数值分析报告与试验期末复习资料

1. MA TLAB 计算中，在命令窗口运行语句f=polyval([2 3 1],2)，返回结果f= . 2．设1)(2+=x x f ，则=]4,2[f .设函数13)(47+++=x x x x f ，则7阶差商]3,,3,3[710 f = . 8阶差商]3,,3,3[810 f = .若3219()5767f x x x =++，则()f x 的一阶差商[0,1]f = ，32阶差商0132[3,3,,3]f = ．设(1)4,(2)6,(3)7f f f ===，则()f x 的二阶差商[1,2,3]f = . 3．在MATLAB 软件中，用于绘制平面数据散点图的函数为 .4．在求解方程组b AX =时，迭代格式f BX X)()1(+=+k k 对于任意初始向量）0(X 及任意f 都收敛的充要条件是 . 5．在函数22)(x x f =上任取四个互异点,通过这四个点的lagrange 插值多项式为 ．在函数1)(2++=x x x f 上任取三个互异的点,通过这三个点的lagrange 插值多项式为 ． 6．设4[1,1]()f x C -∈，已知节点1,21,0,13210===-=x x x x ，其相应的函数值为31(),0,0,22f x =-，则()f x 的三次Lagrange 插值多项式3()p x = .当2,1,1-=x 时, 4,0,3)(-=x f 则)(x f 的二次Lagrange 插值多项式为 .设(3)()[0,2]∈f x C ，已知节点0120,1,2===x x x ，其相应的函数值为()2,1,2f x =--，则()f x 的二次Lagrange 插值多项式的插值基函数1()l x = ，插值余项2()R x = ． 7. MATLAB的值，可在命令窗口命令提示符后输入 .8．在MATLAB 操作中，把变量x ，y 定义为符号变量的语句为 ． 9．设(0,1,,)j x j n =为互异节点，则lagrange 插值基函数满足0()nj j l x ==∑ .10．在MATLAB 软件中，进行MATLAB 操作的最主要的窗口称为 ．11. 当1x >>改写为 ． 12．用MATLAB 对一组数据进行多项式拟合的函数为 ．13．用牛顿迭代法求2()1150=-=f x x 的正根时，迭代公式为 ．14．MATLAB 中，用命令polyval 计算多项式13)(23++=x x x f 在100,,2,1,0 =x 时的值, 可在命令窗口中输入 ． 用命令polyval 计算多项式124)(33+++=x x x x f 在2,1,1-=x 时的值,可在命令窗口中输入 . 用命令feval 要计算函数f1.m 在0x 处的值，在命令窗口中应输入 ． 15．梯形求积公式的代数精度是 ，辛普森求积公式的代数精度是 ． 16．求积公式2141()(0)(1)(2)333f x dx f f f ≈++⎰的代数精度是 . 17. 误差的来源大体可分为观测误差、 、 、 等四类.18．用二分法求3()251f x x x =--=0在[1,3]内的实根时，进行一步后根所在的区间为 ，进行二步后根所在的区间为 .19. 若x 的相对误差为3%，则nx 的相对误差为 .1．求积公式)1()1()(11f f dx x f +-≈⎰-在]1,1[-上具有（ ）次代数精确度.A. 1B. 2C. 3D. 4 2．下面对可进行LU 分解的矩阵A 的描述不正确的是（ ）.A. 分解所得的L 为单位下三角矩阵B. 分解所得的U 为上三角矩阵Ｃ. A 的顺序主子式可以等于零 Ｄ. 这种分解是唯一的3．通过点),(k k y x 、),(11++k k y x 的拉格朗日插值基函数)(x l k 、)(1x l k +满足（ ）.A. 0)(,0)(11==++k k k k x l x lB. 1)(,1)(11==++k k k k x l x lC. 0)(,1)(11==++k k k k x l x lD. 1)(,0)(11==++k k k k x l x l4．应用牛顿迭代法于方程03=-a x ，导出的求立方根3a 的迭代公式为（ ）.A. a x a x x x k k k k ---=+2313 B. ax ax x x k k k k --+=+2313 C. 2313k k k k x a x x x --=+ D. 2313k k k k x ax x x -+=+ 5．MA TLAB 命令窗口中，运行语句A=[1 2;3 4];A(1,2)^A(2,1)，所得结果为( )A ．6 B. 16 C. 8 D. 96．辛普森求积公式的代数精度为（ ）.A. 1B. 2C. 3D. 47．用雅可比迭代法求解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=-+5223122321321321x x x x x x x x x ，则迭代矩阵)(B =.A. ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----022101220 B. ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---022110220 C. ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----522311122 D. ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-1221112218．通过点),(k k y x 、),(11++k k y x 的拉格朗日插值基函数)(x l k 、)(1x l k +满足（ ）.A. 0)(,0)(11==++k k k k x l x lB. 1)(,1)(11==++k k k k x l x lC. 0)(,1)(11==++k k k k x l x lD. 1)(,0)(11==++k k k k x l x l 9．关于用MA TLAB 库函数对方阵A 的操作下面叙述不正确的是（ ）.A. 运行diag （A ），可得一列向量B. 运行diag （diag （A ）），可得一对角阵Ｃ. 运行triu （A ）可得一上三角矩阵 Ｄ. 运行triu （A ）可得一下三角矩阵 10．下面表达式是MATLAB 软件中合法变量名的是（ ）A. 3a_xB. ab_34C. a%3eD. bn+x 三、简答题1．请给出MATLAB 中M 函数文件的格式． 2．请给出数值积分中代数精度的概念． 3．请给出算法稳定的概念．4．请给出MATLAB 软件中分号、圆括号、方括号的功能．5．请给出数值分析中截断误差、舍入误差的概念． 6．请给出Matlab 软件中合法的变量名的命名规则.7．请给出数值计算中避免误差危害的至少四条原则. 8．请给出用迭代法解非线性方程时收敛阶的概念.四、解答题1. 线性方程组b AX =的系数矩阵A =11(0)1a a a a a a a ⎡⎤⎢⎥>⎢⎥⎢⎥⎣⎦，求能使解方程组的Jacobic 迭代法收敛的a 的范围．2. 用梯形公式，辛普森公式计算21sin ⎰xdx x,21ln(1+⎰dx ,10⎰x e dx ．（小数点后保留四位）．（已知：9975.0)5.1sin(,9093.02sin ,8415.01sin === ） (已知:ln2 0.6931,ln(1 0.8814,ln(10.7996===）(已知:122.7183, 1.6487==e e ）3. 已知⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=2222222222222222A 求1A 、2A 、∞A .4. 叙述压缩映象不动点定理,并证明不动点的存在性．5. 正方形的边长大约为100cm ，应怎样测量才能使得其面积误差不超过1cm 2？6.用列主元消去法解线性方程组⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--421641284247321x x x 7.用简单迭代法理论分析:对于任意的]4,0[0∈x ，由迭代格式 2,1,0,21=+=+k x x k k 得到的序列∞=0}{k k x 均收敛于同一个数*x .8.计算球体积要使相对误差限为1%，问度量半径R 所允许的相对误差限是多少？ 9. 计算函数[]1(),0,12=-∈f x x x 关于[0,1]C 的1,f f ∞与2f ．10. 已知数据表用复化梯形公式计算2.42.0()f x dx ⎰．11．（8分）已给数据表（取步长0.1h =） 用复化辛普森公式计算⎰4.10.1)(dx x f12. 设有解线性方程组b AX =的迭代格式g BX X k K +=+)()1(，其中A I B -=，如果A B ,的特征值全为正数，分析该迭代格式是否收敛．13. 设线性方程组b AX =的系数矩阵A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡111a a a a a a ， 证明：当121<<-a 时，高斯-塞德尔迭代法收敛．14.取初始向量(0)(0,0,0)=T X ，用Jacobic 迭代法求解如下方程组，给出(1)(2)(3),,.X X X1231231232213225x x x x x x x x x +-=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 15．（7分）计算61)f =≈1.4，若利用等式f =计算，试分析所得近似值的相对误差是多少？ 16．（8分）设线性方程组b AX =的系数矩阵A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-a a a 232131， 试求能使Jacobic 方法收敛的a 的范围.17．（8分）求方程0123=--x x 在5.10=x 附近的一个根，分析下列迭代公式是否收敛：在区间]6.1,3.1[上考察（1）2111kK x x +=+ （2）211)1(1-=+k K x x (已知4648.06.023=)18．(8分)若A 是n 级实矩阵，证明：F FA A An≤≤2119．（10分）设(0,1,,)j x j n =为互异节点，),...,1,0)((n j x l j =为拉格朗日插值基函数.证明： (1) 1)(0≡∑=nj j x l(2)⎩⎨⎧===∑=nk k x l kjnj j ,...,2,1001)0(0四、程序设计题（10分）1. 在某次阻尼振荡试验中测得如下表所列的9组数据点，已知阻尼振荡对应的函数模型为w x e )kx cos(a )x (f =，利用已知数据，求拟合函数的待定参数w k a ,,.（请写出用MATLAB 软件编程求解该题的代码）2. 用最小二乘法确定经验公式x be a y +=中的参数b a ,，使该曲线拟合下面的数据。

请给出用MATLAB 软件的fit 函数求解该问题的程序代码.3． 用MATLAB 函数polyfit 对下面两组数据按要求进行数据拟合，写出操作过程．（1）用c bx ax y ++=2作为拟合函数，拟合上表中数据，应如何操作？（2）用b ax y +=作为拟合函数，拟合上表中数据应如何操作？要计算拟合函数在X 处的值，应如何操作？ 4．为求方程01)(23=--=x x x f 在5.10=x 附近的根，将方程改写为等价形式211)(x x x +==ϕ. 用MATLAB 语言编写m 函数，求以)(x ϕ为迭代函数，5.10=x 为初值，迭代10次后的方程0)(=x f 的近似解．5．（7分）用Matlab 语言编写m 文件，用Jacobi 迭代法求下面方程组的解，其中迭代初值为T X )0,0,0()0(=，迭代次数为10．⎪⎩⎪⎨⎧=++=-+=+-3612363311420238321321321x x x x x x x x x6．（10分）用Matlab 语言编写m.函数，用牛顿迭代法求15的值. 其中迭代初值为4，迭代次数为8.。