圆锥曲线的切线方程和切点弦方程
圆锥曲线的切线与切点弦方程
圆锥曲线的切线与切点弦方程圆锥曲线的切线与切点弦方程说明：（1）以上方程可以通过局部分割曲线，利用导数求得.（2）切点弦方程可以通过两切点具有相同结构方程式且切线有公共交点推导而得.1.过点(M 且与圆224x y +=相切的直线方程为2.由点()2,2P 向圆221x y +=引两切线,PA PB ，其中切点为,A B ，则AOB S ∆=3.设抛物线24y x =在()00,P x y 处的切线为l ，则点(2,0)A 到直线l 的距离的最小值为 4.设椭圆2214x y +=在()00,P x y 处的切线为l ，直线l 与两坐标轴交点分别为,A B ，则AOB S ∆最小值为 ；AB 最小值为 .二、抛物线的切线与切点弦方程1.已知抛物线24x y =在1(1,),(2,1)4A B -两点处的切线分别为12,l l ，且1l 与2l 相交于点P（1）求点P 的坐标.（2）求直线AB 的方程.2.已知抛物线22(0)x py p =>，过M 引抛物线的两条切线，切点分别为,A B .（1）证明：,,A M B 三点的横坐标成等差数列.（2）若(2,2)M p -且AB =.3.已知抛物线24x y =，过点P 的直线l 交抛物线于,A B 两点，分别以,A B 为切点的两切线12,l l .（1）若(2,2)P ，求1l 与2l 交点M 的轨迹方程.（2）若点P 为抛物线的焦点F ，证明：（i ）MF AB ⊥； （ii ）MA MB ⊥.4.已知抛物线C ：22x py =的焦点(0,)F c (0)c >到直线l ：20x y --=，设P 为直线l 上点，过点P 作抛物线的两条切线12,l l ，求切点分别为,A B .（1）求抛物线C 的方程；（2）当00(,)P x y 为定点时，求直线AB 的方程；（3）当P 在直线上运动时，求FA FB ⋅的最小值. 5.已知椭圆1C ：22221x y a b+=的两个焦点1(2,0)F -，2(2,0)F ，点(2,3)A 在椭圆上，过点A 的直线l 与抛物线2C ：24x y =交于,B C 两点，抛物线2C 在,B C 两点处的切线分别为12,l l 且1l 与2l 相交于点P .（1）求椭圆1C 的方程；（2）是否存在满足1212PF PF AF AF +=+的点P ，若存在，请指出个数？若不存在说明理由.。
圆锥曲线专题：恒过定点问题的4种常见考法(原卷版)
圆锥曲线专题：恒过定点问题的4种常见考法一、常用方法技巧1、参数无关法把直线或者曲线方程中的变量x ，y 当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时的参数的系数就要全部为零，这样就得到一个关于x ，y 的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点。
2、特殊到一般法根据动点或动直线、动曲线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关。
3、关系法对满足一定条件上的两点连结所得直线定点或满足一定条件的曲线过定点问题，可设直线（或曲线）上两点的坐标，利用坐标在直线（或曲线）上，建立点的坐标满足方程（组），求出相应的直线（或曲线），然后再利用直线（或曲线）过定点的知识求解。
二、手电筒模型解题步骤1、概念：只要任意一个限定AP 与BP 条件（如AP BP k k ⋅=定值，+AP BP k k =定值），直线AB 依然会过定点，因为三条直线形似手电筒，故称为手电筒模型。
2、解题步骤：第一步：由AB 直线y kx m =+，联立曲线方程得根与系数关系，∆求出参数范围；第二步：由AP 与BP 关系，得到一次函数()k f m =或()m f k =；第三步：将()k f m =或()m f k =代入y kx m =+，得到()y y k x x =-+定定.三、交点弦的中点所在直线恒过定点解题步骤第一步：设其中一条直线的斜率为1k ，求出直线方程；第二步：直线与曲线进行联立，出现韦达定理的形式，或者直接求出坐标，表示出这条弦的中点，并且类比出另外一条的中点坐标；第三步：由上述两部，根据点斜式写出两个中点所在直线的方程；第四步：化直线为点斜式，确定定点坐标。
四、圆锥曲线的切点弦方程1、过抛物线()220y px p =>外一点()00,M x y 作抛物线的切线，切点弦方程为()00yy p x x =+；2、过椭圆()222210x y a b a b+=>>外一点()00,M x y 作椭圆的切线，切点弦方程为00221x x y ya b +=；3、过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>外一点()00,M x y 作双曲线的切线，切点弦方程为00221x x y ya b-=；五、几个重要的定点模型1、过椭圆()222210x y a b a b +=>>的左焦点(),0F c -作两条相互垂直的弦AB ，CD ，若弦AB ，CD 的中点分别为M ，N ，则直线MN 恒过定点222,0ac a b ⎛⎫- ⎪+⎝⎭.（双曲线与抛物线也有类似结论）2、动点()00,P x y 在直线0Ax By C ++=上，由P 引椭圆22221x y a b +=的两条切线，切点分别是M ，N ，则直线MN 恒过定点22,a A b B C C ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.（双曲线与抛物线也有类似结论）3、（1）过椭圆()222210x y a b a b +=>>上的一定点()00,P x y 作两条斜率之和为m 的直线1l ，2l ，分别交椭圆于A ，B 两点，则直线AB 必过定点20000222,y b x x y m ma ⎛⎫--- ⎪⎝⎭；（2）过抛物线()220y px p =>上的一定点()00,P x y 作两条斜率之和为m 的直线1l ，2l ，分别交抛物线于A ，B 两点，则直线AB 必过定点0002,2y y x p m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭4、（1）过椭圆()222210x y a b a b +=>>上的一定点()00,P x y 作两条斜率之积为m 的直线1l ，2l ，分别交椭圆于A ，B 两点，则直线AB 必过定点()()2222002222,b ma x b ma y b ma b ma ⎛⎫++ ⎪- ⎪--⎝⎭（2）过抛物线()220y px p =>上的一定点()00,P x y 作两条斜率之积为m 的直线1l ，2l ，分别交抛物线于A ，B 两点，则直线AB 必过定点002,p x y m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭（3、4两个结论对于圆与双曲线也成立，当22b a =时就是圆中的结论，用2b -替代2b 就可得到双曲线中的结论）题型一手电筒模型恒过定点问题【例1】已知圆22:(2)1M x y ++=，圆22:(2)49N x y -+=，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C .（1）求曲线C 的方程；（2）设不经过点Q 的直线l 与曲线C 相交于A，B 两点，直线QA 与直线QB 的斜率均存在且斜率之和为-2，证明：直线l 过定点.【变式1-1】已知直线2y =与双曲线C ：()222210,0x ya b a b-=>>交于A ，B 两点，F 是C 的左焦点，且AF AB ⊥，2BF AF =.（1）求双曲线C 的方程；（2）若P ，Q 是双曲线C 上的两点，M 是C 的右顶点，且直线MP 与MQ 的斜率之积为23-，证明直线PQ 恒过定点，并求出该定点的坐标.【变式1-2】已知F 为抛物线22y px =(0)p >的焦点，过F 且倾斜角为45︒的直线交抛物线于A，B 两点，||8AB =.（1）求抛物线的方程：（2）已知()0,1P x -为抛物线上一点，M，N 为抛物线上异于P 的两点，且满足2PM PN k k ⋅=-，试探究直线MN 是否过一定点？若是，求出此定点；若不是，说明理由.【变式1-3】已知动点(,)P x y (0)x ≥到定点(1,0)的距离比它到y 轴的距离大1.（1）求动点P 的轨迹E 的方程；（2）设点(,0)Q m (m 为常数)，过点Q 作斜率分别为12,k k 的两条直线1l 与2l ，1l 交曲线E 于,A B 两点，2l 交曲线E 于,C D 两点，点,M N 分别是线段,AB CD 的中点，若121k k +=，求证：直线MN 过定点.题型二切点弦恒过定点问题【例2】在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的右焦点与抛物线2y =的焦点重合，且椭圆的四个顶点围成的四边形面积为（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知点P 是直线420y x =-+上的动点，过点P 做椭圆C 的两条切线，切点分别为M ，N ，问直线MN 是否过定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由．【变式2-1】如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的上顶点为(0,1)A ，离心率为2.（1）求椭圆C 的方程;（2）若过点A 作圆222:(1)(01)M x y r r ++=<<的两条切线分别与椭圆C 相交于点,B D (不同于点A ).当r 变化时，试问直线BD 是否过某个定点若是，求出该定点;若不是，请说明理由.【变式2-2】抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点F 是椭圆22134x y +=的一个焦点．（1）求C 的准线方程；（2）若P 是直线240x y --=上的一动点，过P 向C 作两条切线，切点为M ，N ，试探究直线MN 是否过定点？若是，请求出定点，若否，请说明理由.【变式2-3】在平面直角坐标系xOy 中，已知点(0,2)F ，点P 到点F 的距离比点P 到直线3y =-的距离小1，记P 的轨迹为C ．（1）求曲线C 的方程；（2）在直线2y =-上任取一点M ，过M 作曲线C 的切线12l l 、，切点分别为A 、B ，求证直线AB 过定点．题型三相交弦中恒过定点问题2:2(0)C x py p =>上.（1）求抛物线C 的方程；（2）过点(0,)T p 作两条互相垂直的直线1l 和2l ，1l 交抛物线C 于A 、B 两点，2l 交抛物线C 于D ，E 两点，若线段AB 的中点为M ，线段DE 的中点为N ，证明：直线MN 过定点．【变式3-1】在平面直角坐标系xOy 中，已知动点P 到点()2,0F 的距离与它到直线32x =的P 的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的方程；（2）过点F 作两条互相垂直的直线1l ，2l .1l 交曲线C 于A ，B 两点，2l 交曲线C 于S ，T 两点，线段AB 的中点为M ，线段ST 的中点为N ．证明：直线MN 过定点，并求出该定点坐标．【变式3-2】已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>A ，右顶点为B ，上顶点为C ，ABC 的内切圆的半径为4-．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）点M 为直线:1l x =上任意一点，直线AM ，BM 分别交椭圆E 于不同的两点P ，Q ．求证：直线PQ 恒过定点，并求出定点坐标．【变式3-3】已知M ⎝，N ⎫⎪⎪⎝⎭是椭圆2222:1(0)x yE a b a b +=>>上的两点．（1）求椭圆E 的方程；（2）过椭圆E 的上顶点A 和右焦点F 的直线与椭圆E 交于另一个点B ，P 为直线5x =上的动点，直线AP ，BP 分别与椭圆E 交于C （异于点A ），D （异于点B ）两点，证明：直线CD 经过点F ．题型四动圆恒过定点问题【例4】已知椭圆C ：223412x y +=.（1）求椭圆C 的离心率；（2）设,A B 分别为椭圆C 的左右顶点，点P 在椭圆C 上，直线AP ，BP 分别与直线4x =相交于点M ，N .当点P 运动时，以M ，N 为直径的圆是否经过x 轴上的定点？试证明你的结论.【变式4-1】已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的离心率为22，其左､右焦点分别为1F ，2F ，T 为椭圆C 上任意一点，12TF F △面积的最大值为1.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知()0,1A ，过点10,2⎛⎫⎪⎝⎭的直线l 与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，直线AM ，AN 与x 轴的交点分别为P ，Q ，证明：以PQ 为直径的圆过定点.【变式4-2】设A ，B 为双曲线C ：22221x y a b-=()0,0a b >>的左、右顶点，直线l 过右焦点F 且与双曲线C 的右支交于M ，N 两点，当直线l 垂直于x 轴时，AMN 为等腰直角三角形．（1）求双曲线C 的离心率；（2）已知直线AM ，AN 分别交直线2ax =于P ，Q 两点，当直线l 的倾斜角变化时，以PQ 为直径的圆是否过定点，若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．【变式4-3】已知抛物线()2:20C y px p =>与直线:20l x y +=交于M ，N 两点，且线段MN的中点为()8,p P y ．（1）求抛物线C 的方程；（2）过点P 作直线m 交抛物线于点A ，B ，是否存在定点M ，使得以弦AB 为直径的圆恒过点M．若存在，请求出点M 坐标；若不存在，请说明理由．。
第10讲：圆锥曲线的切线
第12讲：圆锥曲线的切线不管是哪一种圆锥曲线的切线，其本质都是圆锥曲线与直线只有一个交点，即联立圆锥曲线方程与直线方程所得到的一元二次方程有且仅有一个根，即0=∆，相信这对于大家来说都不是问题，在这里我们对圆锥曲线的切线做一些总结，以方便大家在最短的时间内解决题目。
（一）椭圆的切线：①12222=+b y a x 在点P(00,y x )处的切线方程为12020=+by y a x x ②过椭圆外一点Q （11,y x ）可以做椭圆的两条切线，两切点所在的直线方程为12121=+by y a x x ③直线m kx y +=与椭圆12222=+by a x 相切时，满足2222m b k a =+例：已知P 为椭圆13422=+y x 上一动点，求点P 到直线062=--y x 的最小值与最大值。
（二）双曲线的切线：①1-2222=by a x 在点P(00,y x )处的切线方程为1-2020=b y y a x x②过椭圆外一点Q （11,y x ）可以做椭圆的两条切线，两切点所在的直线方程为1-2121=byy a x x ③直线m kx y +=与椭圆12222=+by a x 相切时，满足2222-m b k a =（三）抛物线的切线：①py x 22=上某点P （00,y x ）的切线斜率为p x k 0=,点P(px x 2,20)，则切线方程为p x x x p x y 2)(2000+-= ，即pxp x x y 2200-=，通过观察我们知道: 与x 轴的交点为)0,2(x ，切线与x 轴的截距为切点处横坐标的一半， 与y 轴的交点为)2-,0(20px ，在y 轴上的截距为切点纵坐标的相反数。
②A （11,y x ），B （22,y x ）均在抛物线py x 22=上，请推证A 、B 处两切线及其两切线的交点坐标。
A 点处切线p x p x x y 2211-=B 点处切线pxp x x y 2222-=两条切线的焦点坐标（1212,22x x x x p+） 我们发现：i 、两切线的交点横坐标为两个切点的中点M 的横坐标 ii 、根据前面弦长知识点可知，直线与抛物线的两个交点满足：122x x pb =-(b 为直线与对称轴的截距)，那么我们得到：两切线的交点纵坐标(12222x x pbb p p-==-)与直线与对称轴的截距互为相反数 延伸一：过抛物线对称轴上一点(0,b)做直线与抛物线相交于A 、B 两点，过A 、B 分别做抛物线的切线，两切线相交于点Q ，通过几何画板作图我们发现：不论直线绕P(0,b)如何旋转，两切线的交点的纵坐标恒为-b证明：令过P 的直线为y kx b =+，221212(,),(,)22x x A x B x p p联立22x pyy kx b ⎧=⎨=+⎩得122x x pb =-设A 点处切线pxp x x y 2211-=, B 点处切线p x p x x y 2222-=则两条切线的焦点坐标Q （1212,22x x x x p+） ∴12222Q x x pby b p p -===- 证 毕延伸二、过点Q (,)a b （22b pa <）做抛物线的两条切线分别切抛物线于点A 、B ， 直线AB 与y 轴的截距为-b斜率22121212222ABx x x x a p p k x x p p-+===- ∴切点弦方程为：ay x b p=-③对于焦点在x 轴上的抛物线，求切线一般联立方程，利用0=∆求解。
圆锥曲线的切线方程
圆锥曲线的切线方程点击此处添加副标题作者：鲜海东微信：xhd143848832211),(1),()0(13))(())((),())(())((),(),()()(2),(),(1202022220020200022222000020000002222000020000222=+=+=+=+=--+--=--+--=-+-=+=+=+by y a x x M b y a x y x M by y a x x y x M b a b y a x r b y b y a x a x M y x M rb y b y a x a x y x M y x M r b y a x r y y x x M y x M r y y x x y x M r y x 弦所在直线方程为：点的引切线有两条，过两切的外部时，过在椭圆当切线方程为：上一点＞＞：过椭圆结论所在直线方程：点切线有两条：切点弦在圆外，过若切线方程：则过一点为圆上，若的方程：：若圆心不在原点，圆结论。
弦所在直线方程为，过两切点的点引切线有且只有两条在圆外时，过当。
的切线方程为上一点：经过圆结论。
两点的直线方程为、所以过两切点，满足直线现观察以上两个等式，发、以有是两条切线的交点，所。
又因、：两点的切线方程分别为、可知过由为引两条切线，切点分别外一点＞＞（）设过椭圆（即由点斜式得切线方程为，得求导，得的两边对）大学隐函数求导）（证明：11),(),,(.11),(11)1().,(),,(),()0121),(,02211(20202020221120220220120100222221212211002222202000202002020222222=+=+=+=+=+=+=+=+--==--==='='+=+b y y a x x B A b y y a x x y x B y x A b y y a x x b y y a x x y x M b y y a x x b y y a x x B A y x B y x A y x M b a by a x by y a x x x x y a x b y y y a x b x x y b y y a x x b y a x)(),()0(2);(),()0(2)2()(),()0(2);(),()0(2)1(511),(1),()00(140000200002000020000220202222002020002222y y p x x y x M p py x y y p x x y x M p py x x x p y y y x M p px y x x p y y y x M p px y by y a x x M b y a x y x M by y a x x y x M b a b y a x +==+==+==+===-=-=-=-弦所在直线方程为的引两条切线，过两切点的外部一点＞过抛物线切线方程为上一点＞过抛物线弦所在直线方程为的引两条切线，过两切点的外部一点＞过抛物线切线方程为上一点＞过抛物线：结论。
课题∶圆锥曲线的切线方程和切点弦方程
课题：圆锥曲线的切线方程和切点弦方程主讲人： 安庆一中 李治国 教学目标：（1）.掌握圆锥曲线在某点处的切线方程及切点弦方程。
（2）.会用切线方程及切点弦方程解决一些问题。
（3）通过复习渗透数形结合、类比的思想，逐步培养学生分析问题和解决问题的能力。
(4) 掌握曲线与方程的关系。
教学重点：切线方程及切点弦方程的应用教学难点：如何恰当使用切线方程及切点弦方程教学过程：1. 引入：通过09年安徽省高考题及近几年各省考察圆锥曲线的实例引出本节课。
2. 知识点回顾：1.2. 3.4. 圆锥曲线切线的几个性质：性质1 过椭圆的准线与其长轴所在直线的交点作椭圆的两条切线，则切点弦长等于该椭圆的通径．同理:双曲线,抛物线也有类似的性质性质2 过椭圆的焦点F 1的直线交椭圆于A ，B 两点，过A ，B 两点作椭圆的切线交于点P ，则P 点的轨迹是焦点 的对应的准线，并且同理:双曲线,抛物线也有类似的性质3. 例题精讲：练习1：抛物线 与直线 围成的封闭的图形的面积为 ，若直线l 与抛物线相切，且平行于直线 ，则直线l 的方程为例1： 设抛物线 的焦点为F ，动点P 在直线22200(,)x y r M x y +=过圆 上一点 的切线方程:200xx yy r +=00221xx yy a b +=220022(,)1x y P x y a b +=设为椭圆上的点，则过该点的切线方程为：220022(,)1x y P x y a b -=设为双曲线上的点，则过该点的切线方程为：00221xx yy a b -=00(,)2P x y px =2设为抛物线y 上的点，则过该点的切线方程为：00()yy p x x =+1PF AB ⊥1F :20l x y --=2:C y x =2(0)y ax a =>1x =43260x y -+=上运动，过P 作抛物线C 的两条切线PA 、PB ，且与抛物线C 分别相切于A 、B 两点.求△APB 的重心G 的轨迹方程.4. 圆锥曲线的切点弦方程:1.2.3.4. 练习2：例题3：5.小结: 1．判断直线与圆锥曲线的位置关系时，注意数形结合；2. 掌握求曲线方程的方法：3. 两种方程两种思想作业： 6. 反思220022(,)1x y P x y a b +=设为椭圆外一点，过该点作椭圆的两条切线，切点为A ，B 则弦AB 的方程为：22200(,)P x y x y r +=设为圆外一点，则切点弦的方程为：200xx yy r +=220022(,)1x y P x y a b -=过为双曲线的两支作两条切线，则切点弦方程为：00221xx yy a b -=00(,)2P x y px =2设为抛物线y 开口外一点，则切点弦的方程为：00()yy p x x =+22221(,0). x y P m a bA B AB ±=≠对于圆锥曲线，过点，（m 0）作两条切线，切点为，则直线恒过定点22x 21,4312A,B AB OMN y P x y +=+=已知椭圆是在直线位于第一象限上一点，由P 向已知椭圆作两切线，切点分别为，问当直线与两坐标轴围成的三角形面积最小，最小值为多少？2l y x+3P y 2A,B.PAB P x ==∆已知是直线：上一点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为求面积的最小值。
专题14 圆锥曲线的切线问题
专题14 圆锥曲线的切线问题一、结论圆锥曲线的切线问题常用方法有几何法，代数法：比如求圆的切线，常用圆心到直线的距离等于半径来解决切线问题，也可以联立直线与圆的方程根据0∆=来求解；比如涉及到椭圆的切线问题，也常常联立直线与椭圆的方程根据0∆=来求解； 对于抛物线的切线问题，可以联立，有时也可以通过求导来求解. 而对于这些圆锥曲线也常常存在一些特殊的求切线公式：1.过圆C :222()()x a y b R −+−=上一点00(,)P x y 的切线方程为200()()()()x a x a y b y b R −−+−−=.2.过椭圆22221x y a b+=上一点00(,)P x y 的切线方程为00221x x y ya b +=.3.已知点00(,)M x y ,抛物线C :22(0)y px p =≠和直线l :00()y y p x x =+.(1)当点00(,)M x y 在抛物线C 上时,直线l 与抛物线C 相切,其中M 为切点,l 为切线. (2)当点00(,)M x y 在抛物线C 外时,直线l 与抛物线C 相交,其中两交点与点M 的连线分别是抛物线的切线,即直线l 为切点弦所在的直线.(3)当点00(,)M x y 在抛物线C 内时,直线l 与抛物线C 相离.二、典型例题1．（2021·安徽·六安一中高二期末（文））已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为()222210x y a b a b +=>>，则椭圆在其上一点()00,A x y 处的切线方程为00221x x y y a b +=，试运用该性质解决以下问题；椭圆221:12x C y +=，点B 为1C 在第一象限中的任意一点，过B 作1C 的切线l ，l 分别与x 轴和y 轴的正半轴交于,C D 两点，则OCD 面积的最小值为（ ）A ．1 BCD ．2【答案】C 【详解】设1111(,),(0,0)B x y x y >>，由题意得，过点B 的切线l 的方程为：1112x xy y +=， 令0y =，可得12(,0)C x ，令0x =，可得11(0,)D y ，所以OCD 面积111112112S x y x y =⨯⨯=，又点B 在椭圆上，所以221112x y +=，所以121111121111122x y S x y x y x x y y +===+≥=当且仅当11112x yy x =，即111,x y = 所以OCD故选：C【反思】过椭圆()222210x y a b a b+=>>上一点()00,A x y 作切线，切线方程为：00221x x y ya b+=，该结论可以在小题中直接使用，但是在解答题中，需先证后用，所以在解答题中不建议直接使用该公式.2．（2020·江西吉安·高二期末（文））已知过圆锥曲线221x y m n+=上一点()00,P x y 的切线方程为001x x y y m n +=.过椭圆221124x y +=上的点()3,1A −作椭圆的切线l ，则过A 点且与直线l 垂直的直线方程为（ ） A ．30x y −−= B ．-20x y += C ．2330x y +−= D ．3100x y −−=【答案】B 【详解】过椭圆221124x y +=上的点()3, 1A −的切线l 的方程为()31124y x −+=，即40x y −−=，切线l的斜率为1.与直线l 垂直的直线的斜率为-1，过A 点且与直线l 垂直的直线方程为()13y x +=−−，即20x y +−=. 故选：B【反思】根据题中信息，直接代入公式，但是在代入切线方程为001x x y ym n+=注意不要带错，通过对比本题信息，12m =，4n =，03x =，01y =−，将这些数字代入公式，可求出切线l ，再利用直线垂直的性质求解.3．（2022·江苏南通·一模）过点()1,1P 作圆22:2C x y +=的切线交坐标轴于点A 、B ，则PA PB ⋅=_________.【答案】2− 【详解】圆C 的圆心为()0,0C ，10110CP k −==−， 因为22112+=，则点P 在圆C 上，所以，PC AB ⊥，所以，直线AB 的斜率为1AB k =−，故直线AB 的方程为()11y x −=−−，即20x y +−=， 直线20x y +−=交x 轴于点()2,0A ，交y 轴于点()0,2B ， 所以，()1,1PA =−，()1,1PB =−，因此，112PA PB ⋅=−−=−. 故答案为：2−.另解：过圆C :222()()x a y b R −+−=上一点00(,)P x y 的切线方程为200()()()()x a x a y b y b R −−+−−=.可知01x =，01y =；0a b ==，22R =,代入计算得到过点()1,1P 作圆22:2C x y +=的切线为：(10)(0)(10)(0)2x y −−+−−=，整理得：20x y +−=，直线20x y +−=交x 轴于点()2,0A ，交y 轴于点()0,2B ， 所以，()1,1PA =−，()1,1PB =−，因此，112PA PB ⋅=−−=−. 故答案为：2−.【反思】本题中提供了常规方法和使用二级结论的解法，特别提醒同学们，二级结论的公式代入数字时，最忌讳代入错误，所以需要特别仔细。
圆锥曲线的基本公式推导（学长整合版）
圆锥曲线的几大大题特征公式：焦半径、准线、弦长、切线方程、弦中点公式、极线方程/*另外，针对“计算不好”的同学，本人提供“硬解定理”供大家无脑使用。
具体的请参考本目录下的【硬解定理的推导和使用】文章。
*/圆锥曲线的切线方程在历年高考题中出现，但是在高中教材及资料都涉及较少。
本文主要探索圆锥曲线的切线方程及其应用。
从而为解这一类题提供统一、清晰、简捷的解法。
【基础知识1:切线方程、极线方程】【1-0】公式小结：x2换成xxO,y2换成yyO,x换成(x+x0)/2,y换成(y+yO)/2.ri-u椭圆的切线方程：①椭圆22%+5=1a b上一点P(x。
J。
)处的切线方程是仙。
彼。
_1②过椭圆22a2b2外一点P（X"。
）所引两条切线的切点弦方程是仙。
工均。
_1汀"1③椭圆/+萨-|与直线如+母+C=0相切的条件是A2a2+B2b2-C2=Q （也就是下篇文档所讲的硬解定理公式△=（）的充要条件）[1-2]双曲线的切线方程：①双曲线/b2上一点P（x"。
）处的切线方程是女。
加=1a2b2~②过椭圆丁"外一点P（x°J。
）所引两条切线的切点弦方程是夕。
加=1a2b2~③椭圆丁"与直线如+母+C=0相切的条件是A2a2-B2b2-C2=0 [1-3]抛物线的切线方程:2物线y2=2px上一点P（x"。
）处的切线方程是必=2p(x+Xo)②过抛物线y2=2px外一点处所引两条切线是W）=2。
（"工0）③抛物线y2=2px与直线+位+C=0相切的条件是pB2=2AC [1-4]基础知识的证明：【公式一：曲线C上切点公式证明】1、第1种证明思路：过曲线上一点的切线方程设曲线C上某一点处P（x"。
）的切线方程为y-y0=k（x-x0）,联立方程，令△=o,得到k的表达式，再代入原始式，最后得切线方程式So）?,3o）21a2b2a2b2（注：k的表达式可以在草稿中巧用点差法求，具体见下）2、第2种证明思路：点差法（求斜率，其余跟第一种方法一样）证明：设某直线与曲线C交于M、N两点坐标分别为（X],月）、（32）,中点P（*0,为）则有22土+土=1 (1)/+V】，（1）V......⑵静+厂（2）n⑴一（2），得2222^-^-+>^-=0.a2b2b2•「2一乃力+土1'•2x2-Xj x2+Xj a又._y2~yi m+*2_2*°_y0MN~'；一~一—.x2-x}X]+x22x q x0■k•也=—N..A MN2x。
高中数学圆锥曲线二级结论
高中数学二级结论1.任意的简单n 面体内切球半径为表S V3(V 是简单n 面体的体积，表S 是简单n 面体的表面积) 2.在任意ABC △内，都有tan A +tan B +tan C =tan A ·tan B ·tan C推论：在ABC △内，若tan A +tan B +tan C <0，则ABC △为钝角三角形 3.斜二测画法直观图面积为原图形面积的42倍 4.过椭圆准线上一点作椭圆的两条切线，两切点连线所在直线必经过椭圆相应的焦点 5.导数题常用放缩1+≥x e x、1ln 11-≤≤-<-x x xx x 、)1(>>x ex e x 6.椭圆)0,0(12222>>=+b a by a x 的面积S 为πab S =7.圆锥曲线的切线方程求法：隐函数求导推论：①过圆222)()(r b y a x =-+-上任意一点),(00y x P 的切线方程为200))(())((r b y b y a x a x =--+--①过椭圆)0,0(12222>>=+b a b y a x 上任意一点),(00y x P 的切线方程为12020=+b yy a xx①过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 上任意一点),(00y x P 的切线方程为12020=-b yy a xx8.切点弦方程：平面内一点引曲线的两条切线，两切点所在直线的方程叫做曲线的切点弦方程 ①圆022=++++F Ey Dx y x 的切点弦方程为0220000=++++++F E y y D x x y y x x ①椭圆)0,0(12222>>=+b a b y a x 的切点弦方程为12020=+b yy a x x①双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的切点弦方程为12020=-by y a x x①抛物线)0(22>=p px y 的切点弦方程为)(00x x p y y +=①二次曲线的切点弦方程为0222000000=++++++++F yy E x x D y Cy x y y x Bx Ax 9.①椭圆)0,0(12222>>=+b a b y a x 与直线)0·(0≠=++B A C By Ax 相切的条件是22222C b B a A =+ ②双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 与直线)0·(0≠=++B A C By Ax 相切的条件是22222C b B a A =- 10.若A 、B 、C 、D 是圆锥曲线(二次曲线)上顺次四点,则四点共圆(常用相交弦定理)的一个充要条件是:直线AC 、BD 的斜率存在且不等于零,并有0=+BD AC k k ,(AC k ,BD k 分别表示AC 和BD 的斜率)11.已知椭圆方程为)0(12222>>=+b a by a x ，两焦点分别为1F ，2F ，设焦点三角形21F PF 中θ=∠21F PF ，则221cos e -≥θ(2m ax 21cos e -=θ)12.椭圆的焦半径(椭圆的一个焦点到椭圆上一点横坐标为0x 的点P 的距离)公式02,1ex a r ±=13.已知1k ，2k ，3k 为过原点的直线1l ，2l ，3l 的斜率，其中2l 是1l 和3l 的角平分线，则1k ，2k ，3k 满足下述转化关系：3222223321212k k k k k k k k +-+-=，31231231312)()1(1k k k k k k k k k +++-±-=，2122221123212k k k k k k k k +-+-= 14.任意满足r by ax n n =+的二次方程，过函数上一点),(11y x 的切线方程为r y by x ax n n =+--111115.已知f (x )的渐近线方程为y=ax+b ，则a xx f x =∝+→)(lim，b ax x f x =-∝+→])([lim16.椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 绕Ox 坐标轴旋转所得的旋转体的体积为πab V 34=17.平行四边形对角线平方之和等于四条边平方之和18.在锐角三角形中C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++19.函数f (x )具有对称轴a x =，b x =)(b a ≠，则f (x )为周期函数且一个正周期为|22|b a -20.y=kx+m 与椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 相交于两点，则纵坐标之和为22222bk a mb + 21.已知三角形三边x ，y ，z ，求面积可用下述方法(一些情况下比海伦公式更实用，如27，28，29)AC C B B A S zA C y CB x B A ⋅+⋅+⋅==+=+=+222222.圆锥曲线的第二定义：椭圆的第二定义：平面上到定点F 距离与到定直线间距离之比为常数e (即椭圆的偏心率，ace =)的点的集合(定点F 不在定直线上，该常数为小于1的正数)双曲线第二定义：平面内，到给定一点及一直线的距离之比大于1且为常数的点的轨迹称为双曲线 23.到角公式：若把直线1l 依逆时针方向旋转到与2l 第一次重合时所转的角是θ，则21121tan k k k k θ=⋅+-24.A 、B 、C 三点共线⇔OD nm OB OC n OA m OD +=+=1,(同时除以m+n ) 25.过双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 上任意一点作两条渐近线的平行线，与渐近线围成的四边形面积为2ab26.反比例函数)0(>=k xky 为双曲线，其焦点为)2,2(k k 和)2,2(k k --，k <0 27.面积射影定理：如图，设平面α外的①ABC 在平面α内的射影为①ABO ，分别记①ABC 的面积和①ABO 的面积为S 和S′ ，记①ABC 所在平面和平面α所成的二面角为θ，则cos θ = S′ : S28,角平分线定理：三角形一个角的平分线分其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例角平分线定理逆定理：如果三角形一边上的某个点分这条边所成的两条线段与这条边的对角的两边对应成比例，那么该点与对角顶点的连线是三角形的一条角平分线 29.数列不动点：定义：方程的根称为函数的不动点利用递推数列的不动点，可将某些递推关系所确定的数列化为等比数列或较易求通项的数列，这种方法称为不动点法定理1：若是的不动点，满足递推关系，则，即是公比为的等比数列.定理2：设，满足递推关系，初值条件(1)若有两个相异的不动点，则 （这里）(2)若只有唯一不动点，则（这里）定理3：设函数有两个不同的不动点,且由确定着数列,那么当且仅当时,30.x x f =)()(x f )(x f )(1-=n n a f a ),1,0()(≠≠+=a a b ax x f p )(x f n a )1(),(1>=-n a f a n n )(1p a a p a n n -=--}{p a n -a )0,0()(≠-≠++=bc ad c dcx bax x f }{n a 1),(1>=-n a f a n n )(11a f a ≠)(x f q p ,q a p a k q a p a n n n n --⋅=----11qca pca k --=)(x f p k p a p a n n +-=--111da c k +=2)0,0()(2≠≠+++=e af ex cbx ax x f 21,x x )(1n n u f u =+}{n u a e b 2,0==2212111)(x u x u x u x u n n n n --=--++(1)⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧+=-+=+==-=++342cos 2cos 2cos 4242sin 2sin 2sin 4142cos 2cos 2cos 442sin 2sin 2sin 4)sin()sin()sin(k n nC nB nA k n nC nB nA k n nC nB nA k n nC nB nA nC nB nA ，*N ∈k(2)若πC B A =++，则：①2sin 2sin 2sin 8sin sin sin 2sin 2sin 2sin CB AC B A C B A =++++②2sin 2sin 2sin 41cos cos cos CB AC B A +=++③2sin 2sin 2sin 212sin 2sin 2sin 222C B A C B A -=++④4sin4sin 4sin 412sin 2sin 2sin C B A C B A ---+=++πππ ⑤2sin 2sin 2sin 4sin sin sin CB AC B A =++⑥2cot 2cot 2cot 2cot 2cot 2cot C B A C B A =++⑦12tan 2tan 2tan 2tan 2tan 2tan =++A C C B B A⑧C B A C B A B A C A C B sin sin sin 4)sin()sin()sin(=-++-++-+ (3)在任意①ABC 中，有： ①812sin 2sin 2sin≤⋅⋅C B A ②8332cos 2cos 2cos ≤⋅⋅C B A ③232sin 2sin 2sin≤++C B A ④2332cos 2cos 2cos≤++C B A ⑤833sin sin sin ≤⋅⋅C B A ⑥81cos cos cos ≤⋅⋅C B A ⑦233sin sin sin ≤++C B A ⑧23cos cos cos ≤++C B A ⑨432sin 2sin 2sin 222≥++C B A⑩12tan 2tan 2tan 222≥++C B A⑪32tan 2tan 2tan ≥++CB A⑫932tan 2tan 2tan ≤⋅⋅C B A ⑬332cot 2cot 2cot≥++CB A ⑭3cot cot cot ≥++C B A(4)在任意锐角①ABC 中，有： ①33tan tan tan ≥⋅⋅C B A②93cot cot cot ≤⋅⋅C B A③9tan tan tan 222≥++C B A ④1cot cot cot 222≥++C B A31.帕斯卡定理：如果一个六边形内接于一条二次曲线(椭圆、双曲线、抛物线)，那么它的三对对边的交点在同一条直线上32.拟柱体：所有的顶点都在两个平行平面内的多面体叫做拟柱体，它在这两个平面内的面叫做拟柱体的底面，其余各面叫做拟柱体的侧面，两底面之间的垂直距离叫做拟柱体的高拟柱体体积公式[辛普森(Simpson )公式]：设拟柱体的高为H ，如果用平行于底面的平面γ去截该图形，所得到的截面面积是平面γ与一个底面之间距离h 的不超过3次的函数，那么该拟柱体的体积V 为H S S S V )4(61201++=，式中，1S 和2S 是两底面的面积，0S 是中截面的面积(即平面γ与底面之间距离2Hh =时得到的截面的面积)事实上，不光是拟柱体，其他符合条件(所有顶点都在两个平行平面上、用平行于底面的平面去截该图形时所得到的截面面积是该平面与一底之间距离的不超过3次的函数)的立体图形也可以利用该公式求体积 33.三余弦定理：设A 为面上一点，过A 的斜线AO 在面上的射影为AB ，AC 为面上的一条直线，那么①OAC ,①BAC ,①OAB 三角的余弦关系为：cos①OAC=cos①BAC ·cos①OAB (①BAC 和①OAB 只能是锐角)34.在Rt △ABC 中，C 为直角，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，则△ABC 的内切圆半径为2cb a -+ 35.立方差公式：))((2233b ab a b a b a +--=- 立方和公式：))((2233b ab a b a b a +-+=+36.已知△ABC ，O 为其外心，H 为其垂心，则OC OB OA OH ++=37.过原点的直线与椭圆的两个交点和椭圆上不与左右顶点重合的任一点构成的直线斜率乘积为定值)0(22>>-b a ba 推论：椭圆上不与左右顶点重合的任一点与左右顶点构成的直线斜率乘积为定值)0(22>>-b a b a38.12)!1(!!21+++++++=n θxn xx n e n x x x e 推论：212x x e x++>39.)2(≤≥--a ax ee xx推论：①)0(ln 21>≥-t t tt②)20,0(ln ≤≤>+≥a x ax axx 40.抛物线焦点弦的中点，在准线上的射影与焦点F 的连线垂直于该焦点弦 41.双曲线焦点三角形的内切圆圆心的横坐标为定值a (长半轴长)42.向量与三角形四心：在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c (1)⇔=++0OC OB OA O 是ABC ∆的重心(2)⇔⋅=⋅=⋅OA OC OC OB OB OA O 为ABC ∆的垂心 (3)O OC c OB b OA a ⇔=++0为ABC ∆的内心==⇔O 为ABC ∆的外心43.正弦平方差公式：)sin()sin(sin sin 22βαβαβα+-=-44.对任意圆锥曲线，过其上任意一点作两直线，若两射线斜率之积为定值，则两交点连线所在直线过定点45.三角函数数列求和裂项相消：21cos2)21sin()21sin(sin --+=x x x 46.点(x ,y )关于直线A x+B y+C =0的对称点坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-+++-2222)(2,)(2B A C By Ax B y B A C By Ax A x 47.圆锥曲线统一的极坐标方程：θρcos 1e ep-=(e 为圆锥曲线的离心率)48.超几何分布的期望：若),,(M N n X~H ，则N nM X E =)((其中NM为符合要求元素的频率)，)111)(1()(----=N n N M N M n X D49.{}n a 为公差为d 的等差数列，{}n b 为公比为q 的等比数列，若数列{}n c 满足n n n b a c ⋅=，则数列{}n c 的前n项和n S 为2121)1(-+-=+q c c q c S n n n50.若圆的直径端点()()1122,,,A x y B x y ，则圆的方程为()()()()12120x x x x y y y y --+--= 51.过椭圆上一点做斜率互为相反数的两条直线交椭圆于A 、B 两点，则直线AB 的斜率为定值52.二项式定理的计算中不定系数变为定系数的公式：11--=k n k n nC kC53.三角形五心的一些性质：(1)三角形的重心与三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等(2)三角形的垂心与三顶点这四点中，任一点是其余三点所构成的三角形的垂心(3)三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心 (4)三角形的外心是它的中点三角形的垂心 (5)三角形的重心也是它的中点三角形的重心(6)三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心(7)三角形的任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的二倍54.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，则2222c b a AC AB -+=⋅55.m >n 时，22nm nm n m e nm e e e e +>-->+。
利用隐函数导数求解圆锥曲线的切线及切点弦方程
故点 Ｍｏ （ Ｘ ｏ ， ）的切点 弦方 程为 ＋ Ｔ ｒ Ｔ ｒ
＝１ ．
［ Ｙ＋Ｃ ０ ８ （ Ｘ＋ Ｙ ） ］ ＝（ ５ ） ＝ （ Ｙ ） ＋［ Ｃ Ｏ Ｓ （ Ｘ＋ Ｙ ） ］
＝ ０
（ 二） 双 曲线的切线方程 及切点弦方程 萼
●
高 教 视 野
・ ・
● ● ‘
●
黜厕隐 函 数导 数浆解圆 锥曲线 切线 及切点弦方 程
◎ 马志 良 （ 兰州资源环境职业技术 学院基础部 ， 甘肃 兰州 ７ ３ ０ ０ ２ １ ）
【 摘要】 本文从隐函数入手， 利用隐函数的导数知识求
出 了圆锥 曲线的切 线方程 及切 点 弦方程 ， 并 对 圆锥 曲线 的 切线方程及切点 弦方程进行 了比较．
ｂ ２ ｘ
ｊ ＋ ＝ ＝ 一
，
一
即 ：
ｎ
一
Ｄ
：１ ．
＼
ｊ ｏ ｊ
（ ２ ）双 曲线 的切点 弦方程 设 Ｍ， （ 。 ， Ｙ 。 ） ， （ ， Ｙ ２ ）为过 定 点 与双 曲线相切 的直线 的两 个 切点 ， 则 称直线 Ｍ。 为 双曲线在 点 （ ， ｙ ０ ） 的 切点弦 ， 下面是直线 肘。 的求解．
ａ
Ｙ Ｙｌ
～
＝Ｉ ｌ ， ’
隐 函数及 其求导 （ 一 ）隐函数
一
：
＋
＝ ・ ．
、
又因为点 在 直线 Ｍ。 和 眠 上 ， 放有
＋
口 Ｄ
若方程 Ｆ（ ｘ ， Ｙ ）＝０能显示 出Ｙ 是 的 函数关系 ， 则称方 程Ｆ （ ， Ｙ ）＝０为隐 函数 …．
高中常用圆锥曲线常用的二级结论汇总
圆锥曲线常用的二级结论椭圆双曲线抛物线标准方程()012222>>=+b a by ax 焦点()()0021，，，c F c F -()0012222>>=-b a by ax ，焦点()()0021，，，c F c F -()022>=p px y 焦点⎪⎪⎭⎫⎝⎛02，p F 图像焦半径的坐标形式0201ex a PF ex a PF -=+=，e 为离心率，x 0为点P 的横坐标0201ex a PF ex a PF -=+=，e 为离心率，x 0为点P 的横坐标20p x PF +=x 0为点P 的横坐标焦半径的角度形式θcos 2c a b PF -=PFO∠=θac b PF ±=θcos 2PFO ∠=θ，同正异负θcos 1+=p PF PFO∠=θ通径ab 22ab 22p 2焦点弦的角度形式θ2222cos 2c aab PQ -=PFO ∠=θθ2222cos 2c aab PQ -=PFO∠=θθ2sin 2p PQ =PFO∠=θ两条焦半径的关系2211ba QF PF =+2211ba QF PF =±同正异负pQF PF 211=+椭圆双曲线抛物线焦三角形2tan221θb S F PF =∆离心率βαθsin sin sin +=e 2tan2cot 2221θθb b S F PF ==∆离心率βαθsin sin sin -=e θsin 22p S POQ =∆θ为直线PQ 倾斜角顶角范围21PF F ∠=θ点P 由长轴端点向短轴端点运动的过程中，θ逐渐增大21PF F ∠=θ点P 由实轴端点向远离实轴运动的过程中，θ逐渐减小点P 与点Q 由原点向远离原点运动的过程中，POQ ∠逐渐减小垂径定理22a b k k OC AB -=⋅C 为线段AB 的中点22a b k k OC AB =⋅C 为线段AB 的中点py k C AB =⋅y c 为点C 的纵坐标椭圆双曲线抛物线周角定理22ab k k PB P A -=⋅P 为椭圆上异于A 与B 的点22a b k k PB P A =⋅P 为双曲线上异于A 与B 的点无周角定理推广形式22ab k k PB P A -=⋅直线AB 过原点O P 为椭圆上异于A 与B 的点且P A k 与PB k 均存在22a b k k PB P A =⋅直线AB 过原点O P 为双曲线上异于A 与B 的点且P A k 与PB k 均存在无准线方程椭圆上任意一点P 到焦点F 和到准线L 的距离之比为e焦点F 与准线L 在y 轴的同侧ca x L 2±=：双曲线上任意一点P 到焦点F 和到准线L 的距离之比为e 焦点F 与准线L 在y 轴的同侧ca x L 2±=：抛物线的焦点F 与准线L 在y 轴的异侧2p x L -=：椭圆双曲线抛物线准线的性质=+PB P A k k 直线AB 过焦点F P 为准线L 与x 轴的交点焦点F 与准线L 在y 轴的同侧=+PB P A k k 直线AB 过焦点F P 为准线L 与x 轴的交点焦点F 与准线L 在y 轴的同侧=+PB P A k k 直线AB 过焦点F P 为抛物线准线L 与x 轴的交点切线方程点()00,y x P 在椭圆上椭圆在点P 处的切线方程为12020=+by y ax x 点()00,y x P 在双曲线上双曲线在点P 处的切线方程为12020=-by y ax x 点()00,y x P 在抛物线上抛物线在点()00,y x P 处的切线方程为()x x p y y +=00切点弦方程点()00,y x P 在椭圆外过点P 作椭圆的两条切线交椭圆于A 、B 两点则切点弦AB 的方程为12020=+by y ax x 点()00,y x P 在双曲线外过点P 作双曲线的两条切线交双曲线于A 、B 两点则切点弦AB 的方程为12020=-by y ax x 点()00,y x P 在抛物线外过点P 作抛物线的两条切线交抛物线于A 、B 两点则切点弦AB 的方程为()x x p y y +=00。
高考数学圆锥曲线部分重要公式及结论
高中数学圆锥曲线部分重要公式及结论（椭圆部分）● 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.● PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.● 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.● 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.● 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=.● 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+=.● 椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan2F PF S b γ∆=.● 椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).● 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.● 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.● AB 是椭圆22221x y a b+=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ⋅=-，即0202y a xb K AB -=。
● 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+.● 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b +=+.● 椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞o ）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交椭圆于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22221x y a b-=.● 过椭圆22221x y a b+= (a ＞0, b ＞0)上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C 两点，则直线BC 有定向且2020BC b x k a y =（常数）.● 若P 为椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）上异于长轴端点的任一点,F 1, F 2是焦点, 12PF F α∠=,21PF F β∠=，则tan t 22a c co a c αβ-=+. ● 设椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,P （异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF 1F 2中，记12F PF α∠=, 12PF F β∠=,12F F P γ∠=，则有sin sin sin ce aαβγ==+.● 若椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，左准线为L ，则当0＜e 1时，可在椭圆上求一点P ，使得PF 1是P 到对应准线距离d 与PF 2的比例中项.● P 为椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）上任一点,F 1,F 2为二焦点，A 为椭圆内一定点，则2112||||||2||a AF PA PF a AF -≤+≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线时，等号成立.● 椭圆220022()()1x x y y a b--+=与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是2222200()A a B b Ax By C +≥++.● 已知椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0），O 为坐标原点，P 、Q 为椭圆上两动点，且OP OQ ⊥.（1）22221111||||OP OQ a b +=+;（2）|OP|2+|OQ|2的最大值为22224a b a b +;（3）OPQ S ∆的最小值是2222a b a b +. ● 过椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的右焦点F 作直线交该椭圆右支于M,N 两点，弦MN 的垂直平分线交x 轴于P ，则||||2PF eMN =. ● 已知椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0） ,A 、B 、是椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x , 则22220a b a b x a a---<<.● 设P 点是椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）上异于长轴端点的任一点,F 1、F 2为其焦点记12F PF θ∠=，则(1)2122||||1cos b PF PF θ=+.(2) 122tan 2PF F S b γ∆=.● 设A 、B 是椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）的长轴两端点，P 是椭圆上的一点，PAB α∠=,PBA β∠=,BPA γ∠=，c 、e 分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1)22222|cos |||s ab PA a c co αγ=-.(2) 2tan tan 1e αβ=-.(3) 22222cot PABa b S b a γ∆=-. ● 已知椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）的右准线l 与x 轴相交于点E ，过椭圆右焦点F 的直线与椭圆相交于A 、B 两点,点C 在右准线l 上，且BC x ⊥轴，则直线AC 经过线段EF 的中点. ● 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.● 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.● 椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率). ● （注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.） ● 椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e. ● 椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.（双曲线部分）● 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.● PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.● 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.● 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）● 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y ya b-=. ● 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b -=.● 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为122t2F PF S b co γ∆=.● 双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c - , 2(,0)F c● 当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a=-. ● 当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =-+,20||MF ex a=--● 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.● 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.● AB 是双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则0202y a x b K K AB OM =⋅，即0202y a x b K AB =。
圆锥曲线知识要点及结论个人总结
圆锥曲线知识要点及结论个人总结《圆锥曲线》知识要点及重要结论 一、椭圆1 定义 平面内到两定点21,F F 的距离的和等于常数)2(221F F a a >的点P 的轨迹叫做椭圆.若212F F a =，点P的轨迹是线段21F F .若2120F F a <<，点P 不存在.2 标准方程)0(12222>>=+b a by a x ，两焦点为)0,(),0,(21c F c F -.)0(12222>>=+b a b x a y ，两焦点为),0(),,0(21c F c F -.其中222c b a+=.3 几何性质椭圆是轴对称图形，有两条对称轴. 椭圆是中心对称图形，对称中心是椭圆的中心.椭圆的顶点有四个，长轴长为a 2，短轴长为b 2，椭圆的焦点在长轴上. 若椭圆的标准方程为)0(12222>>=+b a b y a x ，则by b a x a ≤≤-≤≤-,；若椭圆的标准方程为)0(12222>>=+b a bx a y ，则ay a b x b ≤≤-≤≤-,.二、双曲线1 定义 平面内到两定点21,F F 的距离之差的绝对值等于常数)20(221F F a a <<的点的轨迹叫做双曲线.若212F F a =，点P 的轨迹是两条射线.若212F F a >，点P不存在. 2 标准方程)0,0(12222>>=-b a by a x ，两焦点为)0,(),0,(21c F c F -.)0,0(12222>>=-b a b y a x ，两焦点为),0(),,0(21c F c F -.其中222b a c +=.3 几何性质双曲线是轴对称图形，有两条对称轴；双曲线是中心对称图形，对称中心是双曲线的中心. 双曲线的顶点有两个21,A A ，实轴长为a 2，虚轴长为b 2，双曲线的焦点在实轴上. 若双曲线的标准方程为)0,0(12222>>=-b a by a x ，则Ry a x a x ∈≥-≤,或；若双曲线的标准方程为)0,0(12222>>=-b a b x a y ，则Rx a y a y ∈≥-≤,或.4 渐近线 双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 有两条渐近线x a b y =和x aby -=.即02222=-b y a x双曲线)0,0(12222>>=-b a bx a y 有两条渐近线x b a y =和x bay -=.即02222=-bx a y双曲线的渐进线是它的重要几何特征，每一双曲线都对应确定双曲线的渐进线，但对于同一组渐进线却对应无数条双曲线. 与双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 共渐进线的双曲线可表示为)0(2222≠=-λλby a x .直线与双曲线有两个交点的条件，一定要“消元后的方程的二次项系数0≠”和“0>∆”同时成立. 5 等轴双曲线：实轴长等于虚轴长的双曲线叫做等轴双曲线.等轴双曲线的标准方程为)0(12222>=-a ay a x 或)0(12222>=-a a x a y .等轴双曲线的渐近线方程为x y ±=.6 共轭双曲线：实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线互为共轭双曲线.如：)0,0(12222>>=-b a b y a x 的共轭双曲线为)0,0(12222>>=-b a ax b y ，它们的焦点到原点的距离相等，因而在以原点为圆心，22b a +为半径的圆上.且它们的渐近线都是x aby =和x ab y -=. 三、抛物线1 定义 平面内与一个定点F 和一条定直线F l (不在l 上) 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线. 定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线.2 标准方程 (1) )0(22>=p px y，焦点为)0,2(p ，准线方程为2px -=，抛物线张口向右. (2) )0(22>-=p px y，焦点为)0,2(p -，准线方程为2p x =，抛物线张口向左. (3) )0(22>=p py x，焦点为)2,0(p ，准线方程为2py -=，抛物线张口向上. (4) )0(22>-=p py x，焦点为)2,0(p -，准线方程为2p y =，抛物线张口向下.其中p 表示焦点到准线的距离. 3 几何性质抛物线是轴对称图形，有一条对称轴.若方程为)0(22>=p px y 或)0(22>-=p px y，则对称轴是x 轴，若方程为)0(22>=p py x或)0(22>-=p py x，则对称轴是y 轴. 若抛物线方程为)0(22>=p px y ，则R y x ∈≥,0. 若抛物线方程为)0(22>-=p px y ，则R y x ∈≤,0. 若抛物线方程为)0(22>=p py x ，则R x y ∈≥,0.若抛物线方程为)0(22>-=p py x ，则R x y ∈≤,0.圆锥曲线的一些重要结论【几个重要结论】 1 已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的两焦点为)0,(),0,(21c F c F -，),(00y x P 为椭圆上一点，则)1()()(22022020201a x b c x y c x PF -++=++=a a cx a a cx a cx a x c +=+=++=020202202)(2因为ax a ≤≤-0，c a a acx c a c acxc +≤+≤-<≤≤-00,， 所以a acx PF+=1. 同理，acx a PF a PF0122-=-=.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的左、右焦点分别为)0,(),0,(21c F c F -，),(0y x P 为双曲线上一点，则a acx PF+=1，a acx PF -=2.2 椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的两焦点为21,F F ，P 为椭圆上一点，若θ=∠21PFF ，则21PF F ∆的面积为2tancos 1sin 22αααb b =+.解：根据椭圆的定义可得aPF PF 221=+ ①由余弦定理可得αcos 242122212212PF PF PF PF F F c -+== ② 由①②得)cos 1(2442122α+=-PF PF c a.从而αcos 12221+=b PF PF所以，21F PF ∆的面积为2tan cos 1sin sin 212221ααααb b PF PF =+=双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两焦点为21,F F ，P 为其上一点，若α=∠21PF F ，则21PF F ∆的面积为2cot cos 1sin sin 212221ααααb b PF PF =-=.3 已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C ，N M ,是C 上关于原点对称的两点，点P 是椭圆上任意一点，当直线PNPM ,的斜率都存在，并记为PNPMk k,时，那么PMk 与PNk之积是与点P 位置无关的定值. 解：设),(),,(11y x M y x P ，则),(11y x N --.1010101,x x y y k x x y y k PN PM----=--=，从而2120212001010101x x y y x x y y x x y y k kPNPM--=----⋅--=⋅.又因为),(),,(1100y x M y x P 都在椭圆上，故1,1221221220220=+=+by a x b y a x .两式相减得，02212022120=-+-by y a x x ，因而2221202120ab x x y y -=--即22ab k k PNPM -=⋅.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x .N M ,是C 上关于原点对称的两点，点P 是双曲线上任意一点，当直线PNPM ,的斜率都存在，并记为PNPMk k,时，那么PMk 与PNk之积是与点P 位置无关的定值.【常用方法】1 在求轨迹方程时，若条件满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可以用定义求轨迹方程，这是常用求轨迹的数学方法，称为定义法. 2本章经常会碰到直线l 与圆锥曲线C 相交于两点的问题，若已知l 过定点),(0y x P ，则可设l 的方程为x x =或)(00x x k yy -=-.然后分两种情况进行研究，一般处理方法是把直线方程代入曲线C 的方程中，整理得到关于x 或y 的一元二次方程(要注意二次项系数是否为零).韦达定理和判别式经常要用到！若l 的条件不明显时，则可设l 的方程为m x =或mkx y +=.3 本章还经常用到“点差法”：设直线l 与圆锥曲线C 交于点),(),,(2211y x B y x A ,则B A ,两点坐标都满足曲线C 的方程，然后把这两个结构相同的式子相减，整理可以得到直线AB 的斜率1212x x y y--的表达式，也经常会出现2121,y y x x++，这样又可以与线段AB 的中点),(00y x P 联系起来！4 若三点),(),,(),,(02211y x P y x B y x A 满足以线段AB 为直径的圆经过点P 或BP AP ⊥时，常用处理方法有： ①根据勾股定理可得222PBPA AB+=；②根据AP 的斜率与BP 的斜率之积为1-，可得120201010-=--⋅--x x y y x x y y ；③根据),(),,(,002020101y y x x y y x x--=--==⋅可得))(())((02010201=--+--y y y y x x x x .5求轨迹方程的方法常见的有：直接法、定义法、待定系数法、代入法（也叫相关点法）.1 椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的参数方程是cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩.离心率c e a ==△PF 1F 2中，记12F PFα∠=, 12PF Fβ∠=,12F F P γ∠=，则有sin sin sin c eaαβγ==+.线到中心的距离为2a c，焦点到对应准线的距离(焦准距)2b p c=。
切线与切点弦方程
高三 17 班数学一轮复习学案 序号 教师 代鹏 学生圆锥曲线的切线方程与切点弦方程学习目标1.掌握利用复合函数求导原理，求过圆锥曲线上任一点的切线方程2.了解切点弦的概念；3.掌握圆锥曲线切点弦方程的求法4.能够处理与切线有关的距离、面积等问题； 一．知识回顾 1.复合函数的求导法则 记()y f x =，22()z y f x ==则()x y f x ''=，()22()2()()x xxz yfx f x f x ''''⎡⎤===⎣⎦即：2x x z yy ''=2.圆锥曲线的切点弦：过圆锥曲线外一点，作圆锥曲线的切线，切点分别为A,B ，连接A,B ，则线段AB 称为此圆锥曲线的切点弦。
此时AB 所在直线方程称为切点弦方程。
3.求曲线上某点的切线方程：关键是切点坐标和切线斜率的求解。
二．典型问题练习：尝试应用：1.在抛物线24y x =上找一点P ，使得P 到直线x+y+4=0的距离最小。
2.已知椭圆C:2214x y +=，过椭圆C 的右焦点F 且斜率为1的直线与椭圆交与AB 两点，在C 上找一点P ，使得三角形ABP 的面积最大。
圆锥曲线的切点弦方程 例 命题1 过圆x 2+y 2= r 2(r>0)，外一点P （a ，b ）作圆的两切线，切点为M 、N ，则直线MN 的方程为：ax+by=r 2证明：22220000(,)x y r M x y xx yy r +=+=例1 求证：过圆 上一点 的切线方程:2200220022(,)11x yP x y a b xx yy a b +=+=例2 设为椭圆上的点，则过该点的切线方程为：2200002222(,)11xx yy x y P x y a b a b -=-=设为双曲线上的点，求证：过该点的切线方程为：0000(,)2()P x y px yy p x x ==+2设为抛物线y 上的点，求证：过该点的切线方程为：命题2 过椭圆（a>b>0）外一点P （x 0，y 0）作椭圆的两切线，切点为M 、N 则直线MN 的方程为：证明：练习 将命题3补充完整并证明命题3 过抛物线22y px =外一点P （x 0，y 0）作抛物线的两切线，切点为M 、N 则直线MN 的方程为：尝试应用1.若椭圆的焦点在x 轴上，过点（1，）作圆x 2+y 2=1的切线，切点分别为A 、B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，求椭圆方程。
【高考数学二轮复习大题讲义】第27讲 切点弦结论-解析版
第27讲 切点弦结论平面内一点引曲线的两条切线，两切点所在直线的方程叫作曲线的切点弦方程，切点弦方程是解析几何中的热点问题，而切线往往和导函数相关，近几年高考数学的趋势也是把解析几何和导函数相结合作为压轴题，这类题目综合性强，难度一般较大，圆锥曲线的切线问题有两种处理思路：(1)导数法：将圆锥曲线方程化为函数y ＝f (x )，利用导数法求出函数y ＝f (x )在点(x 0，y 0)处的切线方程，特别是焦点在y 轴上的抛物线常用此法求切线．(2)判别式法：根据题中条件设出切线方程，将切线方程代入圆锥曲线方程，化为关于x (或y )的一元二次方程，利用切线与圆锥曲线相切的充要条件：判别式△＝0，可解出切线方程．圆锥曲线的切线问题要根据曲线不同，选择不同的方法．下面介绍一些切线和切点弦相关的结论，来帮助快速解题．一、圆相关的切线结论结论一：点()00 M x y ，在圆222x y R +=上，过点M 作圆的切线方程为200x x y y R +=．结论二：点()00 M x y ，在圆222x y R +=外，过点M 作圆的两条切线，切点分别为 A B ，，则切点弦AB 的直线方程为200x x y y R +=．结论三：点()00 M x y ，在圆222x y R +=内，过点M 作圆的弦AB (不过圆心)，分别过 A B ，作圆的切线，则两条切线的交点P 的轨迹方程为直线200x x y y R +=．证明：由上述结论二可得过() P P P x y ，的圆的切点弦AB 的直线方程为P P x x y y +=2R ．又弦AB 过点()00 M x y ，，即0P x x +20P y y R =，则两条切线的交点P的轨迹方程为直线200x x y y R +=．二、一般圆相关的结论结论四：点()00 M x y ，在圆2()x a -+22()y b R -=上，过点M 作圆的切线方程为()()200()()x a x a y b y b R --+--=．结论五：点()00 M x y ，在圆2()x a -+22()y b R -=外，过点M 作圆的两条切线，切点分别为 A B ，，则切点弦AB 的直线方程为()()200()()x a x a y b y b R --+--=．结论六：点()00 M x y ，在圆2()x a -+22()y b R -=内，过点M 作圆的弦AB (不过圆心)，分别过 A B ，作圆的切线，则两条切线的交点P 的轨迹方程为()0()x a x a --+()20()y b y b R --=．三、椭圆相关结论结论七：点()00 M x y ，在椭圆2222x y a b+=1(0)a b >>上，过点M 作椭圆的切线方程为00221x x y y ab+=．结论八：点()00 M x y ，在椭圆2222x y a b+=1(0)a b >>外，过点M 作椭圆的两条切线，切点分别为 A B ，，则切点弦AB 的直线方程为00221x x y y a b +=．结论九：点()00 M x y ，在椭圆2222x y a b+=1(0)a b >>内，过点M 作椭圆的弦AB (不过椭圆中心)，分别过 A B ，作椭圆的切线，则两条切线的交点P 的轨迹方程为直线02x x a+021y y b=．证明：由上述结论八可得过() P P P x y ，的椭圆的切点弦AB 的直线方程为2P x x a +21P y y b =，又弦AB 过点()00 M x y ，，即02P x x a +021P y y b =，则两条切线的交点P的轨迹方程为直线00221x x y y ab+=．四、双曲线相关结论结论十：点()00 M x y ，在双曲线2222x y a b-=1(0 0)a b >>，上，过点M 作双曲线的切线方程为00221x x y y a b -=．结论十一：点()00 M x y ，在双曲线22x a-221(0 0)y a b b =>>，外，过点M 作双曲线的两条切线，切点分别为 A B ，，则切点弦AB 的直线方程为00221x x y y ab-=．结论十二：点()00 M x y ，在双曲线22x a-221(0 0)y a b b =>>，内，过点M 作双曲线的弦AB (不过双曲线中心)，分别过 A B ，作双曲线的切线，则两条切线的交点P 的轨迹方程为直线00221x x y y ab-=．五、抛物线相关结论结论十三：点()00 M x y ，在抛物线2y =2(0)px p >上，过点M 作抛物线的切线方程为()00y y p x x =+．结论十四：点()00 M x y ，在抛物线2y =2(0)px p >外，过点M 作抛物线的两条切线，切点分别为 A B ，，则切点弦AB 的直线方程为()00y y p x x =+．结论十五：点()00 M x y ，在抛物线2y =2(0)px p >内，过点M 作抛物线的弦AB ，分别过 A B ，作抛物线的切线，则两条切线的交点P 的轨迹方程为直线()00y y p x x =+．切线方程问题【例1】若点()00 P x y ，为曲线22:43x y C +=1上任意一点．证明：直线00:34l x x y y +-120=与曲线C 恒有且只有一个公共点．【解析】证明：(1)当00y =时，由2200143x y +=可得02x =±．①当002 0x y ==，时，直线l 的方程为2x =，直线l 与曲线C 有且只有一个交点(2 0)，．②当002,0x y =-=时，直线l 的方程为2x =-，直线l 与曲线C 有且只有一个交点( 2 0)-，．(2)当00y ≠时得001234x x y y -=，代入22143x y +=，消去y 整理得()22220000432448160yx x x x y +-+-=． ①由点()00 P x y ，为曲线C 上一点，故2200143x y +=，即22034120x y +-=， 于是方程①可以化简为202x x x -+20x =，解得0x x =．将0x x =代入001234x xy y -=得0y y =．说明直线与曲线有且只有一个交点()00 P x y ，． 综上，不论点P 在何位置，直线0:3l x x +04120y y -=与曲线C 恒有且只有一个交点，交点即()00 P x y ，．【例2】已知抛物线y 2＝x 的焦点为F ，()()0000 M x y y ≠，为抛物线上一点． 证明：过M 点的切线万程为：0020x y y x -+=． 【解析】证明：由已知，切线的斜率存在且不等于0． 设过M 点的切线方程为0(y y k x -=-)0x ， 则联立方程()002y y k x x y x⎧-=-⎪⎨=⎪⎩，消去x 化简可得2000ky y y kx -+-=． ∵直线与抛物线相切，则()00140k y kx ∆=-⋅-=，得2004410x k y k -+=，而点()()0000 M x y y ≠，为抛物线上点，则20y x =，代入可得22004410y k y k -+=，∴012k y =． ()00012y y x x y -=-，即02x y y -+00x =．用切点弦结论解决定点、定值问题【例1】已知椭圆22:16x E y +=，点P 为直线3x =上的动点，过P 作椭圆E 的两条切线，切点分别为 A B ，，求证：直线AB 过定点．【解析】证明：设切点为()()1222 A x y B x y ，，，，点(3 )P t ，． 由切线方程结论得直线AP 方程为1116x x y y +=，直线BP 方程为2216x xy y +=． 通过点1122316(3 ) 316x y t P t x y t ⋅⎧+=⎪⎪∴⎨⋅⎪+=⎪⎩，，，∴ A B ，满足方程：12x ty +=．∴直线AB 恒过点(2 0)，．【例2】过椭圆2213:144x y C +=上异于其顶点的任一点Q ．作圆224:3O x y +=的切线，切点分别为 ( M N M N ，，不在坐标轴上)，若直线MN 的横纵截距分别为m n ，，求证：22113m n+为定值． 【解析】设点()00 Q x y ，，点()11 M x y ，，点()22 N x y ，，由 M N ，是切点可得101020204343x x y y x x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩．∵两点唯一确定一条直线，∴直线004:3MN x x y y +=，即0014433x y x y +=⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．由截距式可知0044 33m n x y ==，，()2222000622111999331616483x y x y m n∴+=⋅+=+． ∵Q 在椭圆1C 上，∴22034x y +=．()220022119334843x y m n ∴+=+=，即22113m n +为定值34． 用切点弦结论解决最值问题【例1】已知抛物线2y x =的焦点为F ，点()()0000 M x y y ≠，为抛物线上一点，过直线2x =-上一点N 作抛物线的两条切线，切点为 A B ，，求ABO ∆与AFO ∆(O 为抛物线的顶点)面积之和的最小值．【解析】设点()11 A x y ，，点()22 B x y ，．由切点弦结论可知切线NA 的方程为1120 x y y x NB -+=，的方程为22x y y -+20x =．设 NA NB ，均过 (2)N m -，，∴1122220220 my x my x --+=--+=，． 故AB 的方程为220x my --=，由此可得AB 恒过定点(20 )G ，．联立2220x my y x--=⎧⎪⎨=⎪⎩得22y my --20=，12122 2y y m y y +==-，．设10y >，则20y <，∴()1212ABO AFO S S OG y y ∆∆+=⋅-+()1121111122224OF y y y y ⨯⋅=⨯-+⨯=1298y y -1119292388y y y =+⋅=，当且仅当11928y y =，即143y =时，等号成立． ∴ABO AFO S S ∆∆+的最小值为3．【例2】如下图所示，过圆22:(2)E x y ++1=上任意一点G ，作抛物线2:4C x y =的两条切线12 l l ，，与抛物线相切于点 M N ，，与轴分别交于点 A B ，，求四边形ABNM 面积的最大值．【解析】设点()11 M x y ，，点()22 N x y ，，点()000[31] G x y y ∈--，，，．切线AM的方程为1122x x y y =+，切线BN 的方程为2222x x y y =+．点()00 G x y ，在两切线上，从而满足()()1010202022x x y y x x y y ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩，因此切点弦MN 的方程为()002x x y y =+．直线MN 与抛物线24x y =进行方程联立并化简得200240x x x y -+=，从而12012024x x x x x y +=⎧⎨=⎩，且||MN ==点()00 G x y ，到直线MN 的距离为d =， 12GMN GABABNM S S S ∆∆∴=-=四边形．012y ⋅121222y y x x -()32200121424y x y x x =-+-()32200142x y =-+()20004x y y=-+()20073y y=---，当[ 3 1]y∈--，=133，2200073773924y y y⎛⎫---=-++⎪⎝⎭，当且仅当3y=-时，两个等号同时成立，∴四边形ABNM的最大值为用切点弦结论解决范围问题【例1】经过圆22:10O x y+=上一动点P作椭圆22:19xC y+=的两条切线，切点分别记为A B，，求AOB∆面积的取值范围．【解析】设点()11A x y，，点()22B x y，，则直线PA的方程为1119x xy y+=，直线PB的方程为2219x xy y+=．∵()00,P x y在直线PA PB，上，∴102010201 199x x x xy y y y+=+=，．∴直线AB的方程为019x xy y+=．由221919x xy yxy⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，结合220010x y+=，利用220010x y=-，同时消0x y，得()2220008101881810y x x x y+-+-=，∴()24200188y y∆=+，∴12||AB x x=-==2281810yy+=+．又∵点O到直线AB的距离d==．228111||22810yS AB dy+=⋅=⋅⋅+99810y==+，又2010y，∴记[1 9]t，，∴993[6 10]102t St⎡⎤+∈⇒∈⎢⎥⎣⎦，，．【例2】以椭圆221:142x yC+=的长轴为直径作圆2C，过直线x=-点T，作圆2C的两条切线，设切点分别为A B，，到直线AB与椭圆1C文于不同的两点C D，，求||||ABCD的取值范围．【解析】由题意可得圆222:4C x y+=．设点()T t-，，点()11A x y，，点()22B x y，，由圆的性质可得直线11:4AT x x y y+=，直线2:BT x x+24y y=，代入()T t-，可得112244tyty⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，∴点A B，满足方程40ty-+-=．则O到AB的距离O ABd-，∴||AB==下面计算||CD：联立方程()2222416824tyt y tyx y⎧-+=⎪⇒+--⎨+=⎪⎩160=．设点()33C x y，，点()44D x y，，3434228161616ty y y yt t∴+==-++，．∴()212248||16tCD y yt+=-=+，∴()22||16||48AB tCD t+==+22168tt++．不妨设28(8)m t m=+．||||ABCD=设118s sm⎛⎫=<⎪⎝⎭，||||ABCD∴=设3()112256f s s s=+-，21()1276808f s s s'=-=⇒=，∴()f s在18⎛⎫⎪⎝⎭，单调递增，()(1 2]f s∴∈，，即||(1||ABCD∈。
圆锥曲线的切线方程及切点弦方程的应用-图文
圆锥曲线的切线方程及切点弦方程的应用-图文圆锥曲线是一类由一条直线和一个定点（焦点）生成的曲线。
常见的圆锥曲线有椭圆、抛物线和双曲线。
在数学和物理学中，圆锥曲线的切线方程和切点弦方程是非常重要的应用。
一、圆锥曲线的切线方程1.椭圆的切线方程椭圆是一个凹向两侧的曲线，其切线方程可以用点斜式表示。
假设椭圆的标准方程是$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$其中a和b分别是椭圆的半长轴和半短轴。
如果椭圆上的一点P（x1,y1）在曲线上，它的切线方程可以表示为：$y-y1=\frac{b^2}{a^2}(x-x1)$2.抛物线的切线方程抛物线是一个开口向上或向下的曲线，其切线方程可以用点斜式表示。
若抛物线的标准方程是$y^2=4ax$其中a是抛物线的焦点到曲线的距离。
如果抛物线上的一点P（x1,y1）在曲线上，它的切线方程可以表示为：$y-y1=\frac{1}{2a}(x-x1)$3.双曲线的切线方程双曲线是一个开口向上和向下的曲线，其切线方程可以用点斜式表示。
若双曲线的标准方程是$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$其中a和b分别是双曲线的距焦点到曲线的距离。
如果双曲线上的一点P（x1,y1）在曲线上，它的切线方程可以表示为：$y-y1=\frac{b^2}{a^2}(x-x1)$二、圆锥曲线的切点弦方程1.椭圆的切点弦方程椭圆的切点弦方程表示的是通过椭圆上两点的直线方程，也就是连接两点的弦的方程。
如果椭圆上的两点为P（x1,y1）和Q（x2,y2），椭圆的切点弦方程可以表示为：$\frac{y-y1}{y2-y1} = \frac{x-x1}{x2-x1}$2.抛物线的切点弦方程抛物线的切点弦方程表示的是通过抛物线上两点的直线方程，也就是连接两点的弦的方程。
如果抛物线上的两点为P（x1,y1）和Q（x2,y2），抛物线的切点弦方程可以表示为：$\frac{y-y1}{y2-y1} = \frac{x-x1}{x2-x1}$3.双曲线的切点弦方程双曲线的切点弦方程表示的是通过双曲线上两点的直线方程，也就是连接两点的弦的方程。
【高考数学】圆锥曲线20个速算公式和结论
( ) a(a2＋b2)
且以AB为直径的圆过双曲线的右顶点，则直线L过定点
，0
a2－b2
⑮ 中点弦结论：
x2 y2 已知双曲线 － =1（a＞0，b＞0），直线L：y=kx+m与双曲线交于A、B两点，
a2 b2
且AB中点为M（x0，y0），则有k=
b2 a2
x0 ·
y0
三、 抛物线 1、方程的公式、结论 ⑯ 切线方程、切点弦所在方程：
( ) a(a2-b2)
且以AB为直径的圆过椭圆的右顶点，则直线L过定点
，0
a2+b2
⑨ 中点弦结论：
x2 y2 已知椭圆 + =1（a＞b＞0），直线L：y=kx+m与椭圆交于A、B两点，
a2 b2
且AB中点为M（x0，y0），则有k=－
b2 a2
x0 ·
y0
二、 双曲线
1、方程、离心率的公式、结论
【高考数学】 圆锥曲线20个速算公式
【考纲解读】
15.圆锥曲线与方程（理） （1）圆锥曲线 ①了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中 的作用。 ②掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质。 ③了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质。 ④了解圆锥曲线的简单应用。 ⑤理解数形结合的思想。 （2）曲线与方程 了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系。
过抛物线y2=2px（p＞0）上一点P(x0，y0)的切线方程为：y0y=p(x+x0)
过抛物线y2=2px（p＞0）外一点P(x0，y0)往抛物线作两条切线 分别切抛物线于A、B，则AB所在直线的方程为：y0y=p(x+x0)
圆锥曲线的切线方程和切点弦方程的证明
点为 A(x1, y1)B(x2, y2)切点弦所在的直线方程为
y0y = p(x + x0)
−
b2x0 a2y0
[2x
−
(x1
+
x2)]
化简后得
x0x a2
+
y0y b2
=
1
同理过双曲线外一点 P(x0, y0)向双曲线做两条切线 PA 和 PB，切
点为 A(x1, y1)B(x2, y2)切点弦所在的直线方程为
x0x a2
−
y0y b2
=
1
同理过抛物线外一点 P(x0, y0)向抛物线做两条切线 PA 和 PB，切
为 A(x1, y1)B(x2, y2)切点弦所在的直线方程为
x0x a2
+
y0y b2
=
1
切线 PA 的方程和切线 PB 的方程分别为
x1x xa22x a2
+ +
y1y yb22y b2
= =
1 1
两式相减得
x(x1 − a2
x2
)
=
−
y(y1 − a2
y2)
−b2x a2y
=
(y1 (x1
− −
[2x
−
(x1
+
x2)]
切线 PA 的方程和切线 PB 的方程分别为
x1x xa22x a2
+ +
y1y yb22y b2
= =
1 1
两式相加得
x(x1 + a2
x2)
=
y(y1 + a2
y2)
+
2
y1
+
圆锥曲线的切线方程和切点弦方程
圆锥曲线的切线方程和切点弦方程课题：圆锥曲线的切线方程和切点弦方程教学目标：1) 掌握圆锥曲线在某点处的切线方程及切点弦方程。
2) 能够使用切线方程及切点弦方程解决一些问题。
3) 通过复渗透数形结合、类比的思想，逐步培养学生分析问题和解决问题的能力。
4) 掌握曲线与方程的关系。
教学重点：切线方程及切点弦方程的应用教学难点：如何恰当使用切线方程及切点弦方程教学过程：1.引入：通过09年安徽省高考题及近几年各省考察圆锥曲线的实例引出本节课。
2.知识点回顾：1) 过圆$x^2+y^2=r^2$上一点$(x_0,y_0)$的切线方程为：$xx_0+yy_0=r^2$2) 设$P(x,y)$为椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$上的点，则过该点的切线方程为：$\frac{xx_0}{a^2}+\frac{yy_0}{b^2}=1$3) 设$P(x,y)$为双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$上的点，则过该点的切线方程为：$\frac{xx_0}{a^2}-\frac{yy_0}{b^2}=1$4) 设$P(x,y)$为抛物线$y^2=2px$上的点，则过该点的切线方程为：$y=y_0+p(x+x_0)$圆锥曲线切线的几个性质：1) 过椭圆的准线与其长轴所在直线的交点作椭圆的两条切线，则切点弦长等于该椭圆的通径。
同理，双曲线，抛物线也有类似的性质。
2) 过椭圆的焦点$F_1$的直线交椭圆于$A$，$B$两点，过$A$，$B$两点作椭圆的切线交$PF_1\perp AB$于点$P$，则$P$点的轨迹是焦点$F_1$的对应的准线，并且同理，双曲线，抛物线也有类似的性质。
3.例题精讲：1) 练1：已知抛物线$y=ax^2(a>0)$与直线$x=1$围成的封闭图形的面积为3，若直线$l$与抛物线相切，且平行于直线$2x-y+6=0$，则直线$l$的方程为。
专题14 圆锥曲线切线方程 微点2 圆锥曲线切线方程的常用结论及其应用
（2）过抛物线 上一点 处的切线方程为 ；过抛物线 的外部一点 引两条切线，过两切点的弦所在直线方程为： ；
（3）过抛物线 上一点 处的切线方程为 ；过抛物线 的外部一点 引两条切线，过两切点的弦所在直线方程为： ．
同理可得焦点在 轴上的情形．
【结论4】（1）过圆 上一点 切线方程为 ；
（2）当 在椭圆 的外部时，过M引切线有两条，过两切点的弦所在直线方程为 ．
【结论5】（1）过双曲线 上一点 处的切线方程为 ；
（2）当 在双曲线 的外部时，过M引切线有两条，过两切点的弦所在直线方程为： ．
证明：（1） 的两边对x求导，得 ，得 ，由点斜式得切线方程为 ，即 ，又 所求的切线方程为 ．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线 与椭圆有唯一的公共点 ，与 轴的正半轴交于点 ，过 与 垂直的直线交 轴于点 ．若 ，求直线 的方程．
例6．
6．已知椭圆 与直线 相切于点 ，且点 在第一象限，若直线 与 轴、 轴分别交于点 、 ．若过原点O的直线 与 垂直交与点 ，证明： 定值．
【强化训练】
7．若椭圆 的焦点在x轴上，过点 作圆 的切线，切点分别为A、B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是（）
下面的结论是从斜率的角度得到已知曲线的切线方程．
【结论8】（1）斜率为k的双曲线 的切线方程为 ；
（2）斜率为k的双曲线 的切线方程为 ．
证明：（1）设切线方程为 ，联立 方程得：
，
若 即 ， ，
令 化简可得： ， ，故切线方程为 ．
同理可证情形（2）．
【评注】 ， ，过双曲线的对称中心不可能作出直线与双曲线相切．
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
课题：圆锥曲线的切线方程和切点弦方程
教学目标：
（1）.掌握圆锥曲线在某点处的切线方程及切点弦方程。
（2）.会用切线方程及切点弦方程解决一些问题。
（3）通过复习渗透数形结合、类比的思想，逐步培养学生分析问题和解决问题的能力。
(4) 掌握曲线与方程的关系。
教学重点：
切线方程及切点弦方程的应用
教学难点：
如何恰当使用切线方程及切点弦方程
教学过程：
1. 引入：
通过09年安徽省高考题及近几年各省考察圆锥曲线的实例引出本节课。
2. 知识点回顾：
1.
2. 3.
4. 圆锥曲线切线的几个性质：
性质1 过椭圆的准线与其长轴所在直线的交点作椭圆的两条切线，则切点弦长等于该椭圆的通径．同理:双曲线,抛物线也有类似的性质
性质2 过椭圆的焦点F 1的直线交椭圆于A ，B 两点，过A ，B 两点作椭圆的切线交
于点P ，则P 点的轨迹是焦点 的对应的准线，并且
同理:双曲线,抛物线也有类似的性质
3. 例题精讲：
练习1：
抛物线 与直线 围成的封闭的图形的面积为 ，若直线l 与抛物线相
切，且平行于直线 ，则直线l 的方程为
例1： 设抛物线 的焦点为F ，动点P 在直线
上运动，过P 作抛物线C 的两条切线PA 、PB ，且与抛物线C 分别相切于A 、B 两点.求△APB 22200
(,)x y r M x y +=过圆 上一点 的切线方程:200xx yy r +=00221xx yy a b +=220022(,)1x y P x y a b +=设为椭圆上的点，则过该点的切线方程为：22
0022(,)1x y P x y a b -=设为双曲线上的点，则过该点的切线方程为：
00221xx yy a b -=00(,)2P x y px =2设为抛物线y 上的点，则过该点的切线方程为：00()
yy p x x =+1PF AB ⊥1F :20
l x y --=2:C y x =2(0)y ax a =>1x =43260x y -+=
的重心G 的轨迹方程.
4. 圆锥曲线的切点弦方程:
1.
2.
3.
4. 练习2：
例题3：
5.小结: 1．判断直线与圆锥曲线的位置关系时，注意数形结合；
2. 掌握求曲线方程的方法：
3. 两种方程两种思想
作业： 6. 反思
22
0022(,)1x y P x y a b +=设为椭圆外一点，过该点作椭圆的两条切线，切点为A ，B 则弦AB 的方程为：22200(,)P x y x y r +=设为圆外一点，则切点弦的方程为：
2
00xx yy r +=220022(,)1x y P x y a b -=过为双曲线的两支作两条切线，则切点弦方程为：00221xx yy a b -=00(,)2P x y px =2设为抛物线y 开口外一点，则切点弦的方程为：00()yy p x x =+22
221(,0). x y P m a b
A B AB ±=≠对于圆锥曲线，过点，（m 0）作两条切线，切点为，则直线恒过定点22x 21,4312A,B AB OMN y P x y +=+=已知椭圆是在直线位于第一象限上一点，由P 向已知椭圆作两切线，切点分别为，问当直线与两坐标轴围成的三角形面积最小，最小值为多少？2l y x+3P y 2A,B.PAB P x ==∆已知是直线：上一点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为求面积的最小值。
00221xx yy a
b +=。