第八讲 求解齐次线性方程组
齐次和非齐次线性方程组的解法
线性方程组解的结构(解法)一、齐次线性方程组的解法【定义】r(A)= r <n ,若AX = 0 (A为m n矩阵)的一组解为&丄，b r,且满足：⑴&飞丄，& r线性无关；(2) AX = 0的)任一解都可由这组解线性表示.则称&丄,& r为AX = 0的基础解系.称X k i & k2 & L k n r & r为AX = 0的通解。
其中k i, k2,…,S为任意常数).齐次线性方程组的关键问题就是求通解，而求通解的关键问题是求基础解系.【定理】若齐次线性方程组AX = 0有解，则(1) 若齐次线性方程组AX = 0 (A为m n矩阵)满足r(A) n，则只有零解；(2) 齐次线性方程组有非零解的充要条件是r(A) n .(注：当m n时，齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式 A 0.)注：1、基础解系不唯一，但是它们所含解向量的个数相同，且基础解系所含解向量的个数等于n r(A).2 、非齐次线性方程组AX B的同解方程组的导出方程组(简称“导出组”)为齐次线性方程组AX O所对应的同解方程组。
由上述定理可知，若m是系数矩阵的行数(也即方程的个数) ，n是未知量的个数，则有：(1)当m n时，r(A) m n ,此时齐次线性方程组一定有非零解，即齐次方程组中未知量的个数大于方程的个数就一定有非零解；(2)当m n时，齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式A 0 ；(3)当m n且r(A) n时，若系数矩阵的行列式A 0 ,则齐次线性方程组只有零解；(4)当m n时，若r(A) n，则存在齐次线性方程组的同解方程组；若r(A) n，则齐次线性方程组无解。
1、求AX = 0 (A为m n矩阵)通解的三步骤(1) A 行C (行最简形)；写出同解方程组CX =0.(2) 求出CX =0的基础解系& , &丄,& r ;(3) 写出通解X k1 & k2 & L k n r & r其中X k2,…,k n-r为任意常数•2X 13屜 X 3 5X 4 0, 【例题13x 1 X 2 2X 3 X 4 0, 】 解线性方程组4x 1 X 2 3x 3 6x 4 0,X 12X 24X 37X 40.解法- 一: 将系数矩阵 A 化为阶梯形矩阵12 4 723 1 5 07 10 14A3 1 2 1 L0 0 43 164 1 3 6 712470 267 -43显然有r(A) 4 n ，则方程组仅有零解，即X-i x 2X 3 X 4 0.解法二： 由于方程组的个数等于未知量的个数(即m n )(注意：方程组的个数不等于未知量的个数(即m n),不可以用行列式的方法来判断)，从而可计算系数矩阵 A 的行列式:注：此法仅对n 较小时方便解：将系数矩阵A 化为简化阶梯形矩阵3x 12x ? X 3 X 4 3X 50,X 2 2x 3 2X 4 6X 50, 5为4x ?3X 33X 4X 50.X1X 2 X 3 X 4 X 5【例题2】解线性方程组1 1 1 111 1 1 1 1 r2 r1 01 1 5r 1 ( 5) r 4「2 「33 A2 1 1 3巾(3) 90 1 2 2 6 2 3r 2 ( 1) r 4 0 1 2 2 6 0 1 2 2 61 2 2 6 (1) r 20 0 0 0 0 5 4 3 3112260 02 3 3 1 A41 1 21 2 3 45 16 7327 0，知方程组仅有零解，即X 2X 3 x 4 0.0,可得r(A)X1X 2 X 42X 4兔(其中 6X 5- X 3，X 4， X 5为自由未知量) 令X 3 1， X 4 0， X 50 ,得 X ,1,X 2 2 ； 令X 3 0， X 4 1， X 5，得 X 11,X 2 2 ； 令X 3 0， X 4 0， X 5 1，得为5,X 26，2X 3 于是得到原方程组的一个基础解系为1 1 5 226 11， 2， 30 . 0 1 0 01所以，原方程组的 通解为Xk 1 1k 2 2k 3 3( k 1，k 2，k 3R)二、非齐次线性方程组的解法 求 AX = b 的解(A m n, r(A) r ) 用初等行变换求解，不妨设前r 列线性无关C 11 C 12L C | r L G n d 1C22 L c2rL On d 2O MM M行(AMb)c rr L crnd r其中C d r 1 i 0(i1,2,L ,r),所以知M(1)d r 1 0时,原方程组无解.⑵d r 1 0,r n 时,原方程组有唯一解.⑶d r 10,r < n 时,原方程组有无穷多解.其通解为 X 0k 1&k 2& Lk n rEnr ,匕飞2丄为任意常数。
齐次线性方程组的解
齐次线性方程组的解
齐次线性方程组是一类特殊的常系数线性微分方程组.它的特点是由相
同的形式的n个方程和相应的n个未知数组成.齐次线性方程组解可以由三
种解法来解决：主元消去法、特征根法和势能法。
主元消去法是一种简单而有效的方法，它使用矩阵形式的表示法，将
齐次线性方程组转换成矩阵形式，其中每一行都有一个主元。
首先，将系
数矩阵分解为三角形矩阵，然后使用向前代替法使解变成一维向量，最后
用逆序求解，从而得到解。
该方法消耗较多的计算阵列，如果有大量的变量，需要大量的存储空间。
另一种常用的算法是特征根法，它采用特征矩阵的思想，将系数矩阵
视为变换矩阵，并以变换矩阵特征来分析计算限制条件，从而得到齐次线
性方程组的解。
该方法精确，不用反复计算，但是如果系数矩阵变换后形
成不完备特征矩阵，则会使原表示变得复杂，在求解时会出现问题，除此
之外，这种方法也需要大量的计算量才能得到解，在有大量的变量的情况
下并不实用。
最后，势能法是一种综合的分析方法，它结合分析学和计算机科学这
两个学科，从分析的角度出发，把线性微分方程写成一个势能函数，然后
用特定的算法求解出势能函数的最小值，从而得到该齐次线性方程组的解。
这种方法有很好的精度，而且不受解空间大小限制，但是计算量很大，速度很慢。
总之，齐次线性方程组可以由主元消去法、特征根法和势能法这三种解法来求解，但是每种方法有各自的优缺点，在变量多的情况下，需要根据实际情况选取合理的解法来求解齐次线性方程组，以达到最优的效果。
齐次和非齐次线性方程组的解法(整理定稿)
齐次和非齐次线性方程组的解法(整理定稿)
一、齐次线性方程组
1.定义：所有方程的常数项都为0的线性方程组称为齐次线性方程组。
2.求解方法：
（1）齐次线性方程组必有解x=0，称为零解。
（2）如果齐次线性方程组的系数行列式不为0，则方程组只有零解。
（3）如果齐次线性方程组的系数行列式等于0，则方程组有非零解。
（4）对于齐次线性方程组的非零解，若x1是其中一个解，则对于k≠0，kx1也是方程组的解。
例如，对于齐次线性方程组
a1x1+a2x2+...+anxn=0
b1x1+b2x2+...+bnxn=0
……
c1x1+c2x2+...+cnxn=0
如果a1a2...an≠0，则只有零解x1=0。
如果a1a2...an=0，且b1b2...bn≠0，则有非零解
x=(b1,b2,...,bn)T和x=k(b1,b2,...,bn)T。
3.推论：对于齐次线性方程组，n个未知量的向量{x1,x2,...,xn}张成的向量空间叫做齐次线性方程组的解空间，其维数等于n-r，其中r是系数矩阵的秩。
二、非齐次线性方程组
1.定义：所有方程的常数项不都为0的线性方程组称为非齐次线性方程组。
2.求解方法：
（1）若常数项b≠0，则非齐次线性方程组必定有解。
（2）设x1和x2为非齐次线性方程组的两个解，则x1-x2为其对应齐次线性方程组的解。
（3）设x0为非齐次线性方程组的一个解，则一般解为
x=x0+kx1，其中x1为对应齐次线性方程组的解，k为任意实数。
3.推论：非齐次线性方程组的解集为齐次线性方程组的解集加上非齐次线性方程组的特解。
齐次线性方程组求解
齐次线性方程组求解1什么是齐次线性方程组齐次线性方程组（simultaneous linear equations），简称为齐次方程组，是指位于同一数学空间中的一组多元一次方程组，可用以求解某多元一次方程组的解。
它表示由n个未知量组成的关于各变量之间关系的方程组。
该方程组通常以矩阵形式展示，解可以通过消元法求得，此外，也可以通过其它线性代数方式来解决。
例如，如果有三个未知量的二元线性方程组，则它可以用如下形式表示：Ax+By+Cz=DEx+Fy+Gz=HIx+Jy+Kz=L其中A、B、C、D、E、F、G、H、I、J、K和L分别表示常数，x、y、z分别表示未知量。
2齐次线性方程组如何求解齐次线性方程组的求解有多种方式，其中最常用的方法是利用消元法（elimination method）。
消元法要求对给定的方程组进行顺序处理，逐步消除未知量，最终解出未知变量。
消元法基本步骤如下：1、任意选取方程，根据其未知量的系数系数把其他方程的未知量系数变换为本方程的系数；2、用定系数合并方程，使系数为零；3、重复上述过程，直到所有未知量都被消去；4、最后更新某一方程中的解释量，完成消元；最后，利用拉格朗日因子法（The Lagrangian Multiplier Method）来求出更具有意义的解（最大值、最小值等）。
3总结齐次线性方程组是指位于同一数学空间中的一组多元一次方程组，用以求解某多元一次方程组的解。
最常用的求解方法就是消元法，它要求对方程组进行顺序处理，逐步消除未知量，最终解出未知变量。
此外，也可以利用拉格朗日因子法求出更具有意义的解（最大值、最小值等）。
只要有充足的数学知识，便可以熟练地使用齐次线性方程组来解决各种解题问题。
齐次线性方程组的解
14 齐次线性方程组的解一、求齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++=-++=-++022*********43214321x x x x x x x x x x x x 的一个基础解系，并写出通解.解 1121112110102111~0131~0131221200340034---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭基础解系为494,3ξ=-T（，，）通解为 ξk x =. (k 为任意实数)二、求齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+++=-+++=++++0334503230543215432154321x x x x x x x x x x x x x x x 的通解。
解：系数矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---−−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------−−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⨯-+--0000062210511016221062210111111334531123111112153223211312r r r r r r r r r A 则同解方程组为⎩⎨⎧---=++=543254316225x x x x x x x x 令⎪⎩⎪⎨⎧===352413k x k x k x 则通解为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=100650102100121321k k k x 三、已知齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++040203221321321x t x x tx x x x x x 问：（1）t 取何值时，方程组仅有零解?（2）t 取何值时，方程组有无穷多解? 并用基础解系表示其通解.解：系数矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---−−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=)2)(1(0011011141211112t t t t t A 行变换要使方程组有零解必有3)(=A R 即0)2)(1(≠--t t 即21≠≠t t 且 要使方程组有非零解必有3)(<A R 则0)2)(1(=--t t 即21==t t 或此时,当1=t 时⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000010101141121111行变换A 同解方程组为⎩⎨⎧=-=0231x x x 则基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=101ξ通解为ξ1k X = )(1R k ∈当2=t 时⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000110001441221111行变换A 同解方程组为⎩⎨⎧-==3210x x x 则基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=110ξ通解为ξ2k X = )(2R k ∈四、写出一个以1212(2,1,0)(3,0,1)(,T T x c c c c =-+是常数)为通解的齐次线性方程组． 解 三元齐次线性方程组的基础解系含2个解向量,系数矩阵的秩为1． 所求方程组为 032321=-+x x x。
齐次式的解法
齐次式的解法齐次线性方程组是包括数学线性方程组的一类。
它有两种形式，一种是常规的线性方程组，即 Ax = b，其中A是一个m行n列的系数矩阵，b是长度为m的常数列，X是长度为n的未知变量列；另一种是齐次线性方程组，即 Ax = 0，其中A的行数n大于等于它的列数m，X是一个未知的n维列向量。
它特殊的地方就是X的值只能是(0,0,0,…,0)，不能有任何非零值。
齐次线性方程组可以用来求解线性代数中的一类问题，即给定矩阵A和常数项b，求X的值。
它可以使用消元法，即逐行（或列）操作来解决。
在消元的过程中，可以采用不同的数学技巧来实现各行（或列）的消元，其中又有三种操作：行变换、列变换和交换式。
行变换通常在消元过程中使用，操作示意如下：将矩阵A中第i和第j行的第k列元素值进行互换。
列变换和行变换类似，操作示意如下：将矩阵A中第i和第j列的第k行元素值进行互换。
交换式是一种特殊情况，操作示意如下：将矩阵A中两行两列元素值进行互换。
消元的步骤一般包括两个：第一步是将A变为三角形，即将矩阵A的所有非零元素都移动到其对角以下，这就是“三角化”。
第二步是将矩阵A变为单位矩阵，即将所有的非零元素变成1，将所有的零元素变成0，这就是“化单位”。
齐次线性方程组的解法可以用这种消元法，具体步骤是：1.首先将方程组中的非零项移动到最左边，将零项移动到合适的位置。
2.采用行变换、列变换或者交换式操作，将非零项变成1，将零项变成0。
3.若出现有多个零项，则可以采用把不确定的x替换为y的方法来求解，即将每一行不确定的x替换为y，将原方程组改造为 Ax+by=0的形式。
4.将X的值（x1,x2,…,xn）带入原方程组中，可以算出y的值。
因此，在求解齐次线性方程组时，必须用正确的方法，正确应用消元法来求解，一步步操作，直到最终求得解。
解齐次线性方程组
解齐次线性方程组1. 齐次线性方程组ax=02. 非齐次线性方程组ax=b （b ≠ 0）3. 齐次线性方程组的基础卢播4. 齐次线性方程组ax=0的通解5. 非齐次线性方程组ax=b的吉龙德1. n个未知数的齐次方程组ax=0有非零解的充分必要条件是r(a)<n。
2. n个未知数的非齐次线性方程组ax=b欠阻尼的充份必要提哦案件就是系数矩阵a 的秩等同于生员矩阵b的秩。
且当r(a)=r(b)=n时，方程组存有唯一求解，当r(a)=r(b)=r<n时方程组存有无穷多个求解。
本节的重点是讨论线性方程组解的结构；齐次线性方程组ax=0解与其对应的非齐次线性方程组ax=b的解之间的关系；如何求齐次线性方程组和非齐次线性方程组的通解；真正理解向量组的线性相关性与其所对应的齐次线性方程组有什么样解的关系；一个向量是否能由一组向量线性表示与其对应的非齐次线性方程组是否有解的关系。
难点是如何理解这些关系，和正确解出齐次线性方程组和非齐次线性方程组的通解。
基准1.设线性方程组求出方程组的通解；写下非齐次线性方程组所对应的齐次线性方程组的基础卢播；写出非齐次线性方程组的一个特解。
求解：对方程组的生员矩阵b颁布初等行转换得显然r(a)=r(b)=2<4，所以原方程组有无穷多解，且等价与下面方程组Champsaur故方程组的通解为该方程组所对应的齐次线性方程组的基础卢播为该方程组的一个特解为求解此类题的方法就是先对方程组的生员矩阵颁布初等变换，并使之变为最简型矩阵中首非零元1为系数的未知数回到等号的左边做为非民主自由的未知量(其个数等同于r(a)，其余的未知量移至等号右边做为民主自由未知量，其个数等同于方程组所对应的齐次线性方程组的基础卢播中求解向量的个数)。
根据吉龙德的结构，得出结论方程组的吉龙德。
6-齐次线性方程组的解法
- 8 1 2 750 1 - 8 2 1200 1 1 - 9 2250
1 0 0 200 0 1 0 250 0 0 1 300
所以此方程组的解为 x1 200 x2 250 x 300 3
若各部门在计划期内的最终产品为y1=75,y2=120, y3=225，预测各部门在计划期内的总产出x1,x2,x3.
解：列出此经济系统在计划期内的产品分配 平衡表。
产出 投入
1 生产部门 2 3
消费部门 最终产品 1 2 3 0.2x1 0.1x2 0.2x3 75 0.1x1 0.1x1 0.2x2 0.1x2 0.2x3 0.1x3 120 225
取x4为自由未知量， 则方程可化为
x1 c x 2 c 令x4 c， 则方程的解为 x 3 0 x4 c
x1 x 4 , x x , 4 2 x3 0
第四节 投入产出问题
投入产出是分析研究经济各个部分（作为 生产单位或消费单位的产业部门、行业、产品 等）之间表现为投入和产出的相互依存关系的 一种经济数量分析方法。由美国经济学家里昂 惕夫1933年提出。
产出 投入
消费部门 农业 工业 190 1520 95 1995 3800 其他 30 180 60 330 600 60 90 30 420 600
最终产品 总产出 320 2010 415 600 3800 600
农业 生产部门 工业 其他 创造价值 总投入
xij 解： 由公式 aij 得出直接消耗系数矩阵 xj
令X ( x1 , x 2 ,, xn )T , Y ( y 1 , y 2 ,, y n )T , 则上式可化为矩阵方程
《齐次线性方程组》课件
通过求解齐次线性方程组，可以得到一组通解，形式上可以表示为一组自由变量的线性组合。
齐次线性方程组的特殊情况
零解是齐次。
齐次线性方程组的基础解系
基础解系是指一组特殊的解集，可以通过基础解系的加权线性组合来表示齐次线性方程组的所有解。
《齐次线性方程组》PPT 课件
让我们一起探索《齐次线性方程组》的奥秘吧！从定义、解法、应用，到更 深入的拓展，这个课件将带领您解开这道数学之谜。
线性方程组的定义
线性方程组是具有类似形式的一组方程，解是可以同时满足所有方程的数值或变量。
齐次线性方程组的概念
齐次线性方程组是指其中所有方程的右侧都为零的线性方程组。
齐次线性方程组的应用
齐次线性方程组在几何、物理和工程领域都有广泛的应用，可以帮助解决各种实际问题。
齐次线性方程组的解法思路
解齐次线性方程组的关键在于确定基础解系和通解，通过逐步推导和变量的代入可以得到解的具体形式。
非齐次线性方程组的概念
非齐次线性方程组与齐次线性方程组相比，其右侧的常数项不全为零。
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非齐次线性方程组的解法
非齐次线性方程组的解法需要先求解对应的齐次线性方程组，再确定特解，通过齐次解和特解的组合得 到非齐次方程组的解。
齐次线性方程组在数学中的重要性
齐次线性方程组是数学中重要的概念之一，它是线性代数和高等数学的基础，为解决各种实际问题提供 了强有力的工具。
关于作者
作者是一位热爱数学的专家，拥有多年从事齐次线性方程组研究的经验，并积极分享自己的知识和见解。
求齐次线性方程组的一个基础解系,并求方程组的通解
求齐次线性方程组的一个基础解系,并求方程
组的通解
求解齐次线性方程组的一个基础解以及求解它的通解是数学分析
中常见的问题。
首先，我们需要明确形式：齐次方程组的一般形式为：$ax_1 + bx_2 + cx_3 + … + nx_n = 0$
一般情况下，求解齐次线性方程组时可以将其具体化为：
$a_1x_1 + a_2x_2 + a_3x_3 + … + a_nx_n = 0$
首先来求齐次线性方程组的一个基础解系。
可以根据基变换理论，将方程组中的系数矩阵分解为一系列单位矩阵组合的形式，由此可以
逐步求出齐次线性方程组的一个基础解系。
接下来求齐次线性方程组的通解。
通解可以分为两种：空解和非
空解，其中非空解表示方程组非空解存在；空解表示方程组无解。
如
果存在非空解，它是某个基础解系的一组特殊解。
更准确地说，通解
是某个基础解系及其一组特殊解的组合。
若求得方程组的通解，则它
的一般形式为：
$x_{n}{(t)} = x_{0} + \int\exp{(A)}t dt$
其中，$x_{0}$ 为基础解系的一解，$ \exp{(A)}t$ 为特殊解的
系数，$A$ 为系数矩阵。
以上是关于求解齐次线性方程组的一个基础解系并求方程组的通
解的概述，完整的求解需要细节的求解过程和证明。
此外，根据题目
的不同，要求的非空解的形式也会有所变化，因此需要根据实际情况
调整解题过程。
齐次线性方程组通解的求法_线性代数_[共3页]
![齐次线性方程组通解的求法_线性代数_[共3页]](https://img.taocdn.com/s3/m/7c198f2eaef8941ea76e05f3.png)
100 线性代数 的. 但基础解系之间是等价的，并且它所含解向量的个数是一样的，都是n -r 个，因此任何n -r 个线性无关的解向量都构成齐次线性方程组的一个基础解系.基础解系有三个“必须”：向量个数必须是n -r ，它们必须是齐次线性方程组的解，而且它们必须是线性无关的向量组，这三个条件缺一不可.定理4.1.2 若齐次线性方程组的基础解系为12,,,n r −"ηηη，则方程组的一般解（通解）为1122,n r n r k k k −−=+++"X ηηη其中12,,,n r k k k −"为任意常数.要想求齐次线性方程组的通解，只需求出齐次线性方程组的n -r 个线性无关的解向量，即一个基础解系，则基础解系的线性组合就是齐次线性方程组的通解.4.1.2 齐次线性方程组通解的求法求齐次线性方程组的解，只需要将系数矩阵作初等行变换化成阶梯形矩阵，根据阶梯形矩阵写出同解的阶梯形方程组，然后选取自由未知量，给自由未知量赋予一组线性无关的值，从而求出原方程组的基础解系，基础解系的线性组合就是所求的通解.例1 求下列齐次线性方程组的通解12341234123420,22330,20.x x x x x x x x x x x x −++=⎧⎪−++=⎨⎪−++=⎩解 第一步：用高斯消元法求出一般解.对系数矩阵A 进行初等行变换：112111211103223300110011111200000000−−−⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟=−→−→−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎝⎠⎝⎠⎝⎠A ，故()24r n =<=A ，从而方程组有非零解.得到同解的阶梯形方程组1243430,0,x x x x x −+=⎧⎨−=⎩写出方程组的一般解为242443x x x x x −⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠X ， 其中24,x x 为自由未知量.第二步：给自由未知量两组数值，求得一个基础解系.因为()2r r ==A ，所以基础解系中解向量的个数为n -r =2.令24=1,=0x x ，得()T11,1,0,0=η.令24=0,=1x x ，得()T 23,0,1,1=−η.。
齐次线性方程组的解法
齐次线性方程组的解法非齐次线性方程组ax=b有解的充分必要条件是：系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，即rank(a)=rank(a， b)（否则为无解）。
非齐次线性方程组有唯一解的充要条件是rank(a)=n。
当系数矩阵a的秩等于增广矩阵b的秩时非齐次线性方程组有解。
（矩阵的秩就是指矩阵通过初等行变换和初等列变换得到的非零行或非零列的个数。
）当方程存有唯一解时，r(a)=r(b)=n；当方程组有无限多个解时,r(a)=r(b)=r\ucn；当方程组难解时，r（a）＜r（b）。
1、非齐次线性方程组：常数项不全为零的线性方程组比如：x+y+z=1;2x+y+3z=2;4x-y+3z=3;2、齐次线性方程组：常数项全部为零的线性方程组例如：x+y+z=0;2x+y+3z=0;4x-y+3z=0;齐次线性方程组求解步骤：1、对系数矩阵a展开初等行转换，将其化成行阶梯形矩阵；2、若r(a)=r=n（未知量的个数），则原方程组仅有零解，即x=0，求解结束；若r(a)=r\ucn（未知量的个数），则原方程组存有非零求解，展开以下步骤：3、继续将系数矩阵a化为行最简形矩阵，并写出同解方程组；4、挑选出最合适的民主自由未知量，并挑适当的基本向量组，代入同解方程组，获得原方程组的基础卢播，进而写下吉龙德。
（1）对增广矩阵b施行初等行变换化为行阶梯形。
若r(a)\ucr(b)，则方程组无解。
（2）若r(a)=r(b)，则进一步将b化成行及最简形。
（3）设r(a)=r(b)=r；把行最简形中r个非零行的非0首元所对应的未知数用其余n-r个未知数（自由未知数）表示，并令自由未知数，即可写出含n-r个参数的通解。
线性代数 河北工业大学
A=[2,4,-1,4,16;-3,-6,2,-6,-23;3,6,4,6,19;1,2,5,2,19]
(2) 输入常数列向量b
b=[-2;7;-23;43]
(3) 生成增广矩阵的行最简形R，并将增广矩阵的行最 简形中基准元素所在的列号存入向量s中 [R,s]=rref([A,b]);
0 0 7.3333 0 0.3333
3．线性方程组求解的几何概念
几何概念:空间的点可以 用一个向量来定位 在三维空间R3，没有限位 的点P(x,y,z)具有三个自由 度。 x,y,z三个数字可以在 实数域内任意选择。 线性方程组的求解问题是通过方程组将空间中 自由的点，位置加以限定—施加约束，方程组 个数越多，对这些点位置的限定就越强。
三个方程分别把三维 空间的点限制在三 个平面上
满足三个方程的解 （方程组的解）为 三个平面的公共点， 当该点唯一存在的 时候，方程组有唯 一解。这个点正好 被限位。(m3.m)
8x y z 0 2x y z 0 3x y z 0
对上述方程组求解可 以发现每个方程都把 点限制在某一平面上， 但是公共解被限定在 一条直线上，显示空 面内满足这个方程组 的解不唯一，公共点 没有被唯一地限位， 方程组有无数解。 (m4.m)
s0 = 3 5
A1 = 2 3 0 6 1 6 -2 2 -9 2
K= -1.0000 3.0000 1.0000 -2.0000 0.0000 1.0000
特征值和特征向量
本节内容涉及的MATLAB 命令
命令 orth(A) P=poly(A) root(P) r=eig(A) [V,D]=eig(A) 功能 求矩阵列向量构成空间的正交规范基 求出A的特征多项式，其系数存入行向量P中 求出多项式P的零点 求出A的特征值，存入列向量r中 A的特征向量（列）存入矩阵V A的特征值存入对角阵D的对角线上 [V,D]=schur(A) A的特征向量（列）经标准正交化后存入矩阵 V（V为正交阵） A的特征值存入对角阵D的对角线上
齐次线性方程组的基础解系(PPT)
齐次线性方程组的基础解系 对于齐次线性方程组1111221121222211220,0,0.n n n n m m mn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ 令11112212221212,,,n n n m m mn a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ααα 则上述方程组即为1122n n x x x +++=0ααα (*)（其中0为零向量）。
将（*）的解视为n 维向量，则所有解向量构成nK 中的一个向量组，记为S 。
命题 S 中的元素（解向量）的线性组合仍属于S （仍是解）。
证明 只需要证明S 关于加法与数乘封闭。
设1212(,,,),(,,,)n n k k k l l l S ∈，则 1122n n k k k +++=0ααα 1122n n l l l +++=0ααα 于是111222()()()0n n n k l k l k l ++++++=ααα故1122(,,,)n n k l k l k l S +++∈；又因为11220n n k Kkk kk kk ∀∈+++=ααα所以12(,,,)n kk kk kk S ∈。
证毕。
定义（线性方程组基础解系） 齐次线性方程组（*）的一组解向量12,,,s ηηη如果满足如下条件： （1） 12,,,s ηηη线性无关；（2） 方程组（*）的任一解向量都可被12,,,s ηηη线性表出，那么，就称12,,,sηηη是齐次线性方程组（*）的一个基础解系。
定理 数域上的齐次线性方程组的基础解系中的向量个数等于变元个数减去系数矩阵的秩。
证明 记线性方程组为1122n n x x x +++=0ααα其中11112212221212,,,n n n m m mn a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ααα设12,,,n ααα的秩为r ，无妨设12,,,n ααα为其极大线性无关部分组，则12,,,r r n ++---ααα皆可被12,,,r ααα线性表出，即存在(1,1)ij k K i n r j r ∈≤≤-≤≤，使得11111221221122221122,r r r r r r n n r n r n r r r k k k k k k k k k ++----=+++-=+++-=+++αααααααααααα即112210,(1,2,)i i ir r r i k k k i n r +++++⋅==-αααα于是S 中含有向量11112122122212(,,,,1,0,,0)(,,,,0,1,,0)(,,,,0,0,,1)r r n r n r n r n r r k k k k k k k k k ----===ηηη只需要证明12,,,n r -ηηη是解向量组的一个极大线性无关部分组即可。
齐次线性方程组通解
齐次线性方程组通解
可以把齐次方程组的系数矩阵看成是向量组。
求向量组的极大无关组的一般步骤：
1. 把向量组作为矩阵的列向量构成一个矩阵；
2. 用初等行变换将该矩阵化为阶梯阵；
3.主元所在列对应的原向量组即为极大无关组。
求齐次线性方程组通解要先求基础解系，步骤：
a. 写出齐次方程组的系数矩阵A；
b. 将A通过初等行变换化为阶梯阵；
c. 把阶梯阵中非主元列对应的变量作为自由元（n – r 个）；
d.令自由元中一个为 1 ，其余为 0 ，求得 n – r 个解向量，即为一个基础解系。
齐次线性方程组AX= 0：
若X1，X2… ，Xn-r为基础解系，则X=k1 X1＋k2 X2 +…+kn-rXn-r，即为AX= 0的全部解（或称方程组的通解）。
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§8 求解齐次线性方程组
8.1 引言
给定一个矩阵( 阶), 可以结合两个子空间.
1.列空间(column space) 是
的子空间. 的列向量( 维)的全部线性组合
2.零空间(null space) 是的子空间.
的“某些”解向量的全体线性组合
8.1 引言
性质：(1) 有解
(2)设的一个特解为则的解集为
一般地，含无穷个向量. 但是这些向量可以只用有限个“特殊”的向量(即互相独立，线性无关)线性组合得出.
8.1 引言
例：的解集一平面. 如何写出全部解
(或平面上所有点)呢？
检查是两个独立的解, 都是和
的线性组合：
如果取两个特殊解为则
8.1 引言
这两个特殊解是这样得到的.
任意取, 所以
其中
问：一般情况下，求的特殊解，使得这些特殊解的
全部线性组合？
8.2 基础解系
例：
是一个阶梯矩阵(echelon form), 是第一二行主元, 且
8.2 基础解系
继续消元得
称为简化行阶梯形(reduced row echelon form), 即消去主元所
在列的其余元素, 且主元化为
8.2 基础解系
即
8.2 基础解系
由例例主元对应的未知量称为主变量, 设为
其余变量为自由变量, 设为
若干特殊解向量( 个)称为基础解系.
定理：设是一个阶矩阵，则只经过行变换，可化成
一个行阶梯形矩阵最终化成行最简约阶梯形矩阵
8.2 基础解系例：
解：
8.2 基础解系
即是自由变量.
即
称为基础解系.
8.2 基础解系
定理：基础解系中的向量线性无关.
正如上例, 是取得到的解向量；
是取得到的解向量；
是取得到的解向量.
因此，只看的三分量得到的子向量恰好是
它们线性无关线性无关.
8.2 基础解系
注：数量规律
1.主元个数未知量个数( 的列数) 自由变量个数.
2.自由变量个数基础解系向量个数
无关解向量个数.
3.主元个数的列向量中无关向量个数.
8.3 简化行阶梯形的列变换
简化行阶梯阵一般不是对角阵. 如果使用列变换，则可以化
成的形式, 但是注意列变换(对换)改变未知量的次序(只做列对换).
8.3 简化行阶梯形的列变换例：
解：
8.3 简化行阶梯形的列变换
但考虑到则有
总结：即
8.3 简化行阶梯形的列变换
若则
称为的秩主元个数主变量个数的无关列向量数
的列数基础解系个数.
秩秩秩
的主变量是自由变量是
8.3 简化行阶梯形的列变换
求的解.
考虑(称为零空间矩阵, null space matrix).
展示的每一列均是的解, 这个列向量
的全体线性组合的解集即
8.3 简化行阶梯形的列变换
例如：则
8.3 简化行阶梯形的列变换
事实上，设即
即
则
即
8.3 简化行阶梯形的列变换
以上例子暗示了方程个数和无关解个数的一个关系,
即“无关”方程个数的列数无关解个数(基础解系向量数).。