平面向量综合练习题

一、选择题

1．下列命题中正确的是( )A.－＝OA

→ OB → AB → B.＋＝0AB

→ BA → C ．0·＝0AB → D.＋＋＝AB

→ BC → CD → AD → 考点　向量的概念题点　向量的性质答案　D

解析　起点相同的向量相减，则取终点，并指向被减向量，－＝；，是一对

OA

→ OB → BA → AB → BA → 相反向量，它们的和应该为零向量，＋＝0；0·＝0.

AB → BA → AB

→ 2．已知A ，B ，C 三点在一条直线上，且A (3，－6)，B (－5,2)，若C 点的横坐标为6，则

C 点的纵坐标为( )

A ．－13

B ．9

C ．－9

D ．13考点　向量共线的坐标表示的应用题点　已知三点共线求点的坐标答案　C

解析　设C 点坐标(6，y )，则＝(－8,8)，＝(3，y ＋6)．

AB → AC

→ ∵A ，B ，C 三点共线，∴＝，∴y ＝－9.

3

－8y ＋6

83．在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 是平行四边形，＝(1，－2)，＝(2,1)，AB → AD

→ 则·等于( )

AD

→ AC → A ．5 B ．4 C ．3 D ．2

考点　平面向量数量积的坐标表示与应用

题点　坐标形式下的数量积运算

答案　A

解析　∵四边形ABCD 为平行四边形，∴＝＋＝(1，－2)＋(2,1)＝(3，－1)，∴·AC → AB → AD → AD

→ ＝2×3＋(－1)×1＝5.

AC

→

4．(2017·辽宁大连庄河高中高一期中)已知平面向量a ＝(1，－3)，b ＝(4，－2)，a ＋λb 与a 垂直，则λ等于( )A ．－2 B ．1C ．－1

D ．0

考点　向量平行与垂直的坐标表示的应用

题点　已知向量垂直求参数答案　C

解析　a ＋λb ＝(1＋4λ，－3－2λ)，因为a ＋λb 与a 垂直，所以(a ＋λb )·a ＝0，

即1＋4λ－3(－3－2λ)＝0，解得λ＝－1.

5．若向量a 与b 的夹角为60°，|b |＝4，(a ＋2b )·(a －3b )＝－72，则向量a 的模为( )A ．2 B ．4C ．6

D ．12

考点　平面向量模与夹角的坐标表示的应用题点　利用坐标求向量的模答案　C

解析　因为a ·b ＝|a |·|b |·cos 60°＝2|a |，所以(a ＋2b )·(a －3b )＝|a |2－6|b |2－a·b

＝|a |2－2|a |－96＝－72.

所以|a |＝6.

6．定义运算|a ×b |＝|a |·|b |·sin θ，其中θ是向量a ，b 的夹角．若|x |＝2，|y |＝5，x·y ＝－6，则|x ×y |等于( )A ．8

B ．－8

C ．8或－8

D ．6

考点　平面向量数量积的概念与几何意义题点　平面向量数量积的概念与几何意义

答案　A

解析　∵|x |＝2，|y |＝5，x·y ＝－6，

∴cos θ＝＝＝－.

x·y

|x|·|y|－6

2×53

5

又θ∈[0，π]，∴sin θ＝，

4

5∴|x ×y |＝|x |·|y |·sin θ＝2×5×＝8.

4

57．如图所示，在△ABC 中，AD ＝DB ，AE ＝EC ，CD 与BE 交于点F .设＝a ，＝b ，＝x a ＋y b ，则(x ，y )为( )

AB → AC → AF

→

A.

B.(12，12)(23，2

3

)C.

D.(13，13)(23，12

)考点　平面向量基本定理的应用

题点　利用平面向量基本定理求参数答案　C

解析　令＝λ.

BF → BE

→ 由题可知，＝＋＝＋λAF → AB → BF → AB → BE

→

＝＋λ＝(1－λ)＋λ.

AB → (

12AC → －AB → )

AB → 12AC → 令＝μ，

CF → CD → 则＝＋＝＋μAF → AC → CF → AC → CD →

＝＋μ＝μ＋(1－μ).

AC → (

12AB → －AC → )

12AB → AC → 因为与不共线，AB

→ AC → 所以Error!解得Error!

所以＝＋，故选C.AF → 13AB → 13AC

→ 二、填空题

8．若|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，若(3a ＋5b )⊥(m a －b )，则m 的值为________．考点　平面向量数量积的应用

题点　已知向量夹角求参数

答案　238

解析　由题意知(3a ＋5b )·(m a －b )＝3m a 2＋(5m －3)a·b －5b 2＝0，即3m ＋(5m －3)×2×cos

60°－5×4＝0，解得m ＝.

23

89．若菱形ABCD 的边长为2，则＝________.|AB → －CB → ＋CD → |考点　向量加、减法的综合运算及应用题点　利用向量的加、减法化简向量答案　2

解析　＝＝＝＝2.|AB →

－CB → ＋CD → ||AB → ＋BC → ＋CD → ||AC → ＋CD → ||AD → |10．已知向量a ，b 夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝，则|b |＝________.

10考点　平面向量数量积的应用

题点　利用数量积求向量的模答案　32

解析　因为向量a ，b 夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝.10所以＝，4a 2＋b 2－4a ·b 10化为4＋|b |2－4|b |cos 45°＝10，化为|b |2－2|b |－6＝0，

2因为|b |≥0，解得|b |＝3.

211．已知a 是平面内的单位向量，若向量b 满足b·(a －b )＝0，则|b |的取值范围是________．

考点　平面向量数量积的应用题点　利用数量积求向量的模答案　[0,1]

解析　b·(a －b )＝a·b －|b |2＝|a||b |cos θ－|b |2＝0，

∴|b |＝|a |cos θ＝cos θ (θ为a 与b 的夹角，θ∈)，

[0，

π

2]∴0≤|b |≤1.三、解答题