高考综合计算题练习二(含详细解析)

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高考计算训练试题及答案

高考计算训练试题及答案1. 试题一：计算下列表达式的值：\[\frac{1}{2} + \frac{3}{4} - \frac{5}{6} + \frac{7}{8}\]答案：\[\frac{1}{2} + \frac{3}{4} - \frac{5}{6} + \frac{7}{8} =\frac{4}{8} + \frac{6}{8} - \frac{10}{12} + \frac{14}{16} = \frac{10}{16} + \frac{12}{16} - \frac{20}{24} + \frac{28}{32} = \frac{22}{32} - \frac{20}{24} = \frac{33}{48} -\frac{40}{48} = -\frac{7}{48}\]2. 试题二：解方程：\(3x - 7 = 14\)答案：\[3x - 7 = 14 \Rightarrow 3x = 21 \Rightarrow x = 7\]3. 试题三：计算下列函数在 \(x = 2\) 时的值：\[f(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x - 1\]答案：\[f(2) = 2(2)^3 - 5(2)^2 + 3(2) - 1 = 16 - 20 + 6 - 1 = 1 \]4. 试题四：求下列数列的前5项和：\[2, 4, 8, 16, 32, \ldots\]答案：\[2 + 4 + 8 + 16 + 32 = 62\]5. 试题五：计算下列矩阵的行列式：\[\begin{bmatrix}1 &2 \\3 & 4\end{bmatrix}\]答案：\[\text{det} = (1)(4) - (2)(3) = 4 - 6 = -2\]6. 试题六：将下列分数化简为最简形式：\[\frac{12}{30}\]答案：\[\frac{12}{30} = \frac{2}{5}\]7. 试题七：计算下列三角函数的值：\[\sin 30^\circ \quad \text{和} \quad \cos 60^\circ \]答案：\[\sin 30^\circ = \frac{1}{2}, \quad \cos 60^\circ = \frac{1}{2}\]8. 试题八：计算下列复数的模：\[z = 3 + 4i\]答案：\[|z| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \]9. 试题九：求下列方程的根：\[x^2 - 5x + 6 = 0\]答案：\[x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2} = \frac{5 \pm 1}{2} \Rightarrow x = 3 \text{ 或 } x = 2\]10. 试题十：计算下列积分：\[\int (2x + 3) \, dx\]答案：\[\int (2x + 3) \, dx = x^2 + 3x + C\]。

高考数学综合题二(含解析)(2021学年)

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综合题(二）1.{}2{|},1A x x x B x =<=≥，则A B ⋃=( ) Ａ. R B. ()0,+∞ C ． {}1 D ． [)1,+∞【答案】Ｂ【解析】{}{}2||01A x x x x x =<=<<,{}()1,0,B x A B =≥⋃=+∞2.已知复数11Z i=- ，则Z = （）Ａ． 1i -+ B. 1i -- C. 1i + Ｄ． 1i - 【答案】D【解析】11z i z i =+⇒=- ,故选D.3.已知函数2,0(),0x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩，则((2))f f -=( ）A ．4 B.3 C.2 D.1 【答案】A考点:分段函数求值4.某长方体被一平面所截，得到的几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为Ａ. 4 Ｂ． 2 Ｃ． 2 D. 8【答案】Ｄ【解析】解:三视图复原的几何体是长方体，长方体长、宽、高分别是:2，２,3，所以这个几何体的体积是2×2×3=１2，长方体被一个平面所截,得到的几何体的是长方体的三分之二,如图所示,则这个几何体的体积为21283⨯= .本题选择D选项.5.已知六棱锥P ABCDEF-的底面是正六边形, PA⊥平面ABC.则下列结论不正确．．．的是( )A．//CD平面PAF B．DF⊥平面PAFＣ. //CF平面PAB D．CF⊥平面PAD【答案】D6.已知()()sin 2cos 30πθπθ-++-=，则cos sin cos sin θθθθ+=-（）A ． 3B ． 3-C ． 13 Ｄ. 13-【答案】C【解析】因为()()sin 2cos 30πθπθ-++-=,所以2cos 0sin θθ--=，可得cos tan 1211tan 2,cos tan 1213sin sin θθθθθθθ++-+=-===---- ，故选C.7．已知()3,4a =-, ()cos ,sin b αα=,则2a b +的取值范围是( ） A ． []1,4 B. []2,6 C. []3,7 D ． 22,42⎡⎤⎣⎦【答案】C点睛：本题的求解的关键与难点在于如何将问题进行转化，依据题设条件与向量模的几何意义,则问题转化为求以()0,0O 为圆心，半径为2的圆上一个动点()2cos ,2sin P αα到定点()3,4M -的距离最大值与最小值问题．由于5OP =,所以结合图形可知5252PM -≤≤+,即37PM ≤≤,从而使得问题获解．8．若[]x 表示不超过x 的最大整数,则图中的程序框图运行之后输出的结果为( )Ａ. 4892０Ｂ. 49660 C. 498００Ｄ． 51867 【答案】C【解析】根据题意： []x 表示不超过x 的最大整数，且][201650.450,40⎡⎤==⎢⎥⎣⎦所以该程序运行后输出的结果中是:３9个0与40个1,40个2，40 个3,……，40个49, 0.4416⨯=个50的和,所以输出的结果为14940490.44050498002S +=⨯⨯+⨯⨯=。

2020高考数学课标二轮：综合能力训练含解析

①是底面直径和高均为1的圆锥;
②是将底面直径和高均为1的圆柱挖掉一个与圆柱同底等高的倒置圆锥得到的几何体;
③是底面边长和高均为1的正四棱锥;
④是将上底面直径为2,下底面直径为1,高为1的圆台挖掉一个底面直径为2,高为1的倒置圆锥得到的几何体.
根据祖暅原理,以上四个几何体的体积与T的体积相等的是()
A.①B.②C.③D.④
故答案为3.
14.已知a,b为空间中两条互相垂直的直线,等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a,b都垂直,斜边AB以直线AC为旋转轴旋转,有下列结论:
①当直线AB与a成60°角时,AB与b成30°角;
②当直线AB与a成60°角时,AB与b成60°角;
③直线AB与a所成角的最小值为45°;
④直线AB与a所成角的最大值为60°.
2020高考数学课标二轮：综合能力训练含解析
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综合能力训练第63页
第Ⅰ卷(选择题,共40分)
一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)
1.设集合A={x|x2-2x<0},B= ,则A∩B=()
A.(-∞,1)B.(2,+∞)C.RD.(1,2)
即12=b2+c2-bc≥2bc-bc=bc,当且仅当b=c时,等号成立.
∴S△ABC= bcsinA≤ ×12× =3 .
当且仅当b=c时,△ABC的面积取最大值3 .
16.(13分)设{an}是等差数列,前n项和为Sn(n∈N*),{bn}是等比数列,a1=-3,S5=5,b1=a4,b1+b3=3(b2+1).
由OA⊥OB得,x1x2+y1y2=0,即[(1+p)2-(p2+2p)]+[p2-(p2+2p)]=0,化简得2p=1,

2023年天津市新华中学高考数学统练试卷(二)+答案解析(附后)

2023年天津市新华中学高考数学统练试卷（二）1. 设全集，集合，则( )A. B. C. D.2. 已知，，则“存在使得”是“”的( )A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 供电部门对某社区1000位居民2017年12月份人均用电情况进行统计后，按人均用电量分为五组，整理得到如下的频率分布直方图，则下列说法错误的是( )A. 12月份人均用电量人数最多的一组有400人B. 12月份人均用电量不低于20度的有500人C. 12月份人均用电量为25度D. 在这1000位居民中任选1位协助收费，选到的居民用电量在一组的概率为4. 设，则( )A. B. C. D.5. 函数，的图象大致为( )A. B.C. D.6. 蒙古包是蒙古族牧民居住的一种房子，建造和搬迁都很方便，适于牧业生产和游牧生活，蒙古包下半部分近似一个圆柱，高为2m；上半部分近似一个与下半部分同底的圆锥，其母线长为，轴截面过圆锥旋转轴的截面是面积为的等腰钝角三角形，则该蒙古包的体积约为( )A. B. C. D.7. 若函数的图象向右平移个单位长度后，得到的图象，则下列关于函数的说法中，正确的是( )A. 函数的图象关于直线对称B. 函数的图象关于点对称C. 函数的单调递增区间为D. 函数是偶函数8. 设双曲线的左、右焦点分别为，，O为坐标原点.以为直径的圆与双曲线的右支交于P点，且以为直径的圆与直线相切，若，若双曲线C与抛物线有共同的右焦点，则抛物线的标准方程为( )A. B. C. D.9. 已知，函数在R上单调递增，且对于任意实数a，方程有且只有一个实数根，且，函数的图象与函数的图象有且只有三个不同的交点，则实数t的取值范围为( )A. B. C. D.10. 若复数z同时满足，，则______.11. 若的展开式中二项式系数之和为256，则展开式中常数项是______ .12. 已知7件产品中有5件合格品，2件次品.为找出这2件次品，每次任取一件检验，检验后不放回，则第一次和第二次都检验出次品的概率为__________；恰好在第一次检验出正品而在第四次检验出最后一件次品的概率为__________.13. 已知直线与圆C：相交于点A，B，若是正三角形，则实数______ .14. 在四边形ABCD中，，，，，E为AD的中点，，则__________；设点P为线段CD上的动点，则最小值为__________.15. 已知正实数a，b满足，则的最小值为______.的最小值为______.16. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，C为锐角.求C；若，，的面积为，求的值.17. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，平面ABCD，，，F是PB中点，E为BC上一点.求证：平面PBC；求三棱锥的体积；当BE为何值时，二面角为18. 设椭圆的右焦点为F，右顶点为A，已知椭圆离心率，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为求椭圆C的方程；设过点A的直线l与椭圆C交于点不在x轴上，垂直于l的直线与l交于点M，与y轴交于点H，若以B、H为直径的圆经过点F，设直线l的斜率为k，直线OM的斜率为，且，求直线l斜率k的取值范围.19. 已知数列中，，，，数列的前n项和为求的通项公式；已知，①求数列前n项和；②证明：20.已知函数，其中且当时，求函数的极值；求函数的单调区间；若存在使函数，在处取得最小值，试求b的最大值．答案和解析1.【答案】D【解析】解：由可得，解得，因为全集，所以，所以故选：先化简集合A，然后用补集的定义即可求解本题主要考查了集合补集运算，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：由，可得，或，，即存在使得“存在使得”是“”的充要条件．故选：由，可得，或，，进而判断出关系．本题考查了三角函数方程的解法、充要条件的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.【答案】C【解析】【分析】本题考查了频率分布直方图的应用问题，是基础题．根据频率分布直方图，求出12月份人均用电量人数最多的一组，判断A正确；计算12月份人均用电量不低于20度的频率与频数，判断B正确；计算12月份人均用电量的值，判断C错误；计算从中任选1位协助收费，用电量在一组的频率，判断D正确．【解答】解：根据频率分布直方图知，12月份人均用电量人数最多的一组是有人，A正确；12月份人均用电量不低于20度的频率是，有人，正确；12月份人均用电量为，错误；在这1000位居民中任选1位协助收费，用电量在一组的频率为，估计所求的概率为，正确．故选：4.【答案】B【解析】解：，，，，即，，，故选：根据指数幂和对数的取值，分别判断a，b，c的取值范围，然后比较大小．本题主要考查对数值和指数值的大小比较，利用指数函数和对数函数的图象和性质判断范围是解决本题的关键，比较基础．5.【答案】A【解析】【分析】本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性以及函数值的应用，考查分析问题、解决问题的能力．根据题意，先判断函数的奇偶性，再结合函数的解析式即可得到函数图象的位置，利用排除法可得答案．【解答】解：记，，则，且，，故为奇函数，图象关于原点对称，故排除D，在区间上，，，有，此时，图象在x轴下方，在区间上，，，有，，此时，图象在x轴上方，故排除B，故选：6.【答案】C【解析】解：如图所示为该圆锥轴截面，设顶角为，因为其轴截面过圆锥旋转轴的截面是腰长为，面积为的等腰三角形，所以，解得，则或舍去，由得，，则上半部分的体积为，下半部分体积为，故蒙古包的体积为故选：根据题意求圆锥的高和底面半径，再结合锥体、柱体体积运算求解．本题考查圆锥与圆柱的体积的计算，方程思想，化归转化思想，属中档题．7.【答案】D【解析】解：把函数的图象向右平移个单位长度后，得到的图象，当时，，不是最值，故函数的图象不关于直线对称，故A不正确；此时，，不是零，故函数的图象不关于点对称，故B也不正确；令，求得，故函数的单调增区间为，，故C不正确；函数，显然是偶函数，故D正确，故选：由题意利用正弦函数的图象和性质，得出结论．本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于中档题．8.【答案】A【解析】解：不妨设以为直径的圆的圆心为M，且与直线直线相切于点N，则，以为直径的圆与双曲线的右支交于P点，则，即，又，，，则，又，则，由勾股定理可得，即，即，即，双曲线C与抛物线有共同的右焦点，，则，即抛物线的标准方程为，故选：结合已知条件，由勾股定理可得，然后求解即可．本题考查了双曲线的性质及抛物线的性质，重点考查了运算能力，属中档题．9.【答案】D【解析】解：因为函数在R单调递增，则在和都递增，并且在处，一次函数的函数值大于或等于二次函数的函数值，可得不等式，解得，又因为有且只有一个实数根可得出值域为R，即，解得或，又因为，得，，即所以，令，解得或舍，作出的图象如图，若直线经过点，则，此时函数与有两个交点，若直线与相切，联立，整理得，，即，此时函数与有两个交点，因为函数的图象与函数的图象有且只有三个不同的交点，所以，故选：先根据分段函数在R单调递增列出不等式可求出m的取值范围，再根据有且只有一个实数根，转化为值域为R，结合可确定m的值，画出的图像，利用与直线有且只有三个不同的交点，可根据相切和过定点求出两个交点临界位置的t，进而求出t的取值范围．本题考查函数零点与方程根的关系，数形结合是解题关键，属于中档题．10.【答案】【解析】解：设其中a，，则由题意得：，即，解得故答案为：设其中a，，则利用复数运算和复数相等即可得出答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查计算能力，是基础题．11.【答案】28【解析】解：因为的展开式中二项式系数之和为256，所以，故，即该二项式为，设其展开式的通项为，当时，即，此时该项为故答案为：据二项式展开式的系数和公式可得n的值，然后再利用展开式通项公式求得常数项．本题考查了二项式定理，属于基础题．12.【答案】【解析】【分析】本题考查概率的运算，考查相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，属于基础题．利用相互独立事件概率乘法公式能求出第一次和第二次都检验出次品的概率；恰好在第一次检验出正品而在第四次检验出最后一件次品，有两种可能：正次正次，正正次次，利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式能求出结果．【解答】解：第一次和第二次都检验出次品的概率为，恰好在第一次检验出正品而在第四次检验出最后一件次品，有两种可能：正次正次，正正次次，概率为故答案为：；13.【答案】【解析】解：设圆C的半径为r，由则是正三角形，点到直线AB的距离为，即，化简整理可得，，解得故答案为：根据已知条件，结合点到直线的距离公式，以及正三角形的性质，即可求解．本题主要考查直线与圆的位置关系，属于基础题．14.【答案】【解析】【分析】可画出图形，根据条件即可得出，进行数量积的运算即可得出，然后即可得出；可设，然后即可得出，进行数量积的运算即可得出，配方即可求出最小值．本题考查了向量加法和数乘的几何意义，向量的数乘和数量积的运算，向量夹角的余弦公式，配方求二次函数最值的方法，考查了计算能力，属于中档题．【解答】解：如图，，，，，E为AD的中点，，，，；设，，则：，时，取得最小值故答案为：15.【答案】4【解析】解：空1：因为，所以，所以，所以，当且仅当且，即，时，等号成立，所以的最小值为4；空2：由题意可知，所以，+=+=++++，当且仅当，取等号．故答案为：4；空1先把两边平方，再对所求式子进行换元，利用二次函数求解最值；空2先分离常数，然后根据均值不等式求解．本题考查基本不等式的运用属于中档题．16.【答案】解：由题意及正弦定理可得，整理可得，即，在三角形中，，因为C为锐角，所以，可得，可得；由可得，而，可得，①，由余弦定理可得，可得，②，因为，解得，，则B为锐角，由余弦定理可得，，所以，，所以，故的值为【解析】由正弦定理及两角和的余弦公式可得，再由三角形中角的关系，可得C角的余弦值，可得C角的大小；由余弦定理及三角形的面积公式，可得a，b的值，再由余弦定理可得的值，进而求出，的大小，由两角差的余弦公式展开可得其值．本题考查三角形的正余弦公式及面积公式的应用，两角差的余弦公式的应用，属于中档题．17.【答案】证明：因为平面ABCD，平面ABCD，所以，因为ABCD是矩形，所以，因为，平面PAB，面PAB，所以平面因为平面PAB，所以因为，F是PB中点，所以，因为，平面PBC，平面PBC，所以平面解：因为平面PAB，，，，所以因为平面ABCD，所以，，又，所以以A为坐标原点，AD，AB，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．设，则，所以，设平面PDE的法向量为，则，故可设，平面PCE的法向量为，由于二面角的大小为，所以，解得，故【解析】通过证明，，利用线面垂直的判定定理来证得平面根据锥体体积计算方法，采用等体积法计算三棱锥的体积．建立空间直角坐标系，设，以二面角的余弦值列方程，从而求得a，也即BE的值．本题考查了线面垂直的证明、三棱锥体积的计算以及二面角的问题，属于中档题．18.【答案】解：由题意可得，解得，，，椭圆C的方程为；设直线l的方程为，由，消去y整理得，，，，，设，由，，，，，直线BH的方程为，与直线l的方程联立方程组，解得，，，，，解得或，直线l斜率k的取值范围【解析】根据题意列出关于a，b，c的方程组，再求出椭圆C的方程；由已知设直线l的方程为，联立直线方程和椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系求得B的坐标，由，求出H的坐标，再写出MH所在直线方程，由直线MH和直线l，解得M的坐标，从而得到，由，得到，再求出k的围即可．本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，属中档题．19.【答案】解：由题设，当，时，是首项为1，公差为4的等差数列，则；当，时，是首项为2，公差为4的等差数列，则；所以；解：①由知：，所以，故；证明：②，故，所以，则，而，所以，作差得，所以，故得证．【解析】由题设知：的奇、偶数项分别构成公差为4的等差数列，写出其通项公式即可；①应用分组求和及等差数列前n项和公式求，然后裂项求和求；②由，进而可得，应用错位相减及等比数列前n项和公式求即可证结论．本题考查了等差数列和等比数列的综合应用，属于中档题．20.【答案】解：当时，，，令，得或，列表讨论和的变化情况：x+0-0+递增极大值递减极小值递增当时，取得极大值，当时，取得极小值；，的定义域为，，；当时，由，解得：，由，解得：，在上单调递减，在上单调递增；当时，由，解得，由，解得：，在上单调递增，在上单调递减．，，由题意知，在区间上恒成立，即，当时，不等式成立；当时，不等式可化为，令，，，，即，由题意，只需，解得：，又，，【解析】求出函数的导数，得到函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；求出函数的导数，通过讨论a的范围，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；当时，不等式可化为，令，通过讨论函数的单调性求出关于b的不等式，解出即可．本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查转化思想、分类讨论思想，是一道综合题．。

高考综合计算题练习二(含详细解析)

高考综合计算题练习二1.（牛顿第二定律结合图像）如图（a）所示，“ ”型木块放在光滑水平地面上，木块水平表面AB 粗糙，光滑表面BC 且与水平面夹角为θ=37°．木块右侧与竖直墙壁之间连接着一个力传感器，当力传感器受压时，其示数为正值；当力传感器被拉时，其示数为负值．一个可视为质点的滑块从C 点由静止开始下滑，运动过程中，传感器记录到的力和时间的关系如图（b ）所示．已知sin37°=，cos37°=，g 取10m/s 2．求：(1) 斜面BC 的长度；(2) 滑块的质量；(3)2.（动能定理、动量守恒定律与摩擦生热）如下图所示，固定在地面上的光滑圆弧面底端与车C 的上表面平滑相接，在圆弧面上有一滑块A ，其质量m A =2kg ，在距车的水平面高h =1.25m 处由静止下滑，车C 的质量为m C =6kg 。

在车C 的左端有一质量m B =2kg 的滑块B ，滑块B 与A 均可视作质点，滑块A 与B 碰撞后立即粘合在一起共同运动，最终没有从车C 上滑落。

已知滑块A 、B 与车C 的动摩擦因数均为μ=，车C 与水平面间的摩擦忽略不计，取g =10m/s 2。

求：（1）滑块A 滑到圆弧面底端时的速度大小；（2）滑块A 与B 碰撞后瞬间的共同速度大小；（3）车C 的最短长度。

t图（b ）图（a ）力传感3.（带电粒子在电场磁场中的运动综合）如下图所示，带电平行金属板PQ 和MN 之间的距离为d ；两金属板之间有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B 。

建立如图所示的坐标系，x 轴平行于金属板，且与金属板中心线重合，y 轴垂直于金属板。

区域I 的左边界是y 轴，右边界与区域II 的左边界重合，且与y 轴平行；区域II 的左、右边界平行。

在区域I 和区域II 内分别存在匀强磁场，磁感应强度大小均为B ，区域I 内的磁场垂直于Oxy平面向外，区域II 内的磁场垂直于Oxy 平面向里。

2022版高考数学二轮复习综合练习题2

综合练习题(二)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出四个选项中，只有一项符合题目要求的．1．已知全集U ＝{x ∈N |0≤x ≤5}，∁U A ＝{1，2，5}，则集合A 等于( D ) A ．{0，1，2} B ．{2，3，4} C ．{3，4}D ．{0，3，4}【解析】因为全集U ＝{x ∈N |0≤x ≤5}， ∁U A ＝{1，2，5}，由补集的定义可知集合A ＝{0，3，4}．故选D.2．已知复数z 满足(2＋i)z ＝|4-3i|(i 为虚数单位)，则z ＝( B ) A ．2＋i B ．2-i C ．1＋2iD ．1-2i【解析】由(2＋i)z ＝|4-3i|＝42＋（-3）2＝5，得z ＝52＋i ＝5（2-i ）（2＋i ）（2-i ）＝5（2-i ）22＋12＝2-i ，故选B. 3．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则“S n 的最大值是S 8”是“⎩⎪⎨⎪⎧a 7＋a 8＋a 9>0a 7＋a 10<0”的( C )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则“S n 的最大值是S 8”⇔a 8＞0，a 9＜0.则“⎩⎪⎨⎪⎧a 7＋a 8＋a 9>0a 7＋a 10<0”⇔⎩⎪⎨⎪⎧a 8>0a 8＋a 9<0.∴“S n 的最大值是S 8”是“⎩⎪⎨⎪⎧a 7＋a 8＋a 9>0a 7＋a 10<0”的充要条件．故选C.4．候鸟每年都要随季节的变化进行大规模的迁徙．研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v (单位：m/s)与其耗氧量Q 之间的关系为v ＝a ＋log 2Q10(其中a 是实数)．据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为20个单位，若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，其耗氧量至少需要( )个单位．( C )A ．70B ．60C ．80D ．75【解析】由题意可得0＝a ＋log 22010，解得a ＝-1，∴v ＝-1＋log 2Q10，∴-1＋log 2Q10≥2，解得Q ≥80，故选C.5．已知数列{a n }是首项为a 1，公差为d 的等差数列，前n 项和为S n ，满足2a 4＝a 3＋5，则S 9＝( C )A ．35B ．40C ．45D ．50【解析】 ∵2a 4＝a 3＋5，∴2(a 5-d )＝a 5-2d ＋5， ∴a 5＝5，∴S 9＝9（a 1＋a 9）2＝9a 5＝5×9＝45，故选C.6．某四棱锥的三视图如图所示，其侧视图是边长为2的正方形，正视图和俯视图都是等腰直角三角形，则该四棱锥的体积为( A )A ．83B ．8C ．43D ．4【解析】由三视图还原原几何体如图，该几何体是四棱锥P -ABCD ，底面ABCD 为正方形，边长为2，侧棱PA ⊥底面ABCD ，PA ＝2，则该四棱锥的体积V ＝13×2×2×2＝83.故选A ．7．已知在边长为3的等边△ABC 中，AP →＝12AC →＋13AB →，则CP →在CB →上的投影为( C )A ．154B ．-54C ．54D ．152【解析】 CP →＝AP →-AC →＝12AC →＋13AB →-AC →＝13AB →-12AC →，∴CP →·CB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13AB →-12AC →·(AB →-AC →)＝13AB →2-56AB →·AC →＋12AC →2 ＝13×9-56×3×3×12＋12×9＝154， ∴CP →在CB →上的投影为CP →·CB →|CB →|＝1543＝54.故选C.8．已知椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)与直线y a -xb＝1交于A ，B 两点，焦点F (0，-c )，其中c为半焦距，若△ABF 是直角三角形，则该椭圆的离心率为( A )A ．5-12B ．3-12 C.3＋14D ．5＋14【解析】椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)与直线y a -xb ＝1交于A ，B 两点，焦点F (0，-c )，其中c 为半焦距，若△ABF 是直角三角形，不妨设A (0，a )，B (-b ，0)，则BA →·BF →＝0，解得b 2＝ac ，即a 2-c 2＝ac ，即e 2＋e -1＝0，e ∈(0，1)，故e ＝5-12.故选A ． 9．下列只有一个是函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋(a 2-1)x ＋1(a ≠0)的导函数的图象，则f (-1)＝( A )A ．-13B ．13C ．73D ．-13或73【解析】因为f (x )＝13x 3＋ax 2＋(a 2-1)x ＋1(a ≠0)，所以f ′(x )＝x 2＋2ax ＋(a 2-1)，Δ＝4a 2-4(a 2-1)＝4＞0，开口向上，故导函数图象开口向上，与x 轴有2个交点，对称轴是x ＝-a ，结合选项(3)符合，由f ′(0)＝a 2-1＝0且-a ＞0得a ＝-1，故f (-1)＝-13-1＋1＝-13.故选A ．10．关于函数f (x )＝sin|x |＋|sin x |有下述四个结论： ①f (x )是偶函数②f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π单调递增 ③f (x )在[-π，π]有4个零点 ④f (x )的最大值为2其中所有正确结论的编号是( C ) A ．①②④ B ．②④ C ．①④D ．①③【解析】 f (-x )＝sin|-x |＋|sin(-x )|＝sin|x |＋|sin x |＝f (x )则函数f (x )是偶函数，故①正确，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π时，sin|x |＝sin x ，|sin x |＝sin x ，则f (x )＝sin x ＋sin x ＝2sin x 为减函数，故②错误，当0≤x ≤π时，f (x )＝sin|x |＋|sin x |＝sin x ＋sin x ＝2sin x ，由f (x )＝0得2sin x ＝0得x ＝0或x ＝π，由f (x )是偶函数，得在[-π，0)上还有一个零点x ＝-π，即函数f (x )在[-π，π]有3个零点，故③错误，当sin|x |＝1，|sin x |＝1时，f (x )取得最大值2，故④正确，故正确是①④，故选C. 11．设a ＝3π，b ＝π3，c ＝33，则( C ) A ．b ＞a ＞c B ．c ＞a ＞b C ．a ＞b ＞cD ．b ＞c ＞a【解析】考查幂函数y ＝x 3在(0，＋∞)是单调增函数，且π＞3，∴π3＞33，∴b ＞c ；由y ＝3x 在R 上递增，可得3π＞33，由a ＝3π，b ＝π3，可得ln a ＝πln 3，ln b ＝3ln π，考虑f (x )＝ln x x 的导数f ′(x )＝1-ln xx2，由x ＞e 可得f ′(x )＜0，即f (x )递减，可得f (3)＞f (π)，即有ln 33＞ln ππ，即为πln 3＞3ln π，即有3π＞π3，则a ＞b ＞c ，故选C.12．已知F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2-y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点和右焦点，过F 2的直线l 与双曲线的右支交于A ，B 两点，△AF 1F 2的内切圆半径为r 1，△BF 1F 2的内切圆半径为r 2，若r 1＝2r 2，则直线l 的斜率为( D )A ．1B ． 2C ．2D ．2 2【解析】记△AF 1F 2的内切圆圆心为C ，边AF 1、AF 2、F 1F 2上的切点分别为M 、N 、E ，易见C 、E 横坐标相等，则|AM |＝|AN |，|F 1M |＝|F 1E |，|F 2N |＝|F 2E |，由|AF 1|-|AF 2|＝2a ，即|AM |＋|MF 1|-(|AN |＋|NF 2|)＝2a ，得|MF 1|-|NF 2|＝2a ，即|F 1E |-|F 2E |＝2a ，记C 的横坐标为x 0，则E (x 0，0)，于是x 0＋c -(c -x 0)＝2a ，得x 0＝a ，同样内心D 的横坐标也为a ，则有CD ⊥x 轴，设直线的倾斜角为θ，则∠OF 2D ＝θ2，∠CF 2O ＝90°-θ2，在△CEF 2中，tan ∠CF 2O ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫90°-θ2＝r 1|EF 2|，在△DEF 2中，tan ∠DF 2O ＝tan θ2＝r 2|EF 2|，由r 1＝2r 2，可得2tan θ2＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫90°-θ2＝1tanθ2，解得tan θ2＝22，则直线的斜率为tan θ＝2tanθ21-tan 2θ2＝21-12＝22，故选D.二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡相应位置上．13．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≤3x -y ≤0x ＋2≥0，则z ＝x -2y 的最大值为__2__.【解析】由z ＝x -2y 得y ＝12x -12z ，作出x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≤3x -y ≤0x ＋2≥0对应的平面区域如图(阴影部分)：平移直线y ＝12x -12z ，由图形可知当直线经过点B 时，直线y ＝12x -12z 的截距最小，此时z 最大，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝-2x -y ＝0，得B (-2，-2)．代入目标函数z ＝x -2y ，得z ＝-2-2×(-2)＝2，故答案为2.14．已知f (x )是定义域为R 的奇函数，满足f (1＋x )＝f (1-x )，若f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 018)＝__2__.【解析】根据题意，f (x )是定义域为R 的奇函数，则f (-x )＝-f (x )，又由f (x )满足f (1＋x )＝f (1-x )，则f (-x )＝f (2＋x )，则有f (x ＋2)＝-f (x )，变形可得：f (x ＋4)＝f (x )，即函数f (x )为周期为4的周期函数；又由f (x )是定义域为R 的奇函数，则f (0)＝0，则f (2)＝-f (0)＝0，f (3)＝-f (1)＝-2，f (4)＝f (0)＝0，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝2＋0＋(-2)＋0＝0，则有f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 018)＝[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]×504＋f (2 017)＋f (2 018)＝f (1)＋f (2)＝2；故答案为2.15．已知sin α＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝__-3【解析】已知sin α＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3，则sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3-π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3，整理得：12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3-32cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3，故：32cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＝-52sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3，解得：tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝-35，则：tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3-π6 ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3-tan π61＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3tan π6＝-233，故答案为-233. 16．设直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的所有顶点都在一个球面上，且球的体积是4010π3，AB ＝AC ＝AA 1，∠BAC ＝120°，则此直三棱柱的高是__22__.【解析】设AB ＝AC ＝AA 1＝2m . ∵∠BAC ＝120°，∴∠ACB ＝30°，于是2msin 30°＝2r (r 是△ABC 外接圆的半径)，r ＝2m .又球心到平面ABC 的距离等于侧棱长AA 1的一半， ∴球的半径为（2m ）2＋m 2＝5m . ∴球的体积为43π×(5m )3＝4010π3，解得m ＝ 2.于是直三棱柱的高是AA 1＝2m ＝2 2. 故答案为2 2.三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． (一)必考题：共60分17．(本小题满分12分)设a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边．已知a cos B ＝b cos A ＋c ，(1)证明：△ABC 是直角三角形；(2)若D 是AC 边上一点，且CD ＝3，BD ＝5，BC ＝6，求△ABD 的面积．【解析】 (1)由正弦定理a cos B ＝b cos A ＋c 化为：sin A cos B ＝sin B cos A ＋sin C ， ∴sin A cos B -sin B cos A ＝sin C ， ∴sin(A -B )＝sin C ，∵A -B ∈(-π，π)，C ∈(0，π)， ∴A -B ＝C 或A -B ＝π-C (舍) ∴A ＝B ＋C ，∴A ＝π2.即△ABC 是直角三角形．(2)在△BCD 中，CD ＝3，BD ＝5，BC ＝6，由余弦定理得cos C ＝CD 2＋BC 2-BD 22CD ×BC ＝59.∴sin C ＝2149.∴AC ＝BC ×cos C ＝103，∴AD ＝AC -CD ＝13，又AB ＝BC ×sin C ＝4143.∴S △ABD ＝12AB ×AD ＝2149.18．(本小题满分12分)(理)某工厂A ，B 两条相互独立的生产线生产同款产品，在产量一样的情况下通过日常监控得知，A ，B 生产线生产的产品为合格品的概率分别为p 和2p -1(0.5≤p ≤1)．(1)从A ，B 生产线上各抽检一件产品，若使得至少有一件合格的概率不低于99.5%，求p 的最小值p 0；(2)假设不合格的产品均可进行返工修复为合格品，以(1)中确定的p 0作为p 的值．已知A ，B 生产线的不合格品返工后每件产品可分别挽回损失5元和3元，若从两条生产线上各随机抽检1 000件产品，以挽回损失的平均数为判断依据，估计哪条生产线的挽回损失较多？(文)(2021·金安区模拟)某5G 手机配件生产厂为了了解该厂生产同一型号配件的甲、乙两车间的生产质量，质检部门随机从甲、乙两车间各抽检了100件配件，其检测结果：(1)分别估计甲、乙车间生产出配件的正品的概率．(2)该厂规定一等品每件的出厂价是二等品的出厂价的2倍，已知每件配件的生产成本为5元，根据环保要求需要处理费用为3元，厂家要求生产的每件配件的平均利润不低于21.7元，求二等品每件的出厂的最低价．【解析】 (理)(1)P ＝1-(1-p )(1-(2p -1))＝1-2(1-p )2. 令1-2(1-p )2≥0.995，解得p ≥0.95. 故p 的最小值p 0＝0.95.(2)由(1)可知A ，B 生产线上的产品合格率分别为0.95，0.9. 即A ，B 生产线的不合格产品率分别为0.05和0.1.故从A 生产线抽检的1 000件产品中不合格产品大约为1 000×0.05＝50件，故挽回损失50×5＝250元，从B 生产线上抽检1 000件产品，不合格产品大约为1 000×0.1＝100，可挽回损失100×3＝300元， ∴从B 生产线挽回的损失较多．(文)(1)由数表知，甲车间生产出配件的正品的频率是55＋33100＝0.88. 所以甲车间生产配件的正品的概率估计值为0.88. 乙车间生产出的配件的正品的频率是65＋27100＝0.92.所以，乙车间生产的配件的正品的概率估计为0.92.(2)设二等品每件的出厂价为a 元，则一等品每件的出厂价为2a 元．由题意知：1200[120(2a -5)＋60(a -5)-20×8]≥21.7，整理得32a -5.3≥21.7，所以a ≥18，所以二等品每件的出厂的最低价为18元．19．(本小题满分12分)如图所示，△ABC 是等边三角形，DE ∥AC ，DF ∥BC ，面ACDE ⊥面ABC ，AC ＝CD ＝AD ＝DE ＝2DF ＝2.(1)求证：EF ⊥BC ； (2)求四面体FABC 的体积．【解析】 (1)证明：∵DE ∥AC ，DF ∥BC ，又△ABC 是等边三角形， ∴∠EDF ＝∠ACB ＝60°，又AC ＝DE ＝BC ＝2DF ＝2，在△EDF 中，由余弦定理可得，EF ＝22＋12-2×1×2×cos 60°＝3，∴EF 2＋DF 2＝DE 2，故EF ⊥DF ，又DF ∥BC ，∴EF ⊥BC . (2)取AC 的中点O ，连接DO ，由AD ＝DC ，得DO ⊥AC ，又平面ACDE ⊥平面ABC ，且平面ACDE ∩平面ABC ＝AC ，∴DO ⊥平面ABC ，且求得DO ＝22-12＝ 3.由DE ∥AC ，DF ∥BC ，且DE ∩DF ＝D ，可得平面DEF ∥平面ABC ，则F 与D 到底面ABC 的距离相等，则四面体FABC 的体积V ＝13×12×2×2×32×3＝1. 20．(本小题满分12分)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)，过C 的焦点F 的直线l 1与抛物线交于A 、B 两点，当l 1⊥x 轴时，|AB |＝4.(1)求抛物线C 的方程；(2)如图，过点F 的另一条直线l 与C 交于M 、N 两点，设l 1，l 2的斜率分别为k 1，k 2，若k 1＋k 2＝0(k 1＞0)，且3S △AMF ＝S △BMN ，求直线l 1的方程．【解析】 (1)根据题意可得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，当l 1⊥x 轴时，直线l 1的方程为x ＝p2，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝p 2y 2＝2px，解得y ＝±p ，所以A ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，p ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，-p ，所以|AB |＝2p ＝4，解得p ＝2，进而可得抛物线的方程为y 2＝4x .(2)由(1)可知F (1，0)，设直线l 1的方程为y ＝k 1(x -1)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1（x -1）y 2＝4x，得k 21x 2-(2k 21＋4)x ＋k 21＝0，所以Δ＝(2k 21＋4)2-4k 41＝16k 21＋16＞0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以x 1＋x 2＝2k 21＋4k 21，x 1x 2＝1，① 因为k 1＋k 2＝0，所以k 1＝-k 2，因为直线l 2与抛物线交于点M ，N ，所以A 与N 关于x 轴对称，M 与B 关于x 轴对称，因为3S △AMF ＝S △BMN ，S △AMF ＝S △BNF ，所以3S △AMF ＝S △AMF ＋S △BFM ，所以2S △AMF ＝S △BFM ，所以2|AF |＝|BF |，由抛物线定义可得|AF |＝x 1＋1，|BF |＝x 2＋1，所以2x 1＋2＝x 2＋1，即x 2＝2x 1＋1，代入①得(2x 1＋1)x 1＝1，解得x 1＝12或-1(舍去)，所以x 2＝2x 1＋1＝2×12＋1＝2，所以x 1＋x 2＝2k 21＋4k 21＝2＋12＝52，解得k 21＝8，即k 1＝22，所以直线l 1的方程为y ＝22(x -1)．21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝a ln x ＋x (a ∈R )．(1)若a ＝-1，求函数f (x )的单调区间；(2)若函数g (x )＝f (x )＋1e x -x a ，且g (x )≥0在x ∈(1，＋∞)时恒成立，求实数a 的最小值．【解析】 (1)a ＝-1时，f (x )＝-ln x ＋x ，函数f (x )的定义域是(0，＋∞)，则f ′(x )＝-1x ＋1＝x -1x，令f ′(x )＞0，解得：x ＞1，令f ′(x )＜0，解得：0＜x ＜1，故f (x )的单调减区间为(0，1)，f (x )的单调增区间为(1，＋∞)．(2)由g (x )≥0，可得e -x -(-x )≥x a -a ln x ，即e -x -(-x )≥eln xa -a ln x ①，令h (t )＝e t -t ，由h ′(t )＝e t -1得，当t ＜0时，h (t )递减，当t ＞0时，h (t )递增，所以①即为h (-x )≥h (a ln x )，由于求实数a 的最小值，考虑化为a ＜0，所以-x ≤a ln x ，即a ≥-xln x ，令l (x )＝-xln x ，则l ′(x )＝-ln x -1（ln x ）2，令l ′(x )＞0，解得：0＜x ＜e ，令l ′(x )＜0，解得：x ＞e ，故l (x )在(0，e)递增，在(e ，＋∞)递减，故可得l (x )的最大值为-e ，所以a 的最小值为-e.(二)选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答．如果多做，按所做的第一题计分22．(本小题满分10分)[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为x ＋y -4＝0，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos t y ＝2sin t(t 为参数)．以O 点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．(1)求直线l 和曲线C 的极坐标方程；(2)设射线θ＝α(ρ≥0，0≤α＜2π)与直线l 和曲线C 分别交于点M ，N ，求4|OM |2＋1|ON |2的最小值．【解析】 (1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，x 2＋y 2＝ρ2，可得直线l 的极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ-4＝0，即有ρ＝4cos θ＋sin θ；曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos t y ＝2sin t(t 为参数)，可得sin 2t ＋cos 2t ＝y 22＋x 2＝1，则ρ2cos 2θ＋12ρ2sin 2θ＝1，即为ρ2＝22cos 2θ＋sin 2θ＝21＋cos 2θ. (2)设M (ρ1，α)，N (ρ2，α)，其中0≤α＜3π4或7π4＜α＜2π，则4|OM |2＋1|ON |2＝（cos α＋sin α）24＋1＋cos 2α2 ＝1＋2sin αcos α4＋3＋cos 2α4 ＝1＋sin 2α＋cos 2α4＝1＋24sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4，由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝-1即α＝5π8时，4|OM |2＋1|ON |2取得最小值1-24.23．(本小题满分10分)[选修4-5：不等式选讲]已知函数f (x )＝|x |.(1)求不等式3f (x -1)-f (x ＋1)＞2的解集；(2)若不等式f (x -a )＋f (x ＋2)≤f (x ＋3)的解集包含[-2，-1]，求a 的取值范围．【解析】 (1)∵f (x )＝|x |，∴3f (x -1)-f (x ＋1)＞2，即3|x -1|-|x ＋1|＞2，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ≤-1，-3（x -1）＋x ＋1>2①，或⎩⎪⎨⎪⎧-1<x <1，-3（x -1）-x -1>2②，或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，3（x -1）-x -1>2③. 解①得x ≤-1，解②得-1＜x ＜0，解③得x ＞3，综合可得x ＜0或x ＞3，所以原不等式的解集为(-∞，0)∪(3，＋∞)．(2)f (x -a )＋f (x ＋2)≤f (x ＋3)，即|x -a |＋|x ＋2|≤|x ＋3|.因为不等式f (x -a )＋f (x ＋2)≤f (x ＋3)的解集包含[-2，-1]，所以，|x -a |＋|x ＋2|≤|x ＋3|对于x ∈[-2，-1]恒成立．因为x ∈[-2，-1]，所以，x ＋2≥0，x ＋3≥0，所以|x -a |＋|x ＋2|≤|x ＋3|等价于|x -a |＋x ＋2≤x ＋3，即|x -a |≤1恒成立，所以a -1≤x ≤a ＋1在[-2，-1]上恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧a -1≤-2-1≤a ＋1，解得-2≤a ≤-1，即实数a 的取值范围为[-2，-1]．。

高考计算题专项训练与解析

２（０９年高考文综全国卷Ｉ２）．２０・５某餐馆适用的营业税税率为５小明％。和爸爸去该餐馆吃饭共消费２０元，０在结账索要发票时被告知，如果不要发
票，以获得一瓶价值４元的饮料，明和爸爸表示接受。述做法（可小上）
时间缩短到原来的一半，其他条件不变，则现在１电脑与台量相等。
Ａ．２Ｂ．４Ｃ．８Ｄ．６９年高考文综安徽卷・）．２０３某商品生产部门去年的劳动生产率是每小时生产１件商品，值用货币表示为２０元。价６该部门今年的劳动生产率提高
高２％，０其他条件不变，甲种商品的价值总量与单位商品的价值量分别为则
（）
Ａ．２７０万元，６元
Ｂ７０万元，．２５元
Ｃ．０万元，６０５元
Ｄ６０万元，．０６元
项
工程收入
４（０９年高考文综北京巷・Ｏ右表是．２０３）
９（０８年高考文综全国卷Ｉ２）设２０．２０・５假０７年某围一单位Ｍ商品，价其值用该圉货币表示为ｌ。果２０５元如０８年生产Ｍ商品的社会劳动生产率提高
５％，０且该国的货币价值下降（贬值）０在其他条件不变的情况下，０８年２％，２０
一
单位Ｍ商品的价值用货币表示为

2020高考物理二轮专题练习——力学综合计算(共10题,含解析)

2020高考物理二轮专题练习——力学综合计算（共10题，含解析）1．如图所示，倾角为α的斜面A被固定在水平面上，细线的一端固定于墙面，另一端跨过斜面顶端的小滑轮与物块B相连，B静止在斜面上．滑轮左侧的细线水平，右侧的细线与斜面平行．A、B的质量均为m．撤去固定A的装置后，A、B均做直线运动．不计一切摩擦，重力加速度为g．求：（1）A固定不动时，A对B支持力的大小N；（2）A滑动的位移为x时，B的位移大小s；（3）A滑动的位移为x时的速度大小v A．2．在真空环境内探测微粒在重力场中能量的简化装置如图所示。

P是一个微粒源，能持续水平向右发射质量相同、初速度不同的微粒。

高度为h的探测屏AB竖直放置，离P点的水平距离为L，上端A与P点的高度差也为h。

（1）若微粒打在探测屏AB的中点，求微粒在空中飞行的时间；（2）求能被屏探测到的微粒的初速度范围；（3）若打在探测屏A、B两点的微粒的动能相等，求L与h的关系。

3．我国将于2022年举办冬奥会，跳台滑雪是其中最具观赏性的项目之一。

如图所示，质量m=60 kg的运动员从长直助滑道AB的A处由静止开始以加速度a=3.6 m/s2匀加速滑下，到达助滑道末端B时速度v B=24 m/s，A与B的竖直高度差H=48 m。

为了改变运动员的运动方向，在助滑道与起跳台之间用一段弯曲滑道衔接，其中最低点C处附近是一段以O为圆心的圆弧。

助滑道末端B与滑道最低点C的高度差h=5 m，运动员在B、C间运动时阻力做功W=–1 530 J，取g=10 m/s2。

（1）求运动员在AB段下滑时受到阻力F f的大小；（2）若运动员能够承受的最大压力为其所受重力的6倍，则C点所在圆弧的半径R至少应为多大。

4．风洞是研究空气动力学的实验设备。

如图，将刚性杆水平固定在风洞内距地面高度H=3.2m 处，杆上套一质量m=3kg ，可沿杆滑动的小球。

将小球所受的风力调节为F=15N ，方向水平向左。

小球以初速度v 0=8m/s 向右离开杆端，假设小球所受风力不变，取g=10m/s 2。

计算题02牛顿运动定律的综合应用(解析版)-备战2020高考物理满分卷题型专练

计算题02 牛顿运动定律的综合应用时间：40分钟满分：100分1．（2020·藤东中学高三月考）如图所示，足够长的木板与水平地面间的夹角θ可以调节，当木板与水平地面间的夹角为37°时，一小物块（可视为质点）恰好能沿着木板匀速下滑．若让该物块以大小v 0＝10m/s 的初速度从木板的底端沿木板上滑，随着θ的改变，物块沿木板滑行的距离x 将发生变化.取g ＝10m/s 2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8.(1)求物块与木板间的动摩擦因数μ；(2)当θ满足什么条件时，物块沿木板向上滑行的距离最小，并求出该最小距离. 【答案】(1) 0.75(2) 4m 【解析】【详解】(1)当θ=37°时，设物块的质量为m ，物块所受木板的支持力大小为F N ，对物块受力分析，有：mg sin37°=μF N F N -mg cos37°=0 解得：μ=0.75(2)设物块的加速度大小为a ，则有：mg sin θ+μmg cos θ=ma 设物块的位移为x ，则有：v 02=2ax解得：()202sin cos v x g θμθ=+ 令tan α=μ，可知当α+θ=90°，即θ=53°时x 最小最小距离为：x min =4m2．（2020·银川唐徕回民中学高三）如图所示，一足够长木板在水平粗糙面上向右运动。

某时刻速度为v 0＝2m/s ，此时一质量与木板相等的小滑块（可视为质点）以v 1＝4m/s 的速度从右侧滑上木板，经过1s 两者速度恰好相同，速度大小为v 2＝1m/s ，方向向左。

重力加速度g ＝10m/s 2，试求：（1）木板与滑块间的动摩擦因数μ1 （2）木板与地面间的动摩擦因数μ2（3）从滑块滑上木板，到最终两者静止的过程中，滑块相对木板的位移大小。

【答案】（1）0.3（2）120（3）2.75m 【解析】【分析】（1）对小滑块根据牛顿第二定律以及运动学公式进行求解；（2）对木板分析，先向右减速后向左加速，分过程进行分析即可；（3）分别求出二者相对地面位移，然后求解二者相对位移；【详解】（1）对小滑块分析：其加速度为：2221114/3/1v v a m s m s t --===-，方向向右对小滑块根据牛顿第二定律有：11mg ma μ-=，可以得到：10.3μ=；（2）对木板分析，其先向右减速运动，根据牛顿第二定律以及运动学公式可以得到：1212v mg mg mt μμ+⋅= 然后向左加速运动，根据牛顿第二定律以及运动学公式可以得到：21222v mg mg mt μμ-⋅= 而且121t t t s +== 联立可以得到：2120μ=，10.5s t =，20.5t s =；（3）在10.5s t =时间内，木板向右减速运动，其向右运动的位移为：01100.52v x t m +=⋅=，方向向右；在20.5t s =时间内，木板向左加速运动，其向左加速运动的位移为：22200.252v x t m +=⋅=，方向向左；在整个1t s =时间内，小滑块向左减速运动，其位移为：122.52v v x t m +=⋅=，方向向左则整个过程中滑块相对木板的位移大小为：12 2.75x x x x m ∆=+-=。

高中计算能力练习题及讲解带答案

高中计算能力练习题及讲解带答案### 高中计算能力练习题及讲解#### 练习题1：代数运算题目：计算以下表达式：\[ (3x^2 + 2x - 5) - (x^2 - 4x + 7) \]解答：首先，我们需要去掉括号并合并同类项。

括号前的负号意味着括号内的每一项都要变号。

\[ (3x^2 + 2x - 5) - (x^2 - 4x + 7) = 3x^2 + 2x - 5 - x^2 + 4x - 7 \]接下来，合并同类项：\[ = (3x^2 - x^2) + (2x + 4x) + (-5 - 7) \]\[ = 2x^2 + 6x - 12 \]答案：\[ 2x^2 + 6x - 12 \]#### 练习题2：指数运算题目：计算以下指数表达式：\[ (2^3)^2 \]解答：根据指数的乘方法则，当一个指数被另一个指数所乘时，指数相乘。

\[ (2^3)^2 = 2^{3 \times 2} = 2^6 \]计算 \(2^6\)：\[ 2^6 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 64 \]答案：\[ 64 \]#### 练习题3：三角函数题目：如果 \(\sin(\theta) = \frac{3}{5}\)，求 \(\cos(\theta)\) 的值。

解答：我们知道 \(\sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1\)。

因此，我们可以解出 \(\cos(\theta)\)：\[ \cos^2(\theta) = 1 - \sin^2(\theta) \]\[ \cos^2(\theta) = 1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2 \]\[ \cos^2(\theta) = 1 - \frac{9}{25} \]\[ \cos^2(\theta) = \frac{16}{25} \]由于 \(\cos(\theta)\) 可以是正数也可以是负数，我们得到两个可能的解：\[ \cos(\theta) = \pm \frac{4}{5} \]答案：\[ \cos(\theta) = \pm \frac{4}{5} \]#### 练习题4：对数运算题目：计算以下对数表达式：\[ \log_2(8) + \log_2(32) \]解答：根据对数的乘法法则，\(\log_b(m) + \log_b(n) = \log_b(mn)\)。

高三数学综合训练试题二理含解析试题

卜人入州八九几市潮王学校2021届高三数学综合训练试题〔二〕理〔含解析〕〔时间是120分钟，满150分〕本卷须知： 1..2.答复选择题时，选出每一小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目之答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答复非选择题时，将答案写在答题卡上.写在套本套试卷上无效.3.在在考试完毕之后以后，将本套试卷和答题卡一起交回.一、选择题：本大题一一共12个小题，每一小题5分，一共60分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的. 1.{}1A x Z x =∈>-，集合{}2log 2B x x =<，那么A B =〔〕A.{}14x x -<<B.{}04x x <<C.{}0,1,2,3D.{}1,2,3【答案】D 【解析】【分析】先求解集合B 再求A B 即可.【详解】{}04B x x =<<,∵{}1A x Z x =∈>-,∴{}1,2,3AB =,应选：D.【点睛】此题主要考察了对数的不等式求解以及交集的运算,属于根底题. 2.设(1)2i z i +=，那么z 的一共轭复数z 的虚部为〔〕A.-1B.i -C.1D.i【答案】A 【解析】【分析】化简求出复数z ，再求出一共轭复数z ，然后直接判断出z 的虚部即可.【详解】(1)2i z i +=,∴()212221122i i i i z i i -+====++, 1z i ∴=-,∴所以z 的虚部为-1应选：A【点睛】此题考察一共轭复数的概念以及复数的实虚部的认识，属于根底题.复数z a bi =+的实部为a ，虚部为b .3.从甲、乙两种树苗中各抽测了10株树苗的高度，其茎叶图数据如图.根据茎叶图，以下描绘正确的选项是〔〕A.甲种树苗的中位数大于乙种树苗的中位数，且甲种树苗比乙种树苗长得整齐B.甲种树苗的中位数大于乙种树苗的中位数，但乙种树苗比甲种树苗长得整齐C.乙种树苗的中位数大于甲种树苗的中位数，且乙种树苗比甲种树苗长得整齐D.乙种树苗的中位数大于甲种树苗的中位数，但甲种树苗比乙种树苗长得整齐【答案】B 【解析】【分析】由茎叶图将甲、乙两组数据从小到大排列，分别求出它们的中位数，再根据每组数据的分散情况判断，即可得出答案．【详解】解：由茎叶图知，甲组数据从小到大排列为： 10，10，12，24，25，30，43，45，45，46；其中位数是1(2530)27.52⨯+=，且数据分布比较分散；乙组数据从小到大排列为：17，20，21，23，24，26，31，31，32，35；其中位数是1(2426)252⨯+=，且数据分布比较集中；所以甲种树苗的中位数大于乙种树苗的中位数，且乙种树苗比甲种树苗长得整齐．应选：B.【点睛】此题考察利用茎叶图中的数据判断中位数和数据分散情况，是根底题． 4.{|A a =关于x 的不等式2220ax ax +-<的解集为}R ，{|20}B a a =-<<，那么x A ∈是x B ∈的()A.既不充分也不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.充分而不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据题意，可知当0a=时满足条件，当0a ≠时，由不等式2220ax ax +-<的解集为R ，根据一元二次不等式的性质求出a 的取值范围，进而得出集合A ，最后结合充分条件和必要条件的定义进展判断即可．【详解】解：当0a=时，不等式2220ax ax +-<等价为20-<，此时不等式的解集为R ，满足条件，当0a≠时，要使不等式2220ax ax +-<的解集为R ，那么20480a a a <⎧⎨∆=+<⎩，得020a a <⎧⎨-<<⎩，得：20a -<<，综上，{|A a =关于x 的不等式2220ax ax +-<的解集为}{|20}R a a =-<≤，{|20}B a a =-<<，B A ∴，即x A ∈是x B ∈的必要不充分条件，应选：B ．【点睛】此题考察充分条件和必要条件的判断，涉及一元二次不等式的性质的应用和集合间的关系，考察运算才能. 5.()1,4P 为抛物线C ：22(0)y px p =>上－点，抛物线C 的焦点为F ，那么PF=〔〕A.3B.5C.7D.8【答案】B 【解析】【分析】求出抛物线方程，得到焦点坐标，然后求解即可．【详解】解：(1,4)P 为抛物线2:2(0)C y px p =>上一点，即242p = 可得8p =，所以(4,0)F ，那么||5PF=．应选：B ．【点睛】此题考察抛物线的简单性质的应用，是根本知识的考察，属于根底题．6.假设cos (1)1α+︒=，那么α的一个可能值为〔〕A.70︒B.50︒C.40︒D.10︒【答案】C 【解析】【分析】利用同角三角函数关系和诱导公式，以及辅助角公式和二倍角正弦公式化简等式，可得cos cos40α=︒，即可得出答案．【详解】解：cos (1)1α+︒=，2sin 40cos 40cos 402sin 40︒︒==︒︒，α的一个可能值为40︒.应选：C ．【点睛】此题考察利用同角三角函数关系和诱导公式，以及辅助角公式和二倍角正弦公式进展化简，考察计算才能，属于根底题．7.α，β是空间两个不同的平面，m ，n 是空间两条不同的直线，那么给出的以下说法中正确的选项是〔〕①//m α，//n β，且//m n ，那么//αβ②//m α，//n β，且m n ⊥，那么αβ⊥③m α⊥，n β⊥，且//m n ，那么//αβ④m α⊥，n β⊥、且m n ⊥，那么αβ⊥A.①②③B.①③④C.②④D.③④【答案】D【解析】【分析】 .【详解】①//m α，//n β，且//m n ，那么,αβ可能相交，故①错误； ②//m α，//n β，且m n ⊥，那么,αβ可能相交，也可能平行，故②错误； ③m α⊥，n β⊥，且//m n ，那么//αβ，根据线面垂直的性质可知③正确；④m α⊥，n β⊥、且m n ⊥，那么αβ⊥，根据线面垂直的性质可知④正确.应选：D.【点睛】此题考察了空间线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的性质定理和断定定理的运用；纯熟掌握定理是关键.8.函数321,0()2,0x x x x f x x ⎧-+<=⎨≥⎩，那么2(2)(3)f x f x +>的解集为〔〕A.(2,)+∞B.(,1)(2,)-∞⋃+∞C.(,1)-∞-D.(1,2)【答案】B 【解析】【分析】通过求导判断函数在(),0-∞的单调性，进而得出()f x 的单调性，利用单调性求得不等式的解集即可.【详解】当0x <时，()321f x x x =-+，那么()232f x x x '=-，所以当0x <时，()0f x '>恒成立，所以()f x 在(),0-∞为增函数，且()1f x <，当0x ≥时，()2x f x =为增函数，且()()01f x f =≥，所以()f x 在R 上为增函数，所以2(2)(3)f x f x +>等价于223x x +>，解得2x >或者1x <.应选：B.【点睛】此题考察利用导数判断函数的单调性，考察利用单调性解不等式，考察推理才能，属于中档题.9.x 、y 满足240x x y ax by c ≥⎧⎪+≤⎨⎪++≤⎩，且目的函数2z x y =+的最大值为9，最小值为1，那么a b ca ++=〔〕A.6-B.6C.7-D.7【答案】C 【解析】【分析】如下列图，画出可行域，根据图象计算得到直线0ax by c 过点()2,3-，()5,1-，代入计算得到答案.【详解】如下列图，画出可行域，目的函数为2zx y =+，那么2y x z =-+，z 表示直线在y 轴的截距，24x x y =⎧⎨+=⎩，解得22x y =⎧⎨=⎩，此时26z x y =+=； 221x x y =⎧⎨+=⎩，解得23x y =⎧⎨=-⎩；429x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得51x y =⎧⎨=-⎩，故直线0ax by c 过点()2,3-，()5,1-，即23050a b c a b c -+=⎧⎨-+=⎩，解得213313c a b c ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故2313137213c c c a b cc a-++++==--应选：C.【点睛】此题考察了线性规划问题，意在考察学生的计算才能和应用才能，画出图象是解题的关键. 10.ABC 的三条边a ，b ，c 满足2b =，4ac =，分别以边a ，c 为一边向外作正方形ABEF ，BCGH .如图1C ，2C 分别为两个正方形的中心〔其中1C ，2C ，B 三点不一共线〕，那么当12C C 的值最大时，ABC 的面积为〔〕C.2【答案】A 【解析】【分析】用余弦定理把212C C ()2212a c =++，令()22114t a c =+-，把212C C 变形为22t ++t 的函数，用导数的观点解决最值问题即可.【详解】解：如图，连接1BC 、2BC ，由题意可知1BC =，2BC =，124C BA C BC π∠=∠=.在△21BC C 中，设()22114ta c =+-，那么由根本不等式，可知1112t ac ≥-=〔当且仅当a c =时取等号〕.2122222C C t t ∴=++=++，设()221)f t t t =++≥，那么()22)f t t '=+=，令()0f t '=且1t ≥，解得t =，1t ∴<<()0f t '>，f t单调递增；t >()0f t '<，f t单调递减12C C ∴的值最大时，t =，此时sin ABC ∠=.11sin 4222ABCSac ABC ∴=∠=⨯⨯=. 应选：A.【点睛】此题主要考察余弦定理，面积公式，导数，考察学生的综合才能，属于难题. 11.函数()1x f x e ax =--，()ln 1g x x ax =--，其中01a <<，e 为自然对数的底数，假设()00,x ∃∈+∞，使()()000f x g x >，那么实数a 的取值范围是〔〕A.210,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B.10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C.21,1e ⎛⎫⎪⎝⎭D.1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】根据单调性证明()0f x >恒成立，故()00,x ∃∈+∞，使()00g x >，分类参数，构造函数，根据函数的单调性求最值得到答案. 【详解】()1x f x e ax =--，01a <<，()0,x ∈+∞那么()0x f x e a '=->，函数单调递增，故()()00f x f >=恒成立，()00,x ∃∈+∞，使()()000f x g x >，即()00,x ∃∈+∞，使()00g x >，即()ln 10gx x ax =-->，即ln 1x a x-<，设()ln 1x F x x -=，即()22ln xF x x-'=， ()20,x e ∈时，()0F x '>，()2,x e ∈+∞时，()0F x '<，故函数在()20,e 上单调递增，在()2,e +∞上单调递减，故()()222max211F x F e e e-===，故210,a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 应选：A.【点睛】此题考察了利用导数研究不等式恒能成立问题，意在考察学生的计算才能和转化才能.12.过双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>右焦点F 的直线l 交C 的右支于A ，B 两点，直线AO 〔O是坐标原点〕交C 的左支于点D .假设DFAB ⊥，且2BF DF=，那么双曲线C 的离心率为〔〕【答案】C 【解析】【分析】取左焦点F '，设||=AF x ，由双曲线的定义得||2AF a x '=+，再由双曲线的对称性，那么||DF x '=，||||2DF AF a x '==+，而||2||BF DF =，所以||42BF a x =+，||33AB a x =+，再由双曲线的定义求出||BF '，在直角三角形中利用勾股定理，求出43x a =，以及a ，c 的关系，最后利用离心率的公式即可求出结果.【详解】解：取左焦点F '，设||=AF x ，那么||2AF a x '=+，由题意可得//DF AF '，所以DF DF '⊥，所以||DF x '=，||||2DF AF a x '==+，而||2||BF DF =，所以||42BF a x =+，||43AB a x =+，进而可得||42262BF a x a a x '=++=+，在直角三角形BAF '中，222||||||BF AB AF ''=+，所以222(62)(43)(2)a x a x a x +=+++，解得：43xa =，所以4||3AF a =，4||3DF a '=，10||3DF a =，||2FF c '=，在直角三角形DFF '中，2221610()(2)99a a c +=，所以可得：2229()9ce a==，所以e ，应选：C ．【点睛】此题考察双曲线定义的应用和离心率的求法，以及双曲线的对称性和直角三角形中勾股定理的应用，考察运算才能.二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分. 13.等差数列{}n a 中，35a=，815a =，那么6a =__________.【答案】11 【解析】【分析】利用等差数列通项公式列出方程组，求出11a =，2d =，即可求出6a .【详解】解：等差数列{}n a 中，35a =，815a =，∴1125715a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得11a =，2d =，612511a ∴=+⨯=．故答案为：11．【点睛】此题考察等差数列的通项公式的应用，考察运算求解才能，是根底题． 14.8280128(12)-=+++⋅⋅⋅+x a a x a x a x ，那么1357a a a a +++=__________.【答案】8132-【解析】【分析】根据题意，利用赋值法分别将1x =和1x =-代入式子中，得到两个方程，由这两个方程化简整理，即可求出1357a a a a +++的值．【详解】解：8280128(12)x a a x a x a x -=+++⋯+，∴令1x =，可得01281a a a a +++⋯+=①，再令1x =-，可得8012383a a a a a -++-+⋯+=②，由①②两式相减除以2，可得81357132a a a a -+++=，故答案为：8132-．【点睛】此题考察二项式定理的应用，利用赋值法求展开式的系数和，考察化简运算才能.15.向量AB →，BC→，假设2BC AB→→=，BC→的方向是沿AB →方向绕着B 点按逆时针方向旋转30角得到的，那么称AB→经过一次τ变换得到BC→.向量()11,0OA→=经过一次τ变换后得到12A A →，12A A→经过一次τ变换后得到23A A →，…，如此下去，21n n A A →--经过一次τ变换后得到1n nA A →-，设20192020(,)A A x y →=，那么y x -=__________.【答案】20192 【解析】【分析】由题意可得AB→经过一次τ变换得到BC→，相当于一次旋转变换，利用矩阵变换得出2cos302sin3012sin302cos301⎫︒-︒-⎛⎫= ⎪ ︒︒⎝⎭⎝，分别求得三次变换后得到的向量坐标，再由20193673=⨯，可得向量()11,0OA→=经过2021次τ变换后得到(0，6738)，即可得到所求值．【详解】解：由题意可得AB→经过一次τ变换得到BC →，相当于一次旋转变换得2cos302sin3012sin302cos301⎫︒-︒-⎛⎫=⎪ ︒︒⎝⎭⎝，而向量()11,0OA→=经过一次τ变换后得到12A A →，即为11011⎫-⎛⎫= ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，可得向量)12A A →=，向量)12A A →=经过一次τ变换后得到23A A →，即有2111⎫⎛⎫-= ⎝⎭⎝⎝，可得向量(23A A →=，向量(23A A →=经过一次τ变换后得到34A A →，即为21081⎫⎛⎫-⎛⎫= ⎪ ⎝⎭⎝⎝，可得向量34(0,8)A A →=，而20193673=⨯，可得再经过三次τ变换后得到的向量坐标为(0,64)，那么向量()11,0OA→=经过2021次τ变换后得到(0，6738)(0=，20192)，可得20192y x -=，故答案为：20192.【点睛】此题考察向量的新定义变换的理解和运用，注意运用矩阵变换得到规律是解题的关键，考察化简运算才能和推理才能，属于难题． 16.在四面体ABCD 中，8AC BC CD ===，6AB AD BD ===，AB平面α，E ，F 分别为线段AD ，BC 的中点，现将四面体以AB 为轴旋转，那么线段EF 在平面内投影长度的取值范围是__________. 【答案】[]3,5【解析】【分析】取AC 中点为G ，AB 中点为Q ，连接EG 、FG 、CQ 、DQ ，利用三角形的中位线得//GF AB ，//GE CD ，根据等腰三角形的性质和线面垂直的断定定理，可证出AB ⊥平面CDQ ，进而得出AB CD ⊥，GE GF ⊥，当四面体绕AB 旋转时，GE 与GF 的垂直性保持不变，当CD 与平面α垂直时，EF 在平面α上的射影11E F 的长获得最小值，当CD 与平面α平行时，EF 在平面α上的射影11E F 的长获得最大值，由此即可得出结果．【详解】解：如图，取AC 中点为G ，AB 中点为Q ，连接EG 、FG 、CQ 、DQ ，E ，F 分别是线段AD 和BC 的中点，//GF AB ∴，//GE CD ，由于8AC BC CD ===，6AB AD BD ===，132GF AB ∴==，142GE CD ==，那么,CQ AB DQ AB ⊥⊥，且CQ DQ Q =，,CQ DQ ⊂平面CDQ ，AB ∴⊥平面CDQ ，又CD ⊂平面CDQ ， AB CD ∴⊥，GE GF ∴⊥，在RtEGF 中，22222()()22CD ABEF GE GF =+=+，当四面体绕AB 旋转时，//GF AB ，AB平面α，GF⊄平面α，//GF ∴平面α，GE 与GF 的垂直性保持不变，且3GF =，长度不变，当CD 与平面α垂直时，GE 在平面上的射影长最短为0，此时EF 在平面α上的射影11E F 3=，当CD 与平面α平行时，GE 在平面上的射影长最长为：42CDGE ==，此时EF 在平面α上的射影11E F 5=，∴线段EF 在平面α上的射影长的取值范围是[]3,5.故答案为：[]3,5.【点睛】此题考察线段在平面上的射影的取值范围的求法，考察空间中线线、线面、面面间的位置关系以及等腰三角形的性质和线面垂直和断定定理，考察运算求解才能和空间想象才能，考察化归与转化思想、数形结合思想，是中档题.三、解答题：一共70分.解容许写出必要的文字说明、证明过程或者演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须答题.第22、23题为选考题，考生根据要求答题. 〔一〕必考题：一共60分 17.数列{}n a 中，11a =，当2n ≥时，11---=⋅n n n n a a a a .〔Ⅰ〕求证：数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；〔Ⅱ〕设2121nn n b a a -+=⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：12n T <. 【答案】〔Ⅰ〕证明见解析；〔Ⅱ〕证明见解析. 【解析】【分析】〔Ⅰ〕两边同时除以1n n a a -⋅得：1111n n a a --=，即可得证; 〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知1na n =，112121n b n n =⋅-+，再利用裂项相消法求和即可得证；【详解】解:〔Ⅰ〕证明：当2n ≥时，由11---=⋅n nn n a a a a ，两边同时除以1n n a a -⋅得：1111n n a a --=，由11a =，得111a ，故数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，1为公差的等差数列. 〔Ⅱ〕解：由〔Ⅰ〕知1na n=，所以11(21)(21)11121212(21)(21)22121nn n b n n n n n n +--⎛⎫=⋅==- ⎪-+-+-+⎝⎭，所以111111123352121nT n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭111221n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭.因为1021n >+，故12n T <.【点睛】此题考察构造法求数列的通项公式以及裂项相消法求和，属于根底题. 18.在三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 是正三角形，侧棱1A A ⊥平面ABC ，D ，E 分别是AB ，1AA 的中点，且11A D B E ⊥.〔Ⅰ〕求证：1B E ⊥平面1A CD ；〔Ⅱ〕求二面角11A CD B --的余弦值.【答案】〔Ⅰ〕证明见解析；〔Ⅱ〕35. 【解析】【分析】〔Ⅰ〕证明1AA CD ⊥，CD AB ⊥，得出CD ⊥平面11AA B B ，从而证明1B E ⊥平面1A CD ；〔Ⅱ〕建立空间直角坐标系，利用坐标表示向量，求出平面平面1B CD 和平面1A CD 的法向量，利用法向量计算二面角11A CD B --的余弦值．【详解】解：〔Ⅰ〕证明：在三棱柱111ABC A B C -中，1A A ⊥平面ABC ，CD ⊂平面ABC ，所以1A A CD ⊥.在ABC 中，AC BC =，AD BD =.所以CD AB ⊥.又1AA AB A =，所以CD ⊥平面11AA B B 因为1B E ⊂平面11AA B B ，所以1CD B E ⊥，又11B EA D ⊥，1A D CD D =，所以1B E ⊥平面1A CD .〔Ⅱ〕设2AB =，在矩形11AA B B 中，因11B E A D ⊥，所以111A EB A DA ∠=∠，那么111tan tan A EB A DA ∠=∠，即1111A B AA A E AD=，即112112AA AA =，得12AA =.以D 为坐标原点建立如下列图坐标系，那么()11,0,2B，()C ，()1,0,1E -，那么()11,0,2DB =，()0,DC =，设平面1B CD 的法向量为(),,n x y z =，那么12030DB n x z DC n y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩，令1z =得()2,0,1n =-为平面1B CD 的一个法向量.由〔Ⅰ〕知，1B E⊥平面1A CD ，所以()12,0,1B E =--为平面1A CD 的一个法向量.11143cos ,55B E n B E n B E n⋅===⨯⋅.所以二面角11A CD B --的余弦值为35. 【点睛】此题考察了空间中的垂直关系应用问题，也考察了利用空间向量求二面角的平面角问题，属于中档题．19.某精细仪器消费厂准备购置A ，B ，C 三种型号数控车床各一台，这三台车床均使用同一种易损件.在购进机器时，可以额外购置这种易损件作为备件，每个万元.在机器使用期间，假设备件缺乏再购置，那么每个万元.现需要决策在购置机器时应同时购置几个易损件，为此搜集并整理了三种型号各120台车床在一年使用期内更换的易损零件数，得到如下统计表：将调查的每种型号车床在一年中更换的易损件的频率视为概率，每台车床在易损件的更换上互相HY. 〔Ⅰ〕求一年中A ，B ，C 三种型号车床更换易损件的总数超过18件的概率；〔Ⅱ〕以一年购置易损件所需总费用的数学期望为决策根据，问精细仪器消费厂在购置车床的同时应购置18件还是19件易损件？【答案】〔Ⅰ〕14；〔Ⅱ〕时应当购置18件易损件. 【解析】【分析】〔Ⅰ〕由频数表可得三种型号更换的易损件的概率，设一年中A 、B 、C 三种型号车床更换易损件分别为x ，y ，z ，三种型号车床更换易损件的总数为X ，利用互相HY 事件的概率分别求出(19)P X =和(20)P X =，由(18)(19)(20)P X P X P X >==+=，从而得解；〔Ⅱ〕由题可知，X 的可能取值为16，17，18，19，20，由对立事件的概率可知(18)1(18)P X P X ≤=->，由〔Ⅰ〕可知(19)P X =和(20)P X=，从而可得关于X的分布列，然后分别求出购置18件和19件易损件的总费用的数学期望，比较大小后作出判断即可．【详解】解：〔Ⅰ〕由表中数据可得三种型号更换的易损件的概率〔频率〕分布表为：设一年中A ，B ，C 三种型号车床更换易损件分别为x ，y ，z ，三种型号车床更换易损件的总数为X，111111112524322324324=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=， 1111(20)(6,7,7)24324P X P x y z ======⨯⨯=，所以151(18)(19)(20)24244P X P X P X >==+==+=，所以一年中A ，B ，C 三种型号车床更换易损件的总数超过18件的概率为14. 〔Ⅱ〕由题意，X所有可能取值为16，17，18，19，20，由〔Ⅰ〕可知513(18)1(19)(20)124244P X P X P X ≤=-=-==--=，故X的概率分布列为：设购置18件的总费用为1Y ，那么1Y 的可能取值为，2，，那么()135144.62231.822.24242424120EY =⨯+⨯+⨯==万元，设购置19件的总费用为2Y ，那么2Y 的可能取值为，，那么()223145.82291.92.1242424120EY =⨯+⨯==万元， ()()12E Y E Y <，所以在购置车床的同时应当购置18件易损件.【点睛】此题考察互相HY 事件的概率、离散型随机变量的分布列和数学期望，考察学生对数据的分析与处理才能．20.椭圆1C ：()222210x y a b a b +=>>和圆2C ：()222x y r r +=>，1F ，2F 为椭圆1C 的左、右焦点，点(B在椭圆1C 上，当直线1BF 与圆2C 相切时，r =〔Ⅰ〕求1C 的方程；〔Ⅱ〕直线l ：()0,0y kx m k m =+>>与x 轴交于点Q ，且与椭圆1C 和圆2C 都相切，切点分别为M ，N ，记12F F M △和2QF N △的积分别为1S 和2S ，求()21m k S S -的最小值.【答案】〔Ⅰ〕22143x y +=；〔Ⅱ〕【解析】【分析】(I)由题意可得b ，设()1,0F c -，运用直线和圆相切的条件，可得2bc a =，结合a ，b,c 的关系，解得a,c ,进而得到椭圆方程；〔Ⅱ〕设()11,M x y ，()22,N x y ，将y kx m =+代入22143x y+=，结合直线和椭圆相切的条件判别式为0，解得M 的坐标，可得12F F M △的面积1S ，再由直线和圆相切的条件，解方程可得N 的坐标，求得Q 的坐标，计算2QF N △的面积为2S ,求得21()m k S S -的表达式，化简后运用根本不等式即可得证.【详解】〔Ⅰ〕由题可知b =设()1,0F c -，那么由1BF与圆相切时r =bc a =2a c =.② 将①②代入222a b c =+解得2a =.所以1C 的方程为22143x y +=.〔Ⅱ〕设()11,Mx y ，()22,N x y ，将y kx m =+代入22143x y +=得()2224384120k x kmx m +++-=，由直线l 与椭圆1C 相切得0∆=即2243m k =+，且1212443343km x k m y k -⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，那么12F F M △的面积1121213243mS F F y k =⋅=+. 由直线l 与圆2C 相切，设ON ：1=-y x k，与y kx m =+联立得222211km x k m y k -⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩. 直线l ：()0,0y kx m k m =+>>与x 轴交于点Q ，那么,0m Q k ⎛⎫-⎪⎝⎭. 那么2QF N △的面积()22221()221m k m S QF y k k +=⋅=+，从而()2212()()21()323243m k m m k k k m k S k m S k k +-+-==+≥+〔当且仅当k =时等号成立〕，所以21()m k S S -的最小值为【点睛】此题考察椭圆和圆的方程和运用，考察直线和圆的位置关系、直线和椭圆的位置关系,考察方程思想和运算才能，属于中档题. 21.函数2()ln f x x a x =-，且()1f x ≥.〔Ⅰ〕求a 的值；〔Ⅱ〕在函数()f x 的图象上任意取定两点11(,())A x f x ，2212(,())()B x f x x x <，记直线AB 的斜率为k ，求证：存在唯一012(,)x x x ∈，使得0'()f x k =成立.【答案】〔Ⅰ〕2a =；〔Ⅱ〕证明见解析. 【解析】【分析】〔Ⅰ〕先对函数求导得()22'2a x af x x x x-=-=，分类讨论0a ≤和0a >，利用导数研究函数的单调性和极值，结合()1f x ≥，结合极值与最值关系可求出a 的值；〔Ⅱ〕根据题意，由直线的斜率公式并转化后得1212122lnx x k x x x x =+--，构造函数()'()g x f x k =-，并利用导数研究函数()g x 的单调性，将证明存在唯一()012,x x x ∈，使得()0'f x k =成立，转化为证明不等式()10gx <，()20g x >即可，分别求出()1g x 和()2g x ，再构造函数并根据导数研究单调性和利用导数证明不等式，即可证出. 【详解】解：〔Ⅰ〕由题可知，2()ln f x x a x =-，那么()f x 的定义域为()0,∞+，那么()22'2a x af x x x x -=-=，由于()1f x ≥，当0a ≤时，因为11ln 2124f a ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭，所以不满足题意；当0a>时，令()'0f x =，解得x =当x ⎛∈ ⎝时，()'0f x <，()f x在区间⎛ ⎝上单调递减，当x ⎫∈+∞⎪⎪⎭时，()'0f x >，()f x在区间⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增，故x 是()f x 在()0,∞+的唯一最小值点，由于()11f =1=，即2a=时，()1f x ≥，故2a =.〔Ⅱ〕由题意知()()2211212212122lnx x x f x f x x k x x x x ---==--1212122lnx x x x x x =+--，令()1212122ln2()'()2x x g x f x k x x x x x x =-=--++-，那么22'()20g x x =+>，故()g x 在区间()0,∞+上单调递增，故要证：存在唯一()012,x x x ∈，使得()0'f x k =成立，只需证：()10gx <，()20g x >即可，()121121122ln2x x g x x x x x x =--+-121212212ln 1x x x x x x x x ⎛⎫=-++- ⎪-⎝⎭， ()122212122ln2x x g x x x x x x =--+-112112222ln 1x x x x x x x x ⎛⎫=-+-+ ⎪-⎝⎭，令()ln 1h t t t =-+，11'()1th t t t-=-=，当()0,1t ∈时，()'0h t >，()h t 在区间()0,1上单调递增，当()1,t ∈+∞时，()'0h t <，()h t 在区间()1,+∞上单调递减，故()()10h t h ≤=，令12(0,1)x t x =∈时，有1122ln 10x x x x -+<，又因为120x x -<，210x x ->，因此()20g x >，由ln 10t t -+≤，令1t u =，得1ln 10u u+-≥，令()120,1x u x =∈时，有1221ln 10x x x x +->，又因为120x x -<，因此()10g x <，综上，存在唯一()012,x x x ∈，使得()0'f x k =成立.【点睛】此题考察利用导数研究函数的单调性和极值，以及利用导数证明能成立问题，还涉及构造新函数和利用导数证明不等式，考察分类讨论思想、转化思想和运算才能．〔二〕选考题：一共10分，请考生从第22、23题中任选一题答题，并需要用2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进展评分；多涂、多答，按所涂的首题进展评分；不涂，按本选考题的首题进展评分[选修4－4：坐标系与参数方程]22.以平面直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为4sin ρθ=，将曲线1C 绕极点逆时针旋转23π后得到曲线2C . 〔Ⅰ〕求曲线2C 的极坐标方程；〔Ⅱ〕假设直线l ：()R θαρ=∈与1C ，2C 分别相交于异于极点的A ，B 两点，求AB 的最大值.【答案】〔Ⅰ〕24sin 3πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；〔Ⅱ〕【解析】【分析】〔Ⅰ〕设2C 上任意一点的极坐标为(),ρθ，结合条件可知2,3πρθ⎛⎫- ⎪⎝⎭在1C 上，再代入1C 的极坐标方程4sin ρθ=，即可得出2C 的极坐标方程；〔Ⅱ〕根据题意，设(),A A ρα，(),B B ρα，利用极径的几何意义得出|A B AB ρρ=-∣，再根据三角函数关系式的恒等变换及正弦型函数的性质，即可求出结果．【详解】解：〔Ⅰ〕设2C 上任意一点的极坐标为(),ρθ，由于曲线1C 绕极点逆时针旋转23π后得到曲线2C ，那么2,3πρθ⎛⎫- ⎪⎝⎭在1C 上，而曲线1C 的极坐标方程为4sin ρθ=，所以24sin 3πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故曲线2C 的极坐标方程为24sin 3πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 〔Ⅱ〕根据题意，可设(),A A ρα，(),B B ρα，6πα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭≤ 当且仅当3πα=时等号成立，故AB 的最大值为【点睛】此题考察曲线的极坐标方程以及极径的应用，还涉及三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用，考察转化思想和运算才能.[选修4－5：不等式选讲]23.函数()122f x x x =++-，()13g x x x m m =-++-.〔Ⅰ〕求函数()f x 的最小值；〔Ⅱ〕对于任意1x R ∈，存在2x R ∈，使得()()12f x g x ≥成立，求m 的取值范围.【答案】〔Ⅰ〕2；〔Ⅱ〕31,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【解析】【分析】〔Ⅰ〕分类讨论去绝对值，得出分段函数()31,13,1131,1x x f x x x x x -+<-⎧⎪=-+-≤≤⎨⎪->⎩，根据一次函数的单调性，得到()f x 的单调性，即可求出()f x 的最小值；〔Ⅱ〕根据绝对值三角不等式的性质得出1(3)m m g x +≥-，由任意1x R ∈，存在2x R ∈，使得12()()f x g x ≥成立，得出()()min min f x g x ≥，即213mm ≥+-，最后利用绝对值不等式的解法，即可求出m 的取值范围．【详解】解：〔Ⅰ〕()31,11223,1131,1x x f x x x x x x x -+<-⎧⎪=++-=-+-≤≤⎨⎪->⎩，(],1∴-∞上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，()()12min f x f ∴==，故当1x =时，()f x 获得最小值2.〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕得()min 2f x =，而()1313g x x x m m x x m m =-++-≥----13m m =+-，当1x =时等号成立，由题意知，对任意1x R ∈，存在2x R ∈使得()()12f x g x ≥成立，那么()()min min f x g x ≥，即213m m ≥+-，所以2220(2)(13)m m m +≥⎧⎨+≥+⎩，解得：3142m -≤≤，即m 的取值范围为31,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【点睛】此题考察根据分类讨论和单调性求函数的最值，绝对值不等式的解法，以及绝对值三角不等式的性质和根据不等式恒成立问题求参数取值范围，考察转化思想和运算才能．。

统考版2022届高考数学一轮复习专练24高考大题专练二三角函数与解三角形的综合运用练习理含解析

专练24 高考大题专练(二) 三角函数与解三角形的综合运用1.已知α，β为锐角，tan α＝43，cos(α＋β)＝－55. (1)求cos2α的值；(2)求tan(α－β)的值．2.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知b ＋c ＝2a,3c sin B ＝4a sin C ．(1)求cos B 的值；(2)求sin ⎝⎛⎭⎫2B ＋π6的值．3.[2020·全国卷Ⅱ]△ABC 中，sin 2A －sin 2B －sin 2C ＝sin B sin C ．(1)求A ；(2)若BC ＝3，求△ABC 周长的最大值．4.设函数f (x )＝sin x ，x ∈R .(1)已知θ∈[0,2π)，函数f (x ＋θ)是偶函数，求θ的值；(2)求函数y ＝⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫x ＋π122＋⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫x ＋π42的值域．5.[2021·某某某某一中高三测试]设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6＋sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π2，其中0<ω<3，已知f ⎝⎛⎭⎫π6＝0.(1)求ω；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在⎣⎡⎦⎤－π4，3π4上的最小值．专练24 高考大题专练(二) 三角函数与解三角形的综合运用1.解析：(1)因为tan α＝43，tan α＝sin αcos α，所以sin α＝43cos α. 因为sin 2α＋cos 2α＝1，所以cos 2α＝925，因此，cos2α＝2cos 2α－1＝－725. (2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)．又因为cos(α＋β)＝－55，所以sin(α＋β)＝1－cos 2(α＋β)＝255，因此tan(α＋β)＝－2. 因为tan α＝43，所以tan2α＝2tan α1－tan 2α＝－247，因此，tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝tan2α－tan (α＋β)1＋tan2αtan (α＋β)＝－211. 2．解析：(1)在△ABC 中，由正弦定理b sin B ＝c sin C，得b sin C ＝c sin B ，又由3c sin B ＝4a sin C ，得3b sin C ＝4a sin C ，即3b ＝4a .又因为b ＋c ＝2a ，得到b ＝43a ，c ＝23a .由余弦定理可得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋49a 2－169a 22·a ·23a ＝－14. (2)由(1)可得sin B ＝1－cos 2B ＝154，从而sin2B ＝2sin B cos B ＝－158， cos2B ＝cos 2B －sin 2B ＝－78，故sin ⎝⎛⎭⎫2B ＋π6＝sin2B cos π6＋cos2B sin π6＝－158×32－78×12＝－35＋716. 3．解析：(1)由正弦定理和已知条件得BC 2－AC 2－AB 2＝AC ·AB .①由余弦定理得BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB cos A ．②由①②得cos A ＝－12.因为0<A <π，所以A ＝2π3. (2)由正弦定理及(1)得AC sin B ＝AB sin C ＝BC sin A＝23，从而AC ＝23sin B ，AB ＝23sin(π－A －B )＝3cos B －3sin B .故BC ＋AC ＋AB ＝3＋3sin B ＋3cos B ＝3＋23sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π3. 又0<B <π3，所以当B ＝π6时，△ABC 周长取得最大值3＋2 3. 4．解析：(1)因为f (x ＋θ)＝sin(x ＋θ)是偶函数，所以，对任意实数x 都有sin(x ＋θ)＝sin(－x ＋θ)，即sin x cos θ＋cos x sin θ＝－sin x cos θ＋cos x sin θ，故2sin x cos θ＝0，所以cos θ＝0.又θ∈[0,2π)，因此θ＝π2或3π2. (2)y ＝⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫x ＋π122＋⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫x ＋π42 ＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π12＋sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4 ＝1－cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π62＋1－cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π22 ＝1－12⎝⎛⎭⎫32cos2x －32sin2x ＝1－32cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 因此，函数的值域是⎣⎡⎦⎤1－32，1＋32. 5．解析：(1)因为f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6＋sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π2，所以f (x )＝32sin ωx －12cos ωx －cos ωx ＝32sin ωx －32cos ωx ＝3⎝⎛⎭⎫12sin ωx －32cos ωx ＝3sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π3. 由题设知f ⎝⎛⎭⎫π6＝0，所以ωπ6－π3＝k π，k ∈Z ，所以ω＝6k ＋2，k ∈Z . 又0<ω<3，所以ω＝2.(2)由(1)得f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，所以g (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4－π3＝3sin ⎝⎛⎭⎫x －π12. 因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，3π4，所以x －π12∈⎣⎡⎦⎤－π3，2π3.当x －π12＝－π3，即x ＝－π4时，g (x )取得最小值－32.。

2019年高考(理科)数学总复习综合试题(二)含答案及解析

绝密 ★ 启用前2019年高考（理科）数学总复习综合试题（二）总分：150分，时间：120分钟注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3、非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分． 1．i 是虚数单位，复数21－i ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则a ＋b ＝( )A ．0B ．2C ．1D ．－22．设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ，y )⎪⎪x 24＋y 216＝1，B ＝{(x ，y )|y ＝3x }，则A ∩B 的子集的个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．13．已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＋sin α＝－435，－π2＜α＜0，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋2π3等于( ) A ．－45B ．－35C ．45D ．354．为防止部分学生考试时用搜题软件作弊，命题组指派5名教师对数学卷的选择题、填空题和解答题这3种题型进行改编，则每种题型至少指派一名教师的不同分派方法种数为( )A ．150B ．180此卷只装订不密封级姓名准考证号考场号座位号C ．200D ．2805．执行如图所示的程序框图，若输出的S 值为－4，则条件框内应填写( )A ．i ＞3?B ．i ＜5?C ．i ＞4?D ．i ＜4?6．直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，底面是正三角形，三棱柱的高为3，若P 是△A 1B 1C 1的中心，且三棱柱的体积为94，则P A 与平面ABC 所成的角大小是( )A ．π6B ．π4C ．π3D ．2π37．函数f (x )＝2sin(πx )－11－x ，x ∈[－2,4]的所有零点之和为( )A ．2B ．4C ．6D ．88．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体最长的棱长为( )A ．4 3B ．4 2C ．6D ．2 59．已知对任意平面向量AB →＝(x ，y )，把AB →绕其起点沿逆时针旋转θ角得到向量AP →＝(x cos θ－y sin θ，x sin θ＋y cos θ)，叫做把点B 绕点A 逆时针方向旋转角θ得到点P ，设平面内曲线C 上的每一点绕原点逆时针方向旋转π4后得到点的轨迹是曲线x 2－y 2＝2，则原来曲线C的方程是( )A ．xy ＝－1B ．xy ＝1C ．y 2－x 2＝2D ．y 2－x 2＝110．已知F 1、F 2分别为双曲线C ：x 24－y 25＝1的左、右焦点，P 为双曲线C 右支上一点，且|PF 1|＝2|PF 2|，则△PF 1F 2外接圆的面积为( )A ．4π15B ．16π15C ．64π15D ．256π1511．如图．在△ABC 中，D 是BC 的中点，E 、F 是AD 上的两个三等分点，BA →·CA →＝4，BF →·CF →＝－1，则BE →·CE →的值是( )A ．4B ．8C ．78D ．3412．《数学统综》有如下记载：“有凹线，取三数，小小大，存三角”．意思是说“在凹(或凸)函数(函数值为正)图象上取三个点，如果在这三点的纵坐标中两个较小数之和大于最大的数，则存在将这三点的纵坐标值作为三边长的三角形”．现已知凹函数f (x )＝x 2－2x ＋2，在⎣⎡⎦⎤13，m 2－m ＋2上任取三个不同的点(a ，f (a ))，(b ，f (b ))，(c ，f (c ))，均存在以f (a )，f (b )，f (c )为三边长的三角形，则实数m 的取值范围为( )A ．[0,1]B ．⎣⎡⎭⎫0，22 C ．⎝⎛⎦⎤0，22 D ．⎣⎡⎦⎤22，2 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．共20分． 13.⎝⎛⎭⎫x －2x 26展开式中第三项为________． 14．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x ，x ＞0－2x －1，x ≤0，D 是由x 轴和曲线y ＝f (x )及该曲线在点(1,0)处的切线所围成的封闭区域，则z ＝x 2＋y 2＋2x ＋2y 在D 上的最小值为________．15．已知a n ＝⎠⎛0n (2x ＋1)d x ，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为S n ，数列{b n }的通项公式为b n ＝n －8，则b n S n 的最小值为________．16．已知函数f (x )＝log 1e ⎝⎛⎭⎫x 2＋1e －⎪⎪⎪⎪x e ，则使得f (x ＋1)＜f (2x －1)成立x 的范围是________．三、解答题：17．(12分)已知向量m ＝(sin x ，－1)，向量n ＝⎝⎛⎭⎫3cos x ，－12，函数f (x )＝(m ＋n )·m ． (1)求f (x )的最小正周期T ；(2)已知a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，A 为锐角，a ＝23，c ＝4，且f (A )恰是f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值，求A 和b ．18．(12分)《最强大脑》是大型科学竞技类真人秀节目，是专注传播脑科学知识和脑力竞技的节目．某机构为了了解大学生喜欢《最强大脑》是否与性别有关，对某校的100名大学生进行了问卷调查，得到如下列联表：已知在这100人中随机抽取1人抽到不喜欢《最强大脑》的大学生的概率为0.4 (1)请将上述列联表补充完整；判断是否有99.9%的把握认为喜欢《最强大脑》与性别有关，并说明理由；(2)已知在被调查的大学生中有5名是大一学生，其中3名喜欢《最强大脑》，现从这5名大一学生中随机抽取2人，抽到喜欢《最强大脑》的人数为X，求X的分布列及数学期望．下面的临界值表仅参考：(参考公式：K2＝n(ad－bc)(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d)19．(12分)如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD为正方形，平面AED⊥平面ABCD，AB＝2EA＝2ED，EF∥BD．(1)证明：AE⊥CD；(2)在棱ED上是否存在点M，使得直线AM与平面EFBD所成角的正弦值为63？若存在，确定点M的位置；若不存在，请说明理由．20．(12分)如图，已知椭圆C1的中心在原点O，长轴左、右端点M、N在x轴上，椭圆C2的短轴为MN，且C1、C2的离心率都为e，直线l⊥MN，l与C1交于两点，与C2交于两点，这四点纵坐标从大到小依次为A、B、C、D．(1)设e ＝12，求|BC |与|AD |的比值；(2)若存在直线l ，使得BO ∥AN ，求椭圆离心率e 的取值范围．21．(12分)已知函数f (x )＝(ax ＋2)ln x －(x 2＋ax －a －1)(a ∈R )． (1)若函数f (x )的图象在x ＝e 处的切线的斜率为2e －2e ，求f (x )的极值；(2)当x ＞1时，f (x )的图象恒在x 轴下方，求实数a 的取值范围．以下两题请任选一题：选修4－4：坐标系与参数方程选讲22．(10分)在极坐标中，已知圆C 经过点P ⎝⎛⎭⎫2，π4，圆心为直线ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝－32与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．选修4－5：不等式选讲23．(10分)(1)如果关于x的不等式|x＋3|＋|x－2|＜a的解集不是空集，求参数a的取值范围；(2)已知正实数a，b，且h＝min{a，ba2＋b2}，求证：0＜h≤22．2019年高考（理科）数学总复习综合试题（二）答案及解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分． 1．i 是虚数单位，复数21－i ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则a ＋b ＝( )A ．0B ．2C ．1D ．－2解析：21－i ＝2(1＋i )(1－i )(1＋i )＝2(1＋i )2＝1＋i ，∵21－i＝a ＋b i(a ，b ∈R )，∴a ＝b ＝1，∴a ＋b ＝2.故选B ．答案：B2．设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ，y )⎪⎪x 24＋y 216＝1，B ＝{(x ，y )|y ＝3x }，则A ∩B 的子集的个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：∵集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ，y )|x 24＋y 216＝1，B ＝{(x ，y )|y ＝3x }，∴A ∩B 为椭圆：x 24＋y216＝1和指数函数y ＝3x 图象的交点构成的集合，如图可知其有两个不同交点，记为A 1、A 2，则A ∩B 的子集应为∅，{A 1}，{A 2}，{A 1，A 2}共四种，故选A ．答案：A3．已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＋sin α＝－435，－π2＜α＜0，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋2π3等于( ) A ．－45B ．－35C ．45D ．35解析：∵sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＋sin α＝－435， ∴32sin α＋32cos α＝－435，∴32sin α＋12cos α＝－45， ∴cos ⎝⎛⎭⎫α－π3＝－45，∴cos ⎝⎛⎭⎫α＋2π3＝cos ⎣⎡⎦⎤π＋⎝⎛⎭⎫α－π3＝－cos ⎝⎛⎭⎫α－π3＝45.故选C ．答案：C4．为防止部分学生考试时用搜题软件作弊，命题组指派5名教师对数学卷的选择题、填空题和解答题这3种题型进行改编，则每种题型至少指派一名教师的不同分派方法种数为( )A ．150B ．180C ．200D ．280解析：人数分配上有两种方式即1,2,2与1,1,3．若是1,1,3，则有C 35×A 33＝60种；若是1,2,2，则有C 25C 23A 22×A 33＝90种，所以共有150种不同的方法．故选A ．答案：A5．执行如图所示的程序框图，若输出的S 值为－4，则条件框内应填写( )A ．i ＞3?B ．i ＜5?C ．i ＞4?D ．i ＜4?解析：模拟执行程序，可得i ＝1，S ＝10，满足判断框内的条件，第1次执行循环体，S ＝10－21＝8，i ＝2，满足判断框内的条件，第2次执行循环体，S ＝8－22＝4，i ＝3，满足判断框内的条件，第3次执行循环体，S ＝4－23＝－4，i ＝4，此时，应该不满足判断框内的条件，退出循环，输出的S 值为－4，则条件框内应填写：i ＜4？，故选D ．答案：D6．直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，底面是正三角形，三棱柱的高为3，若P 是△A 1B 1C 1的中心，且三棱柱的体积为94，则P A 与平面ABC 所成的角大小是( )A ．π6B ．π4C ．π3D ．2π3解析：由题意设底面正△ABC 的边长为a ，过P 作PO ⊥平面ABC ，垂足为O ，则点O 为底面△ABC 的中心，故∠P AO 即为P A 与平面ABC 所成角，∵|OA |＝23×32a ＝33a ，|OP |＝3，又∵直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中体积为94，∴由直棱柱体积公式得V ＝34×a 2×3＝94，解得a ＝3，∴tan ∠P AO ＝333a ＝3，∴∠P AO ＝π3，∴P A 与平面ABC 所成的角为π3.故选C ．答案：C7．函数f (x )＝2sin(πx )－11－x ，x ∈[－2,4]的所有零点之和为( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：令f (x )＝0得2sin(πx )＝11－x，作出y ＝2sin πx 与y ＝11－x的函数图象，如图所示：由图象可知两图象在[－2,4]上共有8个交点，∴f (x )共有8个零点，又两图象都关于点(1,0)对称，∴8个交点两两关于点(1,0)对称，∴8个零点之和为4×2＝8.故选D ．答案：D8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体最长的棱长为( )A ．4 3B ．4 2C ．6D ．2 5解析：利用“三线交汇得顶点”的方法，该几何体为三棱锥P -ABC ，如图所示，其中，正方体棱长为4，点P 是正方体其中一条棱的中点，则：AB ＝AC ＝4，PC ＝42＋22＝25，BC ＝42，AP ＝BP ＝42＋42＋22＝6，所以最长棱为6.故选C ．答案：C9．已知对任意平面向量AB →＝(x ，y )，把AB →绕其起点沿逆时针旋转θ角得到向量AP →＝(x cos θ－y sin θ，x sin θ＋y cos θ)，叫做把点B 绕点A 逆时针方向旋转角θ得到点P ，设平面内曲线C 上的每一点绕原点逆时针方向旋转π4后得到点的轨迹是曲线x 2－y 2＝2，则原来曲线C的方程是( )A ．xy ＝－1B ．xy ＝1C ．y 2－x 2＝2D ．y 2－x 2＝1解析：设平面内曲线C 上的点P (x ，y )，则其绕原点沿逆时针方向旋转π4后得到点P ′⎝⎛⎭⎫22(x －y )，22(x ＋y )，∵点P ′在曲线x 2－y 2＝2上，∴⎣⎡⎦⎤22(x －y )2－⎣⎡⎦⎤22(x ＋y )2＝2，整理得xy ＝－1.故选A ．答案：A10．已知F 1、F 2分别为双曲线C ：x 24－y 25＝1的左、右焦点，P 为双曲线C 右支上一点，且|PF 1|＝2|PF 2|，则△PF 1F 2外接圆的面积为( )A ．4π15B ．16π15C ．64π15D ．256π15解析：双曲线C ：x 24－y 25＝1的两个焦点F 1(－3,0)，F 2(3,0)，|F 1F 2|＝6，a ＝2，由|PF 1|＝2|PF 2|，设|PF 2|＝x ，则|PF 1|＝2x ，由双曲线的性质知，2x －x ＝4，解得x ＝4．∴|PF 1|＝8，|PF 2|＝4，∵|F 1F 2|＝6，∴p ＝4＋6＋82＝9，∴△PF 1F 2的面积S ＝9(9－4)(9－6)(9－8)＝315.在△PF 1F 2中，由余弦定理可知：cos ∠PF 1F 2＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2－|PF 2|22|PF 1||F 1F 2|＝78，由0＜∠PF 1F 2＜π，则sin ∠PF 1F 2＝158，|PF 2|sin ∠PF 1F 2＝2R ，R 为△PF 1F 2外接圆的半径，则R ＝1615，∴△PF 1F 2外接圆的面积S ＝πR 2＝256π15，故选D ．答案：D11．如图．在△ABC 中，D 是BC 的中点，E 、F 是AD 上的两个三等分点，BA →·CA →＝4，BF →·CF →＝－1，则BE →·CE →的值是( )A ．4B ．8C ．78D ．34解析：∵D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，∴BF →＝BD →＋DF →，CF →＝－BD →＋DF →，BA →＝BD →＋3DF →，CA →＝－BD →＋3DF →，∴BF →·CF →＝DF →2－BD →2＝－1，BA →·CA →＝9DF →2－BD→2＝4，∴DF →2＝58，BD →2＝138，又∵BE →＝BD →＋2DF →，CE →＝－BD →＋2DF →，∴BE →·CE →＝4DF →2－BD →2＝78，故选C ．答案：C12．《数学统综》有如下记载：“有凹线，取三数，小小大，存三角”．意思是说“在凹(或凸)函数(函数值为正)图象上取三个点，如果在这三点的纵坐标中两个较小数之和大于最大的数，则存在将这三点的纵坐标值作为三边长的三角形”．现已知凹函数f (x )＝x 2－2x ＋2，在⎣⎡⎦⎤13，m 2－m ＋2上任取三个不同的点(a ，f (a ))，(b ，f (b ))，(c ，f (c ))，均存在以f (a )，f (b )，f (c )为三边长的三角形，则实数m 的取值范围为( )A ．[0,1]B ．⎣⎡⎭⎫0，22 C ．⎝⎛⎦⎤0，22 D ．⎣⎡⎦⎤22，2 解析：由题意，三点的纵坐标中两个较小数之和小于等于2，∵f (x )＝x 2－2x ＋2＝2，∴x ＝0或2，∴m 2－m ＋2≤2，∴0≤m ≤1，故选A ．答案：A二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．共20分． 13.⎝⎛⎭⎫x －2x 26展开式中第三项为________．解析：展开式的通项公式为： T r ＋1＝C r 6×x 6－r×⎝⎛⎭⎫－2x 2r ，令r ＝2，可得T 2＋1＝C 26×x 4×⎝⎛⎭⎫－2x 22＝15×4＝60．答案：6014．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x ，x ＞0－2x －1，x ≤0，D 是由x 轴和曲线y ＝f (x )及该曲线在点(1,0)处的切线所围成的封闭区域，则z ＝x 2＋y 2＋2x ＋2y 在D 上的最小值为________．解析：当x ＞0时，f ′(x )＝1x ，则f ′(1)＝1，所以曲线y ＝f (x )及该曲线在点(1,0)处的切线为y ＝x －1，D 是由x 轴和曲线y ＝f (x )及该曲线在点(1,0)处的切线所围成的封闭区域如下图阴影部分．而z ＝x 2＋y 2＋2x ＋2y ＝(x ＋1)2＋(y ＋1)2－2，表示以(－1，－1)为圆心，以(－1，－1)与阴影部分内的点为半径的平方再减2，显然(－1，－1)到直线AC 的距离最小，由C ⎝⎛⎭⎫－12，0，A (0，－1)得AC 的方程是：2x ＋y ＋1＝0，此时，r ＝d ＝|－2－1＋1|5＝255，r 2＝45，故z 的最小值是45－2＝－65．答案：－6515．已知a n ＝⎠⎛0n (2x ＋1)d x ，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为S n ，数列{b n }的通项公式为b n ＝n －8，则b n S n 的最小值为________．解析：a n ＝⎠⎛0n (2x ＋1)d x ＝(x 2＋x )|n 0＝n 2＋n ，∴1a n ＝1n 2＋n ＝1n －1n ＋1，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为S n ＝1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1，又b n ＝n －8，n∈N *，则b n S n ＝n n ＋1×(n －8)＝n ＋1＋9n ＋1－10≥29－10＝－4，等号当且仅当n ＋1＝9n ＋1，即n ＝2时成立，故b n S n 的最小值为－4．答案：－416．已知函数f (x )＝log 1e ⎝⎛⎭⎫x 2＋1e －⎪⎪⎪⎪x e ，则使得f (x ＋1)＜f (2x －1)成立x 的范围是________．解析：∵f (x )＝log 1e ⎝⎛⎭⎫x 2＋1e －⎪⎪⎪⎪x e ，∴f (－x )＝f (x )，∴f (x )是偶函数，x ＞0时，f (x )＝log 1e⎝⎛⎭⎫x 2＋1e －x e ，∴f (x )为减函数，∴当x ＜0时，f (x )为增函数若f (x ＋1)＜f (2x －1)，则|x ＋1|＞|2x －1|，解得：0＜x ＜2．答案：(0,2) 三、解答题：17．(12分)已知向量m ＝(sin x ，－1)，向量n ＝⎝⎛⎭⎫3cos x ，－12，函数f (x )＝(m ＋n )·m ． (1)求f (x )的最小正周期T ；(2)已知a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，A 为锐角，a ＝23，c ＝4，且f (A )恰是f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值，求A 和b ．解：(1)∵向量m ＝(sin x ，－1)，向量n ＝⎝⎛⎭⎫3cos x ，－12， ∴f (x )＝(m ＋n )·m ＝sin 2x ＋1＋3sin x cos x ＋12＝1－cos 2x 2＋1＋32sin 2x ＋12＝32sin 2x －12cos 2x ＋2＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋2， ∵ω＝2，∴函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π； (2)由(1)知：f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋2， ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴－π6≤2x －π6≤5π6， ∴当2x －π6＝π2时，f (x )取得最大值3，此时x ＝π3，∴由f (A )＝3得：A ＝π3，由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， ∴12＝b 2＋1 6－4b ，即(b －2)2＝0， ∴b ＝2．18．(12分)《最强大脑》是大型科学竞技类真人秀节目，是专注传播脑科学知识和脑力竞技的节目．某机构为了了解大学生喜欢《最强大脑》是否与性别有关，对某校的100名大学生进行了问卷调查，得到如下列联表：已知在这100人中随机抽取1人抽到不喜欢《最强大脑》的大学生的概率为0.4 (1)请将上述列联表补充完整；判断是否有99.9%的把握认为喜欢《最强大脑》与性别有关，并说明理由；(2)已知在被调查的大学生中有5名是大一学生，其中3名喜欢《最强大脑》，现从这5名大一学生中随机抽取2人，抽到喜欢《最强大脑》的人数为X ，求X 的分布列及数学期望．下面的临界值表仅参考：(参考公式：K 2＝n (ad －bc )(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d )解：(1)由题意知列联表为：K 2＝100(45×25－15×15)260×40×60×40≈14.063＞10.828，∴有99.9%的把握认为喜欢《最强大脑》与性别有关． (2)X 的可能取值为0,1,2，P (X ＝0)＝C 22C 25＝110，P (X ＝1)＝C 12C 13C 25＝35，P (X ＝2)＝C 23C 25＝310，∴X 的分布列为：E (X )＝0×110＋1×35＋2×310＝65．19．(12分)如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 为正方形，平面AED ⊥平面ABCD ，AB ＝2EA ＝2ED ，EF ∥BD ．(1)证明：AE ⊥CD ；(2)在棱ED 上是否存在点M ，使得直线AM 与平面EFBD 所成角的正弦值为63？若存在，确定点M 的位置；若不存在，请说明理由．(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴CD ⊥AD ，又平面AED ⊥平面ABCD ，平面AED ∩平面ABCD ＝AD ，CD ⊂平面ABCD ， ∴CD ⊥平面AED ，∵AE ⊂平面AED ， ∴AE ⊥CD ．(2)解：取AD 的中点O ，过O 作ON ∥AB 交BC 于N ，连接EO ，∵EA ＝ED ，∴OE ⊥AD ，又平面AED ⊥平面ABCD ，平面AED ∩平面ABCD ＝AD ，OE ⊂平面AED ，∴OE ⊥平面ABCD ，以O 为原点建立空间直角坐标系O -xyz ，如图所示：设正方形ABCD 的边长为2，EMED＝λ，则A (1,0,0)，B (1,2,0)，D (－1,0,0)，E (0,0,1)，M (－λ，0，λ) ∴AM →＝(－λ－1,0，λ)，DE →＝(1,0,1)，DB →＝(2,2,0)，设平面BDEF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·DB →＝0n ·DE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2y ＝0x ＋z ＝0，令x ＝1得n ＝(1，－1，－1)，∴cos 〈AM →，n 〉＝AM →·n |AM →||n |＝－2λ－13×2λ2＋2λ＋1，令⎪⎪⎪⎪⎪⎪－2λ－13×2λ2＋2λ＋1＝63，方程无解， ∴棱ED 上不存在点M ，使得直线AM 与平面EFBD 所成角的正弦值为63． 20．(12分)如图，已知椭圆C 1的中心在原点O ，长轴左、右端点M 、N 在x 轴上，椭圆C 2的短轴为MN ，且C 1、C 2的离心率都为e ，直线l ⊥MN ，l 与C 1交于两点，与C 2交于两点，这四点纵坐标从大到小依次为A 、B 、C 、D ．(1)设e ＝12，求|BC |与|AD |的比值；(2)若存在直线l ，使得BO ∥AN ，求椭圆离心率e 的取值范围．解：(1)因为C 1、C 2的离心率相同，故依题意可设C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1，C 2：b 2y 2a 4＋x 2a 2＝1，(a ＞b ＞0)．设直线l ：x ＝t (|t |＜a )分别和C 1、C 2的方程联立，求得A (t ，aba 2－t 2)，B (t ，baa 2－t 2)．当e ＝12时，b ＝32a ，分别用y A 、y B 表示A 、B 的纵坐标，∴|BC ||AD |＝2|y B |2|y A |＝b 2a 2＝34． |BC |与|AD |的比值34；(2)t ＝0时的l 不符合题意，t ≠0时，BO ∥AN ，当且仅当BO 的斜率k BO 与AN 的斜率k AN 相等，即b aa 2－t 2t ＝ab a 2－t 2t －a ，解得t ＝－ab 2a 2－b2＝－1－e 2e 2·a ．因为|t |＜a ，又0＜e ＜1，所以1－e 2e 2＜1，解得22＜e ＜1．∴当22＜e ＜1时，存在直线l ，使得BO ∥AN ，即离心率e 的取值范围是⎝⎛⎭⎫22，1， ∴椭圆离心率e 的取值范围⎝⎛⎭⎫22，1．21．(12分)已知函数f (x )＝(ax ＋2)ln x －(x 2＋ax －a －1)(a ∈R )． (1)若函数f (x )的图象在x ＝e 处的切线的斜率为2e －2e ，求f (x )的极值；(2)当x ＞1时，f (x )的图象恒在x 轴下方，求实数a 的取值范围．解：(1)∵f ′(x )＝ax ＋2x ＋a ln x －(2x ＋a )＝a ln x －2x ＋2x ，x ＞0，∴f ′(e)＝a －2e ＋2e ＝2e －2e ，∴a ＝0，∴f (x )＝2ln x －x 2＋1，∴f ′(x )＝2x －2x ＝2－2x 2x ＝－2(x ＋1)(x －1)x ，令f ′(x )＞0，解得0＜x ＜1，函数f (x )递增，令f ′(x )＜0，解得x ＞1，函数f (x )递减， ∴f (x )极大值＝f (1)＝0，无极小值，(2)由(1)可知f ′(x )＝a ln x －2x ＋2x，x ＞0，令g (x )＝a ln x －2x ＋2x，∴g ′(x )＝a x －2－2x 2＝1x ⎝⎛⎭⎫a －2x －2x ，当x ＞1时，x ＋1x ＞2，有a －2x －2x＜a －4，①若a －4≤0，即a ≤4时，g ′(x )＜0，故g (x )在区间(1，＋∞)上单调递减，则当x ＞1时，g (x )＜g (1)＝0，即f ′(x )＜0，故f (x )在区间(1，＋∞)上单调递减，故当x ＞1时，f (x )＜f (1)＝0，故当a ≤4，x ＞1时，f (x )的图象恒在x 轴的下方，②若a －4＞0，即a ＞4时，令g ′(x )＞0，可得1＜x ＜a ＋a 2－164，故g (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a ＋ a 2－164上单调递减，故当1＜x ＜a ＋a 2－164时，g (x )＞g (1)＝0，故f (x )在区间⎝ ⎛⎪⎫1，a ＋a 2－164上单调递增，故当1＜x ＜a ＋a 2－164时，f (x )＞f (1)＝0，故当a ＞4，x ＞1时，函数f (x )的图象不可恒在x 轴下方，综上可知，a 的取值范围是(－∞，4]．以下两题请任选一题：选修4－4：坐标系与参数方程选讲22．(10分)在极坐标中，已知圆C 经过点P ⎝⎛⎭⎫2，π4，圆心为直线ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝－32与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．解：∵点P ⎝⎛⎭⎫2，π4， ∴x ＝2cos π4＝1，y ＝2sin π4＝1，∴点P (1,1)．∵直线ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝－32，展开为 12ρsin θ－32ρcos θ＝－32， ∴y －3x ＝－3，令y ＝0，则x ＝1，∴直线与x 轴的交点为C (1,0)．∴圆C 的半径r ＝|PC |＝(1－1)2＋(1－0)2＝1．∴圆C 的方程为：(x －1)2＋y 2＝1，展开为：x 2－2x ＋1＋y 2＝1，化为极坐标方程：ρ2－2ρcos θ＝0，即ρ＝2cos θ．∴圆C 的极坐标方程为：ρ＝2cos θ．选修4－5：不等式选讲23．(10分)(1)如果关于x 的不等式|x ＋3|＋|x －2|＜a 的解集不是空集，求参数a 的取值范围；(2)已知正实数a ，b ，且h ＝min{a ，b a 2＋b 2}，求证：0＜h ≤22．(1)解：∵|x ＋3|＋|x －2|≥|(x ＋3)－(x －2)|＝5，当且仅当－3≤x ≤2时，等号成立，故|x ＋3|＋|x －2|的最小值为5，如果关于x 的不等式|x ＋3|＋|x －2|＜a 的解集不是空集，则a ＞5． (2)证明：∵已知正实数a ，b ，且h ＝min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a 2＋b 2，∴0＜h ≤a,0＜h ≤ba 2＋b2，∴0＜h 2≤ab a 2＋b 2≤ab 2ab ＝12，∴0＜h ≤22．。

2020届高考大二轮专题复习冲刺物理(创新版)文档：计算题专练(二)版含解析

计算题专练(二)共2小题，共32分。

要求写出必要的文字说明和方程式，只写最后结果不给分。

1.(2019·昆明市模拟)(12分)2018年10月23日，港珠澳大桥开通，这是建筑史上里程最长、投资最多、施工难度最大的跨海大桥。

如图所示的水平路段由一段半径为48 m 的圆弧形弯道和直道组成。

现有一总质量为2.0×103 kg 、额定功率为90 kW 的测试汽车通过该路段，汽车可视为质点，取重力加速度g ＝10 m/s 2。

(1)若汽车通过弯道时做匀速圆周运动，路面对轮胎的径向最大静摩擦力是车重的1.2倍，求该汽车安全通过此弯道的最大速度；(2)若汽车由静止开始沿直道做加速度大小为 3 m/s 2的匀加速运动，在该路段行驶时受到的阻力为车重的0.15倍，求该汽车匀加速运动的时间及 3 s 末的瞬时功率。

答案(1)24 m/s (2)3.3 s 81 kW解析(1)径向最大静摩擦力提供向心力时，汽车通过此弯道的速度最大，设最大速度为v m ，则有：f 径向＝m v 2mr根据题意f 径向＝1.2mg代入数据解得：v m ＝24 m/s 。

(2)汽车在匀加速过程中：F －f ＝ma当功率达到额定功率时，P 0＝Fv 1v 1＝at 1代入数据解得：t 1＝3.3 st ＝3 s<t 1＝3.3 s则汽车在该过程中始终做匀加速运动，有：v ＝atP ＝Fv则3 s末发动机功率为：P＝81 kW。

2．(2019·成都市三诊)(20分)如图，竖直面内固定的绝缘轨道abc，由半径R ＝3 m的光滑圆弧段bc与长L＝1.5 m的粗糙水平段ab在b点相切而构成，O点是圆弧段的圆心，Oc与Ob的夹角θ＝37°；过c点的竖直虚线左侧有方向竖直向上、场强大小E＝10 N/C的匀强电场，Ocb的外侧有一长度足够长、宽度d＝1.6 m 的矩形区域efgh，ef与Oc交于c点，ecf与水平向右的方向所成的夹角为β(53°≤β≤147°)，矩形区域内有方向垂直纸面向里的匀强磁场。

2023届高考数学---指数与指数函数综合练习题(含答案解析)

2023届高考数学---指数与指数函数综合练习题（含答案解析）1、已知a ，b ∈(0，1)∪(1，＋∞)，当x ＞0时，1＜b x ＜a x ，则( ) A ．0＜b ＜a ＜1 B ．0＜a ＜b ＜1 C ．1＜b ＜aD ．1＜a ＜bC [∵当x ＞0时，1＜b x ，∴b ＞1.∵当x ＞0时，b x ＜a x ，∴当x ＞0时，(ab )x ＞1. ∴ab ＞1，∴a ＞b .∴1＜b ＜a ，故选C.]2、设f (x )＝e x ，0＜a ＜b ，若p ＝f (ab )，q ＝f (a ＋b2)，r ＝f （a ）f （b ），则下列关系式中正确的是( )A ．q ＝r ＜pB ．p ＝r ＜qC ．q ＝r ＞pD ．p ＝r ＞qC [∵0＜a ＜b ，∴a ＋b 2＞ab ，又f (x )＝e x 在(0，＋∞)上为增函数，∴f (a ＋b2)＞f (ab )，即q ＞p .又r ＝f （a ）f （b ）＝e a e b ＝e a ＋b2＝q ，故q ＝r ＞p .故选C.]3、已知函数f (x )＝a x (a ＞0，a ≠1)在[1，2]上的最大值比最小值大a2，则a 的值为________．12或32 [当0＜a ＜1时，a －a 2＝a 2， ∴a ＝12或a ＝0(舍去)．当a ＞1时，a 2－a ＝a2， ∴a ＝32或a ＝0(舍去)．综上所述，a ＝12或32.]4、已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b2x ＋1＋a是奇函数．(1)求a ，b 的值；(2)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )＜0恒成立，求k 的取值范围． [解] (1)因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0，即－1＋b2＋a＝0，解得b ＝1，所以f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋a.又由f (1)＝－f (－1)知－2＋14＋a ＝－－12＋11＋a，解得a ＝2.(2)由(1)知f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋2＝－12＋12x ＋1，由上式易知f (x )在R 上为减函数，又因为f (x )是奇函数，从而不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )＜0等价于f (t 2－2t )＜－f (2t 2－k )＝f (－2t 2＋k )．因为f (x )是R 上的减函数，由上式推得t 2－2t ＞－2t 2＋k . 即对一切t ∈R 有3t 2－2t －k ＞0，从而Δ＝4＋12k ＜0，解得k ＜－13. 故k 的取值范围为(－∞，－13)．5、设y ＝f (x )在(－∞，1]上有定义，对于给定的实数K ，定义f K (x )＝⎩⎨⎧f （x ），f （x ）≤K ，K ，f （x ）＞K .给出函数f (x )＝2x ＋1－4x ，若对于任意x ∈(－∞，1]，恒有f K (x )＝f (x )，则( )A ．K 的最大值为0B ．K 的最小值为0C ．K 的最大值为1D ．K 的最小值为1D [根据题意可知，对于任意x ∈(－∞，1]，若恒有f K (x )＝f (x )，则f (x )≤K 在x ≤1上恒成立，即f (x )的最大值小于或等于K 即可．令2x ＝t ，则t ∈(0，2]，f (t )＝－t 2＋2t ＝－(t －1)2＋1，可得f (t )的最大值为1，所以K ≥1，故选D.]6、已知函数f (x )＝14x －λ2x －1＋3(－1≤x ≤2)．(1)若λ＝32，求函数f (x )的值域；(2)若函数f (x )的最小值是1，求实数λ的值． [解] (1)f (x )＝14x －λ2x －1＋3＝(12)2x －2λ·(12)x ＋3(－1≤x ≤2)．设t ＝(12)x ，得g (t )＝t 2－2λt ＋3(14≤t ≤2)．当λ＝32时，g (t )＝t 2－3t ＋3 ＝(t －32)2＋34(14≤t ≤2)．所以g (t )max ＝g (14)＝3716，g (t )min ＝g (32)＝34. 所以f (x )max ＝3716，f (x )min ＝34，故函数f (x )的值域为[34，3716]． (2)由(1)得g (t )＝t 2－2λt ＋3 ＝(t －λ)2＋3－λ2(14≤t ≤2)，①当λ≤14时，g (t )min ＝g (14)＝－λ2＋4916，令－λ2＋4916＝1，得λ＝338＞14，不符合，舍去； ②当14＜λ≤2时，g (t )min ＝g (λ)＝－λ2＋3，令－λ2＋3＝1，得λ＝2(λ＝－2＜14，不符合，舍去)；③当λ＞2时，g(t)min＝g(2)＝－4λ＋7，令－4λ＋7＝1，得λ＝32＜2，不符合，舍去．综上所述，实数λ的值为 2.一、选择题1．设a＞0，将a2a·3a2表示成分数指数幂的形式，其结果是()A．a 12B．a 5 6C．a 76D．a32C[a2a·3a2＝a2a·a23＝a2a53＝a2a56＝a2－56＝a76.故选C.]2．已知函数f(x)＝4＋2a x－1的图像恒过定点P，则点P的坐标是()A．(1，6) B．(1，5)C．(0，5) D．(5，0)A[由于函数y＝a x的图像过定点(0，1)，当x＝1时，f(x)＝4＋2＝6，故函数f(x)＝4＋2a x－1的图像恒过定点P(1，6)．]3．设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是()A．a＜b＜c B．a＜c＜bC．b＜a＜c D．b＜c＜aC[y＝0.6x在R上是减函数，又0.6＜1.5，∴0.60.6＞0.61.5.又y＝x0.6为R上的增函数，∴1.50.6＞0.60.6，∴1.50.6＞0.60.6＞0.61.5，即c＞a＞b.]4．函数y ＝xa x|x |(0＜a ＜1)的图像的大致形状是( )A BC DD [函数的定义域为{x |x ≠0}，所以y ＝xa x |x |＝⎩⎨⎧a x，x ＞0，－a x ，x ＜0，当x ＞0时，函数是指数函数y ＝a x ，其底数0＜a ＜1，所以函数递减；当x ＜0时，函数y ＝－a x 的图像与指数函数y ＝a x (0＜a ＜1)的图像关于x 轴对称，所以函数递增，所以应选D.]5．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧1－2－x ，x ≥0，2x －1，x ＜0，则函数f (x )是( )A ．偶函数，在[0，＋∞)上单调递增B ．偶函数，在[0，＋∞)上单调递减C ．奇函数，且单调递增D ．奇函数，且单调递减C [易知f (0)＝0，当x ＞0时，f (x )＝1－2－x ，－f (x )＝2－x －1，此时－x ＜0，则f (－x )＝2－x －1＝－f (x )；当x ＜0时，f (x )＝2x －1，－f (x )＝1－2x ，此时，－x ＞0，则f (－x )＝1－2－(－x )＝1－2x ＝－f (x )．即函数f (x )是奇函数，且单调递增，故选C.]二、填空题1、若函数f (x )＝a |2x －4|(a ＞0，a ≠1)满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是________．[2，＋∞) [由f (1)＝19得a 2＝19，所以a ＝13或a ＝－13(舍去)，即f (x )＝(13)|2x －4|.由于y ＝|2x －4|在(－∞，2]上单调递减，在[2，＋∞)上单调递增，所以f (x )在(－∞，2]上单调递增，在[2，＋∞)上单调递减．] 2、不等式2－x 2＋2x＞(12)x ＋4的解集为________．(－1，4) [原不等式等价为2－x 2＋2x＞2－x －4，又函数y ＝2x 为增函数，∴－x 2＋2x ＞－x －4，即x 2－3x －4＜0，∴－1＜x ＜4.]3、若直线y 1＝2a 与函数y 2＝|a x －1|(a ＞0且a ≠1)的图像有两个公共点，则a 的取值范围是________．(0，12) [(数形结合法)当0＜a ＜1时，作出函数y 2＝|a x －1|的图像，由图像可知0＜2a ＜1， ∴0＜a ＜12；同理，当a ＞1时，解得0＜a ＜12，与a ＞1矛盾．综上，a 的取值范围是(0，12)．] 三、解答题4、已知函数f (x )＝(13)ax 2－4x ＋3.(1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )有最大值3，求a 的值； (3)若f (x )的值域是(0，＋∞)，求a 的值． [解] (1)当a ＝－1时，f (x )＝(13)－x 2－4x ＋3，令u ＝－x 2－4x ＋3＝－(x ＋2)2＋7.则u 在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y ＝(13)u 在R 上单调递减，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f (x )的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)．(2)令h (x )＝ax 2－4x ＋3，则f (x )＝(13)h (x )，由于f (x )有最大值3，所以h (x )应有最小值－1.因此必有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，12a －164a ＝－1，解得a ＝1，即当f (x )有最大值3时，a 的值为1.(3)由f (x )的值域是(0，＋∞)知，函数y ＝ax 2－4x ＋3的值域为R ，则必有a ＝0. 5、已知函数f (x )＝b ·a x (其中a ，b 为常量，且a ＞0，a ≠1)的图像经过点A (1，6)，B (3，24)．(1)求f (x )的表达式；(2)若不等式(1a )x ＋(1b )x －m ≥0在(－∞，1]上恒成立，求实数m 的取值范围． [解] (1)因为f (x )的图像过A (1，6)，B (3，24)，所以⎩⎨⎧b ·a ＝6，b ·a 3＝24. 所以a 2＝4，又a ＞0，所以a ＝2，b ＝3. 所以f (x )＝3·2x .(2)由(1)知a ＝2，b ＝3，则x ∈(－∞，1]时，(12)x ＋(13)x －m ≥0恒成立，即m ≤(12)x ＋(13)x 在(－∞，1]上恒成立．又因为y ＝(12)x 与y ＝(13)x 均为减函数，所以y ＝(12)x ＋(13)x也是减函数，所以当x＝1时，y＝(12)x＋(13)x有最小值56.所以m≤56.即m的取值范围是(－∞，56]．本课结束。

2020高考数学理二轮课标通用题型练：大题综合练(二)含解析

(3)求证: … (n≥2,n∈N*).
答案：(1)解当a=-1时,f'(x)= (x>0),由f'(x)>0,得x∈(1,+∞);
由f'(x)<0,得x∈(0,1),
∴函数f(x)的单调递增区间为(1,+∞);单调递减区间为(0,1).
(2)解∵f'(x)= (x>0),∴f'(2)=- =1.
∴a=-2,f(x)=-2lnx+2x-3,g(x)=x3+ x2-2x.∴g'(x)=3x2+(m+4)x-2.
∴0< , … … (n≥2,n∈N*).
… (n≥2,n∈N*).
>0,∴a1b2+a2b3+…+anbn+1<3.
2.(20xx全国Ⅱ,理17)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,点E在棱AA1上,BE⊥EC1.
(1)证明:BE⊥平面EB1C1;
(2)若AE=A1E,求二面角B-EC-C1的正弦值.
答案：(1)证明由已知得,B1C1⊥平面ABB1A1,BE⊂平面ABB1A1,故B1C1⊥BE.又BE⊥EC1,所以BE⊥平面EB1C1.
测试指标
[80,84)
[84,88)
[88,92)
[92,96)
[96,100]
产品A
6
14
42
31
7
产品B
8
17
40
30
5
(1)试分别估计产品A,B为合格品的概率;
(2)生产1件产品A,若是合格品则盈利45元,若是次品则亏损10元;生产1件产品B,若是合格品则盈利60元,若是次品则亏损15元.在(1)的前提下,①X为生产1件产品A和1件产品B所得的总利润,求随机变量X的分布列和数学期望;②求生产5件产品B所得利润不少于150元的概率.

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高考综合计算题练习二
1.（牛顿第二定律结合图像）如图（a ）所示，“
”型木块放在光滑水平地面上，木块水平
表面AB 粗糙，光滑表面BC 且与水平面夹角为θ=37°．木块右侧与竖直墙壁之间连接着一个力传感器，当力传感器受压时，其示数为正值；当力传感器被拉时，其示数为负
值．一个可视为质点的滑块从C 时间的关系如图（b ）所示．已知sin37°=，cos37°=，g 取10m/s 2
(1) 斜面BC 的长度；
(2) 滑块的质量；
(3)
2.端与车C 的上表面平滑相接，在圆弧面上有一滑块A ，其质量m A =2kg ，在距车的水平面高
h =1.25m 处由静止下滑，车C 的质量为m C =6kg 。

在车C 的左端有一质量m B =2kg 的滑块B ，滑
块B 与A 均可视作质点，滑块A 与B 碰撞后立即粘合在一起共同运动，最终没有从车C 上滑落。

已知滑块A 、B 与车C 的动摩擦因数均为μ=，车C 与水平面间的摩擦忽略不计，取g =10m/s 2。

求：
（1）滑块A 滑到圆弧面底端时的速度大小；
图（b ）
图（a ）
（2）滑块A 与B 碰撞后瞬间的共同速度大小；（3）车C 的最短长度。

3.（带电粒子在电场磁场中的运动综合）如下图所示，带电平行金属板PQ 和MN 之间的距离为d ；两金属板之间有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B 。

建立如图所示的坐标系，x 轴平行于金属板，且与金属板中心线重合，y 轴垂直于金属板。

区域I 的左边界是y 轴，右边界与区域II 的左边界重合，且与y 轴平行；区域II 的左、右边界平行。

在
区域I 和区域II 内分别存在匀强磁场，磁感应强度大小均为B ，区域I 内的磁场垂直于Oxy 平面向外，区域II 内的磁场垂直于Oxy 平面向里。

一电子沿着x 轴正向以速度v 0射入平行板之间，在平行板间恰好沿着x 轴正向做直线运动，并先后通过区域I 和II 。

已知电子电量为e ，质量为m ，区域I 和区域II 沿x 轴方向宽度均为
Be
mv 230。

不计电子重力。

（1）求两金属板之间电势差U ；
（2）求电子从区域II 右边界射出时，射出
点的纵坐标y ；
（3）撤除区域I 中的磁场而在其中加上沿x 轴正向的匀强电场，使得该电子刚好不能从区域II 的右边界飞出。

求电子两次经过y 轴的时间间隔t 。

答案与解析
1.解：①分析滑块受力，由牛顿第二定律得：得：a 1=gsin θ=6m/s 2
……2分
v1.0 可编辑可修改
通过图像可知滑块在斜面上运动时间为：t 1=1s ……2分由运动学公式得：
……2分
②滑块对斜面的压力为：N 1/
=mgcos θ……2分木板对传感器的压力为：F 1=N 1/
sin θ……2分由图像可知：F 1=12N ……1分解得：m=2.5Kg ……1分
(说明：如果从系统考虑，答案正确得满分) ③滑块滑到B 点的速度为：v 1=a 1t 1=6m/s ……1分由图像可知：f 1=5N ，t 2=2s ……2分 ……1分
……1分
W=fs 2=40J ……1分 2.
解：（1）设滑块A 滑到圆弧末端时的速度大小为v 1，由机械能守恒定律有：
m A gh=
2
1
m A v 12 ①（3分）代入数据，由①式解得：v 1=5(m/s) （2分）
（2）设A 、B 碰撞后瞬间的共同速度为v 2，滑块A 与B 组成的系统动量守恒，由动量守恒定律可得：
m A v 1=(m A +m B )v 2 ②（3分）
代入数据，由②式解得：v 2=(m/s) （2分）
（3）设车C 的最短长度为L ，滑块A 与B 最终没有从车C 上滑出，三者的最终速度相同，
A
θ B
C
力传感器
N 1
N 1/
F 1
mg mg
N 2
f
f 1
设其共同速度为v 3，根据动量守恒和能量守恒定律可得：
(m A +m B )v 2 =(m A +m B +m C )v 3 ③（3分） μ(m A +m B )gL =
21(m A +m B )v 22-2
1
(m A +m B +m C )v 32 ④（3分）联立③④式可解得：L =(m) （2分） 3.
解：（1）电子在平行板间做直线运动，电场力与洛伦兹力平衡
0eE ev B =①（2分）
而U=Ed ②（1分）
由①②两式联立解得：0U Bv d = （1分）（2）如右图所示，电子进入区域I 做匀速圆周运动，向上偏转，洛伦兹力提供向心力
2
0mv ev B R
= ③（2分）设电子在区域I 中沿着y 轴偏转距离为 y 0，区域I 的宽度为b （b=
Be
mv 230
），则 2
220)(R b y R =+-
④（2分）
由③④式联立解得：eB mv y 20
0=
（1分）
因为电子在两个磁场中有相同的偏转量，故电子从区域II 射出点的纵坐标
eB
mv y y 0
02=
= （2分）（3）电子刚好不能从区域II 的右边界飞出，说明电子在区域II 中做匀速圆周运动的轨迹恰好与区域II 的右边界相切，圆半径恰好与区域II 宽度相同。

电子运动轨迹如下图所示。

设电子进入区域II 时的速度为v ，则由：
2
v evB m r
= ⑤（2分）
由r b =
得：0v =
电子通过区域I 的过程中，向右做匀变速直线运
动，此过程中平均速度02
v v
v +=
电子通过区域I 的时间：
v
b
t =
1（b 为区域I 的宽度Be mv 230）⑥（1分）
解得：
(
)123
m t eB
=
电子在区域II 中运动了半个圆周，设电子做圆周运动的周期为T ，则：
2
v evB m r
=⑦
T
r
v π2=
⑧（1分）电子在区域II 中运动的时间
22T m
t eB
π=
=⑨（1分）由⑦⑧⑨式解得：t 2=
eB
m π 电子反向通过区域I 的时间仍为1t , 所以，电子两次经过y 轴的时间间隔：
12
2t t t =+
⑩（1分）
联立解得：512π)m m
t eB eB =+≈
（1分）。

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