平面向量综合练习题

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平面向量练习题及答案

平面向量练习题及答案一、选择题1. 设向量a和向量b是两个不共线的向量，若向量c=2向量a-3向量b，向量d=向量a+4向量b，那么向量c和向量d的夹角的余弦值是（）A. 1/2B. -1/2C. 0D. 12. 若向量a和向量b的模长分别为3和4，且它们的夹角为60°，则向量a和向量b的点积是（）A. 6B. 12C. 15D. 183. 已知向量a=（1，2），向量b=（3，4），则向量a和向量b的向量积的大小是（）A. 5B. 6C. 7D. 8二、填空题4. 若向量a=（x，y），向量b=（2，-1），且向量a与向量b共线，则x=______，y=______。

5. 向量a=（3，4），向量b=（-1，2），则向量a和向量b的夹角的正弦值是______。

三、计算题6. 已知向量a=（2，3），向量b=（4，-1），求向量a和向量b的点积。

7. 已知向量a=（-1，3），向量b=（2，-4），求向量a和向量b的向量积。

8. 已知向量a=（1，0），向量b=（2，3），求向量a在向量b上的投影。

四、解答题9. 设向量a=（1，-1），向量b=（2，3），求证向量a和向量b不共线。

10. 已知向量a=（x，y），向量b=（1，1），若向量a和向量b的点积为6，求x和y的值。

答案：1. B2. C3. B4. 2，-15. 根号下（（3+4）的平方-（3*(-1)+4*2）的平方）除以（5*根号下2）6. 向量a和向量b的点积为：2*4+3*(-1)=57. 向量a和向量b的向量积为：(3*(-4)-4*2)i-(2*3-1*4)j=-20i+2j8. 向量a在向量b上的投影为：(向量a·向量b)/向量b的模长^2 * 向量b = (1*2+0*3)/(2^2+3^2) * 向量b = (2/13) * (2，3)9. 证：假设向量a和向量b共线，则存在实数k使得向量a=k向量b。

平面向量专题练习(带答案详解)

平面向量专题练习(带答案详解) 平面向量专题练（附答案详解）一、单选题1.已知向量 $a=(-1,2)$，$b=(1,1)$，则 $a\cdot b$ 等于（）A。

3 B。

2 C。

1 D。

02.已知向量 $a=(1,-2)$，$b=(2,x)$，若 $a//b$，则 $x$ 的值是（）A。

-4 B。

-1 C。

1 D。

43.已知向量 $a=(1,1,0)$，$b=(-1,0,2)$，且 $ka+b$ 与 $2a-b$ 互相垂直，则 $k$ 的值是（）A。

1 B。

5/3 C。

3/5 D。

7/54.等腰直角三角形 $ABC$ 中，$\angle ACB=\frac{\pi}{2}$，$AC=BC=2$，点 $P$ 是斜边 $AB$ 上一点，且 $BP=2PA$，那么 $CP\cdot CA+CP\cdot CB$ 等于（）A。

-4 B。

-2 C。

2 D。

45.设 $a,b$ 是非零向量，则 $a=2b$ 是成立的（）A。

充分必要条件 B。

必要不充分条件 C。

充分不必要条件 D。

既不充分也不必要条件6.在 $\triangle ABC$ 中 $A=\frac{\pi}{3}$，$b+c=4$，$E,F$ 为边 $BC$ 的三等分点，则 $AE\cdot AF$ 的最小值为（）A。

$\frac{8}{3}$ B。

$\frac{26}{9}$ C。

$\frac{2}{3}$ D。

$3$7.若 $a=2$，$b=2$，且 $a-b\perp a$，则 $a$ 与 $b$ 的夹角是（）A。

$\frac{\pi}{6}$ B。

$\frac{\pi}{4}$ C。

$\frac{\pi}{3}$ D。

$\frac{\pi}{2}$8.已知非零向量 $a,b$ 满足 $|a|=6|b|$，$a,b$ 的夹角的余弦值为 $\frac{1}{3}$，且 $a\perp (a-kb)$，则实数 $k$ 的值为（）A。

18 B。

平面向量综合题答案

1、已知O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足[).,0(+∞∈++=λλ则P 点的轨迹一定通过△ABC 的（A ）A ．重心B ．垂心C ．内心D ．外心3、已知向量OA ,OB 的夹角为60°，|OA |=|OB |=2，若OC =2OA +OB ,则△ABC 为（ C ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形D. 等腰直角三角形【方法】选择基底；数量积公式4、非零向量OA a =，OB b =，若点B 关于OA 所在直线的对称点为1B ，则向量1OB OB +为（ A ）A 、22(a b )aa⋅ B 、2(a b )aa⋅ C 、2(a b )aa⋅ D 、(a b )a a⋅【方法】待定系数法；向量三角形法则5、如右图所示，,,A B C 是圆O 上的三点，CO 的延长线与线段AB交于圆内一点D ，若OC xOA yOB =+，则( C ) A ．01x y <+< B ．1x y +>C ．1x y +<-D ．10x y -<+<6、定义平面向量的正弦积为||||sin 2a b a b θ⋅=，（其中θ为a 、b 的夹角），已知△ABC 中，AB BC ⋅=BC CA ⋅，则此三角形一定是（ A ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形7、已知四边形ABCD的对角线相交于一点,()1,3 AC=,()3,1BD=-,则AB CD⋅的取值范围是（）A.()2,0B.(]4,0C.[)0,2-D.[)0,4-【答案】C．【解析】取(0,0)A,则(1,3)C；设11(,)B x y,22(,)D x y,则21213,1.x xy y⎧-=-⎪⎨-=⎪⎩所以()()1122,3,1AB x y x y==+-,()221,3CD x y=--,求得22223131()()2222AB CD x y-+⋅=++--≥-,当1131,231,2xy⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩且2231,231,2xy⎧-+=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩时,AB CD⋅取到最小值2-,此时四边形ABCD的对角线恰好相交于一点,故选C.9、已知点OAOQOPAyxyxyxyxP(sin),0,3(,13211294:),(∠⎪⎩⎪⎨⎧≤--≤-+≥-+则设的坐标满足为坐标原点）的最大值为 510、如图，已知1||=→OA,3||=→OB，0=⋅→→OBOA点C在线段AB上，且AOC∠=030，设→→→+=OBnOAmOC，）（Rnm∈,则mn等于 311、已知→→ba，为平面向量，若→→+ba与→a的夹角为3π，→→+ba与→b的夹角为4π，则→→||||ba=【解】图解法12、已知直线x y a +=与圆224x y +=交于,A B 两点，且||||OA OB OA OB +=-（其中O 为坐标原点），则实数a 的值为 2或2-13、设O 为ABC ∆的外心，且543=++ ，则ABC ∆的内角C 的值为4π【方法】基底选择C AOB ∠=∠2 , o 22900)5()43(=∠⇒=•⇒-=+→→→→→AOB OB OA OC OB OA15、设P 为ABC ∆所在平面内一点，且→→→→=--025AC AB AP ，则PAB ∆的面积与ABC ∆的面积之比等于 15【方法】图解法；向量平行四边形法则16、在直角△ABC 中，︒=∠90BCA ，1==CB CA ，P 为AB 边上的点且AB AP λ=，若PB PA AB CP ⋅≥⋅，则λ的取值范围是 ]1,222[- 【方法】建立坐标系18、在ABC ∆中，点D 在线段BC 的延长线上，且→→=CD BC 3，点O 在线段CD 上（与点C 、D 不重合），若→→→-+=AC x AB x AO )1(则x 的取值范围是 1(,0)3-【方法】选择基底；向量相等19、在△ABC 中，E 、F 分别为AB ，AC 中点．P 为EF 上任一点，实数x ，y 满足PA +x PB +y PC =0．设△ABC ，△PBC ，△PCA ，△P AB 的面积分别为S ，1S ，2S ，3S ，记11S S λ=，22SS λ=，33S Sλ=，则当λ2·λ3取最大值时，2x +y 的值为220、已知向量与AC 的夹角为0120,32==,若+=λ,且,⊥,则实数λ的值为712 【解析】 0)()(=-⋅+=⋅λ得712039430))()(22=⇒=++--⇒=⋅-+-⋅λλλλλAB AC AC AB AC AB ,选D21、已知向量与AC 的夹角为0120,32==,若+=λ,且,⊥,则实数λ的值为712 【解】 0)()(=-⋅+=⋅λ得712039430))()(22=⇒=++--⇒=⋅-+-⋅λλλλλ,选D 22、已知点G 是ABC ∆的重心，AB μλ+=(λ, R ∈μ )，若0120=∠A ，2-=⋅AC AB3223、在矩形ABCD P若→→→+=AD AB AP μλ,24、P 是ABC ∆所在平面上一点，满足→→→→=++AB PC PB PA 2，若12ABC S ∆=，则PAB ∆的面积为4【解析】由()22PA PB PC AB PB PA ++==-，得3PA PB PC CB =-=，所以PABC ，且13PA BC=，ABC∆的边AB上的高是ABP∆边AB上的高的3倍，所以13ABPABCSS∆∆=，由12,4ABC ABPS S∆∆=∴=25、已知点O为ABC∆内一点，且→→→→=++0OCOBOA则:ABC BOCS S∆∆=________3:1．【解】330OA OB OC OA OA AB OA AC OA AB AC OA AD++=++++=++=+=，即3AO AD=，又12AE AD=，所以有21,33AO AE OE AE==即，则:ABC BOCS S∆∆=3:1AE OE=:.26、已知菱形ABCD的边长为a，∠DAB=60°，2EC DE=，则.AE DB的值为32a-．27、如图，∆AOB为等腰直角三角形，1OA=，CO为斜边AB的高，点P在射线CO上，则AP⋅OP 的最小值为18-．【解析】如图所示，AP =OP -OA ，设0t OP =≥．∴()2AP ⋅OP =OP -OA ⋅OP =OP -OA ⋅OP2222112488t t t⎛⎫=-=--≥- ⎪ ⎪⎝⎭，当24t =时取等号，∴AP ⋅OP 的最小值为18-．28、在长方形ABCD 中，，，12==AD AB 点N M 、分别是CD BC 、边上的点，且._________,的取值范围是则AN AM CDCN BCBM ⋅=2),(4329、在ABC ∆中，若D 是AB 的中点，P 在线段CD 上移动，当222CP BP AP ++最小时，求:PC PD 的比值为 230、在ABC ∆中，D 是BC 上一点，→→-=DB DC 2，若2||=→AB ,3||=→AC ，则||→AD 的取值范围为 .)37,31(31、已知平面向量)(,βαβα≠满足2=α，且α与αβ-的夹角为120°，t R ∈，则βαt t +-)1( 的取值范围是 ),3[+∞．32、设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，ABC ∆中BC 边上的高为h ,且216BC =||||→→→→-=+AC AB AC AB 则h 的最大值为_____________2.平面向量8．O 是ABC ∆所在平面内一点，动点P 满足(),0sin sin AB AC OP OA AB BAC Cλλ=++>，则动点P 的轨迹一定通过ABC ∆的（ C ）(A) 内心 (B) 外心 (C) 重心 (D) 垂心10．如图放置的正方形, 1.,ABCD AB A D =分别在x 轴、y 轴的正半轴（含原点）上滑动，则OC OB ⋅的最大值是（ D ） (A) 1 (B)2(C) 3 (D) 2ABOC第10题图13．已知正△ABC 的边长为1，点G 为边BC 的中点，点,D E 是线段,AB AC 上的动点，DE 中点为F ．若AD AB λ=，(12)AE AC λ=-()λ∈R ，则FG 的取值范围为 17,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦．14@．如图,//AB MN ，且2OA OM =，若OP xOA yOB =+，（其中,x y R ∈），则终点P 落在阴影部分（含边界）时，21y x x +++的取值范围是 4[,4]3 .16．已知O 是ABC ∆的外心，2,3AB AC ==，若AO xAB y AC =+且21x y +=，则cos BAC ∠=4316．已知(0,0)O ，(cos ,sin )A αα，(cos ,sin )B ββ，(cos ,sin )C γγ，若(2)0kOA k OB OC +-+=，(02)k <<，则cos()αβ-的最大值是 12-．14．已知向量,a b 满足：||13a =,||1b =,|5|12a b -≤，则b 在a 上的投影的取值范围是 5113[,].8.(2009山东卷理)设P 是△ABC 所在平面内的一点，2BC BA BP +=，则（） A.0PA PB += B.0PC PA += C.0PB PC += D.0PA PB PC ++= 【解析】:因为2BC BA BP +=，所以点P 为线段AC 的中点，所以应该选B 。

(完整版)平面向量练习题(附答案)

平面向量练习题一．填空题。

1．AC DB CD BA 等于________．2．若向量a＝（ 3，2）， b＝（0，－1），则向量2b－a的坐标是________．3．平面上有三个点A（ 1，3），B（ 2，2），C（ 7，x），若∠ ABC ＝90°，则 x 的值为 ________．4.向量 a、b 知足 |a|=1,|b|= 2 ,(a+b)⊥(2a-b),则向量a与b的夹角为________．5．已知向量 a＝（ 1， 2）， b＝（ 3， 1），那么向量 2a－1b 的坐标是 _________．26．已知 A（－ 1， 2），B（ 2， 4）， C（4，－ 3）， D （ x，1），若AB与CD共线，则 | BD |的值等于 ________．7．将点 A（ 2， 4）按向量 a＝（－ 5，－ 2）平移后，所获得的对应点A′的坐标是 ______．8.已知 a=(1, －2), b =(1,x), 若 a⊥b,则 x 等于 ______9.已知向量 a, b 的夹角为120，且 |a|=2,| b |=5,则（ 2a- b）· a=______10.设 a=(2, － 3), b =(x,2x), 且 3a· b =4, 则 x 等于 _____11.已知 AB( 6,1), BC ( x, y), CD ( 2, 3), 且 BC ∥DA，则x+2y的值为_ ____12.已知向量a+3 b, a-4 b 分别与 7a-5 b,7a-2 b 垂直，且 |a|≠ 0,| b |≠ 0，则 a 与 b 的夹角为 ____uuur uuur uuur13．在△ ABC中， O 为中线 AM 上的一个动点，若AM=2 ，则OA OB OC 的最小值是.14．将圆x2y 2 2 按向量v=（2，1）平移后，与直线 x y0 相切，则λ的值为.二．解答题。

15．设平面三点A（ 1， 0）， B（ 0，1）， C（ 2， 5）．（1）试求向量 2 AB＋AC的模；（2）试求向量AB 与 AC 的夹角；（3）试求与BC垂直的单位向量的坐标．16.已知向量a=( sin,cos)（R ）,b=(3,3 )（1）当为什么值时，向量a、b 不可以作为平面向量的一组基底1（2）求 |a －b|的取值范围17．已知向量 a 、 b 是两个非零向量，当 a+tb(t ∈R)的模取最小值时，（1）求 t 的值（2）已知 a 、 b 共线同向时，求证b 与 a+tb 垂直18. 设向量 OA (3,1), OB ( 1,2) ，向量 OC 垂直于向量 OB ，向量 BC 平行于 OA ，试求 OD OA OC 时,OD 的坐标 .19.将函数 y= － x 2 进行平移，使获得的图形与函数 y=x 2－ x － 2 的图象的两个交点对于原点对称 .(如图 )求平移向量 a 及平移后的函数分析式 .20.已知平面向量 a( 3, 1), b (1, 3).若存在不一样时为零的实数k 和 t,使2 2x a (t 23)b, y ka t b, 且 x y.（ 1）试求函数关系式 k=f （ t ）（ 2）求使 f （ t ）>0 的 t 的取值范围 .21 11. 02.（－ 3，－ 4）3.74.90°5.（ 2 ， 3 2 ）．6.73 ． 7.（－ 3， 2）．8.－ 29.12110. 311.012. 90 ° 13.214.1或 515. （ 1）∵AB ＝（ 0－ 1， 1－0）＝（－ 1， 1）， AC ＝（ 2－ 1， 5－ 0）＝（ 1，5）．∴ 2 AB ＋ AC ＝ 2（－ 1， 1）＋（ 1， 5）＝（－ 1， 7）．∴ |2AB ＋ AC |＝ ( 1)2 72 ＝ 50．（2）∵ | AB |＝( 1)212＝ 2 ．|AC |＝ 12 52 ＝ 26 ，AB ·AC ＝（－ 1）× 1＋ 1×5＝ 4．AB AC4 2 13∴ cos ＝ | AB | | AC | ＝ 226＝ 13 ．（3）设所求向量为m ＝（ x ， y ），则 x 2＋ y 2＝ 1． ①又 BC ＝（ 2－ 0， 5－ 1）＝（ 2，4），由 BC ⊥ m ，得 2 x ＋ 4 y ＝ 0．②x 2 5x －2555y5 ． y5 ．2 55 2 555 55）或（－ 55）即由①、②，得 5 或 ∴ （，－，为所求．16．【解】（1）要使向量 a 、 b 不可以作为平面向量的一组基底，则向量 a 、 b 共线3sin3 cos30 tan∴3k(k Z ) k(kZ ) 故6，即当6基底时，向量 a 、b 不可以作为平面向量的一组（2） | a b | (sin 3) 2 (cos 3)2 13 2( 3 sin3cos )而 2 33 sin3cos2 3∴ 2 3 1 | a b | 2 3 1317．【解】（1）由 ( a tb) 2| b |2 t 22a bt| a |2t2a b| a |cos(是a与b的夹角）当2 | b |2| b |时 a+tb(t ∈ R)的模取最小值| a |t（2）当 a、 b共线同向时，则0，此时| b |∴ b (a tb) b a tb2b a | a ||b | | b || a | | a || b | 0∴b⊥ (a+tb)18．解：设OC(x, y),OC OB OCOB 0 2 y x0①又BC // OA,BC(x1, y2)3( y 2)( x 1) 0即：3y x7②x14,联立①、②得y710分OC(14,7),于是 OD OC OA(11,6) .19．解法一：设平移公式为x x hy y k 代入 y x2，获得y k( x h) 2 .即 y x22hx h 2k ，把它与 y x 2x2联立，y x 22hx h 2k得yx 2x 2设图形的交点为（x1， y1），（ x2， y2），由已知它们对于原点对称，x1x2即有：y1y2 由方程组消去y得：2x2(12h) x 2 h 2k 0.4x 1 x 21 2h且x 1x 20得h1 . 由22又将（x 1, y1 ），( x 2, y 2 )分别代入①②两式并相加，得： y 1 y 2x 12 x 22 2hx 1 x 2 h 2 k 2.0 (x 2x 1 )( x 2x 1 ) (x 1x 2 ) 1 k 2k9.a ( 1 , 9)4. 解得42 4 .xx12y y9x2得： yx 2平移公式为：4 代入 yx2 .解法二：由题意和平移后的图形与y x 2x2交点对于原点对称，可知该图形上全部点都能够找到对于原点的对称点在另一图形上，所以只需找到特点点即可.y x2x2的极点为(1, 9)1 , 924 ，它对于原点的对称点为（ 2 4 ），即是新图形的极点 .因为新图形由 yx 2h1 0 1, k 99平移获得，所以平移向量为22 44 以下同解法一 .20．解：（ 1）xy, x y 0.即[( at 2 3)b]( k a tb)0.a b0, a 221,4k t(t23) 0,即k1t(t 23).4,b1t (t 24（ 2）由 f(t)>0, 得3) 0,即t (t3)(t3)0,则3t 0或t3.45。

平面向量与数列函数的综合运用练习初二数学下册综合算式专项练习题

平面向量与数列函数的综合运用练习初二数学下册综合算式专项练习题一. 平面向量综合题1. 已知向量AB = 3i - 2j，向量AC = -4i + 3j，求向量BC。

解: 由向量相减得到向量BC = AC - AB。

BC = (-4i + 3j) - (3i - 2j)= -4i + 3j - 3i + 2j= -7i + 5j所以向量BC = -7i + 5j。

2. 已知向量AB = 2i + 3j，向量AC = 5i - j，求向量BA 和向量CA。

解:向量BA = -AB = -(2i + 3j) = -2i - 3j向量CA = -AC = -(5i - j) = -5i + j所以向量BA = -2i - 3j，向量CA = -5i + j。

二. 数列函数综合题1. 给定数列 {an} 的通项公式为 an = 3n + 2，计算前5项的和 Sn。

解:数列的前5项分别为 a1 = 3(1) + 2 = 5, a2 = 3(2) + 2 = 8, a3 = 3(3) + 2 = 11, a4 = 3(4) + 2 = 14, a5 = 3(5) + 2 = 17。

前5项的和 Sn = a1 + a2 + a3 + a4 + a5 = 5 + 8 + 11 + 14 + 17 = 55。

所以前5项的和 Sn = 55。

2. 给定数列 {bn} 的通项公式为 bn = 2n^2 + n，计算前4项的乘积Pn 和后4项的平均数 Mn。

解:数列的前4项分别为 b1 = 2(1^2) + 1 = 3, b2 = 2(2^2) + 2 = 10, b3 =2(3^2) + 3 = 21, b4 = 2(4^2) + 4 = 36。

前4项的乘积 Pn = b1 * b2 * b3 * b4 = 3 * 10 * 21 * 36 = 22680。

数列的后4项分别为 b5 = 2(5^2) + 5 = 55, b6 = 2(6^2) + 6 = 90, b7= 2(7^2) + 7 = 147, b8 = 2(8^2) + 8 = 232。

(完整word版)《平面向量》综合测试题

《平面向量》综合测试题一、选择题1. 若A （2，-1），B （-1，3），则AB 的坐标是 ( ) A.（1，2） B.（-3，4） C. （3，-4） D. 以上都不对2.与a =（4，5）垂直的向量是 ( ) A.（-5k ,4k ） B. (-10，2） C. (54,k k-) D.（5k , -4k ） 3. △ABC 中,BC =a , AC =b ,则AB 等于 ( ) A.a+b B.-(a+b ) C.a-b D.b-a 4.化简52(a －b )－31(2a +4b )+152(2a +13b )的结果是 ( ) A.51a ±51b B.0 C. 51a +51b D. 51a －51b 5.已知|p |=22,|q |=3, p 与q 的夹角为4π,则以a =5p +2q ,b =p －3q 为邻边的平行四边形的一条对角线长为 ( )A.15B.15C. 16D.146.已知A (2,-2),B (4,3),向量p 的坐标为(2k -1,7)且p ∥AB ,则k 的值为 ( ) A.109-B.109C.1019-D.1019 7. 已知△ABC 的三个顶点，A 、B 、C 及平面内一点P 满足PA PB PC AB ++=，则点P 与△ABC 的关系是 ( )A. P 在△ABC 的内部B. P 在△ABC 的外部C. P 是AB 边上的一个三等分点D. P 是AC 边上的一个三等分点 8.在△ABC 中，AB =c , BC = a , CA =b ,则下列推导中错误的是 ( ) A.若a ·b <0,则△ABC 为钝角三角形 B. 若a ·b =0,则△ABC 为直角三角形 C. 若a ·b =b ·c ,则△ABC 为等腰三角形 D. 若c ·( a +b +c )=0,则△ABC 为等腰三角形9.设e 1,e 2是夹角为450的两个单位向量,且a =e 1+2e 2,b =2e 1+e 2,,则|a +b |的值 ( ) A.23 B.9 C.2918+ D.223+10.若|a |=1,|b a -b )⊥a ,则a 与b 的夹角为 ( )A.300B.450C.600D.750二、填空题11.在△ABC,4=且,8=⋅AC AB 则这个三角形的形状是 .12.一艘船从A 点出发以h km /32的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为h km /2，则船实际航行的速度的大小和方向是 .13. 若向量)4,7(),1,2(),2,3(-=-=-=c b a ,现用a 、b 表示c ,则c= . 14.给出下列命题:①若a 2+b 2=0,则a =b =0;②已知A ),,(11y x B ),(22y x ,则);2,2(212121y y x x ++= ③已知a ,b ,c 是三个非零向量,若a +b =0,则|a·c |=|b·c |④已知0,021>>λλ,e 1,e 2是一组基底,a =λ1e 1+λ2e 2则a 与e 1不共线,a 与e 2也不共线; ⑤若a 与b 共线,则a·b =|a |·|b |.其中正确命题的序号是 . 三、解答题15.如图,ABCD 是一个梯形,CD AB ,//=, M 、N 分别是AB DC ,的中点,已知=AB a ,=AD b ,试用a 、b 表示,DC BC 和.MN16设两个非零向量e 1、e 2不共线.如果AB =e 1+e 2,=BC 2e 1+8e 2,CD =3(e 1-e 2) ⑴求证:A 、B 、D 共线;⑵试确定实数k,使k e 1+e 2和e 1+k e 2共线.17.已知△ABC 中,A (2,4),B (-1,-2),C (4,3),BC 边上的高为AD .⑴求证:AB ⊥AC ;⑵求点D 与向量AD 的坐标.18.已知二次函数f (x ) 对任意x ∈R，都有f (1-x )=f (1+x )成立，设向量a =(sin x ,2), b =(2sin x ,21),ABNMDCc =(cos2x ,1),d =(1,2)。

平面向量复习综合练习题及答案

A． B． C． D．4
10、（全国2 理5）在?ABC中，已知D是AB边上一点，若 =2 ， = ,则?=
(A) (B) (C) - (D) -
11、（北京理4）已知是所在平面内一点，为边中点，且，那么
Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．
12、（福建理4文8）对于向量，a、b、c和实数，下列命题中真命题是
A.(2,14)B.(2,- )C.(-2, )D.(2,8)
答案：选B
16．定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下:对任意的a=(m,n),b=(p,q),令a⊙b= mq-np,下面说法错误的是（）
A．若a与b共线,则a⊙b =0B．a⊙b =b⊙a
C．对任意的 R,有( a)⊙b = (a⊙b)D．(a⊙b)2+(a·b)2= |a|2|b|2
求。
31、已知A（2，0），B（0，2），C（cos ，sin ），且0< <
（1）若|OA+OC|= ，求OB与OC的夹角；
（2）若AC⊥BC，求tan 的值。
32、
求证：（1）A、B、D三点共线．
33、已知之间有关系，其中k＞0,
（1）k表示；（2）求的最小值，并求此时夹角的大小。
20．P是圆C: 上的一个动点,A( ,1),则的最小值为______2( -1)
21．已知 =(3,2), =(-1,0),向量 + 与 -2 垂直,则实数的值为_________1
22．在直角三角形中, ,点是斜边上的一个三等分点,则
23、（江西理15）如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，则的值为．
(1)求角的大小；

期末专题01 平面向量综合学生版

期末专题01平面向量综合一、单选题1.(2022春·江苏泰州·高一统考期末)已知向量a =1,t ，b =3,-6 ，且a ⎳b ，则实数t =()A.-12B.-2C.12D.22.(2022春·江苏扬州·高一统考期末)已知向量a =2,4 ，b =1,x ，且a ⎳b，则x =()A.2B.-2C.8D.-83.(2022春·江苏宿迁·高一沭阳县修远中学校考期末)已知向量|a |=2，b 在a 方向上的投影向量为-2a ，则a⋅b =()A.4B.8C.-8D.-44.(2022春·江苏南通·高一统考期末)在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，且3CD =CA +2CB ，则()A.AD =2BDB.AD =12DBC.AD =2DBD.AD =13AB5.(2022春·江苏南通·高一统考期末)已知向量a ，b 满足a +b = a -b =233a，则a +b ，a=()A.5π6B.2π3C.π3D.π66.(2022春·江苏徐州·高一统考期末)在△ABC 中，BD =2DA ，若CB =λCA +μCD ，则λμ的值为()A.-23B.-32C.23D.327.(2022春·江苏无锡·高一统考期末)已知△ABC 的外接圆圆心为O ，且2AO =AB +AC ，|OA |=|AB|，则向量BA 在向量BC上的投影向量为()A.14BCB.34BCC.12BCD.-34BC8.(2022春·江苏无锡·高一统考期末)已知向量a =(1,0)，b =(1,1)，若a +λb 与λa +b共线，则实数λ的值为()A.-1B.1C.±1D.09.(2022春·江苏常州·高一统考期末)已知非零向量a ，b 满足b =2a ，且a +b ⊥a ，则a +b 与b 的夹角为()A.π6 B.π3C.2π3 D.5π610.(2022春·江苏盐城·高一统考期末)在△ABC 中，AB =AC =2，∠A =120°，点M 满足AM =λAB+μAC ，λ+2μ=1，则AM 的最小值为()A.217B.2114C.2D.111.(2022春·江苏南京·高一江苏省江浦高级中学校联考期末)已知i ，j 是平面内互相垂直的单位向量，且a=i +2j ，b =-3i +4j ，则a 与b 夹角余弦值为()A.55B.12C.58D.1512.(2022春·江苏镇江·高一统考期末)某人向东偏北60°方向走50步，记为向量a；向北偏西60°方向走100步，记为向量b ；向正北方向走200步，记为向量c ．假设每步的步长都相等，则向量c可表示为()A.23a +bB.a +23bC.2a +3bD.3a+2b 13.(2022春·江苏宿迁·高一统考期末)在△ABC 中，BO =2OC ，过点O 的直线分别交直线AB ,AC 于M ，N两个不同的点，若AB =mAM ,AC =nAN，其中m ，n 为实数，则m 2+4n 2的最小值为()A.1B.4C.92D.514.(2022春·江苏南通·高一统考期末)已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，若2a -b +c =0，则c=()A.3B.7C.3D.115.(2022春·江苏南通·高一金沙中学校考期末)如图，矩形ORTM 内放置5个边长均为1的小正方形，其中A ，B ，C ，D 在矩形的边上，且E 为AD 的中点，则AE +BC ⋅BD=()A.-7B.-5C.5D.7二、多选题16.(2022春·江苏南京·高一南京市中华中学校考期末)如果a ,b是两个单位向量，则下列结论中正确的是()A.a =bB.a=±bC.a 2=b2 D.a=b17.(2022春·江苏常州·高一统考期末)设向量a ，b 满足a =b =1，且a-3b =13，则下列结论正确的是( ).A.a ,b =13πB.a +b =12C.a -b=3D.a+3b =718.(2022春·江苏徐州·高一统考期末)设向量a ，b 满足a +b =a -b=1，则()A.a 与b的夹角为60°B.a 2+b 2=1C.a +2b ⋅2a +b=2D.a ⊥b19.(2022春·江苏宿迁·高一沭阳县修远中学校考期末)下列说法错误的是()A.零向量没有方向B.共线向量是同一条直线上的向量C.若向量e 1 与向量e 2 共线，则有且只有一个实数λ，使得e1=λe 2D.|a ⋅b |≤|a |⋅|b |20.(2022春·江苏南通·高一统考期末)向量是近代数学中重要和基本的概念之一，它既是代数研究对象，也是几何研究对象，是沟通代数与几何的桥梁.若向量a ，b 满足a = b =2，a +b=23，则()A.a ⋅b=-2 B.a 与b 的夹角为π3C.a -b <a +bD.a -b 在b 上的投影向量为12b21.(2022春·江苏泰州·高一统考期末)如图，已知菱形ABCD 的边长为6，E 为BC 中点，CF =2FD，下列选项正确的有()A.EF =12AD -23ABB.若∠BAD =60°，则AF=213C.若∠BAD =60°，则AC ⋅EF=9 D.-21<AE ⋅EF<-922.(2022春·江苏苏州·高一校考期末)如图所示，四边形ABCD 为梯形，其中AB ⎳CD ，AB =2CD ，M ，N 分别为AB ，CD 的中点，则结论正确的是()A.AC =AD +12ABB.CM =12CA +12CBC.MN =AD +14ABD.BC =AD +12AB23.(2022春·江苏常州·高一校联考期末)如图所示设Ox ，Oy 是平面内相交成θθ≠π2 角的两条数轴，e 1 ，e 2 分别是与x ，y 轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系xOy 为θ反射坐标系，若OM =x e 1 +y e 2，则把有序数对x ,y 叫做向量OM 的反射坐标，记为OM =x ,y ．在θ=23π的反射坐标系中，a =1,2 ，b =2,-1 ．则下列结论中，错误的是()A.a -b=-1,3B.a=3C.a ⊥bD.a 在b 上的投影向量为-3714b 24.(2022春·江苏宿迁·高一统考期末)下列说法中错误的是()A.若a ∥b ,b ∥c ，则a ∥cB.若a ⋅b =a ⋅c ．且a≠0，则b =cC.已知|a |=6,|b |=3,a ⋅b =12，则a 在b 上的投影向量是43bD.三个不共线的向量OA ,OB ,OC 满足OA ⋅AB |AB |+CA |CA | =OB ⋅BA |BA |+CB|CB |=OC ⋅BC |BC |+CA|CA |=0，则O 是△ABC 的外心25.(2022春·江苏淮安·高一统考期末)我国古代数学家早在几千年前就已经发现并应用勾股定理了，勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为作注时给出的，被后人称为赵爽弦图．赵爽弦图是数形结合思想的体现，是中国古代数学的图腾，还被用作第24届国际数学家大会的会徽．如图，大正方形ABCD 是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，若直角三角形的直角边的长度比为1:2，则下列说法正确的是()A.5AE =2DCB.AC ⊥EGC.AE ⋅DC =45BC2 D.AF =35AB +45AD26.(2022春·江苏南通·高一金沙中学校考期末)直角△ABC 中，斜边AB =2，P 为△ABC 所在平面内一点，AP =12sin 2θ⋅AB +cos 2θ⋅AC(其中θ∈R )，则()A.AB ⋅AC的取值范围是(0,4) B.点P 经过△ABC 的外心C.点P 所在轨迹的长度为2D.PC ⋅(PA +PB )的取值范围是-12,0三、填空题27.(2022春·江苏南通·高一统考期末)已知向量a =0,5 ，b =1,2 ，则a 在b 上的投影向量的坐标为.28.(2022春·江苏南京·高一江苏省江浦高级中学校联考期末)在平行四边形ABCD 中，AP ⊥BD ，垂足为P ，若AP ⋅AC=6，则AP =．29.(2022春·江苏宿迁·高一统考期末)已知向量a =(3,1),b =(0,-1),c =(k ,3)，若a -2b 与c 平行，则实数k =．30.(2022春·江苏无锡·高一统考期末)点P 是边长为2的正三角形ABC 的三条边上任意一点，则|PA +PB+PC|的最小值为.31.(2022春·江苏南通·高一金沙中学校考期末)如图，正八边形ABCDEFGH 中，若AE =λAC+μAFλ，μ∈R ，则λ+μ的值为．32.(2022春·江苏南通·高一统考期末)如图，P 为矩形ABCD 边AB 中点，M ，N 分别在线段EF 、CD 上，其中AB =4，BC =3，AE =BF =1，若PM ⋅PN =4，则PM +PN的最小值为．四、解答题33.(2022春·江苏扬州·高一期末)在平面直角坐标系中，已知向量a (1,1),b (2, 1)．(1)求|3a -b|；(2)若m =2a -b ,n =ta +b ，m ⊥n ，求实数t 的值．34.(2022春·江苏常州·高一校联考期末)已知向量a=(2,-1),b =(1,x )．(Ⅰ)若a ⊥(a +b)，求|b |的值；(Ⅱ)若a +2b =(4,-7)，求向量a 与b夹角的大小．35.(2022春·江苏常州·高一统考期末)已知a ，b 为平面向量，且a =1,-2 .(1)若a ⊥b，且b =25，求向量b 的坐标；(2)若b =-3,2 ，且向量ka -b 与a +2b 平行，求实数k 的值.36.(2022春·江苏连云港·高一统考期末)已知向量a ，b 满足a =1，b =3，a -b=3,-1 ．求：(1)a +b ；(2)a +b 与a -b的夹角．37.(2022春·江苏苏州·高一江苏省昆山中学校考期末)已知平面向量a ，b ，满足a=2，b =1.(1)若a +b ⋅b =0，求向量a 与b的夹角；(2)若a ⋅b =32，函数f x =sin xa +cos xb ，求f π8的值.38.(2022春·江苏南通·高一统考期末)已知向量a =3，1 ，a ⋅b=4．(1)当b =4，求a +b ;(2)求b 的最小值，并求此时向量a ，b 的夹角大小．39.(2022春·江苏南通·高一统考期末)已知向量a=2cos x ,sin x +2sin θ ，b =2sin x ,-cos x +2cos θ .(1)若a ∥b ，求cos x +θ ；(2)若θ=π4，函数f x =a ⋅b x ∈0,π ，求f x 的值域.40.(2022春·江苏无锡·高一统考期末)平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知e 1 ，e 2为两个夹角成60°的单位向量，OA =e 1 +3e 2 ，OB =5e 1 +e 2 .(1)求|AB |；(2)设OC =t e 1 ，问是否存在实数t ，使得△ABC 是以AB 为斜边的直角三角形？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由.。

平面向量综合题

1.若平面向量,αβ满足1,1a β=≤，且以向量,αβ为邻边的平行四边形的面积为12，则α与β的夹角θ的取值范围是。

2.3、若b a ,是两个非零向量，且]1,33[|,|||||∈+==λλb a b a ，则b 与b a -的夹角的4．在△ABC 中，()||||AB AC AB AC + ·0,||BA BC BA = ·13||BC BC =，则△ABC 的形状为A ．直角三角形B ．等边三角形C ．三边均不相等的三角形D ．等腰非等边三角形5．在ABC ∆中，点D 在线段BC 的延长线上，且3BC CD =，点O 在线段CD 上（与点C 、D 不重合），若(1),AO xAB x AC x =+-则的取值范围是（）A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,02⎛⎫-⎪⎝⎭D ．1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭6．如图所示, A , B , C 是圆O 上的三点, CO 的延长线与线段BA 的延长线交于圆O 外的点D，若，则的取值范围是（） A ．B ．C ．D ．OC mOA nOB =+m n +(0,1)(1,)+∞(,1)-∞-(1,0)-7.8．在△ABC 中，∠B=6π，,6||,33||==BC AB 设D 是AB 的中点，O 是△ABC 所在平面内一点，且023=++OC OB OA ，则||DO 的值是A ．21 B ．1C ．3D ．29．已知O 是ABC ∆的外心，2,3AB AC ==，若AO x AB y AC =+且21x y +=，则cos BAC ∠=10. 已知的三个顶点C B A ,,及所在平面内一点P 满足，则点P 与的关系A ．P 在内部B ．P 在外部C ．P 在边上D ．P 在边上11．在△ABC 中，已知9,sin cos sin ,6ABC AB AC B A C S ∆⋅==⋅=，P 为线段AB 上的点，且,||||C A C B C P x y x yC A C B =⋅+⋅则的最大值为 A ．1B ．2C ．3D ．413. 已知非零向量,,a b c 满足||1,()()0,||a b a c b c c -=-⋅-=设的最大值与最小值分别为m ，n ，则m-n 值为（）A ．1B ．2C ．12D ．1414. 若 △ABC 内接于以O 为圆心，1为半径的圆，且 3450OA OB OC ++= ，则 OC AB⋅的值为 (A) 15-(B)15(C) 65-(D)6515ABC ∆PA PB PC AB ++=ABC ∆ABC ∆ABC ∆AB AC16. 如图，在ΔABC 中，，，，则=（）A ．B ．CD 17．已知平面内两个单位向量α，b ，设向量c ＝λα ，且| c | ≠ 1，α·(b – c )= 0, 则实数λ的取值范围是． 18.19.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，已知点D 是BC 边的中点，且21()2AD BC a ac ∙=- ，则角B = ▲ .20.已知35=+=-=,= ▲ ．21.若向量(2,4),(1,1)a b ==，满足()b a b λ⊥+，则实数λ的值是 ___▲ ． -22.已知)2,1(-=a ，)1,(λ=b ，若5|2|=-b a ，则=λ ▲ ．AD AB ⊥BC BD1AD = AC AD ⋅21.设,x y 为实数，若2241xy xy ++=，则2x y +的最大值是 .2.已知,,x y z R +∈，230x y z-+=，则2y xz的最小值．33.已知,a b R +∈，且21a b +=，则224s a b =-的最大值为。

平面向量经典练习题(含答案)

平面向量经典练习题(含答案)1、向量a=(2,4)，b=(-1,-3)，则向量3a-2b的坐标是(8,22)。

2、已知向量a与b的夹角为60°，a=(3,4)，|b|=1，则|a+5b|=√61.3、已知点A(1,2)，B(2,1)，若AP=(3,4)，则BP=(-1,-1)。

4、已知A(-1,2)，B(1,3)，C(2,0)，D(x,1)，若AB与CD共线，则|BD|=2.5、向量a、b满足|a|=1，|b|=2，(a+b)⊥(2a-b)，则向量a与b的夹角为30°。

6、设向量a，b满足|a+b|=10，|a-b|=6，则a·b=7.7、已知a、b是非零向量且满足(a-2b)⊥a，(b-2a)⊥b，则a与b的夹角是60°。

8、在△ABC中，D为AB边上一点，AD=2DB，CD=3CA+mCB，则m=1.9、已知非零向量a，b满足|b|=4|a|，a⊥(2a+b)，则a与b的夹角是53.13°。

10、在三角形ABC中，已知A(-3,1)，B(4,-2)，点P(1,-1)在中线AD上，且AP=2PD，则点C的坐标是(6,-3)。

二、选择题1、设向量OA=(6,2)，OB=(-2,4)，向量OC垂直于向量OB，向量BC平行于OA，若OD+OA=OC，则OD坐标=(11,6)。

2、把A(3,4)按向量a(1,-2)平移到A'，则点A'的坐标(4,2)。

3、已知向量a，b，若a为单位向量，且|a|=|2b|，则(2a+b)⊥(a-2b)，则向量a与b的夹角是30°。

4、已知向量ab的夹角60°，|a|=2，b=(-1,√3)，则|2a-3b|=13.5、在菱形ABCD中，∠DAB=60°，|2·0C+CD|=4，则|BC+CD|=2.6、略。

7、略。

8、若向量a=(3,4)，向量b=(2,1)，则a在b方向上的投影为2.9、略。

平面向量及其应用全章综合测试卷(基础篇)(教师版)

D．两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同
【解题思路】根据零向量的方向是任意的； ⋅ = ⋅ , ≠ 0 ，则 = 或与, 都垂直；长度相等的向
量是相等向量或相反向量；即可解决.
【解答过程】零向量的方向是任意的，故 A 错；
若 ⋅ = ⋅ , ≠ 0 ，则 = 或与, 都垂直，故 B 错；
13．（5 分）（2024·高一课时练习）下列各量中，向量有： ③⑤⑥⑧⑩
．（填写序号）
①浓度；②年龄；③风力；④面积；⑤位移；⑥人造卫星的速度；⑦电量；⑧向心力；⑨盈利；⑩加速
度．
【解题思路】根据向量的概念判断即可.
【解答过程】解：向量是有大小有方向的量，故符合的有：风力，位移，人造卫星的速度，向心力，加速
A．1
B．2
）
C． 2
D． 3
1
【解题思路】由正弦定理及余弦定理得cos = 2，然后利用余弦定理结合三角形的面积公式，即可求解.
【解答过程】∵sin2 + sin2−sinsin = sin2，
∴2 + 2− = 2，cos =
2 2−2
2
1
= 2，可得sin = 1−cos2 =
∵2 + 2− = ( + )2−3 = 2， + = 4， = 2，
∴ = 4，
1
1
所以三角形的面积为 = 2sin = 2 × 4 ×
3
2
= 3.
故选：D.
二．多选题（共 4 小题，满分 20 分，每小题 5 分）
9．（5 分）（2024·高一课时练习）下列说法中正确的是（
【解答过程】由题设sin = 1−cos2 =

平面向量全章综合练习

平面向量全章综合练习一、选择题1．向量OM CB BO MB AB +-++)()(化简后等于( )(A ) (B ) (C ) (D )2．点A 的坐标为(1，－3)，向量的坐标为(3，7)，则点B 的坐标为( )(A )(4，4) (B )(－2，4) (C )(2，10) (D )(－2，－10)3．已知向量a ＝(－2，4)，b ＝(－1，－2)，c ＝(2，3)，则(a ＋b )·(a －c )的值为( )(A )10 (B )14 (C )－10 (D )－144．已知向量a ＝(2，t )，b ＝(1，2)．若t ＝t 1时，a ∥b ；t ＝t 2时，a ⊥b ，则( )(A )t 1＝－4，t 2＝－1 (B )t 1＝－4，t 2＝1(C )t 1＝4，t 2＝－1 (D )t 1＝4，t 2＝15．若点O 是△ABC 所在平面内一点，满足⋅⋅⋅==，则点O 是△ABC 的( )(A )三个内角的角分线的交点 (B )三条边的垂直平分线的交点(C )三条中线的交点 (D )三条高线的交点二、填空题6．河水的流速为2 m /s ，一只小船想要以垂直于河岸方向10 m /s 的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度的大小应为______________．7．数轴上的点A ，B ，点A 的坐标为－3，且向量的长度为5，则点B 的坐标为______．8．已知p ＝(－2，2)，q ＝(1，3)，则p 在q 方向上的正射影的数量为______．9．已知向量a ＝(2，3)，b ＝(－1，2)，若(a ＋b )⊥(a ＋λb )，则实数λ＝______．10．给出下列命题： ①;2ab a b a =⋅ ②｜a |－｜b |＜｜a －b ｜； ③|a ·b |＝|a ｜｜b |； ④(b ·c )a －(c ·a )b 与c 垂直； ⑤已知a ，b 是非零向量，若|a ＋b |＝｜a －b ｜，则a ⊥b ；⑥已知a ，b 是两个单位向量，则a 2＝b 2．所有正确的命题的序号为____________．三、解答题11．已知点A (－2，1)，B (1，3)．求线段AB 中点M 和三等分点P ，Q 的坐标．12．已知|a ｜＝2，|b ｜＝4，〈a ，b 〉3π2．求｜a －b ｜和〈a ，a －b 〉的余弦值． 13．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(x ，1)．(1)求与a 垂直的单位向量的坐标；(2)求｜b －2a ｜的最小值以及此时b 的坐标；(3)当x 为何值，a ＋2b 与b －2a 平行，并确定它们此时是同向还是反向．14．如图，以原点O 和A (5，2)为两个顶点作等腰直角△OAB ，使∠B ＝90°．求点B 的坐标和的坐标．一、选择题1．A 2．A 3．B 4．C 5．D二、填空题6．m/s 262 7．－8或2 8．5102 9．917- 10．④⑤⑥三、解答题11．解：)2,3(=-=OA OB AB ，),2,21()(21-=+=OM 所以)2,21(-M ，)35,1(31-=+=，所以)37,0(32),35,1(=+=-p ，所以)37,0(Q ．12．答：｜a -b ｜72=，cos 〈a ，a -b 〉772=.13．略解：(1)设单位向量为e ＝k (－2，1)＝(－2k ，k )，因为|e |＝1，得55±=k ， )55,552(-=e 或)55,552(-=e ．(2)9)2(|2|2+-=-x a b ，当x ＝2时，|b －2a ｜最小值为3，此时b ＝(2，1)．(3) 21=x ，反向．14．解：设B (x ，y )，则),(),2,5(y x y x =--=，由已知得⎪⎩⎪⎨⎧==⋅||||0OB AB ，所以⎩⎨⎧-+-=+=-+-2222)2()5(0)2()5(y x y x y y x x ，解得⎪⎩⎪⎨⎧-==⎪⎩⎪⎨⎧==232272271231y x y x 或，所以)27,23(B 或)23,27(-B ，)21,23(--=AB 或)23,27(-=AB ，。

综合算式专项练习题平面向量运算

综合算式专项练习题平面向量运算综合算式专项练习题：平面向量运算一、平面向量的基本概念平面向量是指既有大小又有方向的量，可以用箭头来表示。

平面向量常用粗体字母表示，如向量a，向量b等。

平面向量的大小用数值表示，方向用箭头指示。

在平面向量中，有两个重要的运算：加法和数乘。

加法表示将两个向量按照规定的法则进行相加，数乘表示将向量与一个标量相乘得到一个新的向量。

二、平面向量的加法运算平面向量a和b的加法运算可以表示为：a + b = c。

其中，向量c的起点与a的起点相同，终点为向量b的终点。

即，将向量b的箭头平行地平移至向量a的箭头终点。

要求：计算以下平面向量的加法。

1.向量a = (2, 4)，向量b = (-1, 3)解：根据平面向量的加法规则，将向量b平移至向量a的终点，得到向量c的坐标为：c = (2-1, 4+3) = (1, 7)。

2.向量p = (3, -5)，向量q = (6, 2)-5+2) = (9, -3)。

三、平面向量的数乘运算平面向量a与一个实数k相乘的结果表示为：ka = b。

其中，向量b的起点与a的起点相同，终点与a的终点相同（当k > 0），或者终点与a的起点相同（当k < 0）。

要求：计算以下平面向量的数乘。

1.向量a = (2, 4)，k = 3解：将向量a平行地拉长3倍，得到向量b的坐标为：b = (2*3, 4*3) = (6, 12)。

2.向量p = (-3, 5)，k = -2解：将向量p平行地拉长2倍，并翻转方向，得到向量q的坐标为：q = (-3*(-2), 5*(-2)) = (6, -10)。

四、平面向量的减法运算平面向量a与向量b的减法运算可以表示为：a - b = c。

其中，向量c的起点与a的起点相同，终点为向量b的起点。

即，将向量b的箭头平行地平移至向量a的反方向上。

要求：计算以下平面向量的减法。

1.向量a = (2, 4)，向量b = (-1, 3)(2+1, 4-3) = (3, 1)。

(完整版)平面向量专项训练(含答案)

平面向量专题训练知识点回顾1．向量的三种线性运算及运算的三种形式。

向量的加减法，实数与向量的乘积，两个向量的数量积都称为向量的线性运算，前两者的结果是向量，两个向量数量积的结果是数量。

每一种运算都可以有三种表现形式：图形、符号、坐标语言。

主要内容列表如下：运算图形语言符号语言坐标语言加法与减法→--OA +→--OB =→--OC→--OB -→--OA =→--AB记→--OA =(x 1,y 1)，→--OB =(x 1,y 2) 则→--OA +→--OB =(x 1+x 2,y 1+y 2)AB OB --→=u u u r -→--OA =（x 2-x 1,y 2-y 1）→--OA +→--AB =→--OB实数与向量的乘积→--AB =λ→aλ∈R记→a =(x,y) 则λ→a =(λx,λy)两个向量的数量积→a ·→b =|→a ||→b | cos<→a ,→b >记→a =(x 1,y 1), →b =(x 2,y 2) 则→a ·→b =x 1x 2+y 1y 2（3）两个向量平行：设a =（x 1,y 1），b =(x 2,y 2)，则a ∥b ⇔a b λ=r r⇔x 1y 2-x 2y 1=0（4）两个向量垂直：设→a =(x 1,y 1), →b =(x 2,y 2)，则→a ⊥→b⇔a 0b •=r r ⇔x 1x 2+y 1y 2=0 课堂精练一、选择题1. 已知平面向量a =,1x （），b =2,x x （－），则向量+a b ( )A 平行于x 轴 B.平行于第一、三象限的角平分线C.平行于y 轴D.平行于第二、四象限的角平分线2. 已知向量(1,2)=a ，(2,3)=-b ．若向量c 满足()//+c a b ，()⊥+c a b ，则c =（） A ．77(,)93 B ．77(,)39-- C ．77(,)39 D ．77(,)93--ECBA 3.已知向量(1,0),(0,1),(),a b c ka b k R d a b ===+∈=-，如果//c d 那么 ( ) A ．1k =且c 与d 同向B ．1k =且c 与d 反向C ．1k =-且c 与d 同向D ．1k =-且c 与d 反向 4已知平面向量(11)(11)==-，，，a b ，则向量1322-=a b （）Ａ．(21)--，Ｂ．(21)-，Ｃ．(10)-，Ｄ．(12)，5.设P 是△ABC 所在平面内的一点，2BC BA BP +=u u u r u u u r u u u r，则（）A.0PA PB +=u u u r u u u r rB.0PC PA +=u u u r u u u r rC.0PB PC +=u u u r u u u r rD.0PA PB PC ++=u u u r u u u r u u u r r6.已知向量a = (2,1)，a ·b = 10，︱a + b ︱=b ︱=（） 7.设a 、b 、c 是单位向量，且a ·b ＝0，则()()a c bc -•-的最小值为( )A.2-2C.1-D.18已知向量(1)(1)n n ==-，，，a b ，若2-a b 与b 垂直，则=a（）A ．1BC ．2D ．49平面向量a 与b 的夹角为060，(2,0)a =，1b= 则2ab +=( )B.10.若向量a=（1，1），b=（-1,1），c=（4，2），则c=( )A.3a+bB. 3a-bC.-a+3bD. a+3b11.如图1， D ，E ，F 分别是∆ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则 ( )A ．0AD BE CF ++=u u u r u u u r u u u r rB ．0BD CF DF -+=u u u r u u u r u u u r rC ．0AD CE CF +-=u u u r u u u r u u u r rD ．0BD BE FC --=u u u r u u u r u u u r r12.已知O 是ABC △所在平面内一点,D 为BC 边中点,且2OA OB OC ++=0u u u r u u u r u u u r，那么（）Ａ．AO OD =u u u r u u u rＢ．2AO OD =u u u r u u u rＣ．3AO OD =u u u r u u u rＤ．2AO OD =u u u r u u u r13.设非零向量a 、b 、c 满足c b a c b a =+==|,|||||，则>=<b a ,( )A ．150° B.120° C.60° D.30°14.已知()()3,2,1,0a b =-=-，向量a b λ+与2a b -垂直，则实数λ的值为( )A.17-B.17C.16-D.1615.已知1,6,()2==-=g a b a b a ，则向量a 与向量b 的夹角是（）A ．6πB ．4π C ．3π D ．2π16.已知向量(1,1),(2,),x ==a b 若a +b 与-4b 2a 平行，则实数x 的值是（） A ．-2B ．0C ．1D ．217.在ABC △中，AB =u u u r c ，AC =u u u r b ．若点D 满足2BD DC =u u u r u u u r ，则AD =u u u r （）A ．2133+b cB ．5233-c bC ．2133-b c D ．1233+b c 18.在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若(2,4)AB =u u u r ，(1,3)AC =u u u r ,则BD =u u u r （）A ．（－2，－4）B ．（－3，－5）C ．（3，5）D ．（2，4）19.设)2,1(-=,)4,3(-=,)2,3(=则=⋅+)2( （）A.(15,12)-B.0C.3-D.11- 二、填空题1.若向量a r ，b r 满足12a b ==r r ，且a r 与b r 的夹角为3π，则a b +=r r ．2.设向量(12)(23)==，，，a b ，若向量λ+a b 与向量(47)=--，c 共线，则=λ3.已知向量a 与b 的夹角为120o，且4==a b ，那么(2)+gb a b 的值为4.已知平面向量(2,4)a =r ，(1,2)b =-r ．若()c a a b b =-⋅r r r r r ，则||c =r____________．5.a r ，b r 的夹角为120︒，1a =r，3b =r 则5a b -=r r ．6.已知向量2411()()，，，a =b =．若向量()λ⊥b a +b ，则实数λ的值是7.若向量a 、b 满足b a b a 与,1==的夹角为120°，则b a b a ··+＝8.已知向量(3,1)a =r ，(1,3)b =r ， (,2)c k =r ，若()a c b -⊥r r r则k = ．9.已知向量(3,1)a =r ，(1,3)b =r ，(,7)c k =r ，若()a c -r r∥b r ，则k = ．10.在平面直角坐标系xoy 中，四边形ABCD 的边AB ∥DC,AD ∥BC,已知点A(－2，0)，B （6，8），C(8,6),则D 点的坐标为__________.平面向量专题训练答案：一选择题1 C2 D3 D 4Ｄ 5 B 6 C 7 D 8 Ｃ 9 B 10 B11 A 12 Ａ 13 B 14 A 15 C 16 D 17 A 18 B 19 C 二填空题2 23 0 _4 285 76 -37 -18 09 5 10_（0，－2）。

第五章 §5.4 平面向量中的综合问题

一、单项选择题1．(2023·邢台模拟)在四边形ABCD 中，AC →＝(1,2)，BD →＝(－4,2)，则四边形ABCD 的面积S等于( ) A.52 B ．5 C ．10 D ．20 2．已知△ABC 中，AB ＝AC ＝10，BC ＝12，点D 为AC 的中点，点M 为边BC 上一动点，则MD →·MC →的最小值为( )A ．－32B ．－74C ．－94D ．－54 3．(2023·绵阳模拟)已知圆C 的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2，点P 在直线y ＝x ＋3上，线段AB为圆C 的直径，则|P A →＋PB →|的最小值为( )A.322B ．3 2C ．4 2D ．3 4．(2023·上饶模拟)如图，AB 是圆O 的一条直径且AB ＝2，EF 是圆O 的一条弦，且EF ＝1，点P 在线段EF 上，则P A →·PB →的最小值是( )A.12 B ．－14 C ．－12 D ．－345．(2024·沈阳模拟)已知单位向量a ，b ，若对任意实数x ，|x a ＋b |≥32恒成立，则向量a ，b 的夹角的取值范围为( )A.⎣⎡⎦⎤π4，3π4B.⎣⎡⎦⎤π3，2π3C.⎣⎡⎦⎤π4，π2D.⎣⎡⎦⎤π3，π2 二、多项选择题6．设点D 是△ABC 所在平面内一点，则下列说法正确的有( )A ．若AD →＝12(AB →＋AC →)，则点D 是边BC 的中点B ．若AD →＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|cos B ＋AC →|AC →|cos C ，则直线AD 过△ABC 的垂心 C ．若AD →＝2AB →－AC →，则点D 在边BC 的延长线上D ．若AD →＝xAB →＋yAC →，且x ＋y ＝12，则△BCD 是△ABC 面积的一半 7.(2024·六安模拟)正方形ABCD 的边长为4，E 是BC 中点，如图，点P 是以AB 为直径的半圆上任意一点，AP →＝λAD →＋μAE →，则( )A ．μ最大值为1B ．λ最大值为2C.AP →·AD →最大值是8D.AP →·AE →最大值是8＋4 5三、填空题8．已知向量a ，b ，|b |＝2，|a －b |＝1，则|a |的最大值为________．9．(2023·广州模拟)在△ABC 中，D 为AC 上一点且满足AD →＝13DC →，若P 为BD 上一点，且满足AP →＝λAB →＋μAC →，λ，μ为正实数，则λμ的最大值为________．10．(2023·福州模拟)已知平面向量a ，b 满足a ·b ＝|a |＝|b |＝2，若e 为单位向量，则|a ·e ＋b ·e |的最大值为________．。

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一、选择题1．下列命题中正确的是 ( )→ → → A. OA － OB ＝ AB → → B.AB ＋BA ＝ 0→C ．0·AB ＝0 → → → → D.AB ＋ BC ＋ CD ＝ AD考点向量的概念题点向量的性质答案 D解析起点相同的向量相减，则取终点，并指向被减向量， → → → → →OA －OB ＝ BA ；AB ，BA 是一对相反向量，它们的和应该为零向量，→ → →AB ＋BA ＝ 0； 0·AB ＝ 0.2．已知 A ， B ，C 三点在一条直线上，且 A(3，－ 6)， B(－ 5,2)，若 C 点的横坐标为 6，则 C点的纵坐标为 ( )A ．－ 13B ． 9C ．－ 9D ． 13考点向量共线的坐标表示的应用题点已知三点共线求点的坐标答案 C解析→→设 C 点坐标 (6， y)，则 AB＝ ( －8,8)， AC ＝ (3， y ＋ 6)．3y ＋ 6∵ A ， B ， C 三点共线， ∴ －8＝ 8 ， ∴ y ＝－ 9.3．在平面直角坐标系 xOy 中，已知四边形 ABCD 是平行四边形， → →AB ＝(1，－ 2)，AD ＝ (2,1) ， → → 则 AD ·AC 等于 () A ． 5 B ． 4 C ． 3 D ． 2考点平面向量数量积的坐标表示与应用题点坐标形式下的数量积运算答案 A解析→ → →→ → ∵ 四边形 ABCD 为平行四边形， ∴ AC ＝ AB ＋ AD ＝ (1，－ 2)＋ (2,1) ＝ (3，－ 1)，∴ AD ·AC＝ 2× 3＋ (－ 1)× 1＝ 5.4． (2017 ·宁大连庄河高中高一期中辽 )已知平面向量a ＝ (1，－ 3)，b ＝ (4，－ 2) ，a ＋ λb 与 a垂直，则λ等于 ( )A ．－ 2 B． 1C．－ 1 D． 0考点向量平行与垂直的坐标表示的应用题点已知向量垂直求参数答案 C解析a＋λb＝(1＋ 4λ，－ 3－ 2λ)，因为 a＋λb 与 a 垂直，所以 (a＋λb) ·a＝0，即 1＋4λ－ 3(－ 3－ 2λ)＝ 0，解得λ＝－ 1.5．若向量 a 与 b 的夹角为60°， |b|＝ 4，( a＋2b) ·(a－ 3b) ＝－ 72，则向量 a 的模为 ()A ． 2 B． 4C．6 D． 12考点平面向量模与夹角的坐标表示的应用题点利用坐标求向量的模答案 C解析因为 a·b＝ |a| ·|b| ·cos 60 °＝ 2|a|，所以 (a＋2b) ·(a－3b)＝|a|2－ 6|b|2－a·b＝|a|2－ 2|a|－96＝－ 72.所以 |a|＝ 6.6．定义运算 |a× b|＝ |a| ·|b| ·sin θ，其中θ是向量 a，b 的夹角．若 |x |＝ 2， |y|＝ 5， x·y＝－ 6，则|x× y|等于 ( )A ． 8 B．－ 8C．8 或－ 8 D． 6考点平面向量数量积的概念与几何意义题点平面向量数量积的概念与几何意义答案 A解析∵ |x|＝ 2， |y|＝5， x·y＝－ 6，∴ cos θ＝x·y －6＝－3＝|x| |y|· 2×5 5.4又θ∈ [0，π]，∴ sin θ＝5，∴|x×y|＝ |x| ·|y| ·sin θ＝ 2× 5×45＝8.→→→7．如图所示，在△ ABC 中，AD ＝ DB，AE＝ EC，CD 与 BE 交于点 F .设 AB＝ a，AC＝ b，AF ＝xa＋ yb，则 (x， y)为 ()1， 1B. 2，2A. 2 2 3 31， 1D. 2， 1C. 3 3 3 2 考点平面向量基本定理的应用题点利用平面向量基本定理求参数答案 C解析→→令 BF.由题可知，→→→→→AF＝ AB ＋ BF＝ AB＋λBE→ 1 →→→ 1 →＝ AB＋λ2AC －AB ＝(1－λ)AB＋2λAC.→→令 CF ＝μCD，→→→→→则 AF ＝ AC＋ CF ＝ AC＋μCD→ 1 →→ 1 →→＝ AC＋μ2AB －AC ＝2μAB ＋ (1－μ)AC.→→因为 AB 与 AC不共线，1 2所以1－λ＝2μ，解得λ＝3，1 22λ＝1－μ，μ＝3，→ 1 → 1 →所以 AF ＝3AB ＋3AC，故选 C.二、填空题8．若 |a|＝ 1， |b|＝ 2，a 与 b 的夹角为60°，若 (3a＋ 5b)⊥ (ma－ b)，则 m 的值为 ________．考点平面向量数量积的应用题点已知向量夹角求参数23答案8解析由题意知 (3a＋ 5b) ·(ma－ b)＝ 3ma2＋ (5m－ 3)a·b－5b2＝ 0，即 3m＋ (5m－ 3)×2× cos 60 °23－ 5× 4＝ 0，解得 m＝8 .→→→9．若菱形 ABCD 的边长为2，则|AB－CB＋CD|＝ ________.考点题点答案解析向量加、减法的综合运算及应用利用向量的加、减法化简向量2→→→→→→→→→|AB－CB＋CD|＝ |AB＋BC＋CD |＝ |AC＋CD |＝|AD|＝2.10．已知向量a， b 夹角为 45°，且 |a|＝ 1， |2a－ b|＝10，则 |b|＝ ________.考点平面向量数量积的应用题点利用数量积求向量的模答案3 2解析因为向量a， b 夹角为 45°，且|a|＝1， |2a－ b|＝ 10.所以4a2＋ b2－ 4a·b＝10，化为 4＋ |b|2－ 4|b|cos 45 ＝°10，化为 |b|2－ 22|b|－ 6＝0，因为 |b|≥ 0，解得 |b|＝ 3 2.11．已知 a 是平面内的单位向量，若向量 b 满足 b·(a－ b) ＝0，则 |b|的取值范围是________．考点平面向量数量积的应用题点利用数量积求向量的模答案[0,1]解析b·(a－ b)＝ a·b－|b|2＝ |a||b|cos θ－ |b|2＝ 0，∴|b|＝ |a|cos θ＝ cos θ(θ为 a 与 b 的夹角，θ∈ 0，π2)，∴0≤ |b|≤ 1.三、解答题→→12． (2017 四·川宜宾三中高一月考)如图，在△ OAB 中， P 为线段 AB 上一点，且 OP＝xOA＋→ yOB.→ →(1)若 AP ＝ PB ，求 x ， y 的值；→ → → →→ → → →(2)若 AP ＝ 3PB ， |OA|＝ 4， |OB|＝ 2，且 OA 与 OB 的夹角为 60°，求 OP ·AB 的值．考点平面向量数量积的概念与几何意义题点平面向量数量积的概念与几何意义解→ → →1 → 1 →(1) 若 AP＋，＝ PB ，则 OP ＝2OA 2OB1故 x ＝ y ＝ 2.→ →(2)若 AP ＝ 3PB ，→→ ＋ 3 → ，则 OP ＝14OA 4OB→ → 1 → ＋ 3 → → →)＝ OA OB · － OA4 4(OB1 → 1 → →3 →＝－ 4OA 2 －2OA ·OB ＋4OB 2＝－ 1× 42－ 1× 4× 2× cos 60 °＋ 3× 224 24＝－ 3.→→θ， 2cos θ)，其中 θ∈ 0， π→13．若 OA ＝ (sin θ，－ 1)， OB ＝ (2sin，求 |AB|的最大值．2 考点平面向量模与夹角的坐标表示的应用题点利用坐标求向量的模解 → → →θ＋ 1)， ∵AB ＝OB － OA ＝ (sin θ， 2cos ∴→sin 2θ＋ 4cos 2θ＋ 4cos θ＋ 1 |AB|＝＝ 3cos 2 θ＋ 4cos θ＋ 2＝3 cos θ＋ 2 2＋ 2，33→∴ 当 cos θ＝ 1，即 θ＝ 0 时， |AB|取得最大值 3.四、探究与拓展→ → → → →14．在△ ABC 中，点 O 在线段 BC 的延长线上，且 |BO|＝3|CO|，当 AO ＝ xAB ＋ yAC 时， x －y＝ ________.考点向量共线定理及其应用题点利用向量共线定理求参数答案－ 2解析 →→ →→，由 |BO|＝ 3|CO|，得 BO ＝ 3CO→3 →则 BO ＝ 2BC ，→→ →→ 3 → → 3 → →所以 AO ＝ AB ＋ BO ＝ AB ＋2BC ＝ AB ＋ 2(AC － AB) 1 → 3 →＝－ 2AB ＋2AC .1 31 3所以 x ＝－ 2， y ＝2，所以 x － y ＝－ 2－2＝－ 2.→ → →15．已知 OA ＝ (1,0) ， OB ＝ (0,1) ， OM ＝ (t ， t)(t ∈ R )，O 是坐标原点． (1)若 A ，B ， M 三点共线，求 t 的值；→ →(2)当 t 取何值时， MA ·MB 取到最小值？并求出最小值．考点向量共线的坐标表示的应用题点利用三点共线求参数→ → →解(1)AB ＝ OB － OA ＝ (－ 1,1)，→ → →AM ＝OM － OA ＝( t － 1， t)．→ →∵ A ， B ， M 三点共线， ∴ AB 与 AM 共线，1∴ － t － (t － 1)＝ 0， ∴t ＝ .→→→ → 1 1 (2)∵ MA ＝ (1－t ，－ t)，MB ＝ (－ t,1－ t)，∴MA ·MB ＝ 2t 2－ 2t ＝ 2 t －22－，故当21 → →t ＝ 2时，MA ·MB1取得最小值－ 2.。

平面向量练习题大全及答案

平面向量练习题大全及答案平面向量练习题大全及答案平面向量是数学中的重要概念，广泛应用于几何、物理等领域。

通过练习平面向量的题目，可以帮助我们巩固和深化对平面向量的理解。

本文将为大家提供一些平面向量的练习题，并给出详细的答案解析。

一、基础练习题1. 已知向量a = (2, 3)和向量b = (-1, 4)，求向量a与向量b的和。

解析：向量的和等于对应分量相加，所以a + b = (2 + (-1), 3 + 4) = (1, 7)。

2. 已知向量a = (3, -2)和向量b = (5, 1)，求向量a与向量b的差。

解析：向量的差等于对应分量相减，所以a - b = (3 - 5, -2 - 1) = (-2, -3)。

3. 已知向量a = (4, 5)，求向量a的模长。

解析：向量的模长等于各分量平方和的平方根，所以|a| = √(4^2 + 5^2) =√(16 + 25) = √41。

4. 已知向量a = (3, -2)，求向量a的单位向量。

解析：向量的单位向量等于将向量除以其模长，所以a的单位向量为a/|a| = (3/√41, -2/√41)。

二、综合练习题1. 已知向量a = (2, 3)和向量b = (-1, 4)，求向量a与向量b的数量积。

解析：向量的数量积等于对应分量相乘再相加，所以a·b = 2*(-1) + 3*4 = -2 + 12 = 10。

2. 已知向量a = (3, -2)和向量b = (5, 1)，求向量a与向量b的向量积。

解析：向量的向量积等于两个向量的模长乘以它们夹角的正弦值，所以a×b =|a|*|b|*sinθ，其中θ为a和b的夹角。

首先计算|a|和|b|：|a| = √(3^2 + (-2)^2) = √(9 + 4) = √13，|b| = √(5^2 +1^2) = √(25 + 1) = √26。

然后计算夹角θ的正弦值：sinθ = |a×b|/(|a|*|b|)，其中|a×b|为向量a×b的模长。

湖南省长沙市铁路一中平面向量及其应用综合练习题百度文库

一、多选题1．下列说法中错误的为（）A ．已知(1,2)a =，(1,1)b =，且a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．向量1(2,3)e =-，213,24e ⎛⎫=-⎪⎝⎭不能作为平面内所有向量的一组基底 C ．若//a b ，则a 在b 方向上的投影为||aD ．非零向量a 和b 满足||||||a b a b ==-，则a 与a b +的夹角为60° 2．下列说法中正确的是（）A ．对于向量,,a b c ，有()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅B ．向量()11,2e =-，()25,7e =能作为所在平面内的一组基底C ．设m ，n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0m n ⋅<”的充分而不必要条件D ．在ABC 中，设D 是BC 边上一点，且满足2CD DB =，CD AB AC λμ=+，则0λμ+=3．已知向量a =(2，1)，b =(1，﹣1)，c =(m ﹣2，﹣n )，其中m ，n 均为正数，且(a b -)∥c ，下列说法正确的是（） A ．a 与b 的夹角为钝角B ．向量a 在bC ．2m +n =4D ．mn 的最大值为24．ABC 中，2AB =，30ACB ∠=︒，则下列叙述正确的是（） A ．ABC 的外接圆的直径为4.B ．若4AC =，则满足条件的ABC 有且只有1个 C ．若满足条件的ABC 有且只有1个，则4AC =D ．若满足条件的ABC 有两个，则24AC <<5．在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，不解三角形，确定下列判断错误的是（）A ．B ＝60°，c ＝4，b ＝5，有两解 B ．B ＝60°，c ＝4，b ＝3.9，有一解C ．B ＝60°，c ＝4，b ＝3，有一解D ．B ＝60°，c ＝4，b ＝2，无解6．在ABC 中，角A ，B ，C 所对各边分别为a ，b ，c ，若1a =，b =30A =︒，则B =（）A ．30B ．45︒C ．135︒D ．150︒7．在△ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝4，D 为BC 的中点，则以下结论正确的是（） A ．BD AD AB -= B ．1()2AD AB AC =+ C ．8BA BC ⋅=D ．AB AC AB AC +=-8．下列命题中，结论正确的有（） A ．00a ⨯=B ．若a b ⊥，则||||a b a b +=-C ．若//AB CD ，则A ､B ､C ､D 四点共线；D ．在四边形ABCD 中，若0AB CD +=，0AC BD ⋅=，则四边形ABCD 为菱形. 9．已知a 、b 是任意两个向量，下列条件能判定向量a 与b 平行的是（） A ．a b =B ．a b =C ．a 与b 的方向相反D ．a 与b 都是单位向量 10．设a 为非零向量，下列有关向量||aa 的描述正确的是（） A ．||1||a a =B ．//||a a aC ．||a a a =D ．||||a a a a ⋅=11．有下列说法，其中错误的说法为（）． A ．若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥cB ．若PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅，则P 是三角形ABC 的垂心 C ．两个非零向量a ，b ，若a b a b -=+，则a 与b 共线且反向D ．若a ∥b ，则存在唯一实数λ使得a b λ= 12．在下列结论中，正确的有（）A ．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合B ．平行向量又称为共线向量C ．两个相等向量的模相等D ．两个相反向量的模相等13．（多选题）下列命题中，正确的是（） A ．对于任意向量,a b ，有||||||a b a b +≤+； B ．若0a b ⋅=，则00a b ==或； C ．对于任意向量,a b ，有||||||a b a b ⋅≤ D ．若,a b 共线，则||||a b a b ⋅=±14．如图，46⨯的方格纸（小正方形的边长为1）中有一个向量OA （以图中的格点O 为起点，格点A 为终点），则（）A ．分别以图中的格点为起点和终点的向量中，与OA 是相反向量的共有11个B ．满足10OA OB -=B 共有3个C ．存在格点B ，C ，使得OA OB OC =+D ．满足1OA OB ⋅=的格点B 共有4个 15．下列命题中正确的是( ) A ．单位向量的模都相等B ．长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量C ．若a 与b 满足a b >，且a 与b 同向,则a b >D ．两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同二、平面向量及其应用选择题16．已知,m n 是两个非零向量，且1m =，2||3m n +=，则||+||m n n +的最大值为 A 5B 10C ．4D ．517．若O 为ABC 所在平面内任意一点，且满足()20BC OB OC OA ⋅+-=，则ABC 一定为（）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．钝角三角形18．a ，b 为单位向量，且27a b +=，则向量a ，b 夹角为（）A ．30B ．45︒C ．60︒D ．90︒19．著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理．设点O ，H 分别是△ABC 的外心、垂心，且M 为BC 中点，则（）A ．33AB AC HM MO +=+ B ．33AB AC HM MO +=- C ．24AB AC HM MO +=+D ．24AB AC HM MO +=-20．如图，ADC 是等边三角形，ABC 是等腰直角三角形，90ACB ∠︒＝，BD 与AC 交于E 点.若2AB =，则AE 的长为（）A ．62-B ．1(62)2- C ．62+ D ．1(62)2+ 21．在ABC ∆中||||AB AC AB AC +=-,3,4,AB AC ==则BC 在CA 方向上的投影为（）． A ．4B ．3C ．-4D ．522．ABC 中，5AB AC ==，6BC =，则此三角形的外接圆半径是（）A ．4B ．72 C ．258D ．259 23．在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若222sin sin sin 0A B C +-=，2220a c b ac +--=，2c =，则a =（）A 3B ．1C ．12D 324．若点G 是ABC 的重心，,,a b c 分别是BAC ∠，ABC ∠，ACB ∠的对边，且30aGA bGB cGC ++=.则BAC ∠等于（） A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°25．若两个非零向量a ，b 满足2a b a b b +=-=，则向量a b +与a 的夹角为( ) A ．3π B ．23π C ．56π D ．6π26．题目文件丢失！27．已知O ，N ，P 在ABC ∆所在平面内，且,0OA OB OC NA NB NC ==++=，且•••PA PB PB PC PC PA ==，则点O ，N ，P 依次是ABC ∆的( )（注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角型的垂心） A ．重心外心垂心 B ．重心外心内心 C ．外心重心垂心D ．外心重心内心28．如图所示，设P 为ABC ∆所在平面内的一点，并且1142AP AB AC =+，则BPC ∆与ABC ∆的面积之比等于（）A ．25B ．35C ．34D ．1429．在ABC ∆中，下列命题正确的个数是（）①AB AC BC -=；②0AB BC CA ++=；③点O 为ABC ∆的内心，且()()20OB OC OB OC OA -⋅+-=，则ABC ∆为等腰三角形；④0AC AB ⋅>，则ABC ∆为锐角三角形．A ．1B ．2C ．3D ．430．已知1a b ==，12a b ⋅=，(),1c m m =-，(),1d n n =-(m ，n R ∈).存在a ，b ，对于任意实数m ，n ，不等式a c b d T -+-≥恒成立，则实数T 的取值范围为（） A ．(,32⎤-∞+⎦B ．)32,⎡++∞⎣C ．(,32⎤-∞-⎦D ．)32,⎡-+∞⎣31．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cos cos 2c A a C c +=且a b =，则cos B 等于（）A ．154B ．14C ．34D ．3232．如图，在直角梯形ABCD 中，22AB AD DC ==，E 为BC 边上一点，BC 3EC =，F 为AE 的中点，则BF ＝（）A ．2133AB AD - B ．1233AB AD - C ．2133AB AD -+ D ．1233AB AD -+ 33．ABC 中，a ，b ，c 分别为A ∠，B ，C ∠的对边，如果a ，b ，c 成等差数列，30B ∠=︒，ABC 的面积为32，那么b 等于（）A ．132B ．13C ．223+ D ．2334．题目文件丢失！35．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知a =2c =，2cos 3A =，则b=A BC ．2D ．3【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、多选题 1．ACD 【分析】由向量的数量积､向量的投影､基本定理与向量的夹角等基本知识，逐个判断即可求解. 【详解】对于A ，∵，，与的夹角为锐角， ∴ ，且(时与的夹角为0)，所以且，故A 错误；对于B 解析：ACD 【分析】由向量的数量积､向量的投影､基本定理与向量的夹角等基本知识，逐个判断即可求解. 【详解】对于A ，∵(1,2)a =，(1,1)b =，a 与a b λ+的夹角为锐角， ∴()(1,2)(1,2)a a b λλλ⋅+=⋅++142350λλλ=+++=+>，且0λ≠(0λ=时a 与a b λ+的夹角为0)，所以53λ>-且0λ≠，故A 错误；对于B ，向量12(2,3)4e e =-=，即共线，故不能作为平面内所有向量的一组基底，B 正确；对于C ，若//a b ，则a 在b 方向上的正射影的数量为||a ±，故C 错误；对于D ，因为|||a a b =-∣，两边平方得||2b a b =⋅，则223()||||2a ab a a b a ⋅+=+⋅=，222||()||2||3||a b a b a a b b a +=+=+⋅+=，故23||()32cos ,||||3||a a a b a a b a a b a a ⋅+<+>===+⋅∣，而向量的夹角范围为[]0,180︒︒，得a 与a b λ+的夹角为30°，故D 项错误. 故错误的选项为ACD 故选：ACD 【点睛】本题考查平面向量基本定理及向量的数量积，向量的夹角等知识，对知识广度及准确度要求比较高，中档题.2．BCD 【分析】．向量数量积不满足结合律进行判断．判断两个向量是否共线即可．结合向量数量积与夹角关系进行判断．根据向量线性运算进行判断【详解】解：．向量数量积不满足结合律，故错误，．，解析：BCD 【分析】A ．向量数量积不满足结合律进行判断B ．判断两个向量是否共线即可C ．结合向量数量积与夹角关系进行判断D ．根据向量线性运算进行判断【详解】解：A ．向量数量积不满足结合律，故A 错误，B ．1257-≠，∴向量1(1,2)e =-，2(5,7)e =不共线，能作为所在平面内的一组基底，故B 正确，C ．存在负数λ，使得m n λ=，则m 与n 反向共线，夹角为180︒，此时0m n <成立，当0m n <成立时，则m 与n 夹角满足90180θ︒<︒，则m 与n 不一定反向共线，即“存在负数λ，使得m n λ=”是“0m n <”的充分而不必要条件成立，故C 正确，D ．由23CD CB =得2233CD AB AC =-，则23λ=，23μ=-，则22033λμ+=-=，故D 正确故正确的是BCD，故选：BCD．【点睛】本题主要考查向量的有关概念和运算，结合向量数量积，以及向量运算性质是解决本题的关键，属于中档题．3．CD【分析】对于A，利用平面向量的数量积运算判断；对于B，利用平面向量的投影定义判断；对于C，利用()∥判断；对于D，利用C的结论，2m+n=4，结合基本不等式判断.【详解】对于A，向量(解析：CD【分析】对于A，利用平面向量的数量积运算判断；对于B，利用平面向量的投影定义判断；对于C，利用(a b-)∥c判断；对于D，利用C的结论，2m+n=4，结合基本不等式判断.【详解】对于A，向量a=(2，1)，b=(1，﹣1)，则2110a b⋅=-=>，则,a b的夹角为锐角，错误；对于B，向量a=(2，1)，b=(1，﹣1)，则向量a在b方向上的投影为22a bb⋅=，错误；对于C，向量a=(2，1)，b=(1，﹣1)，则a b-=(1，2)，若(a b-)∥c，则(﹣n)=2(m ﹣2)，变形可得2m+n=4，正确；对于D，由C的结论，2m+n=4，而m，n均为正数，则有mn12= (2m•n)12≤(22m n+)2=2，即mn的最大值为2，正确；故选：CD.【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算以及基本不等式的应用，属于基础题.4．ABD【分析】根据正弦定理，可直接判断的对错，然后，，三个选项，都是已知两边及一边的对角，判断解得个数的问题，做出图象，构造不等式即可．【详解】解：由正弦定理得，故正确；对于，，选项：如图解析：ABD 【分析】根据正弦定理，可直接判断A 的对错，然后B ，C ，D 三个选项，都是已知两边及一边的对角，判断解得个数的问题，做出图象，构造不等式即可．【详解】解：由正弦定理得224sin sin30AB R ACB ===∠︒，故A 正确；对于B ，C ，D 选项：如图：以A 为圆心，2AB =为半径画圆弧，该圆弧与射线CD 的交点个数，即为解得个数．易知当122x =，或即4AC =时，三角形ABC 为直角三角形，有唯一解；当2AC AB ==时，三角形ABC 是等腰三角形，也是唯一解；当AD AB AC <<，即122x x <<，24x ∴<<时，满足条件的三角形有两个．故B ，D 正确，C 错误．故选：ABD ．【点睛】本题考查已知两边及一边的对角的前提下，三角形解得个数的判断问题．属于中档题．5．ABC 【分析】根据判断三角形解的个数的结论：若为锐角，当时，三角形有唯一解；当时，三角形有两解；当时，三角形无解：当时，三角形有唯一解.逐个判断即可得解. 【详解】对于，因为为锐角且，所以三角解析：ABC 【分析】根据判断三角形解的个数的结论：若B 为锐角，当c b <时，三角形有唯一解；当sin c B b c <<时，三角形有两解；当sin c B b >时，三角形无解：当sin c B b =时，三角形有唯一解.逐个判断即可得解. 【详解】对于A ，因为B 为锐角且45c b =<=，所以三角形ABC 有唯一解，故A 错误；对于B ，因为B为锐角且sin 4 3.9c B b c ===<，所以三角形ABC 有两解，故B 错误；对于C ，因为B 为锐角且sin 43c B b ==>=，所以三角形ABC 无解，故C 错误；对于D ，因为B为锐角且sin 422c B b =⨯=>=，所以三角形ABC 无解，故D 正确. 故选：ABC. 【点睛】本题考查了判断三角形解的个数的方法，属于基础题.6．BC 【分析】用正弦定理求得的值，由此得出正确选项. 【详解】解：根据正弦定理得：，由于，所以或. 故选：BC. 【点睛】本题考查利用正弦定理解三角形，是基础题.解析：BC 【分析】用正弦定理求得sin B 的值，由此得出正确选项. 【详解】解：根据正弦定理sin sin a b A B=得：1sin 2sin 12b A B a ===，由于1b a =>=，所以45B =或135B =.故选：BC. 【点睛】本题考查利用正弦定理解三角形，是基础题.7．BC 【分析】根据向量的加法和减法运算，以及向量的数量积运算可选项. 【详解】对于A 选项：，故A 错；对于 B 选项：因为D 为BC 的中点，，故B 正确；对于C 选项：，故正确；对于D 选项：，而，故解析：BC 【分析】根据向量的加法和减法运算，以及向量的数量积运算可选项. 【详解】对于A 选项：BD AD BD DA BA -=+=，故A 错；对于 B 选项：因为D 为BC 的中点，()111++++()222AD AB BD AB BC AB BA AC AB AC ====+，故B 正确；对于C 选项：cos 248BD BA BC BA BC B BA BC BA⋅=⋅⋅∠=⋅⋅=⨯=，故正确；对于D 选项：2,AB AC AD AB AC CB +=-=，而2AD CB ≠，故D 不正确. 故选：BC. 【点睛】本题考查向量的线性运算和向量的数量积运算，属于基础题.8．BD 【分析】根据平面向量的数量积及平行向量共线定理判断可得；【详解】解：对于A ，，故A 错误；对于B ，若，则，所以，，故，即B 正确；对于C ，，则或与共线，故C 错误；对于D ，在四边形中，若解析：BD 【分析】根据平面向量的数量积及平行向量共线定理判断可得；【详解】解：对于A ，00a ⨯=，故A 错误；对于B ，若a b ⊥，则0a b ⋅=，所以2222||2a b a b a b a b +=++⋅=+，2222||2a b a b a b a b -=+-⋅=+，故||||a b a b +=-，即B 正确；对于C ，//AB CD ，则//AB CD 或AB 与CD 共线，故C 错误；对于D ，在四边形ABCD 中，若0AB CD +=，即AB DC =，所以四边形ABCD 是平行四边形，又0AC BD ⋅=，所以AC BD ⊥，所以四边形ABCD 是菱形，故D 正确；故选：BD【点睛】本题考查平行向量的数量积及共线定理的应用，属于基础题.9．AC【分析】根据共线向量的定义判断即可.【详解】对于A选项，若，则与平行，A选项合乎题意；对于B选项，若，但与的方向不确定，则与不一定平行，B选项不合乎题意；对于C选项，若与的方向相反，解析：AC【分析】根据共线向量的定义判断即可.【详解】对于A选项，若a b=，则a与b平行，A选项合乎题意；对于B选项，若a b=，但a与b的方向不确定，则a与b不一定平行，B选项不合乎题意；对于C选项，若a与b的方向相反，则a与b平行，C选项合乎题意；对于D选项，a与b都是单位向量，这两个向量长度相等，但方向不确定，则a与b不一定平行，D选项不合乎题意.故选：AC.【点睛】本题考查向量共线的判断，考查共线向量定义的应用，属于基础题.10．ABD【分析】首先理解表示与向量同方向的单位向量，然后分别判断选项.【详解】表示与向量同方向的单位向量，所以正确，正确，所以AB正确，当不是单位向量时，不正确，，所以D正确.故选：ABD解析：ABD【分析】首先理解aa表示与向量a同方向的单位向量，然后分别判断选项.【详解】a a 表示与向量a 同方向的单位向量，所以1aa=正确，//a a a 正确，所以AB 正确，当a 不是单位向量时，aa a=不正确，cos 0a a aa a a a a a a⋅==⨯=，所以D 正确. 故选：ABD 【点睛】本题重点考查向量a a 的理解，和简单计算，应用，属于基础题型，本题的关键是理解aa表示与向量a 同方向的单位向量.11．AD 【分析】分别对所给选项进行逐一判断即可. 【详解】对于选项A ，当时，与不一定共线，故A 错误；对于选项B ，由，得，所以，，同理，，故是三角形的垂心，所以B 正确；对于选项C ，两个非零向量解析：AD 【分析】分别对所给选项进行逐一判断即可. 【详解】对于选项A ，当0b =时，a 与c 不一定共线，故A 错误；对于选项B ，由PA PB PB PC ⋅=⋅，得0PB CA ⋅=，所以PB CA ⊥，PB CA ⊥，同理PA CB ⊥，PC BA ⊥，故P 是三角形ABC 的垂心，所以B 正确；对于选项C ，两个非零向量a ，b ，若a b a b -=+，则a 与b 共线且反向，故C 正确；对于选项D ，当0b =，0a ≠时，显然有a ∥b ，但此时λ不存在，故D 错误. 故选：AD 【点睛】本题考查与向量有关的命题的真假的判断，考查学生对基本概念、定理的掌握，是一道容易题.12．BCD 【分析】根据向量的定义和性质依次判断每个选项得到答案.A. 若两个向量相等，它们的起点和终点不一定不重合，故错误；B. 平行向量又称为共线向量，根据平行向量定义知正确解析：BCD 【分析】根据向量的定义和性质依次判断每个选项得到答案. 【详解】A. 若两个向量相等，它们的起点和终点不一定不重合，故错误；B. 平行向量又称为共线向量，根据平行向量定义知正确；C. 相等向量方向相同，模相等，正确；D. 相反向量方向相反，模相等，故正确；故选：BCD 【点睛】本题考查了向量的定义和性质，属于简单题.13．ACD 【分析】利用向量数量积的定义和运算法则逐项判断后可得正确的选项. 【详解】由向量加法的三角形法则可知选项A 正确；当时，，故选项B 错误；因为，故选项C 正确；当共线同向时，，当共线反解析：ACD 【分析】利用向量数量积的定义和运算法则逐项判断后可得正确的选项. 【详解】由向量加法的三角形法则可知选项A 正确；当a b ⊥时，0a b ⋅=，故选项B 错误；因为||cos ||||a b a b a b θ⋅=≤，故选项C 正确；当,a b 共线同向时，||||cos 0||||a b a b a b ⋅==，当,a b 共线反向时，||||cos180||||a b a b a b ⋅=︒=-，所以选项D 正确. 故选：ACD. 【点睛】本题考查向量加法的性质以及对向量数量积的运算规律的辨析，注意数量积运算有交换律，但没有消去律，本题属于基础题.14．BCD根据向量的定义及运算逐个分析选项，确定结果．【详解】解：分别以图中的格点为起点和终点的向量中，与是相反向量的共有 18个，故错，以为原点建立平面直角坐标系，，设，若，所以解析：BCD 【分析】根据向量的定义及运算逐个分析选项，确定结果．【详解】解：分别以图中的格点为起点和终点的向量中，与OA 是相反向量的共有 18个，故A 错，以O 为原点建立平面直角坐标系，()1,2A ，设(,)B m n ，若10OA OB -=，所以22(1)(2)10m n -+-=，(33m -，22n -，且m Z ∈，)n Z ∈，得(0,1)B -，(2,1)-，(2,1)-共三个，故B 正确．当(1,0)B ，(0,2)C 时，使得OA OB OC =+，故C 正确．若1OA OB ⋅=，则21m n +=，(33m -，22n -，且m Z ∈，)n Z ∈，得(1,0)B ，(3,1)-，(1,1)-，(3,2)-共4个，故D 正确．故选：BCD ．【点睛】本题考查向量的定义，坐标运算，属于中档题．15．AD 【分析】利用向量的基本概念，判断各个选项是否正确，从而得出结论. 【详解】单位向量的模均为1，故A 正确；向量共线包括同向和反向，故B 不正确；向量是矢量，不能比较大小，故C 不正确；根据解析：AD 【分析】利用向量的基本概念，判断各个选项是否正确，从而得出结论. 【详解】单位向量的模均为1，故A 正确；向量共线包括同向和反向，故B 不正确；向量是矢量，不能比较大小，故C 不正确；根据相等向量的概念知，D 正确. 故选：AD 【点睛】本题考查单位向量的定义、考查共线向量的定义、向量是矢量不能比较大小，属于基础题．二、平面向量及其应用选择题16．B 【分析】先根据向量的模将||+||m n n +转化为关于||n 的函数，再利用导数求极值，研究单调性，进而得最大值. 【详解】()22224419||=1||3m m n m n n m n =+∴+=+⋅+=，，,22n m n +⋅=,()2222=52-m nm m n n n ∴+=++⋅,25||+||m n n n n ∴+=-+，令()(0x x f x x n =<≤=,则()'1f x =，令()'0f x =，得x =∴当0x << ()'0f x >x << ()'0f x <， ∴当2x =时， ()f x 取得最大值f =⎝⎭，故选B. 【点睛】向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题. 17．C 【分析】由向量的线性运算可知2OB OC OA AB AC +-=+，所以()0BC AB AC ⋅+=，作出图形，结合向量加法的平行四边形法则，可得BC AD ⊥，进而可得AB AC =，即可得出答案. 【详解】由题意，()()2OB OC OA OB OA OC OA AB AC +-=-+-=+，所以()0BC AB AC ⋅+=，取BC 的中点D ，连结AD ，并延长AD 到E ，使得AD DE =，连结BE ，EC ，则四边形ABEC 为平行四边形，所以AB AC AE +=. 所以0BC AE ⋅=，即BC AD ⊥，故AB AC =，ABC 是等腰三角形. 故选：C.【点睛】本题考查三角形形状的判断，考查平面向量的性质，考查学生的计算求解能力，属于基础题. 18．C 【分析】首先根据题的条件27a b +=，得到2()7a b +=，根据a ，b 为单位向量，求得12a b ⋅=，进而求得向量夹角. 【详解】因为27a b +=，所以2()7a b +=，即22447a a b b +⋅+=，因为221a b ==，所以12a b ⋅=，所以1cos ,2a b <>=，因为向量a ，b 夹角的范围为[0,180]︒︒，所以向量a ，b 夹角的范围为60︒，故选：C. 【点睛】该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量的平方与向量模的平方是相等的，已知向量数量积求向量夹角，属于简单题目. 19．D 【分析】构造符合题意的特殊三角形（例如直角三角形），然后利用平面向量的线性运算法则进行计算即可得解．【详解】解：如图所示的Rt ABC ∆，其中角B 为直角，则垂心H 与B 重合，O 为ABC ∆的外心，OA OC ∴=，即O 为斜边AC 的中点，又M 为BC 中点，∴2AH OM =，M 为BC 中点，∴22()2(2)AB AC AM AH HM OM HM +==+=+．4224OM HM HM MO =+=-故选：D ．【点睛】本题考查平面向量的线性运算，以及三角形的三心问题，同时考查学生分析问题的能力和推理论证能力． 20．A 【分析】由条件求得∠BCD ＝150°，∠CBE ＝15°，故∠ABE ＝30°，可得∠AEB ＝105°．计算sin105°，代入正弦定理sin30sin105AE AB=︒︒，化简求得AE 62=-．【详解】由题意可得，AC ＝BC ＝CD ＝DA 2=BAC ＝45°，∠BCD ＝∠ACB +∠ACD ＝90°+60°＝150°．又△BCD 为等腰三角形，∴∠CBE ＝15°，故∠ABE ＝45°﹣15°＝30°，故∠BEC ＝75°，∠AEB ＝105°．再由 sin105°＝sin （60°+45°）＝sin60°cos45°+cos60°sin45°=， △ABE 中，由正弦定理可得sin30sin105AE AB=︒︒，∴12AE=，∴AE =），故选:A ．【点睛】本题考查勾股定理、正弦定理的应用，两角和的正弦公式，属于中档题． 21．C 【分析】先对等式AB AC AB AC +=-两边平方得出AB AC ⊥，并计算出BC CA ⋅，然后利用投影的定义求出BC 在CA 方向上的投影．【详解】对等式AB AC AB AC +=-两边平方得，222222AB AC AB AC AB AC AB AC ++⋅=+-⋅，整理得，0AB AC ⋅=，则AB AC ⊥，()216BC CA AC AB CA AC CA AB CA AC ∴⋅=-⋅=⋅-⋅=-=-，设向量BC 与CA 的夹角为θ，所以，BC 在CA 方向上的投影为16cos 44BC CA BC CA BC BC BC CACAθ⋅⋅-⋅=⋅===-⋅，故选C ．【点睛】本题考查平面向量投影的概念，解本题的关键在于将题中有关向量模的等式平方，这也是向量求模的常用解法，考查计算能力与定义的理解，属于中等题． 22．C 【分析】在ABC 中，根据5AB AC ==，6BC =，由余弦定理求得7cos 25A =，再由平方关系得到sin A ，然后由正弦定理2sin BCR A=求解. 【详解】在ABC 中，5AB AC ==，6BC =，由余弦定理得：2222225567cos 225525AB AC BC A AB AC +-+-===⋅⨯⨯，所以24sin 25A ==，由正弦定理得：625224sin 425BC R A ===，所以258R =，此三角形的外接圆半径是258故选：C 【点睛】本题主要考查余弦定理，正弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 23．B 【分析】先根据正弦定理化边得C 为直角，再根据余弦定理得角B ，最后根据直角三角形解得a. 【详解】因为222sin sin sin 0A B C +-=，所以222b c 0a +-=, C 为直角，因为2220a c b ac +--=，所以2221cosB ,223a cb B ac π+-===,因此13a ccos π==选B.【点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的. 24．D 【分析】由点G 是ABC 的重心可得0GA GB GC ++=,即GA GB GC =--,代入30aGA bGB cGC ++=中可得3()0b a GB c a GC ⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭,由,GB GC 不共线可得00b a a -=⎧-=,即可求得,,a b c 的关系,进而利用余弦定理求解即可【详解】因为点G 是ABC 的重心,所以0GA GB GC ++=, 所以GA GB GC =--,代入303aGA bGB cGC ++=可得3()03b a GB c a GC ⎛⎫-+-=⎪ ⎪⎝⎭, 因为,GB GC 不共线,所以00b a a -=⎧-=⎩,即b a c =⎧⎪⎨=⎪⎩,所以222cos 2b c a BAC bc +-∠==,故30BAC ︒∠=, 故选:D【点睛】本题考查向量的线性运算,考查利用余弦定理求角 25．D【分析】根据条件利用平方法得到向量数量积的数值，结合向量数量积与夹角之间的关系进行求解即可．【详解】 ∵非零向量a ，b 满足2a b a b b +=-=， ∴平方得22a b a b +=-，即2222||2||2a b a b a b a b ++⋅=+-⋅ ，则0a b ⋅=，由2a b b +=，平方得222||24||a b a b b ++⋅=，得223a b =，即3a b =则2a b b +=，22|3|a b a a a b b +⋅=+⋅=（），则向量a b +与a 的夹角的余弦值23||3223a b a b cos a b a b b θ+⋅===+⋅⋅（），，0.6πθπθ≤≤∴=，，故选D.【点睛】本题主要考查向量数量积的应用，求解向量数量积的大小是解决本题的关键． 26．无27．C【详解】试题分析：因为OA OB OC ==，所以O 到定点,,A B C 的距离相等，所以O 为ABC ∆的外心，由0NA NB NC ++=，则NA NB NC +=-，取AB 的中点E ，则2NA NB NE CN +=-=，所以2NE CN =，所以N 是ABC ∆的重心；由•••PA PB PB PC PC PA ==，得()0PA PC PB -⋅=，即0AC PB ⋅=，所以AC PB ⊥，同理AB PC ⊥，所以点P 为ABC ∆的垂心，故选C.考点：向量在几何中的应用.28．D【分析】由题，延长AP 交BC 于点D ，利用共线定理，以及向量的运算求得向量,,CP CA CD 的关系，可得DP 与AD 的比值，再利用面积中底面相同可得结果.【详解】延长AP 交BC 于点D ，因为A 、P 、D 三点共线，所以(1)CP mCA nCD m n =++=，设CD kCB =代入可得CP mCA nkCB =+即()(1)AP AC mAC nk AB AC AP m nk AC nk AB -=-+-⇒=--+又因为1142AP AB AC =+，即11,142nk m nk =--=，且1m n += 解得13,44m n == 所以1344CP CA CD =+可得4AD PD = 因为BPC ∆与ABC ∆有相同的底边，所以面积之比就等于DP 与AD 之比所以BPC ∆与ABC ∆的面积之比为14故选D【点睛】本题考查了向量的基本定理，共线定理以及四则运算，解题的关键是在于向量的灵活运用，属于较难题目.29．B【解析】【分析】利用向量的定义和运算法则逐一考查所给的命题是否正确即可得到正确命题的个数.【详解】逐一考查所给的命题：①由向量的减法法则可知：AB AC CB -=，题中的说法错误；②由向量加法的三角形法则可得：0AB BC CA ++=，题中的说法正确；③因为()(2)0OB OC OB OC OA -⋅+-=，即()0CB AB AC ⋅+=；又因为AB AC CB -=，所以()()0AB AC AB AC -⋅+=，即||||AB AC =，所以△ABC 是等腰三角形.题中的说法正确；④若0AC AB ⋅>，则cos 0AC AB A ⨯⨯>，据此可知A ∠为锐角，无法确定ABC ∆为锐角三角形，题中的说法错误．综上可得，正确的命题个数为2.故选：B .【点睛】本题主要考查平面向量的加法法则、减法法则、平面向量数量积的应用，由平面向量确定三角形形状的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 30．A【分析】不等式a c b d T -+-≥恒成立，即求a c b d -+-最小值，利用三角不等式放缩+=+()a c b d a c b d a b c d -+-≥---+，转化即求+()a b c d -+最小值，再转化为等边三角形OAB 的边AB 的中点M 和一条直线上动点N 的距离最小值. 当M N ，运动到MN CD ⊥时且,OM ON 反向时，MN 取得最小值得解.【详解】1a b ==，12a b ⋅=,易得,3a b π<>= 设,,,OA a OB b OC c OD d ====，AB 中点为M ，CD 中点为N则,A B 在单位圆上运动，且三角形OAB 是等边三角形, (.1),(,1)1CD C m m D n n k ，CD 所在直线方程为10x y +-= 因为a c b d T -+-≥恒成立， +=+()a c b d a c b d a b c d -+-≥---+,(当且仅当a c -与b d -共线同向，即a b +与c d +共线反向时等号成立)即求+()a b c d -+最小值.+()=()()a b cd OA OB OC OD -++-+=22=2OM ON NM - 三角形OAB 是等边三角形，,A B 在单位圆上运动，M 是AB 中点，∴ M 的轨迹是以原点为圆心，半径为3的一个圆. 又N 在直线方程为10x y +-=上运动，∴ 当M N ，运动到MN CD ⊥时且,OM ON 反向时，MN 取得最小值此时M 到直线10x y +-=的距离322MN 232T NM故选：A【点睛】本题考查平面向量与几何综合问题解决向量三角不等式恒成立.平面向量与几何综合问题的求解坐标法：把问题转化为几何图形的研究，再把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决．31．B【分析】利用正弦定理可得sin 2sin B C =，结合a b =和余弦定理，即可得答案；【详解】cos cos 2sin cos sin cos 2sin c A a C c C A A C C +=⇒+=，∴sin()2sin sin 2sin A C C B C +=⇒=，∴2b c =，又a b =，∴22222114cos 12422b ac b B ac b ⋅+-===⋅⋅，故选：B.【点睛】本题考查正、余弦定理解三角形，考查运算求解能力，求解时注意进行等量代换求值. 32．C【分析】根据平面向量的三角形法则和共线定理即可得答案.【详解】解：111222BF BA AF BA AE AB AD AB CE ⎛⎫=+=+=-+++ ⎪⎝⎭ 111223AB AD AB CB ⎛⎫=-+++ ⎪⎝⎭ 111246AB AD AB CB =-+++ ()111246AB AD AB CD DA AB =-+++++ 11112462AB AD AB AB AD AB ⎛⎫=-+++--+ ⎪⎝⎭ 111124126AB AD AB AB AD =-+++- 2133AB AD =-+ 故选：C .【点睛】本题考查用基底表示向量，向量的线性运算，是中档题.33．B【分析】由题意可得2b a c =+，平方后整理得22242a c b ac +=-，利用三角形面积可求得ac 的值，代入余弦定理可求得b 的值.【详解】解：∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b a c =+，平方得22242a c b ac +=-，①又ABC 的面积为32，且30B ∠=︒，由11sin sin 3022ABC S ac B ac ==⋅︒△1342ac ==，解得6ac =，代入①式可得222412a c b +=-，由余弦定理得222cos 2a c b B ac+-=，222412312326122b b b ---===⨯，解得2423b =+，∴13b =+.故选：B .【点睛】本题考查等差数列的性质和三角形的面积公式，涉及余弦定理的应用，属于中档题.34．无35．D【详解】由余弦定理得，解得（舍去），故选D. 【考点】余弦定理【名师点睛】本题属于基础题,考查内容单一,根据余弦定理整理出关于b 的一元二次方程,再通过解方程求b.运算失误是基础题失分的主要原因,请考生切记！。

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一、选择题1．下列命题中正确的是( )A.－＝OA→ OB → AB → B.＋＝0AB→ BA → C ．0·＝0AB → D.＋＋＝AB→ BC → CD → AD → 考点　向量的概念题点　向量的性质答案　D解析　起点相同的向量相减，则取终点，并指向被减向量，－＝；，是一对OA→ OB → BA → AB → BA → 相反向量，它们的和应该为零向量，＋＝0；0·＝0.AB → BA → AB→ 2．已知A ，B ，C 三点在一条直线上，且A (3，－6)，B (－5,2)，若C 点的横坐标为6，则C 点的纵坐标为( )A ．－13B ．9C ．－9D ．13考点　向量共线的坐标表示的应用题点　已知三点共线求点的坐标答案　C解析　设C 点坐标(6，y )，则＝(－8,8)，＝(3，y ＋6)．AB → AC→ ∵A ，B ，C 三点共线，∴＝，∴y ＝－9.3－8y ＋683．在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 是平行四边形，＝(1，－2)，＝(2,1)，AB → AD→ 则·等于( )AD→ AC → A ．5 B ．4 C ．3 D ．2考点　平面向量数量积的坐标表示与应用题点　坐标形式下的数量积运算答案　A解析　∵四边形ABCD 为平行四边形，∴＝＋＝(1，－2)＋(2,1)＝(3，－1)，∴·AC → AB → AD → AD→ ＝2×3＋(－1)×1＝5.AC→4．(2017·辽宁大连庄河高中高一期中)已知平面向量a ＝(1，－3)，b ＝(4，－2)，a ＋λb 与a 垂直，则λ等于( )A ．－2 B ．1C ．－1D ．0考点　向量平行与垂直的坐标表示的应用题点　已知向量垂直求参数答案　C解析　a ＋λb ＝(1＋4λ，－3－2λ)，因为a ＋λb 与a 垂直，所以(a ＋λb )·a ＝0，即1＋4λ－3(－3－2λ)＝0，解得λ＝－1.5．若向量a 与b 的夹角为60°，|b |＝4，(a ＋2b )·(a －3b )＝－72，则向量a 的模为( )A ．2 B ．4C ．6D ．12考点　平面向量模与夹角的坐标表示的应用题点　利用坐标求向量的模答案　C解析　因为a ·b ＝|a |·|b |·cos 60°＝2|a |，所以(a ＋2b )·(a －3b )＝|a |2－6|b |2－a·b＝|a |2－2|a |－96＝－72.所以|a |＝6.6．定义运算|a ×b |＝|a |·|b |·sin θ，其中θ是向量a ，b 的夹角．若|x |＝2，|y |＝5，x·y ＝－6，则|x ×y |等于( )A ．8B ．－8C ．8或－8D ．6考点　平面向量数量积的概念与几何意义题点　平面向量数量积的概念与几何意义答案　A解析　∵|x |＝2，|y |＝5，x·y ＝－6，∴cos θ＝＝＝－.x·y|x|·|y|－62×535又θ∈[0，π]，∴sin θ＝，45∴|x ×y |＝|x |·|y |·sin θ＝2×5×＝8.457．如图所示，在△ABC 中，AD ＝DB ，AE ＝EC ，CD 与BE 交于点F .设＝a ，＝b ，＝x a ＋y b ，则(x ，y )为( )AB → AC → AF→A.B.(12，12)(23，23)C.D.(13，13)(23，12)考点　平面向量基本定理的应用题点　利用平面向量基本定理求参数答案　C解析　令＝λ.BF → BE→ 由题可知，＝＋＝＋λAF → AB → BF → AB → BE→＝＋λ＝(1－λ)＋λ.AB → (12AC → －AB → )AB → 12AC → 令＝μ，CF → CD → 则＝＋＝＋μAF → AC → CF → AC → CD →＝＋μ＝μ＋(1－μ).AC → (12AB → －AC → )12AB → AC → 因为与不共线，AB→ AC → 所以Error!解得Error!所以＝＋，故选C.AF → 13AB → 13AC→ 二、填空题8．若|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，若(3a ＋5b )⊥(m a －b )，则m 的值为________．考点　平面向量数量积的应用题点　已知向量夹角求参数答案　238解析　由题意知(3a ＋5b )·(m a －b )＝3m a 2＋(5m －3)a·b －5b 2＝0，即3m ＋(5m －3)×2×cos60°－5×4＝0，解得m ＝.2389．若菱形ABCD 的边长为2，则＝________.|AB → －CB → ＋CD → |考点　向量加、减法的综合运算及应用题点　利用向量的加、减法化简向量答案　2解析　＝＝＝＝2.|AB →－CB → ＋CD → ||AB → ＋BC → ＋CD → ||AC → ＋CD → ||AD → |10．已知向量a ，b 夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝，则|b |＝________.10考点　平面向量数量积的应用题点　利用数量积求向量的模答案　32解析　因为向量a ，b 夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝.10所以＝，4a 2＋b 2－4a ·b 10化为4＋|b |2－4|b |cos 45°＝10，化为|b |2－2|b |－6＝0，2因为|b |≥0，解得|b |＝3.211．已知a 是平面内的单位向量，若向量b 满足b·(a －b )＝0，则|b |的取值范围是________．考点　平面向量数量积的应用题点　利用数量积求向量的模答案　[0,1]解析　b·(a －b )＝a·b －|b |2＝|a||b |cos θ－|b |2＝0，∴|b |＝|a |cos θ＝cos θ (θ为a 与b 的夹角，θ∈)，[0，π2]∴0≤|b |≤1.三、解答题12．(2017·四川宜宾三中高一月考)如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上一点，且＝x ＋y .OP → OA → OB → (1)若＝，求x ，y 的值；AP→ PB → (2)若＝3，||＝4，||＝2，且与的夹角为60°，求·的值．AP → PB → OA → OB → OA → OB → OP→ AB → 考点　平面向量数量积的概念与几何意义题点　平面向量数量积的概念与几何意义解　(1)若＝，则＝＋，AP → PB → OP → 12OA → 12OB→ 故x ＝y ＝.12(2)若＝3，AP → PB → 则＝＋，OP → 14OA → 34OB → ·＝·OP → AB → (14OA → ＋34OB →)(OB →－OA → )＝－2－·＋214OA → 12OA → OB → 34OB → ＝－×42－×4×2×cos 60°＋×22141234＝－3.13．若＝(sin θ，－1)，＝(2sin θ，2cos θ)，其中θ∈，求||的最大值．OA → OB → [0，π2]AB→ 考点　平面向量模与夹角的坐标表示的应用题点　利用坐标求向量的模解　∵＝－＝(sin θ，2cos θ＋1)，AB→ OB → OA → ∴||＝AB→ sin2θ＋4cos2θ＋4cos θ＋1＝3cos2θ＋4cos θ＋2＝，3(cos θ＋23)2＋23∴当cos θ＝1，即θ＝0时，||取得最大值3.AB→ 四、探究与拓展14．在△ABC 中，点O 在线段BC 的延长线上，且||＝3||，当＝x ＋y 时，BO → CO → AO → AB → AC→ x －y ＝________.考点　向量共线定理及其应用题点　利用向量共线定理求参数答案　－2解析　由||＝3||，得＝3，BO → CO → BO → CO→ 则＝，BO → 32BC → 所以＝＋＝＋＝＋(－)AO → AB → BO → AB → 32BC → AB → 32AC→ AB → ＝－＋.12AB → 32AC → 所以x ＝－，y ＝，所以x －y ＝－－＝－2.1232123215．已知＝(1,0)，＝(0,1)，＝(t ，t )(t ∈R )，O 是坐标原点．OA → OB → OM→ (1)若A ，B ，M 三点共线，求t 的值；(2)当t 取何值时，·取到最小值？并求出最小值．MA→ MB → 考点　向量共线的坐标表示的应用题点　利用三点共线求参数解　(1)＝－＝(－1,1)，AB→ OB → OA → ＝－＝(t －1，t )．AM→ OM → OA → ∵A ，B ，M 三点共线，∴与共线，AB→ AM → ∴－t －(t －1)＝0，∴t ＝.12(2)∵＝(1－t ，－t )，＝(－t,1－t )，∴·＝2t 2－2t ＝22－，故当t ＝时，MA → MB → MA → MB → (t －12)1212→MB→1 2·取得最小值－. MA。