2018-2019-1-线代A卷+答案
2018-2019-1-线代A卷
11 1 1
6. 行列式 D 1 1
2 22
3 32
4 42 =
.
1 23 33 43
7. 设 A 是四阶方阵， A 是 A 的伴随矩阵， A 的行列式 A =1，则行列式
3 A 1 A* =
.
1 0 4
8.
设 A 是 43矩阵,
且 R A 3 ,
而
B
0
2
0
,
则 R AB
.
5 0 3
1 2 2
C． r m 时， AX 0 必有非零解 D． r n 时， AX 0 必有非零解
5. 如果实二次型 xT Ax 是正定的，则以下关于矩阵 A 的叙述错．误．（ ）
A．一定是正定矩阵
B．特征值一定大于零
C．顺序主子式有可能小于零
D．行列式一定大于零
得分
二．填空题：（每小题 3 分，共 15 分）
D. 12 ）
A. AB 1 A1B1
B. ABT AT BT
C. A B 1 A1 B1
D. A BT AT BT
3. 设 A 是三阶方阵，将 A 的第 1 行与第 2 行交换得 B ，再把 B 的第 2
行加到第 3 行得 C ，则满足 QA C 的可逆矩阵 Q 为（ ）
题号 一 二 三 四 题分 15 15 60 10 得分
注意：学号、姓名和所在年级班级不写、不写全或写在密封线外者，试卷作废。
得分
一．选择题：（每小题 3 分，共 15 分）
1. 逆序数[4731265] (
).
A.9
B.10
C.11
2. 设 A, B 均为 n 阶可逆矩阵, 则下列等式正确的是（
17．设 1, 2 为 2 阶实矩阵 A 的两个不同的特征值，1, 2 是分别与特征
线代参考答案(完整版)
线性代数练习题 第一章 行 列 式系 专业 班 姓名 学号第一节 行列式的定义一．选择题1．若行列式x52231521- = 0，则=x [ C ] （A ）2 （B ）2- （C ）3 （D ）3- 2．线性方程组⎩⎨⎧=+=+473322121x x x x ，则方程组的解),(21x x = [ C ]（A ）（13，5） （B ）（13-，5） （C ）（13，5-） （D ）（5,13--）3．方程093142112=x x根的个数是 [ C ] （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）34．下列构成六阶行列式展开式的各项中，取“+”的有 [ A D ] （A ）665144322315a a a a a a （B ）655344322611a a a a a a （C ）346542165321a a a a a a （D ）266544133251a a a a a a 5．若55443211)541()1(a a a a a l k l k N -是五阶行列式ij a 的一项，则l k ,的值及该项的符号为[ B ]（A ）3,2==l k ，符号为正； （B ）3,2==l k ，符号为负； （C ）2,3==l k ，符号为正； （D ）2,3==l k ，符号为负6．下列n （n >2）阶行列式的值必为零的是 [ B ] (A) 行列式主对角线上的元素全为零 (B) 三角形行列式主对角线上有一个元素为零 (C) 行列式零的元素的个数多于n 个 (D) 行列式非零元素的个数小于n 个 二、填空题 1．行列式1221--k k 0≠的充分必要条件是 3,1k k ≠≠-2．排列36715284的逆序数是 133．已知排列397461t s r 为奇排列，则r = 2,8,5 s = 5,2,8 ，t = 8,5,2 4．在六阶行列式ij a 中，623551461423a a a a a a 应取的符号为 负 。
2018-2019第二学期 线性代数与空间解析几何试卷A 答案
2018-2019第二学期《线性代数与空间解析几何》试卷A 答案一、选择题1. 用j A 表示3阶行列式A 的第j 列（j =1,2,3）,已知2A =-，则312123A A A A -=（ ）. B(A) -6 (B) 6 (C) -27 (D) 272. (1,,5)k β=能由向量组12(1,3,2),(2,1,1)αα=-=-线性表示，则k 为（ ）.A (A) 8k =- (B) 8k ≠- (C)2k ≠- (D) 2k =-3. 二次型222123123(,,)(1)(1)f x x x x x x λλλ=-+++，当满足（ ）时，是正定二次型. C(A) 1λ>- (B) 1λ≥- (C)1λ> (D) 1λ≥4. 设233012A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，213301B ⎛⎫= ⎪--⎝⎭，则BA =（ ）.C(A) 0 (B) 26 (C) -26 (D) 15. 要断言矩阵A 的秩为r ，只需条件（ ）满足即可. D (A) A 中有r 阶子式不为0 (B) A 中任何r+1阶子式为0(C) A 中不为0的子式的阶数小于等于r (D) A 中不为0的子式的最高阶数等于r6. 若A 为n 阶方阵，且齐次线性方程组Ax = 0有非零解，则它的系数行列式A （ ）. A(A) 必为0 (B) 必不为0 (C) 必为1 (D) 可取任何值 7. 对二次曲面，下列说法不正确的是（ ）. B (A) 方程032222=--z y x 表示锥面 (B) 方程2232y x z -=表示椭圆抛物面 (C) 方程x y =2表示抛物柱面(D) 方程19141222=-+z y x 表示单叶双曲面二、填空题8. 已知100011012A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，120011000AB ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则B = .120022011⎛⎫⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭9. 设2()54f x x x =-+，且2133A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，则()f A = . (-5)1001⎛⎫⎪⎝⎭10. 设123,,λλλ为3阶矩阵512143236⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭的特征值，则123λλλ++= . 1511. 若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+--=+=++0230520232132321kx x x x x x x x 有非零解，则k =7. 12. 设(){}123123123,,0,,,V x x x x x x x x x x R ==++=∈，则V 是 维向量空间. 213. 已知向量3α=，2β=，αβ-=αβ+=.二、计算题14. （本题7分）设421532321A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，求()1*A -.解()1*1AA A-=， ............................（2分） 又1A =- .............................（4分）()1*421532321A A ----⎛⎫⎪=-=--- ⎪ ⎪---⎝⎭...............................（7分）15. （本题8分）向量组A ：11111α⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，21111α⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭，31111α⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪- ⎪⎝⎭，41111α-⎛⎫⎪- ⎪= ⎪- ⎪⎝⎭，试求出A的秩及一个极大线性无关组.解 因111111118011111111---=≠----， .............................（4分）故1234,,,αααα线性无关，向量组本身是极大线性无关组，(6分) 其秩为4。
2018-2019学年线性代数试题及答案.ppt
线性无关。
3、设4阶方阵A满足条件 3E 2A 0, AAT 2E, A 0 求A的伴随矩阵 A 的一个特征值。
五、解矩阵方程（满分7分）
2 设矩阵 A 3
2 6
1 3
三、计算行列式（每小题5分，共10 分）
410 5 1、 D 3 1 1 2
2 0 6 4 2 5 3 2
218
1 a1 1
2、Dn 1 1
1 1 a2
1 1
1 1 1 a3 1
其中 ai 0 (i 1,2, , n)
1
1
1
n1 n (1 i1 ai ) i1 ai
一、填空题（每小题2分，共14分）
1、设A是3阶矩阵，且 A ，1A 是A的伴随矩阵，则：
2
(3A)1 2A
16 27
2、设四元非齐次线性方程组 Ax b 的系数矩阵A的秩为3，且
1 (1,2,3,4)T ,2 (2,3,4,5)T 是该方程组的两个解，则
方程组 Ax b 的通解为: (1,2,3,4)T k(1,1,1,1)T , k R
则 A B 32
2 0 0
2 0 0
6、已知矩阵 A 0 0 1 与 B 0 y 0 相似，
0 1 x
0 0 1
则x 0
y 1
7、已知实二次型
f (x1, x2 , x3 ) a(x12 x22 x32 ) 4x1x2 4x1x3 4x2 x3
0
可知
3 2
是A的一个特征值。
2024考研数学一线性代数历年真题全面解析
2024考研数学一线性代数历年真题全面解析一、前言在2024年的考研数学一科目中，线性代数占据着重要的位置。
掌握线性代数的核心概念和解题技巧对于考生来说至关重要。
为了帮助广大考生更好地备考，本文将对2024年考研数学一线性代数部分的历年真题进行全面解析，并分享一些解题技巧和注意事项。
二、基础知识回顾在开始解析之前，先回顾一下线性代数的基础知识是非常必要的。
包括向量、矩阵、行列式、线性空间、线性变换等概念都是线性代数的基本内容。
理解这些基础知识对于解答试题非常有帮助。
三、真题解析接下来，我们将对几道历年真题进行解析，以帮助考生更好地理解线性代数的应用。
1. 2018年真题题目描述：已知矩阵A的特征值为λ1=2，λ2=-3，对应的特征向量分别为X1=(1,2)T，X2=(1,-1)T。
求矩阵A的逆矩阵。
解析：根据线性代数的知识，当一个矩阵存在特征值时，可以通过特征向量组成的矩阵P和特征值组成的对角矩阵D，利用相似矩阵的性质求得矩阵A的逆矩阵。
首先，我们将特征向量X1和X2组成的矩阵P为：2 -1]然后，根据特征值组成的对角矩阵D为：D = [2 00 -3]利用相似矩阵的性质，可以得到：A = PDP^(-1)由此可得：P^(-1) = [1/3 1/32/3 -1/3]最后，计算得到矩阵A的逆矩阵为：A^(-1) = P^(-1)DP2. 2019年真题题目描述：已知矩阵A是n阶方阵，且满足A^2 = -I，其中I为n 阶单位矩阵。
证明A的特征值一定满足λ^2+1=0。
解析：根据已知条件A^2 = -I，可得到：λI^2 = -I再根据特征值的性质，可以得到：进一步推导，可得：(λ^2+1)I = 0因为矩阵A是n阶方阵，所以λ^2+1=0。
证毕。
四、解题技巧和注意事项1. 理清概念：线性代数是一门较为抽象的学科，需要理清概念和定义。
对于一些概念的记忆和理解，可以通过做例题巩固。
2. 多做习题：做大量的习题是掌握线性代数的关键。
河南理工大学2018-2019 学年第一学期线性代数a(A卷)期末试卷
２. 已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=300040002A ，BA A ABA +=2，求B 。
（本小题 ８分）３. 已知3R 中一组基⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=611,123,411321ααα，求从基⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛111,011,001到321,,ααα的过渡矩阵。
（本小题８分）４. 设T a )10,2,(1=α，T )5,1,2(2-=α，T)4,1,1(3-=α，T b )1,,1(-=β，根据b a ,的不同取值，讨论线性方程组βααα=++332211x x x 解的情况，并在有无穷多解时求其通解。
（本小题１２分）河南理工大学 2018-2019 学年第 一 学期《线性代数a 》试卷答案（A 卷）一、 填空题（每题4分）1. 02. 13.38 4. 1或2 5. 28 6. )3,2,(zy x二、 选择题（每题4分）1. B2. D3. C4. D5. C6. C三、 计算题 1.910000100001022219322123212231222193229232922392229131214143219====---÷+++r r r r r r c c c c c D……2分 ……4分 ……8分2.可逆A A ∴≠=,024 且 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-3141211A 等式两端同时在右侧乘以1-A 则 ,)(,,AB E A A B AB B A AB =-=-+= ……2分可逆E A E A -∴≠==-,06231５.已知二次型32232221222x x x x x f -++=（１）判定二次型的正定性；（２）求一个正交变换把二次型化成标准形。
（本小题 １６分）且⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=--21311)(1EA……4分AEAB1)(--=∴……6分⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-=∴-2334234221311)(1AEAB……8分3.设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-==614121131),,(321αααA，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==111111),,(321βββB可逆BB∴≠=,01……2分,),,(),,(321321Aeee=ααα,),,(),,(321321Beee=βββ……4分,),,(),,(1321321-=∴Beeeβββ,),,(),,(1321321AB-=∴βββααα,·1AB-过渡矩阵为所以要求的……6分⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-61411211111614112111131111),~21r rAB（⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---6141713111~12r r所以过渡矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--6147131……8分4.设),,(321ααα=A，则,4--=aA……2分时线性方程组有唯一解可逆时，即当0≠AA时线性方程组有唯一解4-≠∴a……4分当4-=a时，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=↔145101124112145101121124),,,(~21321bbrrβααα⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---+++-bbbbbbrrrrrr3211112511211112~~23121325……6分线性方程组无解时当),,()(,,4βARARba≠≠-=∴……8分线性方程组有无穷多解时当,3),()(,,4<==-=βARARba……10分此时),,,(321βααα⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1111211112~21r r～令1,21,321=--==xcxcx则此时，方程组的通解为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1121121321cccxxx……12分5.⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=21121A……2分)3()1(]1)2)[(1(2112122=--=---=-----=-λλλλλλλλEA所以特征值121==λλ，33=λ……4分（1）因为特征值全为正，所以二次型正定……6分（2）当121==λλ时，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-+111111~32r rEA特征向量为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=11,121ξξ21,ξξ正交……8分当33=λ时，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=--0001100021101100023~23r r E A 特征向量为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1103ξ ……10分 321,,ξξξ两两正交单位化得：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11021,00121ξξ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=110213ξ ……12分所以正交矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2121021210001P 所求的正交变换为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3213212121021210001y y y x x x ……14分标准形为2322213y y y f ++= ……16分1.。
线性代数A习题册答案
线性代数A习题册答案练习1.2 n阶⾏列式的性质与计算⼀、填空题:1. 设是⽅程的三个根，则⾏列式.解: 由于是⽅程的三个根，由根与系数的关系有, ⼜,故应填.2. ; .解:由于时, 的第⼀⼆列对应元素相等,故, 从⽽有因⼦；⼜由于时, 的第三四⾏对应元素相等,故, 从⽽有因⼦；由于中关于最⾼次数为,故,⼜由于的的项为, ⽐较两边的系数, 得,故应填.由于,故应填.3. 已知, 则.解: ,,从⽽,故应填.4. ⽅程的所有解为.解: 因为当分别等于时, 均有两列元素对应相等, 故, 故是的解, ⼜中关于的最⾼次数为, 所以是的所有解, 故应填.5. ⾏列式当时, , 当时, .解: ，当时,,故应填, .⼆、选择题：1．设则[ ](A)； (B) ； (C) ； (D).解: ，故应选(B).2. 设, 其中均为三维列向量, 若, 则[ ](A) ； (B) ； (C) ； (D) .解:，故，故应选(D).3. 设, 其中均为三维列向量, 且, 则[ ](A) ； (B) ； (C) ； (D).解:.故应选(C).三、计算下列⾏列式:(1)； (2) .解:四、证明:(1) ; (2).证明: (1)利⽤⾏列式的性质可将左边⾏列式表⽰为个⾏列式之和.这⼋个⾏列式中有六个⾏列式因有两列元素成⽐例，因⽽为零.所以，，得证.(2)练习1.3 ⾏列式按⾏(列)展开定理与克莱姆法则⼀、填空题:1. 已知,表⽰第⾏第列元素的余⼦式, 则.解：因为，故应填.2. .解：，故应填3. 当时, ⽅程组有⾮零解.解：⽅程组有⾮零解，由于，所以或.故应填或.⼆、选择题：1．设, 则多项式次数最⾼可能为 [ ](A)； (B) ； (C) ； (D).解：，将其按第⼀⾏展开，得.若，则是常数；若，则是⼀次多项式，故应选(A). 2. 设,且其每列元素之和为, 则的第⼀⾏元素的代数余⼦式之和[ ](A) ； (B) ； (C) ； (D).解：, 显然，与第⼀⾏元素的代数余⼦式相同，所以，故应选(B).3. ⾏列式⾮零的充分条件是 [ ](A) 的所有元素⾮零； (B) 的任意两⾏元素之间不成⽐例；(C) ⾄少有个元素⾮零； (D) 以为系数⾏列式的齐次线性⽅程组有唯⼀解.解：选项(A),(B),(C)均不是⾮零的充分条件，故应选(D).4. 齐次线性⽅程组只有零解, 则应满⾜的条件是 [ ](A) ； (B) ； (C) ；(D) .解：齐次线性⽅程组只有零解, ⽽，所以，故应选(D).三、证明: (1) ; (2)证明：（1），得证.(2)，得证.四、计算下列⾏列式:(1) ； (2).解：(1)将的第⾏经次⾏的调换调⾄第⼀⾏，第⾏经次⾏的调换调⾄第⼆⾏,…, 第2⾏经1次⾏的调换调⾄第⾏, 于是经过次⾏调换，故得（2）将按第列展开，得，但此递推公式难以推出的表达式. 由于于是我们猜测. 事实上，假设结论对于⼩于阶的⾏列式均成⽴，则对于阶，由递推公式有，故由数学归纳法，得.练习2.1 矩阵及其运算⼀、填空题:1. 设，则.解：，⽽，所以，，故应填.2. 设是阶矩阵, 其每⾏元素之和为,则的每⾏元素之和为.解：由题设知，即线性⽅程组有解，亦即，所以，推⼴可得，即的每⾏元素之和为，故应填.3. 已知线性变换则变量到变量的线性变换为.解1：因为,故应填.解2：由已知：,故, 故应填.4. , , ,.解: ；；；.⼆、选择题：1．设是阶⽅阵, 且, 则[ ](A)； (B) ； (C) ； (D) .解: , 同理可得, 故. 故应选(C).2. 设为阶对称矩阵, 为阶反对称矩阵, 则下列矩阵中为反对称矩阵的是 [ ](A) ； (B) ； (C) ； (D) .解:, 故应选(A).3. 设为阶⽅阵,为正整数, 则下列结论中不正确的是 [ ](A) 若可交换, 则； (B) 若可交换, 则和可交换；(C) 若和可交换, 则可交换； (D) 若和可交换, 则可交换.解:若可交换, 则,故(A)正确；若可交换,显然也可交换, 于是,故(B)正确；由,知和可交换的充要条件是,即, 故(C)正确；从⽽(D)不正确. 事实上,若,由知,即不可交换,但, 故应选(A).4. 设,矩阵满⾜, 则[ ](A)； (B) ； (C) ； (D) .解:由得,即,亦即, 两边取⾏列式得,因, 故, 故应选(B).5. 设为阶⽅阵,则下列结论正确的是 [ ](A) 且； (B) 若；(C) 或； (D) .解: 或, 故(C)成⽴；若,则,但,故(A)不成⽴；, 但,故(B)不成⽴；, 但,故(D)不成⽴. 故应选(C).三、设, 求解：, .四、设, 计算.解:当时, , 所以；当时, , 所以.五、设, 求.解: 设, 则,. ⽽, , 所以.六、证明任何⼀个阶⽅阵都可以表⽰为⼀对称矩阵与⼀反对称矩阵之和.证明: 设为任⼀矩阵, 且,其中, 由于, 所以,解得, 即, 且为⼀对称矩阵, 为⼀反对称矩阵.得证.练习2.2 矩阵的初等变换⼀、选择题：1．设则必有 [ ](A)； (B) ； (C) ； (D).解：因为对矩阵施⾏⼀次初等⾏(列)变换, 相当于⽤同种的阶初等矩阵左（右）乘，⽽是由经过将第⼀⾏加到第三⾏，调换第⼀，⼆⾏两次初等⾏变换得到的，所以，故应选(D).。
兰州交通大学《线性代数》2018-2019学年期末试卷
-1-兰州交通大学2018-2019学年第1学期课程名称线性代数（A 卷）一、填空题（每题3分，共30分）1.3阶行列式中的det()ij a 中含有元素22a 的乘积项共有项.2.设0abc ≠；000000a A b c ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则1A -=.3.若13150122x -=--，则x =.4.若n 阶矩阵A 满足224A A I --=O ，则1()A I -+=．5.设C 是m n ⨯矩阵，若有矩阵A,B ，使TAC C B =,则A 的行数⨯列数为.6.设有向量组12:,,s A ααα 线性无关，向量组12:,,t B βββ 线性无关，若向量组A 与向量B 等价，则s 与t 的关系为：.7.设A 为m n ⨯矩阵，若齐次线性方程组0Ax =仅有唯一零解，则()r A =.8.设A 为3阶方阵，3A =，则1(2)A -=.9.已知1(6,1,3)a α=+，2(,2,2)a α=-，若12,αα线性相关，则a =.10.已知三阶矩阵A 的特征值为1，-1，2，则223A A I -+=.二、单选题（每题3分，共15分）1.若行列式1112132122233132331a a a D a a a a a a ==，则行列式1111121312121222331313233423423423a a a a D a a a a a a a a -=-=-()．A .-12．B.12．C .-24．D.24．2.假设A ，B ，C 均为n 阶矩阵，且,AB BA AC CA ==,则ABC =()。
A.ACBB.CBAC.BCAD.CAB3.设A 为n 阶矩阵，且2A =，则TA A ⋅=（）．A ．2n．B ．12n +．C ．12n -.D ．4．-2-4.向量组12,,s ααα 线性无关的充分条件是().A.12,,s ααα 均不是零向量B.12,,s ααα 中任意两个向量都不成比例C.12,,s ααα 中任意一个向量均不能由其余1s -个向量线性表示D.12,,s ααα 中有一个部分组线性无关5.设m n ⨯矩阵A 的秩等于n 则必有（）.A.m n= B.m n< C.m n> D.m n≥三、计算题（每题10分，共40分）1.计算行列式121014512313312D ---=-2.求线性方程组1234123412345231153612426x x x x x x x x x x x x -+-=⎧⎪++-=-⎨⎪+++=-⎩的全部解，并用对应导出组的基础解系表示。
2018-线性代数课后习题答案-范文word版 (23页)
本文部分内容来自网络整理，本司不为其真实性负责，如有异议或侵权请及时联系，本司将立即删除！== 本文为word格式，下载后可方便编辑和修改！ ==线性代数课后习题答案篇一：线性代数课后习题答案习题答案习题 1（参考答案）1．程序与算法的概念及二者的区别是什么？程序：为了实现特定目标或解决特定问题而用计算机语言偏写的指令序列，它由算法和数据结构组成。
算法：（Algorithm）是在有限步骤内求解某一问题所使用的一组定义明确的规则。
通俗地讲，就是计算机解题的步骤。
算法与程序的区别：计算机程序是算法的一个实例，同一个算法可以用不同的计算机语言来表达。
2．简述程序设计语言发展的过程程序设计语言经过最初的机器代码到今天接近自然语言的表达，经过了四代的演变。
一般认为机器语言是第一代，符号语言即汇编语言为第二代，面向过程的高级语言为第三代，面对象的编程语言为第四代。
3．简述高级程序设计语言中面向过程与面向对象的概念。
“面向过程”是一种以过程为中心的编程思想。
首先分析出解决问题所需要的步骤，然后用函数把这些步骤一步一步地实现，使用的时候依次调用函数即可。
一般的面向过程是从上往下步步求精，所以面向过程最重要的是模块化的思想方法。
“面向对象”是一种以事物为中心的编程思想。
面向对象的方法主要是将事物对象化，对象包括属性与行为。
面向过程与面向对象的区别：在面向过程的程序设计中，程序员把精力放在计算机具体执行操作的过程上，编程关注的是如何使用函数去实现既定的功能；而在面向对象的程序设计中，技术人员将注意力集中在对象上，把对象看做程序运行时的基本成分。
编程关注的是如何把相关的功能（包括函数和数据）有组织地捆绑到一个对象身上。
4．C语言程序的特点是什么？（1）C语言非常紧凑、简洁，使用方便、灵活，有32个关键字，有9种流程控制语句。
（2）C语言运算符丰富，共有45个标准运算符，具有很强的表达式功能，同一功能表达式往往可以采用多种形式来实现。
线代A期末考试题及答案
线代A期末考试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 向量组 \(\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n\) 线性无关的充分必要条件是：A. 向量组中任意向量不能由其他向量线性表示B. 向量组中任意向量不能由其他向量线性组合得到C. 向量组中任意向量不能由其他向量线性组合得到，且向量组中向量个数等于空间的维数D. 向量组中向量个数等于空间的维数答案：A2. 矩阵 \(A\) 可逆的充分必要条件是：A. \(A\) 的行列式不为零B. \(A\) 的秩等于其行数C. \(A\) 的秩等于其列数D. \(A\) 的秩等于其行数且等于其列数答案：D3. 对于实对称矩阵 \(A\)，下列说法正确的是：A. \(A\) 一定可以对角化B. \(A\) 一定可以正交对角化C. \(A\) 的所有特征值都是实数D. \(A\) 的所有特征值都是正数答案：C4. 矩阵 \(A\) 和 \(B\) 相似的充分必要条件是：A. \(A\) 和 \(B\) 有相同的特征多项式B. \(A\) 和 \(B\) 有相同的特征值C. \(A\) 和 \(B\) 有相同的秩D. \(A\) 和 \(B\) 有相同的迹答案：B5. 矩阵 \(A\) 为正定矩阵的充分必要条件是：A. \(A\) 的所有特征值都大于零B. \(A\) 的所有特征值都大于等于零C. 对于任意非零向量 \(x\)，都有 \(x^TAx > 0\)D. 对于任意非零向量 \(x\)，都有 \(x^TAx \geq 0\)答案：C二、填空题（每题4分，共20分）6. 若向量 \(\alpha = (1, 2, 3)^T\) 和 \(\beta = (4, 5, 6)^T\)，则向量 \(\alpha + \beta\) 等于 \(\boxed{(5, 7, 9)^T}\)。
7. 矩阵 \(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\)的行列式为 \(\boxed{-2}\)。
2018年-2019年普通高等学校招生全国统一考试数学试题理(全国卷1,含答案)
高考衣食住用行衣：高考前这段时间，提醒同学们出门一定要看天气，否则淋雨感冒，就会影响考场发挥。
穿着自己习惯的衣服，可以让人在紧张时产生亲切感和安全感，并能有效防止不良情绪产生。
食：清淡的饮食最适合考试，切忌吃太油腻或者刺激性强的食物。
如果可能的话，每天吃一两个水果，补充维生素。
另外，进考场前一定要少喝水！住：考前休息很重要。
好好休息并不意味着很早就要上床睡觉，根据以往考生的经验，太早上床反而容易失眠。
考前按照你平时习惯的时间上床休息就可以了，但最迟不要超过十点半。
用：出门考试之前，一定要检查文具包。
看看答题的工具是否准备齐全，应该带的证件是否都在，不要到了考场才想起来有什么工具没带，或者什么工具用着不顺手。
行：看考场的时候同学们要多留心，要仔细了解自己住的地方到考场可以坐哪些路线的公交车？有几种方式可以到达？大概要花多长时间？去考场的路上有没有修路堵车的情况？考试当天，应该保证至少提前20分钟到达考场。
2018年普通高等学校招生全国统一考试数学试题理（全国卷1）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设1i2i 1iz -=++，则||z = A ．0B ．12C ．1D ．22．已知集合{}220A x x x =-->，则A =R ð A ．{}12x x -<< B ．{}12x x -≤≤ C ．}{}{|1|2x x x x <->UD ．}{}{|1|2x x x x ≤-≥U3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：建设前经济收入构成比例 建设后经济收入构成比例则下面结论中不正确的是 A ．新农村建设后，种植收入减少B ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 4．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3243S S S =+，12a =，则=5a A ．12-B ．10-C ．10D ．125．设函数32()(1)f x x a x ax =+-+，若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为A ．2y x =-B ．y x =-C ．2y x =D ．y x =6．在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =u u u rA ．3144AB AC -u u ur u u u rB ．1344AB AC -u u ur u u u rC ．3144AB AC +u u ur u u u rD ．1344AB AC +u u ur u u u r7．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为A．172B．52C．3 D．28．设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（–2，0）且斜率为23的直线与C交于M，N两点，则FM FN⋅u u u u r u u u r=A．5 B．6 C．7 D．89．已知函数e0()ln0x xf xx x⎧≤=⎨>⎩，，，，()()g x f x x a=++．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是A．[–1，0）B．[0，+∞）C．[–1，+∞）D．[1，+∞）10．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC．△ABC的三边所围成的区域记为I，黑色部分记为II，其余部分记为III．在整个图形中随机取一点，此点取自I，II，III的概率分别记为p1，p2，p3，则A．p1=p2 B．p1=p3C．p2=p3 D．p1=p2+p311．已知双曲线C：2213xy-=，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M、N.若△OMN为直角三角形，则|MN|=A．32B．3 C．23D．412．已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为A 33B23C32D3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
18-19 二学期课程考试带答案A
新疆大学2018-2019学年二学期课程考试试卷答案(A 卷)课程名称：线性代数考试时间：120分钟年级：xxx 级专业：xxx题目部分，（卷面共有27题，100分，各大题标有题量和总分）一、选择题（5小题，共10分）1、设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （）。
A.n 2B.12-nC.12+nD.4答案：C2、设A 是4阶矩阵且21=A ，*A 是A 的伴随矩阵，则=--*1)2(A A ()A.1-；B.2；C.1；D.0答案：D3、已知n 元线性方程组=Ax b ，其增广矩阵为A ，当（）时，线性方程组有解。
A ．(=R A n ，B ．()≠R A n ；C ．(()=R A R A ；D ．()(≠R A R A 答案：C 4、设向量(1,0,1,2),(1,0,1,0)=-=αβ，则23+=αβ().A.(1,0,5,4)B.(1,0,-5,4)C.(-1,0,5,4)D.(1,0,5,-6)答案：A5、设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=496375254A ，则以下向量中是A 的特征向量的是（）A ．(1,1,1)TB ．(1,1,3)TC ．(1,1,0)TD ．(1,0,3)T-答案：A二、判断（5小题，共10分）1、以数k 乘行列式D ，等于用数k 乘行列式的某一行（或某一列）.（）答案：√2、n 阶矩阵就是n 阶行列式.（）答案：×3、若线性方程组=Axb 的方程的个数大于未知量的个数，则=Ax b一定无解.()答案：×4、设A 为4阶方阵，且r(A)=2，则齐次线性方程组AX=0的基础解系包含的解向量的个数为2.（）答案：√5、设1X 与2X 是A 的任意两个特征向量，则21X X +也是其特征向量（）答案：×三、填空题（10小题，共20分）1、设A 为3阶方阵，且|A|=4,则=2)21(A _________答案：412、设A 为三阶矩阵，|A |=-2，将矩阵A 按列分块为),,(321A A A A =，其中j A )3,2,1(=j 是A 的第j 列，),3,2(1213A A A A B -=,则|B |=.答案：63、13152-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=________________答案：⎪⎪⎭⎫⎝⎛--21534、设A 为n 阶矩阵，2=A ，*A 是A 的伴随矩阵，则=*A 答案：12-n 5、矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡111[1-11]的秩为_______.答案：16、设线性方程组124123412342332524432x x x x x x x x x x x t++=⎧⎪+++=⎨⎪+++=⎩有解，则t =.答案：17、设向量（2，-3，5）与向量（-4，6，a ）线性相关，则a=.答案：-108、若向量组α1,α2,…，αs 线性无关,且可由向量组β1,β2,…，βt 线性表出，则s_____t 。
2019年自考历年线性代数考试试题及答案解析精选
自考历年线性代数考试试题及答案解析精选第一部分选择题(共28分)一、 单项选择题[本大题共14小题,每小题2分,共28分]在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填在题后的括号内.错选或未选均无分.1、设行列式=m, =n,则行列式等于[] A 、m+n B 、-(m+n) C 、n -m D 、m -n2、设矩阵A=,则A -1等于[]A 、B 、C 、D 、3、设矩阵A=,A *是A 的伴随矩阵,则A *中位于[1,2]的元素是[] A 、–6 B 、6 C 、2 D 、–24、设A 是方阵,如有矩阵关系式AB=AC,则必有[] A 、A=0 B 、BC 时A=0 C 、A0时B=C D 、|A|0时B=C5、已知3×4矩阵A 的行向量组线性无关,则秩[A T ]等于[] A 、1 B 、2 C 、3 D 、46、设两个向量组α1,α2,…,αs 和β1,β2,…,βs 均线性相关,则[]A 、有不全为0的数λ1,λ2,…,λs 使λ1α1+λ2α2+…+λs αs =0和λ1β1+λ2β2+…λs βs =0B 、有不全为0的数λ1,λ2,…,λs 使λ1[α1+β1]+λ2[α2+β2]+…+λs [αs +βs ]=0C 、有不全为0的数λ1,λ2,…,λs 使λ1[α1-β1]+λ2[α2-β2]+…+λs [αs -βs ]=0D 、有不全为0的数λ1,λ2,…,λs 和不全为0的数μ1,μ2,…,μs 使λ1α1+λ2α2+…+λs αs =0和μ1β1+μ2β2+…+μs βs =0 7、设矩阵A 的秩为r,则A 中[]A 、全部r -1阶子式都不为0B 、全部r -1阶子式全为0C 、至少有一个r 阶子式不等于0D 、全部r 阶子式都不为08、设Ax=b 是一非齐次线性方程组,η1,η2是其任意2个解,则下面结论错误的是[]A 、η1+η2是Ax=0的一个解B 、η1+η2是Ax=b 的一个解C 、η1-η2是Ax=0的一个解D 、2η1-η2是Ax=b 的一个解 9、设n 阶方阵A 不可逆,则必有[]A 、秩(A)<nB 、秩(A)=n -1C 、A=0D 、方程组Ax=0只有零解 10、设A 是一个n(≥3)阶方阵,下面陈述中正确的是[]A 、如存在数λ和向量α使A α=λα,则α是A 的属于特点值λ的特点向量B 、如存在数λ和非零向量α,使(λE -A)α=0,则λ是A 的特点值C 、A 的2个不同的特点值能够有同一个特点向量D 、如λ1,λ2,λ3是A 的3个互不相同的特点值,α1,α2,α3依次是A 的属于λ1,λ2,λ3的特点向量,则α1,α2,α3有可能线性相关11、设λ0是矩阵A 的特点方程的3重根,A 的属于λ0的线性无关的特点向量的个数为k,则必有[]A 、k ≤3B 、k<3C 、k=3D 、k>3 12、设A 是正交矩阵,则下面结论错误的是[] A 、|A|2必为1 B 、|A|必为1C 、A -1=A TD 、A 的行[列]向量组是正交单位向量组 13、设A 是实对称矩阵,C 是实可逆矩阵,B=C T AC 、则[] A 、A 和B 相似 B 、A 和B 不等价C 、A 和B 有相同的特点值D 、A 和B 合同14、下面矩阵中是正定矩阵的为[] A 、 B 、 C 、 D 、 第二部分非选择题[共72分]二、填空题[本大题共10小题,每小题2分,共20分]不写解答过程,将正确的答案写在每小题的空格内.错填或不填均无分. 15、 、16、设A=,B=、则A+2B= 、17、设A=(a ij )3×3,|A|=2,A ij 表示|A|中元素a ij 的代数余子式[i,j=1,2,3],则(a 11A 21+a 12A 22+a 13A 23)2+(a 21A 21+a 22A 22+a 23A 23)2+(a 31A 21+a 32A 22+a 33A 23)2= 、18、设向量[2,-3,5]和向量[-4,6,a]线性相关,则a= 、19、设A 是3×4矩阵,其秩为3,若η1,η2为非齐次线性方程组Ax=b 的2个不同的解,则它的通解为 、20、设A 是m ×n 矩阵,A 的秩为r(<n),则齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系中含有解的个数为 、21、设向量α、β的长度依次为2和3,则向量α+β和α-β的内积[α+β,α-β]= 、22、设3阶矩阵A 的行列式|A|=8,已知A 有2个特点值-1和4,则另一特点值为 、23、设矩阵A=,已知α=是它的一个特点向量,则α所对应的特点值为 、 24、设实二次型f(x 1,x 2,x 3,x 4,x 5)的秩为4,正惯性指数为3,则其规范形为 、三、计算题[本大题共7小题,每小题6分,共42分] 25、设A=,B=、求[1]AB T ；[2]|4A|、 26、试计算行列式、27、设矩阵A=,求矩阵B 使其满足矩阵方程AB=A+2B 、 28、给定向量组α1=,α2=,α3=,α4=、试判断α4是否为α1,α2,α3的线性组合；若是,则求出组合系数. 29、设矩阵A=、 求:[1]秩[A]；[2]A 的列向量组的一个最大线性无关组.30、设矩阵A=的全部特点值为1,1和-8、求正交矩阵T 和对角矩阵D,使T -1AT=D 、 31、试用配方法化下面二次型为标准形 f(x 1,x 2,x 3)=,并写出所用的满秩线性变换.四、证明题[本大题共2小题,每小题5分,共10分]32、设方阵A 满足A 3=0,试证明E -A 可逆,且[E -A]-1=E+A+A 2、33、设η0是非齐次线性方程组Ax=b 的一个特解,ξ1,ξ2是其导出组Ax=0的一个基础解系、试证明[1]η1=η0+ξ1,η2=η0+ξ2均是Ax=b 的解； [2]η0,η1,η2线性无关. 答案:一、单项选择题[本大题共14小题,每小题2分,共28分]1、D2、B3、B4、D5、C6、D7、C8、A9、A 10、B 11、A 12、B 13、D 14、C 二、填空题[本大题共10空,每空2分,共20分] 15、6 16、 17、4 18、–1019、η1+c(η2-η1)[或η2+c(η2-η1)],c 为任意常数 20、n -r 21、–5 22、–2 23、1 24、三、计算题[本大题共7小题,每小题6分,共42分] 25、解[1]AB T = =、[2]|4A|=43|A|=64|A|,而|A|=、所以|4A|=64·[-2]=-128 26、解= =27、解AB=A+2B 即[A -2E]B=A,而 [A -2E]-1=所以B=(A -2E)-1A==28、解一所以α4=2α1+α2+α3,组合系数为[2,1,1]、 解二考虑α4=x 1α1+x 2α2+x 3α3, 即方程组有唯一解[2,1,1]T ,组合系数为[2,1,1]、29、解对矩阵A施行初等行变换A=B、[1]秩[B]=3,所以秩[A]=秩[B]=3、[2]由于A和B的列向量组有相同的线性关系,而B是阶梯形,B的第1、2、4列是B的列向量组的一个最大线性无关组,故A的第1、2、4列是A的列向量组的一个最大线性无关组.[A的第1、2、5列或1、3、4列,或1、3、5列也是]30、解A的属于特点值λ=1的2个线性无关的特点向量为ξ1=[2,-1,0]T,ξ2=[2,0,1]T、经正交标准化,得η1=,η2=、λ=-8的一个特点向量为ξ3=,经单位化得η3=所求正交矩阵为T=、对角矩阵D=[也可取T=、]31、解f(x1,x2,x3)=[x1+2x2-2x3]2-2x22+4x2x3-7x32=[x1+2x2-2x3]2-2[x2-x3]2-5x32、设,即,因其系数矩阵C=可逆,故此线性变换满秩.经此变换即得f(x1,x2,x3)的标准形y 12-2y22-5y32、四、证明题[本大题共2小题,每小题5分,共10分]32、证由于[E-A][E+A+A2]=E-A3=E,所以E-A可逆,且[E-A]-1=E+A+A2、33、证由假设Aη0=b,Aξ1=0,Aξ2=0、[1]Aη1=A[η+ξ1]=Aη+Aξ1=b,同理Aη2=b,所以η1,η2是Ax=b的2个解.[2]考虑l0η+l1η1+l2η2=0,即[l0+l1+l2]η+l1ξ1+l2ξ2=0、则l0+l1+l2=0,否则η将是Ax=0的解,矛盾.所以l 1ξ1+l2ξ2=0、又由假设,ξ1,ξ2线性无关,所以l1=0,l2=0,从而l=0、所以η0,η1,η2线性无关.线性代数期末考试题一、填空题[将正确答案填在题中横线上.每小题2分,共10分]1、若,则__________.2、若齐次线性方程组只有零解,则应满足 .3、已知矩阵,满足,则和分别是阶矩阵.4、矩阵的行向量组线性 .5、阶方阵满足,则 .二、判断正误[正确的在括号内填”√”,错误的在括号内填”×”.每小题2分,共10分]1、若行列式中每个元素都大于零,则.[]2、零向量一定能够表示成任意一组向量的线性组合.[]3、向量组中,假如和对应的分量成比例,则向量组线性相关.[]4、,则.[]5、若为可逆矩阵的特点值,则的特点值为.<>三、单项选择题(每小题仅有一个正确答案,将正确答案题号填入括号内.每小题2分,共10分)1、设为阶矩阵,且,则[].①②③④42、维向量组[3≤s≤n]线性无关的充要条件是[].①中任意两个向量都线性无关②中存在一个向量不能用其它向量线性表示③中任一个向量都不能用其它向量线性表示④中不含零向量3、下面命题中正确的是<>.①任意个维向量线性相关②任意个维向量线性无关③任意个维向量线性相关④任意个维向量线性无关4、设,均为n阶方阵,下面结论正确的是<>.①若,均可逆,则可逆②若,均可逆,则可逆③若可逆,则可逆④若可逆,则,均可逆5、若是线性方程组的基础解系,则是的[]①解向量②基础解系③通解④A的行向量四、计算题(每小题9分,共63分)1、计算行列式.解·2、设,且求.解、,3、设且矩阵满足关系式求.4、问取何值时,下面向量组线性相关?.5、为何值时,线性方程组有唯一解,无解和有无穷多解?当方程组有无穷多解时求其通解.①当且时,方程组有唯一解；②当时方程组无解③当时,有无穷多组解,通解为6、设求此向量组的秩和一个极大无关组,并将其它向量用该极大无关组线性表示.7、设,求的特点值及对应的特点向量.五、证明题(7分)若是阶方阵,且证明.其中为单位矩阵.×××大学线性代数期末考试题答案一、填空题1、52、3、4、相关5、二、判断正误1、×2、√3、√4、√5、×三、单项选择题1、③2、③3、③4、②5、①四、计算题1、2、,3、4、当或时,向量组线性相关.5、①当且时,方程组有唯一解；②当时方程组无解③当时,有无穷多组解,通解为6、则,其中构成极大无关组,7、特点值,对于λ1＝1,,特点向量为五、证明题∴,∵【线性代数】复习提纲第一部分:基本要求[计算方面]四阶行列式的计算；N阶特殊行列式的计算[如有行和、列和相等]；矩阵的运算[包含加、减、数乘、乘法、转置、逆等的混合运算]；求矩阵的秩、逆[两种方法]；解矩阵方程；含参数的线性方程组解的情况的讨论；齐次、非齐次线性方程组的求解[包含唯一、无穷多解]；讨论一个向量能否用和向量组线性表示；讨论或证明向量组的相关性；求向量组的极大无关组,并将多余向量用极大无关组线性表示；将无关组正交化、单位化；求方阵的特点值和特点向量；讨论方阵能否对角化,如能,要能写出相似变换的矩阵及对角阵；通过正交相似变换[正交矩阵]将对称矩阵对角化；写出二次型的矩阵,并将二次型标准化,写出变换矩阵；判定二次型或对称矩阵的正定性.第二部分:基本知识一、行列式1、行列式的定义用n^2个元素aij组成的记号称为n阶行列式.[1]它表示全部可能的取自不同行不同列的n个元素乘积的代数和；[2]展开式共有n!项,其中符号正负各半；2、行列式的计算一阶|α|=α行列式,二、三阶行列式有对角线法则；N阶[n>=3]行列式的计算:降阶法定理:n阶行列式的值等于它的任意一行[列]的各元素和其对应的代数余子式乘积的和.方法:选取比较简单的一行[列],保保留一个非零元素,其它元素化为0,利用定理展开降阶.特殊情况上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积；[2]行列式值为0的几种情况:Ⅰ行列式某行[列]元素全为0；Ⅱ行列式某行[列]的对应元素相同；Ⅲ行列式某行[列]的元素对应成比例；Ⅳ奇数阶的反对称行列式.二、矩阵1、矩阵的基本概念[表示符号、一些特殊矩阵――如单位矩阵、对角、对称矩阵等]；2、矩阵的运算[1]加减、数乘、乘法运算的条件、结果；[2]关于乘法的几个结论:①矩阵乘法通常不满足交换律[若AB＝BA,称A、B是可交换矩阵]；②矩阵乘法通常不满足消去律、零因式不存在；③若A、B为同阶方阵,则|AB|=|A|*|B|；④|kA|=k^n|A|3、矩阵的秩[1]定义非零子式的最大阶数称为矩阵的秩；[2]秩的求法通常不用定义求,而用下面结论:矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；阶梯形矩阵的秩等于非零行的个数[每行的第一个非零元所在列,从此元开始往下全为0的矩阵称为行阶梯阵].求秩:利用初等变换将矩阵化为阶梯阵得秩.4、逆矩阵[1]定义:A、B为n阶方阵,若AB＝BA＝I,称A可逆,B是A的逆矩阵[满足半边也成立]；[2]性质: (AB)^-1=(B^-1)*(A^-1),(A')^-1=(A^-1)'；(AB的逆矩阵,您懂的)[注意顺序][3]可逆的条件:①|A|≠0；②r(A)=n;③A->I;[4]逆的求解伴随矩阵法A^-1=(1/|A|)A*；(A*A的伴随矩阵~)②初等变换法[A:I]->(施行初等变换)[I:A^-1]5、用逆矩阵求解矩阵方程:AX=B,则X=[A^-1]B；XB=A,则X=B(A^-1)；AXB=C,则X=(A^-1)C(B^-1)三、线性方程组1、线性方程组解的判定定理:(1)r(A,b)≠r(A)无解；(2)r(A,b)=r(A)=n有唯一解；(3)r(A,b)=r(A)<n有无穷多组解；特别地:对齐次线性方程组AX=0(1)r(A)=n只有零解；(2)r(A)<n有非零解；再特别,若为方阵,(1)|A|≠0只有零解(2)|A|=0有非零解2、齐次线性方程组[1]解的情况:r(A)=n,[或系数行列式D≠0]只有零解；r(A)<n,[或系数行列式D＝0]有无穷多组非零解.[2]解的结构:X=c1α1+c2α2+…+Cn-rαn-r.[3]求解的方法和步骤:①将增广矩阵通过行初等变换化为最简阶梯阵；②写出对应同解方程组；③移项,利用自由未知数表示全部未知数；④表示出基础解系；⑤写出通解.3、非齐次线性方程组[1]解的情况:利用判定定理.[2]解的结构: X=u+c1α1+c2α2+…+Cn-rαn-r.[3]无穷多组解的求解方法和步骤: 和齐次线性方程组相同.[4]唯一解的解法:有克莱姆法则、逆矩阵法、消元法[初等变换法].四、向量组1、N维向量的定义注:向量实际上就是特殊的矩阵[行矩阵和列矩阵].2、向量的运算:[1]加减、数乘运算[和矩阵运算相同]；[2]向量内积α'β=a1b1+a2b2+…+anbn；[3]向量长度|α|=√α'α=√(a1^2+a2^2+…+an^2)(√根号)[4]向量单位化(1/|α|)α；5]向量组的正交化[施密特方法]设α1,α2,…,αn线性无关,则β1=α1,β2=α2-[α2’β1/β1’β]*β1,β3=α3-[α3’β1/β1’β1]*β1-[α3’β2/β2’β2]*β2,……….3、线性组合[1]定义若β=k1α1+k2α2+…+knαn,则称β是向量组α1,α2,…,αn的一个线性组合,或称β能够用向量组α1,α2,…,αn的一个线性表示.[2]判别方法将向量组合成矩阵,记A＝(α1,α2,…,αn),B=(α1,α2,…,αn,β)若r(A)=r(B),则β能够用向量组α1,α2,…,αn的一个线性表示；若r(A)≠r(B),则β不能够用向量组α1,α2,…,αn的一个线性表示.[3]求线性表示表达式的方法:将矩阵B施行行初等变换化为最简阶梯阵,则最后一列元素就是表示的系数.4、向量组的线性相关性[1]线性相关和线性无关的定义设k1α1+k2α2+…+knαn=0 若k1,k2,…,kn不全为0,称线性相关；若k1,k2,…,kn全为0,称线性无关.[2]判别方法:①r(α1,α2,…,αn)<n,线性相关；r(α1,α2,…,αn)=n,线性无关.②若有n个n维向量,可用行列式判别: n阶行列式aij＝0,线性相关[≠0无关](行列式太不好打了)5、极大无关组和向量组的秩[1]定义极大无关组所含向量个数称为向量组的秩[2]求法设A＝(α1,α2,…,αn),将A化为阶梯阵,则A的秩即为向量组的秩,而每行的第一个非零元所在列的向量就构成了极大无关组.五、矩阵的特点值和特点向量1、定义对方阵A,若存在非零向量X和数λ使AX＝λX,则称λ是矩阵A的特点值,向量X称为矩阵A的对应于特点值λ的特点向量.2、特点值和特点向量的求解: 求出特点方程|λI-A|=0的根即为特点值,将特点值λ代入对应齐次线性方程组(λI-A)X＝0中求出方程组的全部非零解即为特点向量.3、重要结论:[1]A可逆的充要条件是A的特点值不等于0；[2]A和A的转置矩阵A'有相同的特点值；[3]不同特点值对应的特点向量线性无关.六、矩阵的相似1、定义对同阶方阵A、B,若存在可逆矩阵P,使P^-1AP=B,则称A和B相似.2、求A和对角矩阵∧相似的方法和步骤[求P和∧]:求出全部特点值；求出全部特点向量；若所得线性无关特点向量个数和矩阵阶数相同,则A可对角化[否则不能对角化],将这n个线性无关特点向量组成矩阵即为相似变换的矩阵P,依次将对应特点值构成对角阵即为∧.3、求通过正交变换Q和实对称矩阵A相似的对角阵:方法和步骤和通常矩阵相同,只是第三歩要将所得特点向量正交化且单位化.七、二次型1、定义n元二次多项式f(x1,x2,…,xn)=∑aijxixj称为二次型,若aij=0(i≠j),则称为二交型的标准型.i,j=12、二次型标准化: 配方法和正交变换法.正交变换法步骤和上面对角化完全相同,这是由于对正交矩阵Q,Q^-1=Q',即正交变换既是相似变换又是合同变换.3、二次型或对称矩阵的正定性:[1]定义[略]；[2]正定的充要条件:①A为正定的充要条件是A的全部特点值都大于0；②A为正定的充要条件是A的全部顺序主子式都大于0高等教育自学考试试题部分说明:本卷中,A T表示矩阵A的转置,αT表示向量α的转置,E表示单位矩阵,|A|表示方阵A的行列式,A-1表示方阵A的逆矩阵,r[A]表示矩阵A的秩、一、单项选择题[本大题共10小题,每小题2分,共30分]在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将代码填写在题后的括号内.错选、多选或未选均无分.1、设行列式[]A、B、1C、2D、2、设A,B,C为同阶可逆方阵,则[ABC]-1=[]A、A-1B-1C-1B、C-1B-1A-1C、C-1A-1B-1D、A-1C-1B-13、设α1,α2,α3,α4是4维列向量,矩阵A=[α1,α2,α3,α4]、假如|A|=2,则|-2A|=[]A 、-32B 、-4C 、4D 、32 4、设α1,α2,α3,α4是三维实向量,则[]A 、α1,α2,α3,α4一定线性无关B 、α1一定可由α2,α3,α4线性表出C 、α1,α2,α3,α4一定线性相关D 、α1,α2,α3一定线性无关 5、向量组α1=[1,0,0],α2=[1,1,0],α3=[1,1,1]的秩为[] A 、1 B 、2 C 、3 D 、46、设A 是4×6矩阵,r[A]=2,则齐次线性方程组Ax=0的基础解系中所含向量的个数是[]A 、1B 、2C 、3D 、47、设A 是m ×n 矩阵,已知Ax=0只有零解,则以下结论正确的是[] A 、m ≥n B 、Ax=b[其中b 是m 维实向量]必有唯一解 C 、r[A]=m D 、Ax=0存在基础解系 8、设矩阵A=,则以下向量中是A 的特点向量的是[] A 、[1,1,1]T B 、[1,1,3]T C 、[1,1,0]T D 、[1,0,-3]T9、设矩阵A=的三个特点值分别为λ1,λ2,λ3,则λ1+λ2+λ3=[] A 、4 B 、5 C 、6 D 、7 10、三元二次型f[x 1,x 2,x 3]=的矩阵为[] A 、 B 、 C 、 D 、二、填空题[本大题共10小题,每小题2分,共20分] 请在每小题的空格中填上正确答案.错填、不填均无分. 11、行列式=_________、 12、设A=,则A -1=_________、13、设方阵A 满足A 3-2A+E=0,则[A 2-2E]-1=_________、14、实数向量空间V={[x 1,x 2,x 3]|x 1+x 2+x 3=0}的维数是_________、15、设α1,α2是非齐次线性方程组Ax=b 的解、则A[5α2-4α1]=_________、 16、设A 是m ×n 实矩阵,若r[A T A]=5,则r[A]=_________、 17、设线性方程组有无穷多个解,则a=_________、18、设n 阶矩阵A 有一个特点值3,则|-3E+A|=_________、19、设向量α=[1,2,-2],β=[2,a,3],且α和β正交,则a=_________、 20、二次型的秩为_________、三、计算题[本大题共6小题,每小题9分,共54分] 21、计算4阶行列式D=、22、设A=,判断A 是否可逆,若可逆,求其逆矩阵A -1、 23、设向量α=[3,2],求[αT α]101、24、设向量组α1=[1,2,3,6],α2=[1,-1,2,4],α3=[-1,1,-2,-8],α4=[1,2,3,2]、 [1]求该向量组的一个极大线性无关组；[2]将其它向量表示为该极大线性无关组的线性组合、 线性代数试题 课程代码:04184一、单项选择题[本大题共20小题,每小题1分,共20分]在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内.错选、多选或未选均无分.1、已知2阶行列式=m, =n,则=[]A、m-nB、n-mC、m+nD、-[m+n]2、设A,B,C均为n阶方阵,AB=BA,AC=CA,则ABC=[]A、ACBB、CABC、CBAD、BCA3、设A为3阶方阵,B为4阶方阵,且行列式|A|=1,|B|=-2,则行列式||B|A|之值为[]A、-8B、-2C、2D、84、已知A=,B=,P=,Q=,则B=[]A、PAB、APC、QAD、AQ5、已知A是一个3×4矩阵,下面命题中正确的是[]A、若矩阵A中全部3阶子式都为0,则秩[A]=2B、若A中存在2阶子式不为0,则秩[A]=2C、若秩[A]=2,则A中全部3阶子式都为0D、若秩[A]=2,则A中全部2阶子式都不为06、下面命题中错误．．的是[]A、只含有一个零向量的向量组线性相关B、由3个2维向量组成的向量组线性相关C、由一个非零向量组成的向量组线性相关D、两个成比例的向量组成的向量组线性相关7、已知向量组α1,α2,α3线性无关,α1,α2,α3,β线性相关,则[]A、α1必能由α2,α3,β线性表出B、α2必能由α1,α3,β线性表出C、α3必能由α1,α2,β线性表出D、β必能由α1,α2,α3线性表出8、设A为m×n矩阵,m≠n,则齐次线性方程组Ax=0只有零解的充分必要条件是A 的秩[]A、小于mB、等于mC、小于nD、等于n9、设A为可逆矩阵,则和A必有相同特点值的矩阵为[]A、A TB、A2C、A-1D、A*10、二次型f[x1,x2,x3]=的正惯性指数为[]A、0B、1C、2D、3二、填空题[本大题共10小题,每小题2分,共20分]请在每小题的空格中填上正确答案.错填、不填均无分.11、行列式的值为_________________________、12、设矩阵A=,B=,则A T B=____________________________、13、设4维向量[3,-1,0,2]T,β=[3,1,-1,4]T,若向量γ满足2γ=3β,则γ=__________、14、设A为n阶可逆矩阵,且|A|=,则|A-1|=___________________________、15、设A为n阶矩阵,B为n阶非零矩阵,若B的每一个列向量都是齐次线性方程组Ax=0的解,则|A|=__________________、16、齐次线性方程组的基础解系所含解向量的个数为________________、17、设n阶可逆矩阵A的一个特点值是-3,则矩阵必有一个特点值为_____________、18、设矩阵A=的特点值为4,1,-2,则数x=________________________、19、已知A=是正交矩阵,则a+b=_______________________________.20、二次型f[x1,x2,x3]=-4x1x2+2x1x3+6x2x3的矩阵是_______________________________.三、计算题[本大题共6小题,每小题9分,共54分] 21、计算行列式D=的值.22、已知矩阵B=[2,1,3],C=[1,2,3],求[1]A=B T C ；[2]A 2.23、设向量组求向量组的秩及一个极大线性无关组,并用该极大线性无关组表示向量组中的其它向量.24、已知矩阵A=,B=、[1]求A -1；[2]解矩阵方程AX=B.25、问a 为何值时,线性方程组有惟一解?有无穷多解?并在有解时求出其解[在有无穷多解时,要求用一个特解和导出组的基础解系表示全部解].26、设矩阵A=的三个特点值分别为1,2,5,求正的常数a 的值及可逆矩阵P,使P -1AP=.四、证明题[本题6分]27、设A,B,A+B 均为n 阶正交矩阵,证明[A+B]-1=A -1+B -1. 全国2016年7月高等教育自学考试试卷说明:在本卷中,A T 表示矩阵A 的转置矩阵；A *表示A 的伴随矩阵；R(A)表示矩阵A 的秩；|A|表示A 的行列式；E 表示单位矩阵.1、设3阶方阵A=[α1,α2,α3],其中αi (i=1,2,3)为A 的列向量, 若|B|=|[α1+2α2,α2,α3]|=6,则|A|=[]A 、-12 B 、-6C 、6 D 、122、计算行列式[]A 、-180 B 、-120C 、120 D 、1803、设A=,则|2A *|=[]A 、-8 B 、-4C 、4 D 、8 4、设α1,α2,α3,α4都是3维向量,则必有A 、α1,α2,α3,α4线性无关B 、α1,α2,α3,α4线性相关C 、α1可由α2,α3,α4线性表示D 、α1不可由α2,α3,α4线性表示5、若A 为6阶方阵,齐次线性方程组Ax=0的基础解系中解向量的个数为2,则R(A)=[]A 、2 B3C 、4 D 、56、设A 、B 为同阶矩阵,且R(A)=R(B),则[]A 、A 和B 相似 B 、|A|=|B|C 、A 和B 等价 D 、A 和B 合同7、设A 为3阶方阵,其特点值分别为2,l,0则|A+2E|=[]A 、0 B 、2C 、3 D 、24 8、若A 、B 相似,则下面说法错误．．的是[]A 、A 和B 等价 B 、A 和 B 合同C 、|A|=|B|D 、A 和B 有相同特点9、若向量α=(1,-2,1)和β=(2,3,t)正交,则t=[]A 、-2 B 、0C 、2 D 、4 10、设3阶实对称矩阵A 的特点值分别为2,l,0,则[]A 、A 正定 B 、A 半正定C 、A 负定 D 、A 半负定二、填空题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)请在每小题的空格中填上正确答案.错填、不填均无分.1l 、设A=,B=,则AB=________、12、设A 为3阶方阵,且|A|=3,则|3A -l |=________、 13、三元方程x 1+x 2+x 3=0的结构解是________、14、设α=(-1,2,2),则和α反方向的单位向量是______、15、设A 为5阶方阵,且R(A)=3,则线性空间W={x|Ax=0}的维数是______、 16、设A 为3阶方阵,特点值分别为-2,,l,则|5A -1|=_______、17、若A 、B 为同阶方阵,且Bx=0只有零解,若R(A)=3,则R(AB)=________、 18、二次型f(x 1,x 2,x 3)= -2x 1x 2+-x 2x 3所对应的矩阵是________、19、设3元非齐次线性方程组Ax=b 有解α1=,α2=,且R(A)=2,则Ax=b 的通解是________、20、设α=,则A=ααT 的非零特点值是_____、三、计算题(本大题共6小题,每小题9分,共54分) 21、计算5阶行列式D=22、设矩阵X 满足方程X=求X 、 23、求非齐次线性方程组 的结构解、24、求向量组α1=[1,2,3,4],α2=[0,-1,2,3],α3=[2,3,8,11], α4=[2,3,6,8]的秩、25、已知A=的一个特点向量=[1,1,-1]T ,求a,b 及所对应的特点值,并写出对应于这个特点值的全部特点向量、26、用正交变换化二次型f(x 1,x 2,x 3)=为标准形,并写出所用的正交变换、 四、证明题[本大题共1小题,6分]27、设α1,α2,α3是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系、证明α1,α1+α2,α2+α3也是Ax=0的基础解系、全国2016年10月高等教育自学考试 线性代数(经管类)试题 课程代码:04184说明:在本卷中,A T 表示矩阵A 的转置矩阵,A *表示矩阵A 的伴随矩阵,E 是单位矩阵,|A|表示方阵A 的行列式,r(A)表示矩A 的秩、一、单项选择题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内.错选、多选或未选均无分. 1、设A 为3阶矩阵,|A|=1,则|-2A T |=<> A 、-8B 、-2C 、2 D 、8 2、设矩阵A=,B=(1,1),则AB=<> A 、0B 、(1,-1)C 、 D 、3、设A 为n 阶对称矩阵,B 为n 阶反对称矩阵,则下面矩阵中为反对称矩阵的是<> A 、AB-BAB 、AB+BAC 、ABD 、BA4、设矩阵A 的伴随矩阵A *=,则A -1=<> A 、 B 、 C 、 D 、5、下面矩阵中不是．．初等矩阵的是<> A 、 B 、 C 、 D 、6、设A,B 均为n 阶可逆矩阵,则必有<>A 、A+B 可逆B 、AB 可逆C 、A-B 可逆D 、AB+BA 可逆 7、设向量组α1=(1,2),α2=(0,2),β=(4,2),则<> A 、α1,α2,β线性无关B 、β不能由α1,α2线性表示C 、β可由α1,α2线性表示,但表示法不惟一D 、β可由α1,α2线性表示,且表示法惟一8、设A 为3阶实对称矩阵,A 的全部特点值为0,1,1,则齐次线性方程组(E-A)x=0的基础解系所含解向量的个数为<>A 、0B 、1C 、2D 、3 9、设齐次线性方程组有非零解,则为<> A 、-1B 、0C 、1 D 、210、设二次型f(x)=x TAx 正定,则下面结论中正确的是<>A 、对任意n 维列向量x,x T Ax 都大于零B 、f 的标准形的系数都大于或等于零C 、A 的特点值都大于零D 、A 的全部子式都大于零 二、填空题(本大题共10小题,每小题2分,共20分) 请在每小题的空格中填上正确答案.错填、不填均无分.11、行列式的值为_________、12、已知A=,则|A|中第一行第二列元素的代数余子式为_________、13、设矩阵A=,P=,则AP3=_________、14、设A,B都是3阶矩阵,且|A|=2,B=-2E,则|A-1B|=_________、15、已知向量组α1,=(1,2,3),α2=(3,-1,2),α3=(2,3,k)线性相关,则数k=_________、16、已知Ax=b为4元线性方程组,r(A)=3,α1,α2,α3为该方程组的3个解,且则该线性方程组的通解是_________、17、已知P是3阶正交矩,向量_________、18、设2是矩阵A的一个特点值,则矩阵3A必有一个特点值为_________、19、和矩阵A=相似的对角矩阵为_________、20、设矩阵A=,若二次型f=x T Ax正定,则实数k的取值范围是_________、三、计算题(本大题共6小题,每小题9分,共54分)21、求行列式D=22、设矩阵A=求满足矩阵方程XA-B=2E的矩阵X、23、若向量组的秩为2,求k的值、24、设矩阵(1)求A-1;(2)求解线性方程组Ax=b,并将b用A的列向量组线性表出、25、已知3阶矩阵A的特点值为-1,1,2,设B=A2+2A-E,求(1)矩阵A的行列式及A的秩、(2)矩阵B的特点值及和B相似的对角矩阵、26、求二次型f(x1,x2,x3)=-4x1x2+2x1x3+2x2x3经可逆线性变换所得的标准形、四、证明题(本题6分)27、设n阶矩阵A满足A2=E,证明A的特点值只能是、。
1月全国自考线性代数试题及答案解析
1全国2018年1月高等教育自学考试线性代数试题课程代码：02198一、填空题(每小题2分，共36分)1. 行列式333222c b a c b a c b a=_____. 2. 设三阶方阵A 的行列式det(A)=3，则A 的伴随矩阵A *的行列式det(A *)=_____.3. 当a=_____时，方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++-=+-+-=+++0x )4a (x 4x 0x 4x )3a (x 40x x 4x )2a (321321321 有非零解.4. 设A=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛d c b a ，且det(A)=ad-bc ≠0，则A -1=_____. 5. 设A=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1321，B=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3012，C=(2-1)，则(A -B)C T =_____. 6. 设向量1α=(1,2,0),2α=(-1,0,3),3α=(2,3,4),且满足：2(1α-α)+(α+2α)=3(3α-α)，则α=_____.7. 若1α,2α线性无关，而1α,2α,3α线性相关，则向量组1α,22α,33α的最大无关组为_____.8. n 元齐次线性方程组AX=0的系数矩阵A 的秩r<n ，则AX=0的基础解系所含向量的个数是_____.9. 设方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+=++8x )8a (x 3x 52x x 1x 2x x 32131321，当a 取_____时，方程组无解.10. 若λ=3是可逆方阵A 的一个特征值，则A -1必有一个特征值为______.11. 设1α,2α分别属于方阵A 的不同特征值λ1,λ2的特征向量，则1α与2α必线性_____.12. 设1α=(1,0,1),2α=(0,1,1),则与1α,2α均正交的非零单位向量为______.13. 设A 为实对称矩阵，1α=(-1,1,1)T ，2α=(3,-1,a)分别是属于A 的相异特征值λ1与λ2的特征向量，则a=_____.14. 设三阶方阵A 的特征值为1，-1，-1，且B=A 2，则B 的特征值为_____.215. 设向量组1α=(1,2,3),2α=(2,1,3),3α=(-1,1,0),则向量组1α,2α,3α的秩是_____.16. 设η1,η2是方程组AX=b 的两个解，则_____必是AX=0的解.17. 设实对称矩阵A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3a 0a 11012是二次型f(x 1,x 2,x 3)矩阵，则二次型f(x 1,x 2,x 3)=_____.18. 设实二次型f(x 1,x 2)=21x +tx 1x 2+222x ，则当t 的取值为_____时，二次型f(x 1,x 2)是正定的.二、计算题(共54分)1. (5分)解方程：22x 9132513232x 213211--=0. 2. (5分)设A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--011220111，B=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-112011111且满足XA=B ，求X. 3. (6分)已知向量β=(-1,2,μ)可由1α=(1,-1,2)，2α=(0,1,-1)，3α=(2,-3,λ)唯一地线性表示，讨论λ的取值范围.4. (5分)设1R 3的一组基为1α=(0,1,1),2α=(1,1,0),3α=(1,0,1),试将1α，2α，3α化为1R 3的一组标准正交基.5. (5分)设三阶方阵A 的特征值为1，2，-2，又B=3A 2-A 3,说明B 能否对角化?若能对角化，试求与B 相似的对角阵.6. (8分)设矩阵C=A ［(A -1)2+A *BA -1］A.其中，A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡111110011,B=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡987654321.A *为A 的伴随矩阵.(1)化简C (2)计算det(C).7. (10分)求方阵A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----313043241的特征值及特征向量.8. (10分)设A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+---+-b 2a a 302b 2a 2111,B=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-331,X=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321x x x ,就a,b 各种取值，讨论非齐次线性方程组AX=B的解，如有解，就求出解.三、证明题(每小题5分，共10分)1. 设A，B都是n阶正交矩阵，证明AB也是正交矩阵.2. 设A，B都是n阶矩阵，且A是正定的，B是半正定的，证明：A+B是正定矩阵.3。
贵州大学2018至2019学年第一学期考试线性代数1试卷A
贵州大学2018至2019学年第一学期考试线性代数1试卷A题 号 一 二三四总 分 统分人 得 分一、填空题（共20分,每空2分）1.三阶行列式。
2. 设，则 ，。
3. 。
4．设，则的伴随矩阵的行列式。
5．元线性方程组有解的充要条件是。
（填或=）6．若向量组线性相关，则向量组。
（填线性相关或线性无关）得 分评分人7．若向量组线性无关，则。
8．已知矩阵为行列矩阵，若，则齐次线性方程组的一个基础解系中有 个向量。
9．设三阶矩阵的特征值为，则行列式。
二、判断题：判断下列说法是否正确，若正确简述理由，若不正确请举反例。
（共20分,每小题5分） 1．设为方阵，若，则或。
答： 2．若向量组可以由向量组线性表出，则向量组可由向量组线性表出。
答： 3．若只有时才有，则向量组和向量组都是线性无关的。
答： 4．设是方阵的一个特征值，则为的特征值。
答： 三、计算题（共50分,其中第1，2小题每小题8分，第3小题10分，第4，5小题每小题12分）1.计算4阶行列式。
2. 问取何值时，齐次线性方程组有非零解？得 分评分人得 分评分人3. 设矩阵，，求，使得。
4．求非齐次线性方程组的一个解及其对应的齐次线性方程组的通解，并写出此非齐次线性方程组的通解。
5．求矩阵的特征值和特征向量。
四、证明题（共10分）已知向量组线性无关，，证明向量组线性无关。
得 分评分人贵州大学2018-2019学年第一学期考试试卷 A线性代数1参考答案及评分标准一、填空题（共20分,每空2分）1．0 2. 13，3．4. 45. =6. 线性相关7. 8. 9.18二、判断题：判断下列说法是否正确，若正确简述理由，若不正确请举反例。
（共20分,每小题5分）1.答：不正确。
………………………………………………………………（2分）反例：取，。
…………………………………………（5分）注：反例不唯一，只要能说明结论即可。
下同。
2.答：不正确。
.................................................（2分）反例：取向量组，向量组，显然向量组可以由向量组线性表出，但是向量组不能由向量组线性表出。
2018-2019(1)线性代数A卷
上海海洋大学试卷（注：本试卷不准使用计算器。
）诚信考试承诺书本人郑重承诺：我已阅读且透彻理解了“上海海洋大学学生考场规则”和“上海海洋大学学生违反校纪校规处理规定”，承诺在考试中自觉遵守，如有违反，按有关条款接受处理。
承诺人签名： 日 期：考生姓名： 学号： 专业班名：一、填空题（每空3分，共30分） 1．行列式111122228a b a b a b a b +-=-+-，则1122a b a b = .2．设行列式00000000b ac Dde f=，则D = .3．设方程组123112233222112233123x x x a x a x a x a x a x a x ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩有唯一解，则123,,a a a 应满足的条件是 .4．设矩阵方程100204012311001X ⎛⎫⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪⎝⎭，则矩阵X = .5. 设A 为三阶方阵，且3=A ，则1T 13A -⎛⎫= ⎪⎝⎭，1*52A A --= .6. 设A 为m n ⨯矩阵，A 的秩为r (r < n )，则线性方程组AX = 0的基础解系中所含解向量的个数为 .7. 已知12,ξξ是非齐次线性方程组AX b =的解，则当12c c += 时，1122c c ξξ+ 仍是AX b =的解.8. 设向量组123(,1,1),(1,2,1),(1,1,2)==-=-t ααα线性相关，则常数t 应满足的条件是 .9. 设方阵A 满足25A A E O +-=，则1(3)A E -+= . 二、选择题（每小题3分，共18分）1．设12,ξξ是齐次线性方程组0AX =的解，12,ηη是非齐次线性方程组(0)AX b b =≠ 的解，则下列哪一项是错误的 .(A) 12ξξ+是0AX =的解； (B) 12ηη-是0AX =的解； (C) 12ηη-是AX b =的解； (D) 11ξη+是AX b =的解.2．设A 、B 、C 均为n 阶方阵，且ABC = E ，则下列等式成立的是 .(A) ACB = E ； (B) CBA = E ； (C) BAC = E ； (D) BCA = E .3．矩阵1325A ⎛⎫= ⎪⎝⎭的逆矩阵是 .(A) 5321-⎛⎫⎪-⎝⎭； (B)5231-⎛⎫ ⎪-⎝⎭； (C) 5231-⎛⎫⎪-⎝⎭； (D)5321-⎛⎫⎪-⎝⎭. 4．设A 为54⨯阶矩阵，且列向量组线性无关，则矩阵T A 的秩等于 .(A) 1； (B) 3； (C) 5； (D) 4.5. 设A 为m n ⨯矩阵，则线性方程组AX = 0仅有零解的充要条件是 .(A) A 的行向量组线性无关； (B) A 的行向量组线性相关； (C) A 的列向量组线性无关； (D) A 的列向量组线性相关.6. 设向量组,,αβγ线性无关，而,,αβδ线性相关，则下列说法正确的是 .(A) α必可由,,βγδ线性表示； (B) β必不可由,,αγδ线性表示； (C) δ必可由,,αβγ线性表示； (D) δ必不可由,,αβγ线性表示.三、计算题（共52分）1．（本题12分）设行列式123410123110021D =--，计算：(1) 行列式D 的值；(2) 2123242M M M +-的值，其中ij M 表示D 中元素的余子式.2．（本题12分）设矩阵方程AX B =，其中123221343A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，253143B ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.求：(1) 1A -； (2) X .3．（本题12分）设向量组A : 1(2,1,4,3)α=，2(1,1,6,6)α=--，3(1,2,2,9)α=---，4(1,1,2,7)α=-，5(2,4,4,9)α=,(1) 求向量组A 的秩； (2) 求向量组A 的一个极大线性无关组； (3) 用极大线性无关组的线性组合表示其余向量.4．（本题16分）求非齐次线性方程组12341234123425311224265631x x x x x x x x x x x x +--=⎧⎪+++=-⎨⎪+++=-⎩的一个特解及对应的齐次线性方程组的基础解系.。
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1
2, 5
1, 5
0
T
,
Байду номын сангаас
2
0,
0,
1T
,
3
1, 5
2 5
,
0
T
......3 分
2
5
令
P
1,2
,3
1 5
0
0 0 1
1
5 2 5 0
,则
P 1 AP
PT
AP
2 0 0
0 3 0
0
0
...1
分
7
16（10 分）解：对T 作初等行变换化为行最简形得
1 1 3 6
故 A 12 11 1 ......2 分
2
r12r2
0
1
00
3
4
2分
0 0 1 1 2 3
2 0 1
所以
A1
0
3
4
....1
分
1 2 3
3
13（10
分）解：由于 T
1 3
,
1 2
,1 12
3 ......3
分
且 An T n T T n1 3n1T ......3 分
3
1 3/ 2 3
而
T
2
0 0
1 0 3 0
1 0 0 ...3 分 3
r2
-
1 3
r3 +2r2
1 0
2 1
31 4/3 4/3
0 0
1/ 3
0
2
分
r33
r2
4 3
r3
r13r3
1 0
2 1
0 2 00
6 3
9
4
2分
0 0 1/ 3 1/ 3 2 / 3 1
0 0 1 1 2 3
1 0 0 2 0 1
程组基础解系中有两个解向量......2 分，从而方程组通解为
1
x1 1 1 1
X
=
x2 x3 x4
=k1
2
1
0
k2
2
0
1
1
0
0
(k1,
k2为任意实数）
3分
15（10 分）解：由特征方程
3 2 0
E A 2 6 0 2 3 7 0
1
1, 3
1 2
,1
2
/
3
1 / 3
1 1/ 2
2
......3
分
1
1 3/ 2 3
因此
An
3n1
2
/
3
1
2
......1
分
1/ 3 1/ 2 1
9 33 1 分
12（10 分）解：
1 2 3 1 0 0
1 2 3 1 0 0
A E
4
5
80
1
0
r2 4r1
r33r1
1 1 3 6
T
1,
2,
3,
4
0
2
1 2
4 4
14
r3 2r1
0
6
0
1 0
4 2
14
6
2分
0
0
1
3
0
0
1
3
1 0 0 1
0 0
1 0
0 1
2
3
3分
0
0
0
0
RT 3 ，向量组的秩为 3，一个极大线性无关组为1, 2, 3 ，....3 分
且4 1 22 33 .......2 分 四．证明题：
湖北工业大学
线性代数 试题参考答案
A 卷 2018 年 12 月
本解答仅供参考！若存在其他解法，请参考本标准酌情给分。
一.选择题：（3×5=15 分）
1.C
2.D
3.A
4.D
5.C
二.填空题：（3×5=15 分）
6. 12
7.
16 81
8. 3
三.计算题（共 60 分）
9. 5
1 1 2
10.
1
17（10 分）证明：由题意可得
A1 11, A2 22 ......1 分
且1 2 A2 1 2 121 222 ，......2 分
所以
12 1 1 22 1 2 0 ......2 分
由于互异特征值对应的特征向量相互线性无关，因此
12 1 0, 22 1 0, 且1 2 ......3 分
0
3
4 4
1
0
3分
3 4 6 0 0 1
0 2 3 3 0 1
14（10 分）解：方程组的增广矩阵
1 1 1 1 0 1 0 1 1 1
B
A
b
0
1
2
2
1
0
1
2
21
3分
1 2 3 3 1 0 0 0 0 0
可知 R A RB 2 n 4 ，方程组有无穷多解......2 分，对应的齐次线性方
2
3
2 3 3
11（10 分）解：
D
3 3
3
3 3 3
3 3 3
3 3
r1
r2
9 3
3
rr11
rr34
3 3
9 3 3
9 3 3
9 3 .....3 分 3
1
9
3 3
3
1 3 3
1 3 3
1 3 3
...3
r2 分 rr34
3r1 33rr11
9
1 0 0 0
1 3
0 0 3
解得 1 2, 2 3, 3 7
......3 分
当 1 2 时，解对应的方程组 2E A X 0 可得解向量 1 2, 1, 0T ...1 分
当 2 3 时，解对应的方程组 3E A X 0 可得解向量 2 0, 0, 1T ...1 分
当 3 7 时，解对应的方程组 7E A X 0 可得解向量 3 1, -2, 0T ...1 分