电子科大2017考博泛函分析真题及答案

n
0 都存在基本列 yn 使 xn , yn
，则 x 收敛；
n * 0
3. （15 分）设 X 为 Banach 空间， f X ，证： 0 都存在 x 使 f x
0
x
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
f 且 x0 1
；
4. （15 分）证明： T L X , Y 的充要条件是：T 为线性算子，并 将 X 中的有界集映成 Y 中的有界集； 5. （15 分）设 X,Y 均为 Banach 空间， A
f ( x1 ) f x1
两边取倒数，并乘以 f
f x1 f f ( x1 ) f
取

1
f ，便有
x1 f 1 f ( x1 )
再令 x0
x1 f 即可。 f ( x1 )
4、证明：必要性显然，下证充分性。
x 1 是 X 中的有界集，依题意，存在 M 0 ，使得 Tx M ， x, x 1
证毕。 2、证明：因为 yn 是完备距离空间 X , 中的基本列，所以 yn 收敛，不妨设
yn , y ， n
则
xn , y xn , yn yn , y 2
所以 xn 收敛。 3、证明： 0 ，存在 x1 ，使得
泛函分析答案
1、证明：由题设可以得到
et x(t )
1 1 s e x( s)ds e t y (t ) 2 0
定义 z (t ) et x(t ) ， (t ) et y(t ) ，则有
z (t ) (t )
令 Tz (t ) (t )
1 1 s e x( s)ds 2 0


令
ft ( x) x(t ) ， x(t ) C[a, b]
则 ft C[a, b]* ，因此
lim xn (t ) lim ft ( xn ) ft ( x) x(t )
n n
即 xn (t )n1 在 [a, b] 中逐点收敛于 x(t ) 。

n
L X , Y , n 1,2,... 证：若
x X , An x都在Y中收敛则存在 A L X , Y 使An 强收敛与 A, 且 A lim inf An
n n n n
；
6. （15 分） x t 设 x C a, b ，x C a, b 且 x 弱收敛到 x， 证明： 在[a,b]中逐点收敛到 x(t)；

n
An xn1 在 Y 中有界，即对 x X ，

sup An x
n1
由共鸣定理，存在 M 0 ，使得
An M ， n 1
于是
Ax lim An x lim An x M x
故
A L X , Y ，且 A lim An
6、证明：因为 xn n1 弱收敛于 x ，则 x n 有界。对每个 t [a, b] ，
1 1 z ( s)ds ，则 2 0
t[0,1]
Tu , Tv max

1 1 max u ( s ) v( s ) ds 2 0 t[0,1] 1 1 max u (t ) v(t ) u , v 2 t[0,1] 2
1 1 1 1 ( ) u s ds v( s )ds 2 0 2 0
于是对 x X , x 0 ，有
T
即
x M x
Tx M x
而对于 x 0 ，
Tx M x
自然成立，从而 Tx M x ， x X 。即知 T L X , Y 。 5、证明： x X ， Ax lim An x 。因为 An xn1 在 Y 中收敛，所以
电子科技大学 2017 年攻读博士学位研究生入学考试试题
科目 3043 泛函分析
1. （20 分） 设 y C 0,1 ,证明： 积分方程 xt 一解 x C 0,1 ;
1 1 t s 0e xs dx y t 存在唯 2
其余题目及答案见之后
2. （20 分）设 x 是完备距离空间 X , 中给定点列，证明：若