整数规划 PPT课件

整数规划
模型
• 变量—是否从i第个城市到第j个城市 xij 1,0;
• 约束 每个城市只能到达一次、离开一次
x
j 0 n
n
ij
1; i 1,2,... n 1; j 1,2,... n
x
i 0
ij
整数规划
• 目标—总费用最小
c
i 0 j 0
n
n
ij x ij
x
j 1
3 j 1
3
ij
1; i 1,2...,7
1; i 8,2..., 17
x
ij
xij 1,0; i 1,2..., 17, j 1整数性要求 来源
问题本身的要求 引入的逻辑变量的需要

性质—可行域是离散集合
线性整数规划模型
整数规划
min
c
i 0 j 0
n
n
ij x ij
n xij 1; i 1,2,...,n j 0 n s.t. xij 1; j 1,2,...,n i 0 u u nx n 1;1 i j n i j ij xij 1,0, i 1,2,...,n, j 1,2,...,n
max cx
Ax b s.t. x 0
可行解是放松问题的可行解 最优值大于等于放松问题的最优值
整数线性规划（ILP）实例
线性规划模型 max z=x1+4x2 s.t. 14x1+42x2≤196 -x1+ 2x2≤ 5 x1, x2≥0
4 3 2 1
A(2.6, 3.8)
整数规划模型 max z=x1+4x2 s.t. 14x1+42x2≤196 -x1+ 2x2≤ 5 x1, x2≥0 x1,x2 为整数
• 一般整数规划模型
• 0-1整数规划模型
• 混合整数规划模型
一般整数规划模型
min cx Ax b s.t. x 0, x为整数
♂返回
0-1整数规划模型
max cx Ax b s.t. xi 0,1; i 1, 2,..., n
♂返回
混合整数规划模型
max cx Ax b s.t. x 0 x 为整数, i 1, 2,..., p i
♂返回
算 法
• 与线性规划的关系 • 分支定界算法 • 割平面算法
♂返回
与线性规划的关系
整数规划 放松的线性规划
max cx Ax b s.t. x 0, x为整数
背景
• 证券投资：把一定的资金投入到合适的有 价证券上以规避风险并获得最大的利润 • 项目投资：财团或银行把资金投入到若干 项目中以获得中长期的收益最大。
整数规划
案例
• 某财团有 B万元的资金，经出其考察选中 n 个 投资项目，每个项目只能投资一个。其中第j 个项目需投资金额为 b j万元，预计5年后获利 万元 c j j 1,2...,n ，问应如何选择项目使得5 年后总收益最大？

整数规划
旅游售货员问题
• 背景
• 案例
• 模型
背景
• 旅游线路安排 预定景点走且只走一次 路上时间最短 • 配送线路—货郎担问题 送货地到达一次 总路程最短
整数规划
案例
• 有一旅行团从 v0 出发要遍游城市 v1 , v 2 ,...,v n 已知从 v i到 v j 的旅费为cij ， 问应如何安排行程使总费用最小？

整数规划
背包问题
• 背景
• 案例
• 模型
整数规划
背景
• 邮递包裹 把形状可变的包裹用尽量少的车辆运走 • 旅行背包 容量一定的背包里装尽可能的多的物品
整数规划
实例
• 某人出国留学打点行李，现有三个旅行包，容 积大小分别为1000毫升、1500毫升和2000毫升， 根据需要列出需带物品清单，其中一些物品是 必带物品共有7件，其体积大小分别为400、 300、150、250、450、760、190、（单位毫 升）。尚有10件可带可不带物品，如果不带将 在目的地购买，通过网络查询可以得知其在目 的地的价格（单位美元）。这些物品的容量及 价格分别见下表，试给出一个合理的安排方案 把物品放在三个旅行包里。
ij
整数规划
• 目标函数—未带物品购买费用最小
1
x
j 1 i
3
ij ; i
8,2..., 17
3
p (1 x
i 8 j 1
17
ij )
整数规划
模型
min
p (1 x
i i 8 j 1
17
3
ij )
c x
i i 1
17
ij
r j ; j 1,2,3
整数规划
物品 体积
1
200
2
350
3
500
4
430
5
320
6
120
7
700
8
420
9
250
10
100
价格
15
45
100
70
50
75
200
90
20
30
整数规划
问题分析
• 变量—对每个物品要确定是否带同时要确定
放在哪个包裹里，如果增加一个虚拟的包裹把 不带的物品放在里面，则问题就转化为确定每 个物品放在哪个包裹里。如果直接设变量为每 个物品放在包裹的编号，则每个包裹所含物品 的总容量就很难写成变量的函数。为此我们设 变量为第i个物品是否放在第j个包裹中
整数规划
整数规划
整数规划
• 整数规划问题与模型 • 割平面法和分支定界法 • 0-1整数规划 • 指派问题的匈牙利法 • 应用案例
整数规划
整数规划问题
• 实例
• 特点 • 模型分类
整数规划
应用案例
• 投资组合问题
• 旅游售货员问题
• 背包问题
整数规划
投资组合问题
• 背景
• 实例
• 模型
整数规划
xij 1,0; i 1,2..., 17, j 1,2,3
整数规划
• 约束
包裹容量限制 必带物品限制
c x
i i 1 3
17
ij
r j ; j 1,2,3
x
j 1 3 j 1
ij
1; i 1,2...,7 1; i 8,2..., 17
选带物品限制
x
整数规划
模型
• 变量—每个项目是否投资 j 1,2...,n x j 1,0 • 约束—总金额不超过限制
•
b x B 目标—总收益最大 c x
j j 1 j n j j 1
n
j
max
整数规划
max
c
j 1
n
jxj
n bj x j B s.t. j 1 x 1,0; j 1,2...,n j