利用导数研究函数的单调性之二阶求导型

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第21讲利用导数研究函数的单调性(解析版)

第21讲利用导数研究函数的单调性【基础知识回顾】1. 利用导数研究函数的单调性在某个区间(a ，b)内，如果f′(x)≥0且在(a ，b)的任意子区间上不恒为0，那么函数y ＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)≤0且在(a ，b)的任意子区间上不恒为0，那么函数y ＝f(x)在这个区间内单调递减．2. 判定函数单调性的一般步骤 (1)确定函数y ＝f(x)的定义域； (2)求导数f′(x)；(3)在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)>0或f′(x)<0； (4)根据(3)的结果确定函数的单调区间． 3. 已知函数单调性求参数的值或参数的范围 (1)函数y ＝f(x)在区间(a ，b)上单调递增，可转化为f ′(x)≥0在(a ，b)上恒成立，且在(a ，b)的任意子区间上不恒为_0；也可转化为(a ，b)⊆增区间．函数y ＝f(x)在区间(a ，b)上单调递减，可转化为f′(x)≤0在(a ，b)上恒成立，且在(a ，b)的任意子区间上不恒为_0；也可转化为(a ，b)⊆减区间．(2)函数y ＝f(x)的增区间是(a ，b)，可转化为(a ，b)＝增区间，也可转化为f′(x)＞0的解集是(a ，b)；函数y ＝f(x)的减区间是(a ，b)，可转化为(a ，b)＝减区间，也可转化为a ，b 是f′(x)＝0的两根．1、.函数f (x )＝3＋x ln x 的单调递减区间是( ) A.⎝⎛⎭⎫1e ，e B.⎝⎛⎭⎫0，1e C.⎝⎛⎭⎫－∞，1eD.⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞【答案】 B【解析】因为函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝ln x ＋x ·1x ＝ln x ＋1，令f ′(x )＜0，解得0＜x ＜1e，故f (x )的单调递减区间是⎝⎛⎭⎫0，1e . 2、函数f(x)＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的图像如图，则函数y ＝ax 2＋32bx ＋c3的单调递增区间是( )第2题图A . (－∞，－2]B . ⎣⎡⎭⎫12，＋∞ C . [)－2，3 D . ⎣⎡⎭⎫98，＋∞【答案】D【解析】由题图可知d ＝0. 不妨取a ＝1，∵f(x)＝x 3＋bx 2＋cx ，∴f ′(x)＝3x 2＋2bx ＋c. 由图可知f′(－2)＝0，f ′(3)＝0，∴12－4b ＋c ＝0，27＋6b ＋c ＝0，∴b ＝－32，c ＝－18. ∴y ＝x 2－94x －6，y ′＝2x －94. 当x ＞98时，y ′＞0，∴y ＝x 2－94x －6的单调递增区间为[98，＋∞).故选D .3、函数f (x )＝ln x －ax (a >0)的单调递增区间为( ) A.⎝⎛⎭⎫0，1a B.⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞ C.⎝⎛⎭⎫－∞，1a D ．(－∞，a )【答案】A【解析】由f ′(x )＝1x －a >0，x >0，得0<x <1a .∴f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫0，1a . 4、若函数f (x )＝x 2－e x －ax 在R 上存在单调递增区间，则实数a 的取值范围是________. 【答案】 (－∞，2ln 2－2)【解析】 ∵函数f (x )＝x 2－e x －ax 在R 上存在单调递增区间，∴f ′(x )＝2x －e x －a ＞0，即a ＜2x －e x 有解.设g (x )＝2x －e x ，则g ′(x )＝2－e x ，令g ′(x )＝0，得x ＝ln 2，则当x ＜ln 2时，g ′(x )＞0，g (x )单调递增，当x ＞ln 2时，g ′(x )＜0，g (x )单调递减，∴当x ＝ln 2时，g (x )取得极大值也是最大值，且g (x )max ＝g (ln 2)＝2ln 2－2，∴a ＜2ln 2－2.考向一求函数的单调区间例1、求下列函数的单调区间：(1)f(x)＝x 3－12x 2－2x ＋3；(2)g(x)＝x 2－2ln x.【解析】 (1)∵f′(x)＝3x 2－x －2＝(3x ＋2)(x －1)，定义域为R ，∴当f ′(x )>0时，x ∈⎝⎛⎭⎫－∞，－23∪(1，＋∞)；当f ′(x )＜0时，x ∈⎝⎛⎭⎫－23，1. ∴函数的单调增区间为⎝⎛⎭⎫－∞，－23和(1，＋∞)，单调减区间为⎝⎛⎭⎫－23，1. (2)g ′(x )＝2x －2x ＝2（x ＋1）（x －1）x，定义域为(0，＋∞)，令g ′(x )＝0，解得：x ＝1或x ＝－1(舍去)，列表：x (0，1) 1 (1，＋∞) g ′(x ) － 0＋ g (x ) 减极小值增变式1、（1）下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是( ) A.f (x )＝sin 2x B.f (x )＝x e x C.f (x )＝x 3－xD.f (x )＝－x ＋ln x【答案】 B【解析】由于x ＞0，对于A ，f ′(x )＝2cos 2x ，f ′⎝⎛⎭⎫π3＝－1＜0，不符合题意；对于B ，f ′(x )＝(x ＋1)e x ＞0，符合题意；对于C ，f ′(x )＝3x 2－1，f ′⎝⎛⎭⎫13＝－23＜0，不符合题意；对于D ，f ′(x )＝－1＋1x ，f ′(2)＝－12＜0，不符合题意.(2)函数f (x )＝2x 2－ln x 的单调递减区间是( ) A.⎝⎛⎭⎫－12，12 B.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ C.⎝⎛⎭⎫0，12 D.⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 【答案】 C【解析】 ∵函数f (x )＝2x 2－ln x ，∴f ′(x )＝4x －1x ＝4x 2－1x＝4⎝⎛⎭⎫x －12⎝⎛⎭⎫x ＋12x.由f ′(x )＜0，解得0＜x ＜12，∴函数的单调递减区间是⎝⎛⎭⎫0，12. （3）.已知定义在区间(－π，π)上的函数f (x )＝x sin x ＋cos x ，则f (x )的递增区间是________. 【答案】 ⎝⎛⎭⎫－π，－π2和⎝⎛⎭⎫0，π2 【解析】 f ′(x )＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x . 令f ′(x )＝x cos x >0，则其在区间(－π，π)上的解集为⎝⎛⎭⎫－π，－π2∪⎝⎛⎭⎫0，π2，即f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－π，－π2和⎝⎛⎭⎫0，π2.变式2、（1）函数f(x)＝x 3－15x 2－33x ＋6的单调减区间为__ __．（2）函数f(x)＝1＋x －sin x 在(0，2π)上的单调情况是__ __．（3）已知a<0，函数f(x)＝x 3＋ax 2－a 2x ＋2的单调递减区间是__ ．【解析】（1）由f(x)＝x 3－15x 2－33x ＋6得f ′(x)＝3x 2－30x －33，令f′(x)<0，即3(x －11)(x ＋1)＜0，解得－1<x<11，∴函数f(x)的单调减区间为(－1，11)．（2） f′(x)＝1－cos x>0在(0，2π)上恒成立，∴f(x)单调递增．（3）f′(x)＝3x 2＋2ax －a 2＝(3x －a)(x ＋a)，令f′(x)<0，得a3<x<－a ，∴减区间为⎝⎛⎭⎫a3，－a . 方法总结：1. 利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤为：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导函数f ′(x)；(3)在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)＞0和f′(x)<0；(4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间． 2. 利用导数求函数单调性，在对函数求导以后要对导函数进行整理并因式分解，方便后面求根和判断导函数的符号．考向二给定区间求参数的范围例2、设函数()32132a f x x x bx c =-++，曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为1y =. (1)求,bc 的值；(2)若0a >，求函数()f x 的单调区间；(3)设函数()()2g x f x x =+，且()g x 在区间(2,1)--内存在单调递减区间，求实数a 的取值范围．【解析】：(1)f ′(x )＝x 2－ax ＋b ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ f 0＝1，f ′0＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，b ＝0.(2)由(1)得，f ′(x )＝x 2－ax ＝x (x －a )(a >0)，当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )>0；当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0；当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0. 所以函数f (x )的单调递增区间为(－∞，0)，(a ，＋∞)，单调递减区间为(0，a )． (3)g ′(x )＝x 2－ax ＋2，依题意，存在x ∈(－2，－1)，使不等式g ′(x )＝x 2－ax ＋2<0成立，即x ∈(－2，－1)时，a <(x ＋2x )max ＝－22，当且仅当x ＝2x 即x ＝－2时等号成立．所以满足要求的a 的取值范围是(－∞，－22)．变式1、已知g (x )＝2x ＋ln x －ax .(1)若函数g (x )在区间[1，2]内单调递增，求实数a 的取值范围； (2)若g (x )在区间[1，2]上存在单调递增区间，求实数a 的取值范围.【解析】(1)g (x )＝2x ＋ln x －ax (x >0)，g ′(x )＝2＋1x ＋ax2(x >0).∵函数g (x )在[1，2]上单调递增， ∴g ′(x )≥0在[1，2]上恒成立，即2＋1x ＋ax 2≥0在[1，2]上恒成立，∴a ≥－2x 2－x 在[1，2]上恒成立， ∴a ≥(－2x 2－x )max ，x ∈[1，2]. 在[1，2]上，(－2x 2－x )max ＝－3，所以a ≥－3.∴实数a 的取值范围是[－3，＋∞). (2)g (x )在[1，2]上存在单调递增区间，则g ′(x )＞0在[1，2]上有解，即a ＞－2x 2－x 在[1，2]上有解， ∴a ＞(－2x 2－x )min ，又(－2x 2－x )min ＝－10，∴a ＞－10.变式2、若函数f (x )＝x －13sin 2x ＋a sin x 在(－∞，＋∞)上单调递增，则a 的取值范围是( )A.[－1，1]B.⎣⎡⎦⎤－1，13C.⎣⎡⎦⎤－13，13D.⎣⎡⎦⎤－1，－13 【答案】 C【解析】 ∵f (x )＝x －13sin 2x ＋a sin x ，∴f ′(x )＝1－23cos 2x ＋a cos x ＝－43cos 2x ＋a cos x ＋53.由f (x )在R 上单调递增，则f ′(x )≥0在R 上恒成立. 令t ＝cos x ，t ∈[－1，1]，则－43t 2＋at ＋53≥0，在t ∈[－1，1]上恒成立.∴4t 2－3at －5≤0在t ∈[－1，1]上恒成立. 令g (t )＝4t 2－3at －5，则⎩⎪⎨⎪⎧g （1）＝－3a －1≤0，g （－1）＝3a －1≤0.解之得－13≤a ≤13方法总结： 1.明晰导数概念及其几何意义在解题中的应用，强化方程的思想，培养基本运算能力．2. 辨析区间上单调和区间上存在单调区间的本质区别和处理策略的不同，提升参变分离和构造函数等解决问题的方法和技巧，感悟数学解题背后的思维和内涵．考向三函数单调区间的讨论例3、已知函数．当时，讨论的单调性；【解析】函数的定义域为.，因为，所以， ①当，即时，由得或，由得，所以在，上是增函数，在上是减函数； ②当，即时，所以在上是增函数；③当，即时，由得或，由得，所以在，.上是增函数，在.上是减函综上可知：当时在，上是单调递增，在上是单调递减；当时，在.上是单调递增；当时在，上是单调递增，在上是单调递减. 变式1、讨论下列函数的单调性． (1)f (x )＝x －a ln x ； (2)g (x )＝13x 3＋ax 2－3a 2x .【解析】 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝1－a x ＝x －ax ，令f ′(x )＝0，得x ＝a ，①当a ≤0时，f ′(x )>0在(0，＋∞)上恒成立， ∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增． ②当a >0时，x ∈(0，a )时，f ′(x )<0，()()11ln f x x m x m R x x ⎛⎫=+-+∈ ⎪⎝⎭1m ()f x ()f x (0,)+∞'21()1m m f x x x -=+-2221(1)[(1)]x mx m x x m x x -+----==1m 10m ->011m <-<12m <<()0f x '>1x >1x m <-()0f x '<11m x -<<()f x ()0,1m -()1,+∞()1,1m -11m -=2m =()0f x '≥()f x ()0,∞+11m ->2m >()0f x '>1x m >-1x <()0f x '<11x m <<-()f x ()0,1()1,m -+∞()1,1m -12m <<()f x ()0,1m -()1,+∞()1,1m -2m =()f x ()0,∞+2m >()f x ()0,1()1,m -+∞()1,1m -x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，∴f (x )在(0，a )上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增．综上，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，当a >0时，f (x )在(0，a )上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增． (2)g (x )的定义域为R ，g ′(x )＝x 2＋2ax －3a 2＝(x ＋3a )(x －a )，当a ＝0时，g ′(x )≥0， ∴g (x )在R 上单调递增．当a >0时，x ∈(－∞，－3a )∪(a ，＋∞)时，g ′(x )>0，g (x )单调递增， x ∈(－3a ，a )时，g ′(x )<0，g (x )单调递减．当a <0时，x ∈(－∞，a )∪(－3a ，＋∞)时，g ′(x )>0，g (x )单调递增， x ∈(a ，－3a )时，g ′(x )<0，g (x )单调递减，综上有a ＝0时，g (x )在R 上单调递增；a <0时，g (x )在(－∞，a )，(－3a ，＋∞)上单调递增，在(a ，－3a )上单调递减； a >0时，g (x )在(－∞，－3a )，(a ，＋∞)上单调递增，在(－3a ，a )上单调递减．变式2、已知函数f (x )＝x －2x ＋a (2－ln x )，a >0.讨论f (x )的单调性．【解析】由题知，f (x )的定义域是(0，＋∞)， f ′(x )＝1＋2x 2－a x ＝x 2－ax ＋2x 2，设g (x )＝x 2－ax ＋2， g (x )＝0的判别式Δ＝a 2－8.①当Δ<0，即0<a <22时，对一切x >0都有f ′(x )>0.此时f (x )在(0，＋∞)上单调递增． ②当Δ＝0，即a ＝22时，仅对x ＝2，有f ′(x )＝0，对其余的x >0都有f ′(x )>0. 此时f (x )在(0，＋∞)上单调递增．③当Δ>0，即a >22时，方程g (x )＝0有两个不同的实根， x 1＝a －a 2－82，x 2＝a ＋a 2－82，0<x 1<x 2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (0，x 1) x 1 (x 1，x 2) x 2 (x 2，＋∞)f ′(x )＋－＋f (x )单调递增极大值单调递减极小值单调递增此时f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a －a 2－82上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 2－82，a ＋a 2－82上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a 2－82，＋∞上单调递增．方法总结：对含参函数的合理分类，关键是找到引起分类讨论的原因．2. 会对函数进行准确求导，求导以后进行整理并因式分解，其中能否因式分解、每个因式系数的正负、根的大小等都是引起分类讨论的原因．考向四构造函数研究单调性例4、(1)设函数f (x )在R 上的导函数为f ′(x )，且2f (x )＋xf ′(x )>x 2，则下列不等式在R 上恒成立的是( )A ．f (x )>0B ．f (x )<0C ．f (x )>xD ．f (x )<x(2)已知定义域为{x |x ≠0}的偶函数f (x )，其导函数为f ′(x )，对任意正实数x 满足xf ′(x )>－2f (x )，若g (x )＝x 2f (x )，则不等式g (x )<g (1)的解集是( )A ．(－∞，1)B ．(－1,1)C ．(－∞，0)∪(0,1)D ．(－1,0)∪(0,1)【答案】 (1)A (2)D【解析】(1)法一：令g (x )＝x 2f (x )－14x 4，则g ′(x )＝2xf (x )＋x 2f ′(x )－x 3＝x [2f (x )＋xf ′(x )－x 2]，当x >0时，g ′(x )>0，∴g (x )>g (0)，即x 2f (x )－14x 4>0，从而f (x )>14x 2>0；当x <0时，g ′(x )<0，∴g (x )>g (0)，即x 2f (x )－14x 4>0，从而f (x )>14x 2>0；当x ＝0时，由题意可得2f (0)>0，∴f (0)>0. 综上可知，f (x )>0.法二：∵2f (x )＋xf ′(x )>x 2，∴令x ＝0，则f (0)>0，故可排除B 、D ，不妨令f (x )＝x 2＋0.1，则已知条件2f (x )＋xf ′(x )>x 2成立，但f (x )>x 不一定成立，故C 也是错误的，故选A.(2)∵f (x )是定义域为{x |x ≠0}的偶函数， ∴f (－x )＝f (x )．对任意正实数x 满足xf ′(x )>－2f (x )， ∴xf ′(x )＋2f (x )>0. ∵g (x )＝x 2f (x )，∴g (x )也是偶函数，当x ∈(0，＋∞)时，g ′(x )＝2xf (x )＋x 2f ′(x )>0. ∵g (x )在(0，＋∞)上单调递增， ∴g (x )在(－∞，0)递减．若g (x )<g (1)，则|x |<1(x ≠0)，解得0<x <1或－1<x <0.故g (x )<g (1)的解集是(－1,0)∪(0,1)．变式1、已知定义在上的函数的导函数为，且，，则下列判断中正确的是( )A ．B ．C ．D ．【答案】CD 【解析】令，，则，因为，所以在上恒成立，因此函数在上单调递减，因此，即，即，故A 错；又，所以，所以在上恒成立， 0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭()f x ()f x '()00f =()cos ()sin 0f x x f x x '+<6624f f ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ln 03f π⎛⎫> ⎪⎝⎭363f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭243f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()cos f x g x x =0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭2()cos ()sin ()cos f x x f x x g x x '+'=()cos ()sin 0f x x f x x '+<2()cos ()sin ()0cos f x x f x x g x x '+'=<0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭()()cos f x g x x =0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭64g g ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭64cos cos64f f ππππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭>664f f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()00f =(0)(0)0cos0f g ==()()0cos f x g x x =≤0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭因为，所以，故B 错；又，所以，即，故C 正确；又，所以，即，故D 正确；故选：CD.变式2、设函数f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R )的导函数，f (－1)＝0，当x ＞0时，xf ′(x )－f (x )＜0，则使得f (x )＞0成立的x 的取值范围是________. 【答案】 (－∞，－1)∪(0，1)【解析】因为f (x )(x ∈R )为奇函数，f (－1)＝0，所以f (1)＝－f (－1)＝0. 当x ≠0时，令g (x )＝f （x ）x ，则g (x )为偶函数，g (1)＝g (－1)＝0. 则当x ＞0时，g ′(x )＝⎣⎡⎦⎤f （x ）x ′＝xf ′（x ）－f （x ）x 2＜0，故g (x )在(0，＋∞)上单减，在(－∞，0)上单增.所以在(0，＋∞)上，当0＜x ＜1时，g (x )＞g (1)＝0，得f （x ）x ＞0，所以f (x )＞0；在(－∞，0)上，当x ＜－1时，由g (x )＜g (－1)＝0，得f （x ）x＜0，所以f (x )＞0. 综上知，使得f (x )＞0成立的x 的取值范围是(－∞，－1)∪(0，1).变式3、设f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x ＜0时，f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )＞0，且g (－3)＝0，则不等式f (x )g (x )＜0的解集为________. 【答案】 (－∞，－3)∪(0，3) 【解析】 f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )＞0⇔ [f (x )g (x )]′＞0，所以函数y ＝f (x )g (x )在(－∞，0)上单调递增. 又由题意知函数y ＝f (x )g (x )为奇函数，所以其图象关于原点对称，且过点(－3，0)，(3，0).ln0,32ππ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭ln 03f π⎛⎫< ⎪⎝⎭63g g ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭63cos cos 63f f ππππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭>363f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭43g g ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭43cos cos43f f ππππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭>243f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭数形结合可求得不等式f (x )g (x )＜0的解集为(－∞，－3)∪(0，3).方法总结：(1)对于不等式f ′(x )＋g ′(x )>0(或<0)，构造函数F (x )＝f (x )＋g (x )；(2)对于不等式f ′(x )－g ′(x )>0(或<0)，构造函数F (x )＝f (x )－g (x )；特别地，对于不等式f ′(x )>k (或<k )(k ≠0)，构造函数F (x )＝f (x )－kx . (3)对于不等式f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )>0(或<0)，构造函数F (x )＝f (x )g (x )； (4)对于不等式f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )>0(或<0)，构造函数F (x )＝f xg x(g (x )≠0)；(5)对于不等式xf ′(x )＋f (x )>0(或<0)，构造函数F (x )＝xf (x )； (6)对于不等式xf ′(x )－f (x )>0(或<0)，构造函数F (x )＝f xx(x ≠0)．1、函数y=f (x )的导函数()y f x '=的图象如图所示，则函数y=f (x )的图象可能是【答案】D【解析】原函数先减再增，再减再增，且0x =位于增区间内，因此选D ．2、设函数()e e xxf x a -=+（a 为常数）．若f （x ）为奇函数，则a =________；若f （x ）是R 上的增函数，则a 的取值范围是___________．【答案】(]1,0--∞【解析】首先由奇函数的定义得到关于a 的恒等式，据此可得a 的值，然后利用()0f x '≥可得a 的取值范围.若函数()e e xxf x a -=+为奇函数，则()(),f x f x -=-即()ee e e xx x x a a --+=-+，即()()1e e0xxa -++=对任意的x 恒成立，则10a +=，得1a =-.若函数()e e xxf x a -=+是R 上的增函数，则() e e 0x xf x a -'=-≥在R 上恒成立，即2e x a ≤在R 上恒成立，又2e 0x >，则0a ≤，即实数a 的取值范围是(],0-∞.3、（2021·深圳市龙岗区龙城高级中学高三月考）已知函数()ln f x x =，()g x x =，则当120x x >>时（） A ．1122|()()||()()|f x g x f x g x -<-|B ．1122|()()||()()|f x g x f x g x ->-C ．1221|()()||()()|f x g x f x g x -<- D ．1221|()()||()()|f x g x f x g x ->-【答案】C【解析】令()ln h x x x =-，则()111xh x x x-'=-=，当()0,1x ∈时，()0h x '>，()h x 单调递增，当()1,x ∈+∞时，()0h x '<，()h x 单调递减，则()()110h x h ≤=-<，则()h x 在()0,1单调递减，在()1,+∞单调递增，∴()1h x 和()2h x 的大小不确定，故AB 错误；由()0h x <可知221ln x x x <<，即()()210f x g x -<，令1221|()()||()()|W f x g x f x g x =---，则1221|()()|()()W f x g x f x g x =-+-，当()()12f x g x ≥时，[][]12211122()()()()()()()()0W f x g x f x g x f x g x f x g x =-+-=-+-<；当()()12f x g x <，[][]21212211()()()()()()()()W g x f x f x g x f x g x f x g x =-+-=+-+，()()ln y f x g x x x =+=+单调递增，0W ∴<，综上，1221|()()||()()|f x g x f x g x -<-，故C 正确，D 错误.故选：C.4、（2021·广东高三月考）已知函数()ln f x x ax =+在函数()22g x x x b =-+的递增区间上也单调递增，则实数a 的取值范围是（） A ．(],1-∞- B ．[)0,+∞C ．(][),10,-∞-+∞ D ．(]1,0-【答案】B【解析】因为()g x 的单调递增区间为[)1,+∞，则由题意()f x 在[)1,+∞递增，而()1axf x x+'=，所以当0a ≥时，()0f x '>在 [)1,+∞恒成立，()f x 在区间[)1,+∞单调递增，符合题意；当0a <时，由()10ax f x x +'=>，解得10x a<<- ()f x 的单调递增区间为10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，不合题意.综上，0a ≥. 故选：B5、（2021·广东高三月考）若对任意的1x ，()2,x m ∈+∞，且12x x <，都有122121ln ln 2x x x x x x -<-，则m 的最小值是（）（注： 2.71828e =⋅⋅⋅为自然对数的底数） A ．1eB ．eC ．1D ．3e【答案】A【解析】由题意知210x x >>，可得210x x ->，则122121ln ln 2x x x x x x -<-等价于()122121ln ln 2x x x x x x -<-，即121212ln 2ln 2x x x x x x +<+，所以()()1221ln 2ln 2x x x x +<+，所以2121ln 2ln 2x x x x ++<，令()ln 2x f x x+=，可得21f x f x ，又由21x x m >>，所以()f x 在(),m +∞上是减函数，所以()2ln 10x f x x--'=≤，解得1x e ≥，则1m e ≥，即m 的最小值为1e . 故选：A.6、（2021·深圳市第七高级中学高三月考）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()()()0,6f x f x f x f x +-=+=-，且对[]12,3,0x x ∀∈-，当12x x ≠时，都有()()()()11221221x f x x f x x f x x f x +<+，则以下判断正确的是（）A ．函数()f x 是偶函数B ．函数()f x 在[]9,6--单调递增C ．3x =是函数()f x 的对称轴D ．函数()f x 的最小正周期是12【答案】BCD【解析】由定义域为R ， ()()0f x f x +-=，即()()f x f x -=-，则函数为奇函数，故A 错误；因为()()6f x f x +=-，而()()f x f x -=-，所以()()6f x f x +=-，所以函数的对称轴为6032x +==，故C 选项正确；因为()()6f x f x +=-，所以()()()126f x f x f x +=-+=，所以()f x 的最小正周期是12，故D 选项正确；因为[]12,3,0x x ∀∈-，当12x x ≠时，都有()()()()11221221x f x x f x x f x x f x +<+，则()()()()12120x x f x f x --<，所以[]3,0x ∈-时，()f x 为减函数. 因为函数为奇函数，所以[]0,3x ∈时，()f x 为减函数，又因为函数()f x 关于3x =对称，所以[]3,6x ∈时，()f x 为增函数.因为()f x 的最小正周期是12，所以[]9,6x ∈--的单调性与[]3,6x ∈时的单调性相同. 故，[]9,6x ∈--时，()f x 单调递增，故B 选项正确. 故选：BCD. 7、()3211232f x x x ax =-++，若()f x 在2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上存在单调递增区间，则a 的取值范围是_______ 【答案】19a >- 【解析】：()'22fx x x a =-++，有已知条件可得：2,+3x ⎛⎫∃∈∞ ⎪⎝⎭，使得()'0f x ≥，即()212a x x ≥-，只需()2min12a x x ⎡⎤≥-⎢⎥⎣⎦，而()221122122339y x x ⎡⎤⎛⎫=->-=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，所以19a >-。

2020届高三数学之函数与导数(文理通用)二次求导函数处理(二阶导数)(解析版)

专题03 二次求导函数处理（二阶导数）一、考情分析1、在历年全国高考数学试题中，函数与导数部分是高考重点考查的内容，并且在六道解答题中必有一题是导数题。

利用导数求解函数的单调性、极值和最值等问题是高考考查导数问题的主要内容和形式，并多以压轴题的形式出现. 常常考查运算求解能力、概括抽象能力、推理论证能力和函数与方程、化归与转化思想、分类与整合思想、特殊与一般思想的渗透和综合运用，难度较大.2、而在有些函数问题中，如含有指数式、对数式的函数问题，求导之后往往不易或不能直接判断出原函数的单调性，从而不能进一步判断函数的单调性及极值、最值情况，此时解题受阻。

需要利用“二次求导”才能找到导数的正负，找到原函数的单调性，才能解决问题. 若遇这类问题，必须“再构造，再求导”。

本文试以全国高考试题为例，说明函数的二阶导数在解高考函数题中的应用。

3、解决这类题的常规解题步骤为： ①求函数的定义域；②求函数的导数)('x f ，无法判断导函数正负； ③构造求)(')(x f x g =，求'(x)g ； ④列出)(),(',x g x g x 的变化关系表； ⑤根据列表解答问题。

二、经验分享方法二次求导使用情景对函数()f x 一次求导得到()f x '之后，解不等式()0()0f x f x ''><和难度较大甚至根本解不出.解题步骤设()()g x f x '=，再求()g x '，求出()0()0g x g x ''><和的解，即得到函数()g x 的单调性，得到函数()g x 的最值，即可得到()f x '的正负情况，即可得到函数()f x 的单调性.三、题型分析(一) 利用二次求导求函数的极值或参数的范围例1.【2020届西南名校联盟高考适应月考卷一，12】（最小整数问题-导数的单调性和恒成立的转化）已知关于x 的不等式()22ln 212x m x mx +-+≤在()0,∞上恒成立，则整数m 的最小值为（） A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B ．【解析】【第一种解法（排除法）（秒杀）】：令1=x 时，m m ≤+⨯-+21)1(21ln 2化简：34≥m ；令2=x 时，m m 422)1(22ln 2≤+⨯-+，化简42ln 22+≥m 你还可以在算出3,4，选择题排除法。

使用导数来解决含参函数单调性的讨论方法的总结

155使用导数来解决含参函数单调性的讨论方法的总结蓝荣升作者发现，使用导数来解决函数的单调性，它在高中数学试卷中占有相当大的份额。

函数的单调性是求解函数极值，最值（范围）以及零点个数问题的基础，它经常出现在压轴题的第一问，并且存在一定的困难。

求函数单调性的最困难的部分是含参函数的分类讨论，而分类讨论的思想又是高中阶段着重培养的思想方法。

因此,利用分类讨论来解决带参数的函数单调性问题已成为近年来高考的重点和热点。

这类问题的难点在于学生不懂得如何讨论，或者讨论不全面，这里总结了带参函数单调性的分类讨论的一般步骤，在学会之后，没有不知道如何讨论或讨论不全面的情况。

以下是对单调性一般步骤的讨论（解决了讨论的大部分单调性问题）:第一步：求定义域，单调区间是定义域的子集，因此求单调区间必须先求定义域，定义域有三种常见的情况需要讨论。

（1）偶次根式，根号下整体不小于0。

（2）分式，分母不等于0。

（3）对数，真数大于0。

第二步：求函数导数，令0)('=x f ，求出它的根21,x x ，根的个数一般有三种情况：无根、一个根，两个根。

导函数是分式一般先通分，并且还要考虑能不能因式分解。

第三步：如果方程有两根，则要考虑4种情况；如果只有一根则只需考虑第一种情况；如果根不能被求解，并且导数不能被判断出正的或负的，那么我们就需要求函数的二阶导数，利用二阶导数的正负来确定一阶导数的单调性，然后利用最值得到一阶导数的正负，进而判断出原函数的单调性。

（1）是否存在根（判断根是否在定义域中），得到参数的讨论点。

（2）21x x =，得到参数的讨论点。

（3）21x x >，得到参数的讨论点。

（4）21x x <，得到参数的讨论点。

第四步：判断21,x x 分定义域的每个区间的导数的正负情况，如果导数大于0，则函数单调递增，如果导数小于0，则函数单调递减。

以下三种常见方法可用来判断导数的正负：（1）数轴穿根法：（2）函数图像法：（3）区域判断法：只需要判断每个因式的正负。

利用导数研究函数的单调性2

o
x
-8
-6
-8
-6
y 3
2
1
-4
-2
o
2
-1
x
2
6 -2
5
-3
x
y 4
2
-4
3
-5 2
1
-4
-2
o
2
-1
-2
-3
-4
y sin x
4
6
8
10
x
x 3
2
y cos x
4
6
8
x10
函数及图象单调性
y
f ( x) x2 在(,0)上递减
切线斜率
k 的正负
k<0
导数的正负
-
o x 在(0, )上递增 k>0
《导数在研究函数中的应用》
利用导数研究函数的单调性
回顾函数的单调性的定义：
函数 y = f (x) 在给定区间 I 上，当 x 1、x 2 ∈I 且 x 1＜ x 2 时 1）都有 f ( x 1 ) ＜ f ( x 2 )，则 f ( x ) 在I 上是增函数；
2）都有 f ( x 1 ) ＞ f ( x 2 )，则 f ( x ) 在I 上是减函数；
的单调减区间
基础练习:求下列函数的单调区间 (1) y ln x 2x
(2) y ex x
例4：证明：函数f(x)=x-sinx在R上为增函数.
课堂小结
知识技能
思想方法
成功体验
1.在利用导数讨论函数的单调性时,首先要确定函数的定义域,解决问题的过程中,只能在函数的定义域内, 通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间，或证明函数的单调性.

2阶导数求导公式

2阶导数求导公式概述：求导是微积分中的重要概念，它描述了函数在某一点的变化率。

而2阶导数求导公式则是对函数的二次导数进行求导的公式。

本文将介绍2阶导数的概念及其求导公式，并通过例题展示其应用。

一、2阶导数的概念在微积分中，导数描述了函数在某一点的斜率或变化率。

而2阶导数则是对一阶导数的导数，它描述了函数变化率的变化率。

换句话说，2阶导数可以帮助我们分析函数的曲率。

二、2阶导数求导公式对于函数f(x)，其一阶导数为f'(x)，二阶导数为f''(x)。

下面是常见函数的2阶导数求导公式：1. 常数函数：对于常数c，它的任意阶导数都为0，即f''(x) = 0。

2. 幂函数：对于幂函数f(x) = x^n，其中n为正整数，它的二阶导数为f''(x) = n(n-1)x^(n-2)。

3. 指数函数：对于指数函数f(x) = e^x，它的二阶导数仍为f''(x) = e^x。

4. 对数函数：对于对数函数f(x) = ln(x)，它的二阶导数为f''(x) = -1/x^2。

5. 三角函数：对于三角函数f(x) = sin(x)和f(x) = cos(x)，它们的二阶导数分别为f''(x) = -sin(x)和f''(x) = -cos(x)。

三、示例问题为了更好地理解2阶导数求导公式的应用，我们来看几个示例问题：1. 已知函数f(x) = x^3，求其二阶导数f''(x)。

根据幂函数的2阶导数求导公式，我们有f''(x) = 3(3-1)x^(3-2) = 6x。

2. 已知函数f(x) = e^x，求其二阶导数f''(x)。

根据指数函数的2阶导数求导公式，我们有f''(x) = e^x。

3. 已知函数f(x) = ln(x)，求其二阶导数f''(x)。

二阶导数的求法例子

二阶导数的求法例子
假设有一个函数 f(x)，我们需要计算它的二阶导数。

以下是求解二阶导数的步骤示例：
步骤1：首先计算一阶导数
求解 f(x) 的一阶导数，也称为导函数，可以表示为 f'(x)。

一阶导数的求法可以使
用常见的求导法则，如幂函数的指数减一、常数的导数为零、和差法则、乘积法则和商规
则等等。

具体的求导方法根据函数类型的不同而有所差别。

步骤2：计算一阶导数的导函数
将一阶导数 f'(x) 再次求导，得到 f''(x)，即 f(x) 的二阶导数。

这个过程与求一
阶导数的方法类似，可以使用相同的导数法则进行计算。

步骤3：简化和验证结果
在得到二阶导数 f''(x) 后，可以对结果进行简化和验证。

可以将结果与已知的函数
性质进行比对，以确定求导的过程是否正确。

也可以利用数值计算或绘制函数图像的方法，验证二阶导数是否满足预期的性质。

总结：
二阶导数是一阶导数的导函数，可以通过连续两次求导来计算。

求导的方法根据所给
函数的类型和特点不同而有所变化，因此需要根据具体的函数形式来进行求导。

通过验证
结果和比对已知的函数性质，可以确认求导过程的正确性。

注意：所给的是一个示例，具体的求导方法应根据实际的函数形式而定，且计算过程
中需遵循数学的求导规则与法则。

巧用二阶导数判断原函数单调性

例１函数厂（）＝（＋１）ｌｎｘ— ＋１．证明：（一１）ｆ（ｘ）＞０．分析：要证（一１）．厂（）＞０，只需证明）在 ≥ １时大于０厂（）在０＜＜１时小于０，但函数）的符号很难
直接判断，而．）＝ｌＭ＋一１＝ｌ＋在０＜＜
练习：已知函数）：ｅ一ｋｘ一一， ∈（０．＋∞），
二
若．厂（）在区间（０，＋ａ口）内单调递增，试求ｋ的取值范围。（答案：（一，０］）
例３．已知函数，（）：ｌｎ２（１＋）一ｔ，求函数）
■ ｔ丑
的单调区间分析：此题对函数求一次导数，数的正负还是很难确定，
又 ‘．‘厂（０）：ｏ．’．，（）≥＿厂（０）．’．厂（）＝ｅｘ一２Ⅱ≥０．
· ．．
２ａ≤ｅ而ｅ在
【０，＋∞）的最小值为
１，．‘．。≤÷
二
点评：解法一与解法二的区别是解法２两次应用增函数
的的充要条件分离出参量，使得问题变得简单。其中二阶导
数在其中发挥了重要的作用。
所以ｈ（）在＝０处取得极大值，而ｈ（０）＝０，所以
ｇ（）＜Ｏ（ｘ≠ ０），函数ｇ（ｘ）在（一１．＋ｍ）上为减函数。
于是当一１＜＜０时，ｇ（）＞ｇ（Ｏ）＝ｏ，当＞ｏ时，
ｇ（）＜ｇ（Ｏ）＝ｏ．
２Ｉｎ（１＋）一２ｘ．
，，
一，，
设（）＝２Ｉｎ（１＋）一２ｘ，贝０ｈ（）：÷ 一２＝Ｉ＿— ！．
Ｊ十Ｊ＾
１ｔ互

巧用二次求导解决函数单调性和极值问题

所以，函数f (x)
的单调递(增1,0区)间是
(0,，)递减区间是
f x ex 1 x ax2
（Ⅰ）若a 0求 f x
的单调区间；
（Ⅱ）若x当 0 f x时，0。求a 的取值范围。
•
（2）、解：当上
a＜
0时，在区间成立。故
a＜
上0满0显, 足然题意。
，综ax上2 (1)0可得在区间
• 定理3设函数在点处具有二阶导数且
，
，那么
• （1）当
时，函数在处取得极大值；
• （2）当 f (x) 时，函x数0 在处取得极小值．f (x0) 0 f (x0 ) 0
f (x0) 0
x0
f (x0) 0
x0
• 例题1、已知函数
f (x) ln 2 (1 ，x) 求x函2 数 1 x
• 凹凸性是函数图像的主要形状之一。结合地判断一个函数与其导函数图像的关系。
的关系可以方便
f (x), f (x), f (x)
• 二．二阶导数与极值
• 在高中，判断函数是否在取得极值，经常是利用函数导数在两侧的符号来判断。实际上，还可以利用二阶导数的符号来判断是否为函数的
极值点。有如下的判定定理：
0 x x • 我时所出们，以当可有0＜以当x尝0＜；试1时x当再对1＜时f ，xf时，x，则0 l求n x导＞ 1x，0在，，可区我即得间们通过f二上次在fx为求增x区导函，间分1x数显析，然x1的2即当f 单上x调＜为 ln性减x ，函1x得数，，
此时，0, 则有
成立。
1 f x f 1 1
• 解：的定义域是
.
f x
(1,)
的单f调( x区) 间。

二阶导数的用法及零点尝试法

二阶导数的用法及零点尝试法导数最大的作用是判断复杂函数的单调性，我们可以很简单的求一次导数，然后通过求导函数的根，就可以判断出函数的单调区间，进而知道函数的趋势图像，不过这只是最基础的导数的应用，在很多题目中我们求一次导数之后无法求出导函数的根，甚至也不能直接看出导函数的正负，因此无法判断单调性，在高考中不管文理都有极大可能用到二阶导数，虽然文科不谈二阶导数，其实只是把一阶导数设为一个新函数，再对这个新函数求导，本质上依旧是二阶导数。

例1. 2()23x f x e x x =+-，当12x ≥时，25()(3)12f x x a x ≥+-+恒成立，求实数a 的取值范围。

解析：22255()(3)123(3)122x f x x a x e x x x a x ≥+-+⇒+-≥+-+，则 2112x e x a x--≤在12x ≥上恒成立令2112()x e x g x x--=，则2'21(1)12()x e x x g x x ---= 令21()(1)12x h x e x x =---，则'()(1)x h x x e =- 当12x ≥时，'()0h x >恒成立，即17()()028h x h ≥=-> 所以'()0g x >，()g x 在1[,)2+∞上单调递增，min 19()g()24g x ==所以94a ≤ 二阶导的用法:判断()f x 的单调性则需判断'()f x 的正负，假设'()f x 的正负无法判断，则把'()f x 或者'()f x 中不能判断正负的部分（通常为分子部分）设为新函数()g x ，如果通过对()g x 进行求导继而求最值，若min ()0g x >或max ()0g x <则可判断出'()f x 的正负继而判断()f x 的单调性，流程如下图所示：但是并不是一阶导数无法求根或者判断正负就必须使用二阶导数，有时候适当的对函数做一些变形就可以省去很多麻烦，如下题：例2．已知函数()(1)ln 1f x x x x =+-+，证明：当01x <<时，()0f x < 解析：'11()ln 1ln x f x x x x x+=+-=+ 无法求根也无法判断正负 ''22111()x f x x x x-=-=，令''()0f x =，则1x = 当1x >时，''()0f x >，'()f x 单调递增；当01x <<时，''()0f x <，'()f x 单调递减，''min ()(1)10f x f ==>，所以()f x 在01x <<上单调递增即max ()()(1)0f x f x f <==但是如果调整函数转化为一阶导数并且还出现了一阶导数最小值小于等于零，或一阶导数最大值大于等于零的时候，则单纯的二阶导数将失灵，此时我们采用的是零点尝试法，即确定一阶导数的零点的大致位置，如下：对上图的解读：零点尝试法其实是无法求出一阶导数的零点，且通过二阶导数无法得出需要的一阶导数的最值，此时一般可以根据二阶导的恒正或恒负来判断出一阶导是否只有一个零点，若用零点存在性定理能判断出一阶导数只有一个零点，则设出这个零点为0x ，但是难点就在这里，因为不知道准确零点的区间，因此可能很难找出符合题意区间的0x ，例如确定出0x 在某数之前或某数之后，但是所设的0x 满足'0()f x =0，通过这个式子可以得到一个关于0x 的等式，然后所设的点0x 肯定是原函数唯一的最值点，因此若求原函数的最值则需要结合'0()0f x =这个等式，有的时候能求出一个不包含0x 的最值或者含有0x 一个很简单的数或式子，不过此方法并非无敌，若二阶导数和零点尝试法均失效时，则需考虑你的思考方向是否正确了，关于零点尝试法在2017年高考之前各个省份模拟题中经常出现，在2017年高考中也出现了，因此这个方法必须作为高考中的备考题型掌握。

利用导数讨论函数的单调性

利用导数讨论函数的单调性广西南宁市第二十六中学（530201）许莉［摘要］导数是研究函数性质的一个重要工具，利用求导研究含参函数的单调性是高考的热点，也是学生感到棘手的一个问题.文章结合实例，分类讨论研究导数与函数的单调性之间的关系.［关键词］导数；函数；单调性［中图分类号］G633.6［文献标识码］A［文章编号］1674-6058（2021）14-0030-02一、利用导数求函数的单调区间利用导数研究函数单调性的依据：若函数y=f(x)在某个区间内可导：若f′(x)>0，则f(x)在这个区间内单调递增；若f′(x)<0，则f(x)在这个区间内单调递减；若f′(x)=0，则f(x)在这个区间内是常数函数[1].［例1］（2013年高考天津卷节选）已知函数f(x)=x2ln x.求函数f(x)的单调区间.分析：在对f(x)进行求导之前，应先考虑函数的定义域（因为单调区间必须是在定义域的限定范围内，而这个也是学生容易忽略的问题），再进行求导判断符号.解：函数f(x)的定义域为(0,+∞)，f'(x)=2x ln x+x=x()2ln x+1，令f'(x)>0，得x>1e；令f'(x)<0，得0<x<1e，所以函数f(x)的单调递减区间是()0,1e，单调递增区间是()1e,+∞.小结：利用导数判断函数单调性的一般步骤：第一步，求函数的定义域；第二步，求导数f′(x)，其中求导后若有分母就考虑通分，若能因式分解就要因式分解，不能因式分解再考虑求根公式或者其他化简；第三步，在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)>0和f′(x)<0；第四步，写出函数f(x)的单调区间.二、利用导数讨论含参数函数的单调性［例2］（2015年高考新课标卷2节选）已知函数f(x)=ln x+a(1-x)，讨论函数f(x)的单调性.分析：在对f(x)进行求导后，发现求导后的函数不能直接判断符号，而是当a不为0时分子为一个含参的一次函数，这类问题就转化为求解含参的一次函数问题.解：f(x)的定义域为(0,+∞)，f'(x)=1x-a=1-axx，若a≤0，则f′(x)>0，所以f(x)在(0,+∞)单调递增.若a>0，则当x∈()0,1a时，f′(x)>0；当x∈()1a,+∞时，f′(x)<0.所以f(x)在()0,1a单调递增，在()1a,+∞单调递减.小结：求导后导函数为含参的一次函数，求解不等式ax+b>0(<0)的步骤：（1）将不等式化为ax>-b；（2）a=0时，不等式不是一元一次不等式，单独讨论；（3）若a>0，则x>-ba；若a<0，则x<-ba，还要注意单调区间必须包含在定义域内.［例3］（2016年高考四川卷节选）已知函数f(x)=ax2-a-ln x，其中a∈R，讨论f(x)的单调性.分析：在对f(x)进行求导后，发现求导后的函数不能直接判断符号，而当a不为0时分子为一个含参的二次函数，这类问题就转化为求解含参的二次函数问题.对于含参的二次函数，首先考虑的是二次函数图像的开口方向，其次是是否有根，是否能直接求零点，而这也正是分类讨论的标准.对于学生来说，不重不漏地进行分类是答题的关键点.解：定义域{x|x>}0，f′()x=2ax-1x=2ax2-1x，x>0，当a≤0时，2ax2-1≤0，f′()x≤0，f()x在（0，+∞）上单调递减.当a>0时，令f'(x)=0，得x=当x∈(时，f'(x)<0；当x∈)∞时，f′(x)>0.故f(x)在(上单调递减，在)+∞上单调递增.小结：求导后导函数为含参的二次函数，求解不等式ax2+bx+c>0(<0)的步骤：（1）讨论二次项系数；（2）判断是否有零点；（3）根据对应一元二次方程数学·解题研究根的情况，得到一元二次不等式的解集，从而得到函数的单调性.［例4］（2019年高考全国卷Ⅲ理20节选）已知函数f (x )=2x 3-ax 2+b .讨论f (x )的单调性.分析：在对f (x )进行求导后，发现求导后可以因式分解，从而得到二次含参函数的零点，这时二次函数的开口方向已经确定，只需要对得到的两个两点进行分类讨论即可.解：（1）f '(x )=6x 2-2ax =2x (3x -a )，令f ′(x )=0，得x =0或x =a3.若a >0，则当x ∈()-∞,0∪()a3,+∞时，f '(x )>0；当x ∈()0,a3时，f '(x )<0.故f (x )在()-∞,0和()a3,+∞上单调递增，在()0,a3上单调递减；若a =0，f (x )在(-∞,+∞)上单调递增；若a <0，则当x ∈()-∞,a3∪()0,+∞时，f ′(x )>0；当x ∈()a3,0时，f ′(x )<0；故f (x )在()-∞,a3∪()0,+∞上单调递增，在()a3,0上单调递减.综上所述，若a =0，f (x )在()-∞,+∞上单调递增；若a <0，f (x )在()-∞,a3和()0,+∞上单调递增，在()a3,0上单调递减.若a >0时，f (x )在()-∞,0和()a3,+∞上单调递增，在()0,a3上单调递减.小结：求导后导函数为含参的二次函数，但是可以直接求出导函数的零点，只需要判断两根的大小，再根据“大于取两边，小于取中间”，得到f ′(x )>0，则f (x )在这个区间内单调递增；若f ′(x )<0，则f (x )在这个区间内单调递减即可.［例5］（2018年高考全国卷Ⅰ节选）已知函数f (x )=1x -x +a ln x .讨论f (x )的单调性.分析：在对f (x )进行求导后，发现求导后的二次函数的开口方向已经确定，但是是否有零点还不能判断，因此分类的标准应该是对判别式进行讨论，进而再对可能存在的零点进行讨论，做到不重不漏.解：f (x )的定义域为()0,+∞，f '(x )=-1x2-1+a x =-x 2-ax +1x 2.（1）若a ≤2，则f '(x )≤0，所以f (x )在()0,+∞单调递减.（2）若a >2，令f '(x )=0，得x =a -a 2-42或x =a +a 2-42.当x ∈()0,a -a 2-42∪()a +a 2-42,+∞时，f '(x )<0；当x ∈()0,a -a 2-42,a +a 2-42时，f ′(x )<0.所以f (x )在()0,a -a 2-42，()a +a 2-42,+∞单调递减，在()0,a -a 2-42,a +a 2-42单调递增.小结：求导后导函数为含参的二次函数，但是不能判断导函数是否有零点，则需要根据判别式的正负从而得到“存在零点”和“不存在零点”的分类标准，当判别式大于零时，还要判断是否可以比较两零点的大小，以及零点与定义域的关系，做到分类有序、不重不漏[2].通过以上例题发现，利用导数研究函数的单调性是一个有效的工具.利用导数求含参函数单调性的分类标准为：（1）求导后若导函数为含参数的一次函数，可以根据含参数的一次函数进行分类讨论.（2）求导后若导函数为含参数的二次函数，若求导后不能判断开口方向的，分类的标准是先讨论二次函数的开口方向，再讨论是否存在零点；若求导后导函数可以直接因式分解得到零点，则分类标准是直接对零点进行分类讨论；若求导后导函数确定了开口方向，但是不能判断是否有零点，则分类标准是直接对判别式进行分类讨论[3].而在分类时要做到不重不漏.［参考文献］［1］祝敏芝.利用导数研究函数的单调性问题［J ］.中学数学教学参考，2020（Z1）：130-133.［2］王历权，范美卿，金雷.利用导数研究函数的单调性问题［J ］.中学数学教学参考，2019（7）：36-39.［3］陈达辉.利用导数研究函数单调性的几种类型［J ］.数学学习与研究，2019（8）：97.（责任编辑陈昕）数学·解题研究。

巧用二次求导解决函数单调性和极值问题(精品课件)

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9、人的价值，在招收诱惑的一瞬间被决定。21.4.1 421.4.1 4Wednesday, April 14, 2021
10、低头要有勇气，抬头要有低气。1 8:30:46 18:30:4 618:30 4/14/20 21 6:30:46 PM
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恒有 f ( x1 x2 ) f (x1) f (x2，) 那么称在 I 上的图形是凹的；
2
如果恒有
f
(
x1
2
x2
)
2
f
( x1 )
2
f
( x2 )，那么称
在
I
上的图形是凸的；
定理1 设 f (x)在 [a, b上] 连续，在 (a, b内) 可导，那么：
（1）若在 (a, b)内 f (x)单调增加，则 f (x在) [a, b上]的图形是
而在有些函数问题中，如含有指数式、对数式的函数问题，求导之后往往不易或不能直接判断出导函数的符号，从而不能进一步判断函数的单调性及极值、最值情况，此时解题受阻。若遇这类问题，则可试用求函数的二阶导数加以解决。
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一．二阶导数与凸性
一．二阶导数与凸性
定义1. 设 f (x)在区间 I 上连续，如果对 I 上任意两点 x1与 x，2
12、人乱于心，不宽余请。18:30:4618 :30:461 8:30W ednesda y, April 14, 2021
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巧用导数　高效解题——以“二次求导”在函数问题中的应用为例

巧用导数㊀高效解题以二次求导在函数问题中的应用为例陈雯娜(福建省宁德市高级中学ꎬ福建宁德３５２１００)摘㊀要:本文针对二次求导在函数解题中的应用展开了讨论ꎬ简述了二阶导数的数学意义ꎬ详细介绍了二阶导数在求函数单调性㊁极值㊁参数取值范围中的具体应用方法.关键词:导数ꎻ解题ꎻ函数问题中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２４)０９－００５２－０３收稿日期:２０２３－１２－２５作者简介:陈雯娜(１９９５.１０ )ꎬ女ꎬ福建省宁德人ꎬ本科ꎬ中学二级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀从高考形势来看ꎬ二次求导被频繁应用在综合题型的解决中ꎬ对学生考试成绩的影响非常大.所以ꎬ教师要重视二次求导知识点的教学.１二阶导数二次求导是指通过观察一阶导数的变化率ꎬ确定图像的凹凸性.在部分指数式㊁对数式的函数问题中ꎬ求导之后无法判断原函数单调性时才会进行二次求导ꎬ找到导数正负ꎬ确定函数单调性.如果函数ｆ(ｘ)在区间ａꎬｂ[]上连续ꎬ且二次可导ꎬ若在该区间上函数二阶导数大于零ꎬ则函数ｆ(ｘ)在区间ａꎬｂ[]上的图形是凹的ꎻ若在该区间上函数二阶导数小于零ꎬ则函数ｆ(ｘ)在区间ａꎬｂ[]上的图形是凸的[１].另外ꎬ部分函数问题需要先构造函数后才能二次求导.整体来说ꎬ二次求导虽能降低解题难度㊁提高解题效率ꎬ但是对学生思维的灵活性要求比较高.因此ꎬ教师要多锻炼㊁启发学生思维ꎬ保证学生能熟练掌握二次求导的方法ꎬ拥有更加灵活的思维.２二次求导在函数问题中的应用２.１在函数单调性问题中的应用如果要判断原函数的单调性ꎬ则要先观察二次导数在定义域内的取值.当其值恒大于零或恒小于零时ꎬ则可推出一阶导函数在定义域内的单调性ꎬ同时ꎬ考虑一阶导数的最大值或最小值ꎬ两者结合判断原函数的单调性.若一阶导函数是单调递增的ꎬ且最小值大于零ꎬ则证明原函数单调递增ꎻ若一阶导函数是单调递减的ꎬ且最大值小于零ꎬ则证明原函数单调递减.这一结论在其他函数综合题型中也有着极其重要的应用ꎬ如极值㊁含参问题.所以教师应当要求学生打好基础ꎬ熟练掌握通过二次求导判断函数单调性的方法ꎬ以便后续解决问题时能随时调用[２].２.１.１直接讨论函数单调性相对来说ꎬ讨论不含参数的函数单调性问题时ꎬ直接进行求导㊁化简㊁在定义域内讨论导数符号进而判断单调性即可ꎬ其解题难度一般.例１㊀讨论函数ｆｘ()＝ｌｎ２(１＋ｘ)－ｘ２１＋ｘ的单调性.分析㊀针对这道题目来说ꎬ可以先确定该函数的定义域为－１ꎬ＋ɕ().对该函数求导可得:ｆᶄｘ()＝２ｌｎ(１＋ｘ)ｘ＋１－ｘ２＋２ｘ１＋ｘ()２ꎬ通分得到ｆᶄｘ()＝２(１＋ｘ)ｌｎ(１＋ｘ)－ｘ２－２ｘ１＋ｘ()２.仔细观察该函数不难发２５现ꎬ分母大于零ꎬ但是分子符号不确定ꎬ所以要进一步讨论.此时ꎬ假设ｇｘ()＝２(１＋ｘ)ｌｎ(１＋ｘ)－ｘ２－２ｘꎬ若想确定该函数的正负ꎬ则要对其求导ꎬ判断其单调性或最值ꎬ以此确定一阶导数符号ꎬ反推原函数单调区间.对ｇｘ()求导可得到ｇᶄｘ()＝２ｌｎ(１＋ｘ)－２ｘꎬ再二次求导可得ｇᶄｘ()[]ᶄ＝－２ｘ１＋ｘꎬ这时就可以分情况讨论.第一种情况:当－１<ｘ<０时ꎬｇᶄｘ()[]ᶄ＝－２ｘ１＋ｘ>０ꎬ那么ｇᶄｘ()＝２ｌｎ(１＋ｘ)－２ｘ在该区间上是增函数ꎻ第二种情况:当ｘ>０时ꎬｇᶄｘ()[]ᶄ＝－２ｘ１＋ｘ<０ꎬ那么ｇᶄｘ()＝２ｌｎ(１＋ｘ)－２ｘ在该区间上是单调减函数ꎬ综合考虑这两种情况ꎬｇᶄｘ()＝２ｌｎ(１＋ｘ)－２ｘ在ｘ＝０时有最大值ꎬ又因为ｇᶄ０()＝０ꎬ所以ꎬｇᶄｘ()ɤ０.反推可知函数ｇｘ()在－１ꎬ＋ɕ()上是单调减函数ꎬ在－１<ｘ<０时ꎬｇｘ()>ｇ０()＝０ꎬ则ｆᶄｘ()>０ꎬ函数ｆｘ()是单调递增的ꎻ当ｘ>０时ꎬｇｘ()<ｇ０()＝０ꎬ则ｆᶄｘ()<０ꎬ函数ｆｘ()是单调递减的.综上ꎬ可知函数ｆｘ()的单调递增区间为－１ꎬ０()ꎬ单调递减区间为０ꎬ＋ɕ().从这道题目的解析中能够看出ꎬ应用二阶导数判断函数单调区间的关键是要合理化简函数表达式ꎬ合理分类讨论自变量的范围.２.１.２带有参数函数单调性的讨论通常ꎬ在含有参数的函数单调性问题中ꎬ应用二阶导数的解题思路与直接讨论函数单调性的解题思路相反ꎬ需要根据题干结论反推ꎬ分类讨论参数的取值范围.结合历年高考试题来看ꎬ真题中多是出现与对数㊁指数有关的函数ꎬ总体上来说ꎬ含参数函数单调性的主要解题思路为对带有对数㊁指数的函数进行化简ꎬ尽可能地使其表达式简洁㊁规整ꎬ之后再根据函数定义域ꎬ进行分类讨论.例２㊀已知函数ｆ(ｘ)＝１－ｅ－ｘꎬ当ｘȡ０时ꎬｆ(ｘ)ɤｘａｘ＋１ꎬ求ａ的取值范围.这道题目的解决可以采用放缩代换法ꎬ这一方法对学生的思维能力㊁解题能力的要求比较高ꎬ部分学生是无法达到要求的[３].所以ꎬ可以尝试利用二阶导数ꎬ降低解题难度ꎬ提高解题准确率.那么针对问题②来说ꎬ可按照以下步骤进行解题:根据题意ｘȡ０ꎬｆ(ｘ)ɤｘａｘ＋１ꎬ显然ａ的取值范围不确定ꎬ所以要分成两种情况进行讨论.当ａ<０时ꎬ若ｘ>－１ａꎬ则ｘａｘ＋１<０ꎬ那么ｆ(ｘ)ɤｘａｘ＋１不成立ꎻ当ａȡ０时ꎬａｘ＋１>０ꎬ由ｆ(ｘ)ɤｘａｘ＋１移项可得ａｘ＋１()１－ｅ－ｘ()－ｘɤ０.此时ꎬ令ｇｘ()＝ａｘ＋１()１－ｅ－ｘ()－ｘꎬ则ｇᶄｘ()＝ｅ－ｘａｘ＋１－ａ()＋ａ－１ꎬｇᶄｘ()[]ᶄ＝ｅ－ｘ２ａ－１－ａｘ().根据题干ｘȡ０ꎬ当ａɪ０ꎬ１２[]时可判断出ｇᶄｘ()[]ᶄ＝ｅ－ｘ２ａ－１－ａｘ()ɤ０ꎬ此时ｇᶄｘ()在定义域内是递减的ꎬｇᶄｘ()ɤｇᶄ０()＝０ꎬ则ｇｘ()单调递减ꎬｇｘ()ɤｇ０()＝０ꎬ可知原不等式成立.进一步分类讨论ａ的取值范围ꎬ若ａɪ１２ꎬ＋ɕæèçöø÷ꎬ２ａ－１>０ꎬ令ｇᶄｘ()[]ᶄ＝ｅ－ｘ２ａ－１－ａｘ()＝０ꎬ计算可得ｘ＝２ａ－１ａꎬ当０<ｘ<２ａ－１ａꎬｇᶄｘ()[]ᶄ＝ｅ－ｘ２ａ－１－ａｘ()>０ꎬ此时ｇᶄｘ()在该区间上单调递增ꎬｇᶄｘ()>ｇᶄ０()＝０ꎬ则ｇｘ()在０ꎬ２ａ－１ａæèçöø÷上单调递增ꎬｇｘ()>ｇ(０)＝０ꎬ不符合题意ꎬ所以ｆ(ｘ)ɤｘａｘ＋１不恒成立.所以ａɪ０ꎬ１２[].从这道题目的解析中能够看出ꎬ利用二次求导的方法判断函数单调性更高效ꎬ尤其在含有对数或指数的导函数中ꎬ二次求导更有利于判断导数符号ꎬ进而判断原函数的增减情况.２.２在函数极值问题中的应用一般地ꎬ函数极值问题可以按照确定函数定义域㊁求导㊁计算驻点㊁分析单调性㊁确定极值的步骤进行求解.如果需要利用二阶导数解题ꎬ当一阶导数为零ꎬ而二阶导数大于零时ꎬ所求的点为极小值点ꎻ当一阶导数为零ꎬ二阶导数小于零时ꎬ则所求的点为极大值点ꎻ当一阶㊁二阶导数均为零时ꎬ则所求得的点为驻点.概括地说ꎬ函数ｆ(ｘ)在点ｘ处具有二阶导数ꎬ且ｆᶄ(ｘ)＝０ꎬｆᵡｘ()ʂ０ꎬ那么当ｆᵡ(ｘ)>０时ꎬ函数３５在点ｘ处取得极小值ꎻ当ｆᵡ(ｘ)<０时ꎬ函数在点ｘ处取得极大值.例３㊀已知函数ｆｘ()＝１２ｘ２－ｅｘ＋２ｘ－１ꎬ求函数ｆｘ()极值点的个数.分析㊀针对这道题目来说ꎬ若想求解函数极值点的个数ꎬ需要先判断函数的单调性.具体来说ꎬ其解题步骤为:ｆｘ()的定义域为Ｒꎬｆᶄｘ()＝ｘ－ｅｘ＋２ꎬ此时一阶导数的驻点及符号不好判断ꎬ因此构造函数ｇｘ()＝ｘ－ｅｘ＋２ꎬ求导可得ｇᶄｘ()＝１－ｅｘ.当ｘ<０时ꎬｇᶄｘ()>０ꎬ当ｘ>０时ꎬｇᶄｘ()<０ꎬ所以ｇｘ()在－ɕꎬ０()上单调递增ꎬ在０ꎬ＋ɕ()上单调递减ꎬ即ｆᶄｘ()在－ɕꎬ０()上单调递增ꎬ在０ꎬ＋ɕ()上单调递减ꎬ所以ｆᶄ(ｘ)ｍａｘ＝ｆᶄ０()＝１>０.又ｆᶄ－２()＝－ｅ－２<０ꎬｆᶄ２()＝４－ｅ２<０ꎬ则ｆᶄ－２() ｆᶄ０()<０ꎬｆᶄ０() ｆᶄ２()<０ꎬ由零点存在定理可知存在唯一的ｘ１ɪ－２ꎬ０()ꎬｘ２ɪ０ꎬ２()ꎬ使ｆᶄｘ１()＝ｆᶄｘ２()＝０ꎬ且当ｘɪ－ɕꎬｘ１()和ｘɪｘ２ꎬ＋ɕ()时ꎬｆᶄｘ()<０ꎬ函数单调递减ꎻ当ｘɪｘ１ꎬｘ２()时ꎬｆᶄｘ()>０ꎬ函数单调递增ꎬ故ｆｘ()在ｘ１处取得极小值ꎬ在ｘ２处取得极大值ꎬ即函数ｆｘ()的极值点的个数为２.从这道题目的解析中能够看出ꎬ通过二次求导可以更好地判断原函数的单调性ꎬ进而得到函数的极值点情况ꎬ大大简化了解题的过程.２.３在函数的参数范围中的应用应用二次求导求解函数参数范围的关键是要根据函数满足的条件倒推ꎬ得到函数的单调性ꎬ并依据性质倒推参数范围.如果有必要ꎬ还应构造函数ꎬ进行推导㊁计算.例４㊀已知关于ｘ的不等式２ｌｎｘ＋２(１－ｍ)ｘ＋２ɤｍｘ２在０ꎬ＋ɕ()上恒成立ꎬ则整数ｍ的最小值为(㊀㊀).分析㊀针对这道题目来说ꎬ因为２ｌｎｘ＋２(１－ｍ)ｘ＋２ɤｍｘ２ꎬ进行移项㊁化简可得到ｍȡ２ｌｎｘ＋ｘ＋１()ｘ２＋２ｘ.此时ꎬ构造函数ｆｘ()＝２ｌｎｘ＋ｘ＋１()ｘ２＋２ｘꎬ求导可得ｆᶄｘ()＝－２ｘ＋１()ｘ＋２ｌｎｘ()ｘ２＋２ｘ()２ꎬ令ｆᶄｘ()＝０ꎬ则可得到ｘ＋２ｌｎｘ＝０.继续构造函数ꎬ令ｇｘ()＝ｘ＋２ｌｎｘꎬ对其求导可得到ｇᶄｘ()＝１＋２ｘꎬ当ｘɪ０ꎬ＋ɕ()ꎬｇᶄｘ()＝１＋２ｘ>０ꎬ则ｇ(ｘ)在ｘɪ０ꎬ＋ɕ()是单调递增函数.又ｇ１２æèçöø÷<０ꎬｇ１()>０ꎬ所以存在一个点ｔɪ１２ꎬ１æèçöø÷ꎬ满足ｔ＋２ｌｎｔ＝０ꎬ当０<ｘ<ｔ时ꎬｇ(ｘ)<０ꎬｆᶄｘ()>０ꎬ则ｆｘ()在０ꎬｔ()上单调递增ꎻ当ｘ>ｔ时ꎬｇ(ｘ)>０ꎬｆᶄｘ()<０ꎬ则ｆｘ()在ｔꎬ＋ɕ()上单调递减ꎬｆ(ｘ)ｍａｘ＝２(ｌｎｔ＋ｔ＋１)ｔ２＋２ｔ＝１ｔ１ꎬ２().因为ｍȡ２ｌｎｘ＋ｘ＋１()ｘ２＋２ｘ在０ꎬ＋ɕ()上恒成立ꎬ所以ｍȡ２ｌｎｘ＋ｘ＋１()ｘ２＋２ｘ][ｍａｘꎬ故ｍȡ２ꎬ则整数ｍ的最小值为２[４].从这道题目的解析中能够看出ꎬ通过二次求导判断参数的取值范围仍然需要分析导数与零之间的关系ꎬ不同的是要根据函数的最大值倒推参数.３结束语二次求导在函数问题的解决中有着极其重要的应用ꎬ教师应当加大专题教学的力度ꎬ力求学生能深入理解㊁掌握二次求导的方法ꎬ而且能够熟练应用二次求导解决各种函数难题.参考文献:[１]许国庆.二次求导在解题中的妙用[Ｊ].高中数理化ꎬ２０２２(１５):５０－５１.[２]白亚军.利用二次求导突破函数综合问题[Ｊ].中学生理科应试ꎬ２０２０(０７):１５－１６.[３]毛芹.利用二次求导简化函数综合问题的策略[Ｊ].语数外学习(高中版中旬)ꎬ２０１９(０４):３９.[４]石家屹.小构造再求导大智慧:浅谈函数问题中二次求导的应用[Ｊ].中学生数理化(学习研究)ꎬ２０１８(０９):３６.[责任编辑:李㊀璟]４５。

高考数学二阶导数的用法及零点尝试法

例1. 2()23x f x e x x =+-，当12x ≥时，25()(3)12f x x a x ≥+-+恒成立，求实数a 的取值范围。

导数研究函数单调性

导数研究函数单调性在数学中，函数单调性是一个非常重要的概念。

它描述了函数在定义域内的增减规律，是研究函数导数的一个重要应用。

本文将探讨导数与函数单调性之间的关系，并介绍相关的定理和方法。

一、函数的单调性函数的单调性是指函数在定义域内的增减规律。

1.1单调递增与单调递减如果对于定义域内的任意两个实数x1和x2，当x1<x2时，有f(x1)<f(x2)，则函数f(x)在定义域内是单调递增的；如果对任意两个实数x1和x2，当x1<x2时，有f(x1)>f(x2)，则函数f(x)在定义域内是单调递减的。

1.2严格单调性与非严格单调性如果对于定义域内任意两个不相等的实数x1和x2，当x1<x2时，有f(x1)<f(x2)或f(x1)>f(x2)，则函数f(x)在定义域内是严格单调的；如果对于任意两个实数x1和x2，当x1≤x2时，有f(x1)≤f(x2)或f(x1)≥f(x2)，则函数f(x)在定义域内是非严格单调的。

函数的导数是描述函数变化率的重要工具。

导数可以用来研究函数的单调性。

2.1导数与函数增减变化如果函数在其中一区间内的导数始终大于零，那么函数在这个区间内是递增的；如果函数在其中一区间内的导数始终小于零，那么函数在这个区间内是递减的。

2.2导数与函数极值函数在极值点（即导数为零的点）处可能发生函数单调性的转折。

如果函数在极值点的导数发生正负跳变，那么函数在极值点是非严格单调的；如果函数在极值点的导数保持正负不变，那么函数在极值点是严格单调的。

三、函数单调性的判定方法3.1一阶导数法首先求函数的一阶导数，然后根据一阶导数的正负变化情况来判断函数的单调性。

当一阶导数始终大于零时，函数为递增函数；当一阶导数始终小于零时，函数为递减函数。

3.2二阶导数法求函数的二阶导数，然后根据二阶导数的正负来判断函数的单调性。

当二阶导数始终大于零时，函数为凸函数，是严格单调递增的；当二阶导数始终小于零时，函数为凹函数，是严格单调递减的。

数学(心得)之浅析应用二阶导数求函数的单调性

数学论文之浅析应用二阶导数求函数的单调性浅析应用二阶导数求函数的单调性◎蔡圣兵徐春桃●定义：函数f（x）的（一阶）导函数f′（x）在x的导数，称为函数f（x）在x的二阶导数，表示为f″（x），即f″（x）=limΔx →0f′(x+Δx)－f′(x)Δx．笔者对应用二阶导数来研究函数的单调性作了小许尝试，下面就以部分地区的调研试题为例作说明：例1：（2007年东北三校）若函数f（x）=sinxx，且0＜x1＜x2＜1，设a=sinx1x1，b=sinx2x2，则a、b的大小关系是（）A．a＞bB．a＜bC．a=bD．a、b的大小不能确定【解析】此题很容易想到去研究函数y=sinxx在x∈（0，1）的单调性．由f（x）=sinxx得f′（x）=xcosx－sinxx2，再记g（x）=xcosx －sinx，∴g′（x）=－xsinx+cosx－cosx=－xsinx，∵0＜x＜1，∴g′（x）＜0，即函数g（x）在（0，1）上是减函数，∴g（x）＜g（0）=0，因此f′（x）＜0，故函数f（x）在（0，1）是减函数，∴f（x1）＞f （x2），即a＞b，故选A．【点评】本题用二阶导数的思想研究y=g（x）的单调性，从而达到求y=f（x）单调性的目的．当然，本题也可以如下处理：由f′（x）=xcosx－sinxx2=cosx(x－tanx)x2，又x∈（0，1）（0，π2），我们易证x＜tanx，∴f′（x）＜0，∴f（x）在（0，1）单调递减，∴f（x1）＞f（x2），即a＞b，因此选A．例2：（2008黄冈模拟）已知函数f（x）=1+ln(x+1)x（x＞0）．（1）函数f（x）在区间（0，+∞）上是增函数还是减函数？证明你的结论；（2）若当x＞0时，f（x）＞kx+1恒成立，求正整数k的最小值．【解析】第（1）问可直接求导得f′（x）=－1x2［1x+1+ln（x+1）］，易知f′（x）＜0，故函数f（x）在区间（0，+∞）上是减函数．第（2）问：当x＞0时，f（x）＞kx+1恒成立．即h（x）=(x+1)［1+ln(x+1)］x＞k对任意x＞0恒成立．也即h（x）（x＞0）的最小值大于k．又h′（x）=x－1－ln(x+1)x2又记φ（x）=x－1－ln（x+1）（x＞0）则φ′（x）=1x+1＞0∴φ（x）在（0，+∞）上连续递增．又φ（2）=1－ln3＜0，φ（3）=2－2ln2＞0即φ（2）φ（3）＜0 ∴φ（x）=0存在唯一根x=m，且m∈（2，3）即φ（m）=0，也即m－1－ln（m+1）=0∴x（0，m）m（m，+∞）φ（x）－0+h′（x）－0+h（x）↘极小值↗∴h（x）min=h（m）=(m+1)［1+ln(m+1)］m=（m+1）mm=m+1 ∴k＜m+1又m+1∈（3，4）故正整数k的最大值为3．【评注】此题也是通过研究φ（x）的单调性进而来确定f（x）的单调性．另外，我们也可以按以下思路处理：先取x=1，计算得k＜2（1+ln2）＜4，并由此猜想k的最大值为3，然后再进行论证（请同学们自己尝试）．例3：（武汉市2009届高中毕业生二月调研考试）已知函数f（x）=sinx3cosx－x．（0＜x＜π2）．（1）求f（x）的导数f′（x）；（2）求证：不等式sin3x＞x3cosx在（0，π2］上恒成立；（3）求g（x）=1sin2x－1x2（0＜x≤π2）的最大值．【解析】（1）直接用公式求解得f′（x）=cos23x+13sin2xcos－43x －1.（2）记G（x）=f′（x）=cos23x+13sin2xcos－43x－1，则G′（x）=23cos-13x(－sinx)+13［2sinxcosxcos－43x+sin2x(－43)cos－73x(－sinx)］=49sin3xcos－73x＞0.即G′（x）＞0在x∈（0，π2）恒成立．∴G（x）在x∈（0，π2）为增函数．∴G（x）＞G（0）=0，也即f′（x）＞0在x∈（0，π2）恒成立．∴f（x）在x∈（0，π2）也为增函数．∴f（x）＞f（0）=0，即sinx3cosx＞x sin3x＞x3cosx．又当x=π2时，经计算sin3x＞x3cosx成立．于是sin3x－x3cosx＞0在x∈（0，π2］上恒成立．（3）由（2）知g′（x）=2(sin3x－x3cosx)x3sin3x＞0在x∈（0，π2］恒成立．∴g（x）在（0，π2］上单调递增．∴g（x）≤g（π2）=1－4π2．∴g（x）的最大值为1－4π2．【点评】此题是2009年武汉市二月调考的压轴题，从学生的答卷来看，第（2）问得分不够理想，假若同学们熟知二阶导数的思想，那问题就可迎刃而解了．导数的应用已由解决函数、数列、不等式问题的辅助工具上升为解决问题的必不可少的工具，特别是利用导数来解决函数的单调性与最（极）值问题已成为炙手可热的热点．导数应用在高考中经历了2004年的“课本变式”期，2005年、2006年的“基本应用”期，2007年、2008年的“灵活运用”期，我认为现在我们要特别关注导数应用的创新，而高等数学知识的下放又是创新的一个重要方面，因此，二阶导数的合理使用应是我们复习关注的重点．（原载2009年6月《语数外学习》）。

二阶导数求导公式

二阶导数求导公式二阶导数是对一个函数的一次导数再求导数的结果。

求导是微积分中的一项重要操作，可以帮助我们理解函数的变化率和曲线的形状。

对于一般的函数，可以通过一些公式来求其二阶导数。

首先，我们来看一阶导数的定义。

对于一个函数f(x)，其一阶导数f'(x)表示其对x的变化率。

一阶导数的计算公式是：f'(x) = lim(h→0) [f(x+h) - f(x)] / h （1）二阶导数是对一阶导数再求导数的结果。

通过对一阶导数f'(x)求导，可以得到二阶导数f''(x)。

即：f''(x) = lim(h→0) [f'(x+h) - f'(x)] / h现在我们可以根据这个定义来求取常见函数的二阶导数。

1.多项式函数多项式函数是指由常数和变量的乘积相加而成的函数，形如f(x)=a_n*x^n+a_{n-1}*x^{n-1}+...+a_1*x+a_0。

其中a_n,a_{n-1},...,a_1,a_0为常数，n为非负整数。

对于多项式函数，其一阶导数是一个次数比原函数低1的多项式，二阶导数则是次数再低一级。

具体来说：- 对于function f(x) = a_n * x^n + a_{n-1} * x^{n-1} + ... + a_1 * x + a_0来说，其一阶导数是f'(x) = n * a_n * x^{n-1} + (n-1) * a_{n-1} * x^{n-2} + ... + a_1-对于f'(x)进行一次求导，即可得到f''(x)=n*(n-1)*a_n*x^{n-2}+(n-1)*(n-2)*a_{n-1}*x^{n-3}+...举个例子，对于函数f(x)=x^2+3x+2，其一阶导数f'(x)=2x+3，二阶导数f''(x)=22.幂函数幂函数是指形如f(x)=x^n的函数，其中n是常数。

专题02 利用导数研究函数单调性问题(含参数讨论) (解析版)

导数及其应用专题二：利用导数研究函数单调性问题（含参数讨论）一、知识储备往往首先考虑是否导数恒大于零或恒小于零，再考虑可能大于零小于零的情况。

常与含参数的一元二次不等式的解法有关，首先讨论二次项系数，再就是根的大小或判别式，能表示出对应一元二次方程的根时讨论根的大小、端点实数的大小，不能时讨论判别式。

二、例题讲解1．（2022·山东莱州一中高三开学考试）已知函数()1ln f x x a x =--（其中a 为参数）. （1）求函数()f x 的单调区间；【答案】（1）答案见解析；【分析】（1）求导可得()af x x x'-=，分0a ≤和0a >进行讨论即可；【详解】（1）()af x x x'-=，(0,)x ∈+∞，当0a ≤时，()0f x '>，()f x ∴在(0,)+∞上递增，当0a >时，令()0f x '=，得x a =，()0,x a ∈时，()f x 单调递减， (,)x a ∈+∞时，()f x 单调递增；综上：0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上递增，无减区间，当0a >时，()f x 的单调递减区间为()0,a ，单调递增区间为(,)a +∞；2．（2022·宁夏银川一中高三月考（文））已知函数2()(2)ln f x x a x a x =---（a R ∈）（1）求函数()y f x =的单调区间；【分析】（1）先求出函数的定义域，然后对函数求导，分0a ≤和0a >两种情况判断导数的正负，从而可求得函数的单调区间，【详解】（1）函数()f x 的定义域是(0,)+∞，(1)(2)()2(2)a x x a f x x a x x'+-=---= 当0a ≤时，()0f x '>对任意(0,)x ∈+∞恒成立，所以，函数()f x 在区间(0,)+∞单调递增；当0a >时，由()0f x '>得2a x >，由()0f x '<，得02ax <<，所以，函数在区间,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在区间0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减；综上：0a ≤时，()f x 的单调增区间为(0,)+∞，无单调减区间. 0a >时，()f x 的单调增区间为,2a ⎛⎫+∞ ⎪，单调减区间为0,2a ⎛⎫ ⎪.3．（2022·广西高三开学考试（理））函数()322f x x x ax =++，（1）讨论()f x 的单调性；【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；【分析】（1）求得()'f x ，对a 进行分类讨论，由此求得()f x 的单调性.【详解】（1）()'234f x x x a =++，1612a ∆=-①若43a ≥，则0∆≤，()'0f x ≥；()f x 单调递增； ②若43a <则0∆>，当x <x >()'0f x >，()f x 单调递增；x <<，()'0f x <，()f x 单调递减；【点睛】若函数的导函数含有参数，则需要对参数进行分类讨论，分类讨论要做到不重不漏.三、实战练习1．（2022·全国高三月考）设函数()()()21ln 11f x x x ax x a =++--+-，a R ∈．(1)求()f x '的单调区间【答案】(1)答案见解析；【分析】(1)先对函数()f x 进行求导，构造函数再分0a ≤，0a >两种情况进行讨论，利用导数研究函数的单调性即可求解；【详解】(1)由题意可得()f x 的定义域为{}1x x >-，()()ln 12f x x ax +'=-．令()()()ln 121g x x ax x =+->-，则()1122211a axg x a x x --=-='++．当0a ≤时，当()1,x ∈-+∞时，()0g x '>，函数()g x 单调递增；当0a >时，当11,12x a ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，()0g x '>，函数()g x 单调递增；当11,2x a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x '<，函数()g x 单调递减，所以当0a ≤时，()f x '的单调递增区间为()1,-+∞；当0a >时，()f x '的单调递增区间为11,12a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，单调递减区间为11,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭．2．（2022·浙江舟山中学高三月考）已知函数()22ln (R)f x x x a x a =-+∈（1）当0a >时，求函数()f x 的单调区间；【答案】（1）当12a ≥时，函数在()0+∞，递增；当102a <<时，函数在()10,x 递增，()12,x x 递减，()2,x +∞递增其中12x x =；【分析】（1）求()f x '，令()0f x '=可得2220x x a -+=，分别讨论0∆≤和0∆>时，求不等式()0f x '>，()0f x '<的解集，即可求解；【详解】（1）()22ln (R)f x x x a x a =-+∈定义域为()0,∞+， ()22222a x x af x x x x-+'=-+=()0x >，令()0f x '=可得2220x x a -+=，当480a ∆=-≤即12a ≥时，()0f x '≥对于()0,x ∈+∞恒成立，所以()f x 在()0,∞+上单调递增，当480a ∆=->即102a <<时，由2220x x a -+=可得：x =，由()0f x '>可得：0x <<或x >由()0f x '<x <<所以()f x 在⎛ ⎝⎭和⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增，在⎝⎭上单调递减，综上所述：当12a ≥时，()f x 的单调递增区间为()0,∞+；当102a <<时，()f x 的单调递增区间为⎛ ⎝⎭和⎫+∞⎪⎪⎝⎭单调递减区间为⎝⎭. 3．（2022·山东济宁一中）已知函数()ln f x x a x =-，a ∈R ．（1）求函数()f x 的单调区间；【答案】（1）答案见解析；【分析】（1）对函数求导，进而讨论a 的范围，最后得到函数的单调区间；【详解】（1）函数()f x 的定义域为{}0x x >，()1a x a f x x x'-=-=0a ≤时，()0f x '>恒成立，函数()f x 在()0,∞+上单调递增；0a >时，令()0f x '=，得x a =．当0x a <<时，()0f x '<，函数()f x 为减函数；当x a >时，()0f x '>，函数()f x 为增函数．综上所述，当0a ≤时，函数()f x 的单调递增区间为()0,∞+，无单调递减区间；当0a >时，函数()x 的单调递减区间为()0,a ，单调递增区间为(),a +∞． 4．（2022·仪征市精诚高级中学高三月考）已知函数()()1n f x x ax a =-∈R ．（1）讨论函数()f x 的单调性；【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）求出函数导数，讨论a 的范围结合导数即可得出单调性；【详解】（1）11()(0)axf x a x xx-'=-=> 当0a ≤时，()0f x '>，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增；当0a >时，令()0f x '=，得到1x a=，所以当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增，当1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减．综上所述，当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递增；当0a >时，()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减．5．（2022·嘉峪关市第一中学高三模拟预测（理））已知函数()21xf x e ax =--，()()2ln 1g x a x =+，a R ∈.（1）求()f x 的单调区间；【答案】（1）答案见解析；【分析】(1)求出函数()f x 的导函数()f x '，按a 分类解不等式()0f x '<、()0f x '>即得；【详解】(1)对函数()21x f x e ax =--求导得，()2xf x e a '=-，当0a ≤时，()0f x '>，()f x 在R 上为增函数，当0a >时，由()20xf x e a '=-=，解得：()ln 2x a =，而()f x '在R 上单调递增，于是得当(,ln(2))∈-∞x a 时，()0f x '<，()f x 在(,ln(2))a -∞上为减函数，当()()ln 2,x a ∈+∞时，()0f x '>，()f x 在()()ln 2,a +∞上为增函数，所以，当0a ≤时，()f x 的单调递增区间为R ，当0a >时，()f x 的单调递减区间是(,ln(2))a -∞，单调递增区间是()()ln 2,a +∞；6．（2022·榆林市第十中学高三月考（文））已知函数()2ln f x ax x x =--，0a ≠．（1）试讨论函数()f x 的单调性；【答案】（1）当0a <时，函数()f x 在()0,∞+上单调递减；当0a >时，()f x 在⎛ ⎝⎭上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增．【分析】（1）求出导函数()212121ax x f x ax x x -'-=--=，设()221g x ax x =--，对a 分类讨论：当0a <时，函数()f x在()0,∞+上单调递减；当0a >时，()f x 在⎛ ⎝⎭上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增．【详解】函数()2ln f x ax x x =--的定义域为()0+∞，. （1）()212121ax x f x ax x x-'-=--=，设()221g x ax x =--当0a <时，因为函数()g x 图象的对称轴为104x a=<，()01g =-．所以当0x >时，()0g x <，()0f x '<，函数()f x 在()0,∞+上单调递减；当0a >时，令()0g x =．得1x =2x =当20x x <<时，()0<g x ，()0f x '<，当2x x >时，()0>g x ，()0f x '>．所以函数()f x 在⎛ ⎝⎭上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增． 7．（2022·嘉峪关市第一中学高三三模（理））设函数()2ln f x ax a x =--，其中a ∈R ．（1）讨论()f x 的单调性；【答案】（1）答案见解析；【分析】（1）求导，当0a ≤时，可得()0f x '<，()f x 为单调递减函数；当0a >时，令()0f x '=，可得极值点，分别讨论在⎛ ⎝和+⎫∞⎪⎭上，()'f x 的正负，可得()f x 的单调区间，即可得答案.【详解】（1）()()212120.ax f x ax x x x-'=-=>当0a ≤时，()0f x '<，()f x 在()0,∞+内单调递减. 当0a >时，由()0f x '=，有x =此时，当x ∈⎛⎝时，()0f x '<，()f x 单调递减；当x ∈+⎫∞⎪⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增. 综上：当0a ≤时，()f x 在()0,∞+内单调递减，当0a >时，()f x 在⎛ ⎝内单调递减，在+⎫∞⎪⎭单调递增. 8．（2022·贵州省思南中学高三月考（文））设函数()22ln 1f x x mx =-+.（1）讨论函数()f x 的单调性；【答案】(1)函数()f x 的单调性见解析；【分析】(1)求出函数()f x 的定义域及导数，再分类讨论导数值为正、为负的x 取值区间即得；【详解】(1)依题意，函数()f x 定义域为(0,)+∞，()222(1)2mx f x mx x x-'=-=，当0m ≤时，()0f x '>，()f x 在(0,)+∞上单调递增，当0m >时，由()0f x '=得x =，当0x <<()0f x '>，当x >时，()0f x '<，于是得()f x 在上单调递增，在)+∞上单调递减，所以，当0m ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递增，当0m >时，()f x 在上单调递增，在)+∞上单调递减；9．（2022·河南（理））已知函数()()2ln f x x m x x =--（8m ≥-，且0m ≠）．（1）讨论函数()f x 的单调性；【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；【分析】（1）求导得到221()mx mx f x x --'=-，转化为二次函数2()21g x mx mx =--的正负进行讨论，分0∆≤，0∆>两种情况讨论，即得解；【详解】（1）函数()f x 的定义域为()0,∞+，2121()(21)mx mx f x m x x x--'=--=-，令2()21g x mx mx =--，()g x 为二次函数，28m m ∆=+， ①当80m -≤<时，0∆≤，()0g x ≤，所以()0f x '≥，故()f x 在()0,∞+单调递增； ②当0m >时，0∆>，令()0g x =，得1x =2x =，显然120x x <<，所以当()20,x x ∈，()0g x <，所以()0f x '>，故()f x 单调递增；当()2,x x ∈+∞时，()0g x >，所以()0f x '<，()f x 单调递减．综上，当0m >时，()f x 在⎛ ⎝⎭单调递增，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递减；当80m -≤<时，()f x 在()0,∞+单调递增．10．（2022·河南高三月考（文））已知函数()()2ln f x x m x x =--（8m ≥-，且0m ≠）.（1）讨论函数()f x 的单调性；【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）求导2121()(21)mx mx f x m x x x --'=--=-，令2()21g x mx mx =--，然后由0∆≤，0∆>讨论求解；【详解】（1）函数()f x 的定义域为()0,∞+，2121()(21)mx mx f x m x x x--'=--=-，令2()21g x mx mx =--，()g x 为二次函数，28m m ∆=+， ①当80m -≤<时，0∆≤，()0g x ≤，所以()0f x '≥，故()f x 在()0,∞+单调递增； ②当0m >时，0∆>，令()0g x =，得1x =2x =，显然120x x <<，所以当()20,x x ∈，()0g x <，所以()0f x '>，()f x 单调递增；当()2,x x ∈+∞时，()0g x >，所以()0f x '<，()f x 单调递减.综上，当80m -≤<时， ()f x 在()0,∞+单调递增；当0m >时，()f x 在⎛ ⎝⎭单调递增，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递减. 11．（2022·湖南高三模拟预测）设函数1()ln ,()3a f x x g x ax x-=+=-．（1）求函数()()()x f x g x ϕ=+的单调递增区间；【答案】（1）答案见解析；（2）存在符合题意的整数λ，其最小值为0．【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间即可；【详解】解：（1）函数()ϕx 的定义域为()0,∞+，函数()ϕx 的导数2(1)(1)()x ax a x x ϕ'++-=，当0a <时，()ϕx 在10,a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a a -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减当01a 时，()ϕx 在R +上单调递增．当1a >时，()ϕx 在10,a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,a a -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增．综上可知，当0a <时，()ϕx 的单调递增区间是10,a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭；当01a 时，()ϕx 的单调递增区间是(0,)+∞；当1a >时，()ϕx 的单调递增区间是1,a a -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭． 12．（2022·安徽高三月考（文））已知函数21()ln 2f x x a x =-．（1）讨论()f x 的单调性；【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；（2）12a =．【分析】（1）求导函数()'f x ，分类讨论确定()'f x 的正负，得单调区间；【详解】解：（1）由题意，可得0x >且2 ()a x a f x x x x-'=-= ①若0a ≤，()0f x '>恒成立，则()f x 在(0,)+∞上是增函数②0a >，则2()a x a f x x x x -==='-所以当x ∈时，()0f x '<，当)x ∈+∞时，()0f x '>则()f x 在上是减函数，在)+∞上是增函数综上所述，若0a ≤，()y f x =在(0,)+∞上是增函数若0a >，()y f x =在上是减函数，在)+∞上是增函数13．（2022·湖北武汉·高三月考）已知函数2()ln (1),2a f x x x a x a R =+-+∈ （1）讨论函数()f x 的单调区间；【答案】（1）答案见解析；【分析】（1）求得(1)(1)()x ax f x x '--=，分0a ≤，01a <<，1a =和1a >四种情况讨论，结合导数的符号，即可求解；【详解】（1）由题意，函数2()ln (1)2a f x x x a x =+-+的定义域为(0,)+∞，且21(1)1(1)(1)()(1)ax a x x ax f x ax a x x x-++--=+-+=='， ①当0a ≤时，令()0f x '>，解得01x <<，令()0f x '<，解得1x >，所以()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减；②当01a <<时，令()0f x '>，解得01x <<或1x a>，令()0f x '<，解得11x a <<，所以()f x 在(0,1)，1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在11,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减； ③当1a =时，则()0f x '≥，所以在(0,)+∞上()f x 单调递增，④当1a >时，令()0f x '>，解得10x a<<或1x >，令()0f x '<，解得11x a <<，所以()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(1,)+∞上单调递增，在1,1a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减；综上，当0a ≤时，()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减；当01a <<时，()f x 在(0,1)，1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在11,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减；当1a =时，()f x 在(0,)+∞上单调递增；当1a >时，()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(1,)+∞上单调递增，在1,1a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减； 14．（2022·双峰县第一中学高三开学考试）已知函数()2()1e x f x x ax =-+．（1）讨论()f x 的单调性；【答案】（1）当0a =时，()f x 在R 上单调递增；当0a <时，()f x 在(),1a -∞-和(1,)-+∞上单调递增，在()1,1a --上单调递减；当0a >时，()f x 在(),1-∞-和(1,)a -+∞上单调递增，在()1,1a --上单调递减；【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系，讨论0a =，0a >和0a <情况下，导数的正负，即可得到()f x 的单调性；【详解】（1）函数()2()1e x f x x ax =-+，求导()()()()21e 11e 2x x f x x a x a x a x '⎡⎤+=⎣+-⎦=-+-+由()0f x '=，得11x a =-，21x =-①当0a =时，()()21e 0x f x x '+≥=，()f x ∴在R 上单调递增；②当0a <时，在(),1x a ∈-∞-有()0f x '>，故()f x 单调递增；在()1,1x a ∈--有()0f x '<，故()f x 单调递减；在(1,)x ∈-+∞有()0f x '>，故()f x 单调递增；③当0a >时，在(),1x ∈-∞-有()0f x '>，故()f x 单调递增；在()1,a 1x ∈--有()0f x '<，故()f x 单调递减；在(1,)x a ∈-+∞有()0f x '>，故()f x 单调递增；综上所述，当0a =时，()f x 在R 上单调递增；当0a <时，()f x 在(),1a -∞-和(1,)-+∞上单调递增，在()1,1a --上单调递减；当0a >时，()f x 在(),1-∞-和(1,)a -+∞上单调递增，在()1,1a --上单调递减；。

高考数学热点必会题型第7讲导数之二阶导数的应用(原卷及答案)

高考数学热点必会题型第5讲导数之二阶导数的应用——每天30分钟7天掌握一、重点题型目录【题型】一、利用二阶导数求函数的极值（极大值或极小值）【题型】二、利用二阶导数求函数的单调性【题型】三、利用二阶导数求参数的范围【题型】四、利用二阶导数证明不等式【题型】五、利用二阶导数与函数的对称性求值【题型】六、利用二阶导数与函数的凹凸性求值二、题型讲解总结第一天学习及训练【题型】一、利用二阶导数求函数的极值（极大值或极小值）例1．（2022·广西北海·一模（理））已知()12,,x x m ∈+∞()0m >，若12x x <，121112x x x x -->恒成立，则正数m 的最小值是（） A ．1eB ．1C ．11e+D ．e例2．（2022·湖南·高二期中）已知二次函数()2f x ax bx c =++的图象过点()0,1-，且当0x >时，()ln f x x ≥，则ba的最小值为（）A ．2-B ．12-C ．e -D ．1e-例3．（2021·江苏·高二专题练习）设函数()()(1)(3,4)x x kf x e e x k -=--=，则（）A ．3k =时，()f x 在0x =处取得极大值B ．3k =时，()f x 在1x =处取得极小值C ．4k =时，()f x 在0x =处取得极大值D ．4k =时，()f x 在1x =处取得极小值例4．（2022·重庆市育才中学模拟预测）已知函数()()32012x a f x ae x ax a =--->，若函数()y f x =与()()y f f x =有相同的最小值，则a 的最大值为（）． A ．1B ．2C ．3D ．4例5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()ln 2f x x x x =+，若k Z ∃∈，使得()21f x kk x+>+在()2,x ∈+∞恒成立，则k 的最大值为（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【题型】二、利用二阶导数求函数的单调性例5．（2022·湖北·竹溪县第二高级中学高三阶段练习）若19ln sin a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，ln9b =-，ln(ln 0.9)c =-，则（）A ．c<a<bB ．c b a <<C ．a b c <<D ．a c b <<例6．（2022·河南·模拟预测（理））己知22e 2e e e a a b b a b -=-，则（） A ．0a b +≥B ．0a b +≤C ．0ab ≥D ．0ab ≤例7．（2022·黑龙江·嫩江市第一中学校高三期末（理））若22sin 4sin cos 41-=-+a a b b b b a ，则（） A ．2a b >B ．2a b <C ．|||2|>a bD ．|||2|<a b例8．（2022·浙江省春晖中学模拟预测）在关于x 的不等式()2222e e 4e e 4e 0x x x a x a -+++>（其中e=2.71828为自然对数的底数）的解集中，有且仅有两个大于2的整数，则实数a 的取值范围为（） A ．4161,5e 2e ⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．391,4e 2e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．42164,5e 3e ⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．3294,4e 3e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭第二天学习及训练【题型】三、利用二阶导数求参数的范围例9．（2022·辽宁·东北育才双语学校模拟预测）设函数()2ln f x x x=+，()0,6x ∈，()f x 的图像上的两点()11,A x y ，()22,B x y 处的切线分别为1l ，2l ，且12x x <，1l ，2l 在y 轴上的截距分别为1b ，2b ，若12l l ∥，则12b b -的取值范围是（） A ．2ln 2,23⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．2ln 2,1ln 23⎛⎫-+ ⎪⎝⎭C ．2ln 2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．()1ln 2,2+例10．（2022·河南·南阳中学高三阶段练习（文））若关于x 的不等式32ln 42x x x x ax +≤++恒成立，则实数a 的取值范围为（） A ．[)1,-+∞B ．[)1,+∞C ．1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．[),e +∞例11．（2022·全国·高二课时练习）已知函数()22e 1ln x f x x kx x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，若函数()f x 有唯一极值点，则实数k 的取值范围为（）A ．()(]{}2,00,4e 2e ∞-⋃⋃B ．(),4e ∞-C ．()4e,∞+D ．[)4e,∞+例12．（2021·江苏·高二单元测试）若关于x 的不等式2112ln 022x m x --≥在[]2,4上有解，则实数m 的取值范围是（）A ．15,4ln 2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ B ．15,8ln 2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ C ．15,4ln 2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．15,8ln 2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【题型】四、利用二阶导数证明不等式例13．（2022·辽宁朝阳·高二期末）已知函数()f x 为偶函数，且当0x ≥时，2()e cos x f x x x =+-，则不等式(3)(21)0f x f x ---<的解集为（） A ．42,3⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．(,2)-∞-C ．(2,)-+∞D ．4(,2),3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭例14．（2022·全国·高二专题练习）已知123a =，()11e b e =+，134c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）． A ．b a c >>B ．c b a >>C ．c a b >>D ．a b c >>例15．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()ln 2f x x x x =+，若k Z ∃∈，使得()21f x kk x+>+在()2,x ∈+∞恒成立，则k 的最大值为（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5例16．（2023·全国·高三专题练习）已知()f x 是R 上的偶函数，当[)0,x ∈+∞时，()2cos 12x f x x =-+，且()()21f x a f x +<+对x ∀∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是___________.第三天学习及训练【题型】五、利用二阶导数与函数的对称性求值例17．（2022·四川·成都七中模拟预测（理））对于三次函数()32f x ax bx cx d =+++（0a ≠），给出定义：设()f x '是函数()y f x =的导数，()f x ''是()f x '的导数，若方程()0f x ''=有实数解0x ，则称点()()00,x f x 为函数()y f x =的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数()3211533212g x x x x =-+-，则122014201520152015g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（）A ．2014B ．2013C ．20155D ．1007例18．（2022·广东广州·高二期末）对于三次函数()()320ax bx d a f x cx =+++≠，现给出定义：设()f x '是函数()f x 的导数，()f x ''是()f x '的导数，若方程()0f x ''=有实数解0x ，则称点()()00,x f x 为函数()()320ax bx d a f x cx =+++≠的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数()3232g x x x =-+，则1231910101010g g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（） A ．0 B ．1C ．32-D ．32例19．（2022·全国·高三专题练习）设函数()y f x ''=是()y f x '=的导数，经过探究发现，任意一个三次函数()()320ax bx d a f x cx =+++≠的图象都有对称中心()()00,x f x ，其中0x 满足()00f x ''=，已知函数()3272392f x x x x =-+-，则12320212022202220222022f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（） A ．2021 B ．20212C ．2022D ．40212例20．（2016·湖南衡阳·高三阶段练习（文））设函数()y f x ''=是()y f x '=的导数．某同学经过探究发现，任意一个三次函数()()320ax bx d a f x cx =+++≠都有对称中心()()0,x f x ，其中0x 满足()00f x ''=．已知函数()3211533212f x x x x =-+-，则1232016...2017201720172017f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（） A ．2013 B ．2014 C ．2015 D ．2016【题型】六、利用二阶导数与函数的凹凸性求值例21．（2022·陕西渭南·高二期末（理））给出定义:若函数()f x 在D 上可导，即()f x '存在，且导函数()f x '在D 上也可导，则称()f x 在D 上存在二阶导函数.记()()()f x f x ''''=，若()0f x ''<在D 上恒成立，则称()f x 在D 上为凸函数.以下四个函数在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上是凸函数的有（）①()sin cos f x x x =+，②()e x f x x -=-，③()ln 2f x x x =-，④3()21f x x x =-+-. A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个例22．（2023·全国·高三专题练习）设函数f （x ）在区间I 上有定义，若对12,x x I ∀∈和()0,1λ∀∈，都有()()()()()121211f x x f x f x λλλλ+-≤+-，那么称f （x ）为I 上的凹函数，若不等号严格成立，即“<”号成立，则称f （x ）在I 上为严格的凹函数.对于上述不等式的证明，19世纪丹麦数学家琴生给出了如下的判断方法：设定义在（a ，b ）上的函数f （x ），其一阶导数为()f x '，其二阶导数为()f x ''（即对函数()f x '再求导，记为()f x ''），若()0f x ''>，那么函数f （x ）是严格的凹函数（()f x '，()f x ''均可导）.试根据以上信息解决如下问题：函数()21ln f x m x x x=++在定义域内为严格的凹函数，则实数m 的取值范围为___________.例23．（2021·江苏扬州·高三阶段练习）函数()y g x =在区间[a ，]b 上连续，对[a ，]b 上任意二点1x 与2x ，有1212()()()22x x g x g x g ++<时，我们称函数()g x 在[a ，]b 上严格上凹，若用导数的知识可以简单地解释为原函数的导函数的导函数（二阶导函数）在给定区间内恒为正，即()0g x ''>.下列所列函数在所给定义域中“严格上凹”的有（） A ．2()log (0)f x x x => B ．()2x f x e x -=+C ．3()2(0)f x x x x =-+<D ．2()sin (0)f x x x x π=-<<高考数学热点必会题型第5讲导数之二阶导数的应用——每天30分钟7天掌握一、重点题型目录【题型】一、利用二阶导数求函数的极值（极大值或极小值）【题型】二、利用二阶导数求函数的单调性【题型】三、利用二阶导数求参数的范围【题型】四、利用二阶导数证明不等式【题型】五、利用二阶导数与函数的对称性求值【题型】六、利用二阶导数与函数的凹凸性求值二、题型讲解总结第一天学习及训练【题型】一、利用二阶导数求函数的极值（极大值或极小值）例1．（2022·广西北海·一模（理））已知()12,,x x m ∈+∞()0m >，若12x x <，121112x x x x -->恒成立，则正数m 的最小值是（） A ．1eB ．1C ．11e+D ．e【答案】B 【分析】不等式121112x x x x -->化简可得()()11221ln 1ln x x x x ->-，利用导数研究函数()()1ln f x x x =-的单调性，结合已知条件和函数的单调性可求m 的最小值.【详解】由121112x x x x -->，化简可得121112ln ln x x x x -->，即()()11221ln 1ln x x x x ->-．令()()1ln f x x x =-，则原不等式可化为()()12f x f x >，由已知()f x 在(),m +∞上为单调递减函数，又()11ln ln 1x f x x x x x -=-+=-+-'，令()1ln 1u x x x =-+-，则()2110u x x x-'=-≤在()0,∞+上恒成立，所以()u x 在()0,∞+上单调递减，又()10u =，所以当()0,1x ∈时，()0u x >，当()1,x ∈+∞时，()0u x <．故当()0,1x ∈时，0fx，当()1,x ∈+∞时，()0f x '<．即()f x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减．所以m 1≥．所以正数m 的最小值是1，故选：B ．例2．（2022·湖南·高二期中）已知二次函数()2f x ax bx c =++的图象过点()0,1-，且当0x >时，()ln f x x ≥，则ba的最小值为（）A ．2-B ．12-C ．e -D ．1e-【答案】D【分析】将元不等式变形为ln 1()x ax b g x x++≥=，利用导数研究()g x 的单调性可得当直线y ax b =+与()g x 相切时ba取得最小值，根据导数的几何意义和直线的点斜式方程求出切线方程，进而得出(2ln 1)()b x x h x a x+-==，利用二次求导研究()h x 的单调性，求出max ()h x 即可.【详解】由()1f x =-知1c =-，∴()21f x ax bx =+-，∴()ln 1ln x f x x ax b x +≥⇔+≥，令ln 1()(0)x g x x x +=>，则1()0eg =， 2ln ()xg x x-'=，令()01g x x '>⇒<，令()01g x x '<⇒>，所以函数()g x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，如图，若y ax b =+图象在()g x 图象上方，则01x <<，要使y ax b =+图象在()g x 图象上方，则ba表示x 轴截距的相反数，ba的最小值即为截距的最大值，而当截距最大时，直线y ax b =+与()g x 相切，记切点为00(,)x y ，则0020ln ()x g x a x -'==，又00ln 1()x g x x +=，所以00000220000ln ln 1ln 2ln 1()x x x x y x x x x x x x -+-+=-+=+，有()0002ln 1ln x x b a x +-=，设()()2ln 1(01)ln x x h x x x+=<<，则()()2222ln 1ln 12(ln )ln 1()(ln )(ln )x x x x h x x x -++-'==，故当1(0,)ex ∈时，函数()0h x '>，当1(,1)e x ∈时，()0h x '<，故当(0,1)x ∈时，函数()h x 在1(0,)e上单调递增，在1(,1)e 上单调递减，此时max 11()()e eh x h ==，综上，b a的最小值为1e -.故选：D.例3．（2021·江苏·高二专题练习）设函数()()(1)(3,4)x x kf x e e x k -=--=，则（）A ．3k =时，()f x 在0x =处取得极大值B ．3k =时，()f x 在1x =处取得极小值C ．4k =时，()f x 在0x =处取得极大值D ．4k =时，()f x 在1x =处取得极小值【答案】D【分析】先对()f x 求导并整理，当3k =时，令2()(2)4x g x x e x =++-，对()g x 二次求导判断其单调性，得()g x 在R 上单调递增，由函数零点存在定理确定零点所在区间，从而得()f x 的单调性即可判断；当4k =时，令2()(3)5x h x x e x =++-，同理求导，判断单调性即可判断.【详解】解：由()()(1)x x k f x e e x -=--，得 1()()(1)()(1)x x k x x k f x e e x k e e x ---'=+-+--12(1)(1)1k x x x x k e x k e--⎡⎤=-++--⎣⎦，当3k =时，22(1)()(2)4x x x f x x e x e-'⎡⎤=++-⎣⎦，令2()(2)4x g x x e x =++-，222()2(2)1(25)1x x x g x e x e x e '=+++=++， 222()22(25)(412)x x x g x e x e x e ''=++=+，所以当3x <-时，()0g x ''<，()g x '在(),3-∞-上单调递减；当3x >-时，()0g x ''>，()g x '在()3,-+∞上单调递增，所以6()(3)10g x g e -''≥-=->，所以()g x 在R 上单调递增，又2(0)240,(1)330g g e =-<=->，则()g x 在区间()0,1上存在唯一零点0x ，当0x x <时，()0g x <，即()0f x '<，()f x 在()0,x -∞单调递减；当0x x >时，()0g x >，即()0f x '>，()f x 在()0,x +∞单调递增；所以()f x 在0x x =处取得唯一极值，故选项A 、B 错误；当4k =时32(1)()(3)5x x x f x x e x e-'⎡⎤=++-⎣⎦，令2()(3)5x h x x e x =++-，则222()2(3)1(27)1x x x h x e x e x e '=+++=++， 222()22(27)(416)x x x h x e x e x e ''=++=+，所以当<4x -时，()0h x ''<，()h x '在(),4-∞-上单调递减；当4x >-时，()0h x ''>， ()h x '在()4,-+∞上单调递增；所以8()(4)10h x h e -''≥-=->，则()h x 在R 上单调递增，又(0)0,(1)0h h <>，则()h x 在区间()0,1上存在唯一零点t ，则令()0f x '=，得1x =或(0,1)x t =∈，当x t <或1x >时，()0f x '>，()f x 单调递增，当1t x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减，所以()f x 在x t =处取得极大值，在1x =处取得极小值，选项C 错误，选项D 正确. 故选：D.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是，利用二次求导判断导函数的单调性，然后再利用函数零点存在定理确定零点所在区间，从而得原函数的单调性.例4．（2022·重庆市育才中学模拟预测）已知函数()()32012xa f x ae x ax a =--->，若函数()y f x =与()()y f f x =有相同的最小值，则a 的最大值为（）．A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】首先利用导数求解函数的单调性，再根据函数值域与定义域的关系即可得出结论.【详解】根据题意，求导可得，()()204x a f x ae x a a '=-->， ∴()1022xx a f x ae x a e x ⎛⎫''=-=-> ⎪⎝⎭（ x e x >），∴f x 在R 上单调递增，又∴当0x =时，()00f '= ∴当0x <时，0f x，即函数()f x 在,0上单调递减，当0x >时，0fx，即函数()f x 在0,上单调递增，故有()()min 02f x f a ==-，即得()[)2,f x a ∈-+∞，所以根据题意，若使()()min 2f f x a =-，需使()f x 的值域中包含[)0,+∞，即得202a a -≤⇒≤，故a 的最大值为2. 故选：B.【点睛】求函数最值和值域的常用方法：（1）单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值；（2）图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值；（3）基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值；（4）导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值；（5）换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值. 例5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()ln 2f x x x x =+，若k Z ∃∈，使得()21f x kk x+>+在()2,x ∈+∞恒成立，则k 的最大值为（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】C【分析】首先参变分离得ln 2x x x k x +<-，再设函数()ln 2x x x h x x +=-，求导数()()242ln 2x x h x x --'=-，再设()42ln g x x x =--，再求导数，通过函数()g x '恒正，判断函数()g x 的单调性，并判断()h x 的极值点所在的区间，求得函数的最小值，同时求得k 的最大值.【详解】依题意，ln 2x x x k x +<-，令()ln 2x x x h x x +=-，则()()242ln 2x x h x x --'=-．令()42ln g x x x =--，()21g x x'=-，∴2x >时，()0g x '>，即()g x 单调递增，∴()4242ln8l n 8n l 80g e =-=-<，()52952ln9ln ln90g e =-=->，设42ln 0x x --=并记其零点为0x ，故089x <<．且004ln 2x x -=，所以当02x x <<时，()0g x <，即()0h x '<，()h x 单调递减；当0x x >时，()0g x >即()0h x '>，()h x 单调递增，所以()()0000000min 0004ln 2222x x x x x x x h x h x x x -⎛⎫+ ⎪+⎝⎭====--，因此02x k <，由于Z k ∈且089x <<，即09422x <<，所以max 4k =，故选:C【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数研究函数的性质，考查考生逻辑推理、数学运算的核心素养，本题的关键是构造函数，并求两次导数，通过导数，逐级判断函数的单调性和最值.【题型】二、利用二阶导数求函数的单调性例5．（2022·湖北·竹溪县第二高级中学高三阶段练习）若19ln sin a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，ln9b =-，ln(ln 0.9)c =-，则（）A ．c<a<bB ．c b a <<C ．a b c <<D ．a c b <<【答案】A【分析】先由对数的运算法则把,,a b c 转化成同底的对数，再构造函数，利用导数判断单调性，进而,,a b c 的真数的大小关系，最后利用ln y x =的单调性判断,,a b c 的大小. 【详解】由对数的运算法则得1ln 9ln 9b =-=，10ln(ln 0.9)ln ln 9c ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭.令函数()sin f x x x =-，则()cos 10f x x '=-≤，即函数()f x 在R 是单调递减.11sin 99∴<令函数()()sin ln 1,0,6g x x x x π⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭，则()1cos 1g x x x '=-+，令函数()1cos ,0,16h x x x x π⎛⎫=-∈ ⎪+⎝⎭，则()()21sin 1h x x x '=-++，()h x '在0,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，且()211010,06216h h ππ⎛⎫''=>=-+< ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭， ()000,,06x h x π⎛⎫'∴∃∈= ⎪⎝⎭，所以()h x 在()00,x 上单调递增，在0,6x π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减.又()1600,06616h h πππ⎛⎫===-> ⎪+⎝⎭+ ()0h x ∴>在0,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭恒成立 ()0g x '∴>，即()g x 在0,6π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 ()()0=0g x g ∴>，则()sin ln 1x x >+ 当19x =时，1110sinln 1ln 999⎛⎫>+= ⎪⎝⎭. 又ln y x =在()0,∞+上单调递增10ln19∴> 1011ln ln ln sin ln 999⎛⎫⎛⎫∴<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ c a b ∴<<故选：C【点睛】利用导数判断函数值大小应注意的问题：在构造函数时需要视具体情况而定在判断导函数的正负时，尽量不要求二阶导数，而是把原导函数令为一个新函数，再求导判断正负来得到原导函数的单调性.例6．（2022·河南·模拟预测（理））己知22e 2e e e a a b b a b -=-，则（） A ．0a b +≥ B ．0a b +≤C ．0ab ≥D ．0ab ≤【答案】C【分析】变形()()22e e 2e e 2e b a a b b b a b =---，构造函数()2e 2e x xf x x =-，通过二次求导可知函数单调性，然后利用单调性可得a 、b 符号.【详解】()()22e e 2e e 2e b a a b b b a b =---，设()2e 2e x xf x x =-，则()()()22e 21e 2e e 1x x x xf x x x =-+=--'，设()e 1xg x x =--，则()e 1x g x '=-，当0x <时，()0g x '<，()g x 单调递减，当0x >时，()0g x '>，()g x 单调递增，所以()()00g x g ≥=，所以()()2e 0xf xg x '=≥，()f x 单调递增．当a b ≥时，()()e 0bb f a f b =-≥，故此时0a b ≥≥；当a b ≤时，()()e 0bb f a f b =-≤，故此时0a b ≤≤，所以0ab ≥.故选：C ．例7．（2022·黑龙江·嫩江市第一中学校高三期末（理））若22sin 4sin cos 41-=-+a a b b b b a ，则（） A ．2a b > B ．2a b < C ．|||2|>a b D ．|||2|<a b【答案】C【分析】构造函数2()sin f x x x x =+，利用导数判断单调性，结合奇偶性单调性来比较大小. 【详解】令2()sin f x x x x =+，∴22()sin()()sin ()-=--+-=+=f x x x x x x x f x ，∴()f x 是偶函数， ∴()sin cos 2(cos 1)(sin )=++=+++'f x x x x x x x x x ，令()sin g x x x =+，则()cos 10='+≥g x x ，∴()g x 在(0,)+∞上单调递增，当0x ≥时，()(0)0g x g ≥=，此时()0f x '>，∴()f x 在(0,)+∞上单调递增.由22sin 4sin cos 41-=-+a a b b b b a 可得22sin 2sin 2(2)1+=++a a a b b b ，即()(2)1=+f a f b ，∴()(2)>f a f b ，∴()f x 是偶函数，则(||)(|2|)>f a f b ，∴|||2|>a b . 故选：C.【点睛】本题求解的关键是把等量关系转化为不等关系，通过构造函数，研究函数的性质来求解，一次导数解决不了问题时，考虑二次导数.例8．（2022·浙江省春晖中学模拟预测）在关于x 的不等式()2222e e 4e e 4e 0x x x a x a -+++>（其中e=2.71828为自然对数的底数）的解集中，有且仅有两个大于2的整数，则实数a 的取值范围为（） A ．4161,5e 2e ⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．391,4e 2e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．42164,5e 3e ⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．3294,4e 3e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D【分析】将不等式转化为()()22e 21e x x a x ->-，分别研究两个函数的性质，确定a 的取值范围，构造函数，利用放缩法进一步缩小a 的取值范围，列出不等式组，求出结果.【详解】由()2222e e 4e e 4e 0x x x a x a -+++>，化简得：()()22e 21e x x a x ->-，设()()22e 2f x x =-，()()1e xg x a x =-，则原不等式即为()()f x g x >.若0a ≤，则当2x >时，()0f x >，()0g x <， ∴原不等式的解集中有无数个大于2的整数，∴0a >.∴()20f =，()22e 0g a =>，∴()()22f g <.当()()33f g ≤，即12ea ≥时，设()()()()4h x f x g x x =-≥，则()()()22e 2e 2e 2e 22exxx h x x ax x '=--≤--. 设()()()2e 2e 242e x x x x x ϕ=--≥，则()()21e 2e 2ex x x ϕ+'=-在[)3,+∞单调递减，所以()()()21e 2e302ex x x ϕϕ+''=-≤=，所以()()2e 2e 22ex x x x ϕ=--在[)4,+∞单调递减，∴()()()242e 2e 0x ϕϕ≤=-<，∴当4x ≥时，()0h x '<，∴()h x 在[]4,+∞上为减函数，即()()2423e 44e 3e e 402h x h a ⎛⎫≤=-≤-< ⎪⎝⎭，∴当4x ≥时，不等式()()f x g x <恒成立， ∴原不等式的解集中没有大于2的整数.∴要使原不等式的解集中有且仅有两个大于2的整数，则()()()()()()334455f g f g f g ⎧>⎪>⎨⎪≤⎩，即232425e 2e 4e 3e 9e 4e a a a ⎧>⎪>⎨⎪≤⎩，解得32944e 3e a ≤<. 则实数a 的取值范围为3294,4e 3e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故选：D【点睛】已知整数零点个数，求参数的取值范围，要从特殊点，特殊值缩小参数的取值范围，再利用导函数及放缩法进行求解，最终得到关于参数的不等关系，进行求解.第二天学习及训练【题型】三、利用二阶导数求参数的范围例9．（2022·辽宁·东北育才双语学校模拟预测）设函数()2ln f x x x=+，()0,6x ∈，()f x 的图像上的两点()11,A x y ，()22,B x y 处的切线分别为1l ，2l ，且12x x <，1l ，2l 在y 轴上的截距分别为1b ，2b ，若12l l ∥，则12b b -的取值范围是（） A ．2ln 2,23⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．2ln 2,1ln 23⎛⎫-+ ⎪⎝⎭C ．2ln 2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．()1ln 2,2+【答案】C【分析】利用导数求切线方程，结合两条切线平行，得到12x x ，的取值区间；再利用一阶导数求出相应点的切线方程，再求y 轴上的截距，然后确定12b b - 的单调性，然后就可以确定它的取值范围. 【详解】因为()2ln f x x x =+而()121206x x x x ∈<，，，，所以()22212x f x x x x-'=-+=，在点1112ln A x x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，处的切线方程为：()112111221ln y x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；在点2222ln B x x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，处的切线方程为：()222222221ln y x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；所以()1111211112124ln ln 1b x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+-++=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；2224ln 1b x x =+-；令()4ln 1b x x x =+- ，则()22414x b x x x x-'=-+= 11212121224444ln 1ln 1ln xb b x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+--+-=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭又因为12l l ∥ ，所以2211222121x x x x -+=-+，且124x x << 所以211112x x +=，112102x x x =-> ，12x > ，12246x x <<<< 所以112122224482ln 2ln 2x b b x x x x x ⎛⎫-=-+=-+ ⎪-⎝⎭，令()12822ln2g x b b x x =-=-+- ，()46x ∈，则()()()222481022x g x x x x x -'=-=-<-- 所以()12822ln 2g x b b x x =-=-+-在()46，单调递减. 所以()122ln 203b b ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，. 故选：C例10．（2022·河南·南阳中学高三阶段练习（文））若关于x 的不等式32ln 42x x x x ax +≤++恒成立，则实数a 的取值范围为（）A ．[)1,-+∞B ．[)1,+∞C ．1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．[),e +∞【答案】B 【分析】等价于2ln 42x a x x x x≥-+-，设函数()2ln 42x f x x x x x =-+-，利用导数求出函数()f x 的最大值即得解.【详解】解：依题意，2ln 42x a x x x x≥-+-，设函数()2ln 42x f x x x x x =-+-，则()224ln 3x x x f x x---+='，令()24ln 3h x x x x =---+，故()21420h x x x x'=---<，所以函数()h x 在()0,∞+上单调递减，而()10h =，故当()0,1x ∈时，()0f x '>，当()1,x ∈+∞时，()0f x '<，故函数()f x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，故()max ()11==f x f ，则1a ≥. 故选：B ．例11．（2022·全国·高二课时练习）已知函数()22e 1ln x f x x kx x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，若函数()f x 有唯一极值点，则实数k 的取值范围为（）A ．()(]{}2,00,4e 2e ∞-⋃⋃B ．(),4e ∞-C ．()4e,∞+D ．[)4e,∞+【答案】A【分析】求出原函数的导函数并化简得到()2212e 1x x f x x kx ⎛⎫-'=-⎪⎝⎭，1x =为导函数的零点，进而设()()22e 10xg x x kx=->，然后再通过导数方法判断出函数()g x 的零点，进一步得到函数()f x 的单调区间，最终确定出极值点个数求出答案.【详解】由题意，()22e 10,ln x x f x x kx x ⎛⎫>=-+ ⎪⎝⎭，则()()223222e 1112e 1x x x x x f x kx x x kx -⎛⎫--'=-=- ⎪⎝⎭，设()()22e 10xg x x kx=->，()22221e x x g x k x -'=⋅⋅.当0k >时，10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()0,g x g x '<单调递减，1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()()0,g x g x '>单调递增，()min 14e12g x g k⎛⎫==- ⎪⎝⎭ （1）若04e k <≤，则()()min 0g x g x ≥≥，则()0,1x ∈时，()()0,f x f x '<单调递减，()1,x ∈+∞时，()()0,f x f x '>单调递增，所以()f x 有唯一极值点1x =. （2）若24e<2e k <，则()min102g x g ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，()22e 110g k=->，22211212ee e 22212e 2e 112e 10112e 2e 2e g k k ⋅⎛⎫=-=->-> ⎪⎝⎭⋅⋅，结合函数()g x 的单调性可知，函数()g x 分别在110,,,122⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上存在唯一一个零点12,x x ，于是()10,x x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，()12,x x x ∈时，0f x ，()f x 单调递增，()2,1x x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减， ()1,x ∈+∞时，0fx，()f x 单调递增，所以()f x 有12,,1x x 三个极值点；（3）若22e k =，则()min102g x g ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，()22e 110g k=-=，221212e e 2212e 12e 1012e 2e g k ⋅⎛⎫=-=-> ⎪⎝⎭⋅，结合函数()g x 的单调性可知，函数()g x 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上存在唯一一个零点3x ，于是()30,x x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，()3,1x x ∈时，0f x ，()f x 单调递增，()1,x ∈+∞时，0fx ，()f x 单调递增，所以()f x 有3x x =唯一一个极值点；（4）若22e k >，则()22e 110g k=-<，又102x <<时，()22e 211x g x kx kx =->-，所以102x <<且2x k<时，()0g x >.设()()e 1xh x x x =->，()e 1e 10x h x '=->->，所以函数()h x 在()1,+∞上单调递增，故()()221e 10e e xxh x h x x >=->⇒>⇒>，于是1x >时，()22211x xg x kx k>-=-，所以1x >且2kx >时，()0g x >. 结合函数()g x 的单调性可知，函数()g x 分别在()10,,1,+2⎛⎫∞ ⎪⎝⎭上存在唯一一个零点45,x x ，于是()40,x x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，()4,1x x ∈时，0fx，()f x 单调递增，()51,x x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减， ()5,x x ∈+∞时，0f x，()f x 单调递增，所以()f x 有45,1,x x 三个极值点.当0k <时，10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()0,g x g x '>单调递增，1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()()0,g x g x '<单调递减，()max 14e102g x g k⎛⎫==-< ⎪⎝⎭，即()0g x <恒成立，于是()0,1x ∈时，()()0,f x f x '>单调递增，()1,x ∈+∞时，()()0,f x f x '<单调递减，所以()f x 有唯一极值点1x =.综上所述：k 的取值范围为(){}2,0(0,4e]2e -∞⋃⋃.故选：A.【点睛】本题非常复杂，注意以下两个方面：∴对函数求完导之后一定要因式分解，()2212e 1x x f x x kx ⎛⎫-'=- ⎪⎝⎭，现在只需要考虑()()22e 10xg x x kx =->的零点即可；∴因为导函数()f x '有一个零点1，所以在讨论函数()()22e 10xg x x kx=->的零点时一定要注意它的零点是否为1，方法是将x =1代入得到()222e 1102e g k k=-=⇒=，以此作为讨论的一个分界点. 例12．（2021·江苏·高二单元测试）若关于x 的不等式2112ln 022x m x --≥在[]2,4上有解，则实数m 的取值范围是（）A ．15,4ln 2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ B ．15,8ln 2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ C ．15,4ln 2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．15,8ln 2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】D【分析】把给定不等式转化为214ln x m x -≤在[]2,4上有解，构造函数()214ln x g x x-=，[]2,4x ∈，探讨该函数最大值即可得解.【详解】由[]2,4x ∈，得ln 0x >，又关于x 的不等式2112ln 022x m x --≥在[]2,4上有解，所以214ln x m x -≤在[]2,4上有解，即2max14ln x m x ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭，令()214ln x g x x -=，[]2,4x ∈，则()()()()2224124ln 12ln 4ln 4ln x x x x x x x x g x x x ⋅--⋅-+'==，设()12ln h x x x x x=-+，[]2,4x ∈，则()22112ln 212ln 10h x x x x x '=+--=+->，即()h x 在[]2,4上单调递增，则()()13324ln 224ln 220222h x h ≥=-+=->->，于是有()0g x '>，从而得()g x 在[]2,4上单调递增，因此，()()max 161151544ln 44ln 48ln 2g x g -====，则158ln 2m ≤，所以m 的取值范围是15,8ln 2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. 故选：D【点睛】思路点睛：涉及不等式在给定区间上有解求参数范围问题，常常采用分离参数，构造函数，再求函数最值的思路来解决问题. 【题型】四、利用二阶导数证明不等式例13．（2022·辽宁朝阳·高二期末）已知函数()f x 为偶函数，且当0x ≥时，2()e cos x f x x x =+-，则不等式(3)(21)0f x f x ---<的解集为（） A ．42,3⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．(,2)-∞-C ．(2,)-+∞D ．4(,2),3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭【答案】D【分析】结合导数以及函数的奇偶性判断出()f x 的单调性，由此化简不等式(3)(21)0f x f x ---<来求得不等式的解集.【详解】当0x ≥时，()()()'''2sin s 2cos 0,2,in x x x e x f x f x e x x e x x =++>=++++单调递增，()'01f =，所以()()'0,f x f x >单调递增.因为()f x 是偶函数，所以当0x <时，()f x 单调递减.(3)(21)0,(3)(21)f x f x f x f x ---<-<-，()()22321,321x x x x -<--<-，22269441,3280x x x x x x -+<-++->，()()23402x x x +->⇒<-或43x >. 即不等式(3)(21)0f x f x ---<的解集为4(,2),3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭.故选：D例14．（2022·全国·高二专题练习）已知123a =，()11e b e =+，134c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）． A ．b a c >> B ．c b a >> C ．c a b >> D ．a b c >>【答案】D【分析】根据题中a ，b ，c 的形式构造函数()()()1ln 1,0f x x x x=⋅+>，利用二次求导的方法判断函数()f x 的单调性，根据单调性即可比较大小. 【详解】因为()1212a =+，()11e b e =+，()1313c =+，所以令()()()1ln 1,0f x x x x=⋅+>，则()()2ln 11xx x f x x -++'=，令()()()ln 1,01x g x x x x =-+>+，则()()201x g x x -'=<+， ∴()g x 在()0,∞+上单调递减，()()00g x g <=，∴()0f x '<恒成立，∴()f x 在()0,∞+上单调递减． ∴23e <<，∴()()()23f f e f >>，即()()()111ln 12ln 1ln 1323e e +>+>+，所以()()()11123ln 12ln 1ln 13e e +>+>+，所以()11132314e e >+>，即a b c >>，故选：D ．例15．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()ln 2f x x x x =+，若k Z ∃∈，使得()21f x kk x+>+在()2,x ∈+∞恒成立，则k 的最大值为（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】C【分析】首先参变分离得ln 2x x x k x +<-，再设函数()ln 2x x x h x x +=-，求导数()()242ln 2x x h x x --'=-，再设()42ln g x x x =--，再求导数，通过函数()g x '恒正，判断函数()g x 的单调性，并判断()h x 的极值点所在的区间，求得函数的最小值，同时求得k 的最大值. 【详解】依题意，ln 2x x x k x +<-，令()ln 2x x x h x x +=-，则()()242ln 2x x h x x --'=-．令()42ln g x x x =--，()21g x x'=-，∴2x >时，()0g x '>，即()g x 单调递增，∴()4242ln8l n 8n l 80g e =-=-<，()52952ln9ln ln90g e =-=->，设42ln 0x x --=并记其零点为0x ，故089x <<．且004ln 2x x -=，所以当02x x <<时，()0g x <，即()0h x '<，()h x 单调递减；当0x x >时，()0g x >即()0h x '>，()h x 单调递增，所以()()0000000min 0004ln 2222x x x x x x x h x h x x x -⎛⎫+ ⎪+⎝⎭====--，因此02x k <，由于Z k ∈且089x <<，即09422x <<，所以max 4k =，故选:C【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数研究函数的性质，考查考生逻辑推理、数学运算的核心素养，本题的关键是构造函数，并求两次导数，通过导数，逐级判断函数的单调性和最值.例16．（2023·全国·高三专题练习）已知()f x 是R 上的偶函数，当[)0,x ∈+∞时，()2cos 12x f x x =-+，且()()21f x a f x +<+对x ∀∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是___________. 【答案】33,44⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】利用二次求导法，结合偶函数的性质进行求解即可.【详解】()()()()2cos 1sin 1cos 02x f x x g x f x x x g x x ''=-+⇒==-+⇒=-≥，故()g x 为增函数，当0x ≥时，()()00g x g ≥=，可得()f x 为增函数. 又()f x 为偶函数，故()()f x a f x a +=+，()()22221111f x a f x x a x x x a x x +<+⇔+<+⇔---<<-+恒成立. 因为221331()244x x x -+=-+≥，221331()244x x x -+-=---≤-，所以有3344a -<<，故答案为：33,44⎛⎫- ⎪⎝⎭第三天学习及训练【题型】五、利用二阶导数与函数的对称性求值例17．（2022·四川·成都七中模拟预测（理））对于三次函数()32f x ax bx cx d =+++（0a ≠），给出定义：设()f x '是函数()y f x =的导数，()f x ''是()f x '的导数，若方程()0f x ''=有实数解0x ，则称点()()00,x f x 为函数()y f x =的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数()3211533212g x x x x =-+-，则122014201520152015g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（）A ．2014B ．2013C ．20155D ．1007【答案】A【分析】根据对称中心的定义，由二阶求导可求出对称中心，进而根据对称中心的特征求解. 【详解】()3211533212g x x x x =-+-，所以()()23,21g x x x g x x '''=-+=-，令12102x x -=⇒=，112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以()3211533212g x x x x =-+-的对称中心为1,12⎛⎫⎪⎝⎭ ，()()1220141201412,20152015201520152015g x g x g g g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+-=∴++⋅⋅⋅+=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭22013100710081007220142015201520152015g g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选：A例18．（2022·广东广州·高二期末）对于三次函数()()320ax bx d a f x cx =+++≠，现给出定义：设()f x '是函数()f x 的导数，()f x ''是()f x '的导数，若方程()0f x ''=有实数解0x ，则称点()()00,x f x 为函数()()320ax bx d a f x cx =+++≠的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数()3232g x x x =-+，则1231910101010g g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（） A ．0 B ．1C ．32-D ．32【答案】A【分析】对函数()3232g x x x =-+求导，再求导()g x ''，然后令()0g x ''=，求得对称点即可.【详解】依题意得，()236g x x x '=-，()66g x x ''=-，令()0g x ''=，解得x ＝1，∴()10g =，∴函数()g x 的对称中心为()1,0，则()()20g x g x -+=， ∴11921831791121010101010101010+=+=+==+= ∴12319010101010g g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．故选：A.例19．（2022·全国·高三专题练习）设函数()y f x ''=是()y f x '=的导数，经过探究发现，任意一个三次函数()()320ax bx d a f x cx =+++≠的图象都有对称中心()()00,x f x ，其中0x 满足()00f x ''=，已知函数()3272392f x x x x =-+-，则12320212022202220222022f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（） A ．2021 B ．20212C ．2022D ．40212【答案】B【分析】通过条件，先确定函数()f x 图象的对称中心点，进而根据对称性求出函数值的和. 【详解】由()3272392f x x x x =-+-，可得()2669f x x x '=-+，()126f x x ''=-，令()1260f x x ''=-=，得12x =，又32111171239222222f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯+⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以对称中心为11,22⎛⎫⎪⎝⎭，所以12021220201,12022202220222022f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，…，11010102022202122f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1201011222f ⎛⎫= ⎪⎝⎭. 所以12320211202110101202220222022202222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+=⨯+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．故选：B.例20．（2016·湖南衡阳·高三阶段练习（文））设函数()y f x ''=是()y f x '=的导数．某同学经过探究发现，任意一个三次函数()()320ax bx d a f x cx =+++≠都有对称中心()()00,x f x ，其中0x 满足()00f x ''=．已知函数()3211533212f x x x x =-+-，则1232016...2017201720172017f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（） A ．2013 B ．2014 C ．2015 D ．2016【答案】D【分析】先求出()f x ''，结合题意求得函数()f x 的对称中心，进而得到()()12f x f x +-=，进而求出1232016...2017201720172017f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭即可. 【详解】由题意得，()()23,21f x x x f x x '''=-+=-，令()0f x ''=，解得12x =，又3211111153123222212f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯+⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以函数()f x 的对称中心为1,12M ⎛⎫⎪⎝⎭，则()()12f x f x +-=，1232016...2017201720172017f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1120162201520161...2201720172017201720172017f f f f f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()12201620162=⨯⨯=. 故选：D ．【题型】六、利用二阶导数与函数的凹凸性求值例21．（2022·陕西渭南·高二期末（理））给出定义:若函数()f x 在D 上可导，即()f x '存在，且导函数()f x '在D 上也可导，则称()f x 在D 上存在二阶导函数.记()()()f x f x ''''=，若()0f x ''<在D 上恒成立，则称()f x 在D 上为凸函数.以下四个函数在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上是凸函数的有。

利用导数研究函数的单调性之二阶求导型

利用导数研究函数的单调性之二阶求导型一、解答题〔题型注释〕1．函数ax x xe x f x--=ln )(2．〔1〕当0=a 时，求函数)(x f 在]1,21[上的最小值；〔2〕假设0>∀x ，不等式1)(≥x f 恒成立，求a 的取值范围；〔3〕假设0>∀x ，不等式ex xe x e e xx f 11111)1(2+-+≥-恒成立，求a 的取值范围．1．〔1〕ln 22e+；〔2〕2a ≤；〔3〕11(1)ee a e e≤---．【解析】试题分析：〔1〕由0=a 时，得出x xe x f xln )(2-=，那么21()(21)x f x x e x'=+-，再求导()f x ''，可得函数)(/x f 在),0(+∞上是增函数，从而得到函数()f x 的单调性，即可求解函数)(x f 在]1,21[上的最小值；〔2〕由〔1〕知函数)(/x f 在),0(+∞上是增函数，且00>∃x ，使得0()0f x '=，得01)12(0200=--+a x ex x ，即022000(2)1x ax x x e =+-，设022000()1ln 2x f x x x e =--，利用函数0()f x 的单调性，即可求解求a 的取值范围；〔3〕根据题意，转化为11ln xex e a x x x e+-≤--对任意0>x 成立，令exe e xx x x x g 11ln )(+---=，所以()g x '，可得出()g x 的单调性，求解出()g x 的最小值，即可a 的取值范围．试题解析：〔1〕0=a 时，x xe x f xln )(2-=，xe x xf x 1)12()(2/-+=∴，12//x /又函数)(/x f 的值域为R ，故00>∃x ，使得01)12()(0200/=-+=x ex x f x ，又022)21(/>-=e f ，210<∴x ，所以当]1,21[∈x 时，0)(/>x f ，即函数)(x f 在区间]1,21[上递增，所以2ln 2)21()(min +==ef x f〔2〕a xe x xf x --+=1)12()(2/，由〔1〕知函数)(/x f 在),0(+∞上是增函数，且00>∃x ，使得0)(0/=x f进而函数)(x f 在区间),0(0x 上递减，在),(0+∞x 上递增，00200min ln )()(0ax x e x x f x f x --==，由0)(0/=x f 得：01)12(0200=--+a x e x x， 1)2(020200-+=⇒x e x x ax ，0220002ln 1)(x e x x x f --=∴，因为0>∀x ，不等式1)(≥x f 恒成立，02ln 12ln 10022002200≤+⇒≥--∴x x e x x e x x2021)12(0200=+≤-+=∴x e x a x 〔另解：因为0>∀x ，不等式1)(≥x f 恒成立，即21)2(ln 21)2(ln 1ln 2ln 2ln 2+-+-=+-+-=--≤+xx x e x x x x e e x x xe a x x x x x 由21ln 12ln 122ln ≥--⇒++≥⇒+≥+xx xe x x ex e x xx x，当02ln =+x x 时取等号，2≤∴a 〕〔3〕由ex xe x e e x xf 11111)1(2+-+≥-，ex x x e x e e x x a x e x 111111ln 122+-+≥---⇒，e x e e x a x x x 11ln +-≥--⇒，exe e x x x x a 11ln +---≤⇒对任意0>x 成立，令函数exe e xx x x x g 11ln )(+---=，所以e x e e e x x x g )1(1ln )(/--+=，当1>x 时，0)(/>x g ，当10<<x 时，0)(/<x g ，所以当1=x 时，函数)(x g 取得最小值ee e e e e e g 11)1(11111)1(---=+---=， eee e a 1)1(1---≤∴考点：利用导数研究函数的单调性与极值〔最值〕．【方法点晴】此题主要考查了导数在函数中的综合应用，其中解答中涉及到利用导数研究函数的单调性及其应用、利用导数研究函数的极值与最值等知识点的综合考查，同时解答中注意对函数二次求导的应用和函数的构造思想，通过构造新函数，利用函数的性质解题的思想，着重考查了转化与化归思想以及推理与运算能力，试题有一定的难度，属于难题．2．函数()()12x x e f x ax a R e=--∈．〔1〕当32a =时，求函数()f x 的单调区间；〔2〕假设函数()f x 在[]1,1-上为单调函数，求实数a 的取值范围． 3．设函数ax x e x f x-++=)1ln()(.〔1〕当a=2时，判断函数)(x f 在定义域内的单调性；〔2〕当0≥x 时，x x f cos )(≥恒成立，求实数a 的取值范围. 4．函数2()ln ()2a f x x x x x a a R =--+∈在其定义域内有两个不同的极值点. 〔1〕求a 的取值范围；〔2〕设两个极值点分别为12,x x ，证明：212x x e •>.5．函数3()3||2f x x x a =+-+〔a R ∈〕．〔1〕当0a =时，讨论()f x 的单调性；〔2〕求()f x 在区间[]0,2上的最小值．6．设2()ln (21)f x x x ax a x =-+-，a R ∈.〔1〕令()'()g x f x =，求()g x 的单调区间；〔2〕()f x 在1x =处取得极大值.求实数a 的取值范围. 7〔1〕假设函数()f x 在0x =处有极值，求函数()f x 的最大值；〔2〕①是否存在实数b ，使得关于x 的不等式()0g x <在()0+∞，上恒成立？假设存在，求出b 的取值范围；假设不存在，说明理由； ②证明：不等式()2111ln 1,212nk k n n k =-<-≤=+∑参考答案1．〔1〕ln 22e+；〔2〕2a ≤；〔3〕11(1)ee a e e≤---．【解析】试题分析：〔1〕由0=a 时，得出x xe x f xln )(2-=，那么21()(21)x f x x e x'=+-，再求导()f x ''，可得函数)(/x f 在),0(+∞上是增函数，从而得到函数()f x 的单调性，即可求解函数)(x f 在]1,21[上的最小值；〔2〕由〔1〕知函数)(/x f 在),0(+∞上是增函数，且00>∃x ，使得0()0f x '=，得01)12(0200=--+a x e x x ，即022000(2)1x ax x x e =+-，设022000()1ln 2x f x x x e=--，利用函数0()f x 的单调性，即可求解求a 的取值范围；〔3〕根据题意，转化为11ln xe xe a x x x e +-≤--对任意0>x 成立，令exe e xx x x x g 11ln )(+---=，所以()g x '，可得出()g x 的单调性，求解出()g x 的最小值，即可a 的取值范围．试题解析：〔1〕0=a 时，x xe x f xln )(2-=，xe x xf x 1)12()(2/-+=∴，01)44()(22//>++=⇒xe x xf x ，所以函数)(/x f 在),0(+∞上是增函数，又函数)(/x f 的值域为R ，故00>∃x ，使得01)12()(0200/=-+=x ex x f x ，又022)21(/>-=e f ，210<∴x ，所以当]1,21[∈x 时，0)(/>x f ，即函数)(x f 在区间]1,21[上递增，所以2ln 2)21()(min +==ef x f〔2〕a xe x xf x --+=1)12()(2/，由〔1〕知函数)(/x f 在),0(+∞上是增函数，且00>∃x ，使得0)(0/=x f进而函数)(x f 在区间),0(0x 上递减，在),(0+∞x 上递增，00200min ln )()(0ax x e x x f x f x --==，由0)(0/=x f 得：01)12(0200=--+a x e x x， 1)2(020200-+=⇒x e x x ax ，0220002ln 1)(x e x x x f --=∴，因为0>∀x ，不等式1)(≥x f 恒成立，02ln 12ln 10022002200≤+⇒≥--∴x x e x x e x x2021)12(0200=+≤-+=∴x e x a x 〔另解：因为0>∀x ，不等式1)(≥x f 恒成立，即21)2(ln 21)2(ln 1ln 2ln 2ln 2+-+-=+-+-=--≤+xx x e x x x x e e x x xe a x x x x x 由21ln 12ln 122ln ≥--⇒++≥⇒+≥+xx xe x x ex e x xx x，当02ln =+x x 时取等号，2≤∴a 〕〔3〕由e x xe x e e x xf 11111)1(2+-+≥-，ex x x e x e e xx a x e x 111111ln 122+-+≥---⇒，e x e e x a x x x 11ln +-≥--⇒，exe e x x x x a 11ln +---≤⇒对任意0>x 成立，令函数exe e xx x x x g 11ln )(+---=，所以e x e e e x x x g )1(1ln )(/--+=，当1>x 时，0)(/>x g ，当10<<x 时，0)(/<x g ，所以当1=x 时，函数)(x g 取得最小值ee e e ee e g 11)1(11111)1(---=+---=， eee e a 1)1(1---≤∴考点：利用导数研究函数的单调性与极值〔最值〕．【方法点晴】此题主要考查了导数在函数中的综合应用，其中解答中涉及到利用导数研究函数的单调性及其应用、利用导数研究函数的极值与最值等知识点的综合考查，同时解答中注意对函数二次求导的应用和函数的构造思想，通过构造新函数，利用函数的性质解题的思想，着重考查了转化与化归思想以及推理与运算能力，试题有一定的难度，属于难题． 2．〔1〕单调递增区间为(),0-∞和()ln 2,+∞，单调递减为()0,ln 2; 〔2〕(1,2e e ⎡⎫-∞++∞⎪⎢⎣⎭．【解析】试题分析：〔1〕求函数的导数，并且通分，分解因式的化简，然后解()0>'x f 和()0<'x f 的解集；〔2〕假设函数在[]1,1-上为单调函数，所以分单调递增和单调递减两种情况讨论，假设单调递增，转化为12x x e a e ≤+在[]1,1-上恒成立，那么a 小于等于函数的最小值，假设函数单调递减，转化为12x x e a e ≥+在[]1,1-上恒成立，a 大于等于函数的最大值. 试题解析：()f x 的定义域为x R ∈，()12x xe f x a e '=+-，〔1〕32a =，那么()()()2113222x xx x x e e e f x e e--'=+-=，令()0f x '>，解得：ln 20x x ><或，令()0f x '<，解得：0ln 2x <<，∴()f x 的单调递增区间为(),0-∞和()ln 2,+∞，单调递减为()0,ln 2．〔2〕假设()f x 在[]1,1-上单调递增，那么()102x x e f x a e'=+-≥在[]1,1-上恒成立， ∴12x xe a e ≤+在[]1,1-上恒成立，令xt e =同，那么1,t e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，1112222xx et e t t +=+≥=，当且仅当12t t =，1,t e e ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦时取“=〞，又1122e e e e +>+∴[]1,1x ∈-1122x x e e e e≤+≤+ ① ，∴a ≤假设()f x 在[]1,1-上单调递减，那么()102x x e f x a e'=+-≤在[]1,1-上恒成立， ∴12x xe a e ≥+在[]1,1-上恒成立，由①式知，12a e e≥+，综上，a 的取值范围是(1,2e e ⎡⎫-∞++∞⎪⎢⎣⎭．考点：导数与函数的单调性3．〔1〕在),1(+∞-上是增函数;〔2〕 2≤a . 【解析】试题分析：〔1〕首先求函数的导数，令()()x f x g '=，并且注意函数的定义域，再求函数导数的导数()()211+-='x e x g x，分0>x 和01<<-x 讨论()x g '的正负，同时得到函数()x g 的单调性，求得()x g 的最小值为0，即()0≥'x f 恒成立，得到函数的单调性；〔2〕由〔1〕可得当2≤a 时，不等式恒成立，当2>a 时，记x x f x cos )()(-=ϕ，根据导数求函数的最值，证明不等式不恒成立.试题解析：〔1〕)(x f 的定义域为),1(+∞-，211)(-++='x e x f x，记211)(-++=x e x g x，那么2)1(1)(+-='x e x g x ，当x>0时，1)1(1,12<+>x e x ，此时0)(>'x g ，当-1<x<0时，1)1(1,12>+<x e x，此时0)(<'x g ，所以)(x f '在〔-1,0〕上递减，在),0(+∞上递增，∴0)0()(='≥'f x f ， ∴f〔x 〕在),1(+∞-上是增函数.〔2〕a x e x f x-++='11)(，由〔1〕知)(x f '在),0(+∞上递增，所以当2≤a 时，02)0()(≥-='≥'a f x f ，所以f 〔x 〕在),0[+∞上递增，故x f x f cos 1)0()(≥=≥恒成立. 当a>2时，记x x f x cos )()(-=ϕ，那么x a x e x xsin 11)(+-++='ϕ，当x>1时，0141)(>-->'e x h ，显然当10<≤x 时，0)(>'x h ，从而)(x ϕ'在),0[+∞上单调递增.又0)(,,02)0(>'+∞→<-='x x a ϕϕ，那么存在),0(0+∞∈x ，使得0)(0='x ϕ. 所以)(x ϕ在),0(0x 上递减，所以当),0(0x x ∈时，0)0()(=<ϕϕx ，即f 〔x 〕<cosx ，不符合题意. 综上，实数a 的取值范围是2≤a .考点：1.导数与单调性；2.导数的综合应用.【方法点睛】此题考查了导数与单调性的关系，以及证明不等式的问题，综合性较强，重点说说导数与函数单调性的证明，一种情况是求函数的导数后，能够解得()0>'x f 或()0<'x f 的解集，从而得到函数的单调递增和递减区间，令一种情况是求导后，不能直接求得()0>'x f 或()0<'x f 的解集，需要求函数的二阶导数，根据二阶导数大于0或小于0的解集，求得一阶导数的单调增减区间，同时求得一阶导数的最大值或是最小值，从而得到一阶导数的正负，求得函数的增或减区间. 4．〔1〕10a e<<；〔2〕证明见解析. 【解析】试题分析：〔1〕函数2()ln ()2a f x x x x x a a R =--+∈在其定义域内有两个不同的极值点等价于方程'()0f x =在(0,)+∞有两个不同根，即函数ln ()x g x x=与函数y a =的图象在(0,)+∞上有两个不同交点，讨论函数ln ()xg x x=单调性和极值根据图象即可求a 的取值范围；〔2〕作差得，1122ln ()x a x x x =-，即1212lnx x a x x =-.原不等式212x x e >等价于12ln ln 2x x +>12()2a x x ⇔+>1122122()lnx x x x x x -⇔>+，12x t x =，那么1t >，只需证明不等式2(1)ln 1t t t ->+成立即可. 试题解析：〔1〕依题意，函数()f x 的定义域为(0,)+∞，所以方程'()0f x =在(0,)+∞有两个不同根.即，方程ln 0x ax -=在(0,)+∞有两个不同根. 转化为，函数ln ()xg x x=与函数y a =的图象在(0,)+∞上有两个不同交点. 又'21ln ()x g x x-=，即0x e <<时，'()0g x >，x e >时，'()0g x <，所以()g x 在(0,)e 上单调增，在(,)e +∞上单调减，从而1()=()g x g e e=极大. 又()g x 有且只有一个零点是1，且在0x →时，()g x →-∞，在x →+∞时，()0g x →，所以()g x 的草图如下，可见，要想函数ln ()xg x x=与函数y a =的图象在(0,)+∞上有两个不同交点，只需10a e<<. 〔2〕由〔1〕可知12,x x 分别是方程ln 0x ax -=的两个根，即11ln x ax =，22ln x ax =，设12x x >，作差得，1122ln ()x a x x x =-，即1212lnx x a x x =-.原不等式212x x e >等价于12ln ln 2x x +>12()2a x x ⇔+>1122122()lnx x x x x x -⇔>+ 令12x t x =，那么1t >，1122122()2(1)ln ln 1x x x t t x x x t -->⇔>++，设2(1)()ln 1t g t t t -=-+，1t >，2'2(1)()0(1)t g t t t -=>+，∴函数()g t 在(1,)+∞上单调递增， ∴()(1)0g t g >=，即不等式2(1)ln 1t t t ->+成立，故所证不等式212x x e >成立.考点：1、利用导数研究函数的单调性及极值；2、利用导数证明不等式.【方法点睛】此题主要考查利用导数研究函数的单调性及极值、利用导数证明不等式，属于难题.不等式证明问题是近年高考命题的热点，命题主要是和导数、绝对值不等式及柯西不等式相结合，导数局部一旦出该类型题往往难度较大，要准确解答首先观察不等式特点，结合已解答的问题把要证的不等式变形，并运用已证结论先行放缩，然后再化简，或者进一步转化为不等式恒成立问题利用导数证明.5．〔1〕()f x 的增区间为(,1)-∞-，(0,)+∞，减区间为(1,0)-；〔2〕当0a ≤时，()f x 的最小值为32a -+；当01a ≤≤时，()f x 的最小值为32a +；当1a ≥时，()f x 的最小值为3a ．【解析】试题分析：〔1〕研究单调性，可求出导函数'()f x ，然后解不等式'()0f x >得单调增区间，解不等式'()0f x <得减区间，注意绝对值，要分类求解；〔2〕由于[0,2]x ∈，因此先分类0a ≤，2a ≥，02a <<，前两种情形，绝对值符号直接去掉，因此只要用导数'()f x 研究单调性可得最值，第三种情形同样要去绝对值符号，只是此时是分段函数，333()2,2,()3()2,0.x x a a x f x x x a x a ⎧+-+≤≤⎪=⎨--+≤≤⎪⎩，2233,2,'()33,0.x a x f x x x a ⎧+≤≤⎪=⎨-≤≤⎪⎩，可以看出这时又要分类：01a <<，12a ≤≤，得单调性再得最小值．试题解析：〔1〕当0a =时，3()3||2f x x x =++． ①当0x ≥时，3()32f x x x =++，2'()330f x x =+>， ∴()f x 在(0,)+∞单调递增；②当0x <时，3()32f x x x =-+，2'()333(1)(1)f x x x x =-=-+．10x -<<时，'()0f x <，∴()f x 在(1,0)-单调递减； 1x <-时，'()0f x >，∴()f x 在(,1)-∞-单调递增．综上，()f x 的增区间为(,1)-∞-，(0,)+∞，减区间为(1,0)-．〔2〕①2a ≥时，3()3()2f x x a x =+-+，02x ≤≤，2'()333(1)(1)f x x x x =-=-+，min ()(1)3f x f a ==．②0a ≤时，3()3()2f x x x a =+-+，02x ≤≤，2'()330f x x =+>，()f x 在[]0,2单调递增，∴min ()(0)32f x f a ==-+．③02a <<时，而02x ≤≤，333()2,2,()3()2,0.x x a a x f x x x a x a ⎧+-+≤≤⎪=⎨--+≤≤⎪⎩∴2233,2,'()33,0.x a x f x x x a ⎧+≤≤⎪=⎨-≤≤⎪⎩〔i 〕01a <<时，()f x 在[],2a 上单增，()f a 为最小值．2'()3(1)0f x x =-<在0x a ≤≤上恒成立，∴()f x 在[]0,a 上单调递减，∴3min ()()2f x f a a ==+．〔ii 〕12a ≤≤时，()f x 在[],2a 上单调递增，3min ()()2f x f a a ==+．在0x a ≤≤时，2'()3(1)f x x =-， ∴min ()(1)3f x f a ==．综上可知，当0a ≤时，()f x 的最小值为32a -+；当01a ≤≤时，()f x 的最小值为32a +；当1a ≥时，()f x 的最小值为3a ．考点：分段函数，用导数研究函数的单调性、最值．6．〔1〕当0a ≤时，函数()g x 单调递增区间为(0,)+∞，当0a >时，函数()g x 单调递增区间为1(0,)2a ，单调递减区间为1(,)2a +∞；〔2〕12a > 【解析】试题分析：〔1〕先求出()'()g x f x =的解析式，然后求函数的导数()g x '，利用函数单调性和导数之间的关系，即可求出()g x 的单调区间；〔2〕分别讨论a 的取值范围，根据函数极值的定义，进行验证可得结论.试题解析：〔1〕()ln 22g x x ax a =-+，(0,)x ∈+∞，那么112'()2axg x a x x-=-=，当0a ≤时，(0,)x ∈+∞时，'()0g x >，当0a >时，1(0,)2x a∈时，'()0g x >， 1(,)2x a∈+∞时，'()0g x <，所以当0a ≤时，函数()g x 单调递增区间为(0,)+∞；当0a >时，函数()g x 单调递增区间为1(0,)2a ，单调递减区间为1(,)2a +∞.〔5分〕〔2〕由〔1〕知，'(1)0f =.①当0a ≤时，(0,1)x ∈时，'()0f x <，(1,)x ∈+∞时，'()0f x >，所以()f x 在1x =处取得极小值，不合题意.②当102a <<时，112a >，由〔1〕知'()f x 在1(0,)2a内单调递增，当(0,1)x ∈时，'()0f x <，1(1,)2x a∈时，'()0f x >，所以()f x 在1x =处取得极小值，不合题意. ③当12a =时，即112a=时，'()f x 在(0,1)内单调递增，在(1,)+∞内单调递减，所以当(0,)x ∈+∞时，'()0f x ≤，()f x 单调递减，不合题意. ④当12a >时，即1012a <<，当1(,1)2x a∈时，'()0f x >，()f x 单调递增，当(1,)x ∈+∞时，'()0f x <，()f x 单调递减，所以()f x 在1x =处取得极大值，合题意. 综上可知，实数a 的取值范围为12a >. 考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值.【方法点晴】此题主要考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的极值，表达了导数的综合应用，着重考查了函数的单调性、极值和导数的关系，要求熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值与最值，把问题等价转化等是解答的关键，综合性强，难度较大，平时注意解题方法的积累与总结，属于难题.7．〔1〕最大值为()00f =；〔2〕①b 的取值范围是1b ≥；②证明见解析．【解析】试题分析：〔1〕由()f x 在0x =处有极值得'(0)0f =，从而求得a ，然后由'()f x 正负，研究()f x 的单调性，得极值，最值；〔2〕①这类问题，可假设存在，不等式()0g x <在()0+∞，上恒成立，考虑到(0)0g =，因此最好有(0,)x ∈+∞时，()(0)g x g <，那么恒成立结论为真，由此研究()g x 单调性，求导1'()1g x b x =-+，注意到1011x <<+，因此分类1b ≥，0b ≤ ，01b <<分别研究'()g x 的正负，得()g x 的单调性，可得结论；②要证明此不等式，可能需要用到上面函数的结论，由上面的推理()()ln 101xx x x x<+<>+，取1x n =得不等式：111ln 11n n n ⎛⎫<+< ⎪+⎝⎭，令21ln 1nn k k x n k ==-+∑，那么112x =，因此只要证得{}n x 是递减数列，不等式的右边就证得，为此作差()1222111ln 101111n n n n x x n n n n n n-⎛⎫-=-+<-=-< ⎪+-++⎝⎭，不等式的左边，由()1211ln ln ln 1ln1ln 1nn k k n k k k -==⎛⎫=--+=+⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭∑∑，那么有1122211111ln 1ln 1111nn n n k k k k k n x k k k k n --===⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-++ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑∑∑12111n k kk k -=⎛⎫>- ⎪+⎝⎭∑()12111n k k k -=⎛⎫ ⎪=- ⎪+⎝⎭∑()1111111n k k k n -=⎛⎫≥-=-+>- ⎪ ⎪+⎝⎭∑．这里用到了不等式的放缩法．试题解析：〔1，且函数()f x 在0x =处有极值，当()1,0x ∈-时，()()'0,f x f x >单调递增当()0,x ∈+∞时，()()'0,f x f x <单调递减所以函数()f x 的最大值为()00f= 〔2〔i 〕假设1b ≥，那么[)0,x ∈+∞时，所以()()ln 1g x x bx =+-在[)0,+∞上为减函数 ∴()()()ln 100g x x bx g =+-<=在[)0,+∞上恒成立；〔ii 〕假设0b ≤，那么[)0,x ∈+∞时，所以()()ln 1g x x bx =+-在[)0,+∞上为增函数 ∴()()()ln 100g x x bx g =+->=，不能使()0g x <在[)0,+∞上恒成立；〔iii 〕假设01b <<，那么()'101g x b x =-=+时，11x b=- 当10,1x b ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭时，()'0g x ≥ 所以()()ln 1g x x bx =+-在10,1b ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上为增函数，此时()()()ln 100g x x bx g =+->= 所以不能使()0g x <在[)0,+∞上恒成立综上所述，b 的取值范围是1b ≥ ②由以上得：()()ln 101xx x x x<+<>+ 取1x n =得：111ln 11n n n ⎛⎫<+< ⎪+⎝⎭，令21ln 1nn k k x n k ==-+∑ 那么()112221111,ln 1021111n n n n x x x n n n n n n-⎛⎫=-=-+<-=-< ⎪+-++⎝⎭ 因此1112n n x x x -<<=又()1211ln ln ln 1ln1ln 1nn k k n k k k -==⎛⎫=--+=+⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭∑∑ 故1122211111ln 1ln 1111nn n n k k k k k n x k k k k n --===⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=++ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑∑∑ ()()11122111111111111n n n k k k kk k k k n k k ---===⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪>-=-≥-=-+>- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑. 考点：用导数研究函数的极值、单调性、最值，不等式恒成立问题，用函数证明不等式．。

二阶导在函数问题中的应用

二阶导在函数问题中的应用摘要：函数单调性是学生在高中阶段的函数学习中最早接触的一个问题，在高考数学的题目中关于函数单调性类的问题也是非常常见，为更好攻克单调性类题目的解题难关，提升高中生的数学解题效率，本文中我将以二阶导在函数中的应用为例，以两个例题讲解利用二阶导求函数单调性的具体方法及训练策略。

关键词：二阶导数；函数问题；高中数学中图分类号：G688.2 文献标识码：A 文章编号：ISSN0257-2826（2019）12-041-01引言：函数f(x)的一阶导函数f’(x)在x的导数即原函数的二阶导数，在数学中，我们将其表示为f’’(x)。

在高中数学中的函数单调性类问题考察中，有很多题目我们可以通过一次求导的方式进行解决，但是也有很多题目在我们一次求导完成后并不能直接判断原函数的单调性质，这时我们就必须对原函数进行二阶求导，因而二阶导数方法在数学题目解决中具有着一定的探究意义，那么在实际解题中我们应该如何利用二阶导函数求证函数的单调性呢？一、第一道例题——根据单调性求大小函数的单调性问题是学生函数学习的基础，其在学生今后的函数学习方面具有着重要的价值，但是很多学生并没有掌握科学的求解方法，尤其是对于那些需要进行二阶求导的问题，总有学生错了又错[1]。

为提升学生在单调性类问题上的解题效率，本部分中我将借助题目分析的方法帮助学生梳理利用二阶导求函数单调性的方法。

例题：已知函数f(x)=sinx/x，且0＜x1＜x2＜1，假如a=sinx1/x1，b=sinx2/x2，求a、b之间的大小关系。

解析：在看到这一题目时我们应该想到要想解决问题，我们就必须先通过分析函数在x∈（0,1）上的单调性，然后再结合题目思考a、b之间的大小关系，其中在分析单调性方面，我们就需要用到二阶求导。

在此题中，已知函数为f(x)=sinx/x，根据这一函数我们可以得到f’(x)=xcosx－sinx/x2，继而根据二阶求导的思想我们又能得到g(x)=xcosx－sinx，g’(x)=﹣xsinx＋cosx－cosx=﹣xsinx。

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利用导数研究函数的单调性之二阶求导型一、解答题（题型注释）1．已知函数ax x xe x f x--=ln )(2．（1）当0=a 时，求函数)(x f 在]1,21[上的最小值；（2）若0>∀x ，不等式1)(≥x f 恒成立，求a 的取值范围；（3）若0>∀x ，不等式ex xe x e e xx f 11111)1(2+-+≥-恒成立，求a 的取值范围．1．（1）ln 22e+；（2）2a ≤；（3）11(1)ee a e e≤---．【解析】试题分析：（1）由0=a 时，得出x xe x f xln )(2-=，则21()(21)x f x x e x'=+-，再求导()f x ''，可得函数)(/x f 在),0(+∞上是增函数，从而得到函数()f x 的单调性，即可求解函数)(x f 在]1,21[上的最小值；（2）由（1）知函数)(/x f 在),0(+∞上是增函数，且00>∃x ，使得0()0f x '=，得01)12(0200=--+a x ex x ，即022000(2)1x ax x x e =+-，设022000()1ln 2x f x x x e =--，利用函数0()f x 的单调性，即可求解求a 的取值范围；（3）根据题意，转化为11ln xex e a x x x e+-≤--对任意0>x 成立，令exe e xx x x x g 11ln )(+---=，所以()g x '，可得出()g x 的单调性，求解出()g x 的最小值，即可a 的取值范围．试题解析：（1）0=a 时，x xe x f xln )(2-=，xe x xf x 1)12()(2/-+=∴，01)44()(22//>++=⇒xe x xf x ，所以函数)(/x f 在),0(+∞上是增函数，又函数)(/x f 的值域为R ，故00>∃x ，使得01)12()(0200/=-+=x ex x f x ，又022)21(/>-=e f Θ，210<∴x ，所以当]1,21[∈x 时，0)(/>x f ，即函数)(x f 在区间]1,21[上递增，所以2ln 2)21()(min +==ef x f（2）a xe x xf x --+=1)12()(2/，由（1）知函数)(/x f 在),0(+∞上是增函数，且00>∃x ，使得0)(0/=x f进而函数)(x f 在区间),0(0x 上递减，在),(0+∞x 上递增，00200min ln )()(0ax x e x x f x f x --==，由0)(0/=x f 得：01)12(0200=--+a x e x x， 1)2(020200-+=⇒x e x x ax ，0220002ln 1)(x e x x x f --=∴，因为0>∀x ，不等式1)(≥x f 恒成立，02ln 12ln 10022002200≤+⇒≥--∴x x e x x e x x2021)12(0200=+≤-+=∴x e x a x （另解：因为0>∀x ，不等式1)(≥x f 恒成立，即21)2(ln 21)2(ln 1ln 2ln 2ln 2+-+-=+-+-=--≤+xx x e x x x x e e x x xe a x x x x x 由21ln 12ln 122ln ≥--⇒++≥⇒+≥+xx xe x x ex e x xx x，当02ln =+x x 时取等号，2≤∴a ）（3）由ex xe x e e x xf 11111)1(2+-+≥-，ex x x e x e e x x a x e x 111111ln 122+-+≥---⇒，e x e e x a x x x 11ln +-≥--⇒，exe e x x x x a 11ln +---≤⇒对任意0>x 成立，令函数exe e xx x x x g 11ln )(+---=，所以e x e e e x x x g )1(1ln )(/--+=，当1>x 时，0)(/>x g ，当10<<x 时，0)(/<x g ，所以当1=x 时，函数)(x g 取得最小值ee e e e e e g 11)1(11111)1(---=+---=， eee e a 1)1(1---≤∴考点：利用导数研究函数的单调性与极值（最值）．【方法点晴】本题主要考查了导数在函数中的综合应用，其中解答中涉及到利用导数研究函数的单调性及其应用、利用导数研究函数的极值与最值等知识点的综合考查，同时解答中注意对函数二次求导的应用和函数的构造思想，通过构造新函数，利用函数的性质解题的思想，着重考查了转化与化归思想以及推理与运算能力，试题有一定的难度，属于难题．2．已知函数()()12x x e f x ax a R e=--∈．（1）当32a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 在[]1,1-上为单调函数，求实数a 的取值范围． 3．设函数ax x e x f x-++=)1ln()(.（1）当a=2时，判断函数)(x f 在定义域内的单调性；（2）当0≥x 时，x x f cos )(≥恒成立，求实数a 的取值范围. 4．已知函数2()ln ()2a f x x x x x a a R =--+∈在其定义域内有两个不同的极值点. （1）求a 的取值范围；（2）设两个极值点分别为12,x x ，证明：212x x e •>.5．已知函数3()3||2f x x x a =+-+（a R ∈）．（1）当0a =时，讨论()f x 的单调性；（2）求()f x 在区间[]0,2上的最小值．6．设2()ln (21)f x x x ax a x =-+-，a R ∈.（1）令()'()g x f x =，求()g x 的单调区间；（2）已知()f x 在1x =处取得极大值.求实数a 的取值范围. 7（1）若函数()f x 在0x =处有极值，求函数()f x 的最大值；（2）①是否存在实数b ，使得关于x 的不等式()0g x <在()0+∞，上恒成立？若存在，求出b 的取值范围；若不存在，说明理由； ②证明：不等式()2111ln 1,212nk k n n k =-<-≤=+∑L参考答案1．（1）ln 22e+；（2）2a ≤；（3）11(1)ee a e e≤---．【解析】试题分析：（1）由0=a 时，得出x xe x f xln )(2-=，则21()(21)x f x x e x'=+-，再求导()f x ''，可得函数)(/x f 在),0(+∞上是增函数，从而得到函数()f x 的单调性，即可求解函数)(x f 在]1,21[上的最小值；（2）由（1）知函数)(/x f 在),0(+∞上是增函数，且00>∃x ，使得0()0f x '=，得01)12(0200=--+a x ex x ，即022000(2)1x ax x x e =+-，设022000()1ln 2x f x x x e =--，利用函数0()f x 的单调性，即可求解求a 的取值范围；（3）根据题意，转化为11ln x e xe a x x x e +-≤--对任意0>x 成立，令exe e x x x x x g 11ln )(+---=，所以()g x '，可得出()g x 的单调性，求解出()g x 的最小值，即可a 的取值范围．试题解析：（1）0=a 时，x xe x f xln )(2-=，xe x xf x 1)12()(2/-+=∴， 01)44()(22//>++=⇒xe x xf x ，所以函数)(/x f 在),0(+∞上是增函数，又函数)(/x f 的值域为R ，故00>∃x ，使得01)12()(0200/=-+=x ex x f x ，又022)21(/>-=e f Θ，210<∴x ，所以当]1,21[∈x 时，0)(/>x f ，即函数)(x f 在区间]1,21[上递增，所以2ln 2)21()(min +==ef x f（2）a xe x xf x --+=1)12()(2/，由（1）知函数)(/x f 在),0(+∞上是增函数，且00>∃x ，使得0)(0/=x f进而函数)(x f 在区间),0(0x 上递减，在),(0+∞x 上递增，00200min ln )()(0ax x e x x f x f x --==，由0)(0/=x f 得：01)12(0200=--+a x e x x， 1)2(020200-+=⇒x e x x ax ，0220002ln 1)(x e x x x f --=∴，因为0>∀x ，不等式1)(≥x f 恒成立，02ln 12ln 10022002200≤+⇒≥--∴x x e x x e x x2021)12(0200=+≤-+=∴x e x a x （另解：因为0>∀x ，不等式1)(≥x f 恒成立，即21)2(ln 21)2(ln 1ln 2ln 2ln 2+-+-=+-+-=--≤+xx x e x x x x e e x x xe a x x x x x 由21ln 12ln 122ln ≥--⇒++≥⇒+≥+xx xe x x ex e x xx x，当02ln =+x x 时取等号，2≤∴a ）（3）由e x xe x e e x xf 11111)1(2+-+≥-，ex x x e x e e xx a x e x 111111ln 122+-+≥---⇒，e x e e x a x x x 11ln +-≥--⇒，exe e x x x x a 11ln +---≤⇒对任意0>x 成立，令函数exe e xx x x x g 11ln )(+---=，所以e x e e e x x x g )1(1ln )(/--+=，当1>x 时，0)(/>x g ，当10<<x 时，0)(/<x g ，所以当1=x 时，函数)(x g 取得最小值ee e e e e e g 11)1(11111)1(---=+---=， eee e a 1)1(1---≤∴考点：利用导数研究函数的单调性与极值（最值）．【方法点晴】本题主要考查了导数在函数中的综合应用，其中解答中涉及到利用导数研究函数的单调性及其应用、利用导数研究函数的极值与最值等知识点的综合考查，同时解答中注意对函数二次求导的应用和函数的构造思想，通过构造新函数，利用函数的性质解题的思想，着重考查了转化与化归思想以及推理与运算能力，试题有一定的难度，属于难题． 2．（1）单调递增区间为(),0-∞和()ln 2,+∞，单调递减为()0,ln 2; （2）(1,2e e ⎡⎫-∞++∞⎪⎢⎣⎭U ．【解析】试题分析：（1）求函数的导数，并且通分，分解因式的化简，然后解()0>'x f 和()0<'x f 的解集；（2）若函数在[]1,1-上为单调函数，所以分单调递增和单调递减两种情况讨论，若单调递增，转化为12x x e a e ≤+在[]1,1-上恒成立，那么a 小于等于函数的最小值，若函数单调递减，转化为12x x e a e ≥+在[]1,1-上恒成立，a 大于等于函数的最大值. 试题解析：()f x 的定义域为x R ∈，()12x x e f x a e'=+-，（1）32a =，则()()()2113222x xx x x e e e f x e e--'=+-=，令()0f x '>，解得：ln 20x x ><或，令()0f x '<，解得：0ln 2x <<，∴()f x 的单调递增区间为(),0-∞和()ln 2,+∞，单调递减为()0,ln 2．（2）若()f x 在[]1,1-上单调递增，则()102x x e f x a e'=+-≥在[]1,1-上恒成立， ∴12x xe a e ≤+在[]1,1-上恒成立，令xt e =同，则1,t e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，1122xx et e t +=+≥=，当且仅当12t t =，1,t e e ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦时取“=”，又1122e e e e +>+∴[]1,1x ∈-1122x x e e e e≤+≤+ ① ，∴a ≤若()f x 在[]1,1-上单调递减，则()102x x e f x a e'=+-≤在[]1,1-上恒成立， ∴12x xe a e ≥+在[]1,1-上恒成立，由①式知，12a e e ≥+，综上，a 的取值范围是(1,2e e ⎡⎫-∞++∞⎪⎢⎣⎭U ．考点：导数与函数的单调性3．（1）在),1(+∞-上是增函数;（2） 2≤a . 【解析】试题分析：（1）首先求函数的导数，令()()x f x g '=，并且注意函数的定义域，再求函数导数的导数()()211+-='x e x g x，分0>x 和01<<-x 讨论()x g '的正负，同时得到函数()x g 的单调性，求得()x g 的最小值为0，即()0≥'x f 恒成立，得到函数的单调性；（2）由（1）可得当2≤a 时，不等式恒成立，当2>a 时，记x x f x cos )()(-=ϕ，根据导数求函数的最值，证明不等式不恒成立.试题解析：（1）)(x f 的定义域为),1(+∞-，211)(-++='x e x f x，记211)(-++=x e x g x，则2)1(1)(+-='x e x g x ，当x>0时，1)1(1,12<+>x e x ，此时0)(>'x g ，当-1<x<0时，1)1(1,12>+<x e x，此时0)(<'x g ，所以)(x f '在（-1,0）上递减，在),0(+∞上递增，∴0)0()(='≥'f x f ， ∴f（x ）在),1(+∞-上是增函数.（2）a x e x f x-++='11)(，由（1）知)(x f '在),0(+∞上递增，所以当2≤a 时，02)0()(≥-='≥'a f x f ，所以f （x ）在),0[+∞上递增，故x f x f cos 1)0()(≥=≥恒成立. 当a>2时，记x x f x cos )()(-=ϕ，则x a x e x xsin 11)(+-++='ϕ，当x>1时，0141)(>-->'e x h ，显然当10<≤x 时，0)(>'x h ，从而)(x ϕ'在),0[+∞上单调递增.又0)(,,02)0(>'+∞→<-='x x a ϕϕ，则存在),0(0+∞∈x ，使得0)(0='x ϕ. 所以)(x ϕ在),0(0x 上递减，所以当),0(0x x ∈时，0)0()(=<ϕϕx ，即f （x ）<cosx ，不符合题意. 综上，实数a 的取值范围是2≤a .考点：1.导数与单调性；2.导数的综合应用.【方法点睛】本题考查了导数与单调性的关系，以及证明不等式的问题，综合性较强，重点说说导数与函数单调性的证明，一种情况是求函数的导数后，能够解得()0>'x f 或()0<'x f 的解集，从而得到函数的单调递增和递减区间，令一种情况是求导后，不能直接求得()0>'x f 或()0<'x f 的解集，需要求函数的二阶导数，根据二阶导数大于0或小于0的解集，求得一阶导数的单调增减区间，同时求得一阶导数的最大值或是最小值，从而得到一阶导数的正负，求得函数的增或减区间. 4．（1）10a e<<；（2）证明见解析. 【解析】试题分析：（1）函数2()ln ()2a f x x x x x a a R =--+∈在其定义域内有两个不同的极值点等价于方程'()0f x =在(0,)+∞有两个不同根，即函数ln ()x g x x=与函数y a =的图象在(0,)+∞上有两个不同交点，讨论函数ln ()xg x x=单调性和极值根据图象即可求a 的取值范围；（2）作差得，1122ln ()x a x x x =-，即1212lnx x a x x =-.原不等式212x x e >等价于12ln ln 2x x +>12()2a x x ⇔+>1122122()lnx x x x x x -⇔>+，12x t x =，则1t >，只需证明不等式2(1) ln1ttt->+成立即可.试题解析：（1）依题意，函数()f x的定义域为(0,)+∞，所以方程'()0f x=在(0,)+∞有两个不同根.即，方程ln0x ax-=在(0,)+∞有两个不同根.转化为，函数ln()xg xx=与函数y a=的图象在(0,)+∞上有两个不同交点.又'21ln()xg xx-=，即0x e<<时，'()0g x>，x e>时，'()0g x<，所以()g x在(0,)e上单调增，在(,)e+∞上单调减，从而1()=()g x g ee=极大.又()g x有且只有一个零点是1，且在0x→时，()g x→-∞，在x→+∞时，()0g x→，所以()g x的草图如下，可见，要想函数ln()xg xx=与函数y a=的图象在(0,)+∞上有两个不同交点，只需10ae<<.（2）由（1）可知12,x x分别是方程ln0x ax-=的两个根，即11ln x ax=，22ln x ax=，设12x x>，作差得，1122ln()xa x xx=-，即1212lnxxax x=-.原不等式212x x e>等价于12ln ln2x x+>12()2a x x⇔+>1122122()lnx x xx x x-⇔>+令12xtx=，则1t>，1122122()2(1)ln ln1x x x ttx x x t-->⇔>++，设2(1)()ln1tg t tt-=-+，1t>，2'2(1)()0(1)tg tt t-=>+，∴函数()g t 在(1,)+∞上单调递增， ∴()(1)0g t g >=，即不等式2(1)ln 1t t t ->+成立，故所证不等式212x x e >成立.考点：1、利用导数研究函数的单调性及极值；2、利用导数证明不等式.【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性及极值、利用导数证明不等式，属于难题.不等式证明问题是近年高考命题的热点，命题主要是和导数、绝对值不等式及柯西不等式相结合，导数部分一旦出该类型题往往难度较大，要准确解答首先观察不等式特点，结合已解答的问题把要证的不等式变形，并运用已证结论先行放缩，然后再化简，或者进一步转化为不等式恒成立问题利用导数证明.5．（1）()f x 的增区间为(,1)-∞-，(0,)+∞，减区间为(1,0)-；（2）当0a ≤时，()f x 的最小值为32a -+；当01a ≤≤时，()f x 的最小值为32a +；当1a ≥时，()f x 的最小值为3a ．【解析】试题分析：（1）研究单调性，可求出导函数'()f x ，然后解不等式'()0f x >得单调增区间，解不等式'()0f x <得减区间，注意绝对值，要分类求解；（2）由于[0,2]x ∈，因此先分类0a ≤，2a ≥，02a <<，前两种情形，绝对值符号直接去掉，因此只要用导数'()f x 研究单调性可得最值，第三种情形同样要去绝对值符号，只是此时是分段函数，333()2,2,()3()2,0.x x a a x f x x x a x a ⎧+-+≤≤⎪=⎨--+≤≤⎪⎩，2233,2,'()33,0.x a x f x x x a ⎧+≤≤⎪=⎨-≤≤⎪⎩，可以看出这时又要分类：01a <<，12a ≤≤，得单调性再得最小值．试题解析：（1）当0a =时，3()3||2f x x x =++． ①当0x ≥时，3()32f x x x =++，2'()330f x x =+>， ∴()f x 在(0,)+∞单调递增；②当0x <时，3()32f x x x =-+，2'()333(1)(1)f x x x x =-=-+．10x -<<时，'()0f x <，∴()f x 在(1,0)-单调递减； 1x <-时，'()0f x >，∴()f x 在(,1)-∞-单调递增．综上，()f x 的增区间为(,1)-∞-，(0,)+∞，减区间为(1,0)-．（2）①2a ≥时，3()3()2f x x a x =+-+，02x ≤≤，2'()333(1)(1)f x x x x =-=-+，min ()(1)3f x f a ==．②0a ≤时，3()3()2f x x x a =+-+，02x ≤≤，2'()330f x x =+>，()f x 在[]0,2单调递增，∴min ()(0)32f x f a ==-+．③02a <<时，而02x ≤≤，333()2,2,()3()2,0.x x a a x f x x x a x a ⎧+-+≤≤⎪=⎨--+≤≤⎪⎩∴2233,2,'()33,0.x a x f x x x a ⎧+≤≤⎪=⎨-≤≤⎪⎩（i ）01a <<时，()f x 在[],2a 上单增，()f a 为最小值．2'()3(1)0f x x =-<在0x a ≤≤上恒成立，∴()f x 在[]0,a 上单调递减，∴3min ()()2f x f a a ==+．（ii ）12a ≤≤时，()f x 在[],2a 上单调递增，3min ()()2f x f a a ==+．在0x a ≤≤时，2'()3(1)f x x =-， ∴min ()(1)3f x f a ==．综上可知，当0a ≤时，()f x 的最小值为32a -+；当01a ≤≤时，()f x 的最小值为32a +；当1a ≥时，()f x 的最小值为3a ．考点：分段函数，用导数研究函数的单调性、最值．6．（1）当0a ≤时，函数()g x 单调递增区间为(0,)+∞，当0a >时，函数()g x 单调递增区间为1(0,)2a ，单调递减区间为1(,)2a +∞；（2）12a > 【解析】试题分析：（1）先求出()'()g x f x =的解析式，然后求函数的导数()g x '，利用函数单调性和导数之间的关系，即可求出()g x 的单调区间；（2）分别讨论a 的取值范围，根据函数极值的定义，进行验证可得结论.试题解析：（1）()ln 22g x x ax a =-+，(0,)x ∈+∞，则112'()2axg x a x x-=-=，当0a ≤时，(0,)x ∈+∞时，'()0g x >，当0a >时，1(0,)2x a∈时，'()0g x >， 1(,)2x a∈+∞时，'()0g x <，所以当0a ≤时，函数()g x 单调递增区间为(0,)+∞；当0a >时，函数()g x 单调递增区间为1(0,)2a ，单调递减区间为1(,)2a +∞.（5分）（2）由（1）知，'(1)0f =.①当0a ≤时，(0,1)x ∈时，'()0f x <，(1,)x ∈+∞时，'()0f x >，所以()f x 在1x =处取得极小值，不合题意.②当102a <<时，112a >，由（1）知'()f x 在1(0,)2a内单调递增，当(0,1)x ∈时，'()0f x <，1(1,)2x a∈时，'()0f x >，所以()f x 在1x =处取得极小值，不合题意. ③当12a =时，即112a=时，'()f x 在(0,1)内单调递增，在(1,)+∞内单调递减，所以当(0,)x ∈+∞时，'()0f x ≤，()f x 单调递减，不合题意. ④当12a >时，即1012a <<，当1(,1)2x a∈时，'()0f x >，()f x 单调递增，当(1,)x ∈+∞时，'()0f x <，()f x 单调递减，所以()f x 在1x =处取得极大值，合题意. 综上可知，实数a 的取值范围为12a >. 考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值.【方法点晴】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的极值，体现了导数的综合应用，着重考查了函数的单调性、极值和导数的关系，要求熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值与最值，把问题等价转化等是解答的关键，综合性强，难度较大，平时注意解题方法的积累与总结，属于难题.7．（1）最大值为()00f =；（2）①b 的取值范围是1b ≥；②证明见解析．【解析】试题分析：（1）由()f x 在0x =处有极值得'(0)0f =，从而求得a ，然后由'()f x 正负，研究()f x 的单调性，得极值，最值；（2）①这类问题，可假设存在，不等式()0g x <在()0+∞，上恒成立，考虑到(0)0g =，因此最好有(0,)x ∈+∞时，()(0)g x g <，则恒成立结论为真，由此研究()g x 单调性，求导1'()1g x b x =-+，注意到1011x <<+，因此分类1b ≥，0b ≤ ，01b <<分别研究'()g x 的正负，得()g x 的单调性，可得结论；②要证明此不等式，可能需要用到上面函数的结论，由上面的推理()()ln 101xx x x x<+<>+，取1x n =得不等式：111ln 11n n n ⎛⎫<+< ⎪+⎝⎭，令21ln 1nn k k x n k ==-+∑，则112x =，因此只要证得{}n x 是递减数列，不等式的右边就证得，为此作差()1222111ln 101111n n n n x x n n n n n n-⎛⎫-=-+<-=-< ⎪+-++⎝⎭，不等式的左边，由()1211ln ln ln 1ln1ln 1nn k k n k k k -==⎛⎫=--+=+⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭∑∑，则有1122211111ln 1ln 1111nn n n k k k k k n x k k k k n --===⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-++ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑∑∑12111n k kk k -=⎛⎫>- ⎪+⎝⎭∑()12111n k k k -=⎛⎫ ⎪=- ⎪+⎝⎭∑()1111111n k k k n -=⎛⎫≥-=-+>- ⎪ ⎪+⎝⎭∑．这里用到了不等式的放缩法．试题解析：（1，且函数()f x 在0x =处有极值，当()1,0x ∈-时，()()'0,f x f x >单调递增当()0,x ∈+∞时，()()'0,f x f x <单调递减所以函数()f x 的最大值为()00f = （2（i ）若1b ≥，则所以()()ln 1g x x bx =+-在[)0,+∞上为减函数 ∴()()()ln 100g x x bx g =+-<=在[)0,+∞上恒成立；（ii ）若0b ≤，则[)0,x ∈+∞时，所以()()ln 1g x x bx =+-在[)0,+∞上为增函数 ∴()()()ln 100g x x bx g =+->=，不能使()0g x <在[)0,+∞上恒成立；（iii ）若01b <<，则()'101g x b x =-=+时，11x b=- 当10,1x b ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭时，()'0g x ≥ 所以()()ln 1g x x bx =+-在10,1b ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上为增函数，此时()()()ln 100g x x bx g =+->= 所以不能使()0g x <在[)0,+∞上恒成立综上所述，b 的取值范围是1b ≥ ②由以上得：()()ln 101xx x x x<+<>+ 取1x n =得：111ln 11n n n ⎛⎫<+< ⎪+⎝⎭，令21ln 1nn k k x n k ==-+∑ 则()112221111,ln 1021111n n n n x x x n n n n n n-⎛⎫=-=-+<-=-< ⎪+-++⎝⎭ 因此1112n n x x x -<<=L 又()1211ln ln ln 1ln1ln 1nn k k n k k k -==⎛⎫=--+=+⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭∑∑ 故1122211111ln 1ln 1111nn n n k k k k k n x k k k k n --===⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=++ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑∑∑ ()()11122111111111111n n n k k k kk k k k n k k ---===⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪>-=-≥-=-+>- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑. 考点：用导数研究函数的极值、单调性、最值，不等式恒成立问题，用函数证明不等式．。

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