特殊三角形存在性(习题及答案)

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2020年中考数学难题突破：函数中特殊三角形存在性问题解析与练习及参考答案

(3 ) ①x＝ 1 (1 ，a)
②三 AQ＝ BQ，AB＝BQ， AQ＝AB
解： (1) ∵直线 y＝3x＋ 3，
∴当 x＝0 时， y＝ 3，当 y＝0 时， x＝－ 1，
∴点 A 的坐标为 ( －1，0) ，点 B 的坐标为 (0 ，3) ．
(2) 设抛物线对应的函数表达式为
y＝ax2＋ bx＋c，由题意，得
③当 AQ＝ AB时，如图③，由勾股定理，得 22＋a2＝ 10，解得 a＝± 6，此时点 Q的坐标是 (1 ， 6) 或(1 ，－ 6) ．综上所述，存在符合条件的点 Q，点 Q的坐标为 (1 ，1) 或 (1 ，0) 或 (1 ， 6) 或(1 ，－ 6) ．类型 2 直角三角形、全等三角形存在性问题例 2 如图 2，已知直线 y＝kx －6 与抛物线 y＝ ax2＋bx＋c 相交于 A，B 两点，且点 A(1，－ 4) 为抛物线的顶点，点 B 在 x 轴上．
解得
1－ m＝ 2
13
1＋ m＝ 2
13 ＞0，舍去
，
∴点 P 的坐标为
1－ 2
13 ，
13－1 . 2
(3) 如图，①当∠ Q1AB＝90°时，△ DAQ∽1 △ DOB，
AD DQ1
5 DQ1
∴OD＝ DB，即6＝ 3ຫໍສະໝຸດ ， 557
∴DQ1＝ 2，∴ OQ1＝2，
7 即点 Q1的坐标为 0，－ 2 ；
C(3，0) ．
(1) 求点 A，B 的坐标．
(2) 求抛物线对应的函数表达式．
图1
(3) 在抛物线的对称轴上是否存在点 Q，使△ ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点 Q的坐
标；若不存在，请说明理由．

特殊三角形存在性(等腰三角形存在性二)(人教版)(含答案)

特殊三角形存在性（等腰三角形存在性二）（人
教版）
一、单选题(共3道，每道33分)
1.如图，直线y=-x+2与x轴、y轴分别交于A，B两点，点P是直线AB上的动点，若使△BOP 为等腰三角形，则点P的坐标是( )
A.
B.
C.
D.
答案：D
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：等腰三角形存在性
2.如图，直线y=-x-3与x轴、y轴分别交于A，B两点，点P是直线x=-1上的动点，若使△PAB为等腰三角形，则点P的坐标是( )
A.
B.
C.
D.
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：等腰三角形存在性
3.如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，过点O作OC⊥AB于点C，点P是线段OA上的动点，若使△PAC为等腰三角形，则点P的坐标是( )
A.
B.
C.
D.
答案：A
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：等腰三角形存在性。

二次函数特殊三角形存在性问题(等腰三角形、直角三角形)

特殊图形存在性问题一、等腰三角形1、情景：平面内有点A、B，要找到点P使得△ABP为等腰三角形。

2、思想：分类讨论（1）A为顶点：AB=AP（以A为圆心、AB长为半径画圆）（2）B为顶点：AB=BP（以B为圆心、AB长为半径画圆）（3）P为顶点：PA=PB（AB中垂线）【注】：1.利用两圆一线，找到符合要求的点，如P在抛物线对称轴上，在x轴上等；然后将问题转化为，求线段等长。

2.求线段等长：两点间距离（最笨的方法）；向坐标轴做垂线，构造一线三等角例1.如图，抛物线y=−x2+2x+3y=−x2+2x+3与y轴交于点C，点D(0,1)，点P是抛物线上的动点．若△PCD是以CD为底的等腰三角形，则点P的坐标为______．练习1.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A,B 两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为(3,0)，与y轴交于C(0,−3)点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．(1)求这个二次函数的表达式；(2)在直线BC找一点Q，使得△QOC为等腰三角形，写出Q点坐标．练习2、已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，直线l 是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．练习3.如图，抛物线y=ax2+bx﹣3（a≠0）的顶点为E，该抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且BO=OC=3AO，直线y=﹣x+1与y轴交于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）证明：△DBO∽△EBC；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PBC是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的P点坐标，若不存在，请说明理由．练习4.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交A(−1,0),B(−3,0)两点，与y轴交于点C(0,−3)，其顶点为D．(1)求该抛物线的解析式，并用配方法把解析式化为y=a(x−h)2+k的形式；(2)动点M从点D出发，沿抛物线对称轴方向向上以每秒1个单位的速度运动，运动时间为t，连接OM,BM，当t为何值时，△OMB为等腰三角形？练习5.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，m），点B的坐标为（n，﹣n），抛物线经过A、O、B三点，连接OA、OB、AB，线段AB交y轴于点C．已知实数m、n （m＜n）分别是方程x2﹣2x﹣3=0的两根．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线PC与抛物线交于D、E 两点（点D在y轴右侧），连接OD、BD．①当△OPC为等腰三角形时，求点P的坐标；②求△BOD 面积的最大值，并写出此时点D的坐标．25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过原点O，与x轴交于点A（5，0），第一象限的点C（m，4）在抛物线上，y轴上有一点B（0，10）．（Ⅰ）求抛物线的解析式及它的对称轴；（Ⅱ）点P（0，n）在线段OB上，点Q在线段BC上，若OP＝2BQ，且P A＝QA．求n 的值；（Ⅲ）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使以A，B，M为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．19-红桥一模25．（10分）如图，抛物线y＝x2+bx+c与y轴交于点C（0，﹣4），与x轴交于点A，B，且B点的坐标为（2，0）．（1）求该抛物线的解析式．（2）若点P是AB上的一动点，过点P作PE∥AC，交BC于E，连接CP，求△PCE面积的最大值．（3）若点D为OA的中点，点M是线段AC上一点，且△OMD为等腰三角形，求M点的坐标．(17河北一模)25(10分）如图，己知抛物线y=x2+bx+c图象经过点A（﹣1，0），B（0，﹣3），抛物线与x轴的另一个交点为C．（1）求这个抛物线的解析式：（2）若抛物线的对称轴上有一动点D，且△BCD为等腰三角形（CB≠CD），试求点D的坐标；二、直角三角形1.情景：平面内有点A、B，要找到点P使得△ABP为直角三角形2.思想：分类讨论（1）A为顶点：∠A（过A做垂线）（2）B为顶点：∠B（过B做垂线）（3）P为顶点：∠C（AB为直径的圆）【注】1.等腰直角三角形，只需在两直线上上下找与AB等长以及过O做AB垂线与圆交点即可例1.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过矩形OABC的顶点A，B与x 轴交于点E，F且B，E两点的坐标分别为B(2，32)E(−1，0)(1)求二次函数的解析式；(2)在抛物线上是否存在点Q，使△QBF为直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．练习1.如图，抛物线y=x2+bx+3顶点为P，且分别与x轴、y轴交于A、B两点，点A在点P的右侧，tan∠ABO=13(1)求抛物线的对称轴和PP的坐标．(2)在抛物线的对称轴上是否存在这样的点D，使△ABD为直角三角形？如果存在，求点D 的坐标；如果不存在，请说明理由．例2.如图，抛物线y=−x2+bx+c与x轴相交于AB两点，与y 轴相交与点C，且点B与点CC 的坐标分别为(3,0)，C(0,3)，点M是抛物线的顶点．(1)求二次函数的关系式(2)在MB上是否存在点P，过点P作PD⊥x轴于点D,OD=m,使△PCD为直角三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由练习2.如图，在平面直角坐标系中，直线y=−13x+2交x轴点P，交y轴于点A．抛物线y=x2+bx+c的图象过点E(−1,0)，并与直线相交于A、B两点．(1)求抛物线的解析式（关系式）；(2)过点A作AC⊥AB交x轴于点C，求点C的坐标；(3)除点C外，在坐标轴上是否存在点M，使得△MAB是直角三角形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．练习3.如图，抛物线y=x2+bx+c与直线y=x﹣3交于A、B两点，其中点A在y轴上，点B坐标为（﹣4，﹣5），点P为y轴左侧的抛物线上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交AB于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）以O，A，P，D为顶点的平行四边形是否存在？如存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．（3）当点P运动到直线AB下方某一处时，过点P作PM⊥AB，垂足为M，连接PA使△PAM为等腰直角三角形，请直接写出此时点P的坐标．（18东丽-一模）25.如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，1）、（1，2），过点A、B分别作y轴的垂线，垂足为D、C，得到正方形ABCD，抛物线y=x2+bx+c经过A、C两点，点P为第一象限内抛物线上一点（不与点A重合），过点P分别作x轴y轴的垂线，垂足为E、F，设点P的横坐标为m，矩形PFOE与正方形ABCD重叠部分图形的周长为l．（1）直接写出抛物线所对应的函数表达式．（2）当矩形PFOE的面积被抛物线的对称轴平分时，求m的值．（3）当m＜2时，求L与m之间的函数关系式．（4）设线段BD与矩形PFOE的边交于点Q，当△FDQ为等腰直角三角形时，直接写出m的取值范围．三、平行四边形存在性问题类型一：1.情景：一直平面内三点A、B、C，求一点P使四边形ABCP为平行四边形2.思想：分类讨论（1）以AC为对角线：ABCP1（2）以AB为对角线：ACBP3（3）以BC为对角线：ACP2B【注】找到P点后，用平行四边形的判定定理，求等长线段，或利用等角度、平行线求坐标即可。

特殊三角形的存在性(讲义及答案)

特殊三角形的存在性（讲义）➢知识点睛1.存在性问题的处理思路①分析不变特征分析背景图形中的定点，定线，定角等不变特征．②分类、画图结合图形形成因素（判定，定义等）考虑分类，画出符合题意的图形．通常先尝试画出其中一种情形，分析解决后，再类比解决其他情形．③求解、验证围绕不变特征，画图依据来设计方案进行求解；验证时，要回归点的运动范围，画图或推理，判断是否符合题意．注：复杂背景下的存在性问题往往需要研究背景图形，几何背景往往研究点，线，角；函数背景研究点坐标，表达式等．2.等腰三角形的存在性不变特征及特征下操作要点举例：①两定一动连接两个定点得定线段，定线段在等腰三角形中作腰或底进行分类（两圆一线），通常借助腰相等或者“三线合一”进行求解．②夹角固定、两点动若固定的夹角为锐角，则固定的角可作等腰三角形的顶角或底角进行分类；若固定的夹角为钝角，则只能作为等腰三角形的顶角，通常借助等腰三角形腰相等或者“三线合一”进行求解．③三动点三边两两相等或者三个角两两相等分类，表达线段或者角度，借助等腰三角形性质进行求解．3.直角三角形的存在性特征分析及特征下操作要点：理论上三角形的三个顶点分别作为直角顶点进行分类（往往存在不变特征，分析排除不可能为直角顶点的情况），通常借助三等角模型，k1·k2=-1或勾股定理等进行求解．4. 等腰直角三角形的存在性特征分析及特征下操作要点：三角形的三个顶点分别为直角顶点进行分类，在直角的基础上，再考虑等腰，通常借助构造弦图模型进行求解．➢ 精讲精练1. 已知在矩形纸片ABCD 中，AD =8，AB =6，点E 在BC 边上，沿直线AE 折叠纸片，使点B 落在点F 处，连接FC ．当△CEF 为直角三角形时，BE 的长为________________．DC B ADCB A2. 如图，矩形ABCD 中，AB =4，AD =6，点E 为AD 中点，点P 为线段AB 上一个动点，连接EP ，将△APE 沿EP 折叠得到△EPF ，连接CE ，CF ．当△ECF 为直角三角形时，AP 的长为_________．ABCDEFP3. 如图，已知□ABCD 中，AB =16，AD =10，sin A =35，点M 为AB 边上一动点，过点M 作MN ⊥AB ，交AD 边于点N ，将∠A 沿直线MN 翻折，点A 落在线段AB 上的点E 处，当 △CDE 为直角三角形时，AM 的长为____________．ABCD EMN4. 如图，在△ABC 中，AB =BC =4，AO =BO ，P 是射线CO 上的一个动点，∠AOC =60°，则当△P AB 为直角三角形时，AP 的长为______________．OPCBAOCBA5. 如图，在矩形ABCD 中，AB =3，AD =7，点E 是AD 边上的一点，连接BE ，将BE 绕点E 顺时针旋转90°至B′E ，连接B′D ，当△B′ED 是直角三角形时，AE 的长为___________．B'EDCBA6. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =8，BC =6，点E 是AB 边上一动点，过点E 作DE ⊥AB 交AC 边于点D ，将∠A 沿直线DE 翻折，点A 落在线段AB 上的点F 处，连接FC ．当△BCF 为等腰三角形时，AE 的长为_________________．ABCDE F CBAOCBA7. 已知：如图，在矩形ABCD 中，AB =10，AD =5，将矩形ABCD 折叠，使点C落在边AB 上的E 处，折痕交DC 边于点M ，点F 在DM 上运动，当△AEF 是腰长为5的等腰三角形时，EF 的长为______________．ABCD EF M8. 如图，在矩形ABCD 中，AB=AD =4，点E 是BC 边上的一个动点，连接AE ，过点D 作DF ⊥AE 于点F ，连接CF ．当△CDF 是等腰三角形时，BE 的长为____________．9. 已知：如图，在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，AB =4，sin ∠BAC 35，E 是AB 延长线上一点，连接并延长EC ，过点A 作AD ∥BC ，交EC 的延长线于点D ．则当△ACD 是等腰三角形时，BE 的长为______________．A B C DE A B CA BC10. 在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD =2，AB =CD =4，且∠B =60°，M 是CD 上一动点，作MN ⊥CD ，交BC 于N ，将∠C 沿MN 翻折，使点C 落在射线CD 上的点E 处．当△ANE 为等腰三角形时，CM 的长为_______________．MNED CBA11. 如图，BC ⊥y 轴，BC ＜OA ，点A ，点C 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，D 是线段BC 上一点，BD =14OA，AB =3，∠OAB =45°，E ，F 分别是线段OA ，AB 上的两动点，且始终保持∠DEF =45°．使△AEF 为等腰三角形，则线段OE 的值为___________．12. 如图，在矩形ABCD 中，AB =8，AD =6，点E 为AB 上一点，AE=F在AD 上，将△AEF 沿EF 折叠，当折叠后点A 的对应点A′恰好落在BC 的垂直平分线上时，折痕EF 的长为__________．A BCD EFA'13. 如图，四边形ABCD 是菱形，AB =2，∠ABC =30°，点E 是射线DA 上一动点，把△CDE 沿CE 折叠，其中点D 的对应点为点D′，若CD′垂直于菱形ABCD 的边时，则DE 的长为___________．EDCB AD′14. 在矩形ABCD 中，AB =4，BC =9，点E 是AD 边上一动点，将边AB 沿BE 折叠，点A 的对应点为A′，若点A′到矩形较长两对边的距离之比为1:3，则AE 的长为____________．15. 在矩形ABCD 中，AB =6，BC =12，点E 在边BC 上，且BE =2CE ，将矩形沿过点E 的直线折叠，点C ，D 的对应点分别为C ′，D ′，折痕与边AD 交于点F ，当点B ，C ′，D ′恰好在同一直线上时，AF 的长为___________．【参考答案】1.3或62.1或9 43.4或84.5.46.2，75或527. 58.2，4-9.4，6或810.74或7511.3，212.4或13.3或214.15.8+8-。

2020中考数学专题17—存在性问题之特殊三角形

2020中考专题17——存在性问题之特殊三角形姓名____________ . 【方法解读】特殊二和形存化件问题L婪足指寻找符介条件的点使之构成等腰二角形、江用三角形、全第一;角形等特殊二用形.解决此类问题的美犍在于恰当地分类4M避免M籽.【例题分析】例L如图，直线产3x-3交x轴例点A,交y轴J点B,过A, B两点的他物线交x例J另一点C(3, 0).(1)求点A,B的坐标.(2)求旭物线对应的函数表认式.(3)在附物线的对称轴上是否存在点Q,使△ABQ皓笔腰三角形?若存在，求出符合条件的点Q的坐标: 若不存在.请说明毋山.例2.如凰tl知直线.kx 6与抛物线y』x'b乂，c相交十A, 3两点，口点A(l,⑷为抛物段的顶点, 点B 在x轴上.⑴求旭利线对应的函数及辽揖⑵任⑴中：次函数的第.拿限的图象上是否存在•点P,便△FOB与APOC全等?若存在，求出点P 的％标:若不存在,请说明理由.(3)若点Q是y轴上…点,HAABQ为直角三角形,求点Q的坐标.D.【巩固训练】1.（2019•止宾〉已刈抛物纹y = x'-l，j轴文于点A.。

宜纹/=代内为任总实数）出文于S , C两点.则下列结论不正确的是（）A.存在实数使得448C为等腰三角形民存在实数A ,使得&46C的内角中仃两角分别为3伊和60）C.任意实数A,伐得部为血角三角形D.存在实数4,使得M8c为等边三处形2. M图.在平行四边形ABCD中,AB 7 cm, BC 4 c0 NA-30' .点P从点A出发沿着AB边向燃B运劭, 速度为I cm/.连结印，若以运动时间为则当〔二 w时,AADP为等小」角形.3.（2019 •泰安）已知次函数】七公十）的图象。

反比例函数y =巴的图象大丁点T,与x他交丁x 点用 5.U）.若 08 二4 8, H.S^=y .（1）求反比例函数与一次函数的表达式，<2）苦点P为x粕上一点,是等股三角形.求点「的坐乐.1. （2D18・ F州）如图，池物线y = a/+bx-4经过,4（-3.0）.£（5.-4）两点, I j•地文于点C ,性接力&•4C. RC.（1）求抛物线的表达式，（2）求证，.48平分NO6（3）抛物线的对称轴卜.是否存在点M,使得M8W是以48为宜用边的汽角H角形，若存在，求山点M的坐标：苍不存在，请说刚理由.5.(2019•的卅)如图I.在平面直用坐标系中•点。

二次函数与几何综合-特殊三角形存在问题(解析版)

专项12 二次函数与几何综合-特殊三角形存在问题等腰三角形的存在性问题【方法1 几何法】“两圆一线”（1）以点A 为圆心，AB 为半径作圆，与x 轴的交点即为满足条件的点C ，有AB=AC ；（2）以点B 为圆心，AB 为半径作圆，与x 轴的交点即为满足条件的点C ，有BA=BC ；（3）作AB 的垂直平分线，与x 轴的交点即为满足条件的点C ，有CA=CB ．注意：若有重合的情况，则需排除．以点 C 1 为例，具体求点坐标：过点A 作AH ⊥x 轴交x 轴于点H ，则AH=1，又32121131311==-=∴=HC AC ，()03211，坐标为故点-C 类似可求点 C 2 、C 3、C 4 ．关于点 C 5 考虑另一种方法．【方法2 代数法】点-线-方程表示点：设点C 5坐标为(m ,0)，又A （1,1）、B （4,3），表示线段：11-m 225+=）（AC 94-m 225+=）（BC 联立方程：914-m 1-m 22+=+）（）（，623m =解得：，），坐标为（故点06232C直角三角形的存在性【方法1 几何法】“两线一圆”（1）若∠A 为直角，过点 A 作 AB 的垂线，与 x 轴的交点即为所求点 C ；（2）若∠B 为直角，过点 B 作 AB 的垂线，与 x 轴的交点即为所求点 C ；（3）若∠C 为直角，以 AB 为直径作圆，与 x 轴的交点即为所求点 C ．（直径所对的圆周角为直角）如何求得点坐标？以C 2为例：构造三垂直．），坐标为（故代入得：坐标得、由易证0213232222C C C BN AM B A N MBBN AM BN AMB ===∆≈∆()），坐标为（，，坐标为故或故又即代入得：，设，坐标得、由易证求法相同，如下：、040231a ,4a ,3ab ,3ab 1N a,31,4333333343C C C C C C C C C C b bM BN AM B A NBM N AMNB AM ==+=======∆≈∆【方法2 代数法】点-线-方程23m 20352235110,m 135-m 1-m 35-m 11-m 22222122111=+=+=+=+==，解得：）代入得方程（，，，）表示线段：（）；，（）、，（），又坐标为（）表示点：设（：不妨来求下）（）（）（）（BC C C C A AB B A【考点1 等腰角形的存在性】【典例1】（2020•泰安）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c交x轴于点A （﹣4，0）、B（2，0），交y轴于点C（0，6），在y轴上有一点E（0，﹣2），连接AE．（1）求二次函数的表达式；（2）抛物线对称轴上是否存在点P，使△AEP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有P点的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（1）y＝，（2）m＝时，△ADE的面积取得最大值为（3）点P坐标为：（﹣1，1），（﹣1，），（﹣1，﹣2）【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+c经过点A（﹣4，0）、B（2，0），C（0，6），∴，解得，所以二次函数的解析式为：y＝，（2）y＝的对称轴为x＝﹣1，设P（﹣1，n），又E（0，﹣2），A（﹣4，0），可求P A2＝9+n2，PE2＝1+（n+2）2，AE2＝16+4＝20，当P A2＝PE2时，9+n2＝1+（n+2）2，解得，n＝1，此时P（﹣1，1）；当P A2＝AE2时，9+n2＝20，解得，n＝，此时点P坐标为（﹣1，）；当PE2＝AE2时，1+（n+2）2＝20，解得，n＝﹣2，此时点P坐标为：（﹣1，﹣2）．综上所述，P点的坐标为：（﹣1，1），（﹣1，），（﹣1，﹣2）．【变式1-2】（2020•贵港）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3）．（1）求这个二次函数的表达式；（2）若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH⊥x轴于点H，与线段BC 交于点M，连接PC．当△PCM是以PM为一腰的等腰三角形时，求点P的坐标．【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3 （2）①n＝时，PM最大＝②P（3﹣，2﹣4）或（2，﹣3）．【解答】解：（1）将A，B，C代入函数解析式，得，解得，这个二次函数的表达式y＝x2﹣2x﹣3；（2）解法一：当PM＝PC时，（﹣n2+3n）2＝n2+（n2﹣2n﹣3+3）2，解得n1＝n2＝0（不符合题意，舍），n3＝2，n2﹣2n﹣3＝﹣3，P（2，﹣3）．当PM＝MC时，（﹣n2+3n）2＝n2+（n﹣3+3）2，解得n1＝0（不符合题意，舍），n2＝3﹣，n3＝3+（不符合题意，舍），n2﹣2n﹣3＝2﹣4，P（3﹣，2﹣4）．综上所述：P（3﹣，2﹣4）或（2，﹣3）．解法二：当PM＝PC时，∵BC：y＝x﹣3∴∠ABC＝45°∵PH⊥AB∴∠BMH＝∠CMP＝45°∴PM＝PC时，△CPM为等腰直角三角形，CP∥x轴设P（n，n2﹣2n﹣3），则CP＝nMP＝﹣n2+3n∴n＝﹣n2+3n解得n＝0（舍去）或n＝2，∴P（2，﹣3）当PM＝CM时，设P（n，n2﹣2n﹣3），则＝﹣n2+3n＝﹣n2+3n∵n＞0∴n＝﹣n2+3n解得n＝3﹣∴P（3﹣，2﹣4）综上所述：P（3﹣，2﹣4）或（2，﹣3）【变式1-2】（2022•澄海区模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C，点A的坐标为（﹣1，0），点C坐标为（0，3），对称轴为x＝1．点M为线段OB上的一个动点（不与两端点重合），过点M作PM⊥x轴，交抛物线于点P，交BC 于点Q．（1）求抛物线及直线BC的表达式；（2）试探究点M在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵抛物线对称轴为x＝1，点B与A（﹣1，0）关于直线x＝1对称，∴B（3，0），设y＝a（x﹣3）（x+1），把C（0，3）代入得：﹣3a＝3，解得：a＝﹣1，∴y＝﹣（x﹣3）（x+1）＝﹣x2+2x+3，设直线BC的解析式为y＝kx+d，则，解得：，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，故抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3，直线BC的解析式为y＝﹣x+3；（2）存在，设Q（m，﹣m+3）（0＜m＜3），∵A（﹣1，0），C（0，3），∴AC2＝OA2+OC2＝12+32＝10，AQ2＝（m+1）2+（﹣m+3）2＝2m2﹣4m+10，CQ2＝m2+m2＝2m2，∵以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形，∴AC＝AQ或AC＝CQ或AQ＝CQ，当AC＝AQ时，10＝2m2﹣4m+10，解得：m＝0（舍去）或m＝2，∴Q（2，1）；当AC＝CQ时，10＝2m2，解得：m＝﹣（舍去）或m＝，∴Q（，3﹣）；当AQ＝CQ时，2m2﹣4m+10＝2m2，解得：m＝，∴Q（，）；综上所述，点Q的坐标为（2，1）或（，3﹣）或（，）．【考点2 直角三角形的存在性】【典例2】（2021秋•建华区期末）抛物线y＝x2+bx+c经过A、B（1，0）、C（0，﹣3）三点．点D为抛物线的顶点，连接AD、AC、BC、DC．（1）求抛物线的解析式；（2）在y轴上是否存在一点E，使△ADE为直角三角形？若存在，请你直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过B（1，0）、C（0，﹣3），∴，解得，∴抛物线的解析式为：y＝x2+2x﹣3．（4）在y轴上存在点E，使△ADE为直角三角形，理由如下：∵抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，∴D（﹣1，﹣4），设E点坐标为（0，m），∴AE2＝m2+9，DE2＝m2+8m+17，AD2＝20，当∠EAD＝90°时，有AE2+AD2＝DE2，∴m2+9+20＝m2+8m+17，解得m＝，∴此时点E的坐标为（0，）；当∠ADE＝90°时，DE2+AD2＝AE2，m2+8m+17+20＝m2+9，解得m＝﹣，∴此时点E的坐标为（0，﹣）；当∠AED＝90°时，AE2+DE2＝AD2，m2+9+m2+8m+17＝20，解得m＝﹣1或m＝﹣3，∴此时点E的坐标为（0，﹣1）或（0，﹣3）．综上所述，符合题意的点E的坐标为（0，）或（0，﹣）或（0，﹣1）或（0，﹣3）．【变式2-1】（2022•灞桥区校级模拟）如图，抛物线与x轴交于点A（1，0），B（3，0），与y轴交于点C（0，3）．（1）求二次函数的表达式及顶点坐标；（2）连接BC，在抛物线的对称轴上是否存在一点E，使△BCE是直角三角形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）（x﹣3），将点C（0，3）代入y＝a（x﹣1）（x﹣3），∴3a＝3，∴a＝1，∴y＝（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣4x+3，∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴顶点为（2，﹣1）；（2）存在一点E，使△BCE是直角三角形，理由如下：∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴抛物线的对称轴为直线x＝2，设E（2，t），∵△BCE是直角三角形，∴BE⊥CE，∵B（3，0），C（0，3），∴BC＝3，BE＝，CE＝，①当BC为斜边时，∴18＝（）2+（）2，解得t＝，∴E点坐标为（2，）或（2，）；②当BE为斜边时，∴18+（）2＝（）2，解得t＝5，∴E点坐标为（2，5）；③当CE为斜边时，∴18+（）2＝（）2，解得t＝﹣1，∴E点坐标为（2，﹣1）；综上所述：E点坐标为（2，）或（2，）或（2，5）或（2，﹣1）．【变式2-2】（2022•碑林区校级四模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线C1：y＝ax2+bx+c 交x轴于点A（﹣5，0），B（﹣1，0），交y轴于点C（0，5）．（1）求抛物线C1的表达式和顶点D的坐标．（2）将抛物线C1关于y轴对称的抛物线记作C2，点E为抛物线C2上一点若△DOE是以DO为直角边的直角三角形，求点E的坐标．【解答】解：（1）将点A（﹣5，0），B（﹣1，0），C（0，5）代入y＝ax2+bx+c，∴，解得，∴y＝x2+6x+5，∵y＝x2+6x+5＝（x+3）2﹣4，∴顶点D（﹣3，﹣4）；（2）设抛物线C2上任意一点（x，y），则（x，y）关于y轴对称的点为（﹣x，y），∵点（﹣x，y）在抛物线C1上，∴抛物线记作C2的解析式为y＝x2﹣6x+5，设E（t，t2﹣6t+5），过点D作DG⊥x轴交于点G，过点E作EH⊥x轴交于点H，∵∠DOE＝90°，∴∠GOD+∠HOE＝90°，∵∠GOD+∠GDO＝90°，∴∠HOE＝∠GDO，∴△GDO∽△HOE，∴＝，∵DG＝4，GO＝3，HE＝﹣t2+6t﹣5，OH＝t，∴＝，∴t＝4或t＝，∴E（4，﹣3）或E（，﹣）．【变式2-3】（2022•武功县模拟）如图，经过点A（2，6）的直线y＝x+m与y轴交于点B，以点A为顶点的抛物线经过点B，抛物线的对称轴为直线l．（1）求点B的坐标和抛物线的函数表达式；（2）在l右侧的抛物线上是否存在点P，使得以P、A、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵直线y＝x+m经过点A（2，6），∴2+m＝6，解得m＝4，即y＝x+4．令x＝0，得y＝4，即点B的坐标为（0，4）．∵点A（2，6）为抛物线的顶点，∴可设抛物线的函数表达式为y＝a（x﹣2）2+6（a≠0），将点B（0，4）代入，得4＝4a+6，解得，∴抛物线的函数表达式为．∴点B的坐标为（0，4），抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+2x+4；（2）∵点A（2，6）为抛物线的顶点，∴抛物线的对称轴l：x＝2．①当AB为该等腰三角形的底边时：如图，点P在P2的位置．过点A作AC⊥y轴于点C，过点P2作P2D⊥AC交CA的延长线于点D，作P2E⊥y轴于点E，连接P2A，P2B，则P2A＝P2B，∠D＝∠P2EB＝90°．∵A（2，6），B（0，4），AC⊥BC，∴AC＝BC＝2，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠CAB＝∠CBA．∵P2A＝P2B，∴∠P2AB＝∠P2BA，∴180°﹣∠CAB﹣∠P2AB＝180°﹣∠CBA﹣∠P2BA，即∠P2AD＝∠P2BE．在△P2AD和△P2BE中，∠D＝∠P2EB，∠P2AD＝∠P2BE，P2A＝P2B，∴△P2AD≌△P2BE（AAS），∴P2D＝P2E．设，则P2E＝m，，∴，解得（舍去）或，∴；②当AB为该等腰三角形的腰时，作点B关于l的对称点P1，由抛物线的对称性可知，AB＝AP1．∵B（0，4），抛物线的对称轴为直线x＝2，∴P1（4，4）．综上可知，在l右侧的抛物线上存在点P，使得以P、A、B为顶点的三角形是等腰三角形，点P的坐标为（4，4）或．【考点3 等腰直角三角形的存在性】【典例3】（2022•黔东南州一模）抛物线y＝ax2+bx﹣经过点（1，﹣1），现将一块等腰直角三角板ABC（∠ACB＝90°）按照如图的方式放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点A、C坐标分别为（0，2）、（﹣1，0）．B点在抛物线y＝ax2+bx﹣图象上．（1）求点B的坐标：（2）求抛物的解析式；（3）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标：若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）过点B作BD⊥x轴，垂足为D．∵∠BCD+∠ACO＝90°，∠ACO+∠CAO＝90°，∴∠BCD＝∠CAO，又∵∠BDC＝∠COA＝90°，CB＝AC，∴△BCD≌△CAO（AAS），∴BD＝OC＝1，CD＝OA＝2，∴点B的坐标为（﹣3，1）；（2）抛物线y＝ax2+bx﹣经过点（1，﹣1），点B（﹣3，1），则，解得，所以抛物线的解析式为y＝x2+x﹣；（3）假设存在点P，使得△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形：①若以点C为直角顶点；则延长BC至点P1，使得P1C＝BC，得到等腰直角三角形△ACP1，过点P1作P1M⊥x轴，∵CP1＝BC，∠MCP1＝∠BCD，∠P1MC＝∠BDC＝90°，∴△MP1C≌△DBC（AAS），∴CM＝CD＝2，P1M＝BD＝1，∵OC＝1，∴OM＝1，∴P1（1，﹣1）；②若以点A为直角顶点；则过点A作AP2⊥CA，且使得AP2＝AC，得到等腰直角三角形△ACP2，过点P2作P2N⊥y轴，同理可证△AP2N≌△CAO，∴NP2＝OA＝2，AN＝OC＝1，∴点P2（2，1），③以A为直角顶点的等腰Rt△ACP的顶点P有两种情况．即过点A作直线L⊥AC，在直线L上截取AP＝AC时，点P可能在y轴右侧，即现在解答情况②的点P2；点P也可能在y轴左侧，即还有第③种情况的点P3．因此，然后过P3作P3G⊥y轴于G，同理：△AGP3≌△CAO，∴GP3＝OA＝2，AG＝OC＝1，∴P3为（﹣2，3）；经检验，点P1（1，﹣1）与在抛物线y＝x2+x﹣上，点P2（2，1）点P3（﹣2，3）都不在抛物线y＝x2+x﹣上．综上，存在，点P的坐标为（1，﹣1）．【变式1-1】（2022•兴宁区校级模拟）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点C（2，﹣3），且与x轴交于原点及点B（8，0），点A为抛物线的顶点．（1）求二次函数的表达式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点M，使△ABM是等腰三角形？如果存在，请求出点M的坐标．如果不存在，请说明理由；【解答】解：（1）由题意，解得：，∴二次函数的表达式为y＝x2﹣2x；（2）过点A作直线AF⊥x轴于点F，由（1）得y＝（x﹣4）2﹣4，∴抛物线的顶点A（4，﹣4），①AM＝BM，∵B（8，0），∴BF＝4，∵∠AFB＝90°，AF＝BF＝4，∴△ABF是等腰直角三角形，∴M在点F处，△ABM是等腰直角三角形，此时M为（4，0），②AB＝AM，由①得△ABF是等腰直角三角形，BF＝4，∴AB＝＝＝4，∴M为（4，﹣4﹣4）或（4，﹣4+4），③AB＝BM，∵AB＝BM，BF⊥AM，∴MF＝AF，∴M为（4，4），综上所述，M为（4，0），（4，﹣4﹣4）或（4，﹣4+4）或（4，4）；【变式3-2】（2022•禅城区二模）如图，抛物线经过原点O，对称轴为直线x＝2且与x轴交于点D，直线l：y＝﹣2x﹣1与y轴交于点A，与抛物线有且只有一个公共点B，并且点B在第四象限，直线l与直线x＝2交于点C．（1）连接AD，求证：AD⊥AC．（2）求抛物线的函数关系式．（3）在直线l上有一点动点P，抛物线上有一动点Q，当△PBQ是以PQ为斜边的等腰直角三角形时，直接写出此时点P的坐标．【解答】解：（1）如图1，过点C作CE⊥y轴于点E，则∠AEC＝∠DOA＝90°，∵直线y＝﹣2x﹣1与y轴交于点A，与直线x＝2交于点C，∴A（0，﹣1），C（2，﹣5），∴E（0，﹣5），∴OA＝1，OD＝2，CE＝2，AE＝4，∴＝，＝＝，∴＝，∵∠AEC＝∠DOA，∴△AEC∽△DOA，∴∠CAE＝∠ADO，∵∠ADO+∠DAO＝90°，∴∠CAE+∠DAO＝90°，∴∠DAC＝180°﹣（∠CAE+∠DAO）＝180°﹣90°＝90°，∴AD⊥AC．（2）设抛物线的函数关系式为y＝ax2+bx，∵对称轴为直线x＝2，∴＝2，∴b＝﹣4a，∴y＝ax2﹣4ax，由ax2﹣4ax＝﹣2x﹣1，整理得ax2+（2﹣4a）x+1＝0，∵直线y＝﹣2x﹣1与抛物线有且只有一个公共点B，∴Δ＝（2﹣4a）2﹣4a＝0，解得：a1＝，a2＝1，当a＝时，抛物线解析式为y＝x2﹣x，联立得x2﹣x＝﹣2x﹣1，解得：x1＝x2＝﹣2，∴B（﹣2，3）与点B在第四象限矛盾，故a＝不符合题意，舍去，当a＝1时，y＝x2﹣4x，联立得x2﹣4x＝﹣2x﹣1，解得：x1＝x2＝1，∴B（1，﹣3），点B在第四象限符合题意，∴a＝1，∴该抛物线的函数关系式为y＝x2﹣4x．（3）如图2，过点B作BQ⊥AB交抛物线于点Q，作GH∥x轴交y轴于点G，过点Q 作QH⊥GH，则∠AGB＝∠BHQ＝∠ABQ＝90°，∴∠ABG+∠QBH＝∠ABG+∠BAG＝90°，∴∠QBH＝∠BAG，∴△ABG∽△BQH，∴＝，设Q（t，t2﹣4t），∵A（0，﹣1），B（1，﹣3），∴AG＝2，BG＝1，BH＝t﹣1，QH＝t2﹣4t+3，∴＝，解得：t＝1（舍去）或t＝，∴BH＝﹣1＝，QH＝（）2﹣4×+3＝，过点B作EF∥y轴，过点P1作P1E⊥EF，过点P2作P2F⊥EF，∵△PBQ是以PQ为斜边的等腰直角三角形，∴P1B＝BQ＝P2B，∵∠P1BE+∠EBQ＝∠EBQ+∠QBH＝90°，∴∠P1BE＝∠QBH，∵∠BEP1＝∠BHQ＝90°，∴△BEP1≌△BHQ（AAS），∴EP1＝QH＝，BE＝BH＝，∴P1（﹣，﹣），同理可得：P2（，﹣），综上，点P的坐标为P1（﹣，﹣），P2（，﹣）．1．（2022•榆阳区一模）如图，已知抛物线y＝mx2+4x+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．直线y＝x﹣3经过B，C两点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）抛物线的顶点为M，在该抛物线的对称轴l上是否存在点P，使得以C，M，P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）y＝x﹣3中，令x＝0，则y＝﹣3，∴C（0，﹣3），令y＝0，则x＝3，∴B（3，0），将C（0，﹣3），B（3，0）代入y＝mx2+4x+n中，∴，解得，∴y＝﹣x2+4x﹣3；（2）存在点P，使得以C，M，P为顶点的三角形是等腰三角形，理由如下：∵y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，∴M（2，1），对称轴为直线x＝2，设P（2，t），∴MP＝|t﹣1|，MC＝2，CP＝，①当MP＝MC时，|t﹣1|＝2，∴t＝2+1或t＝﹣2+1，∴P（2，2+1）或（2，﹣2+1）；②当MP＝CP时，|t﹣1|＝，解得t＝﹣，∴P（2，﹣）；③当MC＝CP时，2＝，解得t＝1（舍）或t＝﹣7，∴P（2，7）；综上所述：P点坐标为（2，2+1）或（2，﹣2+1）或（2，﹣）或（2，7）．2．（2022•岚山区一模）已知抛物线y＝ax2+bx+8与x轴交于A（﹣3，0），B（8，0）两点，交y轴于点C，点P是抛物线上一个动点，且点P的横坐标为m．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，将直线BC沿y轴向下平移5个单位，交x轴于点M，交y轴于点N．过点P作x轴的垂线，交直线MN于点D，是否存在一点P，使△BMD是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的m的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+8与x轴交于A（﹣3，0），B（8，0）两点，∴，解得，，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+8；（3）易证线BC的解析式为y＝﹣x+8，向下平移5个单位得到y＝﹣x+3，当y＝0时，x＝3，∴M（3，0），当x＝0时，y＝3，∴N（0，3），由题意得PD⊥MB，∵MB＝8﹣3＝5，D（m，﹣m+3），∴MD2＝（m﹣3）2+（﹣m+3）2，BD2＝（8﹣m）2+（﹣m+3）2，若△BMD是等腰三角形，可分三种情况：①当MB＝MD时，∴（m﹣3）2+（﹣m+3）2＝25，解得m1＝3+，m2＝3﹣，②当MB＝BD时，∴（8﹣m）2+（﹣m+3）2＝25，解得，m1＝3（舍去），m2＝8（舍去），③当MD+BD时，∴（8﹣m）2+（﹣m+3）2＝（m﹣3）2+（﹣m+3）2，解得，m＝5.5．综上所述，m的值为3+或3﹣或5.5时，△BMD是等腰三角形．3．（2022•兴宁区校级模拟）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A、B，抛物线的对称轴交x 轴于点D，直线y＝﹣x+3与x轴交于点B，与y轴交于点C，且．（1）求抛物线的解析式；（2）在x轴上是否存在点P，使得△PDC为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）对于直线y＝﹣x+3，令y＝0，即﹣x+3＝0，解得：x＝3，令x＝0，得y＝3，∴B（3，0），C（0，3），∵A为x轴负半轴上一点，且OA＝OB，∴A（﹣1，0）．将点A、B的坐标分别代入y＝﹣x2+bx+c中，得，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；（3）存在．如图2，∵点P在x轴上，∴设P（m，0）．∵C（0，3），D（1，0），∴由勾股定理，得：CD2＝OC2+OD2＝32+12＝10，PD2＝（m﹣1）2，CP2＝OP2+OC2＝m2+32＝m2+9，分为三种情况讨论：①当CD＝PD时，CD2＝PD2，即10＝（m﹣1）2，解得m1＝1+，m2＝1﹣，此时点P的坐标为（1+，0）或（1﹣，0）；②当CD＝CP时，CD2＝CP2，即10＝m2+9，解得m1＝﹣1，m2＝1（不符合题意，舍去），此时点P的坐标为（﹣1，0）；③当PC＝PD时，PC2＝PD2，即m2+9＝（m﹣1）2，解得m＝﹣4，此时点P的坐标为（﹣4，0）．综上所述，在x轴上存在点P，使得△PDC为等腰三角形，满足条件的点P的坐标为（1+，0）或（1﹣，0）或（﹣1，0）或（﹣4，0）．4．（2022•鞍山模拟）抛物线与坐标轴交于A（﹣1，0）、B（4，0）、C（0，4），连接AC、BC．（1）求抛物线的解析式；（3）如图2，点E是抛物线上第一象限内对称轴右侧的一点，连接EC，点D是抛物线的对称轴上的一点，连接ED、CD，当△CED是以点E为顶点的等腰直角三角形时，直接写出点E的横坐标．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，∵抛物线y＝ax2+bx+c过A（﹣1，0），B（4，0），C（0，4）三点，∴．解得：．∴抛物线对应的二次函数的解析式为y＝﹣x2+3x+4；（2）设G（x，﹣x2+3x+4），∵S△BHG＝S△ABG﹣S△ABH，S△AHC＝S△ABC﹣S△ABH，△BHG与△AHC的面积差为1，∵A（﹣1，0）、B（4，0），∴AB＝5，（3）∵y＝﹣x2+3x+4，∴抛物线对称轴为x＝﹣＝，，点E分别作EM⊥y轴于M，作EN⊥EM，过点D作DN⊥EN，垂足为N，∴∠CME＝∠DNE＝90°，∠MEN＝90°，∵△CED是以点E为顶点的等腰直角三角形，∴∠CED＝90°，∴∠CEM+∠MED＝∠DEN+∠MED＝90°，CE＝DE，∴∠CEM＝∠DEN，∴△EMC≌△END（AAS），∴CM＝DN，设E（m，﹣m2+3m+4）（m＞），∴4﹣（﹣m2+3m+4）＝m﹣，∴m＝或（不合题意，舍去），∴点E的横坐标为．5．（2022•渭滨区模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．M为线段OB上的一个动点，过点M作PM⊥x轴，交抛物线于点P，交BC于点Q．（1）求抛物线的表达式；（2）试探究点M在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）将A（﹣3，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+4，∴，解得，∴抛物线的表达式为：；（2）存在点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形，理由如下：令x＝0，则y＝4，∴点C（0，4），∵A（﹣3，0）、C（0，4），∴AC＝5，设直线BC的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴y＝﹣x+4，设点M（m，0），则点Q（m，﹣m+4），①当AC＝CQ时，过点Q作QE⊥y轴于点E，连接AQ，∵CQ2＝CE2+EQ2，即m2+[4﹣（﹣m+4）]2＝25，解得：舍去负值），∴点；②当AC＝AQ时，则AQ＝AC＝5，在Rt△AMQ中，由勾股定理得：[m﹣（﹣3）]2+（﹣m+4）2＝25，解得：m＝1或m＝0（舍去0），∴点Q（1，3）；③当CQ＝AQ时，则2m2＝[m﹣（﹣3）]2+（﹣m+4）2，解得：舍去）；综上所述，点Q的坐标为（1，3）或．31。

2023年中考数学一轮复习课件二次函数综合题特殊三角形存在性问题

直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
(2)存在．理由如下：
设点P(1，p)，
∵A(－1，0)，C(0，3)，
∴AC2＝12＋32＝10，
AP2＝(1＋1)2＋p2＝CAP＝90°，
例题图①
则AC2＋AP2＝CP2，
∴10＋4＋p2＝p2－6p＋10，
解得p＝－ 2 ，
3
∴此时点P的坐标为(1，－
2
)；
3
②若∠ACP＝90°，则AC2＋CP2＝AP2，
∴10＋p2－6p＋10＝4＋p2，
解得p＝ 8 ， ∴此时点3P的坐标为(1，8 )；
3
③若∠APC＝90°，则AP2＋CP2＝AC2，
例题图①
即4＋p2＋p2－6p＋10＝10，
随堂练习
1. 如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋4(a≠0)与x轴交于点A(1，0)和B，与y
轴交于点C，对称轴为直线x＝ 5 .
2
(1)求抛物线的解析式；
a b 4 0
解：(1)根据题意，得
b 2a
5 2
,
解得
a b
1 ,
5
∴抛物线的解析式为y＝x2－5x＋4；
第1题图
(2)如图①，若点P是线段BC上的一个动点(不与点B，C重合)，过点P作y 轴的平行线交抛物线于点Q，连接OQ.当线段PQ长度最大时，判断四边形OCPQ的形状并说明理由； (2)四边形OCPQ是平行四边形，理由如下：令x＝0，则y＝4，令y＝0，即x2－5x＋4＝0，解得x1＝1，x2＝4.∴B(4，0)，C(0，4)， ∴直线BC的解析式为y＝－x＋4.
第1题解图
当△BEF是等腰三角形时，分三种情况讨论：

九年级秋季班-第20讲：一模复习之特殊三角形的存在性

直角三角形的存在性问题，分类特征非常明显，首先考虑三角形的哪个角有可能称为直角，再把这个角为直角作为条件，并结合题目中的条件在进行说理计算．此类综合题需要用到的知识点较多，用于考察同学们的思维和分析能力．【例1】（2015学年·奉贤区一模·第24题）如图，二次函数图像经过原点和点A（2，0），直线AB与抛物线交于点B，且.（1）求二次函数解析式及其顶点C的坐标；（2）在直线AB上是否存在点D，使得为直角三角形.若存在，求出点D的坐标，若不存在，说明理由.【难度】★★★【答案】（1），顶点C(1，-1)；（2）点D的坐标为(2，0)或(，)．【解析】解：（1）∵二次函数图像经过原点和点A(2，0)，∴，解得：．∴二次函数的解析式为：；∵，∴顶点C的坐标为(1，-1)；（2）∵，A（2，0），∴直线AB的解析式为：．第1种情况，当∠BDC=90°时，则．∴△BDM∽△DCN，∴设D(m，-m+2)，则BM=m+1，DN=-m+3，DM=m+1，CN=m-1代入比例式后亦可以求得：m=2(m=-1舍掉)，∴D(2，0)；第2种情况，当∠BCD=90°时，∵△BPC∽△CQD，∴设D(m，-m+2)，则BP=4，CQ= m-1，CP=2，DQ=-m+3代入比例式后，解得：m=，∴D(，)．由图形可知，不存在．综上所述，点D的坐标为(2，0)或(，)．【总结】本题考查了求二次函数的解析式，和直角三角形的存在性问题，要注意分类讨论．【例2】（2015学年·虹口区一模·第24题）在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴分别交于点A（2，0）、点B（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，．（1）求该抛物线的表达式；（2）设该抛物线的顶点为D，求四边形ACBD的面积；（3）设抛物线上的点E在第一象限，是以BC为一条直角边的直角三角形，请直接写出点E的坐标．【难度】★★★【答案】（1）；（2）8；（3）点E的坐标是（10，8）或（16，35）．【解析】解：（1）∵当时，，∴C（0，3）在Rt△COB中，∵∴∴∴点B（6，0）把A（2，0）、B(6，0)分别代入，得解得：∴该抛物线表达式为（2）∵∴顶点D（4，-1）∴（3）点E的坐标是（10，8）或（16，35）．【总结】本题主要考查了二次函数的相关知识点，及函数图像中的直角三角形的存在性问题．【例3】如图，在中，AB = AC = 5 cm，BC = 8 cm，点P为BC边上一动点（不与点B、C 重合），过点P作射线PM交AC于点M，使．（1）求证：∽；（2）设BP = x，CM = y，求y与x的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）当为直角三角形时，求点P、B之间的距离．【难度】★★★【答案】（1）略；（2）；（3）BP的长为或4．【解析】（1）证明：在中，∵AB=AC=5，．∵，，又，∴，∴∽；（2）由（1）可得，，∴，整理可得：；（3）当为直角三角形时，分两种情况：①当时，，；②当时，∵AB = AC，∴点P为BC的中点，∴．综上所述，BP的长为或4．【总结】本题主要考查了相似三角形的基础知识点，和相似形中的直角三角形的存在性问题．【例4】（2015学年·静安区一模·第25题）已知：在梯形ABCD中，AD // BC，AC = BC = 10，，点E在对角线AC上，且CE = AD，BE的延长线与射线AD、射线CD分别相交于点F、G．设AD = x，的面积为y．（1）求证：；（2）如图，当点G在线段CD上时，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）如果是直角三角形，求的面积．【难度】★★★【答案】（1）略；（2）（）；（3）△AEF的面积为15或．【解析】解：（1）∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ECB．又∵AD=CE，AC=CB，∴△DAC≌△ECB，∴∠DCA＝∠EBC；（2）过点E作EH⊥BC，垂足为H．AE=AC–CE=．，∴EH=．∴．∵AF//BC，∴△AEF∽△CEB，∴，∴，∴，定义域为．（3）由于∠DFC=∠EBC<∠ABC，所以∠DFC不可能为直角．（i）当∠DGF=90°时，∠EGC=90°，由∠GCE=∠GBC，可得：△GCE∽△GBC．∴．在Rt△EHB中，．∴，解得：（舍去）或．∴．（ii）当∠GDF=90°时，∠BCG=90°，由△GCE∽△GBC，可得∠GEC=90°，∠CEB=90°，可得BE=6，CE=8，AE=2，EF=，．综上所述，如果△DFG是直角三角形，△AEF的面积为15或．【总结】本题主要考查了直角三角形的存在性问题。

【最新资料】【浙教版】中考数学难题突破：专题四-特殊三角形存在性问题(含答案)

最新资料•中考数学难题突破专题四特殊三角形存在性问题特殊三角形存在性问题主要是指寻找符合条件的点使之构成等腰三角形、直角三角形、全等三角形等特殊三角形．解决此类问题的关键在于恰当地分类讨论，避免漏解．类型1 等腰三角形存在性问题1 如图Z4－1，直线y＝3x＋3交x轴于点A，交y轴于点B，过A，B两点的抛物线交x轴于另一点C(3，0)．(1)求点A，B的坐标．(2)求抛物线对应的函数表达式．图Z4－1(3)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．例题分层分析(1)如何求一次函数图象与坐标轴的交点坐标？(2)如何求抛物线对应的函数表达式？根据题意，设抛物线对应的函数表达式时，应该用哪种形式？(3)①根据抛物线对应的函数表达式求出对称轴为直线________，所以可设点Q的坐标为________；②△ABQ是等腰三角形可分为________种情况，分别是____________________；③根据勾股定理分别列出方程即可求出点Q的坐标．解题方法点析对于等腰三角形的分类应分三种情况．可以设一个未知数，然后用这个未知数分别表示出三角形的三边，再根据两边相等，得到三个方程，即三种情况．特别注意求出的值需检验能否构成三角形．类型2 直角三角形、全等三角形存在性问题图Z 4－22 如图Z 4－2，已知直线y ＝kx －6与抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 相交于A ，B 两点，且点A (1，－4)为抛物线的顶点，点B 在x 轴上．(1)求抛物线对应的函数表达式．(2)在(1)中二次函数的第二象限的图象上是否存在一点P ，使△POB 与△POC 全等？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．(3)若点Q 是y 轴上一点，且△ABQ 为直角三角形，求点Q 的坐标．例题分层分析(1)已知点A 的坐标可确定直线AB 对应的函数表达式，进一步能求出点B 的坐标．点A 是抛物线的顶点，那么可以将抛物线对应的函数表达式设为________式，再代入________的坐标，依据________法可解．(2)△ABQ 为直角三角形，直角顶点没确定，故分别以________为直角顶点，进行分类讨论，找出相关的相似三角形，依据对应线段成比例进行求解或者利用勾股定理列方程求解．解题方法点析本题为综合题，考查了平面直角坐标系中，利用待定系数法求抛物线对应的函数表达式，利用方程、分类讨论和数形结合等思想解题．专题训练1．如图Z 4－3，点O (0，0)，A (2，2)，若存在点P ，使△APO 为等腰直角三角形，则点P 的个数为________．图Z 4－32．[2017·湖州] 如图Z 4－4，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线y ＝kx (k >0)分别交反比例函数y ＝1x 和y ＝9x 在第一象限的图象于点A ，B ，过点B 作BD ⊥x 轴于点D ，交y ＝1x 的图象于点C ，连结A C.若△ABC 是等腰三角形，则k 的值是________．图Z4－43．如图Z4－5所示，在平面直角坐标系中，已知点A(2，2)，点B(2，－3)．试问坐标轴上是否存在一点P，使得△ABP为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．图Z4－54．[2017·张家界] 如图Z4－6，已知抛物线C1的顶点坐标为A(－1，4)，与y轴的交点为D(0，3)．(1)求C1的解析式；(2)若直线l1：y＝x＋m与C1仅有唯一的交点，求m的值；(3)若将抛物线C1关于y轴对称的抛物线记作C2，平行于x轴的直线记作l2：y＝n.试结合图象回答：当n为何值时，l2与C1和C2共有：①两个交点；②三个交点；③四个交点；(4)若将C2与x轴正半轴的交点记作B，试在x轴上求点P，使得△PAB为等腰三角形．图Z4－65.[2017·攀枝花] 如图Z4－7，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A，B两点，B点坐标为(3，0)，与y轴交于点C(0，3)．(1)求抛物线的解析式．(2)点P在x轴下方的抛物线上，过点P的直线y＝x＋m与直线BC交于点E，与y轴交于点F，求PE＋EF的最大值．(3)点D为抛物线对称轴上一点．①当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，求点D的坐标；②若△BCD是锐角三角形，求点D的纵坐标的取值范围．图Z4－76．如图Z4－8，抛物线y＝ax2－2ax＋c(a≠0)与y轴交于点C(0，4)，与x轴交于点A，B，点A的坐标为(4，0)．(1)求该抛物线对应的函数表达式．(2)点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE∥AC，交BC于点E，连结CQ，当△CQE的面积最大时，求点Q的坐标．(3)若平行于x轴的动直线l与该抛物线交于点P，与直线AC交于点F，点D的坐标为(2，0)．问：是否存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．图Z4－8参考答案类型1 等腰三角形存在性问题例1 【例题分层分析】(1)令一次函数表达式中的x 或y 为0，即可求出图象与y 轴或x 轴的交点坐标．(2)求抛物线对应的函数表达式一般有三种方法：一般式法、顶点式法和交点式法．本题利用一般式法或交点式法都比较简单．(3)①x ＝1 (1，a )②三 AQ ＝BQ ，AB ＝BQ ，AQ ＝AB 解：(1)∵直线y ＝3x ＋3，∴当x ＝0时，y ＝3，当y ＝0时，x ＝－1， ∴点A 的坐标为(－1，0)，点B 的坐标为(0，3)．(2)设抛物线对应的函数表达式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧0＝a －b ＋c ，3＝c ，0＝9a ＋3b ＋c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2，c ＝3.∴抛物线对应的函数表达式为y ＝－x 2＋2x ＋3.(3)∵抛物线对应的函数表达式为y ＝－x 2＋2x ＋3，配方，得y ＝－(x －1)2＋4，∴抛物线的对称轴为直线x ＝1，设Q (1，a )．①当AQ ＝BQ 时，如图①，设抛物线的对称轴交x 轴于点D ，过点B 作BF ⊥DQ 于点F . 由勾股定理，得BQ ＝BF 2＋QF 2＝（1－0）2＋（3－a ）2， AQ ＝AD 2＋QD 2＝22＋a 2，得（1－0）2＋（3－a ）2＝22＋a 2，解得a ＝1， ∴点Q 的坐标为(1，1)． ②当AB ＝BQ 时，如图②，由勾股定理，得（1－0）2＋（a －3）2＝10，解得a ＝0或6，当点Q 的坐标为(1，6)时，其在直线AB 上，A ，B ，Q 三点共线，舍去，∴点Q 的坐标是(1，0)．③当AQ ＝AB 时，如图③，由勾股定理，得22＋a 2＝10，解得a ＝±6，此时点Q 的坐标是(1，6)或(1，－6)．综上所述，存在符合条件的点Q ，点Q 的坐标为(1，1)或(1，0)或(1，6)或(1，－6)．类型2 直角三角形、全等三角形存在性问题例2 【例题分层分析】(1)顶点点B 待定系数 (2)点A ，B ，Q 解：(1)把(1，－4)代入y ＝kx －6，得k ＝2， ∴直线AB 对应的函数表达式为y ＝2x －6. 令y ＝0，解得x ＝3，∴点B 的坐标是(3，0)． ∵点A 为抛物线的顶点，∴设抛物线对应的函数表达式为y ＝a (x －1)2－4，把(3，0)代入，得4a －4＝0，解得a ＝1，∴抛物线对应的函数表达式为y ＝(x －1)2－4＝x 2－2x －3. (2)存在．∵OB ＝OC ＝3，OP ＝OP ， ∴当∠POB ＝∠POC 时，△POB ≌△POC ，此时OP 平分第二象限，即直线PO 对应的函数表达式为y ＝－x . 设P (m ，－m )，则－m ＝m 2－2m －3，解得m ＝1－132⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＝1＋132＞0，舍去，∴点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1－132，13－12.(3)如图，①当∠Q 1AB ＝90°时，△DAQ 1∽△DOB ， ∴AD OD ＝DQ 1DB ，即56＝DQ 13 5， ∴DQ 1＝52，∴OQ 1＝72，即点Q 1的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，－72；②当∠Q 2BA ＝90°时，△BOQ 2∽△DOB ，∴OB OD ＝OQ 2OB ，即36＝OQ 23， ∴OQ 2＝32，即点Q 2的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32；③当∠AQ 3B ＝90°时，过点A 作AE ⊥y 轴于点E ，则△BOQ 3∽△Q 3EA ， ∴OB Q 3E ＝OQ 3AE ，即34－OQ 3＝OQ 31， ∴OQ 32－4OQ 3＋3＝0，∴OQ 3＝1或3，即点Q 3的坐标为(0，－1)或(0，－3)．综上，点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－72或⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32或(0，－1)或(0，－3)．专题训练 1．62.3 77或155 [解析] 考查反比例函数中系数k 的几何意义及等腰三角形的性质．用B ，A 两点的坐标来表示C 点坐标，得到BC 的长度，然后分三种情况讨论k 值．设B (a ，9a )，A (b ，1b )，∴C (a ，1a )，ka ＝9a ，kb ＝1b ，∴a 2＝9k ，b 2＝1k .又∵BD ⊥x 轴，∴BC ＝8a .①当AB ＝BC 时，AB ＝（a －b ）2＋（ka －kb ）2，∴1＋k 2(a －b )＝8a ，∴1＋k 2(3k －1k)＝83k ，∴k ＝3 77.②当AC ＝BC 时，AC ＝（b －a ）2＋（1b －1a）2，∴(1＋k 29)(3k －1k)2＝64k 9，∴k ＝155.③当AB ＝AC 时，∴1＋k 29＝1＋k 2，∴k ＝0(舍去)．综上所述，k ＝3 77或155.3．解：①若∠BAP ＝90°，易得P 1(0，2)． ②若∠ABP ＝90°，易得P 2(0，－3)．③若∠BPA ＝90°，如图，以AB 为直径画⊙O ′与x 轴、y 轴分别交于点P 3，P 4，P 5，P 6，AB 与x 轴交于点C ，过点O ′作O ′D ⊥y 轴于D 点．在Rt △DO ′P 5中易知O ′D ＝2，O ′P 5＝52，则P 5D ＝254－4＝32， OP 5＝P 5D －OD ＝32－12＝1，则P 5(0，1)．易知P 5D ＝P 6D ，则P 6(0，－2)．连结O ′P 3，O ′P 4，易求出P 3(2－6，0)，P 4(2＋6，0)．综上所述，存在点P ，使得△ABP 为直角三角形，坐标为P 1(0，2)，P 2(0，－3)，P 3(2－6，0)，P 4(2＋6，0)，P 5(0，1)，P 6(0，－2)．4．解：(1)∵抛物线C 1的顶点坐标为A (－1，4)， ∴设C 1的解析式为y ＝a (x ＋1)2＋4，把D (0，3)代入得3＝a (0＋1)2＋4，解得a ＝－1， ∴C 1的解析式为y ＝－(x ＋1)2＋4＝－x 2－2x ＋3.(2)由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2－2x ＋3，y ＝x ＋m ，得x 2＋3x ＋m －3＝0，Δ＝32－4×1×(m －3)＝－4m ＋21＝0，∴m ＝214.(3)抛物线C 2的顶点坐标为(1，4)，l 2与C 1和C 2共有：①两个交点，这时l 2过抛物线的顶点，∴n ＝4；②三个交点，这时l 2过两条抛物线的交点D ，∴n ＝3；③四个交点，这时l 2在抛物线的顶点与点D 之间或在点D 的下方，∴3<n <4或n <3.(4)根据抛物线的对称性可知，C 2的解析式为y ＝－(x －1)2＋4＝－x 2＋2x ＋3，与x 轴正半轴的交点B 的坐标为(3，0)，又A (－1，4)，∴AB ＝42＋42＝4 2.①若AP ＝AB ，则PO ＝4＋1＝5，这时点P 的坐标为(－5，0)；②若BA ＝BP ，若点P 在点B 的左侧，则OP ＝BP －BO ＝4 2－3，这时点P 的坐标为(3－4 2，0)，若点P 在点B 的右侧，则OP ＝BP ＋BO ＝4 2＋3，这时点P 的坐标为(3＋4 2，0)；③若PA ＝PB ，这时点P 是线段AB 的垂直平分线与x 轴的交点，显然PA ＝PB ＝4，∴P (－1，0)．综上所述，点P 的坐标为(－5，0)或(3－4 2，0)或(3＋4 2，0)或(－1，0)．5．解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧32＋3b ＋c ＝0，c ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－4，c ＝3，∴抛物线的解析式为y ＝x 2－4x ＋3. (2)由题易知OC ＝OB ＝3，∴∠OCB ＝45°. 同理可知∠OFE ＝45°， ∴△CEF 为等腰直角三角形．以BC 为对称轴将△FCE 对称得到△F ′CE ，作PH ⊥CF ′于H 点，如图①，则PE ＋EF ＝PF ′＝2PH . 又PH ＝y C －y P ＝3－y P ，∴当y P 最小时，PE ＋EF 取得最大值， ∵抛物线的顶点坐标为(2，－1)，∴当y P ＝－1时，(PE ＋EF )max ＝2×(3＋1)＝4 2.(3)①由(1)知抛物线的对称轴为直线x ＝2，设D (2，n )，如图②.当△BCD 是以BC 为直角边的直角三角形且D 在C 的上方D 1位置时，由勾股定理得CD 2＋BC 2＝BD 2，即(2－0)2＋(n －3)2＋(3 2)2＝(3－2)2＋(0－n )2，解得n ＝5；当△BCD 是以BC 为直角边的直角三角形且D 在C 的下方D 2位置时，由勾股定理得BD 2＋BC 2＝CD 2，即(2－3)2＋(n －0)2＋(3 2)2＝(2－0)2＋(n －3)2，解得n ＝－1.综上所述，当△BCD 是以BC 为直角边的直角三角形时，D 为(2，5)或(2，－1)．②如图③，以BC 的中点T (32，32)为圆心，12BC 为半径作⊙T ，与抛物线的对称轴x ＝2交于D 3和D 4，由直径所对的圆周角是直角得∠CD 3B ＝∠CD 4B ＝90°，设D (2，m )为⊙T 上一点，由DT ＝12BC ＝3 22，得(32－2)2＋(32－m )2＝(3 22)2，解得m ＝32±172，∴D 3(2，32＋172)，D 4(2，32－172)，又由①得D 1为(2，5)，D 2(2，－1)，∴若△BCD 是锐角三角形，则D 点在线段D 1D 3或D 2D 4上(不与端点重合)，则点D 的纵坐标的取值范围是－1＜y D ＜32－172或32＋172＜y D＜5.6．解：(1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧0＝8a＋c，4＝c，解得⎩⎪⎨⎪⎧a＝－12，c＝4，∴所求抛物线对应的函数表达式为y＝－12x2＋x＋4.(2)如图①，设点Q的坐标为(m，0)，过点E作EG⊥x轴于点G.由－12x2＋x＋4＝0，得x1＝－2，x2＝4，∴点B的坐标为(－2，0)，∴AB＝6，BQ＝m＋2.∵QE∥AC，∴△BQE∽△BAC，∴EGCO＝BQBA，即EG4＝m＋26，∴EG＝2m＋43，∴S△CQE＝S△CBQ－S△EBQ＝12BQ·CO－12BQ·EG＝12(m＋2)⎝⎛⎭⎪⎫4－2m＋43＝－13m2＋23m＋83＝－13(m－1)2＋3.∵－2≤m≤4，∴当m＝1时，S△CQE有最大值3，此时点Q的坐标为(1，0)．(3)存在．在△ODF中，①若DO＝DF，∵A(4，0)，D(2，0)，∴AD＝OD＝DF＝2.又在Rt△AOC中，OA＝OC＝4，∴∠OAC＝45°，∴∠DFA＝∠OAC＝45°，∴∠ADF＝90°，此时点F的坐标为(2，2)．由－12x2＋x＋4＝2，得x1＝1＋5，x2＝1－5，∴点P的坐标为(1＋5，2)或(1－5，2)．②若FO ＝FD ，如图②，过点F 作FM ⊥x 轴于点M ，由等腰三角形的性质得OM ＝12OD ＝1， ∴AM ＝3，∴在等腰直角三角形AMF 中，MF ＝AM ＝3，∴F (1，3)．由－12x 2＋x ＋4＝3，得x 1＝1＋3，x 2＝1－3，∴点P 的坐标为(1＋3，3)或(1－3，3)．③若OD ＝OF ，∵OA ＝OC ＝4，且∠AOC ＝90°，∴AC ＝4 2，∴点O 到AC 的距离为2 2，而OF ＝OD ＝2，与OF ≥2 2相矛盾，∴AC 上不存在点F ，使得OF ＝OD ＝2，∴不存在这样的直线l ，使得△ODF 是等腰三角形．综上所述，存在这样的直线l ，使得△ODF 是等腰三角形，所求点P 的坐标为(1＋5，2)或(1－5，2)或(1＋3，3)或(1－3，3)．。

特殊三角形(直角三角形)人教版(含答案).docx

学生做题前请先回答以下问题问题1:问题2：30。

角所对的直角边是直角三角形斜边上的中线等于BC = -AB问题3：已知：如图，在RtA ABC中，ZC=90°, ZA=30°.求证：2.你是怎么思、考的？特殊三角形（直角三角形）人教版一、单选题（共9道，每道□分）2.如图,在RtA ABC中，ZACB=90°, AB=4, CD是AB边上的中线,则CD的长为（A.lB.2C.3D.8答案:B解题思路：在Rt△九BC中，Z.4C5=90°, CD是九8边上的中线, 可知CD = ^AB f '：AB=4, ；・CD=2・故选B.试题难度：三颗星知识点：直角三角形2.如图是屋架设计图的一部分，其中ZA=30°,点D 是斜梁AB 的中点，BC, DE 垂直于横梁 AC, AB=16m,则 DE 的长为（）答案:B解题思路：•：BC, QE 垂直于横梁川C,・•・乙DEA=/BCA=9y,・・・D 为斜梁九8的中点，九8=16,・•・ ZD = ±13=1x16 = 8, 2 2在 Rt △且DE 中，Z.4=30°, AD=8・•・ Z)£=l.W=-x8 = 4(m)・ 2 2故选B.3.如图，在RtA ABC 中，ZACB=90°, D 是AB 的中点，过点C 作EF 〃AB, 若ZBCF=35°,则ZACD 的度数是（）A.65°C.45°D.35°难度：三颗星知识点：直角三角形A.2mB.4mC.6mD.8mB.55°答案：B解题思路：\'EFl)AB f・•・乙B=ZBCFT 乙BCF=3T・・・Z5=35°在RtAACB中，仞是斜边•站上的中线/. CD=BD•I ZBCD=/B=35。

•・• Z-4C5=90°・•・ZACD=ZACB-ZBCD=55O故选B・试题难度：三颗星知识点：直角三角形4.如图，在△ABC44, ZA=60°, BE±AC,垂足为E, CF丄AB,垂足为F, BE, CF交于点M.若CM=4, FM=5,则BE 等于（）A.14B.13C.12D.9答案：C解题思路：如图,答案:C 解题思路:\'BE1AC, CF1AB, ・・・ZQFW90。

2020中考数学专题—存在性问题之特殊三角形

例 1.解:(1)∵直线 y=3x+3, ∴当 x=0 时,y=3,当 y=0 时,x=-1, ∴点 A 的坐标为(-1,0),点 B 的坐标为(0,3). (2)设抛物线对应的函数表达式为 y=ax2+bx+c,
参考答案
由题意,得
解得
∴抛物线对应的函数表达式为 y=-x2+2x+3.
（3）∵抛物线对应的函数表达式为 y=-x2+2x+3,配方,得 y=-(x-1)2+4,
(2)当 AP=AD 时,如图②,t=4.
(3)当 AD=DP 时,如图③,作 DF⊥AB 于 F.
在 Rt△ADF 中,AD=4,∠A=30°.∴AF= 3 AD=2 3 = 1 AP= 1 t,∴t=4 3 .
2
22
综上所述:t 的值为 4
3
或4或4
3.
3
①
②
③
3.解：（1）如图 1，过点 A 作 AD x 轴于 D ，
2
2
8
tan EAB 1 ． 2
M AB 90 ． tan M AE 2 ． M E 2AE 11 ， M (5 ，11) ． 2
同理： tan MBF 2 ．又 BF 5 ， FM 5 ， M (5 ， 9) ．
2
2
点 M 的坐标为 ( 5 ，11) 或 ( 5 ， 9) ．
12 ①求点 P 的坐标； ②设 M 为直线 AP 上一动点，连接 OM 交直线 AC 于点 S ，则点 M 在运动过程中，在抛物线上是否存在点 R ，使得 ARS 为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点 M 及其对应的点 R 的坐标；若不存在，请说明理由．
3
6．（2019•鸡西）如图，在平面直角坐标系中，矩形 ABCD 的边 AB 在 x 轴上， AB 、 BC 的长分别是一元二次方程 x2 7x 12 0 的两个根 (BC AB) ， OA 2OB ，边 CD 交 y 轴于点 E ，动点 P 以每秒 1 个单位长度的速度，从点 E 出发沿折线段 ED DA 向点 A 运动，运动的时间为 t(0 t 6) 秒，设 BOP 与矩形 AOED 重叠部分的面积为 S ．（1）求点 D 的坐标；（2）求 S 关于 t 的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（3）在点 P 的运动过程中，是否存在点 P ，使 BEP 为等腰三角形？若存在，直接写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．

初中数学特殊三角形(等腰三角形、等边三角形、30°直角三角形)常考题及答案解析

特殊三角形（等腰三角形、等边三角形、30°直角三角形）常考题及答案解析1．（2020秋•喀什地区期末）下列说法错误的是（）A．等腰三角形的两个底角相等B．等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合C．三角形两边的垂直平分线的交点到三个顶点距离相等D．等腰三角形顶角的外角是其底角的2倍2．（2020秋•顺城区期末）已知等腰三角形的周长为17cm，一边长为4cm，则它的腰长为（）A．4cm B．6.5cm C．6.5cm或9cm D．4cm或6.5cm 3．（2017•海南）已知△ABC的三边长分别为4、4、6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（）条．A．3B．4C．5D．6 4．（2019•白银）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰△ABC中，∠A＝80°，则它的特征值k＝．5．（2013•凉山州）已知实数x，y满足，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是．6．（2020秋•五常市期末）如图，点D、E在△ABC的边BC上，AD＝AE，BD＝CE．（1）求证：AB＝AC；（2）若∠BAC＝108°，∠DAE＝36°，直接写出图中除△ABC与△ADE外所有的等腰三角形．7．（2019秋•龙岩期末）如图，AB＝AC，AE＝EC＝CD，∠A＝60°，若EF＝2，则DF＝（）A．3B．4C．5D．6 8．（2006•烟台）如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，将△BCD沿CD折叠，B点恰好落在AB的中点E处，则∠A等于（）A．25°B．30°C．45°D．60°9．（2020秋•慈溪市期中）已知：如图，AB＝BC，∠A＝∠C．求证：AD＝CD．10．（2014秋•青山区期中）已知：如图，在等边三角形ABC的三边上，分别取点D，E，F，使AD＝BE＝CF．求证：△DEF是等边三角形．11．（2018秋•六合区期中）如图，△ABC为等边三角形，BD平分∠ABC交AC于点D，DE ∥BC交AB于点E．（1）求证：△ADE是等边三角形．（2）求证：AE＝AB．12．（2017•裕华区校级模拟）已知，如图，△ABC是正三角形，D，E，F分别是各边上的一点，且AD＝BE＝CF．请你说明△DEF是正三角形．13．（2012秋•姜堰市校级期中）如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC ＝α，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD．（1）△COD是什么三角形？说明理由；（2）若AO＝n2+1，AD＝n2﹣1，OD＝2n（n为大于1的整数），求α的度数；（3）当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？14．（2000•内蒙古）如图，已知△ABC为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，并且使AE＝BD，连接CE，DE．求证：EC＝ED．15．（2020秋•连山区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠A＝60°，AD＝2，则BD＝（）A．2B．4C．6D．816．（2020秋•肇州县期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝15°，DE垂直平分AB，交BC于点E，AE＝6cm，则AC＝（）A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm 17．（2020秋•朝阳县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝11，∠BAC＝120°，AD是△ABC 的中线，AE是∠BAD的角平分线，DF∥AB交AE的延长线于点F，则DF的长为（）A．4.5B．5C．5.5D．618．（2020秋•抚顺县期末）右图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB＝7.4m，∠A＝30°，则DE长为．19．（2020秋•宽城区期中）如图，△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，CD＝2，则AD等于（）A．10B．8C．6D．420．（2020秋•无棣县期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，∠B＝30°，点P是BC边上一动点，连接AP，则AP的长度不可能是（）A．4B．4.5C．5D．721．（2020秋•云县期中）如图，点D是AB的中点，DE⊥AC，AB＝7.2，∠A＝30°，则DE＝（）A．1.8B．2.4C．3.6D．4.822．（2020秋•北碚区校级期中）如图，已知∠AOB＝60°，P在边OA上，OP＝8，点M，N在边OB上，PM＝PN，若MN＝5，则ON的长度是（）A．9B．6.5C．6D．5.523．（2020秋•天宁区校级期中）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝60°，动点P 在斜边AB所在的直线m上运动，连结PC，那点P在直线m上运动时，能使图中出现等腰三角形的点P的位置有（）A．6个B．5个C．4个D．3个24．（2020秋•连江县期中）如图，等边△ABC中，AB＝4，点P在边AB上，PD⊥BC，DE ⊥AC，垂足分别为D、E，设PA＝x，若用含x的式子表示AE的长，正确的是（）A．2﹣x B．3﹣x C．1D．2+x 25．（2020秋•赣榆区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝120°，AD是△ABC 的中线，AE是∠BAD的角平分线，DF∥AB交AE的延长线于点F，则DF的长是（）A．5B．2C．4D．326．（2019秋•勃利县期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上的点，过点D 作DE⊥AB交BC于点F，交AC的延长线于点E，连接CD，∠DCA＝∠DAC，则下列结论正确的有（）①∠DCB＝∠B；②CD＝AB；③△ADC是等边三角形；④若∠E＝30°，则DE＝EF+CF．A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④27．（2019春•秦淮区期末）如图，△ABC是等边三角形，P是三角形内任意一点，D、E、F分别是AC、AB、BC边上的三点，且PF∥AB，PD∥BC，PE∥AC．若PF+PD+PE＝a，则△ABC的边长为（）A．a B．a C．a D．a28．下列说法中，正确的个数是（）①三条边都相等的三角形是等边三角形；②有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形；③有两个角为60°的三角形是等边三角形；④底角的角平分线所在的直线是这等腰三角形的对称轴，则这个三角形是等边三角形A．1个B．2个C．3个D．4个29．（2020•和平区三模）如图，在边长为2的等边三角形ABC中，D为边BC上一点，且BD＝CD．点E，F分别在边AB，AC上，且∠EDF＝90°，M为边EF的中点，连接CM交DF于点N．若DF∥AB，则CM的长为（）A．B．C．D．30．（2020秋•天心区期中）下列说法错误的是（）A．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形B．如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边相等C．等腰三角形的角平分线，中线，高相互重合D．三个角都相等的三角形是等边三角形．31．（2019春•杏花岭区校级期中）关于等边三角形，下列说法中错误的是（）A．等边三角形中，各边都相等B．等腰三角形是特殊的等边三角形C．两个角都等于60°的三角形是等边三角形D．有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形32．（2019•城步县模拟）一个六边形的六个内角都是120°（如图），连续四条边的长依次为1，3，3，2，则这个六边形的周长是（）A．13B．14C．15D．16 33．（2018•柳州一模）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝60°，∠D＝90°，AB＝2，则CD长的取值范围是（）A．＜CD＜B．CD＞2C．1＜CD＜2D．0＜CD＜34．（2018秋•罗庄区期中）如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以点A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画出射线OB，则∠AOB＝（）A．30°B．45°C．60°D．90°参考答案与试题解析1．【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形；推理能力．【分析】根据等腰三角形的性质即可判断A；根据三角形的高、角平分线、中线的定义和等腰三角形的性质即可判断B；根据角平分线的性质即可判断C；根据三角形的外角性质和等腰三角形的性质即可判断D．【解答】解：A．等腰三角形的两底角相等，故本选项不符合题意；B．等腰三角形的两个底角的高、角平分线和中线不一定互相重合，故本选项符合题意；C.过O作OM⊥AB于M，OQ⊥AC于Q，ON⊥BC于N，∵O是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，∴OM＝ON，ON＝OQ，∴OM＝ON＝OQ，即三角形的两边的垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等，故本选项不符合题意；D.∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠EAC＝∠B+∠C，∴∠EAC＝2∠B，即等腰三角形顶角的外角是其底角的2倍，故本选项不符合题意；故选：B．【点评】本题考查了角平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质等知识点，能灵活运用知识点进行推理是解此题的关键．2．【考点】三角形三边关系；等腰三角形的性质．【专题】等腰三角形与直角三角形．【分析】分两种情况讨论：当4cm为腰长时，当4cm为底边时，分别判断是否符合三角形三边关系即可．【解答】解：①若4cm是腰长，则底边长为：20﹣4﹣4＝12（cm），∵4+4＜12，不能组成三角形，舍去；②若4cm是底边长，则腰长为：＝6.5（cm）．则腰长为6.5cm．故选：B．【点评】此题考查等腰三角形的性质与三角形的三边关系．此题难度不大，注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键．3．【考点】等腰三角形的判定．【专题】三角形．【分析】根据等腰三角形的性质，利用4作为腰或底边长，得出符合题意的图形即可．【解答】解：如图所示：当AC＝CD，AB＝BG，AF＝CF，AE＝BE时，都能得到符合题意的等腰三角形（AD，AE，AF，AG分别为分割线）．故选：B．【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定以及应用设计与作图等知识，正确利用图形分类讨论得出是解题关键．4．【考点】等腰三角形的性质．【专题】等腰三角形与直角三角形．【分析】可知等腰三角形的两底角相等，则可求得底角的度数．从而可求解．【解答】解：①当∠A为顶角时，等腰三角形两底角的度数为：＝50°∴特征值k＝＝②当∠A为底角时，顶角的度数为：180°﹣80°﹣80°＝20°∴特征值k＝＝综上所述，特征值k为或故答案为或【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键，要注意到本题中，已知∠A的度数，要分∠A是顶角和底角两种情况，以免造成答案的遗漏．5．【考点】非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根；三角形三边关系；等腰三角形的性质．【专题】压轴题；分类讨论．【分析】先根据非负数的性质列式求出x、y的值，再分4是腰长与底边两种情况讨论求解．【解答】解：根据题意得，x﹣4＝0，y﹣8＝0，解得x＝4，y＝8，①4是腰长时，三角形的三边分别为4、4、8，∵4+4＝8，∴不能组成三角形，②4是底边时，三角形的三边分别为4、8、8，能组成三角形，周长＝4+8+8＝20，所以，三角形的周长为20．故答案为：20．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，绝对值非负数，算术平方根非负数的性质，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0求出x、y的值是解题的关键，难点在于要分情况讨论并且利用三角形的三边关系进行判断．6．【考点】等腰三角形的判定．【专题】几何图形．【分析】（1）首先过点A作AF⊥BC于点F，由AD＝AE，根据三线合一的性质，可得DF＝EF，又由BD＝CE，可得BF＝CF，然后由线段垂直平分线的性质，可证得AB＝AC．（2）根据等腰三角形的判定解答即可．【解答】证明：（1）过点A作AF⊥BC于点F，∵AD＝AE，∴DF＝EF，∵BD＝CE，∴BF＝CF，∴AB＝AC．（2）∵∠B＝∠BAD，∠C＝∠EAC，∠BAE＝∠BEA，∠ADC＝∠DAC，∴除△ABC与△ADE外所有的等腰三角形为：△ABD、△AEC、△ABE、△ADC，【点评】此题考查了等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．7．【考点】等边三角形的判定与性质．【专题】数形结合；三角形；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．【分析】过点E作EG⊥BC，交BC于点G，先证明△ABC是等边三角形，再证明∠AFE ＝90°，然后利用等腰三角形的“三线合一”性质及角平分线的性质定理求得EG的长，随后利用含30度角的直角三角形的性质求得DE的长，最后将EF与DE相加即可．【解答】解：如图，过点E作EG⊥BC，交BC于点G∵AB＝AC，∠A＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，∵EC＝CD，∴∠CED＝∠CDE＝∠ACB＝30°，∴∠AEF＝30°，∴∠AFE＝90°，即EF⊥AB，∵△ABC是等边三角形，AE＝CE，∴BE平分∠ABC，∴EG＝EF＝2，在Rt△DEG中，DE＝2EG＝4，∴DF＝EF+DE＝2+4＝6；方法二、∵AB＝AC，∠A＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，∵EC＝CD，∴∠CED＝∠CDE＝∠ACB＝30°，∵△ABC是等边三角形，AE＝CE，∴BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE＝30°＝∠CDE，∴BE＝DE，∠BFD＝90°，∴BE＝2EF＝4＝DE，∴DF＝DE+EF＝6；故选：D．【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质、等腰三角形的“三线合一”性质及含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．8．【考点】等边三角形的判定与性质．【分析】先根据图形折叠的性质得出BC＝CE，再由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得出CE＝AE＝BE，进而可判断出△BEC是等边三角形，由等边三角形的性质及直角三角形两锐角互补的性质即可得出结论．【解答】解：△ABC沿CD折叠B与E重合，则BC＝CE，∵E为AB中点，△ABC是直角三角形，∴CE＝BE＝AE，∴△BEC是等边三角形．∴∠B＝60°，∴∠A＝30°，故选：B．【点评】考查直角三角形的性质，等边三角形的判定及图形折叠等知识的综合应用能力及推理能力．9．【考点】等腰三角形的判定与性质．【专题】几何图形．【分析】连接AC，根据等边对等角得到∠BAC＝∠BCA，因为∠A＝∠C，则可以得到∠CAD＝∠ACD，根据等角对等边可得到AD＝DC．【解答】证明：连接AC，∵AB＝BC，∴∠BAC＝∠BCA．∵∠BAD＝∠BCD，∴∠CAD＝∠ACD．∴AD＝CD．【点评】重点考查了等腰三角形的判定方法，即：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．10．【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】由△ABC是等边三角形，AD＝BE＝CF，易证得△ADF≌△BED，即可得DF＝DE，同理可得DF＝EF，即可证得：△DEF是等边三角形．【解答】证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∵AD＝BE＝CF，∴AF＝BD，在△ADF和△BED中，，∴△ADF≌△BED（SAS），∴DF＝DE，同理DE＝EF，∴DE＝DF＝EF．∴△DEF是等边三角形．【点评】此题考查了等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．11．【考点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．【专题】几何图形．【分析】（1）根据等边三角形的性质和平行线的性质证明即可．（2）根据等边三角形的性质解答即可．【解答】证明：（1）∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝∠ABC＝∠C＝60°．∵DE∥BC，∴∠AED＝∠ABC＝60°，∠ADE＝∠C＝60°．∴△ADE是等边三角形．（2）∵△ABC为等边三角形，∴AB＝BC＝AC．∵BD平分∠ABC，∴AD＝AC．∵△ADE是等边三角形，∴AE＝AD．∴AE＝AB．【点评】此题考查等边三角形的判定和性质，关键是根据等边三角形的性质和平行线的性质解答．12．【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】根据等边△ABC中AD＝BE＝CF，证得△ADE≌△BEF≌△CFD即可得出△DEF 是等边三角形．【解答】解：∵△ABC为等边三角形，且AD＝BE＝CF，∴AE＝BF＝CD，又∵∠A＝∠B＝∠C＝60°，∴△ADE≌△BEF≌△CFD（SAS），∴DE＝EF＝FD，∴△DEF是等边三角形．【点评】本题主要考查了等边三角形的判定与性质和全等三角形判定，根据已知得出△ADE≌△BEF≌△CFD是解答此题的关键．13．【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．【专题】分类讨论．【分析】（1）根据旋转的性质可得CO＝CD，∠OCD＝60°，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形解答；（2）利用勾股定理逆定理判定△AOD是直角三角形，并且∠ADO＝90°，从而求出∠ADC＝150°，再根据旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小可得α＝∠ADC；（3）根据周角为360°用α表示出∠AOD，再根据旋转的性质表示出∠ADO，然后利用三角形的内角和定理表示出∠DAO，再分∠AOD＝∠ADO，∠AOD＝∠DAO，∠ADO＝∠DAO三种情况讨论求解．【解答】解：（1）△COD是等边三角形．理由如下：∵△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，∴CO＝CD，∠OCD＝60°，∴△COD是等边三角形；（2）∵AD2+OD2＝（n2﹣1）2+（2n）2＝n4﹣2n2+1+4n2＝n4+2n2+1＝（n2+1）2＝AO2，∴△AOD是直角三角形，且∠ADO＝90°，∵△COD是等边三角形，∴∠CDO＝60°，∴∠ADC＝∠ADO+∠CDO＝90°+60°＝150°，根据旋转的性质，α＝∠ADC＝150；（3）∵α＝∠ADC，∠CDO＝60°，∴∠ADO＝α﹣60°，又∵∠AOD＝360°﹣110°﹣α﹣60°＝190°﹣α，∴∠DAO＝180°﹣（190°﹣α）﹣（α﹣60°）＝180°﹣190°+α﹣α+60°＝50°，∵△AOD是等腰三角形，∴①∠AOD＝∠ADO时，190°﹣α＝α﹣60°，解得α＝125°，②∠AOD＝∠DAO时，190°﹣α＝50°，解得α＝140°，③∠ADO＝∠DAO时，α﹣60°＝50°，解得α＝110°，综上所述，α为125°或140°或110°时，△AOD是等腰三角形．【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质，旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小的性质，勾股定理逆定理，等腰三角形的性质，（3）用α表示出△AOD的各个内角是解题的关键，注意要分情况讨论．14．【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．【专题】证明题；压轴题．【分析】首先延长BD至F，使DF＝BC，连接EF，得出△BEF为等边三角形，进而求出△ECB≌△EDF，从而得出EC＝DE．【解答】证明：延长BD至F，使DF＝BC，连接EF，∵AE＝BD，△ABC为等边三角形，∴BE＝BF，∠B＝60°，∴△BEF为等边三角形，∴∠F＝60°，在△ECB和△EDF中∴△ECB≌△EDF（SAS），∴EC＝ED．【点评】此题主要考查了等边三角形的性质与判定以及全等三角形的判定等知识，作出辅助线是解决问题的关键．15．【考点】含30度角的直角三角形．【专题】计算题；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．【分析】根据同角的余角相等求出∠BCD＝∠A＝60°，再根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AC、AB的长，然后根据BD＝AB﹣AD计算即可得解．【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠BCD+∠ACD＝90°，∠A+∠ACD＝90°，∴∠BCD＝∠A＝60°，∴∠ACD＝∠B＝30°，∵AD＝2，∴AC＝2AD＝4，∴AB＝2AC＝8，∴BD＝AB﹣AD＝8﹣2＝6．故选：C．【点评】本题主要考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，同角的余角相等的性质，熟记性质是解题的关键．16．【考点】线段垂直平分线的性质；含30度角的直角三角形．【专题】等腰三角形与直角三角形．【分析】根据线段垂直平分线的性质得到EB＝EA，根据等腰三角形的性质得到∠EAB＝∠B＝15°，根据三角形的外角的性质求出∠AEC＝30°，根据直角三角形的性质计算．【解答】解：∵DE垂直平分AB，∴EB＝EA，∴∠EAB＝∠B＝15°，∴∠AEC＝30°，∴AC＝AE＝3（cm），故选：D．【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．17．【考点】等腰三角形的性质；含30度角的直角三角形．【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得到AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，从而可得到∠BAD＝60°，∠ADB＝90°，再根据角平分线的性质即可得到∠DAE＝∠EAB＝30°，从而可推出AD＝DF，根据直角三角形30度角的性质即可求得AD的长，即得到了DF 的长．【解答】解：∵△ABC是等腰三角形，D为底边的中点，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，∵∠BAC＝120°，∴∠BAD＝60°，∠ADB＝90°，∵AE是∠BAD的角平分线，∴∠DAE＝∠EAB＝30°．∵DF∥AB，∴∠F＝∠BAE＝30°．∴∠DAF＝∠F＝30°，∴AD＝DF．∵AB＝11，∠B＝30°，∴AD＝5.5，∴DF＝5.5故选：C．【点评】本题考查了含30°角的直角三角形，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质等知识点，能求出AD＝DF是解此题的关键．18．【考点】含30度角的直角三角形．【专题】推理填空题．【分析】根据直角三角形的性质求出BC，根据三角形中位线定理计算即可．【解答】解：∵∠A＝30°，BC⊥AC，∴BC＝AB＝3.7，∵DE⊥AC，BC⊥AC，∴DE∥BC，∵点D是斜梁AB的中点，∴DE＝BC＝1.85m，故答案为：1.85m．【点评】本题考查的是直角三角形的性质，掌握在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．19．【考点】线段垂直平分线的性质；含30度角的直角三角形．【专题】计算题；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．【分析】先由直角三角形的性质求出∠ABC的度数，由AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，垂足为E，可得BD＝AD，由∠A＝30°可知∠ABD＝30°，故可得出∠DBC ＝30°，根据CD＝2可得出BD的长，进而得出AD的长．【解答】解：连接BD，∵在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝60°．∵AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，∴AD＝BD，DE⊥AB，∴∠ABD＝∠A＝30°，∴∠DBC＝30°，∵CD＝2，∴BD＝2CD＝4，∴AD＝4．故选：D．【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质以及含30°角的直角三角形的性质．熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．20．【考点】垂线段最短；含30度角的直角三角形．【专题】解直角三角形及其应用；推理能力．【分析】在Rt△ABC中，利用“在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”可求出AB的长，由点P是BC边上一动点结合AC，AB的长，即可得出AP长的取值范围，再对照四个选项即可得出结论．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝3，∴AB＝2AC＝6．∵点P是BC边上一动点，∴AC≤AP≤AB，即3≤AP≤6．故选：D．【点评】本题考查了含30度角的直角三角形以及垂线段最短，通过解含30度角的直角三角形，求出AB的长是解题的关键．21．【考点】含30度角的直角三角形．【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．【分析】求出AD的长，再根据含30°角的直角三角形的性质得出DE＝AD，即可求出答案．【解答】解：∵点D是AB的中点，AB＝7.2，∴AD＝AB＝3.6，∵DE⊥AC，∴∠DEA＝90°，∵∠A＝30°，∴DE＝AD＝1.8，故选：A．【点评】本题考查了含30°角的直角三角形的性质，能根据含30°角的直角三角形的性质得出DE＝AD是解此题的关键．22．【考点】等腰三角形的性质；含30度角的直角三角形．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【分析】过P作PC⊥MN于C，先由等腰三角形的性质得CM＝CN＝2.5，再由含30°角的直角三角形的性质求出OC的长，然后由OC+CM求出ON的长即可．【解答】解：过P作PC⊥MN于C，如图所示：∵PM＝PN，MN＝5，∴CM＝NC＝MN＝2.5，在Rt△OPC中，∠AOB＝60°，∴∠OPC＝30°，∴OC＝OP＝4，则ON＝OC+CM＝4+2.5＝6.5，故选：B．【点评】本题考查的是含30°角的直角三角形的性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握含30°角的直角三角形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．23．【考点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定；含30度角的直角三角形．【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观．【分析】根据等腰三角形的判定和含30°的直角三角形的性质解答即可．【解答】解：如图所示：以B为圆心，BC长为半径画弧，交直线m于点P4，P2，以A为圆心，AC长为半径画弧，交直线m于点P1，P3，边AC和BC的垂直平分线都交于点P3位置，因此出现等腰三角形的点P的位置有4个，故选：C．【点评】此题考查等腰三角形的判定，关键是根据等腰三角形的判定和含30°的直角三角形的性质解答．24．【考点】列代数式；等边三角形的性质；含30度角的直角三角形．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【分析】利用等边三角形的性质可得AB＝BC＝AC＝4，∠B＝∠C＝60°，再利用含30度角的直角三角形的性质进行计算即可．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC＝4，∠B＝∠C＝60°，∵PD⊥BC，DE⊥AC，∴BD＝PB，CE＝CD，∵P A＝x，∴BP＝4﹣x，∴BD＝PB＝2﹣x，∴CD＝4﹣（2﹣x）＝2+x，∴CE＝1+x，∴AE＝4﹣（1+x）＝3﹣x，故选：B．【点评】此题主要考查了等边三角形的性质和含30度角的直角三角形的性质，关键是掌握在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．25．【考点】平行线的性质；等腰三角形的性质；含30度角的直角三角形．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得到AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，从而可得到∠BAD＝60°，∠ADB＝90°，再根据角平分线的性质即可得到∠DAE＝∠EAB＝30°，从而可推出AD＝DF，根据直角三角形30度角的性质即可求得AD的长，即得到了DF 的长．【解答】解：∵△ABC是等腰三角形，D为底边的中点，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，∵∠BAC＝120°，∴∠BAD＝60°，∠ADB＝90°，∵AE是∠BAD的角平分线，∴∠DAE＝∠EAB＝30°，∵DF∥AB，∴∠F＝∠BAE＝30°，∴∠DAF＝∠F＝30°，∴AD＝DF，∵AB＝6，∠B＝30°，∴AD＝AB＝3，∴DF＝3，故选：D．【点评】本题考查了含30°角的直角三角形，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质等知识点，能求出AD＝DF是解此题的关键．26．【考点】等边三角形的判定与性质．【专题】等腰三角形与直角三角形．【分析】由在△ABC中，∠ACB＝90°，DE⊥AB，易证得∠DCA＝∠DAC，继而可得①∠DCB＝∠B正确；由①可证得AD＝BD＝CD，即可得②CD＝AB正确；易得③△ADC是等腰三角形，但不能证得△ADC是等边三角形；由若∠E＝30°，易求得∠FDC＝∠FCD＝30°，则可证得DF＝CF，继而证得DE＝EF+CF．【解答】解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，DE⊥AB，∴∠ADE＝∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∠ACD+∠DCB＝90°，∵∠DCA＝∠DAC，∴AD＝CD，∠DCB＝∠B；故①正确；∴CD＝BD，∵AD＝CD，∴CD＝AB；故②正确；∠DCA＝∠DAC，∴AD＝CD，但不能判定△ADC是等边三角形；故③错误；∵若∠E＝30°，∴∠A＝60°，∴△ACD是等边三角形，∴∠ADC＝60°，∵∠ADE＝∠ACB＝90°，∴∠EDC＝∠BCD＝∠B＝30°，∴CF＝DF，∴DE＝EF+DF＝EF+CF．故④正确．故选：B．【点评】此题考查了等腰三角形的性质与判定以及直角三角形的性质．注意证得D是AB 的中点是解此题的关键．27．【考点】平行线的性质；等边三角形的判定与性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形．【分析】延长EP交BC于点G，延长FP交AC于点H，证出四边形AEPH、四边形PDCG 均为平行四边形，得出PE＝AH，PG＝CD．证出△FGP和△HPD也是等边三角形，得出PF＝PG＝CD，PD＝DH，得出PE+PD+PF＝AH+DH+CD＝AC即可．【解答】解：延长EP交BC于点G，延长FP交AC于点H，如图所示：∵PF∥AB，PD∥BC，PE∥AC，∴四边形AEPH、四边形PDCG均为平行四边形，∴PE＝AH，PG＝CD．又∵△ABC为等边三角形，∴△FGP和△HPD也是等边三角形，∴PF＝PG＝CD，PD＝DH，∴PE+PD+PF＝AH+DH+CD＝AC，∴AC＝a；故选：D．【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键．平行四边形的五种判定方法与平行四边形的性质相呼应，每种方法都对应着一种性质，在应用时应注意它们的区别与联系．28．【考点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．【专题】三角形．【分析】根据等边三角形的判定、轴对称的性质即可判断；【解答】解：①三条边都相等的三角形是等边三角形；正确．②有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形；正确．③有两个角为60°的三角形是等边三角形；正确．④底角的角平分线所在的直线是这等腰三角形的对称轴，则这个三角形是等边三角形；正确．故选：D．【点评】本题考查等边三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、轴对称等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．29．【考点】平行线的性质；等边三角形的判定与性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【分析】根据等边三角形边长为2，在Rt△BDE中求得DE的长，再根据CM垂直平分DF，在Rt△CDN中求得CN，最后根据线段和可得CM的长．【解答】解：∵等边三角形边长为2，BD＝CD，∴BD＝，CD＝，∵等边三角形ABC中，DF∥AB，∴∠FDC＝∠B＝60°，∵∠EDF＝90°，∴∠BDE＝30°，∴DE⊥BE，∴BE＝BD＝，DE＝，如图，连接DM，则Rt△DEF中，DM＝EF＝FM，∵∠FDC＝∠FCD＝60°，∴△CDF是等边三角形，∴CD＝CF＝，∴CM垂直平分DF，∴∠DCN＝30°，DN＝FN，∴Rt△CDN中，DN＝，CN＝，∵M为EF的中点，∴MN＝DE＝，∴CM＝CN+MN＝+＝，故选：C．【点评】本题主要考查了三角形的综合应用，解决问题的关键是掌握等边三角形的性质、平行线的性质、线段垂直平分线的判定等．熟练掌握这些性质是解题的关键．30．【考点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【分析】根据等腰三角形的性质和等边三角形的性质和判定逐个进行分析判断，即可得到答案．【解答】解：A．有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，故本选项不合题意；B．如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边相等，故本选项不合题意；C．等腰三角形顶角的角平分线，底边的中线，高相互重合，说法错误，故本选项符合题意；D．三个角都相等的三角形是等边三角形，故本选项不合题意；故选：C．【点评】本题考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质定理是解题的关键．31．【考点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．。

反比例函数与特殊三角形存在性问题(解析版)(人教版) -九年级数学下册

专题02反比例函数与特殊三角形存在性问题类型一、等腰三角形存在性问题(1)求双曲线的解析式；(2)求点E B F ，，的坐标：(3)若点P 为x 轴上一动点，使得标【答案】(1)()20=>y x x∴(,0)A a ，(0,)C b ，OA =∵F E 、分别是AB BC 、边中点，∴11,22AF b CE a ==，F ⎛ ⎝∴1124AOF S AF OA ab == △∵(1,2)E ，5OE =，∴点G 的横坐标为10122+=在Rt ,Rt OGM OCE △△中，∵GOM COE ∠=∠，OGM ∠∴OGM OCE △∽△，OG OC∴(2,1)E ，11,2G ⎛⎫ ⎪⎝⎭，OE 在Rt ,Rt OGM OCE △△中，∵GOM COE ∠=∠，OGM ∠∴OGM OCE △∽△，∴OG OC OM OE =，1OC =，OE(1)试说明反比例函数ky x=的图象也经过点B ；(2)如图2，正方形ABCD 向下平移得到正方形MNPQ ，边MN 在x 轴上，反比例函数图象分别交正方形MNPQ 的边PQ 、PN 于点E 、F ．①求MEF 的面积；②在x 轴上是否存在一点G ，使得GEF △是等腰三角形，若存在，直接写出点G②点F 、E 的坐标分别为：()3,1、3,22⎛⎫⎪⎝⎭，设点(),0G m ，则222313(3)(21)24EF =-+-=，2(FG m =当EF EG =时，即213(3)14m =-+，解得：92m =或32，当9m =时，点E 、F 、G 三点共线，故舍去，3m ∴=(1)求k 的值．(2)将正方形OABC 分别沿直线AB BC ，翻折，得到正方形【点睛】本题考查正方形的性质，轴对称的性质，待定系数法求解析式，等腰三角形性质，两点距离求解；坐标系内灵活运用轴对称性质求解点坐标是解题的关键．【变式训练3】．如图，一次函数y ax b =+的图象与反比例函数点，与x 轴交于点C ，与y 轴交于点D ，已知点A 坐标为(1)求反比例函数的解析式和一次函数的解析式；(2)连接OA 、OB ，求AOB 的面积；(3)观察图象直接写出kax b x+>时x 的取值范围是；(4)直接写出：P 为x 轴上一动点，当三角形OAP 为等腰三角形时点【答案】(1)3y x=，1122y x =-；(2)54AOB S =(1,0)C ∴，111122AOB AOC BOC S S S ∴=+=⨯⨯+ （3）解：由图象得：kax b x+>（4）解：当AOP ∆是等腰三角形时，存在以下三种情况：①当OA OP =时，如图2，(3,1)A ，10OA ∴=，1(10P ∴-②当OA AP =时，如图3，(6,0)P ∴；③当OP AP =时，如图4，过A 作AE 设OP x =，则AP x =，3PE x =-，AP ∴2221(3)x x ∴+-=，53x =，5(3P ∴，0)综上，P 的坐标为()10,0或()10,0-，【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合问题，数与一次函数的解析式，等腰三角形的判定，三角形面积公式，本题难度适中，并运用了分类讨论的思想解决问题．类型二、直角三角形存在性问题(1)求m和k的值；(2)x轴上是否存在一点请说明理由．m=，【答案】(1)2(2)存在，()50，或(5(1)求反比例函数的解析式；(2)连接EF、OE、OF，求OEF的面积；(3)是否存在x轴上的一点P，使得EFP△是不以点P为直角顶点的直角三角形？若存在，请求出符合题意的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)12yx=；(2)452(3)155,0 8P⎛⎫⎪，25,0 2P⎛⎫- ⎪8OA =Q ，8x ∴=时，32y =，38,2F ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，即，32AF =，39622BF =-=，设所求点P 坐标为(,0)a ，38,2F ⎛⎫⎪⎝⎭，(2,6)E ，()222322582624EF ⎛⎫∴-+- ⎪⎝⎭==()()22222064EP a a a -+--==(1)若4BC=，求点E的坐标；(2)连接AE，OE．①若AOE△的面积为24，求k的值；②是否存在某一位置使得AE OA⊥【答案】(1)4 6,3 E⎛⎫ ⎪⎝⎭(2)①18；②不存在，理由见解析(1)求a ，b 的值及反比例函数的解析式；(2)若1OD =，求点C 的坐标，判断四边形ABCD 的形状并说明理由；(3)若点M 是反比例函数(0)k y x x=>图象上的一个动点，当（3）①当90MAD ∠=︒∴56n =，则 1.2n =，()5,1.2M ∴，②当90AMD ∠= 时，由图得()3,M n n +∴()(36n n +=，解得：12333333,22n n -+--==(舍去)(M ∴3332+，3332-+)333333设点3,2Q a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则2PQ a =+∵45PAQ ∠=︒∴AQ 平分PAO ∠．∴322a a +=-，解得45a =-3346a ⎛⎫-=-⨯-=∵AQ 平分PAO ∠，∴322a a -=+，∴45a =-∴33462255a ⎛⎫-=-⨯-=⎪⎝⎭∴361222PA a ⎛⎫=⨯-=⨯=⎪∴2AQ AP ==，∴2PA =，∴()2,2P -，综上所述，存在点P 使得APQ △【点睛】本题主要考查了待定系数法求反比例函数的解析式，的性质，解题的关键是分三种情况求出点(1)求反比例函数ky x=的表达式及E 点坐标；(2)如图2，连接DE ，AC ，试判断DE 与AC 的数量和位置关系，并说明理由；(3)如图3，连接AE ，在反比例函数ky x=的图象上是否存在点F ，使得AEF ∠=在，请求出点F 的坐标；若不存在，说明理由．【答案】(1)反比例函数的表达式为12y x=，点E 坐标为()6,2作AG AE ⊥，且使AG AE =点E 作EN y ⊥轴于点N ，易得∴6AM NE AB ===，MG ∴点G 坐标为()1,9将()6,2E 和()1,9G 代入直线7k ⎧=-(1)=a，b=；设点()0N m ，（其中0m >），则90MCN ∠=︒Q ，90MCF NCE ∴∠+∠=︒．NE l ⊥ 于点E ，90CMN ∠=︒ ，90CME NMG ∴∠+∠=︒ME l ⊥ 于点E ，。

《二次函数专题提优》：特殊三角形存在性问题

《二次函数专题提优》：特殊三角形存在性问题（一）、直角三角形存在性问题：1、在平面直角坐标系x O y 中，抛物线y =ax 2+bx +2过点A （-2，0），B （2，2），与y 轴交于点C ．（1）、求抛物线y =ax 2+bx +2的函数表达式；（2）、若点D 在抛物线y =ax 2+bx +2的对称轴上，求△ACD 的周长的最小值；（3）、在抛物线y =ax 2+bx +2的对称轴上是否存在点P ，使△ACP 是直角三角形？若存在直接写出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．2、如图，在矩形OABC 中，点O 为原点，点A 的坐标为（0，8），点C 的坐标为（6，0）．抛物线y ＝﹣94x 2+bx +c 经过点A 、C ，与AB 交于点D ．（1）、求抛物线的函数解析式；（2）、点P 为线段BC 上一个动点（不与点C 重合），点Q 为线段AC 上一个动点，AQ ＝CP ，连接PQ ，设CP ＝m ，△CPQ 的面积为S ．①、求S 关于m 的函数表达式； ②、当S 最大时，在抛物线y ＝﹣94x 2+bx +c 的对称轴l 上，若存在点F ，使△DFQ 为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点F 的坐标；若不存在，请说明理由．3、如图所示，直线y=x+2与抛物线y=ax 2+bx+6（a ≠0）相交于A （21，25）和B （4，m ），点P 是线段AB 上异于A 、B 的动点，过点P 作PC ⊥x 轴于点D ，交抛物线于点C ．（1）、求抛物线的解析式；（2）、是否存在这样的P 点，使线段PC 的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；（3）、求△PAC 为直角三角形时点P 的坐标．4、如图，已知一条直线过点（0，4），且与抛物线2x 41y 交于A ，B 两点，其中点A 的横坐标是﹣2．（1）、求这条直线的函数关系式及点B 的坐标；（2）、在x 轴上是否存在点C ，使得△ABC 是直角三角形？若存在，求出点C 的坐标，若不存在，请说明理由；（3）、过线段AB 上一点P ，作PM ∥x 轴，交抛物线于点M ，点M 在第一象限，点N （0，1），当点M 的横坐标为何值时，MN +3MP 的长度最大？最大值是多少？（二）、等腰三角形存在性问题：5、如图所示，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点为A（3，0），与y轴的交点为B（0，3），其顶点为C，对称轴为x=1．（1）、求抛物线的解析式；（2）、已知点M为y轴上的一个动点，当△ABM为等腰三角形时，求点M的坐标；（3）、将△AOB沿x轴向右平移m个单位长度（0＜m＜3）得到另一个三角形，将所得的三角形与△ABC重叠部分的面积记为S，用m的代数式表示S．6、如图所示，在平面直角坐标系中，已知点C（0，4），点A、B在x轴上，并且OA＝OC＝4OB，动点P在过A、B、C三点的抛物线上．（1）、求抛物线的函数表达式；（2）、在直线AC上方的抛物线上，是否存在点P，使得△PAC的面积最大？若存在，求出P点坐标及△PAC面积的最大值；若不存在，请说明理由．（3）、在x轴上是否存在点Q，使得△ACQ是等腰三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．7、如图，在平面直角坐标系中，已知点C（0，4），点A、B在x轴上，并且OA＝OC＝4OB，动点P在过A、B、C三点的抛物线上．（1）、求抛物线的函数表达式；（2）、在直线AC上方的抛物线上，是否存在点P，使得△PAC的面积最大？若存在，求出P点坐标及△PAC面积的最大值；若不存在，请说明理由．（3）、在x轴上是否存在点Q，使得△ACQ是等腰三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．8、已知抛物线y=ax²+bx+c经过A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，直线l是抛物线的对称轴．（1）、求抛物线的函数关系式；（2）、设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；（3）、在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．9、如图1，抛物线与4x 31x 31-y 2++=与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，连接AC 、BC ，点D 是线段AB 上一点，且AD ＝CA ，连接CD ．（1）、如图2，点P 是直线BC 上方抛物线上的一动点，在线段BC 上有一动点Q ，连接PC 、PD 、PQ ，当△PCD 面积最大时，求PQ +1010CQ 的最小值；（2）、将过点D 的直线绕点D 旋转，设旋转中的直线l 分别与直线AC 、直线CO 交于点M 、N ，当△CMN 为等腰三角形时，直接写出CM 的长．10、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =√33x 2-2√33x -√3与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，对称轴与x 轴交于点D ，点E （4，n ）在抛物线上．（1）求直线AE 的解析式；（2）点P 为直线CE 下方抛物线上的一点，连接PC ，PE ．当△PCE 的面积最大时，连接CD ，CB ，点K 是线段CB 的中点，点M 是CP 上的一点，点N 是CD 上的一点，求KM+MN+NK 的最小值；（3）点G 是线段CE 的中点，将抛物线y =√33x 2-2√33x -√3沿x 轴正方向平移得到新抛物线y ′，y ′经过点D ，y ′的顶点为点F ．在新抛物线y ′的对称轴上，是否存在一点Q ，使得△FGQ 为等腰三角形？若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．10、如图，已知二次函数y＝ax2﹣6ax﹣16a（a＜0）的图象与y轴交于点A，与x轴交于B、C两点，其对称轴与x轴交于点D，连接AC．（1）、①线段BC的长为；②点A的坐标为（用a的代数式表示）．（2）、设M是抛物线的对称轴上的一点，以点A、C、M为顶点的三角形能否成为以AC为斜边且有一个锐角是30°的直角三角形？若能，求出a的值；若不能，请说明理由．（3）、若a＝﹣，点P为x轴上方的抛物线上的一个动点，连接PA、PC，若所得△PAC的面积为S，则S取何值时，相应的点P有且只有2个？（三）、等腰直角三角形的存在性问题：11、如图,抛物线bxaxy+=2经过A(4,0),B(1,3)两点，点B. C关于抛物线的对称轴l对称，过点B作直线BH⊥x轴，交x轴于点H.(1)、求抛物线的解析式；(2)、若点M在直线BH上运动，点N在x轴上运动，是否存在这样的点M、N，使得以点M为直角顶点的△CNM是等腰直角三角形?若存在，请求出点M、N的坐标；若不存在，请说明理由。

18-特殊三角形的存在性

本节以一次函数为背景，结合三角形的相关知识，解决特殊的三角形的存在性问题．要用到分类讨论的思想，对想象力、分析能力和运算能力都有要求，根据题目中的条件利用等腰三角形或直角三角形的性质进行合理的转化建立方程求解．全等三角形的存在性问题考察了全等三角形的性质，利用边的关系结合两点间的距离公式构造等量关系，主要的题型是求点的坐标．特殊三角形的存在性内容分析知识结构模块一：存在全等三角形知识精讲【例1】如图，直线AB 与x 轴、y 轴分别交于点A ，点B ，已知A (2，0)，B (0，4)，线段CD 的两端点在坐标轴上滑动（点C 在y 轴上，点D 在x 轴上），且CD =AB ．（1）求直线AB 的解析式；（2）当点C 在y 轴负半轴上，且△COD 和△AOB 全等时，求点D 的坐标．【难度】★★ 【答案】【解析】【例2】如图，在平面直角坐标系中，直线8y x =-+与x 轴、y 轴分别交于点A ，点B ，点P (x ，y )是直线AB 上一动点（点P 不与点A 重合），点C 的坐标为(6，0)，O 是坐标原点，设△PCO 的面积为S ．（1）求S 与x 之间的函数关系式；（2）当点P 运动到什么位置时，△PCO 的面积为15；（3）过点P 作AB 的垂线与x 轴、y 轴分别交于点E ，点F ，是否存在这样的点P ，使△EOF ≌△BOA ?若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【难度】★★★ 【答案】【解析】例题解析ABOyxAB COPxy等腰三角形的分类讨论是压轴题中一个热门考点，本类题目均和图形运动有关，需要学生有较强的逻辑思维能力，能够根据运动的性质，把最终的图形画出，利用分类讨论的思想，结合题目中的已知条件建立等量关系．【例3】直线y kx b =+与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，点A 坐标为（3-，0），30OAB ∠=将x 轴所在的直线沿直线AB 翻折交y 轴于点C ，点F 是直线AB 上一动点．（1）求直线AB 的解析式；（2）若CF AB ⊥，求OF 的长；（3）若AOF ∆是等腰三角形，直接写出点F 的坐标．【难度】★★ 【答案】【解析】模块二：存在等腰三角形知识精讲例题解析AB O【例4】如图，平面直角坐标系中，函数y=2x+12的图像分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，过点A 的直线交y 轴的正半轴于点M ，且点M 为线段OB 的中点．（1）求直线AM 的解析式．（2）P 为直线AM 上的一个动点，是否存在这样的点P ，使得以P 、B 、M 为顶点的三角形为等腰三角形，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【难度】★★ 【答案】【解析】【例5】如图，函数313y x =-+的图像与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，以线段AB 为边在第一象限内作等边△ABC ．（1）求点C 的坐标；（2）将△ABC 沿着直线AB 翻折，点C 落在点D 处，求直线AD 的解析式；（3）在x 轴上是否存在E ，使△ADE 为等腰三角形?若存在，请直接写出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．【难度】★★★ 【答案】【解析】A BMO xy AB COxyBACODy x【例6】如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线l ：12y x m =-+与x 轴、y 轴的正半轴分别相交于点A 、B ，过点C (－4，－4)作平行于y 轴的直线交AB 于点D ，CD =10．（1）求直线l 的解析式；（2）求证：△ABC 是等腰直角三角形；（3）将直线l 沿y 轴负方向平移，当平移恰当的距离时，直线与x ，y 轴分别相交于点A ′、B ′，在直线CD 上存在点P ，使得△A ′B ′P 是等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标．【难度】★★★ 【答案】【解析】【例7】如图所示，在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，点A 的坐标为（-4，0），点B的坐标为（0，b ）（b ＞0）．P 是直线AB 上的一个动点，作PC ⊥x 轴，垂足为C ．记点P 关于y 轴的对称点为P '（P '不在y 轴上），连接P P '、P 'A 、P 'C ．设点P 的横坐标为a ．（1）当3b =时，求直线AB 的解析式；（2）在（1）的条件下，若点P '的坐标是（-1，m -），求m 的值；（3）若点P 在第一象限，是否存在a ，使△P 'AC 为等腰直角三角形?若存在，请求出所有满足要求的a 的值；若不存在，请说明理由．【难度】★★★ 【答案】【解析】ABCD OPP ’xy【例8】如图，矩形ABCD 中，P 是边AD 上的一动点，联结BP 、CP ，过点B 作射线交线段CP 的延长线于点E ，交直线AD 于点M ，且使得∠PBE ＝∠CBP ．如果AB ＝2， BC ＝5，AP ＝x ，PM ＝y ．（1）当AP ＝3时，求PM 的值；（2）当点M 在线段AD 上时，求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；（3）如果△EBC 是以EB 为腰的等腰三角形，求AP 的长．【难度】★★★ 【答案】【解析】【例9】如图，已知梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠C ＝90°，AE ⊥CD ，点F 是射线BC 上一点，FG ⊥AD ，垂足为点G ，FG 交线段AE 于点H ，AB ＝12，CD ＝17，AD ＝13．（1）求梯形ABCD 的面积；（2）当点F 在线段BC 上时，设CF ＝x ，AH ＝y ，求y 关于x 的函数关系式及自变量x 的取值范围；（3）若△BHF 是以BH 为腰的等腰三角形，请直接写出AH 的长．【难度】★★★ 【答案】【解析】ABCDEPMA BCDEFG H【例10】如图，在等腰梯形ABCD 中，AD //BC ，E 是AB 的中点，过点E 作EF //BC 交CD于点F ，AB ＝4，BC ＝6，∠B ＝60°．（1）求点E 到BC 的距离；（2）点P 为线段EF 上的一个动点，过点P 作PM ⊥EF 交BC 于点M ，过点M 作MN //AB 交折线ADC 于点N ，联结PN ，设EP ＝x ，①当点N 在线段AD 上时（如图1），△PMN 的形状是否发生变化?若不变，求出△PMN 的周长；若改变，请说明理由；②当点N 在线段DC 上时（如图2），是否存在点P ，使△PMN 为等腰三角形?若存在，请求出所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由．图1 图2 备用图【难度】★★★ 【答案】【解析】A BCDE FPN MA BCD EFFEPMN ABCD【例11】如图1，在边长为4的正方形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，点P 在线段BC 上（不含点B ），∠BPE ＝12∠ACB ，PE 交BO 于点E ，过点B 作BF ⊥PE ，交PE延长线于点F ，交AC 于点G ．（1）当点P 与点C 重合时（如图1），求证：OG=OE ；（2）猜想线段BF 与PE 有怎样的数量关系，并结合图2证明你的猜想；（3）联结PG ，是否存在等腰△GBP ，若存在，请直接写出满足条件的BP 的长，若不存在，请说明理由．【难度】★★★ 【答案】【解析】图1 ABC （P ）DEF GOM OABCDF G P图2 E【例12】如图1，已知矩形ABCD 中，AB ＝8，点M 在边BC 上，且BM ＝6，点P 在边AD或DC 上，联结AM 、AP 、MP ，设AD ＝x ．（1）如图1，当S △ABM ∶S 四边形ADCM ＝3∶7时，求x 的值；（2）如图2，当x ＝8时，如果△AMP 为等腰三角形，求△AMP 的面积；（3）直接写出使得△AMP 为等腰三角形的点P 最多有几个?并指出使得点P 个数最多时x 的取值范围．【难度】★★★ 【答案】【解析】图1图2ABCDM M M ABCDABCD备用图【例13】如图1，四边形ABCD 是正方形，对角线AC 、BD 相交于点O ，点E 、F 分别在边AB 、BC 上，∠EOF ＝90°．（1）求证BE ＝CF ；（2）如图2，如果OG 平分∠EOF ，与边BC 交于点G ，请你猜想BG 、CF 和GF 之间的数量关系，并证明；（3）设正方形ABCD 的边长是2，当点E 在AB 边上移动时，图2中的△GOF 可能是等腰三角形吗?如果可能，请求出线段BG 的长；如果不可能，请说明理由．图1 图2 备用图【难度】★★★ 【答案】【解析】ABC DE FGOOAB CDEFABODC【例14】已知：梯形ABCD 中，AB ∥CD ，BC ⊥AB ，AB =AD ，联结BD （如图1)，点P 沿梯形的边，从点A →B →C →D →A 移动，设点P 移动距离为x ，BP =y ．（1）求证：∠A =2∠CBD ；（2）当点P 从点A 移动到点C 时，y 与x 的函数关系如图2中的折线MNQ 所示，试求CD 长；（3）在（2）的情况下，点P 从点A →B →C →D →A 移动过程中，△BDP 是否可能为等腰三角形?若能，请求出所有能使△BDP 为等腰三角形的x 的取值，若不能，请说明理由．【难度】★★★ 【答案】【解析】ABCD5 MNyOQ8x直角三角形的特征非常明显，在平面直角坐标系内，直角三角形中一般有两个顶点是确定的，另一个顶点在某个函数图像上，通常用两点间的距离公式表示出第三条边后再讨论三角形的哪个角有可能是直角，根据这个直角的条件结合题目条件进行计算，此类综合题需要用到的知识较多，需要考察学生的思维、分析能力．【例15】如图，矩形AOBC 在直角坐标系中，已知点A 的坐标为(0，3)，点B 的坐标为(6，0)，直线y =34x 与AC 交于点D ．有一动点P 从O 出发，沿线段OB 以每秒2个单位长度的速度运动，当点P 运动到点B 时，点P 停止运动，设运动时间为t 秒．（1）当t 为何值时，OEP ∆为直角三角形? （2）当t 为何值时，OEP ∆为等腰三角形? 【难度】★★ 【答案】【解析】模块三：存在直角三角形知识精讲例题解析【例16】如图所示，直线L 与x 轴、y 轴分别交于A （6，0）、B （0，3）两点，点C （4，0）为x 轴上一点，点P 在线段AB （包括端点A 、B ）上运动．（1）求直线L 的解析式（2）当点P 的纵坐标为1时，按角的大小进行分类，请你确定△P AC 是哪一类三角形，并说明理由．（3）是否存在这样的点P ，使得△POC 为直角三角形?若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【难度】★★ 【答案】【解析】【例17】如图，在平面直角坐标系中，直线l 经过点A （2，-3），与x 轴交于点B ，且与直线y =833x 平行．（1）求直线l 的函数解析式及点B 的坐标；（2）如直线l 上有一点M （a ，-6），过点M 作x 轴的垂线，交直线于点N ，在线段MN 上求一点P ，使△P AB 是直角三角形，请求出点P 的坐标．【难度】★★★ 【答案】【解析】ABC 4PLx yO（2，-3）ABNMxyO【例18】如图1，△ABC 是边长为23的等边三角形，已知G 是边AB 上的一个动点（G 点不与A 、B 点重合），且GE ∥AC ，GF ∥BC ，若AG ＝x ，S △GEF ＝y ．（1）求y 与x 的函数关系式，并写出函数定义域；（2）点G 在运动过程中，能否使△GEF 成为直角三角形，若能，请求出AG 长度；若不能，请说明理由；（3）点G 在运动过程中，能否使四边形GFEB 构成平行四边形，若能，直接写出 S △GEF 的值；若不能，请说明由．【难度】★★★ 【答案】【解析】【例19】如图1，已知O 为正方形ABCD 对角线的交点，点E 在边CB 的延长线上，联结EO ，OF ⊥OE 交BA 延长线于点F ，联结EF ．（1）求证：EO ＝FO ；（2）若正方形的边长为2，OE ＝2OA ，求BE 的长；（3）当OE ＝2OA 时，将△FOE 绕点O 逆时针旋转到△F 1OE 1，使得∠BOE 1＝30°时，试猜想并证明△AOE 1是什么三角形．【难度】★★★ 【答案】【解析】ABCDEFO D OABC图1备用图ABC AEFBC图1备用图G【例20】如图1，在平面直角坐标系中，△AOB 为等腰直角三角形，A (4，4)．（1）求B 点坐标；（2）如图2，若点C 为x 轴正半轴上一动点，以AC 为直角边作等腰直角△ACD ， ∠ACD =900，连接OD ，求∠AOD 度数；（3）如图3，过点A 作AE ⊥y 轴于E ，F 为x 轴负半轴上一点，G 在EF 的延长线上，以EG 为直角边作等腰Rt △EGH ，过点A 作x 轴垂线交EH 于点M ，连接FM ，等式AM FM OF =1是否成立?若成立，请证明；若不成立，说明理由．【难度】★★★ 【答案】【解析】B AOx y B AOxyC DB A Oxy E FGHM图1图2图3【习题1】如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线1y x =+与334y x =-+交于点A ，分别交x 轴于点B 和点C ，点D 是直线AC 上的一个动点．（1）求点A 、B 、C 的坐标（2）当△CBD 为等腰三角形时，求点D 的坐标【难度】★★ 【答案】【解析】【习题2】如图，在平面直角坐标系内，四边形AOBC 是菱形，点B 的坐标是（4，0），∠AOB =60°，点P 从点A 开始沿AC 以每秒1个单位长度向点C 移动，同时点Q 从点O 以每秒a 个单位长度的速度沿OB 向右移动，设t 秒后，PQ 交OC 于点R ．（1）设a =2，求t 为何值时，四边形APQO 的面积是菱形AOBC 面积的14；（2）设a =2，OR =23，求t 的值及此时经过P 、Q 两点的直线解析式；（3）当a 为何值时，以O 、Q 、R 为顶点的三角形是以OR 为底的等腰三角形? 【难度】★★★ 【答案】【解析】随堂检测ABCD Oxy ABCQPR xyO【习题3】如图所示，一次函数323y x =+的图像与x 轴、y 轴分别交于A 、B ，以AB 为边在第二象限内作等边△ABC ．（1）求点C 的坐标；（2）在第二象限内有一点M （m ，0），使ABMABCSS=，求点M 的坐标；（3）如图所示，点C ，（23，0），在直线AB 上是否存在一点P ，使△AC ，P 为等腰三角形?若存在，求P 点坐标；若不存在，说明理由．【难度】★★★ 【答案】【解析】ABOxyaABO bxyCABCDE FO图1ABCDE 'F 'Oα图2【习题4】已知：如图1，O 为正方形ABCD 的中心，分别延长OA 到点F ，OD 到点E ，使OF ＝2OA ，OE ＝2OD ．连结EF ，将△FOE 绕点O 逆时针旋转α角得到△F ′OE ′ （如图2）．（1）探究A 'E 与BF ′的数量关系，并给予证明；（2）当α＝30°时，求证：△AOE '为直角三角形．【难度】★★★ 【答案】【解析】【作业1】如图，在平面直角坐标系中，点P 在直线12y x =上（点P 在第一象限），过点P 作P A ⊥x 轴，垂足为A ，且OP ＝25．（1）求点P 的坐标；（2）如果点M 和点P 都在反比例函数ky x=（k ≠0）的图像上，过点M 作MN ⊥x 轴，垂足为N ．如果△MNA 和△OAP 全等（点M 、N 、A 分别和点O 、A 、P 对应），求点M 的坐标．【难度】★★ 【答案】【解析】【作业2】如图所示，直线443y x =-+和x 轴，y 轴的交点分别为B 、C ，点A 的坐标是（-2，0）．（1）试说明△ABC 是等腰三角形；（2）动点M 从点A 出发沿x 轴向点B 运动，同时动点N 从点B 出发沿线段BC 向点C 运动，运动的速度均为每秒1个单位长度．当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动．设M 运动t 秒时，△MON 的面积为S ． ①求S 与t 的函数关系式；②设点M 在线段OB 上运动时，是否存在S =4的情形?若存在，求出对应的t 值；若不存在请说明理由；③在运动过程中，当△MON 为直角三角形时，求t 的值．【难度】★★★ 【答案】【解析】课后作业AOPxy【作业3】如图1，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，CD ＝10，AB ＝80，∠A ＝30°，∠B ＝60°，点M 是边AB 的中点，点N 是边AD 上的动点．（1）求梯形ABCD 的周长；（2）联结MN ，如果直线MN 与射线CB 交于点P ，当△BMP 为等腰三角形时，求AN 的长；（3）把△AMN 沿着直线MN 翻折后得到△A 'MN ，是否可能使△A 'MN 的一条边（折痕 MN 除外）与AD 垂直?若存在，求AN 的长；若不存在，请说明理由．【难度】★★★ 【答案】【解析】ABCDMNABCD。

难题突破专题四特殊三角形存在性问题

难题突破专题四特殊三角形存在性问题特殊三角形存在性问题主要是指寻找符合条件的点使之构成等腰三角形、直角三角形、全等三角形等特殊三角形．解决此类问题的关键在于恰当地分类讨论，避免漏解．类型1 等腰三角形存在性问题1 如图Z4－1，直线y＝3x＋3交x轴于点A，交y轴于点B，过A，B两点的抛物线交x轴于另一点C(3，0)．(1)求点A，B的坐标．(2)求抛物线对应的函数表达式．图Z4－1(3)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．例题分层分析(1)如何求一次函数图象与坐标轴的交点坐标？(2)如何求抛物线对应的函数表达式？根据题意，设抛物线对应的函数表达式时，应该用哪种形式？(3)①根据抛物线对应的函数表达式求出对称轴为直线________，所以可设点Q的坐标为________；②△ABQ是等腰三角形可分为________种情况，分别是____________________；③根据勾股定理分别列出方程即可求出点Q的坐标．解题方法点析对于等腰三角形的分类应分三种情况．可以设一个未知数，然后用这个未知数分别表示出三角形的三边，再根据两边相等，得到三个方程，即三种情况．特别注意求出的值需检验能否构成三角形．类型2 直角三角形、全等三角形存在性问题图Z 4－22 如图Z 4－2，已知直线y ＝kx －6与抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 相交于A ，B 两点，且点A (1，－4)为抛物线的顶点，点B 在x 轴上．(1)求抛物线对应的函数表达式．(2)在(1)中二次函数的第二象限的图象上是否存在一点P ，使△POB 与△POC 全等？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．(3)若点Q 是y 轴上一点，且△ABQ 为直角三角形，求点Q 的坐标．例题分层分析(1)已知点A 的坐标可确定直线AB 对应的函数表达式，进一步能求出点B 的坐标．点A 是抛物线的顶点，那么可以将抛物线对应的函数表达式设为________式，再代入________的坐标，依据________法可解．(2)△ABQ 为直角三角形，直角顶点没确定，故分别以________为直角顶点，进行分类讨论，找出相关的相似三角形，依据对应线段成比例进行求解或者利用勾股定理列方程求解．解题方法点析本题为综合题，考查了平面直角坐标系中，利用待定系数法求抛物线对应的函数表达式，利用方程、分类讨论和数形结合等思想解题．专题训练1．如图Z 4－3，点O (0，0)，A (2，2)，若存在点P ，使△APO 为等腰直角三角形，则点P 的个数为________．图Z 4－32．[2017·湖州] 如图Z 4－4，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线y ＝kx (k >0)分别交反比例函数y ＝1x 和y ＝9x 在第一象限的图象于点A ，B ，过点B 作BD ⊥x 轴于点D ，交y ＝1x 的图象于点C ，连结A C.若△ABC 是等腰三角形，则k 的值是________．图Z4－43．如图Z4－5所示，在平面直角坐标系中，已知点A(2，2)，点B(2，－3)．试问坐标轴上是否存在一点P，使得△ABP为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．图Z4－54．[2017·张家界] 如图Z4－6，已知抛物线C1的顶点坐标为A(－1，4)，与y轴的交点为D(0，3)．(1)求C1的解析式；(2)若直线l1：y＝x＋m与C1仅有唯一的交点，求m的值；(3)若将抛物线C1关于y轴对称的抛物线记作C2，平行于x轴的直线记作l2：y＝n.试结合图象回答：当n为何值时，l2与C1和C2共有：①两个交点；②三个交点；③四个交点；(4)若将C2与x轴正半轴的交点记作B，试在x轴上求点P，使得△PAB为等腰三角形．图Z4－65.[2017·攀枝花] 如图Z4－7，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A，B两点，B点坐标为(3，0)，与y轴交于点C(0，3)．(1)求抛物线的解析式．(2)点P在x轴下方的抛物线上，过点P的直线y＝x＋m与直线BC交于点E，与y轴交于点F，求PE＋EF的最大值．(3)点D为抛物线对称轴上一点．①当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，求点D的坐标；②若△BCD是锐角三角形，求点D的纵坐标的取值范围．图Z4－76．如图Z4－8，抛物线y＝ax2－2ax＋c(a≠0)与y轴交于点C(0，4)，与x轴交于点A，B，点A的坐标为(4，0)．(1)求该抛物线对应的函数表达式．(2)点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE∥AC，交BC于点E，连结CQ，当△CQE的面积最大时，求点Q的坐标．(3)若平行于x轴的动直线l与该抛物线交于点P，与直线AC交于点F，点D的坐标为(2，0)．问：是否存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．图Z4－8参考答案类型1 等腰三角形存在性问题例1 【例题分层分析】(1)令一次函数表达式中的x 或y 为0，即可求出图象与y 轴或x 轴的交点坐标．(2)求抛物线对应的函数表达式一般有三种方法：一般式法、顶点式法和交点式法．本题利用一般式法或交点式法都比较简单．(3)①x ＝1 (1，a )②三 AQ ＝BQ ，AB ＝BQ ，AQ ＝AB 解：(1)∵直线y ＝3x ＋3，∴当x ＝0时，y ＝3，当y ＝0时，x ＝－1， ∴点A 的坐标为(－1，0)，点B 的坐标为(0，3)．(2)设抛物线对应的函数表达式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧0＝a －b ＋c ，3＝c ，0＝9a ＋3b ＋c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2，c ＝3.∴抛物线对应的函数表达式为y ＝－x 2＋2x ＋3.(3)∵抛物线对应的函数表达式为y ＝－x 2＋2x ＋3，配方，得y ＝－(x －1)2＋4，∴抛物线的对称轴为直线x ＝1，设Q (1，a )．①当AQ ＝BQ 时，如图①，设抛物线的对称轴交x 轴于点D ，过点B 作BF ⊥DQ 于点F . 由勾股定理，得BQ ＝BF 2＋QF 2＝（1－0）2＋（3－a ）2， AQ ＝AD 2＋QD 2＝22＋a 2，得（1－0）2＋（3－a ）2＝22＋a 2，解得a ＝1， ∴点Q 的坐标为(1，1)． ②当AB ＝BQ 时，如图②，由勾股定理，得（1－0）2＋（a －3）2＝10，解得a ＝0或6，当点Q 的坐标为(1，6)时，其在直线AB 上，A ，B ，Q 三点共线，舍去，∴点Q 的坐标是(1，0)．③当AQ ＝AB 时，如图③，由勾股定理，得22＋a 2＝10，解得a ＝±6，此时点Q 的坐标是(1，6)或(1，－6)．综上所述，存在符合条件的点Q ，点Q 的坐标为(1，1)或(1，0)或(1，6)或(1，－6)．类型2 直角三角形、全等三角形存在性问题例2 【例题分层分析】(1)顶点点B 待定系数 (2)点A ，B ，Q 解：(1)把(1，－4)代入y ＝kx －6，得k ＝2， ∴直线AB 对应的函数表达式为y ＝2x －6. 令y ＝0，解得x ＝3，∴点B 的坐标是(3，0)． ∵点A 为抛物线的顶点，∴设抛物线对应的函数表达式为y ＝a (x －1)2－4，把(3，0)代入，得4a －4＝0，解得a ＝1，∴抛物线对应的函数表达式为y ＝(x －1)2－4＝x 2－2x －3. (2)存在．∵OB ＝OC ＝3，OP ＝OP ， ∴当∠POB ＝∠POC 时，△POB ≌△POC ，此时OP 平分第二象限，即直线PO 对应的函数表达式为y ＝－x . 设P (m ，－m )，则－m ＝m 2－2m －3，解得m ＝1－132⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＝1＋132＞0，舍去，∴点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1－132，13－12.(3)如图，①当∠Q 1AB ＝90°时，△DAQ 1∽△DOB ， ∴AD OD ＝DQ 1DB ，即56＝DQ 13 5， ∴DQ 1＝52，∴OQ 1＝72，即点Q 1的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，－72；②当∠Q 2BA ＝90°时，△BOQ 2∽△DOB ，∴OB OD ＝OQ 2OB ，即36＝OQ 23， ∴OQ 2＝32，即点Q 2的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32；③当∠AQ 3B ＝90°时，过点A 作AE ⊥y 轴于点E ，则△BOQ 3∽△Q 3EA ， ∴OB Q 3E ＝OQ 3AE ，即34－OQ 3＝OQ 31， ∴OQ 32－4OQ 3＋3＝0，∴OQ 3＝1或3，即点Q 3的坐标为(0，－1)或(0，－3)．综上，点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－72或⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32或(0，－1)或(0，－3)．专题训练 1．62.3 77或155 [解析] 考查反比例函数中系数k 的几何意义及等腰三角形的性质．用B ，A 两点的坐标来表示C 点坐标，得到BC 的长度，然后分三种情况讨论k 值．设B (a ，9a )，A (b ，1b )，∴C (a ，1a )，ka ＝9a ，kb ＝1b ，∴a 2＝9k ，b 2＝1k .又∵BD ⊥x 轴，∴BC ＝8a .①当AB ＝BC 时，AB ＝（a －b ）2＋（ka －kb ）2，∴1＋k 2(a －b )＝8a ，∴1＋k 2(3k －1k)＝83k ，∴k ＝3 77.②当AC ＝BC 时，AC ＝（b －a ）2＋（1b －1a）2，∴(1＋k 29)(3k －1k)2＝64k 9，∴k ＝155.③当AB ＝AC 时，∴1＋k 29＝1＋k 2，∴k ＝0(舍去)．综上所述，k ＝3 77或155.3．解：①若∠BAP ＝90°，易得P 1(0，2)． ②若∠ABP ＝90°，易得P 2(0，－3)．③若∠BPA ＝90°，如图，以AB 为直径画⊙O ′与x 轴、y 轴分别交于点P 3，P 4，P 5，P 6，AB 与x 轴交于点C ，过点O ′作O ′D ⊥y 轴于D 点．在Rt △DO ′P 5中易知O ′D ＝2，O ′P 5＝52，则P 5D ＝254－4＝32， OP 5＝P 5D －OD ＝32－12＝1，则P 5(0，1)．易知P 5D ＝P 6D ，则P 6(0，－2)．连结O ′P 3，O ′P 4，易求出P 3(2－6，0)，P 4(2＋6，0)．综上所述，存在点P ，使得△ABP 为直角三角形，坐标为P 1(0，2)，P 2(0，－3)，P 3(2－6，0)，P 4(2＋6，0)，P 5(0，1)，P 6(0，－2)．4．解：(1)∵抛物线C 1的顶点坐标为A (－1，4)， ∴设C 1的解析式为y ＝a (x ＋1)2＋4，把D (0，3)代入得3＝a (0＋1)2＋4，解得a ＝－1， ∴C 1的解析式为y ＝－(x ＋1)2＋4＝－x 2－2x ＋3.(2)由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2－2x ＋3，y ＝x ＋m ，得x 2＋3x ＋m －3＝0，Δ＝32－4×1×(m －3)＝－4m ＋21＝0，∴m ＝214.(3)抛物线C 2的顶点坐标为(1，4)，l 2与C 1和C 2共有：①两个交点，这时l 2过抛物线的顶点，∴n ＝4；②三个交点，这时l 2过两条抛物线的交点D ，∴n ＝3；③四个交点，这时l 2在抛物线的顶点与点D 之间或在点D 的下方，∴3<n <4或n <3.(4)根据抛物线的对称性可知，C 2的解析式为y ＝－(x －1)2＋4＝－x 2＋2x ＋3，与x 轴正半轴的交点B 的坐标为(3，0)，又A (－1，4)，∴AB ＝42＋42＝4 2.①若AP ＝AB ，则PO ＝4＋1＝5，这时点P 的坐标为(－5，0)；②若BA ＝BP ，若点P 在点B 的左侧，则OP ＝BP －BO ＝4 2－3，这时点P 的坐标为(3－4 2，0)，若点P 在点B 的右侧，则OP ＝BP ＋BO ＝4 2＋3，这时点P 的坐标为(3＋4 2，0)；③若PA ＝PB ，这时点P 是线段AB 的垂直平分线与x 轴的交点，显然PA ＝PB ＝4，∴P (－1，0)．综上所述，点P 的坐标为(－5，0)或(3－4 2，0)或(3＋4 2，0)或(－1，0)．5．解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧32＋3b ＋c ＝0，c ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－4，c ＝3，∴抛物线的解析式为y ＝x 2－4x ＋3. (2)由题易知OC ＝OB ＝3，∴∠OCB ＝45°. 同理可知∠OFE ＝45°， ∴△CEF 为等腰直角三角形．以BC 为对称轴将△FCE 对称得到△F ′CE ，作PH ⊥CF ′于H 点，如图①，则PE ＋EF ＝PF ′＝2PH . 又PH ＝y C －y P ＝3－y P ，∴当y P 最小时，PE ＋EF 取得最大值， ∵抛物线的顶点坐标为(2，－1)，∴当y P ＝－1时，(PE ＋EF )max ＝2×(3＋1)＝4 2.(3)①由(1)知抛物线的对称轴为直线x ＝2，设D (2，n )，如图②.当△BCD 是以BC 为直角边的直角三角形且D 在C 的上方D 1位置时，由勾股定理得CD 2＋BC 2＝BD 2，即(2－0)2＋(n －3)2＋(3 2)2＝(3－2)2＋(0－n )2，解得n ＝5；当△BCD 是以BC 为直角边的直角三角形且D 在C 的下方D 2位置时，由勾股定理得BD 2＋BC 2＝CD 2，即(2－3)2＋(n －0)2＋(3 2)2＝(2－0)2＋(n －3)2，解得n ＝－1.综上所述，当△BCD 是以BC 为直角边的直角三角形时，D 为(2，5)或(2，－1)．②如图③，以BC 的中点T (32，32)为圆心，12BC 为半径作⊙T ，与抛物线的对称轴x ＝2交于D 3和D 4，由直径所对的圆周角是直角得∠CD 3B ＝∠CD 4B ＝90°，设D (2，m )为⊙T 上一点，由DT ＝12BC ＝3 22，得(32－2)2＋(32－m )2＝(3 22)2，解得m ＝32±172，∴D 3(2，32＋172)，D 4(2，32－172)，又由①得D 1为(2，5)，D 2(2，－1)，∴若△BCD 是锐角三角形，则D 点在线段D 1D 3或D 2D 4上(不与端点重合)，则点D 的纵坐标的取值范围是－1＜y D ＜32－172或32＋172＜y D＜5.6．解：(1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧0＝8a＋c，4＝c，解得⎩⎪⎨⎪⎧a＝－12，c＝4，∴所求抛物线对应的函数表达式为y＝－12x2＋x＋4.(2)如图①，设点Q的坐标为(m，0)，过点E作EG⊥x轴于点G.由－12x2＋x＋4＝0，得x1＝－2，x2＝4，∴点B的坐标为(－2，0)，∴AB＝6，BQ＝m＋2.∵QE∥AC，∴△BQE∽△BAC，∴EGCO＝BQBA，即EG4＝m＋26，∴EG＝2m＋43，∴S△CQE＝S△CBQ－S△EBQ＝12BQ·CO－12BQ·EG＝12(m＋2)⎝⎛⎭⎪⎫4－2m＋43＝－13m2＋23m＋83＝－13(m－1)2＋3.∵－2≤m≤4，∴当m＝1时，S△CQE有最大值3，此时点Q的坐标为(1，0)．(3)存在．在△ODF中，①若DO＝DF，∵A(4，0)，D(2，0)，∴AD＝OD＝DF＝2.又在Rt△AOC中，OA＝OC＝4，∴∠OAC＝45°，∴∠DFA＝∠OAC＝45°，∴∠ADF＝90°，此时点F的坐标为(2，2)．由－12x2＋x＋4＝2，得x1＝1＋5，x2＝1－5，∴点P的坐标为(1＋5，2)或(1－5，2)．②若FO ＝FD ，如图②，过点F 作FM ⊥x 轴于点M ，由等腰三角形的性质得OM ＝12OD ＝1， ∴AM ＝3，∴在等腰直角三角形AMF 中，MF ＝AM ＝3，∴F (1，3)．由－12x 2＋x ＋4＝3，得x 1＝1＋3，x 2＝1－3，∴点P 的坐标为(1＋3，3)或(1－3，3)．③若OD ＝OF ，∵OA ＝OC ＝4，且∠AOC ＝90°，∴AC ＝4 2，∴点O 到AC 的距离为2 2，而OF ＝OD ＝2，与OF ≥2 2相矛盾，∴AC 上不存在点F ，使得OF ＝OD ＝2，∴不存在这样的直线l ，使得△ODF 是等腰三角形．综上所述，存在这样的直线l ，使得△ODF 是等腰三角形，所求点P 的坐标为(1＋5，2)或(1－5，2)或(1＋3，3)或(1－3，3)．。

等腰三角形存在性问题(带答案)

等腰三角形存在性问题（两圆一线）类型一、格点中的等腰三角形1、在如图所示的5×5方格中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC是格点三角形（即顶点恰好是正方形的顶点），则与△ABC有一条公共边且全等的所有格点三角形的个数是（）2、.如图，在正方形网格的格点（即最小正方形的顶点）中找一点C，使得△ABC是等腰三角形，且AB为其中一腰．这样的C点有( )个．3、如图，A、B是网格中的两个格点，点C也是网格中的一个格点，连接AB、BC、AC，当△ABC为等腰三角形时，格点C的不同位置有处，设网格中的每个小正方形的边长为1，则所有满足题意的等腰三角形ABC的面积之和等于．4、如图，在图中能画出与△ABC全等的格点三角形有几个？类型二、定边几何法讨论：两圆一线5、以线段AB为一边的等腰直角三角形有个，请在下列图中画出来6、（1）如图所示，线段OD的一个端点O在直线AB上，以OD为一边的等腰三角形ODP，并且使点P也在AB 上，这样的等腰三角形能画个（在图中作出点P）（2）若∠DOB=60°，其它条件不变，则这样的等腰三角形能画个，（只写出结果）（3）若改变（2）中∠DOB的度数，其他条件不变，则等腰三角形ODP的个数和（2）中的结果相同，则改变后∠DOB=．7、如图，南北向的公路上有一点A，东西向的公路上有一点B，若要在南北向的公路上确定点P，使得△PAB是等腰三角形，则这样的点P最多能确定（）个．8、线段AB和直线l在同一平面上．则下列判断可能成立的有个直线l上恰好只有个1点P，使△ABP为等腰三角形直线l上恰好只有个2点P，使△ABP为等腰三角形直线l上恰好只有个3点P，使△ABP为等腰三角形直线l上恰好只有个4点P，使△ABP为等腰三角形直线l上恰好只有个5点P，使△ABP为等腰三角形直线l上恰好只有个6点P，使△ABP为等腰三角形．9、如图AOB ∠,当 30为AOB ∠， 60，120时，请在射线OA 上找点P ，使POB ∆为等腰三角形，并分析出当AOB ∠发生变化时，点P 个数的情况；类型三、三角形、长方形和正方形中的等腰三角形10、如图，在长方形ABCD 中，AB=4，AD=10，点Q 是BC 的中点，点P 在AD 边上运动，若△BPQ 是腰长为5的等腰三角形，则满足题意的点P 有( )个11、如图所示，在长方形ABCD的对称轴上找一点P，使得△PAB，△PBC均为等腰三角形，则满足条件的点P 有( )个12、如图，边长为6的正方形ABCD内部有一点P，BP=4，∠PBC=60°，点Q为正方形边上一动点，且△PBQ是等腰三角形，则符合条件的Q点有____个．13、在等边△ABC所在的平面内求一点P，使△PAB，△PBC，△PAC都是等腰三角形，请画出所有满足条件的点；等腰三角形存在性问题（两圆一线）答案类型一、格点中的等腰三角形1、在如图所示的5×5方格中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC是格点三角形（即顶点恰好是正方形的顶点），则与△ABC有一条公共边且全等的所有格点三角形的个数是（4）2、.如图，在正方形网格的格点（即最小正方形的顶点）中找一点C，使得△ABC是等腰三角形，且AB为其中一腰．这样的C点有( B )个．A.8B.9C.10D.113、如图，A、B是网格中的两个格点，点C也是网格中的一个格点，连接AB、BC、AC，当△ABC为等腰三角形时，格点C的不同位置有3处，设网格中的每个小正方形的边长为1，则所有满足题意的等腰三角形ABC的面积之和等于15．【解答】解：格点C的不同位置分别是：C、C′、C″，∵网格中的每个小正方形的边长为1，∴S△ABC=×4×3=6，S△ABC′=20﹣2×3﹣=6.5，S△ABC″=2.5，∴S△ABC+S△ABC′+S△ABC″=6+6.5+2.5=15．故答案分别为：3；15．4、如图，在图中能画出与△ABC全等的格点三角形有几个？类型二、定边几何法讨论：两圆一线5、以线段AB为一边的等腰直角三角形有个，请在下列图中画出来6、（1）如图所示，线段OD的一个端点O在直线AB上，以OD为一边的等腰三角形ODP，并且使点P也在AB 上，这样的等腰三角形能画4个（在图中作出点P）（2）若∠DOB=60°，其它条件不变，则这样的等腰三角形能画2个，（只写出结果）（3）若改变（2）中∠DOB的度数，其他条件不变，则等腰三角形ODP的个数和（2）中的结果相同，则改变后∠DOB=90°．7、如图，南北向的公路上有一点A，东西向的公路上有一点B，若要在南北向的公路上确定点P，使得△PAB是等腰三角形，则这样的点P最多能确定（）个．8、线段AB 和直线l 在同一平面上．则下列判断可能成立的有 5 个直线l 上恰好只有个1点P ，使△ABP 为等腰三角形直线l 上恰好只有个2点P ，使△ABP 为等腰三角形直线l 上恰好只有个3点P ，使△ABP 为等腰三角形直线l 上恰好只有个4点P ，使△ABP 为等腰三角形直线l 上恰好只有个5点P ，使△ABP 为等腰三角形直线l 上恰好只有个6点P ，使△ABP 为等腰三角形．9、如图AOB ∠,当 30为AOB ∠， 60， 120时，请在射线OA 上找点P ，使POB ∆为等腰三角形，并分析出当AOB ∠发生变化时，点P 个数的情况；【结论】当AOB ∠为锐角，AOB ∠ 60≠，有三个点，当AOB ∠=60，只有一个点；当AOB ∠为钝角或直角，只有一个点；类型三、三角形、长方形和正方形中的等腰三角形10、如图，在长方形ABCD中，AB=4，AD=10，点Q是BC的中点，点P在AD边上运动，若△BPQ是腰长为5的等腰三角形，则满足题意的点P有( B )A.2个B.3个C.4个D.5个11、如图所示，在长方形ABCD的对称轴上找一点P，使得△PAB，△PBC均为等腰三角形，则满足条件的点P 有( C )A.1个B.3个C.5个D.无数多个12、如图，边长为6的正方形ABCD内部有一点P，BP=4，∠PBC=60°，点Q为正方形边上一动点，且△PBQ是等腰三角形，则符合条件的Q点有____个．13、在等边△ABC所在的平面内求一点P，使△PAB，△PBC，△PAC都是等腰三角形，请画出所有满足条件的点；。

特殊三角形的存在性(习题及答案).

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7. 如图，在矩形 ABCD 中，AB=6，BC=4，点 E 是边 BC 上一动点，把△DCE 沿 DE 折叠得△DFE，射线 DF 交直线 CB 于点 P，当△AFD 为等腰三角形时，DP 的长为_________．
8. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 经过原点 O，且与 x 轴正半轴的夹角为 30°，点 M 在 x 轴上，⊙M 的半径为 2， ⊙M 与直线 l 相交于 A，B 两点．若△ABM 为等腰直角三角形，则点 M 的坐标为______________________．
动点，若将△ABP 沿 AP 折叠，使点 B 落在平面上的点 E 处，
连接 AE，PE．若 P，E，D 三点在一直线上时，则 BP=_______．
13. 如图，在矩形 ABCD 中，AD=2，AB=6，点 E，F 分别是边
CD，AB 上的动点，∠AFE 为钝角．将四边形 AFED 沿 EF
折叠，当点 A，D 的对应点 A′，D′与点 C 在同一条直线上，
9. 已知△ABC 的三边长分别为 3，4，6，在△ABC 所在平面内
画一条直线，将△ABC 分割成两个三角形，使其中的一个是
等腰三C．8 条
D．9 条
3
10. 如图，矩形 ABCD 中，AB= 4 6 ，AD=10，连接 BD，∠DBC 的平分线 BE 交 DC 于点 E，现把△BCE 绕点 B 逆时针旋转，记旋转后的△BCE 为△BC′E′，当射线 BE′和射线 BC′都与线段 AD 相交时，设交点分别为 F，G，若△BFD 为等腰三角形，则线段 DG 的长为_______________．
5. 如图，在菱形 ABCD 中，∠DAB=45°，AB=4，点 P 为线段 AB 上不重合于点 A 的一个动点，过点 P 作 PE⊥AB 交 AD 于点 E，将∠A 沿 PE 折叠，点 A 落在 F 处，连接 DF，CF，当 △CDF 为等腰三角形时，AP 的长为__________．

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思路分析： 1．研究背景图形（如图 1） 2．分析不变特征，确定分类标准
P(？，0)
△PAD 等腰
定：A，D
动：P
腰两圆
定线段 AD
底一线
3．分析特殊状态的形成因素，画出符合题意的图形并求解以 P4 为例： ①P4 是怎么来的（分析形成因素，垂直平分） ②垂直平分怎么用
1
y 3x b F ( 9 ， 3) 22
6
【参考答案】
巩固练习
1. （1）C( 3 ， 3 3 ) 22
（2）存在，点 P 的坐标为(0，0)或(6，0)
2. 存在，点 P 的坐标为(1，0)，(1，2 2 )，(1，2 2 )或(1，1) 3. 存在，点 P 的坐标为(-3， 3 3 3 )，( 3 3 3 ， 3 3 )或
思考小结
什么是存在性问题？通常是在变化的过程中，根据已知条件，探索某种状态或者某种关系是否存在的题目．主要考查运动的结果．
一般情况下我们如何处理存在性问题？（1）研究背景图形坐标系背景下研究坐标、表达式；几何图形研究边、角、特殊图形；（2）根据不变特征，确定分类标准研究定点，动点，定线段，确定分类标准不变特征举例： ①等腰三角形（两定一动）以定线段作为底边或者腰确定分类标准，利用两圆一线确定点的位置． ②等腰直角三角形（两定一动）根据直角顶点确定分类标准，然后借助两腰相等或者 45°角确定点的位置．（3）分析特殊状态的形成因素，画出符合题意的图形并求解（4）结果验证估算数值，结合图形进行验证．
(33 3 ，33 3 8 ，4)，(0， 4 )，( 4 ，8)，(4，0)，( 4 ，
4)或(0，0) 5. (0，0)
7
2
2. 如图，直线 y=x+1 与 y 轴交于点 A，与直线 x=1 交于点 B，在直线 x=1 上是否存在点 P，使得△ABP 是等腰三角形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．
3
3. 如图，直线 y 3 x 3 与 x 轴、y 轴分别交于点 A，B，第二
3 象限内是否存在点 P，使△ABP 是等腰直角三角形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．
4
4. 如图，直线 y x 4 与 x 轴、y 轴分别交于点 A，B，已知 P 是坐标平面内一点，且△ABP 是等腰直角三角形，求点 P 的坐标．
5
5. 如图，已知直线 l1 的表达式为 y=x，直线 l2 的表达式为 y 1 x 2 ，且平行于 y 轴的动直线 x=t（t<0）分别交直线 2 l1，l2 于点 A，B，点 P 是 y 轴上一个动点，且满足△PAB 是等腰直角三角形，则点 P 的坐标为________________．
3 9 22 3 9 3 b b 4 3 22 y 3x 4 3 0 x 4 P4(4，0)
巩固练习
1. 如图，已知直线 l： y 3 x 3 与 x 轴交于点 A，与 y 轴 3
交于点 B，将△AOB 沿直线 l 折叠，点 O 落在坐标平面内的点 C 处．（1）求点 C 的坐标；（2）在 x 轴上是否存在点 P，使△PAC 是等腰三角形？若存在求出点 P 的坐标，若不存在，请说明理由．
特殊三角形存在性（习题）
例题示范
例 1：如图，将 Rt△AOB 放入平面直角坐标系中，点 O 与坐标原点重合，点 A 在 x 轴负半轴上，点 B 在 y 轴正半轴上，且 OB= 2 3 ， ∠BAO=30°．将△AOB 沿过点 B 的直线折叠，使点 O 落在 AB 边上的点 D 处，折痕交 x 轴于点 E．（1）求直线 BE 的解析式．（2）求点 D 的坐标．（3）x 轴上是否存在点 P，使得△PAD 是等腰三角形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．