诱导公式第二课时
5.3诱导公式(第二课时)课件(人教版)
π
(2)对于π±α和 ±α这两套诱导公式，切记运用前一套公式不变名，而运用后一套公式必
2
须变名.
4
15
”，“第三象限”改为“第二象限”，
本例条件中“cos α＝－5”改为“α 的终边与单位圆交于点 Pm，
4
π
sinα－2
－cos α
因为α为第三象限角，
sin α
＝tan α·sin α＝cos α·sin α
9
3
2
所以 sin α＝－ 1－cos α＝－5.
9
sin2α 32 5
9
＝cos α＝ －5 × －4 ＝－20.
用诱导公式化简求值的方法
(1)对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式
sin(
cos(
2
2
) cos
) sin
口诀：奇变偶不变，符号看象限
sin(
cos(
2
2
) cos
) sin
口诀的意义：
k
（k Z）的三角函数值
2
1）当k为偶数时，等于的同名三角函数值，前面加上
一个把 看作锐角时原三角函数值的符号；
sin 2 cos cos cos
2
2
.
9
cos sin 3 sin sin
高中数学5-3诱导公式第二课时诱导公式五六课件新人教A版必修第一册
2．对诱导公式一～六的两点说明 (1)诱导公式一～六揭示了终边具有某种对称关系的两个角的三角函数之间的 关系． (2)公式一～六的记忆口诀和说明 ①口诀：奇变偶不变，符号看象限． ②说明：
[典例 1] (1)若 cos(π＋A)＝13，那么 sin32π－A的值为
1 A.3
B．－13
23 C. 3
2．诱导公式五、六的作用： 利用诱导公式五或六，可以实现 正弦函数 与 余弦函数 的相互转化． [微思考] 在△ABC 中，角A2与角B＋2 C的三角函数值满足哪些等量关系？ 提示：∵A＋B＋C＝π，∴A2＝π2－B＋2 C， ∴sinA2＝sinπ2－B＋2 C＝cosB＋2 C， cosA2＝cosπ2－B＋2 C＝sinB＋2 C.
第二课时 诱导公式五、六
明确目标
发展素养
1.了解公式五和公式六的推导方法． 1.借助诱导公式求值，培养数学
2.能够准确记忆公式五和公式六．
运算素养．
3.灵活运用诱导公式进行三角函数式 2.通过诱导公式进行化简和证明，
的化简、求值和证明.
提升逻辑推理素养.
(一)教材梳理填空 1．诱导公式五和公式六：
③f(cos x)＝fsinπ2－x＝sinkπ2－x
－sin kx，k＝4n，n∈Z，
＝sink2π－kx＝csions
kx，k＝4n＋1，n∈Z， kx，k＝4n＋2，n∈Z，
－cos kx，k＝4n＋3，n∈Z.
故 f(cos x)＝cos kx 成立的条件是 k＝4n＋1，n∈Z .
＝－ssininαα－＋c2ossinα
α＝sin
sin α α－cos
α＝tatnanα－α 1＝2－2 1＝2＝右边，
5.3诱导公式(第二课时)-课件(人教版)
因为－270°＜α＜－90°，所以143°＜β＜ 323°．
由sin β＝1 ＞0，得143°＜β＜ 180°．
5
所以cos β＝ 1 sin2 θ ＝ 1 (1)2 ＝ 2 6 ．
5
5
所以sin（37°＋α）＝sin γ＝ 2 6 ． 5
立德树人 和谐发展
计算或化简：
（1）cos
65π 6
y 的终边
2
P2 y, x
提示: 横、纵坐标互换 公式五
α的终边
O
P1(x，y)
sin(
)
cos
x
2
y=x
cos( ) sin
2
诱导公式五
探究(二 )
诱导公式六
公式六
sin(
立德树人 和谐发展
) cos
思考4： 与 有什么内在联系？
2
2
2
提示: ( )
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
cos( ) sin
sin( ) cos cos 2sin sin cos
sin sin cos
tan tan 1
2
立德树人 和谐发展
必须对一些特殊角的三角函数值熟记，做到“见角知值，见值知角” 答：
角 α 0° 30° 45° 60°
角α的 0
弧度数
π 6
π 4
π 3
90°
π 2
(
3 2
)
cos
cos(32 ) sin
奇变偶不变，符号看象限.
例2已知：tan(3 ) 2 ，求值；
立德树人 和谐发展
sin( 3 ) cos( ) sin(2 ) 2 cos(2 ) sin( ) cos( )
《诱导公式(第二课时)》示范教学方案
《5.3 诱导公式（第二课时）》教学设计1．借助单位圆的对称性，利用定义推导出诱导公式（2π±α的正弦、余弦、正切）；通过经历诱导公式的探究过程，积累应用类比、转化、数形结合等方法研究三角函数性质的经验，发展直观想象素养．2．初步应用诱导公式解决问题，积累解题经验，发展数学运算素养．教学重点：利用圆的对称性探究诱导公式，运用诱导公式进行简单三角函数式的求值、化简与恒等式的证明．教学难点：诱导公式的有效识记和应用．PPT 课件．资源引用：【知识点解析】诱导公式五和六的认识 【知识点解析】5.3 诱导公式知识导图（一）新知探究引导语：通过上一节课的研究，我们知道了将圆的对称性代数化就得到了诱导公式，这些都是三角函数的对称性．本节课沿着上一节课的思路继续进行．问题1：通过圆关于原点、x 轴、y 轴对称，我们得到了诱导公式二、三、四，你还能找到一些特殊的直线对称，或者两次对称，类比前面的方法，写出相应的问题，并解决吗？试一试．预设的师生活动：教师根据学生完成情况，挑选如下内容进行展示．其他拓展内容视情况而定，可以展示，也可以由学生课下交流．预设答案：（1）提出问题：如图1，点P 1关于直线y ＝x 的对称点◆ 教学过程◆ 课前准备◆ 教学重难点 ◆◆ 教学目标图2P 5，以OP 5为终边的角β与角α有什么关系？角β与角α的三角函数值之间有什么关系？解：如图1，以OP 5为终边的角β都是与角2π－α终边相同的角，即β=2k π＋(2π－α)（k ∈Z ）．因此，只要探求角2π－α与α的三角函数值之间的关系即可． 设P 5（x 5，y 5），由于P 5是点P 1关于直线y ＝x 的对称点，可以证明：x 5＝y 1，y 5＝x 1． 根据三角函数的定义，得sin （2π－α）＝y 5，cos （2π－α）＝x 5． 从而得 公式五 （2）提出问题：如图2，点P 1关于直线y ＝x 的对称点P 5，再作P 5关于y 轴的对称点P 6，又能得到什么结论？以OP 6为终边的角β与角α有什么关系？角β与角α的三角函数值之间有什么关系？解：接上一题．如图2，以OP 6为终边的角β都是与角2π＋α终边相同的角，即β=2k π＋(2π＋α)（k ∈Z ）．因此，只要探求角2π＋α与α的三角函数值之间的关系即可． 设P 6（x 6，y 6），由于P 6是点P 5关于y 轴的对称点，因此有：x 6＝－x 5，y 6＝y 5． 根据三角函数的定义，得sin （2π＋α）＝y 6，cos （2π＋α）＝x 6． 从而得 公式六 （3）提出问题：如图3，点P 1关于x 轴的对称点是P 7，再作P 7关于直线y ＝x 的对称点P 6，又能得到什么结论？以OP 6为终边的角β与角α有什么关系？角β与角α的三角函sin （2π＋α）＝cos α， cos （2π＋α）＝－sin α． sin （2π－α）＝cos α， cos （2π－α）＝sin α．图4数值之间有什么关系？解：略．★资源名称：【知识点解析】诱导公式五和六的认识★使用说明：本资源展现“诱导公式五和六的认识”，辅助教师教学，加深学生对于知识的理解和掌握．适合教师课堂进行展示．注：此图片为“知识卡片”缩略图，如需使用资源，请于资源库调用． 追问：除了上面的两次对称关系，角2π＋α的终边与角α的终边还具有怎样的对称性？据此你将如何证明公式六？预设的师生活动：如果有学生提前想到了就延续前面的展示活动，如果学生没有想到，则由教师提出这个追问，促进学生思考．预设答案：角α的终边旋转2π角，就得到角2π＋α的终边． 如图4，由两个三角形全等易得点P 8与P 1坐标间关系，进一步可得公式六． 设计意图：通过设置问题1，一方面，使学生更加深入地了解圆具有丰富的对称性，另一方面，让他们通过类比，不断地利用数形结合的思想方法，提高自己提出问题、分析问题、解决问题的能力，发展逻辑推理、几何直观等核心素养．问题2：回顾利用公式一～公式四，把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，并且建立了流程图的求解程序，那么公式五或公式六的作用是什么？可能在哪个环节用到这两组公式？预设的师生活动：在学生思考展示的基础上互相交流，并完善．预设答案：利用公式五或公式六，可以实现正弦函数与余弦函数的相互转化．如图5所示可以在变成锐角的过程中发生作用．公式一～六都叫做诱导公式(induction formula)．设计意图：基于前述的求解程序，进行理性思考，完善求解程序，帮助学生提升运算素养．例3 证明：（1）sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-α2π3＝－cos α；（2）cos ⎪⎭⎫⎝⎛+α2π3＝sin α．例4 化简：()()()()()⎪⎭⎫⎝⎛+----⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛++-αααααααα2π9sin πsin π3sin πcos 2π11cos 2πcos πcos π2sin ． 追问：观察题目中的角，对比诱导公式，根据图4，应该怎样化简转化为公式的形式？ 预设的师生活动：学生更具问题的引导，独立思考，并求解．学生展示时紧扣图4进行． 预设答案：例3 证明：（1）sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-α2π3＝sin ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+α2ππ＝－sin ⎪⎭⎫⎝⎛-α2π＝－cos α；（2）cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+α2π3＝cos ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++α2ππ＝－cos ⎪⎭⎫⎝⎛+α2π＝sin α．例4 解：原式＝()()()()()()[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+++---⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+---αααααααα2ππ4sin πsin πsin cos 2ππ5cos sin cos sin图5＝()()[]⎪⎭⎫⎝⎛+---⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛---ααααααα2πsin sin sin cos 2πcos cos sin 2＝－sin αcos α＝－tan α．设计意图：引导学生理性思考，有序解题，完善求解程序，提升数学运算素养． 例5 已知sin （53°－α）＝15，且－270°＜α＜－90°，求sin （37°＋α）的值．追问：观察题目中的角，它们有怎样的关系？和哪个诱导公式接近？能不能通过换元，使得已知角与所求角之间关系更加明了？由此你确定的求解思路是怎样的？预设的师生活动：让学生通过观察，自己思考并回答． 预设答案：分析：注意到（53°－α）+（37°＋α）=90°，如果设β＝53°－α，γ= 37°＋α，那么β+γ=90°，由此可利用诱导公式和已知条件解决问题．解：设β＝53°－α，γ＝37°＋α，那么β＋γ＝90°，从而γ＝90°－β．于是sin γ＝sin （90°－β）＝cos β．因为－270°＜α＜－90°，所以143°＜β＜323°． 由sin β＝51＞0，得143°＜β＜180°． 所以cos β＝－1－sin 2θ＝－2511⎪⎭⎫⎝⎛-＝－562．所以sin （37°＋α）＝sin γ＝－562． 设计意图：引导学生学会观察分析，进行理性思考，学会有序求解，提升数学运算素养． （二）归纳小结问题3：教师引导学生回顾本单元学习内容，并回答下面问题：（1）你学到了哪些基本知识，它们的作用是什么？能解决什么问题？求解的程序是什么？（2）我们已经知道诱导公式是三角函数的性质，是圆的对称性的代数化，据此，你觉得怎样记忆到目前为止学过的这6组诱导公式？此外，仅仅观察6组诱导公式的形式特征，你还能怎样记忆这些公式？（3）能不能画一个结构图来反映本节课的研究思路及内容？预设的师生活动：以学生的独立思考，展示交流，互相补充为主．教师予以及时的点拨．★资源名称：【知识点解析】5.3 诱导公式知识导图★使用说明：本资源给出了本节知识结构框图，针对本节内容进行知识点梳理，有助于理解和掌握本节的知识结构．适合教师课堂进行展示．注：此图片为“知识卡片”缩略图，如需使用资源，请于资源库调用．预设答案：（1）本单元学习了三角函数的基本性质——诱导公式；这些诱导公式体现了三角函数的对称性，在求三角函数值时，它们还具有转化作用，另外，还可以实现正弦与余弦的相互转化；求解程序略．基本的思想是：负角变正角，大角变小角．（2）只要了解了诱导公式是通过哪个对称变化得到的，这种变化中点的坐标的关系是怎样的，就可以记住公式，而且还可以进一步推广公式．（3）通过观察发现，如果是一个角加2π的奇数倍，那么变换后会改变三角函数的名字；如果是一个角加2π的偶数倍，那么变换后会不改变三角函数的名字．设计意图：梳理小结，一方面帮助学生进一步明确求解的程序．另一方面，通过帮助学生梳理借助于单位圆记忆公式的过程，进一步认识诱导公式的本质．第三，通过观察形式，分析特点，总结记忆方法，从另一个角度认知诱导公式，进行抽象概括．（三）布置作业 教科书习题5.3． （四）目标检测设计 计算或化简： （1）cos665π； （2）sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-π431； （3）tan ⎪⎭⎫ ⎝⎛-π326； （4）cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-απ25； （5）sin ⎪⎭⎫⎝⎛-απ211＝－cos α．预设答案：（1）－23；（2）22；（3）3；（4）sin α；（5）－cos α． 设计意图：检测学生对基本知识和技能的掌握情况．。
《诱导公式》PPT教学课件(第2课时诱导公式五、六)
＝－sinπ2＋α＝－cos α.]
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11
合作探究 提素养
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12
利用诱导公式化简求值
【例 1】 (1)已知 cos 31°＝m，则 sin 239°tan 149°的值是( )
A.1－mm2
B. 1－m2
C．－1－mm2
D．－ 1－m2
(2)已知 sinπ3－α＝12，则 cosπ6＋α的值为________．
30
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即sin α＋cos α＞0，sin α－cos α＞0， ∴sin α＋cos α＝1173，③ sin α－cos α＝173，④ (③＋④)÷2得sin α＝1123，(③－④)÷2得cos α＝153.
31
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32
1．公式五反映了终边关于直线 y＝x 对称的角的正、余弦函数值之间 的关系，其中角π2－α 的正弦(余弦)函数值，等于角 α 的余弦(正弦)函数值．
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3
自主预习 探新知
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4
1．公式五 (1)角π2－α 与角 α 的终边关于 直线 y＝x 对称，如图所示． (2)公式：sinπ2－α＝ cos α ， cosπ2－α＝ sin α .
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2．公式六 (1)公式五与公式六中角的联系π2＋α＝π－π2－α . (2)公式：sinπ2＋α＝ cos α ， cosπ2＋α＝ －sin α . 思考：如何由公式四及公式五推导公式六？
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16
2．将例1(2)增加条件“α是第二象限角”，求sin76π＋α的值． [解] 因为α是第二象限角，所以－α是第三象限角， 又sinπ3－α＝12，所以π3－α是第二象限角， 所以cosπ3－α＝－ 23， 所以sin76π＋α＝sinπ＋π6＋α＝－sinπ6＋α＝－cosπ3－α＝ 23.
诱导公式(第二课时)
《5.3.2诱导公式》（第二课时）一、学习目标1在诱导公式二～四的基础上，掌握诱导公式五～六的推导过程.2.能够利用诱导公式解决简单的求值、化简与证明问题．二、预习案知识点一 公式五【思考1】 设α是任意角，其终边与单位圆交于点P 1(x ，y )，与角α的终边关于直线y ＝x 对称的角的终边与单位圆交于点P 2，点P 2的坐标是什么？ 1．角π2－α与角α的终边关于直线_____对称，如图所示．2．公式：sin(π2−α)＝___ __，cos (π2−α)＝___ _ . 知识点二 公式六思考 .能否利用已有公式得出π2+a 的正弦、余弦与角α的正弦、余弦之间的关系? 1．公式：sin (π2+α)＝___ __，cos (π2+α)＝___ __. 2．公式五与公式六中角的联系π2＋α＝π－(π2−α). 母题1：sin 135°等于变式1 已知sin α=13,则cos (π2-α)的值为( ) A.2√23B.-2√23 C.13D.-13变式2 s in (α+π2)·cos (α-3π2)·tan (π2-α)的结果是( )A.1B.sin 2αC.-cos 2αD.-1母题2：已知f (α)=sin(π-α)cos(-α)sin(π2+α)cos(π+α)sin(-α).(1)化简f (α);(2)若角A 是△ABC 的内角,且f (A )=35,求tan A -sin A 的值.变式1 已知sin(3π+α)=2sin (3π2+α)，则sin(π-α)-4sin(π2+α)5sin(2π+α)+2cos(2π-α)=1. 已知sin(3π+α)=2sin (3π2+α)，则sin(π-α)-4sin(π2+α)5sin(2π+α)+2cos(2π-α)= . 2.若sin (π2+θ)<0，且cos (π2-θ)>0，则角θ是( )A.第一象限角B.第二象限角C.第三角限角D.第四象限角3.已知cos(75°+α)=13，且-180°<α<-90°，则cos(15°-α)= . 4.已知sin φ=611,求cos (11π2+φ)+sin(3π-φ)的值.5.已知sin (π4-α)=a ，0<α<π2，求sin (5π4+α)的值.6.已知sin (π6+α)=√33,求cos (π3-α)的值.。
5.3 诱导公式(第2课时)(34张PPT)
2．求值：ctaons2α7＋0°1＋80α°＋＋csions9900°°－＋αα＋－stiann237600°°－＋αα. 解：原式＝ctaons[α1＋80c°o＋s α9＋0°s＋in[α18]－0°s＋in9α0－°－tanαα]
＝－tacnosα＋90c°o＋s αα－－ssinin9α0－°－taαnα
第二 阶段
课堂探究评价
关键能力 素养提升 类型一：利用诱导公式化简与求值
典例示范
【例 1】 (1)已知 cos (π＋α)＝－12，α 为第一象限角，求 cosπ2＋α 的值．
(2)已知 cos π6－α＝13，求 cos 56π＋α·sin 23π－α的值．
解：(1)∵cos (π＋α)＝－cos α＝－12， ∴cos α＝12.又 α 为第一象限角， ∴cos 2π＋α＝－sin α＝－ 1－cos2α＝－
2．诱导公式五、六的整合与记忆 π2－α，π2＋α 的三角函数值，等于 α 的_异__名__三角函数值，前面加 上一个把 α 看成_锐__角__时__原__函__数__值__的__符__号__，记忆口诀为 “_函__数__名__改__变__，__符__号__看__象__限__”．
3．六组诱导公式的整合与记忆 (1)六组诱导公式可以统一概括为“k·π2±α(k∈Z)”的诱导公式． (2)记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限． 其中“奇、偶”是指 k·π2±α(k∈Z)中 k 的奇偶性，当 k 为奇数时， 正弦变余弦，余弦变正弦；当 k 为偶数时，函数名不变．“符号” 看的是诱导公式中把 α 看成锐角时原函数值的符号，而不是 α 函数 值的符号．
预习验收 衔接课堂
1．已知 cosπ2＋φ＝ 23，且|φ|<π2，则 tan φ＝( C )
高中数学 5-3 诱导公式 第2课时 诱导公式(二)课件 新人教A版必修第一册
提示：(1)如图，角π2－α 与角 α 的终边关于 y＝x 对称． (2)点 P1(a，b)关于 y＝x 对称的对称点坐标是 P2(b，a)．
练一练：已知 cosπ2－α＝12，则 sin(π＋α)＝_－__12___．
[解析] cosπ2－α＝sin α＝12， ∴sin(π＋α)＝－sin α＝－12.
题型二
三角恒等式的证明
典例2 求证：
2sin1－θ－2s32iπn2c（osπθ＋＋θπ2）－1＝ttaann（（9ππ＋＋θθ））－＋11.
[分析]
[证明] 左边＝
－2sin32π－θ·（－sin 1－2sin2θ
θ）－1＝2sinπ＋1－π2－2sθin2sθin
θ－1
＝－2sin1－π2－2sθins2iθn θ－1
D．－ 1－a2
[解析] sin 25°＝sin（90°－65°）＝cos 65°＝a.
(B )
2．若 sinπ2＋θ<0，且 cosπ2－θ>0，则 θ 是
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
[解析] 因为cos θ<0，sin θ>0，∴θ是第二象限角．
( B)
3．已知 cosπ2＋α＝－35，且 α 是第二象限角，则 sinα－32π的结果是
第五章 三角函数
5.3 诱导公式
第2课时 诱导公式(二)
必备知识·探新知 关键能力·攻重难 课堂检测·固双基
必备知识 ·探新知
知识点 1 诱导公式五
sinπ2－α＝cos α， cosπ2－α＝sin α 想一想：(1)角π2－α 与角 α 的终边有什么样的位置关系？ (2)点 P1(a，b)关于 y＝x 对称的对称点坐标是什么？
5.3诱导公式第2课时课件(人教版)
2
2
+2k , k Z
+2k , k Z。
可知，角
2
（2）诱导公式五
sin（ ） cos
2
cos（ ） sin
2
与角α的终边关于直线y=x对称(如图所示).
P点的坐标为（x,y）
y
P1 （y , x )
P1点的坐标为（y,x）
O
P（x, y )
第五章
5.3
三角函数
诱导公式
一.复习回顾
任意角三角函数的定义
设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，
那么：
（1）正弦sinα＝ y
（2）余弦cosα＝
x
（3）正切tanα＝
y
x
诱导公式（一）
sin( k 360 ) sin
sin( 2k ) sin
－cos α
－sin α
＝－2sin α.又
π
1
cos2＋α＝3，所以－sin
2
所以原式＝－2sin α＝3.
3.
sin
α=
·sin
cos
1
α＝3.
例1.
练习
1.
2.已知 cos(
3.
6
)
3
5
，求 cos(
)的值.
cos( k 360 ) cos cos( 2k ) cos
tan( k 360 ) tan
其中
k Z
tan( 2k ) tan
5.3诱导公式(第二课时)课件(人教版)
12
5
P13，13.
(1)求sin(α＋π)的值；
根据题意，得 sin α＝
cos α＝
5
13
5
5
12 ＝13，
2
2
＋
13
13
12
13
12
sin α 5
5
12 ＝13，tan α＝cos α＝12，
2
2
＋
13
2. 通过
∆
看∆的奇偶性，奇变偶不变：
∆为奇数则变函数名（sin变为cos，cos变为sin）
∆为偶数则不变函数名.
3. 将α看做第一象限的角，判断符号正负
（一全正、二正弦、三正切、四余弦）
化简求值
典 型 例 题 1
例1.
化简求值问题
11
(2−)(+)( +)(
作P1关于y=x轴的对称点P5，以OP5为终
边的角β与角α有什么关系？角β，α的三
角函数值之间有什么关系？
5
角α与角α的终边关于
诱导公式五
(y,x)
(x,y)
y=x
对称
？ 思考2
如图，在直角坐标系内，设任意角α的终
边与单位圆交于点P1
作P5关于y轴的对称点P6，以OP6为终边的
角与角α有什么关系？
1
，且 −270°
5
< < −90° ，
跟 踪 训 练 2
已知( − )
3
(1)( + )
5.3诱导公式课件(第二课时)-高一上学期数学人教A版【01】
2
2
9
cos ( ) sin ( 3 ) sin ( ) sin
2
( sin )( cos )( sin ) cos 5
2
原式
=
解：
( cos ) sin ( ) sin ( ) sin 4
简记：
函数名不变
符号看象限.
2k (k z)、 、
的三角函数值，等于α的
同名三角函数值前面加
上把α看作锐角时原函数
值的符号。
求任意角的三角函数值的步骤：
(1)“负化正”——用公式一或三来转化；
(2)“大化小”——用公式一将角化为0°到360°间的角；
(3)“小化锐”——用公式二或四将大于90°的角转化为锐角；
2
cos（ ） sin
2
“函数名改变,符号看象限.”
作用是实现正弦函数与余弦函数的互相转化.
2
3
2
y
2
0
x
3
2
口诀：奇变偶不变，符号看象限
1）当为偶数时，等于的同名三角函数值，前面加上一个把看作锐
角时原三角函数值的)符号；
2）当为奇数时，等于的异名三角函数值，前面加上一个把看作锐
(37 ) 90 (53 )
sin(37 ) sin[90 (53 )] cos(53 )
270 90
90 270, 从而143 53 323,
5.3.2 诱导公式(第二课时课件)
2
函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.
函数名改变，符号看象限
作用：实现正弦函数与余弦函数的互相转化.
2 诱导公式(二)
思考：诱导公式可统一为 k (k Z) 的三角函数与α的
2
三角函数之间的关系，你有什么办法记住这些公式？
奇变偶不变，符号看象限
3 典型例题
例.证明： (1)
c
α
b
（ − ） =
2
2 诱导公式(二)
思考：若α为一个任意给定的角，那么
的终边与角α
的终边有什么关系？
y
2
的终边
α的终边
思考：点P1（x，y）关于
直线 y=x 对称的
点P2的坐标是什么？
O
yx
x
2 诱导公式(二)
思考：设角α的终边与单位圆的交点为P1（x，y），
思考：你能用简洁的语言概括一下公式五、六吗？
它们的作用是什么？
sin(
诱导公式五
诱导公式六
cos(
2
2
) cos
) sin
sin(
2
) cos
cos( ) sin
2
2 诱导公式(二)
公式概括：
的正弦（余弦）函数值，分别等于α的余弦（正弦）
2
sinα
7π
(3)cos( ＋α)＝________；
2
tanα
(4)tan(α－11π)＝________.
练一练
3π
3
2.已知 cos(
＋α)＝－ ，且α是第四象限角，
诱导公式第二课时课件-高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
3求值
1 2 sin 100 cos100
0
0
cos350 1 cos 170
4 求 sin
0
2
1 sin 2
2 0
2
0
0
sin 88 sin 89 的值
2
0
2
0
巩固练习
课本P193
1.用诱导公式求下列三角函数值
（1）cos
65
6
（4）sin67039
2
+ = −sin
y
2
O
y=x
的终边
2
P5(y1,x1)
P6
1
1
公式六
sin(
2
2
的终边
P1(x1,y1)
x
概念生成
公式五
sin(
2
− ) = cos
cos( − ) = sin
2
与的终边关于直线y x对称
2
问题1 公式五和公式六的作用是什么？
此时判断 · ± 所在的象限，并观察原三角函数对这个角运算得到的符号是
2
正还是负.
4.这些规律对任何三角函数(只要存在，有意义)都成立.
例1.化简：
11
sin(2−)cos(+)cos 2 + cos 2 −
9
cos(−)sin(3−)sin(−−)sin 2 +
公式三
sin − = −sin
cos − = cos
tan − = −tan
公式四
sin − = sin
5.3诱导公式第二课时课件-高一上学期数学【05】
tan(
22
) tan
1
公式三
“函数名不 变，
公式四
sin s符in号看象限”
sin sin
cos cos
cos cos
tan tan
tan tan
新知探究
1.公式二、三、四之间的关系
sin sin π
sin sin
？ sin π
sin
在 sin 和π π 中，哪一个
与πsi+n 在π 结构上更接近？
cos( ) sin
2
公 sin( ) cos 2
式 六
cos (
)
sin
2
你有奇什变么偶办不法变记，住符这号些看公象式限？.
2
y
2
把α看成锐角
0
x
口诀：奇变偶不变，符号看象限
3
2
3
2
意义：k
π±α（k 2
Z）的三角函数值
1）当k为偶数时，等于α的同名三角函数值，前面加上
3
sin cos(90 )
cos sin(90 )
3.公式五、六探究
问题1：如图，在直角坐标系内，设任意角α的终边与
单位圆交于点P1，作P1关于直线的对称点P5，以OP5为终边 的角β与角α有什么关系? 角β，α的三角函数值之间有什么关
系?
终边以相O同P的5为角终，边即的角β2都k是 (与 角2)(k Z).
2 因此，只要探究角 与α的三角函
2 数值之间的关系即可．
y
P5 ( y, x)
P1(x, y)
x
O
A(1,0)
公式 五
sin( ) cos
2
cos( ) sin
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太谷县职业中学校学案纸（一）
课题
三角函数的
诱导公式2
课型新授备课时间3、28
授课班级时间班月日班月日班月日班月日
教学目标知识目标
⑴理解正弦、余弦的诱导公式．
⑵培养学生化归、转化的能力．
能力目标
（1）能运用公式一、二、三的推导公式四、五．（2）掌握诱导公式并运用之进行三角函数式的求值、化简
以及简单三角恒等式的证明．
德育目标
通过公式四、五的探究，培养学生思维的严密性与科学性等思维品质以及孜孜以求的探索精神等良好的个性品质．
教
材分析
教学重点
公式四、五的推导，能观察分析公式的特点，明确公式用途，
熟练驾驭公式．
教学难点
运用诱导公式对三角函数式的求值、化简以及简单三角恒等
式的证明．
学情分析
由于学生在初中接触三角函数少，所以对三角函数比较陌
生，讲课的时候要速度放慢点
教学媒体多媒体教学教学时数1课时
教、学方法分析
由于本节课的内容与点的对称、三角函数的定义、三角函数在各个象限的符号有关，因此，本节课教学过程中，要先复习，再推导的教学
方法教学，还要结合多媒体共同教学。
学习的时候，要动手操作，讨论，关键是付诸行动。
太谷县职业中学校学案纸（二）
板书设计
三角函数的诱导公式2 一、复习： 三、：例题
二、公式五、
α
απ
ααπ
s in 2
cos (
cos )2
s in(
）＝－－= 四、小结
公式六、
α
απ
α
απ
sin )2
cos(
cos 2
sin =++）＝（
作业（实习实训）存在问题
学生学习本节内容的时候，公式不能灵活用运，公式的符号经常错，所以要多练。
教学反思
在讲授这节内容的时候，不是特别的顺利，尤其在遇到公式的符号的确定是，相对容易出错，在这方面的讲课中，需要增加一定的习题，让学生动手操作。
太谷县职业中学校学案纸（三）
教学
环节教学过程
目标
渗透
情境导入复习：1、诱导公式（一）
tan
)
360
tan(
cos
)
360
(
cos
sin
)
360
sin(α
α
α
α
α
α=
+
︒
=
+
︒
=
+
︒k
k
k
诱导公式（二）
tan
)
180
tan(
cos
)
180
cos(
sin
)
180
sin(α
α
α
α
α
α=
+︒
-=
+︒
-=
+︒
诱导公式（三）
tan
)
tan(
cos
)
cos(
sin
)
sin(α
α
α
α
α
α-
=
-
=
-
-
=
-
诱导公式（四）
tan
)
180
tan(
cos
)
180
cos(
sin
)
180
sin(α
α
α
α
α
α-
=
-
︒
-
=
-
︒
=
-
︒
感知计
算机与
数学的
关系
学习目标⑴理解正弦、余弦的诱导公式．
⑵培养学生化归、转化的能力．
了解学
习目标，
对本节
课内容
有大概
了解
引例2、sin（90°－60°)与cos60°，cos（90°－60°）与sin60°的值分
别
有什么关系？据此，你有什么猜想？
例题
讲解新课3、若α为一个任意给定的角，那么它与α
π
－
2
的终边有什么关系？
4、点P1（x，y）关于直线y=x对称的点P2的坐标如何？
5、设角α的终边与单位圆的交点为P1（x，y），则α
π
－
2
的终边与单位圆的交点为P2（y，x），根据三角函数的定义，你能获得哪些结论？
6、sin（90°＋60°）与cos60°，cos（90°＋60°）与sin60°的值分别有什么有何关系？据此，你有什么猜想？
7、有什么内在联系?
8、根据相关诱导公式推导sin( ),cos(
分别等于什么？
习题讲练
α
π
+
2
α
π
-
2
α
π
+
2
α
π
+
2
）分别等于什么？
），
（
），
（
），
（
关诱
、
α
π
α
π
α
π
α
π
+
+
2
3
(
cos
2
3
sin
-
2
3
cos
-
2
3
sin
导公式推导，
根据相
10。