2018-2019-1-线代A卷+答案

1 1 3 6
T
1,
2,
3,
4
0
2
1 2
4 4
14
r3 2r1
0
6
0
1 0
4 2
14
6
2分
0
0
1
3
0
0
1
3
1 0 0 1
0 0
1 0
0 1
2
3
3分
0
0
0
0
RT 3 ，向量组的秩为 3，一个极大线性无关组为1, 2, 3 ，....3 分
且4 1 22 33 .......2 分 四．证明题：
r12r2
0
1
00
3
4
2分
0 0 1 1 2 3
2 0 1
所以
A1
0
3
4
....1
分
1 2 3
3
13（10
分）解：由于 T
1 3
,
1 2
,1 12
3 ......3
分
且 An T n T T n1 3n1T ......3 分
3
1 3/ 2 3
而
T
2
0
3
4 4
1
0
3分
3 4 6 0 0 1
0 2 3 3 0 1
14（10 分）解：方程组的增广矩阵
1 1 1 1 0 1 0 1 1 1
B
A
b
0
1
2
2
1
0
1
2
21
3分
1 2 3 3 1 0 0 0 0 0
可知 R A RB 2 n 4 ，方程组有无穷多解......2 分，对应的齐次线性方
将解向量分别单位化可得
1
2, 5
1, 5
0
T
,
2
0,
0,
1T
,
3
1, 5
2 5
,
0
T
......3 分
2
5
令
P
1,2
,3
1 5
0
0 0 1
1
5 2 5 0
,则
P 1 AP
PT
AP
2 0 0
0 3 0
0
0
...1
分
7
16（10 分）解：对T 作初等行变换化为行最简形得
1 1 3 6
17（10 分）证明：由题意可得
A1 11, A2 22 ......1 分
且1 2 A2 1 2 121 222 ，......2 分
所以
12 1 1 22 1 2 0 ......2 分
由于互异特征值对应的特征向量相互线性无关，因此
12 1 0, 22 1 0, 且1 2 ......3 分
湖北工业大学
线性代数 试题参考答案
A 卷 2018 年 12 月
本解答仅供参考！若存在其他解法，请参考本标准酌情给分。
一.选择题：（3×5=15 分）
1.C
2.D
3.A
4.D
5.C
二.填空题：（3×5=15 分）
6. 12
7.
16 81
8. 3
三.计算题（共 60 分）
9. 5
1 1 2
10.
1
2
3
2 3 3
11（10 分）解：
D
3 3
3
3 3 3
3 3 3
3 3
r1
r2
9 3
3
rr11
rr34
3 3
9 3 3
9 3 3
9 3 .....3 分 3
1
9
3 3
3
1 3 3
1 3 3
1 3 3
...3
r2 分 rr34
3r1 33rr11
9
1 0 0 0
1 3
故 A 12 11 1 ......2 分
2
1
1, 3
1 2
,1
2
/
3
1 / 3
1 1/ 2
2
......3
分
1
1 3/ 2 3
因此
An
3n1
2
/
3
1
2
......1
分
1/ 3 1/ 2 1
9 33 1 分
12（10 分）解：
1 2 3 1 0 0
1 2 3 1 0 0
A E
4
5
80
1
0
r2 4r1
r33r1
0 0
1 0 3 0
1 0 0 ...3 分 3
r2
-
1 3
r3 +2r2
1 0
2 1
31 4/3 4/3
0 0
1/ 3
0
2
分
r33
r2
4 3
r3
r13r3
1 0
2 1
0 2 00
6 3
9
4
2分
0 0 1/ 3 1/ 3 2 / 3 1
0 0 1 1 2 3
1 0 0 2 0 1
程组基础解系中有两个解向量......2 分，从而方程组通解为
1
x1 1 1 1
X
=
x2 x3 x4
=k1
2
1
0
k2
2
0
1
1
0
0
(k1,
k2为任意实数）
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3分
15（10 分）解：由特征方程
3 2 0
E A 2 6 0 2 3 7 0
0 0 3
解得 1 2, 2 3, 3 7
......3 分
当 1 2 时，解对应的方程组 2E A X 0 可得解向量 1 2, 1, 0T ...1 分
当 2 3 时，解对应的方程组 3E A X 0 可得解向量 2 0, 0, 1T ...1 分
当 3 7 时，解对应的方程组 7E A X 0 可得解向量 3 1, -2, 0T ...1 分