1.2.1映射的概念
映射与函数教案范文
映射与函数教案范文第一章：映射的概念与性质1.1 映射的定义教学目标：让学生理解映射的概念，掌握映射的表示方法。
教学内容：介绍映射的定义，举例说明映射的概念。
教学方法：通过具体例子引导学生理解映射的概念，互动提问，巩固学生对映射的理解。
教学步骤：（1）引入映射的概念，引导学生思考在日常生活中遇到的映射现象。
（2）给出映射的定义，解释映射的基本要素：集合、对应关系。
（3）通过具体例子，让学生理解映射的表示方法，如图示、表格等。
（4）引导学生总结映射的性质，如单射、满射、双射等。
1.2 映射的性质教学目标：让学生掌握映射的性质，学会判断映射的类型。
教学内容：介绍映射的性质，包括单射、满射、双射等。
教学方法：通过实例分析，让学生理解映射的性质，互动提问，巩固学生对映射性质的掌握。
教学步骤：（1）回顾上一节的内容，引导学生思考映射的性质。
（2）讲解单射、满射、双射的定义与特点，举例说明。
（3）让学生通过实例分析，判断映射的类型。
（4）总结映射的性质，引导学生掌握判断映射类型的方法。
第二章：函数的概念与性质2.1 函数的定义教学目标：让学生理解函数的概念，掌握函数的表示方法。
教学内容：介绍函数的定义，举例说明函数的概念。
教学方法：通过具体例子引导学生理解函数的概念，互动提问，巩固学生对函数的理解。
教学步骤：（1）引入函数的概念，引导学生思考在日常生活中遇到的函数现象。
（2）给出函数的定义，解释函数的基本要素：定义域、值域、对应关系。
（3）通过具体例子，让学生理解函数的表示方法，如图示、表格等。
（4）引导学生总结函数的性质，如单调性、奇偶性等。
2.2 函数的性质教学目标：让学生掌握函数的性质，学会判断函数的类型。
教学内容：介绍函数的性质，包括单调性、奇偶性、周期性等。
教学方法：通过实例分析，让学生理解函数的性质，互动提问，巩固学生对函数性质的掌握。
教学步骤：（1）回顾上一节的内容，引导学生思考函数的性质。
（2）讲解单调性、奇偶性、周期性的定义与特点，举例说明。
高一数学目录
高一数学目录一、函数与映射1.1 函数的概念1.1.1 函数的定义1.1.2 函数的表示方法1.1.3 函数的定义域与值域1.2 映射的概念1.2.1 映射的定义1.2.2 映射与函数的关系二、函数的性质2.1 函数的单调性2.1.1 单调增函数与单调减函数2.1.2 单调性的判断方法2.2 函数的奇偶性2.2.1 奇函数与偶函数的定义2.2.2 奇偶性的判断与应用2.3 函数的周期性2.3.1 周期函数的定义2.3.2 周期函数的性质三、指数与对数3.1 指数函数3.1.1 指数函数的定义3.1.2 指数函数的性质3.2 对数函数3.2.1 对数函数的定义3.2.2 对数函数的性质3.3 指数与对数的运算3.3.1 指数运算规则3.3.2 对数运算规则四、三角函数4.1 三角函数的定义4.1.1 正弦函数、余弦函数、正切函数的定义4.1.2 三角函数的周期性4.2 三角函数的图像与性质4.2.1 正弦函数、余弦函数、正切函数的图像4.2.2 三角函数的性质五、三角恒等变换5.1 三角函数的和差公式5.1.1 正弦和差公式5.1.2 余弦和差公式5.1.3 正切和差公式5.2 倍角公式与半角公式5.2.1 倍角公式5.2.2 半角公式六、平面向量6.1 向量的基本概念6.1.1 向量的定义6.1.2 向量的表示6.2 向量的运算6.2.1 向量的加法与减法6.2.2 向量的数乘6.3 向量的应用6.3.1 向量在几何中的应用6.3.2 向量在物理中的应用七、直线与方程7.1 直线的方程7.1.1 斜截式方程7.1.2 点斜式方程7.1.3 截距式方程7.1.4 一般式方程7.2 直线的性质7.2.1 直线的斜率7.2.2 直线的平行与垂直八、圆与方程8.1 圆的方程8.1.1 标准方程8.1.2 一般方程8.2 圆的性质8.2.1 圆心与半径8.2.2 圆的对称性8.3 圆与直线的位置关系8.3.1 相交8.3.2 相切8.3.3 相离。
湘教版高中数学必修一课件1-2-1对应、映射和函数必修1
预习测评
1． 下列从集合A到集合B的对应f是映射的是( )． A．A＝{－1，0，1}，B＝{－1，0，1}，f：A中的数平方 B．A＝{0，1}，B＝{－1，0，1}，f：A中的数开方 C．A＝Z，B＝Q，f：A中的数的倒数 D．A＝R，B＝{正实数}，f：A中的数取绝对值 答案 A
2．下列各组函数表示同一函数的是 A．y＝xx2－－39与 y＝x＋3
自学导引
1．映射的定义：设A，B是两个__非__空_的集合，如果按照某种 对应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都 有_唯__一__元素和它对应，这样的对应叫作从集合A到集合B 的_映__射__，记作__f_：__A_→__B_． 在映射f：A→B中，集合A叫作映射的__定__义__域__，与A中元 素x对应的B中的元素y叫x的_象__(image)，记作y＝f(x)G，x 叫作y的_原__象__(inverseimage)．
解 (1)对于任意一个非零实数 x，2x被 x 唯一确定，所以当 x
≠0 时，x→2x是函数，这个函数也可以表示为 f(x)＝2x(x≠0)．
(2)当x＝4时，y2＝4，得y＝2或y＝－2，不是有唯一值和x对 应，所以，x→y(y2＝x)不是函数． (3)是函数，满足函数的定义，在A中任取一个值，B中有唯 一确定的值和它对应． 点评 1.判断函数的标准可以简记成：两个非空数集A、B， 一个对应关系f，A中任一对B中唯一(即多对一或一对一)． 2．函数是一种特殊的对应，要检验给定两个变量之间是否 具有函数关系，只要检验： (1)变量x的取值集合和两变量x、y的对应关系是否给出； (2)根据给出的对应关系，自变量x在其取值集合中的每一个 值，是否都有唯一确定的值y与之对应．
高中数学课件
1.2.1函数的概念
练习1. 已知f(x)的定义域为(-3,5],求函数f(3x-2) 的定义域；
题型(二):已知f g x 的定义域, 求f ( x)的定义域
例2 :已知f 2 x 1的定义域( 1,5], 求f ( x)的定义域
例4.已知f ( x 1) x 1, 则f ( x) ________ .
练习 2.已知f ( x 1) x 2 x , 则f(x) _____.
1 x 例5.已 知f ( ) , 则f ( x ) ________ . x 1 x
四.求函数值
例1.已知函数f(x)=3x2-5x+2，则f(2)=_____.
（1）满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间， 表示为[a，b] （2）满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间， 表示为(a，b) （3)满足不等式a≤x<b或a<x≤b的实数x的集合叫做 半开半闭区间，表示为[a，b）或（a，b]
定义 {x|a≤x ≤ b} {x|a<x < b} {x|a≤x < b}
x 1, x 0 例5.已知函数 f ( x ) 2 x , x 0
则不等式f ( x ) 2的解集为 _______ .
例5. 画出函数y=|x|的图象.
x , x 0 y | x | x , x 0
y
图象如下：
5 4 3 2 1 -3 -2 -1 0 1
ax c n 方法： 把y 化为 y a 的形式 xb xm
x 1 例2.函 数y 的值域为 ________ . x 1
第3-4节映射
(2)如果BY，则由f和B唯一确定了X的一个子集。 {xf(x)B，xX}
这个子集习惯上用f-1(B)表示。f-1(B)是X中在f下 的象落在B里的那些元素组成的。
f-1(B)叫做在f下B的原象。 利用这种方法，由f又得到一个2Y到2X的一个映 射，记为f-1。
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集合与图论 例1： 设X={1,2,3,4}，Y={a,b,c,d,e}，f：XY： f(1)=a，f(2)=b，f(3)=b，f(4)=c。 令A={1,2}，B={b,c,d}，求f(A)，f-1(B)，f-1({d})， f-1({b})。 解：f(A) ={a,b} f-1(B) ={2,3,4}。
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集合与图论
逆映射的性质
定理4.1 设f:XY，则f是可逆的充分必要条件 是f为双射（一一对应）。 定理4.2 设f:XY，则如果f是可逆的，则f的 逆映射是唯一的。f的逆记作f-1。 定理4.3 设f:XY，g:YZ都是可逆的，则gf 也可逆且(gf)-1=f-1g-1，(f-1)-1=f。 定理4.4 设f:XY，则: (1)f左可逆的充分必要条件是f为单射； (2)f右可逆的充分必要条件是f为满射。
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集合与图论 例2：设X={1,2,3,4},Y={a,b,c,d,e}。 f:XY： f(1)=a,f(2)=b,f(3)=b,f(4)=c。 令A={1,2},B={3,4} ，求f(A∩B)， f(A)∩f(B)。 解: f(A∩B) =, f(A)∩f(B) ={b}
例3： 设X={a,b,c},Y={1,2,3}。f:XY： f(a)=1,f(b)=f(c)=2。 令A={a,b},B={c}，求f(AB)，f(A)f(B)。 解：f(AB)=f((A\B)∪(B\A)) =f({a,b,c})={1,2} f(A)f(B) ={1,2}{2}={1}
映射的概念及例
四、单射、满射、双射
定义2 设f 是A到B的一个映射，如果 f (x) B，那么 说称f 是A到B上的一个映射，这 时也称f 是一个满
映射，简称满射.
f : A B是满射当且仅当对于B中的每一元素y，都有
A中元素x 使得 f (x) y .
对于每一 x R，令 f (x) x2与它对应； f : x x2 ，那么 f 是R到B的一个映射.
例3 设 A B {1,2,3,4} f :1 2,2 3,3 4,4 1 这是A到B的一个映射.
例4 设A是一切非负实数的集合，B是一切实数的集 合. 对于每一 x A，令 f (x) x 与它对应. f 不是A 到B的映射， 因为当 x 0 时，f (x)不能由x唯一确 定.
y
f
(x)
x 1
x
1 1
y y
y
1 y
所以f 是满射. 设 x1, x2 A 而 f (x1) f (x2 ) . 那么
x1 x2 1 x1 1 x2
由此 x1, x2 A，所以f 是单射.
于是由定理1.2.1，f 有逆映射. 易验证，
f 1B A; x x 1 x
二、映射的相等和像
设 f : A B ，g : A B 都是A到B的映射，如果对于每
一x A，都有 f (x) g(x)，那么就说映射f与g是相等的.
记作 f g .
例7 令 f : R R, x | x | ，
g : R R, x x2 . 那么 f g .
( f g)( y) f (g( y) f (x) y
所以 f g jB . 故(ii)成立.
高中数学：1.2.1《映射的概念》教案(新人教A版必修1)
1.2.1 映射的概念教学目标： 1．知识与技能了解映射的概念，掌握象、原象等概念及其简单应用。
2．过程与方法学会用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用。
3．情感、态度与价值观树立数学应用的观点，培养学习良好的思维品质。
教学重点：映射的概念。
教学难点：映射的概念。
教学过程： 一、复习引入：1、在初中我们已学过一些对应的例子：（学生思考、讨论、回答） ①看电影时，电影票与座位之间存在者一一对应的关系 ②对任意实数a ，数轴上都有唯一的一点A 与此相对应③坐标平面内任意一点A 都有唯一的有序数对(x, y)和它对应 2、函数的概念本节我们将学习一种特殊的对应—映射。
二、讲解新课：看下面的例子：设A ，B 分别是两个集合，为简明起见，设A ，B 分别是两个有限集求平方B B说明：（2）（3）（4）这三个对应的共同特点是：对于左边集合A 中的任何一个元素，在右边集合B 中都有唯一的元素和它对应映射：设A ，B 是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的任何一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，这样的对应（包括集合A 、B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到集合B 的映射 记作：B A f →:象、原象：给定一个集合A 到集合B 的映射，且B b A a ∈∈,，如果元素a 和元素b 对应，则元素b 叫做元素a 的象，元素a 叫做元素b 的原象关键字词：（学生思考、讨论、回答，教师整理、强调） ①“A 到B ”：映射是有方向的，A 到B 的映射与B 到A 的映射往往不是同一个映射,A 到B 是求平方，B 到A 则是开平方，因此映射是有序的； ②“任一”：就是说对集合A 中任何一个元素，集合B 中都有元素和它对应，这是映射的存在性；③“唯一”：对于集合A 中的任何一个元素，集合B 中都是唯一的元素和它对应，这是映射的唯一性；④“在集合B 中”：也就是说A 中元素的象必在集合B 中，这是映射的封闭性. 指出：根据定义，（2）（3）（4）这三个对应都是集合A 到集合B 的映射；注意到其中（2）（4）是一对一，（3）是多对一 思考：（1）为什么不是集合A 到集合B 的映射？ 回答：对于（1），在集合A 中的每一个元素，在集合B 中都有两个元素与之相对应，因此，（1）不是集合A 到集合B 的映射思考：如果从对应来说，什么样的对应才是一个映射? 一对一，多对一是映射但一对多显然不是映射 辨析：①任意性：映射中的两个集合A,B 可以是数集、点集或由图形组成的集合等；②有序性：映射是有方向的，A 到B 的映射与B 到A 的映射往往不是同一个映射； ③存在性：映射中集合A 的每一个元素在集合B 中都有它的象； ④唯一性：映射中集合A 的任一元素在集合B 中的象是唯一的；⑤封闭性：映射中集合A 的任一元素的象都必须是B 中的元素，不要求B 中的每一个元素都有原象，即A 中元素的象集是B 的子集.映射三要素：集合A 、B 以及对应法则f ，缺一不可； 三、例题讲解例1 判断下列对应是否映射？有没有对应法则？a eb fc gd (是) （不是） 例2下列各组映射是否同一映射？a e e eb b fc c g 例3A （1）设A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6，7，8，9}，对应法则12:+→x x f（2）设}1,0{,*==B N A ，对应法则得的余数除以2:x x f →（3）N A =，}2,1,0{=B ，除所得的余数被3:x x f →（4）设}41,31,21,1{},4,3,2,1{==Y X 取倒数x x f →: （5）N B N x x x A =∈>=},,2|{，的最大质数小于x x f →:四、练习：1．设A={1,2,3,4}，B={3,4,5,6,7,8,9}，集合A 中的元素x 按照对应法则“乘2加1”和集合B 中的元素2x+1对应．这个对应是不是映射？（是）2．设A=N*，B={0，1}，集合A 中的元素x 按照对应法则“x 除以2得的余数”和集合B 中的元素对应．这个对应是不是映射？（不是（A 中没有象））3．A=Z ，B=N*，集合A 中的元素x 按照对应法则“求绝对值”和集合B 中的元素对应．这个对应是不是映射？ （是）4．A={0,1,2,4}，B={0,1,4,9,64}，集合A 中的元素x 按照对应法则“f ：a τ b=(a -1)2”和集合B 中的元素对应．这个对应是不是映射？ （是）5．在从集合A 到集合B 的映射中，下列说法哪一个是正确的？ （A ）B 中的某一个元素b 的原象可能不止一个；（B ）A 中的某一个元素a 的象可能不止一个（C ）A 中的两个不同元素所对应的象必不相同； （D ）B 中的两个不同元素的原象可能相同 6．下面哪一个说法正确？（A ）对于任意两个集合A 与B ，都可以建立一个从集合A 到集合B 的映射 （B ）对于两个无限集合A 与B ，一定不能建立一个从集合A 到集合B 的映射（C ）如果集合A 中只有一个元素，B 为任一非空集合，那么从集合A 到集合B 只能建立一个映射（D ）如果集合B 只有一个元素，A 为任一非空集合，则从集合A 到集合B 只能建立一个映射7．集合A=N ，B={m|m=1212+-n n ,n ∈N}，f ：x →y=1212+-x x ，x ∈A ，y ∈B.请计算在f 作用下，象119，1311的原象分别是多少.( 5，6 )。
湘教版高中数学必修一课件1.2.1对应、映射和函数
课堂讲义
• 要点三 映射的个数问题 • 例3 已知A＝{x，y}，B＝{a，b，c}，集合A
到集合B的所有不同的映射有多少个？
解 分两类考虑： (1)集合 A 中的两个元素都对应 B 中相同元素的映射有 3 个．
课堂讲义
(2)集合 A 中的两个元素对应 B 中不同元素的映射有 6 个．
∴A 到 B 的映射共有 9 个．
• (2)已知集合A＝{a，b}，B＝{2,0，－2}，f是 从A到B的映射，且f(a)＋f(b)＝0，求这样的映
解 射(1f)的可以个建数立．以下 8 个不同的映射：
课堂讲义
(2)符合要求的映射 f 有以下 3 个：
课堂讲义
要点四 函数的概念 例 4 下列对应或关系式中是 A 到 B 的函数的是( )
有当y≥－1时，它在A中才有原象，而当y＜ －1时，它在A中就没有原象，即集合B中小于 －1的元素没有原象．
课堂讲义
• 规律方法 1.解答此类问题的关键是： • (1)分清原象和象； • (2)搞清楚由原象到象的对应法则； • 2．对A中元素，求象只需将原象代入对应法
则即可，对于B中元素求原象，可先设出它的 原象，然后利用对应法则列出方程(组)求解．
60°相对应的 B 中的元素是________，与 B 中元素
2 2
相对应的 A 中的元素是________．
答案
(1)D
3 (2) 2
45°
课堂讲义
解析 (1)由映射定义知，B 中至少有元素 1,2,3,4，即 B 中至少 有 4 个元素，选 D. (2)60°角的正弦等于 23，45°角的正弦等于 22，所以 60°的象是 23， 22的原象是 45°.
都有 2 个 y 值与之对应，不是函数，C 项中由于 x－2≥0 且 1
演示文档高一必修一映射的概念.ppt
b2
2.A中不同元素的像也不同; a3
b3
3.B中的每一个元素都有原像. a4
b4
判断一一映射: (1)对应形式只有”一对一”. (2)A,B中都没有剩余的元素.
.精品课件.
16
例2：判断下面的对应是否为映射 ，是否为一一映射？
（1）A={0,1,2,4,9},B={0,1,4,9,64}, 对应法则 f：a →b = (a-1)2
A
B
0
0
1
1
2
4
4
9
9
64
答：是映射，不是一一映射。
.精品课件.
17
（2）A={0,1,4,9,16},B={-1,0,1,2,3,4}, 对应法则 f：求平方根
答：不是映射。
（3）A=Z，B=N*，对应法则 f：求绝对值
答：不是映射。
（4）A={11,16,20,21},B={6,2,4,0}, 对应法则 f：求被7除的余数
.精品课件.
12
练习：下面六个对应，其中哪些是集合Ａ到Ｂ的映
Ａ 内角和 Ｂ
射?
f: x Ａ１
2x Ｂ
２
ｆ：x Ａ
２ｘ－１ Ｂ
三角形 四边形 五边形 六边形
１８０度 ３６０度 ５４０度 ７２０度
是 (1)
Ａ １００米 Ｂ 赛跑
甲
冠军
乙
亚军
丙
季军
丁
是
(4)
２
４
３
６
４
不是 (2)
平方
Ａ
Ｂ
０ －１ １
０ １ －１
是 .精品(5课) 件.
１
１
２
３
３
映射重要知识点总结
映射重要知识点总结一、映射的定义1.1 映射的概念映射是一种将一个集合中的元素对应到另一个集合中的元素的规则。
具体来说，如果从集合A到集合B的每个元素a都能找到集合B中的唯一元素b与之对应，那么我们就说存在从集合A到集合B的一个映射。
我们通常用f: A → B来表示这个映射，其中f表示映射的规则，A称为定义域，B称为值域，而对应的元素对(a, b)称为映射对。
1.2 映射的表示方式映射可以用图、公式、表格等形式来表示。
在图中，我们可以用箭头连接集合A和集合B 的元素，表示它们之间的对应关系；在公式中，我们可以用f(x) = y来表示映射的规则，其中x表示集合A中的元素，y表示集合B中的元素；在表格中，我们可以将集合A的元素和对应的集合B的元素按一定顺序排列，表示它们之间的对应关系。
1.3 映射的例子为了更好地理解映射的概念，我们可以举几个具体的例子。
比如说，将一个学生的学号与他的成绩对应起来，就是一个映射；将一个人的身高与体重对应起来，也是一个映射；将一个城市的名称与它的人口数量对应起来，同样也是一个映射。
二、映射的性质2.1 单射、满射和双射在研究映射的性质时，我们通常关注三个重要的性质，即单射、满射和双射。
- 单射：如果一个映射f: A → B满足对任意的x1, x2∈A，只要x1≠x2就有f(x1)≠f(x2)，那么我们就说这个映射是单射。
单射也可以表述为：对于集合A中的任意两个不同的元素，它们在集合B中的像也是不同的。
- 满射：如果一个映射f: A → B满足对于集合B中的任意元素y，都能在集合A中找到一个元素x与之对应，那么我们就说这个映射是满射。
- 双射：如果一个映射既是单射又是满射，那么我们就说这个映射是双射。
2.2 映射的复合在实际问题中，有时我们会遇到多个映射的复合。
设有两个映射f: A → B和g: B → C，我们可以定义它们的复合映射g∘f: A → C为：对于A中的任意元素x，它在C中对应的像为(g∘f)(x) = g(f(x))。
映射的概念分析
映射的概念分析映射是数学中的一个重要概念，它描述了一个集合中的每个元素与另一个集合中的元素之间的对应关系。
在数学中，我们可以将映射理解为函数，其中一个集合是定义域，另一个集合是值域。
映射可以用于描述数学模型、图论、集合论等各种数学领域中的概念与关系。
映射有很多种形式，可以分为单射、满射和双射三种类型。
首先，单射是指一个集合中的不同元素在映射的结果中有不同的映射元素。
换句话说，映射的结果中不存在重复的映射元素。
对于集合A到集合B的映射f：A →B，如果对于集合A中的任意两个不同的元素a1和a2，有f(a1)≠f(a2)，那么这个映射就是单射。
可以通过绘制函数图像来判断一个映射是否为单射，如果函数的图像没有任何两点在同一水平线上，那么这个函数是单射。
其次，满射是指映射的结果包含了值域中的每一个元素。
也就是说，对于集合A 到集合B的映射f：A→B，如果对于集合B中的任意一个元素b，存在集合A 中的元素a，使得f(a)=b，那么这个映射就是满射。
可以通过在值域上滑动水平线来判断一个映射是否为满射，如果水平线与函数的图像相交于每个y值上至少一个点，那么这个函数就是满射。
最后，双射是指一个集合中的每个元素与另一个集合中的元素存在唯一的对应关系。
也就是说，对于集合A到集合B的映射f：A→B，既是单射又是满射，那么这个映射就是双射。
可以通过绘制函数的图像并判断是否为一一映射来判断一个映射是否为双射。
映射还有一些衍生的概念。
首先是像、原像和逆映射。
对于映射f：A→B，如果b是集合B中的一个元素，a是集合A中满足f(a)=b的元素，那么b是元素a的像，元素a是元素b的原像。
逆映射是指如果映射f：A→B是双射，那么可以构造一个逆映射f^(-1)：B →A，满足f^(-1)(f(x))=x和f(f^(-1)(y))=y。
其次是复合映射。
如果映射f：A→B和映射g：B→C都存在，那么可以定义一个复合映射h：A→C，使得h(x)=g(f(x))。
高一必修一数学映射知识点
高一必修一数学映射知识点数学作为一门重要的学科，拥有丰富而精彩的内容。
在高中数学学习中，映射是一个非常重要的知识点。
映射是一种将一个集合中的元素对应到另一个集合中的方法。
本文将从映射的定义、映射的性质和应用等方面进行探讨。
首先，我们来看映射的定义。
映射可以简单理解为一个输入与输出之间的对应关系。
设A和B是两个非空集合，如果对于集合A中的每一个元素a，都有唯一确定的集合B中的元素b与之对应，那么我们就称这样的对应关系为映射。
通常用符号f表示映射，表示为：f：A→B，其中A为定义域，B为值域。
在学习映射的过程中，我们需要了解映射的一些重要性质。
映射的重要性质有两个，分别是单射性和满射性。
单射性指的是映射中每个元素在值域中都有唯一对应的元素。
换句话说，映射中不会存在两个不同的元素映射到值域中的同一个元素。
满射性则是指映射中的每个元素都至少有一个对应的元素在值域中。
也就是说，值域中的每个元素都有被映射到的元素。
而如果一个映射既满足单射性又满足满射性，我们就称之为双射。
双射是映射中最为理想的情况。
映射作为一个重要的数学工具，在生活中也有着广泛的应用。
一个常见的应用是数学模型中的映射。
数学模型是用来描述真实世界的数学方法。
映射在数学模型中经常被用来描述不同变量之间的关系。
例如，在人口增长模型中，我们可以定义一个映射，将时间作为输入，将人口数量作为输出。
通过这个映射，我们可以研究人口随时间变化的规律。
另一个应用是密码学中的映射。
密码学是保护信息安全的学科，映射在密码学中被广泛使用来进行加密和解密操作，保障信息的安全性。
除了上述应用之外，映射还有着其他一些特殊的类型。
比如说，我们可以将一个集合映射到它自身，这种映射称为恒等映射。
恒等映射保持集合中元素的原有顺序和对应关系。
又比如，有些映射满足交换律，即改变映射中元素的顺序不会改变映射的结果，这种映射称为交换映射。
交换映射在很多数学理论中都有着重要的地位。
综上所述，映射是高一数学必修一课程中的重要知识点。
现代应用数学基础第1章
反对称性 若 x y 且 y x ，则 x y ,
为序
则称“ ”为X上的一个半序(偏序)，称 ( X , ) 若半序“ ”还满足序公理
空间，称赋予了半序的集合X为半序集(偏序集)．
(4) 全序性 x, y X , x y 与 y x 必居其一, ”为全序，称 ( X , ) 为全序空间，称赋予 则称“ 了全序的集合X为全序集．半序集和全序集统称有
定义1.2.2 设映射 f : X Y．
1. 若 x1 , x2 X , x1 x2 ，有 f ( x1 ) f ( x2 ) ，则
称f 为单射；
2. 若y Y , x X 满射； ，使 f ( x) y ，则称f 为
3. 若f 既是单射又是满射，则称f 为双射（一对一 映射）．此时 y Y ，都存在唯一确定的 x X ， 使 y f ( x) ，称这一映射为f 的逆映射，记为 f 1 ． 如： 恒等映射（单位映射） I : x X , I ( x) x
iI
c
Ai
iI
A
c i
iI
c
Ai
iI
Aic
1.1.3 集合序列的极限
单调的集合序列
Xn
递增的 A1 A2 递减的 A 1 A 2
An
An
如：对于任意给定的一个集合序列 {An } n 1 ，令
Ak
k n
Yn
Ak
k n
于集合B的势，记为 | A || B |． 定理1.4.1(Bernstein) 设A和B是两个集合，若存在 单射 f : A B 和单射 g : B A ，则存在双射 h : A B .
1.2映射及其运算
1.2 映射及其运算1.2.1 特殊映射定义1.7 设σ是集合A 到A 的映射，若对A 中任意元素a 均有a a =)(σ，则称σ是集合A 上的恒等映射，记作A I =σ定义1.8 设B A →:σ，若ran B =)(σ，则称σ为从B A 到的满映射． 若由2121,,a a A a A a ≠∈∈，就推出)()(21a a σσ≠则称σ为从A 到B 的单映射．若σ既是单映射，又是满映射，则称σ是A 到B 的双射(或一一映射)．例如，(1) σ:Z →Z n n 2)(=σ就是Z →Z 的单映射．(2)若R 表示实数集合,B 表示非负实数集合,则2)(a a =σ就是R 到B 的满映射．(3)若R +表示正实数集合,R 表示实数集合,则x x lg )(=σ就是R +→R 的一一映射．1.2.2 映射的合成如果B A →:σ，C B →:τ，那么连续执行τσ与的映射，它的总效果就是把集合Ａ中元素a 变成集合Ｃ中元素c ，这就构成了从Ａ到Ｃ的映射．记作στ （或称为στ与的乘积，简记为τσ），其具体规定如下：στ ())()(a a στ=例如，若{}{}{}32121321,,,,,,,c c c C b b B a a a A ===3221232211)(,)(,)(,)(,)(c b c b b a b a b a =====ττσσσ则 ()()()2111))((c b a a ===τσττσ()()()3222))((c b a a ===τσττσ()()()3233))((c b a a ===τσττσ如果集合A,B,C 都是数的集合,那么B A →:σ，C B →:τ就都是函数,而τσ就是复合函数．例如，当Ａ＝Ｂ＝Ｃ＝Ｒ为实数集合时，x e x x x ==)(,)(2τσ则2)(x e x =τσ就是复合函数．如果B A →:σ，若存在一个映射A B →:τ使得 B A I I ==σττσ,则称σ是可逆映射，στ是的逆映射，记为1-=στ．显然映射σ是可逆映射的充分必要条件是：B A →是σ的一一映射，且逆映射是惟一的．例如，若{}{}321321,,,,,b b b B a a a A ==332211)()()(b a b a b a ===σσσ 则 331221111)()()(a b a b a b ===---σσσ1.2.3 置 换如果Ａ是有限集合，σ是A 到A 的映射，则称σ为A 上变换．当σ是A 到A 的双射时，则称σ是Ａ上的置换．特别是当{}n A ,,2,1 =时，则Ａ上的置换可写为 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=)()2(2)1(1n n σσσσ 这里)1(σ，)2(σ，…，)(n σ是n 个数码1，2，…，n 的一个排列．n 个数码的置换在伽罗瓦理论中起重要作用，这里我们简单介绍相关定理．当Ａ＝｛1,2,3｝时,则A 上共有3!=6个置换,它们是 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=331221233211332211321σσσ ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=132231231231133221654σσσ两个置换的合成可见下例：⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=23123123321113223126 σσ实际上这里 223,132,311→→→→→→ 每一个置换⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛)()2(2)1(1n n σσσ 都有惟一的逆置换⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n n )(2)2(1)1(σσσ 例如⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-13322132211315σ 显然n 个数码的所有置换之间有乘法运算，且每一个置换都有逆置换，因而它们构成一个置换群（群的概念可见于任何一本近世代数书）若置换⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=)()2(2)1(1n n σσσσ 中排列)1(σ，)2(σ，…，)(n σ是奇排列，则称σ为奇置换；若是偶排列，则称σ为偶置换．定义１.9 若σ是n 个数码的一个置换，r a a a ,,,21 是１,2,…，n 中的r 个数码，如果,)(,)(,,)(,)(113221a a a a a a a a r r r ====-σσσσ而对其他数码i a a ≠有,)(a a =σ则称σ是长为r 的轮换，记为)(2113221r r a a a a a a a a a =⎪⎪⎭⎫⎝⎛=σ显然有)()(13221a a a a a a a r r ==…这里r a a a 21称为轮换σ可搬动元素.如果两个轮换σ与τ设有共同可搬动元素,则称σ与τ为不相交的轮换．定理1.3 每一个置换均可写成若干个不相交轮换的乘积．例如)5,4)(,321(4554133221=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=σ 实际上任意一置换⎪⎪⎭⎫⎝⎛=)2121n i n i i σ这里至少有一个1=k i ，则从１一直变到k 就是一个轮换，然后再从第２个元素开始（第一个轮换未搬动元素）又得一轮换，…（证明略．）只有两个数码的轮换称为对换．例如（i j ）对于每一个轮换 ))()()(()(213111121a a a a a a a a a a a r r r -=所以有如下重要结论．任意一个置换都等于若干个对换的乘积．由于=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛)()2121j ia n a a j i a a n j i⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛)2121n j i a n a a j i a a 所以，一个置换乘一个对换便改变了置换的奇偶性．定理1.4 奇置换只能分解成奇数个对换的乘积，偶置换只能分解成偶数个对换的乘积． 因为对换()()=j ij i ,恒等置换所以，若 ))(())((112211k k k k j i j i j i j i --= σ为偶数个对换的乘积，则σ的右边依次乘 )(,),(),(1111j i j i j i k k k k --得恒等置换；而恒等置换为偶置换，所以σ乘偶数个对换变为偶置换，即偶数个对换的乘积是偶置换．n 个数码的有置换共有n ！个，它们之间有乘法运算，因而构成群，称之为置换群，用n S 表示．所有偶置换集合也构成群，用n A 表示．1.2.4 有限集合与无限集合前面已经讲过有限集合，下面我们给出有限集合的严格定义．定义1.10 如果两个集合Ａ与Ｂ之间存在一个一一映射，则称这两个集合是等价的，并称它们具有相同的势．对于自然数集合Ｎ的一部分集合｛1,2,…,n ｝我们称之为自然数的一个片断，用n ,1表示．定义1.11 与自然数的一个片断n ,1等价的集合Ａ称为有限集合，其中集合Ａ的势为n ，或者说Ａ有n 个元素．空集也称为有限集合，它的势为０．由于集合的等价具有传递性，所以所有与有限集合等价的集合都是有限集，否则为无限集合．定理1.5 有限集合不能与其真子集合等价．证明 对于空集Ａ,A 没有真子集，所以命题正确；若Ａ与1,1等价，即Ａ只有一个元素，则Ａ只有一个真子集合——空集，Ａ不能与空集等价．下面我们对自然数n 实行归纳证明．若集合Ａ与自然数片断1,1+n 等价，且Ａ与其真子集合Ｂ等价．设{}121,,,,+=n n a a a a A ，不妨设B a n ∈+1（Ｂ是非空集合），因为若B a n ∉+1，则可将Ｂ中任意元素b 去掉，代入1+n a 即得新集合B '，Ｂ与B '等价，且B '是Ａ的子集合()A b B b ∈'∉,，所以Ａ与B '等价．另一方面，若f 是Ａ→Ｂ的一一映射，不妨假定11)(++=n n a a f ；否则，若i n n j a a f a a f ==++)(,)(11，只要令新的映射i j n n a a f a a f ='='++)(,)(11f '对其余元素的映射与f 一致即可．这时新的映射f '满足11)(++=n n a a f ．这样一来1+-n a A 是一个与n ,1等价的集合，它与1+-n a B这个真子集合等价，显然与归纳假设矛盾．由上述定理，显然可得如下推论，我们不加证明．推论１ 有限集合的子集合是有限集合．推论２ 若Ａ是无限集合，B A ⊂，则Ｂ是无限集合．推论３ 若集合Ａ与其真子集合等价，则Ａ是无限集合．康脱把上述推论当成无限集合的定义：若σ：Ｎ→Ｎ1)(+=n n σ则σ是自然数集合Ｎ到其真子集合｛2,3,…,n ,…｝的一一映射，所以自然数集合是无限集合．我们把与自然数集合等价的集合称为可数集合．下面给出无限集合的两个定理．定理1.6 任意无限集合都含有一个可数集合．证明 设Ｍ是无限集合，因为φ≠M ，从中任取一个元素1a ，若Ｍ中已取n 个不同元素n a a a ,,,21 ，则{}φ≠-n a a a M ,,,21所以Ｍ中存在一元素1+n a ，它不同于n a a a ,,,21依次类推，显然可选出一个集合,,,,21n a a a它是Ｍ的子集，且是可数集合．最后我们给出一个定理．定理1.7 每一个无限集合Ｍ都与其真子集合等价．证明 由前述Ｍ含有一个可数集合},,,,{21 n a a a A =令Ｂ＝Ｍ－Ａ 我们定义Ｍ到Ｍ的映射σ为),2,1()(1 ==+i a a f i i B b b b f ∈∀=对)(显然f 是M 到其真子集1a M -的一一映射，即Ｍ与其子集合等价．上述定理实际是无限集合的另一个定义，即能与真子集等价的集合是无限集合，不能与真其子集等价的集合是有限集合．上述定理说明所有无限集合都会有一个可数子集合，那么是不是所有无限集合彼此都是等价的呢？下面的例子说明实际上不是这样的．区间［０,1］中的所有实数集合与可数集合不是等价的．我们知道所有有理数（或有限小数）都有两种写法：第一种写法为０.n a a a ,,,21 ，第二种写法为０.b a a a n 121,,,- ９９９…，其中1-=n a b ,而b 后面全为９．我们不要第二种写法．如果［0,1］区间的实数是可数的，则它可排为1312111.0a a a c =2322212.0a a a c =321.0n n n n a a a c =现在我们用下面方法作一个数0. 321b b b取数码.9,0,;92≠≠≠≠n n nn n b b a b b 这些i b 是可取的（实际上它有7个数可供选择），该小数0. 321b b b 显然与所有),,,2,1( n i c i =都不相同，这说明0. 321b b b 并没有被排进去，所以[0，1]区间的实数集合与可数集合是不可能等价的．用普通语言讲，[0，1]中的元素个数比自然数集合Ｎ的元素个数多．通常称[0，1]中的实数为具有连续统的势c ．练习1.21.若有限集合A 和B 有B A >，则一定存在A 到B 的单射和满射吗？2.求出（0，1）到（-∞，∞）的一一映射．,0,;9;0,222211111≠≠≠≠≠b a b b b a b。
第3讲 映射的定义和性质
• Def 任意给定两个集合A和B, 若存在对应法 则f, 使得对于任意 xA, 均存在唯一的yB 与它对应, 则称f是集合A到B的映射, 或称其 为A到B的函数, 记为 f : A B
f
y
A
x
B
• 为何讨论映射? • 集合之间的对应关系.
• 其他理解方式:
x
f
y
• 映射的两个特点:
– (1)全函数. – (2)唯一性.
• 注意区别函数 f 与 f(x). • y = f(x)?
• 函数符号的选取:
– f, g,…, – F,G,…,
– ,,…,
– sin, exp, main, – add, average, hanoi, delete_string, …
离散数学
第3讲 映射的定义和性质
第1章 集合、映射与运算
1.2 映射的有关概念
本讲内容
1
映射的定义
2
映射的性质
1.2 映射的有关概念
• 1. 映射的定义 • 映射(mapping) = 函数(function).
• y = f(x) = x2 , ceiling function x , floor function x , …
• 例1-8
f :ZN
Z :...,3,2,1,0,1,2,3,...
N : 0,1,2,3,4,5,6,...
• 例1-9
f : (0,1) R
x tan x 1 π. 2
O
1
• Def 1-11 有限集合A上自身的双射称为A上 的置换(permutation).
A
A
• 例1-10
数学分析 第一章 集合与映射
引例3.
向 y 轴投影
(点集) (点集)
定义1.2.1 设 X , Y 是两个非空集合, 若存在一个对应规
则 f , 使得
有唯一确定的
与之对应 , 则
称 f 为从 X 到 Y 的映射, 记作 f : X Y x y f (x)
X
f
Y
元素 y 称为元素 x 在映射 f 下的 像 , 记作 y f (x).
元素 x 称为元素 y 在映射 f 下的 逆像（也称为原像）. 集合 X 称为映射 f 的定义域 ，记为Df=X; Y 的子集
f (X ) f (x) x X 称为 f 的 值域 ,记为Rf 。
注意: 1) 映射的三要素— 定义域 , 对应规则 , 值域 . 2) 元素 x 的像 y 是唯一的, 但 y 的原像不一定唯一 .
有理数集
Q
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
q p
q Z, p N, p 与 q 互质
实数集合 R x x 为有理数或无理数
正实数集 R x x R, 且 x 0
特殊集合 x x R 且 x2 1 0
开区间 闭区间 半开区间 无限区间
点的 邻域
数学分析中常用 的实数集
a
(
a
a
)
去心 邻域
其中, a 称为邻域中心 , 称为邻域半径 .
pN+, qN+,q≤p, q，p互质。我们按以下方式排列这
些有理数。见P8.
作业：p10 2(2),5
5 .笛卡尔( Descartes )乘积集合
设A与B是两个集合，在集合A中任取一个元素x， 在集合B中任取一个元素y，组成一个有序对 (x,y)。
把这样的有序对 (x,y)作为新的元素，它们全体组成
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例1:以下给出的对应是不是从集合A到集合B的映射，哪些是一一映射？
（1）A={P|P是数轴上的点}，B=R，对应关系 ：数轴上的点与它所代表的实数对应；
（2）A={三角形}，B={圆}，对应关系 ：每一个三角形都对应它的内切圆；
（3）A={P|P是平面直角体系中的点}， ；对应关系 ：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；
2、下列对应是否是集合A到集合B的映射
（1） ，对应法则是“乘以2”；
（2）A=R*，B=R，对应法则是“求算术平方根”；
（3） R，对应法则是“求倒数”.
【归纳小结】①映射的对应情况有、，一对多是映射吗？
②函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，即映射.
鸡西市第十九中学学案
2014年（）月（）日班级姓名
映射
目标
了解映射的概念。
重难
了解映射的概念。
举例初中已经学习过的一些对应，或者日常生活中的一些对应实例：
①对于任何一个，数轴上都有唯一的点P和它对应；
②对于坐标平面内任何一个点A，都有唯一的和它对应；
③对于任意一个三角形，都有唯一确定的面积和它对应；
④某影院的某场电影的每一张电影票有唯一确定的座位与它对应.
思考：函数存在怎样的对应？其对应有何特点？
②像以上问题中的对应我们称为映射,结合函数的定义，请给出映射的定与之对应。
③“都有唯一”是什么意思？举例日常生活中的映射实例？
④函数与映射有什么关系？
【当堂训练】
1.在映射 中， ，且 ，则与A中的元素 对应的B中的元素为（）.
A. B. C. D.
2.下列对应 ：①
② ③
不是从集合A到B映射的有（）.
A.①②③B.①②C.②③D.①③
3.已知 ，则 =（）
A. 0 B. C. D.无法求
4.点(x,y)在映射f作用下的对应点是 ,若点A在f作用下的对应点是B(2,0),则点A坐标是．
（4）A={高一学生}，B= {高一班级}，对应关系 ：每一个班级都对应班里的学生．
变式1、将（3）中的对应关系 改为：每一个圆都对应它的内接三角形；（4）中的对应关系 改为：每一个学生都对应他的班级，那么对应 ：B→A是从集合B到集合A的映射吗？
变式2、图(1),(2),(3),(4)用箭头所标明的A中元素与B中元素的对应法则,是不是映射？