公式法(完全平方公式分解因式).doc
14.3.3因式分解(公式法-完全平方公式)
2
的多项式称为完全平方式.
完全平方公式
a b
2
a 2ab b
2
2
a 2ab b ；
2 2
a 2ab b
2
2
完全平方式的特点：
1．有三部分组成． 2．其中有两部分分别是某两个数（或式）的平方， 另一部分是上述两数（或式） 且这两部分同号．
的乘积的2倍，符号可正可负．
一天,小明在纸上写了一个算式为
4x2 +8x+11,并对小刚说:“无论x取何值,这个
代数式的值都是正值,你不信试一试?”
4x 2 8x 11 2x 2 2x 2 22 7
2
2x 2 7 4 x 1 7
2 2
分解因式：
(1) 9x2+24x+16;
2 2
分解因式:
2x y
2
62x y 9
分解因式： (a b) 10(a b) 25．
2
因式分解：
(1)-a3b3+2a2b3-ab3 (2)9 - 12(a-b) + 4 (a-b)2
(3)16x4-8x2＋1
因式分解：
(4)(y2 + x2 )2 - 4x2y2 (5)(a+b)2＋2(a+b)(a-b)＋(a-b)2
2 2
(3) x 2 xy y ； 是
2 2
(4) x 2 xy y ； 不是
2 2
(5) x 2 xy y ． 是
2 2
a2 2ab b2 (a b)2 ; a2 2ab b2 (a b)2
1．判别下列各式是不是完全平方式，若是说出 相应的 a、 b 各表示什么？ (1) x 2 6 x 9；是 a表示x，b表示3.
《公式法》因式分解
汇报人： 2023-12-26
目录
• 公式法因式分解简介 • 公式法因式分解的基本步骤 • 公式法因式分解的常见类型 • 公式法因式分解的实例解析 • 公式法因式分解的注意事项
01
公式法因式分解简介
因式分解的定义
01
02
03
因式分解的定义
将一个多项式表示为几个 整式的积的形式，这种变 形叫做把这个多项式因式 分解，也叫做分解因式。
在化简过程中，需要注意消除项和合 并同类项。
简化多项式可以使其更容易理解和计 算。
03
公式法因式分解的常见类型
二次多项式的因式分解
01
02
03
04
总结词
利用完全平方公式和平方差公 式进行因式分解
公式法
$ax^2+2abx+b^2=(ax+b) ^2$
公式法
$ax^2-b^2=(ax+b)(ax-b)$
二次多项式的实例解析
总结词
二次多项式是多项式中最简单的一类， 其因式分解方法相对固定，公式法是其 中最常用的方法之一。
VS
详细描述
对于形如ax^2+bx+c的二次多项式，我 们可以使用公式法进行因式分解。首先计 算判别式b^2-4ac的值，然后根据判别式 的值选择合适的公式进行因式分解。当判 别式大于0时，二次多项式有两个实根， 可以使用公式法分解为两个一次多项式的 乘积；当判别式等于0时，二次多项式有 一个重根，可以分解为一个一次多项式的 平方；当判别式小于0时，二次多项式没 有实根，无法使用公式法进行因式分解。
因式分解的步骤
提取公因式、公式法、十 字相乘法、分组分解法等 。
因式分解的作用
完全平方公式法因式分解
1.
7.(1)已知a－b＝3，求a(a－2b)＋b2的值； (2)已知ab＝2，a＋b＝5，求a3b＋2a2b2＋ab3的值．
8.(1)已知a－b＝3，求a(a－2b)＋b2的值； (2)已知ab＝2，a＋b＝5，求a3b＋2a2b2＋ab3的值． 解：(1)原式＝a2－2ab＋b2＝(a－b)2. 当a－b＝3时，原式＝32＝9. (2)原式＝ab(a2＋2ab＋b2)＝ab(a＋b)2.
利用公式把某些具有特殊形式（如平方差式， 完全平方式等）的多项式分解因式，这种分解因式 的方法叫做公式法.
因式分解的平方差公式： a2-b2=(a+b)(a-b)
因式分解的完全平方公式：
a2+2ab+b2= (a+b) 2
a2－2ab+b2= (a－b) 2
例3：因式分解： (1)－3a2x2＋24a2x－48a2；
3. 完全平方公式： (a+b) 2 =a2+2ab+b2.
(a－b) 2 =a2-2ab+b2
完全平方公式： (a+b) 2=a2±2ab+b2.
1.整式的乘法 (1). (p+1) 2 = ______ (2). (m+2) 2 =______ (3). (p-1) 2 =______ (4). (m-2) 2 =______ (5). (a+b) 2 =_______ (6). (a-b) 2 =_______
(1).两个数的平方和加上这两个数的积的2倍， 等于这两个数的和的平方;
(2).两个数的平方和减去这两个数的积的2倍， 等于这两个数的差的平方.
特点:1.共有三项、2.有两个平方项、 3.另一项两个数乘积的正或负2倍。
完全平方公式分解因式
完全平方公式分解因式ax^2+bx+c=(mx+n)^2+rx+s其中m，n，r，s为实数。
将右侧的完全平方式展开，可得：(mx+n)^2=m^2x^2+2mnx+n^2将等式两边展开，得：m^2x^2+2mnx+n^2+rx+s=ax^2+bx+c将其中的同类项合并，得：(m^2-r)x^2+(2mn)x+(n^2+s)=ax^2+bx+c根据二次多项式相等的性质，可得以下等式：m^2-r=a2mn=bn^2+s=c解上述等式组即可求得m，n，r，s的值。
进而可将二次多项式ax^2+bx+c分解为(mx+n)^2+rx+s的形式。
下面以具体例子进行分解因式的过程。
例1：分解因式x^2+4x+4根据完全平方公式分解因式的公式，设分解为(mx+n)^2+rx+s，那么有：mx+n=x+2将上式平方展开，可得：(mx+n)^2=(x+2)^2=x^2+4x+4因此，将x^2+4x+4分解为(x+2)^2的形式。
例2：分解因式x^2-6x+9类似地，将x^2-6x+9分解为(mx+n)^2+rx+s的形式，那么有：mx+n=x-3将上式平方展开，可得：(mx+n)^2=(x-3)^2=x^2-6x+9因此，将x^2-6x+9分解为(x-3)^2的形式。
例3：分解因式4x^2-4x+1根据完全平方公式分解因式的公式，设分解为(mx+n)^2+rx+s，那么有：mx+n=2x-1将上式平方展开，可得：(mx+n)^2=(2x-1)^2=4x^2-4x+1因此，将4x^2-4x+1分解为(2x-1)^2的形式。
通过上述例子可以看出，对于一个二次多项式，其分解因式的关键在于找到合适的m，n，r，s的值，使得原二次多项式可以被分解为两个完全平方式相加的形式。
分解因式公式法---完全平方公式
12(a+b)+36 就是一个完全平方式。即
(a+b)2-12(a+b)+36=(a+b)2-2×(a+b)×6+62 m2 - 2 ×6 +62 解： (a+b)2-12(a+b)+36 ×m = (a+b)2-2×(a+b)×6+62 =(a+b-6)2
现在回头来看看我们上课时提出的问题，
快速口算
完全平方式 a2 2ab b2 (a b)2
左边：① 项数：共三项，即a、b两数的平方项
，a、b两数积的2倍。
② 次数：左边每一项的次数都是二次。
③ 符号：左边a、b两数的平方项必须同号。
右边：是a、b两数和（或差）的平方。
当a、b同号时，a2+2ab+b2=(a+b)2
当a、b异号时，a2-2ab+b2=(a-b)2
∴ 2a2+4b-3=2×(-1)2+4×2-3
=7
考考你
(2)已知a、b、c是△ABC的三边的长，且满 足 a2+2b2+c2-2b(a+c)=0，试判断△ABC的 形状。 温馨提示：将条件a2+2b2+c2-2b(a+c)=0变形 为a2+2b2+c2-2ab-2bc=0，左边与完全平方式 十分相似。可将其奏成两个完全平方式的和， 然后利用非负数性质就能解决问题了。
3、深刻理解
下列各式是不是完全平方式，为什么？ 是 （1） x2-4x+4______________ 不是，缺乘积项 （2） x2+16 _________________ 不是，缺乘积项的2倍 （3 ） 9m2+3mn+n2_____________________ 不是，平方项异号 （4）-y2-12xy+36x2 是 __________________ 不是，只有一个平方项 2 （5） -m +10mn-25n2______________ （6 ）
完全平方公式因式分解
灵活应用: 灵活应用:
(1)2006 − 6
2 2 2 2
2
(2)13 − 2 ×13 × 3 + 9 (3)11 + 39 + 66 ×13
小结
应用范围: 二次三项式. 应用范围 二次三项式 注意:(1)正确选取 正确选取a,b. 注意 正确选取 (2)公式分清 公式分清. 公式分清 (3)在因式分解中 (3)在因式分解中，通常先观察 在因式分解中， 所给多项式是否有公因式， 所给多项式是否有公因式， 然后在考虑用公式。 然后在考虑用公式。 （4）二项式若有负号，要提出符号 ）二项式若有负号， (5)对于部分题目需要整理变形 对于部分题目需要整理变形
注意: 注意
(1)正确选取 正确选取a,b. 正确选取 (2)公式分清 公式分清. 公式分清
分解因式
(1)3am + 3an + 6amn
2 2
(2) − a
2
− 4b + 4ab
2
2
(3) -8a(2a+b)-b
应用范围: 二次三项式. 应用范围 二次三项式 注意:(1)正确选取 注意 正确选取a,b. 正确选取 (2)公式分清 公式分清. 公式分清 (3)在因式分解中，通常先观察 在因式分解中， 在因式分解中 所给多项式是否有公因式， 所给多项式是否有公因式， 然后在考虑用公式。 然后在考虑用公式。 （4）二项式若有负号，要提出符号 ）二项式若有负号， (5)对于部分题目需要整理变形 对于部分题目需要整理变形
2 就得到
a + 2ab + b = (a + b) 2 2 2 a − 2ab + b = (a − b )
a + 2ab+ b = (a+ b) 2 2 2 a − 2ab+ b = (a − b )
因式分解(公式法-完全平方公式)
2. 模仿例题完成P170练习1和2。
完全平方和--公式
完全平方差--公式
a 2ab b a b 2 2 2 a 2ab b a b
2 2 2
因式分解的完全平方公式—需要满足的条件： 从项数看： 都是有3项 从每一项看： 都有两项可化为两个数(或整式)的平方,
(2x y 3)
2
(1)已知9x2+mx+16是完全平方式,
则m= ±24 ____; (2)已知4x2-12xy+m是完全平方式,
9y2 则m=____.
(3) a3-8a2+16a
a(a-4)2
(4) 4x2(b-c) +y2(c-b) (b-c)(2x+y)(2x-y)
(5)-a2-10a -25
a b a2 + 2 · · + b2
解:(1)16x2+24x+9
=(4x)2+2· 3+32 4x·
=(4x+3)2.
例.分解因式： 分解因式的步骤：
2+4xy–4y2.(1)有公因式的先提取公因式; –x
（1）
(2) 观察剩下的因式能否套用公式法 即：–(x2-4xy+4y2) (二项式:平方差公式、 三项式:完全平方公式) 再次分解。
因式分解：
(1)-a3b3+2a2b3-ab3 (2)9 - 12(a-b) + 4 (a-b)2 (3)16x4-8x2＋1 (4)(y2 + x2 )2 - 4x2y2 (5)(a+b)2＋2(a+b)(a-b)＋(a-b)2
公式法因式分解
2 a2 6a 9 原式 x 32
3 4a2 4a 1 原式 2a 12
4 9m2 6mn n2 原式 3m n2
5 x2 1 x
4
原式
x
1 2
2
6 4a2 12ab 9b2 原式 2a 3b2
1. 因式分解 (1)9-a2-4ab-4b2 (2) 1+a2b2-a2-b2 (3) x2-4xy+4y2-5x+10y
（3）-3a+6a2-3a3 （4）4(a-b)3-9(a-b)
2.计算 （1）13×9.98+5.6×99.8+310×0.998
（2）9992-9982 （3）172+26×17+132
2.计算：542 462 2 54 46
3.已知 x y 2, xy ，2 求
x2 y2 6xy 的值。
(2)25m2 80m 64
(3)a2 1 a
(4) 24xy x2 y2
(5)(a b)2 18(a b) 81
[例3]分解因式： (1)(x+4)2+2x(x+4)+x2
(2)a4-2a2b2+b4
(3)（x2+3x）2-（x-1）2 （4）-2an+1+2an- 1 an-1
2
练习. 2.分解因式：
(1)x2 y 4 y
(2) 3x3 12x2 y 12xy2 (3)3ax2 6axy 3ay2 (4)a4 8a2 16
(5)x3 4x2 4x
3、计算：8002-1600×798+7982
应用提高、拓展创新
1.把下列多项式分解因式，从中你能发现 因式分解的一般步骤吗？
因式分解完全平方公式
因式分解完全平方公式
本文旨在介绍因式分解完全平方公式，帮助读者更好地理解和应用该公式。
请注意，本文不包含真实姓名和引用。
1. 什么是完全平方公式？
完全平方公式是一种用于因式分解二次方程的方法。
对于形如ax^2 + bx + c的二次多项式，如果其可以被写成(a1x + b1)^2的形式，那么我们称其为完全平方形式。
在求解二次方程或进行因式分解时，可以利用完全平方公式进行简化和化简。
2. 完全平方公式的表达式
完全平方公式可以表示为：a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2。
3. 如何应用完全平方公式进行因式分解？
为了利用完全平方公式进行因式分解，我们需要先将二次多项式化简为完全平方形式。
考虑二次多项式x^2 + 6x + 9。
我们可以看出该多项式的第一项是x的平方，第二项是2倍于x的系数的乘积，第三项是常数项的平方。
我们可以将其写成(x + 3)^2的形式，进而完成因式分解。
4. 完全平方公式的应用领域
完全平方公式在数学中有广泛的应用。
它可以用于求解二次方程、因式分解多项式、简化复杂的数学表达式等。
在代数学、高等数学、物理学和工程学等领域中，都会涉及到使用完全平方公式简化和解决问题。
本文介绍了因式分解完全平方公式的概念、表达式和应用领域。
通过理解和掌握完全平方公式，读者可以更好地处理与二次方程相关的问题，并在数学和相关学科中取得更好的成绩和进展。
希望本文能对您的学习和应用有所帮助。
14.3.2公式法分解因式--完全平方公式---
通过解这两题，你得到什么启示？
第11页，共26页。
解例２可以发现：
在因式分解过程中，先把多项式化成符合完全平
方公式： a2±2ab+b2 ＝ （a±b）2的形式，
然后再根据公式分解因式.公式中的a , b可以
是单项式，也可以是多项式. ；
第12页，共26页。
例3把下列多项式分解因式
2、若有公因式，应提取公因式，再用公
式法分解因式。
3、分解因式后的每个因式应为不能再分
解了。 4、分解因式时，要灵活采用方法
第14页，共26页。
请运用完全平方公式把下列 各式分解因式：
1 x2 4x 4 原式 x 22
2 a2 6a 9
3 4a2 4a 1 原式 2a 12
4 9m2 6mn n2 原式 3m n2
第3页，共26页。
回忆完全平方公式
ab 2 a2 2abb2
ab 2 a2 2abb2
第4页，共26页。
下面的多项式能分解因式吗？
(1) a2＋2ab＋b2 (2) a2－2ab＋b2
(a+b)2= a2 +2ab+b2 (a-b)2= a2 - 2ab+b2
乘法公式——完全平方公式：
3.分解因式一直到不能分解为止.所以分解 后一定检查括号内是否能继续分解.
第2页，共26页。
我们前面学习了利用平方差公式来分解
因式即：
a2-b2=(a+b)(a-b)
例如：
4a2-9b2= (2a+3b)(2a-3b)
用平方差公式因式分解的多项式特征：
①有且只有两个平方项；
②两个平方项异号(一正一负)；
14.3.2公式法_因式分解(完全平方公式)
a 2ab b a 2ab b
2 2
2
2
完全平方式的特点： 1、必须是三项式 2、有两个“项”的平方 3、有这两“项”的2倍或-2倍
2 2 首 2首尾 尾
判别下列各式是不是完全平方式
1x 2 xy y 2 2 2A 2 AB B 2 2 3甲 2 甲乙 乙 2 2 4 2
a 2ab b a b
2 2
2
a 2ab b a b
2 2
2
这两个多项式有什么特征?
2 2 2 2 a +2ab+b 与a -2ab+b
这两个多项式是两个数的平方和加上(或 减去)这两个数的积的2倍，这恰是两个 数和或差的平方。
我们把 2 2 和 2 2 a +2ab+b a -2ab+b 这样的式子叫做完全平方式。
1. 因式分解：9x2－y2－4y－4＝_____． 2 2 【解析】9x －y －4y－4
= 9x2－(y2+4y+4） = 答案： 2. 分解因式：2a2–4a+2 2 【解析】 2a – 4a+2 = 2(a 2 – 2a +1) = 2(a – 1) 2
需要我们掌握： 1：如何用符号表示完全平方公式？
(1) (2) 1 6 a 4 + 2 4 a 2 b 2 + 9 b 4 2 2 解:（1）x － 12xy+36y 2 2 = x －2· x· 6y+ （ 6y ） = （ x － 6y ） 2 （ 2 ） 16a 4 +24a 2 b 2 +9b 4
2. 因式分解.
2 2 x － 12xy+36y
因式分解——公式法完全平方公式人教版八年级数学上册课件
；
（2）4b2-4ab+a2= （2b-a）2
；
（3）9x2-12x+4=
（3x-2）2
；
（4）4b2-20ab+25a2=
（2b-5a）2
.
12. 下列各式中，不能用完全平方公式分解的
个数为（ C ）
①x2-10x+25；②4a2+4a-1；③x3-2x-1；
④m2-m+ ；⑤4x4-x3+ .
原式＝4x2-12xy+9y2＝（2x-3y）2．
16. 已知：△ABC 的三边分别为 a，b，c，且满 足 a2+2b2+c2=2b（a+c）. 求证：△ABC 为等
边三角形.
证明：因为a2+2b2+c2=2b（a+c）， 所以（a-b）2+（c-b）2=0. 所以a=b=c，即△ABC为等边三角形.
（1）9x2-6x+1=
（3x-1）2
；
（2）9a2+24ab+16b2= （3a+4b）2
.
7. （例 3）分解因式：
（1）5mx2-10mxy+5my2；
原式＝5m（x-y）2.
（2）-2x3+12x2-18x.
原式＝-2x（x-3）2.
方法提升：用完全平方公式分解因式的步骤： ①提取公因式；
A. 1 个
B. 2 个
C. 3 个
D. 4 个
二级能力提升练
13. 分解因式：
（1）x3-2x2+x；
原式＝x（x-1）2.
（2）2b2-4ab+2a2；
原式＝2（b-a）2.
3.3公式法—完全平方公式因式分解
（一）提：有公因式先提公因式； （二）套：正确套用公式； （三）查：查分解是否彻底，左右两边是否相等.
作业
课本第67页A组 第 2题
分析：3x4+6x3y2+3x2y4. 解：原式 = 3 x2(x2+2xy2+y4). 有公因式 3 x2 ， 应先提出公因式 ，再进一步进行因式分解 . 2 2 2
= 3x [x +2 ·x ·y +(y2)2]. = 3x2(x+y2)2.
【归纳】（一）提：有公因式先提公因式；
（二）套：正确套用公式；
(2x-3y)2
a表示2x,b表示3y
自学指导二
阅读课本P65-66的例5，例6，例7，例8， 并思考下列问题： 1、例5中，对应完全平方公式里的a是？b是？ 2、例6中，首项和尾项的符号是什么？如何 变形才可以用完全平方公式分解因式？ 3、例7中，a4 可以看成是哪个式子的平方？ 4、例8的解题过程止于第三步行不行？为什 么？
练习
1. 填空（若某一栏不适用，填入“不适用”）：
多项式 x2-10x+25 能否表示成(a+b)2或(a-b)2的形式 a，b各表示什么
(x-5)2 不适用
a表示x,b表示5
x2+2x+4
2 y 1+ y + 4
不适用
y a表示1,b表示 2
2 y 1+ 2
4x2-12xy+9y2
1、前面我们学习了用什么方法对 多项式进行因式分解？
2、在学乘法公式时，我们学过的 完全平方公式是怎样的？ 3、多项式 9x2-3x+ 1 4 中可以利用平方差 公式因式分解吗？
因式分解(完全平方公式)课件
因式分解(完全平方公式)是将多项式分解成平方因子的特殊方法。
完全平方公式的原理
1 平方公式
平方公式是指一个二次方程的两个解之和等于系数b的相反数，而两个解的乘积等于系数 c。
2 完全平方公式的推导
完全平方公式的推导基于平方公式，通过对多项式进行平方运算。
3 常用的完全平方公式
因式分解(完全平方公式) 课件
因式分解(完全平方公式)是一种数学方法，用于将多项式分解成较简单的因子。 它的原理基于完全平方的特性，可以帮助我们解决各种数学问题。
什么是因式分解(完全平方公式)
1 定义
因式分解是将一个多项式分解成多个乘积的过程，每个乘积都被称为因子。
2 完全平方
一个完全平方是一个数的平方，例如4的完全平方是16。
1
确定多项式的类型
首先，我们需要确定多项式的类型，是一个二次方程还是其他类型的多项式。
2
提取公因子
然后，我们可以尝试提取多项式的公因子，使其更容易进行因式分解。
3
应用完全平方公式
接下来，我们可以根据所学的完全平方公式，将多项式分解成平方因子。
因式分解(完全平方公式)的例子
二次方程
多项式
例如，我们可以用因式分解(完全 平方公式)来解决二次方程的问题。
常用的完全平方公式包括平方差公式和平方和公式。
完全平方公式的应用
求解方程
完全平方公式可以帮助我们求 解二次方程，找到方程的解。
化简多项式
通过因式分解(完全平方公式)， 我们可以将复杂的多项式化简 为更简单的形式。
探索数学关系
通过分析完全平方公式，我们 可以发现数学中的一些有趣的 关系和特性。
因式分解(完全平方公式)的步骤
4.3.2公式法(完全平方公式)
完全平方公式与因式分解关系
你能用不同的方式表示图形的面积吗？
方法一：（a+b）2
方法二：a2+2ab+b2
b
整式乘法
a
（a+b）2
= a2+2ab+b2
因式分解
a
b
完全平方公式与因式分解关系
事实上，把乘法公式的(完全平方公式)： (a+b)²=a²+2ab+b²，(a-b)²=a²-2ab+b² 反过来，就得到因式分解的(完全平方公式)
课堂小结
公式 完全平方公式 特 点 分解因式
步骤
a2±2ab+b2=(a±b)2
（1）要求多项式有三项. （2）其中两项同号，且都可以写成某 数或式的平方，另一项则是这两数或式 的乘积的2倍，符号可正可负.
一提、二套、三查
课后作业
1.下列四个多项式中，能因式分解的是( B )
A．a2＋1
B．a2－6a＋9
课后作业
5.把下列多项式因式分解. （1）x2－12x+36; （2）4(2a+b)2-4(2a+b)+1; (3) y2+2y+1－x2;
解：(1)原式 =x2－2·x·6+(6)2 =(x－6)2;
(2)原式=[2(2a+b)]²－ 2·2(2a+b)·1+(1)² =(4a+2b － 1)2;
a²+2ab+b²=(a+b)²， a²-2ab+b²=(a-b)²
形如 （a²±2ab+b²）的式子称为完全平方式.
根据因式分解与整式乘法的关系，把乘法的公式反过来，我们就可以用乘法公 式把某些多项式因式分解，这种因式分解的方法叫做 公式法 .
14.3.2 公式法 - 第二课时 运用完全平方公式因式分解
解：原式＝[a－(b＋c)]2＝(a－b－c)2.
师生活动：学生先独立思考并完成解答，教师适当给予指导，最后进行统一讲解
1.学生独立思考、合作交流，在前面学习利用平方差公式分解因式的经验的基础上，总结利用完全平方公式分解因式的经验．
经历对例题和变式的探究过程，加深因式分解的一般解题步骤，达到巩固知识的目的，培养学生分析问题、解决问题的能力.
课前预学任 务（前提测评内容）
上节课我们学习了运用平方差公式分解因式，同学们能解决下面的题目吗？
因式分解：81a4－16.
情境导入
出示目标
导学活动预设
教师活动
学生活动
设计意图
活动一：创设情境、导入因式：
(1)m2－8mn＋16n2；(2)a2－2ab＋b2.
“以学为主’有效课堂范式”之课堂导学设计预案
课 题
14.3.2运用完全平方公式因式分解
授课时间
年 月 日
星 期
第 节
课标及教材解读
在学习本节课之前，已经学过了因式分解的有关概念和方法，特别是学过了运用平方差公式分解因式与本节课有类似之处，为本节课打下了基础．运用完全平方公式分解因式不仅是现阶段的学习重点，而且为后面分解二次三项式奠定了一定的基础．教学时注意类比平方差公式分解因式得出完全平方公式分解因式的意义，并分析完全平方式的特点．
(2)－x2＋4xy－4y2＝－(x2－4xy＋4y2)＝－[x2－2·x·2y＋(2y)2]＝－(x－2y)2.
方法归纳：运用完全平方公式分解因式，被分解的多项式必须满足三个特点：(1)多项式为三项式；(2)其中有两项是平方项且符号相同；(3)第三项是两个平方项幂的底数的积的2倍或－2倍．
用完全平方公式进行因式分解
我们称之为：运用完全平 方公式分解因式
例题：把下列式子分解因式
4x2+12xy+9y2
2x2 22x3y 3y2 2x 3y2
首2 2首尾 尾2 =(首±尾)2
5、把 1 x2 3xy 9 y分2 解因式得
4
（ B）
A、
1 4
x
3y
2
a2 2abb2 a2 2abb2
我们把以上两个式子叫做完全平 方式
“头” 平方, “尾” 平方, “头” “尾” 两倍中间放.
判别下列各式是不是完全平方式
1x2 2xy y2 是 2A2 2AB B2 是 3甲2 2甲乙 乙2 是 42 2 2 是
a2 2ab b2 a2 2ab b2
完全平方式的特点：
1、必须是三项式 2、有两个平方的“项” 3、有这两平方“项”底数的2倍或-2倍
首2 2首尾尾2
下并列分各解式因是式不是完全平方式
1 a2 b2 2ab 是
22xy x2 y 2 是 3 x2 4xy4 y 2 是 4a2 6abb2 否
5x2 x 1
是
4
6 a2 2ab 4b2 否
运用公式法
把乘法公式反过来用,可以把符合公式 特点的多项式因式分解,这种方法叫公式法.
完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2 a2-2ab+b2=(a-b)2
现在我们把这个公式反过来
a2 2abb2 ab2
a2 2abb2 ab2
很显然，我们可以运用以上这
x
3
y
2
6、把
4 9
x2
y2
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15.4. 3公式法
--- 运用完全平方公式分解因式
教学目标
（1）在掌握了解因式分解意义的基础上，会运用完全平方公式对多项式进行因式分解.
（2）在运用公式法进行因式分解的同时培养学生的观察、比较和判断能力以及运算能力，用不同的方法分解因式可以提高综合运用知识的能力.
（3）进一步体验“整体”的思想，培养“换元”的意识. 教学重点与难点
重点：运用完全平方公式法进行因式分解.
难点：观察多项式的特点，判断是否符合公式的特征和综合运用分解的方法，并完整地进行分解.
教学设计
复习回顾：
完全平方公式：（0+。
）2=6?+2沥+屏，（ci—bf-a —2沥+。
2.
两个数的和（或差）的平方，等于这两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍。
探究思考：
你能将多项式W+2汕+疽与a^-2ab+b2分解因式吗?
这中个多项式有什么特点? （白+》）2=白2+2
a2+2ab+b2=(a+b)2a
—2ab+b2=(a —b)2
中间一 沥+。
2,
（。
—A ）」。
?—2ab+b 1
.
两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两 个数的和（或差）的平方.
建议：由于受到前面用平方差公式分解因式的影响，学生对于这 两个多项式因式分解比较容易想到用完全平方公式，学生容易接受， 教师要把重点放在研究公式的特征上来.
形如 a 1 + 2ab*b ，, a 2 -2ab + b 2的式了称为完全平方式.
议一议 完全平方式的特点：
1、必须是二次三项式
2、其中首末两项分别是两个数（或两个整式）的平方,
项是两个数（或两个整式）的积的2倍（或-2倍）
曰诀：首平方，尾平方，积的2倍夹中央
注：可采用让学生自主讨论的方式进行教学，引导学生从多项式 的项数、每项的特点、整个多项式的特点等几个方面进行研究.然后 交流各自的体会.
例1、分解因式
（1）1 6X 2+24X +9 （2）-x 2+4xy-4y 2 ⑶ ^2+3xy + 9/ 注：训练学生运用完全平方公式分解因式，要尽可能地让学生说 和做，引导学生把多项式与公式进行比较找出不同点，把多项式向公 式的方向转化.
例2、分解因式
(2) (G+0)2-12 (o+Z?) +36
(1) 3 ax^+6 axy+3 ay2注：学生仔细观察多项式的特点，教师适当提醒和指导，要从公
课堂练习
(1) a 2-
6ab+9b 2(4)8x 2y-
24xy 2
+18/
式的形式和特点上进行比较.(可把心人看作一个整体，设
第2小题注意渗透换整体和换元的思想.
/ 、 r 1 (2) - 9/T72 + 6mn - n 2 ⑶厂+尤 +二 4 (5)(2%+)02 一6(2工 + y) + 9
拓展提高
例3、多项式:3+y)2.2(『y2)+3-y)2能用完全平方公式分解因式吗？ 分析:(x+y)2-2(x 2-y 2)4-(x-y)2=(x+y)2-2(x+y)(x-y)4-(x-y)2
符合完全平方式的形式，所以可以用完全平方公式分解因式。
此题旨在培养学生观察，比较和分析判断的能力。
例4、若9x 2+kxy+36y 2是完全平方式，则右。
分析:完全平方式形如：a 2±2ab -^b 2，即两数的平方和与这两个数乘积 的2倍的和(或差).
9x 2+Axy+36y 2=(3x)24-h:>,+(6y)2 kxy- ± 2・3x ・6y= ± 36xy
七±36
注意：k 值有两个，分正负两种情况，培养学生思维的严谨性. 练习：若齐(奸3)工+9是完全平方式，则妇 o
课堂小结：
完全平方公式的特点：
1、 左边是一个二次三项式。
2、其中首末两项分别是两个数(或两个整式)的平方，这两项的符号相同；中间一项是两个数（或两个整式）的积的2倍，符号正负皆可。
3、右边是两个数（或两个整式）的和（或差）的平方。