走出“变式教学”的三个误区
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角 函数值 ， 求未知角的三角 函数值 ， 可将未知 角用已知角来线 性表示 ， 这就是通常所说 的 “ 变角 ” 技巧 ． 剖析 出示变式 １ 后， 较之将“ 变角” 技 巧强行灌输给学生 ， 教师的教学已改进了不 少， 表现在 ： 能让学生先暴露 自己的思维 ， 然 后再展开教学． 但这种“ 题型＋技巧” 式 的训 练， 表面上看 ， 学生似乎都懂了． 其实不然 ， 学
第３ ２ 卷第 ９期
２ ０ １ ３ 年 ９月
数学教学研究
５ ５
走出“ 变式教学＂ 的三个误区
阮伟 强
（ 浙江省绍兴市高级 中学 ３ １ ２ ０ ０ ０ ）
“ 变式教学” 是我国数学教学中的一个传 值 ， 开展变式教学 ， 设计是好 的， 值得学习与 统， 也是一大特色 ， 备受广大一线教师的推崇 肯定． 而将教学 目 标定为： 利用基本不等式求 与青睐． 不少教师在教学时 ， 总会有意或无意 某些特殊 函数的最值， 也是到位的． 只是将 目 标重心落实为“ 一正二定三相等” ， 却 出问题 地将其运 用于课 堂实践 中， 并 当作 一个 “ 亮 毕竟这只是基本不等式教学的第 ２ 课时， 点” 而沾沾 自喜． 然而 ， 大量课 堂观察 发现 ， 了． 即头脑 中远 “ 变式教学” 有被“ 泛化 ’ ’ 的趋势 ； 突出的一个 学生对不等式 的结构还不熟悉 ， 模型” ． 因此 ， 重点应放在如 表现是， 不顾具体的教学内容和学生的感受 ， 没有构建相应的“ 何观察式子的结构特征 ， 并通过恰当的变形 ， 强行推销 自己的成果． 其中 ， 以下列 ３个“ 误 配凑出一边为定值 的基本不等式模型上． 这 区” 最 为典 型． 重点 误区 １ 因一味求 “ 全” 而偏离 了主题 ， 从教材上配备 的所有练习可印证一点 ： 会解决可利用基本不等式来求最值的问题． 学生的感受是“ 无所适从” ． 这样看来 ， 上述变式存在的问题是 ： 因一 案例 １ 在人教 Ａ版《 数学 ・ 必修 ５ 》 第 全” 而偏 离 了主题 ， 导致 学生“ 无所适 ３ ． ４ 节“ 基本不 等式” 教学 的第 ２ 课 时， 教师 味求 “ 从” ． 为此 ， 作下列修正 ： ①求值域宜改成求最大值或最小值， 因 当ｚ 取什么值时， ＋÷的值最小？最小值 为求值域并非光用基本不等式 能解决 ， 必须 涉及到其它的知识 ， 你是讲还是不讲？若讲 ， 是多少？接着 ， 依次给出了下列 ４ 个变式 ， 然 若不讲， 则学生会不 后， 教师边请学生思考 、 回答 ， 边详细书写解 则势必大大冲淡 了主题 ， 题过程， 并反复地强调 ： 利用基本不等式求最 甘 心． ②去掉变式 ３ ， 因为等号取不到， 势必要 值， 要特别注意 的是“ 一正二定三相等” ． 先让学生完成第 １ ０ ０ 页的练习第 １ 题： ｘ ＞Ｏ ，
极大部分学生都是这样做 的：
事实上 ， 上述问题还可 以这样教学（ 以变
将ｃ ｏ ｓ （ 口 一 詈 ） 詈 展 开 得
式１ 为 例） ： 令口 一 詈＝ ， 则ａ 一 詈， 且Ｊ ９ 为
锐角． 于是 ， 原问题就 化为 ： 设 卢为锐角， 若
ｃ 。 ｓ ａ ＋ 号 ｓ ｉ ｎ ａ ＝ 詈 ，
缺少对 问题本 质 的揭示 ， 学 生 的感受 是“ 雾 里 看花 ” ． 案例 ２ 一 堂 内容 为 “ 两 角 和 与 差 的正
＿ ： ＝ ＝ （ 口 ＋ ） 一 ， 一（ 、 口 一 等 ） ， 一
（ 号一ห้องสมุดไป่ตู้Ｉ ９ ） 等等． 并总结出规律： 由已知角的三
余弦公式” 的习题课． 教师让 学生 先 完成 练 习 ：
已 知ｃ 。 ｓ ＝詈 ， ｏ ＜口 ＜丌 ， 求
ｃ０ｓ
（ ａ 一 詈 ） 的 值 ．
目的是复习回顾相应 的公式． 接着 ， 给出 变式：
变 式１已 知ｃ 。 ｓ （ 口 一 詈 ） ＝ 詈 ， 口 ∈ 生的“ 懂” 仅停 留在“ 懂操作” ， 而浑然不知深 层次的“ 是什 么” 与“ 为什 么” ． 原 因很简单： （ 詈 ， 警 ） ， 求 ｃ ｏ ｓ 口 的 值 ． “ 变角” 的技巧掩盖 了问题 的本质．
“ １
时， ｙ ＝ ｘ ． － ｆ － － ￣ － ｌ 的 值最大？ 最大 值是多少 ？ 且
＾
的值域．
变式 ４ 当 ＞ １时 ， 求 函数 ，（ ） ＝
的值域．
将位置后移到变式 ２ ， ４ 后， 因为此变式 的难 度要更大些． 同时， 可再添加下列变式 ： ｚ ＞
一 —
然后， 再结合同角正 、 余 弦的平 方关 系， 联立 方程组来求． 但由于过程实在 繁琐 ， 只有小部分学生
Ｃ Ｏ Ｓ 』 ９ ＝ ， 求 Ｃ Ｏ ｓ （ Ｉ ３ ＋ 詈 ） 的 值 ． 这 样 ， 问 题 就
Ｌ ｏ 一一
１
０ ， 当 取什么值时， 函数 ＝— 工 值最大？最大值是多少？
的
剖析
教师能充 分挖掘课本 习题 的价
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数学教学研究
第３ ２ 卷第 ９ 期
２ ０ １ ３ 年９ 月
误区 ２ 只重“ 题 型＋技巧” 式 的训 练 ，
结提升 ： 常见 的角 的变换方法有 ａ ＝（ ＋
１
‘
－
变式 １ 当 ｘ ＜Ｏ 时， 求 函数 ， （ ） ＝ｚ ＋ 的值域．
变式 ２ 当 ｘ ＞ｌ 时， 求 函数 ， （ ） ＝ｚ ＋
的值域．
变式 ３ 当ｚ ≥２ 时， 求 函数 ， （ ） ＝ ＋
研究 函数 的单调性来求最值 ， 而这个 问题的 解决也不轻松 ， 一讲不光浪费时间， 学生更是 疲于应付． 而要让学 生养成 自觉检验等号是 否成立的情形 ， 只需将所有问题 的设 问加上 ｚ取何值时” 即可． ③变式 １宜改成 ： ＜ ０ ， 当 取什么值
第３ ２ 卷第 ９期
２ ０ １ ３ 年 ９月
数学教学研究
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走出“ 变式教学＂ 的三个误区
阮伟 强
（ 浙江省绍兴市高级 中学 ３ １ ２ ０ ０ ０ ）
“ 变式教学” 是我国数学教学中的一个传 值 ， 开展变式教学 ， 设计是好 的， 值得学习与 统， 也是一大特色 ， 备受广大一线教师的推崇 肯定． 而将教学 目 标定为： 利用基本不等式求 与青睐． 不少教师在教学时 ， 总会有意或无意 某些特殊 函数的最值， 也是到位的． 只是将 目 标重心落实为“ 一正二定三相等” ， 却 出问题 地将其运 用于课 堂实践 中， 并 当作 一个 “ 亮 毕竟这只是基本不等式教学的第 ２ 课时， 点” 而沾沾 自喜． 然而 ， 大量课 堂观察 发现 ， 了． 即头脑 中远 “ 变式教学” 有被“ 泛化 ’ ’ 的趋势 ； 突出的一个 学生对不等式 的结构还不熟悉 ， 模型” ． 因此 ， 重点应放在如 表现是， 不顾具体的教学内容和学生的感受 ， 没有构建相应的“ 何观察式子的结构特征 ， 并通过恰当的变形 ， 强行推销 自己的成果． 其中 ， 以下列 ３个“ 误 配凑出一边为定值 的基本不等式模型上． 这 区” 最 为典 型． 重点 误区 １ 因一味求 “ 全” 而偏离 了主题 ， 从教材上配备 的所有练习可印证一点 ： 会解决可利用基本不等式来求最值的问题． 学生的感受是“ 无所适从” ． 这样看来 ， 上述变式存在的问题是 ： 因一 案例 １ 在人教 Ａ版《 数学 ・ 必修 ５ 》 第 全” 而偏 离 了主题 ， 导致 学生“ 无所适 ３ ． ４ 节“ 基本不 等式” 教学 的第 ２ 课 时， 教师 味求 “ 从” ． 为此 ， 作下列修正 ： ①求值域宜改成求最大值或最小值， 因 当ｚ 取什么值时， ＋÷的值最小？最小值 为求值域并非光用基本不等式 能解决 ， 必须 涉及到其它的知识 ， 你是讲还是不讲？若讲 ， 是多少？接着 ， 依次给出了下列 ４ 个变式 ， 然 若不讲， 则学生会不 后， 教师边请学生思考 、 回答 ， 边详细书写解 则势必大大冲淡 了主题 ， 题过程， 并反复地强调 ： 利用基本不等式求最 甘 心． ②去掉变式 ３ ， 因为等号取不到， 势必要 值， 要特别注意 的是“ 一正二定三相等” ． 先让学生完成第 １ ０ ０ 页的练习第 １ 题： ｘ ＞Ｏ ，
极大部分学生都是这样做 的：
事实上 ， 上述问题还可 以这样教学（ 以变
将ｃ ｏ ｓ （ 口 一 詈 ） 詈 展 开 得
式１ 为 例） ： 令口 一 詈＝ ， 则ａ 一 詈， 且Ｊ ９ 为
锐角． 于是 ， 原问题就 化为 ： 设 卢为锐角， 若
ｃ 。 ｓ ａ ＋ 号 ｓ ｉ ｎ ａ ＝ 詈 ，
缺少对 问题本 质 的揭示 ， 学 生 的感受 是“ 雾 里 看花 ” ． 案例 ２ 一 堂 内容 为 “ 两 角 和 与 差 的正
＿ ： ＝ ＝ （ 口 ＋ ） 一 ， 一（ 、 口 一 等 ） ， 一
（ 号一ห้องสมุดไป่ตู้Ｉ ９ ） 等等． 并总结出规律： 由已知角的三
余弦公式” 的习题课． 教师让 学生 先 完成 练 习 ：
已 知ｃ 。 ｓ ＝詈 ， ｏ ＜口 ＜丌 ， 求
ｃ０ｓ
（ ａ 一 詈 ） 的 值 ．
目的是复习回顾相应 的公式． 接着 ， 给出 变式：
变 式１已 知ｃ 。 ｓ （ 口 一 詈 ） ＝ 詈 ， 口 ∈ 生的“ 懂” 仅停 留在“ 懂操作” ， 而浑然不知深 层次的“ 是什 么” 与“ 为什 么” ． 原 因很简单： （ 詈 ， 警 ） ， 求 ｃ ｏ ｓ 口 的 值 ． “ 变角” 的技巧掩盖 了问题 的本质．
“ １
时， ｙ ＝ ｘ ． － ｆ － － ￣ － ｌ 的 值最大？ 最大 值是多少 ？ 且
＾
的值域．
变式 ４ 当 ＞ １时 ， 求 函数 ，（ ） ＝
的值域．
将位置后移到变式 ２ ， ４ 后， 因为此变式 的难 度要更大些． 同时， 可再添加下列变式 ： ｚ ＞
一 —
然后， 再结合同角正 、 余 弦的平 方关 系， 联立 方程组来求． 但由于过程实在 繁琐 ， 只有小部分学生
Ｃ Ｏ Ｓ 』 ９ ＝ ， 求 Ｃ Ｏ ｓ （ Ｉ ３ ＋ 詈 ） 的 值 ． 这 样 ， 问 题 就
Ｌ ｏ 一一
１
０ ， 当 取什么值时， 函数 ＝— 工 值最大？最大值是多少？
的
剖析
教师能充 分挖掘课本 习题 的价
５ ６
数学教学研究
第３ ２ 卷第 ９ 期
２ ０ １ ３ 年９ 月
误区 ２ 只重“ 题 型＋技巧” 式 的训 练 ，
结提升 ： 常见 的角 的变换方法有 ａ ＝（ ＋
１
‘
－
变式 １ 当 ｘ ＜Ｏ 时， 求 函数 ， （ ） ＝ｚ ＋ 的值域．
变式 ２ 当 ｘ ＞ｌ 时， 求 函数 ， （ ） ＝ｚ ＋
的值域．
变式 ３ 当ｚ ≥２ 时， 求 函数 ， （ ） ＝ ＋
研究 函数 的单调性来求最值 ， 而这个 问题的 解决也不轻松 ， 一讲不光浪费时间， 学生更是 疲于应付． 而要让学 生养成 自觉检验等号是 否成立的情形 ， 只需将所有问题 的设 问加上 ｚ取何值时” 即可． ③变式 １宜改成 ： ＜ ０ ， 当 取什么值