对数的运算导学案

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对数函数导学案.doc

2.2.1对数与对数运算（一）一【学习目标】（一）教学知识点1.对数的概念；2．对数式与指数式的互化．（二）能力训练要求1.理解对数的概念；２．能够进行对数式与指数式的互化；３．培养学生数学应用意识．二、教学重点：对数的定义．三、教学难点：对数概念的理解．四【新课讲授】(导学)假设2002年我国国民生产总值为a 亿元，如果每年平均增长8%，那么经过多少年国民生产总值是2002年的2倍？列出表达式：（自学）知识点1 ：对数的概念1.对数定义：一般地，如果，)1,0(≠>a a 且则数 b 叫做以a 为底 N 的对数，记作，其中a 称为对数的底，N 称为真数. （b N N a a b =⇔=log ）（1）底数的取值范围；真数的取值范围（2）对数式和指数式关系式子名称 a b N指数式对数式思考1．将下列指数式写成对数式：（1）62554= （2）64126=- （3）273=a(4)73.531=m ）（知识点2 两种重要对数1.常用对数：以10为底的对数叫做常用对数N 10log 简记作．思考2：5log 10简记作； 5.3log 10简记作2.自然对数：用以无理数e=2.71828……为底的对数叫自然对数， N e log 简记作思考3：3log e 简记作 10log e 简记作思考4．将下列对数式写成指数式：（1）416log 21-=；（2）7128log 2=；（3）201.0lg -=；（4）303.210ln =．知识点三 : 重要公式：⑴负数与零没有对数； ⑵01log =a ， 1log =a a ⑶对数恒等式N aNa =log五【典例欣赏】（互学） 1对数概念应用例1.求下列各式中x 的取值范围：(1)log 2(x －10)；(2)log (x －1)(x ＋2)；(3)log (x ＋1)(x －1)2.2对数基本运算例2求下列各式中的x 的值：（1）32log 64-=x ；（2）68log =x ；（3）x =100lg ；（4）x e =-2ln 。

高中数学对数的运算法则导学案新人教A版必修1

高中数学对数的运算法则导学案新人教A 版必修1 学习目标（1）掌握对数的运算法则，并能理解推导这些法则的依据和过程；（2）能较熟练地运用对数的运算法则解决有关问题．学习重点：对数运算法则及其应用．学习难点：对数运算法则的证明方法.一、课前准备回忆下列问题：1．对数的定义：若b a N =，则log a N b =，其中 a ∈),1()1,0(+∞ ，(0,)N ∈+∞．2．指数式与对数式的互化公式：b a N =⇔log a N b =.3. 对数的性质：（1）负数与零没有对数；（2）01log =a ，1log =a a ；（3）对数恒等式：log a N a N =． 4．指数运算法则：（1）(,)m n m n a a am n R +⋅=∈；（2） (,)m n m n a a a m n R -÷=∈；（3）()(,)m n mn a a m n R =∈；（4） ()()n n n ab a b n R =⋅∈.二、新课导学（一）自主学习：自学教材P64-65，完成《创新设计》P37“新知导学”如果0a >且1a ≠，0M >，0N >，那么（1）log ()a MN =；（2）log aM N=；（3）log n a M =()n R ∈. 注意：（1）语言表达：“积的对数 = 对数的和”……（简易表达可以帮助记忆）.（2）有时必须逆向运算：如：333311log 37log log (27)log 3199+=⨯==. （3）注意性质的使用条件：每一个对数都要有意义.222log [(3)(5)]log (3)log (5)--=-+-是不成立的，21010log (10)2log (10)-=-是不成立的.（4）当心记忆错误：log ()log log a a a MN M N ≠⋅，试举反例， log ()log log a a a M N M N ±≠±，试举反例.（5）对数的运算性质实际上是将积、商、幂的运算分别转化为对数的加、减、乘的运算.（二）典型例题【例1】求下列各式的值：（1）352log (24)⨯=（2）5log 125=（3）lg 32lg 21lg1.2+-；（4）22log log动动手：填空：①2log 6－2log 3= ； ②33log log = ；③551log 75log 3+=；④3log 5－3log 15=. 【例2】计算：（1）lg 14-2lg 18lg 7lg 37-+；（2）2lg 2lg32lg 0.362lg 2+++.【解析】动动手：填空：(1) lg 243lg 9= . （2）教材P74第3题。

对数运算学案

对数运算学案一、学习目标1、理解对数的概念，掌握对数的基本运算性质，能够运用对数进行简单的计算。

2、通过学习对数的概念和运算性质，培养学生的数学思维能力和实践能力。

3、通过对对数的学习，让学生感受到数学在日常生活中的广泛应用，提高学生的学习兴趣。

二、学习内容1、对数的定义和性质2、对数的运算性质3、对数在生活中的应用三、学习过程1、导入新课：通过一些生活中的例子，引导学生了解对数在生活中的应用，从而引出对数的概念和运算性质。

2、学习新课：通过讲解、演示和小组讨论等方式，让学生了解对数的定义、性质和运算方法。

3、巩固练习：通过一些例题和练习题，让学生巩固所学知识，并能够运用对数进行简单的计算。

4、归纳小结：通过回顾和总结，让学生明确本节课的学习重点和难点，并对所学知识进行梳理和归纳。

四、学习评价1、课堂表现：观察学生在课堂上的表现，包括听讲、思考、回答问题等情况。

2、作业情况：通过检查学生的作业情况，了解学生对所学知识的掌握情况。

3、测试成绩：通过测试学生的成绩，了解学生的学习效果，以便及时调整教学策略。

五、学习反思1、总结收获：让学生回顾本节课的学习内容，总结自己的收获和不足之处。

2、提出建议：让学生针对本节课的学习内容提出自己的建议和意见，以便改进教学方法和提高教学质量。

如果log2 x = 3，那么x等于（）A. 6B. 8C. 10D. 12对于任何一个实数x，下列四个选项中，一定为负数的是（）A. log1 xB. log2 x - 2C. log3 x + 1D. log4 x - 1对于对数式log2 (x - 3)，当x等于（）时，对数式有意义。

对于对数式log2 (x - 3)，当x等于（）时，对数式无意义。

若log2 x + log2 y = 0，则x + y的最大值为（）若log2 x + log2 y = 0，则x与y的关系是。

若log4 x + log4 y = 5，则x与y的关系是。

人教A版高中数学必修一对数与对数运算导学案新

§§2.2.1 对数与对数运算（2）1. 掌握对数的运算性质，并能理解推导这些法则的依据和过程；2. 能较熟练地运用对数运算法则解决问题..6466 复习1：（1）对数定义：如果x a N =(0,1)a a >≠，那么数 x 叫做，记作 . （2）指数式与对数式的互化：x a N =⇔ .复习2：幂的运算性质.（1）m n a a = ；（2）()m n a = ；（3）()n ab = .复习3：根据对数的定义及对数与指数的关系解答：（1）设log 2a m =，log 3a n =，求m n a +；（2）设log a M m =，log a N n =，试利用m 、n 表示log (a M ·)N ．二、新课导学 ※ 学习探究探究任务：对数运算性质及推导问题：由p q p q a a a +=，如何探讨log a MN 和log a M 、log a N 之间的关系？问题：设log a M p =, log a N q =，由对数的定义可得：M =p a ，N =q a ∴MN =p a q a =p q a +，∴log a MN =p +q ，即得log a MN =log a M + log a N 根据上面的证明，能否得出以下式子？如果 a > 0，a ≠ 1，M > 0， N > 0 ，则（1）log ()log log a a a MN M N =+；（2）log log log a a a MM N N=-；（3） log log ()n a a M n M n R =∈.反思：自然语言如何叙述三条性质？性质的证明思路？（运用转化思想，先通过假设，将对数式化成指数式，并利用幂运算性质进行恒等变形；然后再根据对数定义将指数式化成对数式）※ 典型例题例1用log a x , log a y , log a z 表示下列各式：（1）2log a xyz ；（2）log a .例2计算：（1）5log 25；（2）0.4log 1；（3）852log (42)⨯；（4）探究：根据对数的定义推导换底公式log log log c a c bb a=（0a >，且1a ≠；0c >，且1c ≠；0b >）．试试：2000年人口数13亿，年平均增长率1℅，多少年后可以达到18亿？※ 动手试试练1. 设lg 2a =,lg3b =，试用a 、b 表示5log 12.变式：已知lg2＝0.3010，lg3＝0.4771，求lg6、.练2. 运用换底公式推导下列结论.（1）log log m n a a n b b m =；（2）1log log a b b a=.练3. 计算：（1）7lg142lg lg 7lg183-+-；（2）lg 243lg9.三、总结提升 ※ 学习小结①对数运算性质及推导；②运用对数运算性质；③换底公式.※ 知识拓展① 对数的换底公式log log log b a b NN a=；②对数的倒数公式1log log a b b a=.③ 对数恒等式：log log n n a a N N =， log log m n a a nN N m=，log log log 1a b c b c a =. ※ 自我评价你完成本节导学案的情况为（）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分： 1. 下列等式成立的是（） A ．222log (35)log 3log 5÷=- B ．222log (10)2log (10)-=- C ．222log (35)log 3log 5+=D ．3322log (5)log 5-=-2. 如果lgx =lga +3lgb －5lgc ，那么（）.A ．x =a +3b －cB ．35abx c=C ．35ab x c= D ．x =a +b 3－c 33. 若()2lg 2lg lg y x x y -=+，那么（）. A ．y x = B ．2y x = C ．3y x = D ．4y x = 4. 计算：（1）99log 3log 27+= ；（2）2121log log 22+= .5.计算：15lg 23= .（1；（2）2lg 2lg 2lg5lg5+⋅+.2. 设a 、b 、c 为正数，且346a b c ==，求证： 1112c a b -=.。

4.3.2对数的运算导学案

4.3.2 对数的运算导学案编辑人：孙言兆学习目标1、通过具体实例引入，推导对数的运算性质；2、熟练掌握对数的运算性质，学会化简，计算.教学重难点重点：对数的运算性质，换底公式，对数恒等式及其应用；难点：正确使用对数的运算性质和换底公式．学习过程预习导入1．对数的运算性质若a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么：(1)log a (M ·N )＝___________________，(2)log a M N ＝___________________，(3)log a M n ＝___________________(n ∈R)．[点睛] 对数的这三条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数都有意义时，等式才成立．例如，log 2[(－3)·(－5)]＝log 2(－3)＋log 2(－5)是错误的．2．换底公式若c >0且c ≠1，则log a b ＝log c b log c a(a >0，且a ≠1，b >0)．小试牛刀1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)积、商的对数可以化为对数的和、差． ( )(2)log a (xy ＝log a x ·log a y . ( )(3)log 2(－5)2＝2log 2(－5)． ( )(4)由换底公式得log a b ＝log (－2)b log (－2)a. ( ) 2．计算log 84＋log 82等于( )A ．log 86B ．8C ．6D ．.1 3．计算log 510－log 52等于( )A ．log 58B ．lg 5C ．1D ．.2 4．log 48＝________.自主探究题型一对数运算性质的应用例1 计算下列各式的值:(1)log 2√796+log 224-12log 284;(2)lg 52+23lg 8+lg 5·lg 20+(lg 2)2.跟踪训练一1.计算下列各式的值(1)log 3√27+lg 25+lg 4+7log 712+(-9.8)0.(2)2log 32-log 3329+log 38-52log 53.题型二换底公式的应用例2 计算下列各式的值:(1)827log 9log 32;(2)48(log 3log 3)lg2lg3.跟踪训练二1.化简:(1)log 23·log 36·log 68;(2)(log 23+log 43)(log 32+log 274).题型三对数的综合应用例3 (1)若3x =4y =36,求2x +1y 的值;(2)已知3x =4y =6z ,求证:1x +12y =1z .跟踪训练三1.已知3a =7b =M ,且2a +1b =2,求M 的值?当堂检测1.log 29log 23＝( ) A.12 B ．2 C.32 D.922．2log 510＋log 50.25＝( )A ．0B ．1C ．2D ．.43．设a ＝log 32，则log 38－2log 36用a 表示的形式是( )A ．a －2B ．3a －(1＋a )2C ．5a －2D ．－a 2＋3a －14．计算log 225·log 322·log 59的结果为( )A ．3B ．4C ．5D ．.65．已知a 2＝1681(a ＞0)，则log 23a ＝________. 6．lg 5＋lg 20的值是________．7．若log a b ·log 3a ＝4，则b 的值为________．8．求下列各式的值：(1)2log 525＋3log 264； (2)lg(3＋5＋3－5)；(3)(lg 5)2＋2lg 2－(lg 2)2.。

2.2.1对数运算、换底公式导学案

例 4、已知 log23＝a，log37＝b，用 a，b 表示 log4256.
18b 5，求log36 45. 练习：已知log18 9 a，
利用换底公式可以把题目中不同底的对数化成同底的对数，进一步应用对数运算的性质．两个常用的推论: ① loga b logb a 1 ， ② log a m b
(2)设 logaM＝m，logaN＝n，试利用 m、n 表示 loga(MN)．
将上述结果的 m，n的代换后就得到对数的一条运算性质：即 loga (M N ) 同样地，由am÷ an＝am n和(am)n＝amn，也得到对数运算的其他性质：
－
M ) loga M n N （其中 a 0，a 1 ， M 0 ， N 0 ）你能不能推导出呢？证明下列各式：（其中 a 0，a 1 ， M 0 ， N 0 ） M log a ( ) loga M loga N loga (M N ) loga M loga N N log a (
n
loga b logb c logc a 1 ．
n log a b （a,b＞0 且均不为 1）． m
【当堂训练】计算：
(lg5)2 lg 2 lg 50;
lg 20 log100 25;
7 lg14 2 lg lg 7 lg18. 3
已知 lg 2 0.3010， lg 3 0.4771，求 lg 45
鸡西市第十九中学高一数学组
鸡西市第十九中学学案
2014 年（）月（）日班级姓名
2.2.1 对数运算、换底公式学习目标重点难点
1．理解对数运算性质的推导过程； 2．掌握对数的换底公式；熟练运用对数的运算性质进行化简求值．掌握对数的运算性质、换底公式；熟练运用对数的运算性质进行化简求值．

2.2.1对数与对数运算导学案

2.2.1 对数与对数运算导学案【学习目标】理解对数的含义及对数的运算.【教学重点】：（1）对数的定义；（2）指数式与对数式的互化【教学难点】：推导对数性质一、问题引入：（1）32= (2) 83=a ,则a = (3)2002年我国GDP 为a 亿元，如果每年平均增长8%,那么经过多少年GDP 是2002年的2倍？二、辅导自学阅读课本62页内容，完成下列内容：1、对数的概念：一般地，如果那么数x 叫做以的对数，记作，其中a 叫做对数的，N 叫做。

注意：底数的限制： ;真数的限制：2、两个重要对数（1）常用对数：以为底的对数，简记为；（2）自然对数：以为底的对数，简记为；3、对数与指数的互化：三、例题分析例1：将下列对数式写成指数式。

（1）532log 2= （2）4811log 3-= （3）31000lg = （4）381log 2-=()10≠>=a a N a x 且N 10log N e log例2：将下列指数式写成对数数式。

（1）62554= （2）64126-= （3）73.531=m ）（例3：求下列各式x 的值：（1）32log 64-=x (2)68log =x (3)x =100lg四、探究活动（对数的性质））探究1：求下列各式的值：（1）（2）（3）探究2：求下列各式的值：（1）（2）（3）探究3：1、求下列各式的值：（1）（2）1log 33log 36.0log 772、求下列各式的值：（1）；（2）；（3）思考：你发现了什么？归纳：1、“1”的对数等于，即=1log a，类比 2、底数的对数等于“1”，即=a a log 3、对数恒等式：4、对数恒等式：5、和没有对数。

【巩固训练】1.把下列各题的指数式写成对数式:(1)42＝16; （2）30=1; （3）4x ＝2 （4）2x ＝0.5;(5)54=625 (6)3-2= (7)()-2=16. 2.把下列各题的对数式写成指数式:(1)x ＝log 527 (2)x ＝log 87 (3)x ＝log 43(4)x ＝log 7; (5)log 216=4; (6)log27=-3;433log 410lg 10=a 9141313.求下列各式中x的值:(1)log8x=(2)logx27=3(3)log2（log5x）=1 (4)log3（lgx）=0 32。

高中数学《对数与对数运算》导学案

第二章基本初等函数§2.2.1对数与对数运算一、【学习目标】1. 理解对数的概念，掌握指数式与对数式的互化；2. 熟练运用对数的运算性质，掌握化简,求值的技巧。

【重点、难点】对数的概念和指数式与对数式的互化，对数运算性质的应用；对数概念的理解，对数运算化简、求值技巧。

二、学习过程【情景创设】1. 通过与指数式的比较，引出对数定义与性质；2. 结合幂的运算性质，推导出对数的运算性质。

【导入新课】1. 对数的概念一般地，若，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，a 叫做对数的底数，N 叫做真数。

2. 指数式与对数式的互化 log x a a N N x =⇔=3. 两种特殊的对数（1）对数10log lg N N 记为（2）对数e log ln N N 记为(e=2.71828…)4. 结论（1）没有对数（2）1的对数为，同底的对数为，即log 10,log 1.a a a ==5. 对数的运算性质（1）log log log a a a M N MN += （0M > ， 0N > ， 0a >且1a ≠）（2）log log log a a a M M N N-= （0M > ， 0N > ， 0a >且1a ≠）（3）log log n a a n M M = （0M >， 0N > ， 0a >且1a ≠ ， n N +∈）三、典例分析例1 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：（1）54=625 (2)61264-= (3)1() 5.733m =(4) 3log 92= (5)5log 1253= (6) 12log 164=-例2 用log a x ，log a y ，log a z 表示下列各式。

（1）log a xy z （2）log a例3 求下列各式的值。

（1）752log (42)⨯ （2）【变式拓展】1．将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：2(1)416= 21(2)39-= 1(3)()53m =255(4)log 2= 412(5)log 2=- 11000(6)log 3=-2．计算下列各式的值（1）23log (279)⨯ （2）7log （3）7lg142lg lg 7lg183---（4）lg 243lg9 （5四、总结反思1. 理解对数的概念，掌握指数式与对数式的互。

《对数的运算性质》导学案

《对数的运算性质》导学案一、学习目标1、理解对数的运算性质，能熟练运用对数的运算性质进行对数的运算。

2、通过对数运算性质的推导，培养逻辑推理能力和数学运算能力。

3、感受对数运算性质在解决数学问题中的重要作用，提高学习数学的兴趣。

二、学习重点对数的运算性质及其应用三、学习难点对数运算性质的推导和灵活运用四、知识回顾1、对数的定义：如果\（a^x ＝ N\）（＼（a ＞ 0\），且\（a ≠1\）），那么数\（x\）叫做以\（a\）为底\（N\）的对数，记作\（x ＝log_a N\）。

2、对数恒等式：＼（a^｛log_a N} ＝ N\）（＼（a ＞ 0\），且\（a ≠ 1\），＼（N ＞ 0\））3、常用对数：以\（10\）为底的对数叫做常用对数，记作\（lgN\）。

4、自然对数：以无理数\（e\approx 271828\）为底的对数叫做自然对数，记作\（ln N\）。

五、新课导入我们已经学习了对数的定义，那么对数有哪些运算性质呢？这就是我们本节课要探究的内容。

六、探究对数的运算性质1、设\（log_a M ＝ m\），＼（log_a N ＝ n\），则\（a^m ＝ M\），＼（a^n ＝ N\）。

＼＼begin{align}M ＼times N ＆＝ a^m ＼times a^n\＼＆＝ a^｛m ＋ n}＼end{align}＼所以\（log_a （M ＼times N) ＝ m ＋ n ＝ log_a M ＋ log_a N\）即：＼（log_a （M ＼times N) ＝ log_a M ＋ log_a N\）（＼（a ＞0\），且\（a ≠ 1\），＼（M ＞ 0\），＼（N ＞ 0\））2、设\（log_a M ＝ m\），则\（a^m ＝ M\）＼＼begin{align}＼frac{M}｛N}＆＝＼frac{a^m}｛a^n}＼＼＆＝a^｛m n}＼end{align}＼所以\（log_a ＼frac{M}｛N} ＝ m n ＝ log_a M log_a N\）即：＼（log_a ＼frac{M}｛N} ＝ log_a M log_a N\）（＼（a ＞0\），且\（a ≠ 1\），＼（M ＞ 0\），＼（N ＞ 0\））3、设\（log_a M ＝ m\），则\（a^m ＝ M\）＼＼begin{align}M^n&＝（a^m)＾n\＼＆＝a^｛mn}＼end{align}＼所以\（log_a M^n ＝ mn ＝ n log_a M\）即：＼（log_a M^n ＝ n log_a M\）（＼（a ＞ 0\），且\（a ≠ 1\），＼（M ＞ 0\），＼（n ∈ R\））七、对数运算性质的应用例 1：计算\（log_2 8 ＋ log_2 16\）解：＼（log_2 8 ＋ log_2 16 ＝ log_2 （8×16) ＝ log_2 128 ＝ 7\）例 2：计算\（log_3 18 log_3 2\）解：＼（log_3 18 log_3 2 ＝ log_3 ＼frac{18}｛2} ＝ log_3 9 ＝ 2\）例 3：计算\（log_5 25^3\）解：＼（log_5 25^3 ＝ 3 log_5 25 ＝ 3×2 ＝ 6\）八、课堂练习1、计算\（log_6 9 ＋ log_6 4\）2、计算\（log_7 35 log_7 5\）3、计算\（log_2 16^2\）九、课堂小结1、对数的运算性质：＼（log_a （M×N) ＝ log_a M ＋ log_a N\）＼（log_a ＼frac{M}｛N} ＝ log_a M log_a N\）＼（log_a M^n ＝ n log_a M\）2、应用对数的运算性质进行计算时，要注意对数的底数、真数的取值范围。

对数及其运算导学案

对数及其运算使用说明：1.阅读探究课本78、79页的基础知识，自主高效预习，提升自己的阅读理解能力；2.完成教材助读设置的问题，然后结合课本的基础知识和例题，完成本学案内容。

【学习目标】1.正确理解对数的概念，能够进行对数式与指数式的互化。

2.渗透应用意识，培养归纳思维能力和逻辑推理能力，提高数学发现能力。

【重点难点】重点：对数的概念，对数式与指数式的互化。

难点：对数概念的理解。

一、知识链接对数的概念难以理解，对数的符号初学时不太好掌握，学习时要抓住对数与指数的相互联系，深刻理解对数与指数间的关系，将有助于掌握对数的概念，对于对数式与指数式的互化，简单对数值的计算，要多做练习。

对数运算是指数运算的逆向运算，做题时应注意培养自己的逆向思维能力二、教材助读假设2002年我国国民生产总值为a 亿元如果每年平均增长2%.8，那么经过多少年国民生产总值是2000年的2倍。

21.082x =也就是已知底数和幂的值，求指数，你能看得出来吗？怎样求呢？三、预习自测1. 对数的概念.：一般地，如果)1,0a(≠>a a 的b 次幂等于N ，即N b =a ，那么数 b 叫做以a 为底 N 的对数.记作:_______________其中a 叫做对数的__________,N 叫做 ___________ 。

2. 对数与指数的关系.在对数的概念中，要注意：（1）底数的限制__________________（2）N b =a ⇔b N a =log 指数式⇔对数式幂底数←a →对数底数指数←x →对数幂 ←N →真数说明：对数式N a log 可看作一记号，表示底为a （a ＞0，且a ≠1），幂为N 的指数，表示方程N =x a （a ＞0，且a ≠1）的解. 也可以看作一种运算，即已知底为a （a ＞0，且a ≠1）幂为N ，求幂指数的运算. 因此，对数式N a log 又可看作是幂运算的逆运算。

《对数与对数运算》导学案

《对数与对数运算》导学案对数函数对于学生来说是一个全新的函数模型，学习起来比较困难。

以下是我们为大家整理有关高一的数学对数与对数运算导学案范文，欢迎参阅!《对数与对数运算》导学案教学内容剖析本节课是新课标高中数学A版必修1中第二章对数函数内容的第1课时，也就是对数函数的入门.而对数函数又是本章的要紧内容，在高考中占有肯定的分量，它是在指数函数的基础上，对函数类型的拓广，同时在解决一些平时的生活问题及科研中起着十分要紧的用途.通过本节课的学习，可以让学生理解对数的定义，从而进一步深化对对数模型的认识与理解，为学习对数函数做好筹备 .同时，通过对对数定义的学习，对培养学生对立统一、相互联系、相互转化的思想，培养学生的逻辑思维能力都具有要紧的意义.学生学习状况剖析现阶段大多数学生学习的自主性较差，主动性不够，学习有依靠性，且学习的信心不足，对数学存在或多或少的恐惧感.通过对指数与指数幂的运算的学习，学生已多次领会了对立统一、相互联系、相互转化的思想，并且探究能力、逻辑思维能力得到了肯定的训练.因此，学生已拥有了探索、发现、研究对数概念的认识基础，故应通过指导，教会学生独立考虑、大胆探索和灵活运用类比、转化、总结等数学思想的学习办法.设计思想学生是教学的主体，本节课要给学生供应各种参与机会.为了调动学生学习的积极性，使学生化被动为主动，本节课可借助多媒体辅助教学，引导学生从实例中认识对数模型，领会引入对数的必要性.在教学重难点上，步步设问、启发学生的思维，通过课堂训练、探究活动、学生讨论的方法来加深理解，更好地突破难点和提升教学效率.让学生在教师的引导下，充分地动手、动口、动脑，学会学习的主动权.教学目的1.理解对数的定义，知道对数与指数的关系;学会对数式与指数式的互化;理解对数的性质，学会以上常识并形成技术.2.通过实例使学生认识对数模型，领会引入对数的必要性;通过师生观察剖析得出对数的定义及对数式与指数式的互化.3.通过学生分组进行探究活动，学会对数的重要程度质.通过做训练，使学生感受到理论与实践的统一.4.培养学生的类比、剖析、总结能力，培养学生严谨的思维品质以及在学习流程中培养学生的探究意识.重点难点重点：对数的定义;对数式与指数式的相互转化.难点：对数定义的理解;对数性质的理解.教学流程环节教学程序及设计设计意图创设情境，引入新课引例1.一尺之锤，日取其半，万世不竭.取5次，还有多长?取多少次，还有0.125尺?剖析：为同学们熟知的指数函数模型，易得125=132，可设取x次，则有12x=0.125，抽象出：12x=0.125x =?2.2002年国内GDP为a亿元，如果年均增长8%，那样经过多少年GDP是2002年的2倍?剖析：设经过x年，则有x=2，抽象出：x=2x=? 让学生依据题意，设未知数，列出方程.这两个例子都出现指数是未知数x的状况，让学生考虑怎么样表示x，激发其对对数的学习兴趣，培养学生的探究意识.生活及科研中还有大量这样的例子，因此引入对数是必要的.讲授新课一、对数的定义[一般地，如果ax=N，那样数x叫做以a为底N的对数，记作x=logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.注意：底数的限制：a0且a1;对数的书写格式正确理解对数概念中底数的限制，为以后对数函数概念域的确定做筹备.同时注意对数的书写格式，防止因书写不规范而产生的错误.二、对数式与指数式的互化：幂底数a对数底数指数b对数幂N真数考虑：为啥对数的概念中需要底数a0且a1?是不是是所有的实数都有对数呢?负数和零没有对数让学生知道对数与指数的关系，明确对数式与指数式形式有哪些不同，a，b和N位置的不一样，及它们的含义.互化体现了等价转化这个要紧的数学思想.三、两个要紧对数常用对数：以10为底的对数log10N，简记为lg N;自然对数：以无理数e=2.718 28为底的对数logeN，简记为lnN.注意：两个要紧对数的书写这两个要紧对数肯定要学会，为以后的解题以及换底公式作筹备.课堂训练1.将下列指数式写成对数式：24=16;3-3=127;5a=20;12b=0.45.2.将下列对数式写成指数式：log5125=3; =-2;log10a=-1.069.3.求下列各式的值：log264;log927. 本训练让学生独立阅读课本例1和例2后考虑完成，从而熟知对数式与指数式的相互转化，加深对对数定义的理解.并需要学生指出对数式与指数式互化时应注意哪些问题，培养学生严谨的思维品质.四、对数的性质探究活动1求下列各式的值：log31=0;lg 1=0;log0.51=0;ln1=0.考虑：你发现了什么?1的对数等于零，即loga1=0，类比：a0=1. 探究活动由学生独立完成后，通过考虑，然后分小组进行讨论，最后得出结论.通过训练与讨论的方法，让学生自身得出结论，从而能更好地理解和学会对数的性质.培养学生类比、剖析、总结的能力.探究活动2求下列各式的值：log33=1;lg 10=1;log0.50.5=1;lne=1.考虑：你发现了什么?底数的对数等于1，即logaa=1，类比：a1=a.探究活动3求下列各式的值：=3; =0.6; =89.考虑：你发现了什么?对数恒等式： =N.探究活动4求下列各式的值：log334=4;log0.90.95=5;lne8=8.考虑：你发现了什么?对数恒等式：logaan=n.讲授新课小结负数和零没有对数;1的对数等于零，即loga1=0;底数的对数等于1，即logaa=1;对数恒等式： =N;对数恒等式：logaan=n. 将学生总结的结论进行小结，从而得到对数的基本性质.总结小结，强化思想1.引入对数的必要性对数的定义一般地，如果ax=N，那样数x叫做以a为底N的对数，记作x=logaN.2.指数与对数的关系3.对数的基本性质负数和零没有对数;loga1=0;logaa=1;对数恒等式： =N;logaan=n. 概括是一堂课内容的概括，有利于学生系统地学会所学内容.同时，将本节内容纳入已有的常识体系中，发挥承上启下的用途.为下一课时对数的运算打下扎实的基础.。

高中数学《对数的运算》导学案

第2课时对数的运算1．对数运算性质如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么， (1)□1log a (MN )＝log a M ＋log a N ； (2)□2log a M N ＝log a M －log a N ； (3)□3log a M n ＝n log a M (n ∈R )． 2．换底公式(1)对数的换底公式：□4log a b ＝log c b log c a (a >0且a ≠1；c >0且c ≠1；b >0)．(2)三个较为常用的推论： ①□5log a b ·log b c ·log c a ＝1； ②□6log a b ＝1log ba ；③□7log a m b n ＝n m log a b (a ，b >0，且均不为1)．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)积、商的对数可以化为对数的和、差．( ) (2)log a (xy )＝log a x ·log a y .( ) (3)log 2(－5)2＝2log 2(－5)．( ) (4)由换底公式可得log a b ＝log (－2)blog (－2)a .( )答案 (1)√ (2)× (3)× (4)× 2．做一做(1)(教材改编P 68T 3)log 325－log 35＝________.(2)(教材改编P 68T 3)lg 8＋lg 53＝________.(3)若lg 5＝a ，lg 7＝b ，用a ，b 表示log 75＝________. 答案 (1)log 35 (2)3 (3)ab『释疑解难』(1)对数运算性质推导的基本方法：利用对数的定义将对数问题转化为指数问题，再利用幂的运算性质，进行转化变形，然后把它还原为对数问题．(2)对数运算性质的实质就是把积、商、幂的对数运算分别转化为对数的加、减、乘的运算，使用时要注意公式的适用条件．(3)只有当式子中所有的对数都有意义时，对数的运算性质才能成立．如log 2[(－3)·(－5)]是存在的，但log 2(－3)与log 2(－5)均不存在，故不能写成log 2[(－3)·(－5)]＝log 2(－3)＋log 2(－5)．(4)注意下列式子不一定成立：log a (MN )≠log a M ·log a N ，log a (M ±N )≠log a M ±log a N ，log a M N ≠log a Mlog aN ，log a M n ≠(log a M )n .(5)逆向运用对数的运算性质，可以将几个对数式化为一个对数式，有利于化简，如：lg 5＋lg 2＝lg 10＝1.(6)运算法则(1)可推广到若干个正因数积的对数，即log a (M 1·M 2·M 3·…·M k )＝log a M 1＋log a M 2＋log a M 3＋…＋log a M k ，a >0，且a ≠1，M k >0，k ∈N *.(7)换底公式成立的条件是公式中的每一个对数式都有意义． (8)换底公式的意义就在于改变对数式的底数，把不同底数的问题转化为同底数的问题进行化简、计算或证明．(9)换底公式在实际应用中究竟换成以什么为底数，要由具体的已知条件来确定，一般换成以10为底的常用对数．探究1 对数运算性质的应用例1 若a >0，且a ≠1，x >y >0，n ∈N *，则下列各式： ①log a x ·log a y ＝log a (x ＋y )； ②log a x －log a y ＝log a (x －y )；③log a (xy )＝log a x ·log a y ；④log a x log a y ＝log a xy ；⑤(log a x )n＝log a x n；⑥log a x ＝－log a 1x ；⑦log a x n ＝log a nx ；⑧log a x －y x ＋y ＝－log a x ＋y x －y .其中式子成立的个数为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6解析对于①，取x ＝4，y ＝2，a ＝2，则log 24·log 22＝2×1＝2，而log 2(4＋2)＝log 26≠2，①log a x ·log a y ＝log a (x ＋y )不成立；对于①，取x ＝8，y ＝4，a ＝2，则log 28－log 24＝1≠log 2(8－4)＝2，①log a x －log a y ＝log a (x －y )不成立；对于①，取x ＝4，y ＝2，a ＝2，则log 2(4×2)＝log 28＝3，而log 24·log 22＝2×1＝2≠3，①log a (xy )＝log a x ·log a y 不成立；对于①，取x ＝4，y ＝2，a ＝2，则log 24log 22＝2≠log 242＝1，①log a xlog ay ＝log a xy 不成立；对于①，取x ＝4，a ＝2，n ＝3，则(log 24)3＝8≠log 243＝6，①(log a x )n ＝log a x n 不成立；①成立，由于－log a 1x ＝－log a x －1＝log a (x －1)－1＝log a x ； ①成立，由于log anx ＝log a x 1n ＝1nlog a x ；⑧成立，由于log a x －y x ＋y ＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y x －y －1＝－log a x ＋yx －y . 答案 A例2 化简：(1)4lg 2＋3lg 5－lg 15； (2)lg 27＋lg 8－3lg 10lg 1.2； (3)2log 32－log 3329＋log 38－5log 53； (4)log 28＋43＋log 28－4 3. 解 (1)原式＝lg 24×5315＝lg 104＝4.(2)原式＝lg (33)12 ＋lg 23－3lg 1012lg 3×2210＝32(lg 3＋2lg 2－1)lg 3＋2lg 2－1＝32.(3)原式＝2log 32－(log 332－log 39)＋3log 32－3＝5log 32－(5log 32－2)－3＝－1.(4)原式＝log 2(8＋43·8－43)＝log 24＝2. 拓展提升对数式化简与求值的原则和方法(1)基本原则对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行．(2)两种常用的方法①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数； ②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)． (3)要注意一些常见的结论，如lg 2＋lg 5＝1，lg 1a ＝－lg a 等．【跟踪训练1】计算：(1)lg 25＋23lg 8＋lg 5×lg 20＋(lg 2)2； (2)log 535－2log 573＋log 57－log 51.8； (3)log 2748＋log 212－12log 242－1.解 (1)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3.(2)原式＝log 5(5×7)－2(log 57－log 53)＋log 57－log 595＝log 55＋log 57－2log 57＋2log 53＋log 57－2log 53＋log 55＝2.(3)原式＝log 2748＋log 212－log 242－log 22＝log 27×1248×42×2＝log 2122＝log 22－32 ＝－32.探究2 换底公式的应用例3 计算：(1)(log 43＋log 83)lg 2lg 3；(2)(log 2125＋log 425＋log 85)(log 52＋log 254＋log 1258)．解 (1)原式＝⎝⎛⎭⎪⎫lg 3lg 4＋lg 3lg 8lg 2lg 3＝lg 32lg 2·lg 2lg 3＋lg 33lg 2·lg 2lg 3＝12＋13＝56.(2)解法一：原式＝⎝⎛⎭⎪⎫log 253＋log 225log 24＋log 25log 28⎝ ⎛⎭⎪⎫log 52＋log 54log 525＋log 58log 5125 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3log 25＋2log 252log 22＋log 253log 22⎝ ⎛⎭⎪⎫log 52＋2log 522log 55＋3log 523log 55 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋1＋13log 25·3log 52 ＝13log 25·log 22log 25＝13.解法二：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 125lg 2＋lg 25lg 4＋lg 5lg 8⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 2lg 5＋lg 4lg 25＋lg 8lg 125 ＝⎝⎛⎭⎪⎫3lg 5lg 2＋2lg 52lg 2＋lg 53lg 2⎝⎛⎭⎪⎫lg 2lg 5＋2lg 22lg 5＋3lg 23lg 5 ＝13lg 53lg 2·3lg 2lg 5 ＝13.解法三：原式＝(log 253＋log 2252＋log 2351)(log 52＋log 5222＋log 5323) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3log 25＋log 25＋13log 25(log 52＋log 52＋log 52)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋1＋13log 25·3log 52 ＝133×3 ＝13.拓展提升换底公式在求值中的应用利用对数的换底公式能够将不同底的对数化为常用对数或自然对数或同底的对数，即可用对数的运算性质来解决对数求值问题，同时要注意换底公式的逆用和变形应用．【跟踪训练2】计算：(1)log 23×log 34×log 45×log 56×log 67×log 78； (2)log 52·log 79log 513·log 734＋log 2(3＋5－3－ 5)．解 (1)原式＝lg 3lg 2×lg 4lg 3×lg 5lg 4×lg 6lg 5×lg 7lg 6×lg 8lg 7＝lg 8lg 2＝3lg 2lg 2＝3. (2)原式＝log 52log 513·log 79log 734＋log 4(3＋5－ 3－5)2＝log 132·log 349＋log 4(6－232－5)＝log 132 12·3log 2232＋log 4(6－2×2)＝－12·log 32·3log 23＋log 42 ＝－32＋12log 22 ＝－32＋12 ＝－1.探究3 对数式的条件求值问题例4 已知log 189＝a,18b ＝5，试用a ，b 表示log 3645. 解解法一：∵18b ＝5，∴log 185＝b ，又log 189＝a ， ∴log 3645＝log 1845log 1836＝log 18(9×5)log 181829＝log 189＋log 1852log 1818－log 189＝a ＋b2－a . 解法二：∵log 189＝lg 9lg 18＝a ，∴lg 9＝a lg 18，同理得lg 5＝b lg 18，∴log 3645＝lg 45lg 36＝lg (9×5)lg 1829＝lg 9＋lg 52lg 18－lg 9＝a lg 18＋b lg 182lg 18－a lg 18＝a ＋b 2－a. 解法三：∵log 189＝a ，∴log 18182＝1－log 182＝a ， ∴log 182＝1－a .∵18b ＝5，∴log 185＝b ，∴log 3645＝log 1845log 1836＝log 189＋log 1851＋log 182＝a ＋b2－a .解法四：∵log 189＝a ，∴18a ＝9. 又18b ＝5，∴45＝5×9＝18b ·18a ＝18a ＋b . 令log 3645＝x ，则36x ＝45＝18a ＋b ，即⎝⎛⎭⎪⎫183×183x ＝18a ＋b,182x ＝9x ·18a ＋b . ∵18a ＝9，∴182x ＝(18a )x ·18a ＋b ＝18ax ·18a ＋b ＝18ax ＋a ＋b . ∴2x ＝ax ＋a ＋b ，∴x ＝a ＋b 2－a ，即log 3645＝a ＋b2－a. 拓展提升指数与对数式的转化是解题关键对数式的证明和对数式的化简的基本思路是一致的，就是根据对数的运算性质和换底公式对对数式化简，此题巧妙引入辅助量，顺利完成指数与对数的转化是解题的关键．带有附加条件的代数式求值问题，需要对已知条件和所求式子进行化简转化，原则是化为同底的对数，以便利用对数的运算性质．要整体把握对数式的结构特征，灵活运用指数式与对数式的互化．【跟踪训练3】已知a ，b ，c 是不等于1的正数，且a x ＝b y ＝c z ，1x ＋1y ＋1z ＝0，求abc 的值．解解法一：设a x ＝b y ＝c z ＝t ，∴x ＝log a t ，y ＝log b t ，z ＝log c t ， ∴1x ＋1y ＋1z ＝1log a t ＋1log b t ＋1log ct ＝log t a ＋log t b ＋log t c ＝log t (abc )＝0，∴abc ＝t 0＝1，即abc ＝1.解法二：∵a ，b ，c 是不等于1的正数，且a x ＝b y ＝c z ， ∴令a x＝b y＝c z＝t >0，∴x ＝lg t lg a ，y ＝lg t lg b ，z ＝lg tlg c ，∴1x ＋1y ＋1z ＝lg a lg t ＋lg b lg t ＋lg c lg t ＝lg a ＋lg b ＋lg c lg t . ∵1x ＋1y ＋1z ＝0，且lg t ≠0，∴lg a ＋lg b ＋lg c ＝lg (abc )＝0，∴abc ＝1.1.对数的运算性质(1)在运算过程中避免出现以下错误： log a (MN )＝log a M ·log a N .log a M N ＝log a M log a N .log a N n ＝(log a N )n . log a M ±log a N ＝log a (M ±N ).(2)要特别注意它的前提条件：a >0，a ≠1，M >0，N >0，尤其是M ，N 都是正数这一条件，否则M ，N 中有一个小于或等于0，就导致log a M 或log a N 无意义，另外还要注意，M >0，N >0与M ·N >0并不等价.2.换底公式(1)由换底公式可得如下结论：①log a n b n ＝log a b ；②log a m b n ＝nm log a b ；③log a b ·log b a ＝1；④log a b ·log b c ·log c d ＝log a d .(a ，b ，c >0且a ，b ，c ≠1，d >0)(2)换底公式及其推论在解题中有广泛的应用，具体地讲，就是将底不同的对数转换成底相同的对数进行化简、计算和证明．换底公式在实际应用中究竟换成以什么为底，要由具体已知的条件来确定，一般地换成以10为底的常用对数.1．若a >0，且a ≠1，x ∈R ，y ∈R ，且xy >0，则下列各式不恒成立的是( )①log a x 2＝2log a x ；②log a x 2＝2log a |x |；③log a (xy )＝log a x ＋log a y ；④log a (xy )＝log a |x |＋log a |y |.A ．②④B ．①③C ．①④D ．②③ 答案 B解析 ∵xy >0，∴①中若x <0则不成立；③中若x <0，y <0也不成立，故选B.2．计算log 916×log 881的值为( ) A ．18 B.118 C.83 D.38 答案 C解析 log 916×log 881＝lg 16lg 9×lg 81lg 8＝4lg 22lg 3×4lg 33lg 2＝83，故选C. 3．已知lg 2＝a ，lg 3＝b ，则log 36＝( ) A.a ＋b a B.a ＋b b C.a a ＋b D.b a ＋b答案 B解析 log 36＝lg 6lg 3＝lg 2＋lg 3lg 3＝a ＋bb ，故选B.4．已知log a 2＝m ，log a 3＝n ，则log a 18＝________(用m ，n 表示)．答案 m ＋2n解析 log a 18＝log a (2×32)＝log a 2＋log a 32＝log a 2＋2log a 3＝m ＋2n .5．计算(33)23 ＋log 2(log 216)＋(5－log 513 )2. 解 (33) 23 ＋log 2(log 216)＋(5－log 513 )2＝(3×312) 23＋log 24＋(5log 53)2＝(332) 23＋2＋32＝3＋2＋9 ＝14.A 级：基础巩固练一、选择题1．2log 510＋log 50.25＝( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．4 答案 C解析 2log 510＋log 50.25＝log 5100＋log 50.25＝log 525＝2. 2．如果lg x ＝lg a ＋3lg b －5lg c ，那么( ) A ．x ＝ab 3c 5 B ．x ＝3ab5c C ．x ＝a ＋3b －5c D ．x ＝a ＋b 3－c 3答案 A解析 ∵lg x ＝lg a ＋3lg b －5lg c ＝lg a ＋lg b 3－lg c 5＝lg ab 3c 5，∴x＝ab 3c 5.3．化简log 212＋log 223＋log 234＋…＋log 23132等于( ) A ．5 B ．4 C ．－5 D ．－4 答案 C解析原式＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12×23×34×…×3132＝log 2132＝－5. 4．若2.5x＝1000,0.25y＝1000，则1x －1y ＝( )A.13 B ．3 C ．－13 D ．－3 答案 A解析 ∵x ＝log 2.51000＝3lg 2.5，y ＝log 0.251000＝3lg 0.25，∴1x －1y ＝13(lg 2.5－lg 0.25)＝13×lg 2.50.25＝13×lg 10＝13.5．若lg a ，lg b 是方程2x 2－4x ＋1＝0的两个根，则⎝ ⎛⎭⎪⎫lg a b 2的值等于( )A ．2 B.12 C ．4 D.14 答案 A解析由根与系数的关系，得lg a ＋lg b ＝2，lg a ·lg b ＝12，∴⎝⎛⎭⎪⎫lg a b 2＝(lg a －lg b )2＝(lg a ＋lg b )2－4lg a ·lg b ＝22－4×12＝2.二、填空题6．log 34273＋lg 25＋lg 4＋7log 72＝________.答案 154解析原式＝log 3334 3＋lg (25×4)＋2＝log 33－14 ＋lg 102＋2＝－14＋2＋2＝154.7．化简(log 43＋log 83)(log 32＋log 92)＝________. 答案 54解析原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log 23log 24＋log 23log 28×⎝ ⎛⎭⎪⎫1log 23＋1log 232 ＝56log 23×32log 23＝54.8．汶川里氏8.0级特大地震，给人民的生命财产造成了巨大的损失．里氏地震的等级最早是在1935年由美国加州理工学院的地震学家里特判定的．它与震源中心释放的能量(热能和动能)大小有关. 震级M ＝23lg E －3.2，其中E (焦耳)为以地震波的形式释放出的能量．如果里氏6.0级地震释放的能量相当于1颗美国在二战时投放在广岛的原子弹的能量，那么汶川大地震所释放的能量相当于________颗广岛原子弹的能量．答案 1000解析设里氏8.0级、6.0级地震释放的能量分别为E 2，E 1，则8－6＝23(lg E 2－lg E 1)，即lg E 2E 1＝3.∴E 2E 1＝103＝1000，即汶川大地震所释放的能量相当于1000颗广岛原子弹的能量．三、解答题 9．(1)计算：log327＋lg 4＋lg 25； (2)lg 5(lg 8＋lg 1000)＋(lg 23)2＋lg 16＋lg 0.06；(3)2log 214＋⎝ ⎛⎭⎪⎫169－12 ＋lg 20－lg 2－(log 32)×(log 23)＋(2－1)lg 1.解 (1)原式＝log3(3)6＋2lg 2＋2lg 5＝6＋2(lg 2＋lg 5)＝8.(2)原式＝lg 5(3lg 2＋3)＋3(lg 2)2－lg 6＋lg 6－2 ＝3lg 5×lg 2＋3lg 5＋3(lg 2)2－2 ＝3lg 2(lg 5＋lg 2)＋3lg 5－2＝3lg 2＋3lg 5－2＝3(lg 2＋lg 5)－2＝1.(3)原式＝14＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫432－12 ＋lg 202－lg 2lg 3 ·lg 3lg 2＋1＝14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫43－1＋lg 10－1＋1＝2.B 级：能力提升练10．设a ，b ，c 为正数，且满足a 2＋b 2＝c 2.(1)求证：log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b ＋c a ＋log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a －c b ＝1； (2)如果log 4⎝⎛⎭⎪⎫1＋b ＋c a ＝1，log 8(a ＋b －c )＝23，那么a ，b ，c 的值是多少？解 (1)证明：左边＝log 2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋b ＋c a ·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋a －c b ＝log 2(a ＋b )2－c 2ab ＝log 2(a ＋b )2－(a 2＋b 2)ab ＝log 22 ＝1 ＝右边．(2)由log 4a ＋b ＋ca ＝1，得－3a ＋b ＋c ＝0，① 由log 8(a ＋b －c )＝23，得a ＋b －c ＝4，② 由题设知a 2＋b 2＝c 2，③ 由①＋②，得b －a ＝2，④由①得c ＝3a －b ，代入③得a (4a －3b )＝0，因为a >0，所以4a －3b ＝0，⑤ 由④⑤得a ＝6，b ＝8，则c ＝10.。

新人教A版必修1高中数学2.2.1-2对数与对数运算导学案

高中数学 2.2.1-2对数与对数运算导学案新人教A 版必修1学习目标：掌握对数的运算性质学习重点：对数的运算学习过程：一、理论学习对数的运算性质：如果0,01,0>>≠>N M a a ，且，那么：（1）N M N M a a a log log )(log +=∙ （2）N M NMa a alog log log -= （3）)(log log R n M n M a n a ∈=（4）)0(log log ≠∈=b R n b M bn M a n a b，、（5）)1,(log log log ≠∈=a R cb a abb c c a 、、二、实践应用 1、求下列各式的值（1）=⨯)24(log 572 （2）=5100lg（3）=⨯)927(log 23 （4）=2100lg（5）=00001.0lg （6）=e ln(7)=-3log 6log 22(8)=+2lg 5lg(9)=+31log 3log 55(10)=-15log 5log 33(11)=+25.0log 10log 255（12）=-64log 325log 225（13）=)16(log log 22（14）=)25(log log 5412、已知b a ==3lg ,2lg ，求下列各式的值（1）=6lg （2）=4log 3（3）=12log 2 （4）=23lg3、化简下列各式：（1）=⋅a c c a log log（2）=⋅⋅⋅2log 5log 4log 3log 5432（3）=++)2log 2)(log 3log 3(log 9384三、课后反思计算题1、 lg 5·lg 8000＋06.0lg 61lg )2(lg 23++.2、求x 的值lg 2(x ＋10)－lg(x ＋10)3=4.3、求x 的值23log 1log 66-=x .4、求x 的值9-x －2×31-x =27.5、求x 的值x )81(=128.6、求x 的值5x+1=123-x .7、10log 5log )5(lg )2(lg 2233++·.10log 188、 (1)lg 25+lg2·lg50; (2)(log 43+log 83)(log 32+log 92). 9、求121log 8.0--=x x y 的定义域.10、log 1227=a,求log 616.11、求log 927的值.12、设3a =4b =36,求a 2＋b1的值.13、求x 的值log 2(x －1)+log 2x=114、求x 的值4x +4-x －2x+2－2-x+2+6=015、求x 的值24x+1－17×4x +8=016、求x 的值log 2(x －1)=log 2(2x+1) 17、求x 的值log 2(x 2－5x －2)=218、求x 的值log 16x+log 4x+log 2x=719、求x 的值log 2[1+log 3(1+4log 3x)]=120、求y 的值lg(y －1)－lgy=lg(2y －2)－lg(y+2)21、求x的值lg(x2+1)－2lg(x+3)+lg2=022、求x的值lg2x+3lgx－4=0。

对数运算法则导学案- 高一上学期数学人教B版(2019)必修第二册

4.2.2 对数运算法则学习目标1.通过对数运算法则的推导,培养逻辑推理的核心素养.2.通过对数运算法则的运用,培养数学运算的核心素养.自主预习认真阅读课本第20~23页,做好预习笔记.1.积、商、幂的对数对于a>0且a≠1,M>0,N>0,积的对数log a(MN)=log a M+log a N.真数为有限多个正因数相乘的情形,即log a(N1N2…N k)=log a N1+log a N2+…+log a N k.=log a M-log a N.商的对数log a MN幂的对数log a M n=n log a M.2.换底公式,a>0且a≠1,b>0,c>0且c≠1.log a b=log c blog c a课堂探究一、积、商、幂的对数请同学们判断一下几组数是否相等?(1)lg 100+lg 0.1与lg (100×0.1);(2)log28+log24与log232.1.你知道log63与log62的值吗?你能算出log63+log62的值吗?如果设x=log63,y=log62,则6x=,6y=,怎样由这两个式子得到x+y?2.由指数运算的法则aαaβ=aα+β能得出对数运算具有什么运算法则?一般地,设aα=M>0,aβ=N>0,则有log a M=α,log a N=β.由aα+β=aαaβ=MN.可知log a(MN)=α+β,代入α与β的值,有log a(MN)=log a M+log a N.(积的对数=对数的和)真数为有限多个正因数相乘的情形,即log a(N1N2…N k)=log a N1+log a N2+…+log a N k.特别地,当正因数全部相等时,可得log a N k=k log a N(正数的k次方的对数=正数的对数的k倍),其中k是正整数.我们还可以由(aβ)α=aβ×α得出log a Mα=αlog a M,其中α为任意实数(证明留作练习).例如,lg 0.001=lg 10-3=-3lg 10=-3.另外,由上面两个结论可知log a MN=log a(MN-1)=log a M+log a N-1=log a M-log a N.(商的对数=对数的差) 例1log a x,log a y,log a z表示下列各式.(1)log a xyz ;(2)log a(x3y5);(3)log a2√y√z3.例2计算下列各式的值.(1)lg 4+lg 25;(2)lg √1003;(3)log2(47×25);(4)(lg 2)2+lg 20×lg 5.二、换底公式我们能不能借助lg 3和lg 5求出log35的值呢?一般地,我们有log a b=log c blog c a,其中a>0且a≠1,b>0,c>0且c≠1.这一结果通常被称为换底公式.换底公式及常用的推论(1)log a b=log c blog c a(a>0且a≠1,c>0且c≠1,b>0)叫做换底公式.(2)由换底公式可得两个结论:①lo g a m b n=nmlog a b;②log a b=1log b a(或log a b·log b a=1).例3 求log 89×log 2732的值.例4 求证lo g a t b s =s t log a b ,其中a>0且a ≠1,b>0,s ∈R,t ∈R 且t ≠0.三、对数式的化简求值例5 计算下列各式的值.(1)12lg 3249-43lg √8+lg √245;(2)lg 52+23lg 8+lg 5·lg 20+(lg 2)2.对数式的化简求值这类问题一般有两种处理方法:一种是将式中真数的积、商、方根运用对数的运算法则将它们化为对数的和、差、积、商,然后化简求值;另一种方法是将式中的对数的和、差、积、商运用对数的运算法则将它们化为真数的积、商、幂,然后化简求值.课堂练习一、积、商、幂的对数1.计算下列各式的值.;(1)log26-log23;(2)lg 5+lg 2;(3)log53-log513(4)log35-log315;(5)ln√e;(6)lg 100-2.2.已知3a=2,用a表示log34-log36.二、换底公式3.已知log32=a,3b=5,用a,b表示log3√30.4.已知lg 2≈0.301 0,求lg 5的近似值(精确到0.000 1).三、对数的运算法则5.计算:log54×log85.6.化简:√(log35)2-4log35+4.强化训练1.求下列各式的值.;(1)lg 0.001-log271814;(2)log48+lo g12(3)log7√493.2.(1)已知α∈R,a>0且a≠1.由(aβ)α=aβ×α,证明log a Mα=αlog a M;(2)由对数的定义证明换底公式log a b=log c blog c a.3.计算(lg5)2+lg 2×lg 50的值.4.求证log x y×log y z×log z x=1.5.比较log62与log63的大小.6.化简lg 5×lg 8 000+(lg2√3)2+lg 0.06-lg 6.7.化简2lg2+lg31+12lg0.36+13lg8.参考答案自主预习略课堂探究略课堂练习1.(1)1 (2)1 (3)2 log 53 (4)-1 (5)12 (6)-42.由3a =2,可知a= log 32,因此原式=log 346=log 323= log 32-1=a-1.3.log 3√30=12log 330=12(1+a+b )4.lg 5=1-lg 2≈1-0.301 0=0.699 05.236.2-log 35 强化训练1.(1)-53 (2)-12 (3)232.(1)设a β=M ,则β=log a M ,所以 log a M α=log a (a β)α=log a a β×α=α×β. 把β=log a M 代入,即可得log a M α=αlog a M.(2)设对数log a b=x ,则a x =b ,且a=√b x ,于是c log c a =√b x ,则c xlog c a =b ,两边取以c 为底的对数得 x log c a=log c b ,则x=log cb logc a ,即log a b=log cb logc a .4.左边=lgylgx ×lgzlgy×lgxlgz=1=右边5.log62<log636.17.1。

高中数学《对数》导学案

2．2.1对数与对数运算第1课时对数1．对数的概念(1)对数的概念：□1如果a x＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝log a N，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．(2)两种特殊的对数①常用对数：□2通常以10为底的对数叫做常用对数，N的常用对数log10N简记为lg_N；②自然对数：□3以e为底的对数称为自然对数，N的自然对数log e N简记为ln_N(其中e≈2.71828…)．2．对数与指数的关系(1)对数的基本性质①□4零和负数没有对数，即N>0；②□51的对数为0，即log a1＝0；③□6底数的对数等于1，即log a a＝1.(2)两个重要的对数恒等式①a log a N＝□7N(a>0，且a≠1，N>0)；②log a a N＝□8N(a>0，且a≠1)．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)因为(－2)4＝16，所以log(－2)16＝4.()(2)对数式log32与log23的意义一样．()(3)对数的运算实质是求幂指数．()(4)等式log a1＝0对于任意实数a恒成立．()答案(1)×(2)×(3)√(4)×2．做一做(1)若5x＝2018，则x＝________.(2)(教材改编P64T3)lg 10＝________；ln e＝________.(3)(教材改编P64T2)将log24＝2化为指数式为________．答案(1)log52018(2)11(3)22＝4『释疑解难』在对数的概念中为什么规定a>0且a≠1呢？(1)若a<0，则当N为某些值时，x的值不存在，如：x＝log(－2)8不存在．(2)若a＝0，①当N≠0时，x的值不存在．如：log03(可理解为0的多少次幂是3)不存在；②当N＝0时，x可以是任意正实数，是不唯一的，即log00有无数个值．(3)若a＝1，①当N≠1时，x的值不存在．如：log13不存在；②当N ＝1时，x 可以为任意实数，是不唯一的，即log 11有无数个值．因此规定a >0，且a ≠1.探究1 对数的概念例1 (1)使对数log 2(－2x ＋1)有意义的x 的取值范围为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12 (2)在对数式b ＝log a －2(5－a )中，实数a 的取值范围是( )A ．a >5或a <2B ．2<a <5C ．2<a <3或3<a <5D ．3<a <4解析 (1)要使对数log 2(－2x ＋1)有意义，只要使真数－2x ＋1>0即可，即x <12，∴x 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12，故选C. (2)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －2>0，a －2≠1，5－a >0，解得2<a <3或3<a <5.答案 (1)C (2)C 拓展提升对数式有意义的条件对数式有意义的两个前提：①底数大于零且不等于1；②对数的真数必须大于零．【跟踪训练1】 (1)满足函数f (x )＝lg (x ＋1)x －1的x 的取值范围是( )A ．(－1，＋∞)B ．[－1，＋∞)C ．(－1,1)∪(1，＋∞)D ．[－1,1)∪(1，＋∞)(2)在log (2x －1)(x ＋2)中求x 的范围．答案 (1)C (2)见解析解析 (1)要使函数有意义，必有⎩⎨⎧x ＋1>0，x －1≠0，解得x >－1且x ≠1，故选C.(2)因为真数大于0，底数大于0且不等于1，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2>0，2x －1>0，2x －1≠1，解得x >12，且x ≠1.即x 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x >12，且x ≠1.探究2 指数式与对数式的互化例2 (1)将下列指数式改写成对数式：24＝16；2－5＝132；34＝81；⎝ ⎛⎭⎪⎫12m＝n ； (2)将下列对数式改写成指数式：log 5125＝3；log 1216＝－4；ln a＝b ；lg 1000＝3.解 (1)log 216＝4；log 2132＝－5；log 381＝4；log 12n ＝m .(2)53＝125；⎝ ⎛⎭⎪⎫12－4＝16；e b ＝a,103＝1000.拓展提升由指数式a b ＝N 可以写成log a N ＝b (a >0，且a ≠1)，这是指数式与对数式互化的依据．对数式与指数式是同一种数量关系的两种不同表达形式．具体对应如下：【跟踪训练2】 (1)若a ＝log 23，则2a ＋2－a ＝________. (2)将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： ①log 216＝4；②log 3x ＝6；③43＝64. 答案 (1)103 (2)见解析解析 (1)因为a ＝log 23，所以2a＝3，则2a＋2－a ＝3＋3－1＝103.(2)①24＝16；②(3)6＝x ；③log 464＝3.探究3 对数性质的应用例3 (1)给出下列各式： ①lg (lg 10)＝0； ②lg (ln e)＝0；③若10＝lg x ，则x ＝10； ④由log 25x ＝12，得x ＝±5.其中，正确的是________(把正确的序号都填上)． (2)求下列各式中x 的值： ①log 2(log 5x )＝0；②log 3(lg x )＝1； ③log (2－1)(2－1)＝x ；④3x ＋3＝2.解析 (1)∵lg 10＝1，∵lg (lg 10)＝lg 1＝0，∵正确；∵ln e ＝1，∵lg (ln e)＝lg 1＝0，∵正确；若10＝lg x ，则x ＝1010，∵错误；由log 25x ＝12，得x ＝2512＝5，∵错误．故填∵∵.(2)①∵log 2(log 5x )＝0. ∴log 5x ＝20＝1，∴x ＝51＝5.②∵log 3(lg x )＝1，∴lg x ＝31＝3，∴x ＝103＝1000. ③∵log(2－1)(2－1)＝x ，∴(2－1)x ＝2－1， ∴x ＝1.④x ＋3＝log 32，∴x ＝log 32－3. 答案 (1)①② (2)见解析拓展提升对数性质在计算中的应用(1)对数运算时的常用性质：log a a ＝1，log a 1＝0(a >0且a ≠1)． (2)使用对数的性质时，有时需要将底数或真数进行变形后才能运用；对于多重对数符号的，可以先把内层视为整体，逐层使用对数的性质．【跟踪训练3】 (1)若log 2(x 2－7x ＋13)＝0，求x 的值； (2)已知log 2[log 3(log 4x )]＝log 3[log 4(log 2y )]＝0，求x ＋y 的值．解 (1)因为log 2(x 2－7x ＋13)＝0，所以x 2－7x ＋13＝1，即x 2－7x ＋12＝0，解得x ＝4或x ＝3. (2)∵log 2[log 3(log 4x )]＝0， ∴log 3(log 4x )＝1，∴log 4x ＝3.∴x ＝43＝64.同理求得y ＝16.∴x ＋y ＝80. 探究4 对数恒等式的应用例4 求下列各式的值： (1)5log 54；(2)3log 34－2；(3)24＋log 25.解 (1)设5log 54＝x ，则log 54＝log 5x ，∴x ＝4. (2)∵3log 34＝4，∴3log 34－2＝3log 34×3－2＝4×19＝49.(3)∵2log 25＝5，∴24＋log 25＝24×2log 25＝16×5＝80. 拓展提升运用对数恒等式时的注意事项(1)对于对数恒等式a log a N ＝N (a >0，且a ≠1，N >0)要注意格式：①它们是同底的；②指数中含有对数形式；③其值为对数的真数．(2)对于指数中含有对数值的式子进行化简，应充分考虑对数恒等式的应用．【跟踪训练4】求31＋log 36－24＋log 23＋103lg 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫19log 34的值．解原式＝31×3log 36－24×2log 23＋(10lg 3)3＋3－2×log 34＝3×6－16×3＋33＋(3log 34)－2＝18－48＋27＋116＝－4716.对数概念的理解 (1)规定a >0且a ≠1.(2)由于在实数范围内，正数的任何次幂都是正数，所以在a b ＝N 中，N 总是正数，即零和负数没有对数.(3)对数概念与指数概念有关，指数式和对数式是互逆的，即a b＝N ⇔log a N ＝b (a ＞0，且a ≠1，N ＞0)，据此可得两个常用恒等式：(1)log a a b ＝b ；(2)a log a N ＝N .(4)在关系式a x ＝N 中，已知a 和x ，求N 的运算称为求幂运算，而如果已知a 和N ，求x 的运算就是对数运算，两个式子实质相同而形式不同，互为逆运算.1．若a >0，且a ≠1，c >0，则将a b ＝c 化为对数式为( ) A ．log a b ＝c B ．log a c ＝b C ．log b c ＝a D ．log c a ＝b答案 B解析由对数的定义直接可得log a c ＝b . 2．已知log x 16＝2，则x 等于( ) A ．±4 B ．4 C ．256 D ．2 答案 B解析 ∵x 2＝16且x >0，x ≠1，∴x ＝4.故选B.3．若log 3181＝x ，则x ＝________. 答案－4解析 ∵log 3181＝log 33－4，∴3x ＝3－4，∴x ＝－4. 4．式子2log 25＋log 321的值为________．答案 5解析由对数性质知，2log 25＝5，log 321＝0，故原式＝5.5．求下列各式中x 的值：(1)若log 3⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2x 3＝1，求x 的值； (2)若log 2018(x 2－1)＝0，求x 的值．解 (1)∵log 31＋2x 3＝1，∴1＋2x3＝3， ∴1＋2x ＝9，∴x ＝4. (2)∵log 2018(x 2－1)＝0， ∴x 2－1＝1，即x 2＝2.∴x ＝± 2.A 级：基础巩固练一、选择题1．将对数式log 5b ＝2化为指数式是( ) A ．5b ＝2 B ．b 5＝2 C ．52＝b D ．b 2＝5 答案 C解析由对数的概念可知log 5b ＝2⇔52＝b ，故选C. 2．下列指数式与对数式互化不正确的一组是( ) A ．e 0＝1与ln 1＝0B ．8－13＝12与log 812＝－13C ．log 39＝2与912＝3 D ．log 77＝1与71＝7答案 C解析 log 39＝2应转化为32＝9. 3．已知log 12x ＝3，则x13＝( )A.18B.14C.12D.32 答案 C解析由log 12x ＝3，得x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝18，所以x13 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫18 13 ＝12. 4．方程2log 3x ＝14的解是( )A ．x ＝19B ．x ＝x3 C ．x ＝ 3 D ．x ＝9 答案 A 解析∵2log 3x ＝2－2，∴log 3x ＝－2，∴x ＝3－2＝19.5．21＋12log 25 的值等于()A ．2＋ 5B ．25C ．2＋52D ．1＋52答案 B 解析21＋12log 25 ＝2×212log 25 ＝2×(2log 25) 12 ＝2×(5) 12 ＝25.二、填空题6．方程log 3(2x －1)＝1的解为x ＝________. 答案 2解析依题意得2x －1＝3，∴x ＝2.7．若a >0，a 2＝49，则log 23a ＝________.答案 1解析由a >0，a 2＝49＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232，可知a ＝23， ∴log 23 a ＝log 2323＝1.8．2log 214 －⎝ ⎛⎭⎪⎫827－23 ＋lg 1100＋(2－1)lg 1的值是_______．答案－3解析原式＝14－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫233－23 ＋lg 10－2＋(2－1)0＝14－94－2＋1＝－3.三、解答题9．求下列各式中的x 的值：(1)log x 27＝32；(2)log 2x ＝－23；(3)log x (3＋22)＝－2；(4)log 5(log 2x )＝0；(5)x ＝log 2719.解 (1)由log x 27＝32，得x 32 ＝27，∴x ＝27 23 ＝32＝9.(2)由log 2x ＝－23，得2－23 ＝x ，∴x ＝1322＝322. (3)由log x (3＋22)＝－2，得3＋22＝x －2，即x ＝(3＋22)－12 ＝2－1.(4)由log 5(log 2x )＝0，得log 2x ＝1.∴x ＝21＝2.(5)由x ＝log 2719，得27x ＝19，即33x ＝3－2， ∴x ＝－23.B 级：能力提升练10．已知log a b ＝log b a (a >0，且a ≠1；b >0，且b ≠1)．求证：a ＝b 或a ＝1b .证明设log a b ＝log b a ＝k ，则b ＝a k ，a ＝b k ，∴b ＝(b k )k ＝bk 2. ∵b >0，且b ≠1，∴k 2＝1，即k ＝±1.当k ＝－1时，a ＝1b ；当k ＝1时，a ＝b .∴a ＝b 或a ＝1b ，命题得证．。