非线性回归模型的线性化
非线性回归模型的线性化
k 1 beatut yt
k 1 beatut yt
ln
k yt
1
ln b at
ut
令yt
ln
k yt
1
,
b
ln b
yt b at ut
此时可用最小二乘法估计b*和a。
钉螺存活率曲线 （生长曲线模型）
把一批钉螺埋入土中，以后每隔一个月取出部分钉螺，检 测存活个数，计算存活率。数据见表。
FOOD
3000
2000
1000
0 0
4000
8000
12000
INCOME 16000 20000
9.0 LOG(FOOD)
8.5
8.0
7.5
7.0
6.5
6.0 LOG(LOG(INCOME))
5.5 1.80 1.85 1.90 1.95 2.00 2.05 2.10 2.15 2.20 2.25 2.30
以1为例
1
yt xt1
线性模型中的回归系数（边际系数）是对数线性回归模型中弹性
系数的一个分量。
应用柯布-道格拉斯生产函数模型评价台湾省农业生产 效率。利用台湾省1958-1972年农业生产总值yt、劳动力 投入xt1、资本投入xt2的数据估计模型如下：
Yˆt
0.035X
1.5 t1
X
0.49 t2
yt ke be at
yt ke be at
曲线的上限和下限分别为k和0 。
当a 0, Limyt k, 当a 0,b 0 , Limyt 0
t
t
曲线有拐点，坐标为 Lnb , k
a e
, 但曲线不对称于拐点。
一般情形，上限值k可事先估计，有了k值，龚伯斯曲线才 可以用最小二乘法估计参数。
课件：第4章 非线性回归模型
第四章 非线性回归模型
1
§4.1 非线性回归模型的类 型
一、非线性回归模型的特点
非线性回归模型的特点, 是与线性回归模型相比得到的特点
考虑标准线性回归模型: Y 0 1X1 2 X 2 k X k u
特点: (1)被解释变量是解释变量的线性函数 (2)被解释变量是回归系数的线性函数 非线性回归模型,则不满足以上两条之一, 或全部 或者说被解释变量是解释变量和回归系数的非线性函数 其一般形式为
根据最小二乘准则，使残差平方和e’e最小
寻找ˆ1
,
ˆ2
,,
ˆ
，使
p
minQ [Yi f ( X1i , X 2i ,, X ki; ˆ1, ˆ2,, ˆp )]2
18
（二）估计方法
1、求解方程组
Q
ˆ1
0
Q
ˆ2
...
Q
ˆk
0 0
问题： （1）偏导不一定好求 （2）方程组很难求解
19
• 将f在新的参数值附近展开，得到一个新的线性 模型，再次用OLS估计，…
• 直到收敛为止， i,l1 i,l (允许误差)
i,l
22
（3）实例
• 课本例3，非线性消费模型 C 0 1Y 2 u
取初始点（0，0 , 1，0 , 2，0）（1，1，1）
f (0 , 1, 2 ) 0 1Y 2
(3)估计： (4)图形：
（5）应用：X Y（Y变化弱）
12
4、指数函数（Y单ln)
(1)模型：Y Ae1X12 X 2 u
(2)线性化：lnY ln A 1X1 2 X 2 u 变量替换为: Y * 0 1X 12 X 2 u
(3)应用：X Y变化强
多元非线性回归模型
j表示在其他解释变量保持不变的情况下，
Xj每变化1个单位时，Y的均值E(Y)的变化。
非线性的情况：
(1) ln Yi 1 2 ln X i ui
(2) ln Yi 1 2 X i ui
(3)Yi 1 2 ln X i ui
(4)Yi 1 2 X i 3 X i2 ui
非线性回归模型的线性化
一、双对数模型 二、半对数模型 三、幂函数模型 四、多项式函数模型 五、倒数函数模型
一元线性回归模型
Yi 1 2 X i ui
i=1,2…,n
1表示X每变化一个单位时， 的均值E（Y）的变化。 Y
多元线性回归模型
Yi 1 2 X 2i 3 X 3i k X ki ui i=1,2…,n
Cobb-Dauglas生产函数
Yi AKi Li e
ui
Q：产出量，K：投入的资本；L：投入的劳动
方程两边取对数：
ln Qi = ln A + ln Ki + ln Li+ui
斜率系数衡量的是被解释变量Y关于解释变量X的弹 性， 表示当L不变时，K每变动百分之一，Y的均值 变动的百分比； 表示当K不变时，L每变动百分之 一，Y的均值变动的百分比。
（二）半对数模型
如果设定的非线性模型为
ln Yi 1 2 X i ui
E (lnYi ) E (lnYi 1 ) Y的均值的相对变化 X i X i 1 X的绝对变化
2
斜率系数 2 衡量的是当变量X的绝对量每发生单位变动 时，引起被解释变量Y平均值的相对变动比率。 令
研究119个发展中国家1960-1985年的GDP增长率与 相对人均GDP之间的关系，考虑建立如下模型：
计量经济学第四章非线性回归模型的线性化
第四章 非线性回归模型的线性化以上介绍了线性回归模型。
但有时候变量之间的关系是非线性的。
例如 y t = α 0 + α11βt x + u t y t = α 0 t x e 1α+ u t上述非线性回归模型是无法用最小二乘法估计参数的。
可采用非线性方法进行估计。
估计过程非常复杂和困难，在20世纪40年代之前几乎不可能实现。
计算机的出现大大方便了非线性回归模型的估计。
专用软件使这种计算变得非常容易。
但本章不是介绍这类模型的估计。
另外还有一类非线性回归模型。
其形式是非线性的，但可以通过适当的变换，转化为线性模型，然后利用线性回归模型的估计与检验方法进行处理。
称此类模型为可线性化的非线性模型。
下面介绍几种典型的可以线性化的非线性模型。
4.1 可线性化的模型⑴ 指数函数模型y t = t t ubx ae + (4.1)b >0 和b <0两种情形的图形分别见图4.1和4.2。
显然x t 和y t 的关系是非线性的。
对上式等号两侧同取自然对数，得Lny t = Lna + b x t + u t (4.2)令Lny t = y t *, Lna = a *, 则y t * = a * + bx t + u t (4.3) 变量y t * 和x t 已变换成为线性关系。
其中u t 表示随机误差项。
010203040501234XY 1图4.1 y t =tt u bx ae+, (b > 0) 图4.2 y t =tt u bx ae+, (b < 0)⑵ 对数函数模型y t = a + b Ln x t + u t (4.4)b >0和b <0两种情形的图形分别见图4.3和4.4。
x t 和y t 的关系是非线性的。
令x t * = Lnx t , 则y t = a + b x t * + u t (4.5)变量y t 和x t * 已变换成为线性关系。
图4.3 y t = a + b Lnx t + u t , (b > 0) 图4.4 y t = a + b Lnx t + u t , (b < 0)⑶ 幂函数模型y t = a x t b t u e (4.6)b 取不同值的图形分别见图4.5和4.6。
浅谈非线性回归模型的线性化
浅谈非线性回归模型的线性化广东省惠州市惠阳区崇雅中学高中部 卢瑞勤(516213)回归分析在各个领域中都有十分重要的作用，比如：在财务中可以用回归分析进行财务预测；在医疗检验中可以用回归分析进行病理预报等等。
高中新课标教材就在《必修3》和《选修2-3》中分别增加了《线性回归》和《回归分析》的内容，介绍了求线性回归方程的方法。
但在实际问题中，变量间的关系并非总是线性关系，本文结合本人的教学实践，对教材中的这两部分内容进行适当延伸，谈谈对一些可线性化的非线性回归模型的线性化问题，供各位同行在教学时参考。
一、什么是可线性化的非线性回归模型线性回归模型的基本特征是预报变量可以表示成解释变量和一个系数相乘的和，即预报变量y 可以表示成解释变量i x (i =1，2，3，……)的如下形式：0112233y a a x a x a x =++++，其中变量ix 是以其原型(而不是以ni x 或其它)的形式出现，变量y 是各变量i x 的线性函数。
而有些回归模型不具备这个特点，但是可以通过适当的代数变换转化成这种形式，我们称这类回归模型为可线性化的回归模型。
在本文中，我们只讨论只有一个解释变量可线性化的非线性回归模型的线性化。
二、非线性回归模型的线性化的基本思路非线性回归模线性化的基本思路是：由已知数据，确定解释变量和预报变量，作出散点图，根据经验，确定回归曲线的类型，然后作适当的代数变换，若变换后散点图体现较好的线性关系，即可将其化成线性形式求解，最后还原到原来的回归曲线。
如果回归曲线可用多种形式表示，可以各自将其线性化后求解，再用相关系数2R 进行拟合效果分析，2R 越大，拟合效果越好，所求的回归方程也就越精确。
三、非线性回归模型的线性化的常用方法可线性化的非线性回归模型有以下几种常见类型：(1)双曲线型，其形式为1a b y x =+，其变换为1y y '=， 1x x'=，变换后的形式为y b ax ''=+ (2)幂函数型，其形式为by ax = ，可以变形为ln ln ln y a b x =+，作变换ln y y '= ，ln x x '= ，变换后的形式为y a bx ''=+(3)指数函数型，其形式为bxy ae = ，以变形为ln ln y a bx =+，作变换ln y y '=，ln a a '= ，变换后的形式为y a bx ''=+(4)对数函数型，其形式为ln y a b x =+，作变换ln x x '=，变换后的形式为y a bx '=+ 下面以高中新课标数学教材《选修2-3》一道习题为例加以说明【例】在某地区的一段时间内观察到的不小于某震级x 的地震个数y 数据如下表，试建立回归方程表述二者之间的关系。
第三章非线性回归分析-PPT文档资料
图 3.9
y t = b 0 + b 1 x t + b 2 x t2 + b 3 x t3 + u t
图 3.10
y t = b 0 + b 1 x t + b 2 x t2 + b 3 x t3 + u t
另一种多项式方程的表达形式是 y t = b 0 + b 1 x t + b 2 x t2 + u t (3.14) 其中 b1>0, b2>0 和 b1<0, b2<0 情形的图形分别见图 3.11 和 3.12。令 xt 1 = xt， x t 2 = xt 2，上 式线性化为， y t = b 0 + b 1 x t1 + b 2 x t2 + u t (3.15) 如经济学中的边际成本曲线、平均成本曲线与图 3.11 相似。
t t
k Lnb 估参数。曲线有拐点，坐标为（ a 2 ,
） ，曲线的上下两部分对称于拐点。
be
图 3 .1 3 y t = k / (1 +
at u t
)
图 3 .1 4
b >0 情 形 的 图 形 见 图 3.7 。 x t 和 y t 的 关 系 是 非 线 性 的 。 令 y t* = 1/ y t, x t* = 1/ x t， 得
图 3.7
y t = 1/ ( a + b / x t ),
( b > 0)
图 3.8
y t = a + b /x t ,
(xt b 图 3 .6
e ut
yt = a xt b
⑷ 双曲线函数模型 1/ y t = a + b / x t + u t 也可写成， y t = 1/ ( a + b / x t + u t) y t* = a + b x t* + u t 已 变 换 为 线 性 回 归 模 型 。 其 中 ut 表 示 随 机 误 差 项 。 (3.9) (3.10)
4非线性模型
d (ln Q) d (ln K )
Q / Q K / K
EK
d (ln Q) d (ln L)
Q / Q L / L
EL
• •
很显然， 为资本弹性系数， 为劳动力弹性系数。 1 ，表示规模报酬不变（即资本和劳动力增长
1%， 产 1出也增长1%）；
•
yˆ 0.529204K L 0.882779 0.181053
，表示规模报酬递减（即资本和劳动力增长
• 1%， 产1，出表将示低规于模1%报的酬速递度增增（长即）资；本和劳动力增长1%，
产202出0/2/1将6 超过1%的速度增长）。
12
• 二、解释变量需间接替换的非线性回归模型
• 1、指数曲线模型 Q AK L eu
• 【例】下表列出了某地区1986～2005年的产出（用国内生产总值GDP度量，单位万 元）、劳动投入（用总就业人数度量，单位为千人）以及资本投入（用资产总额度量， 单位为千元）的数据，试建立该地区的生产函数。
• 【例】美国1958-1969年小时收入指数变化百分比y与失业率x统计资料下表 所示，试建立美国1958-1969年的菲利普斯曲线。
•
• 若使用Eviews软件，在主窗口的命令栏内，直接键入ls y c
1/x回车即可得到参数估计结果。
2020/2/16
6
一、解释变量可以直接替换的非线性回归模型
• ⒈ 多项式函数模型
边际成本是递减的；当产量超过46.128时，边际成本是递增的。
2020/2/16
5
一、解释变量可以直接替换的非线性回归模型
• ⒈ 多项式函数模型
可线性化的非线性回归模型
例 3-1 （数据见 EViews、STATA 文件：li 3-1） 台湾 19581972 年农业生产总值（yt） ，劳动力投入（xt1） ，资本投入（xt2）数 据见表 3-1。应用柯布−道格拉斯生产函数模型评价台湾农业生产效率。用样本得估 计模型如下，
Lnyt = -3.4 + 1.50 LnxБайду номын сангаас1 + 0.49 Lnxt2
yt a0 a1 xt 1 ut yt a0 e1xt ut
本章不做讨论，但介绍 EViews 估计命令。也就是说，利用软件，同样可以完成对 这类模型的估计与检验。
这一节介绍 7 种可线性化的非线性函数。其中包括幂函数、指数函数、对数函 数、双曲线函数、多项式函数、生长曲线函数（Logistic） 、龚伯斯（Gompertz）曲 线函数。在讨论如何把这些非线性函数转化为线性函数的同时，举例介绍应用。
3.1 可线性化的 7 种非线性函数 3.1.1 幂函数模型
(b > 1)
(b = -1)
(b < -1)
(0<b <1)
(0 > b > -1)
yt axt b e ut
b取不同值的图形分别见上图。对上式等号两侧同取对数，得
Lnyt = Lna + b Lnxt + ut
令yt* = Lnyt, a* = Lna, xt* = Lnxt, 则上式表示为
100 120 140 160 180 200 220
5.6 5.4
LOG(OUTPUT) LOG(OUTPUT)
5.6 5.4 5.2 5.0 4.8 4.6 4.4 4.4
5.2 5.0 4.8 4.6 4.4 4.5
04-非线性回归模型的线性化
i l
2 t
2
2016/3/29
6
4.2、线性化方法
1、 被解释变量与解释变量之间不存在线性关系，与
未知参数之间存在线性关系的模型，其线性化的方法 为：变量替换法；然后利用OLS估计参数。 2、被解释变量与解释变量、未知参数之间不存在线性 关系，但可线性化的模型的线性化方法为：对数法和 变量替换法；然后利用OLS估计参数。 3、真正意义上的非线性模型，需要进行线性化处理。
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4.1.3、非线性回归模型的基本假定
1．扰动项零均值： E(u ) 0, t 1, 2,..., n 2．无自相关性： E(u u ) 0; i, l 1, 2,..., n; i l 3．同方差性： E(u ) , t 1, 2,..., n ，其中为有限常 数。 4．解释变量为非随机变量 5．函数性质：一般情况下，假设 f (xt , β)为二阶连 续可微函数。 6．模型参数可识别 7．分布假定：零均值、同方差。在极大似然估 计中，需要对扰动项的分布做出假设，一般假 设其服从正态分布。
ˆ ˆ) log(a 1 ˆ ˆ b
2
ˆ e ) (a
ˆ 1
应当指出，在这种情况下，线性模型估计量
的性质（如 BLUE, 正态性等）只适用于变换后的参 ˆ 和 ˆ ，而不一定适用于原模型参数的估 数估计量 1 2 计量 a ˆ 。 ˆ和 b
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CES生产函数模型的线性化回归
最小二乘法
t
ˆ ) min S (β) S (β
min (Yt f (xt , β))2
t
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非线性最小二乘法的正规方程组
非线性回归模型的线性化
p f p ( X1, X 2 , , X k ) ＋u
令
Z1 f1(X1, X2, Z2 f2(X1, X2,
, Xk) , Xk)
Zp fp(X1, X2, , Xk )
则可以把原模型转化为一个标准的多元线性回归模型
Y 0 1Z1 2Z2 pZ p u
6
下面介绍在经济问题时经常遇到的几种非标准线性 回归模型
p fp(X1, X2, , Xk )
2024/10/17
5
4.2线性化方法
1、非标准线性回归模型的线性化方法 非标准线性回归模型的线性化方法是变量替换法。
非标准线性回归模型的一般形式为：
Y 0 1 f1( X1, X 2 , , X k ) 2 f2 ( X1, X 2 , , X k )
Yi* bX i ui
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（2）幂函数模型（全对数模型）
幂函数模型的一般形式为：
Yi
AX
1 1i
X
2 2i
X e k ui ki
对上式两边取对数得到：
ln Yi ln A 1 ln X1i 2 ln X 2i k ln X ki ui
令
Yi*
ln Y , 0
在这样一些非线性关系中，有些可以通过代数 变换变为线性关系处理，另一些则不能。下面我们 通过一些例子来讨论这个问题。
2024/10/17
1
线性模型的含义
线性模型的基本形式是:
Y 0 1X1 2 X 2 ...... k X k u
线性模型的线性包含两重含义：
（1）变量的线性
变量以其原型出现在模型之中，而不是以 X 2 或
（1）多项式函数模型 多项式函数模型的一般形式为：
非线性回归模型的线性化
非线性回归模型的线性化以上介绍了线性回归模型。
但有时候变量之间的关系是非线性的。
例如 y t = α 0 + α11βt x + u t y t = α 0 t x e 1α+ u t上述非线性回归模型是无法用最小二乘法估计参数的。
可采用非线性方法进行估计。
估计过程非常复杂和困难，在20世纪40年代之前几乎不可能实现。
计算机的出现大大方便了非线性回归模型的估计。
专用软件使这种计算变得非常容易。
但本章不是介绍这类模型的估计。
另外还有一类非线性回归模型。
其形式是非线性的，但可以通过适当的变换，转化为线性模型，然后利用线性回归模型的估计与检验方法进行处理。
称此类模型为可线性化的非线性模型。
下面介绍几种典型的可以做线性化处理的非线性模型。
⑴ 指数函数模型y t = t t u bx ae + (4.1) b >0 和b <0两种情形的图形分别见图4.1和4.2。
显然x t 和y t 的关系是非线性的。
对上式等号两侧同取自然对数，得Lny t = Lna + b x t + u t (4.2)令Lny t = y t *, Lna = a *, 则y t * = a * + bx t + u t (4.3) 变量y t * 和x t 已变换成为线性关系。
其中u t 表示随机误差项。
010203040501234XY 1图4.1 y t =tt u bx ae+, (b > 0) 图4.2 y t =tt u bx ae+, (b < 0)⑵ 对数函数模型y t = a + b Ln x t + u t (4.4)b >0和b <0两种情形的图形分别见图4.3和4.4。
x t 和y t 的关系是非线性的。
令x t * = Lnx t , 则y t = a + b x t * + u t (4.5)变量y t 和x t * 已变换成为线性关系。
图4.3 y t = a + b Lnx t + u t , (b > 0) 图4.4 y t = a + b Lnx t + u t , (b < 0)⑶幂函数模型y t= a x t b t u e(4.6)b取不同值的图形分别见图4.5和4.6。
非线性回归模型的线性化讲解
( b1>0, b2>0)
(b1<0, b2 <0
（2） 双曲函数模型
1 1 ui 双曲函数模型的一般形式为： Yi Xi 1 1 令 * * Yi , Xi Yi Xi
则可将原模型化为标准的线性回归模型
Yi X ui
* * i
双曲线函数还有另一种表达方式，
ln GDP i ln A ln Ki ln Li ui
Yi ln GDP i , X 1i ln Ki , X 2i ln Li
0 ln A, 1 , 2 则可将C-D生产函数模型转换成标准的二元线性回归模型
Yi 0 1 X1i 2 X 2i ui
Z p f p ( X1, X 2 ,, X k )
Y 0 1Z1 2 Z2 p Z p u
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下面介绍在经济问题时经常遇到的几种非标准线性 回归模型 （1）多项式函数模型
多项式函数模型的一般形式为：
Yi 0 1 X i 2 X i2 k X ik ui
首先对上式做倒数变换得：
1 e X i ui Yi
令
1 Yi , X i* e X i Yi
*
则可将原模型化为标准的线性回归模型
Yi* X i* ui
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2 可线性化的非线性回归模型的线性化方法
下面几种在研究经济问题时经常遇到的可线性化的非线性 回归模型 （1）指数函数模型
yt = b0 +b1 x 1t + b2 x 2t + b3 x 3t + ut 这是一个三元线性回归模型。如经济学中的总成本与产 品产量曲线与左图相似。
非线性回归的线性化处理
例10.7 某钢厂出钢时所用的盛钢水的钢包，由于钢水对耐火材 料的侵蚀，容积不断扩大. 通过试验，得到了使用次数x 和钢包增 大的容积y 之间的17组数据，如表10-6 . 求使用次数x 与增大容积y 的回归方程.
解 散点图如图10 - 8.
看起来y 与x 呈倒指数关系
ln y a b 1
其中a ， b ， σ2 为与t无关的未知参数，只要令x=sint ， 即可将 (10.29)化为(10.1).
y a bt ct2 , N (0 , 2 )
（10.30）
其中a ， b ， c ， σ2 为与t无关的未知参数，只要令x1=t ， x2=t2得
y a bx1 cx2 , N (0 , 2 )
概率学与数理统计
非线性回归的线性化处理
前面讨论了线性回归问题，对线性情形我们有了一整套 的理论与方法. 在实际中常会遇见更为复杂的非线性回归问 题，此时一般是采用变量代换法将非线性模型线性化，再 按照线性回归方法进行处理. 举例如下:
y a bsin t , N (0 , 2 )
（10.29）
x
记
y ' ln y , x ' 1
x
求出x ′ y′的值，表10-7所示.
作（x ′ , y′)的散点图，如图10-9所示.
可见各点基本上在一直线上,故可设
y ' a bx ' , (0 , 2 )
经计算，得
x ' 0.1464 , y ' 2.2963
n
(x 'i )2 0.5902 ,
i 1
n
( y 'i )2 89.93;i y 'i 5.4627 ,
回归分析(设计)非线性回归
图2.18 S型曲线 y
1 a b ex
例2.4 通过试验得到表2.4的测试数据，求 x 与 y 的回归方程。 解 将测试数据描一散点图，如图2.19所示。 从图2.19可以看出， 与 之间似乎有双曲线 x y 关系，即 1 1
： 则得 y a bx
3 108.20 8 11 110.60
4 109.58 9 14 110.90
5 109.50 10 15 110.0
7 110.00 11 16 110.76
8 109.53
y
序 号
x
y
（例如，第一组数据 x(1) 2, y(1) 106.42 对应为 x 1和 y 1的数据 x 1 , y 1 。利用线性回归系数 2 106.42 计算公式，可以求出 a 0.008966, b 0.0008303 ，从 而得到和的回归方程：
i
f i ( ) 0 i ˆ
对于式（2.32）一般可用最优化迭代算法， 求出最优解 ˆ ，从而确定非线性回归数学模型。 具体最优化迭代算法可参见参考文献[10]。
x1 1 ( z1 , z 2 , , z k ) x 2 2 ( z1 , z 2 , , z k ) x m m ( z1 , z 2 , z k )
则上述方程即可写成
y b0 b1 x 1 b2 x 2 bm x m
从而，这一类问题均可化为多元线性回归问题加 以处理。 数学理论已证明，任何连续函数可用足够高阶 的多项式任意逼近。因此，对比较复杂的实际问 题，可以不问 y与诸因素的确切关系如何，而直 接用多项式回归。
例2.5 实验测得两个变量 x 与 y 的关系如表 2.5所示，试求变量 y 对 x 的回归方程。
第四章 非线性回归模型的线性化
变量间的非线性关系
(1)非标准线性回归模型： 虽然被解释变量Y与解释变量X1X 2 .....X k 之间 不存在线性关系，但与未知参数 0 1...... k 之间 存在线性关系。例如： 根据平均成本与产量为U型曲线理论，总成本C 可以用产量X的三次多项式来近似表示，得到总成 本函数模型如下： C 0 1 X 2 X 2 3 X 3
-10.46385643
1.287009777
-8.130362812
1.1E-06
X Variable 1
1.021123591
0.029404208
34.72712407
5.5E-15
X Variable 2
1.471943365
0.239290421
6.151284117
2.5E-05
（2）Eviews3.1结果：
0 =lnA 1 =
2 =
X1=lnK
X2=lnL
新生成的线性回归模型为： Y= 0 +1X1+ 2 X2+
对于非线性模型的解决方法：以生产函数为例
案例分析：见Excel表格
解答： （1）Excel回归 （2）Eviews3.1
（1）EXcel回归结果
回归统计 Multiple R R Square Adjusted R Square 标准误差 观测值 0.99930353 1 0.99860754 8 0.99840862 6 0.02991798 5 17
第四章 非线性回归模型的线性化
陈修兰
线性回归模型 最小二乘法求解 若不是线性回归模型，又该如何求解呢？
（一）变量关系非线性问题：
若：(1)、变量
4非线性回归模型的线性
变量间的非线性关系 变量非线性 变量与参数非线性(可线性化) 变量与参数非线性（不可线性化） 线性化方法（可线性化模型）
变量替换法 函数变换法 级数展开法
案例分析
第一节 变量间的非线性关系
一般的非线性回归模型的表示形式：
Y f ( X 1 , X 2 , , X k , 0 , 1 , , k ) u
i
ui
当b>0和b<0时的图形如图，Xt与Yt的关系是非线性的。
Y i a bLnX
i
ui
(b 0)
Y i a bLnX
i
ui
(b 0)
令LnXi = Xi*,则
Yi = a + bXi* + ui
变量Yi和Xi*已变换成为线性关系。
4、S-型曲线模型
Yi 1
*
* 0
1 X 1i 2 X 2i u i
* *
——线性模型
用OLS法估计后，再返回到原模型。若参数：
1 + 2 = 1，称模型为规模报酬不变型； 1 + 2 > 1，称模型为规模报酬递增型；
1 + 2 < 1，称模型为规模报酬递减型。
对于对数线性模型，LnYi = Ln0 + 1 LnX1i + 2 LnX2i + ui ，1和2称作弹
性系数。以1为例：
1
LnY LnX
i 1i
Yi
1
Yi
X 1i X 1i
1
X i Yi Yt X 1 i
Yi / Yi X 1i / X 1i
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，这种类型的非线性回归模型称为可线性化的非
线性回归模型．
如柯布－道格拉斯生产函数模型：Yi
AK
i
Li
eui
3 如果被解释变量Y与解释变量 X1, X 2 ,L , X k 和未 知参数 0, 1,L , p 之间都不存在线性关系，而且
也不能通过适当的变换将其化为标准的线性回归
模型，这种类型的非线性回归模型称为不可线性
化的非线性回归模型．
5
4.2线性化方法
1、非标准线性回归模型的线性化方法 非标准线性回归模型的线性化方法是变量替换法。
非标准线性回归模型的一般形式为：
Y 0 1 f1( X1, X 2 ,L , X k ) 2 f2 ( X1, X 2 ,L , X k )
L p fp (X1, X2,L , Xk )
yt = b0 +b1 x 1t + b2 x 2t + b3 x 3t + ut 这是一个三元线性回归模型。如经济学中的总成本与产 品产量曲线与左图相似。
( b1>0, b2>0, b3>0)
(b1<0, b2>0, b3<0)
例4.1：总成本与产品产量的关系（课本91页）
Ｃ＾t= 2434.7+ 85.7 xt - 0.028 xt2 + 0.00004 xt3
(1.8) (12.0) (-2.8)
(9.6)
R2 = 0.9998, N = 15
另一种多项式方程的表达形式是
yt = b0 + b1 xt + b2 xt2 + ut 令x 1t = xt，x 2t = xt 2，上式线性化为， yt = b0 + b1 x1t + b2 x2t + ut 如经济学中的边际成本曲线、平均成本曲线与左图相似。
成线性回归模型。
12
（2） 双曲函数模型
1/yt = a + b/xt + ut
yt = a + b/xt + ut
（3） 对数函数模型
对数函数模型的一般形式为：Yi ln X i ui
令
X
* i
ln
Xi
则可将原模型化为标准的线性回归模型
Yi
X
* i
ui
5
7
4
3
2
(β> 0)
1
0 50 100 150 200 250 300 350 400
( b1>0, b2>0)
(b1<0, b2 <0
（2） 双曲函数模型
双曲函数模型的一般形式为：
令
Yi*
1 Yi
,
X
* i
1 Xi
1 Yi
1 Xi
ui
则可将原模型化为标准的线性回归模型
Yi*
X
* i
ui
双曲线函数还有另一种表达方式，
yt = a + b/xt + ut 令xt* = 1/xt，得 yt = a + b xt* + ut 上式已变换
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6
4.2线性化方法
1、非标准线性回归模型的线性化方法 非标准线性回归模型的线性化方法是变量替换法。
非标准线性回归模型的一般形式为：
Y 0 1 f1( X1, X 2 ,L , X k ) 2 f2 ( X1, X 2 ,L , X k )
L p f p ( X1, X 2 ,L , X k ) ＋u
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2
线性模型的含义
线性模型的基本形式是:
Y 0 1X1 2 X 2 ...... k X k u
线性模型的线性包含两重含义：
（1）变量的线性
变量以其原型出现在模型之中，而不是以 X 2 或
X 之类的函数形式出现在模型中。
（2）参数的线性 因变量Y是各参数βi的线性函数。 这种模型称为标准的线性回归模型．
3
非线性回归模型的分类： 1 虽然被解释变量Y与解释变量 X1, X 2 ,L , X k之间
不存在线性关系，但与未知参数 0, 1,L , p 之间 存在着线性关系，这种类型的非线性回归模型被 称为非标准线性回归模型。
其一般形式为：
Y 0 1 f1( X1, X 2 ,L , X k ) 2 f2 ( X1, X 2 ,L , X k )
* i
ui
15
2 可线性化的非线性回归模型的线性化方法
下面几种在研究经济问题时经常遇到的可线性化的非线性 回归模型
（1）指数函数模型
60 50 40 30 20 10
（1）多项式函数模型 多项式函数模型的一般形式为：
Yi
0
1 X i
2
X
2 i
L
k
X
k i
ui
令
Z1i
Xi , Z2i
X
2 i
,L
, Zki
X
k i
则可将原模型化为标准的线性回归模型
Y 0 1Z1i 2Z2i L k Zki ui
8
例： yt = b0 +b1 xt + b2 xt2 + b3 xt3 + ut 令 x 1t = xt，x 2t = xt2，x 3t = xt3，上式变为
第四章 非线性回归模型的线性化
4.1变量间的非线性关系 迄今为止，我们已解决了线性模型的估计问题。
但在实际问题中，变量间的关系并非总是线性关 系，经济变量间的非线性关系比比皆是。如大家所 熟悉的柯布-道格拉斯生产函数:
Q AK L
就是一例。
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1
在这样一些非线性关系中，有些可以通过代数 变换变为线性关系处理，另一些则不能。下面我们 通过一些例子来讨论这个问题。
L p fp (X1, X2,L , Xk )
其中 f1,L , f p 是关于 X1, X 2 ,L , X k 的p个已知的非 线性函数，0, 1,L , p 是（p+1）个未知参数．
4
2 虽然被解释变量Y与解释变量 X1, X 2 ,L , X k和未 知参数 0, 1,L , p 之间不存在线性关系，但是可 以通过适当的变换将其化为标准的线性回归模型
6
(β< 0)
5
4
3
2
1 50 100 150 200 250 300 350 400
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（4） 、S-型曲线模型 S-性曲线模型的一般形式为：
1
Yi e Xi ui
首先对上式做倒数变换得：
1 Yi
eXi
ui
令
Yi*
1 Yi
,
X
* i
e Xi
则可将原模型化为标准的线性回归模型
Yi*
X
令
LZ1 f1(X1, X2,L , X k ) Z2 f2 (X1, X2,L , X k )
Z p f p (X1, X2,L , Xk )
则可以把原模型转化为一个标准的多元线性回归模型
Y 0 1Z1 2Z2 L pZ p u
7
下面介绍在经济问题时经常遇到的几种非标准线性 回归模型