高等代数 第7章欧式空间 7.1 欧氏空间的定义及性质
欧氏空间复习
欧氏空间复习 一、欧氏空间定义如果V 是实数域R 上维线性空间，而且存在V 上二元实函数(,)满足： 1）(,)(,)αββα=2）(,)(,)(,)k l k l αβγαγβγ+=+3）(,)0αα≥，而且等于0的充分必要条件是0α=其中,,,,V k l R αβγ∈∈。
则称V 为具有内积(,)的欧氏空间，简称为欧氏空间。
我们有： ●(,0)0α=●1111(,)(,)rsrsi i j j i ji j i j i j k l k lαβαβ=====∑∑∑∑● 2(,)(,)(,)αβααββ≤（可以用其定义角度，证明一些不等式）如果设12,,,n εεε 为V 基，则定义(,)i j n n A εε⨯⎡⎤=⎣⎦，称其为基12,,,n εεε 的度量矩同样我们有：● 基的度量矩阵正定；● 不同基的度量矩阵合同（由此可以证明标准正交基的存在性） ●如果设1212[,,,],[,,,]n n X Y αεεεβεεε== ，则有：(,)T X AY αβ=二、标准正交基和正交补欧氏空间V 的基12,,,n εεε 称为标准正交基，如果有(,)i j ij εεδ=。
标准正交基的存在性一可以通过基的度量矩阵为正定矩阵及其正定矩阵和单位矩阵合同的性质证明。
其次可以通过施密特正交化方法证明。
我们有： ●n 维列向量12,,,n ααα 为n R 标准正交基的充分必要条件是矩阵12[,,,]n A ααα= 满足T A A E =，换句话说A 是正交矩阵。
注意一个正交矩阵决定两组正交基，一个是正交矩阵的列向量组，另外一个是正交矩阵的行向量组。
● 标准正交基的过度矩阵是正交阵。
●根据施密特正交化我们可以推出，对任意实可逆矩阵A 存在正交矩阵U 和上（或者下）三角矩阵T 使得A TU =或者A U T =。
●如果12,,,n εεε 为欧氏空间V 的标准正交基，而且：1212[,,,],[,,,]n n X Y αεεεβεεε==则有(,)T X Y αβ=。
欧式空间的定义
欧式空间的定义----9af74e36-7160-11ec-a302-7cb59b590d7d简介编辑编辑欧式空间一般指欧几里德空间欧氏空间是一个特别的度量空间，它使得我们能够对其的拓扑性质，在包含了欧氏几何和非欧几何的流形的定义上发挥了作用。
大约公元前300年，古希腊数学家欧几里德建立了空间中角度和距离之间关系的定律，现在称为欧几里德几何。
欧几里德首先发展了“平面几何”，以处理平面上的二维物体。
然后他分析了三维物体的“三维几何”。
所有欧几里德公理都被安排到一个抽象的数学空间，称为二维或三维欧几里德空间。
这些数学空间可以被扩展来应用于任何有限维度，而这种空间叫做 n 维欧几里得空间（甚至简称 n维空间）或有限维实内积空间。
这些数学空间也可以推广到任意维的情况，称为实内积空间（不一定完全），希尔伯特空间在高等代数教科书中也被称为欧几里德空间。
为了发展高维欧几里德空间，空间的性质必须严格表达并扩展到任意维。
虽然这样做的结果是数学非常抽象，但它抓住了欧几里德空间的基本本质，即平面性。
还有其他类型的空间，比如球面非欧几里德空间，相对论中描述的四维时空在重力出现时不是欧几里德空间。
有一种方法论把欧几里得平面看作满足可依据距离和角表达的特定联系的点所成的集合。
其一是平移，它意味着移动这个平面就使得所有点都以相同方向移动相同距离。
其二是关于在这个平面中固定点的旋转，其中在平面上的所有点关于这个固定点旋转相同的角度。
欧几里得几何的一个基本原则是，如果通过一序列的平移和旋转可以把一个图形变换成另一个图形，平面的两个图形（也就是子集）应被认为是等价的（全等）。
（参见欧几里得群）。
欧几里德空间的最后一个问题是，从技术上讲，它不是一个向量空间，而是一个向量空间作用的仿射空间。
直觉上，区别在于，对于原点应该在这个空间中的什么位置，没有标准的选择，因为它可以移动到任何地方。
这项技术在本文中基本上被忽略了。
欧几里德空间(euclideanspace)，简称为欧氏空间(也可以称为平直空间)，在数学中是对欧几里德所研究的2维和3维空间的一般化。
欧式空间
欧氏空间(Euler space )一、 内积与欧氏空间1.设V 是实数域R 上的线性空间,在V 上定义一个二元实函数,称为内积,记为),(βα,它具有以下性质: )3(,)2(),,(),)(1( αββα= 这样的线性空间V 称为欧几里的空间,简称欧氏空间.2.设V 是数域P 上的线性空间,如果V 中的任意两个向量βα,都按某一法则对应P 内唯一确定的数,记为),(βαf ,且),(),(),(,,,,)1(221122112121βαβαβααβααk f k k k f V P k k +=+∈∈∀有;),(),(),(,,,,)2(221122112121βαβαββαββαl f l l l f V P l l +=+∈∈∀有 则称),(βαf 是V 上的一个双线性函数.3.内积是双线性函数.4.设V 是n 维欧氏空间,n e e e ,,,21 为V 的一组基,V ∈βα,,若n n e x e x e x +++= 2211α; n n e y e y e y +++= 2211β则j i n j ni j i j i n j n i j i y x a y x e e ∑∑∑∑====∆=1111),(),(βα,5.称 )),(()(j i ij e e a A ==为基n e e e ,,,21 的度量矩阵.6. 设n e e e ,,,21 是n 维欧氏空间V 的一组基,,A 是基n e e e ,,,21 下的度量矩阵,则任意V ∈βα,,有AY X '=),(βα.7.度量矩阵必为正定矩阵,且不同基下的度量矩阵是合同的.二、 长度与夹角1。
欧氏空间V 中向量长度 ),(||ααα=；单位化：当||0||0αααα=≠时， 2．欧氏空间中的重要不等式：① Cauchy-Буняковский不等式：对任意向量V ∈βα,有线性相关时等式成立。
，当且仅当βαβαβα|,||||),(|≤。
高等代数欧氏空间的定义与基本性质
. .. . . ..
欧几里得空间的概念
注 在欧几里得空间的定义中, 对它作为线性空间的维数并无要 求，可以是有限维的，也可以是无限维的. 由内积的对称性可知，内积也满足 右齐次性 (α, kβ) = k(α, β)；
因而我们也称内积满足齐次性、可加性，这两条性质合在一 起称为内积的双线性性. 即内积是实线性空间中的一个正定 对称双线性函数.
. .. . . ..
欧氏空间的度量
由欧氏空间定义中内积的正定性，有 √
(α,
α)
≥
0.
所以对于任意
的向量 α， (α, α) 是有意义的. 在几何空间中，向量的长度为
√ (α, α).
类似地，我们在一般的欧氏空间中引进：
定义 √
非负实数 (α, α) 称为向量 α 的长度，（或称范数，或称模）记 为 |α|.
. .. . . ..
欧几里得空间的概念
注 在欧几里得空间的定义中, 对它作为线性空间的维数并无要 求，可以是有限维的，也可以是无限维的. 由内积的对称性可知，内积也满足
因而我们也称内积满足齐次性、可加性，这两条性质合在一 起称为内积的双线性性. 即内积是实线性空间中的一个正定 对称双线性函数.
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
显然，向量的长度一般是正数，只有零向量的长度才是零，这样 定义的长度符合熟知的性质：
|kα| = |k||α|,
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
欧氏空间的度量
这里，k ∈ αR, α ∈ V. 事实上，
√
定义与基本性质欧氏空间
欧氏空间的性质
完备性
在欧氏空间中，任意柯西序列都收敛，即任意两点之间的距离可 以由有限步的有限位移得到。
有限维性
欧氏空间是有限维的，其维度等于空间中独立坐标的个数。
连通性
欧氏空间是连通的，即任意两点之间都存在一条连续的路径。
欧氏空间的维度
一维欧氏空间
只有一条坐标轴。
二维欧氏空间
有两条相互垂直的坐标轴。
向量的模
欧氏空间中向量的模定义为向量长度或大小，表 示为$| vec{v} |$，计算公式为$sqrt{v_1^2 + v_2^2 + cdots + v_n^2}$。
向量的内积
欧氏空间中向量的内积定义为两个向量的点积， 表示为$vec{v} cdot vec{w}$，计算公式为 $v_1w_1 + v_2w_2 + cdots + v_nw_n$。
连续性的几何意义
在欧氏空间中，连续性意味着函数图像的每一点附近都有其他点，这些点与图像 上对应的点足够接近。
03
欧氏空间的应用
解析几何中的欧氏空间
解析几何是数学的一个重要分支，它使用代数方法研究几何对象。在解析几何中 ，欧氏空间是一个基本的、重要的概念，用于描述平面和三维空间中的点、线、 面等几何元素。
长度和半径
欧氏空间中，线段的长度和圆的 半径可以通过度量性质进行计算 。
欧氏空间的平行性
平行直线
在欧氏空间中，两条直线平行当且仅当它们的方向向量成比 例。
平行平面
在欧氏空间中，两个平面平行当且仅当它们的法向量共线。
欧氏空间的连续性
连续性定义
在欧氏空间中，如果对于任意给定的正数$epsilon$，都存在一个正数$delta$，使 得对于空间中的任意两点$P$和$Q$，只要$d(P, Q) < delta$，就有$d(f(P), f(Q)) < epsilon$，则称函数$f$在欧氏空间中是连续的。
欧式空间
欧氏空间(Euler space ) 一、 内积与欧氏空间1.设V 是实数域R 上的线性空间,在V 上定义一个二元实函数,称为内积,记为),(βα,它具有以下性质: )3(,)2(),,(),)(1( αββα= 这样的线性空间V 称为欧几里的空间,简称欧氏空间.2.设V 是数域P 上的线性空间,如果V 中的任意两个向量βα,都按某一法则对应P 内唯一确定的数,记为),(βαf ,且),(),(),(,,,,)1(221122112121βαβαβααβααk f k k k f V P k k +=+∈∈∀有;),(),(),(,,,,)2(221122112121βαβαββαββαl f l l l f V P l l +=+∈∈∀有则称),(βαf 是V 上的一个双线性函数. 3.内积是双线性函数.4.设V 是n 维欧氏空间,n e e e ,,,21 为V 的一组基,V ∈βα,,若n n e x e x e x +++= 2211α; n n e y e y e y +++= 2211β则j i n j ni j i j i n j n i j i y x a y x e e ∑∑∑∑====∆=1111),(),(βα,5.称 )),(()(j i ije e aA ==为基n e e e ,,,21 的度量矩阵.6. 设n e e e ,,,21 是n 维欧氏空间V 的一组基,,A 是基n e e e ,,,21 下的度量矩阵,则任意V ∈βα,,有AYX '=),(βα.7.度量矩阵必为正定矩阵,且不同基下的度量矩阵是合同的. 二、 长度与夹角 1。
欧氏空间V 中向量长度 ),(||ααα=；单位化：当||0||0αααα=≠时，2．欧氏空间中的重要不等式：① Cauchy-Буняковский不等式：对任意向量V ∈βα,有线性相关时等式成立。
，当且仅当βαβαβα|,||||),(|≤。
高等代数(全部)
定理3 在欧氏空间V中，标准正交基到标准正交基的过渡矩阵 是正交矩阵。反之，若第一组是标准正交基，过渡矩阵是正
交矩阵，则第二组基也是标准正交基。
欧氏空间
§2 标准正交基
定理4 设A=(aij)是n阶实矩阵，则下列几个结论等价： (1) A是正交矩阵，即 A'A=E； (2) AA'=E； (3) A的列向量组是标准正交向量组； (4) A的行向量组是标准正交向量组； (5) A-1=A。
则子空间V1 L ( 1 , 2 , , m ) 与 V 2 L ( 1 , 2 , , m ) 同构。
欧氏空间
§4 正交变换
§4 正交变换
一、正交变换的定义与性质
定义1 设 A 是欧氏空间 V 中的线性变换，如果它保持向量的
内积不变，即对 , V , 都有
( 向量，A=(aij)为n阶实矩阵。证明： , ) A 为Rn的内积
的充要条件是A为正定矩阵。
欧氏空间
§1 欧氏空间的定义和性质
内积的简单性质
性质1 ( 0 , ) 0
性质2 ( , ) ( , ) ( , )
性质3 ( , k ) k ( , ) 性质4 1 , 2 , , n , 1 , 2 , , n V
3) 设V为n维欧氏空间，正交变换 A 有特征值1，且属于特征 值1的特征子空间V1的维数为n-1，则 A 为镜面反射。 例5 1) 设 , 是欧氏空间V中的两个不同的单位向量，证明： 存在一个镜面反射 A 使得 A 2) 证明：n维欧氏空间V中任一正交变换都可以表示为一系列
欧式空间的定义
欧式空间的定义欧几里德空间编辑欧式空间一般指欧几里德空间欧氏空间是一个特别的度量空间，它使得我们能够对其的拓扑性质，在包含了欧氏几何和非欧几何的流形的定义上发挥了作用。
简介编辑约在公元前300年，古希腊数学家欧几里得建立了角和空间中距离之间联系的法则，现称为欧几里得几何。
欧几里得首先开发了处理平面上二维物体的“平面几何”，他接着分析三维物体的“立体几何”，所有欧几里得的公理已被编排到叫做二维或三维欧几里得空间的抽象数学空间中。
这些数学空间可以被扩展来应用于任何有限维度，而这种空间叫做 n 维欧几里得空间(甚至简称 n维空间)或有限维实内积空间。
这些数学空间还可被扩展到任意维的情形，称为实内积空间(不一定完备)，希尔伯特空间在高等代数教科书中也被称为欧几里得空间。
为了开发更高维的欧几里得空间，空间的性质必须严密地表达并被扩展到任意维度。
尽管这样做的结果导致数学非常抽象，但却捕获了我们熟悉的欧几里得空间的根本本质，即平面性。
还另存在其他种类的空间，例如球面则非欧几里得空间，相对论所描述的四维时空在重力出现的时候也不是欧几里得空间。
有一种方法论把欧几里得平面看作满足可依据距离和角表达的特定联系的点所成的集合。
其一是平移，它意味着移动这个平面就使得所有点都以相同方向移动相同距离。
其二是关于在这个平面中固定点的旋转，其中在平面上的所有点关于这个固定点旋转相同的角度。
欧几里得几何的一个基本原则是，如果通过一序列的平移和旋转可以把一个图形变换成另一个图形，平面的两个图形(也就是子集)应被认为是等价的(全等)。
(参见欧几里得群)。
欧几里得空间的最后问题是它在技术上不是向量空间，而是向量空间作用于其上仿射空间。
直觉上，区别在于对于原点应当位于这个空间的什么地方没有标准选择，因为它可以到处移动。
这种技术本文中很大程度上被忽略了。
欧几里德空间(Euclidean Space)，简称为欧氏空间(也可以称为平直空间)，在数学中是对欧几里德所研究的2维和3维空间的一般化。
9 欧氏空间
第九章欧氏空间第一节欧氏空间的定义及性质1. 定义设V 是实数域R 上一个线性空间,在V 上定义了一个二元实函数，称为内积,记作),(βα,它具有以下性质:1) ),(),(αββα=; 2) ),(),(βαβαk k =;3) ),(),(),(γβγαγβα+=+;4) 0),(≥αα,当且仅当0=α时,0),(=αα这里γβα,,是V 任意的向量,k 是任意实数,这样的定义了内积的线性空间V 称为欧几里得空间.欧几里得空间的基本性质1）定义中条件1）表明内积是对称的.),(),(),(),()2αββααββαk k k k ==='.),(),(),(),(),(),()3γαβααγαβαγβγβα+=+=+=+'柯西-布涅柯夫斯基不等式：即对于任意的向量βα,有βαβα≤),(当且仅当βα,线性相关时，等式才成立.根据柯西-布涅柯夫斯基不等式，有三角形不等式βαβα+≤+.向量的长度:α=两个非零向量α与β的夹角:(,)arccos αβθαβ=.).0(πθ≤≤若(,)0αβ=,则称α与β正交.设V 是一个n 维欧几里得空间，在V 中取一组基n εεε,,,21 ，对于V 中任意两个向量n n x x x εεεα+++= 2211,n n y y y εεεβ+++= 2211,由内积的性质得∑∑===++++++=ni nj ji j i nn n n y x y y y x x x 1122112211),(,),(εεεεεεεεβα令),,2,1,(),(n j i a j i ij ==εε显然.ji ij a a =于是∑∑===n i nj j i ij y x a 11),(βα (1)利用矩阵，),(βα还可以写成AY X '=),(βα, (2)其中⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n y y y Y x x x X 2121,分别是βα,的坐标，而矩阵nn ij a A )(=称为基n εεε,,,21 的度量矩阵.上面的讨论表明，在知道了一组基的度量矩阵之后，任意两个向量的内积就可以通过坐标按（1）或（2）来计算，因而度量矩阵完全确定了内积.设n ηηη,,,21 是空间V 的另外一组基，而由n εεε,,,21 到n ηηη,,,21 的过渡矩阵为C ，即C n n ),,,(),,,(2121εεεηηη =于是不难算出，基n ηηη,,,21 的度量矩阵()()AC C b B j i ij '===ηη,.这就是说，不同基的度量矩阵是合同的.根据条件(4)，对于非零向量α，即⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≠000 X有0),(>'=AX X αα因此，度量矩阵是正定的.反之，给定一个n 级正定矩阵A 及n 维实线性空间V 的一组基n εεε,,,21 .可以规定V 上内积，使它成为欧几里得空间，并且基的n εεε,,,21 度量矩阵就是A .第二节标准正交基标准正交基底的条件，施密特正交化，满秩阵的正交三角分解。
欧氏空间
b
(axi
a
y
j
az k )
(bxi
by
j
bzk )
i jk, i j j k k i 0,
| i || j || k | 1,
i i j j k k 1.
第八节 欧氏空间
一、三维欧氏空间点的直角坐标与向量 回 顾
二、三维空间向量的内积
三、高维欧氏空间向量内积
引
申
四、标准正交基与正交矩阵
拓
五、施密特正交化方法
展
一、三维空间点的直角坐标
Ⅲ
yoz 面
z zox 面
Ⅳ
xoy 面
o
Ⅶ
x
Ⅷ
Ⅴ
1、空间直角坐标系共有八个卦限
Ⅱ
yⅠ
Ⅵ
2、空间的点 11 有序数组( x, y, z)
在三个坐标轴上的分向量：axi , ay j , azk ,
向量的坐标： ax , a y , az , 向量的坐标表达式： a {ax , a y , az }
M1M2 { x2 x1, y2 y1, z2 z1}
特殊地：OM {x, y, z}
向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式
定理1. 对于有限维实线性空间，一定可以引 进适当的内积，从而成为欧氏空间。
证对明于：任取意定两一个组向基量，, 1,， 2 ,..., n
(1,2 ,...,n )x (1,2,...,n ) y
其中 x (x1, x2 ,..., xn )T y ( y1, y2 ,..., yn )T
Pr
[工学]第七章-欧氏空间PPT课件
![[工学]第七章-欧氏空间PPT课件](https://img.taocdn.com/s3/m/363871f04b73f242326c5f18.png)
, ( ), () .( , V )
（保持内积不变）
把 V的标准正交基仍旧变成标
准正交基。
关于 V 的标准正交基的矩阵
是正交矩阵。
说明：正交变换保持夹角不变
7.4 对称变换和对称矩阵
定义1 设 是欧氏空间 V的一个线性变换。
对V的内积来说，W也是一个欧氏空间。
7.2 正交基
定义 1. 欧氏空间Ｖ中的一组两两正交的非零向量 叫Ｖ的一个正交组。如果这组向量都是单 位向量。则称为一个标准正交组。
说明：① 正交组是线性无关的向量组。
② 在ｎ维欧空间Ｖ中.两两正交的非零空间 向量个数不超过n个.在面几何中.正交的非零向量 是有两个.在空间解几中.正交的非零向量是有3个.
i1 j 1
定义2 设 V，则的长度 为： 〈，〉
说明：① 向量的长度是零,非零向量的长度是正数
② a a
③ 长度是1的向量，称为单位向量。即
1则 为单位向量
④ 任一非零向量 ，都可以化为单位向量
事实上： 0,则 即为单位向量
定理1 在欧氏空间中，， V ，有： ， 2 , , (1) 当且仅当 与 线性相关，等式成立。
w { / , 0 v, v} 则w
v w 是 的子空间，称为 的正交补，且
v w w.
定义6. 设 U是
n阶复矩阵，如果UU
'
'
UU I
则称为一个
酉矩阵。
①（其中 U (U ij ),U ij是U ij的共轭）
2
补充定义: 零向量与任意向量均正交.
推广：在欧氏空间中，与向量 n
中每个向量正交.则 与1 的任意线性组
欧式空间的定义
欧式空间的定义欧式空间的定义简介编辑编辑欧式空间一般指欧几里德空间欧氏空间是一个特别的度量空间，它使得我们能够对其的拓扑性质，在包含了欧氏几何和非欧几何的流形的定义上发挥了作用。
约在公元前300年，古希腊数学家欧几里得建立了角和空间中距离之间联系的法则，现称为欧几里得几何。
欧几里得首先开发了处理平面上二维物体的“平面几何”，他接着分析三维物体的“立体几何”，所有欧几里得的公理已被编排到叫做二维或三维欧几里得空间的抽象数学空间中。
这些数学空间可以被扩展来应用于任何有限维度，而这种空间叫做 n 维欧几里得空间（甚至简称 n 维空间）或有限维实内积空间。
这些数学空间还可被扩展到任意维的情形，称为实内积空间（不一定完备），希尔伯特空间在高等代数教科书中也被称为欧几里得空间。
为了开发更高维的欧几里得空间，空间的性质必须严密地表达并被扩展到任意维度。
尽管这样做的结果导致数学非常抽象，但却捕获了我们熟悉的欧几里得空间的根本本质，即平面性。
还另存在其他种类的空间，例如球面则非欧几里得空间，相对论所描述的四维时空在重力出现的时候也不是欧几里得空间。
有一种方法论把欧几里得平面看作满足可依据距离和角表达的特定联系的点所成的集合。
其一是平移，它意味着移动这个平面就使得所有点都以相同方向移动相同距离。
其二是关于在这个平面中固定点的旋转，其中在平面上的所有点关于这个固定点旋转相同的角度。
欧几里得几何的一个基本原则是，如果通过一序列的平移和旋转可以把一个图形变换成另一个图形，平面的两个图形（也就是子集）应被认为是等价的（全等）。
（参见欧几里得群）。
欧几里得空间的最后问题是它在技术上不是向量空间，而是向量空间作用于其上仿射空间。
直觉上，区别在于对于原点应当位于这个空间的什么地方没有标准选择，因为它可以到处移动。
这种技术本文中很大程度上被忽略了。
欧几里德空间(Euclidean Space)，简称为欧氏空间(也可以称为平直空间) ，在数学中是对欧几里德所研究的2维和3维空间的一般化。
欧氏空间的定义与基本性质 PPT
一、欧氏空间的定义 二、欧氏空间中向量的长度 三、欧氏空间中向量的夹角 四、n维欧氏空间中内积的矩阵表示 五、欧氏子空间
问题的引入：
1、线性空间中，向量之间的基本运算为线性运算， 其具体模型为几何空间 R2、R3, 但几何空间的度量 性质(如长度、夹角)等在一般线性空间中没有涉及.
（5）
当且仅当、 线性相关时等号成立.
证：当 0时， ( ,0) 0, 0 ( , ) 0. 结论成立. 当 0 时，作向量 t ,
tR
由内积的正定性，对 t R，皆有
( , ) ( t , t )
注意：由于对 V , 未必有 (, ) (, )
所以1），2）是两种不同的内积. 从而 Rn 对于这两种内积就构成了不同的欧氏空间.
例2．C(a,b) 为闭区间 [a,b] 上的所有实连续函数
所成线性空间，对于函数 f ( x), g( x) ，定义
b
( f , g) a f ( x)g( x) dx
1. 引入夹角概念的可能性与困难
1）在 R3中向量 与 的夹角 , arccos
（4）
2）在一般欧氏空间中推广（4）的形式，首先
应证明不等式： 此即,
( , ) 1
2. 柯西－布涅柯夫，有
( , )
、 , 定义一个二元实函数，记作 ( , ) ，若 ( , ) 满足性质： , , V , k R
1 (, ) ( , )
（对称性）
2 (k, ) k(, )
3 ( , ) , ( , )
（数乘） （可加性）
一、欧式空间的定义及性质课件
, xn yn 给出，那么 H 是一个欧氏空间. n1
练习 1 (a1,a2 ), (b1,b2 )为向量空间中任意
两向量,证明:
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R2对 , ma1b1 na2b2 作成欧氏空间的充分 必要条件是 m > 0, n > 0.
这表明一元二次方程
, x2 2 , x , 0 无 实 根 , 因
而它的判别式小于 0, 即
4 , 2 4 , , 0 于是 , 2 , ,
这就是著名的柯西-施瓦兹不等式. 也可表示为
1.欧氏空间V的内积具有以下基本性质.
(1)a V , , 0 0, 0
证 ,0 0, 0 , 0
(2) , , V , , , ,
证
, , , ,
, ,
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(3) , V ,k R, ,k k ,
证 ,k k , k , k ,
(4)i , j V ,ai ,bj R, i 1, 2, , m, j 1, 2, , n
m
n
mn
aii , bj j
恒正性 :当 0时, 0
其中, , 是V3的任意向量，k 是任意实数.
欧氏空间
必要性。如果 α , β 线性无关，那么对任意实数 k ， α − k β ≠ 0 所以：
0 < (α − k β , α − k β ) = (α , α ) − 2k (α , β ) + k 2 ( β , β )
右边是关于 k 的二次多项式，那么由上式不等式知，判别式： Δ = (−2(α , β ))2 − 4(α , α )( β , β ) < 0 那么就有：
注意： ① 因为对称性， 对于上面的双线性只需要求一个线性就够了， 另一个可以从单线性和对称性推 导出。 ② 同一个实线性空间可以定义不同的内积， 从而得到不同的欧氏空间， 这会在以后的习题中遇 到。 内积的基本性质
1.2
从定义容易得到，向量的内积有如下基本性质： （ 1） (0, a) = (a, 0) = 0 （ 2）任给的 α1 , α 2 ,L , α n ∈ V 和 β1 , β 2 ,L , β n ∈ V ，及 k1 , k2 ,L , kn ∈ R 和 l1 , l2 ,L , ln ∈ R 有：
k o o b n c . w ww ∑∑ ∑∑
( A, B ) =
n n i =1 j =1
aij bij =
n
n
满足对称性。 又有：
( A + C , B) =
k o o ∑∑ b n c . ∑∑ ∑∑ w ww
n n i =1 j =1 n n
i =1 j =1
bij aij = ( B, A)
b
k o o b n c . w ∫ ww ∫
1
1
称之为三角不等式。 证明： 因为：
| α + β |2 = (α + β , α + β ) = (α , α ) + 2(α + β ) + ( β , β ) ≤| α |2 +2 | α || β | + | β |2 = (| α | + | β |) 2
欧氏空间的知识点总结
欧氏空间的知识点总结一、欧氏空间的基本概念1. 欧氏空间的定义欧氏空间是指具有度量的线性空间，它可以是具有内积的实数线性空间或者复数线性空间。
在欧氏空间中有一种特殊的度量，即欧氏距离。
欧氏距离是指在n维空间中，两点之间的距离d(x, y)定义为：d(x, y) = √((x1-y1)^2 + (x2-y2)^2 + ... + (xn-yn)^2)其中x=(x1, x2, ..., xn)和y=(y1, y2, ..., yn)分别是空间中的两个点。
2. 欧氏空间的维度欧氏空间的维度是指空间中的向量所属的维度数，通常用n表示。
在n维欧氏空间中，一个向量可以用n个实数或复数表示。
例如，在二维欧氏空间中，一个向量可以表示为(x, y)。
在三维空间中，一个向量可以表示为(x, y, z)。
3. 欧氏空间的内积在n维欧氏空间中，可以定义内积的概念。
内积是指两个向量之间的数量积，通常用"a·b"表示。
在欧氏空间中，两个向量a和b的内积定义为：a·b = a1b1 + a2b2 + ... + anbn内积满足交换律、线性性和正定性等性质。
内积可以用来定义向量的长度、夹角和投影等概念，是欧氏空间中重要的工具。
二、欧氏空间的性质和定理1. 欧氏空间的性质欧氏空间具有许多重要的性质，例如：- 距离的非负性：两点之间的距离永远是非负的。
- 距离的对称性：两点之间的距离与它们的顺序无关。
- 三角不等式：两点之间的最短距离加起来不大于第三个点所在的线段的长度。
- 同伦性：欧氏空间是同伦的，即两个点之间总可以找到一条连续的路径相连接。
2. 欧氏空间的定理在欧氏空间中，有许多重要的定理，例如：- 柯西-施瓦茨不等式：对于欧氏空间中的任意两个向量a和b，它们的内积满足|a·b| ≤ ||a|| * ||b||，其中||a||和||b||分别是向量a和b的长度。
- 皮亚诺定理：在欧氏空间中，任意有界闭集都是紧的。
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x, y
x y
例 求向量 1,2,2,3与 3,1,5,1的夹角.
18 2 解 cos 3 261. 非负性 当 x 0时, x 0;当 x 0时, x 0; 2. 齐次性 x x ; 3. 三角不等式 x y x y .
单位向量及n维向量间的夹角
1 当 x 1时, 称 x 为单位向量 .
2 当 x 0, y 0时, arccos
(4)[ x , x ] 0, 且当x 0时有[ x , x ] 0.
则称V（R）关于这个数积构成一个欧氏空间。这里 x,y为任意向量，k为任意实数。
数积的性质： （1）（x ,ky)=k(x , y) (2) (x , y+z )=(x , y)+( x , z ) (3) (x , )=0
欧氏空间的定义及性质
定义：设V（R）是实数域R上的线性空间，
在V（R）中定义了一个叫做数积的运算，即 有一定的法则，按照这个法则，对V（R）中 的任意两个向量x,y,都能确定R中唯一一个实 数，称之为x与y的数积，记作（x,y),如果这个 运算具有性质：
(1) ( 2) ( 3)
x, y y, x ; x, y x, y; x y, z x, z y, z ;
n (4) k i i 1
, l
i j 1 i
n
n,m ki l j ( i i 1, j 1
,
i
j
)
向量的长度及性质
定义2 令
x
x, x
2 2 2 x1 x2 xn ,
称 x 为n 维向量 x的长度 或 范数 .