叶级数的指数形式
周期信号的傅里叶级数分析 连续时间LTI 系统的时域分析: 以冲激函数为基本信号系统零状态响应为输入信号与系统冲激响应之卷积 傅立叶分析以正弦函数或复指数函数作为基本信号系统零状态响应可表示为一组不同频率的正弦函数或复指数函数信号响应的加权和或积分; 周期信号: 定义在区间,每隔一定时间 T ,按相同规律重复变化的信号,如图所示 .它可表示为f <t >=f < t +m T >其中 m 为正整数, T 称为信号的周期,周期的倒数称为频率. 周期信号的特点：（1） 它是一个无穷无尽变化的信号,从理论上也是无始无终的,时间范围为（2） 如果将周期信号第一个周期内的函数写成,则周期信号可以写成〔3〕周期信号在任意一个周期内的积分保持不变,即有 1. 三角形式的傅立叶级数周期信号 ,周期为1T ,角频率11122T f ππω==(,)-∞∞(,)-∞∞()f t f t ()该信号可以展开为下式三角形式的傅立叶级数.式中各正、余弦函数的系数n n b a , 称为傅立叶系数,函数通过它可以完全表示. 傅立叶系数公式如下式中积分可以取任意一个周期,一般情况下,取) ,0(T 或)2 ,2(TT-三角形式的傅立叶级数还可以写成下面形式∑∞=++=110)cos()(nn n t n c c t f ϕω或两种形式之间系数有如下关系: 2．指数函数形式的傅里叶级数令：()n n b a n F j 21)(1-=ω 由欧拉公式⎰-=Ttn tt f Tj d e )(11ω令：0)0(a F =前面的级数可展成指数形式系数 e )()(1j 1tn n n F t f ωω∑∞-∞==nnn n n n a b arctgb ac -=+=ϕ;:在傅立叶三角表示式中22()nnn c n F F ϕω±=相角辐角等于三角表示的初;2的模可知系数1)(一地表示了他唯,变化而变化的复数)(是一个随着频率)(11t f n n F ωω在傅立叶级数中,无论三角函数表示还是指数函数表示,都是通过三个量完整地表示一个函数：。
信号与系统教案第4章FT的性质
可见An是n的偶函数， n是n的奇函数。 an = Ancosn， bn = –Ansin n，n=1,2,… 上式表明，周期信号可分解为直流和许多余弦分量。 其中， A0/2为直流分量；
A1cos(t+1)称为基波或一次谐波，它的角频率与原周期信号相同；
A2cos(2t+2)称为二次谐波，它的频率是基波的2倍； 一般而言，Ancos(nt+n)称为n次谐波。
信号与系统 电子教案
第四章 连续系统的频域分析
4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8
点击目录
第4-1页
信号分解为正交函数 傅里叶级数 周期信号的频谱 非周期信号的频谱——傅里叶变换 傅里叶变换的性质 周期信号的傅里叶变换 LTI系统的频域分析 取样定理
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■
©西安电子科技大学电路与系统教研中心
a0 f (t ) a n cos(nt ) bn sin(nt ) 2 n1 n 1
系数an , bn称为傅里叶系数
2 an T
第4-10页
可见， an 是n的偶函数， bn是n的奇函数。
■
T 2 T 2
f (t ) cos(nt ) d t
2 bn T
信号与系统 电子教案
4.2
傅里叶级数
3 .f(t)为奇谐函数——f(t) = –f(t±T/2) 此时 其傅里叶级数中只含奇次谐波 分量，而不含偶次谐波分量即 a0=a2=…=b2=b4=…=0
0 f(t)
T/2
T
t
三、傅里叶级数的指数形式
三角形式的傅里叶级数，含义比较明确，但运算不便，因
而经常采用指数形式的傅里叶级数。可从三角形式推出：利用 欧拉公式：cosx=(ejx + e–jx)/2
周期信号的傅里叶级数表
傅里叶级数与复变函数的关系
傅里叶级数可以看作是复数域中的三角函数，即复数域中的正弦和余弦。在复数域中，正弦和余弦函数表现为复指数函数的 形式。
复数的使用使得傅里叶级数的系数可以表示为实数，从而简化了计算。此外，复数的共轭也提供了相位信息，这在信号处理 中非常重要。
傅里叶级数与小波分析的关系
小波分析是傅里叶分析的进一步发展，它提供了更灵活的时频分析工具。小波变 换可以看作是傅里叶变换的一种扩展，它允许我们在不同的频率段使用不同的基 本函数。
三角函数形式
傅里叶级数的另一种表示形式，利用三角函数来表示周期信号。
傅里叶级数的三角函数形式
01
02
03
正弦形式
余弦形式
系数
傅里叶级数的正弦函数形式，用 于表示只包含正弦波的周期信号。
傅里叶级数的余弦函数形式，用 于表示只包含余弦波的周期信号。
在傅里叶级数中，每个正弦或余 弦函数都对应一个系数，表示该 函数在周期信号中的贡献程度。
03
傅里叶级数的性质
傅里叶级数的收敛性
傅里叶级数在数学上具有收敛性，意味着它可以将一个 周期函数表示为无穷级数，每个项都是正弦或余弦函数。
收敛的速度取决于函数的特性，例如，对于具有快速衰 减的周期函数，傅里叶级数收敛得更快。
傅里叶级数的对称性
傅里叶级数的对称性质是指，对于一个周期函数，其傅里叶级数的正弦和余弦项具有对称性。 这意味着，对于一个给定的周期函数，其傅里叶级数的正弦和余弦项的系数是相同的。
周期信号的傅里叶级 数表
目录
• 傅里叶级数简介 • 周期信号的傅里叶级数表示 • 傅里叶级数的性质 • 傅里叶级数的应用实例 • 傅里叶级数与其他数学工具的关系
01
应用高等数学-6.1 傅里叶变换
例8
试证单位阶跃函数
F () F[(t)] (t)e jt d t e jt 1
t0
显然， (t)与常数1构成了一傅氏变换对，按
逆变换公式有
(t)
F
1[F ()]
1 2π
e
jt
d
由上式可得 e jt d 2π (t)
（6-9）
这是一个关于δ函数的重要公式．
例5 证明：1和 2π ()构成傅氏变换对．
f
(t)
1, 1,
π t 0 0 t π
如何将函数展开为傅里叶级数的三角形式．
解： 由定理6.1可得 0 1，a0 0，an 0 (n 1, 2,L )
bn
1
π
f (t)sin ntdt
π
π2
π
sin ntdt
0
nπ 2 (cos
nt
π
) 0
nπ 2 (1 cos nπ)
nπ 2 [1 (1)n ]
2π ( 0 )
例7 求正弦函数 f (t) sin 0t 的傅氏变换．
解：
F() F[ f (t)]
e
jt
sin
0t
d
t
1 (e j0t e j0t )e jt d t
2 j
1 (e j(0 )t e j(0 )t ) d t
2 j
jπ[ ( 0 ) ( 0 )]
式中当t=0可得重要积分公式
sin
x
d
x
π
0x
2
例4
求单边指数衰减函数
f
(t)
0, et ,
t0 t0
( 0)
的频谱函数、振幅谱、相位谱．
信号与系统课件--§4.2 傅里叶级数
an =0，展开为正弦级数。 例
▲ ■ 第 5页
3 .f(t)为奇谐函数——f(t) = –f(t±T/2)
此时 其傅里叶级数中 只含奇次谐波分量， 而不含偶次谐波分量 即 a0=a2=…=b2=b4=…=0
f(t)
0
T/2
T
t
4． f(t)为偶谐函数——f(t) = f(t±T/2) 此时 其傅里叶级数中 只含偶次谐波分量， 而不含奇次谐波分量 即 a1=a3=…=b1=b3=…=0
系数an , bn称为傅里叶系数
an 2 T
T
2 T 2
f (t ) cos( nt ) d t
bn
T
2
T 2 T 2
f (t ) sin( nt ) d t
可见， an 是n的偶函数， bn是n的奇函数。
▲ ■ 第 3页
其他形式
f (t ) A0 2
将上式同频率项合并，可写为n 1
1 2
An
2
n
| Fn |
2
直流和n次谐波分量在1电阻上消耗的平均功率之和。 n≥0时， |Fn| = An/2。 证明 这是Parseval定理在傅里叶级数情况下的具体体现。
▲
■
第 9页
bn An sin n
bn n arctan a n
n的偶函数：an ， An ， |Fn | n的奇函数: bn ，n
▲ ■ 第 8页
四、周期信号的功率——Parseval等式
周期信号一般是功率信号，其平均功率为
1 T
T 0
f (t )dt (
《信号、系统与数字信号处理》第二章 连续时间信号与系统的频域分析
0 21
/4
/2
(b)相位图
图2.1-2例2.1-2的频谱图
二、指数形式的傅里叶级数
利用欧拉公式将三角形式的傅里叶级数，表示为 复指数形式的傅氏级数
其中
f t F n1 e jn1t
n
F n1
1 T
t0 T t0
f t e jn1tdt
F n1 是复常数，通常简写为 Fn 。
21t
5
4
2
sin
1t
1 2
sin
31t
解：将 f t 整理为标准形式
f
(t)
1
2cos 1t来自4cos 21t
5
4
1 2
cos
31t
2
1
2
cos
1t
4
cos
21t
4
1 2
cos
31t
2
振幅谱与相位谱如图2-1所示。
cn
2
1
1
1/2
0 1 21 31
(a) 振幅图
n
/4
31
第二章 连续时间信号与系统的频域分析 ——Fourier变换
2. 1 周期信号的傅里叶级数分析 2. 2 非周期信号的频谱--傅里叶变换 2. 3 傅里叶变换的性质及定理 2. 4 系统的频域分析方法 2. 5 无失真传输系统与滤波
LTI系统分析的一个基本任务，是求解系统对任意 激励信号的响应，基本方法是将信号分解为多个基本信 号元。
一、三角形式傅里叶级数
周期信号: f t f t nT
其中
T
是信号的最小重复时间间隔，f1
1 是信号的基波频率。 T
若 f t 满足狄里赫利条件，则 f t 可以展开为三角形
傅里叶级数的三角形式和傅里叶级数的指数形式
傅里叶级数的三角形式和傅里叶级数的指数形式一、傅里叶级数的三角形式f(t) = a0 + Σ(an*cos(nωt) + bn*sin(nωt))其中a0是直流分量，an和bn是正弦和余弦函数的系数，ω=2π/T 是角频率，n为正整数。
在傅里叶级数的三角形式中，每一项可以看作是一个振荡频率为nω的正弦或余弦波。
系数an和bn决定了每个振荡波的振幅。
因为正弦和余弦函数具有良好的振荡性质，傅里叶级数的三角形式特别适用于描述周期性信号。
f(t) = Σ(cne^(inωt))其中cn是复指数函数的系数，ω=2π/T是角频率，n为整数。
在傅里叶级数的指数形式中，每一项可以看作是一个振荡频率为nω的复指数波。
系数cn决定了每个振荡波的振幅和相位。
因为复指数函数具有完备性，可以表示任意信号，傅里叶级数的指数形式特别适用于描述非周期性信号。
三、三角形式和指数形式的比较三角形式和指数形式是等价的，可以通过欧拉公式相互转化。
但它们在使用形式和理解方式上有所差异。
1.表达形式：三角形式使用正弦和余弦函数来表示信号，而指数形式使用复指数函数来表示。
复指数函数具有更为简洁的形式，可以统一表示正弦和余弦函数。
2.计算方便性：三角形式在进行级数展开和计算各项系数时更加直观和容易理解，可以通过积分和傅里叶级数的性质来计算系数。
而指数形式在进行级数展开时具有更好的数学性质，方便进行求和和求导运算。
3. 物理意义：三角形式的系数an和bn可以直接反映信号的振幅和相位，有较强的物理意义。
指数形式的系数cn由振幅和相位共同决定，更侧重于信号的频域特性。
4.应用领域：三角形式更适用于周期性信号的分析和处理，如音频信号和电力系统中的周期性波形。
指数形式更适用于非周期性信号的频谱分析和信号处理，如通信系统中的调制信号和任意信号的变换分析。
综上所述，傅里叶级数的三角形式和指数形式在表达形式、计算方便性、物理意义和应用领域等方面存在差异。
根据不同的信号特性和分析要求，可以选择适合的形式进行信号的分解和处理。
傅立叶变换的推导
8，矩形窗函数
f (t) GT(t)
A 0
T 2
t
T 2
o th e r
F(f) f(t)ej2ftdt
T 2 T 2A ej2 ftdtj2 Af(ej2 fT 2ej2 fT 2)
j2A f [2jsin(22fT)]
ATSinf(T fT)ATsinc(fT)
第三节 傅里叶变换的性质
4，频移特性
若 f(t) ，F则(f)
F (ff0) f(t)ej2f0t
推导：f1 (t) F (ff0)ej2 ftdf 令 x f f0
则 f x f0
f1(t) F (x)ej2 (xf0)tdx F(x)ej2xtdxej2f0t
f (t)ej2f0t
5，奇偶虚实性
cos(n再1在t)
[
T 2
,
T 2
积] 分，得：
T
2
T 2
f (t ) c o s (n 1t )d t
T 2 T 2 a 2 0 c o s ( n 1 t) d t T 2 T 2 n 1 a n c o s 2 ( n 1 t) b n s in ( n 1 t) c o s ( n 1 t) d t
（1） f(t)sinc(t)
（2） f (t) gT(t T2) （3） f (t) (Tt )
（4） f
(t)
1 t
（5）f(t)cos(2fct0)
（6）H(f)rec( f )ej2f 2W
6，傅里叶变换综合练习题
（1） f(t)sinc(t) G T(t) A Tsinc(fT) G1(t)sinc(f) sin c (t) G 1 ( f) G 1 (f)
傅里叶级数
第
幅频特性和相频特性
幅频特性
1 2 1 2 F ( n 1 ) a n bn c n 2 2
7 页
相频特性 arctan bn n a n 幅频相频特性的奇偶性
an bn F ( n 1 ) 关于的偶函数（实际 n 取正值） 关于的奇函数（实际 n 取正值） 关于的偶函数 关于 的奇函数
c1
离散谱，谱线
c3
O 1
3 1
相位频谱n源自 n ~ 曲线O1
3 1
指数函数形式的傅里叶级数
级数形式 f ( t ) 系数
F ( n 1 ) e j n1t
4
n
1 F n 1 T
T1
0
f ( t ) e j n1t d t
5
也可写为 Fn
三角级数形式的傅里叶级数
2 周期信号 f t , 周期为 T1 , 基波角频率为 1 T1 在满足狄氏条件时，可展成
f (t ) a0 an cosn1t bn sin n1t
n 1
1
称为三角形式的傅里叶级数，其系数
1 t 0 T 直流分量 a0 f (t ) d t T t0 2 t 0 T 余弦分量的幅度 an t f (t ) cosn 1t d t T 0 2 t 0 T 正弦分量的幅度 bn f (t ) sinn1t d t T t0
n 1
三．两种系数之间的关系及频谱图
1 F (n1 ) T
1 T
0
T
0
f (t )e j n1t d t 利用欧拉公式
T
1 f ( t ) cosn 1t d t j T
(完整版)傅立叶级数的指数形式(图)
傅立叶级数的指数形式（图）上一回说到，利用傅立叶级数（Fourier Series，简称FS）这个数学法宝，可以将一般的周期信号分解为直流成分、基波和无穷多个高次谐波成分的叠加，从而方便地确定其频谱。
但上述的傅立叶级数表达式只是傅立叶级数的三角形式，在实用中还有傅立叶级数的指数形式，本文介绍。
一、傅立叶级数的三角形式对于一个周期为T的周期函数f T（t），在一定条件下可以在连续点t处展开为傅立叶级数的三角形式，即：（1）其中ω1=2π/T为周期函数的圆频率，也就是信号的基频；傅立叶系数分别为（2）（3）（4）在信号分析理论中a0叫做直流分量，a n叫做余弦分量系数，b n叫做正弦分量系数。
二、傅立叶级数的指数形式根据欧拉公式有（5）其中j为虚数单位，即（6）不难从傅立叶级数的三角形式导出傅立叶级数的指数形式：（7）其中傅立叶系数一般为复数（8）三、傅立叶级数的指数形式与三角形式的关系根据欧拉公式由式（7）有（9）不难看出傅立叶级数的指数形式与三角形式可以描述同一个周期信号，只是数学形式不同而已。
其中两种形式的傅立叶系数关系如下：（10）或（11）可以看出傅立叶级数的指数形式中的傅立叶系数不再是实数，而是复数。
四、周期信号的频谱分析从傅立叶级数的指数形式也可以进行频谱分析。
由式（9）得（12）可知，周期函数f T（t）包含的直流分量为（13）基波分量的振幅为（14）基波初相位为各高次谐波分量的振幅为（16）各高次谐波分量的初相位为（17）这样，周期信号f T（t）的振幅频谱函数可表示为（18）五、为什么需要傅立叶级数的指数形式？实际上，如果考虑信号的双边频谱，用傅立叶级数的指数形式更方便。
在双边频域（∞，－∞）内，周期信号的频谱函数就是傅立叶系数，即（19）傅立叶系数一般为复数，可写成（20）其模就是双边的振幅频谱其幅角φn就是双边频率各次谐波成分的初相位，其中n为整数。
再看看傅立叶级数的指数形式可写成（22）其数学含义就是说，一般周期信号可以分解为无穷多个离散频率分量的叠加，各分量的频率是基频的整数倍，振幅是傅立叶系数C n的复模，初相位是傅立叶系数C n的幅角。
信号分析与处理公式 笔记
信号分析是认识世界的方法，信号处理是改造世界的手段用阶跃函数闭式表示分段光滑信号x (t ) = 2ε(t )- 3ε(t -1) +ε(t -2)冲激函数的性质1） 与普通函数 x(t) 的乘积——筛分性质若x (t )在 t = 0 、 t = t0处存在，则 x (t )δ(t ) = x (0)δ(t ) ， x (t )δ(t –t 0) = x (a) (t –t 0) 2） 与普通函数 x(t) 的乘积再积分——抽样性质3）冲激函数与阶跃函数关系： 可见，引入冲激函数之后，间断点的导数也存在。
如 x (t ) = 2ε(t +1)-2ε(t -1) x′(t ) = 2δ(t +1)-2δ(t -1)注意：图中K 为强度，要括住！冲激函数的导数δ’(t ) （也称冲激偶信号） 1） 与普通函数 x(t) 的乘积——筛分性质2） 抽样性质 例如：★周期信号都可表示为谐波关系的正弦信号的加权和 非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示周期信号的傅里叶级数 1、傅里叶级数的三角形式)(d )()(00t x t t t t x =-⎰∞∞-δ⎰∞-=tt ττδεd )()(dt t d t )()(δδ='()()(0)()(0)()x t t x t x t δδδ'''=-00()()d ()x t t t t x t δ∞-∞''-=-⎰)42(4)(2-=t t t xδ24(2(2))t t δ=-24(2)8(2)2t t t δδ=-=-1sin()()2j t j tt e e j ωωω-=-1cos()()2j t j t t e e ωωω-=+))sin()cos(()(1110t k b t k a a t x k k k ωω++=∑∞=∑∞=++=110)cos()(k k k t k C C t x ϕω⎰∞∞--=ττδτd )()()(t x t x2、傅里叶级数的指数形式两种傅氏级数的系数间的关系:非周期信号的傅里叶变换典型非周期信号的频谱1.单边指数信号 x (t) = e –αt ε(t)， α >0实数2. 矩形脉冲信号 （门函数）3. 符号函数4. 单位冲激信号5. 单位阶跃信号 ⎰-=221111d )cos()(2T T k t t k t x T a ω∑∞-∞==k tjk k X t x 1e )(ω000a c X ==)(21k k j k k jb a e X X k -==ϕ)(21k k j k k jb a e X X k+==---ϕ()()()()()()1F 1F 2j tj tX x t x t e dt x t X X e d ωωωωωωπ∞--∞∞--∞⎧==⎡⎤⎣⎦⎪⎨⎪==⎡⎤⎣⎦⎩⎰⎰⎰∞∞--∞→==t t x T X X tj k T d e )(lim )(11ωω()()()j X X e ϕωωω=⎰∞∞-=dt t x X )()0(⎰∞∞-=ωωπd )(21)0(X x ωαωαωωαωαj j t X t j t j t +=+-==∞+-∞--⎰1e 1d e e )(0)(0()()22222sin Sa 22j t j t j t E X x t e dt E e dt e j E E ττωωωττωωωτωττω∞----∞--===-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰()()1,0sgn 1,0t x t t t >⎧==⎨-<⎩ωωαωωααj j X t 22lim )(lim )sgn(22010=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=←→→→0()()1j t j X t e dt e ωωωδ+∞---∞===⎰)(2)(2d e 1ωπδωπδω=-=←→⎰∞∞--t tj 111傅里叶变换的性质1. 线性(Linear Property)2. 对偶性(Symmetrical Property) 若 x (t ) ←→X (ω) 则3. 尺度变换性质(Scaling Transform Property) 若 x (t ) ←→X (ω) 则 其中 “a ” 为不等于零的实常数。
傅里叶变换(周期和非周期信号)
f (t) Fne jn0t n
n1
e e jn0t jn0t
e e jn0t jn0t
a0 (an
n1
2
bn
2j
)
a0
n1
( an
- jbn 2
e
jn0t
an
2
jbn
e
jn0t
)
*
F0 Fne jn0t F en jn0t
n1
n1
*
F0 a0 是实数，Fn与 F n 是一对共轭复数
n1
c0 a0
cn an2 bn2
a0
1 T
T
2 -T
f (t) dt
2
an
2 T
T
2 T
2
f (t) cosn0t dt
bn
2 T
T
2 T
2
f (t)sin n0t dt
周期信号的傅里叶变换——傅里叶级数
1、 三角函数式傅里叶级数
若周期函数 f (t) 满足狄里赫利（ Dirichlet）条件:
或
f (t) c0 cn cos(n0t n ) n1
谐波形式
ω0是基谐波角频率,简称基波频率。
例1 已知周期信号f(t)如下， 画出其频谱图。
f (t) 1
2
c
os0t
c
os(20t
5
4
)
2
s in 0t
1 2
sin
30t
解 ： 将f(t)整理为标准形式
f
(t)
1 2 cos(0t
4
f (t) a0 (an cos0t bn sin0t)
n1
a0
傅里叶级数
得信号的傅立叶展开式为： 得信号的傅立叶展开式为：
f (t ) = 1 4 1 1 sin(Ωt ) + sin(3Ωt ) + sin(5Ωt ) + ⋯ + sin( nΩt ) + ⋯, n = 1,3,5,⋯ π 3 5 n
它只含一、 奇次谐波分量。 它只含一、三、五、…奇次谐波分量。
n
因为傅里叶系数 将
an b 和
n
Fn =
1 1 1 An e jϕn = ( An cos ϕ n + jAn sin ϕ n ) = (an + jbn ) 2 2 2
系数公式带入上式得
1 Fn = T
∫
T 2
−T 2
1 f (t ) cos(nΩt )dt − j T
∫
T 2
−T 2
f (t ) sin(nΩt )dt
0, 2 = [1 − cos(nπ )] = 4 nπ nπ ,
n = 2,4,6,⋯ n = 1,3,5,⋯
将系数代入下面的式子： 将系数代入下面的式子：
∞ a0 ∞ f (t ) = + ∑ an cos(nΩt ) + ∑ bn sin( nΩt ) 2 n =1 n =1
某函数是否为奇（或偶）函数不仅与周期函数 某函数是否为奇（或偶）函数不仅与周期函数 的波形有关 而且与时间坐标原点的选择 有关， 时间坐标原点的选择有关 的波形有关，而且与时间坐标原点的选择有关 如下图是三角波的偶函数。 。如下图是三角波的偶函数。 f (t )
T 1 − 2 T 2
0
f (t )
坐标原点左移
∑Aeϕe
n
n
§4.3 周期信号的傅里叶级数
例4-3-1：将图示方波信号f(t)展开为傅里叶级数。
f (t )
1
T
T 2
0
1
T 2
T
3T 2
t
T 0 2 T 2 2 an 2T f (t ) cos(nt )dt T (1) cos(nt )dt 2 1 cos(nt )dt T 2 T 2 T 0 0 T 2 1 2 1 [ sin(nt )] T [sin(nt )] 2 T n T n 0 2
1 1 1 j n Fn An e ( An cos n jAn sin n ) (a n jbn ) 2 2 2
1 T
T 2 T 2
1 f (t ) cos( nt ) d t j T
T 2 T 2
1 f (t ) sin( nt ) d t T
2
2．级数形式
2 周期信号 f t , 周期为 T , 基波角频率为 2F T
n =1基波分量 直流分量
在满足狄氏条件时，可展成
f ( t ) a0 an cos nt bn sin nt
n 1
1
n >1谐波分量
称为三角形式的傅里叶级数，其系数
14
三．两种系数之间的关系及频谱图
1 Fn T
0
T
f (t )e j nt d t
利用欧拉公式
1 T 1 f (t ) cos nt d t j T 0 T 1 a n jbn 2
0
T
f (t ) sin nt d t
Fn
1 T
1 T
0
傅里叶级数
傅里叶变换：（频域分析）连续系统频谱分析：就是将时域的信号（可以是周期信号与非周期信号）变成频域形式并加以分析的方法。
其目的是把复杂的时域波形，经过某种变换分解为若干单一的谐波分量来研究，以获得信号的频率结构以及各谐波和相位信息。
这某种变换可以是傅里叶级数，也可以是傅里叶变换。
它们的作用都是把时域信号变成频域信号以便于信号分析。
傅里叶级数有三角级数形式和指数级数形式两种表示形式。
例如，假设有个周期信号,周期为，角频率，频率为。
要作频谱分析时，按傅里叶级数展开：三角形式的傅里叶级数******(a)直流分量：****** (a1)余弦分量幅度：****** (a2)正弦分量幅度：****** (a3)由上可见，公式a左边是一个周期信号，而右边是一个三角函数的线性组合，或也可以称为三角级数表示方式，这种三角级数的表示方式就称为傅里叶级数。
但公式(a)有个问题，就是说在每个频率点上可能会有两个三角函数，这不利于信号能量的计算或图形表示，为了便于画图我们做了一些变换，用三角公式中的合角公式对公式(a)进行了转换，把同频率的项加以合并，于是得到了余弦形式的傅里叶级数或正弦形式的傅里叶级数，如式(b),(c)。
余弦形式：****** (b)正弦形式：****** (c)由上总结：1、一个周期信号可以分解成直流分量、基波（）和各次谐波（基波角频率整数倍）的线性组合。
2、周期信号频谱具有离散型，谐波性，收敛性。
为幅度频谱关系由此可画出频谱图为相位频谱关系欧拉公式：****** (d1)****** (d2)将公式（d1）、（d2）带入公式（a）可得：****** (d3)**** (d4)**** (d5)将公式(d4)、(d5)带入(d3)可得：****** (d6)令:****** (d7)从而得到f(t)得到指数形式的傅里叶级数:****** (e)将(a2)、(a3)带入(d4)，其中可以简写成。
由此可得可得到指数形式傅里叶级数的系数：。
傅里叶级数通俗解析
傅里叶级数本文意在阐述傅里叶级数是什么，如何通过数学推导得出，以及傅里叶级数代表的物理含义。
1.完备正交函数集要讨论傅里叶级数首先得讨论正交函数集。
如果n个函数,…构成一个函数集，若这些函数在区间上满足如果是复数集，那么正交条件是为函数的共轭复函数。
有这个定义，我们可以证明出一些函数集是完备正交函数集。
比如三角函数集和复指数函数集在一个周期内是完备正交函数集。
先证明三角函数集：设，,把代入(1)得当n时===0 (n,m=1,2,3,…,n)当n=m时==再证两个都是正弦的情况设，,把代入(1)得当n时===0 (n,m=1,2,3,…,n)当n=m时==最后证明两个是不同名的三角函数的情况设，,把代入(1)得===0 (n,m为任意整数)因为两个三角函数相乘只有以上三种情况：两个皆为余弦函数相乘；两个皆为正弦函数相乘；一个为正弦函数，另一个为余弦函数相乘；三种情况皆满足正交函数集的定义，所以三角函数集为正交函数集。
至于三角函数集的完备性可以从n，m的取值为任意整数可以得出，三角函数集是完备正交函数集。
证毕。
由于三角函数集是完备正交函数集，而根据欧拉公式，我们容易联想到复指数函数集是否也是完备正交函数集呢。
接着是复指数函数集的证明设，,则把代入(2)得当n时，根据欧拉公式==0 (n,m=1,2,3,…,n)当n=m时，=1 (n,m=1,2,3,…,n)所以，复指数函数集也是正交函数集。
因为n，m的取值范围是所有整数，所以复指数函数集是完备的正交函数集。
明明是讨论傅里叶级数，为什么第一部分在阐述完备正交函数集呢。
因为，在自然界中，没有规则的信号，比如说找一个正弦信号，是完全不可能找到的。
有的是一堆杂乱的信号，无规律的波形。
我们要研究它，基本的思想是把它拆分，分解成一个一个有规律的可研究的波形，这些波形能用数学表达式准确表达出来。
把一个复杂的信号分解的过程，可以理解成用已知的可以准确表达的函数表示他，比如一个复杂的信号把它分解，就是其中，…是我们所熟悉的函数，比如二次函数，一次函数，三角函数，指数函数等等。
高等数学第七节傅里叶级数
例3. 设 f (x) 是周期为2 的周期函数,它在
的表达式为 f (x) = x , 将 f (x) 展成傅里叶级数.
解: 若不计
周期为 2 的奇函数, 因此
y
an = 0 (n = 0 ,1, 2 , )
bn
=2
0
nx
d
x
=
1 xsin π n
nx
+
cos nx n2
0 −π
=
1− cos nπ n2 π
1− (−1)n
= n2 π
an
=
1
−
cos n n2 π
π
=
2 (2k −1)2 π
0,
,
n = 2k −1 n = 2k
( k = 1, 2 , )
bn
=
1 π
π
f (x)sin nx d x
傅里叶展开
上的傅里叶级数
例4. 将函数
解: 将 f (x)延拓成以 2为周期的函数 F(x) , 则
展成傅里叶级数.
y
−π O π
x
a0
=
1 π
π
F(x)d x =
−π
1 π
π −π
f (x)d x
=π
an
=
1 π
π
−π
F (x)cos nx d
x
=
1 π
π
−π
f
(x)cos nx dx
=
2 π
n=1
cos
n
x
+ bn
sin
n
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周期信号的傅里叶级数分析 连续时间LTI 系统的时域分析: 以冲激函数为基本信号
系统零状态响应为输入信号与系统冲激响应之卷积 傅立叶分析
以正弦函数或复指数函数作为基本信号
系统零状态响应可表示为一组不同频率的正弦函数或复指数函数信号响应的加权和或积分; 周期信号: 定义在区间
，每隔一定时间 T ，按相同
规律重复变化的信号，如图所示 。
它可表示为 f (t )=f ( t +m T )
其中 m 为正整数， T 称为信号的周期，周期的倒数称为频率。
周期信号的特点：
（1） 它是一个无穷无尽变化的信号，从理论上也是无始无终的，
时间范围为
（2） 如果将周期信号第一个周期内的函数写成
，则周期信
号
可以写成
(,)-∞∞(,)-∞∞()f t
（3）周期信号在任意一个周期内的积分保持不变，即有
1. 三角形式的傅立叶级数
周期信号
，周期为1T ，角频率
11122T f π
πω=
=
该信号可以展开为下式三角形式的傅立叶级数。
[]∑∞
=++
=++++++++=1
1
1
011121211110)sin()cos(...)sin()cos(...
)2sin()2cos()sin()cos()(n
n n n n t n b t n a a t n b t n a t b t a t b t a a t f ωωωωωωωω
式中各正、余弦函数的系数
n n b a , 称为傅立叶系数,函数通过它可以完全表示。
傅立叶系数公式如下
0()()
n f t f t nT ∞
=-∞
=
-∑
()()()a T
b T
T
a
b
f t dt f t dt f t dt
++=
=⎰
⎰
⎰f t ()
⎪⎪⎪⎪⎩
⎪
⎪⎪⎪⎨⎧=====⎰⎰⎰+++Λ
Λ,2,1d sin )(2,2,1d cos )(2d )(100
00
110n t t n t f T b n t t n t f T a t t f T a T
t t n T
t t n T
t t ωω
式中积分可以取任意一个周期，一般情况下，取
) ,0(T 或
)
2 ,2(T
T
-
三角形式的傅立叶级数还可以写成下面形式
∑∞
=++
=1
1
0)
cos()(n
n n t n c c t f ϕω或
∑∞
=++
=1
1
0)
sin()(n
n n t n d d t f θω
两种形式之间系数有如下关系:
n
n n n n n n n n n b a
arctg a b arctg
b a d
c
d a c =-=+=
===θϕ,2
2
000⎭⎬
⎫
=-====n n n n n n d c b n d c a θϕθϕcos sin ,2 ,1 sin cos n n n n Λ
2．指数函数形式的傅里叶级数
)sin()cos()sin()cos(2
)sin(2)cos(:
利用欧拉公式111111111111t n j t n e t n t n e e e j
t n e e t n t jn t jn t
jn t jn t jn t jn ωωωωωωωωωωωω-=+=-=+=---
[]∑∞
=++
=1
1
1
0)sin()cos()(n
n n t n b t n a a t f ωω
∑∞
=---+++
=1
0]
2
2
[1
1
1
1
n
t
jn t jn n
t
jn t jn n e e jb e e a a ωωωω
∑∞
=-++-+=10]
)(21)(21[11n t jn n n t jn n n e jb a e jb a a ωω
令：()
n n b a n F j 21
)(1-=ω
()()⎰
⎰
-=
T
T
t
t n t f T
t t n t f T
10
1d sin )(1
j
d cos )(1
ωω
由欧拉公式
⎰
-=
T
t
n t
t f T
j d e )(1
1
ω
()
n n b a n F j 2
1
)(1+=-ω
()()⎰
⎰
+=T
T
t
t n t f T
t t n t f T
10
1d sin )(1
j
d cos )(1
ωω⎰
=
T
t
n t
t f T
j d e
)(1
1ω
令：
0)0(a F = 前面的级数可展成指数形式系数
e )()(1
j 1
t
n n n F t f ωω∑∞
-∞
==
d e )(1
)(1
1
j 1⎰
-=
=T t
n n t t f T
n F F ωω
与三角形式不同。
),,(的区间为这里:注意∞-∞n ()惟一确定。
则，)(出给如合。
组性线的e 号信数可分解成号周期信1j 1t f n F t
n ωω
有模和辐角,是一个复数)(注意：1ωn F
n
n
n n a b
arctg b a jb a n F μμ辐角等于2
其模等于
),(21)(由于221+=±ω
n
n
n n n n a b arctg
b a
c -=+=
ϕ;:在傅立叶三角表示式中2
2
()n
n
n c n F F ϕω±=
相角辐角等于三角表示的初;2
的模可知系数1)
(一地表示了他唯
,变化而变化的复数)(是一个随着频率)(11t f n n F ωω在傅立叶级数中，无论三角函数表示还是指数函数表示，都是通过三个量完整地表示一个函数：
n
n n c n F n n ϕωωωω下基底的相位值在)3(或)(下基底的幅度值在)2(频率)1(1111
)cos(三角表示的基底为指数表示的基底为11t n e
t
jn ωω。