数的开方与二次根式

第一单元
数与式
第 2 讲 数的开方与二次根式
内容 索引
备考基础 重点突破
温故知新，明确考向 分类讲练，以例求法
易错防范
辨析错因，提升考能
备考基础
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考点梳理
平方根、算术平方根与立方根
1.平方根： 一个数 x 的 平方等于 a， 那么 x 叫做 a 的平方根， 记做 x＝± a. 2.算术平方根：如果一个正数 x 的平方 等于 a，那么 x 叫做 a 的算术平 方根，记做 x＝ a.0 的算术平方根是 0. 3.立方根：如果一个数 x 的 立方等于 a，那么 x 叫做 a 的立方根，记做 x＝ a.
解
答案
类型三
二次根式的计算
【例 3】 (1)(2017· 滨州)下列计算： ①( 2)2＝2， ② －22＝2， ③(－2 3)2 ＝12，④( 2＋ 3)( 2－ 3)＝－1，其中结果正确的个数为( D )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
点拨
根据二次根式的性质可得①、②、③正确；根据平方差公
式可得④正确．
点拨
答案
9 (2)(2017· 天津)计算(4＋ 7)(4－ 7)的结果等于________ ． 点拨 根据平方差公式计算即可．
解
答案
【变式 3】
(1)(2017· 黄冈)计算： 27－6
1 3 ． 的结果是 ________ 3
解
3 原式＝3 3－6× ＝3 3－2 3＝ 3. 3
3
特别提醒
(1)± a表示 a 的平方根， a表示 a 的算术平方根，－ a表示 a 的算术 平方根的相反数， a表示 a 的立方根． 3
(2)开平方运算与平方运算是互为逆运算的关系．常用平方运算来检
验一个数是否为另一个数的平方根．
(3)开立方运算与立方运算是互为逆运算的关系．负数(在实数范围内)
不能开平方，但可以进行开立方运算．
二次根式的有关概念 1.二次根式：表示算术平方根的代数式叫做二次根式．为了方便起见，把
一个非负数的算术平方根也称为二次根式．
特别提醒 二次根式根号内字母的取值范围必须满足被开方数大于或等
于零. 2.最简二次根式：同时满足下列两个条件的二次根式叫做最简二次根式．
(1)被开方数不含开得尽方的因数或因式；
a－12＝|a－1|＝1－a，而不是 a－1；应注重分析能力的培养，提高 解题的正确性．
剖析
正确解答
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本课结束
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剖析
正确解答
分析与反思
剖析
挖掘题目中的隐含条件， 是解决数学问题的关键之一， 上题中的
2 2
1 隐含条件为 a －2a＋1＝ a－1 ＝|a－1|，而 a＝ ＝2－ 3<1， 2＋ 3 所以|a－1|＝1－a 是进行二次根式化简的依据． 1 正确解答 解：∵a＝ <1，∴a－1<0， 2＋ 3
解
答案
(2)(2017· 河北)如图为张小亮的答卷，他的得分应是( B ) A. 100分 B. 80分
B. C. 60分 解题要领
D. 40分 根据平方根、算术平方根、立方
根的概念进行答题，并可用平方运算、立方
运算来检验一个数是否为另一个数的平方根、
立方根.
答案
类型二
二次根式的概念
a≥2 ． (2017· 衢州)二次根式 a－2中字母 a 的取值范围是________ 由二次根式中的被开方数是非负数，可得出a－2≥0，解之

解

由 6－3m ＋(n－5)2＝3m－6－ m－3n2，

得 6－3m ＋(n－5)2＋ m－3n2＝3m－6，

6－3m ＋(n－5)2＋|n|· m－3＝3m－6，

∴m－3＝0 且 n－5＝0， ∴m＝3，n＝5， 即 m－n＝3－5＝－2.
方根．即16的算术平方根是16正的平方根． －2 ． (2)(2017· 宁波)实数－8的立方根是________
点拨 利用立方根定义计算即可得到结果．
点拨
答案
【变式1】 (1)(2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ17· 武威)4的平方根是( C )
A. 16
B. 2
C. ± 2
D. ± 2
解 一个正数的平方根有两个，他们互为相反数．
【例 2】
点拨
即可得出结论．
点拨
答案
【变式 2】
(2017· 南京)若 3<a< 10，则下列结论中正确的是( B )
A. 1<a<3 C. 2<a<3
解
B. 1<a<4 D. 2<a<4
根据二次根式的近似值可知：1< 3< 4＝2,3＝ 9< 10<4，
即可得出 a 的取值范围．
解题要领 二次根式 a－2 中的“a－2≥0”是定义的一个重 要组成部分，不可以省略.
∴ a2－2a＋1＝ a－12＝|a－1|＝1－a， a＋1a－1 1－a 1 ∴原式＝ － ＝a－1＋ ， a a＋1 aa－1 1 1 ∴当 a＝ 时，原式＝ －1＋(2＋ 3)＝3. 2＋ 3 2＋ 3
剖析 正确解答 分析与反思
分析与反思
1 题目中的隐含条件为 a ＝ <1 ，所以 a2－2a＋1 ＝ 2＋ 3
A. 15 B. 12 C. 8 D. 0.5
5.计算 2· 3的结果是( B ) A. 5 B. 6 C. 2 3 D. 3 2
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重点突破
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类型一
平方根、算术平方根与立方根的概念
4 【例1】 (1)(2017· 黄冈)16的算术平方根是________ ． 点拨 算术平方根的定义：一个正数的算术平方根就是其正的平
解
类型六
二次根式的创新应用
求比( 6＋ 5)6 大的最小整数．
【例 6】
点拨
注意到 6＋ 5， 根据根式的有理数因式的特征， 构造 a＝ 6＋
5，b＝ 6－ 5，使问题得以转化解决．
解
设 a＝ 6＋ 5，b＝ 6－ 5，则有 a＋b＝2 6，ab＝1.
此时 a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(2 6)2－2×1＝22， a4＋b4＝(a2＋b2)－2a2b2＝222－2×1＝482. ∴a6＋b6＝(a2＋b2)(a4＋b4)－a2b2(a2＋b2)＝22×482－12×22＝10582， ∵0< 6－ 5<1，∴0<( 6－ 5)6<1， ∴比( 6＋ 5)6 大的最小整数是 10582.
有理数中的运算律及多项式乘法、乘法公式等在二次根式的运算中仍然
适用．
特别提醒
1合并同类二次根式与合并同类项类似，将同类二次根式的“系数”
相加减，被开方数与根指数不变.
2乘、除法法则是由积、商的算术平方根的性质反过来得到的.
3把分母中的根号化去的常见方法：
1 a ① ＝a； a a＋ b a＋ b 1 ② ＝ ＝ . a－ b a－ b a＋ b a－b
解
答案
(2)(2017· 青岛)计算：
24＋
1 13 × 6＝________. 6
解
原式＝ 24× 6＋
1 × 6 6
＝ 144＋ 1＝12＋1＝13.
解题要领 根据二次根式的性质及乘法公式进行二次根式的混合运算.
解
答案
类型四
二次根式的化简
【例 4】 (2017· 枣庄)实数 a，b 在数轴上对应点的位置如图所示，化简 |a|＋ a－b2的结果是( A )
二次根式的运算 1.加减法：先将二次根式化简，再将被开方数相同的二次根式进行合并．
2.乘法： a· b＝ ab(a≥0，b≥0)． a 3.除法： ＝ b a ( a ≥ 0 ， b >0) ． b
4.二次根式的混合运算：二次根式的混合运算顺序与实数的运算顺序一样，
先乘方，后乘除，最后加减，有括号的先算括号内的．在运算过程中，
基础诊断
±2 ；4的算术平方根是________ 2 1.4的平方根是________ ．
2. x＋1中 x 的取值范围为( B ) A. x≥0 C. x>－1 B. x≥－1 D. x>1
3.64的立方根是( A )
A. 4
B. ±4
C. 8
D. ±8
4.下列二次根式中最简二次根式的是( A )
解 答案
解题要领 从二次根式有意义的条件入手，可以确定二次根式中所含
字母的值或取值范围，从而使复杂问题简单化，进而得出问题的答案.
类型五
二次根式的非负性
(2017· 济宁)若 2x－1＋ 1－2x＋1 在实数范围内有意义，则
【例 5】
x 满足的条件是( C ) 1 A. x≥2 1 B. x≤2 1 C. x＝2 1 D. x≠2
试题
2 2 a － 1 a －2a＋1 1 已知：a＝ ，求 － 的值． 2 2＋ 3 a＋1 a －a
错误答案展示
a＋1a－1 a－12 解：原式＝ － a ＋1 aa－1
a－1 1 ＝a－1－ ＝ a －1 －a . aa－1 1 1 当 a＝ 时，原式＝ －1－(2＋ 3)＝－1－2 3. 2＋ 3 2＋ 3
(2)被开方数不含分母(包括小数)．
二次根式的性质
1.( a)2＝a(a≥0)．
a a≥0， 2. a2＝|a|＝ －a a<0.
3. ab＝ a· b(a≥0，b≥0)． 4. a a b＝ b(a≥0，b>0)．
特别提醒 对于 a2＝a 与 a2＝|a|，需要注意的是 a2 的运算中本身隐含着 a≥0， 而 a2的运算中 a 可以取全体实数.
点拨
要使 2x－1＋ 1－2x＋1 有意义，则必满足 2x－1≥0，且
1－2x≥0.
点拨
答案
【变式 5】
x－2＋ 2－x 已知 y＝ ＋5，求 yx 的值． 2017x＋2
解
∵x－2≥0,2－x≥0，
∴x－2＝0， ∴x＝2，y＝5， ∴y2＝52＝25. 解题要领 当互为相反数的两个被开方数在同一个式子中出 现时，可由非负性判断出被开方数为0，即可求解.
点拨 解
【变式 6】
求( 10＋ 6)4 的整数部分．
解
设 a＝ 10＋ 6，b＝ 10－ 6，
则有 a＋b＝2 10，ab＝4， ∴a2＋b2＝32，a4＋b4＝992， ∵0<b<1， ∴0<b <1，
4
∴( 10＋ 6)4 的整数部分是 991.
解
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易错警示系列 2
注意二次根式运算中隐含条件
A. －2a＋b
点拨
解
B. 2a－b
C. －b
D. b
直接利用数轴上a，b的位置，进而得出a＜0，a－b＜0，
再利用绝对值以及二次根式的性质化简得出答案．
由图可知：a＜0，a－b＜0， 则|a|＋ a－b2＝－a－(a－b)＝－2a＋b.
点拨 解 答案
－2 【变式 4】 已知 6－3m ＋(n－5)2＝3m－6－ m－3n2， 则 m－n＝_____.